Elektrotehniški vestnik 80(4): 177-183, 2013 Izvirni znanstveni članek Uporaba diskretne Fouriereve transformacije pri detekciji zlomljenih rotorskih palic v asinhronskem motorju Klemen Drobnič, Vanja Ambrožič, Rastko Fišer Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: klemen. drobnic@fe.uni-lj.si Povzetek. Spektralna analiza statorskega toka je uveljavljena tehnika detektiranja zlomljenih rotorskih palic v asinhronskem motorju. Na podlagi fizikalnega mehanizma širjenja specifične frekvenčne motnje v statorskem toku so predstavljeni osnovni kriteriji za detekcijo zlomljenih rotorskih palic, tj. leva in desna komponenta. Opisane so splošne omejitve spektralne analize (spektralno prekrivanje, spektralno prepuščanje, ograjni učinek) ter predlagane ustrezne rešitve. V nadaljevanju je navedenih nekaj specifičnih okoliščin (vpliv nasičenja, oscilirajočega bremena, dvojne kletke), ki bistveno vplivajo na kakovost detekcije poškodbe. Predstavljene so rešitve, bodisi z nadgradnjo spektralne analize bodisi s popolnoma drugačno metodo. Ključne besede: asinhronski motor, zlomljene rotorske palice, diskretna Fouriereva transformacija, diagnostika Application of the Discrete Fourier Transform and Detection of Broken Rotor Bars in the Induction Motor Broken rotor bars have been traditionally detected by using spectral analysis of the stator current usually known as Motor Current Signature Analysis (MCSA). In this paper, we describe series of physical interactions between the electrical and mechanical quantities that lead to the typical frequency spectrum of a faulty induction machine. A list of the MCSA limitations tending to confine the use of MCSA to the steady state and full load operation is given and a short review of the diagnostic methods used to cope with the limitations is presented. 1 Uvod Pravočasna detekcija napak v industrijskih pogonih prinaša številne pozitivne učinke. Pomemben vidik v zahtevnih motorskih aplikacijah je poleg varnosti tudi zanesljivost obratovanja. Z ustreznim diagnostičnim sistemom pravočasno zaznamo poškodbe v zgodnji fazi, kar nam omogoča načrtovane remontne posege brez nenadnih izpadov, s čimer se zmanjšajo tako stroški rednega vzdrževanja kot nepredvideni izpadi dohodkov zaradi neobratovanja. Detekcija je smiselna v primerih, ko je razvoj poškodbe postopen, tj. s časovno konstanto dneva ali več, saj takrat lahko ukrepamo s primernim posegom. Grobo lahko tehnike zaznavanja napake razdelimo v tri skupine: na podlagi modela, signala ali podatkovne zbirke [1]. Ne glede na vrsto diagnostike vsi postopki temeljijo na ustreznem izboru in obdelavi signalov. Diagnostika na podlagi modela stroja se opira na predhodno analizo delovanja poškodovanega stroja. S simulacijami predvidimo lastnosti signalov, ki jih nato uporabimo kot referenčne vrednosti pri opazovanju dejanskega pogona. Odstopanje dejanskih vrednosti je znak prisotnosti poškodbe. Diagnostika na podlagi signalov išče lastnosti signalov, ki so (na podlagi predhodnih raziskav) značilni za določen tip poškodbe. S pravilno izbiro obdelave ciljnega signala izločimo vplive šuma, konstrukcijskih lastnosti in obratovalnih pogojev. Detekcija na podlagi podatkovne zbirke temelji na procesiranju množice signalov stroja, ki jih nato klasificiramo ter uvrstimo v bazo. S tehnikami razpoznavanja vzorcev ali umetne inteligence nato izvajamo proces odločanja za konkretni stroj. Elektromotorski pogoni so izpostavljeni različnim tipom poškodb: a) statorske poškodbe (medovojni kratki stiki, poškodbe glav navitij, preboj na magnetno jedro), b) električne rotorske poškodbe (zlom rotorskih palic - ZRP oz. kratkostičnega obroča za stroje s kratkostično kletko; za stroje z navitim rotorjem je seznam poškodb enak statorskemu), c) mehanske rotorske poškodbe (ležajni elementi, dinamična in statična ekscentričnost) in d) napaka na pretvorniškem sistemu močnostnih stikal. Pogostnost določene poškodbe je odvisna od moči, napetostnega razreda in tipa stroja. Pri nizkonapetostnih strojih majhnih moči prevladujejo mehanske poškodbe, medtem ko navitja niso posebej prizadeta. Takšni stroji uporabljajo kotalne ležajne elemente, katerih zanesljivost je močno odvisna od kakovosti vzdrževanja. S povečevanjem moči in napajalne napetosti se poveča tako dielektrična (stator) kot mehanska (rotor) obremenitev navitij, kar se kaže v povečevanju števila tako rotorskih kot statorskih poškodb. Večji stroji uporabljajo drsne ležajne elemente s konstantnim mazanjem, kar znatno povečuje njihovo življenjsko dobo [2]. Glavni vzroki za ZRP so velike mehanske obremenitve zaradi dinamičnega obratovanja (zagoni, reverziranja), bremena s pulzirajočim momentom (kompresorji, črpalke) ter okvare v proizvodnem procesu [3]. 2 Fizikalno ozadje ZRP 2.1 Nastanek okvare Konstrukcija asinhronskega motorja (AM) temelji na poudarjeni simetriji tako statorskega kot rotorskega dela, kar zagotavlja enakomerno porazdelitev in delovanje elektromagnetnih sil. V takšnih razmerah (zdravo stanje) so fazni tokovi in napetosti enaki, saj so impedančni parametri stroja fazno simetrični in neodvisni od trenutnega rotorskega zasuka. Statorski tok I v (idealnem) AM vsebuje zgolj osnovno harmonsko komponento pri f0, ki je enaka frekvenci napajalne napetosti, medtem ko je rotorski tok omejen na komponento pri sf0, kjer je s slip stroja. AM je kljub svoji robustnosti izpostavljen vrsti poškodb, pri čemer ima vsaka izmed nj ih (zlomljene rotorske palice, ekscentričnost, statorski medovojni stiki) karakteristični frekvenčni podpis. Z nastopom ZRP se simetrija stroja poruši. Zaradi rotorske nesimetrije nastane negativno magnetno vrtilno polje, ki v rotorski tok vnese komponento pri -s/0, ta pa v statorskem toku inducira komponento pri (1-2s)f0 z amplitudo IL. Komponenta IL je osnovna manifestacija ZRP v statorskem toku in je vzrok oscilacije navora in hitrosti z 2s/0, ki sta hkrati vir novih interakcij (slika 1). Nastaneta namreč dve novi tokovni komponenti v statorskem toku. Kot reakcija na osnovno komponento nastane dodatna leva komponenta IL pri (1-2s)f0, ob njej pa tudi desna komponenta ID pri (1+2s)/0. Komponenti IL in IL zasedata isto frekvenčno lego (1 -2s)f0, toda sta v protifazi. Zato se njuni amplitudi odštejeta in v spektru dobimo na mestu (1-2s)f0 tokovno komponento IL' = IL + IL (slika 2). Desna komponenta ID je vir verige novih interakcij, saj povzroči pojav ±3s/0 v rotorskem toku (slika 1). Analogno z ravnokar opisanim sosledjem dogodkov komponenta ±3sf0 povzroči nastanek komponent f (1-2s)f ) STATOR ( (1+2jfž C (1-4*f. )) \/ (c+Sa) (—£) \ / [ 'L 0 ;i-4s)fo (1-2s)f( V I (1+2s)f / l i J L i (1+4sf0 r | 35 40 45 50 55 frekvenca f (Hz) 60 65 70 Slika 2: Spekter statorskega toka AM z 2 ZRP (1±4s)f0 v statorskem toku. Mehanizem nastajanja komponent lahko posplošimo tudi na druge višjeharmonske frekvence, kar nas pripelje do splošnega izraza za frekvenčne komponente v statorskem toku (1±ks)f0, kjer je k = 1,2,3... (sliki 1 in 2). 2.2 Značilne spektralne komponente Frekvenčna analiza statorskega toka je najpogosteje uporabljan način detekcije ZRP in jo v literaturi poznamo kot Motor Current Signature Analysis (MCSA) [4]. Zadostuje, da iz celotne verige frekvenčnih komponent zaznamo le obe dominantni frekvenčni komponenti (1±2s)fo. Imenujemo ju tudi stranski komponenti, saj sta enako oddaljeni od osnovne komponente, ki je pogojena z napajalno frekvenco. Njuna lega v frekvenčnem spektru je odvisna od trenutne obremenitve oz. trenutnega slipa. Na podlagi modelov je bila raziskana zveza med velikostjo komponent IL' in ID ter stopnjo poškodbe. Razmerje med njuno vsoto in osnovno komponento je približno enako razmerju med številom (zaporedno) zlomljenih palic N^ in skupnim številom palic Ns [5]. -*L I I "+1 . 1L + 1D N,. N (1) Slika 1: Širjenje motnje v statorskem toku zaradi rotorske asimetrije. Črno obarvane puščice označujejo smer širjenja motnje, bele pa povraten učinek dušenja (reakcija). Ocena (1) je veljavna, če zanemarimo magnetilni tok, prispevek rotorskega obroča k skupni upornosti ter reaktanco palic. Eksperimentalni rezultati so pokazali, da se (1) dobro ujema z meritvami pri velikih strojih [6]. Vztrajnostni moment J pogonskega sistema vpliva na velikost posameznih komponent IL' in ID, toda njuna vsota IL" + ID je neodvisna od J in je enaka (prvotni) levi komponenti IL pri (1-2s)f0 v primeru neskončnega vztrajnostnega momenta (slika 3). Implementacija MCSA v realen pogon zahteva: a) zajemanje statorskega toka (tokovni transformator, kjer zadostuje že ena sama faza), b) spektralna analiza (spektralni analizator ali računalniški/mikrokrmilniški sistem) in c) razločevanje zdravega in poškodovanega stanja. o 20 4o 0 < J < œ I J = 0 fl f0 fd ■I* I 1 Id 1 1 fl f0 fd fl f0 fd Slika 3: Neodvisnost vsote leve in desne komponente od vztrajnostnega momenta J V praksi je najpogosteje izbrana vrednost za alarm -45 dB razlike med glavno in (eno izmed) stransko komponento oziroma ko stranska komponenta doseže 0,5 % amplitude osnovne komponente [7]. 3 Omejitve spektralne analize 3.1 Diskretna Fouriereva transformacija Diskretna Fouriereva transformacija (DFT) je matematična operacija, ki iz vhodnega vektorja x = ( x[0], x[l],..., x[ N -1]) dolžine N izračuna izhodni vektor X X = (X[0],X[l],...,X[N -1]) na podlagi predpisa X H = È x [«]• e pri čemer je m = 0, 1,..., N-1. -2njmn/ N (2) AT7 2B 2B 1 AF =— =-= — N 2BL L (3) Hitri Fourierev transform (FFT) je učinkovit računalniški algoritem, ki rešuje praktični problem čas vzorčenja L frekvenca vzorčenja 2B (dvojna pasovna širina signala) X[0] X[1] X[N-1] I__L AT = 1/2b f0 fl AF = l/l /N-1 Slika 4: Diskretna Fouriereva transformacija: časovni (levo) in frekvenčni (desno) prostor izračuna DFT. 3.2 Splošne omejitve 3.2.1 Spektralno prekrivanje Če vzorčna frekvenca fs ni vsaj dvakrat večja od pasovne širine signala B, je posledica spektralno prekrivanje. Na sliki 5a je prikazan spekter originalnega signala ter označena fs, s katero vzorčimo signal. Spektralni komponenti f3 inf4 segata čez vrednost fs / 2, zato sta napačno rekonstruirani (slika 5b), saj ju najdemo v nizkofrekvenčnem območju. Splošni rešitvi sta dve: povečanje vzorčne frekvence, tako da velja fs > 2B, ali predhodno nizko-pasovno filtriranje signala, ki omeji njegovo pasovno širino na fs /2 (slika 5c). V močnostni elektrotehniki je zanimiva predvsem analiza signalov z osnovno komponento 50 Hz in frekvenčnim spektrom do 5000 Hz, ki izvira iz delovanja močnostnih stikal. 3.2.2 Spektralno prepuščanje Po definiciji DFT predpostavlja, da je opazovani signal periodičen (torej definiran od do +<») s konstantno periodo T. Ker pa je vzorčni čas L omejen na neko končno vrednost, predpostavka neskončno dolgega opazovanja ne more biti zadovoljena. Izkaže se, da je uporaba DFT upravičena, če zagotovimo celoštevilsko številsko razmerje med L in T. Če L ni enak večkratniku osnovne periode T, se namreč v signal vsilijo ali nezvezni prehodi ali prekrivanja (slika 6). Posledično je rezultat DFT napačen. Za ilustracijo si oglejmo uporabo DFT nad signaloma fs / 2 fs Vzorčna frekvenca fs = 2B in število vzorcev N določata ločljivost AF v frekvenčnem prostoru (slika 4) b) f2 c) f4* fl f3* f2 f3 f4 nizkopasovni filter /i /3* /2 Slika 5: Spektralno prekrivanje je posledica prenizke vzorčne frekvence fs: a) originalni signal, b) vzorčeni signal, c) vzorčeni signal s predhodnim filtriranjem T Slika 6: Spektralno prepuščanje œ I l I l I n=0 frekvence f = 50 Hz (T = 20 ms) in f2 = 50,5 Hz (T2 = 19,8 ms). Analizo opravimo dvakrat, in sicer pri enaki vzorčni frekvenci fs, toda različnem času vzorčenja L (tabela 1). Tabela 1: Parametri DFT analize primer 1 primer 2 Število vzorcev N 1024 2048 Vzorčna frekvenca f [vz/s] 1024 1024 Čas vzorčenja L = N/fs [s] 1 2 primer 1 0 -100 T3 (200 -300 ■v t 0 -100 T3 (200 primer 2 = 50,0 Hz 50,5 Hz 101 102 frekvenca (Hz) 10 102 frekvenca (Hz) 0- -20- Oí ■n < -40- -60- -80 10 —brez okna — z oknom ,— / ublažimo nezveznosti na mejah. Njihova prednost je, da se izboljša AF, a na račun zmanjšane amplitude signalov v frekvenčnem prostoru. 3.2.3 Ograjni učinek Pri detekciji ZRP je ciljna frekvenčna komponenta fZRP odvisna od sinhronske frekvence f0 in trenutne obremenitve, podane s slipom s Slika 7 prikazuje spektra signalov z različnima časoma vzorčenja (primera 1 in 2). V primeru 2 zagotovimo, da je L večkratnik periode T2, medtem ko v primeru 1 to ne velja. DFT vrne v primeru 1 popačen frekvenčni spekter za signal f2 = 50,5 Hz, medtem ko je v primeru 2 spekter istega signala pravilno ugotovljen. Tudi v praksi se lotimo problema spektralnega prepuščanja največkrat tako, da podaljšamo čas zajemanja L, katerega vrednost naj teži k večkratniku osnovne periode T. Tako se harmonsko popačenje zaradi (morebitne) nezveznosti oz. prekrivanja na mejah koncentrira v območju nizkih frekvenc. Zato je njihov vpliv v visokofrekvenčnem območju zmanjšan. Razlog tiči v tem, da se osnovni harmonik signala premakne v desno smer spektra, medtem ko se harmonsko popačenje zaradi nezveznosti na mejah koncentrira v območju nizkih frekvenc. Obenem se poveča frekvenčna ločljivost AF = 1 / L. Končni čas zajemanja L ima vedno za posledico končno frekvenčno ločljivost AF. Podaljševanje L poveča ločljivost pripadajočega frekvenčnega spektra. Druga rešitev je uporaba oken (slika 8), s katerimi zajetim vzorcem dodamo različne uteži ter tako fzRP = (1 + 2ks)J[, k = 1,2,3... (4) 102 frekvenca (Hz) Slika 8: Spekter signala s f2 = 50,5 Hz z uporabo Hanningovega okna (parametri zajema so enaki primeru 1 iz tabele 1) Zaradi diskretizacije v frekvenčnem prostoru DFT izračuna vrednosti spektra zgolj pri ekvidistančnih frekvencah, ki so celoštevilski večkratniki osnovne frekvence (1 / L). Zato vedno obstaja možnost, da nam fzRp ostane zakrita, tj. ciljna komponenta je zaradi kvantizacijskega učinka skrita med dvema komponentama. Z drugimi besedami to pomeni, da ne moremo zagotoviti frekvence fZRP v spektru. Pojav imenujemo ograjni učinek. V takšnem primeru se energija „nevidnih" komponent prelije v tiste harmonike, ki so sicer vidni v spektru. Posledično bo prišlo do napake tako v frekvenci kot amplitudi spektralnih komponent (slika 9). V [8] najdemo algoritme, ki na podlagi vidnih harmonikov aproksimirajo ciljne/resnične komponente. Na sliki 9 zgoraj je spekter izvornega signala, ki vsebuje komponente pri 49,83 Hz, 49,85Hz in 49,87 Hz. Signal vzorčimo (tabela 2) ter uporabimo DFT. Dobljeni spekter prikazuje slika 8 spodaj. Ker je spekter diskreten z ločljivostjo AF = 0,1 Hz, zgornje tri komponente ne morejo biti predstavljene z natančno eno komponento. Nasprotno, vsaki izvorni komponenti ustreza skupek več komponent z relativnim vrhom pri tisti diskretni frekvenci, ki je najbližja izvorni komponenti. Tabela 2: Parametri vzorčenja Število vzorcev N 10240 Vzorčna frekvenca f [vz/s] 1024 Čas vzorčenja L = N / fs [s] 10 Ločljivost [Hz] 0,1 Slika 7: Spekter signalov f in f2 pri različnem času vzorčenju L Posledice ograjnega učinka omejimo s povečevanjem ločljivosti AF, kar zahteva daljši čas zajemanja L. Obenem je povečana AF zelo dobrodošla pri specifičnih pogojih (nizka obremenitev, stroj velikih moči). fZRP je namreč v neposredni okolici f0, zato je ločljivost bistvena za njuno razločitev. Tabela 3: Povzetek rešitev pri uporabi DFT Problem Rešitev Spektralno prekrivanje povečanje vzorčne frekvence, predhodno nizkopasovno filtriranje Spektralno prepuščanje podalj šan čas zajemanja L uporaba oken_ Ograjni učinek podalj šan čas zajemanja L 49.8 49.9 frekvenca (Hz) a 0.5 g 49.8 49.9 frekvenca (Hz) 50.1