i
i
“Strnad-meti” — 2010/5/12 — 11:20 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 13 (1985/1986)
Številka 2
Strani 86–91
Janez Strnad:
METI
Ključne besede: fizika, mehanika, kinetična energija, zračni upor.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/13/13-2-Strnad.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
METI
Presek se je že dotaknil skokov in tekov. Kaj. ko bi se zdaj lotil druge lahko-
atletske discipline - metov? Da bi metalec vrgel orodje čim dlje, ga pospeši do
čim večje hitrosti in usmeri pod najugodnejšim kotom proti vodoravnici. Tako
ločimo pri metu prvi del - pospeševanje telesa - in drugi del - njegov let. Kot
se spodobi matematično-fizikalno-astronomskemu listu, bomo namesto
"orodje" pisali kar "telo" .
Med pospeševanjem deluje na telo sila metalčeve roke, ki opravi delo A .
To delo določa hitrost v, s katero zapusti telo z maso m metalčevo roko:
(1)
Kaj je sila? Intuitivno m islimo, da vemo , kaj ta beseda pomeni. Pojem je
nastal ob dejanjih, kakor so potiskanje, metanje, vlečenje ali aktiviranje mišic;
ki sp remlja vsako tako dejanje. V splošni obliki pa pojem daleč presega te pre-
proste primere .
A.Einstein, L.lnfeld, Razvoj fizike,
Mladinska knjiga , Ljubljana 1962, str. 19
Pospeševanje. Kot je v mehaniki navada, izhajamo iz Newtonovega zakona:
sila je masa krat pospešek. Zapišimo ga za primer, da se telo giblje premo , da
pred pospeševanjem, ki se začne v času t = O, miruje in da se sila F ne spremi-
y
x =X' - Y
x
X'
.......:.;.;.;.;.::::: .;.;::.;::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::: .;.:.:.:.:.:.: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::' \;:::;:::::.:::.; .. ,
1....- - - - - - - - - - - ....,..",--- - - - - - - - - - · :
Slik a 1. Razmere pri poševnem metu pod kotom 45°
86
nja s časom . Potem se tudi pospešek a = vit ne spreminja s časom ; v je pri tem
hitrost , ki jo ima telo v času t . V tem primeru povzema zakon enačba
F = mvlt
Pot s telesa dobimo, ko povprečno hitrost pomnožimo s časom. Povprečna
hitrost je (' /2)v, saj je hitrost na začetku pospeševanja enaka nič, nato pa ena-
komerno narašča in doseže ob času t vrednost v. Tako imamo za pot
s = .L ~t
2
Pomnožimo to enačbo z zapisanim Newtonovim zakonom:
Fs = -'-mv2
2
Produkt sile in poti vpeljemo kot delo, A =Fs, produkt polovičnemase in kva-
drata hitrosti pa kot kinetično energijo telesa, Wk = (' !2)mv
2 • Ugotovili smo
torej, kot pravi izrek o kinetični energiji, da je delo (edine) sile, ki pospešuje
telo, enako spremembi kinetične energije (') . V našem primeru ima telo na za-
četku hitrost nič in kinetično energijo nič, tako da je sprememba kinetične
energije kar enaka končni kinetični energiji.
Let. Let telesa obravnavamo kot poševni met, To je posebna vrsta krivega
gibanja, ki si ga mislimo razstavljeno na vodoravno in navpično gibanje . V
vodoravni smeri se telo giblje enakomerno s hitrostjo vx :
v navpični pa enakomerno pospešeno s težnim pospeškom - g (minus opozarja ,
da kaže pospešek navzdol) in z začetno hitrostjo vy:
y = v t - -'- gt 2y 2
Telo vržemo s hitrostjo v pod kotom tp proti vodoravnici, tako da je na začetku
leta vodoravna komponenta hitrosti Vx = v cose in navpična vy = v sino . Iz
enačbe za x izračunamo čas t =xlv cose in ga vstavimo v enačbo za y:
87
Krivulja, ki jo opisuje ta enačba, sodi med stožnice in jo imenujemo parabola.
Če vržemo telo iz izhodišča x = O, y = O (slika 1), pade na tla v oddaljeno-
sti
x = 2 sin !pcose, v2j g = v2 sin2!p/g
od izhodišča. (To je drugi koren enačbe y = O, prvi je x = O) . Dolž ina meta x
je naj večj a, če ima sinus največjo vrednost 1, sin2!p= 1, in je !p= 45°:
Pri metih v lahki atletiki pade telo v resnici na tla niže , kot ga vrže metalec,
in sicer za višino ramen Y. Ker je nagib tira tudi ob udarcu na tla približno enak
45°, dobimo dolžino meta v enaki višini X, tako da od prave dolžine X' odšte-
jemo Y, torej X = X' - Y (slika 1).
Dolžina meta je sorazmerna s kvad ratom hitrosti, tako da je po enačbi (1)
sorazmerna tudi z delom A :
1 2 1
A=-mv =-mgX
2 2
Zdaj smo si pripravili dovolj enačb, da se lahko lotimo svetovnih rekordov.
S podatki za dolž ino rekordnega meta in maso telesa izračunamo hitrost telesa
v = (gX) 1 / 2 - pr i tem vzamemo za težni pospešek kar 10 mlS2 - in njegovo
kinetično energijo Wk = (1/2) mgX , ko ga metalec spusti. Pri tem upoštevamo
dolžino meta X v enaki višini in zato popravimo dolžino rekordnega meta :
X = X' - Y. Za višino ramen vzamemo približno Y = 1 m.
Preglednica kaže, da je kinetična energija te lesa pri ustrezni disciplini pri
ženskah skoraj pol manjša kot pri moških. Relativna razlika je vsekakor večja
kot pri tekih. Zato primerjamo moške discipline med sabo in ženske med sabo.
Misel, da opravijo vrhunsko trenirani tekmovalci in vrhunsko trenirane tekmo-
valke pri metu na telesu enako delo, približno velja za disk in kroglo , ne pa za
kopje in kladivo.
Kladivo je sploh nekaj posebnega . Metalec namreč pri metu kladiva vrže
kroglo z en.ako maso kot pr i metu krogle, le da je ta krog ia pr itrjena na 1,2 m
dolgi žici, Zica ima vlogo nekakšnega vzvoda, ki omogoči metalcu, da za kroži
okoli navpične osi skozi težišče krogle in svojega telesa in tako veliko učinko­
viteje zavihti kroglo . Poleg tega si pri tem pomaga z obema ro kama , medtem ko
uporablja v drugih disciplinah .eno samo roko. Tudi pri metanju diska in krogle
88
Disciplina
kopje
disk
krogia
kladivo
kopje
disk
krogia
Masa telesa
te lesa m
0,8 kg
2
7,257
7 ,257
0,6
1
4
Dolžina Hitrost
rek. meta v
X'
moški
99,72 m 31 mis
71,86 27
22,22 15
84,14 28
ženske
74,76 27
73,26 27
22,45 15
Kinetična
energija
Wk
400 J
7 10
770
3DOO
220
360
430
Ocena za
silo F
400 N
710
770
3000
220
360
430
zakroži metalec okoli navpične osi, a mnogo manj učinkovito. Pri metu kopja
zakroži roka okoli vodoravne osi. Pred časom so tudi kopje poskusili metati
iz obrata, a so ta način metanja kmalu prepovedali.
Kinetična energija telesa je v trenutku, ko telo zapusti metalčevo roko,
enaka delu sile roke. Če vzamemo , da se sila roke med pospeševanjem ne spre -
minja, in ocenimo pot s, na kateri roka pospešuje telo,z 1 rn, dobimo oceno za
silo roke, navedeno v zadnjem stolpcu preglednice. Sila je tem večja, čim večja
je masa telesa. Metalec krogle ali diska deluje na kroglo ali na disk s približno
tolikšno silo, kot da bi veni roki držal dvignjeno utež za 77 ali 71 kg. Po tem
tudi razumemo, zakaj na kopju opravi sila roke manjše delo . Kopje se zaradi
majhne mase razmeroma hitro um ika roki , tako da ta ne more delovati nanj s
polno silo. Pri podrobnejšem obravnavanju bi bilo treba upoštevati, da je sila
roke odvisna od hitrosti telesa, na katero deluje .
Doslej smo molčali o zračnem uporu. To silo je v računih težavno upošte-
vati. Pri hitrosti, ki jo doseže telo pri metih, je zračni upor sorazmeren s kva-
dratom hitrosti. Zato so enačbe za gibanje, ki ga upoštevajo, dokaj zapletene.
Upor vsebuje namreč kvadrat velikosti hitrosti, tako da nastopa v enačbi za
gibanje v vodoravni smeri tudi navpična komponenta hitrosti in v enačbi za
gibanje v navpični smeri tudi vodoravna komponenta hitrosti.
Zračni upor. V razmerah, kakršne nas zanimajo pri metih, velja za zračni
upor kvadratni zakon: Upor Fu je sorazmeren s kvadratom hitrosti telesa, s ko-
eficientom upora cu ' ki ga določa oblika telesa , s čelnim presekom telesa S in
z gostoto zraka p:
89
Hitro lahko ocenimo razmerje med zračnim upororn kopja in zračnim uporom
krogle. Koeficient upora za kroglo je Cu = 0,45, najmanjši koeficient za telo ri-
bje oblike je 0,04, za kopje pa vzamemo 0,06 . Čelni presek kopja je krog z ra-
dijem 1,3 cm, čelni presek krogle pa krog zradijem 6 cm. Tako dobimo za raz-
merje uporov
{Fu)koPja/fFu)krogla = {+ cupv2rrr2 )kOPje/{+cu pv2rrr2 )krogla =
= (O,06.1,32 .312)/{0,45.62 .152 ) = 0,03
X/(v2jg)
------- ------------------------ ---
I
0,75
0,50
0,25
O .
tp
45° --- ---- -- -- -------- - -- -- --- --
40
30
20
0,01 2 3 5 0, 1 2 3 5 2 3 5 10 2 3 5 100
Slika 2. Izračunana odvisnost kvocienta med doseženo dolžino meta in dolžino meta brez
zračnega upora od kvocienta med težo krogle in uporom pri začetni hitrosti (al, Izraču­
nana odvisnost najugodnejšega kota od kvocienta med težo krogle in uporom pri začetni
hitrosti Ib). Sliki sta posneti po navedenem članku J.A. Zafiraja in J .R. San martina.
90
Pri kopju se zračni upor precej manj pozna kot pri krogli.
. Kako pa se pozna zračni upo r pri gibanju krogle? Sposodimo si rezultate
iz članka J.A. Zafiraja in J.R. San martina Influence ofAir Drag on the Optimal
Hand Launching of a Small, Round Projectile (Vpliv zračnega upora pri metu
majhnega, okroglega telesa z roko) v reviji American Journal of Physics 50
(1982) 59 . Slika 2a kaže odvisnost kvocienta med izmerjeno dolžino meta X
in dolžino meta v2 Ig brez zračnega upora od kvocienta med težo krogle in
uporom pr i zračni hitrosti. Slika 2b pa kaže odvisnost najugodnejšega kota pri
metu od kvocienta med težo krogle in upororn pri začetni hitrosti. Ko vstavi-
mo poleg znanih podatkov še gostoto zraka p =1,2 kg/m 3 , dobimo za upor pri
začetni hitrosti Fu = (1!2)cupv
2
1Tr
2 = 0,5.0,45.1 ,2 kgm- 3.(15ms- 1)2 .3,14.
.(O ,06m) 2 = 0,69 N. Kvocient teže in upora je potemtakem mg/Fu =
= 72,6 N/O,69 N = 105. Z diagramov (slika 2a in 2b) razberemo, da sta pri to-
likšnem kvocientu dolžina meta in najugodnejši kot tolikšna , kot da ne bi bilo
zračnega upora.
Pri metu krogle zračni upor ne igra upoštevanja vredne vloge. Tako je tudi
pri kopju . Nekoliko drugače je pri disku, a iz nekega drugega razloga. Disk z
značilno obliko krožni ka se med metom vrti okoli simetrijske osi in os ostane
med letom približno sama sebi vzporedna. Zaradi tega disk nekoliko spominja
na letalsko krilo in leti dlje, kot če se ne bi vrtel (slika 3).
Slika 3. Dolžina meta diska se podaljša zaradi vrtenja. Slika je vzeta iz znanega učbenika
R.W. Pohla Mechanik,Aku5rik und Warmelehre, Springer, Berlin 1955, str. 74 , iz poglavja
o vrtavkah . Podaljšek dolžine meta je narisan pretirano. Da je vrtenje diska bistveno za
nemoten let , pa se lahko hitro prepričamo,če vržemo podstavek za pivo kot disk. Podsta-
vek zavije s poti. Zračni upor namreč prehitro zavre njegovo vrtenje, medtem ko ne zavre
zaznavno vrtenja diska z mnogo večjo maso .
Čeprav se je sestavek ukvarjal z zelo splošnimi vprašanji, upajmo, da ni
dolgočasil bralcev. Bolj zanimive, a tudi težje postanejo zadeve, ko poskuša
fizik pripomoči vrhunskemu metalcu do daljšega meta. Tedaj natanko opazu-
je gibanje metalca, pri čemer si pomaga s hitro filmsko kamero, s precej bolj
zapletenimi enačbami in - z računalnikom.
Janez Strnad
91