Anleitung Von I-r Franz Seraphin Mozhnik. s/ z u r gesummten Rechenkunst. Ein Handbuch für Alle, welche es in den verschiedenen Be¬ rechnungen des bürgerlichen und kauf¬ männischen Lebens zur Fertigkeit bringen wollen. V o n Franz Mozhnik, Doktor der Philosophie, Lehrer der vierten Klasse an der k- k- Nor¬ malschule in Gör;, und Mitgliede der k. k- Landwirthschafts - Druck von Joseph Blasnik. Vorwort. Wnfängern auf dem kürzesten und leichtesten Wege, ohne dabei der Gründlichkeit zu ver¬ geben, das Wichtigste aus dem ganzen Ge¬ biete der Rechenkunst zuzuführen, ist der Zweck vorliegender Anleitung. Es lag nicht in meiner Absicht ein wissen¬ schaftliches Kunstwerk aufzustellen, worin alle denkbaren Rechnungsarten, und von diesen alle möglichen Fälle durchgeführt erscheinen, ohne Rücksicht, ob das wirkliche Leben solche verlangt oder nicht. Eine solche Richtung, welcher leider in so vielen Rechenbüchern der neuern Zeit gehuldiget wird, glaube ich ohne Bedenken als eine falsche bezeichnen zu dür¬ fen; es geschieht meistens, daß der einem solchen Leitfaden folgende Anfänger über den vielen befondern Fällen, über den zahllosen Nebensätzen und speziellen Regeln zuletzt das Wesentliche und Nothwendige selbst aus dem Auge verliert, daß er Jahre lang die zusam¬ mengesetztesten und verwickeltsten Berechnun¬ gen ausführen lernt, uud zuletzt in die größte Verlegenheit kommt, wenn er die leichtesten Aufgaben des gewöhnlichen Lebens auflösen soll. Werke dieser Art gleichen Bäumen, welche viel blühen, aber keine Früchte bringen. Beim Unterrichte, besonders beim eigentlichen Volksunterrichte muß man es ganz vorzüglich auf Gemeinnützigkeit, Anwendung und prak¬ tische Brauchbarkeit absehen. Ich will gewiß nicht, daß man die Verstandesbildung bei dem Rechnungsunterrichte beseitige, vielmehr bin ich der entschiedenen Ansicht, daß jeder wie immer gestaltete Unterricht im Rechnen, wenn dabei außer der praktischen Befähigung nicht auch die Uebung der Dcnkkraft angestrebt wird, seinem natürlichen Endzwecke wider¬ spricht, und deßhalb unbedingt zu verwerfen ist. Aber ich glaube, der Verstand des An¬ fängers könne eben dadurch am zweckmäßig¬ sten angeregt und geübt werden, daß man ihm praktische Aufgaben, wie sie das wirk¬ liche Leben verlangt, zur Beurtheilung und Ausrechnung vorlegt. Die vorliegende Schrift sollte daher mit Beseitigung aller unfruchtbaren Theorien nur diejenigen Rechnungen enthalten, welche man im Leben und für das Leben braucht, diese jedoch in einen natürlichen Zusammenhang gebracht, und auf bestimmte, klarejund wohl¬ begründete Regeln zurückgeführt', dergestalt,h daß der Rechnende stets auch der Gründe seines Verfahrens sich bewußt wird. In die reine Rechenkunst, welche den ersten. Theil dieses Merkchens bildet, und sich mit dem so¬ genannten arithmetischen Mechanismus befaßt, wurde dasjenige ausgenommen, was dem an¬ gewandten Rechnen zur unentbehrlichen Grund¬ lage dient. Ueberall ist den häufig anwend¬ baren Abkürzungen und Rechnungsvortheilen die verdiente Aufmerksamkeit gewidmet wor¬ den; Vortheile jedoch, welche im wirklichen Leben selten oder vielleicht nie in Anwendung kommen, die eben darum mit Unrecht Vor¬ theile genannt werden, konnten als der prak¬ tischen Tendenz dieser Anleitung zuwider lau¬ fend darin keine Aufnahme finden. Beson¬ dere Sorgfalt habe ich auf die Auswahl und Zusammenstellung der Beispiele verwendet, und dabei durchgängig die neuesten Daten, Preislisten und Kurszettel zu Grunde gelegt. Noch muß bemerkt werden, daß ich bei der Ausarbeitung dieser Schrift vorzugsweise unsere vaterländischen Bedürfnisse im Auge gehabt habe. Das Rechnen ist zwar allent- halben dasselbe, aber die Art, wie es ms Leben eingreift, ist in verschiedenen Ländern verschieden. Damit ein Rechenbuch für die österreichische Jugend den beabsichtigten Nutzen stiften könne, fo muß es offenbar auch für österreichische Verhältnisse bearbeitet werden. Sollte unsere vaterländische Jugend, deren Bildung meine Kräfte zu widmen ich mir zur angenehmen Ehre rechne, aus dieser Anleitung Nutzen ziehen: so fühle ich mich für meine Mühe nach Wunsch belohnt. Görz, im März 1843. Der Verfasser Anleitung z u r gelammten Rechenkunst. ' ' - ° - - s ' UMMBÄ Einleitung. Von der Rechenkunst überhaupt. §. 1. einzelne Ding für sich betrachtet ist eine Ein¬ heit; mehrere Dinge derselben Art bilden eine Mehr¬ heit. So ist z. B- ein Gulden eine Einheit, vier Gulden bilden eine Mehrheit- . Der Ausdruck, womit man die Einheit oder eine bestimmte Mehrheit bezeichnet, wird Zahl genannt- Man unterscheidet ganze und gebrochene Zah¬ len. Ganze Zahlen sind solche, unter welchen man sich die ganze Einheit ein- oder mehrmal verstellt; gebrochene Zahlen aber oder Brüche heißen die¬ jenigen, unter welchen man sich nur einen Theil der Einheit ein- oder mehrmal vorstellt. Z- B- eine Elle, drei Ellen sind ganze Zahlen, weil die erste die ganze Einheit, nämlich eine Elle, einmal, die zweite eben¬ falls die ganze Einheit, aber dreimal, in sich enthält; ein Viertel Elle, drei Viertel Ellen aber sind Brüche, weil man sich darunter nur einen Theil der Einheit, nämlich den vierten Theil einer Elle vorstellt, und zwar unter der ersten Zahl einmal, unter der zweiten dreimal- Wenn man bei einer Zahl nicht auf die Art, sondern nur auf die Menge der Einheiten, welche dar¬ in Vorkommen, Rücksicht nimmt, so heißt sie eine un¬ benannte Zahl; wird aber sowohl die Menge als die Art der Einheiten ausgedrückt, so nennt man sie eine benannte Zahl- Z. B- drei ist eine unbcnannte, drei Gulden eine benannte Zahl; denn bei der ersten 2 ist die Art der Einheiten nicht benannt, bei der zwei¬ ten ist sie benannt; die erste .Zahl kann was immer für Einheiten, die zweite nur Gulden bedeuten. 2. Die Lehre, wie man aus gegebenen Zahlen mit¬ telst bestimmter Veränderungen andere unbekannte Zah¬ len findet, wird die Rechenkunst genannt. Man kann die Rechenkunst in die reine und an¬ gewandte abtheilen. In der reinen Rechenkunst entwickelt man die allgemeinen Rechnungsregeln ohne Bezug auf ein besonderes Bediirfniß des bürgerlichen Lebens; in der angewandten Rechenkunst aber wer¬ den jene allgemeinen Regeln auf die bei den mannigfalti¬ gen Geschäften vorkommenden Berechnungen angewendet. 5. Jede Veränderung einer Zahl besteht in deren Vermehrung oder Verminderung. Beides kann wieder hauptsächlich auf zweierlei Art geschehen. Eine Zahl wird vermehrt, wenn man zu ihr eine oder mehrere beliebig große Zahlen dazu setzt; oder auch, wenn man die Zahl selbst öfters nimmt. Erstere Rechnungsart heißt das Addiren, letztere das Multipliziren. Ebenso wird eine Zahl vermindert, wenn man von ihr eine oder mehrere beliebig große Zahlen weg¬ nimmt; oder auch, wenn man von ihr eine und die¬ selbe Zahl mehrmal hiuwegnimmt, und zwar so vicl- mal, als man kann. Ersteres heißt das Subtrahi- ren, letzteres das Dividiren. Es gibt also vier Hauptrcchnungsarten: das Addiren, Subtrahiren, Multipliziren und Dividiren. Erster Thal. Die reine Rechenkunst. Erstes Hauptstück. Das Rechnen mit urrbenamrten Zahlen. I. Abschnitt. Das Rechnen in ganzen Zahle». 1. Dekadisches Zahlensystem. 4. auf einander folgenden Zahlen mit Worten aussprechen, heißt zählen. Man zählt eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn. Zehn Einheiten für sich betrachtet heißen ein Zehner. Man zählt dann weiter zwei Zehner, drei Zehner, . - . neun Zehner, oder kürzer zwanzig, dreißig, . . . neunzig. Zehn Zehner zusammengcnommen heißen em Hundert. 6 Man zählt wieder zwei Hunderte, drei Hunderte, - . . neun Hunderte. Zehn Hunderte erhalten den Namen Tausend. Auf die nämliche Art wird dann das Zählen weiter fortgesetzt. Tausendmal Tausend nennt man eine Million, eine Million Millionen eine Billion, u. s. w. §. 5. Die Schriftzeichen der Zahlen heißen Ziffern. Man braucht zur Darstellung aller noch so gro¬ ßen Zahlen nur wenige Zeichen; die wirklich gebräuch¬ lichen sind folgende: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, l) , Das erste Zeichen, welches die Nulle heißt, bedeutet das Nichts, die übrigen bezeichnen folgeweise die ersten neun Zahlen. Die Nulle heißt eine unbedeutliche Ziffer, die übrigen neun Ziffern werden bedenkliche genannt. Mit diesen zehn Ziffern lassen sich nun alle denk¬ baren Zahlen darstellen. Jede Zahl, wie groß sie auch sein mag, ist nämlich aus Einheiten, Zehnern, Hunderten, . . . zusammengesetzt; sie wird daher voll¬ kommen bestimmt, wenn man ausdrückt, wie viele Ein¬ heiten , wie viele Zehner, Hunderte, . . . sie enthält- Die Anzahl der Einheiten, Zehner, Hunderte, . . . ist nicht größer als neun, und kann also durch die Ziffern der ersten neun Zahlen ausgcdrückt werden. Man braucht nur noch sichtbar darzustellen, ob eine Ziffer Einheiten, ob sie Zehner, Hunderte, . . bedeutet- Dieses geschieht durch die Folge, in welcher die Ziffern neben einander hingeschrieben werden; man nimmt an, daß jede Ziffer an der ersten Stelle, von der Rechten augefangen, Einheiten, an der zweiten Stelle Zehner, 7 an der dritten Hunderte, ... und überhaupt an jeder folgenden Stelle gegen die Linke, zehnmal so viel bedeutet, als an der nächstvorhergehenden. Diese Zusammenstellung der Zahlen, vermöge welcher jede Ziffer an der folgenden Stelle gegen die Linke das Zehnfache ihres Werthes an der nächstvor¬ hergehenden Stelle bedeutet, wird das Zehnersystem oder das dekadische Zahlensystem genannt. ' §. 6. Beim Aussprechen geschriebener Zahlen wird vorausgesetzt, daß man jede ein-, zwei- und dreiziff- rige Zahl fertig zu lesen wisse. Um dann jede mit beliebig vielen Ziffern geschriebene Zahl auszusprechen, beobachte man Folgendes: Man theile die Zahl von der Rechten angefangen, in Klassen zu drei Ziffern ab; die letzte Klasse kann auch weniger als drei Ziffern haben. Hinter der ersten Klasse setze man einen Punkt, hinter der zweiten einen Strich, hinter der dritten einen Punkt, hinter der vierten zwei Striche, u. s. w. Sodann lese man, von der Linken angefangen, jede Klasse für sich, als wenn sie allein da wäre, und setze beim Punkte das Wort Lausend, beim Striche das Wort Million, bei zwei Strichen Billion, u- s. w. dazu; so ist die Zahl richtig ausgesprochen. So z. B. wird 12'057^354'801 gelesen: zwölf Tausend sieben und fünfzig Millionen, drei Hundert vier und fünfzig Tausend acht Hundert eins. Man braucht die Zahl auch nicht wirklich, son¬ dern nur in Gedanken in Klassen einzuthcilen, und auch nur in Gedanken mit den betreffenden Punkten und Strichen zu versehen; was besonders bei kleinern 8 in dcr Ausübung gewöhnlich vorkommenden Zahlen ohnehin sehr leicht ist. §. 7. Beim An schreib en der Zahlen wird vorausge¬ setzt, daß man die Zahlen unter Lausend recht fertig anzufctzcn wisse. Alsdann kann man auch jede größere Zahl nach folgender Regel mit Ziffern darstcllen: Man schreibe, von dcr Linken angefangen, zuerst jene Zahl an, nach welcher das erste Mal der Beisatz Laufend, Million, . . . gehört wird. Die übrigen Zahlen müssen dann, wie man sie in Abteilungen zu drei ausfpricht, eben so auch in Klassen zu drei Zif¬ fern, nämlich als Hunderte, Zehner und Einheiten, angeschrieben werden. Auf das Wort Million müs¬ sen noch zwei Klassen, auf Laufend eine folgen. Werden in einer Klasse nicht alle drei Bestandtheile d. i. Hunderte, Zehner und Einheiten angegeben, so wird das Fehlende durch Nullen ergänzt. Wenn beim Aussprcchcn der Zahl eine ganze Klasse nicht vorkommt, so werden alle drei Stellen mit Nullen ausgefüllt. Z. B- zwei Lausend fünfzig Millionen, sieben Hundert eilf wird angeschrieben: 2050 000 711. 2. Das Addiren. §. 8. Addiren heißt, gegebene Zahlen zusammenzählen. Die gegebenen Zahlen heißen Posten oder Adden¬ den; und die Zahl, welche beim Addiren herauskommt, die Summe. Ilm anzuzeigen, daß zwei oder mehrere Zahlen zu addiren sind, setzt mau zwischen je zwei derselben das Zeichen -t- (mehr). Man merke hier auch das 9 Gleichheitszeichen — (gleich), welches anzeigt, daß die Zahlen oder Zahlcnvcrbindungen, zwischen welchen es steht, einander gleich sind. Z. B. 2-l- i — 5 wird gelesen: 2 mehr i ist gleich 3, oder 2 und i ist 3- Beim Addiren der Zahlen wird vorausgesetzt, daß man zu jeder ein- oder zweiziffrigen Zahl eine einziff- rige sogleich und fertig zu addiren wisse. §. 9. Für das Addiren dec Zahlen hat man folgende Regeln zu merken: i. Man schreibe die Posten so unter einander, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, überhaupt gleichnamige Stellen unter einander zu stehen kommen; darunter ziehe man einen Querstrich- 2- Man addire zuerst die Einheiten, dann die Zehner, u. s. w., und schreibe die jedesmalige Summe unter die addirten Ziffern; ist sie mehrziffrig, so setze man bloß die Einheiten darunter, die Zehner aber werden zu der nächstfolgenden Reihe weiter gezählt. Die Summe der letzten Reihe wird immer ganz hin¬ geschrieben. Zm zweiten Beispiele hat man: 9 und 7 ist 16, und 8 ist 24 Einheiten d. i. 2 Zehner und 4 Ein¬ heiten , die 4 Einheiten werden angeschrieben, die 2 Zehner aber zur Reihe der Zehner weiter gezählt, in¬ dem man sagt: 2 (welche übrig geblieben sind) und 3 ist 5, und 4 ist 6, die 6 Zehner schreibt man an; 5 und 2 ist 7, und 8 ist 15 Hunderte, welche man ganz hinschreibr. 10 Geübtere Rechner lassen während des Addirens das Wörtchen und, so wie die einzelnen Posten weg, und sprechen sogleich nur die jedesmalige Summe aus. Im zweiten Beispiele würde man sagen: y, 15, 24 (4 wird angeschrieben); 2, 5, 6 (wird angeschrieben); 5, 7, 15 (wird ganz angeschrieben). 10. Um sich von der Richtigkeit der Summe zu über¬ zeugen, wiederhole man dieAddizion noch einmal, und zwar von oben nach unten, wenn man früher von unten nach oben addirt hat. Erhält man in beiden Fällen dieselbe Summe, so kann man dieAddizion als richtig ansehen. 3. Das Subtrahiren. §. 11. Subtrahiren oder abziehen heißt eine Zahl von einer andern wegnehmen. Die Zahl, von welcher abgezogen wird, heißt der Minuend; die Zahl, welche man abzieht, der Subtrahend; und die Zahl, welche beim Subtrahiren herauskommt, der Rest. Der Rest zeigt also an, um wie viel der Minuend größer ist als der Subtra¬ hend; darum wird er auch der Unterschied genannt. Um anzuzeigen, daß eine Zahl von einer andern abzuziehen ist, setzt man zwischen Minuend und Sub¬ trahend das Zeichen — (weniger); z. B. 4— 1 „2 wird gelesen: 3 weniger 1 ist gleich 2. Der Unterschieb muß so beschaffen sein, daß er zum Subtrahend addirt den Minuend gibt. Das Sub¬ trahiren wird also verrichtet, wenn man eine Zahl findet, welche zu dem Subtrahend addirt den Minuend gibt. 11 Beim Subtrahircn wird vorausgesetzt, daß man geläufig abzuziehen wisse, wenn der Subtrahend cin- ziffrig, und der Unterschied kleiner als io ist. §. 12. Für das Subtrahiren zweier Zahlen find folgende Regeln zu beobachten. 1. Man schreibe den Subtrahend so unter den Minuend, daß Einheiten unter Einheiten , Zehner unter Zehner, ... zu stehen kommen, und ziehe darunter einen -Querstrich. 2. Man subtrahire zuerst die Einheiten, dann die Zehner, . . . indem man jedesmal zur Ziffer des Sub- trcchends so viel addirt, daß man die darüberstehende Ziffer des Minuends bekommt; die addirte Ziffer wird unter den -Querstrich gesetzt, und zwar unter diejenige Stelle, wo die Subtrakzion geschehen ist. 3. Ist eine Ziffer des Subtrahends größer als die darüber stehende des Minuends, so denke man sich diese Ziffer des Minuends um io vergrößert, und subtrahire; dagegen muß man dann auch die nächst höhere Ziffer des Subtrahends um i vermehren- Beispiele. Minuend 758 4045 Subtrahend 345 338 Rest 413 3707 Zm ersten Beispiele sagt man: 5 und (3) ist 8; 4 und (1) ist s ; 3 und (1) ist 7. Die Ziffer, welche man jedesmal addiren muß, und welche hier eingeklam- merc ist, wird auch sogleich während des Aussprechens unter den Querstrich angeschrieben. Im zweiten Beispiele müßte man zuerst 8 von 5 abziehen, waS aber nicht möglich ist, da 8 größer ist als s; man vermehrt also 5 um ic>, wodurch man iS 12 erhält; nun läßt sich subtrahiren: zu 8 muß 7 addirt werden, um 45 zu bekommen; die addircs Ziffer 7 setzt man unter den Querstrich. Da die Einheiten im Minuend um io vermehrt wurden, so muß man, damit der Unterschied nicht geändert werde, auch den Subtrahend um 10 Einheiten oder i Zehner vermeh¬ ren, d. i. man vergrößert die nächst höhere Ziffer des¬ selben um 1; 1 und 8 ist 4; zu 4 muß nichts oder t) addirt werden, um die darüberstehende 4 zu erhal¬ ten; die addirte 0 wird in den Rest angeschrieben. 8 kann wieder von 0 nicht subtrahier werden, man vergrößert 0 um 10, so hat man 10; zu 3 muß nun 7 addirt werden, um io zu erhalten; 7 wird ange¬ schrieben. Die folgende Stells im Subtrahend, welche hier leer ist, wo man sich aber o denkt, wird nun um 4 vermehrt, wodurch man 1 hat; zu 1 muß man 8 addiren, damit 4 herauskommt; die addirte 3 wird in den Rest gesetzt. — Man spricht während der Rechnung: 8 und (7) ist 15; bleibt i, und 3 ist 4, und (0) ist 4; 3 und (7) ist 40; bleibt 4, und (3) ist 4. §. 15. Um sich von der Richtigkeit des Restes zu über¬ zeugen, braucht man nur Rest und Subtrahend zu addiren, wodurch, wenn richtig subtrahier wurde, der Minuend herauskommen muß. 4. Das MulLipliziren. §. 14. Multipliziren heißt eine Zahl so ostmal neh¬ men, als eine andere Einheiten enthält. Die Zahl, welche man mehrmal nimmt, heißt der Multiplikand; die Zahl, welche anzeigt, wie oft der Multiplikand genommen werden soll, der Multiplikator; beide zusammen nennet man Fak- 15 toren. Die Zahl, welche bei der Multiplikazion her- auskommr, heißt das Produkt. Wenn von dem Produkte von mehr alS zwei Zah¬ len gesprochen wird, so versteht man darunter das Endprodukt, welches herauskommt, wenn man die erste Zahl mit der zweiten multiplizirt, dieses Produkt dann mit der dritten, das neue Produkt mit der vierten Zahl, u. s, w. multiplizirt. Es ist an sich gleichgiltig, welchen Faktor man als Multiplikand annimmt; am bequemsten ist, den¬ jenigen dafür zu nehmen , welcher mehr bedeutliche Zif¬ fern enthält. Das Zeichen der Multiplikazion ist ein schiefes Kreuz, nämlich X, welches zwischen die Faktoren ge¬ setzt wird; z. B- 8X5-4» wird gelesen: 8 mul¬ tiplizirt mit 5 ist gleich 40. Beim Multipliziren wird vorausgesetzt, daß man je zwei cinziffrige Zahlen geläufig zu multipliziren wisse, was in der Kenntniß des sogenannten Ein mal Eins besteht. 15. I. Eine Zahl wird mit 10, 100, 1000 mul¬ tiplizirt, wenn man ihr rechts 1, 2, 3 Nullen an¬ hängt. Beispiele. t) 256 X io 2) 78405 X lOOO 2060 78405000 8- 16. Eine Zahl wird mit einer einzi sfrigen Zahl multiplizirt, wenn man mit der einziffrigen Zahl zuerst die Einheiten, dann die Zehner, . . . der andern Zahl multiplizirt- Das jedesmalige Produkt wird, 14 wenn es einziffng ist, unter diejenige Stelle geschrieben, welche man multiplizirt hat; ist es aber einziffng, so wer¬ den nur die Einheiten davon an jene Stelle gesetzt, die Zeh¬ ner aber zu dem Produkte der nächst höhern Stelle hinzuge¬ zählt; das letzte Produkt wird immer ganz angeschrieben. Beispiele. i) 712X4 2) 8035 X6 2848 48210 Zm ersten Beispiele sagt man: 4mal 2 ist 8; 4mal 1 ist 4; 4mal 7 ist 28; und schreibt das jedesmalige Produkt unter die multiplizirts Stelle. Zm zweiten Beispiele spricht man: 6mal 3 ist 30 (0 wird angeschrieben), bleibt 3; Kmal 3 ist 18, und 3 ist 21 (1 wird angeschrieben), bleibt 2; 6mal 0, und 2 ist 2 (wird angeschrieben); 6mal s ist 48 (wird ganz angeschrieben). §. 17. lll. Wenn zwei mehrziffrige Zahlen zu mul- tipliziren sind, so beobachte mau folgende Regeln: 1. Man schreibe den Multiplikator so unter den Multiplikand, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, ... zu stehen kommen, und ziehe dar¬ unter einen Querstrich. 2. Man multiplizire den ganzen Multiplikand mit jeder Ziffer des Multiplikators, und fange das jedesmalige Theilprodukt unter diejenige Ziffer des Mul¬ tiplikators zu schreiben an , mit welcher mau multiplizirt. Es ist gleichgiltig, in welcher Ordnung mit den ein¬ zelnen Ziffern des Multiplikators multiplizirt wird; gewöhnlich multiplizirt man zuerst mit den Einheiten, dann mit den Zehnern, u. s. w. 3. Die einzelnen Theilprodukte werden, so wie sie ungeschrieben sind, addirt; ihre Summe ist das ver¬ langte Produkt. 15 Hier muß der ganze Multiplikand mit jeder Ziffer des Multiplikators multiplizirt werden. Wenn mir 3 multiplizier wird, so fängt man das Produkt unter 3 zu schreiben an; wird mit 5 multiplizirt, so beginnt man unter s zu schreiben; wird mir 2 multiplizirt, so fängt man dieses Produkt unter 2 zu schreiben an- 18. IV. Kommen in einem oder in beiden Faktoren rechts Nullen vor, so wird die Multiplikazion ver¬ richtet, wenn man jene Nullen wegläßt, die dann übriggeblicbenen Zahlen mit einander multiplizirt, und ' dem Produkte rechts so viele Nullen anhängt , als ihrer in beiden Faktoren vorkommen. Im ersten Beispiele ist nur mit 4 multiplizirt wor¬ den; dem Produkte hat man die weggelasfencn zwei Nullen wieder angehängt. Zm zweiten Beispiele wird während des Multipli- zircns die Nulle des Multiplikands weggelaffen, aber zuletzt dem erhaltenen Produkte wieder angehängt. 16 Zm dritten Beispiele läßt man die Nullen beider Faktoren weg, hängt aber dann dem Produkte so viele Nullen an, als ihrer beide Faktoren rechts haben, nämlich drei. 19. Die beste Probe über die Richtigkeit des Produktes besteht darin, daß man die Aufgabe noch einmal über¬ rechnet; wenn dann die Produkte übereinstimmen, so darf man die Multiplikazion als richtig annehmen. Zur größern Gewißheit kann man bei der zweiten Mul¬ tiplikazion die Faktoren verwechseln, d. i. denjenigen zum Multiplikand annehmen, der früher Multipli¬ kator war. 5. Das Dividiren. 20. Dividiren heißt eine Zahl in so viele gleiche Lheilc thcilen, als eine andere Einheiten enthält, oder untersuchen, wie oft eine Zahl in einer andern ent¬ halten ist. Die Zahl, welche gcthcilt wird, heißt der Di¬ vidend; die Zahl, welche anzeigt, in wie viele gleiche Lheile der Dividend getheilt werden soll, der Divi¬ sor; und die Zahl, welche beim Dividiren heraus¬ kommt, der Quotient. Der Quotient zeigt also an wie groß ein Lheil ist, oder wie oft der Divisor im Dividende enthalten ist. Aus der Erklärung des Dividirens geht hervor, daß es bald als Theilung, bald als Vergleichung angewendet wird. Das Zeichen der Division besteht in zwei über einander stehenden Punkten, nämlich :, welche man zwischen den Dividend und Divisor setzt; z. B- 17 6 : r — 3 wird gelesen: 6 dividirt durch 2 ist gleich 3. — In der Ausübung setzt man gewöhnlich den Dividend zwischen zwei Striche, und schreibt links den Divisor; der Quotient kommt dann rechts vom Divi¬ dende zu stehen; das frühere Beispiel würde dabei so stehen: 2^3. — Oft wird die Division bloß an- gezeigt, besonders dann, wenn der Dividend kleiner ist als der Divisor; dies geschieht, indem man den Divisor unter den Dividend, und zwischen beide einen Strich fetzt; z. B. -S wird gelesen: 3 dividirt durch 4. Man nennt diese Form des Quotienten die Bruchform. Beim Dividiren wird vorausgesetzt, daß man den Quotienten sogleich zu bestimmen wisse, wenn der Di¬ visor einziffrig, und der Dividend kleiner ist als das Zehnfache des Divisors. §. 21. 1. Eine Zahl wird durch 10, ioo, 1000 dividirt, wenn man ihr rechts i, 2, 3 Ziffern durch einen Beistrich abfchncidet; die links stehenden Ziffern sind der Quotient, die rechts stehenden aber der Rest, welcher noch durch den Divisor zu theilen wäre, was man dadurch anzcigt, daß man den Quotienten aus dem Rest und Divisor in Bruchform hinschreib!. Beispiele- 1) 3420 : 10 — 342 x 6^5 2) 5v73 : 1000 — 5,673 — 5--— 1000 22. H. Eine Zahl wird durch eine er'nziffrige Zahl dividirt, wenn man sie, von der höchsten Stelle ange- 2 18 fangen, Ziffer für Ziffer dividirt. Man untersucht zu¬ erst, wie oft der Divisor in der höchsten Ziffer des Dividenvs, oder wenn diese zu klein ist, in den zwei höchsten Ziffern enthalten ist; die Ziffer, welche die¬ ses anzeigt, wird unter die dividirte Zahl gesetzt. Nun nimmt man die nächste Ziffer des Dividende, und denkt sich derselben, wenn früher ein Rest übriggeblie¬ ben ist, diesen Rest als Zehner vvrangesetzt; man dividirt die so entstandene Zahl und schreibt den Duo¬ tienten darunter; den etwa übriggebliebcnen Rest denkt man sich abermal der folgenden Ziffer des Dividends als Zehner vorangesetzt, und dividirt die dadurch ge¬ bildete Zahl. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man aüe Ziffern des Dividends in Rechnung genom¬ men hat- Bleibt zuletzt ein Rest, so wird der Quo¬ tient aus demselben in Bruchform angesctzt. Beispiele. I) 5i78 : 2 2) 264396 : 5 1726 5287Y^ Im ersten Beispiele spricht man: 3 in S geht imai, blewr 2; zu diesem Reste setzt man die folgende Zif¬ fer des Dividends, nämlich 1, und sagt: 3 in 21 geht ?mal; 3 in 7 geht 2mal, bleibt 1; dieser Rest wwd wieder als Zehner der folgenden Ziffer 8 vorangesetzt, und man hac: 3 in 18 geht 6mal. Im zweuen Bei¬ spiels mußte man, weil 2 kleiner als 5 ist, gleich daS erste Mal untersuchen, wie oft S in den zwei höchsten Stellen, nämlich in 26 enthalten ist. Zuletzt bleibt 1 als Rest, daher wird noch der Divisor s in Bruch- focm darunter geschrieben. §. 25. III. Wenn Dividend und Divisor mehr- ziffrig sind, so beobachte man beim Dividiren folgende Regeln: lö Man ziehe zu beiden Seiten des Dividends einen aufrechten Strich, links schreibt man den Divi¬ sor, rechts kommt nach und nach der Quotient zu stehen; oder man schreibe zuerst den Dividend, dann den Divisor, seße zwischen beide das Divisionszeichen, nach dem Divisor wird das Gleichheitszeichen, und nach diesem der Quotient hingeschrieben. 2- Man fangt bei der höchsten Stelle zu dividi- ren an; man schneidet nämlich im Dividende, von der Linken angcfangen, so viele Ziffern ab, als der Divi¬ sor Stellen har, oder um eine mehr, wenn jene Zif¬ fern kleiner sind als der Divisorg diese abgeschnittenen Ziffern bilden den ersten Dividend. z. Nun untersucht man, wie oft der Divisor in dem ersten Dividende enthalten ist; man erleichtert sich diese Arbeit, wenn man versucht, wie oft die höchste Ziffer des Divisors in der höchsten oder in den zwei höchsten Ziffern des Dividmds enthalten ist; die Zahl, welche dieses anzeigt, ist die erste Ziffer des Quotienten. 4. Man multiplizire den ganzen Divisor mit der gefundenen Ziffer des Quotienten , und ziehe das Pro¬ dukt sogleich wahrend des Multiplizirens von dem ersten Dividende ab, indem man zu jedem einzelnen Produkte Io viel dazu addirt, daß man die nächste Zahl bekommt, welche in der Stelle der Einheiten die entsprechende Ziffer des Dividends hat; was man zum Produkte addirt hat, wird unter diese Ziffer des Dividends an- gelchrieben. Entstehet durch das Addiren eine zweiziff- "ge Zahl, so werden die Zehner davon zu dem fol¬ genden Produkte weiter gezählt. Wenn man in den letzten Stellen nicht abzichen kann, so ist der Quotient zu groß genommen worden; man muß ihn kleiner nehmen. Bleibt ein Rest, dec 2 * 20 eben so groß oder größer ist als der Divisor, so ist der Quotient zu klein angenommen worden; man muß ihn größer nehmen. 5. Zum übriggeblicbrnen Reste wird jedesmal die nächstfolgende Ziffer des Dividends herabgesetzt; die Zahl, welche dadurch entstehet, ist der neue Dividend. Man untersucht dann, wie oft der Divisor in dem neuen Dividende enthalten ist; die Zahl, welche dieses anzeigt, setzt man als eine neue Ziffer in den Quo¬ tienten-, multiplizirt dann damit den ganzen Divisor, und zieht das Produkt von dem betreffenden Dividende ab. Geschieht es, daß der Divisor größer ist als ein Dividend, daß er also in diesem nicht enthalten ist, so schreibt man in den Quotienten eins Nulle, und fetzt sogleich die nächstfolgende Ziffer des Dividends herab. 6. Auf diese Art wird fortgefahren, bis man nach und nach alle Ziffern des Dividends herabgesetzt hat. — Bleibt zuletzt ein Rest, so ist dieser noch durch den Divisor zu dividiren; der Quotient davon wird jedoch nur in Bruchform angezeigt und dem er¬ haltenen ganzen Quotienten angehängt. Beispiel. Es soll 4391 durch 83 dividirt werden. 83^439,oder 439,1 : 83 — 52^§ 241 241 75 75 Da der zweiziffrige Divisor 83 größer ist als die zwei höchsten Stellen des Dividends, so nimmt man die drei höchsten Stellen 439 als ersten Dividend, And sagt versuchsweise: 8 in 43 geht smal; 5 wird in den Quotienten geschrieben; dann wird damit der ganze Dlvksor 83 mulciplizirr, und das Produkt gleich während des Mutciplizirens von dem ersten Dividende 43» abgezogen, indem man sagt: smal 3 ist 45, und 21 st >ß ie le ). n >- d i. n k, d s N t h N (4) ist iS, bleibt 1; die 4, welche man M 45 dazu setzen mußte, um die nächste Zahl zu bekommen, die in den Einheiten S hat, wird sogleich als Rest unter 9 geschrieben; dann sagt man: Zinal 8 ist 40, und der von 19 übriggebliebene Zehner ist 44, und (2) ist 43; weil zu 44 noch 2 addirt werden mußte, um eine Zahl zu erhallen, welche in den Einheiten 3 hat, so wird 2 alS Rest unter 3 eingesetzt. Zu dem Reste 24 setzt man die folgende Ziffer des Dividends 4 her¬ ab, so ist 244 der neue Dividend; man sagt nun: 8 in 24 geht Lmal, schreibt 2 in den Quotienten, multiplizirc damit den ganzen Divisor 83 und zieht das Produkt, wie früher, gleich während des Mul- tiplizirens von dem betreffenden Dividende 244 ab. Der letzte Rest 75 wird mir dem in Bruchform unter¬ schriebenen Divisor den Ganzen des Quotienten an¬ gehängt. §. 24. IV. Wenn im Divisor rechts Nullen vorkom¬ men, so lasse man diese Nullen weg, und schneide im Dividend, von der Rechten angefangeu, eben so viele Ziffern durch einen Beistrich ab. Hierauf dividire man durch den Divisor die links gebliebene Zahl des Divi¬ dends, wodurch der wahre Quotient herauskommt. Zu dem übriggcbliebcnen Reste setze man die abgeschnitte¬ nen Ziffern des Dividends herab, so hat man den wahren Rest, welcher zum ganzen Divisor gehört. Beispiel. 344,63 : 300 "4 30s Hier schneidet man im Dividende zwei Ziffern rechts ab, und dividirt die übrigen durch 3, wodurch man 414 erhält; dabei bleibt' 2 als Rest, diesem hängt man die abgeschnittenen Ziffern 64 an, und schreibt darunter den ganzen Divisor. 22 §. 25. Die Probe für die Richtigkeit der Division be¬ stehet darin, daß man den Duotienten mit dem Divi¬ sor multiplizier, und den etwa gebliebenen Rest zum Produkte addirt; erhalt man dadurch den Dividend, so ist richtig dividirt worden. 6. Vortheile beim Multipliziren und Divi- diren ganzer Zahlen. n. M ul ti p li k a z i o n s v o rt h ei l e. §. 20. 1. Wenn im Multiplikator eine l vorkommt, so laßt man den Multiplikand ungeändert als das erste Lheilprodukt stehen, multiplizirt ihn dann bloß mit den andern bedeutlichen Ziffern, schreibt die dadurch erhaltenen Theilprodukte gehörig darunter, und addirt alle diese Zahlen- Beispiele. l) Z42tX4l 2) 56o?.öXro8 13Ü84 448584 -40261 6055884 3) Y785 X90O I 4) 4312 X! 23 88065 8624 88074785 12^)36 530576 Im ersten Beispiele multiplizirt man bloß mir 4, und rucke daS Produkc um eine Stelle links, weil die 4 um eine Stelle weiter zur Linken von - ist. Im zweiten Beispiele schreibt man das Produkc mir 8 um zwei Stellen rechts heraus, weil 8 um zwei Stellen rechts von 1 stehet. 23 Zm dritten Beispiele multiplizirt man mit S, und schreibt dieses Produkt um drei Stellen links hinein, weil 9 auf der dritten Stelle links von 1 steht. Zm vierten Beispiele endlich wird das Produkt mit 2 um eine, jenes mit 3 um zwei Stellen rechts ge¬ rückt, weil eben diese Stellung auch 2 und 3 gegen 1 haben. §. 27. 2- Mit i i wird eine Zahl multiplizirt, wenn man die erste Ziffer rechts ungeändert hinschreibt, dann zur ersten die zweite, zur zweiten die dritte, und überhaupt zu jeder Stelle die nächst höhere dazu addirt. Beispiel. 36423 X l t 422653 Man sagt: 3 ist 3, und setzt dis 3 unter den Strich; 3 und 2 ist 5 , und schreibt die 5 an die Stelle der Zehner; 2 und 4 ist 6, wird angeschrie¬ ben; 4 und 8 ist 12, die 2 setzc man an die Stelle der Tausende, die 4 aber merkt man sich, und fährt fort: 1 und 8 ist 9 , und 3 ist 42, 2 wird ange- schrieben, 1 aber weiter gezählt; 4 und 3 ist 4, und 0 (welche man sich links von 3 denken kann) ist 4, welche man wieder anschreibt. §. 28. 3. Mit 25 wird eine Zahl multiplizirt, wenn man sie mit 100 multiplizirt, und das Produkt dann durch 4 dividirt. — Mit 125 wird eine Zahl mul¬ tiplizirt, wenn man sie mit 1000 multiplizirt, und das Produkt durch 8 dividirt. Beispiele. 5y86goX 25 2) 37y5oo°Xl25 —-: 4 -- » 14Y65O 474375 24 §. 29. 4- Wenn der Multiplikator ein Produkt zweier Faktoren ist, mit denen man bequem multipliziren kann, so multiplizirt man zuerst mit dem einen Faktor, und das Produkt dann mit dem andern Faktor. Beispiele. i) 9206X49 2) 21956X33 -x 7 -x r 64442 65868 - X 7 - X " 451094 724548 Zm ersten Beispiele ist der Multiplikator 4g^7X7, daher mulriplizirr man zuerst mit 7, und das Produkt wieder mit 7. Zni zweiten Beispiele ist 83 — 3x11, daher wird zuerst mit 3, uud das Produkt noch mir 11 multiplizirt. §. 30. 5. Wenn der Multiplikator aus lauter Neunern besteht, mit Ausnahme der Einheiten welche auch eine andere Ziffer sein können, so addirt man zu den Ein¬ heiten so viel, daß man 10 zur Summe bekommt; dadurch erhält man 100, 1000, 10000, . man multiplizirt nun zuerst mit 100, 1000, 10000, . . ., dann multiplizirt man noch mit der Ziffer, welche man zu den Einheiten dazu addiren mußte; das zweite Pro¬ dukt wird hierauf von dem ersten subtrahirt. Beispiel. 3925 0 0 0 X 992 11925 3963075 Man addirt hier zu 997 noch 3 Einheiten, so be¬ kommt man 1000; nun multiplizire man die gegebene Zahl mir 1000, aber dadurch bekommt man zu viel, 25 und zwar das 3fache zu viel; man muß daher die gegebene Zahl 3S75 noch mit 3 multipliziren, und die¬ ses 3fache iiSLZ von dem früher erhaltenen lOOOfachen, nämlich von 3S7S000, abzichen. §. Si¬ tz. Wenn der Multiplikator aus lauter Neunern besteht, mit Ausnahme ter höchsten Ziffer, welche nicht nothweudig y sein muß, so vermehrt man ihn um i; dadurch erhält man eine Zahl, welche aus einer einzi¬ gen bedeutlichen Ziffer mit rechts folgenden Nullen be¬ stehet; man multiplizirt nun mit dieser Zahl, und seht das Produkt so unter den Multiplikand, daß zuerst die Nullen darunter zu stehen kommen, dann erst die übri¬ gen Ziffern des Produktes; der Multiplikand wird so¬ dann von dem darunter stehenden Produkte abgezogen. Beispiel. 7296 X 5Y99 4377ÜOOO 43768704 Addirt man zu 5SSS noch 1 dazu, so hat man 6000; man multiplizirt nun die gegebene Zahl mit 6000, indem man zuerst drei Nullen hinschreibt, und dann mit 6 multiplizirt; aber das Produkt ist um dastfache des Multiplikands d. i. um den Multiplikand selbst zu groß; man muß daher noch den darüber stehenden Multiplikand abziehsn. b. Divisionsvortheile. 52. i. Durch 25 wird eine Zahl dividirt, wenn man sie mit 4 multiplizirt, und das Produkt durch ioo dividirt. — Durch 125 wird eine Zahl dividirt, wenn 26 man sie mit 8 multiplizirt, und das Produkt dann durch looo dividirt. Beispiele. i) 04625:25 2) 2157 : 125 -X4 -°-X- 1385,00 — 1385 17,256 — 17^ZäZ 33. 2. Wenn der Divisor ein Produkt zweier Fakto¬ ren ist , durch welche man bequem dividircn kann, so dividirt man zuerst durch den einen Faktor, und den Quotienten dann noch durch den andern Faktor. Beispiel. 466320 : 48 -- s 77720 -: s 97 15 Weil 48^:6X 8 ist, so wird zuerst durch 6, und der O.uoticnl noch durch 8 dwidirt. 7. Theilbarkeit der Zahlen. §. 34. Eine Zahl heißt durch eine andere theilbar, wenn sie sich durch dieselbe ohne Rest dividiren laßt. Z. B- 35 ist durch 5 theilbar, weil 5 in 35 genau 7>nal enthalten ist, und also kein Rest übrigbleibt; 37 aber ist durch 5 nicht theilbar, weil da ein Rest übrigbleibt. Die Kennzeichen für die Theilbarkeit der Zahlen sind folgende: 1. Durch 2 sind alle geraden Zahlen theilbar, d. i. solche, welche in der Stelle der Einheiten 0, 2, 4, 6 oder 8 haben; z. B. 30, 42, 154, 216, 308. 27 Jene Zahlen, welche in der Stelle der Einheiten 3, 5, 7, 9 haben, heißen ungerade Zahlen, und sind nicht durch 2 theilbar; z. B- 5i, 83, 12s, 217, 1249- 2. Durch 3 sind alle Zahlen theilbar, deren Zif¬ fernsumme durch 3 theilbar ist; z. B. 84 ist durch 3 rheilbar, weil die Ziffernfumme 12 durch 3 theilbar ist; eben so sind 375, 2691, 14070 durch 3 theilbar. Beim Addiren der Ziffern laßt man die 3, 6, 9 weg. z. Durch 4 sind alle Zahlen theilbar, deren zwei niedrigste Ziffern rechts durch 4 theilbar sind; z. B- 136, 3052, 100716- 4. Durch 5 sind alle Zahlen theilbar, welche in der Stelle der Einheiten 0 oder 5 haben; z. B- 25, 60, 175, 25700- 5- Durch 10, 100, 1000 sind olle Zahlen theilbar, welche rechts 1, 2, 3 Nullen haben. Sv sind 340, 2700 durch 10; 5200, 2163000 durch 100; 28000, 908000 durch 1000 theilbar. Die Kennzeichen für die Theilbarkeit durch die übrigen Zahlen sind zusammengesetzter, und daher für die Anwendung minder brauchbar. n. Abschnitt. Das Rechne» in Brüchen. §. 55- Ein Bruch ist eine Zahl, welche dadurch ent¬ stehet, daß man ein Ganzes in mehrere gleiche Theile heilet, und einen oder mehrere solche Lheile nimmt. 28 Zu einem Bruche sind daher zwei Zahlen erfor¬ derlich: die eine, welche angibt, in wie viele gleiche Theile das Ganze getheilt wird, welche also die Lheile benennt, sie heißt der Nenner; und die andere, welche anzeigt, wie viele solche Theile genommen werden, welche also die Theile zählt, sie heißt der Zähler. Man schreibt den Nenner unter den Zähler, und trennt beide durch einen Strich. Im Bruche A oder ^/g (fünf Achtel:) ist 8 der Nenner, und zeigt an, daß das Ganze in 8 gleiche Lheile getheilt sei; 5 ist der Zähler, und gibt an, daß von solchen gleichen Theilen 5 genommen werden- Man unterscheidet gemeine und Dezimalbrüche. Dezimal- oder zehntheilige Brüche heißen diejenigen, deren Nenner io, ioo, 1000, . ., über¬ haupt t mit lauter Nullen ist; alle übrigen werden gemeine Brüche genannt. So sind ?Fs, iZsö, - - - Dezimalbrüche, L - - gemeine Brüche. 1. Gemeine Brüche. 56. Die gemeinen Brüche werden in echte und un¬ echte eingrthcilt. Ein echter Bruch ist derjenige, dessen Zähler kleiner ist als der Nenner, welcher daher weniger als ein Ganzes bezeichnet; jeder andere ist ein unechter Bruch, er ist gleich einem Ganzen oder großer als ein Ganzes, je nachdem der Zähler gleich dem Nenner oder großer als der Nenner ist. ß, 8-, sind echte, Z, V' --'s - unechte Brüche. 29 Aus einem unechten Bruche werden die Ganzen herausgezogen, wenn man den Zähler durch den Nenner dividirt, z. B. -4 — , . 12 — -r - 2.7 —. L 4 — » , 4—0 , 4 — " So oft das Endergebniß einer Rechnung ein un¬ echter Bruch ist, muß man immer die Ganzen heraus- ziehen. 57. Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und einem angehängten Bruche bestehet, heißt eine ge¬ mischte Zahl; z. B- 5§, 204/^- Wenn bei der Division ganzer Zahlen ein Rest übrig bleibt, so ist der Quotient immer eine gemischte Zahl. Eine gemischte Zahl einrichten heißt, sie in einen unechten Bruch verwandeln. Eine gemischte Zahl wird eingerichtet, wenn man die ganze Zahl mit dem Nenner multipli- zirt, und zum Produkte den Zähler addirt; diese Summe ist der Zähler, dec Nenner wird ungeäudert beibehalten; z. B- ; 7^ -- z-r- 58. Wenn man den Zähler eines Bruches bei ungeän- dertcm Nenner wachsen läßt, so wird der Werth des Bruches großer, weil man dadurch mehrere eben so große Theike erhält- Wenn man hingegen den Nenner eines Bruches bei ungcäudertem Zähler wachsen läßt, so wird der Werth des Bruches kleiner, weil durch die Vergrößerung des Nenners das Ganze in mehrere gleiche Theile zu theilen ist, also die einzelnen Lheile kleiner 50 werden, und von diesen kleinern Lheilen eben so viele zu nehmen sind, als früher. Der Werth eines Bruches bleibt ungeändert, wenn man Zähler und Nenner mit einerlei Zahl multiplizirt; denn so vielmal mehr Lheile der neue Bruch enthält, eben so vielmal kleiner sind die einzelnen Theile; z. B. -2 2X4 8 3X4 l2 §. 39. Um zwei oder mehrere Brüche hinsichtlich ihrer Größe vergleichen, um sie addiren und subtrahiren zu können, müssen sie dieselbe Benennung d. i. gleiche Nenner Haden; wenn sie daher ungleiche Nenner Haden, so müssen sie erst auf einen gemeinschaftlichen Nenner gebracht werden, und zwar ohne Aenderung des Werthes- Da die Verwandlung der Brüche, ohne Len Werth zu andern, durch Multiplikation des Zäh¬ lers und Nenners geschieht, so hat man, um einen gemeinschaftlichen Nenner zu finden, nur eine Zahl zu suchen, in welcher alle Nenner der gegebenen Brücke ohne Rest enthalten sind. Um die Rechnungen so ein¬ fach als möglich zu führen, pflegt man die Brüche allezeit auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner zu bringen. Bei der Auffindung des kleinsten gemeinschaftlichen Nenners sind drei Fälle zu unterscheiden: j. Wenn kein Paar von Nennern durch dieselbe Zahl theilbar ist, so multiplizirt man alle Nenner mit einander; das Produkt ist dann der kleinste allgemeine Nenner. 2. Wenn alle kleinern Nenner in dem größten 3l ohne Rest enthalten sind, so ist dieser größte Nenne" selbst der kleinste gemeinschaftliche Nenner. Z. Wenn alle oder einige Nenner durch dieselbe Zahl theilbar sind, jedoch nicht alle kleinern Nenner in dem größten als Faktoren Vorkommen, so findet man den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner auf fol¬ gende Art: s. Man schreibe die gegebenen Nenner in eine Reihe neben einander, und streiche die kleinern Nenner, welche in den größern ohne Rest enthalten sind, durch. fi. Dann sehe man, ob von den ubriggebliebenen Nennern nicht zwei oder mehrere Lurch eine ge¬ meinschaftliche Zahl theilbar sind. Ist dieses der Fall, so ziehe man darunter einen Querstrich, setze links die Zahl, durch welche jene Nenner theilbar sind, und dividire durch dieselbe; die Nenner, welche dadurch nicht theilbar sind, werden unver¬ ändert heruntergesetzt, von den übrigen kommen nur die Quotienten herab. o Die erhaltenen neuen Zahlen kürzt man, wo mög¬ lich, auf dieselbe Weise ab, und wiederholt diese Arbeit so lange, bis kein Paar der unter dem Querstriche erhaltenen Zahlen durch eine gemein¬ schaftliche Zahl mehr theilbar ist. Endlich multiplizirt man die Zahlen unter der lehren Querlinie und die links flehenden Zahlen, durch welche man dividirt hat, mit einander; das Produkt ist der kleinste Hauptnenner. Hat man den gemeinschaftlichen Nenner mehrerer Brüche gefunden, so erhalt man den neuen Zähler eines jeden Bruches, indem man untersucht, mit welcher Zahl der frühere Nenner multiplizirt werden muß, um den neuen Nenner zu erhalten, oder ww oft der frühere 52 Nenner in dem neuen enthalten ist; mit derselben Zahl d. i. mit dem gefundenen Quotienten muß dann auch der frühere Zähler multiplizier werden; das Produkt gibt den Zähler des neuen Bruches, welcher mit dem gegebenen Bruche einerlei Werth hat. Man zieht gewöhnlich neben den gegebenen Brüchen eine aufrechte Linie, setzt obenan den kleinsten ge¬ meinschaftlichen Nenner; recht? schreibt man dann die erhaltenen Quotienten, und noch weiter, nachdem man einen zweiten aufrechten Strich gezogen, die Produkte, welche die neuen Zähler bilden. Beispiele. i. Mau bringe die Brüche 7»' 7g. aus die kleinste gemeinschaftliche Benennung. Da die Nenner 4,5,9 durch keine gemeinschaft¬ liche Zahl theilbar sind, so ist ihr Produkt 4X5X 9 — ^80 der kleinste allgemeine Nenner; man hat also 20 1S5 / /130 72 / /180 80 / /180 >35 folglich V4 72 7? 80 V» r8o s /4 -l' 2. Die Brüche /7 7-' 7-n 7»- sollen gleich¬ namig gemacht werden. Hier sind alle kleinern Nenner in dem größten 12 ohne Rest enthalten, also ist 12 der kleinste ge¬ meinschaftliche Nenner, und man hat 12 daher — °/7 G/ b, '12 /12 35 I. Man soll die Brüche */,, 77 "/§o auf den kleinsten Hauptnenner bringen. Man sucht zuerst den kleinsten allgemeinen Nenner: §. 40. Wenn man den Zähler eines Bruches verkleinert ohne dabei den Nenner zu ändern, so wird dadurch der Werth des Bruches kleiner, weil man wenigere eben so große Lheile erhält- Läßt man hingegen den Nenner des Bruches bei ungeändertem Zähler kleiner werden, so wird der Werth des Bruches vergrößert, weil durch das Verkleinern des Nenners das Ganze in wenigere Lheile zu thcilen ist, also die einzelnen Lheile größer ausfallen, und von diesen größer» Lheilen eben so viele, als vorhin, zu nehmen sind. Der Werth eines Bruches wird nicht geändert, wenn man Zähler und Nenner durch einerlei Zahl dividirt; denn so vielmal weniger Lheile der neue Bruch 3 54 enthält, eben so vielmal großer sind die einzelnen Theile; z. B< in 18 : 6 3 24 24 : 6 4 41. Einen Bruch ohne Aenderung des Werthes mit kleinern Zahlen darstellen, heißt den Bruch ab kürzen. Ein Bruch, dessen ^Zähler und Nenner beide durch dieselbe Zahl thcilbar sind, wird abgekürzt, wenn man Zahler und Nenner durch jene Zahl divi- dirt; z. B- 5 35 7 80 16 3 36 12 57 ly 1 « 21 200 20 5 240 24 6 So oft in dem Endergebnisse einer Rechnung ein Bruch erscheint, der sich abkürzcn laßt, soll man ihn immer auf eine einfachere Form bringen. §. 42. Beim Addiren der Brüche beobachte man fol¬ gende Regeln: 1. Wenn die Brüche gleiche Nenner haben, so werden sie addirt, wenn man die Zähler addirt, und den gemeinschaftlichen Nenner unter die Summe schreibt; z. B- 35 2- Haben die Brüche ungleiche Nenner, so müs¬ sen sie zuerst auf einen gemeinschaftlichen Nenner ge¬ bracht werden; dann werden die neuen Zähler addirt, und unter ihre Summe der Hauptnenner gesetzt; z. B. 3. Kommen unter den Addenden ganze oder ge¬ mischte Zahlen vor, so addirt man zuerst die Brüche, dann die Ganzen; wenn beim Addiren der Brüche auch Ganze herauskommen, so werden sie zu den Ganzen weiter gezählt; z. B. 30 Im zweiten Beispiele werden die Brüche auf gleiche Nenner gebracht, und dann addirt; die Summe ent¬ halt i Ganzes und 'o/,, ; der Bruch wird angeschrie¬ ben, i Ganzes aber zu den Ganzen in den Adden- den gezählt. 5 * 36 §. 45. Beim Subtrahiren der Brüche sind folgende Regeln zu beobachten: i. Wenn die Brüche gleiche Nenner haben, so werden sie subtrahirt; wenn man die Zahler abzieht, und unter den Rest den gemeinschaftlichen Nenner schreibt; z. B- 4/ 4/ >/ /0 /» /2 2. Haben die Brüche ungleiche Nenner, so wer¬ den sie zuerst auf eine gemeinschaftliche Benennung gebracht; dann subtrahirt man die neuen Zähler, und setzt unter ihren Rest den gemeinschaftlichen Nenner; z. B. 2- Wenn eine ganze Zahl von einer gemischten abzuziehen ist, so wird der Bruch sogleich herabgesetzt, und die Ganzen allein werden abgezogen; z. B- 4. Wenn ein Bruch oder eine gemischte Zahl von einer ganzen Zahl abzuziehen ist, so addirt man zu dem Bruche des Subtrahends so viel hinzu, daß man ein Ganzes erhält; was man hinzuaddirt, wird sogleich in den Rest geschrieben; dann vermehrt man 37 den Subtrahend um i Ganzes, und subtrahirt die Ganzen; z. B- 5 4y 125 7« 15 V» 787° 47« 337- 46 7, Im ersten Beispiele sagt man: 7« und ('/«) ist 4' 1 (um welches der Subtrahend vermehrt wird) und (4) ist s. 5- Wenn ein Bruch oder eine gemischte Zahl von einer gemischten Zahl abzuziehen ist, so ist es am besten, zuerst die gemischten Zahlen einzurichten, und dann erst zu subtrahiren; z. B. 4 15 57- — '7, 2 22 97- — '7- 5 145 7« 7« l 3 67- — 'V- 3 102 H 47« '7.° - 2'7... §. 44. Beim Multipliziren dec Brüche sind folgende Regeln zu beobachten; 1. Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl mul¬ tiplizier, wenn man den Zähler damit multiplizirt, und diesem Produkte den Nenner des Bruches zum Nenner gibt; oder, wenn man den Nenner durch die ganze Zahl dividirt, und diesen Quotienten als Nen¬ ner eines Bruches annimmt, dessen Zähler dec frühere Zähler ist. Die zweite Verfahcungsart läßt sich nur dann anwenden, wenn der Nenner des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. Z. B- 26 Daraus folgt: Ein Bruch mit seinem Nenner multiplizirt gibt den Zähler; z. B. 7- X 5 - >7s - 3 7« X 8 - '7» - 7 2. Um eine gemischte Zahl mit einer ganzen Zahl oder umgekehrt zu multipliziren, so multiplizirt man mit der ganzen Zahl zuerst den Bruch, dann die Gan¬ zen der gemischten Zahl; kommen bei der Multipli- kazion des Bruches auch Ganze heraus, so werden sie zu dem Produkte der Ganzen addirt; z. B. 37» X 3 — 11'/,; denn 7. X 3 — 7» — 27» io X 57s — 537»; denn 7s X ro^: °7s — '7» — 37» 3. Eine ganze Zahl wird mit einem Bruche mul¬ tiplizirt, wenn man sie mir dem Zähler multiplizirt, und dieses Produkt durch den Nenner Lividirt; z. B- 2 216 X 2 432 2 t 6 x — —-—— — — — 144 3 3 3 » , 2032 508 X "/z --- 406 5 4. Wenn ein Bruch mit einem Bruche zu mnl- tipliziven ist, so mnltiplizire man Zähler mit Zähler, und Nenner mit Nenner; das Produkt der Zähler wird zum Zähler, das Produkt der Nenner aber zum Nenner angenommen; z. V. 3 1 3 X t 5 5^, 3 15 5 4 2 4X2 8 6 8" 48 16 5. Wenn ehe gemischte Zahl und ein Bruch, oder zwei gemischte Zahlen mit einander zu multipli- ziren sind, so ist am bequemsten, die gemischten Zah¬ len emzunchtcn, und dann erst zu multipliziren; z. B- 59 2 V. X 7- - "/4 X '/l - - "5 - 275 67» X 27- - "/b X V. - "7i- - 167,- §. 45. Beim Dividiren der Brüche verfahre man nach felgenden Regeln: 1. Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl divi- dirt, wenn man den Zahler dadurch dividirt, und dem Quotienten den ungeänderten Nenner zum Nenner gibt, oder, wenn man den Nenner mit der ganzen Zahl mnltiplizirt, und diefes Produkt dem ungeänderten Zähler als Nenner unterschreibt- Das erste Verfahren ist nur dann anwendbar^ wenn sich der Zähler durch' die ganze Zahl ohne Rest theilen läßt. Z. B- 8 8:4 2 -- : 4 — --- — - 15 15 15 oder 8 8 82 - — : 4 — - -- — -- 15 15 X 4 60 15 2. Eine gemilchte Zahl wird durch eine ganze Zahl dividirt, wenn man dadurch zuerst die Ganzen, dann den Bruch der gemilchten Zahl dividirt; bleibt beim Dividiren der Ganzen ein Rest, so wird dieser mit dem angehängten Bruche eingerichtet, und dann durch die ganze Zahl dividirt; z. B- 207,5 : 4 — 57,- 1247, : 5 — 24'7-° Im zweiten Beispiele bleibt bei der Division der Ganzen 4 als Rest, dieser mit dem Bruche gibt 47, — '7, und durch Z dividier '7-° 5- Um eine Zahl durch einen Bruch zu dividiren, mnltiplizirt man sie mit dem umgekehrten Bruche: z. B. 40 612 : -/. --- 612 X V- — "'7, --- gi6 7° : 7- — Vs X 7- " '7° — 7- — i7- 9'/»: 7.r — '7- X '7, — °°°7«. — '7- — 227. 4. Um eine Zahl durch eine gemischte Zahl zu Lividiren, richtet man diese ein, und dividirt dann durch den unechten Bruch; z. B- 72 : 27s — 72 : '7- " 72 X 7.3 — "7,3 — 277., 7- : 10 7. — 7, : '7. — 7, x V.. — V», — 7.. 127.°: 57, — '°7>° : '7, — '°7.° x 7„ — -'7-7, - 2'7-7-. 2. Dezimalbrüche. §. 46. Die Dezimalbrüche werden auf eine ganz eigen- thümliche Art an geschrieben. Man schreibt nämlich nur den Zähler an, und schneidet in demselben, von der Rechten angefangen, so viele Ziffern durch einen Beistrich ab, als im Nenner Nullen vorkommen; der Nenner wird dann gänzlich weggelaffen. Jener Bei¬ strich heißt der Dezimalstrich. Bleibt vor dem Dezimalstriche keine Ziffer übrig, so kommt an diese Stelle eine Nulle. Sind aber im Zähler gar weniger Ziffern vor¬ handen, als man abschneiden sollte, so werden die links fehlenden Ziffern durch Nullen ersetzt; vor den Dezimalstrich kommt dann auch eine Nulle- Beispiele. ."12 512063 -- — 3,12 - -- — 51,2065 100 10000 1Y8 32 - — 0, 1 Y8 - - — 0,0032 1000 10000 41 Die Ziffern vor dein Dezimalstriche sind Ganze, die Ziffern nach demselben aber heißen Dezimalen; und zwar bedeutet die erste Ziffer nach dem Stricke Zehntel, die zweite Hundertel, die dritte Lausendtel, u. s. w. Es ist z. B. 5542 5000 300 40 5,342 —-—- -l-- 4- - -l- 1000 1000 1000 1000 2 1000 342 oder 5,342 —5-i-4.-i- 10 100 1000 Ein Dezimalbruch wird ausgesprochen, wenn man zuerst die ganzen Stellen ausfpricht und das Wort Ganze hinzusetzt, und dann jede Dezimalstelle einzeln, mit oder auch ohne Hinzufügung des Nenners ausspricht; oder auch alle Dezimalen als Zahl angibt und den allgemeinen Nenner dazusetzt. 412,3104 wird gelesen: 412 Ganze, 3 Zehntel, 1 Hundertel, keine Tausendtel, 4 Zehntausendtel; oder: 412 Ganze, mit den Dezimalen 3, 1, 0, 4; oder: 412 Ganze, 3104 Zehntausendtel. Der Werth eines Dezimalbruches wird nicht ge¬ ändert, wenn man ihm rechts eine oder mehrere Nul¬ len anhäugt. Dadurch kann man leicht bewirken, daß meh¬ rere Dezimalbrüche gleich viele Dezimalen erhalten; z- 28,5 — 28,500, 0,52 — 0/520, 4, 137 4- 137. 42 §. 47. Ein gemeiner Bruch wird in einen Dezi¬ malbruch verwandelt, wenn man den Zähler durch den Nenner dividirt, so lange es angeht; hat man keine Ziffer mehr zu dem Reste hinzu zu fügen, so setze man im Duotienten den Dezimalstrich, und hänge diesem, so wie jedem folgenden Reste eine Nulle an, und fahre so im Dividiren fort. Geht die Division zuletzt auf, so ist der erhaltene Dezimalbruch dem ge¬ gebenen gemeinen vollkommen gleich, sonst nur ange¬ nähert, und zwar um so genauer, je mehrere Dezi¬ malen man entwickelt. Wie viel Dezimalen man zu entwickeln habe, hängt von den Umständen der Aufgabe ab. Bedeutet der Dezimalbruch z. B. Gulden, und ist er schon daS Endergebnis; der ganzen Rechnung, so reicht eS hin, 3 Dezimalen, also noch die Lausendtel zu entwickeln, da 0,001 Gulden kleiner ist als Pfennig, also ein nicht mehr zahlbares Geld. Wenn aber der Dezimal¬ bruch nicht das Endergebnis der Rechnung ist, son¬ dern eS wäre damit noch eine Mulriplikazion vorzu¬ nehmen, so müßte er auch genauer, nämlich in meh¬ reren Dezimalen angegeben werden. Beispiele. 25 25 Lj25>3,125 78§23jo,2y487 . . . 10 230 20 2st0 40 38o 0 680 L60 14 Zm zweiten Beispiele geht die Division nicht auf, daher ist der gememe Bruch durch den Dezimal 45 bruch <>,2!)487 nicht genau, sondern nur näherungS- weise ausgedrückt. Wenn man in einem Dezimalbruche mehr Dezi¬ malen hat, als man ihrer braucht, so läßt man die überflüssigen weg, vergrößert jedoch die letzte beibchal- tene Dezimale um i, wenn die nächste darauf folgende Dezimale, die man schon wegläßt, 5 oder größer als 5 ist, d. h. man korrigirt die letzte beibehaltene Dezimale. Wollte man z. B. in dem obigen Dezimal¬ bruche 0,29487 nur drei Dezimalen bcibehalten, so würde man dafür 0,295 setzen, weil die erste wegge¬ lassene Dezimale 3 größer als 5 ist. §. 43. Wenn sich bei der Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen zehntheiligen immerfort dieselbe Zif¬ fernreihe wiederholt, so heißt der Dezimalbrnch ein periodischer. Beispiele. 1 76 3 5>tjo,333... 66.0l77.3j l,156O60 . .- 10 10 3 10 3 70 10 400 400 40 Im ersten Beispiele bestehet die Periode aus einer Ziffer, nämlich 5; im zweiten aus zwei Ziffern, näm¬ lich 60. 49. Ein Dezimalbruch wird in einen gemei¬ nen verwandelt, wenn man die Dezimalen desselben 44 zum Zähler, zum Nenner aber i mit so vielen Nullen annimmt, als Dezimalen vorhanden sind; dann wird der Bruch, wenn es angeht, abgekürzt. Beispiele. 24 6 47,24 — 47 - 100 25 §. 50. Dezimalbrüche werden addirt, wenn man sie zuerst so anschreibt, daß die Dezimalstriche, mithin die gleichnamigen Stellen genau unter einander zu stehen kommen, dann das Addiren wie bei ganzen Zah¬ len verrichtet, und in der Summe den Dezimalstrich gerade unter die übrigen Dezimalstriche setzt- Beispiele. 45,356 0,5 12,509 0,25 8,395 0,125 0,098 0,0625 66,358 0,9575 Zui ersten Beispiele addirt man zuerst die Tau- sendrel, man crhälr 28; 28 Tausendtel gebens Lau- ftndrel und 2 Hundertel; die 8 Tausendtel werden angeschrieben, dw 2 Hundertel zu den Hunderteln weiler gezählt, u. s. w. 45 §. 51. Dezimalbruche werden subtrahirt, wenn man den Subtrahend so unter den Minuend seßt, daß die Dezi¬ malstriche gerade unter einander zu stehen kommen, dann das Subtrahiren wie bei ganzen Zahlen verrichtet, und in dem Reste den Dezimalstrich genau unter die übri¬ gen Dezimalstriche seßt. Beispiele. 184,79215 5,85 72,3462L 5,2356 112,44593 O,6l44 Im zweiten Beispiele denkt man sich die leeren Stellen des Minuends mit Nullen besetzt. §. 52. Bei der Multiplikazion der Dezimalbruche hat man folgende Regeln zu beobachten: 1. Ein Dezimalbruch wird mit 10, 100, 1000 multiplizirt, wenn man den Dezimalstrich um 1, 2, 3 Stellen gegen die Rechte rückt- Hat der Dezimalstrich nicht so viele Stellen, als zur Ortsvcrändcrung des Dezimalstriches nothig sind, so ergänze man die fehlen¬ den rechts mit Nullen- Z- B- 4,135 x 10 — 41,35 12,034 X 100 — 1203,4 0,572 X 10000 — 5720 2. Ein Dezimalbruch wird mit einer ganzen Zahl multiplizirt, wenn man ihn wie eine ganze Zahl mul¬ tiplizirt, und im Produkte den Dezimalstrich an die so vielte Stelle von der Rechten an seßt, an welcher der Multiplikand steht; z. B. 46 32,537 X 8 32537 -- denn 32,537 — -- 260,296 1000 32537 260296 lind-x L —-— 260,296 1000 1000 13,9682 X 17 9 77774 237,4594 3. Ein Dezimalbruch wird mit einem Dezimal-- bruche multiplizirt, wenn man die Multiplikazion, ohne Rücksicht auf die Dezimalstriche, wie bei ganzen Zah¬ len verrichtet, und dann im Produkte so viele Dezi¬ malstellen abschneidet, als ihrer in beiden Faktoren zusammen vorhanden sind. Hat das Produkt nicht so viele Ziffern, als abgeschnitten werden sollen; so müs¬ sen die fehlenden Stellen links mit Nullen ersetzt, und in die Stelle der Ganzen auch eine Nulle angefchrieben werden. Z. B- 7,314X 3,25 6,521 X 0,082 325 82 36570 13042 1 4628 52168 23,77050 0,31 5 X 0,017 2205 0,005355 Im ersten Beispiele multiplizirt man 7314 mit 325, und schneidet im Produkte 2377050 fünf Dezimalstel¬ len ab, weil so viele Dezimalen in beiden Faktoren verkommen. Von der Richtigkeit überzeugt man sich, 47 wenn man die beiden Dezimalbrüche als gemeine Brüche betrachtet rind als solche multiplizirt; es ist 7314 335 7,344 —- UNd 3,25 — - ; 1000 400 daher 7314 325 7314 X325 7,314 X 3,25 — -— x- — -- 4000 400 100000 100000 §. 53. Will man r'm Produkte nur eine bestimmte An¬ zahl von Dezimalen erhalten, so bedient man sich der abgekürzten Multiplikazion. Dabei verfahre man nach folgenden Regeln: 1. Man setze die Einheiten des Multiplikators unter diejenige Dezimalstelle des Multiplikands, welche im Produkte noch vorkommen soll; die übrigen Ziffern werden in verkehrter Ordnung geschrieben, so daß der ganze Multiplikator umgekehrt erscheint. Har der Multiplikator leere Stellen über sich, so ergänze man dieselben mit Nullen. 2. Man multiplizire mit der ersten rechts ver¬ kommenden Ziffer des umgekehrten Multiplikators zu¬ erst die um eine Stelle weiter rechts stehende Ziffer des Multiplikands, schreibt jedoch dieses Produkt nicht an, sondern merkt sich davon nur die nächsten Zehner, welche man die Korrektur nennt; nun multiplizirt man die gerade darüber stehende Ziffer des Multipli¬ kands, addirt die Korrektur dazu, und fängt hier das Produkt zu schreiben an; nun werden nach der Reihe auch die weiter folgenden Ziffern des Multiplikands multiplizirt; so erhält man das erste Theilprodukt. 48 Auf gleiche Weise multiplizirt man dann mit des zwei¬ ten, dritten, . . Ziffer , im Multiplikator, und schreibt die einzelnen dadurch erhaltenen Lheilprodukte so unter einander, wie die Posten bei der Addition. Um sich vor Verwirrung zu schützen, kann man die Ziffern deS Multiplikators, mit denen man bereits multiplizirt hat, durchstreichen. 3. Die Lheilprodukte werden addirt, und in der Summe schneidet man die verlangte Anzahl Dezi¬ malen ab. Soll die letzte Dezimalstelle im Produkte voll¬ kommen richtig sein, so entwickle man eine Dezimale mehr, als ihrer genau sein sollen. Beispiele. i. Man entwickle das Produkt aus 35,2156? Weil hier im abgekürzten Produkte s Dezimalen verlangt werden, so setzt man die Einheiten des Mul¬ tiplikators d. i. die Ziffer i unter die dritte Dezimale 5 des Mulriplikands; die übrigen Ziffern schreibt man so, daß der ganze Multiplikator umgekehrt unter den Multiplikand zu stehen kommt. Nun multiplizirt man mit 2; man sagt: 2mal 7 ist 14, bleibt 4 zur Kor¬ rektur; Lmal a ist 12, und 1 (Korrektur) ist iS; man 49 schreibt I an, 1 wird, indem man auf die gewöhnliche Art weiter multiplizier, zu dem felgenden Produkte gezählt. Hierauf multiplizirt man mir 1, und zwar: imal 6 ist 6 , bleibt 1 zur Korrektur, weil 6 näher an 1 Zehner liegt als an 0 Lehner; jmal 5 ist 5, und 1 (Korrektur) ist 6; man schreibt K gerade unter die erste Ziffer des ersten Theilproduktes, und multi- plizirt wie gewöhnlich weiter. Eben so multiplizirt man dann mit 7, 8 und endlich mit s. Die Theilprodukte - werden, wie sie stehen, addirt, und im Produkte 3 Dezimalen abgeschnitten. 2. Man multiplizire 245,31 mit 0,00956 so, daß im Produkte 4 Dezimalen erscheinen. 2 4 5,3 1 g gx 0,00956 oder 0,009560 x 245,31 6.Y.9000 13542 22078 19120 1 227 3824 1 47 478 2,3 45 2 2,5452 In diesem Beispiele kommen die Einheiten des Multiplikator» unter die vierte Dezimalstelle des Mul- tiplikands; die fehlenden Dezimalen rechts im Mul¬ tiplikand werden durch Nullen ergänzt. §. 54. Für das Dividiren der Dezimalbrüche hat man Folgendes zu merken: 1. Ein Dezimalbruch wird durch 10, 100, 1000 dividirt, wenn Man den Dezimalstrich um 1, 2, 3 Stellen gegen die Linke rückt. Hat der Dezimalbruch nicht so viele Stellen, als zur Ortsvcranderung des Dezimalstriches nöthig sind, so ergänze man die fehlen¬ den links mit Nullen. Z. B. 4 50 2784,3 : 22 — 38,6708 . . . 624 48 3 5 10 600 24 Z. Ist der Divisor ein Dczimalbruch, so multi- xlizirt man Divisor und Dividend mit io, 100, 1000, je nachdem der Divisor i, 2, 3 Dezimalstellen ent¬ hält; dadurch bleibt im Divisor der Dezimalstrich weg, der Divisor wird also eine ganze Zahl; im Dividend aber erscheint der Dezimalstrich um so viele Stellen weiter gegen die Rechte, als im Divisor Dezimalstellen waren. Dann wird der Dividend durch die ganze Zahl, welche nun den Divisor vorstellt, dividirt- Beispiele. Man dividire 3486,303 durch 75,34. 568,24 : 10 --- 56,824 15,37 : 100 — 0,1537 78,39:1000 — 0,07839 Diese Regel kann auch bei ganzen Zahlen ange¬ wendet werden; nämlich: Eine ganze Zahl wird durch 10, 100, 1000 dividirt, indem mau ihr rechts 1, 2, 3 Ziffern als Dezimalen abschneidet; z. B. 59023 : 100 — 590,23 728 : 10000 — 0,0728 2. Ein Dezimalbruch wird durch eine ganze Zahl dividirt, wenn man ihn wie eine ganze Zahl dividirt, und im Quotienten den Dezimalstrich setzt, bevor man die erste Dezimalstelle des Dividends in Rechnung zieht; z. B- 131,7612:4 32,9403 5l 7534>54865O,3j46,27 . . 47270 20663 55950 3212 2. Wie ost ist 0,037 in 2,5415 enthalten? 37 >2541,5 >68,689 .. 321 255 330 340 7 3- Es soll 0,0494 durch 2,57864 dividirt werden. 4940, ° 0: 257864 — 0,0191 . - > 2361 360 40 5840 14 7976 §. 55. Wenn man im Quotienten nur einige Dezimalen erhalten will, so bedient man sich der abgekürzten Division. Dabei läßt man bei dem jedesmaligen Dividiren, anstatt dem Reste eine Nulle anzuhängen, eine neue Ziffer rechts im Divisor weg. Die jedesmal gefundene Ziffer des Quotienten wird dann zuerst mit der höch¬ sten im Divisor weggelassenen Ziffer multiplizirt, und die aus diesem Produkte erhaltene Korrektur zu dem ersten eigentlichen Produkte addirt. Beispiele. 1. Man soll 343,71 durch 112,73 abgekürzt dividiren. * 4 52 1.2.7,3 1.542711 Z,0668 752 76 9 o Dem Reste 752 sollte, um die erste Dezimale im Quotienten zu erhalten, eine Nulle angehängt wer¬ den; dafür aber wird im Divisor die letzte Ziffer 3 weggelassen. Weil 1127 in 752 omal enthalten ist, so wird sogleich auch die folgende Ziffer 7 im Divisor weggelaffen; 112 ist in 752 «mal enthalten; nun mulriplizirt man: «mal 7 ist 12, bleibt 4 zur Korrek¬ tur; «mal 2 ist 12, und 4 (Korrektur) ist 16, und (6) ist 22 , bleibt 2 ; «mal 1 ist «, und 2 ist 8, und (7) ist 15; u. s. w. Statt zum Roste 76 eine Nulle hinzu zu fügen, wird im Divisor wieder eine neue Ziffer rechts, nämlich 2, weggelassen, und dann weiter dividirt. 2. Man dlvidire abgekürzt 28,5 durch 1728. 1,7,2,8^28,3^0,0164. 110 7 Hier sagt man: 1728 in 28 ist Omal enthalten; man zieht nun die erste Dezimale I in Rechnung, und setzt im Quotienten den Dezimalstrich; 1728 in 283 ist auch Oma! enthalten. Statt nun zum Divi¬ dende eine 0 hinzu zu setzen, wird im Divisor die letzte Ziffer 8 weggelassen; 172 in 283 geht imal. Zum Reste 11O wird ebenfalls keine 0 hinzu gesetzt, sondern im Divisor eins neue Ziffer, nämlich 2 weg- gelassen; u. s. w. Zweites Hauptstück. Das Nechne» mit benannten Zahlen. 1. Benannte Zahlen und ihr Zusammenhang. §. 56. Um sich das Auffassen der benannten Zahlen zu erleichtern, betrachtet man mehrere kleinere Einheiten einer Art zusammen als eine nächst höhere Einheit der¬ selben Art, und gibt ihr dann einen besonder» Namen. So nimmt mau beim Gelbe z- B- den Pfennig als die niedrigste Einheit an; 4 Pfennige zusammen nennt man einen Kreuzer, und betrachtet diesen als die nächst höhere Einheit; 60 Kreuzer nimmt man wieder als eine noch höhere Einheit an, und gibt ihr den Namen Gulden. Wenn bei Dingen derselben Art verschiedene Ein¬ heiten angenommen werden, so heißen die größern Ein¬ heiten von höherer Benennung, und die kleinern Einheiten von niedrigerer Benennung. Diejenige Zahl, welche anzeigt, wie viele Ein¬ heiten der niedriger» Benennung eine Einheit der höher» Benennung ausmachcn, heißt der Verwandler zwi¬ schen jene» Benennungen. So ist zwischen Pfennigen und Kreuzern 4, zwischen Kreuzern und Gulden 60 der Verwandler- 54 Eine benannte Zahl, welche nur einen Namen hat, heißt einnamig: z. B. 5 Gulden, 27 Pfund. Eine benannte Zahl, deren Bestandtheile verschie¬ dene Namen haben, heißt eine mehrnamige Zahl, 4 Gulden 25 Kreuzer ist eine mehrnamige Zahl; eben so 17 Pfund 28 Loth. §. 57. Alle Dinge, die wir uns vorstellen, und die wir daher der Rechnung unterziehen können, kommen in der Zeit oder im Raume vor, sind also Zeit- oder Raumgrößcn; daher müssen sich alle bei benannten Zahlen angenommenen Einheiten auf die Bestimmung der Zeit- oder der Raumgrößen beziehen. §. 58. -4. Bestimmung der Zeitgrvßen. Die Zeit wird nach Jahren, Monaten, Wochen, Tagen, u. s. w. und zwar nach folgender Tafel be¬ rechnet: 1 Jahr hat 12 Monate 1 Monat - 30 Tage 1 Woche - 7 - 1 Tag - 24 Stunden ! Stunde 60 Minuten 1 Minute - 60 Sekunden. In der Jntercssenrcchnung wird zwar gewöhnlich der Monat zu 30 Tagen, und somit das Jahr zu I2mal 30 d. i. 360 Tagen angenommen; in dec Wirklichkeit aber hat ein gemeines Jahr 3Ü5, ein Schaltjahr 366 Tage; eben so haben die Monate eine ungleiche Anzahl Tage, und zwar: 55 §. 59. L. Bestimmung der Raumgrößen. Die Raumgrößen bestimmt man entweder nach ihrer Menge, nach ihrer Ausdehnung oder »ach ihrer Schwere; sie werden also entweder gezählt, gemessen oder gewogen. Der Maßstab siir den Werth der verschiedensten Gattungen von Raumgrößen, und daher das gewöhn¬ liche Eintauschungsmittel derselben ist das Geld. Lei der Bestimmung der Naumgrößen ist also auf die verschiedenen Zahlungsarten, Maße, Ge¬ wichte und Münzen Rücksicht zu nehmen. §. 60. i. Zahlungsarten. Die gebräuchlichsten sind: i Schock enthält 6o Stück i Schilling -- 30 - i Mandel - 15 - i Dutzend - »L - Ein Bund Federn sind 25 Stück. 1 Ballen Papier hat 10 Rieß 1 Rieß - - 20 Buch 1 Buch Schreibpapier ° 24 Bogen 1 - Druckpapier - 25 - 56 61. 2. Maße. Die Maße unterscheidet man in Längen- Flächen- und Körpermaße. a. Längenmaße. Um eine Länge zu messen, nimmt man irgend eine bekannte Länge als Einheit an- Bei Linien wird gewöhnlich ein Fuß oder Schub, bei Tüchern, Zeu¬ gen und andern Schnittwaren die Elle als Längen¬ einheit angenommen. Im bürgerlichen Leben wird der Fuß (') in 12 Zoll ("), und der Zoll in 12 Linien ("') eingetheilt. Beim Fcldmcsscn bedient man sich gewöhnlich des Dezi¬ malmaßes, nach welchem ein Fuß 10 Zoll und ein Zoll 10 Linien enthalt- 6 Fuß nennt man eine Klafter (°); 4000 Wie¬ ner Klafter machen eine österreichische Postmcile- Eine Wiener Elle enthält 2,465 Wiener Fuß. I-. Flächenmaße. Die Flächen, als Länder, Wiesen, Gärten und dergl. mißt man mit viereckigen Flächen, welche gleich große und gegen einander gleich geneigte Seiten haben (siJ) und Quadrate heißen- Je nachdem jede Seite eines Quadrates eine Meile, eine Klafter, ein Fuß,... ist, wird das Quadrat eine Quadratmeile (sist Meile), eine Quadratklafter (sZ°), ein Quadrarfuß (silsi) ,... gebannt- Die Eintheilung dabei ist folgende: 1 sstMeile hat 16000000 1 - 36 sH" if—ft --I44HI"! nach dcm und 100 fJj" ^nachdem I sH ^44 !—! j malmaßc - lOOssj l malmaßc. Ein Joch enthält 1600 57 e. Körpermaße. Die Größe der Körper wird im Allgemeinen durch einen Würfel oder Kubus bestimmt, welcher eine Kubikmeile, eine Kubikklafter, ein Kubikfuß genannt wird, je nachdem jede Seite desselben eine Meile, eine Klafter, einen Fuß,... betrügt. Die Verwandler ersieht man aus Folgendem: 1 Kubikmeile enthält 64000 000 000 Kub ° lKub°hat 216 Kub' iKub' - 1728 Kub" / nach dem Duo. und 1000 Kub"? nach dem iKub" - 1728KuV'"l deiimalmaße - 1000Kub"ss Dczimalma-c. Zum Körpermaße gehöret auch das sogenannte Hohlmaß, womit das Getreide und die Flüssigkeiten gemessen werden. Die Eintheilung des Getreidemaßes in unfern Ländern stellt folgende Tafel dar: 1 Muth hat 30 Meßen 1 Meßen - 8 Achtel 1 Achtel - 4 große Maßel i großes Maßel - 2 kleine Maßel 1 kleines Maßel - 2 Becher. Flüssigkeiten, als Wein, Bier,., werden nach Faß, Eimer, Maß, u. s. w. gemessen, und zwar: 1 Eimer hat 40 Maß 1 Maß - 4 Seidel 1 Seidel - 2 Pfiffe- Beim Weine enthält das Faß 10, beim Bier 2 Eimer. §. 62. 3. Gewichte. Zn Oesterreich sind fünferlei Gewichte üblich- Das Handelsgeivicht. Dieses wird im 58 gewöhnlichen Handel gebraucht, und hat folgende Cin- theilung: i Wiener Pfund (Os.) hat 32 Loth (Lth), i Loth - 4 Quentchen (Qtch) loo Pfund nennt man einen Zentner. b. Das Mark- oder Miinzgewicht. Man bedient sich desselben beim Münzwesen, beim Abwägen des Silbers und der daraus verfertigten Sachen. 1 Mark hat 16 Loth i Loth - 4 Quentchen i Quentchen - 4 Pfennige 1 Pfennig - 2 Heller 1 Heller - 128 Nichtpfennige. Eine Wiener Mark ist etwas mehr als 4 Pfund Handelsgewicht. In Deutschland wird durchaus die kölnische Mark gebraucht, welche etwas leichter ist als die Wiener Mark; denn 5 Wiener Mark — 6 köln. Mark- c. Das Dukatengewicht. Damit werden Gold und die daraus verfertigten Sachen abgewogen. Der kaiserliche Dukaten (A) wird in 60 Du- katengran eingetheilt 5 chf: wiegen ungefähr 1 Loth Handelsgewicht. cl. Das Juwelengewicht. 1 Karat hat 4 Juwelengran. 85 Juwelenkarat wiegen ungefähr ein Loth Han¬ delsgewicht. e. Das Apothekergewicht. 1 Pfund hat 12 Unzen 1 Unze - 8 Drachmen 1 Drachme - 3 Skrupel 1 Skrupel - 20 Apothekergran- 59 Ein Apothekerpfund enthält genau 24, daher eine Unze genau 2 Loth vom Handelsgewichte. §. 65. Außer den angeführten fünferlei Gewichten merke man noch das Gewicht, dessen man sich zum Probiren des Silbers und des Goldes bedient- Silber und Gold werden nämlich bei der Verar¬ beitung, damit sie mehr Härte erlangen, mit Kupfer zusammengesetzt, d. i. legirt- Eine solche Mischung ist dann um so feiner, je mehrere Lheile reines Silber oder Gold, und je weniger Zusatz sie enthält. Um nun den Grad der Feinheit des Silbers oder Goldes zu probiren, nimmt man eine Mark als Ein¬ heit an- Bei Silber wird die Mark in 16 Loth «18 Silbergrän eingetheilt. Feines Silber ohne allen Zu¬ satz, wo also in einer Mark alle 16 Loth reines Sil¬ ber sind, heißt darum auch l ülöthiges Silber, lolöthig heißt solches Silber, wo in einer Mark 13 Loth Sil¬ ber und 2 Loth Kupfer enthalten ist. Bei Gold thcilt man die Mark in 24 Karat a §2 Goldgrän. Ganz reines Gold ohne allen Zusatz heißt 24karatig. Gold 19 Karat 7 Grän fein heißt solches, wo in einer Mark 19 Karat 7 Grän reines Gold, das übrige aber, nämlich 4 Karat 5 Grän, Zusatz ist. Wenn Silber ihlöthig oder Gold 24karatig ist, so wird in der Münzkunst und im Handel eine Mark davon eine feine Mark, sonst eine rauhe Mark genannt. 6tt §. 64. 4. Münzen. Es gibt wirklich geprägte und bloß eingebildete oder Rechnungsmünzen. Die Rechnungsmünzen sind der Maßstab, nach welchem der Kaufwerth aller Dinge, also auch der geprägten Münzen bestimmt wird. In Oesterreich rechnet man nach Gulden, Kreu¬ zern und Pfennigen, und zwar: 1 Gulden (fl.) hat 60 Kreuzer (Kr.) 1 Kreuzer - 4 Pfennige (dl.) Auf eine kölnische Mark fein Silber gehen 20 Gulden; man nennt dieses Geld Konventions- Münze oder Konventions-Kurant. Ein Reichsthaler wird zu i4 Gulden gerechnet. Außerdem kommt auch noch Wiener-Währung vor, worunter man die österreichischen Einlösungsscheine versteht. 250 fl. W. W- — ioo fl. K. M. Im lombardisch-venetianischen Königreiche rechnet Man nach köäi-o ä 100 Lsittesimi. Z chsirn ausliüuolio machen 1 fl. K. M- Die geprägten Münzen sind aus Gold, Silber oder Kupfer. In Oesterreich gibt es folgende: a) Goldmünzen: Ein 8ouv 420 Mon. 4-7 - 427 Mon. 427 Mon. 12825 Tage. 30 12810 Tage 4- 15 - 12825 Tage. 67 §. 68. Die Einheiten einer niedriger» Benennung in Ein¬ heiten einer höher» Benennung verwandeln, heißt jene reduziren. Für das Reduziren sind folgende Regeln zu merken- 1. Eine einnamige Zahl wird auf eine höhere Benennung gebracht, wenn man sie durch den betref¬ fenden Verwandler dividirt. Beispiel. Wie viel Klafter betragen 247 Fuß? 247' : 6 -- 4t'/g° 2. Eine einnamige Zahl, in welcher Ganze von höher» Benennungen enthalten sind, wird in Ganze dieser höher« Benennungen reduzirt, wen» man sie durch den Verwandler für die nächst höhere Benennung dividirt; der Quotient bedeutet Einheiten der nächst hvhern, der Nest aber die übrig gebliebenen Einheiten der niedriger» Benennung. Der Quotient wird, wenn es angeht, auf die nämliche Art auf die nächst höhere Benennung reduzirt. Beispiele. r) 15265 Bogen Druckpapier sind wie viele Bal¬ len, Rieß, Buch und Bogen? 20 10 2515265 Bog. 161.0 Buchet) Rieß'5 Ballen 26 10 Buch 15 Bog. alfo 15265 Bog. — 5 Ball. 10 Buck 15 Bog. 68 2) Wie viel As., Loth und Dtch. geben 5221 Dtch. 32 /j >5231 Llch.§ 1307 Lth. ^40 As. 3 Ltch. 27 Lth. folglich 5231 Dtch. — 40 As. 27 Lth. 3 Dtch. 3. Eine mehrnamige Zahl wird auf die höchste Benennung am bequemsten mittelst des Striches ge¬ bracht. Man ziehe nämlich einen aufrechten Strich, setze rechts die gegebenen Zahlen, von der niedrigsten Benennung angefangcn, unter einander, und schreibe jeder Zahl links gegenüber den Verwandler zwischen dieser und der nächst höhern Benennung. Dann divi- dire man die erste rechts stehende Zahl durch den links stehenden Verwandler, und hänge den in Dezi¬ malen erhaltenen Duotienten der darunter befindlichen Zahl an. Die so gefundene Zahl wird wieder durch den links gegenüber stehenden Verwandler dividirt, der Duvtient an die nächstfolgende Zahl als Dezimalbruch angehängt, und so bis zur höchsten Benennung fort¬ gefahren. Die zuletzt erhaltene Zahl ist der gesuchte Dezimalbruch in der höchsten Benennung. Beispiele. D Es sollen 2i5 fl- 28 Kr. 3 dl. auf die Be¬ nennung Gulden reduzirt werden. 4 3 dl. 6o 2,8,75 Kr. 215,479 fl. 2) Man reduzire die Größe 4° 5' 6" 3"' auf die Benennung Klafter. 6!) Um Kreuzer, welche neben Gulden Vorkommen, in einen Gulden-Dezimalbruch zu verwandeln, braucht man sie nur durch 6 zu dividiren , und den Ouotienten nach dem Dezimalstriche hinzuschreibcn- Beispiele. fl. 37,,24 — fl. 37,4 fl- 310„5l — fl. 310,85 fl. 712„13 — fl. 712,2167 fl- 5„2 — fl. 5,0333. §. 69. Beim Addiren mchrnamiger Zahlen sind fol¬ gende Regeln zu beobachten: 1. Man schreibe die Posten so unter einander, daß Zahlen derselben Benennung unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu addiren an, addire Benennung für Benennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe die jedesmalige Summe unter die addirten Zahlen. 3- Ist die erhaltene Summe so groß, daß sie Einheiten der nächst höhern Benennung enthält, so reduzirt man sie auf diese höhere Benennung; die übriggebliebenen Einheiten werden an die gehörige Stelle geschrieben, die erhaltenen höhern Einheiten aber zu ihrer Benennung weiter gezählt. Beispiele- 1) Ein Landgut gab im Jahre 1838 einen reinen Ertrag von fl. 1875 „ 54 -- - 183Y - - - - 2380 ,, 50 - - 1840 - - - - 1409 „48 - - 1841 - - - - 1782 „32 -- - !842 - - - - 2005 „ 45 wie viel in allen 5 Jahren? fl Y454 „ 49 70 Hier werden zuerst Vie Kreuzer advirr und ihre Summe dadurch auf Gulden reduzirt, daß man die Einheiten ungeändert hinschrcibl, und nur die Zehner durch Division mit 6 in Gulden verwandelt. Beim Addiren der Einheiten in den Kreuzern erhält man 19; die 9 Einheiten werden als Kreuzer angeschrieben, 1 Zehner wird zu den Zehnern weiter gezählt; als Zehnersumme kommt dann 22 herauS; 22 Zehner geben (weil auf einen Gulden 6 Zehner gehen) 3 Gulden und 4 Zehner; die 4 Zehner werden unter die Zehner gesetzt, die 3 Gulden aber zu den Gulden weiter gezählt. 2) Man addire folgende Zahlen: 2« Ztr. 14^ 25 Lth. 2 Qtch. 4j8 Qtch. §2 Lth. 124 -85-17-3 - 32^71 Lth.jr 97- — -24--— - 7 Lth. . 2 - . 3, .. - —. 1001149 ! 1 Ztr. 25L -51 -7-— - 49 D §. 70. Beim Subtrahiren mehrnanüger Zahlen ver¬ fahre man nach folgenden Regeln: 1. Man schreibe den Subtrahend so unter den Minuend, baß Zahlen derselben Benennung unter einan¬ der zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu subtrahiren an, sudtrahire nach der Reihe die Einhei¬ ten jeder Benennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe den jedesmaligen Rest unter die fubtrahir-- ten Zahlen. 3. Ist bei einer Benennung die Zahl des Sub- trahends größer, als jene des Minuends, so wird letztere um so viel Einheiten vermehrt, als ihrer eine nächst höhere Einheit enthält, und dann die Subtrak- zion verrichtet. Sodann wird aber, damit der Rest 71 ungeandrrt dleibc, auch der Subtrahend in der nächst Hähern Benennung nm i vermehrt. Beispiele. 1) Von 35 Ztr. 6? "ftz 28 Lth. werden verkauft: 28 - 38 - 12 - ; wie viel bleibt? 7 - 29 - 16 - 2) Jemand schuldete fl. 2148 „ 45; darauf zahlt er - 842 „ 52; wie viel bleibt er schuldig? fl. 1305 ,, 53- Hier denkt man sich die 4 Zehner im Minuend um 1 Gulden d. i. um 6 Zehner vermehrt, wodurch man 40 Zehner erhalt, von diesen zieht man dann die s Zehner des SubcrahendS ab; weil man den Minuend um 4 Gulden vermehrt har, so muß auch zu den Gulden des Subtrahends 4 addirt werden. Man sagt: 2 und (3) ist 5; s und (Z) ist 40, bleibt 4 Gulden; 4 und 2 ist 3 , und (5) ist 8; u. s. w. 3) Eine Druckerei braucht an Papier 12 Ballen; hat aber nur noch 5 Ball. 4 Rieß 13 Buch; wie viel fehlt noch? 6 - 5 - 7 - Hier denkt man sich im Minuend 20 Buch, und subcrahirt; dagegen vergrößert man auch den Sub¬ trahend um 20 Buch oder 4 Rieß. Ferner denkt man sich an der Stelle der Rieße im Minuend 10, wovon die 5 Rieß des Subtrahends subtrahirt werden können; dafür aber muß man auch den Subtrahend um 10 Rieß oder 4 Ballen vermehren. Man spricht hier: 4 3 Buch und (7) geben 20 Buch d. i. 1 Rieß, bleibt 4; 4 und 4 sind s Rieß, und (5) sind 10 Rieß d. i. 4 Ballen, bleibt 4; 4 und S sind 6 Ballen^ und (6) sind 4 2 Ballen. §. 71. Brun MulLiplizircn einer mehrnamigen Zahl mit emer uubcnaunten beobachte man Fotgeubeo : 72 1. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu multipliziren an, multiplizier nach und nach auch die Hähern Benennungen, und schreibt das jedesmalige Produkt unter die multiplizirte Benennung. 2. Ist das erhaltene Produkt so groß, daß es Einheiten der nächst Hähern Benennung enthält, so reduzirt man es auf diese höhere Benennung ; die übrig¬ gebliebenen Einheiten werden an die gehörige Stelle geschrieben, die erhaltenen höher» Einheiten aber zu dem Produkte dieser leßtern und zwar sogleich während des Multiplizirens weiter gezählt. Beispiele. i) Man multiplizire 12 Ztr. 48 -ftz 17 Lth. mit 8- 99 Ztr. 88 -stz 8 Lth. 17 X 8 48 X 8 32,136 Lth., 4 -ftz 100,388 "ftz,3 Ztr. 8 Lth. 88 Hier werden die 4 K'., welche in dem Produkte der Lethe enthalten sind, zum Produkte der Pfunds addirt; eben so zählt man die 3 Ztr., welche man aus dem Produkte der Pfunde herauszieht, zu dem Produkte der Zentner. 2) Bei einem Unternehmen gewinnen 6 Personen zu fl. 248 „ 42; wie groß war der ganze Gewinn? fl 248 „ 42 X 6 fl. 1492„ 12 Hier multiplizirt man zuerst die Kreuzer: 6mal s sind 42 Kr.; die 2 Kr. werden angeschrieben, 4 Zeh¬ ner wird weiter gezählt; «mal 4 ist 24, und 4 sind 25 Zehner, diese geben 4 fl. und 4 Zehner; 4 Zehner wird an die Stelle der Zehner hingeschrieben, die 4 fl. aber werden zu dem Produkte der Gulden hin¬ über gezählt. 75 Ein anderes Verfahren, eine mehrnamige Zahl ' mit einer unbenannlen zu multipliziren, besteht darin, daß man die mehrnamige Zahl m die niedrigste oder höchste Benennung verwandelt, und dann multiplizirt. Beispiel. 45 K 26 Lth. 2 Ltch. sollen rsmal genom¬ men werden. a) 45 'ftz 26 Lth- 2 Ltch. -x 4 180 --x » 1466 Lth. 5866 Ltch. 5866 Ltch. X 15 29330 «7990 Ltch. 32 100 4,37990 Ltch.^21997 Lth.,687 ^tz,6 Ztr.; 2Ltch- 279 87 237 13 Lth- Das Produkt ist also 6 Ztr. 87 K 13 Lth. 2 Ltch- b) 4 2 Ltch. 45,8 281 ^tz X 15 32 26,5 Lth. 2291405 687,4215 'ktz — 6 Ztr. 87 Htz 13 Lth. 2 Ltch. .-X 4 1 6860 --8 13,4880 Lth. 1,952 Ltch. Bei geometrischen Berechnungen, wo beide Fakto¬ ren mehrnamige Zahlen sind, müssen sie auf einerlei 74 Längeneinheit gebracht, und dann als unbenannle Zah¬ len multiplizirt werden. Ei» Schulzimmer ist 3" 5' 6" lang und 2° 3 4'/- breit, wie groß ist die Bodenfläche desselben? Der Flächenraum ist also 10 O ° 4» LD". §. 72. Wenn eine mehrnamige Zahl durch eine un- benannte zu dividircn ist, wo allo die Division als Theilung angewendet wird, so beobachte man fol¬ gende Regeln: r. Man fange bei der höchsten Benennung zu dividiren an, dividire nach und nach alle niedrigrru Benennungen, und gebe dem jedesmaligen Quotienten jenen Namen, den die dividirte Zahl hat- 2. Bleibt bei der Division einer Benennung cm Rest, so verwandle man ihn in die nächst niedrigere Benennung, und addire dazu die im Dividend bereits vorhandenen Einheiten dieser Benennung; dann wird weiter dividirt. 75 Beispiele. 1) 18 Personen kaufen zusammen 14» Ztr. 72 N 24 Lth. von einer Waare; wen» sie nun gleich theilen, wie viel bekommt eine Person? 18 j ! 48 Ztr. 7 2 E 24 Lth-^ 7Z tr. 70 22Lth. 2^/zLrt. 12 1272 K 12 - X 4 48 - x « 408 Llh- 4» 1 2 48 Ltch. 'V — V 2) Man suche den 6ten Lheil von fl- 385„ 18. fl- 385 „ 18 - - — : 6 fl. 64 „13 Hier ist bei der Division der Gulden 1 als Rest geblieben , diesen Rest. verwandele man in Zehner, 1 fl. hat 6 Zehner, und einer ist schon vorhanden, sind 7 Zehner; dann dividwt man die Zehner und Einheiten der Kreuzer. Ein anderes Verfahren, eine mehrnamige Zahl durch eine uubenannte zu dividiren , besteht darin, daß man die mehrnamige Zahl auf die niedrigste oder höchste Benennung bringt, und dann dividirt. Beispiel. Man dividier 12 Zer- 18 N i5Lkh. durch 23. 76 «) 12 Ztr. 18 15 Lth. 1218 4872 23 >38991 Lth, >1695 Lth. 1 Ltch. 159 219 121 32^ 1695 Lth. ,52 E 6 95 - "24 Ltch. Der Luotient ist also 52 31 Lth. 1 Dtch- 6) z 2 15 Lth. 100 18,468 K 12,18468 Ztr. 23 j I 2,18468 Zt. >0,52 9?6Zt. —52ltz3lLth. i Lt. 52,976 L 224 -— 176 3 904 *58 31,232 Lth- 20 - 0,928 Ltch. Um eine mehr namige Zahl durch cine andere benannte Zahl zu dividiren, bringe man beide auf dieselbe Benennung, und dividire dann. Beispiel. Wie oft sind 85 fl. 13 Kr. in 2300 fl. 5r Kr. enthalten? fl. 85„13 fl. 2500 „51 51I3>15805 l >27 5113 Kr. 138051 Kr. ^0 t9 1 n 77 4. Die walsche Praktik. §. 73. Die walsche Praktik bestehet darin, daß man die im Rechnen verkommenden niedrigern Zahlen als aliquote Lheile einer Hähern Zahl betrachtet und als solche berechnet. Es heißt aber ein aliquoter Theil einer Zahl ein solcher Lheil, welcher in dieser Zahl ohne Rest enthalten ist; z. B. 15 Kreuzer sind ein aliquoter Lheil von 6o Kreuzern oder einem Gulden, und zwar der 4te Theil, weil sie darin ejmal enthalten sind, und kein Rest übrigbleibt. Alle Brüche, deren Zahler i ist, sind aliquote Lheile der Einheit; z. B. Die bei benannten Zahlen im Rechnen am häu¬ figsten vorkommenden aliquoten Lheile ersieht man aus folgender Tafel- 78 Wenn eine Zahl kein aliquoter Theil einer höhern Zahl ist, so läßt sie sich immer in aliquote Theile derselben zerfallen, und zwar durch die Subtrak- zion, wenn ihr gerade noch ein aliquoter Theil bis zur höhern Zahl fehlt, sonst durch die Addizion- So sind /^ — i — '/4 l Zerfällungen durch die 48 Kr. — 1 fl. — 12 Kr. j Subtrakzion; k Zerfallungen durch -5Kr.^20Kr.-^5Kr die Addizion- 28^ — 2O-i-47L^47L ) §. 74. Die wälsche Praktik wird insbesondere ange¬ wendet, wenn aus dem bekannten Betrage der Ein¬ heit der Betrag einer gleichartigen Mehrheit gefunden werden soll, und wenn in diesem Falle im Betrage der Einheit, oder in der Mehrheit, oder in beiden zugleich kleinere Theile eines höhern Ganzen Vorkom¬ men- Diese kleinern Theile sind entweder als Bruche oder als Unterbenennungen gegeben- Bei solchen Aufgaben sehe man vor Allem auf die Mehrheit, deren Betrag man wissen will: ob sic nämlich eine ganze Zahl und mit der Einheit, deren Betrag man kennt, gleichnamig ist, oder ob 7» sie einen Bruch oder Untrrbenennuugen von jener Einheit enthält- §- 75. Erster Fall- Wenn die Mehrheit, deren Betrag man sucht, eine ganze Zahl und mit der Einheit, deren Betrag man kennt, gleichnamig ist: so nehme man Rück¬ sicht auf den Betrag der Einheit. a. Ist die niedrigere Geldsorte im Be¬ trage der Einheit gerade ein aliquoter Lheil der höhern Geldeinheit, so erhält man den Be¬ trag für die Mehrheit, wenn man so viele solche ali¬ quote Lheile nimmt, als die Mehrheit Einheiten ent¬ hält, und dann diese aliquoten Lheile durch die Divi¬ sion zu Ganzen der höhern Geldsorte bringt; dieses alles geschieht, wenn man sogleich aus der Mehrheit den betreffenden aliquoten Lheil herauszieht. Kommen im Betrage der Einheit auch Ganze der höhern Geld- sorte vor, so berechnet man zuerst den Werth für die höhere Geldsorte durch die Multiplikazion, dann den Betrag für die niedrigere Geldsorte durch die Division, und addirt diese Beträge zusammen. Beispiel. i. Was kosten 64 Etz- wenn 1 Etz 15 Kr- kostet? 64 Etz « 15 Kr- fl. To" Die Mehrheit, deren Werth man sucht, ist 64 N; die Einheit, deren Betrag man kennt, ist 4 K"; hier ist also die Mehrheit eine ganze Zahl und mit der Einheit gleichnamig, man nehme daher auf den Be¬ trag der Einheit, d. i. auf 4 5 Kreuzer Rücksicht. is Kr. sind 7. st.; 64 S" » V. ff. kosten ff.; man LO mufi also, um die ganzen Gulden herau-zuziehcn, «4 Lurch 4 dwidiren, wodurch man 16 fl. erhält. 2- 1 N kostet 20 täentesimi, was kosten 25 L? 85 ä 20 Lentos. Lire 17 3. Was kosten 46 Ellen a fl. 3 „20? 46 Ellen ä fl. 3 „ 20 fl. 138 15 „ 20 . . ä . . . 20 Kr. fl. 153 „ 20 Hier wird zuerst der Werth n 3 fl. berechnet, in¬ dem man 46 mir 3 multiplizier; dann sucht man den Werth ä 20 Kr. 7- fl., dieser ist fl-, man dividirr also 46 durch 3, wodurch man 15 fl. und V- fl- oder.20 Kr. bekommt; die beiden Beträge werden addirt. 4. Was kosten 2116 -ftz äLire 7„25 Lent.? 2116 A 7 „ 25 Lire 14812 52y ..... 25 Lent. — Lira Lire 15544 t>. Ist die niedrigere Geldsorte im Be¬ trage der Einheit kein aliquoter Theil der höhern Geldeinheit, so zerfalle man sie durch die Addizion oder durch die Subtrakzion in lauter aliquote Lheile, berechne zuerst den Betrag für die Ganzen der höhern Geldsorte durch die Multiplikazion, dann den Betrag für die aliquoten Lheile durch die Division, und addire oder subtrahire die erhaltenen Beträge, je nachdem die Zerfällung durch die Addizion oder 81 Subtrakzion geschah. Bei der Zerfällung durch Addi- zion sehe man darauf, daß man immer mit den grö-- ßern aliquoten Theilen anfange, und daß wo möglich jeder folgende Theil ein aliquoter Theil eines andern vorhergehenden Theiles sei, aus dessen Betrage dann auch sein Betrag durch die Division herausgezogen wird. Beispiele. 1. Was kosten 168 Ellen, wenn r Elle auf 24 Kr. kommt? 168 Ellen ä 24 Kr. fl. 56 ...» 20 Kr. n„ 12 . a 4 „ fl. 67,, 12 Die Mehrheit, deren Werth gesucht wird, ist 168 Ellen; die Einheit, deren Werth man kennt, ist 1 Elle; die Mehrheit ist also eine ganze Zahl und mit der Einheit gleichnamig, daher sieht man auf den Betrag der Einheit d. i. auf 24 Kr. Diese sind kein aliquoter Theil eines Guldens, lassen sich aber in 20 Kr. und in 4 Kr. zerfallen. Man berechnet zuerst den Betrag L 20 Kr. fl., wodurch man fl. — 56 fl. erhält; den Betrag ä 4 Kr. berech¬ net man aus dem Betrage L 20 Kr. , indem man da¬ von den scen Theil nimmt, weil 4 Kr. der öre Theil von 20 Kr. sind; diese zwei Beträge werden addirt. 2. Man berechne den Werth von 42 Ellen « fl. 4„44? 42 Ellen ä fl. 4 „ 44 fl. 168 14 20 —1/, fl. 14 . 20 2 „ 48 . . . 4 von 20 fl. 1Y8„48 6 82 3. Wie viel betragen 86 ä Il-ira 12,, 65 lä«»!. ? 86 'jtz. ä I-,irs 12„65 172 43 . 50 — Vs 8„6o . . . . 10 — Vs von 50 4,-30. . . . 5 — '/2 von 10 I^ii'6 1087 „ YO Lent. 4. Was kosten 214 Meßen a fl. 1 „ 37 Kr. 107 . . . . 30 — '/2 fl. 21„24 . . . 6 — '/5 V. 30 3„34 . . . i^Vöv-6 fl. 345,, 58 5. Wie viel in K. M- betragen 3240 Pfund Sterling ä fl. 9„5i? 3240 Pf. St. « fl. 9„5i fl. 29160 1620.30—Vs st- 810.15 — Vs von 30 32 4.6 — Vs von 30 fl. 31914 6. Was machen 125 K « 48 Kr.? 125 -s-tz a 48 Kr. —25 - . 12 fl. 100 Zu 48 Kr. fehlen noch 12 Kr. — '/5 ff-, um einen ganzen Gulden zu erhallen, oder 48 Kr. — ist. — 42 Kr.; man nnnmr also zuerst 125 K' ^4 st., wo¬ durch man 12Z fi. erhält, dann berechnet man 125 LZ S zu 12 Kr. — 7- fl-, indem man 125 durch 5 divi- dirt; und zieht den zweiten Betrag 25 fl. von dem ersten 125 fl. ab. 7. Wie hoch kommen 214 Eimer, wenn der Eimer mit fl. 8 „40 Kr- bezahlt wird? 214 Eim. ä fl. 8„ 40 fl. iy2ü - L . . y fl. — 7i„2o ä . . 20 Kr. fl. 1854,,40 Zu 40 Kr. fehlen noch 20 Kr. — 7- fl. bis zu einem ganzen Gulden, oder fl. 8 „ 40 — 9 fl. — 20 Kr.; man sucht daher zuerst den Werrh zu 9 fl., dann zu 20 Kr. — 7- fl., und zieht den zweiten Werth vom ersten ab. Wenn die Mehrheit, deren Werth berechnet wer¬ den soll, einziffrig ist, so verfährt man am kürzesten, wenn man den Betrag für die Einheit damit unmit¬ telbar multiplizirt; z. B- 7 Ztr. « fl. 25 „ 45 fl. 180 „ 15 76. Zweiter Fall. Wenn die Mehrheit, deren Betrag man sucht, einen Bruch oder Unterbenennungen von der Ein¬ heit, deren Betrag angegeben wird, enthält; so nehme man Rücksicht auf diese kleinern Lheile in der Mehrheit. a. Sind die kleinern Theile in der Mehr¬ heit gerade ein aliquoter Theil der Einheit, deren Werth man kennt, so erhält man den Betrag für die Mehrheit, wenn man aus dem bekannten Be¬ trage der Einheit denselben aliquoten Lheil herauszieht. 6 * 84 Kommen nebst dem aliquoten Lheile der Einheit auch Mauze derselben Benennung vor, so berechnet man zu¬ erst den Betrag für die Ganzen, dann den Betrag für den aliquoten Lheil, und addirt beide Beträge. Beispiele. 1. Was kosten 20 K, wenn 1 Ztr. auf 140 fl. zu stehen kommt? 20 -ftz ä fl. 140 pr. Ztr. -fl^ Die Mehrheit, deren Werlh man sucht, ist 20 N ; die Einheit, deren Werch man kennt, ist 1 Ztr.; die Mehrheit enthält also eine Unterbenennung von der Einheit, daher sehe man auf diese Unterbenennung selbst, nämlich auf 20 8". Diese sind ein aliquoter Lheil von 1 Ztr., und zwar der 5ce Lheil; man schließt daher: 1 Zcr. kostet 140 fl., 20 N werden nur den scen Lheil davon kosten, man muß also aus 140 fl. den Sren herausziehen. 2. Was kostet 1/4 Elle eines Luches, wovon die Elle fl. 5 „ 12 kostet? '/4 Elle ü fl. 5„ 12 fl. 1,, iö 3. Wie hoch kommen 4 Ztr. 50 a fl. 54 der Ztr.? 4 Ztr. 50 ü fl. 54 pr. Ztr. fl. 21Ü 50 -K . . . 27 fl. 243 Hier wird zuerst der Betrag für 4 Ztr. berechnet, indem man fl. 54 mit 4 multiplizier, dann der Be¬ trag für SO K — 72 Ztr., indem man fl. 84 durch 2 dividirt; die beiden Betrage werden addirt. 85 4- Was kosten 3/g Ellen « fl. 6 „ 24? 3/« Ellen « fl- 6 ,, 24 fl. 19„ 12 7« - - - - - - " " 4» fl. 20 „ — I). Wenn die kleinern Theile in der Mehr¬ heit kein aliquoter Lheil der Einheit sind, so zerfalle man sie durch die Addizion oder durch die Subtralzion in lauter aliquote Theile, berechne zuerst den Betrag für die ganzen Einheiten durch die Mul- tiplikazion, dann den Betrag für die aliquoten Theile durch die Division, und addire oder subtrahire die erhaltenen Beträge, je nachdem das Zerfällen durch die Addition oder Subtrakzion geschah. Beispiele. 1. Was kosten 20 Loth, wenn 1 fl. 2 „ 20 Kr. kostet? 20 Lth. ä fl. 2 „ 20 pr. -ftz 16 Lth. — 7r Ä 1 „ 10 4 - — 1/4 von 16 171/2 fl- 1„ 277z 2- Wie viel betragen 8 Ztr. 24 N « fl. 35 pr. Ztr.? 8 Ztr. 24 K ä fl. 35 pr. Ztr. fl. 280 20 . . . .7 4 - - - - i 24 fl. 288 „ 24 86 3- Was machen 12 Ztr. 85 « fl. 87 der Zentner? 12 Ztr. 85 K L fl. 87 pr. Ztr. 1044 50 . . . 43 „ 30 25 . . . 21 „ 45 10 . > . 8 „ 42 fl. 1117 „57 4. Man berechne den Werth von 4?/g Ellen ä fl. 4 „ 40. 4?/g Ellen ä fl. 4 „ 40 fl- 18 „40 V- - - - 2 „20 /s . . . ,»35 fl. 21 „ 35 5. Wie hoch kommen 75 U zu 46 der Zentner? 75 -ftz « 46 pr. Zrr. ab 25 — '/4 Ztr. 11 „ 50 34 „ 50 Lent. Zu 75 N fehlen noch 25 N — 7< Ztr., um einen ganzen Zentner zu erhalten, oder es ist 75 1 Zrr. — 25 K"; man nimmt also zuerst den Werch für 1 Ztr., dann für 25 N, und subtrahirr den zweiten Werth vom ersten. 6- Was kosten 8 K 24 Lth. ä fl. 2,, 20 pr. -U? 8 24 Lth. ä fl. 2 „ 20 pr. y itz . . . . 21 „ — ab 8 Lth. — '/4 'ftz — „ 35 fl. 20 „ 25 «7 7. Was betragen 37s Ellen ä fl. 5 „ 12? 37« Ellen a fl. 5 „12 4 ... fl. 20 „ 48 ab '/« - . — „ 39 fl. 20,, y 8. Eine Masse Silber enthält 6 Mark 9 Lth. fl. 136 „ 9,18 9. Die jährliche Einnahme kommt auf fl. 2452,, 12; wie viel beträgt die Einnahme in 2 Jah¬ ren 7 Monaten 18 Lagen? fl. 2452 „ 12 für 1 Jahr fl. 4904 „ 24 - 2 Jahr 1226 „ 6 -- 6 Moii- — '/2 I- 204 „21 - 1 - — Vs von 6 102,, io,5- 15 Tag. — '/2 Mon. 20 „ 26,1- 3 - — V- von 15 fl- 6457 „ 27,6, wofür man fl. 6457 „2» annimntt; 88 io. Wenn i Ztr. mit fl. 48,, i5 bezahlt wird, wie hoch werden 20 Ztr. 62 M 2 Lth. zu stehen kommen? 20 Ztr. 62 M 2 Lth . « fl. 48 ,, 15 pr. Ztr. 20 Ztr. ä 48 fl. . . . fl. 960 „—- L 15 Kr. — fl. 5,,— 50 K — V- Ztr.24 „ 7,5 10 - — von 50 . . . 4 „49,5 2 - — /s von 10 . . . —„57,9 2 Lth. — ^von 2 M „ 1,8 fl- 994 „ 56,7 d. i. fl. 994 /, 57; oder kürzer: 20 Ztr. 62 M 2 Lth. a fl. 48,25 965 50 'M ... . 24,125 10 - .... 4,825 2 - .... 0,965 2 Lth 0,050 fl. 994,945 —fl.994,,57. 89 Drittes Hauptstück. Die Proporzionenlehre. 1. Verhältnisse. §. 77. Die Vergleichung zweier gleichartigen Zahlen, um zu sehen, wie vielmal die eine in der andern enthal¬ ten ist, heißt ein Verhältniß. Die beiden Zahlen heißen Glieder, und zwar die erste das Vorder¬ glied, die zweite das Hinterglied. Menn man die zwei Zahlen 8 sstz und L M mit einander ver¬ gleicht, um zu sehen, wie oft die zweite in der ersten enthalten ist, so ist diese Vergleichung das Verhältniß von 8 zu 2 A; L A ist das Vorderglied, 2 N das Hinterglied. Um zu erfahren, wie ost eine Zahl in der andern enthalten ist, muß man die Division anwenden; daher wird ein Verhältniß dadurch angezeigt, daß man zwi¬ schen die Glieder das Divisionszeichen setzt; z. B. 8:2, welches man ausfpricht: 8 verhält sich zu 2, oder kürzer: 8 zu 2. Die Zahl, welche anzeigt, wie oft das Hinter¬ glied in dem Vordergliede enthalten ist, heißt der Exponent oder Name des Verhältnisses. Um daher den Exponenten zu erhalten, braucht man nur das Vordcrglicd durch das Hinterglied zu dividiren. In dem frühern Beispiele ist 4 der Exponent, weil 2 in 8 4mal enthalten ist. 90 §. 78. Verhältnisse, welche denselben Exponenten haben, heißen gleiche Verhältnisse; z. B. 8:2, 12 : 3, 20 : 5 sind gleiche Verhältnisse, weil sie denselben Exponenten 4 haben. Ein Verhältnis bleibt unverändert, wenn man beide Glieder mit einerlei Zahl multiplizirt oder durch einerlei Zahl dividirt, weil in beiden Fällen der Expo¬ nent dadurch nicht geändert wird; z. B. 20 : 4 20 : 4 20 : 4 20 : 4 —- X S - X S - : 2 - : 4 40 -8 100 : 20 10 : 2 5:1 In allen Fällen ist 5 der Exponent, das Ver¬ hältnis) 20 : 4 ist also nicht geändert worden. Durch die Multiplikazion kann man Verhältnisse, in welchen Brüche Vorkommen, durch ganze Zahlen ausdrücken; man braucht nur beide Glieder mit jedem Nenner zu multipliziren; z. B- /4 - r> o . /2 /s - /4 - X 4 - X » -- X 4 3 : 20 6:1 Vs - 9 - X s 8 : 45 Durch die Division kann man jedes Verhältnis dessen beide Glieder durch einerlei Zahl theübar sind, abkürzen, indem man beide Glieder durch jene Zahl dividirt; z. B- 15 : 6 28 : 8 io . 5 - : s - : 4 - : 5 5:2 7:2 2:1 79. Wenn beide Glieder eines Verhältnisses gleich sind, so heißt dieses ein Verhältniß der Gleich- 91 heit; z. B. i : i, 5 : 5, 8 : 8. Der Exponent eines Verhältnisses der Gleichheit ist i. Wenn das VordergUed größer ist als das Hin¬ terglied, so heißt das Verhaltniß fallend; z. B. 4 : 2, 8 : 3, 20 : 12. Der Exponent eines fal¬ lenden Verhältnisses ist größer als i. Wenn das Vorderglied kleiner ist als Vas Hin- terglied, so heißt das Verhältniß steigend; z. B- 2 : 6, 5 : 13, 18 : 20. Der Exponent eines steigenden Verhältnisses ist kleiner als i. Ein fallendes Verhältniß kann nicht gleich sein einem steigenden, und ein steigendes kann nicht gleich sein einem fallenden. Wenn daher zwei Verhältnisse gleich sind, so müssen beide fallend, oder beide steigend, oder beide Verhältnisse der Gleichheit sein. Aufgaben. 1. Wie verhält sich ein Fuß zu einer Klafter? Wie i : 6. 2. Ein kaiserlicher Dukaten hat 270 Kreuzer, ein Souveraind'or aber 800 Kreuzer; wie verhält sich der kaiserliche Dukaten zu dem Souveraind'or? Wie 270 : 800 oder 27 : 80. 3. Ein Pariser Fuß hat 144 Par. Linien, ein Wiener Fuß aber 140,127 Par. Linien, wie verhält sich der Pariser Fuß zu dem Wiener Fuß? Wie 144 : 140,127 oder 144000 : 140127. 4. Wie verhält sich die englische Seemeile zur geographischen Meile, wenn auf einen Grad des Aequa- tors 60 englische Seemeilen, und 15 geographische Meilen gehen? Wie 15 : 60 oder 1 : 4. Weil auf einen Grad mehr englsiche iLeemeilen als geographische Meilen gehen, so sind die erstern !)2 kleiner als die letztern, man musi daher für das Vor- derglied, welches sich auf Seemeilen bezieht, die klei¬ nere Zahl 15 annehmen. — Dieses Verhalrnisi könnte man auch so ableicen: weil 60 englische Seemeilen einen Grad geben, so ist eine englische Seemeile 7s» Grad, eben so ist eine geographische Meile7,- Grad; daher oerhälc sich die englische Seemeile zur geographischen Meile, ivie Vs» : 7,s oder 15 : 60 oder 1 : 4. s Aus einer kölnischen Mark seines Silber wer¬ den 20 Konventionsgulden, und 14 preußische Thaler geprägt; wie verhalten sich die Konventionsgulden zu den preußischen Lhalern? Wie 14 : 20 oder 7 : 10. 6. 1 Elle Tuch kostet 4 Gulden, 5 Ellen kosten daher 5mal 4 — 20 Gulden; was für ein Verhält- niß findet zwischen den Längen, und welches zwischen den Werthen des Tuches Statt? Verhältniß der Längen 1 : 5, Verhältniß der Werthe 4 : 20 oder 1:5; also sind beide Verhältnisse gleich- 7-' 5 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 8 Tagen, 10 Arbeiter werden für dieselbe Arbeit nur halb so viele Tage, also 4 Tage brauchen; wie verhalten sich die Zahlen der Arbeiter, und wie jene der Lage? Verhältniß der Zahlen der Arbeiter 5 : 10 oder 1:2, Verhältniß der Zahlen der Tage 8 : 4 oder 2:1; es ist also das Verhältniß zwischen den Zahlen der Arbeiter gleich dem Verhältnisse der zugehörigen Zah¬ len der Lage, aber in umgekehrter Ordnung genommen. 95 2. Proporzionen. §. 80. Die Gleichstellung von zwei gleichen Verhältnissen heißt eine Proporzion. Z- B. die Verhältnisse 8 : 4 und 6 : 3 sind gleich, weil sie denselben Exponenten 2 haben; man kann sie also einander gleich setzen, wo¬ durch man 8:4 " 6 : 3 erhält; dieser Ansatz nun bildet eine Proporzion, welche so gelesen wird: 8 verhält sich zu 4, wie sich 6 zu 3 verhält, oder kürzer: 8 zu 4, wie 6 zu 3. Zede Proporzion enthält zwei Verhältnisse, folglich vier Glieder, welche man nach der Ordnung zahlt- Das erste und vierte Glied werden die äußern, das zweite und dritte aber die innern oder Mittlern Glieder genannt- Zn der früher» Proporzion ist 8 das erste, 4 das zweite, 6 das dritte, 3 das vierte Glied; 8 und 3 sind die äußern, 4 und 6 die innern Glieder. Wenn in einer Proporzion die beiden innern Glieder gleich sind, so heißt sie eine stetige, und das innere Glied heißt die mittlere stetige Pro- porzionale zwischen den beiden äußern. Z. B- 4 : 8 — 8 : 16 ist eine stetige Proporzion, und 8 ist die mittlere stetige Proporzionale zwischen 4 und 16. 81. In jeder Proporzion ist das Produkt der äußern Glieder gleich dem Produkte der In¬ nern Glieder. Denn wenn in dem einen Verhältnisse das äußere Glied 2, Z, 4mal großer ist als das innere, so muß dagegen in dem andern Verhältnisse das äußere Glied 2, 3, 4mal kleiner sein als das innere, lo daß die 94 beiden äußern Glieder dasselbe Produkt geben, als die inner». Z. B- 8 : 4 — 6 : 3 Das Produkt der äußern Glieder ist 8 X 3 — 24, das Produkt der innern 4 X 6 — 24, also eben so groß. §. 62. Eine Proporzion auflosen heißt, aus einer Proporzion, in welcher drei Glieder bekannt sind, das unbekannte Glied finden. Man pflegt das unbekannte Glied einer Propor¬ zion gewöhnlich mit dem Buchstaben X zu bezeichnen. Um ein äußeres Glied der Proporzion zu finden, multiplizire man die beiden innern mit einander, und dividire das Produkt durch das bekannte äußere. Z. B. X : 12 — 3 : 4 Das Produkt der innern Glieder ist 12 X 3 — 36, also muß auch bas Produkt ter äußern Glieder 36 sein; eines dieser Glieder, also einer der beiden Faktoren ist 4, so findet man den andern Faktor, wenn man das Produkt 36 durch den einen Faktor, nämlich durch das bekannte äußere Glied 4 dioidirt; dadurch erhält man y. Die Proporzion ist also y : 12 — 3 : 4. Um ein inneres Glied der Proporzion zu finden, multiplizire man die beiden äußern Glieder mit einan¬ der, und dividire das Produkt durch das bekannte innere Glied. Z. B- 6 : 3 — X : 4 Das Produkt der äußern Glieder ist 6 X 4 — 24, daher muß auch das Produkt der innern Glieder 24 sein; eines dieser Glieder 3 ist bekannt, so findet man das andere, wenn man das Produkt 24 durch den 95 einen Faktor 3 dividirt, wodurch man 8 bekommt. Die Proporzion ist also 6 : 3 — 8 : 4. Beispiele. Man löse folgende Prvpvrzionen auf: 5 12 1. X:5— 12:4;X—-— l 5 4 2. X : 7,^ 2 : 7 ; X --- '/ 7 -^7- _ , 3 oO Z. 3 : X — 5 : 30 ; X--— l8 5 2/ -/ 2/.V - 1 / . » / .V /-^/5 z/ 4- /° . -^ — /4 - /s , --1 /b / 4 5. 3:4/2" X: 18 ? t2 4/- V X 2'^ 6. 7b : 7. — X: 27z ; X — /6/Y / 4 g / / 25ü /9 7. Z:7^5:X ; 8. r:7^i7:X ; X--7bXi7«---i §. 85. Zwei Arten von Zahlen sind gerade propor- zivnirt, oder stehen in geradem Verhältn isse, wenn zu einer 2, 3, 4mal so großen Zahl der einen Art auch eine 2, 3, 4mal so große Zahl der andern Art gehört. So sind Ware und Preis gerade pro- portionirt; denn für die doppelte Menge Ware muß man auch die doppelte Geldsumme zahlen, für 3mal 96 so viel Ware Zmal so viel Geld; umgekehrt erhält man für 2, 3mal so viel Geld auch 2, 3mal so viel Ware. Wenn z. B- r Elle Luch 4 Gulden kostet, so hat man: 1, 2, 3, 4, 5 Ellen Tuch kosten 4, 8, 12, 16, 20 Gulden. In geradem Verhältnisse stehen auch: Kapital und Zins, Zeit und Zins, die Arbeitszeit und der Arbeitslohn, die Zahl der Arbeiter und die Größe der Arbeit, das Gewicht der Fuhr und die Fracht, die Weite des Weges und die Fracht, die Menge der Nahrungsmittel und die Zahl der zu Nährenden, die Menge und die Dauer der Lebensmittel, die einzelnen Ausdehnungen (Länge, Breite, Höhe) und der Inhalt, die Einlage bei einer Unternehmung und der Gewinn oder Verlust, u. s- w. Wenn zwei Arten von Zahlen gerade propor- zionirt sind, so ist das Verhältniß zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art in der nämlichen Ordnung genommen. So ist in dein obigen Beispiele das Verhältniß zweier Längen — 2 Ellen : 4 Ellen, das Verhältniß der zugehörigen Werthe — 8 Gulden : 16 Gulden, beide Verhältnisse haben den Exponenten sind also einander gleich; daher 2 Ellen : 4 Ellen — 8 Gulden : 16 Gulden, oder 2 : 4 — 8 : 16; es ist also wirklich das Verhältniß von zwei Zahlen der ersten Art gleich dem Verhältnisse der zwei zuge¬ hörigen Zahlen der andern Art in derselben Ordnung genommen. 97 §. 84. Zwei Arten von Zahlen heißen verkehrt pro» porzionirt, oder stehen in verkehrtem Ver¬ hältnisse, wenn zu einer 2, 3, 4mal so großen Zahl der einen Art nur der 2te, 3te, 4te Lheil von der Zahl der andern Art gehört. So sind die Zahl der Arbeiter und die Dauer der Arbeit verkehrt pro- xorzionirt; denn 2mal so viel Arbeiter werden zu der¬ selben Arbeit nur halb so viel Zeit brauchen, 3mal so viel Arbeiter brauchen nur den dritten Lheil der Zeit: umgekehrt, um eine Arbeit in 2, smal so viel Zeit zu vollenden, braucht man nur die Hälfte, den 3ten Lheil der Arbeiter. Wenn z. D. i Arbeiter für eine bestimmte Arbeit 6o Lage braucht, so hat man: r, 2, 3, 4, 5 Arbeiter brauchen 6o, 30, 20, I5, 12 Lage für dieselbe Arbeit. In verkehrtem Verhältnisse stehen auch: Kapital und Zeit bei gleichem Zinsbeträge, die Dauer der Nahrungsmittel und die Zahl der zu Nährenden, die einzelnen Ausdehnungen (Länge, Lrete, Höhe) unter einander bei gleichem Inhalte, Zeit und Geschwindigkeit bei demselben Wege, der Preis des und das Gewicht eines Backwerks von immer gleichem Preise, die Größe einer Einlage und die Länge der Zeit, u. s. m. Wenn zwei Arten von Zahlen verkehrt propor- zionirt sind, so ist das Verhältniß von je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse der zwei zuge¬ hörigen Zahlen der andern Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen. So ist im obigen Beispiele das Verhältniß zweier Zahlen von Arbeitern — 2 Arb-: 5 Arb. 7 98 das Verhältniß der zwei zugehörigen Zeiten in umge¬ kehrter Ordnung 12 Tag.: 30 Tag.; beide Verhältnisse haben denselben Exponenten sind also gleich; daher 2 Arb. : 5 Arb- — 12 Tag. : 30 Tag., oder 2 : 5 ---12 : 30; es ist also wirklich das Verhältnis von zwei Zahlen der ersten Art gleich dem Verhältnisse der zwei zugehö¬ rigen Zahlen der zweiten Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen. 5. Die einfache Regeldetri. §. 85. Wenn zwei Arten von Zahlen gerade oder ver¬ kehrt proporzionirt sind, und es sind zwei Zahlen der einen Art bekannt, von den beiden zugehörigen Zahlen der zweiten Art aber nur eine bekannt, und die andere zu suchen; so heißt die Rechnung, durch welche man diese unbekannte Zahl findet, die einfache Regeldetri. Z. B. 2 Ellen einer Ware kosten 8 Gulden; wie viel Gulden kosten 7 Ellen? — Antwort: 28 Gulden. Die beiden Arten von Zahlen, welche hier Vorkommen, nämlich die Anzahl Ellen und die Anzahl Gulden, sind gerade proporzionirt, weil 2, 3, 4inal so viel Ellen auch 2,3, ^mal so viel Gulden kosten. Von der ersten Art sind zwei Zahlen, nämlich 2 Ellen und 7 Ellen bekannt, von der zweiten Art ist nur eine (8 Gulden) bekannt, die andere (28 Gulden) aber zu suchen. Dies ist also eine Aufgabe, welche nach der einfachen Regeldetri berechnet wird. Die unbekannte Zahl wird in der Rechnung mit x bezeichnet. 99 Bei der Regeldetri werden die zusammengehörigen Zahlen neben einander, die gleichartigen aber unter einander geschrieben; die gleichartigen Zahlen müssen, wenn sie nicht gleichnamig sind, auf gleiche Benennung gebracht werden. §. 86. Jede einfache Regeldetri kann durch eine Propor- zion aufgelöst werden, und zwar nach folgenden Regeln : 1. Man untersuche, ob die beiden Arten von Zahlen gerade oder verkehrt xrvporzionirt sind, indem man beurtheilt, ob zu einer 2, 3, Mal so großen Zahl der ersten Art auch eine 2, 3, Mal so große Zahl der zweiten Art, oder nur der 2te, 3te, 4te Lheil von der Zahl der zweiten Art gehört. 2. Man setzt das Verhaltniß der beiden Zahlen der ersten Art gleich dem Verhältnisse der zwei zuge¬ hörigen Zahlen der zweiten Art in der nämlichen Ord¬ nung genommen, wenn beide Arten gerade, und in umgekehrter, wenn sie verkehrt proporzionirt sind- 3. Die Proporzion wird aufgelöst. Beispiele. 1. 2 Ellen Tuch kosten 8 Gulden; wie viel Gulden kosten 7 Ellen? 2 Ellen 8 st. 2 Ellen : 7 Ellen — 8 fl.: x fl. 7X8 7 -- x -- woraus x —- — 28 fl. folgt. 2 Ware und Preis sind gerade properzionirt, man setzt also das Verhaltniß von zwei Zahlen der einen Arc, nämlich 2 Ellen: 7 Ellen, gleich dem Verhält Nisse der zugehörigen Zahlen der andern Art in der nämlichen Ordnung genommen, nämlich 8 fl. : x fl. Die Proporzion s : 7 — 8 : x wird dann aufgelöst. 7 * 100 2. Wenn loo fl. Kapital 5 fl. Zins geben, wie viel Zins wind man von 350 fl. Kapital bekommen? 100 fl. Kap. 5 fl. Zins 35V » x » 10V fl.: 35V fl. Kap. - 5 fl. Zins: X fl. Zins, 350 X 5 al v x —-2^ 1 7 7- fl. ZinS. 100 3. Ein Kapital gibt in i Jahre 355 fl. Zins, wie viel gibt es in 3 Jahren 6 Monaten? i Jahr 355 fl. i Jahr: 3/^Jahr — 355 fl.: x fl., 3'/-'- x „ also x — Z55 X 31/2—124^/2 fl. 4. Wie viel Ztr. kann man für 20 fl. laden, wenn man für 5 Ztr. 6 fl. Fracht zahlen muß? x Ztr. 20 fl. x Ztr. : 5 Ztr. — 20 fl. : 6 fl-, 5x20 5 „ 6„ al,o x ———— i6-/z Ztr- 6 5- Um einen Gang von 3^ Fuß Breite pflastern zu können, sind 168 Ziegelsteine erforderlich; wie viel Ziegelsteine braucht man zur Pflasterung eines eben so langen Ganges, der aber 4 Fuß breit ist? 3 '/2 Fuß Breite 168 Zieg. 3 '/2 Fuß: 4 Fuß — 16 8 Zicg. : xZicg.; 4 x 168 4 « x „ also x —-—— — 192Z. 3/2 6. 12 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 30 Tagen; wie viel Arbeiter muß man dingen, damit dieselbe Ar¬ beit in 20 Lagen vollendet werde? 12 Arb. 30 Tage 12 Arb. : x Arb. — 20 Tag.: 30 Tag-, 12 X 30 x „ 20 „ also x — --— 18 Arb. 20 101 Hier sind die beiden Arten von Zahlen verkehrt proporzionirt, denn 2, 3, imal so viel Arbeiter brau¬ chen nur die Hälfte, den 3ten, 4ten Theil so viel. Zeit; daher setzt man das Verhälcniß der beiden Zah¬ len der ersten Art, nämlich 12 Arb.: x Arb. gleich dem Verhältnisse der zugehörigen Zahlen der zweiten Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen, nämlich 20 Tage : 30 Tage; die Proporzion I2:x---20:30 wird dann aufgeloset. 7. leihet dem 8 180 fl. ohne Zins auf io Monate; auf wie lange muß L dem wieder 75 fl. leihen, damit der Dienst beiderseits gleich ist? 180 fl. 10 Mon. 180 fl.: 75 fl. — X Mon. : zo Mon-, 180 X 10 75 „ X „ also X — —-— — 24 Mon. 75 — 2 Jahre. 8. Eine Kreuzerfemmel wiegt 5 Lth., wenn der Meßen Weizen fl. 3 „ 20 kostet; wie schwer wird eine solche Semmel sein, wenn der Meßen Weizen nur fl. 2 „ 40 gilt? 5 Lth. 3*/z fl. X „ 2'/z „ also x — 5 Lth. : x Lth. — 2"/, fl. : 3'/. I XX -1/ o XX 0 /, . , ' - 5'/4 Lth §. 87. Ein anderes Verfahren, die Regeldetri aufzulosen, welches natürlicher und meist einfacher ist als jenes mit Hilfe der Proxorzionen, besteht in der Strich- Methode. Dabei beobachtet man folgende Regeln: 1. Man ziehe einen aufrechten Strich, schreibe x auf die linke, und die damit gleichnamige Zahl auf die rechte Seite- ic>2 s. Darunter werden die beiden Zahlen der andern Art gehörig angesetzt. Man beurtheile nämlich ob x größer oder kleiner ausfallen werde, als die damit gleichnamige Zahl. Soll x größer ausfallen, so wird die kleinere jener Zahlen als Divisor links, und die größere als Faktor rechts des Striches gesetzt; soll aber x kleiner ausfallen, so findet das Gegentheil Statt- 3. Der Ansatz wird aufgelöst. Es werden näm¬ lich die gemischten Zahlen eingerichtet, die Nenner auf die entgegengefetzte Seite übertragen, und die Zahlen beiderseits abgekürzt. Sodann multiplizirt man die links bleibenden, und eben so die rechts bleibenden Zahlen, das Produkt linker Hand ist nun der Divi¬ sor, das Produkt rechter Hand der Dividend; und der Quotient, welchen man erhält, zeigt die gesuchte Zahl an. Die Richtigkeit dieses Verfahrens läßt sich leicht cinsehcn. Schon durch das Kopfrechnen überzeugt man sich, daß jede einfache Regelvetri in eine Multiplikazion und in eine Division zerfällt; cs wird nämlich jedes¬ mal die mit x gleichnamige Zahl mit einer der beiden andern bekannten Zahlen multiplizirt, und durch die andere dividirt. Muß aber dieses jedesmal geschehen, so ist offenbar, daß man, wenn x größer ausfallen soll, mir der größcrn Zahl multipliziren, und durch die kleinere dividircn müsse; und umgekehrt, wenn x kleiner ausfallen soll. Der Bequemlichkeit halber setzt man x links, und die damit gleichnamige Zahl rechts eines aufrechten Striches, und schreibt die Zahl, durch welche die mit x gleichnamige Zahl zu dividireu ist, als Divisor links des Striches, die andere Zahl aber als Faktor rechts desselben. Das Wegschaffen der Brüche und das Abkürzen beruhet auf dem Grundsätze: 105 Ein -Quotient bleibt unverändert, wenn man Di¬ visor und Dividend mit einerlei Zahl multiplizirt, oder durch einerlei Zahl dividirt. Der Quotient, welcher bei der Regeldctri her¬ auskommt und die unbekannte Zahl vorstellt, wird also nicht geändert, wenn man auf beiden Seiten des Striches mit einerlei Zahl multiplizirt oder dividirt. — Wenn daher auf einer Seite ein Bruch vorkommt, so braucht man, um ihn wegzuschaffen, nur beiderseits mit dessen Nenner zu multipliziren. Dadurch bleibt der Nenner auf der Seite des Bruches weg, weil ein Bruch mit seinem Nenner multiplizirt den Zahler gibt; auf der andern Seite aber erscheint er als Multipli¬ kator. Um also einen Bruch wegzulchaffen, streicht man den Nenner durch, und überträgt ihn auf die entgegengesetzte Seite als Faktor. Kommt eine ge¬ mischte Zahl vor, so wird sie früher in einen Bruch verwandelt, und davon der Zähler auf derselben Seite ungeschrieben, der Nenner aber sogleich auf die andere Seite als Faktor übertragen. — Wenn zwei Zahlen zu beiden Seiten des Striches durch dieselbe Zahl thcilbar sind, so kürzt man ab, indem man sie beide durch jene Zahl dividirt. Beispiele. 1. 3 'ftz Kaffeh kosten 2 fl.; was kosten §6 ? 3-^2 si. x fl. 2 4t> „ x „ 3 46 3j y2j3O'/, fl- Man zieht einen aufrechten Strich, schreibt links x mir der Benennung an, und rechts die damit gleich¬ namige Zahl. Nun schließt man: 3 A kosten 2 fl., 4« F" werden gewiß mehr kosten; x muß also größer als 2 ausfallen, daher muß man durch die kleinere Zahl 3 dividiren, und mit der größer» 46 mulripli- 104 X fl. 8 S J sagt hier : von 4'/2 Ztr. zahlt man 8 fl. wird man gewiß weniger zahlen; 2 Z 8 fl. ziren; zu diesem Ende schreibt man die kleinere Zahl 3 auf die Divisor-, und die größere 46 auf die Di¬ videndseire. Da sich die Zahlen zu beiden Seiten nicht abkürzen lassen, so multiplizier man die Zahlen rechter Hand, und dividirc ihr Produkt 92 durch 3, wodurch man 3oV-> erhält. 2- Von 41/2 Ztr. zahlt man 8 fl. Fracht, wie viel wird man von i*/, Ztr. zahlen? Man Fracht, von i7r Ztr. x muß also kleiner als 8 ausfallen; daher muß man durch die größere Zahl dividiren, mir der kleinern aber muluvliziren ; man schreibt also die größere Zahl 4^/2 als Divisor links, und die kleinere 1^/2 als Mul¬ tiplikator rechts. Nun richcet man zuerst 4'/2 ein, schreibt den Zähler 9 auf dieselbe Seile, den Nenner L aber auf die rechte; dann richtet man eben so 4'/2 ein, schreibt den Zähler 3 auf dieselbe, den Nenner 4 aber auf die linke Seire. 2 und 2 heben sich bei¬ derseits auf. 3 und 9 kürzt man durch 3 ab. End¬ lich dividier man die rechrS bleibende Zahl 8 durch die links bleibende 3. 3. Ein Landwirth hat jährlich einen Acker, wel¬ cher 4/^ Klafter breit und 20 Klafter lang ist, mit einer gewissen Samengattung besäet; nun will er eben so viel Samen auf einen andern Acker ausfäen, welcher nur 3^/4 Klafter breit ist; wie viel wird dessen Länge betragen müssen? 41/2 Kl- breit 20 Kl. lang x Kl. lang 3/4 ,, X ,, 3/4 woraus x 20 /2 24 Klafter. 105 Zn einem Kleide verlang: der Schneider ö'/^ Ellen Tuch von 2 Ellen Breite; im Tuchladcn ist aber nur Luch von Ellen Breite zu haben; wie viel Ellen muß man davon zu jenem Kleide nehmen? 7'/2 Ellen Tuch 2 Ell. breit x Ellen 5'/. X „ >4 -- ?4 2 also x — 6 Ellen. 4. Die zusammengesetzte Regeldetri. §. 88. Wenn eine Art von Zahlen mit zwei oder meh¬ rer» andern Arten in geradem oder verkehrtem Ver¬ hältnisse steht, und es ist eine Reihe zusammengehöri¬ ger Zahlen aller dieser Arten bekannt, von einer andern Reihe zusammengehöriger Zahlen aber eine derselben unbekannt und zu suchen ; so heißt die Rechnung, durch welche man diese unbekannte Zahl findet, die zusam¬ mengesetzte Regeldetri. Z. B. iä Ztr- werden 20 Meilen weit um 24 fl. verführt; wie viel Ztr. werden 30 Meilen weit um 32 fl. verführt? — Antwort: 16 Ztr. Hier find drei Arten von Zahlen, die Anzahl Zentner, die Anzahl Meilen und die Anzahl Gulden. Von diesen Arten ist eine Reihe zusammengehöriger Zahlen bekannt, nämlich 18 Ztr. werden 20 Meilen weit um 24 fl. verführt; von einer andern Reihe zu¬ sammengehöriger Zahlen, nämlich: 16 Ztr. werden 30 Meilen weit um 32 fl. verführt, sind nur zwei Zahlen bekannt, eine (16 Ztr.) aber unbekannt und zu suchen. Dieß ist also eine Aufgabe der zusammen¬ gesetzten Regeldetri. §. «9. Jede zusammengesetzte Regcldetri kann in mehrere einfache zerlegt, und so aufgelöset werden; allein das dabei .zu beobachtende Verfahren ist meistens schwierig und weitläufig. Kürzer, einfacher und natürlicher ist die Auflösung mittelst der Strichmethode. Die zusammengesetzte Regcldetri unterscheidet sich von der einfachen nur dadurch, daß in der einfachen die Art von x bloß von einer bekannten Art, bei der zusammengesetzten aber von mchrern bekannten Arten abhängt. Bei der zusammengesetzten Regcldetri nach der Strichmethode wird daher dasselbe Verfahren beobachtet, und der Ansatz eben so begonnen, wie bei der einfachen; nur muß man die Art von x mit jeder bekannten Art besonders vergleichen, und beurthcilen, ob wegen dieser bekannten Art x größer oder kleiner ausfallen werde als die mit x gleichnamige Zahl; daraus schließt man, mit welcher Zahl dieser Art mul- tiplizirt und durch welche dividirt werden soll. Es^rst jedoch nicht nöthig, mit den Zahlen jeder bekannten Art einzeln zu multipliziren und zu dividiren; man braucht nur jene Zahlen, durch welche dividirt werden soll, links, jene aber, mit welchen multiplizirt werden soll, rechts des Striches zu schreiben, und zuletzt das Produkt der linksstehenden Zahlen als Divisor, das Produkt der rechtsstehenden aber als Dividend anzu- uchmen. Das Wegschaffcn der Brüche und das Ab¬ kürzen geschieht auf dieselbe Art, und beruhet auf den¬ selben Gründen, wie bei der einfachen Regcldetri. Bei der zusammengefctztcn Regcldetri ist daher Folgendes zu beobachten: Mau ziehe einen aufrechten Strich, schreibe x 107 auf die linke oder Divisorseile, und die damit gleich¬ namige Zahl auf die rechte oder Dividendscite. 2. Darunter werden die beiden Zahlen einer jeden Art gehörig augesetzt- Man vergleiche nämlich die Art von x mit jeder andern Art, und bcurthcile, ob wegen dieser Art x größer oder kleiner ausfallen müsse, als die mit x gleichnamige Zahl- Soll x größer ausfallen, so wird die kleinere Zahl jener Art als Divisor links, und die größere als Faktor rechts des Striches gesetzt; soll aber x kleiner ausfallen, so findet das Gcgcntheil Start. 3. Der Ansatz wird aufgelöset. Beispiele. r. Wenn 18 Ztr. 20 Meilen weit um 24 fl. verführt werden; wie viel Zentner werden 30 Meilen weit um 32 fl. verführet? 18 Ztr. 20 Weil. 24 fl. x Ztr 18 X „ 30 „ 32 „ 30 20 24 32 woraus x — 16 Ztr. Man vergleicht hier die Arc von x zuerst mit Mei¬ len, indem man sagt: 20 Meilen weit werden 18 Zcr. geführt, 30 Meilen weit werden um dasselbe Geld gewch weniger Ztr. geführt; wegen der Anzahl Meilen wird also x kleiner ausfallen, daher schreibt man die größere Zahl 30 als Divisor links, und die kleinere 20, mit welcher man multipliziren soll, rechtS. Dann vergleicht man die Arc von x auch mit Gulden: um 24 fl. Fuhrlohn kann man 18 Zcr. führen, um 32 fl. wird man gewiß mehr Ztr. führen können; wegen der Anzahl Gulden wird also x größer sein, man muß also mit der kleinern Zahl dividiren, und mit der größern multipliziren; die kleinere Zahl 24 wird daher links, dis größere 32 aber rechts angesttzt. Die Auflösung geschieht dann wie bei der einfachen Regeldeiri. 108 2. Ein Garten, welcher 22 Klafter lang und 9 Klafter breit ist, wird um 360 fl. verkauft; was wird nach demselben Verhältnisse ein anderer Garten kosten, welcher 34 Klafter lang und i 1 Klafter breit ist? 22° lang y° breit 340 „ 11° „ 560 fl. x fl. 360 x „ 22 34 y ir alfo x — üllo fl. 3. 15 Arbeiter verrichten eine Arbeit in 10 Lagen, wenn sie täglich 12 Stunden arbeiten; wie viele Arbeiter wird man anfnehmen müssen, damit sie die nämliche Arbeit in 6 Tagen vollenden, indem sie aber täglich nur 10 Stunden arbeiten? >5 Arb. 10 Tag. 12 Stund, x Arb. is X „ 6 „ 10 „ 6 l0 10 12 x — Io Arbeiter. 4. Aus 10 sstz Garn verspricht der Weber 60 Ellen Leinwand zu machen, welche 1'/, Ellen breit sein soll; wie viel Ellen Leinwand, wird man von 5 sslZ Garn bekommen, wenn die Leinwand nur 1 /4 Elle breit ist? 10 60 Ell. i'/r breit x 5 ,, ,, 1 /4 ,, woraus Ellen 60 10 5 . 1 / . 1 / t/4 l/2 X — 36 Ellen. - 5. Zu einer Mauer, welche 1.3° lang, 5° hoch und 2/; wie hoch kommt 1 zu stehen? X Kr. 1 -ftz 100 i Ztr. 3 1 55 fl. 60 Kr. , woraus X — 7 Kr. folgt. 112 z. Jemand Hat von seinem Freunde 20 Metzen Weizen ausgcdorgt, und will ihm statt des Weizens Wein zurückstellen. Wenn nun 1 Metzen Weizen fl. 5,, 12, der Eimer Wein aber 8 fl. kostet; wieviel Eimer Wein muß für 20 Metzen Weizen gegeben werden? x Eim- 20 Metz. 1 3'/z fl. 8 l Eim-, also x — 8 Eimer Wein. §. 92. Der Kettensatz wird hauptsächlich bei der Ver¬ wandlung der Münzen, Maße und Gewichte eines Landes in gleichgeltende Münzen, Maße und Gewichte eines andern Landes angewendet. Es giebt eigene Handbücher, aus welchen man das gegenseitige Verhaltniß der verschiedenen Maße, Gewichte und Münzen ersehen kann- Auch kommen in derlei Taschenbüchern die Unterabtheilungen jeder Maß-, Gewichts-, Münzeinheit vor, deren Kenntniß bei der Verwandlung mehrnamigcr Zahlen in einnamige und umgekehrt unentbehrlich ist. Beispiele. 1. Wie viel Wiener Fuß betragen 85 französische Meli es ? Es ist 1 Neti-S — 443,3 Par. Linien, und 1 W. Fuß — 414,43 Par. Linien. X Wien. Fuß 85 Meli'68 1 443,3 P. L. 114,13 i W- Fuß; also x — 330,16 W- Fuß. 115 2. Wie viel österreichische Meilen machen 62 englische Seemeilen? Auf einen Grad des Aequators gehen 60 engl. Seemeilen, und 14,6 7 österr. Meilen, also 60 engl. Seem. — 14,67 öftere. M. x öst. Meil. 62 engl- Seem. 60 14,67 öst.M.; worausx — 15,158 öst-M- 3. Wie viel in Wiener Maß hält ein tzuai-tei- in England? 1 (fuartsr — 14408 Par. Kubikzoll, 1 W. Metzen — 8100 „ „ X W- Meßen 1 yuai'ter 1 14408 P. Kub." 3100 1 W-Meßen; also x —4,648W. Meßen. 4. Wie viel W. Pfund betragen 214 französische Kilogramme? 4 Kilogramm — 20843 Holland. As 4 W. Pfund — 41633 „ „ x W- 214 Kilogr. 1 20815 As 11655 1 W. also x — 382,15 W. -U. 5- Wie viel Hamburger Pfund geben 24 krokaš 24 Pfund in Lissabon? 4 Lroda 32 Pfund; 4 Liffab. 8 — 9352 holl. As 1 Hamb. K' — 1008O „ „ Hamb, -jtz 24^ 4 32 Liffab. i Y552 As 10080 i Hamb. alfo x —750,52 Hamb. E 6. Wie viel Gulden Konv. Münze betragen 576 russische Rubel? 8 114 Auf eine feine kölnische Mark Silber gehen 20 fl- Konv. Münze, und iS Rubel; also SO fl. Konv. M. — 13 Rubel. x fl. K- M- 576 Rubel 13 20 fl. K- M.; also x — 886,15 fl. — fl. 886 „ y Kr. 7- Wie viel Kranes beträgt der innere Werth von 625 Hs toscano? Auf eine Mark fein Silber gehen 31,97 Uranos und zugleich 62 lUrs toseans; also sind 51,97 Uranos 62 I-irs tose. X k'nana? 625 H'6 losc. 62 51,97 Uranos; woraus X— 523,89^1-. §. 95. Bei verschiedenen Berechnungen des bürgerlichen lind kaufmännischen Lebens pflegt inan das Perzent (°/o) d- i. den Ertrag von 100, zur Grundlage an- zunehmen. Die Perzentrechnung beruhet auf dem Ket¬ tensätze. Es sei z. B- der Ertrag von 1543 fl- zu 5°/g zu bestimmen, d. h. zu berechnen, wie viel auf 1543 fl. kommt, wenn man 5 fl- von 100 fl. nimmt- Nach dem Kettensätze hat man x fl. Ertrag 1543 fl. 100 5 Ertrag ioo>1543 x 5 man muß also die gegebene Summe 1543 mit dem Perzent 5 multipliziren, und das Produkt durch 100 dividiren. Daraus ergibt sich die Regel: Um den Ertrag einer Summe nach Perzenten zu berechnen, multiplizire man die Summe, deren Ertrag 115 man sucht, mit dem Perzent, und dividire das Produkt durch 100. Ob früher die Multiplikazion oder die Division vorgenommen wird, ist an sich gleichgiltig; nur in jenen Fällen, wo die gegebene Summe rechts zwei oder mehrere Nullen hat, ist zuerst die Division vor- zunehmcn, indem man zwei Nullen wegläßt, und die dann übrigbleibende Zahl mit dem Perzente multi- plizirt. Beispiele. r. Wie viel beträgt der Zins von 825 fl. zu 5 °/o' d. h. wenn loo fl. jährlich 5 fl. Zins geben? 825>c 5 41,25 — fl. 4t „ 15. 2- Jemand hat nach 4 Monaten eine Summe von 5120 fl. zu bezahlen; wenn er aber die Zahlung sogleich leistet, so genießt er 2^ °/g, d. h. bei je 100 fl. werden ihm 2^ fl. nachgelassen; wie viel wird nun dem Schuldner in diesem Falle im Ganzen nach¬ gelassen, und wie viel hat er nur zu zahlen? 5120 ä 2'/» °/g Ganze Schuld fl. 5120 iH^ Abzug „ 115,, 12 1280 Zahlung fl. 5004 „ 48 115,20 — fl. 115 „ 12 Hier wird 5120 zuerst mit 2 multiplizirt, dann wird 5120 noch mit 7, multiplizirt oder durch 4 dwi- dirt, und beide Zahlen werden addirt; die Summe durch 100 dividirt gibt den Abzug. Wollte man hier sogleich nur die eigentliche Zah¬ lung wissen, so würde man so schließen: bei 100 fl. werden 2^ fl. nachgelassen, anstatt 100 fl. darf 8 * 116 man also nur 97^/4 fl. zahlen; und es wäre zu be¬ stimmen, wie viel 97^/4 °/<, von 5120 fl. betragen. 5120 X 9^/4 358 40 4608 O 25 60 ... '/2 12 80 ... '/4 5004,80 — fl. 5004 „ 48 ; wie früher. 3. Jemand kauft um 6300 fl. Waren, und ge¬ winnt bei deren Verkaufe 9 °/g, d. h. für 100 fl-, die er beim Kaufe ausgegeben hat, nimmt er beim Einkäufe 100 fl. und darüber noch 9 fl., also 109 fl. ein; wie viel beträgt der ganze Gewinn? 63,00 « 9 °/g fl. 567. 4. Jemand kauft für einen Kaufmann um 4200 fl. Waren ein, und läßt sich als Belohnung für seine Mühe beim Einkäufe i'/^ V» bezahlen; wie viel be¬ trägt seine ganze Belohnung? 4200 ä i'/g 2t fl. 63 §. 94. Manchmal wird der Ertrag nach Permille (°/go) d. i° von 1000 berechnet. In diesem Falle muß die Snmme, deren Ertrag zu finden ist, mit dem Permille mültiplizirt, und das Produkt durch 1000 dividirt werden. Die Richtigkeit davon läßt sich wie bei der Per¬ zentrechnung nachweisen. 117 Beispiele. 1. Wie viel betragt i °/gg von 6840 fl., d- h. wie viel kommt auf 6.840 fl-, wenn man 1 von 1000 rechnet? 6840 L i °/gg 6,840 — fl. 6 „ 50. 2. Jemand hat 2 °/gg von 12000 fl. zu fordern; wie viel beträgt dieses? 12,000 a 2 "/gg fl. 24. - Anhang. Won dem Quadrate und der Quadratwurzel. §. 95. Ein Produkt aus zwei gleichen Faktoren wird die zweite Potenz oder das Quadrat genannt, und jeder von diesen gleichen Faktoren heißt die Quadrat¬ wurzel des Produktes. So ist 10 X 10 — 100 das Quadrat von 10, und 10 ist die Quadratwurzel von 100. Das Quadrat einer Zahl wird dadurch angezeigt, daß man dieser Zahl rechts oben die Ziffer 2 hinzu¬ setzt; die Quadratwurzel aus einer Zahl aber wird dadurch ausgedrückt, daß man dieser Zahl links das Wurzelzeichen V vorsetzt. Z. B- 100— 10?, und 10 — ^100. Eine Zahl zum Quadrate erheben heißt diese Zahl mit sich selbst multipliziren. Z. B. 9 zum Quad¬ rate erheben heißt 9 mit 9 multipliziren; ymal 9 ist 8i; das Quadrat von 9 ist also 81, oder 9"— 8i. 118 Aus einer Zahl die Quadratwurzel aus¬ ziehen heißt eine Zahl suchen, welche mit sich selbst multiplizier die gegebene Zahl gibt. Z. B. Aus 9 die Quadratwurzel ausziehen heißt eine Zahl suchen, welche mit sich selbst multiplizier y gibt; diese Zahl ist 3, weil 3mal 3 y ist; die Quadratwurzel aus 9 ist also 3, oder V9— 3 §. 96. Um eine Zahl zum Quadrate zu erheben, braucht man sie nur mit sich selbst zu multipliziren. Z. B- 54 2,08 54 2,08 216 1664 270 4 16 2916 Quadrat 4,3264 Quadrat Aus dem zweiten Beispiele sieht man, daß das Quadrat eines Dezimalbruches doppelt so viel Dezi¬ malen enthält, als der gegebene Dezimalbruch, woraus folgt, daß im Quadrate die Dezimalen immer in gerader Anzahl vorkommen müssen. Die Quadrate der einziffrigen Zahlen sind nach der Ordnung: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81- 97. Um aus einer Zahl die Quadratwurzel auszu- ziehen, beobachte man folgende Regeln: 1. Man theile die Zahl von der Rechten gegen die Linke in Klassen zu zwei Ziffern; die letzte Klasse zur Linken kann auch nur eine Ziffer enthalten. 2. Man suche die größte Ziffer, deren Quadrat in der ersten Klasse zur Linken enthalten ist, und 119 schreibe sie nach dem Gleichheitszeichen als erste Ziffer der Wurzel. 3. Sodann erhebe man diese Ziffer zum Qua¬ drate, und ziehe dasselbe von der ersten Klasse ab. 4. Zu dem Reste setze man die nächstfolgende Klasse hinzu; schreibe den doppelten bereits gefundenen Theil der Wurzel so darunter, daß eine Stelle zur Rechten leer bleibt; und untersuche, wie oft diese Zahl in der darüber stehenden enthalten ist. 5- Den Quotienten schreibe man als eine neue Ziffer in die Wurzel und zugleich in die leere Stelle zu dem Divisor. Dieser vermehrte Divisor wird dann mit der neugefundenen Ziffer der Wurzel multiplizier, und das Produkt während der Multiplikazion selbst von der ganzen darüber stehenden Zahl abgezogen. Läßt sich dieses Produkt nicht abziehen, so ist die neue Ziffer der Wurzel zu groß, man muß sie daher nach und nach kleiner nehmen, bis man subrrahiren kann. 6. Zu dem Reste setze man wieder die nächste Klasse hinzu und wiederhole dasselbe Verfahren, wie früher, bis man alle Ziffcrklassen hcruntergesetzt hat- Findet man 0 als eine Ziffer der Wurzel, so kann man, ohne zu mulripliziren und abzuziehen, sogleich die nächste Klaffe herabsetzen. 7. Bleibt zuletzt kein Rest, so hat man die Wur¬ zel vollständig gefunden, und die gegebene Zahl ist ein vollkommenes Quadrat. Bleibt aber am Ende ein Rest, so ist die Wurzel nicht vollkommen genau; sie kann jedoch mit jeder beliebigen Genauigkeit in Dezimalen bestimmt werden, indem inan nämlich jedem Reste eine Klasse von zwei Nullen anhängt, und dann weiter wie bei ganzen Zahlen verfährt, nur daß man 120 in der Quadratwurzel den Dezimalstrich seht, bevor man dem Reste die erste Klasse von Nullen anhängt. Beispiele. 1. Wie groß ist die Quadratwurzel von 54756? V 5 47 56 — 234 Quadratwurzel. 147 43 1856 464 // // Die größte Ziffer, deren Quadrat in 5 vorkommt, ist 2, dieß ist die erste Ziffer der Wurzel; das Qua¬ drat von 2 ist 4, von 3 bleibt 4. Zu diesem Reste setzt man die folgende Klaffe 47 , nimmt den bereits gefundenen Theil 2 der Wurzel doppelt, und schreibt dieses Doppelte 4 so unter 147, daß die Stelle unter 7 leer bleibt; man untersucht, wie oft 4 in der dar¬ über stehenden Zahl 14 enthalten ist, es geht 3mal; der Quotient 3 kommt als die zweite Ziffer in die Wurzel, und in dis leere Stelle zum Divisor. Nun wird der so vermehrte Divisor 43 mit der neugefun¬ denen Ziffer 3 multiplijirt, und von der darüber stehenden Zahl abgezogen. Zu dem Reste 18 wird wieder die folgende Klasse 36 hinzugefetzt; man nimmt die bereits gefundene Wurzel 23 dpppelr, und schreibt dieses Doppelte 46 so unter 18,56 , daß eine Stelle rechts leer bleibt; man untersucht, wie oft 46 in 185 oder versuchsweise 4 in 18 enthalten ist, u. s. w. 2. Eine quadratförmige Wiese hat einen Flächen¬ raum von 1201 28 LH'; wie groß ist die Länge einer Seite? Ilm aus dem Flächeninhalte eines Quadrates die Länge einer Seite zu finden, muß man aus dem Flächeninhalte die Quadratwurzel ausziehen. 121 120t ssü° 28 Hü' - 6 1206 -- X 6 V 4I32I64 LH' — 208' — 34 4'Länge cmer Sette „ 3264 408 ,/ ,, 3. Auf einer falschen Wage wiegt eine Ware in der einen Wagschale 18, in der andern 25 Pfund; wie groß ist das wahre Gewicht dieser Ware? Wenn das Gewicht in den beiden Wagschalen ver¬ schieden ausfällt, so ist die Wage unrichtig. Um aber auch mittelst einer solchen Wage dennoch das wahre Gewicht zu erhalten, mulciplizire man die bei¬ den falschen Gewichte, und ziehe aus dem Produkte die Quadratwurzel. 25 X l8 200 V 4,50 — 21,2 1 -ftz — 21 U 6 Lth. 3 Dtch. ist - o ^4 wahre Gewicht. "äi 6^Ä. ^00 2,88 Ltch. 5600 4241 135Y 4. Ein Haus, dessen Grundfläche die Form eines Rechteckes hat, ist 12" 5^ lang und 8° 4' breit; wie ltt'vp ist die Entfernung zweier entgegengesetzten Ecken des Hauses. 122 Die Länge und Breite des Hauses kann man als Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes betrachten, dessen Hypothenuse dann die Entfernung zweier ent¬ gegengesetzten Ecken ist. Wenn aber in einem recht¬ winkligen Dreiecke die beiden Katheten gegeben sind, so findet man die Hypothenuse, wenn man jede Kathete zum Quadrate erhebt, diese Quadrate addirt, und aus der Summe die Quadratwurzel auszieht. Länge -I2°5' —77'j ödeten 77'— 5929 Breite — 8° 4' — 52' j Katheten — 2704 8633 V 86,33 — 92,9 1' — 15° 2^ 11" ist die gesuchte Ent- 81 182 fernung. 533 10,92" 182 16900 1849 25900 18581 7319 §. 98. Um aus einem Dezi Malbruche die Quadrat¬ wurzel auszuziehcn, theile man, vom Dezimalstriche angefangen, sowohl die Ganzen als die Dezimalen in Klassen zu zwei Ziffern; wenn in den Dezimalen die letzte Klasse rechts nur eine Ziffer enthalte» sollte, so wird eine Nulle angehängt. Dann verfahre man wie bei ganzen Zahlen, nur daß mau in der Wurzel den Dezimalstrich fetzt, bevor man die ersten Klassen von Dezimalen herabsetzt. — Sollte zuletzt ein Rest blei¬ ben, so kann man die Wurzel durch Anhängen von 123 Nullklassen zu dem jedesmaligen Reste in beliebig vie¬ len Dezimalen entwickeln. Aus einem gemeinen Bruche wird die Quadrat¬ wurzel ausgezogen, wenn man ihn zuerst in einen Dezimalbruch verwandelt, und dann aus diesem die Quadratwurzel auszieht. Beispiele. 1. Es soll aus 229,2196 die Quadratwurzel ausgezogen werden. V 2^29,21^96 — 15,14 Quadratwurzel. 1 129 25 421 301 12096 3024 2. Wie groß ist die Quadratwurzel aus */g? */s — 0,125; V 0,1-rj 50 — 0,353.. Quadratwurzel. .9. 350 65 2500 703 391 3. Jemand will eine Scheibe machen, deren Flache 25 betragen soll; wie groß wird er den Halbmesser dazu nehmen? 124 Um aus dem Flächenraume eines KreiseS die Länge deS Halbmessers zu bestimmen, muß man den Flächen¬ raum durch 3,14 dividiren, und aus dem Quotienten die Quadratwurzel ausziehen. Z,t1«4!25ggl7,v6l8; V7,96^18 —2,8 2" — 2" io'" Zweiter Theil. Die angewandte Re¬ chenkunst. 127 Erstes Hauptstück. Die J n L e r e s s e n r e chnrrng. §. 99. Eine Summe Geldes, welches man Jemanden unter der Bedingung leihet, daß er für dessen Be¬ nützung ein bestimmtes Geld bezahlt, heißt ein Kapi¬ tal; das Geld, welches für die Benützung des Kapitals bezahlt wird, heißt Intereffe oder Zins. Das In¬ teresse von Ivo wird Perzent genannt; dieses bezieht sich, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, gewöhnlich auf ein Jahr; z. B. ein Kapital ist zu 5 Perzent angelegt, heißt: von je ioo fl- Kapital erhalt man in einem Jahre 5 fl. als Interesse. Wenn Jemand einen Geldbetrag später zahlt, als er ihn zahlen sollte, so wird er nicht nur diesen Be¬ trag , sondern auch das Interesse davon für die Zeit, um welche er später zahlt, zu entrichten haben. Wenn aber Jemand einen Betrag früher zahlt, als er ihn zahlen sollte, so wird er nicht den ganzen Betrag, sondern nur so viel zahlen, daß dieses sammt dem Interesse davon für die Zeit, um welche er früher zahlt, den Geldbetrag ausmacht, den er später zu bezahlen hat. — Wenn alfo ein Geldbetrag zu irgend einer bestimmten Zeit zahlbar ist, so hat er nach die¬ ser Zeit einen größer«, vor derselben aber einen klei¬ nern Werth. 128 §. 100. Bei der Interessenrechnung sind vier Bestimmun¬ gen zu berücksichtigen, nämlich: das Kapital, die Zeit, durch welche das Kapital anliegt, das Perzent und das Interesse. Jede dieser vier Bestimmungen hängt von den drei übrigen ab, und kann aus den¬ selben berechnet werden. Bei den Aufgaben der Jnteressenrechnung kommt gewöhnlich zu berechnen vor: 1. das Interesse, 2. das Kapital, 3. die Zeit, 4. das Perzent, 5. der Werth eines Geldbetrages nach oder vor einer bestimmten Zeit. Am häufigsten kommt die erste unter diesen Auf¬ gaben vor, nämlich die Berechnung der Interessen. In der Jnteressenrechnung wird gewöhnlich jeder Monat zu 30 Lagen, und daher das Jahr zu 360 Lagen angenommen. 1. Berechnung der Interessen. §. 101. Die Interessen eines Kapitals werden auf fol¬ gende Weise berechnet: 1. Das Interesse für ein Jahr findet man, wenn man das Kapital mit dem Perzent multiplizirt, und das Produkt durch 100 dividirt- Wenn das Kapital am Ende zwei Nullen hat, so wird früher durch 100 dividier, indem man jene zwei Nullen wegläßc, und die übrigbleibende Zahl noch mir dem Perzent multiplizirt. j 29 2. Das Interesse für mehrere Jahre wird ge¬ funden, wenn man das Interesse für em Jahr mit der Anzahl Jahre multiplizier. 3. Kommen auch Monate und Tage vor, so zer¬ lege man die Monate in aliquote Theile eines Jahres, und nehme aus dem jährlichen Interesse eben solche Theile; die Tage aber zerlege man in aliquote Theile eines Monates, und nehme eben solche Theile aus dem monatlichen Interesse. Alle diese Posten werden dann zu dem Interesse auf Jahre addirt. Die Berechnung der jährlichen Interessen geschieht nach der Regel der Perzentrechnung; die Berechnung der Interessen auf Monate und Tage aber nach der wälschen Praktik. Beispiele. 1. Wie viel Interesse geben si. 25L4 Kapital zu 4 °/g in einem Jahre? fl. 25 84 « 4 °/o 103,36 fl. 103 „ 22. 2. Was geben fl. 5600 Kapital « 5 °/t) in einem Jahre? fl. 5600 a 5 °/„ fl. 280. 3. Wie groß ist das jährliche Interesse von fl. 3680 ä 5V2 °/o? fl. 36 80 ü 5'/2 °/o 184 00 18 40 202,40 — fl. 202 „24. 9 150 4- Jemand hat folgende Kapitalien anliegenr bei fl. 2500 ä 4^/2 °/g, „ L „ Z85O «5 o/,, „ 6 „ 4580 « 6 °/o; ivic viel Interesse zieht er jährlich von allen drei Kapitalien? Von dem ersten fl. ii2„30 „ „ zweiten „ 192 „30 „ „ dritten „ 274 „ 48 zusammen fl. 579 „ 48. 5. Wie viel Interesse geben fl. 2480 in 3 Jah¬ ren zu 6 °/o? fl. 2480 a 6 °/g 148,80 für 1 Jahr, 446,40 für 3 Jahre, also fl. 446 ,,24 Interessen. 6- Wie groß ist das Interesse von fl. 3450 zu 4Vs °/o in 2 Jahren 8 Monaten? fl. 34 50 ü 4?/g "/0 in 2 I- 8 M. 138 00 11 50 149,50 für 1 Jahr 149,50 „ 1 „ 49,833 „ 4 Mon. 49,833 „ 4 „ 398,666 für 2 Jahre 8 Mon. wofür fl- 398 „ 40 gerechnet werden. Hier wird, um das Interesse für 2 Jahre zu erhal¬ ten , das Interesse für 1 Jahr noch einmal angesetzt; um daS Interesse für 4 Monate --- Vz Jahr zu bc- 131 rechnen, zieht man auS dem einjährigen Interesse den Sten Theil heraus. 7. Wie viel Interesse geben fl. 5i6o„36 in 5 Monaten zu 6 °/g? fl. 5l 6o,6 a 6°/g in 5 MvN. 309,63,6 in 1 Jahr 103,212 in 4 Mon. 25,80 3 „ 1 „ 129,015 in 5 Mon-, wofür man fl. 129 „ 1 rechnet. 8. Ein Kapital von fl. 2800 ist zu 4 durch 3 Jahre 11 Monate und 6 Lage angelegt; wie viel Interesse wirft es in dieser Zeit ab? fl. 2800 « 4°/o in 3 I- 11 M- 6 T- 1,2 für 1 Jahr 336 für 3 Jahr. 56 „ 6 Mon. 37 ,, 20 ,, 4 " 9„20„ 1 „ 1 „ 52 „ 6 T ag. fl. 440 „32 für 3 I. 11 M. 6 T- §. 102. Ist das Interesse bloß für Tage zu bestimmen, so verfährt man am kürzesten nach folgenden Regeln: 1. Das Interesse zu 6 für mehrcte Tage wird gefunden, wenn man das Kapital mit der An¬ zahl Lage multiplizirt, und das Produkt durch 6000 dividirt, indem man zuerst 3 Dezimalen abschneidet und dann noch durch 6 dividirt. — Wenn bei den Gulden des Kapitals Kreuzer vorkommen, so laßt man 132 2000 sie gewöhnlich während der Rechnung weg, vergrößert jedoch, wenn 50 Kreuzer oder darüber vorhanden sind, die Anzahl Gulden um i; sonst werden die Kreuzer in Dezimalen von Gulden verwandelt. 2. Ist das Interesse auf Tage zu mehr oder weniger als 6 °/g zu bestimmen, so suche man zuerst das Interesse zu 6 dann zerlege man das gege¬ bene Perzent durch die Addizion oder Subtrakzion in lauter aliquote Lheile von 6, und nehme eben solche Lheile aus dem 6 Interesse; diese werden dann addirt oder subtrahirt, je nachdem die Zerlegung durch die Addizion oder Subtrakzion geschah. Das Verfahren bei 6 läßt sich aus der Regel- detri erklären. — Es seien z. B. fl. 2000 Kapital durch 75 Lage zu 6 °/g angelegt, so hat man die Aufgabe: 100 fl. Kapital geben in 860 Tagen 6 fl. Interesse; wie viel Interesse geben 2000 fl. Kapital in 75 Lagen? Die Rechnung wird so stehen: 100 fl. Kap- 260 Tag. 6 fl. Int- x fl. Int. 21,624,, - v° 5,406 „ '/» °/o 156,773 — fl- 156 „ 46 Hier wurden im Kapital die 4 5 Kr. weggelassen, und dafür die Anzahl Gulden um 1 vermehrt. 5. Wie hoch belaufen sich die Interessen von fl. 2345,, 15 L 4 7« in yy Tagen? 2345,, X SS 2 .34s 232,155 38,6y2 L 6 7> — 12,8Y7„ 2 7» 25,7 S5 — ss- 25 „ 48. §. 105. Bei runden Summen kann die Berechnung der Interessen auf Tage zu 6 7° meistens sehr bequem im Kopfe geschehen. Ist das Kapital gerade 6000 so hat man die Anzahl Tage mit 6000 zu multipliziren und durch 6000 zu dividiren, wodurch sie unverändert bleibt, es ist also die Anzahl Tage selbst das Interesse a 6 7«. Ist aber das Kapital ein Vielfaches oder ein aliquoter Theil von 6000, so darf man nur das eben so Vielfache oder einen eben solchen Theil von der Anzahl Lage nehmen, um das gesuchte 6 7» Interesse zu erhalten. ai d- ai Z n> X kl 1 155 Beispiele. 6VOOff.gebmL67>m38Tagen 38fl. Zntcr., 1200V» » » » » » » 2X38 —76fl. » 3000» » »»»» » V2><38 —19fl. » 1000» » »»»» » 7^X38— 6fl. 2Vkr.» 5000» » »»»» » (1—'/<5X38 —31fl.40kr.» 2. Berechnung des Kapitals. §. 104. Dabei wird der Kettensatz oder die Regeldetri angewendet; bei letzterer muß man die Bestimmung der Perzente z. B. zu 5 7° in die gleichbedeutende auflösen: 100 fl. Kapital geben in 1 Jahre 5 fl. Interesse- Beispiele. 1. Jemand bezieht jährlich fl. 330 als Interesse; wie groß ist das Kapital bei 6 7°? x fl. Kap. 330 fl. Int. 6 100 fl. Kap. x — fl. 5500 Kapital. 2. Welches Kapital wird zu 4^ 7° in 3 Jah¬ ren ein Interesse von fl. L37 abwerfen? x fl. Kap. 100 100 fl. Kap. 1 Jahr 4^ fl. Int. 8 i X ,/ 3 ,, 837 ,, 4/2 ^27 Kapital: fl- 6200. Man schließt hier: um in 1 Jahre ein bestimmtes Znceresse zu bekommen, muß man 100 fl. Kapital, an anlegen; um dasselbe Interesse in 3 Jahren zu erhal¬ ten, braucht man weniger Kapital anzulegen; wegen der Anzahl Jahre wird also x kleiner ausfallen, deß- wegen setzt man die größere Zahl 3 alS Divisor links, und die kleinere 1 als Faktor rechts des Striches. Ferner: um 47, fl. Interesse zu erhalten, muß man 100 fl. Kapital anlegen; um 837 fl. Interessen zU bekommen, muß man mehr Kapital anlegen; x wird L 36 also wegen der Interessen großer ausfallen, daher setzt man die kleinere Zahl 472 links, die größere L3? rechts. 2. Berechnung der Zeit. 105. Dabei wird die Regeldetri angewcndet- Beispiele. r. In welcher Zeit geben fl. 4700 Kapital zu 4*/? °/„ ein Interesse von fl. 423? 10V fl. Kap. 1 Jahr 4^/2 fl. Int. x Jahr 1 4700 „ x „ 423 „ 4700 100 4'/- 423 In 2 Jahren. Man folgert: 400 fl. Kapital müssen 4 Jahr an¬ liegen, um ein bestimmtes Interesse zu geben, 4 700 fl. Kapital brauchen weniger Zeit anzuliegen, um daS nämliche Interesse zu erhalten; wegen des Kapitals wird also x kleiner. Ferner: um 4 7r fl- Int. zu be¬ kommen, muß ein Kapital 4 Jahr ausstehen, um 423 fl. Jnr. zu erhalten, muß dasselbe Kapital mehr Jahre ausstehen; wegen der Interessen muß also x größer ausfallen. 2. Wie lange muß ein Kapital von fl. 6520 zu 5 V° ausstehen, um fl. 320 Interessen einzutragen? 100 fl- Kap. 4 Jahr 5 fl. Int: x Jahr 1 6520 „ x „ 320 „ 6520 100 5 320 In 0,y82Jahr — 11 Mon. 23 Lag. 4. Berechnung des Perzentes. §. 106. Bei der Berechnung des Perzentes wird der Ket¬ tensatz oder die Regeldetri angewendet, indem man die 137 Frage: zu x 7°? so auflös: x fl. Int. geben 100 fl. Kapital in 1 Jahre? Beispiele. 1. Jemand leiht fl. 16000 aus; wie viel Per¬ zent muß er verlangen, um davon ein jährliches Ein¬ kommen öon fl. yoo zu genießen? x fl. Int. 100 fl. Kap. 16000 yoo fl. Int- ; x — 5^/g fl. Int. 100 fl. Kapital müssen also 5/^ fl-Int- geben, d. h. das Kapital muß zu 5°/« 7° angelegt werden. 2. Zu wie viel 7« ist ein Kapital von fl. 7840,, 30 angelegt, wenn es in 1 Jahre und 6 Monaten ein Interesse von fl. 705 „3y gibt? x fl. Int. 100 fl. Kap- 1 Jahr x fl. Int. 705^/20 705"/rg „ 7840^/2 „ l'/r „ 7L40i/2 100 *7- 1 zu 6 7°. 3. Jemand zahlt monatlich i Kr. Interesse von 1 fl. Kapital; zu wie viel 7° verzinset er es? x fl. Int- loo fl. Kap. 1 Jahr x fl. Int. 7o° /üo " 1 /s 7l2 " 1 100 7i- i n 20 7,- 5. Berechnung des Werthes eines Geldbetra¬ ges nach oder vor einer bestimmten Zeit. a. Nach den gewöhnlichen Interessen. §. 107. Um den Werth eines Kapitals nach einer gewis¬ sen Zeit zu finden, berechne man das Jntereße davon für diese Zeit und addire dieses zu dem gegebenen 158 Kapitale; oder man suche mittelst des Kettensatzes un¬ mittelbar den ganzen Belauf, indem man zuerst den Belauf von 100 für die gegebene Zeit sucht, welches geschieht, wenn man zu 100 das Perzent für diese Zeit addirt. Beispiele. i. Auf einem Gute lastet eine Schuld von fl. 8500 ; nach 2 Jahren zahlt der Besitzer das 5^/2 °/° Interesse und das Kapital zurück; wie viel muß er wohl zahlen? 8500 a 5*/z 7» Kapital fl. 8500 Int. für 2 Jahre „ 935 42,5 Belauf fl. 9455 467,5 für 1 Jahr fl- 935 für 2 Jahre oder Perzent für 2 Jahre — n, also Belauf von 100 fl. Kap. nach 2 Jahren — 111 fl., man hat also x fl. Bel- 8500 fl. Kap. 100 m fl. Bel- Belauf fl. 9435. 2- Jemand nimmt auf 6 Monate fl. 2560 zu 5 7° auf Interesse; wie viel wird er nach Verlauf dieser Zeit zu zahlen haben? 25 60 ü 5 7° Kapital fl. 2560 i^für 1 Jahr ^t- sür 6 Monate ,,64 fl. 64 für 6 Monate Claris fl. 2624 oder Perzent für 6 Monate — 2*/r, daher 159 x fl. Bel- 2560 fl. Kap. 100 102^ fl. Bel., woraus x----2624 fl. Z. Ein Kaufmann hatte eine Summe von fl. 4108 am 20. Oktober zu zahlen, leistete aber die Zahlung erst am 31. Dezember, wie viel hatte er da mit 6 °/-> Interesse zu bezahlen? vom 20. Okt. bis 20. Dez. — 60 Tage „ 20. Dez. „ 31. Dez. — 11 „ 71 Tage 4 108 X 71 287 56 Kapital fl. 4108 2yl,668 Znt. für 71 Lage 48 „ 37 48,611----fl. 48 „37 Belauf fl. 4156 „ 37 Nach dem Kettensätze würde sich dieses Beispiel minder bequem ausarbeiten lassen. §. 108. Um den Werth eines Geldbetrages vor einer gewissen Zeit mit Rücksicht auf die gewöhnlichen In¬ teressen zu berechnen, bedient man sich des Kettensatzes, indem man zuerst den Belauf von 100 für die gege¬ bene Zeit sucht; welches geschieht, wenn man zu 100 das Perzent für diese Zeit addirt. Beispiele. 1. Für ein Kapital, welches durch 3 Jahre zu s'/? °/o ausgestanden ist, erhält man an Kapital und Interessen fl. 5359; wie groß war das Kapital? Perzent für 3 Jahre — 16/^, also geben 100 fl. Kapital in 3 Jahren 116^/2 fl- Kapital sammt Interessen; und man hat 140 X fl. Kap. 535Y fl. Kap. sammt Jnt. 116^ 100 fl. Kap. Kapital fl. 4600. 2. Jemand hat nach 4 Monaten fl. 5240 zu bezahlen; er wünscht aber kontant d. i. sogleich zu zahlen; wie viel wird die kontante Zahlung nun be¬ tragen, wenn man das Interesse zu 6 °/° rechnet? Perzent für 4 Monate ist 2, daher geben 100 fl. kontant 102 fl. nach 4 Monaten und man hat x fl. kont. 5240 fl. nach 4 Mon- 102 :oo fl. kont. kontante Zahlung fl. 5137 „ 15. d. Nach Zinseszinsen. §. 109. Wenn das Interesse am Ende eines jeden Jahres zum Kapitale geschlagen und von Neuem verzinset wird, so nennt man das aus dem Interesse selbst wieder hervorgehende Interesse Zinseszins- Z. B. Von 100 fl. erhalt man in 1 Jahre 5 fl. Interesse; wenn man nun diese nicht behebt, sondern zum Kapitale schlägt, so wird man am Ende des zweiten Jahres nicht nur von 100 fl-, sondern auch von den dazu geschlagenen 5 fl. das Interesse ansprechen; dieses letz¬ tere ist der Zinseszins. Um den Werth eines Geldbetrages, wovon Zins auf Zins gerechnet wird, nach einer bestimmten An¬ zahl von Jahren zu finden,, addire man zu 100 das Perzent, und dividire diese Summe durch 100; den 141 Quotienten setzt man so oft als Faktor, als Jahre da sind; das erhaltene Produkt wird noch mit dem ge¬ gebenen Geldbeträge multiplizirt, so hat man den ge¬ suchten Endwerth. Der Grund dieses Verfahrens liegt in dem Ketten¬ sätze. — Es sei z. B. ein Kapital von fl. 5000 zu 5 °z> angelegt; wie viel wird dieses Kapital, Zins von Zins gerechnet, nach 4 Jahren werth sein? —> Man hat zur Auflösung folgende Kette: x fl. am Ende des 4. Jahres 100 100 100 100 5ooo fl. Kapital 103 fl. am Ende des 1. Jahres 105 k, „ v r, 2. r/ 105 f/r, v r»3. 105 k, p v r>4. k/ Wenn man beiderseits viermal durch 100 dividirt, so bleibt auf der Dividendseice 5000 X 1,05 X 1,05 X 1,05 X 1,05. Man muß also zu 100 das Perzent 5 addircn, und diese Summe durch 100 dividiren; der Quotient 1,05 wird 4mal d. i. so oft, als Jahrs da sind, als Fak¬ tor gesetzt, und dieses Produkt noch mir dem anfäng¬ lichen Betrage 5000 mulciplizirt. Man bedient sich bei dieser Rechnung der abge¬ kürzten Multiplikazion, und entwickelt in dem Produkte aus den gleichen Faktoren zwei Dezimalen mehr, als der gegebene Geldbetrag Ziffern enthält; das letzte Produkt, wo man mit dem gegebenen Geldbeträge multiplizirt, wird in s Dezimalen bestimmt. Beispiele. 1. Jemand legt ein Kapital von st- 3485 zu 4 °/-> Zins auf Zins an; wie groß wird dieses Kapital nach z Jahren? 142 i,o4 X 1,04 41 6 1,081 6 X 1,04 43 2 6 4 1,124 864 X 3485 5.8. 4, 3 3 374 5 Y 2 449 946 89 9 8 9 5 6 2 4 392O,l 5 1 — fl. 3920 „ 9. Die letzte Multiplikazion mit 3485 wurde in S Dezimalen ausgeführt. 2. Elli Kaufmann hat einen Handelsfond von fl. 22800; wenn er nun durch 4 Jahre jährlich 7^/2 7» beim Geschäfte gewinnt, wie groß wird fein Vermögen am Ende des 4. Jahres? Hier wird man in 7 Dezimalen rechnen, das letzte Produkt aber nur in 3 Dezimalen entwickeln. 1,075 X 1,0 7 5 X 1,075 10 7 5 5 3 7 5 75 2 5 1 075 1,155 6 2 5 g X 1,075 5,7,0. 1 1 155 6 2 5 0 80 8 9 3 8 5 7 7 8 1 Fürtrag 1,2422969 X 1,075 143 Ucöertrag 1,2422969 X 1,075 5,7,0,1 1 242 2969 869608 6 2 115 1,3354692 X 22800 0^6 8,2,2 2 670 9 3 8 4 267 0 9 3 8 106 8 3 7 5 3 044 8,6 9 7 — fl- 30448 „ 41. 3. Jemand legt im Anfänge eines jeden Jahres fl. 2000 zu 5 7° Zins auf Zins an; am Ende des 3. Jahres fordert er sämwtliche Kapitalien sammt Zin¬ sen von Kapital und Interesse ein; wie groß wird die- 1,157 625 X 2000 2 315,250 — fl. 2Z15 „ 15 1,102 5 X 2000 2 250,0 1,05 X 2000 2 1OO 2N0N fl. im Ans. des 1. Jahres geben fl. 2315„15 am Ende des 3. Jahres 2008 » » » 2. » » 220g„— » » » » » 2000 » » » 3. » » 2100„— » » » » L ganzer Belauf fl. 662O„15. 110. Ilm den Werth eines Geldbetrages vor einer be¬ stimmten Anzahl von Jahren mit Rücksicht auf Zin- ser ganze Belauft 2,05 X 1,05 525 1,1025 X 1,05 55125 1,157625 144 1,157625 1,1025 X 1,05 55125 seszinsen zu finden, addire man zu 100 das Perzent, und dividire diese Summe durch ioo; den Quotienten setze man so oft als Faktor, als Jahre da find; die¬ ses Produkt ist der Divisor, der gegebene Geldbetrag aber der Dividend; der Quotient beider ist dann der gesuchte Werth. Die Richtigkeit dieses Verfahrens läßt sich aus der Anwendung des Kettensatzes ersehen. — Z. B. Wel¬ chen gegenwärtigen Werch haben 6000 fl. nach 3 Jah¬ ren zahlbar, den Zins auf Zins « 4°/o gerechnet? — Man hat folgenden Ansatz: x fl. gegenwärtigen Werth 6000 fl. am Ende des 3. Jahr. 104 104 104 100 fl. gegenwärtigen Werth Wenn man beiderseits dreimal durch 100 dividirt, so erhält man 1,04 X 1,04 X 1,04,6000 Man muß also den Quotienten, welcher heraus¬ kommt, wenn man zu ioo das Perzent addirt, und diese Summe durch 100 dividirt, 3mal d. i. so oftmal, als Jahre angegeben find, als Faktor setzen; dieses Produkt dann als Divisor, und den gegebenen Geld¬ betrag als Dividend annehmen. Beispiele. 1. Was find fl. 4ooo nach 3 Jahren zahlbar bei 5 °/o Zinseszinsen gegenwärtig werth? 1,05 X1,O5 525 1,-1^7.6^5! 4000 0 0 ° 13455,331 527125 64075 61Y4 406 59 1 4 00 v v v k/ 2. 200 r, v r, 2. gegenwärtiger Werth fl, 3455 „21. 145 Hier wird abgekürzt dividirt. Da die höchste ZiffeH im Querientcn Tausende bedeutet, also 4 ganze Zif¬ fern verkommen, so muß man den Quotienten, um 3 Dezimalen zu erhalten, in 7 Ziffern entwickeln. 2. Jemand hat die Obliegenheit durch 4 Jahre am Schluffe jedes Jahres fl. 500 zu bezahlen; wie viel muß er bei 4 Zinseszinsen sogleich zahlen, um sich dieser ganzen Verpflichtung zu entledigen? 1,16985 500 fl. am Ende des 1. Jahr, geben fl. 480 „ 46 gegenwärtig 500., ,, ,, ,, 2- ,, ,, ,,462,, 17 ,, 200., ,, ,, ,, 3. ,, ,, ,, 444"21 ,, 500., ,, ,, ,, 4' " ,, ,,427 "24 ,, zusammen fl. i8i4„58. Z. Zu einem Landgute finden sich drei Käufer: will fl. 18000 sogleich bar bezahlen; L bietet fl. 20000, aber so, daß er nur fl. 10000 sogleich bar, die andere Hälfte aber nach 5 Jahren erlegen will; 6 bietet auch fl. 20000, und zwar fl. 5000 sogleich, fl. 8000 nach Z Jahren, und den Rest nach 4 Jahren zahlbar; welcher von den drei Kauflustigen hat wohl den besten Anbot gemacht, wenn die Zinses¬ zinsen zu 5 0/0 gerechnet werden? Hier wird man den gegenwärtigen Werth aller An¬ bote bestimmen. 10 L 46 bietet bar ° .... fl. 18000 sogleich, L bietet bar si. 10000 sogleich und si. 1000 nach 5 Jahren, oder si. 7835„ 16 „ zusammen fl. 17835,, 16 sogl. 6 bietet bar fl. 5ooo sogleich fl. 8ooo nach 3 Jahren, oder 6yio„42 „ fl. 7000 nach 4 Jahren, oder 5758„55 „ zusammen fl. 17669,,37 sogleich. hat also den vortheilhastesten Anbot gemacht. Man hätte auch alle Beträge auf das Ende des 6. Jahres reduziren, und dann mit einander verglei¬ chen können. 147 Zweites Hauptstück. Berechnung der inr Handel vorkormnen- derr Abzüge und auf den Geldbetrag sich beziehenden Mebenkosten. 1. Tara und Gutgewicht. §. 111. Das Gewicht einer Ware, welches man findet, wenn man sie sammt dem Behältnisse abwiegt, worin sie eingepackt ist, heißt das Lrutko- oder sporco- Gcwicht- — Das Gewicht, welches nach allen Abzügen übrig bleibt, nach welchem dann die Ware berechnet und bezahlt wird, heißt das stke t to-Gewicht. Die vorzüglichsten Abzüge am Gewichte sind die Kara und das Gutgewicht- §. 112. Die 'Kara ist der Abzug am Urrckto-Gewichte, welcher wegen des Gewichtes des Behältnisses bewilliget wird, worin die Ware eingepackt ist. Sie kann auf dreierlei Art angegeben werden. Entweder sagt man, wie viel das Behältniß der Ware für sich allein wiegt; dieses ist die wirkliche Kara (kara reale); z. B. eine Kiste Zucker wiegt 550 -fA, die Kiste für sich ist .35 schwer, so wiegt dec Zucker allein 515 hier ist 550 -U das Krullo- -Gewicht, 55 die 'Kara reale, und 5l5 'sijz das idi e tla- Gewicht. — Oder man gibt an, wie viele 148 Pfund im Durchschnitte bei einem Frachtstücke als ststara abzuziehen sind, z. B. 2 pr. Sack. — Häufig wird die auch in Perzenten angegeben, indem man bestimmt, wie viele Pfund von 100 Pfund als l'aoa abgezogen werden müssen; z. B. die 'Hua ist 5 °/g, heißt, von je 100 Li-utto muß man 5 N als abziehen, oder 100 Ili-utto geben Y5 ?setlo, wenn nämlich außer der l^aia kein anderer Gewichtsabzug vorkommt. Wenn die laoa im Durchschnitte angegeben ist, so darf man, um die ganze '?aua zu berechnen, nur die Durchschnitts-ststaim mit der Anzahl der Fracht¬ stücke zu multipliziren. — Ist die ststara in Perzen¬ ten angegeben, so findet man die ganze l^aus, wenn man das löi-utto-Gewicht mit den 4"sia o/f, multiplizirt, und das Produkt durch 100 dividirt. Die Dezimalen der Pfunde werden, außer bei sehr theuern Waren, weggelassen; nur wird, wenn 5 oder mehr als 5 Zehntel vorkommen, die Anzahl der Pfunde um 1 vermehrt. 113. Das Gutgewicht (Sopratara) ist der Abzug am Gewichte, den der Großhändler beim Verkaufe ge¬ wisser Waren an den Kleinhändler wegen Einwägen und Verstreuen beim Kleinverkaufe bewilliget. Das Gutgewicht wird meistens in Perzenten, manch¬ mal auch im Durchschnitte für ein Frachtstück angegeben. Die Berechnung des ganzen Gutgewichtes geschieht so wie die Ausrechnung der ganzen * §. 114. Kommt bloß oder bloß Gutgewicht vor, so wird die ganze 1 an«, oder das ganze Gutgewicht vom Li-utlo abgezogen, der Rest ist das iVaUo-Gewicht. 149 Wenn 1"si-a und Gutgewicht zusammen Vorkom¬ men, und nicht in °/g angegeben sind, so wird die ganze 1'noa und das ganze Gutgewicht zusammenaddirt, und die Summe vom Loullo abgezogen; was übrig bleibt, ist iXello. Wenn aber^ai-a und Gutgewicht zusammen Vor¬ kommen, und es ist das Gutgewicht in o/^ angegeben, so wird meistens zuerst die ganze Para vom Lr-utto abgezogen, und erst von dem erhaltenen Reste das Gutgewicht berechnet und abgezogen; dieser letzte Rest bedeutet dann das iXotto-Gewicht. Wenn Para und Gutgewicht in °/g gegeben sind, so kann man sich mit Vortheil auch des Kettensatzes bedienen. §. 115. Beispiele. -i. Eine Ware wiegt 215 8poi-ao, die Para beträgt 28 wie groß ist das iXstlo-Gewicht? 8^01-vo 215 ab Para 28 „ iXallo 187 2. Von 4 Ballen Pfeffer ist das brutto 532 414, die Para 4 fftz pr. Ballen; wie viel beträgt das lXatlo-Gewicht und der Werth ä fl. 18 pr. Ztr.? 4 Ballen Pfeffer Lrutlo 5 32 ^ ab Para ü 4 pr- Dall. 16 „ iXalto 5 16 N ä 18 fl. pr. Ztr. 4 128 Y2,88 — si. Y2„53- Weil hier der Preis pr. Zrr. gegeben ist, so be¬ trachtet man die Sik N einstweilen als Zrr., berechnet den Werth dafür 4 18 st-, dividier aber dann den erhaltenen Betrag durch ino, indem man 2 Dezima¬ len abschneidet. 150 3. Es ist das Ketto-Gewicht und der Werth von 4 Kisten Dalmatiner Feigen im Gewichte von 5li M Ilrutto, wenn die 'Istn-a. zu io °/g, und der Zentner ÜXetto zu st. 6 gerechnet wird, zu bestimmen. 5t 1 M st 10 °/o Lrutto 5 11 M ab1ai'aä lO°/o 51 „ also 51 M ststu-a. lXotto 4 6oMst st. 6 pr. Ztr. 27,üo — st. 27 „36. oder x st. 511 M brutto 100 YO M ^otto 100 6 st., woraus X — 27,594 — 5- 27,,36- 4. Bei einer Parthie Jamaikahvlz, gewogen iürutto 18112 'M, wird 2 °/o Gutgewicht bedungen; wie viel bleibt lXotto? 181 1 2 M a 2 °/g L, utto 18 l 12 M ^2,24 Gutgew. st 2 °/o 362 „ also 362 -M Gutgewicht lXetto 17750 M 5- Eine Parthie von 240 Stuck Brasilienhvlz wiegt 8460 M, das Gutgewicht ist 2 M xr. Stück; wie groß ist das stistto-Gewicht, und wie viel betragt der Werth st st. 2,,20 pr. Ztr.? 240StückBrasilienholzOrutto84 60 M ab Gutgewicht zu 2 M pr. Stück 480 „ iXotto 79 80 Mst^l. 2„20pr.Z. 159 60 26 60.20 189,20—st.I86„i2 6. 7 Sacke Roßhaar wiegen Lrutto 4184 M, die '15» a ist 0 -M pr. Sack; wie viel ist iXotto- Gewicht? 151 Ul A 6 M pr. Sack.. 42 M Liutto4i84 M Gutgew. 2 M „ 14,, '?ara u. Gutgew. 56,, 56 M iXetto 4128 7- Ein Triester kauft in Smirna Wachs a fl. 105 pr. Ztr. iXetto; wie viel beträgt eine Parthie von 5123 M Li-utto, wenn die ^ara 602 M, und das Gutgewicht 2 °/o ist? Li'ulto 5 1 23 M 45 21 M a 2 °/o 4521 'M also 90 M Gutgew. ab Gutgew. ä 2 "/0 90 „ i>fetlo 4431 M a 103 fl. pr. Ztr. 132 93 4563,93 fl. 4563„56. 8. Von 15 Ballen Flachs, gewogen Lrullo 7451 M, die zu 2 und das Gutgewicht zu 1 °/o gerechnet, ist das lXetto-Gewicht und der Werth ä fl. 26 „36 pr. Ztr. zu bestimmen. Di ullo 74 51 M abl'araä^/o 149', 73 02 M ab Gutgew. a 1 "/0 73 „ lXelto 72 29 M a 74 51 M«2°/g 149,02 M l'ara 7302 M « 1 °/o 73 M Gutgewicht, fl. 26,, 36 pr. Zcr. 433 74 1445 8 3614,5.30 7 22,9 . 6 1922,91 4 — fl- t922„ 55 152 oder x fl. 100 100 100 mittelst des Kettensatzes 7451 Li iitto c)!i ohne "Kara 99 IXetto 26^ fl.; also x — lst22,YO3 — fl. 1()22„55. 2. 8conto. §. 116. Der Abzug an der Bezahlung, welcher demjenigen bewilliget wird, welcher früher bezahlt, als eigentlich bedungen war, heißt 8conlo. Der 8conto wird allezeit in Perzenten ange¬ geben. Diese Perzente beziehen sich entweder auf die Zeit selbst, um welche die Bezahlung früher erfolgt; oder aber beziehen sie sich auf i Zahr (pcr anno) oder i Monat (per incsc); im zweiten Falle muß man zuerst das Perzent für die gegebene Zeit berechnen- Der 8conto von einer bestimmten Summe wird gefunden, wenn man diese Summe mit den °/o mul¬ tiplizier, und das Produkt durch 100 dividirt. Wenn man den 8conto von der gegebenen Summe abzieht, so zeigt der Nest die kontante Bezah¬ lung an. Lei 8coolo-Berechnungen kann sehr Vortheilhaft auch der Kettensatz angcwendct werden- Beispiele. 1. Wie viel betrügt der 8cooto zu 2 von fl. 2»i5, und wie groß ist die kontante Zahlung? 24 15 ä 2 °/a Gelammte Zahlung fl. 2415,, — - ft. 4« „ I g " °- " " kontante Zahlung fl. 2366„42 155 2. Eine Ware wird auf 4 Monate Zeit um fl. 865„ 12 verkauft; wie hoch beläuft sich die kon¬ tante Zahlung, wenn der Lconto zu 6 0/0 per anno bewilliget wird? Sconto für 4 Monate 2 865X2 Warenbetrag fl. 865,, 12 in - fl. 17 „ 18 ab «conto für 4 Mon. „ 17.18 kontante Zahlung fl. 847.54 5- Eine Parthie Zimmt kostet fl. 685,, 10 auf 5 Monate Zeit, dcr8conto beträgt '/2 °/o por rneso; wie viel wird man kontant zahlen? Lconto für 5 Monate 2^ °X> 685X2^/2 Warenbetrag fl. 685,, 10 ab Lconto für 5 Mon. „ 17„ 8 242,5 kontante Zahlung fl-668. 2 17,125 — fl. 17„ 8 4. Jemand kauft in Triest 5 Fässer fpotasche, gewogen Liutto 5218 mit 10 wie viel wird er kontant dafür zahlen, wenn der Zentner zu fl. 14 mit 2^/2 °/o Lconto gerechnet wird? Li-utto521 8 abHaäio°/g 522 „ lXetto 46Y 6 a fl. 14 pr. Ztr- 187 84 657,44 — fl. 657.26 657x2^/2 ab 8coulo ä 2'/2 "/0 „ 16.25 kont. Zahlung fl. 641. 1 5 28,5 fl. 16,42 5 80. 154 vder x fl. korit. i«o 100 100 5218 ssl) Li rrlto yo s^etto 14 fl. auf Zeil 9? 1/2 kontant x — 641,03 — fl. 64i„i. 5. Assekuranz. §. 117. Gesellschaften, welche gegen eine voraus zu be¬ zahlende Gebühr die gänzliche Vergütung des Schadens übernehmen, den eine Ware zur See vder bei andern Gelegenheiten erleiden kann, nennt man Assekuranz- Kompagnien; die Gebühr aber, welche für die Ueber- nahme der Gefahr voraus bezahlt wird, heißt Asse¬ kuranz-Prämie. DiePrämie wird immer nach Perzenten berechnet, in¬ dem man nämlich die versicherte Summe mit der Prämie "/a multiplizier, und das Produkt durch 100 dividier. Beispiele. 1. Wie hoch ist die Assekuranz-Prämie von fl. 15280 von Triest nach Alessandria ä i°/g °/°? fi. 152 80 ä 1^/g °/o 88 20 . . . 1/4 ly IO - - - 210,10 — fl- 2I0„6- 2. Jemand versichert in Triest auf Waren im Betrage von fl. 16560 von Smirna nach Triest ä i/(r °/g; wie viel beträgt die Prämie? fl. 163 60 ä i'/? °/g 8 I 80 245,40 — fl. 245„ 24. 155 4. Sensarie. §. 118. Die Sensarie oder Mäcklergebühr (Lour- iaze) ist die Vergütung der Mühe, welche der Unter¬ händler hat, wenn er zwischen Kaufleuten desselben Ortes einen Kauf abschließt. Derlei Unterhändler hei¬ ßen Sensale oder Mäckler. Bei Waren wird die Sensarie nach Perzenten angegeben, und zwar gewöhnlich vom Verkäufer und vom Käufer gezahlt; bei Wechseln und Staats¬ papieren bestimmt man die Sensarie meistens nach Permille. Die Sensarie wird berechnet, wenn man den durch den Sensal unterhandelten Belauf mit den Perzenten oder Pecmille multiplizirt, und das Produkt durch ioo oder looo dividirt, je nachdem die Sensarie in °/> oder °/°° gegeben ist. Beispiele. 1. Wie groß ist die Sensarie bei einem Waren- betrage von fl. 528o ä 7° ? 5280 a 1/2 7» 26,40 — fl. 26,, 24- 2. Wie groß ist die Sensarie von gekauften Wech¬ seln im Belaufe von fl- 8500 ä 1 7°° 's 8,500 — fl. 8 „30. 5. Wie viel beträgt die Sensarie von einem Warengeschäfte von fl. 4580 zu 7°; wie viel be¬ kommt der Verkäufer, und wie viel muß der Käufer zahlen? 45 8o ä 7° 22,90 —fl. 22,, 54 Sensarie- 156 Der Verkäufer hat vom Käufer zu erhalten fl- 4580,,— ab die Sensarie ä °/>, „ 22„54 Der Verkäufer bekommt alfo ft. 4557„ 6. Der Käufer hat dem Verkäufer zu zahlen fl. 4580,,— dazu die Senfarie « V? 7° ,» 22,, 54 der Käufer muß alfo zahlen fl. 4602,, 54. 5. Provision und Ost ei-käoi-e. §. 119. Die Provision oder Kommission ist die Ver¬ gütung für die Mühe, welche ein Kaufmann har, wenn er ein Geschäft für Rechnung eines Andern besorgt, d. i. für einen Andern Waren oder andere Gegenstände einkauft oder verkauft. Derjenige, welcher ein Geschäft für einen Andern besorgt, heißt der Kommissio n är; derjenige aber, welcher dem Kommissionär die Aus¬ führung des Geschäftes aufträgt, der Kommittent. Die Provision wird nach Perzenten berechnet, in¬ dem man die Summe, worauf sie sich bezieht, mit den 7° multiplizier, und das Produkt durch 100 dividirt. Beim Einkäufe wird die Provision von dem Werthe des gekauften Gegenstandes, nachdem schon die dabei vorkommenden Auslagen dazu addirt wurden, berechnet. Die Provision wird dann zu jenem ganzen Betrage addirt. Beim Verkaufe wird die Provision von dem Werthe des verkauften Gegenstandes, ehe noch die da¬ bei vorfallenden Spesen abgezogen wurden, berechnet. Wenn beim Verkaufe der Kommissionär dem Kommit¬ tenten für den Käufer gut steht, so daß, wenn der 157 Käufer zur festgesetzten Zeit nicht zahlen würde, der Kommissionär statt seiner bezahlen müßte; so erhält der Kommissionär für diese Gefahr noch eine besondere Gebühr, welche Del crostoi-e heißt, und so wie die Provision nach Perzenten berechnet wird. Die Provi¬ sion und das Del oiocleno werden von dem übrigen Be¬ trage abgezogen; was übrigbleibt, ist der reine Er¬ trag (netto I'icavo) des verkauften Gegenstandes. Die Provision für Besorgung einer Versicherung wird von der versicherten Summe berechnet. Beispiele. 1. Wie viel beträgt die Provision von fl. 5460 zu l'/r 5460 ä 1V2 7° 27 30 81,90— fl. 8l„54- 2. Jemand besorgt den Einkauf von 1245 M Kaffeh ä fl Zo pr. Ztr., die Spesen betragen fl. 3 „35, Provision 2 7»; wie viel wird der Be¬ lauf sein? 124 5 K ä fl. Zo pr. Ztr. 373,50 — fl. 373 „30 Spesen 3 „35 fl. 377„ 5 377X2 t 2 -/. 7...12 H st. 7,,^ der ganze Belauf fl. 384,,37 3. Wie viel beträgt die Provision « '/2 7», und wie groß rst der reine Ertrag eines verkauften Wech¬ sels von fl. 1785,, 12? 156 17 85 X 7- Wechselsunnnc fl. i785„ 12 H^-fl.8,,56 ab Provision ä 7^ °/° » -56 netto rioavo fl. I776„l6- 4. Wie viel betragen die Assekuranzspesen auf versicherte fl. 8568 für Waren von Odessa nach Triest, wenn die Prämie zu 27« 7°, die Sensarie zu 7r 7° und die Provision a 7? 7° gerechnet wird? 85 68 X 27s 171 36 10 71 182,07 —fl. 182 „4 8 5 68 X 7» Versicherungs-Prämie ä. 27, 7° für versicherte fl-8568 fl. 182,, 4 Sensarie ä 74 7° > - - 21 „ 25 Provision ä.'/2 7° - - 42 „50 Assekuranzkosten fl. 2 46„iy. 21,42 fl. 21 „ 25 5. Ein Kaufmann in Wien verkauft für einen Triester Kaufmann 6 Fässer Lafclöhl, gewogen Lrutto 6485 K, 16 7°, zu fl. 30 pr. Ztr. auf 4 Monate Zeit; wie viel ist der reine Ertrag davon, wenn die Sensarie 7- 7°, die Provision 1'/° 7° und das Ool crkstki's 3 beträgt? 6 Fässer Tafelöhl Lr-utto 548 5 1'ai-a ü 1 6 7» 87 8 „ 5485X16 iXelto 460 7 « fl. Zo pr. Ztr. 329^0- 1382,10 — fl. 1382„6 877,60 lU 13 82 ä 72 7» ab Sens, ä 72 7°fl. 6„55l H-fl.6,,55 Prov.ä i7,7a„ 20 „45^ 0eI ei e.Z „ 4 1,, 301.6fl„ 1 0 reiner Ertrag fl. i3i2„56- 15!) Drittes Hauptstück. Die Thertrechmmg. 1. Die Durchschnitts- und Tcrminrechnung. §. 120. Die Durchschnittsrcchnun g wird angcwendct, wenn ein Ganzes, welches aus ungleichen Lheilen zu¬ sammengesetzt ist, in gleiche Theile getheilt werden soll. Sie zerfallt in die einfache und zusammen¬ gesetzte. Die einfache Durchschnittsrechnung findet Statt, wenn die Theile, aus welchen das Ganze zusammenge¬ setzt ist, nur unter einer Beziehung ungleich sind, in den übrigen Umständen aber überemstimmcn. Wenn aber die einzelnen Bestandtheile des Ganzen in mehr¬ facher Beziehung verschieden sind, so wird die zu¬ sammengesetzte Durchschnittsrechnung angewendet. §. 121. Bei der einfachen Durchschnittsrechnung ver¬ sähet man nach folgender Regel : Man addire die gegebenen Zahlen, und dividirc die Summe durch die Anzahl derselben- Beispiele. l- Jemand mischt dreierlei Weine, von dem ersten Weine die Maß ä 2« Kr., von dem zweiten <5 20 Kr., und von dem dritten « 18 Kr. ; wenn er nun 160 von jeder Gattung gleich viel nimmt, wie hoch kommt eine Maß der Mischung zu sichen? Hier sind die Bestandchcile der Mischung nur in Hinsicht des Preises ungleich, in der Menge stimmen sie üderein, daher gehört daS Beispiel zur einfachen Durchschnittsrechnung. i Maß des i- Weines kostet 28 Kr. 1 Maß „ 2. „ „ 20 „ 1 Ä)saß ,, o- ,, ,, 18 ,, I Maß der Mischung kosten also 66 Kr. . - : s daher 1 Maß 22 Kr. 2. Ein Silberarbeiter setzt feines (i6löthiges) Silber, 1 llöthiges Silber und Kupfer (olöthiges Sil-. ber) zu gleichen Lheilen zusammen; wie viel Lolh Sil¬ ber kommen auf eine Mark dieser Mischung? Zn 1 Mark feinen Silbers sind 16 Lth. Silber „ 1 Mark iilöth. „ „11 „ „ „ 1 Mark Kupfer „ „ o „ „ Zn 3 Mark derMifchung sind also 27 Lth. Silber, daher in 1 Mark 9 Lth. Silber. Die Mischung ist also Ylöthig. 3. Ein Gut gibt in 5 aufeinander folgenden Zähren nachstehenden reinen Ertrag: im ersten Zahre st. 2565,, 24 „ zweiten „ „ 2844 „ 44 „ dritten „ „ 2085 „ — „vierten „ „2 633 „17 „fünften „ „2408 „15 wie viel ist der reine jähr- . : liche Ertrag im Durchschnitte? st. 2507 „ 20. 161 §. 122. Bei dec zusammengesetzten Durchschnitts¬ rechnung beobachte man Folgendes: 1. Man schreibe die einzelnen Bcstandtheile unter einander, und die Zahlen, welche zu jedem Bestand- theile gehören, neben einander. 2. Man bestimmt den Betrag eines jeden Be- standtheils durch Multiplikazion der neben einander stehenden Zahlen. 2. Man addire sowohl die Zahlen, welche die Menge der einzelnen Bcstandtheile ausdriicken, als die erhaltenen Beträge und dividire die zweite Summe durch die erste; der Quotient ist der gesuchte Werth eines Lheils. Beispiele. 1. Ein Weinwirth mischt 4 Eimer Wein s si. 12, 3 Eimer « fl. 14, und 5 Eimer « fl. 15; wie viel wird ein Eimer des so gemischten Weines werth sein? Hier sind die Bestandtheile sowohl hinsichtlich ihrer Menge als ihreS Preises ungleich; eS wird daher die zusammengesetzte Durchschnittsrechnung angewendet. 4 Eimer äst. 12 — fl. 48 5 Eimer ir fl. 14 — „ 42 5 Eimer ä fl. 15 — „ 75 also kosten ,2 Eim. der Mischung fl. 165 -: 12 daher 1 Eimer „ „ fl. 13„45- 2. Jemand schmilzt 4 Mark i zlöthiges, 2 Mark l2löthiges und 3 Mark lolöthiges Silber; wie viel löthig ist die Mischung? 11 162 4 Mark islothiges Silber enthalten 60 Lth. Silber 2 „ 12 ,, ,, ,, 24 „ ,, 3 ,, 10 ,, ,, ,, 30 ,, ,, y Mark der Mischung enthalten also 114 Lth. - : Y also 1 Mark i2'/z Lty. 1 Mark der Mischung enthält demnach 12^ Lth- feines Silber, oder die Mischung ist 12^/zlöthig. 3. Ein Kaufmann mischt dreierlei Kaffeh, 8 chtz a 36 Kr., 9 ä 32 Kr.. und 7 -ftz ir 24 Kr.; was kostet 1 A des so gemischten Kaffeh? 8 K ä 56 Kr. — 288 Kr- 9 „ ä 32 „ — 288 „ 7 „ ä 24 „ — 168 „ 24 K Mischung kosten 744 Kr., >-. : S4 also 1 „ kostet 31 Kr. 123. Wenn mehrere in verschiedenen Terminen oder .Zcitfristen zahlbare Beträge auf einmal bezahlt werden, und man will die Zeit wissen, nach welcher diese Ee- sammtzablung zu geschehen hat, damit daraus weder dem Gläubiger noch dem Schuldner ein Nachtheil er¬ wachse; so wendet man die Termin rechnuug an. Man verfährt dabei nach denselben Regeln, wie bei der Durchschnittsrechnung. Sind nämlich.,, die einzelnen Terminzahlungen gleich, so braucht man nur die Zeiten, wann sie ge¬ leistet werden sollen, zu addiren, und die Summe durch die Anzahl derselben zu dividircn. Sind aber die Terminzahlungen verschieden, so hat man eine zusammengesetzte Lcrminrcchnung. 165 Dabei wird jede Terminzahlung mit der zugehörigen Zeit inultiplizirt; dann addirt man sowohl die Termin¬ zahlungen als die erhaltenen Produkte, und dividirt die zweite Summe durch die erste. Der Quotient, welcher zuletzt herauskommt, zeigt die Zeit an, wann die gesammte Zahlung zu erfolgen hat- Beispiele. 1. Jemand hat fl. 6000 in drei gleich großen Raten zu zahlen, und zwar fl. 2000 nach 1 Monate, fl. 2000 nach 4 Monaten, und fl. 2000 nach 10 Monaten; wann wird die Zahlung erfolgen, wenn ec die ganze Summe von fl. 6000 auf einmal abtra¬ gen will? fl. 2000 nach l Mon. „ 2000 „ 4 „ „ 2000 „ 10 ,, 3^1515 MoN. Die Zahlung wird also nach 5 Monaten zu leisten sein. 2. Eine Summe von fl. 10000 ist in vier Ter¬ minen zu bezahlen, und zwar: fl. 3000 nach 4 Mona¬ ten, fl. 2500 nach 6 Monaten, fl. 2000 nach 8 Monaten, und der Rest nach 1 Jahre; wenn nun die ganze Summe auf einmal erlegt wird, wann soll dieses geschehen? fl- 3000 nach 4 Mon. — 1 2000 „ 2500 „ 6 „ — 1 5000 „ 2000 „ g „ — r 6000 Rest „ 2500 „12 „ — 30000 1.0000 7.3000 —7 Mon. 9 Tag. Die Gesammtzahlung wird demnach in 7 Mona¬ ten y Tagen zu erfolgen haben. ir * 164 2. Die Gesellschaftsrcchnung. §. 124. Die Gesellschaftsrcchnung wird angcwendet, ivcnn cine Zahl in mehrere Theile getheilt werden soll, welche unter einander ein bestimmtes Verhältnis haben. Die Zahlen, durch welche dieses Vcrhältniß ausgedrückt wird, heißen Verhältnißzahlen. Z. B- Drei Kaufleute treten in Handlungsge- sellschaft; legt fl. 4000, L fl. 6000, L fl. ,0000 zur Handlung; sic gewinnen zusammen fl. 3ooo; wie viel gebührt einem jeden von dem Gewinne? — Hier muß der Gewinn verhältnismäßig nach den Einlagen getheilt werden; dieß ist also eine Gesellschaftsrechnung, in welcher die Einlagen 4000, 6000, 10000 die Verhältnißzahlen sind. Die Gesellschaftsrcchnung kommt vor bei Kom- xagniehandlungen, Bankerotten, Erbschaften, Schiffs- antheilen, Steuervcrtheilungen, Vermischungen, und verschiedenen Privatgeschäften. Man unterscheidet die einfache und die zu¬ sammengesetzte Gesellschaftsrechnung. Die einfache Gesellschaftsrechnung wird in sol¬ chen Aufgaben angewcndet, wo bloß eine Reihe von Verhältnißzahlen angegeben wird; kommen aber in einer Aufgabe mehrere Reihen von Verhältnißzahlen vor, so findet die zusammengesetzte Gesellschaftsrech- nung Statt. §. 125. Bei der einfachen Gesellschaftsrcchnung sind fol¬ gende Regeln zu beobachten: i. Man schreibe die Verhältnißzahlen in einer Reihe unter einander; sind sie Brüche, so werden sn' 165 auf einerlei Nenner gebracht, die Zähler bilden dann die Verhältnißzahlen. 2. Wenn alle Verhältnißzahlen durch dieselbe Zahl theilbar sind, so werden sie dadurch abgekürzt. 3. Wenn sich die Verhältnißzahlen nicht mehr abkürzen lassen, so werden sie addirt- 4. Die Summe der Verhältnißzahlen wird als Divisor, und die zu vertheilende Zahl als Dividend angenommen; den daraus erhaltenen Quotienten mul- tiplizirt man nach und nach mir jeder Verhältnißzahl, so hat man die verlangten Theile- Der Grund dieses Verfahrens läßt sich leicht ein- sehen. Daß erstlich durch daS Wsglassen des gemein¬ schaftlichen Nenners bei Brüchen das Verhältnis; der Theile ungeändert bleibt, erhellet daraus, weil zwi¬ schen Brüchen, welche einerlei Nenner haben, dasselbe Verhältnis; Statt sinder, als zwischen ihren Zählern. Auch durch daS Abkürzen aller Verhältnißzahlen durch einerlei Zahl wird das Verhältnis der Theile gar nicht geändert. Wenn man endlich die gegebene Zahl in so viele gleiche Theile theilt, alS alle Verhältnißzahlen zusammen Einheiten enthalten, d. h. wenn man die zu vertheilende Zahl durch die Summe der Verhälc- nißzahlen dividirc; so zeigt der Quotient den Theil an, welcher einer Einheit entspricht; uni dann den Theil, welcher irgend einer andern Verhältnißzahl entspricht, zu erhalten, braucht man nur den Theil für die Einheit d. i. den vorhin erhaltenen Quotien¬ ten mit dieser Verhältnißzahl zu mulriplizircn. Beispiele. 1. Drei Personen treten zu einem Handlungsge- ichäfte zusammen, und zwar gibt fl. 2800, L fl. 3600, und 6 fl. 4000; sie gewinnen damit fl. löoo, wie viel soll nun jeder bekommen? L66 fl. 2800 7 ; 50 X 7 — fl. 550 gewinnt L „ 3ÜSS 9 ; 50 X 9 — „ 450 „ L L „ 4ozös io ; 50 X io — „ 500 „ 6 26 § 1300150 fl. 1300 ganz. Gew. Hier lassen sich alle Verhältniswahlen zuerst durch 100 abkürzen, indem man 2 Nullen wegläsit, und dann noch durch 4; dadurch bleibc das Verhältnis der Theile ungeändert. Der ganze Gewinn von fl. 4300 ist nun so zu vertheilen, daß auf -4 7, auf n u, auf 0 io, also auf alle zusammen 26 gleiche Theile kommen; dividirt man daher die zu vercheilende Zahl 1300 durch die Summe aller Verhältniswahlen, näm¬ lich durch 26 , so zeigt der Quotient SO einen solchen Theil an; da aber -47, LU, 0 40 solche Theile bekommt, so muß man 50 noch mit den einzelnen Verhältniswahlen mulripliziren. 2- Zu feinem rothen Siegellak braucht man 4 Theile Terpentin, 1 Theil Kreide, 6 Theile Zinnober und 6 Theile Schellak; wie viel von jedem dieser Bestandtheile muß man zu 102Siegellak nehmen? Terpentin 4 ; 6 X 4 — 24 -jA Terpentin Kreide 1 ; 6 X 1 — 6 „ Kreide Zinnober 6 ; 6 X 6 — 56 ,, Zinnober Schellak 6 ; 6 X 6 — 36 „ Schellak 17^102^6 102 N 3- Vier Personen nehmen ein Lvttcrielooo; dazu gibt ss 30 Kr., fl. 1, 0 fl. i„30, O fl. 2; lojstooolüooo zusammen fl. 8000. 167 4- Jemand schuldet an fl. 5000, an 8 ss. 6000, an 6 fl. 8000, an O fl. 9000; sein Ver¬ mögen beträgt aber nur fl. 22820, wie viel wird jeder Gläubiger nun wohl erhalten? fl. 50-0-0- ; 815 X 5 —fl. 4075 bekommt^ L „ 6o-o-o. ; 815 X 6 — „ 4890 „ L 6 „ 80 0-0. ; 815 X 8 — „ 6520 „ 6 v „ yo-0 0. ; 815X9—,, ^235 „ O 28j2282o j,8l5 fl. 22820 zusammen - 42 140 5. Es sollen fl. 5610 nach dem Verhältnisse der Zahlen 7s- unter L, L, v vcrtheilt werden. 231 00 6. Drei Personen kaufen ein Schiff um fl. 24000. Davon zahlt fl. 12000, L fl. 8000, L den Rest; welchen Lheil oder Part wird jeder am Schiffe haben? Das ganze Schiff wird als Einheit angenommen, fl. 120-0-0- 3 hat also 7a — 7? Part L „ 80-0-0- 2 L „ „ °/s — 7. " „ 40'0'0' L 0 ,, /s ,, 6 168 7. M einem Schiffe hat '/,, L und 6 Part; wenn nun dieses Schiff ff. 18.45 Fracht verdient; wie viel wird der Antheil eines jeden betragen? 24 '/z 88 ; 76,875x8—fl.615M0 — fl.615»—erhält^. »7s 3 9 ; 76,875X9—» 691,875—»691 »53 » ü 6 7-« 1 7 ; 76,875X7—» 538,125—»538» 7 » 6 24 j 1845 > 76,875 fl. 1845 zusammen. 165 219 180 120 §. 126. Bei dec zusammengesetzten Gesellschaftsrech- NNNg hat man Folgendes zu merken: 1. Man schreibe die Verhältnißzahlen, welche auf denselben Lhcil Bezug haben, in einer Reihe neben einander, und die einzelnen Reihen unter einander. 2. Man multiplizire die neben einander stehen¬ den Verhältnißzahlen mit einander. 3- Die erhaltenen Produkte betrachte man als Verhältnißzahlen einer einfachen Gesellschaftsrechnung, nach welcher dann das Weitere gerechnet wird. Beispiele. 1- Drei Kaufleute sind mit einander in Gesell¬ schaft getreten, und haben zusammen fl- 4600 gewon¬ nen. Wenn nun fl. 2000 durch 8 Monate, 8 fl. 4000 durch 6 Monate, und L fl. 5000 durch 5 Monate in dem Gcsellschaftsfvnde liegen ließ; wie viel von dem Gewinne wird jeder von ihnen bekommen? fl. 2000 durch 8 Mvn. — 160'0'0' 2 6 „ 4000 ,, 6 ,, — 240 0 0- 3 6 „ 8000 „ 5 „ — 400'0'0' 5 10^4600^460 169 46o X 2 — fl. 920 gewinnt 460 X 3 — „ 1380 „ R 460 X s — „ 2300 „ 6 fl. 4600 ganzer Gewinn. Hier werden je zwei neben einander stehende Ver- hälinißzahlen multiplizier; denn es ist gleichviel, ob ä. fl. 2000 durch 8 Man. oder fl. 1K000 durch 1 Mon. v 6 4000 «, 6 v v v 21000 v 1 1, v0f/ 8000 v 5 k, v k, 40000 v 4 v in dem Fonde liegen läßt. Da nun im zweiten Falle die Zeit bei allen gleich ist, nämlich ein Monat, so hängen die einzelnen Antheile am Gewinne bloß von den Einlagen, nämlich den Produkten 1K000, 24000, 40000 ab, welche daher als Verhältnißzahlen einer einfachen Gesellschaftsrechnung betrachtet werden. 2. Vier Fleischer pachten eine Weide. läßt 30 Stücke durch 4 Monate, L 40 Stücke durch 6 Monate, 6 60 Stücke durch 3 Monate, O auch 60 Stücke aber durch 5 Monate darauf weiden. Sie zahlen einen Pachtzins von fl. 126; wie groß ist die Zahlung eines jeden? isti 126,9 fl. 126 zusammen. 3. Drei Gemeinden erhalten für einen Brücken¬ bau fl. 400 Lohn- Aus der Gemeinde arbeiteten 170 22 Mann dnrch 10 Tage zu 9 Ständen, aus der Gemeinde O 18 Mann dnrch 9 Tage zn 10 Stunden, aus der Gemeinde L 15 Mann dnrch 5 Tage zu 12 Stunden täglich. Welchen Antheil an jenem Lohne wird wohl jede der drei Gemeinden haben? 22 Mann durch 10 Tage L 9 St. — 1980- 99 » 18 » » 9 » » 10 » — 1620- 81 6 15 » » 5 » » 12 » — 900' 45 11 9 3 25 j 400!16 150 16 X 11 — fl. 176 bekommt die Gemeinde 16 x 9 „ 144 ,, „ „ 16 X 5 — „ 80 „ „ „ L fl. 400 zusammen. 3. Die Vermlschnngsrechnung. §. 127. Die Vermisch» n gsr ech nun g wird angewendet, wenn man das Verhältniß finden will, in welchem gleichartige Dinge von verschiedenem Gehalte mit ein¬ ander vermengt werden müssen, um eine bestimmte Mittelgattung zu erhalten. Z. B. Ein Weinhändler wollte einen Wein zu fl. 10 pr. Eimer haben, er hat aber nur Weine zu fl. kt und zu fl. 15; in welchem Verhältnisse müßte er diese beiden Gattungen mischen, damit ein Eimer der Mischung gerade den Preis von fl. 10 erhalte? -—- Dieß ist eine Vermischungsrechnung. Die Gattung, welche mau durch Mischung erhal¬ ten will, muß immer geringer sein als die beste, und besser als die geringste Sorte, die man zur Mischung nimmt. 171 §. 128. Wenn nur zwei Gattungen unter einander ge¬ mischt werden sollen, um daraus eine bestimmte Mit¬ telgattung zu erhalten, so beobachte man folgende Regeln: 1. Man schreibe die beiden zu vermischenden Gat¬ tungen unter einander, setze dazwischen einen Querstrich, und links desselben die Mittelgattung; rechts ziehe man einen aufrechten Strich. 2. Man bestimme den Unterschied zwischen der Mittelgattung und der geringern, und schreibe densel¬ ben rechts neben der bessern Gattung; dann bestimme man auch den Unterschied zwischen der Mittelgattung und der bessern, und setze ihn rechts neben der gerin¬ gern. Diese Unterschiede ^nd die Vcrhältnißzahlen der Mischung für die nebenstehenden Gattungen; sie wer¬ den, wenn sie durch einerlei Zahl theilbar sind, noch dadurch abgekürzt. Die Richtigkeit dieses Verfahrens laßt sich leicht cinsehen. Das, was der geringern Gattung bis zur Mittelgattung abgcht, muß die bessere durch ihren Ueberschuß ersetzen, je mehr sich also die geringere Gattung von der Mictelgattung unterscheidet, desto mehr von der bessern Gattung muß zur Mischung ge¬ nommen werden; die Menge der bessern Gattung oder die Verhältnißzahl der Mischung für die bessere Gattung wird also durch den Unterschied zwischen der Mirrelgattung und der geringern angezeigc. Umge¬ kehrt das, ivaS die bessere Gattung mehr wcrth ist als die Mittelgattung, muß durch Hinzusetzen der schlechter» ausgeglichen werden; man wird also um so mehr von der geringern Gattung in die Mischung aufnehmen, jo mehr sich die bessere Gattung von der Mictelgattung unterscheidet; dieser Unterschied ist also die Verhältnißzahl der Mischung für die gerin¬ gere Gattung. 172 Beispiele. 1. Ein Wirth braucht zum Ausschanke einen Wein zu 20 Kr. die Maß; er hat aber nur Weine, wovon die Maß 24 Kr., und 18 Kr. kostet; wie wird er diese beiden Gattungen mischen, um einen Wein zu dem gewünschten Preise zu erhalten? 24 2 r 20 — 18 4 2 Der Unterschied zwischen der Mittclgattung 20 und der geringere! 18 ist 2; er wird neben die bessere 2 t hinzugesetzt; der Unterschied zwischen der Micrelgat- rung 20 und der bessern 2 t ist 4 , und wird neben dis schlechtere 18 hingeschrieben. Die Nerhälcnißzah- len der Mischung sind also 2 und 1, oder abgekürzt 1 und 2, d. h. der Wirrh muß voi; dem bessern <2eine 1 Theil, von d^n schlechtem aber 2 eben solche Theile zusammemmschen, oder er muß von dem Weme zu 18 Kr. doppelt so viel zur Mischung neh¬ men, als von dem bessern zu 24 Kr. 2. Ein Goldschmid hat 17 und 2 2karatiges Gold; in welchem Verhältnisse wird er diese beiden Gattungen zusammensetzen, damit das Gemisch lykaratig sei? , Nimmt man also z. B. 3 Loth i?ka- — 3 ratigcs Gold, so muß man 2 Loth 2-rka- 22 2 ratiges Gold dazu nehmen, damit die Mischung lykaratig sei. 3- Wie viel feines Silber und Kupfer (olvthigcs Silber) braucht man zu einer Masse von 12 Mark lolöthigen Silbers? 16 13 12 Mark — 1Y2 Loth I 3 - o 3 16,192112 175 12 X 13 — 156 Lth — y Mark 12 Lth. feines Silber 12 x 3— 36 Lth. — 2 „ 4 „ Kupfer 12 ,, — zusammen Durch die Vermischungsrechnung wird hier gefun¬ den, das; feines Silber und Kupfer in dem Verhält¬ nisse 13:3 gemischt werden müssen; das Weitere geschieht nach der Gesellschaftsrechnung. §. 129. Manchmal will man auch mehr als zwei Gat¬ tungen zur Mischung verwenden, und zu diesem Ende das Mischungsverhältniß ausmitteln- Die Auflösung dieser Aufgabe ist unbestimmt, es lassen sich nämlich verschiedene Zusammensetzungen vernehmen, welche alle auf die verlangte Mittelgattung führen. Das Mifchungsverhältniß bei diesen verschiedenen Zusammensetzungen findet man nach folgenden Regeln: 1. Man schreibe die zu vermischenden Gattungen in der Ordnung von der besten bis zur geringsten, oder umgekehrt; links wird die Mittelgattung hin- gesctzt. 2. Man nehme nach und nach immer eine bessere und eine geringere Gattung, und vergleiche sie mit der Mittelgattung; den Unterschied zwischen der Mit¬ telgattung und der geringern setze man rechts neben der bessern Gattung, den Unterschied aber zwischen der Mittlern und bessern Gattung schreibe man rechts neben dec geringern an. So fahre man fort, bis jede Gat¬ tung mit einer andern verbunden wird. Oesters wird eine Gattung auch mit mehren, andern zusammenge¬ setzt, und zwar damals, wenn die Anzahl der bessern und geringern Gattungen ungleich ist, oder auch, wenn Man von einer Gattung eine größere Menge zur Mi¬ schung verwenden will; in solchen Fällen kommen dann 174 neben jener Gattung mehrere Unterschiede. Der Un¬ terschied, welcher neben jeder Gattung steht, oder wenn mehrere Unterschiede da sind, ihre Summe, ist dann die Verhältnißzahl der Mischung für die betreffende Gattung. Wenn man auf diese Art immer eine bessere und eine schlechtere Gattung so zusammensetzt, daß man die verlangte Mittelgattung erhält, so wird gewiß auch durch alle diese Mischungen zusammengenommen dieselbe Mittelgattung zürn Vorschein kommen. Beispiele. i. Ein Silberarbeiter braucht zu einer Arbeit I3lvthiges Silber; er besitzt nur feines und islöthi- ges Silber, und will auch Kupfer dazu mischen; in welchem Verhältnisse muß nun die Mischung geschehen? 16 15 15 — 0 13 13 13 13 3 4-2 5 Hier verbindet man zuerst iklöthiges Silber und Kupfer (olöthiges Silber», dann IS und Olöthiges Silber, und erhält so die Verhälrmßzahlen 13, 13, 5. Wenn man z. B. 13 Mark feines Silber, und 13 Mark isiöthigcs Silber nimmt, so muß man t> Mark Kupfer dazu setzen, um islöthiges Silber zu erhal¬ len; es ist wirklich 13 Mark ä 16 Lth — 208 Lth. Silber 1 e/ 15 v —4 195 f, ,/ 5 1/ rr, 0 f, 0 ,, ,, 31 Mark ä 13 Llh. — 403 Lrh. Silber. 2. Wie kann man Weine zu st. 26, 20, 16, 12 xr. Eimer mischen, um einen Wein zu erhalten, wovon der Eimer fl. 1» werth ist? 175 Dritte A rt. Man verbinde mit 6, mit O, L mit L- 14 Eim. ä fl. 18 —fl. 252- Vierte Art. 26 L 20 L 16 v ,2 24-6 6 8 84-2 Man verbinde mit 0, mit O. L mitO, 84 Z- B- 4 Eim- ä fl. 26 —fl. 104 6 3 5 „ ä„2O—„ 60 8 4 4 „ ü „ 16 —„ 64 10 5 5 ,, ä ,, 12 —„ 60 16 Eim. n fl. 18— fl- 288. Welche Vcrbindungsarten lassen flch hier noch vor¬ nehmen, und in welchem Falle wäre die eine oder die andere Art vorzuziehen? 17« Viertes Hauptstück. Die Gewinn - nnD WerLnstrechuung. 150. Wenn man für eine Ware mehr einnimmt, als man dafür ausgelegt hat, so hat man Gewinn; wenn man hingegen weniger einnimmt, als man aus- gclegt hat, so entstehet ein Verlust. Gewinn und Verlust werden entweder überhaupt oder in Perzenten angegeben; überhaupt, wenn man bestimmt, wie viel man au der ganzen Ware oder einer bestimmten Menge derselben gewonnen oder verloren hat; in Perzenten aber, wenn man angibt, wie viel bei 100 fl., welche man beim Einkäufe aus- gelcgt hat, gewonnen oder verloren wurde. Wenn Jemand z. B. ein Pfund um 18 Kr. einkauft, und dann um 22 Kr. verkauft, so sind 4 Kr. der Ge¬ winn überhaupt; würde er hingegen das Pfund nur um ist Kr. verkaufen können, so wäre 2 Kr. der Verlust, den er überhaupt bei einem Pfunde trägt. Die Redensart: 8 °/g gewinnen, aber bedeutet, statt fl. 100, die man beim Einkäufe ausgclegt hat, beim Verkaufe fl. 8 mehr als fl. 100 , also 108 einneh¬ men, und 8 °/g verlieren heißt, statt fl. 100, die man beim Einkäufe ausgclegt hat, beim Verkaufe fl. 8 weniger als fl. 100, also nur fl. 92 einuchmen. Die Kaufleute berechnen den Gewinn und Verlust gewöhn¬ lich in Perzenten. 177 's t n 'e >r t, n d r r t n e ; e Bei der Gewinn- und Verlustrechnung kommen drei Bestimmungen vor, die Auslage beim Ein¬ käufe, die Einnahme beim Verkaufe, und dec Gewinn oder Verlust. Wenn zwei dieser Bestim¬ mungen bekannt sind, so laßt sich daraus die dritte finden. Bei der Gewinn- und Verlustrechnung gibt es daher drei Hauptaufgaben; man fragt 1) nach der Auslage beim Einkäufe, 2) nach der Einnahme beim Verkaufe, 3) nach dem Gewinne oder Verluste. 1. Auslage beim Einkäufe. §. 131. Ist der Gewinn oder Verlust überhaupt gege¬ ben, so findet man die Auslage beim Einkäufe einer gewissen Ware, wenn man den betreffenden Gewinn von der für dieselbe Ware eingenommenen Verkaufs¬ summe abzieht, den Verlust aber zu der Verkaufssumme hinzu addirt- Ist aber der Gewinn oder Verlust in Perzen¬ ten gegeben, so findet man die Einkausssumme mittelst der Kelte. Beispiele. Jemand verkauft um fl. 580 Waren, und hat dabei fl. 68 Gewinn; wie viel hat er beim Ein¬ käufe für diese Waren ausgegeben? Verkauf fl. 580 ab Gewinn ,, 68 Einkauf fl. 512. 2. Ein Wirth schenkt 10 Eimer Wein zu 18 Kr. die Maß aus, und gewinnt dabei fl. 20; wie theucr hat er den Eimer beim Einkäufe gezahlt? 12 v 173 Verkauf bei einem Eimer 40 X iö Kr. — fl. 12 Gewinn „ „ „ °°/io — „ -r Einkauf bei einem Eimer fl. 10. 3. Bei einer um fl. L32 verkauften Ware mußte man fl. 20 verlieren; wie viel betrug die Einkaufs¬ summe? Verkauf fl. L32 Verlust „ 20 Einkauf fl- 852. 4. Wie hoch darf sich ein Kaufmann beim Ein¬ käufe eines Zentners Kaffeh einlassen, wenn er das Pfund um 40 Kr. verkaufen und dabei 16 °/g ge¬ winnen will? x fl. Eink. 100 -K 1 40 Kr. Verk- 60 1 fl. Verk. 116 100 fl. Eink. ; also x — fl. 57,, 28. 5. An einem Orte werden die Mandeln im Durchschnitte zu 24 Kr. pr. K verkauft; wie viel darf der Spezereihändler beim Einkäufe eines Zentners Mandeln auslegen, wenn er bei dem Verkaufe 15 Gewinn haben will? x fl. Eink- 100 1 24 Kr. Verk. 60 1 fl. Verk. 115 100 fl. Eink., woraus x — fl. 34„47. 2. Einnahme beim Verkaufe. §. 152. Wenn Gewinn oder Verlust überhaupt ange¬ geben sind, so erhält man die Verkaufssumme für eine bestimmte Mare, wenn man den Gewinn zu der für 17S dieselbe Ware ausgelegten Einkaufssumme addirt, den Verlust aber davon abzieht. Sind aber Gewinn und Verlust in Perzenten angegeben, so bedient man sich des Kettensatzes. Beispiele. 1. Es hat Jemand 45 Ellen Leinwand zu 20 Kr. gekauft; zu welchem Preise muß er die Elle wie¬ der weggcben, damit ihm ein Gewinn von fl. 3 bleibe? Einkaufswerth pr. Elle 20 Kr. Gewinn pr. Elle fl. — 4 „ Verkaufswerth pr. Elle 24 Kr. 2. Jemand kaufte einen Zentner Feigen um ff. 15, und verlor beim Verkaufe fl. 5; wie theuer mußte er das Pfund weggeben? Einkaufswcrth eines Zentners fl. 15 Verlust dabei „ s Verkaufswerth eines Zentners fl. 10, alfo Vcrkaufswerth eines Pfundes fl. '°/igg — 6 Kr. 3. Einem Tuchhändler kommen 4 Stück Luch ä 30 Ellen beim Einkäufe auf fl. 5l2; wie theuer wird er die Elle verkaufen, wenn er dabei 15 °/g gewinnen soll? * fl- Verk. 30 4 100 i Elle 1 Stück 512 fl. Eink. 115 fl. Verk- ; x — fl. 4 „ 54. 4- Ein Kaufmann gibt für 825 K Reis im Einkäufe fl. 100, und will io gewinnen; wie tbeuer muß daS Pfund verkauft werden? 180 X fl. Verk. 1 L 825 1OO fl. Eink. 100 lio fl. Verk. 1 6o Kr- Verk. ; x — 8 Kr. 5. In einer Handlung betrug das anfängliche reine Kapital fl. 12500; wie groß war das schließliche reine Vermögen, wenn sich beim Bücherschlusse ein Verlust von 12^ °/> zeigte? x fl. schliefst. Verm.i l 2500 fl. auf. Vcrm. 100187 /(z fl. schließt. Verm. woraus x — fl. 10937„30 folgt. 5. Gewinn und Verlust. §. 133. Um den Gewinn und Verlust überhaupt zu berechnen, wird beim Gewinne die Auslage für eine bestimmte Ware im Einkäufe von der Einnahme für dieselbe Ware beim Verkaufe, beim Verluste aber die Verkaufssumme von der Einkaufssumme abgezogen. Ist aber der Gewinn und Verlust in Perzen¬ ten zu bestimmen, so verfährt man nach dem Ketten¬ sätze, indem man immer mit der Frage anfängt: x fl. beim Verkaufe geben 100 fl. beim Einkäufe? Kommt mehr als 100 heraus, so hat man Ge¬ winn, und zwar zeigt die Zahl, um welche die ge¬ fundene Einnahme beim Verkaufe größer als 100 ist, die Gewinn-Perzente an; kommt weniger als 100 her¬ aus, so hat man Verlust, und zwar zeigt die Zahl, um welche die gefundene Verkaufsfumme kleiner als 100 ist, die Verlust-Perzente an; kommt gerade 100 heraus, so bat man weder Gewinn noch Verlust. 181 x fl. Berk- x fl. Verk. 100 fl. Eink. fl. 6„4O. gewogen Kollo 824 fl. 4»,,— „ 33„20 Beispiele- i. Jemand kauft um ff. 85o Waren ein, und 100 24 fl. Verk x — 80 , 55, also 19,45 "/g Verlust. zu fl. .33 „ 20 ein, und verkauft dann das Buch zu 12 Kr.; wie viel o/^ gewinnt oder verliert er, und wie groß ist sein Gewinn oder Verlust bei einem Batten? 100 fl. Eink. 10 Rieß 20 Buch 12 Kr. Verk. 60 i fl- Verk. X — 120 fl. Verk. also ein Gewinn von 20 "/0 Einnahme pr. Ballen Auslage „ ,, Gewinn pr. Ballen 3- Eine Parthie Kakao, kostet im Einkäufe fl. 245,,30; wenn nun der Zentner um fl. 24 verkauft wird, so entsteht die Frage, ob Man dabei gewinnt oder verliert, und zwar, wie viel überhaupt, und wie viel in °/g? Einkauf fl. 245,, 30 Verkauf „ 197 „46 Verlust fl. 47,, 44 162 4- Jemand beginnt eine Handlung mit fl. 42000; bei dem nach einem Jahre vorgenommenen Bücherschlusse ergibt sich ein reines Vermögen von fl. 51870; wie viel beträgt der Gewinn überhaupt, wie viel in o/^? schließt. Vermögen fl. 51870 anfangl. Vermögen „ 42000 Gewinn fl. Y870 x fl. schließt. V- 100 fl. anfangl. V. 42000 51870 fl. schließt. Verm. x — 12.5,5 fl. schließt. Verm. also Gewinn 23/^ °/g 5- Jemand kauft den Zentner Oehl um fl. 30, und muß dann das Pfund zu ,8 Kr. verkaufen; wie viel °/a gewinnt oder verliert er beim Verkaufe? x fl. Verk. 100 fl. Eink. 30 100 i 18 Kr. Verk. 60 1 fl. Verk. ; woraus x — 100 fl. Verk. Es ist alfo bei dem Verkaufe weder gewonnen noch verloren worden. §. 154. Wenn der Gewinn oder Verlust in °/g angegeben ist, und man will daraus den Gewinn oder Verlust überhaupt finden, so braucht man nur die Auslage beim Einkäufe, auf welche sich der Gewinn oder Ver¬ lust bezieht, mit den °/<, zu multipliziren, und das Produkt durch 100 zu dividiren. Beispiele- 1. Ein Wirth kaust um fl. 325 Weine, und gewinnt beim Verkauft 8 ; wie viel beträgt dec ganze Gewinn? 185 fl. 3 25 « 8 °/o 26,00; der ganze Gewinn ist also fl. 26. 2. Jemand kauft 350 Meßen Weizen zu fl. 5„ 12 und gewinnt beim Verkaufe 15 °/g; wie viel beträgt dieses? 550 Meßen ä fl. 3 „12 105 o 70 ..... 12 fl. 1120 Einkaufswerth, dazu 15 °/o Gewinn 56 00 168,00 ; Gewinn überhaupt ist also fl. 168. 3. Eine Parthie Wachs, welche im Einkäufe fl. 845 kostete, mußte mit 4 °/o Verlust verkauft werden; wie groß war der ganze Verlust? fl- 8 45 L 4 °/° 33,80 — fl- 33 „48 Verlust. §. 155. Um umgekehrt aus dem Gewinne oder Verluste überhaupt den Gewinn oder Verlust in °/g zu bestim¬ men, bedient man sich des Kettensatzes. Beispiele. 1. Eine Ware kostete im Einkäufe fl. 782, der Gewinn betrug fl. 117,, 18; wie viel wurde in °/o gewonnen? x fl. Gew. loo fl. Sink- 782 l i7/^a fl. Gew. ; x — 15 "X, Gewinn. 164 2. Zn einer Handlung betrug das anfängliche Kapital fl. 8460, der reine Verlust beim Bücherschlusse fl. 282; wie viel "/> wurde rein verloren? x fl. Verl. 100 fl. anfängl. Kap. 8460 282 fl. Verl. X 3'/, »/0 Verlust. E Fünftes Hauptstück. Die GeLdre-Hnurig. I. Abschnitt. Die Münzrechirung. §. 136. Münzen sind der Maßstab, nach welchem allge¬ mein der Werth der Dinge geschätzt wird. Man un¬ terscheidet wirklich geprägte und bloß fingirte oder Rechnungsmünzen. Jede geprägte Münze hat einen doppelten Werth, einen innern und einen äußern. Der innere Werth einer Münze ist der Werth des darin enthaltenen feinen Goldes oder Sil¬ bers; der äußere Werth aber ist der »Preis, zu wel¬ chem eine Münze in ihrem Lande ausgegeben werden soll. Der äußere Werth ist wegen der Prägekosten immer um etwas höher als der innere, er gilt auch bloß für das Vaterland der Münze; im Auslande werden die Münzen nur nach dem innern oder nach einem veränderlichen von mancherlei Umständen ab¬ hängigen Werthe angenommen und bezahlt- 137. Der innere Werth einer Münze wird durch den Münzfuß angegeben- Dieser ist die gesetzliche Be¬ stimmung, wie viele Münzen einer Art aus einer köl- 186 nischen Mark Gold oder Silber geprägt werden, wie viel in jedem Stücke feines Gold oder Silber und wie viel Zusatz enthalten ist. Bei Goldmünzen wird angegeben, wie viele Stücke man aus einer kölnischen Mark Gold von einer gewissen Feine prägt. So wird von den kaiserlichen Dukaten gesagt, daß 67 Stück aus einer kölnischen Mark Gold, 2ö Karat 8 Grän fein, geprägt werden. Bei Silbermünzen gibt man, wie viele Stücke man aus einer kölnischen Mark feines Silber prägt. So sagt man von dem Konventionsgulden, daß 20 Stück aus der kölnischen Mark fein Silber geprägt werden. In Bezug auf Silbermünzen sind in Deutschland folgende Arten des Münzfußes am üblichsten: 1. Der 20 Gulden fuß, nach welchem eine köl¬ nische Mark fein Silber zu 20 Gulden ausgeprägt wird; den Gulden theilt man in 60 Kreuzer « 4 Pfennige. Dieser Münzfuß, welcher auch der Kon¬ ventions-Kurantfuß genannt wird, ist in ganz Oesterreich üblich. 2. Der ichLhaler- oder 24'/, Guldenfuß, nach welchem aus einer kölnischen Mark fein Silber 14 Thaler ä 1^ Gulden oder 24'/, Gulden geprägt werden. Nach ihm rechnen die Staaten des deutschen Zollvereins; und zwar die norddeutschen, als Preu¬ ßen und Sachsen. Nach Lhalern zu Zo Silbergroschen a 12 Pfennige in Preußen, zu zo Neugrofchen ä 10 Pfennige in Sachsen; die süddeutschen Vereinsstaaten aber, als Baiern, Würtemberg, . . nach Gulden zu 60 Kreuzer ä 4 Pfennige. A. Der 24Guldenfuß ist ein bloßer Rechnungs¬ fuß. Er kommt in einigen deutschen Staaten unter 187 dem Namen der Reichsmünze vor; man thcilt dabei den Gulden in 60 Kreuzer « 4 Pfennige. 4. Der Hamburger oder Lübische Kurant¬ fuß, nach welchem in 11*/, Lhalern ä Z Mark oder in 34 Mark eine kölnische Mark fein Silber enthalten ist: l Mark hat 16 Schillinge ä 12 Pfennige oder venio-s lübifch. Nach diesem Münzfüße rechnet man in Hamburg und einigen norddeutschen Staaten. §. 138. Münzen, welche nach dem festgesetzten Münzfüße eines Landes ausgeprägt sind, heißen Kurantgeld. Jene Münzen, welche die kleinern Unterschiede auszu- gleichen bestimmt sind, heißen Scheidemünzen; sie sind von Küpser oder auch von Silber, jedoch allezeit geringhaltiger, als sie verhältnißmäßig sein sollten- Da der Münzfuß eines Landes oft in Kürze mehrere Veränderungen erleiden kann; so hat man in großen Handelsstädten besondere Banken oder öffent¬ liche Kassen errichtet, wo die Kaufleute ihr Geld nach einem selbst festgesetzten Werthe, welcher von dem lan¬ desherrlichen Münzfüße ganz unabhängig und daher unveränderlich ist, niederlegen. Dieses Geld heißt Bankogeld, und stehet, weil cs wenig in Umlauf kommt und daher nicht abgenützt wird, gewöhnlich um einige Perzente höher als das Kurantgeld. So ist in Hamburg das Bankogeld bei 23 besser als Kurantgeld, indem die kölnische Mark fein Silber zu 27^/g Mark Banko, und zu 34 Mark Kurant gerech¬ net wird, also 100 Mark Banko über 123 Mark Kurant geben. 159. Bei der Auswechslung gewisser Münzsorten. be¬ sonders der Goldmünzen, pflegt man entweder wegen 188 ihres großer» innern Gehaltes, oder wegen des leich¬ tern Transportes, oder wegen ihrer größer» Beliebt¬ heit ein Aufgeld über ihren gesetzlichen oder Rechnungs¬ werth dazu zu geben. Diese Zugabe über den Rech¬ nungswerts einer Münze wird das Agio genannt. Das Agio wird entweder pr- Stück oder in Perzenten bestimmt. Das Agio pr- Stück ist dec Unterschied zwischen dem gesetzlichen und dem von ver¬ schiedenen Umständen abhängigen veränderlichen Werthe eines Stückes. Z. B- der kaiserliche Dukaten gilt gesetzlich st. 4 „30 Konv.-Kurant, im Handel aber gibt man dafür bald fl. 4,, 33, bald mehr bald weniger, je nachdem die Nachfrage nach Dukaten stärker oder min¬ der ist; wenn nun fl. 4„33 der kurrente Werth eines kaiserlichen Dukatens ist, so ist 3 Kr. das Agio pr. Stück- — Das Agio in Perzenten wird angegeben, indem man sagt, um wie viel 100, welche in der bessern Münzsorte bezahlt werden, mehr werth sind, als 100 in der schlechter» Münzsorte bezahlt. Z. B- die kaiser¬ lichen Dukaten stehe» zu 1 Agio, heißt, 100 fl. in Dukaten gezahlt gelten 101 fl. in Konventionsgcldc. §. 140. In der Münzrechnung kommen gewöhnlich fol¬ gende Aufgaben vor: 1) Die Verwandlung verschiedener Münzsorten in die Rechnungsmünze eines Ortes; 2) Die Bestimmung unvollwichtiger Münzen, so wie ungeprägter Gold- und Silbermassen; 3) die Verwandlung des Geldbetrages des einen Ortes in den Geldbetrag eines andern Ortes mit Rücksicht auf den inner» Werth. Die Verwandlung verschiedener Geldbeträge nach 189 ki c e t c ? l > ihrem veränderlichen Werthe ist Gegenstand der Wcch selrcchnung. 1. Verwandlung verschiedener Münzsorten in die Rcchnungsmünzen eines Drtes. §. 141. Wenn dec Werth eines Miinzstückes in der Rech- nungsmünze eines Ortes gegeben ist, so findet man den Betrag für eine gegebene Anzahl solcher Münz- stiicke am bequemsten nach der walschen Praktik. Beispiele. 1. Wie viel in Konv.-Kurant betragen 62 kaiserl- Duk. « fl. 4,, 33? 62 kaiserl. Duk. « 4,,33 248 31 . 30 3„6 . . . . 3 fl. 282,,6 Konv.-Kur. 2. Wie viel Konv.-Kur. machen in Triest 125 Souverainsd'or ä 13,, 24? 125 Souv. L 13„24 375 4i„4O . . 20 8„2O . . 4 fl. id?5„— Konv-K. 3. Man verwandle 1728 Säulenthaler äst. 2,,3 in Konv.-Münze. 1728 Söul, ä 2„3 3456 86,, 24 . . 3 K--M. fl. 3542,, 24 IW 4. Zn Tuest stehen die soFrankenstücke zu fl. 7„40; wie viel K--K- machen 288 Stücke? 288 2oFeankst. ä 7,,40 2016 y6.20 y6.20 K.-K. si. 2208 5- Wie viel österreichische Iflrs betragen in Mai¬ land 214 römische Lcncli ü I.ii6 6„24 Lent.? 2l4 Lcuili a 6,, 24 1284 42„80 .... 20 8„56 .... 4 1335„3Ü Lentesimi. §. 142. Wenn eine Münzsorte gegen Agio-Perzente aus¬ gewechselt wird, so bestimme man zuerst den Münzbe- lauf nach dem Rechnungswerthe eines Münzstückes, von dieser Summe wird dann das Agio berechnet und dazu addirt; oder mau bedient sich dabei des Kettensatzes- Beispiele. 1. Wie viel K.-M. betragen 714 kaiserl. Duk. ä fl. 4 „30 mit 1 "/o Agio? 714 kaiserl. Duk- L4„30 oker x fl. K--M. 714 Duk. 2856 357 . 30 fl. 3213 mit 1 °/„ 32„8 Agio L 1 "s, fl. 3245 ,H-M. 1 4 7r fl. ohne Agr 100 101 fl. mit Agio x - fl. 3245 „8 K.-M. 19t 2. Wie viel betragen 125 Souverainsd'or » fl. 13 „20 mit L o/, Agio in K.-K-? 12 5 Souv. a 13,,20 Münzbelauf fl. i666„4O 3 15 Agioä2°/g„ 33„20 ^41^,40 . . 20 zusainm. K.-M.fl. 1700^ fl. 16 66„4O a 2 °/o 33,33 — fl. 33„20 Agio oder X fl. K.-K- 125 Souv. 1 i^/z fl. ohne Agio 100 102 fl. mit Agio ; x — 1700 K--K. 2. Bestimmung unvollwichtiger Münzen, wie auch ungeprägter Gold- und Silbermassen. §. 145. Unvollwichtige Münzen werden entweder nach einem Durchschnittspreise oder nach dem Gewichte be¬ stimmt. Im zweiten Falle wiegt man sie nach dem Gold- oder Silbergewichre des Ortes ab, und berechnet dann ihren Betrag al rnarco d- i- nach dem Wcrthe sür die Mark fein oder auch für die Mark rauh, und zwar mittelst des Kettensatzes, oder manchmal auch nach der wä!scheu Praktik. Beispiele. 1. 400 Stück unvollwichtige kaiserl- Dukaten werden im Durchschnitte zu fl. 4„25 gegen K--M. nm- gcsetzt; wie groß ist der Belauf? 192 4oo kaiserl. Duk. ä 4 „25 1600 133,.20 .... 20 53 „ 20 ... . 5 K--M. fl. i766„4o 2. Eine Parthie Laubthaler, 14 Loth 6 Gran fein, wog 24 Mark 10 Loth, wie viel betragen diese Laubthaler in K.-K. zu fl. 20,, 12 pr. Mark sein? x fl. K.-K. 24^/s Mark rauh 1 i4'/z Loth fein l t> 20 Vz fl. K.-K. Antwort: K.-K. fl- 445 „37. 3. 250 Stuck verschiedener Goldmünzen, gewo¬ gen 7 Mark io Loth 3 Ltch. werden zu fl. 274 pr. Mark rauh verkauft; wie viel fl. K.-M- hat der Käufer dafür zu bezahlen? 7 Mark 10 Lth. 2 Ltch- ä fl. 274 pr. Mark 7 Mark . . 1918 8 Lth- - - 137 2 ,, . . 34 „is 2 Ltch. . - 8 „33,75 1 „ - - 4 „16,87 2102,, 5,62 also K.-M. fl. 2102 „6- 4. Kaiserliche Dukaten stehen zu Triest 4,, 35; zu diesem Preise wird eine Parthie leichter Louisd'vr, gewogen 5 Mark 8 Loth 2 Ltch-, fein 21 Karat S/^. Grän verkauft; wie viel ist dafür in K--M- zu bezahlen? 195 X fl. K.-M. 1 2 3 2/ " /J L 5'/^2 Mark rauh 2l^/ig Karat fein Gold 6? kaiserl. Duk. 4V.2 st- K.-M. ; x — fl. i538„34 K.-M- §. 144. Der Werth ungeprägter Gold- und Sil« dermassen wird nach ihrem Gewichte, Feingehalte, und dem Werthe einer Mark.bestimmt. Ungcprägte Goldmassen werden häufig nach kaiserl. Dukaten bemessen, indem man angibt, wie viele kaiserl- Dnk. eben so viel fein Gold enthalten, als eine solche Goldmasse. Beispiele. 1. Eine Goldstange wog 6 Mark 5 Lth., und hat an Feingehalt 20H/4 Karat; wie viel ist der Be¬ trag davon in K.-K. ä fl. 317 pr- Mark sein? x fl. K.-K. 6°/,g Mark rauh 1 20/^ Karat fein Gold 24 317 fl. K.-K. ; x — fl. 1688 „23- 2. Ein Silber-Service wiegt 42 Mark 12 Lth., und ist fein 12 Lth. 13 Grän; wie viel ist das darin enthaltene Silber werth, wenn man die Mark fein Silber zu fl. 20,, 20 rechnet? x fl. K.-M. 42^ Mark rauh 1 12^/ig Lth- fein Silber lü 20^/z fl. K.-M. Antwort: fl. 6yi„it 3. Eine Goldmasse ist 2 t Mark 6 Lth. schwer, fein 17 Karat 10 Grän; wie viele kaiserl-Duk. hält diese Masse? x Duk. 21^ Mark rauh 17^/g Karat fein Gold 67 Duk. Antwort: 107y, 136 kaiserl. Duk. 13 194 §. 145. Wenn nwn den Münzfuß eines Landes für die Gold- und Silbermünzen weiß, so kann man daraus sehr leicht auch das Verhältnis) zwischen dem Werthe des Goldes und jenem des Silbers ableiten, indem man bestimmt, wie viel eine Mark sein Gold, und wie viel eine Mark sein Silber wcrth ist, und den ersten Werth durch den zweiten dividirt. Beispiele. i. In Oesterreich gehen fl. 20 auf eine Mark fein Silber, und 67 kaiscrl- Duk. ä fl. 4^ auf eine Mark Gold, fein 23^/z Karat; welches Vcrhältniß haben daselbst Gold und Silber gegen einander? Zuerst muß man den Werth für eine Mark fein Gold suchen. x fl. 1 Mark fein Gold 1 24 Karat fein Gold 23V; 67 kaiserl. Duk. i 4'/z fl. ; x — fl. 305,746 — fl. 305,, 45. 1 Mark fein Gold ist also fl. 305,746 werth 1 Mark fein Silber,, „ „ 20 ,, 305,746 : 20 — 15,2873. In Oesterreich gilt daher 1 Mark fein Gold i5,2873inal so viel als 1 Mark fein Silber, oder es verhält sich Gold zu Silber wie 15,2873 zu 1. 2. Im Königreiche Sachsen wird nach der Münz- verfafsung vom 20. Juli 1840 die Mark fein Silber zu 14 Lhalern ausgeprägt; die Goldmünze sind die Augustd'or, welche u 5 Thaler gerechnet werden, und deren 35 auf eine kölnische Mark Gold, sein 260 Grän, gehen. Wie verhält sich in Sachsen das Gold zum Silber? 195 x Thl. i Mark fein Gold 1 24 Karat fein Gold 1 12 Grän fein Gold 260 35 Augustd'or 1 5 Thl-, x — Lhl. 193,846. 1 Mark fein Gold —Thl. 193,846 193,846: 14 1 Mark fein Silber — „ 14 " - " 96,923 - - : 7 13,846 In Sachsen verhält sich also Gold zu Silber wie 13,846 zu 1. Vergleicht man das Verhältnis der beiden Me¬ talle in Oesterreich und Sachsen, so sieht man, daß in Oesterreich das Gold theurer, das Silber dagegen wohlfeiler als in Sachsen ist. 3. Verwandlung des Geldbetrages des einen .Ortes in den Geldbetrag eines andern Ortes. §. 146. Um den Geldbetrag des einen Ortes in den gleichgeltenden Betrag eines andern Ortes nach dem innern Werthe zu verwandeln, bedient man sich des Kettensatzes. Dabei bestimmt man nach dem Münz¬ füße, wie viele Stücke einer jeden der beiden Geld¬ gattungen aus einer kölnischen Mark fein Silber ge¬ prägt werden, und setzt diese beiden Ausdrücke einan¬ der gleich. Z. B. Es wäre Preußisch-Kurant in Konven¬ tions-Kurant zu verwandeln. Man weiß, daß 14 Thaler Preußisch-Kurant eine kölnische Mark sein Silber enthalten, und daß 20 Gulden Konventions-Kurant ebenfalls eine kölnische Mark fein Silber enthalten. 13 * 196 Daraus schließt man; 14 LH!- Pr. K. sind gleich 20 fl. K.-K. Beispiels 1. Wie viel in Konv.-Kurant geben Thl. 244,, 12 Silbergroschen Preußisch-Kurant? x fl. K.-K. 2 44'/z Thl. Pr. K. 14 20 fl. K.-K. ; also x — fl. 549„9 K.-K. 2. Wie viel Reichsmünze betragen fl. 7350,, 14 K.-K. ? X fl. Rchsm. 7350,233 fl. K.-K. 20 24 fl. Rchsm. X — fl. 8820,, 17. 3. Welchen inner» Werth in K.-K. hat ein rußischer Rubel? Auf eine feine Mark gehen 13 Silberrnbcl. x fl. K--K. 1 Rub. 13 20 fl. K.-K. Antwort: fl. 1,,32„1 K.-K 4. Welchen inner» Werth in K--K- haben 2125 Hamburger Mark Banko? Auf eine kölnifche Mark fein Silber gehen 27^ Mark Banko. x fl. K.-K. 2125 M. B. 27/^8 20 fl. K.-K. X — fl. 1538,,28 K.-K. 5- Wie viel in K.-K- ist ein Betrag von kranc8 675 iverth?^ Auf eine Mark fein Silber gehen 51,975 Kranes. x fl. K--K. 675 k'i-ancs 51,975 20 fl. K--K. x — fl. 258„26 K.-K. 6- Wie viel in K--M. geben 1524 neugriechische Drachmen? Auf eine Mark fein Silber gehen 58,047 Drachmen. 197 x fl. K.-M. 1324 Drachm. 58,047 20 fl. K.-M. Antwort: fl. 456,,i l K--M- Abtchmtt. Dre StaatspKpEerrechnmrg. §. 147. Staatspapiere (Obligazionen, Akzien) sind Urkunden , welche von dem Staate oder von öffentli¬ chen durch die Staatsverwaltung bewilligten Anstalten und Gesellschaften über dargeliehene oder eingelegte Kapitalien ausgestellt werden. Das Kapital, worüber ein Staatsxapier ausge¬ stellt ist, heißt das Nominalkapital oder der N en li- wert h desselben. Die meisten Staatspapiere sind verzinslich; man bezieht nämlich in bestimmten Terminen die In¬ teressen davon, und zwar nach einem bestimmten Zins¬ füße. Die Interessen der Akzien nennt man Dividende. Der wahre Werth der Staatspapiere hängt nicht bloß von ihrem Nominalwerthe, sondern auch von der Höhe des Zinsfußes, von deren Mangel oder Ueber- flusse, von dem Begehren und Anbieten, so wie von verschiedenen andern Umständen ab; die Staatspapiere sind also, wie die Waren dem Steigen oder Fallen unterworfen. Der veränderliche Werth der Staatspapiere wird der Kurs derselben genannt- Er bezieht sich entweder auf ein Stück, wie bei den Bankakzien a fl. 500, bei den Darlehen mit Verlosung vom Jahre 1834 ä fl. 500; oder auf 100 des Nominalwerthes, 198 wie dieß bei allen österreichischen Staatsschuldverfchrci- bungen der Fall ist. Z. B. Die Bankaktien stehen im Kurse zu 1634, heißt, jede Bankaktie ist fl- 1634 werth; die 5 °/g Metalliks-Obligazionen stehen » no, heißt, jede fl. 100 des Nominalwerthes sind fl. 110 werth. Wenn Jemand ein Staatspapier kauft, wofür noch rückständige Interessen zu beziehen sind; so muß er diese dem Verkäufer vergüten. 148. Für die Berechnung des Betrages eines Staats¬ papiers beobachte man folgende Regeln: 1. Man berechne den reinen Geldbetrag des Staatspapiers nach dem Kurse ohne Rücksicht auf die Interessen. Ist der Kurs pr. Stück gegeben, so findet man den Geldbetrag, wenn man den Kurs mit der Anzahl der Stücke multiplizirt. Ist aber der Kurs pr. loo des Nominalmerthes gegeben, so findet man den Geldbetrag, wenn man den Nennwerth mit dem Kurse multiplizirt, und das Produkt durch roo divi- dirt; gewöhnlich wird sogleich der Nennwerth noch vor dec Mulriplikazion durch 100 dividirt. 2. Man berechnet die rückständigen Interessen vom Tage, als sie das letzte Mal behoben wurden, bis zum Vcrkauftage. Die Interessen werden immer von dem Nominalkapitale gerechnet. Bei der Bestimmung der Zeit, für welche die Interessen schon verfallen sind, rechnet man die Monate zu 30 Tage, zählt aber den Verkauftag nicht mit. 3. Die rückständigen Interessen werden zu dem reinen Geldbeträge des Staatspapiers addirt; die Summe gibt den ganzen Betrag. 199 Diese Berechnung geschieht gewöhnlich rn einer von dem Verkäufer gefertigten lXola, worauf die Gat¬ tung des Sraatspapiers und der dafür bezahlte Be¬ trag gehörig bemerkt fein müssen. Beispiele. 1. Wie viel betragen 4 Stück Darlehen mit Verlosung vom Jahre 1834 im Kurse 717/4? 4 Stück a 717V4 K.-M- fl. 2869. 2. Was betragen 8 Stück 3 °/g Staatsschuld¬ verschreibungen a fl. 500 im Kurse zu 77/l? 8 Stück zu fl. 500 — fl. 4000 4000 im Kurse 77/l 40 X 77,5 K.-M- fl. 3100- 3. Jemand kauft am 20. Februar 6 Stück 5 Staatsschuldverfchreibungen ä fl. 5000 im Kurse zu iio"/,g mit den seit 1. November darauf haftenden Interessen; was ist der Gefammtwerth dieser Papiere? 6 Stück L fl. 5000 fl. 30000. 3000 0 X 110 > 7, g oder 33000 00 150 00 .... '/2 37 50 ... . 7z 18 75 . ... >/,z 33206,25 — fl. 33206,, 15 Drei volle Monate 90 Tage im Februar iS » lös' 300 X 110,68 75 332 06,25 —fl. 33206 „15 30000 --- 5 X 6000 also 5 x 10s fl. 545 L 6 7° —SO„50 LI"/, K. K. fl. 454„10 200 Man hat folgende Rechnung: IXoM über verkaufte fl. 30000 S 7, MetallW L 110"/,° - . K.-M. fl. 33206„15 Interesse seit 1. November » 454„1O K.M. fl- 33660„25. Wien am 20. Februar 1843. N. N. 4. verkauft am 15. Februar 6 Stück Bank- akzien « 1624; was ist der ganze Ertrag davon, wenn die 6 °/g Dividende am 1. Jänner behoben wurde? 6 Stück» 1624 6 Stück« 5oo fl. 9744 Geldwcrth fl. 3000 Nennwerth ein Monat 30 Tage 3000 — */2 X 6000 im Februar 14 „ alfo '/2 X 44 44 Tage fl. 22 Divid. iVot« über 6 Stück Bankakzien a 1624 . . K--M- fl. 9744 ordentliche Dividende für 44 Tage . . „ 22 K--M. fl. "9766' Wien am 15- Februar 1843. N. N. 5- Ein Wiener Handelshaus erhält von einem Triester Kaufmann 4 Stück 5 Staatsschuldvcr- schreibungen von « fl. 1000, um dieselben zu verkau¬ fen. Bei 3 Stück haften die Interessen seit 1. No¬ vember 1842, bei einem seit 1. Jänner ,843. Das Wiener Handelshaus verkauft nun diese Obligationen am 4. März 1843 im Kurse zu 110^, rechnet '/2 Voo Sensarie, °/g Provision und Porto fl. 3,-24 20 L K.-M.; welchen reinen Ertrag wird es dem Triester schuldig? 4000 im Kurse zu no^ gibt 40 X1 >0,7 5 443 0,0 —fl. 443a Note über Ilire verkauften 5 °/° Staatsschuld¬ verschreidungen pr. fl. 4000 ä. 1107, - - K.-M fl- 4430 Interesse von fl. 3000 für 123 Tage fl-51 „15 t » » » 1000 » 63 » » 8„45j. - » 60 fl. 4490„ — Sensarie 4 72 "/°« von fl. 4430. . . . fl- 2„13I Provision 4 72 "Z« von » 4400. . . . »22„27> Porto . . . . » 3„24§ . . . 28„4 bleibt Ihnen als reines Guthaben K.-M- fl- 4518„4 Wien am 4. März 1843. N. N. HI. Abtchmtt. Die Wechselrechnung. 149. Ein Wechsel ist eine das Wort Wechsel ent¬ haltende Urkunde, worin der Aussteller entweder sich selbst zur Bezahlung einer bestimmten Geldsumme ge- 202 gen den Gläubiger verbindlich macht, oder einem An- i dern aufträgt, dem Vorzeiger einer solchen Urkunde 8 eine gewisse Summe auszuzahlen. Diejenigen Wechsel, welche man auf sich selbst ausstellt, heißen eigene. r Z. B- in Wien kauft am 8. April von L in Graz Waren um fl. 2000, zahlbar nach 2 Monaten, s er gibt ihm nun darüber folgenden Wechselbrief: c Wien den 8- April 1843 2000 fl. K.-M. ' Zwei Monate nach stalo zahle ich gegen diesen meinen Wechselbrief an Herrn Joseph I! in Graz oder dessen Ordre zweitausend Gulden Konv.-Münze. Den Werth habe ich in Waren erhalten. < An mich selbst 1 in Wien. Wilhelm 1 Nach zwei Monaten ist dann in Wien nach Wechselstrenge verpflichtet, dem Vorzeiger dieses Brie¬ fes die darin genannte Summe bar auszuzahlen. Solche Wechsel, deren Zahlung nicht von dem Aussteller selbst geleistet wird, nennt man fremde oder trassirte. Z. B- Der Triester Kaufmann erhält Waren von L in Marseitle im Betrage von 135üo l^vano8; er sollte also diesen Betrag in Franken dahin versen¬ den. Es wäre nun nicht leicht möglich, die nöthige Menge Franken in Triest zu bekommen; und dann würde deren Versendung selbst wieder mit Kosten ver¬ bunden sein, und verschiedenen Gefahren unterliegen- In Triest ist aber L, welcher mit dem Kaufmanne D ! in Marseille in Rechnung steht. in Triest begibt sich daher zu 6, erlegt ihm eine Summe Konven- tionsgeldes, welche denselben Werth hat als jene 205 13560 ki-ancs, und erhält dafür von 6 folgenden Wechsel: Triest am 30. März 1843. 13560 Kranes. Drei Monate a äato zahlen Sie gegen diesen meinen ersten Wechselbrief an Herrn 0 oder dessen Ordre die Summe von dreizehntausend fünfhundert sechzig Franken. Werth empfangen. Sie stellen solche auf Rechnung laut Bericht von ki-ima. An Herrn O in Marseille. Karl ä.. Diesen Brief schickt der Triester an L in Marseille, welcher ihn dem O vorweiset, damit er sich erkläre, ob er'den Wechsel zur bedungenen Zeit bezah¬ len wolle. Wenn er sich dazu bereit erklärt, d. i. den Wechsel akzeptier, und ihn seiner Zeit auch be¬ zahlt, so hat seine Zahlung nach Marseille auf eine sehr einfache Weise berichtiget. Würde aber O den Wechsel nicht akzeptiren, so wäre der Aussteller des Wechsels L nach Wcchselstrenge gebunden , für die Wechselsumme und die damit gehabten Auslagen Ent¬ schädigung zu leisten. §. 150. Die im Wechsel bestimmte Zeit zur Zahlung der Wechselsumme heißt die Verfall zeit. Zur Angabe der Verfallzeit bedient man sich nachstehender Ausdrücke: inostio mit dem nachfolgenden Namen eines Mo¬ nates d. i. am 15. jenes Monats; ultimo mit dem Namen eines Monates d. i. am letzten desselben Monates; a stato d. i. vom Tage der Ausstellung; 204 ' s d. i. nach Brauch, l'n Deutschland ge¬ wöhnlich 14 Tage nach der Vorweisung; a vlsta oder nach Sicht d. i. am Lage der Vor¬ weisung ; pl-ssoiss d. i. genau am bestimmten Tage. Manchmal bestimmt man den Verfalltag auf die allgemein übliche Art, die Lage zu bezeichnen, z. B. den ro. August d. I. An vielen Orten besteht die Gewohnheit, daß nach dem im Wechsel bestimmten Verfalltage dem Be¬ zahlet noch einige Lage bis zur Zahlung gegönnt wer¬ den, sie heißen Respekttage, und sind an verschie¬ denen Orten verschieden. Wien hat 3 Respekttage. Von dieser Begünstigung sind aber ausgeschlossen: alle eigenen Wechsel, ferner alle fremden Wechsel, welche pi'ssciss oder er visla, oder auf so kurze Zeit nach Sicht oder a stalo lauten, daß die Frist zur Zahlung nicht einmal 7 Tage beträgt. Bei Wechselbriefen, die Respekttage haben, muß man zu dem Verfalltage die Respekttage dazu addiren, um den eigentlichen Zah¬ lungstag zu erhalten; bei Briefen die keine Respekt¬ tage haben, ist der Verfalltag zugleich der Zahltag. Wechselredukzion. 151. Mit den Wechseln geht cs im Handel so wie mit Waren. Wie der Preis der Ware nicht nur nach ihrer Güte, sondern auch nach der Zeit, wann die Bezahlung zu leisten ist, und nach dem Ueberflusse oder Mangel derselben bestimmt wird; so hangt auch der Werth eines Wechsels hauptsächlich von drei Um¬ ständen ab: von dem innern Werthe des dafür zu empfangenden Geldes, von der Laufzeit und von dem 205 Mangel oder Uebcrflusse solcher Wechselbriefe. Der innere Werth des fremden Geldes bleibt stets derselbe, r- in dieser Hinsicht würde sich daher der Werth dersel¬ ben Wechselsumme nicht ändern. Anders ist cs mit der Laufzeit; da der Käufer des Wechsels das dafür l'e bezahlte Ortsgeld während der Laufzeit entbehren muß, ). so wird er für eine bestimmte Wechselsumme fremden Geldes mehr oder weniger Ortsgeld anbieten, je nach- ß dem die Laufzeit des Wechsels kürzer oder länger ist. Eben so hat auch die Menge der Wechselbriefe und - ihrer Käufer Einfluß auf die Aenderung des Werthes - derselben ; sind viele Käufer aber wenig Briefe, so haben diese einen Hähern Preis; sind aber viele Briefe und e wenig Käufer, so müssen die Briefe zu einem niedriger» e Preise hergegeben werden. Daß aber gewisse Briefe h mehr oder weniger gesucht werden, rührt von man- ; cherlei Umständen her, besonders von den politischen e und Handelsverhältnissen. Wenn man z. B- mit einem e Staate den Krieg befürchtet, so stockt der Verkehr mit - demselben, jeder sucht seine Geschäfte mit jenem Staate ' ins Reine zu bringen, und die dahin lautenden Wech¬ sel zu verkaufen; diese Wcchselbriefe werden daher im Werthe fallen- Eröffnen sich Vortheilhafte Handels¬ verbindungen mit einem Lande, so wird der Verkehr mit demselben lebhafter, und die Wechsel dahin steigen im Werthe. ! Der fakende und steigende Werth eines Wechsels wird der Wechselkurs genannt. Der Wechselkurs enthält immer zwei Zahlen, deren eine auf das fremde Geld, die andere aber auf dessen Betrag im Ortsgelde sich bezieht. Eine dieser beiden Zahlen, meistens diejenige, welche sich auf das fremde Geld bezieht, ist unveränderlich, die andere aber ist veränderlich. Z- B. der Kurs von Wien 206 auf Mailand wäre: 99/4 fl. K.-K. für Zoo l^irs austriacste; hier ist das Mailänder Geld, nämlich Zoo Ostes auste. die unveränderliche Münzgattung oder Valuta, 99/4 st. K--K. aber die veränderliche Valuta, d. h. wenn von Wien auf Mailand gewech¬ selt wird, so werden immer ZOO Oles austeiaclrs zu Grunde gelegt, aber dafür in Konv.-Kurant nicht im¬ mer 99-/4 fl., sondern mehr oder weniger bezahlt, empfangen oder notirt- Lei der Angabe des Kurses wird gewöhnlich die unveränderliche oder beständige Valuta weder schriftlich noch mündlich bestimmt, sondern als bekannt voraus¬ gesetzt; man pflegt sogar bei der veränderlichen Valuta die Benennung wegzulassen. So schreibt und sagt man: Kurs auf Mai¬ land 99^/4. Das Verzeichniß aller Kurse eines Ortes auf andere Orte wird der Kurszettel genannt. Zum Verständnisse der verschiedenen Kurszettel und zur Kennt- niß der abweichenden Wechselweise» verschiedener Plätze gelangt man am besten im Geschäfte selbst. 152. Die Rechnung, wodurch man den Betrag eines fremden Geldes im Ortsgelde, und umgekehrt den Betrag eines Ortsgcldes in fremdem Gelde nach einem bestimmten Kurse findet, heißt die Wechselredukzion. Man bedient sich dabei meistens des Kettensatzes, manch¬ mal auch der wälschen Praktik. Beispiele. 1. Ein Wiener hat in Amsterdam eine Zahlung von fl. 2345 Anist. Kurant zu machen; er will diese Schuld durch einen Wechsel berichtigen; wie viel in 207 fl- X Konv.-Kurant muß cr in Wien für den Wechsel zah¬ len, Lhl. x fl. Konv.-K. 3 100 2 Da in geführt, und die Wechsel auf Hamburg meistens in Mark Banko gestellt werden; so pslegr man statt lOO Thl. Banko — i45 7- Rchl. K.-K. in der Rechnung den Kurs auf Mark Banko und Gulden K.-K. zu reduziren, indem man 200 Mark Banko alS die be- 7512^/2 Mark Banko 1 Lhl. Banko 145^/2 Rthl. K--K- 3 fl. K--K- x — fl. 5465,, 2i. Wien Buch und Rechnung nach Gulden 1357» Rthl- K.-K. 3 fl. K.-K. woraus x — fl. iyio. wenn der Kurs auf Amsterdam 135/^ ist (100 Amst. Kur. — 1357« Rthl. Konv.-Kur-)? 1 Lhl. Amst. — 2^/z fl. Amst. Kur- K.-K. 2345 fl. Amst. K. sel den Konv.-Kur. wird er dafür beziehen, wenn der Kurs auf Augsburg y87« steht (100 fl. Augsb. K. — Y87> fl. Wien. Konv.-K.)? x fl. Wien- K.-K. 30567^ fl- Augsb. K. 100 9874 fl. Wien. K.-K. x — fl. 3OI8„32. 3. Wien hat in Hamburg 7512 Mark 8 Schil¬ linge Banko zu fordern, und will diese mittelst eines Wechsels auf seinen Schuldner daselbst an sich bringen; er verkauft diesen Wechsel im Kurse zu 145^/2 (ioo Thl- Banko --- 145^/2 Rthl- K.-K.); wie viel in Konv.-Kur. wird Wien für diesen Wechsel einnehmen? 1 Lhl. — 3' Mark a 16 Schill. Banko. 2^/2 1 Lhl- Amst. K. 100 2 2. Ein Wiener stellt auf Augsburg einen Wech- von fl. 3056,,45 Augsb. Kurant; wie viel Gul- 208 X fl. 54S5„21. Ein Hamburger hat in Wien fl. 2580„27 gut; er stellt nun über diese Summe einen auf den Wiener aus, den er ä 145V« ver- 4 Konv.-K Wechsel kauft; wie viel Mark Banko wird er dafür beziehen? x Mark B- 2580,45 fl. K.-K. 1457« 200 Mark Banko alfo x — Mark 354o„ 15 Schill. 5. Ein Wiener ist nach Mailand für seine Rech¬ nung fl. 1748,,20 schuldig; er Übermacht dafür einen Wechsel ü 997« (300 Ho österr. — 9974 fl. Konv.- Kur.); auf wie viel I-ir« auslriaclio muß der Wie¬ ner den Wechsel stellen lassen? x L.ir« austr. ,748'/^ fl. K.-K. stgV» 300 istrs austr. x — Is.ii 6 5258,, 14. 6- Ein Wiener kauft einen Wechsel auf Paris über 5875 strancs im Kurse zu 1151/2 (300 Kranes — 115/2 fl- K.-K.) wie viel Gulden K.-K. wird der Wechsel betragen? ständige Valut!» annimmt, die Zahl aber, welche im Kurse Reichsthaler K.-K. anzeigr, unverändert als Gulden K.-K. ansieht. Die Richtigkeit davon erhellet aus folgendem Ansätze: 200 Mark Banko 1 Thl. Banko r-tsZ Rthl. K.-K. 3 fl. K.-K., daher x >45 7- fl. K.-K. x fl. K.-K. 3 100 2 Wenn also der Kurs >00 Thl. Banko für »457- fl. K.-K. nocirk ist, so kann man in der Rechnung auch annehmen: 200 Mark Banko für 1457- fl. K.-K. Die frühere Rechnung könnte daher auch so ange- setzc werden: x fl. K.-K.!?3i272 Mark Banko 20011-457- fl. K.-K. 209 li s s ) lmg Wechsel, den er im Kurse zu 9,, 48 (i Pfund St. — fl. y„48 K.-K.) verknust; wie viel empfängt er? 645g Pfund « 9,, 48 —129 ... l2 x fl. K.-K. 5875 Dianes 300 115 Vs 5- K.-K. x — fl. 226l„53. 7- Ein Wiener Kaufmann hat an einen Triester fl. 8215 „25 in Triest zahlbar zu fordern; Triest Über¬ macht einen Wechsel ä 9974 ; auf wie viel Gulden in Wien zahlbar muß der nach Wien zu sendende Wechsel gestellt werden? x fl. Wien 8215,42 ff. Triest 997- >00 fl. Wien x — fl. 823l)„i in Wien zahlbar. 8. Triest übermacht einen Wechsel auf Ankona über 1916 Lcufli im Kurse 2„3/2 (1 Louflo — fl. 2 „Z*/? Konv.-K.); um wie viel Gulden K--K. hat der Triester diesen Wechsel cingckauft? 1916 8cuäi a fl. 2 „3'/- 1916 - 95,8 . . . .3 15,967 . . . 3943,767 — fl. 3945,, 46 Konv.-Kur. 9. Ein Triester hat in London 645 Pfund Ster- zu fordern; diese Summe bezieht er in einem fl. 6321 K.-K. 10. Triest ist nach Smyrna 6080 Piaster schul¬ dig, und übermacht dahin einen Wechsel über diese Summe; wie viel in Konv.-Kur. wird der Triester für den Wechsel bezahlen , wenn der Kurs auf Smyrna 8°/g (ioo Piaster — 8^/3 fl. K.-K.) notirt ist? x fl. K.-K. 6080 Piast. 100 8^/g fl. K.-K. x — fl. 509,, 12. 14 210 §. 155. Um einen fremden Geldbetrag, welcher im Orte UM einige niedriger steht, am kürzesten in den Ortsbetrag zu verwandeln, berechnet man aus den bekannten zuerst die Wechscldifferenz, und zieht diese von dem fremden Geldbeträge ab. Verspiele. 1. Jemand kauft in Wien einen Prager Wechsel über fl. 2485 a yy'/^; wie viel muß er dafür be¬ zahlen ? in Prag zahlbar fl. 2485 ab Wechseldifferenz ä „ 12 „26 in Wien zahlbar fl. 2472„54. 2. Ein Triester hat in Wien fl. 2452„26 K.-K. zu fordern; er macht über diese Summe einen Wechsel, und verkauft ihn « yy7<; wie viel erhält er für die¬ sen Wechsel in Triest? in Wien zahlbar fl. 2452 „26 ab Wechseldifferenz ä „ 6„ 8 in Triest zahlbar fl. 2446,, 18. Wechseldiskont. §. 154. Es geschieht häufig, daß der Inhaber eines Wech¬ sels aus Geldnoth oder andern Beweggründen denselben an einen Andern, dieser vielleicht wieder an einen Drit¬ ten, u. s. iv. verkauft, bis endlich der lehre Käufer den Wechsel dem darin angewiesenen Bezahlet vorweisct und sich hie Wechselsumme bezahlen läßt. In solchen Fällen wird dem Käufer ein angemessener Abzug ge- 211 stattet, welcher von der Zeit abhängt, die der Wech¬ sel bis zum Zahltage noch zu laufen hat. Einen Wechsel vor dessen Vcrfallzeit kaufen oder verkaufen, heißt den Wechsel d isk on tiren. Der Abzug von der Wechselsumme, welcher dem Käufer eines Wechsels vor dessen Zahltage bewilliget wird, heißt der Diskont, auch Lconto. Er wird in o/o all' anno angegeben, und für die Zeit, welche der Wechsel noch zu laufen hat, wie das Interesse auf Lage berechnet. Lei der Bestimmung dieser Laufzeit zählt man auch den Lag mit, an welchem diskontirt wird, und rechnet die Monate zu so viel Lagen, als sie ihrer wirklich haben. Wird der Diskont von der Wechselstimme abge¬ zogen, so zeigt der Rest den gegenwärtigen oder biskontirten Werth des Wechsels an. Beispiele. 1. Wie viel beträgt der Diskont ä 5 °/,, und wie viel der diskontiere Werth eines Wechsels von fl. 6045, welcher noch 20 Lage zu laufen hat? 60 45 X 20 Wechfelsumme fl. 6045,,— iHyoo ab Diskont für 20T- „ 16,, 48 ^20,15 st g °/ diskontirtcr Werth fl. 6028,, 12 —3,358 a 1 0/0 1Ü,7Y2 — fl. t6„48 Diskont. 2. Ein per ullieno Mai ausgestellter Wechsel über fl. 845,, 15, wird am 27. März zu 5 dis¬ kontirt; wie viel beträgt der Diskont, und was ist der Werth des Wechsels am 27. März? Hier muß man zuerst die Anzahl Tage bestimmen, 14 * 212 welche der Wechsel noch zu laufen hat, d. i. die Zeit vom Tage des Verkaufes bis zum Zahltage. Verfalltag 51. Mai März 5 Tage dazu 3 Respekttage April 30 „ Zahltags Juni 845,, i5 69 Tage 845,25 X 69 7 607 25 50 715 0 58,322,25 y,72 » 6 —1,62 ä 1 °/o 8,1 — fl. 8„6 Diskont Wechfelfumme fl. 845,, 15 ab Diskont fl. 69 Tage s 5 °/o „ 8„ 6 Werth des Wechsels am 27. März „ 837,, 9 3. Ein Wechsel von fl. 2840„50, am 12. Juni auf 2 Monate a stalo ausgestellt, wird am 6. Juli zu 6 °/g diskontirt; wie viel ist der Wechsel an diesem Tage werth? Verfalltag 12. August Juli 26 Tage Zahltag 15. August August 15 „ 41 Lage 2 84O„5O 2840,833 X 4l 113 6.33 32 116,473,153 19,412 — fl. ist„25 Diskont 215 Wcchselsumme fl. 2840„50 ab Diskont fl. 41 Tage a 6 °/g „ iy„25 Werth am 6. Juli fl. 2821 „25 4. Wie viel wird man am 15. August für einen Wechsel von fl. 3428,, 12 pracise 13. Oktober, empfangen, den Diskont zu 5'/2 °/a gerechnet? Zahltag 13. Oktober 34 28,, 12 17 Lage 5428,2 ^0 " 34,28 2 a 6 "/0 — " — 2,86 7 S "/z °/g 60 ^.age 21,425 — fl. 31„2Ü. Wechfellumme fl. 3428,, 12 ab Diskont fl. 60 Tage L 5/^ °/g „ 31 „26 Werth am 15. August fl. 3396„46 5. Wie groß ist der dl'skontirte Werth eines Wechsels über fl. 4845 a uso, präsentirt am 28. Jänner, und zu 6 °/o diskontirt am 2. Februar? 48 45 X 13 Tag der Vorweisung 28. Jänner 14 535 Verfalltag 11. Februar . Zahltag 14. Februar — 10,497 —fl. 1O„3O. vom 2. Februar bis 14. Februar sind 13 Tage. Wechfelsumme fl. 4845,,— ab Diskont für 15 Lage ä 6 „ io„5o Werth des Wechsels am 2. Februar fl- 4834„3O. August Scptör. Oktober 214 Sechstes Hauptstück. Die WarenkalkuLazwn. §. 155. Es gibt zwei Hauptarten der Warenpreisberech- nungen, vorläufige oder unsichere, und gegründete oder sichere Berechnungen. Eine vorl ä n fige Rechnung oder ein sogenannter 6onto stnlo wird angewendet, wenn man Waren von einem fremden Platze bestellen, oder an einen fremden Platz versenden will, um zu erfahren, wie hoch bei¬ läufig im ersten Falle eine Ware des fremden Platzes an seinem Orte, und im zweiten, wie hoch beiläufig eine Ware seines Ortes an dem fremden Platze zu stehen kommt; und um daraus zu ersehen, ob die Be¬ stellung oder Versendung mit Vortheil verbunden wäre, oder nicht. Eine gegründete Kalkulazion aber wird ange¬ stellt, wenn der Kaufmann die bestellten Waren wirk¬ lich erhalten hat, und berechnen will, wie theuer eine Einheit dieser Ware an seinem Platze zu stehen kommt. 1. Vorläufige Kalkulazionen. §. 156. Die vorläufigen Kalkulazionen geschehen am vor- theilhaftesten mittelst der Kette. Man hat dabei auf den Preis der Ware am Einkaufsorte, auf den Kurs 215 r zwischen den beiden Orten, auf das Maß oder Gewicht, und auf die vorkommenden Abzüge und Kosten Rück¬ sicht zu nehmen. — Den Preis der Ware am Ein¬ kaufsorte und den Kurs zwischen den beiden Plätzen ersieht man aus den Preislisten und Kurszetteln. Das Verhältniß der beiderseitigen Maße und Gewichte findet man in desondern Handbüchern angegeben. Die ver¬ fallenden Spesen und Abzüge, welche auf den Preis der Ware Einfluß haben, müssen aus der Erfahrung bekannt sein. §. 157. Die Abzüge und Spesen, welche bei der Wareu- preisrechnung zu berücksichtigen kommen, sind entweder proporzivnirt, wenn sie auf Geld sich beziehen und in angegeben werden, z. V. Sensarie, Assekuranz, Provision, Skonto, Gutgewicht; oder unproporzio- nirt, wenn sie sich auf das Gewicht oder auf Fracht¬ stücke oder andere Umstände beziehen, z. B- Fracht, Lagergeld, Briefporto. Die proportionirten Spesen werden mit in die Kette genommen. Ob man dabei auf 100 oder in 100 rechnen, d. h. ob man die Perzente zu 100 addiren, oder von 100 abziehen solle, ergibt sich von selbst aus den Umständen der Aufgabe. So sagt man für 2 "/o Provision beim Einkäufe: statt fl. 100 müssen fl. 102 wegen der Provision gezahlt werden; beim Verkaufe: statt fl. 100 erhält man nur fl. y8 wegen der Provision. Auf welche Seite des Ketten- striches jede der beiden Zahlen gesetzt werden müsse, folgt ebenfalls aus der Natur der Aufgabe. Soll x wegen jener Abzüge oder Kosten großer ausfallcn, so setzt man die kleinere Zahl links und die größere rechts; und umgekehrt, wenn x wegen jener Umstände kleiner ausfallcn soll. 216 Die unproporzionirten Spesen werden für die Menge, wofür die Kette entworfen wurde, berechnet, und zu dem aus der Kette Herausgebrachten addiet. Was die Einrechnung der Abzüge und Spesen anbelangt, so müssen sie in derselben Ordnung in Rech¬ nung gestellt werden, wie sie in der Wirklichkeit bei der Ware selbst vorfallen. Beispiele.' 1. In Triest gilt der Zentner Kakao fl. 20, Spesen daselbst 2/2 °/g, Provision 2 Einfuhrzoll fl. 10, Fracht bis Laibach 56 Kr-, Spesen in Laibach 44 Kr. pr. Ztr.; wie hoch stellt sich ein Pfund von diesem Kakao in Laibach? x Kr- 100 100 100 1 l « 20 fl. 102^/2 wegen Spesen in Triest 102 wegen Provision 60 Kr. ; x — i2'/z Kr. ungefähr. Einfuhrzoll pr- Ztr- fl. 10 „ — Fracht bis Laibach „ „ ,, —„56 Spesen in Laibach „ „ „ —„44 zusammen fl. 11 „ 40 pr. Ztr., also 7 Kr- pr. -fA. In Triest kommt i 'ftz auf 12°/^ Kr- Spesen bis Laibach pr. 7 also kalkulirt sich 1 Kakao in Laibach 19^ Kr-, wofür man 20 Kr. nehmen kann. 2. In Hamburg gilt das N Portoricco-Kaffeh 7 Schill. Banko. Spesen daselbst sind I °/o, Provi¬ sion 2 "/o, Fracht bis Wien, Wegzoll und dergl- 14 °/g. Wenn nun der Kurs von Hamburg aus Wien 145 fl. pr- 200 Mark Banko ist, und wenn 217 lov Hamburger K L6V4 Wiener K geben; so ist die Frage, wie hoch kommt ein Wiener von die¬ sem Kaffeh? Ein Wiener kommt also bis Wien auf unge¬ fähr 26*/, Kr. K.-M. zu stehen. Z. In Livorno gilt der englische Piment zu 27 pr. 100 -ftz, Spesen daselbst 2/^ °X>, Provi¬ sion 2 °/o, Fracht und Assekuranz bis Triest 5 °/g- Wenn überdieß die Spesen in Triest fl. 2 „45 pr. i Ztr. betragen, wenn 100 in Livorno — 6oVz Wiener , und der Kurs von Triest auf Livorno Y7 fl. pr. 200 Iflrs Toscana ist; wie hoch kalkulirt sich der Wiener Zentner Piment in Triest? x fl. K.-K. 6o7. 100 100 100 300 100 loo Wien. N loo Livorn. N 27 »02 7- wegen Spesen in Livorno 102 wegen Provision 97 fl. K.-K. 105 wegen Fracht x — fl. 15,81 — fl. i5„4y. Ein Wien. Zentner kostet bis Triest fl. i5„4y Spesen in Triest „ 2 „45 also kommt ein Wien- Ztr. auf fl. i8„34- 218 4- In Triest bekommt man den Meiler Kisten¬ stahl N. oo zu st. 128. Nach Lissaboner Berichten kann daselbst die ^m-oba um 2550 Koos angebracht werden, und es ist der Kurs von Lissabon auf Triest st. 2„ 12 pr. 1000 Koos. Wenn nun die Seefracht bis Lissabon 8 st. pr. Meiler, die Assekuranz i/^ der Einfuhrzoll io °/o> und die Spesen in Lissabon 3 °/g betragen, und wenn i äni-oda — 26^/7 Wien. HA; so entstehet die Frage: wird sich für den Triester Kaufmann die Versendung von Kistenstahl nach Lissabon Vortheilhaft Herausstellen? 100 100 100 x — 156 st. K.-K. sammt Seefracht 1000 Koos 101 /s; wegen Assekuranz 110 wegen Einfuhrzoll 103 wegen Spesen in Lissabon 1883 Koos. X Koos! 26^/7 Wien. HA (i^i-l-oba) 1000 Dem Triester käme also eine Enooki in Lissabon auf 1883 Koos zu stehen; da er nun dort die ^i-noda um 2550 Koos anbringen könnte, so wäre die Spe- kulazion für ihn Vortheilhaft. 5- Ein Wiener ließe in Smyrna Feigen kaufen, und nach London zum Verkaufe senden. Der Oaoloro kostet in Smyrna 116 Piaster- Einkaussspesen daselbst 4// °/o- Provision 2 °/g, der Kurs von Wien nach Smyrna 480 1'ai-as pr. 1 fl. K.-M- (40 ?aias — 1 Piaster). Diese Feigen könnten in London zu 52 Schilling Sterl pr. .Zentner verkauft werden; die Assekuranzspesen sind 8^ °/>, Fracht 5 /g, Hafen¬ geld und andere Spesen 6 '/2 //, Sensarie '/? Verkaussprovision 2/^ °/o- Wenn nun der Laniaio — 97^/4 Wien. HA, i Londoner Ztr. — 90// 219 Wien, 'ftz, und der Londoner Kommissionär den rei¬ nen Ertrag in einem Wechsel zu fl. y„5opr. i Pfund Sterl- Übermacht; so ist die Frage, wie sich dieses Geschäft für den Wiener rentirte, ob er dabei gewin¬ nen oder verlieren würde, und zwar wie viel °/g? x — 126,5 Assekuranzspesen 8°/, °/o Fracht 5 „ Hafengeld u- dgl. 6*/r „ Sensarie 7- „ Provision 2/2 „ zusammen 23V4 °/o Der Wiener würde also gute Geschäfte machen, indem er dabei ungefähr 26 7- 7-, Gewinn hätte. 2. Gegründete Kalkulazionen. 158. Bei den gegründeten Kalkulazionen liegt meistens eine Faktura zu Grunde. So nennt man diejenige Rechnung, welche der Kommissionär über gekaufte und gesandte Waren macht, und dem Kommittenten zusendet. 220 In einer Faktura kommt vor: das Gewicht oder Maß der Ware am Einkaufsorte; die Abzüge an der Ware, als Para, Gutgewicht; der Preis für eine Gewichts- oder Maßeinheit; die Abzüge am Geldbeträge, z. B. Skonto; Spesen, Senfarie und Provision; fer¬ ner Transportkosten, als Assekuranz, Land - und See¬ fracht, Spesen an den Zwischenorten; endlich Kosten an dem Orte, wo der Käufer die Ware haben will. 159. Wenn die Faktura übereinen einzigen Waren- artikcl lautet, so berechnet man, wie hoch eine Ein¬ heit dieses Artikels am Orte, wo man ihn haben will, zu stehen kommt, wenn man den ganzen Faktura-Be¬ trag durch das Nettogewicht oder durch die Anzahl Stücke, überhaupt durch das Quantum der Ware dividirt. Beispiel. Ein Wiener Kaufmann erhält von Hamburg 3 Fässer Raffinade, gewogen 8p>oi-oo 935,984, 920, die beträgt 93, 102, 95; Gutge¬ wicht '/2 7,. Der i>ietto-Ztr. kostet 38 Mark Banko; Spesen, Zoll und Nebenkosten betragen 28 Mark Kurant, Kurantgeld steht um 22 7° schlechter als Bankogeld, d. h. 122 Mark Kur. — 100 Mark Banko; die Provision ist 2 7°, der Kurs von Hamburg nach Wien ist 145^/2 fl. pr. 200 Mark Banko; Fracht bis Wien 6^/, fi. pr. Ztr. 8^0000, Spesen in Wien fl. 4 „38. — Wie viel in K.-K. kostet von dieser Raffinade 1 Ztr. in Wien, wenn daselbst 2501 ssA brutto und 214 st'aim der Gewichtsbefund ist'? DieFaktura wird so zusammengcstellt und kalkulirt : 221 Faktura aus Hamburg über Raffinade für Wien- Obige 3 Fässer wogen hier 8poi-cc> W 2501, 1'aia N 214 ; also iXetto 2287. Der Wiener i>iello Ztr. Raffinade kalku- lirt sich also auf fl. 36 „74^/4. Probe. 2287 ^iXalloüfl. 36,,47^/4pr. Ztr. fl. 841 19 §. 160. Wird die Faktura über mehrere Artikel aus¬ gestellt, so berechnet man für jeden einzelnen Artikel den Einkaufspreis sammt allen Spefcn am sichersten, 222 wenn man zuerst die unproporzionirten Spesen zusam- menaddl'rt, und dann mittelst der Gesellschaftsrechnung auf die einzelnen Gattungen vertheilt, indem man dabei die Gewichte oder Maße als Verhältniswahlen annimmt. Hierauf zieht man die Summe der unproporzionirten Spesen von dem ganzen Fakturabeträge ab. Den Rest, welcher den Warenbetrag sammt den xroporzionirten Spesen aller Artikel anzeigt, vertheilt man ebenfalls auf die einzelnen Gattungen, und zwar nach Verhält- niß der Warenbeträge am Einkaufsorte ohne Spesen. Wenn man nun für jeden Artikel die unproporzionirten Spesen und den zugehörigen Warenbetrag sammt pro- prozionirten Spesen addirt, so gibt die Summe an, was ein ganzer Artikel sammt allen Spesen kostet. Wird dann diese Summe noch durch das-am Orte befundene Ouantum jeder Ware dividirt, so findet man, wie hoch eine Einheit jedes Artikels sammt allen Kosten zu stehen kommt. Beispiel. Ein Triester erhält aus Livorno folgende Waren: 18 Säcke sizilianische Mandeln, gewogen Loutto 4581 N, 3 und Gutgewicht 1^/2 U pr. Sack, ä 36 I-.il 6 toscanv pr. 100 12 Ballen Mocca-Kaffeh, Li-utto 4843 6 und Gutgewicht 2 N pr- Vollen, ä 78 Istl-s pr- 100 Spesen in Livorno: Emballage, Wägen und Einfchiffen ITns 64,, 8; Courtage ^7»; Wechselcourtage, Stempel, Briefporto und kleine Spesen I^ii-S 8 „ 2 „ 4 ; Provision 2 7>. Spesen in Triest fl. 57„35 ; Assekuranzkosten fl. 2y„i8; Fracht bis Triest 1 fl. pr. Wiener Ztr. Lrullo. Wie theuer kommt dem Triester ein Wiener iVetla Ztr- von jedem der beiden Artikel zu stehen, wenn in 225 Livorno 3 o/° Lconto bewilliget wird, der Kurs auf Livorno y6^ fl. pr. 300 Istro ist, wenn ferner in Triest die Mandeln 2734 Netto, der Kaffeh 5730 Li-utto befunden werden? 1 Istre hat 10 Lolcli a 12 Oenari 61 I.ira. Faktura aus Livorno für Triest. v. 18 Säcke sizilianische Mandeln vrutto 4581 8", l'ara 3 8' pr. Sack 54 8 Gutg. 1^/j 8" » » 27 » 81 » 81 8 Netto 4500 8 L 36 Iure pr. 100 8" - liro 12 Ballen Mocca-Kaffeh vrutto 4843 8, 1'aru 6 l« pr. Ballen 72 8 Gutg. 28» » 24 » 1620 96 » 96 » Netto 4747 K ü 78 lire pr. 100 t? . . lire ^^02 ab Leoute ü 3 7° 5322 159 6„7 6„10 5162 9„9 Spesen in Livorno: Emballage, Wägen und Einschiffen lire 64„8 Courtage 4 '/2 V» » 25,,8„2 Wechselcourt., Stempel, Briefp-u-kl Sp.» 8„2„^ 98 8„6 Provision 2 7° 5261 104 8„3 2„4 liire 5366 —„7 ö 96 .K--M- fl. 1721 Spesen in Triest fl- 37„35 Affekuranzkvsten » 29„18 Fracht bis Triest v. 5710 8 vr.ülfl.pr. Ztr.» 57„ 6 Kleine Spesen .. » 3„30 127 Gesammtkosten K--M- fl- t849 36 29 S 224 Kalkulazion. Unproporzionirtc Spesen: in Livorno lAre 73„—„4 ä 96 7, ... fl. 23„26 vis Triest und in Triest » 98„11 fl. 121„37 Hier befunden !>'etto 2734 8 Mandeln » 2891 » Kaffeh 5625 >121,617 >0,021621 2734x0,021621-59,112 ; also für Mandeln . . . , fl. 59„ 7 und für Kassel) der Rest . . » 62„30 Ganzer Fakturabetrag fl. 1849,, 5 ab unproporzionirtc Spesen . . . . » I2l„37 Warenbetrag sammt prop. Spesen fl. 1727„28 Mand. l>,re 1620 Kaff. » 3702„6„7 5322,66 >1727,47 10,324738 1620 X 0,324738 —526,076 also auf Mandeln . . . . fl. 526„ 5 nnd auf Kassel) der Nest . . » 12O1„23 Es kommen also auf d>etto N 2734 befund- Mandeln unproporzionirtc Spesen fl. 59„ 7 Warcnbetrag sammt prop. Spesen » 526„ 5 zusammen fl. 585„12 also kommt 1 W- Ztr. Xetto Mandeln auf fl. 21„247» Auf hier Xotto Ä 2891 befund. Kaffeh fallen unproporzionirtc Spesen fl. 62„30 Warenbetrag sammt prop. Spesen » 12O1„23 zusammen fl. 1263„53 also kalkulirt stch der dietto Ztr- Kaffeh auf fl. 43„43 7, Probe. 27348Mand.^fl. 21„24'/, pr-Ztr- . . . fl. 585„12l 289t t7Kaffehäfl.43„437spr.Ztr. - , . »I263„S4>" ' Seite Einleitung. Von der Rechenkunst überhaupt Erster Theil. Die reine Rechenkunst. Erstes Hauptstück. Das Rechnen mit mrbenannten Zahlen. I. Abschnitt. Das Rechnen in ganzen Zahlen. 1. Dekadisches Zahlensystem 2. Das Addiren S. DaS 4. Das Multipliziren 5. Das Dividiren . 6. Vortheile beim Multipliziren und Dividiren gan¬ zer Zahlen 7- Theilbarkeit der Zahlen Sette I?. Abschnitt. Das Rechnen in Brüchen . 27 1. Gemeine Brüche . 28 2. Dezimalbrüche . 40 Zweites Hauptstück. Das Rechne» mit benannten Zahlen. 1. Benannte Zahlen und ihr Zusammenhang . . 53 2. Die vier Rechnungsarten mit einnamigen Zahlen 61 8. Die vier Rechnungsarten mit mehrnamigen Zahlen «4 4. Die wälsche Praktik. 7 7 Drittes Hauptstück. Die Proporzionenlehre. 1. Verhältnisse .. 89 2. Prvporzionen . »3 3. Die einfache Regeldetri . 98 4. Die zusammengesetzte Regeldetri . 105 5. Der Kettensatz . 10» Anhang. Von dem Quadrate und der Quadratwurzel . . . 117 Zweiter Theil. Die angewandte Rechenkunst. Erstes Hauptstück. Die Znteressenrechnung . 127 1. Berechnung der Interessen . 128 2. Berechnung des Kapitals . 135 3. Berechnung der Zeit . 136 i. Berechnung des Perzentes .136 5. Berechnung deS WertheS eines Geldbetrages nach oder vor einer bestimmten Zeit. 187 a. Nach den gewöhnlichen Interessen . . . 137 b. Nach Zinseszinsen.. . ,40 Zweites Hauptstück. Berechnung der im Handel vorkommenden Abzüge und auf den Geldbetrag fich bezie¬ henden Nebenkosten. 1. Tara und Gutgewicht.'147 S. Skonto . 152 3- Assekuranz . 154 4. Sensarie. 15g 5. Provision und vol ovodoi-s izg Drittes Hauptstück. Die Theilrechnung. 1. Die Durchschnitts - und Lerminrechnung . . . 15S 2. Die Gesellschafcsrechnung . 164 3. Die Vermischungsrechnung . .170 Viertes Hauptstück. Die Gewinn- und Verlustrechnung i?6 >. Auslage beim Einkäufe.177 2. Einnahme beim Verkaufe . 178 3. Gewinn und Verlust.180 Fünftes Hauptstück. Die Geldrechnung. L. Abschnitt. Die Münzrechnung.iss t Verwandlung verschiedener Münzsorten in die Rechnungsmünze eines Ortes . 18S Seite 2. Bestimmung unvollwichtiger Münzen, wie auch ungeprägter Gold - und Silbermassen . . . isi 3. Verwandlung deS Geldbetrages deS einen Ortes iss in den Geldbetrag eines andern Ortes . . . II. Abschnitt. Die StaaLspapierrechnung . . . . i«? III. Abschnitt. Die Wechselrechnung soi Wechselredukzion . 204 Wechseldiskont . 210 Sechstes Hauptstück. Die Warerrkalkulazion. 214 1. Vorläufige Kalkulazionen . 214 s. Gegründete Kalkulazionen .. 2is Berichtigungen. Seite Zeile 13 2 v. oben ist statt einziffrig zu lesen: zweizissrjg. 27 1 v. unten» » heilet » » theilet. 32 3 v. unten ist an die leere Stelle hinter der zweiten Anic 8 zu setzen. 70 17 und 18 von oben ist statt 49 zu lesen 41- 97 10 v. unten ist nach des cinzuschalten: Getreides. 143 10 v. unten ist statt 2250,0 zu lesen: 2205,0. 150 2 v. unten schalte man nach Sack ein: und Gutge¬ wicht 2 K pr- Sack. 152 5 v- oben ist statt 55 zu lesen: 54. 154 ü v. oben » » 641 „1 zu lesen 641 „2 .166 u. s. f. sind die Nullen mit einem Punkte als durchgcstrichen anzuseken. 186 7 v. unten lese man: ßen, Sachsen,... nack. SSISV2 ir>I s 8SSSS4S2SS4 -_