azani knjigi 1-40 K, vezani Geometrija za tretji razred srednjih šol Priredil Josip Mazi, c. kr. realčni profesor v Ljubljani. 83 slik. Cena nevezani knjigi 1-40 K, vezani 1'80 K. Kot učno knjigo potrdilo visoko c. kr. ministrstvo za bogočastj in pouk dne 19. oktobra 1911, št. 43.263. V Ljubljani 1911. Založila Katoliška Bukvama. Natisnila Katoliška Tiskarna. Tj[H 388] 8 L t^J>^goo3^SO I. Primerjanje in merjenje premočrtnih likov. 1 . Imenuj like, ki jim že znaš določiti ploščino ! Kako imenujemo kvadrat, čigar stranica je enaka enoti dol¬ gostim mere? Razloži znake m 2 , dm 2 , cm 2 , mm 2 , a, ha, km 2 ! Pravokotnikovo ploščino določimo, ako doženemo število enot ploskovne mere, ki popolnoma pokrijejo likovo ploskev. Pokrivanje pravokotnikove ploskve z enoto plos¬ kovne mere ni vedno izvršljivo. Kako izračunamo kljub temu mersko število njegove ploščine, če so nam znane sestavine, ki določajo pravokotnik? Jasno je tudi, da je nemogoče z enoto ploskovne mere popolnoma pokriti ploskev poševnega paralelograma, trikotnika, trapeza i. t. d. Raziskovali bomo, kako je do¬ ločiti ploščino tudi tem likom. Mislimo si tri dvorane, prva ima tla kvadratne, druga pravokotne, trelja okrogle oblike. Kaj sklepamo glede na velikost talnih ploskev, če gre v vsako dvorano enako število ljudi? Drug primer: Ali se razlikujeta ploščini kvadrata s stranico s = 4 cm in pravokotnika s strani¬ cama a = 2 cm in h = 8 cm? Ako imata dva lika enako ploščino, pravimo, da sta plošč insko enaka. a) Nariši dva kvadrata, n. pr. s stranico s = 3 cm, ter ju izreži ! Kako pokažeš, da se lika, ki sta skladna, ne razlikujeta glede na ploščino? h) Prereži vsak kvadrat po eni diagonali! Kakšne trikotnike dobiš? Sestavi iz dveh trikotnikov enakokraki pravokotni trikotnik (slika 1., pomanjšana), iz drugih dveh Mazi, Geometrija II. t Ploščinsko enaki liki. Ploščinsko enak = flachen- gleich. 2 pa poševni paralelogram (slika 2., pomanjšana)! Ali sta lika ploščinsko enaka? Zakaj? (1 = I, 2 = II; 1 -j— 2 = I -j— H.) c) Nariši in izreži zopet dva kvadrata s stranico s = 3 cm ter razdeli vsakega na devet skladnih kvadratov (slika 3. in slika 4.)! Razreži nato kvadrata po krepko Slika 3. Slika 4. označenih črtah! Prvi kvadrat razpade na lika 1 in 2, drugi pa na lika I in II. Primerjaj lika 1 in I, kakor tudi lika 2 in II glede na njiju ploščino! Ako pomaknemo lika 2 in II vzporedno prvotni legi proti levi, dobimo lika, kakor ju kažeta sliki 5. in 6. Lika sta sestavljena iz dveh ploščinsko enakih, toda ne skladnih delov. Ali sta ploščinsko enaka? Iz navedenega sklepamo, da sta dva lika ploščinsko enaka: a) ako sta skladna, b) ako sta sestavljena iz skladnih delov, c) ako sta sestavljena iz plo¬ ščinsko enakih delov. Ali sta dva osjesimetrično ali dva središčnosimetrično ležeča lika ploščinsko enaka? 2 . Nariši paralelogram ABCD z osnovnico o = 2 cm in z višino v = 3 cm ter ga izreži (slika 7.)! Ako odrežeš liku pravokotni trikotnik I ter ga pomakneš proti levi v lego T, dobiš pravokotnik ABCJJ^. Paralelogram ABCD in pravokotnik ABC 1 D 1 sta ploščinsko enaka; oba imata isto osnovnico in enako višino. D, Ce rt D c, c Vsak paralelogram je ploščinsko enak pravokotniku z enako osnovnico in enako višino. Položimo katerikoli paralelogram z osnovnico o = 2 cm in z višino v — 3 on, n. pr. ABC 2 D 2 (slika 7.), tako na para¬ lelogram ABCD, da se krijeta osnovnici! Opazujmo trapez ABCD 2 ter trikotnika BCC 2 in ADD 2 ! Ako pomaknemo prvi trikotnik vzporedno proti levi, pokrije drugega. Tri¬ kotnika sta skladna. Če odvzamemo trapezu prvi trikotnik, ostane paralelogram ABC 2 D 2 , če mu pa odvzamemo drugi trikotnik, ostane paralelogram ABCD. Odšteli smo istemu liku vsakikrat enak lik, torej sta tudi ostanka enaka. Paralelogrami z enakimi osnovnicami in enakimi višinami so ploščinsko enaki. Kako torej izračunamo ploščino kateregakoli para¬ lelograma? Pravokotniku določimo mersko število ploščine, če pomnožimo mersko število njegove dolžine z merskim številom njegove višine. Ker je vsak paralelogram plo¬ ščinsko enak pravokotniku z enako osnovnico (dolžino) in enako višino, velja za ploščino paralelograma isto pravilo. 1 * Paralelogram. 4 Pl.oščinsko pre¬ tvarjanje == die Fliichenvei wand- lung 1 . Mersko število paralelogram o v e ploščine je enako produktu iz merskega števila osnov¬ nice in merskega števila višine, ali krajše* Ploščina paralelograma je enaka produktu iz osnovnice in višine. Ako zaznamenujemo osnovnico z o, višino z v in ploščino s p, zapišemo to pravilo v znakih p = ov. Na sliki 7. je o — 2 cm, v = 3 cm\ določi p\ Kako določiš višino (osnovnico), ako je znana plo ščina in osnovnica (višina)? (o — v = ^.) Kako iz¬ računaš paralelogramov obseg? Zapiši obrazec, ako za- znamenujemo obseg z Oj ter enaki stranici z a in b\ (o 1 = 2a-\-2b = 2 [a -(- &].) Pravilo, ki smo ga dognali za paralelogramovo plo ščino, velja za cela in ulomljena števila. Zakaj? Bistvenega pomena je le, da so vse dolgostne mere označene v isti dolgostni enoti, n. pr. vse v cm ali vse v m i. t. d.; ploščina je potem izražena v cm 2 , oziroma v m 2 i. t. d. Določi ploščino lista risalnega zvezka, šolske table, tal učilnice! Ali se dado merska števila dolžine in višine določiti natančno? Zakaj ne? Števila, ki jih dobimo potom merjenja, so nepopolna, zato dajo računi s takimi števili samo približnje rezultate. Nepotrebnega računanja se ob¬ varuješ, ako preudariš rezultat glede na njegovo upo¬ rabnost, preden okrajšano računaš. Glej sliko 7. ter povej, kako načrtaš pravokotnik, ki je ploščinsko enak paralelogramu ABCD in ki ima isto osnovnico in višino! Takemu načrtavanju pravimo ploščinsko pretvarjanje. Razrešimo sledečo pretvorno nalogo! Naloga. Pretvori pravokotnik (o = l - 5 etn, v — 2 - 5 cm) v paralelogram z enako osnovnico in a) s kotom a = 60° ob osnovnici, &)sstranico d = 3 cm ! Odslej bomo rabili vobče krajšo obliko. 5 Ploščinsko enaki paralelogrami, ki imajo enako osnov¬ nico, imajo tudi enako višino. a) Podaljšaj pravokotnikovo osnovnico AB (slika 8.) in nasproti ji ležečo stranico CD, odmeri na podaljšani osnovnici A 1 B 1 = l - 5 cm ter nariši ob krajišču A t kot a = 60°! b) Odmeri osnovnico A 2 B 2 kakor poprej (slika 8.), pre¬ sekaj vzporednico z lokom (središče A 2 , polmer d — 3 cm) ter spoji presečišče D 2 z A 2 ! — Koliko razrešitev ima naloga? Ali je vedno razrešljiva? Določen lik torej pretvorimo v drugega, ako na¬ rišemo ploščinsko enak lik tako, da ustreza danim po¬ gojem. 3 . Nariši med vzporednicama z razdaljo v = 2’5 cm paralelograma ABCD in A 1 B t C 1 D 1 z enako osnovnico D C D< CD o = 2 cm (slika 9.) ter načrtaj vsakemu paralelogramu eno diagonalo (n. pr. A C in A^) ! Diagonala razdeli lik na dva skladna trikotnika (središčna simetrija 1), ki imata isto osnovnico in višino kot paralelogram. Vsak trikotnik je polovica paralelograma z enako osnovnico in enako višino. Trikotnik. G Ker je ploščina paralelograma z osnovnico o in vi¬ šino v enaka ov, sledi ploščina trikotnika ov .. v - 5 - ali p = 0-$ ali p = v ali p ov. Ploščina trikotnika je enaka polovici pro¬ dukta iz osnovnice in višine. Kolika je ploščina trikotnikov na sliki 9.? Kako do¬ ločiš višino (osnovnico), ako je znana ploščina in osnovnica (višina)? (v = p: ^ ali v — - j o v ,. 2 p ^ P: o ali o = -f-) C C, Ci Paralelograma ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 na sliki 9. sta ploščinsko enaka, zato sta tudi polovici ABC in A 1 B 1 C 1 ploščinsko enaki. Trikotniki z enako osnovnico in enako vi¬ šino so ploščinsko enaki. Pomaknimo trikotnik A 1 B 1 C 1 vzporedno proti levi v toliko, da pokrije osnovnica A 1 B 1 osnovnico trikotnika ABC (slika 9.)! Kakšno črto nariše pri tem pomikanju vrh G\? Spoji še nekatere točke na vzporednici skoz C z A in BI Cs Ci. Trikotniki z isto osnovnico so ploščinsko enaki, ako leže njih vrhi na premici, vzpo¬ redni z osnov¬ nico. Glej sliko 10. ter imenuj geometrij¬ sko mesto vrhov vseh ploščinsko enakih trikotnikov z isto osnovnico! Ako odmerimo na premici več ena¬ kih daljic drugo poleg druge ter spojimo njih krajišča s katerosibodi zunaj premice ležečo točko, dobimo več trikotnikov (slika 11.). Ali so ploščinsko enaki? 7 Trikotniki s skupnim vrhom in z enakimi osnovnicami na isti premici so ploščinsko enaki. Razrešimo nekatere pretvorne naloge! Naloga 1. Pretvori enakokraki trikotnik ABC (slika 12.) z osnovnico o = 4 cm in krakom b = 2'5 cm v pravokotni trikotnik z isto osnov¬ nico in s pravim kotom ob vrhu! Kot ob vrhu zahtevanega trikotnika ABC i je pravi kot, zato leži vrh C) na polkrogu s premerom AB (kot v pol¬ krogu). Vrh C 1 pa leži tudi na vzporednici z osnovnico AB skoz vrh C. Koliko razrešitev? Kdaj je naloga nerazrešljiva? Naloga 2. Pretvori trikotnik ABC (slika 13.) v drugega z istim kotom a in a) z določeno osnovnico b) z določeno višino v t ! a) Odmeri osnovnico o r — AB t na osnovnici AB od točke A, spoji C z B t ter nariši skoz B vzporednico z B t C\ Presečišče vzporednice s podaljšano stranico AC je vrh C\ zahtevanega AAB t C ± . Trikot¬ nika ABC in AB 1 C 1 sta plo¬ ščinsko enaka, ker sta sestav¬ ljena iz ploščinsko enakih de¬ lov : iz obema skupnega tri¬ kotnika AB t C in iz ploščinsko enakih trikotnikov CB t B in CB t G\. b) Nariši skoz oglišče A pravokotnico na osnovnico AB, enako višini v u in skoz kra- jišče D vzporednico osnovnici! rišeš skoz C vzporednico CB X trikotnik. Slika 13. Ako spojiš C* z B in na- s CJi, je AB 1 C l zahtevani 8 Trapez. Naloga 3. Pretvori trikotnik ABC (slika 14.) v pravokotnik z isto osnovnico! Ker je vsak trikotnik po¬ lovica paralelograma z enako osnovnico in enako višino, raz¬ deli trikotnikovo višino na dva enaka dela, nariši skoz raz- polovišče osnovnici vzpored¬ nico ter skoz A in B pravokotnici AE in BD na osnov¬ nico AB. Naloga 4. Pretvori paralelogram ABCD (slika 15.) v trikotnik z isto višino! Ako podaljšaš osnovnico AB toliko, da je BE — AB, in spojiš E z D, je AED zahtevani trikotnik. Zakaj? 4 - Narišimo tra¬ pez ABCD (slika 16.) z osnovnicama a — 4 cm, c = 2 cm in višino v = 2 - 5 cm\ Razpolovimo kraka, spojimo razpolovišči E m F ter na- črtajmo skoz F vzporednico kraku ADI D C Slika 14. Primerjaj trikotnika I in II! Ako odrežeš trikotnik I, ga lahko zavrtiš okoli F tako, da pokrije trikotnik II. Trikotnika sta kot središčnosimetrična lika skladna. Ker 9 je FG = FH, razpolavlja F daljico GB. Kakšna četvero¬ kotnika sta torej AGFE in EFHD? Iz tega sledi: Trapezova srednjica je vzporedna osnov¬ nicama. Osnovnicama vzporedna premica skoz raz- polovišče enega kraka razpolavlja tudi drugi k r a k. Primerjaj ploščini trapeza in paralelograma AGHD (slika 16.)! Oba lika imata isto višino, paralelogramova osnovnica pa je enaka trapezovi srednjici. Ker sta lika sestavljena iz ploščinsko enakih delov (imenuj jih!), sta ploščinsko enaka. Vsak trapez je ploščinsko enak paralelo¬ gramu z isto višino in z osnovnico, enako tra¬ pezovi srednjici. Ploščino trapeza z višino v in srednjico s določimo, ako izračunamo ploščino ploščinsko enakega paralelograma, ki je p = SK. Ploščina trapeza je enaka produktu iz sred- njice in višine. Še na drug način hočemo določiti trapezovo ploščino. Ako narišemo trapezu ABCD (slika 17.) sredisčno- simetričen lik tako, da je razpolovišče S kraka BC sre¬ dišče simetrije, dobi¬ mo paralelogram, či¬ gar osnovnica AD 1 je enaka vsoti a - j- c obeh osnovnic trape- zovih. Ploščina tega paralelograma je p = (a -\- c) v. Ker je trapez polovica paralelograma, je njegova ploščina (a+ c)v .. a + c P = ■ » ali p — —J- v. Ploščina trapeza je enaka produktu iz po¬ lovične vsote obeh osnovnic in višine. 10 Če primerjamo obrazca . a + c p = sv in p .= —^— v, vidimo, da je Trapezova srednjica je enaka polovični vsoti obeh osnovnic. Pokaži to tudi na sliki 17.! Polovično vsoto a 2 -' obeh osnovnic imenujemo tudi aritmetično sredino osnovnic. Kako pretvorimo trapez v paralelogram? Glej sliko 16.! Kako pretvoriš trapez v pravokotnik? Naloga. Pretvori trapez ABCD (slika 18.) v tri¬ kotnik z isto višino! Razpolovi krak BC, spoji razpolovišče S z D ter na¬ riši trikotniku I središčnosimetričen lik tako, da je S sre¬ dišče simetrije ! AED je zahtevani trikotnik. Ko¬ lika je njegova osnovnica AE? Povej, kateremu tri¬ kotniku je vsak trapez plo- ščiDsko enak? Zapiši tudi obrazec za ploščino trikot¬ nika AED ter ga primerjaj z obrazcema za trapezovo ploščino. Vrnimo se k sliki 16.! Ako pomikamo krak AD vzpo¬ redno proti desni, se skrajšujeta osnovnici in srednjica enakomerno. Kolika je srednjica, če pomaknemo AD na primer za 1 cm, za 1\5 cm, za 2 cm proti desni? V kakšen lik se izpremeni trapez v zadnjem slučaju? Kolika je nje¬ gova osnovnica? Ker se nahaja razpolovišče E pomikajoče se stranice AD vedno na srednjici, sklepamo: Daljica, ki spaja razpolovišči dveh trikot¬ nikovih stranic, je vzporedna tretji stranici in enaka njeni polovici. D c C 11 Razdelimo krak AD tra¬ peza ABCD (slika 19.) na pri¬ mer na štiri enake dele! Kako razdelijo vzporednice skoz raz- delišča drugi krak? Primerjaj povrstoma srednjice trapezov ABC 2 D 2 , D i C s C 1 D 1 in D 2 G/JD\ Ako razdelimo v tra¬ pezu en krak na več enakih delov in narišemo skoz razdelišča vzporednice osnovnicama, do¬ bimo na drugem kraku istotoliko enakih delov. Kako se glasi ta izrek, ako premaknemo krak AD (slika 19.) vzporedno v toliko, da se krijeta oglišči D in C? Dočim nam je bilo doslej mogoče razdeliti določeno daljico s šestilom in ravnilom le na 2, 4, 8 .. . enakih delov, jo moremo s pomočjo zadnjega izreka razdeliti tudi na 3, 5, 7 . . . enakih delov. Sledeči nalogi pokažeta uporabo. Naloga 1. Razdeli travnik trapezove oblike ABCD (slika 20.) na pet enakih delov tako, da je pot ob meji CD vsakemu delu neposredno do¬ stopna! Merjavec razdeli v čr- težu travnika vsako osnov¬ nico na pet enakih delov ter spoji istoležna razde¬ lišča. Osnovnico AB raz¬ deli na pet enakih delov, če nariše n. pr. skoz kra- jišče A poltrak AB lt odmeri na njem od A pet enakih delov do B t ter spoji B 1 z drugim krajiščem B. Vzpo¬ rednice z BB t skoz vsako razdelišče določijo na AB pet enakih delov. Slika 20. D C Deljenje likov = die Teilung der Figuren. 12 Trapezoid. Naloga 2. Razdeli vrt romboidne oblike ABCD (slika 21.) na tri enake dele tako, da je vodnjak ob o g 1 i š 5 u D neposredno dostopen lastniku vsakega dela! Diagonala skoz oglišče D razdeli lik na dva enaka dela ABD in BCD. Razdeli AB in BC na tri enake dele ter spoji vsako drugo razdelišče z ogliščem D ! 5. Trapezoidu vobče določimo plošči¬ no, ako seštejemo ploščini trikotnikov, na katera razdeli vsaka diagonala četverokotnik. Enostavneje določimo ploščino trapezoida s pra¬ vokotnima diagonalama, torej posebno deltoida. Ako narišemo skoz oglišča deltoida ABCD (slika 22.) vzporednice diagonalama, dobimo pravokotnik A 1 B 1 C 1 D 1 s stranicami, enakimi diagonalama deltoida. Na kakšne like razdelita te diagonali pravokotnik? V nastalih štirih pravokotnikih so deltoidove stranice diagonale. Pri¬ merjaj ploščino deltoida in pravo¬ kotnika! (Nariši in izreži dva skladna deltoida, prereži enega po diagonalah ter sestavi iz obeh pravokotnik!) Vidimo, da je deltoid polovica pravo¬ kotnika. Ali velja to za vsak četvero¬ kotnik s pravokotnima diagonalama? Imenuj paralelograme s pravokotnima diagonalama ter se prepričaj, da velja izrek: Vsak četverokotnik s pravokotnima diago¬ nalama je polovica pravokotnika, čigar stra¬ nice so enake tema diagonalama. 13 Ako sta deltoidovi diagonali d ± in d 2 , je ploščina pravokotnika A 1 B 1 C 1 D 1 enaka p = d t d 2 , torej ploščina deitoida ABCD Ploščina četverokot¬ nik a s p r a v o k o t n i m a dia¬ gonalama je enaka polo¬ vici produkta obeh dia¬ gonal. Naloga 1. Pretvorit ra- Slika 23. pezoid ABCD (slika 23.) v 1 1 - i k o t n i k! Ako narišeš diagonalo UD in pretvoriš trikotnik BCD v trikotnik BDE (BD je osnov¬ nica obeh trikotnikov, medtem- ko ležita vrha Cin E na, vzpored¬ nici z osnovnico), je AED za¬ htevani trikotnik. Pretvori tra- pezoid še v trikotnik z vrhom C\ Naloga 2. Razdeli trapezoid ABCD (slika 24.) na tri enake dele! Nariši eno diagonalo, n. pr. RD, jo razdeli na tri enake dele ter spoji razdelišča z ogliščema A in Cl S. Daljice, ki spajajo središče S pravilnega mnogo- Mnogokotnik. kotnika z oglišči, razdele lik na toliko skladnih trikotnikov s skupnim vrhom S, kolikor stranic šteje mnogokotnik. Trikotnik ABS je peti del pravilnega peterokotnika ABCDE (slika 25.). Ako podaljšamo osnovnico AB na D C D 14 petkratno dolžino (F G = h.AB), je trikotnik FGS pet¬ krat tako velik kakor trikotnik ABS, torej ploščinsko enak pravilnemu peterokotniku ABCDE. Višina r tega trikotnika je enaka polmeru peterokotniku včrtanega kroga, osnovnica pa je enaka peterokotnikovemu obsegu. Pretvori na isti način pravilni šesterokotnik v tri¬ kotnik ! Pravilni m nogo kotnik je ploščinsko enak trikotniku, čigar osnovnica je enaka mnogo- kotnikovemu obsegu in čigar višina je enaka polmeru mnogokotniku včrtanega kroga. Ako zaznamenujemo mnogokotnikov obseg z o 1 in polmer včrtanega kroga z r, je ploščina trikotnika in torej tudi ploščina pravilnega mnogokotnika Ploščina pravilnega mnogokotnika je enaka polovici produkta iz obsega in pol¬ mera včrtanega kroga. Ploščino nepravilnega mnogokotnika dolo¬ čimo na različne načine. a) Mnogokotnik ABCDFF (slika 26.) razdelimo z diagonalami na trikotnike, jim izmerimo osnovnice in višine ter izračunamo vsoto ploščin trikotnikov, kakor kaže tablica. 2 p = b) Merjavec nariše najprvo črtež zemljišča ACDEBFG (slika 27.). V ta namen zakoliči najdaljšo diagonalo AB kot osnovno črto, jo izmeri ter nariše po primernem me¬ rilu. Nato določi s kotomerom skoz ostala oglišča pravo- 15 E' kotnice na osnovnico, jih izmeri kakor tudi razdaljo podnožišč in jih nariše v črtežu. Ploščino zemlji¬ šča določi, ako izra¬ čuna ploščine nasta¬ lih trikotnikov in tra¬ pezov ter jih sešteje. c) Za praktično uporabo dostikrat dovolj natančen rezultat dobimo, ako pokrijemo lik (tudi krivočrten) s prozornim milimetr¬ skim papirjem (t. j. papirjem, ki je razdeljen na mm 2 , kakor kaže slika 28.) ter seštejemo kvadratne milimetre, ki jih oklepa likov obseg. D' Slika 27. Slika 28. Na sliki 28. je narisan obris Kranjske na milimetrski papir po merilu 1 :2,000.000. Kolika je v resnici daljica, ki meri na risbi 1 mm ? Koliko km 2 pride v resnici na 1 mm- risbe? Določi na sliki 28., koliko km 2 meri Kranjsko ! 16 d) Ploščino lika moremo približno določiti tudi s tehtnico. Na precej debel karton narišemo lik in kva¬ drat s stranico s = 1 dm (1 (im 2 ), nato izrežemo lika, ju iztelitamo ter primerjamo njiju težo. Ako telita lik n. pr. 56 g, 1 dm 2 pa 16 g, je lile 56 — == 3 - 5krat tako težak kakor 1 dm 2 . Ker sta oba lika Ib iz iste snovi, je tudi ploščina lika 3-5 krat tako velika j-j kakor ploščina kvadrata; meri torej 3 - 5 dm 2 . Razrešimo še sledeči načrtovalni nalogi! Naloga 1. Pretvori mnogokotnik ABCDE (slika 29.) v pravokot¬ nik ! Skoz točko C nariši vzporednico diagonali BD do presečišča F na podaljšani stranici ABl Četverokotnik AFDE je '\Sj^VD ploščinsko enak petero- kotniku ABCDE. Na isti način pretvori četvero¬ kotnik v trikotnik GFJJ in tega v pravokotnik GFKHl Slika 30. Naloga 2. Razdeli mnogokotnik ABCDEF (slika 30.) na dva enaka dela! Spoji oglišču A najbližnji oglišči B in F ter nariši skoz ostala oglišča vzporednice z BFl Kakšne like dobiš? Razpolovi vzporednice ter spoji razpolovišča, kakor kaže slika 30.! Zakaj? Vaje. a) Načrtovalne. 1. Pretvori paralelogram ABCD (a = 5 cm, b = 3 cm, /? = 45°) v drugega z isto osnovnico in a) s kotom /? = 120 3 (90°), b) s stranico 5 = 4 cm, 17 c) z diagonalo AC — 3 cm, d) z enakimi stranicami! 2. Nariši kvadrat, ki je a) še enkrat tako velik, h) polovica kvadrata s stranico s = 3 cm ! (Nariši diagonali kvadrata!) 3. Iz koliko kvadratov (ki jih ne smeš razrezati) moreš sestaviti nov kvadrat? Slika 31. » 4. Nariši skoz katerokoli točko pravokot- nikove (paraielogramove) diagonale (slika 31.) vzporednici stranicam ter pokaži, da sta pravo¬ kotnika (paralelograma), ki ju ne seče diago¬ nala, ploščinsko enaka (dopolnilna para¬ lelograma)! 5. Pretvori pravokotnik (a = 4 cm, b = 3 cm) v dru¬ gega a) z osnovnico a t = 5 cm (3 cm), b) z višino b 1 = 4 cm (2-5 cm)! Glej prejšnjo vajo! 6. Pretvori paralelogram (a = 5 - 5 cm, b = 3’6 cm, e -- --- 5 cm) v trikotnik z isto višino! 7. Pretvori kvadrat s stranico s = 3 cm v pravokotnik z osnovnico a = 4 cm! (Pretvori najprvo kvadrat v paralelo¬ gram z isto osnovnico in višino, nato paralelogram v pravo¬ kotnik !) 8. Nariši kvadrat s stranico s = lem! Kako se izpre- minja kvadratov obseg, ako podvojiš (potrojiš) stranico? Označi odvisnost med obsegom in stranico! 9. Nariši pravokotnik z osnovnico o = 2 cm in višino v — 1 cm! Podaljšaj višino za 1, 2, 3 cm in primerjaj ploščine nastalih pravokotnikov! Zavrti nato pravokotnik tako, da me¬ njata osnovnica in višina svoji mesti! Od česa je odvisna plo¬ ščina pravokotnikov a) z enako osnovnico, b) z enako višino? Ali velja to za vse paralelograme? 10. Pretvori trikotnik ABC (a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5'5 cm) v drugega z isto osnovnico AB in a) s kotom a = 90° (y = 90°), b) s stranico b = 3'5 cm, c) z enakima stranicama a in b, d) s srednjico (pripadajočo stranici c) s c = 4 cm! 11. Nariši pravokotni trikotnik tako, da je kateta = 3 cm osnovnica in kateta k 2 — 1 cm višina! Podaljšaj višino za 1, 2, 3 cm ter povej, kako se izpreminja ploščina! Zavrti nato trikotnik tako, da je osnovnica kateta k 2 ! Od česa je odvisna ploščina trikotnikov a) z enako osnovnico, b) z enako višino? 12. Pretvori trikotnik ABC (podatki 10. vaje) v drugega a) z osnovnico A 1 B 1 = G cm (3 cm), b) z višino c, = 5 cm (2'5 cm)! Mazi, Geometrija II. Dopolnilni paralelogram — das Erganzungs- parallelogramm. 18 13. Pretvori trapez ABCD (a = AB = 5 cm, c = CD = 2 cm, v = 3‘6 cm, /? = 60°) v pravokotni trikotnik z isto višino in z osnovnico na AB ! 14. Pretvori enakokraki trapez ABCD (a = 5 - 7 cm, c — 3 cm, v = 3 - 4 cm) v pravokotnik z isto višino! (Nariši skoz razpolovišči krakov pravokotnici na osnovnico!) 15. Pretvori trapez ABCD v pravokotnik, čigar osnov¬ nica je enaka diagonali ACl 16. Razdeli pravokotnik (romboid, romb) z vzporednica! i osnovnici na 3, 4, 5 enakih delov! 17. Razdeli trikotnik ABC iz oglišča A na 3, 5, 7 enakih delov! 18. Nariši trapezu (slika 32.) diagonali ter pokaži, da sta trikotnika I in II ob krakih ploščinsko enaka! (Glej upo¬ rabo na slikah 13., 23., 29.!) 19. Razdeli trikotnik ABC (n. pr. njivo) iz točke T, ležeče na stranici BC, na dva enaka dela! (Razpolovi BC, spoji raz- polovišče in točko T z ogliščem A i. t. d. ) 20. Nariši deltoid ter ga pretvori v pravokotnik! 21. Pretvori pravilni peterokotnik (šesterokotnik) v pra¬ vokotnik z višino, enako polmeru liku včrtanega kroga, tako, da leži osnovnica na eni stranici! 22. Nariši katerikoli sedmerokotnik ter ga pretvori v pravokotnik! (Pretvori lik najprvo v šesterokotnik, potem pe¬ terokotnik i. t. d.!) 23. Pretvori šesterokotnik a) v enakokraki trikotnik, b) v paralelogram s kotom a = 45° (60°) ob osnovnici! 24. Pretvori zobato mejo ATB (slika 33.) dveh stavbišč v ravno! 25. Pretvori zobato mejo ABCD (slika 34.) dveh stav¬ bišč I in II v ravno! b) Računske. 1. Koliko cvetlic [moreš vsaditi v 10 m dolgo in 2'8 m široko gredo, ako zasadiš na 1 dm 2 eno cvetlico ? 2. Izmeri dolžino, širino in višino učilnice (risalnice), širino in višino vrat in oken! Koliko stane a) napojitev tal s talnim 19 oljem, če stane 1 m 2 25 h, b) preslikanje sten in stropa, če se računa 70 h za 1 m 2 ? 3. Koliko stane tlakovanje dvorišča kvadratne oblike s stranico s = 12‘7 cm, če se računa za lm 2 P80 K? Kolik je obseg dvorišča ? 4. Parketovanje sobnih tal z dolžino 5 - 2 m velja 91 K ; kako široka je soba, če stane 1 m, 2 5 K? 5. Rombov obseg meri 54 - 32 ... dm, višina 12-58 ... dm\ kolika je ploščina? 6. Kako moraš izpreminjati pravokotnikovo (paralelogra- movo) a) osnovnico, b) višino, da dobiš dvojno, trojno, četverno ploščino ali polovico, tretjino, četrtino ploščine? 7. Ali se izpremeni paralelogramova osnovnica, ako po¬ dvojimo (potrojimo) njegovo ploščino in višino? 8. Kako vzraste paralelogramova ploščina, ako podvojimo (potrojimo) osnovnico in višino ? 9. Povej, kako odvisi osnovnica od višine paralelogramov z enako ploščino! 10. Sestavi iz paličic, ki se dado pregibati v členkih, enakostraničen in raznostraničen paralelogram! Kateri izmed vseh enakostraničnih (raznostraničnih) paralelogramov ima naj¬ večjo ploščino? (Glej sliki 64. in 65. v Geometriji za drugi razred!) 11. Zakoliči na polju kvadrat s ploščino la, 9 a, 16 a! 12. Kolika je ploščina trikotnika z osnovnico 4 - 58 dm (85-36 ... m) in višino 2-95 dm (50-88 . .. m) ? 13. Kolika je ploščina pravokotnega trikotnika s kate- tama 3-5 cm in 5-7 cm? 14. Določi ploščino svojih risalnih trikotnikov! 15. Kolika je osnovnica trikotnika z višino 5-2 m (8'6 ... cm) in ploščino 23‘4 m 2 (57-9 ... cm 2 ) ? 16. Zakoliči na šolskem dvorišču (na polju) trikotnik ter mu določi ploščino tako, da vzameš zaporedoma vsako stranico kot osnovnico! Primerjaj rezultate! 17. Odgovori za trikotnik na vprašanja v vajah 6., 7., 8., 9.! 18. V trikotniku z dvema nespremenje¬ nima stranicama se izpreminja kot, ki ga okle¬ pata te dve stranici. Zakaj vzraste ploščina, če vzraste kot? Kdaj je ploščina največja? 19. Kolika je srednjica in kolika plo¬ ščina trapeza z osnovnicama a = 17-3 dm, c — 15-7 dm in z višino v — 7-8 dm ? 15D—. 4 Ž 30 s- 1 - K/, ^ Slika 35. 20. Železen otel steber ima poprečni prerez, kakor ga kaže slika 35. Določi merilo slike in ploščino prereza, ako so merska števila mml Poprečni prerez = das Querprofil. 2 * 20 Slika 36. Slika 37. 21. Slika 36. kaže po¬ prečni prerez železni¬ škega nasipa v merilu 1 : 100, slika 37. pa po¬ prečni prerez Sueškega prekopa; izračunaj plo¬ ščino prerezov! 22. Kolika je trape- zova višina, ako merita osnovnici 5-38 ... dm in 2-37 .. . dm , ploščina pa 20-266 ... dm 2 ? 23. Kolika je ploščina romba, če merita diago¬ nali 5'38cmin 3-74 cv ? 24. Izmeri ploščino deltoida na sliki 22.1 25. Njiva trapezoidove oblike meri po eni diagonali 46 - 73... m, medtem ko sta razdalji drugih dveh oglišč od te diagonale v 1 = 39-65 ... m in v 2 = 27 - 18 ...m. Kolika e ploščina njive? 26. Kolika je ploščina kvadrata z diagonalo 15-84 m (7-8 ... cm) ? 27. Določi ploščino pravilnega peterokotnika na sliki 25.! 28. Včrtaj krogu s polmerom r — = 3'5 cm pravilni šesterokotnik ter mu določi ploščino! 29. Slika 38. kaže poprečni prerez osmerostraničnega fabriškega dimnika v merilu 1 : 200. Določi ploščino prereza! 30. Zakoliči na prostem mnogo- kotnik ter mu določi ploščino a) tako, da ga razdeliš z diagonalami skoz eno oglišče na trikotnike, b) tako, da za¬ količiš najdaljšo diagonalo in pravo- kotnice na njo skoz ostala oglišča! 31. Kontroliraj rezultate prejšnjih vaj tudi z milimetrskim papirjem! 32. Določi ploščino Štajerske, Koroške, Istre i. t. d. z mili¬ metrskim papirjem! II. Površina in prostornina prizme in piramide. Podobnost. 1. Površino oglatega telesa določimo, ako narišemo Površina prizme, mrežo in jo izmerimo, ali pa ako izračunamo ploščine vseli mejnih ploskev ter jih seštejemo. Določiti hočemo površino prizme. Kako razliku¬ jemo prizme? Kateri ploskvi imenujemo osnovni ploskvi in katerim pravimo obstranske ploskve? Kaj tvorijo obstranske ploskve ? Posebno važno iz praktičnih ozirov je merjenje površine __ pokončnih prizem. Oglejmo si kva- __ d e r na sliki 40! Dol¬ žina meri 5 mn, širina 4 cm in višina 3 mn. - Kakšni liki so mejne Slika 39 ploskve? Ali se raz¬ likujeta po dve nasprotni ploskvi glede na velikost? Kako dobimo kvadrovo mrežo? Glej pomanjšano sliko 39.! Spodnja kvadrova ploskev ima stranici 5 cm in 4 cm, njena ploščina je (5 X 4) cm 2 = 20 cm 2 , torej ploščina spodnje in zgornje ploskve skupaj (2 X 20) cm 2 = 40 cm 2 . Dve obstranski ploskvi s stranicama 5 cm in 3 cm imata ploščino (2 X 15) cm2 = 30 cm 2 , drugi dve s stranicama 4 cm in 3 mn pa (2 X 12) cm 2 — 24 cm 2 . Površina kvadra meri torej (2 X 20) cm 2 -|- (2 X 15) cm 2 -j- (2 X 12) cm 2 = 94 cm 2 . Ako zaznamenujemo površino s P in robe, ki dolo¬ čajo kvader, z a, b, c, se glasi obrazec za površino kvadra P — ‘lab 2 ac -j- 2 bc = 2 (ab -j- ac-\- bc). 22 Prostornina kvadra. Kolika je površina kocke z robom a = 5 cm? obrazec! Površino pokončne prizme vobče tvorita dva skladna mnogokotnika kot osnovni ploskvi in toliko pravokotni¬ kov kot plašč, kolikor stranic šteje osnovna ploskev. V ravnino razgrnjen plašč pokončne prizme (slika 39.) je pravokotnik z osnovnico, enako obsegu o osnovne ploskve, in z višino v, enako višini prizme. Ako seštejemo ploščino plašča p, ki je p = ov , in ploščini osnovni- ploskev 2 0, dobimo za površino pokončne prizme vobče obrazec p = 20 + p. Preizkusi obrazec za kvader, ki smo ga prej opa zovali! Površina pokončne prizme je enaka vsoti dvojne osnovne ploskve in plašča. 2 . Imenuj prizme, ki jim že znaš določiti prostor nino ali volumen! Kako imenujemo kocko z robom, enakim enoti dolgostne mere? Razloži znake m 3 , dm 3 , cm 3 , mm 3 ! Kaj je enota otle mere za tekočine? Pokaži na sliki 40., kako smo določili prostornino kvadra z dolžino 5 cm, s širino 4 cm in z višino 3 cm! Prostornino kvadra dobimo, ako zmnožimo merska števila njegove dolžine, širine in višine. Prostornina našega kvadra je torej (5X4X3) cm 3 = 60 cm 3 . 23 Ako zaznamenujemo dolžino, širino in višino z a, 5, c in prostornino ali volumen z F, je vobče V = abc. Ker izraža produkt ob ploščino O kvadrove osnovne ploskve, c pa kvadrovo višino, zapišemo obrazec za pro¬ stornino tudi tako: V = Ov. Prostornina kvadra je enaka produktu iz os -ovne ploskve in višine. Kolika je prostornina kocke z robom a = 5 cm? Zapiši obrazec! Prostornino teles rabimo pogostokrat v slučajih, ko gre za težo predmeta iz določene snovi. Pri takih raču¬ nih moramo poznati specifično težo, t. j. težo telesne enote (1 cm 3 ) dotične snovi. Specifična teža* n. pr. litega železa je 7 - 21 ... g, kar pomeni, da 1 cm 3 litega železa tehta 7 - 21 ... g, torej 1 dm 3 „ „ „ 7-21 ...kg. Ako meri prostornina železne kocke 100 cm 3 , je kocka 100 krat tako težka kakor 1 cm 8 železa, torej 7 21... gX 100. Če je T teža, F prostornina in s specifična teža telesa, je v znakih 7 = s F in F= s = ^- Z besedami? Določi težo lesene kocke, ki jo rabimo za model! (Tudi s tehtnico!) 3 . Kakor je nemogoče z enoto ploskovne mere popol¬ noma pokriti poševni paralelogram, trikotnik, trapez i. t. d., ravno tako nemogoče je s telesno enoto popolnoma izpol¬ niti poljuben paralelepiped, tristranično prizmo i. t. d. Toda na sličen način kakor prej ploščino premočrtnih likov določimo tudi prostornino prizem. * Glej koncem knjige tablico specifičnih tež nekaterih teles! Specifična teža = das spezifische Gewicht oder das Eigengewicht. Pokončna prizma. 24 Prostorno enak = volumsgleich. Ako držita n. pr. otla kocka in steklenica va¬ ljaste oblike enako mno¬ žino kake tekočine, pra¬ vimo, da imata posodi enako prostornino. Telesa z enako pro¬ stornino imenujemo pro¬ storno enaka. Postavimo nad po¬ ševnim paralelogramom ABCD (sl. 7.) kot osnov¬ no ploskvijo pokončni pa- ralelepiped (model)! Pravokotna ravnina skoz BC 1 (BC^ICD) na osnovno ploskevo dreže paralelepipedu tristranično priz¬ mo I (slika 41.). Ako pritaknemo to prizmo ostalemu telesu tako, da se krijeta ploskvi BCFE in ADGR (lega F), dobimo kvader z isto prostornino, kot jo ima prvotno telo. Pravimo, da smo pretvorili pokončni para- lelepiped v kvader. Ker moremo pretvoriti vsak premočrtni lik v pravo¬ kotnik, moremo pretvoriti tudi vsako pokončno prizmo v kvader. Tako ustreza pretvoritvi trikotnika v pravo¬ kotnik na sliki 14. pretvorite v tristranične pokončne prizme v kvader na sliki 42. Pokaži tako pretvarjanje tudi na slikah 22. in 29., ako tvorijo dotični liki osnovne ploskve pokon¬ čnih prizem z določeno višino! V vsakem teli slu¬ čajev imata pokončna priz¬ ma in kvader ploščinsko enaki osnovni ploskvi in enako višino. Obrazec za prostornino katerekoli pokončne priz¬ me je torej isti kot za prostornino kvadra: V = Ov. B A Slika 42. Q F 25 Prostornina pokončne prizme je enaka produktu iz osnovne ploskve in. višine. 4. Kako določimo prostornino poševne prizme? Poševna prizma. Vzemimo modele različnih pokončnih in poševnih prizem, ki so narejene iz iste snovi. Vse te prizme imajo ploščinsko enake osnovne ploskve in enako višino. Ako jih iztehtamo, opazimo, da imajo enako težo. Kaj smemo iz tega sklepati glede na prostornino teh prizem ? Napolnimo z vodo enega otlih modelov istih prizem ter prelijmo tekočino zaporedoma v ostale prizme! Kaj vidimo? Iz teh poizkusov sklepamo: Prizme s ploščinsko enakimi osnovnimi ploskvami in enakimi višinami so prostorno enake. Pa še na drug način uvidimo resničnost tega izreka. Narišite na debel karton pravokotnik s stranicama a = 3 cm in b = 5 cm ter ga izrežite! Izrezani pravokotnik je osnovna ploskev kvadra z višino, enako debelini kartona Slika 43. (slika 43. a). Ker so izrezani liki iz kartona iste debelosti, so vsi kvadri prostorno enaki. Ako jih položimo drugega na drugega, dobimo kvader, kakor ga kaže slika 43. b. Pomaknimo zdaj vsak kvader proti desni tako, da leže oglišča na vzporednicah! Poševno telo, ki ga kaže slika 43. c, ima isto višino in prostornino kot kvader. Mislimo si vsak kvader razdeljen z ravninami, vzporednimi njegovi osnovni ploskvi, na 2, 3, 4 . . . enake kvadrčke in te kakor prej razmaknjene v poševno telo ! Pri tem se višina in pro- 26 Površina piramide. stornina poševnega telesa ne izpreminja, pa5 pa njegova oblika, ki se bliža tem bolj oni poševnega paralelepipeda, čim tanjši so kvadrčki. Na isti način moremo sestaviti pokončno prizmo iz tristraničnih ali sploh mnogostraničnik tankih prizem in iz teh poševno prizmo z isto prostornino. Velja torej izrek: Prizme s ploščinsko enakimi osnovnimi ploskvami in enakimi višinami so prostorno enake. Ker moremo vsako poševno prizmo pretvoriti v po¬ končno, to pa v kvader, je obrazec za prostornino katere¬ koli prizme enak onemu za prostornino kvadra: V = Ov. Prostornina prizme vobče je enaka pro¬ duktu iz osnovne ploskve in višine. 5 . Katera telesa imenujemo piramide? Kdaj je piramida pokončna, kdaj poševnain kdaj pravilna? Kakšni liki meje piramido? Katere mejne ploskve tvorijo plašč? Kako narišemo mrežo pokončne piramide? Površino piramide tvorita osnovna ploskev in plašč. Površino izračunamo, ako seštejemo ploščini osnovne ploskve 0 in plašča p ; v znakih P = O^-p. Površina piramide je enaka vsoti osnovne ploskve in plašča. Plašč pravilne piramide sestoji iz toliko skladnih enakokrakih trikotnikov, kolikor stranic šteje osnovna ploskev. Ker imajo vsi ti trikotniki enako osnovnico a in enako višino v 1 (višina obstranske ploskve), jih moremo pretvoriti v en trikotnik, čigar osnovnica je enaka obsegu o osnovne ploskve in čigar višina v t je enaka višini ob¬ stranske ploskve. Ploščina plašča je torej Izračunaj površino piramid, kijih rabimo za modele! 27 5. Piramide ne moremo razdeliti tako, da bi bilo mo¬ goče sestaviti iz teli delov kvader, zato primerjamo pira¬ mide glede na njih prostornino takole: Ako iztehtamo več pokončnih in poševnih piramid, narejenih iz iste snovi ter s ploščinsko enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino, opazimo, da imajo enako težo. Ako napolnimo z vodo enega otlih modelov istih pi¬ ramid ter prelijemo tekočino zaporedoma v ostale pira¬ mide, vidimo, da drže isto množino vode. Kaj sklepamo iz teh poizkusov? Piramide s ploščinsko enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino so prostorno enak e. Slika 44. Ako iztehtamo več iz iste snovi narejenih prizem in piramid s ploščinsko enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino, se prepričamo, da je teža vsake piramide enaka tretjini teže vsake teh prizem. Oglejmo si tudi otle modele istih prizem in piramid! Vsako teh prizem napolnimo z vodo, če jo prelijemo iz treh piramid. Iz teh poizkusov sklepamo: Prostornina piramide je enaka tretjini prostornine prizme s ploščinsko enako osnovno ploskvijo in z enako višino. Prostornina piramide. 28 Ako razrežemo kocko z ravninami tako, kakor kaže slika 44., razpade na tri piramide, ki ima vsaka kockno mejno ploskev za osnovno ploskev in kockni rob za višino. Imenuj osnovno ploskev in višino vsake teh piramid ter pokaži, da so skladne! Prostornina vsake teh piramid je torej enaka tretjini kockne prostornine. Prerežimo tristranično pokončno (ali poševno) prizmo ABCDEF (slika 45.) z ravninami skoz oglišče E tako, da gre prva skoz rob AC, druga skoz diagonalo AF mejne ploskve AGFD ! Prizma razpade na tri tristranične pira¬ mide P u P 2 , P 3 (slika 45.). Ker imata piramidi T\ in P 2 ploščinsko enaki osnovni ploskvi (ABC in BEF sta osnovni ploskvi prizme) in enako višino (višino prizme), sta prostorno enaki. Da primerjamo piramidi P 2 in P 3 , smatrajmo AFD in ACF kot njuni osnovni ploskvi, E pa kot skupni vrh. Osnovni ploskvi sta kot polovici pravokotnika ACFD enaki, pa tudi višina piramid je ista (pravokotnica skoz E na ravnino ACFD). Piramidi P 2 in P 3 sta prostorno enaki. Ker je P 1 = P 2 in P 2 = P 3 , je tudi P 1 = P 3 , torej P t = P, = P 3 . Vsaka teh piramid je zato enaka tretjini prizme. Pro¬ stornina prizme je F = Or, torej prostornina tristranične 29 piramide V = Ker moremo vsako piramido pretvoriti v tristranično (kako?), je obrazec za prostornino piramide vobče Ov V 3 ‘ Prostornina piramide je enaka tretjini produkta iz osnovne ploskve in višine. 7 . Ako presekamo n. pr. pokončno kvadratno pira¬ mido (slika 46. a) z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi, razpade na dva dela. Kako ju imenujemo? Primerjajmo dopolnilno piramido (slika 46. b) s prvotno piramido. Piramidi imata isto obliko, toda različno velikost. Presekaj V V Slika 46 b. še druge piramide z ravninami, vzporednimi osnovni plos¬ kvi, in primerjaj obliko dopolnilne piramide s prvotno pi¬ ramido! Pravimo: Piramida in dopolnilna piramida sta si podobni. Oglej si tudi kocke, pravilne tetraedre, pravilne oktaedre, krogle različne velikosti! Imenuj po¬ dobne predmete svoje okolice! Dve telesi imenujemo podobni, ako imata isto obliko, toda različno velikost. Imenuj osnovni ploskvi prisekane piramide na sliki 46. a! Osnovni ploskvi sta kvadrata; imata torej isto obliko, pa različno velikost. Pravimo, da sta si podobni. Primerjaj obliko enakostraničnih trikotnikov, enako¬ krakih pravokotnih trikotnikov (n. pr. trikotnikov, ki jih rabimo pri načrtavanju), kvadratov, pravilnih mnogo- kotnikov z istim številom stranic, krogov različne ve¬ likosti ! Podobnost = die Ahnlichkeit. 30 Dva lika imenujemo podobna, ako imata isto obliko, toda različno velikost. Ako sta si dva lika podobna, pravimo tudi, da je eden podoba drugega. Tako je slika 28. pomanjšana po¬ doba obrisa Kranjske, narobe je obris Kranjske v narav; povečana podoba slike 28. Črteži, ki smo jih risali, so po¬ dobe dotičnih likov v naravi. Podobni liki se torej razli¬ kujejo samo po merilu, v katerem so narisani. V obstranskem trikotniku ABV piramide na sliki 46. a odreže vzporednica A i B 1 z osnovnico AB manjši trikotnik A t B t V. Trikotnik A t B x V je pomanjšana podoba trikotnika ABV ; trikotnika sta si podobna. (A ABV ~ A 1 B 1 V.) Po¬ kaži, da se ujemata trikotnika v kotih! Kako razdelimo daljico na liho število enakih delov? Nalogo razrešimo (glej sliko 20.!) z uporabo izreka: Ako razdelimo v trikotniku eno stranico na več enakih delov in narišemo skoz razde- lišča vzporednice drugi stranici, dobimo na tretji stranici istotoliko enakih delov kot na prvi. Povej, kako doženemo ta izrek? Narišimo trikotnik A 5 B 5 C (slika 47.), razdelimo n. pr. stra¬ nico A 5 C na pet enakih delov ter načrtajmo skoz razdelišča vzporednice stranici A- a B- 0 \ Vsaka vzporednica odreže po en tri¬ kotnik; vsi ti trikotniki so si podobni. Imenuj jih! Ali se uj e- majo vsi trikotniki v kotih? Ker je CA 1 = A t A 2 = A 2 A 3 = . . ., je tudi CB 1 = = B^B 2 = B 2 B 3 = . . . CB t je torej stranice CB- 0 , CB 2 „ g- „ C'_B 6 i. t. d. C Opazujmo podobna trikotnika A- 0 B- 0 C in A 2 B 2 C\ Katere stranice bi se krile, če bi bila trikotnika skladna? Takim 31 stranicam pravimo istoležne stranice, n. pr. A 5 C in A 2 0, B b C in B % C ter A- 0 B h in A 2 B 2 . Primerjajmo istoležne stranice teh dveh trikotnikov! CA 2 — j CA S , CB 2 = §CB 5 . Ako narišemo skoz B u B 2 i. t. d. vzporednice stra- 2 niči CA 5 , vidimo, da je tudi A 2 B 2 = ~^A 5 B S . Pravimo: Istoležne stranice podobnih trikotnikov A.,B%C in A 5 B 5 C im a j o enako razmerje 2:5 (alil:-^-). To razmerje imenujemo merilo, tako izpreminjanje likov v podobne večje ali manjše pa premo povečanje, oziroma pomanjšan j e. Iz navedenega sledi: Podobna trikotnika se ujemata v kotih ter imata enako merilo istoležnih stranic. Ali imajo tudi istoležne višine isto merilo, n. pr. CC 2 in CC- 0 ? Ker moremo premočrtne like razdeliti z diagonalami skoz eno oglišče na trikotnike, velja ta izrek tudi za podobne mnogokotnike. Podvoji, potroji, ... v enakostraničnem trikotniku (kvadratu) stranico, ki meri n. pr. 3 cm ! Kako se izpreminja likov obseg? Sestavi tablico ! Ako podvojimo, potrojimo i. t. d. eno mnogokotnikovo stranico in ako ohrani lik svojo obliko, se podvoji, potroji i. t. d. tudi njegov obseg. Razmerje med obsegi podobnih likov je enako merilu dveh istoležnih stranic. Dva podobna lika moremo tako položiti, da sta po dve istoležni stranici vzporedni (slika 48.). V tem slučaju se sekajo premice, ki spajajo istoležna oglišča, v eni in isti točki S. Tako lego podobnih likov imenujemo per¬ spektivno lego in točko S podobnišče. Podobnišče je zunanje, če leži zunaj podobnih likov (n. pr. pri ABCD in AjRjC^D-i), ali pa notranje, če leži med podobnima Razmerje = das Verhiiltnis Premo povečanje ozir. pomanjša- nje = die lineare Vergrofierung bezw. V erkleinerung. Perspektivna lega = die per¬ spektive Lage. Podobnišče = der Ahnlichkeits- punkt. 32 Uporaba podobnosti. likoma (n. pr. pri A 1 B 1 C 1 D 1 in A 2 B 2 C 2 D^). Opazuj lika / in II, oziroma II in III glede istorednega pomikanja preko oglišč! 8 . Uporabo podobnosti pokaže razrešitev sledečih nalog. Naloga 1. Izmeri daljico AB (slika 49.), ki ni povsem dostopna! Poišči točko C tako, da moreš iz nje vizirati proti A in B, razpolovi AC in BC ter izmeri A l B 1 ! Potem je A^B^ = AB ali AB = 2 .A^. Zakaj? — Če zabranjuje zapreka med A ± in B 1 merjenje daljice A t B u odmerimo na podaljšani AC daljico CA 2 = CA 1 in na podaljšani BC daljico CB 2 = CB t i. t. d. — Ali smo to nalogo že razrešili? Slika 49. Slika 50. Naloga 2. Nariši skoz točko T (slika 50.) premico, ki gre skoz nedostopno presečišče premic a in bi Nariši katerikoli vzporednici AB in A l B 1 , ki sečeta dani premici, spoji T z A in B ter načrtaj A 1 T i || AT in 33 B ± T t || BT. Premica, ki spaja presečišče r J\ tek vzporednic s T, ustreza nalogi. (Perspek¬ tivna lega trikotnikov ABT in 0 — Kako smo to na¬ logo že razrešili? Naloga 3. Pomanjšaj lik na sliki 51. a po me¬ rilu 3:2! Nalogo razrešiš, če po¬ manjšaš po merilu 3 : 2 daljice, ki določajo lik. Pomanjševanje daljic iz¬ vršimo s pomanjševalnim kotom. Pomanjševalni kot za merilo 3:2 dobimo, ako odmerimo na poltraku (slika 52. a) od krajišča tri enake daljice drugo poleg druge, narišemo s polmerom r — 3 lok ter odrežemo na njem tetivo t — 2. Ako narišemo z daljicami lika na sliki 51. a v po- manjševalnem kotu loke, so tem lokom pripadajoče tetive istoležne daljice pomanjšanega lika na sliki 51. b. Tako je n. pr. ol = AB in III = A t lS v Slika 51. Slika 52. Če je lik n. pr. na sliki 51. b po merilu 2 : 3 povečati, rabimo povečevalni kot, ki ga kaže slika 52. b. V tem slučaju je ol = A i B i in III — AB. Pomanjšanje, oziroma povečanje daljic moremo izvršiti še na sledeči način. Na poltraku odmerimo od krajišča n. pr. za merilo 3 : 2 in 2 : 3 tri enake daljice (slika 52. c) ter narišemo skoz razdelišči 2 in 3 pravokotnici na pol- Mazi, Geometrija II. 3 Pomanjševalni kot = der Ver- kleinerungs- winkel. Povečevalni kot = der Verg-rofie- rungswinkel. 34 Pantograf = der Pantograph. trak. Za sliko 51. je potem 3III = AB in 2II = A 1 B 1 in narobe. V praktičnem življenja se pogostoma uporabljajo za pomanjšanje ali povečanje likov (n. pr. ornamentov, črtežev, zemljevidov) kvadratne mreže in pantograf. Lik, ki ga hočemo pomanjšati, preprežemo s kvad¬ ratno mrežo, ako narišemo pravokotnik, popolnoma 5 4 3 2 1 0 B Slika 53. oklepajoč lik, razdelimo osnovnico na več enakih delov, odmerimo en tak del na višino kolikorkrat mogoče ter načrtamo skoz razdelišča vzporednice stranicam. Nato na¬ rišemo podoben pravokotnik po določenem merilu (n. pr. merilu 4 : 3 na sliki 53.), razdelimo osnovnico, oziroma višino na toliko ena¬ kih delov, kolikor jih je na prvem pravokot¬ niku, ter zopet načrta¬ mo vzporednice stra¬ nicam. V pomanjša¬ nem pravokotniku do¬ ločimo merilu primer¬ no presečišča lika z mrežo ter narišemo končno podoben lik. Tako jen. pr. na sliki 53. a, b za istoležni točki A in A t A 1 B 1 = jAB. — Prepričaj se, da ustreza merilo zmeraj le dolgostni meri, ne pa ploskovni meri! Slika 54. 35 Pantograf (model!) je sestavljen iz štirih enako dolgih paličic (slika 54.), ki tvorijo paralelogram in ki so razdeljene z luknjicami na isto število enakih delov. Pali¬ čice se pregibljejo v členkih 1, 2, 3, 4. Določen lik povečamo, ako pritrdimo pantograf v točki T, zasadimo v luknjico pri A žebljiček, v luknjico pri A x svinčnik ter pomikamo žebljičkovo konico po ob¬ risu lika ABCD. Svinčnikova konica nariše povečani lik AiB 1 C 1 D 1 , — Pri pomanjšanju lika zamenjata svinčnik in žebljiček svoji mesti. Vaje. 1. Kolika je površina škatljice za vžigalice, ki je 4'5 cm dolga, 3-5 cm široka in P7 cm visoka? Presodi najprvo po vidu! Nariši mrežo in sestavi škatljico! 2. Kiosk za nalepljanje lepakov ima obliko pravilne šesterostranične prizme z osnovnim robom 0'8 m in višino 3-2 m. Koliko je uporabne ploščine, ako segajo lepaki 0'5 m od tal? 3. Določi površino tristranične pravilne prizme, ki jo ra¬ bimo za model! 4. Prepričaj se, če ustreza prostornina učilnice predpisu, ki zahteva za vsakega učenca 3 m ; 3 zraka! 5. Koliko drži 6 dm dolg, 5 d m širok in 4’ 5 dm visok lesen zaboj, ako so stranice 1*5 cm debele? 6. Kolika je višina kvadra s prostornino V — 45 cm 3 , ako pada osnovna ploskev od 15 cm 2 na 10, 5, 1 m 2 ? 7. V posodo kvadrove oblike (a = 15 cm, b = 10 cm, c = 25 cm) položimo težko telo ter napolnimo posodo do vrha z vodo. Ko odstranimo telo, sega voda še 14'5 cm visoko; kolika je prostornina telesa? 8. Rob granitne kocke za cestno tlakovanje meri 20 cm; koliko tehta kocka? 9. Živo srebro, ki napolni kocko z robom 2-7 dm, tehta 267-49 . . . kg; kolika je specifična teža živega srebra? 10. Vžigalice imajo obliko pokončne kvadratne prizme z osnovnim robom a — 2 mm in z višino v = 37 mm. Koliko vžigalic da 1 m 3 smrekovine? 11. Plašč pokončne kvadratne prizme meri 114-432 cm 2 , osnovni rob pa 3-84 cm; kolika je prostornina prizme? 3 * 36 12. Čebelne celice imajo obliko pravilnih šesterostraničnih prizem z osnovnim robom a — 3 mm in z višino v = 10 mm. Koliko celic polnega satovja da približno 1 l medu? 13. Železniški nasip ima poprečni prerez, kakor ga kaže slika 36.; koliko grušča potrebuješ na vsakih 10 m? 14. Koliko vode drži približno Sueški prekop s poprečnim prerezom na sliki 37., ako je prekop 170 km dolg? 15. Koliko tehta 2-5 m dolg železen otel steber s po¬ prečnim prerezom na sliki 35.? 16. Kako se izpreminja prostornina prizme, ako podvo¬ jimo, potrojimo i. t. d. a) višino, b) osnovno ploskev? 17. Koliko kartona rabiš za mrežo pokončne kvadratne piramide, ako naj meri osnovni rob 5 cm in obstranski rob 6'5 cm? Nariši mrežo in sestavi telo! 18. Streho šesterostraničnega stolpa tvori šest enako¬ krakih trikotnikov z osnovnico 3 - 5 m in z višino 5'6 m. Koliko stane bakrena pločevina za kritje strehe, ako stane 1 m dolga in 0'6» široka bakrena plošča 14 K in se računa za prigibke in odpadke 7% več? 19. Določi površino tristranične pravilne piramide, ki jo rabimo za model! 20. Cheopsova piramida ima osnovni rob a = 232 m in višino v = 156 m; kolika je njena prostornina? 21. Koliko tehta spomenik iz granita, ki ima obliko četvero- stranične pravilne piramide z osnovnim robom a = 1-59 ...m in z višino v = 2 • 43 ... m ? 22. Nariši mrežo pravilnega tetraedra (oktaedra) z robom 5 cm (4-5 cm), določi površino in sestavi telo! 23. Od česa odvisi prostornina piramid a) z isto višino, b) z isto osnovno ploskvijo? 24. Kocko moremo razdeliti na šest piramid tako, da so jim osnovne ploskve kockne mejne ploskve in da jim je kockno središče skupni vrh. Primerjaj te piramide drugo z drugo! Koliko meri prostornina vsake teh piramid, ako je kockni rob enak 5‘4 cm ? 25. Kdaj sta si podobna dva enakokraka trikotnika, pravokotnika, romba, romboida, deltoida? 26. Nariši pravokotniku srednjici ter povej, ali so nastali pravokotniki podobni danemu! 27. Stranice na polju zakoličenega trikotnika merijo a = 22-5 m, b = 15 m, c = 17 m. Nariši črtež trikotnika tako, da je z a istoležna stranica a, = 4'5 cm! Katero me¬ rilo rabiš? 37 28. Nariši trikotniku (a = 1-5 cm, 6 = 1 cm, c = 2 cm) podobni trikotnik po merilu 3:7! 29. Nariši pravilnemu šesterokotniku (a = 3' 5 cm) po merilu 5 : 2 podoben lik v perspektivni legi tako, da je po- dobnišče a) eno oglišče, b) središče mnogokotnika! Koliko meri stranica podobnega lika? Določi obseg obeh likov ter ju pri¬ merjaj ! 30. Nariši enakokraki trikotnik (o == 2 cm, v = 2 cm) ! Kako se izpreminja osnovnica, ako ostane kot ob vrhu nes¬ premenjen, pač pa vzraste višina za 1 cm, 2 cm . . .? 31. Nariši katerikoli mnogokotnik ter ga povečaj (po¬ manjšaj) po primernem merilu! Glej nalogo 3. na str. 33.! 32. Poišči in izmeri na črtežu šolskega kraja najkrajšo pot, ki pelje z doma v šolo! Preizkusi rezultat s koraki! Ko¬ liko časa rabiš za pot, ako računaš na minuto 100 korakov? 33. Povečaj s kvadratno mrežo zemljevid Kranjske (1 : 4,000.000) po merilu 2:7! Da ne pokvariš zemljevida, nariši mrežo na prozoren papir! 34. Sestavi iz paličic pantograf ter pomanjšaj in povečaj z njim različne like! Pitagorov izrek. III. Pitagorov izrek in njega uporaba. 1 . Nariši ob stranicah enakokrakega pravokot¬ nega trikotnika ABC (slika 55.) kvadrate! Izreži kvad¬ rata ob katetah, prereži ju po eni diagonali ter pokrij z nastalimi trikotniki kvadrat ob hipotenuzi! Kolik je torej kvadrat ob hipotenuzi z ozirom na kvadrata ob katetah? Nariši trikotnik s stranicami 3, 4 in 5 cm\ Kakšen trikotnik dobiš? Načrtaj ob stranicah trikotnika kvadrate (slika 56.) ter razdeli vsakega na cm 2 ! Kaj opaziš, ako sešteješ kvadratne centimetre, ki jih obsega kvadrat ob hipotenuzi, in kvadratne centimetre, ki jih obsegata kvadrata ob katetah skupaj? Nariši katerikoli pravokotni trikotnik ABC (slika 57.) in kvadrate ob njegovih stranicah! Načrtaj nato kvadrat s stranico enako vsoti katet a in & pravokotnega trikotnika (slika 58.) in štiri z ABC skladne trikotnike 1, 2, 3, 4! Ako izrežeš te štiri trikotnike ter jih položiš v kvadrat tako, kakor kaže slika 58., je nepokrita ploskev 39 kvadrat III enak kvadratu ob hi potenuzi c. Zakaj? (a-{-/? = 90 c «—(—{—y = 180°, torej y = 90 ( Če pa zavrtiš trikotnika 2 in na vznotraj v toliko, da se kri jeta njiju hipotenuzi s hipotenu- rata I in II ob katetah v obeh slučajih enaka, Slika 58. Slika 59. je kvadrat III ob hipotenuzi pravokotnega trikotnika ABC (slika 57.) tolik, kot kvadrata I in II ob katetah skupaj. III = I -f II. Velja torej splošno: V vsakem pravokotnem trikotniku je kvadrat ob hipotenuzi enak vsoti kvadratov ob katetah. Ta izrek pripisujejo grškemu matematiku Pitagoiu, ki je živel okrog leta 550. pr. Kr. r. Imenujemo ga Pita¬ gorov izrek. Ako odštejemo kvadratu ob hipotenuzi kvadrat ob eni kateti, ostane kvadrat ob drugi kateti. III — II = I in III — I = II. V pravokotnem trikotniku je kvadrat ob eni kateti enak razliki kvadratov ob hipote¬ nuzi in drugi kateti. Pitagorov izrek = der Satz von Pythagoras. 40 Kvadrat ob kateti in kvad¬ rat ob višini pravokotnega trikotnika. Naloga. Nariši kvadrat, ki je enak a) vsoti, b) razliki kvadratov s stranicama a = 5 cm in b = 2 cm ! a) Nariši pravokotni trikotnik s katetama a — 5 cm in b = 2 cm, potem je hipotenuza enaka stranici zahte¬ vanega kvadrata. b) Nariši pravokotni trikotnik s hipotenuzo a = 5 cm in kateto b = 2 cm, potem je druga kateta enaka stranici zahtevanega kvadrata. 2 . Narišimo zopet ob stranicah pravokotnega trikot¬ nika ABC (slika 60.) kvadrate! Podaljšana višina CC' na hipotenuzo* razdeli AB na dva dela AC' in C'B, kvad¬ rat ob hipotenuzi pa na pravokotnika 1 in 2. AC' je pravokotna projekcija katete AC -in BC' je pravo¬ kotna projekcija katete BC na hipotenuzo, ki je torej vsota projekcij obeh katet. Ako spojimo B z D in C i E, dobimo trikotnika ABD in AEC. Če zavrtimo trikotnik ABD okoli oglišča A za 90°, pokrije trikotnik AEC ; trikotnika sta skladn a. Primerjajmo kvadrat I ob kateti AC s trikotnikom ABDl Oba lika imata isto osnovnico AB in isto višino AC; torej je kvadrat I dvakrat tako velik kot trikotnik ABD. I = 2 X ABD. Primerjajmo tudi pravokotnik 1 s trikotnikom AEC\ Oba lika imata isto osnovnico AE in enako višino AC'; torej je pravokotnik 1 dvakrat tako velik kot trikotnik AEC. 1 = 2 X A EC. * Višino na hipotenuzo bomo imenovali na kratko višino pravo¬ kotnega trikotnika. 41 Ker sta trikotnika ABD in AEC ploščinsko enaka, sta tudi kvadrat I ob kateti AC in pravokotnik 1 s strani¬ cama AE = AB in AC' ploščinsko enaka. 1 = 1 . Pokaži, da je tudi kvadrat II ploščinsko enak pravo¬ kotniku 2! (Spoji A z F in C z G i. t. d.!) II = 2. Kvadrat ob kateti pravokotnega trikot¬ nika je ploščinsko enak pravokotniku, čigar ena stranica je enaka hipotenuzi in čigar druga stranica je enaka projekciji dotične katete na hipotenuzo. (Izrek o kvadratu ob kateti.) Kako pokažeš na podlagi tega izreka resničnost Pitagorovega izreka? Narišimo v pravokotnem trikotniku ABC (slika 61.) ob višini CC kvadrat II, ob kateti AC kvadrat III in pravokotnik 3 s stranicama, enakima hipotenuzi in projekciji AC' katete AC na hipotenuzo! Po prejšnjem izreku je kvad¬ rat III ploščinsko enak pravo¬ kotniku 3. III = 3 = I + 2. Po Pitagorovem izreku je trikotnik A CC' II = HI - I. Ker sta kvadrat III in pravokotnik 3 ploščinsko enaka, smemo zamenjati drugega z drugim, zato je tudi II = 3 — I. Če pa odštejemo pravokotniku 3 kvadrat I, ostane pravokotnik 2 s stranicama, ki sta enaki projekcijama katet na hipotenuzo. z ozirom na pravokotni II = 2. 42 Kvadrat ob višini pravokotnega trikot¬ nika je ploščinsko enak pravokotniku s stra¬ nicama, ki sta enaki projekcijama katet na hip o tenu z o. (Izrek o kvadratu ob višini.) Na podlagi zadnjih dveh izrekov moremo pretvoriti vsak pravokotnik v kvadrat. Naloga. Pretvori do¬ ločen pravokotnik v kvadrat! a) Po izreku o kvadratu ob kateti pretvorimo pravo¬ kotnik ABCD (slika 62.) v kvadrat, če narišemo pravo¬ kotni trikotnik DCE, v ka¬ terem je daljša pravokotnikova stranica DC hipotenuza in krajša stranica DA — DE' projekcija katete DE na hipotenuzo. Ako torej narišemo polkrog s premerom DC in določimo presečišče E pravokotnice skoz E' na DC s polkrogom, je kateta DE trikotnika DCE stranica zahte¬ vanega kvadrata DEFG. b) Po izreku o kvadratu ob višini razrešimo nalogo, ako narišemo pravokotni tri¬ kotnik DEF (slika 63.), v katerem sta pravokotnikovi stranici D C in CB = CE projekciji katet, torej hipo¬ tenuza DE. Kvadrat CHGF ob višini CF ustreza nalogi. Pa tudi vsak mnogokot- nik moremo pretvoriti v kvad¬ rat; pretvorimo ga namreč v pravokotnik in tega v kvadrat. uporaba pitago- 3 . Doslej smo se bavili s Pitagorovim izrekom v rovega izreka, geometrijski obliki. Ako so merska števila katet in hipotenuze pravo¬ kotnega trikotnika a, b, c izražena v isti dolgostni enoti, Slika 63. P 43 so merska števila ploščine kvadratov ob teh stranicah a 2 , b 2 , c 2 . Iz III = I —(— II (slika 57.) sledi potem c 2 == a 2 -(- b 2 in a 2 = c 2 — & 2 , b 2 = c 2 — ft 2 . To je izraz Pitagorovega izreka v aritmetični obliki. O velikem pomenu tega izreka se prepričamo že iz sledečega. Naloga 1. Kako dolga je napeta vrv, ki sega od vrha 15 m visoke stavbe do točke, oddaljene 8m od vznožja stavbe? Vrv je hipotenuza c pravokotnega trikotnika s kate- tama a in b , enakima višini stavbe, oziroma razdalji vznožja od omenjene točke. Po Pitagorovem izreku je c 2 = , . . r 2 oia terej je p = Zapiši obrazca za r in a krogovega izseka, če poznaš p in a, oziroma p in r! Kako imenujemo del kroga, ki ga mejita tetiva in njej pripadajoči lok? Kako bi določil ploščino krogovega odseka ali segmenta? Vaje. 1. Določi dolžino železnih obročev za kolesa štirikolesnega voza, čigar prednji kolesi imata polmer r 1 = 3-6 dm in čigar zadnji kolesi imata polmer r 2 = 4'8 dm ! 2. Kolikokrat se zavrti krogla s premerom d = 18 cm, ako jo zakotališ po 15 m dolgem kegljišču? 3. Izmeri obseg ravnika na šolskem globu in določi njegov polmer! 4. Kako debelo je deblo, ki meri v obsegu 5 m? 5. Nariši krog, čigar obod je enak a) vsoti, b) razliki obodov dveh krogov s polmeroma r x = 5 cm in r 2 = 1-5 cm! 6. Kolik je polmer meridijanskega kroga, ki meri približno 40.000 km ? 7. Koliko meri ločna stopinja (minuta, sekunda) na rav¬ niku, čigar polmer je r = 6377 km ? 8. Kolika je pot katerekoli točke na ravniku v 1 sekundi (minuti) ? 9. Kolik je lok, ki mu pripada v krogu s polmerom r — 8 cm središčni kot a = 45° (60°, 90 °)? 10. Kolik je polmer zemeljske oble, ako meri širinska stopinja 111 km? 11. Kolik je polmer kroga, čigar lok ene stopinje meri 1 m? 58 12. Kolik je polmer kroga, v katerem pripada 10 cm dolgemu loku središčni kot 10° ? 13. Nariši daljico, ki je enaka obodu kroga s polmerom r = 10 (15 )mm\ — Naloge ne moremo natančno razrešiti z rav¬ nilom in šestilom. Najenostavnejše jo razrešimo približno, ako odmerimo na premici 3^ krat premer. Natančnejša je sledeča razrešitev, ki popolnoma ustreza praktičnim zahtevam. Narišimo v krajišču B premera AB (slika 77.) tangento ter jo prese¬ kajmo s premico SC, tvorečo z AB kot 30°. Ako odmerimo na tan¬ genti daljico CD = 3 r in spojimo D z A, je AD približno polovica krogovega oboda (Ko- chanski 1685). Preiz¬ kusi natančnost z ra¬ čunom! (^4D je hipote- nuza trikotnika ABD, AB = 2 je ena kateta, BD = CD — CB je druga kateta. Izračunaj CB kot polovico stranice enakostranič¬ nega trikotnika z višino BS = 1 i. t. d.!) 14. Koliko časa rabi konica 11 mm dolgega kazalca, ki kaže minute, da opiše 1 m dolgo pot? 15. Kolika je ploskev vodne gladine okroglega ribnika, ki ga obideš z 250 koraki (1 korak = 0-75 m)? 16. Koliko stopinj meri lok, ki je enak krogovemu pol¬ meru ? 17. Pretvori krog s polmerom r = 2- 5 cm a) v trikotnik, b) v kvadrat! Glej vajo 13.! 18. Kako se izpreminja a) obseg, b) ploščina kroga s polmerom r — 1 cm, ako ga podvojimo, potrojimo i. t. d.? Tablica! 19. Kolika je ploskev, ki jo mejita krogov obod (r = = 2-5 cm) in obseg krogu včrtanega kvadrata (pravilnega, šesterokotnika) ? 20. Kolik je polmer kroga, ki ima a) isti obseg, b) isto ploščino kakor kvadrat s stranico a = 5 cm\ 21. Kvadrat, enakostraničen trikotnik in krog imajo enaki obseg o = 50 cm. Izračunaj in primerjaj ploščine teh likov ! 22. Krogov obod meri 100 cm; kolik je obod kroga, ki ima še enkrat tako veliko ploščino? 59 23. NariSi krog-, ki je enak a) vsoti, b) razliki krogov s polmeroma r x = 5 cm, r 2 = 3 cm! Računaj in riši! 24. Nariši krog, ki je enak vsoti treh (štirih) določenih krogov! 25. Nariši krog, ki je dvakrat (trikrat) tako velik kakor krog s polmerom r = 1 cm! 26. Nariši krog, ki je enak polovici kroga s polmerom r — 3 cm! 27. Železna cev ima notranji premer 20 cm in debelino 1-8 cm; kolika je ploščina in obseg poprečnega prereza? 28. Kolik je polmer kvadranta (sekstanta, oktanta) a) z obsegom 1 m, b) s ploščino lm 2 ? 29. Kolika je ploščina izseka s polmerom r = 7-6 cm in lokom l = 3 - 8 cm (38° 15')? 30. Kolik je središčni kot a, ki pripada izseku s pol¬ merom r — 7'4 dm in ploščino p = 54-76 cčm 2 ? 31. Kolik je polmer izseka z lokom l == 14-8 cm in ploščino p = 109-52 cm 2 ? 32. Kolik je središčni kot izseka, a) čigar lok je enak polmeru, b) čigar ploščina je enaka kvadratu polmera? 33. Nariši v krogu s polmerom r = 3 cm tetivo z dol¬ žino 4‘5 cm in določi ploščino odseka, ki ga mejita tetiva ter njej pripadajoči lok! 34. Včrtaj krogu s polmerom r = 4 cm a) pravilni šesterokotnik, b) kvadrat in c) enakostraničen trikotnik ter določi ploščino odseka, ki ga mejita v vsakem slučaju likova stranica in nji pripadajoči lok! V. Površina in prostornina valja in stožca. Površina vaija. 1 . Kako stvorimo pokončni valj ali cilinder? Kateri ploskvi imenujemo osnovni ploskvi in kateri pravimo plašč? Kako zovemo daljice na plašču, ki leže med osnovnima ploskvama? Kdaj je valj enakostra¬ ničen? Imenuj lik, ki tvori osji presek pokončnega valja (enakostraničnega valja)! Kakšen lik dobimo, če prerežemo plašč pokončnega valja po eni stranici ter ga razgrnemo v ravnino? Ker je ena stranica tega pravokotnika enaka obodu osnovne ploskve, druga stranica pa enaka valjevi višini, je obrazec za ploščino plašča p = 2 rjtv. Ako pridenemo razgrnje¬ nemu plašču še osnovni plos¬ kvi (slika 78.), vidimo, daje površina pokončnega valja enaka vsoti iz dvojne osnovne ploskve in plašča. P = 20 ~\-p = 2 r 2 n -j- 2 rnv = = 2rx(r + v)- Slika 78. V ploskve potem enakostraničnem valju je premer osnovne enak valjevi višini (stranici). Ploščina plašča je p = 2 rn . 2 r = 4 r 2 jt, površina valja pa P = 2 r 2 n -j- 4 r 2 n = 6 r 2 st. 61 2 . Kako smo dognali pravilo za prostornino prizme? Ako iztehtamo več iz iste snovi narejenih vaijevih modelov s ploščinsko enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino, vidimo, da je njih teža enaka. Otli modeli istih valjev drže enako množino te¬ kočine. Kaj sklepamo zato o prostornini valjev z enakimi osnovnimi ploskvami in enako višino? Ako očrtamo in včrtamo pokončnemu valju pravilne prizme, se bližajo tem bolj valju, čim večje je število stranic osnovnih ploskev. Ko je to število zelo veliko, ne ločimo več osnovnih prizmnih ploskev od krogov, obstranskih ploskev od plašča in tudi ne prizme od valja. Za prostornino valja velja torej isti obrazec kakor za prostornino prizme, namreč F = Ov. Ker je ploščina osnovne ploskve enaka rh r, je V = r 2 Jtv. Pr o sto r n i n a v a 1 j a je enaka produktu iz osnovne ploskve in višine. Ako je valj enakostraničen, je prostornina V — r 2 jv .2 r = 2 f’?t. 3 . Kako stvorimo pokončni stožec? Kakšni ploskvi mejita stožec in kako jima pravimo ? Kako ime¬ nujemo daljice, ki jih moremo narisati na plašču? Kdaj je stožec enakostraničen? Kakšen lik tvori o s j i presek pokončnega stožca (enakostraničnega stožca)? Kakšen lik dobimo, ako prerežemo plašč pokončnega stožca po eni stranici ter ga razgrnemo v ravnino? Ker je polmer tega izseka enak stožčevi stranici s, lok pa obodu osnovne ploskve, je obrazec za ploščino stožčevega plašča Prostornina valja. Površina stožca. 62 Prostornina stožca. Če pridenemo razgrnjenemu plašču še osnovno plos¬ kev (slika 79.), vidimo, da je površina pokončnega stožca enaka vsoti iz osnovne ploskve in plašča. P = O -j- p = r-n -f- ms = = m(r-\- s). V enakostraničnem stožcu je premer osnovne ploskve enak stožčevi stra¬ nici. Potem je ploščina plašča p = 2 r 2 n in površina stožca P = r 2 jt -j- 2 r 2 n = 3 r 2 -T. 4. Ako iztehtamo več iz iste snovi narejenih stožče- vih modelov z enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino, vidimo, da imajo enako težo. Otli modeli istih stožcev drže enako množino te¬ kočine. Kaj sklepamo zato o prostornini stožcev z enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino? Ako očrtamo in včrtamo pokončnemu stožcu pra¬ vilne piramide, se bližajo tem bolj stožcu, čim večje je število stranic osnovnih ploskev. Ko je to število zelo veliko, ne ločimo več piramidnih osnovnih ploskev od kroga, obstranskih ploskev od plašča in tudi ne piramid od stožca. Za prostornino stožca velja torej isti obrazec kakor za prostornino piramide, namreč Ker je ploščina osnovne ploskve enaka r 2 Jt , je r 2 nv V V = 8 63 Prostornina stožca je enaka tretjini pro¬ dukta iz osnovne ploskve in višine. Ako je stožec enakostrani¬ čen, je osji presek enakostraničen trikotnik (slika 80.). Višino dobimo iz pravokotnega trikotnika AS V v = f 4r 2 — r 2 = rj/3. Potem je V = V Vaje. 1. Določi površino in prostornino valjev, ki jih rabimo za modele ! 2. Koliko kartona rabiš za mrežo pokončnega valja s polmerom r = 4 cm in z višino v = 12 cm? Sestavi telo! 3. Kolik je plašč pokončnega valja, ki ima polmer enak višini v = 8-6 cm? Primerjaj ploščino plašča s ploščino osnovne ploskve! 4. Koliko vode drži 4 m globok vodnjak s premerom d = 1'2 m? 5. Kolika je površina in prostornina valjev, ki nastaneta, ako vrtimo pravokotnik s stranicama a = 5 - 8 cm in b — = 8-6 cm okoli srednjic? 6. Koliko kubičnih metrov lesa da 4' 8 m dolgo in 1-2 m debelo bukovo deblo približno valjaste oblike. Koliko tehta deblo ? 7. Valjev osji presek je kvadrat s ploščino 1*44 m 2 ; kolik je plašč in kolika je površina in prostornina valja ? 8. Razgrnjen valjev plašč je kvadrat s stranico 3 dm; kolika je površina in prostornina valja? 9. Kako se izpreminja a) površina, b) prostornina enako¬ straničnega valja s premerom 1 dm, ako podvojimo, potrojimo i. t. d. premer ? 10. Kako raste prostornina valja z neizpremenjeno osnovno ploskvijo (višino), ako podvojimo, potrojimo i. t. d. višino (pre¬ mer) ? 11. Kako raste valjeva prostornina, ako podvojimo, po¬ trojimo i. t. d. obenem premer in višino ? 64 12. Kako raste valjeva prostornina, ako ne izpremenimo višine, pač pa podvojimo, potrojimo i. t. d. obseg osnovne ploskve ? 13. Kolika je višina 1 kg težke uteži valjaste oblike iz mesinga, ako meri premer 4-5 cm? 14. Brusilni kamen z debelino 6 cm in z obsegom 1 m ima v sredini izdolbeno luknjo v obliki kvadratne prizme z osnovnim robom 2'5 cm; koliko tehta kamen (specifična teža 2-42 ... g)? 15. Kolik bi moral biti otel enakostraničen valj, da bi ga napolnili s 512 tonami živega srebra, ki ga dobavlja na leto Idrijski rudnik ? 16. Koliko bi tehtala 2-5 m dolga železna cev s poprečnim prerezom na sliki 75. (1:100)? 17. Enakostraničen valj in kocka imata enako površino 50 dm 2 ; izračunaj in primerjaj prostornini teles! 18. Prostornina soda je približno enaka prostornini pokončnega valja, čigar višina je enaka sodovi dolžini a in čigar premer d je enak tretjini vsote iz premera sodovega dna in dvojne sodove debeline d % (slika 81.). v — a, d = d, + 2rf 2 V d 2 na T Koliko litrov drži n. pr. 1'5 m dolg in 1-3 m debel sod, ako meri premer dna lm? 19. Koliko kartona rabiš za plašč pokončnega stožca s stranico s = 5 cm in središčnim kotom a = 180°? Se¬ stavi telo! 20. Kolika je površina in prostornina pokončnega stožca s premerom d — 8 cm in z višino v — 12 cm? 21. Kolika je površina in prostornina telesa, ki nastane, ako vrtimo enakokraki pravokotni trikotnik s hipotenuzo c = 30 cm a) okoli katete, b) okoli hipotenuze? 22. Stranica pokončnega stožca meri 1 dm, in višina 0-8 ‘dm; kolika je površina in prostornina stožca? 23. Odgovori na vprašanja 9., 10., 11. in 12. vaje, ako zamenjaš besedo valj z besedo stožec! 24. Koliko kilogramov voska drži posoda z obliko enako¬ straničnega stožca s premerom d = 20 cm (10 - 38 dm)? 25. Osji presek stožca je enakostraničen trikotnik s plo¬ ščino p = 100 cm 2 ; kolika je površina in prostornina stožca? 65 26. Streha okroglega stolpa ima obliko pokončnega stožca z višino v = 8 m in z obsegom osnovne ploskve o = 24 m. Koliko stane pleskanje strehe, ki je pokrita z bakreno ploče¬ vino, ako se računa 85 h za 1 m 2 ? 27. Kolik je polmer in kolika je površina enakostranič¬ nega stožca s prostornino V — 50 cm 3 (27'849 dm 3 )? 28. Pri prelitju svinčenega pokončnega valja s polmerom r = 10 cm in z višino v = 30 cm v enakostraničen stožec računamo na izgubo svinca 5°/ 0 ; kolik je stožcev premer? 29. Kolika je površina in prostornina pokončnega stožca s polmerom r = 21 cm in s stranico s = 35 cm? 30. Pokaži, da je razgrnjeni plašč enakostraničnega stožca polkrog! 31. Kocka, enakostraničen valj in enakostraničen stožec imajo enako prostornino V = 512 m 3 ; primerjaj površine teles! 32. Pokončnemu stožcu s polmerom r — 5 dm in višino v — 12 dm sta včrtani pravilna četverostranična in pravilna šesterostranična piramida; primerjaj površine in prostornine teh teles! Mazi, Geometrija II. 5 VI. Površina in prostornina krogle. Površina krogle. j, Kako stvorimo kroglo? Katerim krogelnim kro¬ gom pravimo glavni krogelni krogi? Ako vrtimo okoli osi o (sl. 82.) krog k s tetivo AB, ki je pravo¬ kotna na osi, nariše krog krogelno ploskev, tetiva pa krog k u čigar središče leži na osi. Če je r krogelni polmer, r t polmer in s sre¬ diščna razdalja kroga k t , je po Pi¬ tagorovem izreku r 2 = s 2 -\- j - ] 2 , s = (/r 2 —■ r t 2 in r t = [r 2 — s 2 . Ali moremo razgrniti kro¬ gelno ploskev v ravnino? Obrazec za krogelno površino si zapomnimo brez utemeljevanja: p = 4r%. Slika 82. Krogelna površina je enaka štirikratni ploščini glavnega krogelnega kroga. Iz navedenega obrazca sledi i/i P . — m r = 4tc P_ 4ji Krogelna pro¬ stornina. Kolika je površina, ako je znan krogelni premer? 2 . Ako si mislimo na krogelni ploskvi razdeljen ravnik in en meridijanski krog na mnogo prav majhnih delov ter narisane skoz razdelišča meridijane in vzpored¬ nike, je krogelna ploskev preprežena z mrežo, sestoječo iz zelo mnogo prav majhnih četverokotnikov, oziroma trikotnikov. Mislimo si oglišča teh likov spojena s kro¬ gelnim središčem, potem razpade krogla na zelo mnogo 67 prav tankih piramid, ki imajo omenjene like za osnovne ploskve in krogelni polmer za višino. Namesto vseh teh piramid si mislimo eno samo, ki ima isto višino, za osnovno ploskev pa vsoto osnovnih ploskev vseh teh piramid. Ta piramida ima isto prostornino kot vse majhne piramide skupaj. Iz tega sklepamo, da je krogla prostorno enaka piramidi, ki ima osnovno ploskev enako kro¬ gelni površini P in višino, enako krogelnemu polmeru r. Ker je krogelna površina P — 4r%, je prostornina Krogelna prostornina je enaka tretjini produkta iz površine in polmera. Iz obrazca za prostornino sledi Zapiši obrazec za prostornino, ako je znan krogelni premer! 1. Kolik je polmer in ploščina krogelnega kroga s sre¬ diščno razdaljo s = 1 cm (2 cm, 3 cm), ako meri krogelni polmer 5 cm ? 2. Kolika je središčna razdalja krogelnega kroga s plo¬ ščino 36-32 cm 2 , ako meri krogelni polmer 8 cm? 3. Določi površino in prostornino šolskega globa! 4. Nariši krog, čigar ploščina je enaka površini krogle s polmerom r = 1 cm! 5. Površina zemeljske oble meri 9,282.000 km 2 ; kolik je zemeljski polmer? 6. Kako raste a) površina, b) prostornina krogle s pol¬ merom r = 1 cm, ako polmer podvojimo, potrojimo i. t. d. ? 7. Kolika je površina in prostornina zemeljske oble s pol¬ merom r = 6360 hm in kolika je površina in prostornina solnčne oble, ki ima 108krat tako velik polmer kakor zemlja? Vaje. 5 * 68 T 8. Kolika je površina in prostornina slonokoščene biljardne krogle, ki tehta 200 g ? 9. Kako daleč bi segal naš pogled s Triglava (2863 m) in kako daleč z Montblanka (4810 m), ako ne bi obzora za¬ krivale gore i. dr.? (Glej sliko 83.! Če zavrtimo krog okoli TS, nariše kroglo, tangenta TA plašč pokončnega stožca in tetiva AB stožcev osnovni krog [obzor]. Trikotnik jSTT 7'je pravokoten i. t. d.) 10. Koliko bi tehtala a) krogla iz plute ali probkovine, b) steklena krogla s polmerom r = Im ? Preden računaš, presodi približno težo! 11. Svinčnica ima obliko pokončnega stožca s polkroglo ob osnovni ploskvi. — Kolika je površina in prostornina telesa, ako meri polmer stožčeve ploskve l - 5 cm in višina 4 cm ? Teža ? 12. Kolik je plašč krogli (r — 1 dm) očrtanega pokon¬ čnega valja? Primerjaj valjev plašč s krogelno površino! 13. Kolik je polmer krogle, ki jo dobimo, ako prelijemo krogli s polmeroma r t = 12 cm in — 15 cm v eno? 14. Kolik je polmer krogle, ki ima še enkrat tako veliko površino kot krogla s polmerom r = 5 cm ? 15. Koliko tehta krogla s premerom d = 30 cm, ki se pogrezne ravno do polovice v vodo? (Tehta toliko kot izpod¬ rinjena voda.) 16. Kocka in krogla imata enako prostornino V — 20 cm 3 ; katero telo ima večjo površino ? 17. Pokončni stožec s polmerom r = 8 cm in z višino v = 12 cm prelijemo v kroglo; kolik je krogelni premer? 18. Iz svinčene kocke (a = 1 dm) vlijemo deset enakih krogel; kolik je polmer vsake krogle, ako računamo 5 % na izgubo svinca pri vlivanju ? 19. V otlem pokončnem valju s polmerom r = 10 cm sega voda 8 cm visoko; ako vržemo noter kroglo, vzraste gladina vode do 15 cm. Kolik je krogelni polmčr? 20. Enakostraničnemu valju (r = 1 dm) sta včrtana krogla in pokončni stožec, čigar osnovna ploskev se krije z eno valjevo osnovno ploskvijo in čigar višina je enaka valjevi višini. Izračunaj ter primerjaj prostornine teh teles! Specifična teža nekaterih teles (g) Vsebina. Stran I. Primerjanje in merjenje ploščine premočrtnih likov .... 1 II. Površina in prostornina prizme in piramide. Podobnost . . 21 III. Pitagorov izrek in njega uporaba.38 IV. Obseg in ploščina kroga.. 51 V. Površina in prostornina valja in stožca.60 VI. Površina in prostornina krogle.66 t NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA