O PREDSTAVITVI VSEH PRA
  STEVIL S CELO
  STEVILSKIMI
KVADRATNIMI FORMAMI DVEH SPREMENLJIVK
MARJAN JENKO
1
IN MARKO PETKOV
  SEK
2
1
Fakulteta za gradbeni  stvo in geodezijo, Univerza v Ljubljani
2
Fakulteta za matematiko in  ziko, Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11{01, 11A41, 11E25
V   clanku poka  zemo, da unija zalog vrednosti celo  stevilskih kvadratnih form x
2
+y
2
,
2x
2
+y
2
in 2x
2
  y
2
vsebuje vsa pra  stevila . . .
ON REPRESENTATION OF ALL PRIMES BY INTEGRAL BINARY QUADRATIC
FORMS
We show that the union of ranges of the integral binary quadratic forms x
2
+y
2
,
2x
2
+y
2
, and 2x
2
  y
2
contains all primes . . .
Uvod
Vsem matematikom je dobro znan
Izrek 1. Pra  stevilo p lahko zapi  semo v obliki x
2
+y
2
, kjer sta x;y2Z,   ce
in samo   ce p pri deljenju s 4 daje ostanek 1 ali   ce je p = 2.
Nekaj zgledov:
2 = 1 + 1 = 1
2
+ 1
2
p
3 = 1 + 2 ne gre, saj   stevilo 2 ni popoln kvadrat
5 = 1 + 4 = 1
2
+ 2
2
p
7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 ne gre, saj nobeno od   stevil 6 ; 2; 3 ni popoln
kvadrat
Izraz x
2
+ y
2
je poseben primer celo  stevilske kvadratne forme dveh spre-
menljivk, tj. izraza F (x;y) = ax
2
+bxy +cy
2
, kjer so a;b in c cela   stevila.
Kvadratna formaF (x;y) nam bo hkrati predstavljala tudi pripadajo  co pre-
slikavo oziroma funkcijo dveh spremenljivk F : Z  Z! Z, ki paru celih
  stevil ( x;y) priredi vrednost F (x;y). Pri dani kvadratni formi F pa nas bo
zanimalo, katera pra  stevila pripadajo njeni zalogi vrednosti F (Z  Z).
Osnovno vpra  sanje   clanka : Ali obstaja taka kon  cna mno  zica celo  stevilskih
kvadratnih form dveh spremenljivk, da unija njihovih zalog vrednosti vsebuje
vsa pra  stevila?
Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 2 41
Marjan Jenko in Perko Petkovšek
V naslednjem razdelku bomo na elementaren na  cin pokazali, da je od-
govor na to vpra  sanje pozitiven.
Predstavitev vseh pra  stevil
Naj boN =f1; 2; 3;:::g mno  zica naravnih   stevil in p liho pra  stevilo.
De nicija 2.
  Stevilo a2Z je kvadrat po modulu p,   ce obstaja tako   stevilo
b2Z, da je a  b
2
(mod p).
  Stevilo 0 je kvadrat po vsakem modulu, saj je 0  0
2
(mod p) za vse
p. Odslej se pri dolo  canju kvadratne narave celega   stevila po izbranem
pra  stevilskem modulu p omejimo na   stevila a6  0 (mod p). Izka  ze se, da
je pri tem ugodno uporabljati Legendrov simbol
  a
p
  , katerega vrednost je
de nirana takole:
  a
p
  =
(
1;   ce je a kvadrat po modulu p;
  1;   ce a ni kvadrat po modulu p:
Po viru [6] povzemamo naslednje rezultate.
Izrek 3. Naj bosta a in b celi   stevili, tuji lihemu pra  stevilu p. Potem velja:
(i)
  ab
p
  =
  a
p
   b
p
  [6, str. 127, izrek 86.(c)]
(ii)
    1
p
  = (  1)
p  1
2
[6, str. 127, izrek 86.(e)]
(iii)
  2
p
  = (  1)
p
2
  1
8
[6, str. 131, izrek 89]
Trditev 4. Naj bosta a2 Z ter p2 Nnf1g tuji   stevili. Potem obstajata
naravni   stevili x;y2f1; 2;:::;b
p
pcg, za kateri velja:
ax  y (mod p) ali ax   y (mod p): (1)
Dokaz: Naj bo P = f(x;y); x;y 2 f0; 1;:::;b
p
pcg.
  Stevilo elementov
mno  zice P je
  b
p
pc + 1
  2
>
 p
p
  2
= p, torej obstajata razli  cna urejena
para (x
1
;y
1
); (x
2
;y
2
)2P , za katera jeax
1
  y
1
  ax
2
  y
2
(mod p) oziroma
a(x
1
  x
2
)  y
1
  y
2
(mod p): (2)
Iz y
1
= y
2
bi zaradi (2) sledilo a(x
1
  x
2
)  0 (mod p), od tod pa zaradi
tujosti a in p   se x
1
  x
2
(mod p) in kon  cno x
1
= x
2
, saj x
1
;x
2
pripadata
42 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 2
O predstavitvi vseh praštevil s celoštevilskimi kvadratnimi formami dveh spremenljivk
mno  zici f0; 1;:::;b
p
pcg, ki ima zaradi p  2 kve  cjemu p elementov. To pa
ni mogo  ce, saj ( x
1
;y
1
)6= (x
2
;y
2
). Iz x
1
=x
2
pa bi zaradi (2) sledilo y
1
  y
2
(mod p) in od tod y
1
= y
2
, kar spet ni mogo  ce. Torej za x =jx
1
  x
2
j,
y =jy
1
  y
2
j velja: x;y2f1; 2;:::;b
p
pcg, od tod in iz (2) pa sledi (1).
Izrek 5. Naj bo
F
0
(x;y) = x
2
+y
2
;
F
1
(x;y) = 2x
2
+y
2
;
F
2
(x;y) = 2x
2
  y
2
:
Potem:
1. F
0
(Z  Z) vsebuje pra  stevilo 2 in vsa pra  stevila, ki pri deljenju s 4 dajejo
ostanek 1,
2. F
1
(Z  Z) vsebuje vsa pra  stevila, ki pri deljenju z 8 dajejo ostanek 3,
3. F
2
(Z  Z) vsebuje vsa pra  stevila, ki pri deljenju z 8 dajejo ostanek 7,
4. F
0
(Z  Z) [ F
1
(Z  Z) [ F
2
(Z  Z) vsebuje vsa pra  stevila.
Dokaz:
1. O  citno je F
0
(1; 1) = 1 + 1 = 2, torej F
0
(Z  Z) vsebuje pra  stevilo 2.
Naj bo zdaj p pra  stevilo oblike 4 k + 1, kjer je k2N. Po izreku 3(ii) je
    1
p
  = (  1)
p  1
2
= (  1)
4k
2
= (  1)
2k
= 1;
torej obstaja taka2Z, da jea
2
   1 (mod p). Po trditvi 4 obstajata   stevili
x;y2f1; 2;:::;b
p
pcg, za kateri je ax   y (mod p). Potem je a
2
x
2
  y
2
(mod p) ina
2
x
2
   x
2
(mod p), torejy
2
   x
2
(mod p) oziromax
2
+y
2
  0
(mod p), kar pomeni, da je x
2
+y
2
= tp za neki t2N. Iz 1  x;y b
p
pc
sledi 1  x
2
;y
2
 b
p
pc
2
<p, od tod patp =x
2
+y
2
< 2p in zato 1  t< 2,
torej t = 1 in p = x
2
+y
2
. Zaklju  cimo, da F
0
(Z  Z) vsebuje tudi vsa
pra  stevila oblike 4 k + 1.
2. Naj bo p pra  stevilo oblike 8 k + 3, kjer je k2N. Po izreku 3(ii) je
    1
p
  = (  1)
p  1
2
= (  1)
8k+2
2
= (  1)
4k+1
=   1;
po izreku 3(iii) pa prav tako
  2
p
  = (  1)
p
2
  1
8
= (  1)
(8k+3)
2
  1
8
= (  1)
64k
2
+48k+8
8
= (  1)
8k
2
+6k+1
=   1:
41–48 43
Marjan Jenko in Perko Petkovšek
Po izreku 3(i) je torej
    2
p
  =
    1
p
   2
p
  = (  1)
2
= 1;
zato obstaja a2Z, za katerega je a
2
   2 (mod p). Po trditvi 4 obstajata
taka x;y 2f1; 2;:::;b
p
pcg, da je ax   y (mod p). Potem je a
2
x
2
  y
2
(mod p) in a
2
x
2
    2x
2
(mod p), torej y
2
    2x
2
(mod p) oziroma
2x
2
+y
2
  0 (mod p), kar pomeni, da je 2x
2
+y
2
= tp za neki t2N. Kot
zgoraj velja 1  x
2
;y
2
<p, zato jetp = 2x
2
+y
2
< 3p in torejt2f1; 2g. To
pomeni, da pra  stevilo p dobimo kot vrednost celo  stevilske kvadratne forme
2x
2
+y
2
ali kot vrednost kvadratne forme x
2
+
y
2
2
z racionalnimi koe cienti.
A   ce je x
2
+
y
2
2
=p, mora biti y sodo   stevilo, torej y = 2z za neki z2Z in
je p =x
2
+
4z
2
2
=x
2
+ 2z
2
. To pa pomeni, da dobimo pra  stevilo p tudi kot
vrednost forme 2x
2
+y
2
in torej formex
2
+
y
2
2
ne potrebujemo. Zaklju  cimo,
da F
1
(Z  Z) vsebuje vsa pra  stevila oblike 8 k + 3.
3. Naj bo p pra  stevilo oblike 8 k + 7, kjer je k2N. Po izreku 3(iii) je
  2
p
  = (  1)
p
2
  1
8
= (  1)
(8k+7)
2
  1
8
= (  1)
64k
2
+112k+48
8
= (  1)
8k
2
+14k+6
= 1;
torej obstaja a2Z, za katerega je a
2
  2 (mod p). Po trditvi 4 obstajata
taka x;y2f1; 2;:::;b
p
pcg, da je ax   y (mod p). Potem je a
2
x
2
  y
2
(mod p) in a
2
x
2
  2x
2
(mod p), torej y
2
  2x
2
(mod p), kar pomeni, da
je 2x
2
  y
2
= tp za neki t2 Z. Kot zgoraj velja 1  x
2
;y
2
< p, zato je
2  p < 2x
2
  y
2
= tp < 2p  1 in torej t2f0; 1g. Iz t = 0 bi sledilo
y
2
= 2x
2
, torej
y
x
=  p
2. A to ne gre, saj je leva stran zadnje ena  cbe
racionalna, desna pa ne. Sledi t = 1 in p = 2x
2
  y
2
. Zaklju  cimo, da
F
2
(Z  Z) vsebuje vsa pra  stevila oblike 8 k + 7.
4. Pra  stevila oblike 4 k + 3 pri deljenju z 8 dajejo ostanek 3 ali 7, torej
mno  zica F
1
(Z  Z) [ F
2
(Z  Z) vsebuje vsa pra  stevila oblike 4 k + 3. Ker
F
0
(Z  Z) vsebuje pra  stevilo 2 in vsa pra  stevila oblike 4 k + 1, mno  zica
F
0
(Z  Z) [ F
1
(Z  Z) [ F
2
(Z  Z) vsebuje vsa pra  stevila.
S tremi kvadratnimi formami x
2
+y
2
, 2x
2
+y
2
in 2x
2
  y
2
lahko torej
predstavimo vsa pra  stevila, s   cimer smo pozitivno odgovorili na osnovno
vpra  sanje iz uvoda.
Dodatno vpra  sanje : Ali lahko predstavimo vsa pra  stevila   ze z dvema kva-
dratnima formama dveh spremenljivk? Ali morda celo z eno s  amo?
Drugi del gornjega vpra  sanja ni nesmiseln, saj je Lagrange leta 1770
dokazal izrek   stirih kvadratov , ki pravi, da vsako naravno   stevilo, in torej
44 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 2
O predstavitvi vseh praštevil s celoštevilskimi kvadratnimi formami dveh spremenljivk
tudi vsako pra  stevilo, pripada zalogi vrednosti celo  stevilske kvadratne forme
  stirih spremenljivk L(x
1
;x
2
;x
3
;x
4
) =x
2
1
+x
2
2
+x
2
3
+x
2
4
.
Nekaj zgodovinskih opomb in napotkov na dodatne vire
Teorija   stevil sodi skupaj z geometrijo med najstarej  sa podro  cja matema-
tike. Fragment babilonske glinene tablice iz   casa pribl. 1800 pred Kristu-
som, imenovane Plimpton 322, vsebuje 15 pitagorejskih trojic. Evklid iz
Aleksandrije (deloval okrog leta 300 pred Kristusom) je dokazal, da je pra-
  stevil neskon  cno mnogo, po Diofantu (prav tako iz Aleksandrije,   zivel v 3.
stoletju po Kristusu) pa so poimenovane diofantske ena  cbe in diofantska
aproksimacija.
Nov razcvet je do  zivela teorija   stevil v 17. stoletju s Fermatom, Girar-
dom, Mersennom in Pascalom. Girard je leta 1625 prvi opisal vsa naravna
  stevila (ne nujno pra  stevila), ki jih lahko zapi  semo v obliki vsote dveh popol-
nih kvadratov, Fermat pa je 25. decembra 1640 v pismu Mersennu navedel
tudi   stevilo mo  znih zapisov potenc danega pra  stevila v tej obliki. To je naj-
br  z razlog, da izrek 1 iz uvoda (omejen na liha pra  stevila p) v  casih imenujejo
Girardov izrek ali tudi Fermatov (bo  zi  cni) izrek .
  Zal niti Girard niti Fermat
nista navedla dokazov svojih trditev { tako je prvi dokaz tega izreka podal
  sele Euler leta 1749.
Pravi »kvantni preskok« v sodobno algebrai  cno teorijo   stevil pa je pri-
nesla Gaussova knjiga Disquisitiones Arithmeticae iz leta 1801, v kateri je
Gauss med drugim dokazal kvadratni reciprocitetni zakon za Legendrove
simbole (prim. [6, str. 131, izrek 90]) in razvil teorijo celo  stevilskih kva-
dratnih form dveh in treh spremenljivk. Kot se izka  ze, je zaloga vrednosti
celo  stevilske kvadratne forme F (x;y) = ax
2
+bxy +c
2
odvisna od njene
diskriminante   F =b
2
  4ac. Tako je npr. za kvadratne forme iz izreka 5
  F
0
= 0  4  1  1 =   4;
  F
1
= 0  4  2  1 =   8;
  F
2
= 0  4  2  (  1) = 8;
kar ni nepovezano z dejstvom, da je pri dolo  canju zaloge vrednosti F
0
po-
memben modul 4, pri dolo  canju zaloge vrednosti F
1
inF
2
pa modul 8. Ve  c o
tem lahko zainteresirana bralka in bralec izvesta v virih [1] in [12]. Vir [3] pa
vsebuje dokaz, da mno  zica G
1
(Z  Z)[G
2
(Z  Z), kjer jeG
1
(x;y) =x
2
+2y
2
inG
2
(x;y) =x
2
  2y
2
, vsebuje vsa pra  stevila oblike 4 k+3. Pripomnimo, da
to ni v neskladju z na  sim izrekom 5, iz katerega izhaja enaka trditev za mno-
  zico F
1
(Z  Z)[F
2
(Z  Z), kjer jeF
1
(x;y) = 2x
2
+y
2
inF
2
(x;y) = 2x
2
  y
2
.
Formi F
1
in G
1
imata o  citno enako zalogo vrednosti, saj se razlikujeta le
v poimenovanju spremenljivk. Enako velja tudi za formi F
2
in G
2
, ki sta
41–48 45
Marjan Jenko in Perko Petkovšek
ekvivalentni, tj. povezani s spremembo baze, kot poka  ze naslednji ra  cun.
Forma G
2
ima pri x = 2a +b, y = a +b enako vrednost kot forma F
2
pri
x = a, y = b, saj je (2a +b)
2
  2(a +b)
2
= 2a
2
  b
2
, forma F
2
pa ima pri
x =a  b, y = 2b  a enako vrednost kot forma G
2
pri x =a, y =b, saj je
2(a  b)
2
  (2b  a)
2
=a
2
  2b
2
.
Zgodovinske opombe zaklju  cimo z nekaj podatki o teoriji   stevil v Slo-
veniji po ustanovitvi ljubljanske univerze l. 1919. Zanimivo je, da sta bila
njena prva rektorja, Josip Plemelj in Rihard Zupan  ci  c, oba matematika.
Profesor Plemelj je v svojih predavanjih iz algebre in teorije   stevil, ki so bila
izdana v obliki u  cbenika   sele mnogo kasneje [15], obdelal sodobno algebra-
i  cno teorijo   stevil (kvadratne obsege   stevil, idealske module, idealske razrede
in njihovo   stevilo itd.). V njegovi bibliogra ji najdemo vsaj en znanstveni
  clanek s tega podro  cja [14]. Po drugi svetovni vojni je bil dale  c najve  cji
pospe  sevalec in popularizator teorije   stevil pri nas profesor Josip Grasselli,
o   cemer po eni strani pri  ca 24   clankov na to t  emo v reviji Presek, 9   clankov
v Obzorniku za matematiko in  ziko, u  cbenik [7], pet knjig v knji  znici Si-
gma [4], [6], [8], [9], [11], monumentalna Enciklopedija   stevil na 691 straneh
[10] in poro  cilo o raziskovalni nalogi [5], po drugi strani pa mentorstva pri
kar 38 diplomskih delih in nalogah ter enem magisteriju s podro  cja teorije
  stevil. Da je bil velik ljubitelj teorije   stevil tudi profesor Ivan Vidav, pa
ka  zejo knjige [16], [17, poglavja V, VI, X], [18] in [19]. V zadnjem   casu je
na FMF UL teorijo   stevil predaval profesor Sa  so Strle, ki je tudi soavtor
znanstvenega   clanka [13] s tega podro  cja.
O nastajanju pri  cujo  cega   clanka
Prvega avtorja najbolje predstavimo s sporo  cilom Fakultete za gradbeni  stvo
in geodezijo UL iz leta 2020 [2].
Marjan Jenko 1928{2020
Fakulteta za gradbeni  stvo in geodezijo Univerze v Ljubljani z   zalostjo spo-
ro  ca, da je sklenil svojo   zivljenjsko pot Marjan Jenko.
Marjan Jenko je deloval na podro  cju geodetskih referen  cnih koordinatnih
sistemov. Na fakulteti je bil zaposlen kot asistent v obdobju od 1959 do 1969,
kot u  citelj s skraj  sanim delovnim   casom pa v obdobju 1973 do 1995. Leta
1983 je bil izvoljen v naziv docent. Bil je tudi nosilec ve  c raziskovalnih nalog.
Rezultati njegovih raziskav so objavljeni v obse  znih elaboratih z naslovom
»Temeljne triangulacijske mre  ze SRS «. Kot priznani strokovnjak je imel
vrsto predavanj doma in v tujini.
Pomembna dela Marjana Jenka so vodstvo ra  cunske faze geodetskih del
za Coastal Belt Water Project v Libiji, v dol  zini nad 1200 km, sodelovanje
in strokovno mentorstvo pri geodetskih delih za karavan  ski predor, geodetska
46 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 2
O predstavitvi vseh praštevil s celoštevilskimi kvadratnimi formami dveh spremenljivk
opazovanja v geodinami  cnih in mikro-triangulacijskih geodetskih mre  zah ter
izdelava ve  c geodetskih programskih paketov. Leta 1981 je izra  cunal lego
geometri  cnega sredi  s  ca Slovenije GEOSS.
Marjan Jenko je bil spo  stovan pedagog in raziskovalec. Rezultati nje-
govega dela ka  zejo, da si je vseskozi prizadeval za razvoj in modernizacijo
geodetske znanosti in stroke. Svoja znanja ter bogate prakti  cne izku  snje je
znal na zelo preprost, pa vendar znanstveni na  cin prena  sati na mlaj  si rod,
tako na fakulteti kot   sir  se v stroki. Za prispevek k razvoju geodezije in vzgoji
kadrov mu je ob svoji 100-letnici Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbe-
ni  stvo in geodezijo podelila srebrno priznanje.
Prvi avtor pa ni bil le odli  cen geodet in pedagog, ampak tudi izvr-
sten rodoslovec in navdu  sen ljubiteljski matematik, ki je svoj prosti   cas
posve  cal   stevilnim projektom s teh podro  cij. Dne 28. 2. 2018 je drugemu
avtorju sporo  cil, da se je s svojim programabilnim elektronskim kalkula-
torjem lotil generiranja pra  stevil s pomo  cjo primitivnih pitagorejskih trojic
(m
2
  n
2
; 2mn;m
2
+n
2
), saj je opazil, da je hipotenuza m
2
+n
2
pogosto
pra  stevilo. Ker s formo m
2
+n
2
ni dobil vseh pra  stevil, je dodajal in pre-
sku  sal   se druge kvadratne polinome dveh spremenljivk. Dne 26. 4. 2018 je
napisal tole:
Raziskoval sem   se naprej in pri  sel do lepega rezultata: v mno  zici vredno-
sti naslednjih 4 izrazov
m
2
+n
2
;
m
2
+mn +n
2
;
m
2
+ 3mn +n
2
;
2m
2
+mn + 2n
2
;
kjer je m naravno in n celo   stevilo, nastopajo vsa pra  stevila od 1 do 3001.
Drugi avtor je s pomo  cjo programa Mathematica preveril, da te   stiri
kvadratne forme generirajo tudi vsa pra  stevila med 3000 in 10
6
, in prvemu
avtorju obljubil, da bo raziskal, ali morda na ta na  cin dobimo sploh vsa
pra  stevila. Lotil se je   studija obse  znega vira [12], a zaradi obilice drugih
dol  znosti ni pri  sel dale  c. Po pomo  c se je obrnil na zdaj tudi   ze pokoj-
nega kolega dr. Marjana Jermana, ki je prijazno svetoval vir [1]. Potem pa
je nastopil covid-19 in nato   se druge nev  se  cnosti, tako da prvi avtor re  sitve
problema   zal ni do  cakal. Drugi avtor se je lahko ponovno lotil problema   sele
jeseni 2022. Prebral je Grassellijev dokaz izreka 98 v viru [6, str. 154{56],
ki pravi, da je vsako pra  stevilo oblike 4 k + 1 mogo  ce izraziti s celo  stevilsko
kvadratno formo x
2
+y
2
. Opazil je, da je s pomo  cjo lastnosti Legendrovega
simbola mogo  ce na podoben na  cin dokazati izrazljivost vsakega pra  stevila
oblike 8k + 3 s kvadratno formo 2x
2
+y
2
in izrazljivost vsakega pra  stevila
oblike 8k + 7 s kvadratno formo 2x
2
  y
2
, kar pomeni, da je odgovor na
41–48 47
Marjan Jenko in Perko Petkovšek
osnovno vpra  sanje tega   clanka pozitiven. Odprta pa ostaja (vsaj za dru-
gega avtorja) domneva, da je mogo  ce vsa pra  stevila izraziti tudi s pomo  cjo
kvadratnih form x
2
+y
2
, x
2
+xy +y
2
, x
2
+ 3xy +y
2
in 2x
2
+xy + 2y
2
, do
katerih je pri svojem delu pri  sel prvi avtor.
LITERATURA
[1] P. L. Clark, 8430 Handout 3: Elementary theory of quadratic forms, ogled 18. 12. 2022,
dostopno na https://silo.tips/download/8430-handout
-3-elementary-theory-of-quadratic-forms, 14 str.
[2] Fakulteta za gradbeni  stvo in geodezijo UL, Marjan Jenko 1928 { 2020, ogled 4. 1. 2023,
dostopno na https://www.fgg.uni-lj.si/marjan-jenko-1928-2020/.
[3] S. Galovich in J. Resnick, Representing primes by binary quadratic forms, Math. Ma-
gazine 64 (1991), 1, 34{38.
[4] J. Grasselli, Osnove teorije   stevil , Knji  znica Sigma 14, Dr  zavna zalo  zba Slovenije, Lju-
bljana 1966.
[5] J. Grasselli, Adicijski izreki v teoriji grup in teoriji   stevil , raziskovalno poro  cilo, Lju-
bljana 1974.
[6] J. Grasselli, Osnove teorije   stevil , 2. predelana izdaja, Knji  znica Sigma 14a, Dr  zavna
zalo  zba Slovenije, Ljubljana 1975.
[7] J. Grasselli, Algebrai  cna   stevila , zbirka Matematika, DMFA Slovenije, Ljubljana 1983.
[8] J. Grasselli, Diofantske ena  cbe , Knji  znica Sigma 38, DMFA Slovenije, Ljubljana 1984.
[9] J. Grasselli, Diofantski pribli  zki , Knji  znica Sigma 51, DMFA Slovenije, Ljubljana 1992.
[10] J. Grasselli, Enciklopedija   stevil , DMFA Slovenije, Ljubljana 2008.
[11] J. Grasselli, Elementarna teorija   stevil , Knji  znica Sigma 87, DMFA Slovenije, Lju-
bljana 2009.
[12] A. Hatcher, Topology of Numbers, ogled 18. 12. 2022, dostopno na
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNpage.html, 348 str.
[13] B. Owens in S. Strle, A characterization of the Z
n
  Z(  ) lattice and de nite nonu-
nimodular intersection forms, Amer. J. Math., 134 (2012), 4, 891{913.
[14] J. Plemelj, Die Unl osbarkeit von x
5
+ y
5
+ z
5
= 0 im K orper k
p
5, Mo-
natsh. Math. Phys. 23 (1912), 1, 305{308.
[15] J. Plemelj, Algebra in teorija   stevil , Slovenska akademija znanosti in umetnosti, Lju-
bljana 1962.
[16] I. Vidav, Re  seni in nere  seni problemi matematike , Knji  znica Sigma 1, Mladinska
knjiga, Ljubljana 1959.
[17] I. Vidav, Algebra, zbirka Matematika, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972.
[18] I. Vidav, Teorija   stevil in elementarna geometrija: izbor   clankov , Knji  znica Sigma
62, DMFA Slovenije, Ljubljana 1996.
[19] I. Vidav, O deljenju z ostankom in   se   cem , DMFA { zalo  zni  stvo, Ljubljana 2016.
48 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 2