i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 121 — #1 i i i i i i . PRAVASIMETRI ˇ CNAVERI ˇ ZNICA MARKO RAZPET Pedagoˇ ska fakulteta v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 49J05, 49S05 Z metodo variacijskega raˇ cuna izpeljemo enaˇ cbo simetriˇ cne veriˇ znice v radialnem gra- vitacijskem polju. Podamo tudi nekatere lastnosti dobljene krivulje. THETRUESYMMETRICCATENARY By using the calculus of variations, we derive the equation of the symmetric catenary in a radial gravitational field. Some properties of the obtained curve are also given. Nekaj zgodovine problema Tanka, gibka, neraztegljiva in homogena nit ali veriga, ki jo obesimo v dveh toˇ ckah tako, da prosto visi, zaradi teˇ znosti po umiritvi zavzame obliko krivulje, ki ji pravimo veriˇ znica. Znanstveniki so se ˇ ze od nekdaj zanimali, kako bi to znamenito krivuljo opisali tudi matematiˇ cno. Galileo Galilei (1564–1642) je trdil, da je veriˇ znica kar parabola. Okrog leta 1646 je Christiaan Huygens (1629–1695) v nekem pismu Marinu Mersennu (1588– 1648) zaupal, da veriˇ znica ni parabola. Do tega sklepa je priˇ sel tudi Joa- chim Jungius (1587–1657) in to tudi potrdil z eksperimentom. Ko je bil na voljo infinitezimalni raˇ cun, so se s problemom oblike veriˇ znice na pobudo Jakoba Bernoullija (1654–1705) spoprijeli Johann Bernoulli (1667–1748), David Gregory (1659–1708) in Gottfried W. Leibniz (1646–1716). Priˇ sli so do ugotovitve, da je veriˇ znica del grafa funkcije x7→ach(x/a). Robert Ho- oke(1635–1703)jeraziskovaltrdnostnelastnostiobokov, kiimajovpreseku obliko narobe obrnjene veriˇ znice. V gradbeniˇ stvu so take oboke izdelovali ˇ ze veliko prej. Baje je angleˇ sko besedo za veriˇ znico, catenary, predlagal Thomas Jefferson (1743–1826), tretji predsednik ZDA. Beseda temelji na latinski catena, kar pomeni veriga. Raziskovali so tudi nehomogene, razte- gljive, vrteˇ ce se in druge veriˇ znice. Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 121 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 122 — #2 i i i i i i Marko Razpet Obiˇ cajno pridemo do enaˇ cbe veriˇ znice z uporabo naˇ cela, da se prosto obeˇ sena idealna veriga umiri tako, da je njeno teˇ ziˇ sˇ ce najniˇ ze (Bernoulli- jevo naˇ celo statike). Ravnina, v kateri je veriˇ znica, je navpiˇ cna. Do ena- kega rezultata pridemo, ˇ ce uporabimo naˇ celo, ki pove, da se veriga umiri tako,dajenjenapotencialnaenergijanajmanjˇ sa(Hamiltonovonaˇ celo). Eno in drugo pa zahteva znanje variacijskega raˇ cuna, zlasti reˇ sevanje vezanih, izoperimetriˇ cnih variacijskih nalog (veˇ c o tem je napisanega na primer v [2, 4, 5]). Obiˇ cajna veriˇ znica nastane ob predpostavki, da je potencialna energija toˇ ckaste mase sorazmerna z njeno viˇ sino nad izbrano vodoravno ravnino in da je celotna veriˇ znica v homogenem gravitacijskem polju, kjer je pospeˇ sek prostega pada v obmoˇ cju veriˇ znice povsod enak. To je zelo natanˇ cno res, dokler so razseˇ znosti veriˇ znice zelo majhne v primerjavi s polmerom Zemlje, nakateriveriˇ znicorealiziramo. ˇ Cepabirealiziraliveriˇ znicoogromnedolˇ zine injoobesilizelovisoko,pabimoraliupoˇ stevatipojemanjepospeˇ skaprostega pada z viˇ sino. Tako veriˇ znico si je zamislil ˇ ze Johann Bernoulli in najbrˇ zˇ se kdo. Ni pa sploˇ sno znano, do katerih rezultatov so priˇ sli. Pokojni prof. Egon Zakrajˇ sek (1941–2002) se je ukvarjal z razliˇ cnimi, obiˇ cajnoteˇ zjimimatematiˇ cniminalogami,tudizveriˇ znico. Otejjepredaval naSredinemseminarjunekajletpredsvojoprezgodnjosmrtjo. Nakoncuga je nekdo vpraˇ sal, kakˇ sna bi bila zelo dolga in zelo visoko obeˇ sena veriˇ znica v zemeljskem gravitacijskem polju. Profesor se je samo prijazno nasmehnil. Toda razvoj znanosti je prinesel fulerene in ogljikove nanocevke. Ko je prof. DenisArˇ con, Zoisovnagrajeneczavrhunskeznanstveneinrazvojnedoseˇ zke napodroˇ cjufizike, vokviruobˇ cnegazborain60-letniceDMFASlovenijeno- vembra 2009 na Bledu predaval o fulerenih in nanocevkah, je povedal tudi mordanekolikofuturistiˇ cnozamisel,dabiznanocevkami,kiimajoprimerne fizikalnelastnosti,povezalimedsebojzelooddaljenetoˇ ckenaZemljiinvve- solju. Ob tem se je morda marsikomu porodila misel o ogromnihveriˇ znicah, pri katerih je treba upoˇ stevati nehomogenost gravitacijskega polja. Iskanje po literaturi pa je pokazalo, da sta se s problemom prave veriˇ z- nice, to je veriˇ znice v radialnem gravitacijskem polju, ˇ ze pred letom 2000 temeljitoukvarjalaJochenDenzlerinAndreasM.Hinzterleta1999objavila ˇ clanek[1]. Vpriˇ cujoˇ cemprispevkubomodopravesimetriˇ cneveriˇ zniceprav tako priˇ sli z variacijskim raˇ cunom kot pravkar omenjena avtorja, dobljeno diferencialno enaˇ cbo pa bomo reˇ sevali nekoliko drugaˇ ce. 122 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 123 — #3 i i i i i i Prava simetriˇ cna verižnica Matematiˇ cna formulacija problema Zamislimo si veriˇ znico v gravitacijskem polju ~ F(~ r) =−GM ~ r r 3 , r =|~ r|> 0, kjer je G sploˇ sna gravitacijska konstanta in M masa Zemlje ali kakega dru- gega planeta, na katerem bi veriˇ znico realizirali. Polje ~ F je potencialno: ~ F(~ r) =−gradU(~ r), U(~ r) =− GM r . Privlaˇ cnosrediˇ sˇ cejevtoˇ ckiO, kiustrezavektorju~ r = ~ 0. Privlaˇ cnosrediˇ sˇ ce lahkonadomestimotudiskroglopolmeraRinsrediˇ sˇ cemvtoˇ ckiO,priˇ cemer je masna gostota krogle odvisna le od r. Takrat obravnavamo veriˇ znico, ˇ ce je le-ta v celoti v tistem prostorskem obmoˇ cju, kjer velja r >R. Veriˇ znica naj bo dolga 2‘ in homogena, to se pravi, da je njena krivulj- ska masna gostota % = dm/ds konstantna. Pri tem je ds diferencial loˇ cne dolˇ zine. Ukvarjali se bomo z najpreprostejˇ sim primerom, ko ima veriˇ znica krajiˇ sˇ ci v razliˇ cnih toˇ ckah A − in A + , ki sta na enaki, dovolj veliki razda- lji od toˇ cke O. Tedaj je iskana krivulja simetriˇ cna, kar olajˇ sa raˇ cunanje. Simetriˇ cnost veriˇ znice sledi iz naˇ cela njene minimalne potencialne energije. Posledica tega naˇ cela je tudi ta, da veriˇ znica leˇ zi v ravnini, ki jo doloˇ cajo toˇ cke A − ,A + in O, ter konveksnost veriˇ znice, gledano iz toˇ cke O. Celo- tna veriˇ znica je v trikotniku OA − A + . Nesimetriˇ cno veriˇ znico obravnavata avtorja v [1]. Za udobno raˇ cunanje vpeljemo polarni koordinatni sistem s polom v toˇ cki O in polarno osjo, ki je pravokotna na daljico A − A + , kakor kaˇ ze slika 1. Polarna kota toˇ ck A − in A + sta potem ustrezno −α in α. Smiselno je vzeti naravno omejitev 0 < α < π/2. Polarna radija obeh toˇ ck sta enaka r 1 . V polarnih koordinatah lahko zapiˇ semo: A ± (r 1 ,±α). Enaˇ cbo veriˇ znice bomo iskali v polarnih koordinatah: r = r(ϕ). Njena celotna potencialna energija je W p [r] =−GM% Z α −α 1 r p r 2 +r 02 dϕ (1) pri pogoju P[r] = Z α −α p r 2 +r 02 dϕ = 2‘. (2) 121–133 123 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 124 — #4 i i i i i i Marko Razpet Pri tem smo uporabili izraz za diferencial loka krivulje r = r(ϕ) v polar- nihkoordinatahinoznaˇ cilir 0 =dr/dϕterupoˇ stevali,daimainfinitezimalno majhnamasadmnarazdaljir odtoˇ ckeO potencialnoenergijo−GMdm/r. Iˇ sˇ cemo tako pozitivno in odvedljivo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), definirano na in- tervalu [−α,α], ki minimizira integral (1) pri pogoju (2) in z dodatkom r(±α) = r 1 . Graf reˇ sitve, ekstremalo v polarnih koordinatah, bomo ime- novali prava simetriˇ cna veriˇ znica. Na njej doseˇ ze polarni radij minimum v toˇ cki T(r 0 ,0). Pri tem je R≤r 0 0 ϑ< 0 ‘ ‘ ϕ> 0 ϕ< 0 ϕ =−α ϕ =α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ n ~ n ~ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ....................................... ............................... .......................... ...................... ................... ................. ............... .............. ............. ............ ............ ........... ........... ........... ........... ............ ............ ............. .............. ................ ................. .................... ....................... ............................ .................................. ........................................... Slika 1. Prava simetriˇ cna veriˇ znica. Dolˇ zina 2‘ veriˇ znice med toˇ ckamaA − inA + zadoˇ sˇ ca naravnim pogojem (slika 1): tetiva A − A + kroˇ znice r =r 1 mora biti krajˇ sa kot 2‘, kar pa mora biti manj od 2r 1 , iz ˇ cesar sledi naravna omejitev: r 1 sinα<‘ 0) je konkavna, gledano iz toˇ cke O, njena ukrivljenost pa je po (14) enaka−1/a, torej negativna. Iskana ekstremala pa je, gledano iz toˇ cke O, konveksna in mora zato imeti po (14) pozitivno ukrivljenost na celotnem intervalu [−α,α]. To pomeni, da je c> 0, iz (11) pa sklepamo, da je tudi λ> 0. Integral (13) raˇ cunamo z univerzalno substitucijo τ = tg(θ/2), ki nam da cosθ = (1−τ 2 )/(1+τ 2 ), dθ = 2dτ/(1+τ 2 ) in ϕ = 2c Z t 0 dτ (c−1)τ 2 +(c+1) , t = tg ϑ 2 . (15) Brez teˇ zav iz (11) in (12) izrazimo za ekstremalo diferencial loka: ds = p r 2 +r 02 dϕ = c λ · dϑ cos 2 ϑ . Z integracijo dobimo ˇ se dolˇ zino s(ϕ) ekstremale med njenim temenom in toˇ cko, ki ustreza polarnemu kotu ϕ: s(ϕ) = c λ Z ϑ 0 dθ cos 2 θ = c λ ·tgϑ = cr 0 (ϕ) λr(ϕ) =−cr(ϕ) 1 λr 0 (ϕ). (16) Rezultat (16) je pomemben pri doloˇ cevanju konstante c pri dani dolˇ zini ‘ in danem kotu α. Iz oblike integranda v (15) razberemo, da se kotϕ izraˇ za s funkcijo arth v primeru 0 < c < 1 in s funkcijo arctg v primeru c > 1. Primer c = 1 121–133 127 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 128 — #8 i i i i i i Marko Razpet je posebno lep, ker nam da preprost rezultat: ϕ = t = tg(ϑ/2). Sedaj si oglejmo vse tri moˇ znosti, ki dejansko pridejo v poˇ stev pri omejitvi (3). A. Najprej se vpraˇ sajmo, ali obstaja pri omejitvi (3) reˇ sitev, v kateri je 0 0 pri pogojih 0 < α < 1, r 1 α < ‘ < r 1 . Enaˇ cbo (20) seveda reˇ sujemo v konkretnem primeru numeriˇ cno, za kar je na voljo precej metod. Ko iz- raˇ cunamo σ 0 , dobimo iz (19) natanko doloˇ ceno konstanto c =α/ p α 2 +σ 2 0 , ki oˇ citno zadoˇ sˇ ca pogoju 0 < c < 1. Iskana krivulja je tedaj doloˇ cena z relacijo 1 λr(ϕ) = 1−cch(σ 0 ϕ/α) 1−c 2 . Ker je 1 λr 1 = 1−cchσ 0 1−c 2 , s ˇ cimer je doloˇ cena tudi konstanta λ, dobimo nazadnje za reˇ sitev: r(ϕ) =r 1 1−cchσ 0 1−cch(σ 0 ϕ/α) , c = α p α 2 +σ 2 0 . (21) B. Nato poglejmo, ali obstaja pri omejitvi (3) reˇ sitev, v kateri je c> 1. Podobno kot v primeru A dobimo iz (15): ϕ = 2c √ c 2 −1 arctg r c−1 c+1 t, t = r c+1 c−1 tg ϕ √ c 2 −1 2c . (22) Iz izraza (11) izpeljemo 1 λr = cosϑ c+cosϑ = 1−t 2 (c+1)+(c−1)t 2 , nato pa iz (16) in (22) sledi po krajˇ sem raˇ cunu 1 λr(ϕ) = 1−ccos(ϕ √ c 2 −1/c) 1−c 2 , s(ϕ) =r(ϕ) csin(ϕ √ c 2 −1/c) √ c 2 −1 . (23) Iz pogojev s(α) =‘ in r(α) =r 1 dobimo iz druge relacije v (23) enaˇ cbo ‘ =r 1 csin(α √ c 2 −1/c) √ c 2 −1 , v katero za laˇ zjo obravnavo vpeljemo novo neznanko σ =α p c 2 −1/c6= 0 (24) 121–133 129 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 130 — #10 i i i i i i Marko Razpet in dobimo transcendentno enaˇ cbo ‘ r 1 α = sinσ σ . (25) Iz poteka funkcije σ 7→ sinσ/σ, ki je namreˇ c manjˇ sa kot 1 in padajoˇ ca za 0 < σ < π (slika 2), razberemo, da ima tudi enaˇ cba (25) natanko eno reˇ sitev σ 0 pri pogojih 0<α<π/2, r 1 sinα<‘ 1. Iskana krivulja je tedaj doloˇ cena z relacijo 1 λr(ϕ) = 1−ccos(σ 0 ϕ/α) 1−c 2 . Ker je 1 λr 1 = 1−ccosσ 0 1−c 2 , sˇ cimerjedoloˇ cenatudikonstantaλ,dobimonazadnjezareˇ sitevnaˇ senaloge krivuljo: r(ϕ) =r 1 1−ccosσ 0 1−ccos(σ 0 ϕ/α) , c = α p α 2 −σ 2 0 . (26) C. V najenostavnejˇ sem primeru c = 1 lahko pridemo do rezultata za 1/(λr(ϕ)) tudi z limitnim prehodom iz primerov c6= 1, na primer: lim c→1+0 1 λr(ϕ) = lim c→1+0 1−c 1−c 2 − ϕ 2 2c + (c 2 −1)ϕ 4 4!c 3 −... = 1−ϕ 2 2 . Pritemsmouporabilirazvojfunkcijecosvpotenˇ cnovrsto. Zac = 1jezato 1 λr(ϕ) = 1−ϕ 2 2 in po (16) ˇ se s(ϕ) = ϕr(ϕ). Ta primer oˇ citno nastopi, ˇ ce je ‘ = r 1 α in 0 < α < 1, kajti tedaj velja s(α) = r(α)α. V tem mejnem primeru je parameter λ doloˇ cen z relacijo 1/(λr 1 ) = (1−α 2 )/2 in iskana krivulja je r(ϕ) =r 1 1−α 2 1−ϕ 2 . (27) 130 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 131 — #11 i i i i i i Prava simetriˇ cna verižnica • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r A + A − T O ϕ = 0 ϕ = 1 ϕ =−1 r =r 0 r =r 1 ‘ ‘ ϕ =α ϕ =−α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ .................................. ........................... ...................... ................... ................ .............. ............. ............ ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... ............ .............. ............... ................. .................... ........................ ............................. ..................................... Slika 3. Prava veriˇ znica r(ϕ) =r 0 /(1−ϕ 2 ) s krivinskim krogom v temenu T. Ukrivljenost reˇ sitve v temenu T je v vsakem primeru κ = 1/(cr 0 ) in krivinski polmer je tam cr 0 , kjer je r 0 =r(0). • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................... . . . . . . . . . . . . . . O A + A − r 1 r 1 ϕ =−α ϕ =α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................... .............................. .......................... ....................... ..................... ................... .................. ................. ................ ................ ................ ................ ................ ................. .................. ................... ..................... ....................... .......................... .............................. ................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O A + A − • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Slika 4. Prave veriˇ znice (levo) in primerjava ene od njih s klasiˇ cno (desno). Slika4nalevistranikaˇ zepravesimetriˇ cneveriˇ znicerazliˇ cnihdolˇ zinskozi isti toˇ cki. Krepkeje je naˇ crtana tista, za katero je ‘ =r 1 α (c = 1) in se njen polarni radij izraˇ za racionalno s kotom ϕ. Nad njo so veriˇ znice, za katere je r 1 sinα<‘ 1) in se njihov polarni radij izraˇ za s funkcijo cos, pod njo pa veriˇ znice, za katere je r 1 α < ‘ < r 1 (0 < c < 1) in se njihov 121–133 131 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 132 — #12 i i i i i i Marko Razpet polarni radij izraˇ za s funkcijo ch. Parameter c > 0 na sliki se manjˇ sa od zgoraj navzdol. Na desni strani slike pa je s polno ˇ crto narisana prava veriˇ znica, s pik- ˇ casto pa klasiˇ cna veriˇ znica enake dolˇ zine. Glavni rezultat in sklep ˇ Ce se ne oziramo na velikost planeta, na katerem realiziramo prave simetri- ˇ cne veriˇ znice, so njihove enaˇ cbe za−α≤ϕ≤α take: A. Za 0<α< 1, r 1 α<‘