.; 0 : . Cena vezani knjigi tCtfboJ* Geometrija za I., II. in III. razred srednjih šol. Priredil Josip Mazi, direktor drž. realke v Ljubljani. nr>vo-v 247 slik. Tretja izdaja. Kot učno knjigo odobrilo ministrstvo prosvete z odlokom S. N. br. 6225 z dne 29. marca 1927. V Ljubljani 1927. Založila Jugoslovanska knjigarna. 49068 lij/ y ' i /C v W/ > i*'W Natisnila jugoslovanska tiskarna v Ljubljani. Vsebina Prvi del. Stran I. Ogledovanje enostavnih geometrijskih teles. 1 IL Glavne lege ravnine in preme črte. Pomikanje prostorskih tvorov 4 III. Risalno orodje. Premica. Merjenje. Krog. Krogla. 7 IV. Koti in kotna mera. 15 V. Kocka. Kvadrat. Kvader. Pravokotnik. 27 VI. Risanje enostavnih predmetov. 34 VII. Piramida. Trikotnik. Prisekana piramida. Trapez. 38 VIII. Merjenje ploščine in prostornine. 44 IX. Vaje za ponavljanje. 49 ' Drugi del. X. Simetrija ali somernost (zrcaljenje). 51 XI. 0 kotih. 60 XII. Trikotnik. Načrtavanje in skladnost trikotnikov. 68 XIII. Četverokotnik. Središčna simetrija. 80 XIV. Mnogokotnik. Pravilna prizma in piramida. 89 XV. Valj. Krog. Stožec. Krogla. 94 XVI. Načrtovalne naloge.105 Tretji del. XVII. Primerjanje in merjenje ploščine premočrtnih likov.109 XVIII. Površina in prostornina prizme in piramide. Podobnost .... 128 XIX. Pitagorov izrek in njega uporaba ............. 143 XX. Obseg in ploščina kroga.155 XXI. Površina in prostornina valja in stožca.162 XXII. Površina in prostornina krogle.167 Dodatek. I. Nekaj opazk h geometrijskemu risanju.171 II. Specifična teža nekaterih teles.173 Prvi del. I. Ogledovanje enostavnih geometrijskih teles. Geometrija* je služila prvotno zgolj praktičnim name¬ nom, kar razodeva že ime, ki pomeni toliko kot zemlje- m er stvo. Znano je, da nasiplje veletok Nil ob vsakoletni poplavi mnogo rodovitnega blata ob svojih bregovih. Zato so že stari Egipčani porazdelili silno rodovitno obrežje v polja in zem¬ ljišča. Ker so jim vsakoletne preplave razdejale in zabrisale meje, so bili prisiljeni, jih vedno iznova izmeriti in določiti. Tako so se izurili v zemljemerstvu, ki je še danes zanimiv, v naše vsakdanje življenje globoko segajoč del geometrije. Kako veliko je bilo geometrijsko znanje Egipčanov, kažejo tudi njihove velikanske zgradbe: templji, piramide in vodotoki. Znanstveno so obdelali geometrijo šele grški matematiki, kakor Tales (600 pred Kr.), Pitagora (550 pred Kr.), Ev¬ klid (300 pred Kr.) in drugi. Evklid je sestavil prvo učno knjigo geometrije „Elementi“, ki je ostala temeljnega pomena v najnovejšo dobo. 1. V učilnici vidimo različne predmete, kakor klopi, mizo, knjige, desko, peč; ako se ozremo skoz okno, opazimo hiše in drevesa. Vse te predmete imenujemo telesa. Njih lastnosti se zelo razločujejo: miza je lesena in oglata, peč železna in okrogla, papir je bel, deska je črna itd. Geometrija se bavi le z obliko, velikostjo in medsebojno lego teles, ne ozira se pa na njih snov (les, kovina, kamen). Če primerjamo umetna telesa (n. pr. pohištvo, poslopja, stroje) z naravnimi (n. pr. s kameni, z rastlinami, drevesi), * Beseda geometrija je grškega izvora (ge = zemlja, metrein = meriti). Mazi: Geometrija za nižje razrede. 1 2 opazimo, da se po obliki precej razločujejo; zakaj skoraj vsako naravno telo je treba primerno obdelati, preden nam služi v določene namene. Bavili se bomo najprej z najenostavnejšimi oblikami teles. Te oblike opažamo na večini predmetov, ki jih rabimo. 2. Telesa, ki stoje na mizi, že poznaš. Imenuj jih! Slika 3. Slika 4. Kocka (sl. 1.), kvader (sl. 2.), valj (sl. 3.) in krogla (sl. 4.) zavzemajo določen del prostora, v katerem živimo. Preden moreš na mesto, ki ga zavzema kako telo, postaviti drugo,, moraš odstraniti prvo telo. Vzemi kocko v roko ter jo polagaj na mizo! Na koliko načinov moreš to storiti ? Položi roko na kocko in na kvader* na valj in na kroglo! 'VisimsU,c\ Slika 2. 3 Meje telesa so ploskve. Preštej ploskve na kocki, kvadru, valju in krogli! Kockna ploskev, ki leži na mizi, krije popolnoma del ravne mize. Položi knjigo na kocko! Polagaj svinčnik na vsako kockno ploskev na vse strani! Ali se dotika kocke po vsi dol¬ žini? Preizkusi isto na ploskvah kvadra! — Vsako tako ploskev imenujemo ravno ploskev ali ravnino. Ploskve na kocki in na kvadru so torej ravne. Na mizo deni kroglo ! Kako se mize dotika krogla ? Ali moreš polagati svinčnik na kroglo na vse strani tako, da bi se po vsej svoji dolžini dotikal ploskve? — Krogelna ploskev je kriva ploskev. Valj mejijo dve ravni in ena kriva ploskev. Ploskve so ravne in krive. Na kocki in na kvadru vidiš in tipaš ogle^ na valju in ija krogli ne. Kocka in kvader sta oglati telesi; vse mejne ploskve so ravne. Valj in krogla sta okrogli telesi; meje so dve ravni in ena kriva ploskev, odnosno samo kriva ploskev. Telesa so oglata in okrogla. 3. Položi kocko na tablo ter očrtaj s kredo robove mejne ploskve, ki sloni na tabli! Kockni robovi so preme črte. Položi tudi valj z ravno mejno ploskvijo na tablo ter ploskev očrtaj! Roba na valju sta krivi črti. Meje ploskve so črte. Krogla nima robov. Kriva roba na valju imenujemo krožnici. Črte so preme in krive. 4. Potegni s prstom po kocknem robu! Kje se prst ustavi ? Kocka ma oglišča. Koliko? Vsak kocken rob meji dvoj.e oglišč. — Potegni s kredo ob kocknem robu, ki sloni na tabli! Nastalo črto mejita dve točki. Meje črt so točke. Vaje. 1. Imenuj oglata in okrogla naravna, oz. umetna telesa! 2. Imenuj predmete, ki imajo a) samo ravne ploskve, b) samo krive ploskve, c) ravne in krive ploskve! 3. Imenuj predmete, ki imajo a) preme, b) krive, c) preme in krive robe, i) ki nimajo robov! 4. Pokaži ravnine v učilnici! 1 4 5. Ali vidiš v učilnici tudi krive ploskve ? 6. Pokaži v učilnici preme in krive črte! Ali imajo vse krive črte tako obliko, kakor roba na valju? 7. Koliko oglišč ima učilnica? Koliko robov gre skozi vsako oglišče učilnice? Koliko robov ima vsaka mejna ploskev učilnice? 8. Sestavi ogredje kocke iz priostrenih vžigalic, zabodenih v voščene kroglice ali v namočen grah! Koliko vžigalic in koliko kroglic potrebuješ? 9. Sestavi iz paličic na isti način ogredje kvadra! Koliko vrst paličic potrebuješ glede na dolžino? Koliko različnih paličic se stika v vsakem oglišču? Koliko vrst paličic meji vsako ploskev? 10. Deni kocko ali kvader na mizo tako, da so obrnjene ena ploskev proti tebi, dve drugi pa proti levi, odnosno desni steni sobe (osnovna lega kocke, kvadra). Opiši lego poedinih ploskev, robov in oglišč (n. pr. sprednja ploskev, leva ploskev, sprednji zgornji rob, zadnji desni rob, zadnje levo zgornje oglišče)! 11. Kakšne črte lahko rišeš na deski, kakšne na krivi ploskvi valja, kakšne na krogelni ploskvi? 12. Napeta nit ima obliko preme črte. Kako preizkusiš ž njo, ali je kocken rob raven, kako preizkusiš to z očesom? II. Glavne lege ravnine in preme črte. Pomikanje prostorskih tvorov. 1. Deni kroglo na razna mesta mize! Krogla^se ne gane, dokler mize ne nagneš. — Nalij vodo v skledo in opazuj gla¬ dino mirno stoječe vode! Nagni posodo in zopet opazuj gladino! — Ravnino mizne ploskve, gladino stoječe vode imenujemo vodoravno ali horizontalno ravnino. — Katere ploskve na mizi stoječe kocke so horizontalne ? Pokaži v učilnici hori¬ zontalne ravnine! Položi v posodo z vodo lesene paličice v različno smer! Vsaka prema črta, ki leži v horizontalni ravnini, je horizontalna. — Kakšno lego ima prečka neobtežene tehtnice ? Navedi horizontalne robe na kocki v osnovni legi (zgoraj, spodaj, spredaj, zadaj, na levi, na desni)! Koliko jih je? 2. Priveži kamenček na vrvco in jo drži ob drugem kra- jišču! Kakšno črto kaže prosto viseča vrvca ? — O premi črti, ki ima smer svinčnice (sl. 5.), t. j. prosto viseče, s svinčeno kroglico obtežene vrvce, pravimo, da je navpična ali ver¬ tikalna prema črta. — Pokaži vertikalne robe na kocki! 5 Koliko jih je? Poišči vertikalne robe v učilnici! Dvigni roko navpično! Kako imenuješ točko na nebu, kamor kaže roka? Vsako ravnino, položeno skoz vertikalno premo črto, imenujemo navpično ali vertikalno rav¬ nino. — Imenuj vertikalne ploskve na kocki (kvadru) v osnovni legi! Koliko jih je? 3. Položi roko na klop! Kakšno lego ima ta ravnina, horizontalno ali vertikalno ? Kako bi ime¬ noval tako lego ravnine ? Potegni s prstom po levem in po desnem robu te ravnine! Ali sta ho¬ rizontalna, vertikalna ? Preme črte in ravnine, ki niso ne horizon- 7 talne ne vertikalne, imenujemo p oš evn e. — Poišči Slika 5. v učilnici poševne preme črte in poševne ravnine! 4. Odtisk kredne konice na deski nam predočuje točko. Ako nastaviš kredno konico na to točko in kredo pomikaš, nariše konica črto. Pravimo: pot pomikajoče se točke je črta. Nariši na deski s kredo črto ob kocknem robu! Narisana črta je prema. Nariši preme črte navzgor, na levo, na desno, poševno! Te črte imajo različno smer! Prema črta torej nastane, ako je smer pomikajoče se točke vedno ista; če pa točka svojo smer vsak trenutek menja, je njena pot kriva črta. Ako menja pomikajoča se točka smer le tedaj pa tedaj, nariše zlomljeno črto. Pomikajoča se črta nariše vobče ploskev (n.pr. ostrina noža, če ž njim prerežeš hleb), pomikajoča se ploskev pa vobče telo (n. pr. list knjige, kadar ga obrneš). 5. Telesa, ploskve, črte in točke imenujemo prostorske tvore. Prostorske tvore si moremo samo misliti. Tako je točka le neko mesto v prostoru, n. pr. mesto, kjer se stikata dva kockna roba. Na listu papirja, katerega ena polovica je bela, druga pa črna, je črta meja med črno in belo ploskvijo. Ako naliješ v čašo pol vode, pol olja, ni mejna ploskev ne voda ne olje. Telo je vsak vsestransko omejen del prostora. 6 Nikakor torej ne moremo stvoriti črte iz samih točk, niti ploskve iz samih črt, niti telesa iz samih ploskev, pa naj jih / še toliko združimo. Telesa, ploskve in črte lahko delimo. Deli teles so telesa, deli ploskev so ploskve in deli črt so črte. Točka je nerazdelna. Ker so geometrijski tvori nevidni, uporabljamo pri njih opazovanju telesne vzorce ali modele in slike; tako si jih laže predočujemo. Za model točke nam je n. pr. odtisk kredne konice ali drobna kroglica, za model preme črte paličica ali napeta nit, za model ravnine lepenka ali steklena plošča. Vaje. 1. Kako preizkusiš z libelom (sl. 6.), je-li kaka ravnina horizontalna? 2. Iztegni roko horizontalno, vertikalno, poševno! 3. Upogni roko (nogo) tako, da kaže obenem horizontalno in vertikalno smer! 4. Kdaj ima na stenski uri kazalec, ki kaže ure, horizontalno, kdaj vertikalno lego? 5. Kdaj sta oba kazalca vertikalna? 6. Napravi si svinčnico ter doženi v učilnici, doma in na prostem vertikalne preme! 7. Postavi odprto knjigo na mizo tako, da je hrbet verti¬ kalen; kakšno lego imajo listi in platnice? 8. Kako uporablja svinčnico zidar, ko sklada opeko v ravno steno? Zakaj potrebuje razen nje napeto vrvco, vzdolž katere po¬ mika svinčnico? 9. Koliko horizontalnih a) ravnin, b) premih črt lahko po¬ ložiš skoz eno oglišče na mizi stoječe kocke? Preizkusi s paličico in s kartonom! 10. Koliko vertikalnih a) ravnin, b) premih črt lahko položiš skoz eno točko? Preizkusi! 11. Koliko horizontalnih premih črt lahko narišeš skoz vsako točko a) horizontalne, b) vertikalne, c) poševne ravnine? Preizkusi! 12. Koliko vertikalnih ravnin lahko položiš skoz a) horizon¬ talni, b) vertikalni rob na mizi stoječega kvadra? 13. Nariši na deski horizontalne in vertikalne preme črte! Ali moreš narisati take črte tudi v svojem na klopi ležečem zvezku? 14. Postavi kvader z enim robom na mizo ter povej, kakšno lego imajo potem a) mejne ploskve, b) r<£bi? 15. Zakaj so strehe poševne in ne vertikalne? Slika 6. 7 16. Kakšno pot nariše prosto padajoča kaplja, ako jo smatraš za točko? 17. Kaj nariše pomikajoči se kazalec pri uri, kaj njegova konica ? 18. Ako zavrtiš okno v tečajih, kakšen tvor nariše steklena ploskev, kakšen tvor posamezne točke okna? 19. Kako moraš pomikati premo črto, da ne nariše ploskve? {Pokaži na miznici!) 20. Kako moraš pomikati ravno ploskev, da ne nariše telesa? (Pokaži na miznici!) III. Risalno orodje. Premica. Merjenje. Krog. Krogla. 1. Pri geometrijskem risanju uporabljamo ravnilo, tri¬ kotnike in šestilo. Poleg teh pripomočkov rabimo precej trd (št. 3), skrbno priostren svinčnik, za brisanje nepotrebnih črt in za čiščenje papirja pa mehko radirko. Zapomni si: Če hočeš risati natančno, skrbno varuj svoje risalno orodje! Točko upodobimo na ta način, da njeno mesto označimo z malim križcem ali krogom, ki mu navadno pripišemo veliko latinsko črko, in čitamo: točka A, S, T i. t. d. Označi na listu točki A in B ter nariši od A do B več krivih črt! Nato primakni ravnilo prav blizu do obeh točk in nariši med njima premo črto! Primerjaj dolžino narisanih črt s tanko vrvco! Kaj vidiš ? — Črte skoz A in B imajo različno dolžino. Najkrajša je prema črta, ki določa njiju raz¬ daljo. Obojestranski omejeno premo črto imenujemo daljico (sl. 7.). A_£_§ Točki A in B, ki mejita daljico, zo- glika ? vemo kraj išči. Daljico zaznamu- _ jemo s črkama mejnih krajišč, n. pr. daljica AB, ali pa z malo latinsko črko, ki jo zapišemo v sredo nad daljico ali pod njo, n. pr. daljica r. Daljico AB si lahko mislimo podaljšano ali samo preko krajišča B, tedaj nastane napol omejena prema črta, ki jo ime¬ nujemo poltrak (sl. 8.), ali preko obeh krajišč, tedaj nastane neomejena prema črta, ki ji pravimo trak ali premica (sl. 9.). — Pregani list papirja! Kakšna črta je nastali rob? Preizkusi svoje ravnilo! 8 2. Kako izmeriš dolžino daljice ? — V ravnilo je navadno vrezano tudi merilo; s tem merimo daljice. A B A Slika 8. Slika 9. Enoto dolžinske mere imenujemo meter; to je dolžina platinske palice, ki jo branijo v Parizu. Meter (m) delimo na 10 decimetrov (dm), decimeter na 10 centimetrov (cm) in centimeter na 10 milimetrov (mm). 1000 metrov je 1 kilometer (km), 10.000 m ali 10 km je 1 miriameter (fim). Merilo na ravnilu je razdeljeno na centimetre in milimetre (sl. 10.). Slika 10. Večje razdalje merimo z 10 m dolgimi merskimi vrv¬ cami in verižicami. Na zemljevidu je merilo, ki kaže, v kakšni dolžini je narisan kilometer. Tako merilo imenujemo zmanjšano me¬ rilo, ker je resnična dolžinska enota na njem zmanjšana. (Stavbni črteži.) Izmerimo dolžino učilnice! Merjenje naj izvrši več učencev. Ali dobe vsi isti znesek ? Zakaj ne ? Izmeri tudi dolžino šolske klopi, širino in višino table itd.! Vsako dolžino presodi najprvo po vidu, potem jo šele izmeri z merilom! Dolžino daljice torej določimo, če preiščemo, kolikokrat je v njej enota dolžinske mere. Dolžino dveh daljic primerjaš na ta način, da položiš eno daljico na drugo tako, da se krajišči krijeta. Ako se krijeta tudi ostali dve krajišči, tedaj sta daljici enaki, sicer ne¬ enaki. To primerjanje daljic izvršimo s šestilom. — Kako seštevamo daljice ? (Položi jih na premico drugo poleg druge!) Kako dobimo razliko dveh daljic? (Položi manjšo na večjo i.t. d.!) 8. Ali si že opazoval merjavca, kako določa daljice na prostem in kako jih meri ? 9 Slika 11 Zemeljsko površje, kolikor ga upošteva pri določitvi in merjenju potov, zemljišč itd., smatra kot ravno in ho¬ rizontalno ploskev. Zakoliči daljico na šolskem dvorišču! — To izvršiš na ta način, da zasadiš dva do tri metre dolga merska droga (sl. 11.) navpično (s pomočjo svinčnice) ob obeh daljičnih krajiščih. S tem je daljica na prostem popolnoma določena. Ako je določiti več vmesnih točk zakoličene daljice AB ali pa daljico podaljšati, izvršiš to takole: Stopi tri do štiri korake pred drog A (sl. 12. kaže to odspredaj in odzgoraj) in viziraj toliko časa ob isti strani drogov, da zakrije tvojemu očesu drog A popolnoma drog B. Pomočnik-sošolec postavi drog C približno tja, kjer je treba določiti vmesno točko, in ga premika primerno tvojim znamenjem, dokler se ne skrijeta tvojemu očesu za prvi drog druga dva droga. Na isti način uravnaš tudi nadaljnje droge, ki so potem vsi v isti smernici. — Opazuj uravnavanje vojaške vrste! — Vmesne točke zaznamenuj manjšimi, 40 do 60 cm dolgimi merskimi količki. Preden iz¬ meriš daljico, presodi njeno dolžino po vidu in jo premeri s koraki. (Vojaški korak meri 75 cm, torej štirje koraki 3 m ali 130 korakov približno 100 m. Ko¬ lik je tvoj korak?) Čeprav taka mera ni zanesljiva, vendar nas dostikrat obvaruje občutnih napak, ki se pri merjenju lahko pripete. Merjenje izvršita dva merjavca, ki držita 20 m dolgo mersko vrvco ali merski trak ob konceh. Prvi merjavec stoji začetkoma pri krajišču A ter pazi, da koraka drugi vedno v daljični smeri proti krajišču B in da zasadi količek v zemljo A □ B A D Slika 12. 10 ob koncu napetega traka. To opravilo se ponavlja, dokler ne dospeta do krajišča B. Končno preštejeta merske količke, da vidita, kolikrat sta položila napeti trak. Dolžino daljice dobiš, ako pomnožiš število zasajenih količkov z 20 in prišteješ dol¬ žino med zadnjim količkom in krajiščem B. Mersko število dolžine, ki ga dobiš pri tem merjenju, ni natančno; zato je treba daljico večkrat izmeriti in potem šele po preudarku določiti povprečni znesek. 4. Izmeri kockne robe! Kaj opaziš? Vsako kockno ploskev meje štiri enake daljice. — Položi kocko s katerokoli mejno ploskvijo na tablo ter obriši to ploskev s kredo! — Del ravnine, ki ga popolnoma meje ravne ali krive črte, imenujemo ravni lik. Na tabli narisani lik nam kaže podobo kockne mejne ploskve (sl. 13.). Imenujemo ga kvadrat. « Kvadrat ima štiri oglišča in štiri enake stranice. O dveh premicah, ki imata tako lego, kakor AB in AD na sl. 13., pravimo, da tvorita pravi kot, ali da stoji ena na drugi pravokotno ali normalno. — Koliko pravih kotov ima kvadrat? Pravi kot narišemo z ravnilom in trikotnikom (sl. 14.), na katerem je pravi kot. v R S Slika 14. Slika 13. Narišimo kvadrat, katerega stranica naj meri 5 cm ! Načrtaj poltrak (sl. 15.), krajišče označi s črko A in od¬ meri na njem z merilom 5 cm; tako dobiš točko B. Nasloni 11 ravnilo z robom ob poltrak AB, položi nanj trikotnik (sl. 14.) tako, da se ga dotika krak RS, in pomakni vrh R pravega kota na mesto A. Črta ob drugem kraku RV je pravokot¬ ni ca AD. Ako pomakneš trikotnik I na mesto II, dobiš pravo- kotnico skoz točko B. Na vsaki pravokotnici odmeri navzgor 5 cm; dobiš točki C in D. Daljica med tema točkama je četrta stranica kvadrata. Prepričaj se s šestilom, da meri 5 cm\ Ravnilo nadomešča večinoma drug trikotnik. Kvadratni stranici AD in BC, kakor tudi stranici AB in DC se nikdar ne snideta, če jih še tako podaljšamo. Stranici AD in BC (AB in DC) sta vzporedni ali paralelni (AD || BC, AB || DC). — Pokaži vzporednice na tabli, na klopi i. t. d.! — Sl. 15. kaže, kako je risati vzporednice s pomočjo ravnila in trikotnika. Nariši na karton kvadrat A i B 1 C 1 D u katerega stranica meri tudi 5 cm ! Izreži kvadrat in ga položi na prej načrtanega! Kvadrata se popolnoma krijeta; pravimo, da sta skladna (k o n g r u e n t n a). 5. Ravno ploskev na valju imenujemo krog, krivo črto, ki oklepa krog, pa krožnico ali obod kroga. Za krožnico in krog uporabljamo navadno skupno ime krog. Imenuj predmete, na katerih si opazil kroge! Krog je najvažnejša kriva črta; rišemo ga s šestilom. Označi na listu točko S in po¬ vzemi merilu 3 cm s šestilom! Ako zavrtiš šestilo okoli enega kraka, ka¬ terega konica sloni na točki S, tedaj zariše konica drugega kraka krož¬ nico ! sl. 16.). Na krožnici, ki smo jo narisali, leže vse točke ravnine, ka¬ terih razdalja od točke S meri 3 cm. Točka S leži natančno sredi ploskve, ki jo meji krožnica; zato jo imenu¬ jemo središče kroga — Premica, ki spaja katerokoli točko oboda s središčem, imenujemo polmer ali radij (AS). — Opazuj prečke na kolesu! Daljici, ki spaja dve točki krožnice, pravimo tetiva (BC). Katera je najdaljša? — Tetivo, ki jo narišemo skoz središče, 12 imenujemo premer ( EF ). Premeri istega kroga so enaki. — Premico skoz dve točki krožnice imenujemo sečnico ali se- kanto (s). — Premici, ki se kroga dotika, pravimo dotikal- nica ali tangenta (<), skupno točko pa zovemo dotikališče ( T ). — Opazuj kolo lokomotive in tračnico, po kateri teče! — Vsak posamezen del krožnice imenujemo lok ( GH ). 6. Ako vrtimo krog okoli kateregakoli premera, nastane krogla (sl. 17.). — Krogelno obliko imajo: črešnje, jabolka, grah, vodene kaplje, svinčenke itd. Središče vrtečega se kroga je tudi krogelno središče. Vse točke krogelne ploskve so od središča enako oddaljene. Zemlja ima približno obliko krogle. Sl. 17. naj nam pred- očuje globus in nekaj črt na njem. — Premer, okoli katerega zavrtimo krog, ki nariše kroglo, zovemo o s, krajišči premera pa tečaja. — Pokaži to na glo¬ busu! — Vrteči se krog tvori v vsaki svoji legi krog pol¬ dnevnik ali meridianski krog (n. pr. AEBF ). Krogi pol¬ dnevniki so torej enaki. Vsaka točka vrtečega se kroga nariše krog vzporednik, katerega središče leži na krogelni osi. — Ali so tudi krogi vzpored¬ niki enaki ? — Največjega iz¬ med krogov vzporednikov imenujemo ravnik ali ekvator ( CEDF ). — Kolik je njegov premer? Slika 18. Del krogelne ploskve med dvema vzporednikoma imenujemo krogelni pas. — Ravnina, položena skoz kro¬ gelno središče, razdeli kroglo na dve pol krogli. Kolik je premer kroga, ki meji polkroglo (sl. 18.)? Na krogelni ploskvi moremo ri¬ sati le krive črte. Kroge n. pr. rišemo lahko s šestilom. 13 Vaje. 1. Nariši premico ter določi na nji več točk! Koliko jih lahko izbereš? (Premi niz.) 2. Označi točko na listu ter nariši več premic skoz njo! Ko¬ liko jih lahko narišeš? (Ravninsko premičje.) 3. Kako se prepričaš z ravnilom o ploskvi, da je ravna? Opazuj zidarja in kamenoseka! 4. Nariši več neenakih daljic v različni smeri, presodi naj¬ prej po vidu njih dolžino, potem jih izmeri ter izračunaj pri vsaki, za koliko si pogrešil! Napravi si takole razvidnico: 5. Nariši najprej po vidu, potem z merilom daljico, ki naj meri 5 cm (1 cm, 8 cm, 4|- cm, 7 mm, 6-4 cm) ter vsakikrat do- ženi, za koliko si pogrešil! (Razvidnica!) 6. Izmeri in si zapomni širino nohta na kazalcu, dolžino ka¬ zalca, širino pedi, dolžino koraka itd. 7. Presodi dolžino in širino različnih predmetov (zvezka, knjige, deske, mize, vrat, okna, učilnice, telovadnice itd.) po vidu, potem jih izmeri! (Razvidnica!) 8. Izmeri (km) na zemljevidu razdaljo (dolžino zračne črte) od Beograda, Zagreba, Sarajeva, Dubrovnika in Skoplja do Ljubljane ! 9. Nariši dve daljici (tri, štiri daljice) ter presodi po vidu njih dolžino in njih vsoto! Nato jih izmeri z merilom in nariši da¬ ljico, enako vsoti teh daljic! Za koliko si se zmotil? (Razvidnica!) 10. Nariši 4-7 cm dolgo daljico ter jo podaljšaj za 3-5 cml Na koliko načinov moreš nalogo razrešiti? (Uporabljaj ravnilo z merilom in šestilo!) 11. Nariši 7 cm dolgo daljico ter jo skrajšaj za 2-8 cml Ko¬ liko razrešitev je možnih? 12. Nariši 9-5 cm in 4-7 cm dolgi daljici ter določi njih razliko ! 13. Nariši daljice: a = 8-5 cm, b = 3-2 cm, c = 4-6 cm, •c = 7-3 cml Potem načrtaj daljice: m i =a-\-b; m % = a-\-c\ m 3 = = a-\-b — c; m i — a — č. Izmeri jih! Nato določi njih dolžino z računjenjem! Končno primeri dobljene rezultate! 14. Nariši 3-4 cm dolgo daljico ter načrtaj dvakrat (trikrat, štirikrat) tako dolgo daljico! 15. Razdeli 9-2 cm dolgo daljico na dva enaka dela (tri, ■štiri enake dele)! (Najprvo po vidu, zatem poskusoma s šestilom in končno z merilom.) 14 16. Koliko pravih kotov je na kocki (kvadru)? 17. Kako moraš list dvakrat pregeniti, da dobiš prave kote? (Glej sl. 19.!) — Izreži enega in ga polagaj na ostale! 18. Nariši vetrovnico ter označi na njej strani neba! 19. Nariši kvadrat s stranico a = 1 cm (4-5 cm, 77 mm, 10 cm)\ 20. Kakšno lego imajo prečke na lestvi a) druga proti drugi, b) glede na levo ali desno lestvenico? 21. Nariši krog s polmerom r — 4 cm ter označi na obodu dve točki! Koliko lokov določata, koliko tetiv? 22. Nariši krog s polmerom r = 3-5 cm ter izberi na obodu točko! Preizkusi, kolikrat moreš polmer nanesti kot tetivo, če začneš pri izbrani točki! 23. Nariši krog s polmerom r=3-8 cm ter potegni skoz ka¬ terokoli točko oboda premer in 6 4 cm dolgo tetivo! 24. Nariši krog s polmerom r=4 cm, potegni horizontalni premer, razdeli ga na pet enakih delov, skoz delišča nariši tetive pravokotno na premer in jih izmeri! 25. Ob krog s polmerom r = 3 cm nariši dve vzporedni tangenti! 26. * Presodi dolžino in širino šolskega dvorišča in poslopja po vidu; nato izmeri te razdalje z 10 m dolgo vrvco, na kateri si metre zaznamenoval z vozli (en meter bodi z vozli razdeljen na decimetre)! 27. * Zakoliči v različni smeri (južni, vzhodni, severozahodni i. t. d.) več neenakih daljic; presodi njih dolžino po vidu, potem pa jih izmeri! 28. * Zakoliči daljico ter jo podaljšaj v eno smer za prav toliko! 29. * Skrajšaj zakoličeno daljico ob obeh krajiščih za določeno dolžino! 30. * Razdeli zakoličeno daljico na več enakih delov! 31. * Začrtaj krog (r = 6 m), označi na njem katerokoli točko ter določi drugo krajišče premera, kateri gre skoz to točko! (Ob konceh vrvce napravi zanko; eno natakni na drog, ki določa krožno središče, drugo pa na merski količek. Ako vrvco napneš s količkom in količek pomikaš na tak način, da je vrvca neprenehoma napeta,, začrta njegova konica krog.) 32. * Začrtaj krog ter ga razdeli na šest enakih delov! 33. * Začrtaj krog in označi zunaj njega točko! Določi na krogu sečišče one premice, ki gre skoz označeno točko in skoz krožno središče! 34. * Zakoliči 5 m dolgo daljico ABl Ob konceh 10 m dolge vrvce napravi zanko in natakni vrvco na količka pri A in B. Ako * Z zvezdico označene vaje se izvršujejo na prostem. 15 vrvco napneš s količkom in količek pomikaš ob napeti vrvci, začrta njegova konica krivo črto (krivuljo), ki jo imenujemo elipso (sl. 20.). — Opazuj vrtnarja pri začrtavanju takih gredic! — Od¬ makni količek B na razdaljo 6 (7, 8) m in začrtaj elipso! — Primakni količek B na razdaljo 4 (3, 2) m ter začrtaj elipso! — Opazuj, kako se oblika krivulje izpreminja! — Nariši tudi v zvezku elipso na isti način! Namesto količkov rabi igli, namesto vrvce pa nit! 35. Čašo valjaste oblike nalij napol z vodo in pokrij s stekleno ploščo! Kako moraš čašo držati, da ima gladina vode obliko a) kroga, b) elipse, c) mejne ploskve na kvadru? IV. Koti in kotna mera. 1. Na tabli visi urno kazalo (sl. 21.). Veliki kazalec a naj kaže minute, mali kazalec b pa ure. Nastavi kazalca na 12. uro! Kazalca se krijeta. — Po¬ stavi kazalca na 3. uro! Minutni kazalec ne izpremeni svoje lege, kazalec ur premakneš do števila 3. Kakšno črto nariše pri tem vrtenju konica kazalca ? Kaj nariše vrteči se kazalec ? Del ravne ploskve med kazalcema imenujemo kot. Kje smo že videli ta kot ? — Položi trikotnik s pravim kotom med kazalca! Kazalca stojita drug na drugem pravokotno: tvorita pravi kot. — Nastavi kazalca na 9. uro! Kakšen kot oklepata zopet? Kakšen kot nariše minutni kazalec, ki kaže na 3, po preteku četrt ure ? Podaljšaj minutni kazalec na pr. na ta način, da zabodeš tanko paličico v kazalčno konico. Ali je zdaj kot večji? Podaljšaj na isti način tudi drugi kazalec! Se je li zdaj kot izpremenil? Dolžina kazalcev ne vpliva na velikost kota. — Postavi kazalca na 4. uro! Kot, ki ga oklepata kazalca, je zdaj večji. Postavi kazalca na 2. uro! 16 Dobimo manjši kot. Narišimo ga (sl. 22.)! — Poltraka, ki na¬ domeščata kazalca, imenujemo kraka, skupno krajišče V vrh, ploskev med krakoma pa kot (kotno ploskev). Kotu, ki ni pravi kot, pravimo po¬ ševni kot. Znak za kot je: -je. Kot zaznamenujemo s črko ob vrhu ali z malo grško* črko med krakoma ali pa s tremi črkami, izmed katerih je vrh zaznamenujoča vedno v sredi (sl. 22.: V, AVB). ki ga narišemo največkrat, bomo na slikah malim lokom in s točko ob vrhu: ln_. Kot torej nastane, ako zavrtiš poltrak okoli njegovega krajišča. Čim dalje si poltrak zavrtel, tem večji je nastali kot. Postavi kazalca na 2., 3., 4., 6., 8., 12. uro (sl. 23.)! Pravi kot, zaznamenovali z m 1Z Slika 23. Kateri kot je manjši nego pravi kot? Narišimo ga! Kot a (sl. 24.), ki je manjši nego pravi kot, imenujemo ostri kot. Koliko pravih kotov nariše urni kazalec do 6. ure ? Ob tej uri tvorita kazalca premo črto. Kotu, pri katerem kažeta kraka * Grške Srke, ki jih bomo rabili, so: a = alfa, p = beta, 7 = gama, d = delta, e = epsilon, n = pi. 17 nasprotno smer, pravjmo iztegnjeni kot (sl. 25.). — Pravi kot je torej polovica iztegnjenega kota, iztegnjeni kot pa je enak dvema pravima kotoma. Primerjaj kot, ki ga tvorita kazalca ob 4. uri, s pravim in z iztegnjenim kotom! — Kot (sl. 26.), ki je večji nego pravi, toda manjši nego iztegnjeni kot, zovemo topi kot. Kotu, ki je manjši nego iztegnjeni kot, pravimo votli kot. Votli koti so torej ostri, pravi ali pa topi koti. Kakšen kot oklepata kazalca ob 8. uri? Kot y (sl. 27.) je večji nego iztegnjeni kot; zovemo ga izbočeni kot. Ob 12. uri se kazalca krijeta. Konica urnega kazalca na¬ riše v 12 urah polni krog, kazalec pa kot, ki mu pravimo polni kot (sl. 28.). — Koliko pravih kotov šteje polni kot? Opazuj lego minutnega kazalca, ki jo ima v teku ene ure ob številki 3, 6, 9, 12 na kazalu! Pri računanju označujemo pravi kot po navadi z veliko črko R. 2. Daljično dolžino smo določili s tem, da smo daljico izmerili. Kako me¬ rimo kote? Nariši na tablo krog n. pr. s polmerom r = 5 dm (sl. 29.) ter v krogu vertikalni in horizontalni premer! Na koliko delov si krog razdelil? (4). — Razdeli vsako četrtino oboda na tri Mazi: Geometrija za nižje razrede. 2 18 enake dele, razdelišča pa spoji s središčem! Koliko delov do¬ biš? (12). — Na zgornji desni četrtini kroga razdeli po vidu vsako tretjino na tri enake dele! Če bi istotako razdelil ostale četrtine, koliko delov bi imel krog? (36). — Končno razdeli prvi zgornji del na deset enakih delov, nariši skoz razdelišča pol¬ mere ter si misli, da je na isti način razdeljen ves krog! Na koliko enakih lokov bi bil potem razdeljen obod in na koliko enakih kotov polni kot okoli krožnega središča? (360). Ako razdelimo krožni obod na 360 enakih delov, dobimo majhne loke; vsak tak lok imenujemo ločno stopinjo (1°); če spojimo razdelišča s krožnim središčem, dobimo majhne kote; tak kot zovemo kotno stopinjo. Kotna stopinja je torej 360. del polnega kota. Kotna stopinja je enota kotne mere. Izreži iz trdega papirja 5 dm dolg kazalec, pritrdi eno krajišče z žebljičkom ob krožnem središču ter postavi kazalec 19' navpično! Če bi kazal minute, kje bi bil čez četrt ure ? Koliko ločnih stopinj bi narisala njegova konica, koliko kotnih stopinj bi prekrožil sam kazalec? Zapiši ob obodu 90°! Pravi kot meri 90°. V teku nadaljnje četrt ure prekroži kazalec zopet 90 kot¬ nih stopinj ali zopet en pravi kot; kazalec v prvotni legi in kazalec v novi legi tvorita iztegnjeni kot. Iztegnjeni kot meri 180°. Kazalec se pomika dalje; v četrt ure prekroži zopet 90°, tako da je ob preteku tretje četrti ure prekrožil tri prave kote ali 270°. — V četrti četrtini ure prekroži zopet 90° ali še en pravi kot. Ko je ob preteku ene ure zopet v prvotni legi, je prekrožil polni kot ali štiri prave kote ali 360°. Polni kot meri 360". Kot meri n. pr. 35° (kotnih stopinj), ako meri 35 ločnih stopinj njemu pripadajoči lok, ki ga s kakršnimkoli polmerom začrtaš okoli njegovega vrha. Od česa je odvisna dolžina loka, ki tvori ločno stopinjo? Zavrti kazalec, da nariše ostri, topi, izbočeni kot! — Ostri kot meri manj nego 90°, topi več kakor 90° in manj nego 180°, izbočeni kot več kakor 180°. Ako hočemo kote izmeriti natančneje (zemljepisec, zvezdo- slovec), razdelimo stopinjo na 60 minut (1° = 60'), minuto pa na 60 sekund (r=60"). Kote merimo s kotomerom ali transporterjem (sl. 30.), t. j. s polkrogom, ki je razdeljen na 180 (na sliki le na 36) enakih delov. — Sl. 30. kaže, kako izmeriš s kotomerom ostri 20 3. Zemljepisec deli ekvator na 360 ločnih stopinj ter po¬ laga skoz vsako stopinjo meridian, ki je polovica meridian- skega kroga. En meridian zaznamenuje z ničlo in ga imenuje začetnega (S t oJ t na sl. 32.). Meridian (polkrog) razdeli na 180 ločnih stopinj, ki jih šteje od ekvatorja proti tečajema, ter od ekvatorja (zemljepisno širino), na ekvatorju pa oddalje¬ nost meridiana od začetnega meridiana (zemljepisno dolžino). Zemljepisna lega kraja je popolnoma določena, ako vemo, na katerem meridianu in na katerem vzporedniku leži kraj. 4. Kot zakoličimo na prostem, ako zasadimo ob vrhu in v vsakem kraku po en merski drog. Zakoliči pravi kot! Že starim Egipčanom je bilo znano, da je trikotnik s stranicami treh, štirih in petih dolžinskih enot pravokoten. nariše skoz vsako stopinjo vzporednik. Meridiani in vzporedniki tvorijo s t o - pinjsko mrežo zemeljske oble. — Kako dolga je ločna stopinja na ravniku? Slika 31. Ako hoče določiti zem¬ ljepisno lego kakega kraja (n. pr. L na sl. 32.), nariše skoz dotični kraj meridian in vzporednik ter izmeri na meridianu oddaljenost kraja A Slika 33. Slika 32. 21 Razdeli vrvco na dvanajst enakih delov ter označi tretje in sedmo razdelišče z vozloma; potem moreš stvoriti pravokotni trikotnik tako, kakor kaže sl. 33. Tesarji določajo pravi kot še dandanes na ta način ; zlagajo namreč trikot¬ nik iz drogov, dolgih po 3, 4 in 5 m. Najlaže pa zako¬ ličimo prave kote s poljskim kotome- r o m. Glavni del polj¬ skega kotomera (sl. 34.) je krog, ki je raz¬ deljen na 360°. Ob krajiščih dveh pravo- Slika 34. kotnih premerov so pritrjeni nastavki (vizirji = ogledovala). Nastavka pri 0° in 90° imata po dve gledalni luknjici (očnici), nastavka pri 180° in 90° (270°) pa vsak pravokotno okence (pred¬ metni c o), ki ima po sredi napeto nitko ali las. Premera z nastavki, skoz katere merimo, imenujemo zirali. Pravokotni zirali tvorita ziralni križ. Poleg teh dveh ziral je na koto- meru še eno, okoli krožnega središča vrtljivo ziralo ; pravimo mu kazalec. Pri uporabi nasadiš kotomer na vertikalno palico (sto¬ jalo) tako, da je krožna ravnina horizontalna ali pa vertikalna. Prvo doženeš z greblji c o*, drugo s svinčnico. * Še natančneje določimo horizontalno lego z libelom. 22 Grebljica (sl. 35.) je lesen pravokotni trikotnik ABC z enakima stranicama AC in BC. Od vrha C visi pritrjena svinčnica. Ob razpolovišču D stranice AB je plitva izdolbina za svinčeno kroglico. Stranica AB je horizontalna, ako krije vrvca svinčnice pravokotnico CD, oziroma ako udarja kroglica v izdolbino. — Kakšno lego mora pri uporabi imeti ravnina grebljice? Imenuj rokodelce, ki rabijo grebljico! Pravokotnico v točki C zakoličene daljice AB določiš s kotomerom, če ga postaviš navpično nad točko C (sl. 36.), zavrtiš eno ziralo v smer daljice AB ter nato viziraš skoz vizirja pravokotnega zirala. Pomočnik zasadi na dano znamenje v tej smeri drog D. Pravokotnico določa DČ. Na isti način .zakoličiš skoz točko D (sl. 36.) pravo¬ kotnico na daljico AB. Najprej določiš po vidu nožišče C zahtevane pravokotnice in postaviš tja kotomer tako, da ima eno ziralo smer daljice AB. Nato premikaš kotomer, ne da bi izpremenil smer prvega zirala, toliko časa na desno ali na levo, da gre smernica drugega zirala skoz drog D. S kotomerom lahko izmeriš vsak zakoličeni kot. Kotomer postaviš v vrh kota tako, da ima ziralo skoz 0° in 180° smer enega kraka. Ako nato zavrtiš kazalec v smer drugega kraka, vidiš na koto- meru, kolik kot oklepata kraka. 5. Nariši n. pr. ostri kot a (sl. 37.) ter podaljšaj en krak preko vrha! Dobiš kot /?, ki leži poleg kota a. Kota a in /? ime¬ nujemo s oko ta. Določenemu kotu torej narišeš sokot, ako preko vrha podaljšaš en krak. Katerega ? Kako se izpremeni sokot /?, ako kot a zmanjšaš ali povečaš? Ako sta sokota enaka, kolik je vsak izmed njiju? Sokota tvorita iztegnjeni kot. (a- f /? = 180° = 2 fi.) Nariši zopet kot a (sl. 38.) ter podaljšaj preko vrha oba kraka! Koliko kotov nastane? Zaznam^uj jih! Imenuj sokota kota a! — Kot y, ki leži kotu a nasproti, zovemo sovršni kot kota a. Določenemu kotu narišeš sovršni kot, če preko vrha podaljšaš oba kraka. Izmeri kota a in y! Sovršna kota sta enaka, (a = y.) S 23 Ako se dve premici sekata, določata štiri kote. — Imenuj po dva kota, ki sta sokota, ter po dva, ki sta sovršna kota! Ako tvorita premici štiri enake kote (sl. 39.), tedaj je vsak kot pravi kot in pravimo, da se premici sekata pravokotno ali da sta pravokotni ali normalni (a I b). Nariši pravi kot ter potegni v kotni ploskvi skoz vrh poltrak! S tem si pravi kot razdelil na dva kota a in /9. Kakšna kota sta ? Koliko meri eden, koliko drugi? — Pravi kot moremo razdeliti le na dva ostra kota. Kota, katerih vsota meri 90°, imenujemo komplementarna kota. (a-j-/? = 90°.) Kota a in /9, katerih vsota meri 180 °, zovemo s u p 1 e- mentarna kota. (a —j—/? = 180° = 2R.) 6. Kot AVB (sl. 40.) hočemo prenesti na poltrak VjA^— Načrta j okoli V in V t loka z istim polmerom in povzemi s Slika 39. šestilom razdaljo med točko A in točko B ! Ako narišeš okoli A t lok, ki seka že načrtanega v točki B u je poltrak V 1 B 1 drugi krak prenesenega kota. Določen kot torej preneseš, če preneseš kotu pripadajoči lok. Izreži en kot ter ga položi na drugega! Ker se krijejo njiju kraki, sta kota V in V\ enaka. 24 Slika 42. Nariši več kotov ter jih izreži; nato položi drugega poleg drugega tako, da bodo njih vrhi skupaj! Kako torej seštevamo kote? — Nariši dva različna kota ter jih izreži; nato položi manjšega na večjega tako, da se dva kraka krijeta! — Kako torej do¬ ločiš razliko dveh kotov? 7. Nariši premici, ki se sekata (sl. 38.)! Koliko skupnih točk imata? Skupno točko imenujemo sečišče. Glej premici na sl. 41.! Kje leži sečišče, kako ga najdeš? Pa še drug primer je mogoč. Nariši kvadrat ABCD (sl. 42.)! Ali se stranici AB in CD sekata? Ali bi se sekali, če bi ju podaljšal za 100 m, za 1000 m? Kako sta si dve nasprotni stranici kvadrata? Proga južne železnice drži n. pr. iz Ljubljane do Zaloga naravnost proti vzhodu. Smatrajmo tračnici za premici! Ali se kdaj snideta? Zakaj ne? Kako široka je proga med tračnicama ? Premici, ki ležita v isti ravnini in se nikjer in nikdar ne snideta, sta vzporedni ali paralelni (sl. 43.). — O vzporednih premicah pravimo, da imajo isto smer.— Nariši premico in določi točko zunaj nje! Koliko premic, vzporednih narisani premici, gre skoz to točko? — Potegni skoz točko do premice več daljic! Iz¬ meri jih! Katera je najkrajša ? Razdaljo dveh vzporednic določa pravokotnica med njima. Vaje. 1. Izmeri kote na svojih trikotnikih! ‘2. Kakšen kot nariše minutni kazalec v 5, 12, 15, 30, 45 minutah ? 3. Kdaj oklepata kazalca kot 120°, 150°, 210°? 4. Kolik kot določata kazalca ob 3, 4 30 , 6, 7 10 , 9? 5. Nariši kazalo na uri ter zaznamenuj na krožnem obodu, kje je minutni kazalec ob preteku vsake druge minute! 25 6. Presodi po vidu kot, ki ga oklepata kazalca ob 12 12 in ob 11 48 ! Izmeri kota! 7. Nariši več kotov v različni legi, presodi jih najprvo po vidu, potem pa jih izmeri! Za koliko si pogrešil? (Razvidnica!) 8. Nariši po vidu kote, ki naj merijo 45°, 30°, 75°, 15°, 108°, 135°, 22£°, 37° 30', potem pa jih izmeri s kotomerom! Za koliko si pogrešil? (Razvidnica!) 9. Nariši premici, ki se sekata; izmeri kote in jih seštej! 10. Nariši s kotomerom kote 36°, 24°, 72°, 15 0 ! 11. Nariši s kotomerom kote, ki jih oklepata urna kazalca ob 1., 2., 3., . . . 12. uri! 12. Obrni se proti severu! Za koliko stopinj se moraš zavr¬ teti, da boš gledal proti severovzhodu (vzhodu, jugovzhodu, jugu itd.)? 13. Nariši vetrovnico! Kakšne kote oklepajo a) glavne strani neba med seboj, b) stranske strani neba z glavnimi, c) medstran- ske strani neba s sosednjimi in stranskimi stranmi neba? 14. Nariši kot 36° ter mu prištej s kotomerom kot 142°, ti vsoti kot 58° in nastali vsoti kot 124°! Kakšen kot dobiš? 15. Nariši in izreži neenaka kota a (večji) in (3 ter pokaži njiju vsoto a-j-f3 in njiju razliko a. — [3! 16. Seštej in odštej sledeče kote! (Najprvo izračunaj, potem nariši in končno določi pogrešek risbe!) 17. Nariši oster kot ter ga podvoji, potroji! 18. Nariši pravi kot ter ga razdeli na dva enaka dela (štiri, pet enakih delov) po vidu in s kotomerom! 19. Nariši kot 60° ter ga razdeli s kotomerom na dva enaka dela (tri, štiri, pet, šest, dvanajst enakih delov)! 20. Kakšen kot je sokot ostrega, kakšen sokot topega kota? Napravi sliko! 21. Kolik je sokot kota <*, ki meri 5° (10°, 12|- 0 , 18", 23-i- 0 , 30°, 45°, 60°, 90°, 108°, 135°, 175°)? 22. Kot a meri 150°; za koliko stopinj se razlikuje njegov sokot od pravega kota? 23. Nariši sovršna kota, ki merita po 40°, ter izmeri sokota! 26 24. En kot ob sečišču dveh premic meri 35°; izračunaj, po koliko merijo ostali koti! 25. Nariši tri premice skoz isto točko; koliko kotov oklepajo? Pokaži, da je vsota treh nezaporednih kotov vedno enaka 180°! 26. Kot a meri 8° (101°, 25°, 30°, 45°, 60°, 72°, 84°); iz¬ računaj komplementarni kot! 27. Izračunaj sledečim kotom suplementarni in komplemen¬ tarni kot: st = 25°; Č = 37« 18'; 7 = 73« 26' 13"! 28. Koliko R je 45°, 120°, 105°, 22° 30', 15'! (N. pr. 45° = = -LjR itd.) 29. Zemlja se zavrti v 24 urah enkrat okoli svoje osi; za koliko stopinj se zavrti v 1 uri, v 1 minuti, v 1 sekundi? 30. Nariši krog s polmerom r = 3-5 cm, potegni katerikoli premer, izberi na obodu katerokoli točko T, spoji jo s krajiščema premera ter izmeri kot ob točki Tl — Izberi nadaljnje točke na obodu in ponovi prejšnji postopek! Kaj vidiš? 81. Ali sta dve a) horizontalni, b) vertikalni premici vedno vzporedni? 32. Sestavi si ravnilo za risanje vzporednic iz štirih paličic (dveh po 30 cm dolgih in dveh prečnih po 8 cm dolgih), ki se dado pregibati v členkih. Nariši nato s tem ravnilom vzpo¬ rednice z razdaljo 4 cm, 6 cm, 7 cml (Glej sliko 428.!) 33.* Izberi točko na prostem ter zakoliči skoz njo poldnev- nico (premočrtno spojnico severne in južne točke na obzoru)! Kje leži vzhod, kje zahod? Zakoliči to smer! 34.* Določi sečišče zakoličenih premic AB in CD ! [Prvi mer- javec vizira v smeri AB, drugi v smeri CD (sl. 44.). Pomočnik, ki se postavi z merskim drogom tja, kjer je približno sečišče S, premika drog, dokler ni v smeri obeh merjavcev, ter ga na dano znamenje zasadi.] 35. * Zakoliči kot, v katerem se sekata dve ravni poti! (Presodi kot najprej po vidu, nato ga izmeri!) 36. * Zakoliči pre¬ slika 45. mici AB vzporednico v razdalji dl [Zakoliči v A in B pravokotnico na premico AB ter odmeri na vsaki raz¬ daljo d; krajišči C in D določata vzporednico (sl. 45.).] 27 37.* Zakoliči premici AB vzporednico, ki gre skoz točko Tl [Izberi na daljici AB (sl. 46.) točko C, izmeri nato kot a, ki ga oklepata TC in AC, ter ga prenesi ob vrhu T na podaljšano daljico CTl — Razreši nalogo tudi tako, da bo kot a. pravi kot! Kateri način je krajši?] 38.* Izberi na šol¬ skem dvorišču točko ter nato izmeri njeno razdaljo od šolskega poslopja! 89.* Začrtaj krog s polmerom r = 7 m, označi na njem točko ter določi a) drugo krajišče premera, kateri gre skoz to točko, in b) krajišči pravokotnega premera! 40.* Zakoliči kvadrat s stranico a = 10 ml V. Kocka. Kvadrat. Kvader. Pravokotnik. 1. Postavi kocko na mizo tako, da bo obrnjena ena mejna ploskev proti razredu, nasprotna ploskev pa proti steni s tablo! Položi roko na zgornjo ploskev, na desno, na levo, na sprednjo, na zadnjo ploskev! Kje leži spodnja ploskev? Koliko mejnih ploskev našteješ? Kocko (sl. 47 ) meji šest ploskev. Spodnjo in zgornjo ploskev imenu¬ jemo osnovni ploskvi, ostale štiri ploskve pa stranske ploskve. Vse mejne ploskve telesa tvorijo njegovo površino. Koliko robov ima kocka? Potegni s prstom po zgornjem, po spodnjem sprednjem robu! Na kateri ploskvi ležita ? — Roba AB in EF ležita na sprednji ploskvi in sta vzporedna. — Imenuj vse vzporedne robe! Koliko skupin vzporednih robov opaziš? Opiši jih! Položi svinčnik vzdolž roba BA, drug svinčnik pa vzdolž roba E A ! — Roba BA in E A imata skupno oglišče A; pravimo, da se v točki A sekata. — Po koliko robov se stika v vsa¬ kem oglišču? Koliko oglišč našteješ? H G 28 Položi svinčnik vzdolž desnega spodnjega roba, drugega pa vzdolž levega zadnjega roba! Ali sta vzporedna, ali se se¬ kata? — 0 robih BC in DH, ki nista vzporedna in se tudi ne sekata, pravimo, da sta mimobežna, — Imenuj robe, s ka¬ terimi je rob BG tudi še mimobežen! Poišči v učilnici mimo¬ bežne robe! 2. Položi knjigo na zgornjo kockno ploskev! Primerjaj njeno lego s spodnjo ploskvijo, ki leži na mizi! Pokaži v učil¬ nici steni, ki imata tako lego! — Zgornja in spodnja kockna ploskev nimata nobene skupne točke, če jih tudi razširimo. Ravnini brez skupnih točk imenujemo vzporedni ali para¬ lelni ravnini. — Imenuj ostale vzporedne kockne ploskve, vzporedne stene v učilnici! Spodnja in sprednja ploskev imata skupni rob AB. Pokaži ga! — Ravnini, ki imata skupne točke, sekata druga drugo. Skupne točke dveh ravnin leže vedno v premi črti, ki jo zo- vemo sečnico.— Imenuj kockne ploskve, ki se sekajo! Odpri knjigo ter potisni eno platnico pod kocko, drugo pa primakni do leve kockne ploskve! Odmakni kocko! Ravnini, ki imata tako lego, kakor dve sosedni kockni ploskvi, sta druga na drugi pravokotni (normalni). Katere kockne ploskve stoje pravokotno na desni, katere na zgornji ploskvi ? Pokaži pravokotne ravnine v učilnici! Prostor, ki ga deloma oklepata pravokotni ravnini, ime¬ nujemo pravi ploskovni kot. — Koliko pravih ploskovnih kotov je na kocki? 3. Podloži kocki knjigo, ob levi sprednji rob pa prisloni svinčnik! Odmakni kocko! — Rob AE in ploskev ABCD imata skupno točko (sečišče) A; rob AE in ploskev BCGF nimata skupne točke; rob AE leži v ploskvi ABFE. — Pokaži s svinč¬ nikom in knjigo! Premica in ravnina imata ali eno skupno točko, tedaj se sekata, ali pa nimata nobene skupne točke, tedaj je premica ravnini vzporedna. Ako imata premica in rav¬ nina dve skupni točki, tedaj leži premica vsa v ravnini. — Imenuj robe in ploskve, ki so vzporedni (ki se sekajo)! Rob EA je vertikalen, miza, na kateri leži ploskev ABCD, je horizontalna. Rob E A stoji na mizi (na ravnini ABCD ) pra¬ vokotno. — Kakšno lego ima rob E A glede na rob AB in 29 na rob AD ? Potegni na mizi več premic skoz A in pokaži s svojim trikotnikom, da stoji E A na vsaki pravokotno! Ako stoji premica na ravnini pravokotno, stoji pravokotno na vseh v ravnini ležečih premicah, ki gredo skoz njeno sečišče (nož išče). Oglišče A leži na spodnji, oglišče E pa na zgornji kockni ploskvi. Rob EA stoji pravokotno na obeh ravninah. — Pokaži robe, ki tudi stoje pravokotno na obeh ravninah! Nariši na sprednji kockni ploskvi več daljic od oglišča E do roba AB; ko si jih izmeril, primerjaj njih dolžino z dolžino roba EA\ Pravokotnica med vzporednima ravninama je najkrajša daljica med njima; določa njih razdaljo. Položi prst na katerokoli kockno oglišče! Potegni s prstom po robih, ki se stikajo v tem oglišču! Koliko jih je? Koliko ploskev se stika v tem oglišču? Položi od¬ prto knjigo ob zadnjo in levo ploskev ter D _v_ C odmakni kocko! — V vsakem kocknem \ j oglišču se stikajo po trije robi in po tri \ j A ploskve. Prostor, ki ga meje tri v kocknem ,-- ja oglišču stikajoče se ploskve, imenujemo / j \ pravokotni tristranični ogel ali tri- ; \ j robnik. — Koliko jih ima kocka? A 3 J 3 4. Mejne kockne ploskve so skladni slika 48 kvadrati. Kvadrat (sl. 48.) ima štiri enake stranice in štiri prave kote. Vsota stranic določa obseg kvadrata. Daljico, ki spaja dvoje nasprotnih oglišč, imenujemo p reko t- nico ali diagonalo. — Koliko diagonal ima kvadrat? Izmeri jih! Vzemi kvadrat, ki smo ga nedavno na- črtali in izrezali, ter nariši v njem diagonalo! Tako nastaneta dva trikotnika. Ako pre¬ ganeš kvadrat po diagonali, se pokaže, da se trikotnika krijeta, da sta skladna. Diago¬ nala deli kvadrat na dva enaka dela. V trikotniku ABC (sl. 49.), ki je polovica kvadrata ABCD, je kot B pravi kot; njegova kraka AB in BC sta enaka, kakor sta tudi enaka kota A in C. U Slika 49. 30 H H F Trikotnik ABC imenujemo enakokraki pravokotni trikotnik. Stranico AC, ki leži pravemu kotu nasproti, zo- vemo hipotenuzo, stranici AB in BC, ki oklepata pravi kot, pa kateti. Izmeri trikotniške kote! Kolika je njih vsota? Pregani kvadrat še po drugi diagonali! — Diagonali sta enaki, sekata se pravokotno in razpolavljata druga drugo. — Nariši krog, ki mu je sečišče diagonal središče in ki gre skoz oglišča kvadrata! Sečišče diagonal imenujemo središče kvadrata. — Koliko trikotnikov določata obe diago¬ nali? Razreži kvadrat po diagonalah, primerjaj nastale trikotnike! Razpolovi kvadratu stranice! Da¬ ljici med nasprotno ležečima razpo- loviščema zovemo srednjici (na sl. 48.: V2 in 34). 5. Izoblikovati hočemo kocko iz kartona. Prisloni kocko na tablo tako, da bo spodnja ploskev vzporedna tlom! Očrtaj s kredo Jcockno ploskev, ki sloni na tabli (ABCD na sl. 50.), nato prevrni kocko zaporedoma okoli vsakega roba te ploskve na tablo ter očrtaj kvadrate (BFGC, CGHD, DHEA in AEFB na sl. 50.) ! Če kocko v zadnji legi (AEFB) prevrneš še enkrat navzdol in kvadrat očrtaš, dobiš lik, ki sestoji iz kocknih mejnih ploskev, razgrnjenih v ravnino, in ki ga imenujemo kockno mrežo (sl. 50.). Izoblikujmo kocko z robom a = 10 cm\ Nariši na karton kockno mrežo, t. j. 'šest kvadratov s stranico a = 10 cm drugega poleg drugega, kakor to vidiš na sliki 50.! Nato izreži mrežo, nareži jo nekoliko po robih AB, BC, CD, DA in EF, sestavi kocko (sl. 51.) ter jo zlepi po robih (ali pa vbodi z iglo ob prostih ogliščih luknjice in zveži oglišča z nitjo) t Kocka ima skladne mejne ploskve, enake robe, enake ploskovne kote in enake ogle. Kocka je pravilno telo. Slika 50. Slika 51. 31 H G 6. Poleg kocke stoji na mizi kvader ali pravokotni paralelepiped (sl. 52.). Oblika tega telesa nam je znana, ker se pogostoma uporablja. (Opeka, škatlice za vžigalice, za^ boji, učilnica itd.). Kakor kocka, ima tudi kvader osem oglišč, dvana j st robov in šest mejnih plos¬ kev. Medsebojna lega robov in ploskev je ista kakor pri kocki. Loči se pa od kocke po različni dolžini robov. Pokaži na kvadru vzporedne robe in ploskve, pravokotne robe in ploskve, mimobežne robe, ploskovne kote, ogle! 7. Mejne ploskve so liki, ki imajo po štiri prave kote, toda neenake stra¬ nice. Enaki in vzporedni sta le po dve nasprotni stranici. ----- Take like ime¬ nujemo pravokotnike (sl. 53.). Nariši pravokotnik, izreži ga ter se prepričaj s pregiba¬ njem : 1. da ima pravokotnik dve enaki diagonali, ki se raz¬ polavljata, a se ne sekata pravokotno, marveč poševno,- 2. da vsaka diagonala deli pravokotnik na dva skladna, pravokotna trikotnika! Slika 52. D A 5 Slika 53. Slika 54. Tudi pravokotnik ima dve srednjici (na sl. 53.: 1 2 in 3 4). Mrežo kvadra (sl. 54.) dobimo na isti način, kakor mrežo kocke. 8. V tej knjigi vidiš nazorne slike teles; kako jih rišemo ? Narišimo nazorno sliko kocke, kakršno kaže slika 47.! 32 Slika 55. Vzemi kocko, ki smo jo izoblikovali iz belega kartona! Obrnjen proti tabli, jo drži v vzporedni legi pred seboj, in sicer v višini desnega očesa, s katerim jo opazuj! Katere ploskve vidiš, katerih ne ? Od črne table se odraža le sprednja ploskev, ki je tabli vzporedna. Nariši tak kvadrat kot kockno sliko (sl. 55. a )! — Ne da bi izpremenil njeno vzporedno lego, pomakni kocko za to¬ liko navzdol, da vidiš tudi zgornjo ploskev! Zdi se, da je nastal na tabli obris kocke, ka¬ kršnega vidiš na sliki 55. b. — Premakni kocko v vzporedni legi zaporedoma tako, da vidi tvoje oko sprednjo, zgornjo, desno ploskev! Na tabli opaziš kockno sliko, kakršnodraže slika 55. c. — Kakšni se vidijo na kockni sliki tisti vzporedni robi, ki so usmer¬ jeni pravokotno na tablo? (Nevzporedni se vidijo in krajši.) Opazuj fotografsko sliko šolskega poslopja! Na poslopju so vzporedni robi. Pokaži jih! Kateri so na sliki vzporedni, kateri niso? — Če bi torej hotel kocko narisati, kakor jo vidi oko (perspektivna slika), bi vzporednih robov, kateri niso vzpo¬ redni tabli, ne smel narisati vzporedno. Da je načrtavanje bolj enostavno, rišemo v nazornih slikah vzporedne robe kot vzporedne daljice. Takšno nazorno sliko kocke v vzporedni legi dobiš, če načrtaš sprednjo ploskev v pravi obliki, robe, kateri so usmer¬ jeni pravokotno na tablo (na list), pa kot vzporedne, (n. pr. na polovico) skrajšane daljice, ki so od sprednjega zgornjega oz. spodnjega (horizontalnega) kocknega roba odklonjene za kot n. pr. 30 stopinj. Slika 55. d kaže kocko, kakor jo vidiš z desne od zgoraj, slika 55. e pa, kakor jo vidiš z leve od zgoraj. Telo je neprozorno, zato rišemo nevidne robe črtkano. Nariši nazorno sliko kvadra! Glej sliko 52.! 33 Vaje. 1. Pokaži z dvema svinčnikoma, kolikero medsebojno lego moreta imeti dve premici! 2. Pokaži z dvema kartonoma glavni legi dveh ravnin 3. Pokaži s svinčnikom in kartonom glavne medsebojne lege premice in ravnine! 4. Določi razdaljo vzporednih sten v učilnici! 5. Poišči v učilnici robe, ki stoje na ravninah pravokotno! 6. Izberi na kocki rob ter povej, koliko kocknih robov ga seka, koliko robov mu je vzporednih in koliko je mimobežnih! 7. Nariši prostoročno kvadrat ter mu izmer' stranice in kote! 8. Nariši kvadrat (a = 10 cm), razdeli stranice na 10 enakih delov ter spoji nasproti si ležeča razdelišča! Kakšne like dobiš in koliko likov? 9. Kolika je vsota Kotov v kvadratu, kolika v pravokotnikuj? 10. Nariši kvadrat (a = 6 cm) ter spoji razpolovišča nasprotnih stranic! Kakšni liki nastanejo? 11. Nariši kvadrat (a = 6-5 cm) ter spoji zaporedna razpolo¬ višča stranic! Kakšen lik meje spojnice? 12. Nariši šahovnico (64 kvadratnih polj)! Stranica kvadrat¬ nega polja naj meri 2 cm. 13. Nariši kvadrat (a = 5 cm) ter mu očrtaj in včrtaj krog! 14. Koliko različnih pravokotnikov opaziš na škatlici za vži¬ galice? Izmeri jim stranice, nato jih nariši! 15. Nariši kockno mrežo (a — 1 dni, 1 cm) ter sestavi kocko'! 16. Nariši enakokraki pravokotni trikotnik, ako meri kateta 5-4 cm\ 17. Nariši pravokotni trikotnik, katerega kateti merita 3 cm in 4 cm (6 cm in 8 cm)\ — Izmeri hipotenuzo! 18 Nariši pravokotnik (osnovnica = 5 cm, višina = 4 cm), razdeli osnovnico na pet, višino na štiri enake dele ter spoji nasproti si ležeča razdelišča! Kakšni liki nastanejo in ifoliko jih je? 19. Nariši pravokotnik (a = 8 cm, b — 5 cm), določi njegov obseg in dolžino diagonale ter izmeri razdaljo oglišč od sečišča diagonal 20 Nariši v pravokotniku (a = 7-3 cm, b = 4-8 cm) diagonali ter zapiši vsak kot s tremi črkami in vsako daljico z dvema črkama! 21. Nariši pravokotniku (a = 7 cm, b = 5 cm) diagonali ter nariši krog, katerega središče je sečišče diagonal in ki gre skoz pravokotniška oglišča! 22. Koliko merijo vsi robi a) kocke s 7-4 cm dolgim robom, b) kvadra z dolžino 24 cm, širino 10 cm in višino 6-5 cm? Mazi: Geometrija za nižje razrede. 3 34 23. Nariši mrežo kvadra (a = 6 cm, b = 40 mm, c = 0-8 dm) ter sestavi telo! 24. Kako je pomikati kvadrat, da stvori kocko; kako pravo¬ kotnik, da stvori kvader? 25. * Zakoliči kvadrat s stranico a = 100 m! — Izmeri diagonali! 26. * Zakoliči pravokotnik s stranicama a = 16 m in b = 11 ml — Izmeri diagonali in kote, ki jih tvorita! ^ , 27.* Skoz gozdič naj V 7 > - drži ravna cesta. Na eni strani '* 4 ‘ • gozdiča (d4B) je že zakoli- 4_ cena. Ker je izgraditev ceste F nujna, je pričeti z delom ta¬ koj, in sicer na obeh straneh gozdiča. Kako določiš po¬ daljšek ceste na drugi strani gozdiča? [Skoz B (sl. 56.) do¬ loči pravokotnico na AB ter izberi na tej točko C tako, da skoz njo lahko zakoličiš ob gozdni meji vzporednico k premici ABl Skoz prikladno točko D zakoličene vzporednice postavi nanjo pravokot¬ nico DE, ki bo enaka CB, ter končno skoz E pravokotnico na EDI Pravokotnica E F je podaljšek daljice AB. — Kakšen lik je BODE ?] VI. Risanje enostavnih predmetov. 1. Po tem, kar smo se dozdaj naučili, moremo že risati nekatere predmete v enostavnih legah. Pri mizarju hočeš n. pr. naročiti zaboj za odpadke, ka¬ kršnega vidiš v kotu poleg mize. Kako narišeš zaboj, da bo mogel mizar po tvoji risbi naročilo izvršiti ? Postavi zaboj na mizo v vzporedno lego! Ako se ustopiš pred zaboj tako, da je od tebe precej od¬ daljen, vidiš le njegovo sprednjo ploskev, ki ima obliko pravo¬ kotnika. Stranici, ki pravokotnik določata, sta enaki dolžini, odnosno višini zaboja. Če gledaš na zaboj od zgoraj, vidiš pravo¬ kotnik s stranicami, enakimi dolžini, odnosno širini zaboja. Tudi, če gledaš zaboj od strani, se ti kaže pravokotnik, katerega stranici sta enaki njegovi širini, odnosno višini. Izmeri zaboj in ga nariši! Ker je 45 cm dolg, 28 cm širok in 35 cm visok, ga ne moreš v risalni zvezek narisati v tej velikosti; zato ga nariši zmanjšanega po zmanjšanem me- 35 rilu, n. pr. po merilu 1 : 10 (beri: ena proti desetim), to se pravi: daljica, ki meri na risbi 1 cm, je v resnici dolga 10 cm ali 1 dm. — Kako dolga je v resnici daljica, ki meri na risbi 1 mm? Na sliki 57. je narisan po zmanjšanem merilu zaboj, kakor ga vidiš od zgoraj (tloris), od spredaj (naris) in od strani (p rek ris). Slika ni nazorna, vendar pa razvidi mizar iz nje vse, kar mora vedeti, da bo mogel naročilo izvršiti. Risbi prideni zmanjšano merilo 1 : 10 i x 10 5 0 10 20 30 40 cm HH-f-f-{-1 M=M0 Slika 57. 2. Na sliki 58. vidimo po merilu l : 20 narisano mizo od zgoraj, od spredaj in od strani. Daljica, ki meri na risbi l cm, je v resnici dolga 20 cm ali 2 dm. Kolika je v resnici debelina mizne plošče in noge ter širina in globina miznice? 3. Slika 59. kaže podobo risalnice, kakor jo vidi oko, ki je v navpični smeri visoko nad njo. — Taki risbi pravimo črtež. Preden narišemo črtež, izmerimo dolžino in širino risal¬ nice, dolžino in širino predmetov, ki so v njej, ter razdaljo 3* t3 - 45 36 od enega predmeta do drugega, odnosno do sten. Nato določimo po najdaljši stranici pravokotnika, ki ga tvorijo tla risalnice, prikladno zmanjšano merilo. Risalnica je dolga 12 m in široka 8 m, list pa, na katerem hočem črtež narisati (sl. 59.), je dolg 22 cm in širok 14'5 cm. Merilo 1 : 10 ( T V od 12 m je 12 dm ) M-1=20 Slika 58. bi bilo nerabno, istotako merilo 1 : 50 (5V od 12 m je 24 cm), prikladno pa je merilo 1 : 100 (t^- od 12 m je 12 cm). Črtež risalnice je risan po merilu 1 : 100. 1 cm na risbi pomeni 100 cm ali 1 m v resnici. Na črtežu je označen spredaj podij, na katerega stopiš po nizki stopnici. Na podiju so miza, stol, stopnica pred desko in poleg te stolček za kredo in gobo. Na desno od podija stoji umivalnik. V risalnici sta dve vrsti po sedem risalnih miz. 37 Risalnica ima dvoja vrata in štiri okna. Zadaj poleg vrat stoji na levi strani peč, na desni pa omara za modele. M=l ; 100 Slika 59. Določi po zmanjšanem merilu dolžino in širino risalnih miz, širino vrat itd. 38 Vaje. 1. Nariši zmanjšana merila 1:4, 1:5, 1:6, 1 : 50! 2. Nariši kvadrat s stranico a = 6-5 dm po merilu 1:10! 3. Nariši pravokotnik (a — 24 cm, b — 16 cm) po merilu 1:5! 4. Nariši atlant po merilu 1:4! 5. Nariši črtež svoje spalnice po merilu 1 : 50! 6. Zrcalo, ki je 1-5 m široko in 2-5 m visoko, ima 2 dm širok okvir; nariši zrcalo po merilu 1:20! 7. Vrt pravokotne oblike (a = 140 m, b = 110 m) sekata po sredi vzporedno dolžini, odnosno širini po 3 m široki poti; nariši črtež vrta po merilu 1 : 1000! 8. Nariši škatlico za vžigalice od zgoraj, od spredaj in od strani! 9. Nariši skrinjo za obleko po prikladnem merilu! 10.* Nariši črtež šolskega dvorišča po prikladnem merilu! VIL Piramida. Trikotnik. Prisekana piramida. Trapez. 1. Telo, ki ga vidiš na mizi (sl. 60.), imenujemo pira¬ mido. Obliko piramide imajo navadno strešni del stolpov, spomeniki, šatori, konice žrebljev itd. To piramido (sl. 60.) meji kot osnovna ploskev kvadrat ABCD , zato ji pravimo kvadratna p fr amid a. — Koliko ima stranskih ploskev? Kakšno lego imajo? Stikajo se v piramidnem vrhu V. — Koliko robov našteješ na telesu? Robe osnovne ploskve imenu- V jemo osnovne robe, robe, v katerih se stikata po dve stranski ploskvi, pa stranske robe. — Izmeri robe! Osnovni robi so enaki, enaki so pa tudi stranski robi. Piramida z enakimi osnov¬ nimi in enakimi stranskimi robi je pokončna piramida. — Vsoto stranskih ploskev imenu¬ jemo piramidni plašč. B Pravokotnica z vrha na osnovno ploskev je višina pi¬ ramide (V V'). Koliko ploskovnih kotov vidiš na kvadratni piramidi ? Ali so pravi? Če so manjši, jih imenujemo ostre ploskovne kote, 39 če so večji, pa jih zovemo tope ploskovne kote. — Ogel ob vrhu meje štiri stranske ploskve; imenujemo ga četvero- stranični ogel ali četverorobnik. — Kolikostranični so ogli na osnovni ploskvi? 2. Kakšni liki so stranske ploskve? — Imenuj in opiši trikotnike, ki smo jih že opazovali! Izmeri stranice katere¬ koli stranske ploskve! Sestavi tak trikotnik iz treh svinčnikov, katerih dva sta enako dolga! Sestavi trikotnik tudi iz treh enako dolgih svinčnikov! — Trikotnik z dvema enakima stra¬ nicama smo imenovali enakokraki trikotnik, trikotnik, ki ima vse tri stranice enake, pa zovemo enakostranični trikotnik. — Načrtajmo ju! Nariši daljico AB (sl. 61.) ter začrtaj iz njenih krajišč s polmerom, enakim AB, loka, ki se sekata v točki C! Nastali trikotnik ABC je enakostraničen, ker ima vse tri stranice enake. — Izmeri kote! Nariši iz vsakega oglišča pravokotnico na nasprotno stranico! Trikotnik izreži ter pregani po pravo- kotniei CD\ Kota A in B se krijeta. Pregani trikotnik tudi po pravokotnicah AE in BF. Krijeta se tudi kota B in C, ozi¬ roma A in C. Koti enakostraničnega trikotnika so enaki. — Kolika je njih vsota? Nariši zopet daljico AB (sl. 62.) in začrtaj iz njenih kra¬ jišč s polmerom, različnim od AB, loka, ki se sekata v točki C. Trikotnik ABC je enakokrak trikotnik. Enaki stranici AC in PC imenujemo kraka, stranico AB pa osnovnico. Osnov¬ nici nasprotno oglišče C zovemo vrh trikotnika. 40 Nariši z vrha pravokotnico CD na osnovnico! Taki pravo- kotnici pravimo višina. — Trikotnik izreži ter pregani ob višini! Kaj opaziš ? Višina razpolavlja osnovnico in kot ob vrhu, kota A in B ob osnovnici pa se krijeta. V enakokrakem trikotniku sta kota ob osnov¬ nici enaka. Izmeri vse tri kote! Kolika je njih vsota? 8. Trikotnik je raven lik, ki ga mejijo tri stranice, ka¬ tere se stikajo v treh ogliščih ter oklepajo tri kote. — Imenuj sprotno oglišče C pa vrh. Osnovnica je lahko vsaka stranica. Pravokotnica GG' z vrha na osnovnico je višina. — Koliko višin ima trikotnik ? Izmeri stranice trikotnika ABC (sl. 63.)! Trikotnikom, katerih stranice so različne, pravimo raznostranični tri¬ kotniki. Glede na stranice razločujemo torej enakostranične, enakokrake in raznostranične trikotnike. Izmeri s kotomerom kote trikotnika ABC (sl. 63.) in do¬ loči njih vsoto! Nariši trikotnik, izreži ga, odtrgaj mu kote ter jih položi drugega ob drugem okoli istega vrha! Vsota trikotniških kotov -je enaka iztegnje¬ nemu kotu ali dvema pravima kotoma, (a -j-/?-j- y = = 180° = 2 R.) Iz dveh znanih trikotniških kotov lahko določiš tretjega. Ako je n. pr. kot a = 45° in kot /? = 80°, je kot y — 180° — — 125° = 55°. Ali je mogoč trikotnik, ki bi imel dva topa kota ali dva prava kota ali en topi in en pravi kot? stranice, oglišča in kote trikotnika na sliki 63.! — Vsota vseh stranic določa obseg trikotnika. Vsaki stranici sta dva kota priležna (n. pr. stranici Al? kota a in /?), tretji kot pa leži stranici nasproti. A Slika 63. c C' B Stranico AB, na katero si mislimo trikotnik postavljen, ime¬ nujemo osnovnico, osnovnici na- 41 Glede na kote razločujemo ostrokotne (sl. 63.), pra¬ vokotne (sl. 64.) in topokotne (sl. 65.) trikotnike. Koliko ostrih kotov ima ostrokotni, koliko pravokotni in koliko topokotni trikotnik? Kako imenujemo stranice pravo¬ kotnega trikotnika ? p Kateri stranici sta ka- teti in katera je hi- potenuza ? Kotom a, /? in y pravimo notranji koti. Ako podaljšaš v trikotniku katerokoli stranico preko oglišča, dobiš kot (n. pr. kot <5 na sl. 63.), ki mu pravimo zunanji trikotniški kot. Primerjaj kot <5 s kotoma a in y! Kaj opaziš? v 4. Stranske ploskve kvadratne, pokončne piramide so enako¬ kraki trikotniki. Ali so skladni? Kako se o tem prepričaš? To piramido meje torej kvadrat in štirje skladni, enako¬ kraki trikotniki. Vse te mejne ploskve vkup so površina piramide. 42 V Ako narišemo stranske trikotnike ob skupnem vrhu dru¬ gega poleg drugega ter pritaknemo enemu teh trikotnikov osnovno ploskev, dobimo mrežo piramide (sl. 66.). 5. Ako presekamo pokončno, kvadratno piramido (sl. 67.) z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi, razdelimo piramido na dva dela. Eden teh delov je manjša kva¬ dratna piramida (dopolnilna), drugi del pa se imenuje prisekana pira¬ mida. Prisekana piramida ima dve vzpo¬ redni osnovni ploskvi, ki sta neenaka kvadrata. Osnovni ploskvi sta iste oblike, toda različne velikosti. 6. Vsaka stranska ploskev prisekane piramide ima po štiri kote, je torej če¬ tverokotnik. Dve nasprotni stranici vsakega teh četverokot¬ nikov sta vzporedni, drugi dve pa nista. Četverokotnik, v katerem sta dve nasprotni stranici vzporedni, drugi dve pa nista, imenujemo trapez. Ako sta nevzporedni stra¬ nici (kraka) enaki, tedaj je tra¬ pez enakokrak (sl. 68.). Eno izmed vzporednih stranic ime¬ nujemo osnovnico, pravokot- nico med njima pa višino. Slika 67. \0 . B Slika 68. Slika 69. Daljica, ki spaja razpolovišči nevzporednih stranic, se imenuje srednjica (PO). Slika 69. kaže mrežo prisekane piramide. 43 Vaje. 1. Nariši mrežo pokončne, kvadratne piramide, ako meri osnovni rob 6 cm, stranski rob 8 cm (5 cm, 6 cm), ter sestavi telo! 2. Nariši skoz vsako oglišče enakostraničnega trikotnika (a — = 4-5 cm) vzporednico nasprotni stranici! Nastali lik izreži ter naredi iz njega piramido! Meje jo štirje skladni, enakostranični trikotniki! Taki piramidi pravimo pravilni tetraeder (sl. 70.). 3. Nariši enakostranični trikotnik s stranico a = 12 cm, razpolovi stra¬ nice ter spoji razpolovišča! Kakšne tri¬ kotnike dobiš in koliko jih je? Izmeri njih stranice in kote! (Mreža pra¬ vilnega tetraedra.) 4. Nariši enakostranični trikotnik s stranico a = 9 cm ter ga izreži! Raz¬ deli vsako stranico na tri enake dele ter spoji' po dve razdelišči, ki sta od istega oglišča enako oddaljeni! Koliko trikotnikov dobiš, kakšni so? Odreži tri¬ kotnike ob ogliščih izrezanega trikotnika! Preostali lik, ki ima enake stranice in enake kote, imenujemo pravilni šesterokotnik. — Kako mu očrtaš krog? Kje ima krog središče, kolik je polmer kroga? o. Koliko merijo koti na vseh mejnih ploskvah pravilnega tetraedra vkup? 6. Nariši več trikotnikov ter izmeri njih stranice in kote! 7. Nariši trikotnik s stranicami a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm in izmeri kote! 8. Koliko meri vsak zunanji kot enakostraničnega trikotnika? 9. Nariši kot, ki meri 60° (120°)! (Poglej sl. 61.!) 10. Nariši enakostranični trikotnik, katerega obseg meri 18 cm ! 11. Nariši enakokraki trikotnik, ako meri osnovnica 4-5 cm, krak pa 7-8 cm ! 12. Nariši pravokotni trikotnik, katerega kateti merita 5 cm in 6 cm\ Kolik je obseg? 13. Osnovnica enakokrakega trikotnika meri 5 cm; nariši nad njo trikotnik s krakom 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7-5 cm ! Kaj si opazil? 14. V trikotniku je kot a —35°, kot (3 = 108°; kolik je so- kot kota v? lo. Kot ob osnovnici enakokrakega trikotnika meri 36°; kolik je kot ob vrhu? 16. Kolik je vsak kot ob osnovnici enakokrakega trikotnika, ako meri kot ob vrhu 50°? 17. V pravokotnem trikotniku meri en kot 30°; kolik je drugi kot? D 44 18. Nariši enakokraka trikotnika tako, da meri osnovnica prvega trikotnika 4 cm, krak pa 6 cm, a osnovnica drugega tri¬ kotnika 6 cm, krak pa 4 cm! Izmeri in primerjaj kote obeh trikotnikov! 19. Nariši v enakokrakem trikotniku (osnovnica = 5 cm, višina = 7 cm) skoz razpolovišče višine vzporednico osnov¬ nici! Izmeri stranice, diagonali, srednjico in kote nastalega trapeza! 20. S koliko robi kvadratne, prise¬ kane piramide je vsak njen rob mimo¬ bežen? 21. * Zakoliči trikotnik ter izmeri njegove stranice, višine in kote! 22.* Zakoliči enakostraničen trikotnik, potem enakokrak tri¬ kotnik ! 28.* Izmeri višino drevesa! [Naravnaj kazalec vertikalno sto¬ ječega kotomera na črtico pri 45° (ziralo skoz 0° in 180° hori¬ zontalno)! Nato premikaj kotomer toliko časa, da preko kazalca lahko viziraš vrh drevesa (sl. 71.)! Višina drevesa je A'B' AA'. Zakaj? Kakšen trikotnik je ABV ? — Kot A imenujemo višinski kot. — Višino drevesa je seveda presoditi po vidu, potem šele izmeriti!] 24.* Določi višino telegrafskega droga, šolskega poslopja, stolpa pri cerkvi! Slika 71. VIII. Merjenje ploščine in prostornine. 1. Nariši kvadrat ABCD (sl. 72. zmanjšana), katerega stra¬ nica meri 1 dm\ Imenujemo ga kvadratni decimeter (1 dm 2 ). — Izreži ga ter ga polagaj na klop! Kolikrat pri¬ bližno ga moreš položiti, da bo klop ž njim pokrita? Izmeri tablo! Kolikrat moreš kvadratni decimeter vštric položiti ob spodnjem robu, če je tabla široka 15 dm? — Po¬ lagaj ga! Nastali horizontalni pas očrtaj s kredo! Kolikrat moreš kvadratni decimeter vštric [položiti nad tem pasom? Očrtaj tudi novi pas! — Koliko takih pasov dobiš, če je tabla visoka 12 dm? Koliko dm 2 obsega tabla? — Kakor je 1 dm enota dolžinske mere, je 1 dm 2 enota ploskovne mere. Razdeli stranico AD izrezanega kvadrata na deset enakih delov in nariši skoz razdelišča vzporednice osnovnici AB (sl. 72.)! Koliko pasov dobiš? — Razdeli tudi osnovnico AB na deset 45 A B enakih delov ter potegni skoz razdelišča vzporednice stranici AD samo čez prvi spodnji pas! Na kaj si pas razdelil? Nariši tak mali kvadrat s stranico 1 cm ter ga izreži! Imenujemo ga kvadratni centimeter (1 cm 2 ). — Koliko jih je na pasu? Polagaj ga! — Koliko jih je v kvadratnem decimetru, če po- P C daljšaš vzporednice do zgornje stranice CD ? — Na vsakem pasu našteješ deset kvadratnih centimetrov; ker je takih pasov deset, je v kvadratnem decimetru 10 cm 2 X 10 = 100 cm 2 . Kvadratni decimeter ima 100 kvadratnih centimetrov. Razdeli kvadratni centimeter na Slika 72. isti način, kakor si razdelil kvadratni decimeter! Koliko pasov dobiš? Koliko malih kvadratov na vsakem pasu? — Kvadrat s stranico 1 mm imenujemo kva¬ dratni milimeter (1 mm 2 ). Kvadratni centimeter vsebuje 100 kvadratnih milimetrov. Nariši na tablo kvadrat, katerega stranica meri 1 m! Ime¬ nujemo ga kvadratni meter (1 m 2 ). — Koliko dm 2 dobiš, ako ga razdeliš, kakor si razdelil dm 2 in cm 2 ? Kvadratni meter vsebuje 100 kvadratnih deci¬ metrov. Zakoliči na šolskem dvorišču kvadrat, katerega stranica meri 10vm! Imenujemo ga a'r (a). — Koliko m 2 obsega? — 1 a = 100 m 2 . Z arom merimo obširne ploskve, n. pr. polja, travnike i. t. d. 100 a imenujemo hektar (ha). — Hektar je kvadrat s stranico 100 metrov. Zemljepisec meri ploščino dežel s kvadratnimi kilo¬ metri (km 2 ) in kvadratnimi imiriametri (^m 2 ). 2. Nariši pravokotnik, ki je dolg 5 cm, visok pa 1 cm'}. Koliko cm 2 meri njegova ploščina? Nariši pas kvadratnih centi¬ metrov ! Zvišaj pravokotnik za 1 cm! Koliko cm 2 meri zdaj ? Nariši nov pas! — Zvišaj pravokotnik še za 2 cm ter na¬ riši pasa! 46 Nastali pravokotnik s stranicama 5 cm in 4 cm (sl. 73.) je sestavljen iz štirih pasov po pet kvadratnih centimetrov, torej iz 5 cm 2 X 4 = 20 cm 2 . Ploščina tega pravokotnika meri 20 cm 2 . Število 20 imenujemo mersko šte¬ vilo ploščine. Napiši pravokotnik, ki je dolg 46 mm, visok pa 4 mm; razdeli ga na pase, te pa razdeli na kvadratne milimetre! Kolika je plo¬ ščina ? Nariši pravokotnik z dolžino 5 cm in višino 7 mm! Koliko meri nje¬ gova ploščina? Koliko merijo tla naše učilnice? Da določim ploščino pravokotnika, določim najprej plo¬ ščino enega pasu, potem število pasov in končno njih ploščino. Ali na kratko: Ploščino pravokotnika določimo, ako pomno¬ žimo mersko število njegove dolžine z merskim številom njegove višine. Ako je pravokotnik dolg 5 cm = 50 mm, visok pa 7 mm = = 0'7 cm, je ploščina 50 mm 2 X 7 = 350 mm 2 ali 5 cm 2 X 0'7 = = 3-5 cm 2 . 3. Ako izmerimo prostor, ki ga obdajajo mejne ploskve, dobimo prostornino ali volumen telesa. Daljice smo merili z daljicami, kote s koti, ploskve s ploskvami; telesa merimo s telesi (prostor s prostorom). Enota telesne mere je kocka, katere rob je enak enoti dolžinske mere. Kakor je enota dolžinske mere 1 cm, tako je kocka z 1 cm dolgim robom enota telesne mere. Ime¬ nujemo jo kubični centimeter (1 cm 3 ). Določimo prostornino kocke, ki smo jo izoblikovali! — Rob meri 1 dm. Kolika je ploščina osnovne ploskve? 100 cm 2 . Koliko kubičnih centimetrov moreš položiti na njo ? Dobiš plast, ki vsebuje 100 cm 8 . Koliko takih plasti moraš položiti drugo A Slika 73. 47 na drugo, da kocko izpolniš? Ker meri višina 10 cm, je v kocki 10 plasti po 100 cm 3 , to je 100 cm 3 X 10= 1000 cm 3 . Prostornina te kocke meri torej 1000 cm 3 . Število 1000 je mersko število prostornine. — Kocko, ki ji meri rob 1 dm, zovemo kubični decimeter (1 dm a ). Izoblikuj kubični centimeter! Pokaži, da moreš na osnovno ploskev položiti 100 malih kock z robom 1 mm in da 10 takih plasti kubični centimeter izpolni! — Kocko, katere rob meri 1 mm, imenujemo kubični milimeter (1 mm 3 ). — 1 cm 3 — — 100 mm 3 X 10 = 1 000 mm 3 . Nariši kvadratni meter! Koliko kubičnih decimetrov ga pokrije? Koliko takih plasti po 100 dm 3 moraš položiti drugo na drugo, da bo skladanica visoka 1 m? Kakšno telo na¬ stane? — Kocko, katere rob je enak 1 m, imenujemo kubični meter (m 3 ). 1 m 3 = 1000 dm 3 , 1 dm 8 = 1000 cm 3 , 1 cm 8 = 1000 mm 3 . Ako merimo tekočine, pravimo kubičnemu decimetru liter (1 0 - — Namesto 100 litrov pravimo hektoliter (1 hi). 1 dm 3 = 1 l, 100 l = 1 hi = 100 dm 3 = & m 3 . 4. Prostornino kvadra določimo na isti način, kakor prostornino kocke. Dolžina kvadra (sl. 74. a) meri 5 cm, širina 4 cm, višina 3 cm. Telesna enota je kubični centimeter (sl. 74. b). Ob robu AB položimo pet takih kock vštric; nastala vrsta ima 5 cm 3 . 48 Ako združimo ob robu BC štiri take vrste po 5 cm 3 , tedaj je osnovna ploskev popolnoma pokrita s 5 cm 3 X 4 = 20 cm 3 . Ker je kvader visok 3 cm, moremo drugo vrh druge položiti tri plasti po 20 cm s . Prostornina kvadra meri torej 20 cm 3 X 3 = == 60 cm 3 (5 X 4 X 3 = 60). Število 60 imenujemo mersko število. Učilnica ima obliko kvadra. Določi njeno prostornino! Prostornino kvadra dobimo, ako zmnožimo merska števila dolžine, širine in višine. Vaje. 1. Presodi po vidu, izmeri in’ izračunaj ploščino a) znamke, b) razglednice, c) slike na steni! 2. Koliko meri stranica, ako [je ploščina kvadrata 9 cm 2 (25 *cm 2 , 64 cm 2 )? 3. Nariši kvadrat s ploščino a) 16 cm 2 , b) 25 cm 2 , c) 36 cm 2 ! 4. Obseg kvadrata meri 12 dm (65-2 cm); kolika je stranica, kolika je ploščina? 5. Nariši tri različne pravokotnike s ploščino po 24 cm 2 ! Kolik je obseg vsakega teh pravokotnikov? 6. Nariši pravokotnik s stranicama 4-5 cm in 6-3 cm ter mu določi obseg in ploščino! 7. Kolik je obseg, kolika je ploščina lista učne knjige? Pre¬ sodi po vidu, potem izmeri! 8. Izmeri tla učilnice! Za koliko učencev je prostora, če od- kažeš vsakemu po 1-25 m 2 ? 9. Ploščina pravokotnika, katerega ena stranica meri 8 cm (12 i cm, 25 cm), je 100 cm 2 ; kolika je druga stranica? 10. Obseg pravokotnika meri 72 cm, ena stranica 24 cm; kolika je njegova ploščina? 11. Ploščina pravokotnika, katerega ena stranica meri 111 m, je 4218 m2; kolik je obseg? 12. Izračunaj površino in prostornino votle kocke, katere rob meri 4 dm (7 dm, 11 dm, 15-5 cm) ! Koliko litrov vode drži ta kocka? 13. Kolika je površina in kolika prostornina opeke, ki je dolga 29 cm, široka 13 cm, debela 6-5 cm? 14. Kolika je površina kvadra z robi a = 10 cm, b == 4 cm, c = 1 cm (15, 36, 48 cm; 3-6, 4-4, 2-7 dm-, 5-2, 8-76, 1-95 m)? Izračunaj prostornino! 15. Z žitom napolnjen zaboj je dolg 50 cm, širok 75 cm, vi¬ sok 80 cm; koliko litrov žita je v njem? 49 IX. Vaje za ponavljanje. -1. Nariši krogu s polmerom r = 3-5 cm katerokoli sekanto in tangento ter premico, katera kroga ne seka in se ga ne dotika! Nato določi razdaljo od središča do teh premic! Primerjaj te raz¬ dalje! Kolika je razdalja od tangente do središča? 2. Koliko krogov s polmerom r = 3 cm lahko narišeš skoz določeno točko? Kje leže središča teh krogov? 3. Nariši v krogu s polmerom r = 2-5 cm dva pravokotna premera in začrtaj iz njiju krajišč kroge skoz središče danega kroga! 4. Nariši v krogu s polmerom r = 3 cm deset po 5 cm dol¬ gih tetiv in iz središča na vsako tetivo pravokotnico! Primerjaj dolžino teh pravokotnic! 5. Nariši daljico AB = 7 cm in določi točko z razdaljo 5 cm od krajišča A in 6 cm, od krajišča B ! Koliko točk dobiš ? 6. Koliko stopinj meri polovica, četrtina (kvadrant), šestina (sekstant), osmina (oktant) kroga? 7. Koliko minut in koliko sekund meri kvadrant, koliko seks¬ tant in koliko oktant? 8. Koliko časa potrebuje konica kazalca, ki kaže ure, da na¬ riše lok 15°, 30°, 75°, 210«? 9. Izpremeni 30-545° v stopinje, minute in sekunde! 10. Izpremeni 18' 45" v stopinje! 11. Izpremeni 72° 15' 17" v sekunde! 12. Povej razloček med sokoti in suplementarnimi koti! 13. Nariši horizontalno premico in izberi točko zunaj nje! Koliko daljic lahko narišeš med točko in premico? Katera daljica je najkrajša in katera najdaljša? 14. Nariši pravokotni premici a in b ter načrtaj več krogov s središči na premici b in s polmeri, enakimi razdalji od vsako¬ kratnega središča do premice a ! Kaj je premica a vsem tem krogom? 15. Koliko višin ima vsak trikotnik? — Nariši višine v ostro- kotnem, v pravokotnem, v topokotnem trikotniku! Kaj si opazil? 16. Katere enake lastnosti imata kvadrat in pravokotnik? V čem se razlikujeta? (Opazuj in primerjaj stranice, kote, diagonale in srednjice!) 17. Dolžina vseh kocknih robov meri 44-4 cm; koliko meri en kockni rob? 18. Kolika je površina kocke, ako meri rob a) 6 cm, b) 14 cm, c) 1-7 dm, d) £ m, e) 0-15 m, f) 3-6 cm? 19. Nariši enakokraki, pravokotni trikotnik a)s kateto =5-8 cm, b) s hipotenuzo = 8 cm, c) z višino (na hipotenuzo) = 4-5 cml 20. Nariši več pravokotnih trikotnikov ob isti, 8 cm dolgi hipotenuzi in načrtaj krog, katerega premer je ta hipotenuza! Kaj si opazil? Mazi: Geometrija za nižje razrede, 4 50 21. Nariši več enakokrakih trikotnikov ob isti, 6-5 cm dolgi . osnovnici! Kje leže vrhi vseh teh trikotnikov? 22. Kolika je vsota vseh kotov na mejnih ploskvah kvadratne piramide ? 23. Javni vrt nekega trga ima obliko enakokrakega trapeza, katerega vzporedni stranici merita 80 m in 100 m, višina pa 80 m. Nariši črtež tega vrta po merilu 1 : 1000! 24. Koliko m žice porabi klepar za žični model kvadra, ki je dolg 17 cm, širok 8 cm, visok 22 cm? 25. Obseg pravokotnika, katerega ena stranica meri 9-2 cm, je 50 cm; kolika je ploščina? 26. Nariši kvadrat, katerega ploščina je enaka ploščini pravo¬ kotnika s stranicama 2 cm in 8 m! 27. Koliko kvadratnih deščic (a = 2 dm) porabi mizar za parketna tla v sobi, ki je dolga 5 m, široka pa 4 m? 28. Stavbišče, dolgo 36-5 m, široko 25 m, velja 16.425 Din. Koliko velja 1 m 2 prostora? 29. Njivo, ki je dolga 97 m, široka pa 35 m, razdeli posestnik na dva dela tako, da ima en del obliko kvadrata, katerega stra¬ nica je enaka širini njive. Koliko dobi za vsak del te njive, ako zahteva za kvadratni meter 6 Din? — Nariši črtež te njive po merilu 1 : 500! Drugi del. X. Simetrija ali somernost (zrcaljenje). 1. Na večini predmetov naše okolice opazimo kljub razno¬ ličnosti oblik neko pravilnost, ki učinkuje na nas blagodejno. Da zasledimo bistvo te pravilnosti, ki jo vsakdo občuti skoro nezavestno, si oglejmo nekatere oblike teles! Primerjaj n. pr. obliko gobe za čiščenje table z obliko jabolka in z obliko človeškega telesa! Na prvem predmetu ni zapaziti nobene pravilnosti, med¬ tem ko ti nemalo ugaja na jabolku prikupna okrogla oblika, na človeški postavi pa lepo enakomerje udov. Na človeški postavi vidiš, da se popolnoma ujemata leva in desna stran: levi roki ustreza roka na desni strani, levi nogi desna noga, levemu očesu desno oko itd. Nos je samo eden, pa je zato v sredi obraza, prav tako je glede ust. Pravimo: človeško telo je simetričn’o ali so|merno. Ali so udje človeškega telesa še v simetrični legi, ako eno roko ali eno nogo dvignemo? Med večjim številom ljudi nas zbode pohabljenec brez roke ali noge takoj v oči. Zakaj? Prereži jabolko preko muhe in reclja čez pol (sl. 75. in 76.)! Oblike, ki jih najdeš na eni polovici, najdeš prav take tudi na drugi polovici. Kaj je obema polovicama skupno? (Prerezna ravnina). — Ali imamo pri človeškem telesu tudi takšno rav¬ nino? Pokaži jo z zamahljajem z roko 'na sošolcu Kakšno lego ima ta ravnina? — To ravnino imenujemo simetri j sk'o ravnino ali ravnino somernosti. Ako polovico jabolka položiš s prerezno ploskvijo na ravno zrcalo, zagledaš celo jabolko. Polovica jabolka tvori s svojo zrcalno sliko simetrično celoto. Kaj je v tem primeru 'sirne- trijska ravnina? — Simetrija ostane, četudi jabolko od zrcala odmaknemo! — Položi desno roko na zrcalo, nato pa jo odmikaj! 4* 52 Kaj vidiš v zrcalu? — Zato tudi pravimo, daje levica zrcalna slika desnice, jlstotako je ena polovica jabolka zrcalna slika druge polovice. — Polovici jabolka moremo zamenjati, ne da bi opazili zamenjavo. Ali moremo tako zamenjati tudi polovici človeškega telesa? Primerjaj n. pr. desno roko in levo rokavico! Večina izdelkov človeških rok je simetričnih. — Imenuj nekatere take predmete, ki jih vidiš v učilnici! Pokaži vselej lego simetrijske ravnine! Kam se moraš ustopiti pred šolskim poslopjem, da se simetrijska ravnina stavbe krije s simetrijsko ravnino tvojega telesa? Pa tudi brez števila živali in rastlin ima simetrično obliko, da celo med mrtvimi rudninami je simetrija mnogokrat v zelo popolni meri izražena pri kristalih. Slika 77. kaže podobo 53 rogača, slika 78. pa podobo kostanjevega lista. Položi kos kartona z enim robom na sliko 77., oziroma na sliko 78. tako, da se bosta karton in simetrijska ravnina predmeta krila! 2. Kakor prirodna telesa, tako morejo tudi liki v ravnini biti simetrični. — Oglejmo si n. pr. obrisa na sliki 77. in sliki 78.! Tudi ta lika sta simetrična. Opazujmo simetrijo ravnih likov natančneje! Vzemi kos kartona ter ga pregani po sredi! Nastali rob deli karton na dva dela. Ako si mislimo ravnino kartona raz¬ širjeno na vse strani, deli rob ravnino na dva polomejena dela, ki jima pravimo polravnini. — Pri zgibavanju kartona za¬ vrtiš eno polravnino okoli roba za toliko, da pokrije drugo polravnino. Tako vrtenje v prostoru bomo imenovali obrat. Oglej si obrat lista učne knjige! Vsaka točka vrteče se polravnine nariše krožni lok. Kolik je ta lok? Kakšno lego ima ravnina loka glede na rob, okoli katerega vrtimo polravnino? Kje leži središče loka? Ka¬ tere točke vrteče se polrav¬ nine pri obratu ne izpremene svoje lege? Prebodi krijoči se pol¬ ravnini s konico šestilnega kraka n. pr. na treh različnih mestih, nato pa karton raz¬ grni (sl. 79.)! Ker je povzročil vsak vbod dve luknjici, vidiš na vsaki polravnini po tri točke, in sicer A, B, C in A u B u G^. Ako spojiš točke vsake pol¬ ravnine, dobiš dva trikotnika. Z vsako točko na levi strani roba (sl. 79.) se ujema le ena točka na nasprotni strani roba. Tako se ujemata n. pr. točki A in točka A^. — Pravimo: točki A in A t ležita sime¬ trično glede na premico (rob) s, okoli katere lahko pre¬ vrnemo eno polravnino na drugo. Premico s imenujemo si- metralo, somernico ali os simetrije. — Imenuj ostale simetrično ležeče točke! 54 Vidimo pa tudi, da ne ležita le po dve točki, ampak tudi po dve daljici in po dva kota glede na premico s simetrično. — Imenuj simetrično ležeče daljice in kote! Po obratu se krijeta po dve simetrično jležeči daljici in po dva simetrično ležeča kota. Simetrično ležeči daljici sta torej enaki (n. pr. AB = A t Bi), enaka sta tudi simetrično ležeča kota (n. pr. <£ A = «$; A t ). — Ali sta enaka tudi simetrično ležeča trikotnika ABC in Kako to izrazimo? Prej smo opazili, da sta vsak predmet in njegova zrcalna slika simetrična. Kje bi morala zrcalna ravnina biti in kakšno lego bi morala imeti, da bi bil trikotnik A^^i zrcalna slika trikotnika ABC ? — Prereži karton po robu s in postavi eno po¬ lovico na zrcalo tako, da nastane z zrcalno sliko prejšnja celota! 3. Daljica, ki spaja n. pr. simetrično ležeči točki A in A lt seka simetralo v točki S (sl. 79.). Po obratu polravnine se da¬ ljici AS in 8A t krijeta, torej sta enaki; krijeta se tudi kota a in a l5 potemtakem sta tudi enaka. — Kota a in a t sta sokota; kolik je vsak? Simetr^ la raznolavlia daljico, ki spaja si¬ metrično ležeči točki, in stoji na njej pravokotno. Vsaka daljica je simetričen tvor; pravokotnica, ki jo razpolavlja, je njena simetrala. — Ali je tudi premica si¬ metričen tvor? Pregani kos kartona po sredi, pre¬ bodi ga kjerkoli, potem ga zopet razgrni (sl. 80.)! Ako spojiš nastali luknjici, dobiš daljico AA U ki ji je rob s simetrala. Iz¬ beri na simetrali več točk, n. pr. B, C, D, ter jih spoji z A in A t ! Če prevrneš katero¬ koli polravnino na drugo, se bosta daljici AB in BA U AC in CA U AD in DA t krili. Vsaka točka daljične sime- trale je od daljičnih krajišč enako oddaljena. Podaljšaj na sliki 79. katerikoli simetrično ležeči daljici, n. pr. BA in B^l Kje leži njuno sečišče? Kakšno lego glede na simetralo imata simetrično ležeči daljici, ki sta vzporedni? is > B \\ Ht/ IS Slika 80. 55 Slika 81. Primerjaj tudi kota, ki ju oklepata simetrično ležeči pre¬ mici BA in B t Ai s simetralo (sl. 79.)! Kota tvorita skupaj kot A Vi Ai; ako prevrnemo eno pol- ravnino na drugo, se pokrijeta. Kot AViAi je simetričen tvor, simetrala ga razpo¬ lavlja. Ali je vsak kot simetričen tvor? Kaj je simetrala iztegnje¬ nega kota? Nariši kot AVA t (sl. 81.) ter ga izreži! Če kot po sredi pre¬ ganeš, skoz nekatere točke kotne simetrale s narišeš pravokotni ce na en krak, n. pr. P^A, P 2 B, P 3 C, ter končno polravnini v točkah A, B in C prebodeš, dobiš pravo- kotnice PiA u P 2 B U P 3 C X na drugi krak. Kolika je torej raz¬ dalja od katerekoli točke kotne simetrale do obeh krakov? Vsaka točka kotne simetrale je od obeh krakov enako odda¬ ljena. 4. Ako je simetrala s znana, do¬ ločimo točki A (sl. 82.) simetrično le¬ žečo točko B s tem, da narišemo skoz A pravokotnico na simetralo in pravokot- nico za prav toliko podaljšamo (AS = SB). Spoji katerokoli točko C simetrale s z A in B (sl. 82.)! Trikotnik ABC je enakokrak. Zakaj ? Opazuj trikotniško osnovnico, osnovnici pripadajočo višino in kot ob vrhu! Enakokraki trikotnik je simetričen lik; sime¬ trala je višina, ki razpolavlja 1. trikotnik, 2. osnov¬ nico, 3. kot ob vrhu. Primerjaj tudi osnovnici priležna kota in stranici, ki le¬ žita kotoma nasproti! Koliko enakokrakih trikotnikov vidiš na sliki 80.? Imenuj njih osnovnico in povej, kje leže vrhi! Slika 82. 56 D Slika 83. Enakokraki trikotniki ob isti osnovnici so simetrični liki glede na premico, ki spaja vrhe. Imenuj like, ki jih že poznaš in ki se ti zde simetrični! Nariši enakostraničen tri¬ kotnik, kvadrat, pravokotnik, enakokrak tra¬ pez, krog in elipso, nato like izreži ter do¬ loči s pregibanjem število simetral! Tako moremo n. pr. kvadrat (sl. 83.) preganiti po diagonalah in po srednjicah, da se polovici pokrijeta. Kvadrat ima štiri simetrale: obe diagonali in obe srednjici. 5. Razrešiti hočemo nekatere osnovne naloge, kakršne se pri geometrijskem načrtavanju ponavljajo. Razrešitev teh nalog temelji na simetrijskih lastnostih enako¬ krakega in enakostraničnega trikotnika. Za zdaj bomo rabili pri načrtavanju le ravnilo in šestilo, pozneje pa nam bodo služili leseni trikotniki. 1. Nariši daljici AB simetralo (središčno pravokotnico)! Nalogo razrešiš, ako načrtaš iz A in B loka (sl. 84.) s polmerom, ki je večji nego polovica daljice AB, ter sečišči C in D teh lokov spojiš. (ABC in ABD sta enako¬ kraka trikotnika ob isti osnovnici.) Obenem si določil tudi daljično raz- polovišče ali središče S. — Kako narišeš si¬ metralo daljice, ki leži tik ob robu papirja? 2. Nariši kotu a simetralo (razpolovnico)! Nariši iz vrha V lok (sl. 85.), ki seka kraka v točkah A in B, iz teh dveh točk načrtaj loka z enakim polmerom, njuno sečišče C pa spoji z vrhom F! Kotna simetrala razpolavlja tudi lok AB. 15 š>B I is Slika 84. 3. Nariši skoz točko T premice a pravokotnico na premico! a) Nariši iz točke T lok, ki seka premico v točkah A in B, potem načrtaj daljici AB simetralo (sl. 86.)! 57 b) Nariši ob premici a enakostranični trikotnik TAB (sl. 87.), ob stranici TB tega trikotnika enakostranični trikotnik TBG, kot BTC pa razpolovi! c) Če točka T leži tik roba risalnega zvezka, razrešiš na¬ logo takole: ob premici a nariši enakostranični trikotnik TAB (sl. 88.), stranico AB podaljšaj, na podaljšku pa odmeri BC =BA. — Trikotnik TCB je enakokrak, kot ob vrhu B meri 120°. Zakaj ? Kolika sta kota ob osnovnici TC ? -=C^42 4 * 6 7 C = 60 0 -j-30° = 90 0 . 4. Nariši skoz točko T, ki leži zunaj premice a, pravokotnico na premico! Nariši iz točke T lok, ki seka premico a v točkah A in B (sl. 89.), nato pa načrtaj daljici AB simetralo! 6. Vrnimo se k opazovanju simetričnih teles! Imenuj geometrijska telesa, ki jih že poznaš! Katera so simetrična? Na sliki 90. vidimo kocko, ki jo seka ravnina, položena skoz dva nasprotna roba. Vsak del je glede na presečno rav- 58 Slika 89. nino kot zrcalno ploskev zrcalna slika drugega dela. — Nariši mrežo telesa, katero je kockna polovica; sestavi telo ter ga položi na zrcalo tako, da boš videl celo kocko! Oglišči A in A 1 ležita glede na presečno ravnino simetrično. Simetrijska ravnina pravokotno razpolavlja daljico, ki spaja točki. Ravnina skoz dva nasprotna kockna roba seka dve mejni ploskvi (na sl. 90. zgornjo in spodnjo) po diagonalah, torej po simetralah teh ploskev. — Koliko takih simetrijskih ravnin moreš dognati na kocki? Kvadrat pa je simetričen lik tudi glede na srednjici. Na sliki 91. vidimo kockni polovici, ki smo ju dobili s tem, da smo kocko pre¬ sekali z ravnino po srednjicah. Polovici sta glede na presečno ravnino simetrični. — Na koliko načinov moreš kocko tako presekati ? Ako doženeš lege vseh kocknih si¬ metrijskih ravnin, spoznaš, da jih je devet. Kako se te ravnine sekajo ? Tudi kvader, pokončna kvadratna piramida, pravilni tetraeder, pokončna kvadratna prise¬ kana piramida in krogla so simetrična telesa. Na modelih teh teles pokaži s kartonom lego simetrijskih ravnin! Koliko jih ima vsako telo? Ali je zemeljska obla simetrično telo? Opazuj globus ter imenuj kroge, skoz katere gredo simetrijske ravnine! Vaje* 1. Nariši premico in zunaj nje več točk; določi glede na premico simetrično ležeče točke! * Pri načrtavanju rabi samo ravnilo in šestilo! 59 2. Nariši premico ter načrtaj nekaterim daljicam glede na premico simetrično ležeče daljice ! (Porabi sečišča podaljšanih daljic in simetrale! Glej sliko 79.!) 3. Nariši premico in trikotnik (kvadrat, pravokotnik) ter načrtaj glede na premico simetrično ležeči lik! 4. Nariši pravokotnemu trikotniku glede na hipotenuzo (kateto) simetrično ležeči lik! 5. Nariši trikotniku ABC glede na premico a simetrično le¬ žeči trikotnik A 1 B 1 C l ; potem načrtaj temu trikotniku glede na pre¬ mico b (a in b nista vzporedni) simetrično ležeči lik A 2 B S C 2 ! — Ako postaviš konico svinčnika na oglišče A, nato pa jo pomikaš po stranicah od A preko B dalje ter v istem redu tudi od A t dalje, se pokaže, da je smer enega pomikanja smeri drugega nasprotna. Če se zadnje pomikanje ujema z vrtenjem kazalca na uri, je prvo pomikanje vrtenju urnega kazalca nasprotno. — Opazuj trikotnika A ] B ] C\ in A 2 B 2 C 2 ter tudi trikotnika ABC in A 2 B 2 C 2 glede na smer istorednega pomikanja! 6. Razdeli daljico (kot) na štiri enake dele, potem na osem enakih delov! 7. Nariši sokota (sovršna kota) ter jima določi simetrali! Oglej medsebojno lego teh simetral! 8. Nariši več premic v različnih legah, potem pa načrtaj iz določene točke pravokotnice nanje! 9. Nariši pravi (iztegnjeni) kot, nato ga razdeli na tri enake dele! 10. Razdeli krog na 2, 3, 4, 6, 8 enakih delov! 11. Nariši kot 15», 22» 30', 75», 105«, 120», 135°! 12. Nariši ostremu kotu komplementarni kot! 13. Nariši neenaka kota a (večji) in (3; določi - in - ^ ! 14- Nariši daljici AA t simetralo! — Kako določiš nato kateri¬ koli točki B (daljici CD) simetrično ležečo točko Zi, (daljico C^D % ), ako smeš rabiti le ravnilo! (Spoji točko B z A m A x , AB podaljšaj do simetrale!) 15. Označi zunaj premice p na isti strani točki 4 in B; nato določi na premici točko T tako, da bosta daljici TA in TB z njo oklepali enaka kota! (Pomagaj si s simetrično ležečima točkama.) 16. Nariši kot, nato pa skoz katerokoli točko premico tako, da bo sekala oba kraka v enaki razdalji od vrha! 17. Nariši simetrale enakostraničnega trikotnika, kvadrata, pravokotnika! 18. Nariši a) enakostranični trikotnik s stranico a = 6 cm, b) kvadrat s stranico a = 5 cm, c) pravokotnik s stranicama a — = 8 cm, b = 5-5 cm. Like izreži ter pokaži s pregibanjem, koliko simetral imajo! 19. Nariši stranicam ostrokotnega (topokotnega, pravokotnega) trikotnika simetrale! Kaj opaziš? — Sečišče simetral (središče 60 trikotniku očrtanega kroga) imenujemo prvo zname¬ nito točko trikotnika. 20. Nariši trikotnike kakor v prejšnji nalogi, nato določi si- metrale kotov! — Sečišče kotnih simetral (središče tri¬ kotniku včrtanega kroga) imenujemo drugo zname¬ nito točko trikotnika. 21. Nariši trikotnike kakor prej, nato jim določi višine! — Sečišče višin je tretja znamenita točka trikotnika. 22. Nariši trikotnike kakor v prejšnji nalogi, nato določi njih srednjice ali težišč ni c e (to so daljice, ki spajajo oglišča trikotnika s središčem nasprotnih stranic)! — Sečišče srednjic (težišče) je četrta znamenita točka trikotnika. 23. Izberi tri točke A, B, C ter določi nato središče kroga, ki gre skoz te točke! (Glej vajo 19.!) 24. Načrtaj v raznostraničnem (enakostraničnem, enakokrakem) trikotniku vse štiri znamenite točke! Prva, tretja in četrta zname¬ nita točka leže vedno na isti premici. — Kaj si opazil v enako¬ krakem in kaj v enakostraničnem trikotniku? XI. 0 kotih. 1. Nariši premici a in b, ki se sekata (sl. 92.)! Koliko kotov določata? Kako imenujemo kota a in /?, kako kota a in y? Koliko dvojic sokotov in koliko dvojic sovršnih kotov najdeš na sliki 92.? Imenuj jih! Kakšen kot tvorita sokota? Kako imenujemo kota, ki merita skupaj 180°? Ali sta suplementarna kota vedno tudi sokota? Mislimo si premico b nepremično, premico a pa vrtljivo okoli sečišča (mo¬ del!). Kako se koti pri vrtenju izpre- minjajo? Zakaj zadostuje, da opazujemo le sokota a in /?? Zavrtimo najprej premico a v Smislu, ki je vrtenju ka¬ zalca na uri nasproten, za toliko, da pokrije premico b. Zdaj je kot a = 0°, kot [1 = 180°. — Nato vrtimo a v nasprotnem zmislu, n, pr. od 30° do 30°. Kako se manjša kot /?, če raste kot a? Glej razvidnico! Ako se sokota izpreminjata, se vedno en kot manjša za prav toliko, za kolikor drugi kot raste. Slika 92. 61 Med katerima mejama se preminjata sokota? Kdaj sta enaka ? Kakšna je v tem primeru lega premic a in b ? Ker pripada vsakemu kotu a popol¬ noma določeni sokot /?, pravimo: sokota sta drug od drugega zavisna. To zavisnost izrazimo tako: a-{-/? = 180°, a = 180 0 — B, £=180°— a. Prvi kot imenujemo nezavisni kot, o sokotu pa pravimo, da je od prvega kota zavisen. Razširi razvidnico tudi na kota y in d ! 2. Premico a pa moremo premikati še na drug način. Spomni se, kako smo kvadrat risali z ravnilom in trikotnikom! Glej sliko 93.! Nasloni trikotnik z eno kateto na ravnilo (ali na drug trikotnik), ob drugi kateti pa nariši premo črto; nato pomakni trikotnik ob ravnilu v novo lego ter nariši ob isti kateti, kakor prej, novo premico! Pri tem pomikanju se vsaka točka trikotnika pomakne za isto razdaljo (n. pr. je AB = BC). — Označi na trikotniku, ki ga pomi¬ kaš, nekatere točke in se o tem prepričaj s šestilom! Izkušnja nas uči, da se premice, ki jih ri¬ šemo na ta način, nikjer ne snidejo, da so torej vzporedne. Zato bomo tako pomikanje imenovali vzpo¬ redno pomikanje. (Opazuj, kako pomikaš vizitko, kadar jo vtikaš v pisemski zavitek, ali, kako se železniški voz po rav¬ nem tiru pomika v prostoru!) Pomaknimo premico a njej vzporedno po premici b v lego cii (sl. 94.)! Premici b pravimo zdaj prečnica, premi¬ cama a in a u ki ju prečnica seka, pa presekani premici. 62 Koliko kotov je nastalo med prečnico in presekanima premicama? — Kote a, /9, y u <3,, ki leže med vzporednicama, zovemo notranje kote, kote y, d, a,, /9, pa zunanje kote. Opazuj lego notranjih in lego zunanjih kotov glede na precnico! — Po dva notranja in po dva zunanja kota ležita ob isti strani prečnice, oziroma ležita ob nasprotnih straneh. Zunanja kota a t in d n. pr. ležita ob isti strani, ctj in y pa ob na¬ sprotnih straneh prečnice. Teh osem kotov pa razloču¬ jemo po dva in dva še na drug način. En zunanji in en notranji kot ob različnih vrhih, toda ob isti strani prečnice, imenujemo protikota. N. pr. a in ctj. Dva zunanja ali dva notranja kota ob različnih vrhih in ob različnih straneh prečnice zovemo izmenična kota. N. pr. a in y,. Slika 94. Dva zunanja ali dva notranja kota ob različnih vrhih, toda ob isti strani prečnice, imenujemo prikota. N. pr. a in <3,. Imenuj protikote, izmenične kote in prikote, ki jih na sliki 93. še vidiš! Ako pomaknemo premico a njej vzporedno do a t , bodo koti a, /9, y, d kote a u y u pokrili. Torej je a — a u /9 = 7 = 7i, <5 = di. Enaki so tudi kakor sovršni koti: a = y,, /? = 7 = a u <5 = /?!■ Opazujmo še kota a in ! Ker je bil kot dj pred pomikanjem sokot kotu a, sta kota a in d-, suplementarna. Torej je a + = 180°, /?-j- 7 i = 180°, 7 + ft = 180°, d-faj = 180 n . Ali se kaj izpremeni, če zavrtimo prečnico okoli katere¬ koli njene točke ? Vzporedne premice tvorijo z vsako prečnico enake protikote, enake izmenične kote in suple- mentarne prikote. Obratno moremo trditi: Ako tvorita premici s prečnico dva enaka proti¬ kota ali dva enaka izmenična kota ali dva suple¬ mentarna prikota, sta premici vzporedni. 63 Kakšno lego imata premici glede na prečnico, če sta n. pr. dva protikota prava kota ? Premice, ki stoje na isti premici pravokotno, so vzporedne. Naloga. Nariši skoz točko T vzporednico premici «! Nalogo lahko razrešimo na dva načina: a) s trikotnikom in ravnilom, b) s šestilom in ravnilom. a) Trikotnik položi s hipotenuzo ob premico a (sl. 95.), ravnilo pa nasloni na eno kateto; zdaj pomakni trikotnik vzpo¬ redno za toliko, da bo hipotenuza šla skoz točko T\ (Ravnilo nadomešča navadno drugi trikotnik.) b) Skoz točko T na¬ riši prečnico (sl. 96.), nato prenesi kot a kakor iz¬ menični ali pa kakor proti- kot ob vrh T ! 3. Presekaj več vzpo¬ rednih premic z neka¬ terimi vzporednimi preč- nicami (sl. 97.)! Koliko glede na velikost različnih kotov nastane? — Primerjaj kota a in a lf «, in y, a in /j! Kota a in a 1 imata v isto smer vzporedne krake. Ali sta kota enaka? — Kako pomakneš kot a z dvakratnim vzporednim pomikom na kot a 1 ? 64 Kota a t in y imata v nasprotno smer vzporedne krake. Ali sta kota enaka? — Kako moraš kot a x dvakrat vzporedno pomakniti, da postane kotu y sovršni kot? Kota a in /9 imata dva kraka v isto, druga dva pa v na¬ sprotno smer vzporedna. Ali sta tudi kota a in /? enaka? — Kako moraš kot a dvakrat vzporedno pomakniti, da postane kotu /? sokot? Kota z vzporednimi kraki sta enaka, ako sta obe dvojici krakov vzporedni v isto smer (a in c^), ali pa obe dvojici krakov vzporedni v nasprotno smer (c^ in y). Kota z vzporednimi kraki sta suplementarna, ako sta dva kraka vzporedna v isto smer, druga dva kraka pa vzporedna v nasprotno smer (a in (3). 4. Nariši kot a, označi zunaj kota točko ter načrtaj skoz njo pravokotnici na kraka (sl. 98.)! Kota a in imata krake, ki stoje drug na drugem pravokotno. — Primerjaj kota! Ako zavrtiš kot a x okoli vrha za 90°, n. pr. v zmislu, na¬ sprotnem vrtenju kazalca na uri, pride v lego a 2 . Kota a in a 2 imata v isto smer vzporedne krake; zato sta enaka. — Kaj smemo torej o kotih a in a t trditi ? Nariši zopet kot a, označi točko V t znotraj kota ter na¬ črtaj skoz njo pravokotnici na kraka (sl. 99.)! Kakšno lego imajo torej kraki kotov a in % ? Ako zavrtiš kot a t okoli vrha za 90°, n. pr. v zmislu, v katerem se vrti kazalec na uri, pride v lego a 2 . Kota a in a 2 Slika 98. Slika 99. 65 imata dva kraka vzporedna v isto smer, druga dva kraka pa vzporedna v nasprotno smer. Kakšna kota sta? Kaj moremo trditi o kotih a in dj? Kota, katerih kraki stoje drug na drugem pravo¬ kotno, sta enaka ali pa suplementarna. Na tem izreku temelji risanje pravokotnic s tri¬ kotnikom in ravnilom. Naloga. Nariši skoz točko T pravokotnico na premico a\ Trikotnik položi s hi- potenuzo ob premico a (sl. 100.), ravnilo nasloni na eno kateto; nato zavrti trikotnik za 90°: hipotenuza trikotnika v novi legi stoji pravokotno na premici a. Risanju pravokotnic na ta način se je dobro priva¬ diti, ker je naglo izvršljivo in ker popolnoma ustreza praktičnim potrebam. (Rav¬ nilo nadomestuje navadno drugi trikotnik.) 5. Na izreku o kotih, katerih kraki stoje drug na drugem pravokotno, temelji tudi naprava za merjenje naklonskih ali ježnih kotov. Ako se sekata dve ravnini, delita pro¬ stor na štiri dele, ki jim pravimo plo¬ skovni koti (sl. 101.). Kje smo ploskovne kote že opazovali? Sečnico ravnin imenujemo rob, pol- ravnini, ki mejita vsak ploskovni kot, pa sta njegovi stranski ploskvi. Ploskovni kot nastane, če zavrtiš pol- ravnino okoli roba iz ene lege v drugo. — Položi učno knjigo na horizontalno mizo, potem nekoliko vzdigni zgornjo platnico! Ravnina zgornje platnice je zdaj proti ravnini mize naklonjena (sl. 102.). Ako položiš na naklonjeno ravnino kjerkoli kroglico, zdrči navzdol, in sicer vselej v isti smeri. Mazi: Geometrija za nižje razrede. 5 I i i 66 Premicam naklonjene ravnine, ki imajo navzdolnjo smer, pravimo navzdolnice ali padnice. — Pokaži roba plat¬ nice, ki imata smer navzdolnic! Kakšna je njuna lega glede na hrbet (rob), okoli katerega platnico vrtimo? — Ako platnico zavrtimo, narišejo vse navzdolnice isti kot. Kot AVA U ki ga oklepa na- vzdolnica š svojo prvotno lego, imenujemo naklonski kot. — Naklonski kot je mera plo¬ skovnega kota. Kraka A V in A t V stojita na robu r pravokotno. Zato najdeš naklonski kot dveh ravnin, če narišeš skoz katerokoli točko njune sečnice v vsaki ravnini pravokotnico na to sečnico. Ako je ena ravnina horizon¬ talna, določimo naklonski kot z greb- ljico. V ta namen je na grebljico pritrjen del kotomera z zarezo 0° pri D (sl. 103.). Če na naklonjeno rav¬ nino položimo grebljico z osnovnico AB v smeri navzdolnic, oklene svinč¬ nica s pravokotnico CD naklonski ali, kakor tudi pravimo, ježni kot a. Zakaj? Kakšna kota sta a in o ( ? Kakšno medsebojno lego imata ravnini, ako meri njiju naklonski kot 90 °? Postavi nekoliko odprto knji¬ go na horizontalno ravnino, kakor kaže slika 104.! Rob r stoji pravo¬ kotno na spodnjih robih a in b platnic. Kakšno lego ima rob r glede na horizontalno ravnino? — Pravimo: Premica stoji na ravnini pravokotno, ako stoji pravokotno na dveh, v ravnini skoz njeno nožišče načrtanih premicah. — Glej lego kolesnih prečk glede na os, okoli katere se kolo vrti! Slika 104. 67 Koliko ravnin moremo položiti skoz rob r? Kakšna je lega teh ravnin glede na ravnino R ? Oglej lego posameznih listov knjige! Vsaka ravnina, ki smo jo položili skoz premico, katera stoji na določeni ravnini pravokotno, stoji na tej ravnini pravokotno. Razviden je tudi izrek: Ako stojita dve ravnini na tretji ravnini pravokotno, stoji tudi njiju sečnica na tej rav¬ nini pravokotno. Oglej medsebojno lego robov in mejnih ploskev na kocki in na kvadru ter se prepričaj o resničnosti navedenih izrekov! — Učilnica! Vaje. 1. Kot a meri 12° 15' 42"; če vzraste petkrat po 25° 37' 6", kolik je v vsakem primeru njegov sokot? — Sestavi razvidnico! 2. Nariši premice v različnih legah; potem načrtaj s trikotni¬ koma skoz določeno točko vzporednice! 3. Nariši trikotnik ABC ; pomikaj ga njemu vzporedno toliko časa, da bo oglišče A pokrilo določeno točko .4,! 4. Nariši trikotnik ABC; zavrti ga okoli oglišča A (B, C) za 180°! Primerjaj lego kotov obeh trikotnikov! — Zavrti trikotnik za 180° okoli razpolovišča stranice AB\ Primerjaj lego kotov in stranic obeh trikotnikov! 5. Nariši več vzporednic v razdalji 1 cm (1-5 cm, 2 cm)! 6. Presekaj vzporedni premici s prečnico (nobena teh premic ni horizontalna!), zaznamenuj kote ter sestavi razvidnico protiko- tov, izmeničnih kotov, prikotov! 7. Presekaj vzporedni premici s prečnico ter načrtaj razpo¬ lovni« dveh protikotov (dveh izmeničnih kotov, dveh prikotov)! Kakšno medsebojno lego imata razpolovni«? 8. Nariši skoz določeni točki vzporedni premici! Za koliko moraš premici okoli teh točk zavrteti v istem zmislu, da se končno pokrijeta? 9. Nariši skoz določeni točki vzporedni premici; zavrti ju okoli teh točk v nasprotnem zmislu za toliko, da se pokrijeta! Kolika je vsota obeh vrtljajev? 10. Nariši skoz določeni točki vzporedni premici; zavrtevaj ju okoli teh točk v istem zmislu vsakikrat za isto število stopinj! Opazuj, kako se razdalja med vzporednicama izpreminja! Kdaj je razdalja največja, kdaj najmanjša? 5 ! 68 !r>T pc A Slika 105. 11. En kot, ki ga prečnica oklepa s presekanima vzporednima premicama, meri a) 30°, b) 90°, c) 64°, d) 108° 44', e) 35° 43' 12"; koliki so ostali koti? 12. Nariši vzporedni premici a in b\ med njima označi točko Tl (Sl. 105.) Ako jo spojiš s katerimakoli točkama A in B vzpo- ^ rednic, nastane kot y, ki je enak vsoti kotov a in p. Zakaj je enak tej vsoti? 13. Nariši premice v različnih legah; na nje načrtaj s trikotnikoma pravokotnice, ki gredo skoz določeno točko! 14. Nariši kot S (n. pr. 30°, 45°, 60°) ter izberi točke A, B, C kot vrhe treh kotov a, ,3, 7 ! Krake teh kotov nariši s trikotnikoma tako, da bodo kraki kotov S in a vzporedni v isto smer, kraki kotov S in (3 vzporedni v nasprotno smer, po dva kraka kotov 2 in f vzporedna v isto, druga dva kraka pa v nasprotno smer! 15. Ako stoji od dveh vzporednih premic ena na tretji pre¬ mici pravokotno, kaj smemo trditi tudi o drugi premici? 16. Nariši kot 3; točke A, B, G izberi kakor vrhe treh kotov a, j3, y, katerih kraki stoje na krakih kota o pravokotno! Nariši s trikotnikoma te kote tako, da bodo kraki kotov a in v vzporedni v isto smer, po dva kraka kotov a in p vzporedna v isto, druga dva kraka pa vzporedna v nasprotno smer! 17. Nariši v pravokotnem trikotniku višino na hipotenuzo! Ako meri en kot, ki ga oklepata višina in ena kateta, na primer 27° 48' 2", koliki so koti, ki jih na trikotniku še vidiš? 18. * Napravi iz trdega papirja grebljico s kotomerom ter določi naklonski kot šolske klopi, vzpetost (strmino) stopnic v šol¬ skem poslopju, vzpetost naklonjene ceste itd.! 19. * Določi s poljskim kotomerom naklonski kot strehe šol¬ skega poslopja! Oglej različne oblike streh! XII. Trikotnik. Načrtavanje in skladnost trikotnikov. 1. Imenuj telesa, na katerih si že opazil trikotnike! — Kakšni trikotniki meje pravilni tetraeder (sl, 106.)? Iz kakšnih trikotnikov sestoji plašč pokončne kvadratne piramide (sl. 107.)? Telo, ki ga mejita vzporedni in skladni osnovni ploskvi in katero ima ob straneh toliko paralelogramov, kolikor ima vsaka izmed osnovnih ploskev stranic, se imenuje prizma. Ako presekamo po dveh nasprotnih robih kocko, dobimo dve pokončni tristranični prizmi (sl. 108.). Kakšna trikotnika sta osnovni ploskvi? — Kakšni prizmi dobiš, če presekaš po dveh nasprotnih robih kvader? 69 Tu vidimo telo (model!), katerega osnovna in stranske ploskve so trikotniki (sl. 109.). Telesu pravimo poševna tri- stranična piramida. — Izmeri osnovne in stranske robe! Kakšni trikotniki so mejne ploskve? Raznostranične trikotnike bomo v naslednjem opa¬ zovali natančneje. 2. Ako označimo tri točke A, B, C, ki ne leže na isti premici, ter jih spojimo z daljicami, dobimo vobče razno- stranični trikotnik (sl. 110.). Oglišča, stranice in kote bomo zaznamenovali tako, kakor kaže slika. Znak za trikotnik je: A. V Koliko kotov je v trikotniku? Kako jim pravimo? Koliko stranic oklepa vsak kot? Kaj leži vsaki stranici in kaj vsakemu kotu nasproti? Kako imenujemo kota, ki ležita ob isti stranici? Katero stranico imenujemo osnovnico? Katero oglišče je torej vrh? Ali je lahko vsaka stranica osnovnica? Kako nastane 70 zunanji kot? Koliko jih je? Koliko zunanjih kotov nastane, ako podaljšamo preko oglišč vse stranice? Zakaj upoštevamo samo tri? Kaj je v trikotniku vi¬ šina? Koliko višin ima vsak tri¬ kotnik? Primerjajmo trikot- niške stranice! Zastavi svinčnik s konico na trikotniško oglišče A ! Na koliko načinov more konica dospeti na oglišče B, ako jo smeš pomikati le po stranicah? Katera pot je krajša? Kaj smemo iz tega sklepati o dolžini ene stranice glede na vsoto obeh drugih stranic ? — Nariši trikotnike s stranicami c = 6 cm, b — 5 cm, a —4 cm; c — 6 cm, b = 4 cm, a = 2 cm; c — 6 cm, b — 3 cm, a — 2 cm. Kdaj je trikotnik mogoč? Vsaka trikotniška stranica je manjša od vsote ostalih dveh stranic. (AB < AC -j- CB itd.) Nariši trikotnik ABC (sl. 111.), ki mu je AB največja stra¬ nica! Ako zavrtiš stranico BG okoli B v lego BC U se ti pokaže, da je razlika (ACJ stranic BA in BC manjša od tretje stranice AC. Prav tako je razlika stranic AB in AC manjša od tretje stranice BC. Vsaka trikotniška stranica je večja od razlike ostalih dveh stranic. (AC > AB — BC itd.) Združi oba izreka o trikotniških stranicah v en izrek! Kako razločujemo trikotnike glede na stranice? Kako imenujemo stranice enakokrakega trikotnika? Preizkusi izreka o stranicah tudi na enakokrakem in na enakostraničnem trikotniku! B. Primerjajmo trikotniške kote! Kaj smo dognali glede njih vsote, ko smo jih izmerili s kotomerom? Ali je to merjenje popolnoma zanesljivo? Nariši trikotnik ABC (sl. 112.), spoji središči stranic AC in BC ter na črtaj skoz nji pravokotnici na osnovnico AB\ Ako C C 71 trikotnik izrežeš in ogle (kote) preobrneš okoli črtkanih daljic, nastane iz kotov a, /9, y iztegnjeni kot z vrhom C'. (C je nožišče višine na osnovnico.) 0 tem dejstvu se lahko prepričaš še na drug način. Ako namreč v trikotniku ABC (sl. 113.) kot a pomakneš vzporedno prvotni legi za toliko, da vrh A pokrije oglišče B, se pokaže, da je BB X j| AG. Kota a in a' sta enaka kakor protikota, kota y in / pa enaka kakor izmenična kota (<£a = V. Trikotnik A x B y V je zmanjšana podoba trikot¬ nika ABV ; trikotnika sta si podobna. (A ABV oo A A 1 B 1 V.) — Pokaži, da se trikotnika ujemata glede kotov. Kako razdelimo daljico na liho število enakih delov ? Nalogo razrešimo (glej sliko 184.!) z uporabo izreka: Ako razdelimo v trikot¬ niku eno stranico na več ena¬ kih delov, skoz razdelišča pa narišemo premice, vzporedne drugi stranici, dobimo na tretji stranici prav toliko enakih delov, kakor jih je na prvi. Povej, kako bi ta izrek utemeljil? Nariši trikotnik A- a B b G (sl. 211.), razdeli n. pr. stranico A- 0 C na pet enakih delov, potem pa načrtaj skoz razdelišča stranici A b B b vzporedne premice! Vsaka teh vzporednic odreže po en trikotnik. Vsi ti trikotniki so si podobni. — Imenuj jih! Ali se vsi ujemajo glede kotov? Ker je GA y — A X A 2 — A 2 A 3 = . .., je tudi CB t — B t B 2 = = BoB 3 = . . . CB 1 je torej \ stranice CB b , CBo „ „ f „ CB- 0 i. t. d. C 137 Opazuj podobna trikotnika A- 0 B b C in A 2 B 2 C ! Katere stra¬ nice bi se krile, če bi bila trikotnika skladna ? Takim stranicam pravimo istoležne stranice, n. pr. A 5 C in A 2 C, B a C in B 2 C ter A a B a in A 2 B 2 . Primerjajmo istoležne stranice teh dveh trikotnikov! CA 2 = 1 CA a , CB 2 = f CB a . Ako narišeš skoz B u B 2 i. t. d. vzporednice stranici CA a , se pokaže, da je tudi A 2 B 2 = f A a B a . Pravimo: Istoležne stranice podobnih trikotnikov A 2 B 2 C in A a B a C imajo enako razmerje 2:5 (ali 1 : \). To razmerje imenujemo merilo, tako izpremenitev lika v podobnega večjega ali manjšega pa premo povečanje, oziroma zmanjšanje. Iz navedenega sledi: Podobna trikotnika se ujemata glede kotov ter imata glede istoležnih stranic enako merilo. Ali imajo tudi istoležne višine isto merilo, n. pr. CC 2 in CC 6 ? Ker moremo premočrtne like z diagonalami skoz eno oglišče razdeliti na trikotnike, velja ta izrek tudi za podobne mnogokotnike. Podvoji, potroji, ... v enakostraničnem trikotniku (kva¬ dratu) stranico, ki meri n. pr. 3 cm! Kako se izpremeni obseg? Sestavi razvidnico! Ako podvojimo, potrojimo i. t. d. eno mnogokotniško stra¬ nico, lik pa ohrani svojo obliko, se podvoji, potroji i. t. d. tudi njegov obseg. Razmerje med obsegi podobnih likov je enako merilu dveh istoležnih stranic. 138 Dva podobna lika moremo položiti tako, da sta po dve istoležni stranici vzporedni (sl. 212.). V tem primeru se pre¬ mice, ki spajajo istoležna oglišča, sekajo v eni in isti točki S. Tako lego podobnih likov imenujemo perspektivno lego, točko S pa podobnišče. — Podobnišče je zunanje, če leži zunaj podobnih likov (n. pr. ABCD in ,T 1 .B 1 C 1 .D 1 ), ali pa no¬ tranje, če leži med podobnima likoma (n. pr. pri A X B 1 C 1 D 1 in A 2 B 2 C 2 D^). Opazuj lika I in II, oziroma II in III glede isto- rednega pomikanja preko oglišč! 8. Uporabo podobnosti pokaže razrešitev naslednjih nalog. Naloga 1. Izmeri daljico AB (sl. 213.), ki ni povsem dostopna ! Izberi točko C tako, da boš mogel iz nje vizirati proti A in proti B ; AC in BC razpolovi, nato izmeri A X B X ! Ker je A 1 B 1 = ±AB, je AB — 2.A 1 B 1 . Zakaj? — Če zabranjuje za- / * Slika 213. preka med A x in izmerjenje daljice A X B X , odmerimo na po¬ daljšani AC daljico CA 2 = CA U na podaljšani BC pa daljico CB 2 — CB X i. t. d. — Ali smo to nalogo že kdaj razrešili ? Naloga 2. Nariši skoz točko T (sl. 214.) premico, ki gre skoz nedostopno sečišče premic a in b\ Nariši katerikoli vzporednici AB in A X B U ki sekata dani premici! T spoji z A in B ter načrtaj A X T X || AT in B X T X \\BT\ S premico, ki spaja sečišče T x teh vzporednic s T, je nalogi ustreženo. (Perspektivna lega trikotnikov ABT in A X B X T X !) — Kako smo to nalogo že razrešili? 139 Naloga 3. Zmanjšaj lik na sliki 215. a po merilu 3:2! Nalogo razrešiš, če zmanjšaš po merilu 3 : 2 daljice, ka¬ tere lik določajo. Zmanjševanje daljic izvršiš z zmanjševalnim kotom. Zmanjševalni kot za merilo 3: 2 dobiš, če na poltraku (sl. 216. a) od¬ meriš od krajišča zapored tri enake daljice, narišeš s polmerom r — 3 lok, na njem pa odrežeš tetivo t = 2. Ako narišeš z daljicami lika na sliki 215. a v zmanjševalnem kotu loke, so tem lokom pripadajoče te¬ tive istoležne daljice zmanjšanega lika na sliki 215. b. Tako je n. pr. ol — AB in I II = AjBj. Če je n. pr. na sliki 215. b upodobljeni lik povečati po merilu 2:3, uporabimo povečevalni kot, ki ga kaže slika 216. b. V tem primeru je ol = in I II = AB. Zmanjšanje, oziroma povečanje daljic moreš izvršiti tudi takole: Na poltraku odmeriš od krajišča n. pr. za merilo 3 : 2 in 2 : 3 tri enake daljice (sl. 216. c), skoz razdelišči 2 in 3 pa narišeš pravokotnici na poltrak. Za sliko 215. je potem 3 III = = AB in 2 II = A 1 B 1 in narobe. Slika 215. Slika 216. c V praktičnem življenju se za zmanjšanje ali povečanje likov (n. pr. ornamentov, črtežev, zemljevidov) navadno upo¬ rabljajo kvadratne mreže in pantograf. 140 Lik, ki bi ga radi zmanjšali, preprežemo s kvadratno mrežo na ta način, da mu najprej orišemo pravokotnik; nato razdelimo osnovnico tega pravokotnika na več enakih delov, nanesemo en tak del kolikorkrat mogoče na višino, skoz raz- delišča pa načrtamo stranicam vzporedne premice. — Zatem 5 4 J a 1 1 Z č b- 5 6 f ° 1 Z 3 b- 5 6 f a b Slika 2I7. narišemo po prikladnem merilu (na sliki 217. po merilu 4 : 3) drug pravokotnik; njegovo osnovnico razdelimo na prav toliko enakih delov, na kolikor smo jo razdelili na prvem pravokot¬ niku; en tak del nanesemo tolikokrat na višino kakor poprej, skoz razdelišča pa načrtamo vzporednice stranicam. Ako poiščemo sečiščem obrisa in mreže v prvem pravo¬ kotniku ujemajoče se točke na mreži drugega pravokotnika in te točke spojimo, do¬ bimo podobni lik. (Na sliki 217.«, b je za isto- ležni točki A in A x da¬ ljica Ai-Bi = f AB.) — Pre¬ pričaj se, da ustreza merilo vedno le dolžinski meri, ne pa ploskovni meri! P a nt o gr a f (model!) je sestavljen iz štirih enako dolgih paličic (sl. 218.), ki tvorijo paralelogram in ki so z luknjicami razdeljene na isto število enakih delov. Pali¬ čice so pregibljive v členkih 1, 2, 3, 4. 141 Določen lik povečamo s pantografom takole: pantograf pritrdimo v točki T (sl. 218.); v luknjico pri A zapičimo žeb¬ ljiček, v luknjico pri A x pa vtaknemo svinčnik; ko potem konico žebljička pomikamo po obrisu lika ABCD, riše konica svinč¬ nika povečani lik i4. 1 jB 1 C 1 D 1 . — Če hočemo lik zmanjšati, morata svinčnik in žebljiček svoji mesti zamenjati. Vaje. 1. Kolika je površina škatlice za vžigalice, ki je 4-5 cm dolga, 3-5 cm široka in 1-7 cm visoka? Presodi najprej po vidu! Nariši mrežo, potem sestavi škatlico! 2. Kiosk za nalepljanje lepakov ima obliko pravilne, šestero- stranične prizme z osnovnim robom 0-8 m in z višino 3-2 m. Ko¬ liko je uporabne ploščine, ako segajo lepaki 0-5 m od tal? 3. Določi površino tristranične, pravilne prizme, ki jo rabimo za model! 4. Prepričaj se, ali ustreza prostornina učilnice predpisu, ki zahteva za vsakega učenca 3 m 3 zraka! 5. Koliko drži 6 dm dolg, 5 dm širok in 4-5 dm visok lesen zaboj, ako so stranice debele 1-5 cm? 6. Kositrena posoda za petrolej ima obliko kvadratne, po¬ končne prizme. Koliko litrov petroleja drži posoda, če meri stra¬ nica kvadratne osnovne ploskve 3-5 dm, višina prizme pa 5 dm? — Nariši mrežo take prizme in sestavi telo! 7. Kolika je višina kvadra s prostornino V = 45 cm 3 , ako se osnovna ploskev zmanjša od 15 cm 2 na 10, 5, 1 cm 2 ? 8. V posodo z obliko kvadra («—15 cm, h = 10 cm, c = 25 cm) položimo težko telo ter napolnimo posodo do vrha z vodo. Ko telo odstranimo, sega voda še 14-5 cm visoko; kolika je prostornina telesa? 9. Rob granitne kocke za tlakovanje cest meri 20 cm; koliko tehta kocka? 10. Živo srebro, ki napolni kocko z robom 2-7 dm, tehta 267-49 ... kg', kolika je specifična teža živega srebra? 11. Vžigalice imajo obliko pokončne, kvadratne prizme z osnovnim robom a = 2 mm in z višino v = 37 mm. Koliko vžigalic da 1 m 3 smrekovine? 12. Plašč pokončne, kvadratne prizme meri 114-43 cm 2 , osnovni rob pa 3-84 cm; kolika je njena prostornina? 13. Čebelne celice imajo obliko pravilnih, šesterostraničnih prizem z osnovnim robom a = 3 mm in z višino v = 10 mm. Ko¬ liko celic polnega satovja da približno 1 l medu? 14. Železniški nasip ima poprečni prerez, kakršnega kaže slika 200.; koliko grušča potrebuješ na vsakih 10 m? 142 15. Približno koliko vode drži Sueški prekop s poprečnim prerezom, kakršnega kaže slika 201., ako je prekop dolg 170 km? 16. Koliko telita 2-5 m dolg železen, votel steber s poprečnim prerezom, kakršnega kaže slika 199.? 17. Kako se izpremeni prostornina prizme, ako podvojimo, potrojimo itd. a) višino, b) osnovno ploskev? 18. Koliko kartona potrebuješ za mrežo pokončne, kvadratne piramide, ako naj meri osnovni rob 5 cm, stranski rob pa 6-5 cm? Nariši mrežo in sestavi telo! 19. Streho šesterostraničnega stolpa tvori šest enakokrakih trikotnikov z osnovnico 3-5 m in z višino 5-6 m. Koliko stane ba¬ krena pločevina za kritje strehe, ako stane 1 m dolga in 0-6 m široka bakrena plošča 140 Din in se za privihke in odpadke za- računi 7 °/ 0 več? 20. Določi površino tristranične, pravilne piramide, ki jo ra¬ bimo za model! 21. Cheopsova piramida ima osnovni rob a = 232 m in višino »—156 m; kolika je njena prostornina? 22. Koliko tehta granitni spomenik, ki ima obliko četvero- stranične, pravilne piramide z osnovnim robom a = l - 59 . . . m in z višino v - 2-43 . . . m? 23. Nariši mrežo pravilnega tetraedra (oktaedra) z robom 5 cm (4-5 cm), določi površino in sestavi telo ! 24. Od česa zavisi prostornina piramid a) z isto višino, b) z isto osnovno ploskvijo? 25. Kocko moremo razdeliti na šest piramid tako, da so jim osnovne ploskve kockne mejne ploskve in da jim je kockno sre¬ dišče skupni vrh. Primeri te piramide! Koliko meri prostornina vsake teh piramid, ako meri kockni rob 5-4 cm? 26. Kdaj sta si podobna dva enakokraka trikotnika, pravo¬ kotnika, romba, romboida, deltoida? 27. Nariši pravokotniku srednjici ter povej, ali so nastali pravokotniki podobni danemu! 28. Stranice na polju zakoličenega trikotnika merijo a = 22-5 m, b = 15 m, c =11 m. Nariši črtež tega trikotnika tako, da bo z a istoležna stranica %= 4-5 cm! Po katerem merilu boš risal? 29. Nariši trikotniku («=2-5 cm, 5 = 2 cm, c = 3 cm) po¬ dobni trikotnik po merilu 3:7!. 30. Nariši pravilnemu šesterokotniku (a = 4-5 cm) po merilu 5 : 2 podobni lik v perspektivni legi tako, da bo podobnišče a) eno oglišče, b) središče mnogokotnika! Koliko meri stranica podobnega lika? — Določi obseg obeh likov ter ju primeri! 31. Nariši enakokraki trikotnik (o = 2 cm, v = 2 cm)! Kako se izpremeni osnovnica, ako ostane kot ob vrhu neizpremenjen, naraste pa višina za 1 cm, 2 cm . . . ? 143 32. Nariši katerikoli mnogokotnik, potem pa ga povečaj (zmanjšaj) po primernem merilu! Glej nalogo 3. na str. 139.! 33. Poišči in izmeri na črtežu šolskega kraja najkrajšo pot, ki drži z doma v šolo! Rezultat preizkusi s koraki! — Koliko časa porabiš za pot, ako narediš v vsaki minuti 100 korakov? 34. Povečaj s kvadratno mrežo zemljevid ljubljanske in mari¬ borske oblasti (1:2,500.000) po merilu 2:5! Da zemljevida ne pokvariš, nariši mrežo na prozoren papir! 35. Sestavi iz paličic pantograf ter zmanjšaj in povečaj z njim različne like! XIX. Pitagorov izrek in njega uporaba. 1. Nariši ob stranicah enakokrakega, pravokotnega trikotnika ABC (sl. 219.) kvadrate! Kvadrata ob katetah izreži, nato ju po eni diagonali prereži, s tako dobljenimi tri¬ kotniki pa pokrij kvadrat ob hipotenuzi! — Kolik je torej kvadrat ob hipotenuzi glede na kvadrata ob katetah? Nariši trikotnik s stranicami 3, 4 in 5 cm! Kakšen trikotnik dobiš? — Ob stranicah trikotnika načrtaj kvadrate (sl. 220.); razdeli vsakega na cm 2 ! Kaj opaziš, ako sešteješ kvadratne centimetre, ki jih obsega kvadrat ob hipotenuzi, in kvadratne centimetre, ki jih obsegata kvadrata ob katetah skupaj ? 144 Nariši katerikoli pravokotni trikotnik ABC (sl. 221.) in kvadrate ob njegovih stranicah! Nato načrtaj kva¬ drat s stranico, enako vsoti katet a in b pravokotnega trikotnika (sl. 222.), in štiri z ABC skladne trikotnike 1, 2, 3, 4! Ako te štiri trikotnike izrežeš in položiš v kvadrat tako, kakor kaže slika 222., ostane ploskev kva¬ drata III nepokrita; nepokriti kva¬ drat III je enak kvadratu ob hipo- tenuzi c. Zakaj? (a-(-/? = 90°, a-j- -j- /? -j -y — 180°, torej y = 90°.) — Če pa trikotnika 2 in 3 zavrtiš navznoter tako, da njiju hipotenuzi pokrijeta hipotenuzi trikotnikov 1, oziroma 4, stvorita nepokrito ploskev kvadrata I in II ob katetah a in b (sl. 223.). — Ne¬ pokrita ploskev je v obeh primerih enaka, torej je kvadrat III k ob hipotenuzi pravo¬ kotnega trikotnika ABC (sl. 221.) tolik, a kakor sta kvadrata I in II ob katetah skupaj. m = i h. Velja torej splošno: V vsakem pravokotnem trikotniku je kvadrat ob hipotenuzi enak vsoti kvadratov ob katetah. Ta izrek pripisujejo grškemu matematiku Pitagoru (Pythagoras), ki je živel okrog leta 550. pr. Kr. r. Imenujemo ga Pitagorov izrek. Če odštejemo kvadratu ob hipotenuzi kvadrat ob eni ka- teti, ostane kvadrat ob drugi kateti: III — II = I in III — 1 = II. V pravokotnem trikotniku je kvadrat ob eni kateti enak razliki kvadratov ob hipotenuzi in ob drugi kateti. 145 Naloga. Nariši kvadrat, ki je enak a) vsoti, b) raz¬ liki kvadratov s stranicama a = 5cm in b — 2cm\ a) Nariši pravokotni trikotnik s katetama a = 5 cm in b = 2 cm, pa dobiš hipotenuzo, ki je enaka stranici zahtevanega kvadrata. b) Nariši pravokotni trikotnik s hipotenuzo a = 5 cm in s kateto b = 2 cm, pa bo druga kateta enaka stranici zahteva¬ nega kvadrata. 2. Nariši zopet ob stranicah pravokotnega trikotnika ABC (sl. 224.) kvadrate! Višina CC odseka AC' in C'B. Odsek AC' je priležen kateti AC, odsek C'B pa kateti CB. Podaljšana višina razdeli kvadrat nad hi¬ potenuzo na pravokotnika 1 in 2. Ako spojiš B z D, C pa z E, dobiš trikotnika ABD in AEG. Če zavrtiš trikotnik ABD okoli oglišča A za 90°, pokrije trikot¬ nik AEC; trikotnika sta skladna. Primeri kvadrat I ob kateti AC s trikotnikom ABD ! Oba lika imata isto osnovnico AD in isto višino AC; torej je kvadrat I dva¬ krat tolik kakor trikotnik ABD: na hipotenuzo* razdeli AB na I = 2 X ABD. Primeri tudi pravokotnik 1 s trikotnikom AEC ! Oba lika imata isto osnovnico AE in enako višino AC '; torej je pravo¬ kotnik 1 dvakrat tolik kakor trikotnik AEC: 1 = 2 XAEC, Ker sta trikotnika ABD in AEC ploščinsko enaka, sta tudi kvadrat I ob kateti AC in pravokotnik 1 s stranicama AE = AB in AC' ploščinsko enaka : 1 = 1 . * Višino na hipotenuzo bomo nakratko imenovali višino pravokotnega trikotnika. Mazi: Geometrija za nižje razrede. 10 146 Pokaži, da je tudi kvadrat II ploščinsko enak pravokot¬ niku 2! (Spoji A z F, C pa z G i. t. d.!) 11 = 2 . Kvadrat ob kateti pravokotnega trikotnika je ploščinsko enak pravokotniku, katerega ena stra¬ nica je enaka hipotenuzi, druga stranica pa enaka dotični ka¬ teti priležnerau odseku hipote- nuze. (Izrek o kvadratu ob kateti.) Kako pokažeš na podlagi tega izreka resničnost Pitagorovega izreka? Nariši v pravokotnem trikotniku ABC (sl. 225.) ob višini C G' kvadrat II, ob kateti AC kvadrat III, nadalje pravokotnik 3 (1 + 2) s stranicama, enakima hipotenuzi in kateti AC pri- ležnemu odseku AC '! Po prejšnjem izreku je kvadrat III ploščinsko enak pravo¬ kotniku 3: 111 = 3 = 1 + 2. Po Pitagorovem izreku je glede na pravokotni trikotnik ACC' III = I + II ali 11 = III —I. Ker sta kvadrat III in pravokotnik 3 ploščinsko enaka, ju smemo medsebojno zamenjati; zato je tudi 11 = 3 — 1. Če od pravokotnika 3 odštejemo kvadrat I, ostane pra¬ vokotnik 2 s stranicama, ki sta enaki odsekoma hipotenuze: II = 2. Kvadrat ob višini pravokotnega trikotnika je ploščinsko enak pravokotniku s stranicama, ki sta enaki odsekoma hipotenuze. (Izrek o kvadratu ob višini.) Na podlagi zadnjih dveh izrekov moremo vsak pravo¬ kotnik pretvoriti v kvadrat. Naloga. Pretvori določen pravokotnik v kvadrat! 147 a) Po izreku o kvadratu ob kateti pretvoriš pravokotnik ABCD (sl. 226.) v kvadrat takole: Načrtaj pravokotni trikotnik DCE , v katerem je daljša pravo- kotniška stranica DC bipotenuza, krajša stranica DA = DE' pa ka¬ teti DE priležni odsek hipotenuze; potem nariši polkrog s premerom DC in določi sečišče E pravokot- nice skoz E' na DC ter polkroga; tako dobiš kateto DE trikotnika DCE, ki je stranica zahtevanega kvadrata DEFGl b) Po izreku o kvadratu ob višini razrešiš to nalogo, ako narišeš pravokotni trikotnik DEF (sl. 227.), v katerem sta pravokotniški stranici DC in CB = CE odseka hipotenuze, torej hipotenuza DE ; kvadrat CHGF ob višini CF je zahtevani lik. Pa tudi vsak mnogokotnik mo¬ remo pretvoriti v kvadrat; pretvorimo ga namreč v pravokotnik, tega pa v kvadrat. 8. Doslej smo se bavili s Pita¬ gorovim izrekom v geometrijski obliki. Ako so merska števila katet in hipotenuze pravokotnega trikotnika a, b, c izražena v isti dolžinski enoti, so merska števila ploščine kvadratov ob teh stranicah a 2 , b 2 , c 2 . Iz III = I —j— II (sl. 221.) sledi potem c 2 = a 2 -j- b 2 in a 2 = c 2 — b 2 , b 2 = c 2 — a 2 . To je Pitagorov izrek v aritmetični obliki. O velikem pomenu tega izreka se prepričamo že iz na¬ slednjih nalog: Ealoga 1. Kako dolga je napeta vrv, ki sega od vrha 15 vi visoke stavbe do točke, od vznožja stavbe oddaljene 8 m ? Slika 227. F Slika 226. 10 * 148 Vrv je hipotenuza c pravokotnega trikotnika s katetama a in b, enakima višini stavbe, oziroma razdalji od vznožja do omenjene točke. Po Pitagorovem izreku je c 2 = a 2 -j- b 2 , torej c = |/a 2 -j- b 2 . c = 1^225 4- 64 = ]/ 289 = 17. Vrv meri 17 m. Naloga 2. Izmeri daljico AB (sl. 228.), ki ni povsem dostopna! Postavi v enem krajišču, n. pr. v B, daljice AB pravokotnico na njo, do¬ loči na pravokotnici primerno ležečo točko C ter izmeri AC in BC\ Potem je AB 2 = AC 2 — M 2 , in AB =• = \AC 2 - BC\ Izračuni AB, ako je AC = 123'48 . .. m, BC pa = 20'12 m ! Naloga 3. Kolika je diagonala d kvadrata s stranico a? Ker tvorijo diagonala in stranici pravo¬ koten trikotnik (sl. 229.), je d 2 = a 2 -j- a 2 = 2 a 2 , torej d = \[2a 2 — a \/~2. Izračuni ter si zapomni: \f 2 = P4142 .. .! S čim tedaj pomnožiš stranico v vsakem primeru, ako ti je določiti diagonalo katerega¬ koli kvadrata ? Zakaj neki ? Kakšni liki so glede na obliko vsi kvadrati? Naloga 4. Kolika je stranica a, obseg o in plo¬ ščina p kvadrata z diagonalo d? V prejšnji nalogi smo dobili d 2 — 2 a 2 ali a 2 — y; torej je stranica a = /f = 1 ^ 2 , obseg o = 4 a = y/2 = 2d \[ 2, Slika 229. ploščina pa 149 Izračunimo diagonalo, obseg, ploščino kvadrata s stranico a — 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm . ..! Poglej razvidnico ter povej, kako naraste a) diagonala, b) obseg, c) ploščina kvadrata, če mu stranico podvojimo, po¬ trojimo i. t. d.! Naloga 5. Kolika je diagonala kvadra z robi a, b, c? Pri kvadru se diagonala imenuje daljica, ki spaja dve nasprotni oglišči, n. pr. BH na sliki 230. — Koliko diago- E nal ima kvader? Primeri drugo z drugo! V pravokotnem trikotniku BDH je D 2 = d 2 + c 2 . Ker je d hipotenuza pravokot¬ nega trikotnika ABD, je d 2 = a 2 + b 2 , torej Slika 230. D 2 = a 2 -j- b 2 -j- c 2 in D = |/ a 2 -j- b 2 -f c 2 . Če so robovi kvadra enaki (kocka), je D 2 = a 2 + a 2 + a 2 = 3 a 2 in D = |/3a 2 = a /8. (1/3 = 1-73205 . . .) Naloga 6. Kolika je višina v in ploščina p enakostraničnega tri¬ kotnika s stranico a? V pravokotnem trikotniku ABC na sliki 231. je v 2 = a 2 — ~ = — , torej C 150 v = 8 = 0-866 ... a. Ploščina trikotnika je o P = 2 V a a 2 ’ 2 /3 = 4V3 = a 2 Pjl 4 • /3 Ker je — = 0 - 433 . . ., je p = 0’433 ... a 2 . Izračuni višino, obseg in ploščino enakostraničnih trikot¬ nikov s stranico a = 1 cm, 2 cm, 3 cm . .. ter sestavi razvidnico kakor prej za kvadrat! Kako naraste a) višina, b) obseg, c) ploščina enakostra¬ ničnega trikotnika, ki mu stranico podvojimo, potrojimo i. t. d.? — Preizkusi isto za pravilni šesterokotnik, ki razpade v šest enakostraničnih trikotnikov, ako središče spojiš z oglišči! Nariši raznostraničen trikotnik, stranice razdeli n. pr. na pet enakih delov, potem načrtaj skoz razdelišča stranicam vzpo¬ redne premice, pa se iz nastalih skladnih trikotnikov prepričaš, da se obseg in ploščina podobnih trikotnikov izpreminjata prav tako, kakor obseg in ploščina kvadratov, enakostraničnih tri¬ kotnikov in pravilnih šesterokotnikov. Pokaži, da velja isto za podobne mnogokotnike vobče! Primerjaj obrazce za ploščino kvadrata, enakostraničnega trikotnika, pravilnega mnogokotnika ! Obrazec za ploščino kvadrata: p — a 2 , enakostraničnega 9 ]TŽ trikotnika : pravilnega šesterokotnika: p = a“ = 0*433 p = 6 a 2 t'3 „ 31 3 = 2-598 . a-. Ploščine teh likov dobimo, če kvadrat stranice pomno¬ žimo s stalnim koeficijentom, ki je za kvadrat 1, za enakostra¬ nični trikotnik 0'433 . . ., za pravilni šesterokotnik 2'598 ... — Zakaj ? Kakšni liki so to glede na obliko ? Naloga 7. Kolika je višina v in površina P kva¬ dratne, pokončne piramide z osnovnim robom a in stranskim robom b? 151 Višino v določimo iz pravokotnega trikotnika BV'V (sl. 232.), v katerem je višina V V' — v ena kateta, polovica diagonale osnovne ploskve B V' = ^ druga ka- kateta, stranski rob BV = b pa hi- potenuza. Po nalogi 3. je d 2 = 2 d 2 ; torej je K= /&»- (|) 2 = / V--f = I * “ Obrazec za površino piramide je p = o + p. Ploščini osnovne ploskve 0 = a 2 je treba prišteti ploščino plašča. Plašč p sestoji iz štirih skladnih, enakokrakih trikot¬ nikov. Izračunimo ploščino enega teh trikotnikov, n. pr. AD V ! Osnovnica AD je enaka osnovnemu robu a , višino SP = v t pa dobimo iz pravokotnega trikotnika ASV: V a- T »i = l ^ b 2 ploščina trikotnika AD V je ^ Vi — j \[ b 2 — , ploščina plašča pa p = 2« \/ _ | = 2a /(b + |) (b - !); potemtakem je površina piramide a- 2 a /'a 2 — Faje. 1. Nariši kvadrat, ki je za 1 cm 2 a) večji, b) manjši nego kvadrat s stranico 3-5 cml 2. Nariši kvadrat, ki je a) enak polovici, b) še enkrat tolik kakor kvadrat s stranico a — 4 cm\ 3. Nariši kvadrat, ki je enak vsoti treh (štirih) določenih kvadratov! 4. Nariši kvadrat, ki je dva-, tri-, štirikrat tolik kakor kva¬ drat s stranico a = 2-5 cm\ 5. Pretvori a) trikotnik, b) četverokotnik, c) mnogokotnik v kvadrat! 152 6. Nariši kvadrat, ki je enak a) vsoti, b) razliki pravokot¬ nika s stranicama a = 6-5 cm in b = 3-5 cm ter enakostraničnega trikotnika s stranico s = 4 cm ! 7. Pokaži z načrtavanjem, da je a) ( a -f~ &) 2 = a 2 -f- 2 ab -f- b 2 , b) (a — b) 2 — a 2 — 2 ab -j- b' 2 , c) (a -(- b) (a — b) = a 2 — b 2 , č) (a + b) (c + d) = ac -j- bc ad -f- bd, d) (a + b) (c d) = ac + bc TjZ ad — bd ! 8. Stranica kvadrata meri a) 6 cm, b) 1-5 dm, c) 2 m 9 dm, c) 8f m; kolika je diagonala? 9. Kako dolga je pot po diagonali čez pravokotni travnik s stranicama 43-6 m in 27-4 m? 10. Po simetrali daljice AB = 30 cm se porniče točka T. Ko¬ lika je razdalja od T do krajišča A, ko se je točka od daljice oddalila za 8, 20, 36, 61-6 cm? 11. Voza električne cestne železnice vozita z enako brzino od križišča v smereh, ki sta druga na drugo pravokotni. Kolika je med njima razdalja, ko sta prevozila vsak 500 m? — Koliko metrov je vsak voz oddaljen od križišča, ko meri razdalja med njima 1050 m? 12. Nariši krogu s polmerom r=2-5 cm tetivo, enako 2 cm! Kolika je središčna razdalja tetive? — Kolika je tetiva, ako meri središčna razdalja 2 cm, 1-5 cm, 1 cm, 0-5 cm? — Od česa je za- visna dolžina tetive? 13. * Izmeri razdaljo med nedo¬ stopnima točkama A in B (sl. 233.)! — (Zakoliči skoz primerno ležečo točko T premici a in b, stoječi druga na drugi pravokotno, nato pa določi na njih nožišča A', B', A", B" pravokotnic, ki jih po¬ staviš skoz A in B ; potem bo AB = \f a'B' 2 + — Zakaj?) 14. V enakokrakem, pravo¬ kotnem trikotniku meri hipotenuza 13 cm; kolik je obseg in kolika je ploščina trikotnika? 15. Kolik je obseg, diagonala, ploščina pravokotnika s stra¬ nicama a) o = 16 m, b = 30m; b) a = 21 m, b = 72m; c) a = = 7-2 dm, b = 9-6 dm; č) a — 50-92 ... m, b = 35-14 . . . m? 16. Kolika je ploščina enakostraničnega trikotnika s stranico a) 20 cm; b) 30 m; c) 7-5 dm.7 17. Diagonala kvadrata meri 15-6 cm (3-4 m; 0-046 km); določi stranico, obseg, ploščino kvadrata! 153 Slika 234. 18. Pokrajina meri približno 10.000 km 2 ; kolika je stranica ploščinsko enakega kvadrata? 19. Ploščina kvadrata meri a) 36 cm 2 ; b) 324 m 2 ; c) 56-25 dm 2 ; c) 250 m 2 ; kolik je obseg, kolika je diagonala kvadrata ? 20. Kolika je ploščina kvadrata ob stranici, kolika kvadrata ob višini enakostraničnega trikotnika s stranico 3 cm? 21. * Zakoliči na polju enakostraničen trikotnik s ploščino 25 al 22. Slika 234. kaže zgornji del stavbe, ki ima spredaj in na desni prizidek. Določi ploščino strehe, ako značijo merska števila metre! 23. Ploščina enakokra¬ kega trikotnika meri 50 dni 2 , višina pa 12 dm; kolika je osnovnica, kolik je obseg? 24. Zapiši obrazec za izrek a) o kvadratu ob kateti, b) o kvadratu ob višini pravokotnega trikotnika! (Odseka na hipotenuzi zaznam enuj z a' in b'l) 25. Kolika je stranica romba z diagonalama a) d r = 10 cm in d 2 — 24 cm; b) 24 cm in 70 cm; c) 6-6 m in 11-2 m? 26. Kolika je diagonala romba, ako meri druga diagonala 2-6 dm, stranica pa 8-5 dm? 27. Stranica enakostraničnega trikotnika meri 12-38 kolika je diagonala ploščinsko enakega kvadrata? 28. Kolik je obseg enakokrakega tra¬ peza, ako merita osnovnici 4 m in 2-4 m, višina pa 1-5 m? 29. Hipotenuza pravokotnega trikot¬ nika meri 52 cm, ena kateta pa 34 cm ; določi obseg, odseka na hipotenuzi, višino, ploščino trikotnika! 30. * Določi dolžino daljice^4B(sl. 235.), ki ji je krajišče B nedostopno in ki ga iz A radi neke zapreke ne vidimo! — (Za¬ količi skoz A premico AC, na njo določi iz B pravokotnico BD, v C postavi na CB pravokotnico, da presekaš BD v E ; nato izmeri AD, DC in DE ; trikotnik BCE je pravokoten, DC je višina na hipotenuzo BE; zato je po izreku o kvadratu ob višini DČ 2 = m: BD X DE ; potemtakem je BD = D C de iz pravokotnega trikot¬ nika ABD sledi potem, da je AB=\^AD 2 -f BD 2 .) 154 31. Določi obseg, krajšo in daljšo diagonalo, ploščino pra¬ vilnega šesterokotnika s stranico a — 5 cm ! 32. Določi diagonalo učilnice, ki ima obliko kvadra! 33. Določi rob, površino, prostornino kocke z diagonalo D = 10 cm (18-73 . . . m) ! 34. Določi rob, diagonalo, prostornino kocke s površino 36 cm 2 (50 cm 2 ) ! -35. Kolika je površina, kolika prostornina tristranične (se¬ ster ostranične) pravilne prizme z osnovnim robom a = 2-5 cm in z višino v = 4-8 cm? 36. Kolika je površina pravilnega tetraedra (oktaedra) z robom a — 15 cm? 87. Kolike so- diagonale treh v istem oglišču stikajočih se mejnih ploskev in kolika je diagonala kvadra z robi a = 5-6 cm, b = 4-2 cm, c = 7-8 cm? Slika 236. 38. Kolika je diagonala osnovne ploskve, diagonala stranske ploskve, telesna diagonala, površina, prostornina kvadratne po¬ končne prizme z osnovnim robom a = 2-45 dm in višino v = 5-92 dm? 39. Kolik je stranski rob in kolik je plašč Cheopsove piramide z osnovnim robom a = 232 m in z višino v — 156 m? 40. Pojasni z načrtavanjem 2 in | 3! 41. Kolika je površina, kolika prostor¬ nina piramide, ki ima za osnovno ploskev kvadrat s stranico a = 5 cm, za stranske plos¬ kve pa enakostranične trikotnike? 42. Kako naraste površina, kako pro¬ stornina a) kocke, b) kvadra, če vse robe podvojimo, potrojimo i. t. d.? (Glej sliki 236. in 237.!) 43. Kolik je rob votle kocke, ki drži 100 kg živega srebra? 44. Prostornina kocke meri 27 cm 3 (10 dm 3 ); kolik je kockni rob, kolika je diagonala, kolika površina? 155 XX. Obseg in ploščina kroga. 1. Kako smo določili obseg premočrtnih likov? Ali mo¬ remo tudi krivočrtne like izmeriti neposredno z merilom ? Kako določi merjavec dolžino zakoličene krivulje? — Na isti način izmerimo približno tudi narisani krog: obod razdelimo na večje število lokov, njim pripadajoče tetive pa prenesemo s šestilom na premico; tako nastalo daljico izmerimo. Čim manjši so loki, tem natančnejše je mersko število dolžine oboda. Imenuj telesa, ki so jim del mejne ploskve krogi! Krogi so podobni liki. Kako se torej krogu izpremeni obod, če premer (polmer) podvojimo, potrojimo i. t. d. ? Izmeri na modelih neka¬ terih pokončnih valjev obode I- osnovnih ploskev! — Najprej izmeri z merilom premer, nato pa s trakom iz tankega papirja (ali tudi z nitjo) obod vsake osnovne ploskve; rezultate za¬ piši radi pregleda v razvidnico I. (o = obseg, d = premer = dia- meter). Primeri mersko število ob¬ sega z merskim številom pre¬ mera vsakega kroga in določi, kolikokrat je vselej obseg daljši od premera, t. j. poišči število, s katerim bi moral vsakikrat pomnožiti premer, da bi dobil obseg dotičnega kroga! Na razvidnici II. vidimo, da je to šte¬ vilo pri vseh krogih skoro enako, in sicer nekoliko večje nego 3. 2. Nariši krog; očrtaj mu kvadrat, včrtaj pa pravilni šesterokotnik (sl. 238.)! — Že na prvi pogled opaziš, da je obseg očrtanega lika večji, obseg včrta- nega lika pa manjši nego krožni obseg. Stra¬ nica kvadrata je enaka krožnemu premeru, torej je obseg kvadrata o 4 = 4 d ; stranica pravilnega šesterokotnika je enaka polovici premera, torej je obseg o e = 3 d. II. 156 Včrtaj in očrtaj krogu pravilen šesterokotnik, nato pra¬ vilen dvanajsterokotnik, štiriindvajseterokotnik i. t. d., primeri po vrsti obseg mnogokotnika z obodom kroga! — Risba ti pokaže tole dejstvo: čim večje je število mnogokotniških stranic, tem krajše so, tem večji je obseg včrtanih, tem manjši obseg očrtanih mnogokotnikov; obseg včrtanih kakor tudi očrtanih mnogokotnikov je krož¬ nemu obodu tem bliže, čim krajše so stra¬ nice ; če je število stranic zelo veliko, so .stranice tako majhne, da jih ni ločiti od pripadajočih lokov. Ali torej smemo krog smatrati za pravilen mnogokotnik z neizmerno majhnimi stranicami ? Natančnejši račun pokaže, da je na primer obseg včrta- nega 3072-kotnika enak d X 3i41592 . . ., obseg očrtanega 3072-kotnika pa d X 3' 141594 ... Na koliko decimalk se števili ujemata ? Kaj sklepamo iz tega glede na krožni obod ? Na pet decimalk zaokroženi stalni faktor 344159, s ka¬ terim moramo pomnožiti krožni premer, da dobimo krožni obod, zaznamenujemo z grško črko n (čitaj : pi!). Imenujemo ga Rudolfovo število, ker gaje Ludolf van Ceulen okrog leta 1600. prvi izračunil na 35 decimalk. Obseg kroga določimo, če mersko število pre¬ mera pomnožimo z Rudolfovim številom. — V znakih izražen se bere ta stavek: O = dn ali O = 2 rn. Iz tega sledi: d = ° = 1 o in r = -„°v — Izrazi z besedami ! jz n 2r. Izračuni ~ = 0'31830 . . .! Zgodovina števila n sega skoraj 4000 let nazaj. Že v sv. pismu se bere, da je n = 3, kar je seveda zelo nenatančno. Natančneje je to število določil grški matematik Archimedes (ki je živel okrog 1. 250. pr. Kr. r.); iz obsega krogu očrtanega 22 1 in včrtanega 96-kotnika je izračunil, da je tc = y = 3y. Zelo 355 poraben je primični ulomek n = (= 3441592 . . .), ki ga je 157 objavil Adrian Metius (1571—1635). (Zapomni si: 113 | 355!). Naš rojak Jurij Vega je 1. 1794. število n izračunil na 142 decimalk. Za praktično uporabo zadostuje dostikrat že -t = 3'14 ali ST = 3y. Naloga. Kolik je obod kroga, ako meri premer 9'8 cm? d = 9*8 cm o — ? o = dsi o = 30 8 . . . cm. 344 ... X 9-8 89 28 26 251 30'77 Rezultat določimo na eno decimalko (mm). 3. Znano je, da pripadajo enakim lokom istega kroga enaki središčni koti in obratno. Kako se torej izpremeni lok, če pripadajoči mu središčni kot podvojimo, potrojimo i. t. d. ? Kolik je lok, katerega središčni kot je enak polnemu kotu? — Po tem preudarku moremo po sklepnem računu do¬ ločiti dolžino loka l, ako sta znana pripadajoči središčni kot a in krožni polmer r. Središčnemu kotu 360° pripada obod 2 rsc, 1 ° V) V 1 M n® v v ^ v lok 2rr. 360’ 2 rit 360 a: 1 2 ma r na 360 = 180 ' = 0-0175 . . .) Kolik je lok l, ako je n. pr. r == 10 cm in a = 45° 18'? — Kot a pretvori v stopinje! Če je kot a določen v ločnih minutah, razdelimo obod na 360X60 — 21.600 delov (minut); potem je l = rna I0.800' Izračuniti moremo tudi središčni kot a, ako sta znana pripadajoči mu lok l in polmer r, ter izračuniti polmer r, če poznamo lok l in pripadajoči središčni kot a. Pokaži a) po sklepnem računu, b) z razrešitvijo enačbe 1 = da J e 180 l . 180 / . a =-m r =-! rn an 158 4. Kakor so obsegi krogu včrtanih in očrtanih pravilnih mnogokotnikov tem bliže krožnemu obodu, čim manjše in zato tem številnejše so stranice, prav tako so tudi njih ploščine bolj in bolj enake krožni ploščini. Če je število stranic zelo veliko, jih več ne ločimo od pripadajočih lokov; zato smemo reči, da je krog pravilen mnogokotnik z neštetimi, neizmerno majhnimi stranicami. Ploščina kroga je torej kakor ploščina pravilnega mnogo- kotnika enaka ploščini trikotnika z osnovnico, enako obodu, in z višino, enako polmeru (glej sliko 189.!): Ker je o = 2 m, je 2ricr P= 2 r*n. Ploščino kroga določimo, če Ludolfovo število pomnožimo s kvadratom polmera. Ako je znan premer d, je r = pa r 2 = torej je d 2 n p - r- Iz obrazcev za ploščino kroga dobimo za r, oziroma za d: r 2 = ", torej je r = |/|; d 2 = 4 |, torej je d = 2 |/f. Izračuni ploščino osnovnih ploskev pri valjih, kateri nam rabijo za modele! Naloga 1. Pretvori kroga s polmeroma r t in r 2 v en krog! Ploščina kroga s polmerom rj je p j = r^n, ploščina kroga s polmerom r 2 pa je p 2 = r 2 2 n. Ako zaznamenujemo polmer zahtevanega kroga z x, je po nalogi x 2 n = i\ 2 n -|- r 2 2 n = ( r j 2 r^)ji ali x 2 = r t 2 + r 2 2 ; torej je x = / r { 2 -f rS. Polmer x kroga, katerega ploščina je enaka vsoti ploščin dveh krogov, je enak-hipotenuzi pravokotnega trikotnika, ka- 159 terega kateti sta polmera danih krogov. (Uporaba Pitagorovega izreka pri krogih, ki imajo za polmer stranice pravokotnega trikotnika.) ■*> Na podlagi navedenega moremo kroge seštevati, odštevati, množiti in deliti tako, da je rezultat zopet krog. Naloga 2. Določi Ludolfovo število n približema s tehtnico! Izrežimo iz tanke cinkovne pločevine krog in kvadrat s polmerom, oziroma s stranico n. pr. 1'5 dm\ Ploščina kroga je p = r-n, a ploščina kvadrata p x = a 2 = r 2 ; torej je Ako plošči iztehtamo, dobimo za okroglo ploščo 755 64 . .. g, za kvadratno ploščo pa 240'53 ... g; torej je _ 755-64 . . . U ~ 240-53 . . . 31416 . . . 5. Kako imenujemo ploskev, ki jo mejita istosrediščna ali koncentrična kroga ? — K o - 1 o bar no ploščino dobimo (sl. 239.), če od ploščine večjega kroga (s polmerom r t ) od¬ štejemo ploščino manjšega kroga (s polme¬ rom r 2 ); torej je p = r^n — r 2 % = ( r^ — r 2 2 )n = (r, — r 2 ) (r, — r 2 )n. Ploščino kolobarja določimo, če Ludolfovo šte¬ vilo pomnožimo z razliko kvadratov obeh polmerov. Povej z besedami tudi p = (r t -|- r.,) 0’i — r 2 )jtl Razliko polmerov (r t — r 2 ) imenujemo kolobarno širino. 6. Kako imenujemo del kroga, ki ga me¬ jita dva polmera in med njima ležeči lok ? Če lok razdelimo na mnogo prav majhnih lokov, razdelišča pa spojimo s središčem S, razpade izsek ali sektor (sl. 240.) na veliko število trikotnikov s prav majhnimi osnovnicami in z višino, enako polmeru. Izsek smemo torej kot vsoto teh tri- Slika 240. 160 kotnikov smatrati za trikotnik z osnovnico, enako loku l, in z višino, enako polmeru r. Ploščina izseka je torej Ploščina krožnega izseka je enaka polovici produkta iz loka in polmera. Kakor smo dognali, je lok T ttm . . na r c 2 na ~ TbO ’ torej je P ~ Tšo ‘ 2 = 360 • Ker pripadajo enakim lokom istega kroga enaki izseki, moremo ploščino izseka določiti tudi po sklepnem računu: središčnemu kotu 360° pripada krog r 2 n, 10 i7Qplr _- n 7) 1 n q0Q5 0 r 2 n a ” » a ” ” w» torej je p = Zapiši obrazca za r in za a krožnega izseka, če poznaš p in a, oziroma p in r ! Kako imenujemo del kroga, ki ga mejita tetiva in njej pripadajoči lok ? Kako bi določil ploščino krožnega odseka ali seg¬ menta? Vaje. 1. Premer kroga meri 30 cm; kolik je obseg in kolika je ploščina tega kroga? 2. Določi dolžino železnih obročev za kolesa štirikolesnega voza, katerega prednji kolesi imata polmer r 1 == 3-6 dm, zadnji pa polmer r 2 = 4-8 dm\ 3. Kolikrat se zavrti krogla s premerom d = 18 cm, ako jo zakotališ po 15 m dolgem kegljišču? 4. Izmeri obseg ravnika na šolskem globu in določi njegov polmer! 5. Kako debelo je deblo, ki meri v obsegu 5 m? 6. Nariši krog, katerega obod je enak a) vsoti, b) razliki obodov dveh krogov s polmeroma r t = 5 cm in r 2 = l-5 cm\ 7. Kolik je polmer meridianskega kroga, ki meri približno 40.000 fcm? 161 8. Koliko meri ločna stopinja (minuta, sekunda) na ravniku, katerega polmer je r = 6377 fcm? 9. Kolika je pot katerekoli točke na ravniku v 1 sekundi (minuti) ? 10. Kolik je lok, ki mu v krogu s polmerom r — 8 cm pri¬ pada središčni kot a. = 45° (60°, 90°) ? 11. Kolik je polmer zemeljske oble, ako meri širinska sto¬ pinja 111 km ? 12. Kolik je polmer kroga, katerega lok ene stopinje meri 1 m? 13. Kolik je polmer kroga, v katerem pripada 10 cm dol¬ gemu loku središčni kot 10° ? 14. Nariši daljico, ki je enaka obodu kroga s polmerom r = l cm (3 cm)! — Naloge ne moremo natančno razrešiti z rav¬ nilom in šestilom. Najenostavneje jo razrešimo približema, če na premici odmerimo 3 i krat pre¬ mer. — Natančnejša je nasled¬ nja razrešitev, ki popolnoma ustreza praktičnim zahtevam: V krajišču B premera AB (sl. 241.) narišemo tangento, pa jo pre¬ sekamo s premico SC, ki tvori z AB kot 30°; če odmerimo na tangenti od C preko B daljico CD = 3 r, D pa spojimo z A, je AD približno polovica krožnega oboda (Kochanski 1.1685.).— Preizkusi natančnost z računom! (AD je hipotenuza trikotnika ABD, AB = 2 je ena kateta, BD — CD — CB je druga kateta. Izračuni CB kot polovico stranice enakostraničnega trikotnika z višino BS = 1 i. t. d.!) 15. Koliko časa potrebuje konica 11 mm dolgega kazalca minut, da premeri 1 m dolgo pot? 16. Kolika je ploskev vodne gladine okroglega ribnika, ki ga obideš z 250 koraki (1 korak = 0‘75 m)? 17. Koliko stopinj meri lok, ki je enak krožnemu polmeru? 18. Pretvori krog s polmerom r = 2-5 cm a) v trikotnik, b) v kvadrat! (Glej vajo 14.!) 19. Kako se izpremeni a) obseg, b) ploščina kroga s polmerom r = 1 cm, ako polmer podvojimo, potrojimo i. t. d.? (Razvidnica!) 20. Kolika je ploskev, ki jo mejita krožni obod (r = 2-5 cm) in obseg krogu včrtanega kvadrata (pravilnega šesterokotnika) ? 21. Kolik je polmer kroga, ki ima a) isti obseg, b) isto ploščino kakor kvadrat s stranico a = 5 cm? 22. Kvadrat, enakostraničen trikotnik in krog imajo enak obseg o = 50 cm. Izračuni in primeri ploščine teh likov! A Mazi: G-eometrija za nižje razrede. 11 162 23. Obod kroga meri 100 cm; kolik je obod kroga, ki ima še enkrat tolikšno ploščino? 24. Nariši krog, ki je enak a) vsoti, b) razliki krogov s pol¬ meroma = 5 cm, r 2 = S cm! Računi in riši! 25. Nariši krog, ki je enak vsoti treh (štirih) določenih krogov! 26. Nariši krog, ki je dvakrat (trikrat) tolikšen kakor krog s polmerom r = 1 cm ! 27. Nariši krog, ki je enak polovici kroga s polmerom r— 3 cml 28. Železna cev ima notranji premer 20 cm in debelino 1-8 cm; kolika je ploščina, kolik je obseg poprečnega prereza? 29. Kolik je polmer kvadranta (sekstanta, oktanta), če meri a) obseg kroga 1 m, b) ploščina kroga lm 2 ? 30. Kolika je ploščina krožnega izgeka s polmerom r = 7-6 cm in lokom 1 = 3-8 cm (38° 15')? 31. Kolik je središčni kot a, ki pripada krožnemu izseku s polmerom r — 7-4 dm in s ploščino p = 54'76 dm 2 ? 32. Kolik je polmer krožnega izseka z lokom l =14-8 cm in s ploščino p = 109-53 cm 2 ? 33. Kolik je središčni kot krožnega izseka, a) katerega lok je enak polmeru, b) katerega ploščina je enaka kvadratu polmera? 34. Nariši v krogu s polmerom r = 3 cm tetivo z dolžino 4-5 cm, nato pa določi ploščino odseka, ki ga mejita tetiva ter njej pripadajoči lok! 35. Včrtaj krogu s polmerom r = 4cm a) pravilen šestero- kotnik, b) kvadrat in c) enakostraničen trikotnik; nato določi plo¬ ščino posamnih odsekov, ki jih mejita stranica lika in nji pripa¬ dajoči lok! 36. * Izmeri dolžino rečnega obrežja (železniškega tira) ob ovinku! — (Dolžino krive črte določiš približno s tem, da krivko razdeliš na več daljic in te izmeriš. Čim krajše so te zakoličene daljice, tem bliže resnični dolžini krivke je njih vsota. — Je li tako določena vsota manjša ali večja nego resnična dolžina krivke?) XXI. Površina in prostornina valja in stožca. 1. Kako stvorimo pokončni valj ali pokončni ci¬ linder? Kateri ploskvi imenujemo osnovni ploskvi in kateri pravimo plašč? Kako zovemo daljice, ki jih moremo na plašču narisati med osnovnima ploskvama? Kdaj je valj enakostraničen? Imenuj lik, ki je osni presek po¬ končnega valja (enakostraničnega valja)! Kakšen lik dobimo, če plašč pokončnega valja po eni stranici prerežemo in razgrnemo v ravnino ? — Ker je ena 163 stranica tega pravokotnika enaka obodu osnovne ploskve, druga stranica pa enaka višini valja, je obrazec za ploščino plašča: p — 2 rnv. Ako pridenemo razgrnjenemu plašču osnovni ploskvi (sl. 242.), se pokaže, da je površina po¬ končnega valja enaka vsoti dvojne osnovne ploskve in plašča: P — 20 Ar p — 2r 2 Jt -j- 2 rnv — = 2 rn (r -(- v). V enakostraničnem valju je premer osnovne ploskve enak valjni višini (stranici); ploščina tega plašča je potem p = 2rn . 2r — 4r 2 ^, površina enakostraničnega valja pa je P — 2v 2 jv -j- 4r% = 6 r 2 n. 2. Kako smo dognali pravilo za prostornino prizme'? Ako iztehtamo več modelov valja, iz iste snovi narejenih s ploščinsko enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino, se pokaže, da je njih teža enaka. Votli modeli istih valjev drže enako množino tekočine. Kaj sklepamo iz tega glede prostornine valjev z enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino ? Ako pokončnemu valju očrtamo in včrtamo več pravilnih prizem, je njih oblika valju toliko bliže, kolikor več imajo njih osnovne ploskve stranic; kjer je število stranic zelo veliko, ni osnovnih ploskev prizme več ločiti od krogov, stranskih ploskev od plašča in tudi ne prizme od valja. Za prostornino valja torej velja isti obrazec kakor za prostornino prizme, namreč: V = Ov; ker pa je ploščina osnovne ploskve enaka r 2 iz, je V = r 2 nv. n 164 pl Prostornina valja je enaka produktu iz osnovne oskve in višine. Ako je valj enakostraničen, je prostornina V = r 2 jr.2r = 2r s n. 3. Kako stvorimo pokončni stožec? Kakšni ploskvi mejita stožec in kako jima pravimo ? Kako imenujemo daljice, ki jih moremo narisati na plašču ? Kdaj je stožec enako- V straničen? Kakšen lik je osni presek pokončnega stožca (enako¬ straničnega stožca) ? Kakšen lik dobimo, ako plašč pokončnega stožca po eni stranici prerežemo in razgrnemo v rav¬ nino? — Ker je polmer tega iz¬ seka enak stožni stranici s, lok pa obodu osnovne ploskve, je obrazec za ploščino stožnega plašča Ir 2 rus P ~~ 2 ~~ ~2 = ms. Če pridenemo razgrnjenemu plašču osnovno ploskev (sl. 243.), se pokaže, da je površina pokončnega stožca enaka vsoti osnovne ploskve in plašča: P = 0 -j- p = r 2 n -j- ms — m ( r -f- s). V enakostraničnem stožcu je premer osnovne ploskve enak stranici stožca; zato je ploščina plašča p ----- 2r%, površina enakostraničnega stožca pa je P = r 2 iv -j- 2 r 2 jv = 3 r 2 n . 4. Ako iztehtamo več modelov stožca, iz iste snovi nare¬ jenih z enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino, se pokaže, da imajo enako težo. Votli modeli istih stožcev drže enako množino tekočine. Kaj sklepamo iz tega glede prostornine stožcev z enakimi osnovnimi ploskvami in z enako višino ? 165 Ako pokončnemu stožcu očrtamo in včrtamo več pravilnih piramid, je njih oblika stožcu tem bliže, čim več imajo njih osnovne ploskve stranic; kjer je število stranic zelo veliko, ni osnovne ploskve piramide več ločiti od kroga, stranskih ploskev od plašča in tudi ne piramide od stožca. Za prostornino stožca velja torej isti obrazec kakor za prostornino piramide, namreč: V ker pa je ploščina osnovne ploskve enaka r‘ l n, je V = r V nv 3 ’ Prostornina stožca je enaka tretjini pro¬ dukta iz osnovne ploskve in višine. Ako je stožec enakostraničen, je osni presek enakostraničen trikotnik (sl. 244.). Višino takega stožca dobimo iz pravokotnega trikotnika ASV: v = |4r- — r 2 = r 1/3; zato je prostornina enakostraničnega stožca K = / JVs. Vaje. 1. Določi površino in prostornino valjev, ki nam rabijo za modele! 2. Koliko kartona porabiš za mrežo pokončnega valja s pol¬ merom r = 4 cm in z višino v = 12 cm? — Sestavi telo! 3. Kolik je plašč pokončnega valja, ki ima polmer enak višini v = 8-Q cm ? — Primeri ploščino plašča s ploščino osnovne ploskve! 4. Koliko vode drži 4 m globok vodnjak s premerom d = 1-2 m? 5. Kolika je površina, kolika prostornina valjev, ki nasta¬ neta, ako zavrtimo pravokotnik s stranicama a = 5-8 cm in b = 8-6 cm okoli srednji c? 6. Koliko kubičnih metrov lesa da 4-8 m dolgo in 1-2 m debelo bukovo deblo skoro valjaste oblike? — Koliko tehta deblo? 7. Osni presek valja je kvadrat s ploščino 1-44 m 3 ; kolik je plašč, kolika je višina, kolika je prostornina tega valja? 8. Razgrnjeni plašč valja je kvadrat s stranico 3 dm ; kolika je višina, kolika prostornina tega valja? 166 9. Kako se izpremeni a) površina, b) prostornina enako¬ straničnega valja s premerom 1 dm, ako premer podvojimo, po¬ trojimo i. t. d.? 10. Kako naraste prostornina valja, če se osnovna ploskev (višina) ne izpremeni, višina (premer) pa podvoji, potroji i. t. d.? 11. Kako naraste prostornina valja, ako premer in višino podvojimo, potrojimo i. t. d. obenem? 12. Kako naraste prostornina valja, ako višine ne izpremenimo, pač pa podvojimo, potrojimo i. t. d. obseg osnovne ploskve? 18. Kolika je višina 1 kg težke uteži valjaste oblike iz medi, ako je njen premer enak 4-5 cm? 14. Brusni kamen z debelino 6 cm in z obsegom 1 m ima v sredini izdolbeno luknjo v obliki kvadratne prizme z osnovnim robom 2-5 cm; koliko telita kamen (specifična teža ‘2-42 . . . g) 1 ? 15. Kolik bi moral biti votel enakostraničen valj, da bi ga napolnili s 512 tonami živega srebra, kolikor ga je dobavljal na leto idrijski rudnik? 16. Koliko bi tehtala 2-5 m dolga železna cev s poprečnim prerezom, kakršnega vidiš na sliki 239. (1:100)? 17. Enakostraničen valj in kocka imata enako površino 50 dm 2 ; izračuni in primeri prostornini teh teles! 18. Prostornina soda je približno enaka prostornini pokonč¬ nega valja, katerega višina je enaka sodovni dolžini a in katerega premer d je enak tretjini vsote iz premera d 1 so- dovnega dnain iz dvojnesodovne debeline d., (sl. 245.): v = a, d -- di -f- 2d 2 V = d 2 ~a Slika 245. Koliko litrov drži n. pr. 1-5 m dolg in 1-3 m debel sod, ako je premer dna enak lm? 19. Koliko kartona porabiš za plašč pokonč¬ nega stožca s stranico s = 5 cm in s središčnim kotom a =180°? — Sestavi telo! 20. Kolika je površina, kolika prostornina pokončnega stožca s premerom d = 8 cm in z višino v = 12 cm? 21. Kolika je površina, kolika prostornina telesa, ki nastane, ako zavrtimo enakokraki pravokotni trikotnik s hipotenuzo c = 30 cm a) okoli katete, b) okoli hipotenuze? 22. Stranica pokončnega stožca meri 1 dm, višina pa 0-8 dm-, kolika je površina, kolika prostornina tega stožca? 23. Odgovori na vprašanja 9., 10., 11. in 12. vaje, ko si za¬ menjal besedo valj z besedo stožec! 24. Koliko kilogramov voska drži posoda z obliko enakostra¬ ničnega stožca s premerom d = 20 cm (10-38 dm)? 25. Osni presek stožca je enakostraničen trikotnik s ploščino p = 100 cm 2 ; kolika je površina, kolika prostornina tega stožca? 167 26. Streha okroglega stolpa ima obliko pokončnega stožca z višino v = 8 m in z obsegom osnovne ploskve o = 24 m. Koliko stane pleskanje strehe, ki je pokrita z bakreno pločevino, ako se računi 8500 p za 1 m 2 ? 27. Kolik je polmer in kolika je površina enakostraničnega stožca s prostornino V = 50 cm s (27-849 dm 3 )? 28. Pri prelitju svinčenega pokončnega valja s polmerom r — 10 cm in z višino v = 30 cm v enakostraničen stožec računimo na izgubo svinca 5°/ 0 ; kolik bo premer stožca? 29. Kolika je površina in prostornina pokončnega stožca s polmerom r=21 cm in s stranico s = 35 cm? 30. Pokaži, da je razgrnjeni plašč enakostraničnega stožca polkrog! 31. Kocka, enakostraničen valj in enakostraničen stožec imajo enako prostornino V = 512 m 3 ; primeri površine teles! 32. Pokončnemu stožcu s polmerom r = 5 dm in z višino v — 12 dm sta včrtani pravilna četverostranična in pravilna šestero- stranična piramida; izračuni in primeri površine in prostornine teh teles! XX II. Površina in prostornina krogle. 1. Kako stvorimo kroglo? Katerim krogelnim krogom pravimo veliki krogelni krogi? Če krog k (sl. 246.) s tetivo AB, ki je pravokotna na osi o, zavrtimo okoli te osi, nariše krog krogelno ploskev, te¬ tiva pa krog k x , katerega središče S ± leži na osi. Če je r krogelni polmer, polmer in s (SS,) središčna razdalja kroga ki, je po Pitagorovem izreku r 2 = s 3 -j- r i, s = \f v 2 — 1 \ 2 in fj = | fr 2 — s 2 . Ali moremo krogelno ploskev raz¬ grniti v ravnino? Obrazec za krogelno površino si zapomnimo brez utemeljevanja: JP 1 r 2 n. Krogelna površina je enaka štirikratni ploščini velikega krogelnega kroga. |° Slika 246. 168 Iz navedenega obrazca sledi, da je o P J. |/p r- = tore] r = ^ . Kolika je površina, ako je znan krogelni premer ? 2. Mislimo si, da smo na krogelni ploskvi ravnik in en meridianski krog razdelili na mnogo prav majhnih delov, skoz razdelišča pa narisali meridiane in vzporednike: krogelna ploskev je preprežena z mrežo, sestoj ečo iz zelo mnogo prav majhnih četverokotnikov, oziroma trikotnikov. Nadalje si mi¬ slimo, da smo oglišča teh likov spojili s krogelnim središčem: krogla sestoji zdaj iz zelo mnogo prav vitkih piramid, ki imajo omenjene like za osnovne ploskve in krogelni polmer za višino. Končno [si mislimo vse te piramide pretvorjene v eno samo, katera ima isto višino, za osnovno ploskev pa vsoto osnovnih ploskev vseh teh piramid. Ta piramida ima potemtakem isto prostornino kakor vse majhne piramide skupaj. Tako smo spoznali, da je krogla prostorno enaka piramidi, ki ima osnovno ploskev enako krogelni površini P, višino pa enako krogelnemu polmeru r: Ker je krogelna površina P = 4 r-n, je krogelna prostornina Krogelna prostornina je enaka tretjini pro¬ dukta iz površine in polmera. Iz obrazca za površino sledi, da je Zapiši obrazec za prostornino, ako je znan krogelni premer! 1. Kolik je polmer, kolika je ploščina krogelnega kroga s središčno razdaljo s — 1 cm (2 cm, 3 cm), ako meri krogelni pol¬ mer 5 m? 2. Kolika je središčna razdalja krogelnega kroga s ploščino 36-32 cm 2 , ako meri krogelni polmer 8 cm? Vaje. 169 3. Ravnina, s katero presekamo kroglo, ima središčno raz¬ daljo s, sečni krog pa obseg o ; kolika je površina, kolika pro¬ stornina krogle, ako je a) s = 6 cm, o = 50-24 cm; b) s = 2-7 m, o — 22-6 m? 4. Določi površino in prostornino šolskega globa! 5. Nariši krog, katerega ploščina je enaka površini krogle s polmerom r = 1 cm! 6. Površina zemeljske oble meri 9,282.000 /cm 2 ; kolik je zemeljski polmer? 7. Kako naraste a) površina, b) prostornina krogle s pol¬ merom r= 1 cm, ako polmer podvojimo, potrojimo i. t. d. ? 8. Kolika je površina, kolika prostornina zemeljske oble s polmerom r = 6360 km in kolika je površina, kolika prostornina solnčne oble, ki ima 108 krat tolikšen polmer kakor zemlja? 9. Kolika je površina, kolika prostornina slonokostene bi¬ ljardne krogle, ki tehta 200 g ? 10. Kolik je premer zlate krogle, katera tehta 50 kg? 11. Posoda, katera ima obliko polkrogle, je globoka 21 cm; koliko litrov vode drži? 12. Koliko bi tehtala a) krogla iz plute ali probkovine, b) steklena krogla s polmerom r=l m? — Preden začneš raču¬ nih, presodi težo približema! 13. Kovinasto grezilo Da koncu svinčnice ima obliko pokonč¬ nega stožca s polkroglo ob osnovni ploskvi. — Kolika je površina, kolika prostornina tega telesa, ako meri polmer osnovne stožne ploskve 1-5 cm, višina pa 4 cm? Kolika je teža tega telesa? 14. Votla krogla iz medi je debela 0*5 cm, notranji njen premer pa meri 15 cm; koliko tehta ta krogla? Ali bi plavala, če bi jo vrgel v vodo? 15. Površina krogle meri a) 1386 cm 2 , b) 254-34 m 2 ; kolika je prostornina te krogle? 16. Kolik je plašč krogli (r=ldm) očrtanega pokončnega valja? — Primeri plašč valja s krogelno površino! 17. Kolik je polmer krogle, ki jo dobimo, če krogli s pol¬ meroma r x = 12 cm in r 2 = 15 cm prelijemo v eno? 18. Kolik je polmer krogle, ki ima še enkrat tolikšno po¬ vršino kakor krogla s polmerom r = 5 cm ? 19. Koliko tehta krogla, ki ji je premer d = 30 cm in katera se pogrezne v vodo prav do polovice? (Tehta toliko, kolikor iz¬ podrinjena voda.) 20. Kocka in krogla imata enako prostornino V = 20 cm 3 ; katero telo ima večjo površino? 21. Pokončni stožec s polmerom r = 8 cm in z višino v = 12 cm prelijemo v kroglo; kolik je krogelni premer? 170 22. Iz svinčene kocke (« = 1 dm) ulijemo deset enakih krogel; kolik bo polmer vsake teh krogel, ako vzamemo v poštev, da gre pri ulivanju 5°/ 0 svinca v izgubo? 23. V votlem pokončnem valju s polmerom r = 10 cm sega voda 8 cm visoko; ako vržemo noter kroglo, naraste gladina vode do 15 cm. Kolik je krogelni polmer? 24. Včrtaj krogu s premerom d — 7 cm enakostraničen trikot¬ nik; nariši nato krožni premer, ki stoji na eni stranici trikotnika pravokotno! Kolika je prostornina, kolik je plašč, kolika je po¬ vršina stožca, ki nastane, ako zavrtiš krog s tri¬ kotnikom okoli načrtanega premera? — Primeri površino obeh vrtenin! 25. Enakostraničnemu valju (r = 1 dm) sta včrtana krogla in pokončni stožec, katerega osnovna ploskev se krije z eno osnovno ploskvijo valja in katerega višina je enaka višini valja. Izračuni ter primeri prostornino teh teles! 26. Kako daleč bi segal naš pogled s Tri¬ glava (2863 m) in kako daleč z Montblanka (4810m), ako ne bi obzora zakrivale gore i. dr.? (Glej sliko 247.! Če krog zavrtimo okoli TS, nariše kroglo, tangenta TA plašč pokončnega stožca, tetiva AB pa osnovni krog fobzor] stožca. Trikotnik SAT je pravokoten i. t. d.) T Dodatek. I. Nekaj opazk h geometrijskemu risanju. A. Risarsko orodje. Pri geometrijskem risanju nam rabijo naslednji pripomočki: 1. Risarska deska, katera mora biti popolnoma ravna in pravokotna. 2. Položno ravnilo, ki sestoji iz podolžnega ravnila (podolžnika) in iz glave (prečnika). Z notranjim robom preč¬ nika vedno ob levi rob risarske deske oslonjeni položnik po¬ mikaj niže ali više, kakor zahteva risba. Podolžnik mora dolžino risalnega lista presegati. 3. Dva pravokotna trikotnika, od katerih je eden enakokrak in ima torej kota po 45°, drugi pa je raznokrak s kotoma 30°, odnosno 60°. 4. Merilo, razdeljeno na milimetre. 5. Kotomer ali transporter. 6. Risalnik, ki naj vsebuje šestilo z grafitno ko¬ nico in šestilo s kovinskima konicama (mersko šestilo), nadalje ročno risalo (risalno pero) za risanje premih črt ,in šestilno risalo za risanje krogov. 7. Svinčnik, ki bodi srednje trd (štev. 3 ali 4, H ali HH). 8. Tekoči tuš, in sicer črni in višnjevi. 9. Dve radirki: mehka za izbrisavanje svinčniških, trda za izbrisavanje tušnih črt. 10. Peresa (št. 2^2, 3%, 4 1 / 2 ) za okroglo (francosko) in peresa za pokončno pisavo. 11. Barve (vodene) in čopiče. 172 B. Izvedba risb. Risalni list pritrdi z risarskimi žebljički na desko tako, da bo zgornji rob uravnan z zgornjim robom položnega ravnila. Zatem nariši na list pravokotnik, katerega zgornja stranica bodi od zgornjega roba risalnega lista odmaknjena 5 cm, ostale stranice pa naj bodo od robov oddaljene po 4 cm; s stranicami pravokotnika očrtani prostor je odmenjen za risbo. V sredino obrobnega pasu zgoraj pride n a dpi s (n. pr. Ri¬ sanje enostavnih predmetov.), na levi zgoraj označi svoj razred (n. pr. II. b), na desni zgoraj pa zapiši število lista (n. pr. L. 2.); na levi spodnjega obrobnega pasu napiši od¬ dajni datum (n. pr. 20. XI. 1927.), na desni pa se podpiši s svojim imenom in priimkom. Vse to, kakor tudi besedilo nad vsako sliko (nalogo), napiši s tušem v okrogli pisavi, risbo samo pa popiši s pokončnimi črkami, podobnimi tiskanim. Ker pokvari slaba pisava najlepšo in najtočneje izvedeno risbo, se je treba čimprej navaditi lepi pisavi. Risbo izvrši z vso natančnostjo s tankimi potezami s svinč¬ nikom, potem jo 'prevleci s tušem, in sicer najprej s črnim tušem srejdnjje debelo vse dane črte, zatem z višnjevim tušem tenko vse konstrukcijske črte, naposled pa s črnim tušem krepko rezultate. Če so v risbi krive črte, izvleci najprej te, potem šele izvleci preme. Ko si risbo izvlekel in popisal, jo skrbno očisti z mehko radirko in jo, ako je zahtevano, z zelo razredčenimi barvami pobarvaj. Risarsko orodje bodi vsekdar snažno! Snažen mora biti list, snažna mora biti risba! II. Specifična teža nekaterih teles (g):