Aritmetika za Spisal BI. Matek, o. kr. gimnazijski profesor v Mariboru. 1’ j- \ i cl e 1. Kot učna knjiga pri puščena po vis. ukazu c. kr. ministerstva za bogočastje in pouk z dne 16. januarja 1897, štev. 1062. Cena mehko vezani knjigi 1 K 80 h, trdo vezani 2 K 20 h. V Ljubljani. Natisnila in založila Ig. pl. Kleinmavr & Fed. Bamberg. 1896. Vsebina. § 1. Pojasnila. . 1 § 2. Desetiški številni sestav . . 2 § 3. Rimske številke.7 Računanje s celimi in jedno- imenskimi števili. § 4. Osnovni računski načini . . 7 § 5. Seštevanje celili in jednoimen- skih števil.8 § 6. Odštevanje celili in jednoimen- skili števil.11 § 7. Množenje celili in jednoimen- skih števil.16 § 8. Deljenje celili in jednoimenskih števil.26 Računanje z desetinskimi in mnogoimenskimi števili. § 9. Pojasnila.36 § 10. Seštevanje desetinskih in mno- goimenskih števil .... 40 §11. Odštevanje desetinskih in mno- goimenskili števil .... 41 § 12. Množenje desetinskih in mno- goimenskih števil s celimi števili.42 § 13. Deljenje desetinskih in mnogo- imenskih števil s celimi šte¬ vili .46 § 14. Množenje desetinskih in mno- goimenskih števil z desetin¬ skimi števili.50 § 15. Deljenje desetinskih in mnogo- imenskili števil z desetin¬ skimi števili.55 O deljivosti celih števil. stran § 16. Pojasnila.58 § 17. Znamenja deljivosti .... 58 § 18. Razstavljanje sestavljenih števil v prafaktorje.60 § 19. Največja skupna mera . . . 61 § 20. Najmanjši skupni mnogokratnik 62 Računanje z navadnimi ulomki. § 21. Pojasnila.63 § 22. Razširjevanje in okrajševanje navadnih ulomkov ... 65 § 23. Seštevanje navadnih ulomkov 67 § 24. Odštevanje navadnih ulomkov 68 § 25. Množenje ulomka s celim šte¬ vilom .69 § 26. Deljenje ulomka s celim šte¬ vilom .70 § 27. Množenje z ulomkom . \ . 71 § 28. Deljenje z ulomkom .... 72 § 29. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalne ulomke ... 73 § 30. Pretvarjanje decimalnih ulom¬ kov v navadne ulomke . . 75 Sklepni računi. § 31. Jednostavni sklepni račun . . 76 § 32. Obrestni račun.80 § 33. Odstotni ali procentni račun . 82 Razmerja, sorazmerja in njih uporaba. . § 34. Razmerje.85 ' § 35. Sorazmerje.87 § 36. Sorazmerne količine in upo¬ rabne naloge.90 Vadbe in Stran §§ 1, 2.94 §§ 3, 4. 95 §5 . 97 §6 . 99 §7 101 §8 .106 §9 ........... HO §10 .112 §11 .113 §12 .114 §13 .116 §14 .117 §15 .119 §§ 16, 17.122 §§ 18, 19.123 Stran §§ 20, 21.124 §22 .12'5 §23 .126 §24 .127 §25 .128 §26 .129 §27 .130 §28 .131 §§ 29, 30 . 134 §31 .135 §32 .137 §33 .138 §34 .141 §35 .142 §36 .144 O o date k. Mere, uteži in novci 149. U vod. § 1. Pojasnila. Stvari vsakdanjega življenja in tudi one našega mišljenja so ali iste vrste ali raznih vrst. Stvari iste vrste moreš zamenjati drugo z drugo ali popolnoma ali vsaj deloma; stvari raznih vrst se ne dajo tako zamenjavati. N. pr. ure in dnevi so stvari iste vrste, ker moreš nadomestiti ure z dnevi in dneve z urami; namesto osem in štiridesetih ur postaviš lahko dva dneva, in tri dneve smeš zamenjati z dva in sedemdesetimi urami; ali: osem ur da tretji del dneva, in polovica dne je jednaka dvanajstim uram. Leto in kilometer sta dve stvari raznih vrst. Istovrstne stvari = gleieh- artige Dinge. Raznovrstne stvari = ungleichartige Dinge. Število zaznamuje določeno množino stvarij iste vrste; vsako stvar posebej imenujemo jednoto. Kadar pridevamo stvari stvar iste vrste (jednoti jednoto) in ponav¬ ljamo tako pridevanje, tedaj štejemo. Štetje se vrši najprej v mislih. V govoru je treba posebnih imen, s katerimi izražamo števila, ki smo jih dobili pri štetji; za pisavo je treba posebnih znakov, ki nam prav kratko predočujejo števila. Imena števil zovemo števnike, pismenim znakom števil pravimo šte¬ vilke. Za prvih devet števil služijo nam v govoru ti-le štev- niki: jedna, dve, tri, štiri, pet, šest, sedem, osem, devet, in v pismu td-le številke: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Število == die Zahl. Jednota = die Einheit. Šteti. Števnik = das Zahlwort. Številka = die Ziffer. Navedene številke se imenujejo arabske, ker so jih Arabci Arabske številke. prinesli v Evropo; izumili so jih pa Indci. Število, ki naznanja množino in vrsto naštetih stvarij, imenujemo imenovano število; število pa, ki pove le mno¬ žino, ne pa vrste naštetih stvarij, je neimenovano število. Tako je n. pr. «7 gramov* imenovano število, «8» pa neimeno¬ vano število. Imenovano število = die bcnannte Zahl. Neimenovano število — die un- benannte Zahl. Matek. Aritmetika 1 2 Kadar spajamo ali vežemo določena števila med seboj po določenih pravilih, tedaj računamo. Število, katero pri računanji dobimo, zove se znesek ali rezultat. Nauk o računanji je aritmetika. Vsaka stvar, ki je sestavljena iz jednakih delov ali iz delov iste vrste ali se da vsaj tako misliti, imenuje se koli¬ čina. Bistvena lastnost vsake količine je, da jo moremo pove¬ čati in zmanjšati. Količine so: števila, telesa, ploskve, črte i. t. d. § 2. Desetiški številni sestav. Podlaga vsakemu računanju je štetje. Ce hočeš šteti, moraš si najprej misliti jednoto, tej jednoti pridejati jednoto, z dobljenim številom (v tem slučaji «dve») spojiti zopet jednoto in ravnati tako dalje. Štetje ni omejeno; kajti vsakemu šte¬ vilu se da pridejati jednota. Največjega števila ne moreš povedati in si ga tudi ne misliti. Naravna številna Številno vrsto, katero dobimo po štetji, zovemo naravno vrsta = die številno vrsto, in števila te vrste imenujemo cela števila, natiirliche . . . zahienreihe. Naravno številno vrsto si lahko predocimo na pol omejeni Celo število = premici ali na polutraku: treba je le na polutraku AB od die ganze Zahl. 1 J 1 krajišča A načrtati jednake daljice drugo poleg druge. Vsaka 01 2 8456789 A | - 1- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - > B taka daljica predstavlja nam jednoto; dve daljici skupaj pred- očujete število «dve»; tri daljice skupaj dado število ' 2. Desetice (D) J oddelek jednic 3. Stotice (S) J 4. Tisočice (T) i 5. Desettisočice (I)t) : oddelek tisočev 6. Stotisočice (St) J v razredu jednic. 7. Milijonice (M) 8. Desetmilijonice (Dm) 9. Stomilijonice (Sm) 10. Tisočmilijonice (Tm) 11. Desettisočmilijonice (I)tm) 12. Stotisočmilijonice (Stm) oddelek jednic oddelek tisočev v razredu milijonov. * črke v oklepajih so znamenja dotičnih dekadičnih jednot. 5 Z bilijonicami (B) se začenja tretji razred, ki ima ime bilijonov in obsega oddelek jednic in oddelek tisočev. Vsako celo število sestavljajo dekadične jednote; dolo¬ čeno je popolnoma, ako povemo, koliko ima jednic, desetic, stotič i. t. d. Pri pismenem predočevanji celih števil so se dekadičnini jednotam odločila posebna mesta. Ta mesta štejemo od desne proti levi. Na prvo mesto pišemo jednice, na drugo desetice, na tretje stotice i. t. d. Naslednji načrt kaže razvrstitev deka¬ dičnih jednot po mestih v pisavi. 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 jednot, števila nad pikami pravijo, koliko je mesto, in črke pod pikami so znamenja dekadičnih jednot; potem sledi raz¬ vrstitev dekadičnih jednot v oddelke in razrede. Pri dekadičnih jednotah je treba tudi gledati na mno¬ žino jednot dotičnega reda. Množino jednot kateregakoli reda zaznamujemo z arabskimi številkami: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in z znakom 0 (ničla), ki pomeni, da na tistem mestu, kjer stoji ničla, ni nobene jednote. Vsaka številka naznanja torej na drugem mestu toliko desetic, na tretjem toliko stotič, na četrtem toliko tisočic i. t. d., kolikor na prvem jednic. 1. Einer (E) 2. Zehner (Z) 3. Hunderter (H) 4. Tausender (T) 5. Zehntausender (Zt) 6. Hunderttausender (Ut) Ordnung der Einer Ordnung der Tausender in der Classe der Einer. 7. Millionen (M) . 8. Zehner der Millionen (Zrn) Ordnun 8 der 9. Hunderter » » (Hm) I Einer 10. Tausender » » (Tm) > 11. Zehntausender » » (Ztm) 1 Cnnung er 12. Hunderttausender » » (Htm) ) Iausender in der Classe der Millionen. Dekadično šte¬ vilo — die deka- dische Zahl. Pismeno pred- očevanje deka¬ dičnih števil. Načelo o mestni vrednosti številk = das Positions- princip. 6 Številčna vrednost = der Ziffernwert. Mestna vrednost = der Stellenvvert. Čitanje deka- dičnih števil. Napisavanje dekadičnih števil. Razvrstitev de¬ kadičnih jednot pri romanskih narodih. Milijarda = die Milliarde. Po navedenem načelu o mestni vrednosti številk moramo pri vsaki številki določenega števila razločevati dvojno vrednost, in sicer številčno vrednost, ki določi množino jednot, in mestno vrednost, ki pove red jednot. Prva vrednost je neizpremenljiva, druga pa izpremenljiva; kajti prva je odvisna od podobe dotične številke, druga pa od mesta, na katero se zapiše številka. Tako ima n. pr. v številu 5604 številka 6 šte¬ vilčno vrednost šest in mestno vrednost stotič, t. j. 6 pomeni v navedenem številu šest stotič. Da pravilno čitamo napisano število, moramo ga najprej (vsaj v mislili) razdeliti na oddelke in razrede; med prvi in drugi razred postavimo vejico, med drugi in tretji razred pa dve vejici; oddelka vsakega razreda ločimo s piko drugega od drugega. Potem izgovarjamo zaporedoma vsak oddelek in vsak razred za-se (od leve proti desni) z imenom vred, ki ga ima oddelek, oziroma razred; le ime «jednic» prvega razreda in prvega oddelka v vsakem razredu se ne izgovarja. Število 8„470.158,205.986 čitamo tako-le: 8 bilijonov, 470 tisoč 158 mi¬ lijonov, 205 tisoč 986. Ako se večje število razreže s črtami na posamezne dele, mora se pri izgovarjanji vsakega dela za-se povedati mestna vrednost zadnje številke. V številu 57|93|2645|94 se čitajo s črtami zaznamovani deli tako-le: 57 stomilijonic (ali 57 sto- milijonov), 93 milijonic (ali 93 milijonov), 2645 stotič, 94 jednic. Včasih se čitajo cela števila tudi tako, da se imenujejo le njih številke zaporedoma od leve proti desni. Pravilno napisavanje večjih števil si jako olajšamo, ako pri napisavanji vestno gledamo na oddelke in razrede, t. j. ako pišemo števila po oddelkih in razredih z ločili vred, katera se stavijo med oddelke, oziroma med razrede. Ničla se piše tam, kjer ni jednot kakega reda. Romanski narodi ne razvrščajo dekadičnih jednot v od¬ delke in razrede, temveč oni delijo dekadične jednote samo v razrede, vsak razred po tri jednote. Naslednji načrt kaže tako razvrstitev. 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 „ -„ z - ' < ' - ... -- I "I ... razred razred razred razred razred trilijonov bilijonov milijonov tisočev jednic. Tisoč milijonov se imenuje milijarda. 7 § 3. Rimske številke. Rimljani so pisali števila s posebnimi znaki, kateri se še dandanes pogostoma rabijo za vrstilne števnike in za letnice. Pomenilo jim je: 1=1, V — 5, X — 10, L == 50, C = 100, D = 500, M = 1000. S temi sedmimi znaki predočujemo druga števila na ta način, da stavimo znake drugega poleg drugega, in sicer vselej večjega pred manjšega; izjemno pišemo manjši znak pred večjega, da ni treba staviti štirih jednakili znakov zaporedoma. N. pr. III = 3, VII = 7, XVI = 16, LXXV = 75, CLXVIII = 168; IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD ==400, CM = 900i.t.d. Pri čitanji števil, ki so napisana z rimskimi številkami, treba je dotične znake v mislih seštevati; le kadar stoji manjši znak pred večjim, mora se vrednost manjšega znaka odšteti od vrednosti večjega. Računanje s celimi in z jednoimenskimi števili. § 4. Osnovni računski načini. Števila, ki jih dobimo po štetji, dado se med seboj spajati na pet različnih načinov. Ti načini se imenujejo osnovni ra¬ čunski načini. Z dvema številoma, n. pr. s številoma 12 in 4, hočemo prav kratko pojasniti bistvo osnovnih računskih načinov. 1. Prištej številu 12 število 4! Pri tej nalogi iščemo novega števila, ki ima toliko jednot, kolikor jih imate določeni števili 12 in 4 skupaj. Ta računski način se imenuje seštevanje; pismeno se zaznamuje takd-le: 12 -j- 4 = ? 2. Odštej od števila 12 število 4! Število, katerega iščeš, mora imeti 4 jednote manj nego število 12. Ako torej prišteješ številu, katero najdeš, število 4, dobiš število 12. Ta računski način je odštevanje; pismeno se zaznamuje takd-le: 12 — 4 = ? 3. Seštej število 12 tolikokrat, kakor kaže šte¬ vilo 4! Število, katerega iščeš, mora biti 4krat večje kakor število 12. Ta računski način se zove množenje; pismeno se zaznamuje takd-le: 19 v 4 ? Rimske številke = die rbmischen Zahlzeichen. Pravilo za na- pisavanje deka- dičnih števil z rimskimi številkami. Čitanje števil napisanih z rimskimi številkami. Osnovni račun¬ ski način = die Grund- rechnungsart oder Grund- operation. Seštevanje = das Addieren. Odštevanje = das Subtrahieren. Množenje = das Multiplicieren. 8 Merjenje = 4. Odštevaj od števila 12 število 4 tolikokrat, d.is |_ o j j k 0r krat j e mogoče! Število, ki ga iščeš, nam pove, kolikokrat se 4 nahaja v 12. Ta računski način je mer j enj e ; pismeno se zaznamuje takč-le: 12 : 4 = ? Deljenje = 5. Razdeli število 12 na toliko jednakili delov, das Theiien. kakor kaže število 4! Število, ki ga iščeš, je četrti del števila 12. Ta računski način se imenuje deljenje v pravem ali ožjem pomenu te besede. Deljenje se pismeno zaznamuje ravno tako kakor merjenje. Deljenje v širjem Ako je treba dve določeni števili meriti ali deliti drugo pomenu besede 7 (j rU gim, dobimo v obeh slučajih isti rezultat, če se namreč ne oziramo na njegov pomen. Zato se smatrata četrti in peti računski način, akoravno sta po svojem bistvu zelo različna, samo za jeden računski način, ki se imenuje deljenje v širjem pomenu te besede. Računski znak Znaki: , X, :s katerimi zaznamujemo računske = das Rech- na čine, imenujejo se računski znaki; znak «=» se zove nungszeichen .... oder Operations- j e d n a č a j in se piše vselej tam, kjer hočemo zaznamovati zeichen. jednakost dveh stvarij. § 5. Seštevanje celih in jednoimenskih števil. 15 -|- 8 = ? 24 + 7 + 5 = ? Kaj se zahteva v navedenih nalogah? Seštevati = addieren. Pojasnilo o seštevanji. Scštevanec — der Summand. Vsota = die Summe. Znak seštevanja = das Additions- zeichen. Jednačaj = das Gleichheits- zeichen. Kako se sešteva. Dve ali več določenih števil seštevati se pravi, poiskati novo število, ki ima toliko jednot, kolikor jih imajo določena števila skupaj. Števila, ki se se¬ števajo, imenujejo se seštevanci ali suma udi; število pa, katerega iščeš, zove se vsota. Znak seštevanja je raven križ «—|—», ki se čita «več» ali «plus»; stavi se med sumande. Znaku «=» pravimo jednačaj; piše se pred vsoto ter pomeni, da je v vsoti toliko jednot, ko¬ likor jih je v sumandih skupaj. Dve števili, n. pr. 15 in 8, sešteješ takd-le. V naravni šte- izračunana vilni vrsti poiščeš prvi sumand. 15 in šteješ za toliko jednot dalje (naprej), kolikor jih ima drugi sumand 8. Število 23, do 9 katerega prideš na ta način, je vsota, koje iščeš. Ta vsota se imenuje izračunana vsota; sumandov ne poznaš v njej. N. pr. 15 —8 = 23 (čitaj: 15 plus 8 je jednako 23). Razun izračunane vsote imamo še nakazano vsoto, t. j. Nakazana vsota, izraz, s'katerim zaznamujemo seštevanje; kajti s tem izrazom določimo isto množino jednot, katera se nahaja v izračunani vsoti. Razloček med izračunano in nakazano vsoto je ta, da so v izračunani vsoti jednote spojene v jedno celoto, v nakazani vsoti pa ne. Da bode mogoče že po vnanjem ali po obliki ločiti nakazano vsoto od nakazanega seštevanja, hočemo pisati na¬ kazano seštevanje n. pr.: 15 -j- 8, in nakazano vsoto: (15 -J- 8). Znak, s katerim oklepamo nakazano vsoto, t. j. «()», ime- Oklepaj = ®e . v v - Klammer. nuje se oklepaj. Tri ali več števil sešteješ, ako prišteješ vsoti prvih dveh sumandov tretji sumand, dobljeni vsoti četrti sumand i. t. d. — N ’ pr ’ 24 4-7 + 5 = 31 4-5 = 36. Tudi pri treh ali več sumandih razločujemo izračunano vsoto in nakazano vsoto. Zadnja vsota ima isti pomen in se zaznamuje na isti način, kakor pri dveh sumandih. b) 19 )>l 4" 1 m == 26 Seštevanje 6 hi + 8 l + 9 l = 600 l + 8 l + 9 l = 617 /. imenovanih 11 11 števil. Kakšna števila so sumandi, kakšno število je vsota v na¬ vedenih nalogah? Ravno tako, kakor seštevaš neimenovana števila, seštevajo se tudi imenovana števila ali količine. Sumandi morajo biti jednakega imena ali se vsaj dati na isto ime pretvoriti; ime sumandov dobi tudi vsota. Količin, ki niso iste vrste, ne moreš seštevati. c) 6 + 7 = 7 + 6 = 13 Zakon o zame- 13 + 34 + 28 = 28 + 13 + 34 = 75. njavi suman; 8 X 4 X 3 = 32 X 3 = 96 7 X 2 X 5 X 9=14X 5 X 9 = 70 X 9 = 030. Produkt treh ali več števil je tisti k one č ni produkt, Konečni produkt katerega najdeš, ako pomnožiš produkt prvih dveh števil s -prodne”* 1 tretjim, ta novi produkt s četrtim i. t. d. c) 16 gl + 16 gl 4- 16 gl 16 gl = 16 gl X 4 = 64 gl. Ravno tako, kakor množiš neimenovana števila, množiš Množenje ime- tudi imenovana števila ali količine. Multiplikand more biti novan,h stev11 - količina, multiplikator pa ne; kajti multiplikand je tisto šte¬ vilo, ki se sešteva, in utegne torej biti imenovano število; multi¬ plikator pa pove samo, kolikokrat je treba sešteti multiplikand, in zaradi tega ne more imeti nobenega imena. Produkt je ko¬ ličina in z multiplikandom istega imena. d) 5X4 = 4X5 = 20. Ako predočimo in uredimo 20 jednot na ta-le način: Zakon o zamenjavi 11111 faktorjev. 11111 11111 11111 stvorimo 4 vodoravne vrste po 5 jednot, ali 5 navpičnih vrst po 4 jednote. če seštejemo te jednote po vodoravnih vrstah, dobimo 4krat po 5 jednot, t. j. 5 X 4; Če pa seštejemo iste jednote po navpičnih vrstah, dobimo 5 krat po 4 jednote, t. j. 4 X 5. Torej smemo reči: 5 X 4 = 4 X 5. Produkt se ne izpremeni, ako zamenjamo fak¬ torja med seboj. Ta izrek velja, dokler je multiplikand neimenovano šte¬ vilo. Če je pa multiplikand količina, ne smeš več zamenjati Matek, Aritmetika. 2 18 Zakon, po katerem množiš vsoto s številom. Delski produkt = das Theil- product. Zakon, po katerem množiš razliko s številom. faktorjev med seboj, če ne zamenjaš ob je.dnem tudi multi- plikandovega imena. N. pr. 5 gl X < = < gl X 5 = 20 gl. Navedeni izrek o zamenjavi faktorjev velja za vsako šte¬ vilo faktorjev, ker smeš zamenjati po dva in dva faktorja. Po navedenem pojasnilu o množenji nimate nalogi 8X1==? in 8 X 0 = ? nobenega pravega pomena; kajti določeno število jedenkrat, oziroma ničkrat sešteti, je brez smisla. Da moreš v takih slu¬ čajih določiti produkt, treba je faktorja zamenjati; potem najdeš 8 X 1 = 1 X 8 = » in 8 X 0 = 0 X 8 = 0, t. j. : Določeno število se ne izpremeni, ako ga po¬ množiš z 1. Ako pomnožiš določeno število z 0, je pro¬ dukt = 0. ej 36 X 8 = (30 -j- 6) X 8 — 240 -|- 48 — 288. Število 36 si moremo misliti kot vsoto števil 30 in 6. Ako je treba 36 množiti z 8, moramo 30 in 6 sešteti 8krat, če 30 seštejemo 8krat, dobimo 240; če pa 6 seštejemo 8krat, dobimo 48. Produkta 240 in 48 sta dela konečnega produkta in se zato imenujeta delska produkta. Konečni produkt najdemo, ako seštejemo oba delska produkta.. Vsoto množimo s številom, ako pomnožimo vsak sumand s številom in seštejemo dobljene dol¬ ske produkte. 88 X 7 = (90 — 2) X 7 = 630 — 14 = 616. Število 88 si mislimo lahko tudi kot razliko števil 90 in 2. Ako je treba 88 množiti s 7, moraš ali število 88 ali pa nakazano razliko (90 — 2) sešteti 7 krat. V zadnjem slučaji moraš minuend in subtrahend sešteti 7 krat, če sešteješ minuend 7krat, dobiš 630; če pa sešteješ subtrahend 7 krat, dobiš 14. Ako odšteješ od prvega delskega produkta drugega, najdeš konečni produkt. Razliko množimo s številom, ako pomnožimo minuend in subtrahend s številom in od prvega delskega produkta odštejemo drugi delski produkt. 19 Zakon, po katerem množiš število z vsoto. Zakon, po katerem množiš število s produktom. Množenje mnogoš te vi lenega števila z jedno- številčnim številom. f) 7 X 4-3 = 7 X (40 + 3) = 280 -j- 21 = 301. Ako je treba 7 množiti s 43, moramo 7 sešteti 40krat in 3krat; tako dobimo delska produkta 280 in 21, katera je treba sešteti, da najdemo konečni produkt. število množimo z vsoto, ako ga pomnožimo z vsakim sumandom in seštejemo dobljene delske produkte. g) 16 X 35 = 16 X (5 X 7) = 80 X 7 = 560. Multiplikator 35 je izračunani produkt iz faktorjev 5 in 7. V navedeni nalogi je treba multiplikand 16 sešteti 35krat. To storiš, ako sešteješ multiplikand 5 krat in dobljeni produkt 80 množiš s 7. Kajti v 80 se nahaja multiplikand 5krat, in če 80 pomnožiš s 7, sešteješ petkratni multiplikand 7 krat, t. j. prvotni multiplikand sešteješ 35 krat. Število množimo s produktom, obstoječim iz dveh faktorjev, ako ga pomnožimo z jednim fak¬ torjem in znesek z drugim faktorjem. Po pravilih, katera smo navedli do sedaj, ravnamo se prav pogostoma pri računanji na pamet. h) 2764 X 8 = 22112 ali: 2764 X 8 22112 Ako je multiplikand mnogoštevilčno število, množi se na¬ vadno pismeno. V navedeni nalogi moraš multiplikand 2764 sešteti 8krat, torej je treba multiplikandove jednice, desetice, stotice i. t. d. sešteti 8 krat. Ako pomnožiš multiplikandove jednice z 8, dobiš 32 jednic, t. j. 2 jednici in 3 desetice; 2 jed- nici zapišeš kot produktovi jednici, 3 desetice pa moraš poz¬ neje prišteti produktovim deseticam. Ako pomnožiš multipli¬ kandove desetice z 8, dobiš 48 desetic; tem deseticam ti je treba prišteti tiste desetice, ki si jih dobil pri izračunanji produktovih jednic. Tako dobiš po vsem 51 desetic, t. j. 1 de¬ setico in 5 stotič; 1 desetico zapišeš kot produktovo desetico, 5 stotič pa moraš pozneje prišteti produktovim stoticam. Ravno tako, kakor določiš produktove jednice in desetice, izračunaš tudi produktove stotice, tisočice i. t. d. Pri množenji smeš govoriti le toliko, kolikor je neobhodno potrebno; vse drugo izvršiš v mislih. Tako n. pr. je nepotrebno 2* 20 izgovarjati faktorje. Imenovati smeš le vsakokratne in konečne produkte in pa tista števila, katera je treba prišteti jednotam naslednjega višjega reda. V navedenem primeru govoriš tako-le: 32, 3; 48, 51, 5; 56, 61, 6; 16, 22. Debelejše natisnene šte¬ vilke so številke izračunanega produkta. — Produkt zapišeš ali v isto vrsto, v kateri stojita faktorja, ali pa pod multi- plikand. V prvem slučaji postaviš jednačaj med produkt in faktorja; v drugem slučaji pa napraviš pod multiplikandom ravno črto in pod to črto zapišeš produkt tako, da stoje jednote istega reda druga pod drugo. 9 X 5938 53442 V navedeni nalogi zamenjaš v mislih faktorja in potem množiš kakor v prejšnji nalogi. Govoriš tako-le: 72, 7; 27, 34, 3; 81, 84, 8; 45, 53. Produkt zapišeš primerno navedenemu umovanju. (7 X «) 170596 X 42 1194172 7165032 Množenje Ako se da multiplikator razstaviti na faktorja kakor v mnogoštevilnega navedeni nalogi, pomnožiš multiplikand s prvim faktorjem in produktom dveh znesek z drugim faktorjem. Primerjaj pravilo pod g)\ faktorjev. i) 485 X 10 485 X 100 485 X 1000 4850 48500 485000 Množenje Ako je treba n. pr. 485 množiti z 10, oziroma s 100, mnogoštevilnega 1000 i. t. d., moraš multiplikandove jednice, desetice, stotice števila z v dekadienimi jed- i- t- d. sešteti lOkrat, oziroma lOOkrat, lOOOkrat i. t. d. Ce notami. sešteješ n. pr. 5 jednic lOkrat, dobiš 50 jednic — 5 desetic; če sešteješ 5 jednic 100krat, dobiš 500 jednic = 5 stotič; če sešteješ 5 jednic lOOOkrat, dobiš 5000 jednic = 5 tisočic i. t. d. Pri množenji z 10, 100, 1000 i. t. d. izpremeni se le mestna vrednost multiplikandovib številk; kajti iz jednic postanejo desetice, oziroma stotice, tisočice i. t. d. To pa dosežeš, ako pripišeš multiplikandu jedno, dve, tri,.ničle. Celo število množiš torej z 10, 100, 1000, . . . , ako pripišeš številu 1, oziroma 2, 3, . . . ničle. 21 Ker se imenujejo števila 10, 100, 1000 i. t. d. dekadične jednote, smeš navedeno pravilo izraziti tudi ta.kd-le: Celo število pomnožiš z de kadično j e dno to, ako mu pripišeš toliko ničel, kolikor se jih nahaja v dotični dekadični jednoti. Ako množiš število z dekadično jednoto, po¬ veča se red vsake multiplikandove številke za toliko jednot, kolikor ničel se nahaja v dotični d ekadi čni jednoti. 485 X 70 485 X 700 485 X 7 000 33950 339500 3395000 Multiplikator 70 je izračunani produkt iz faktorjev 7 Množenje • n , • v. i w rr • mnogoštevilčnega in 10. S 70 množiš torej število, ako ga pomnožiš s 7 ni § te viia s dobljenemu produktu pripišeš ničlo. Iz katerih faktorjev je produktom dveh, sestavljen multiplikator 700, oziroma 7000? Kako množiš celo 'faktorjev' število s 700, oziroma s 7000? (8 X 7 X 100) 6149 X 5600 49192 34434400 Multiplikator 5600 je izračunani produkt iz faktorjev 8, 7 in 100. S 5600 množiš torej celo število, ako pomnožiš multiplikand s prvim faktorjem 8, znesek z drugim faktorjem 7 in novi znesek s tretjini faktorjem 100. (8000 -j- 700 + 90 + 4) k) 5682 X 3 794 17046000 3977400 511380 22728 21557508 Multiplikator 3794 je vsota števil 3000, 700, 90 in 4. Množenje Z ozirom na pravilo f) izvršimo množenje v navedeni nalogi, mn0 ?““’^ i ll “ neea ako pomnožimo multiplikand s 3000, 700, 90 in 4 ter seštejemo mnogoštevilčnim dobljene delske produkte. Da lažje seštejemo delske produkte, stevi,om - zapišemo jih drugega pod drugega tako, da stoje jednote istih redov druga pod drugo. 22 Množitev mnogoštevilčnih števil po navedenem načinu se da nekoliko okrajšati. V delskih produktih smemo namreč opustiti množenje z dekadičnimi jednotami. Ako to storimo, imajo posamezni delski produkti različne mestne vrednosti* in se zategadelj ne smejo več zapisavati tako drugi pod drugega, da bi stale njih zadnje številke druga pod drugo. Kako se množi na ta okrajšani način, hočemo pokazati na primeru, ki smo ga zgoraj navedli. 5682 X 3 794 17046 39774 51138 22728 21557508 V poprejšnjem smo izračunali prvi delski produkt, da smo pomnožili multiplikand s 3000, t. j. pomnožili smo multiplikand s 3 in znesek s 1000. če pa opustimo množenje z dekadično jednoto 1000, izračunamo prvi delski produkt, ako pomnožimo multiplikand s 3. Ta delski produkt ima mestno vrednost tisočev; kajti če seštejemo jednice lOOOkrat, dobimo tisočice. Drugi delski produkt smo izračunali v prejšnjem, da smo pomnožili multiplikand s 700, t. j. pomnožili smo multiplikand s 7 in znesek s 100. če pa opustimo množenje z dekadično jednoto 100, izračunamo drugi delski produkt, ako pomnožimo multiplikand s 7. Ta delski produkt ima mestno vrednost stotič; kajti če seštejemo jednice stokrat, dobimo stotice. Drugi delski produkt zapišemo pod prvega tako, da ga pomaknemo za jedno mesto proti desni, ker stoje stotice za jedno mesto na desno od tisočic. Na isti način izračunamo tretji delski produkt, ako pomnožimo multiplikand z 9. Ta delski produkt ima mestno vrednost desetic in se zapiše pod drugi delski produkt tako, da se pomakne za jedno mesto proti desni. Zadnji delski produkt izračunamo, ako pomnožimo multiplikand s 4. Ker ima ta delski produkt mestno vrednost jednic, zapiše se pod tretji delski produkt tako, da se pomakne zopet za jedno mesto proti desni. * Mestna vrednost dolskega produkta je ob jednem mestna vrednost njegove zadnje številke. 23 Iz navedenega smemo za množenje mnogoštevilčnih števil posneti td-le pravilo: Mnogo številčno število množiš z mn o go šte¬ vilčnim, ako pomnožiš ves multiplikand zapo¬ redoma z vsako multiplikatorjevo številko, začenši s številko najvišjega reda, dobljene delske pro¬ dukte zapišeš drugega pod drugega tako, da po¬ makneš vsakega naslednjega za jedno mesto proti desni, in konečno sešteješ vse delske produkte. Mestna vrednost vsakega delskega produkta se ujema, z mestno vrednostjo tiste multiplikatorjevo številke, katera je produktov, stvorila dotični delski produkt; zato tudi sledijo delski produkti drugi drugemu v istem redu, v katerem so multiplikatorjeve številke. Samo po sebi se razume, da nismo navezani pri iz- računanji dolskih produktov na nobeden red; kajti vsaka multiplikatorjeva številka določi le jeden delski produkt, in sicer tiste mestne vrednosti, katero ima dotična številka sama. Paziti je treba le na-to, da se delski produkti zapisujejo drugi pod drugega tako, da stoje jednote istih redov druga pod drugo. Ako se nahajajo ničle v multiplikatorji, so dotični delski produkti = 0; taki delski produkti se ne zapisujejo. Pri množenji smeš torej preskočiti vsako ničlo v multiplikatorji, naslednji delski produkt pa moraš pomakniti za toliko mest proti desni, kolikor ničel preskočiš, in vrh tega še za jedno mesto. Primerjaj navedeno množitev! 640382 X 700 904 4482674 5763438 2561528 448846305328 Kako določujemo mestno vrednost posameznih številk v Mestna vrednost dolskih produktih, spoznali bomo iz naslednjega. N. pr. mestno števdk^deiskih vrednost številke 2 v prvem delskem produktu (primerjaj produktih, navedeno nalogo!) najdemo takd-le. Prvi delski produkt stvori multiplikatorjeva številka 7; mestna vrednost tega delskega produkta so stotisočice. Ker stoji številka 2 za tri mesta na levo od zadnje številke prvega delskega produkta, ima za tri rede večjo mestno vrednost ko zadnja številka tega delskega produkta, t. j. mestno vrednost stomilijonic. Isto mestno vrednost najdemo tudi na drug način. Številka 2 zavzima četrto mesto prvega delskega produkta. Ta delski produkt stvori multi¬ plikatorjeva številka 7, kateri sledi še pet mest. Štiri in pet 24 mest skupaj določi deveto mesto, t. j. mesto stomilijonic. Iz navedenega, spoznamo torej, da je treba pri določevanji mestne vrednosti posameznih številk v delskih produktih gledati na dvoje, in sicer 1. na tisto mesto, katero zavzima dotična številka v delskem produktu, in 2. na število mest, ki sledijo v multiplikatorji oni številki, ki stvori dotični delski produkt. Vsota teh mest naznani nam tisto mesto, katero je treba določiti. Ako pomnožimo v zgoraj navedeni nalogi n. pr. multi- plikandovo številko 4 z multiplikatorjevo številko 9, določimo mestno vrednost dobljenega zneska 36 na isti način. Multi- plikandova številka 4 zavzima peto mesto in multiplikatorjevi številki 9 sledite še dve mesti; pet mest in dve mesti skupaj določite sedmo mesto, t. j. mesto milijonic. Znesek 36 ima torej mestno vrednost milijonic. Preskušnja. Ako se hočeš prepričati, ali si prav množil, treba je zamenjati faktorja in množiti še jedenkrat; če najdeš drugo- krat isti produkt kakor prvokrat, smeš ga smatrati za pravega 45863 X 11 krajše: 45863 X U 45863 504493 45863 504493 Ako je multiplikator 11, prikrajšaš si množenje tako-le. Prvo multiplikandovo številko na desni zapišeš neizpremenjeno v produkt, potem pa sešteješ od desne .proti levi prvo in drugo številko, drugo in tretjo, tretjo in četrto i. t. d. (BOO — 1) 4783 X 59» 2869800 4783 2865017 (900 — 4) 4783 X 896 4304700 19132 4285568 Včasih se da multiplikator razstaviti na razliko dveh števil tako, da ima minuend samo jedno veljavno številko s sledečimi ničlami, subtrahend pa je jednoštevilčen. N. pr. 896 — 900 — 4. V takih slučajih izvršiš množenje, ako po¬ množiš multiplikand z minuendom in subtrahendom ter odšteješ drugi delski produkt od prvega. Primerjaj navedeni nalogi ! (<>000 — 1) 8999 X 6482 58338000 6482 58331518 (8000 — 7) 7993 X 6482 51856000 45374 51810626 Včasih se da z multiplikandom tako ravnati, kakor smo ravnali v prejšnjih nalogah z multiplikatorjem. V takih slučajih zamenjamo v mislih faktorja ter množimo kakor poprej. Pri¬ merjaj navedeni nalogi! m) Uporabne naloge. 1. Pešec prehodi na dan 46 km', koliko v 23 dneh? 23 etnij je 23krat toliko kakor 1 dan; torej prehodi pešec v 23 dneh 23 krat 46 km. 4^ 23 Da se sklep ujema popolnoma s tem, kar zapišeš za pismeno računanje, treba je, da pišeš nazaj, t. j. da zapišeš najprej multi- 1058 / 1W plikator, potem znak množenja in konečno multiplikand. 2. 1 kg nekega blaga velja 68 kr; koliko velja a) 1 1 x • o deljenji. iz jednega faktorja poiskati drugega. Določeni pro- 27 dukt 15 se imenuje deljene c ali dividend; določeni faktor 3 Deijenec = ali «‘g S », nakazani kvocijent pa «(15 : 3)» ali «(*/)’• 29 b) 72:6 = (60 + 12) : 6 = 10 + 2 = 12. Ako je treba število 72 ali nakazano vsoto (60 —|— 12) zakon, p« deliti s 6, moramo ves dividend ali vsak vsotin del, t. j. vsak katere “ dells sumand, razdeliti na 6 jednakih delov. Kvocijenta 10 in 2, Deiski kvocijent katera dobimo pri teli delitvah, sta dela konečnega kvocijenta in se zato imenujeta delska kvocijenta. Konečni kvocijent najdemo, ako seštejemo oba delska kvocijenta. Vsoto delimo s številom, ako delimo vsak sumand s številom in seštejemo dobljene dolske kvocijente. (8XS) c) 72 : 24 = 9 : 3 = 3. Divizor 24 je izračunani produkt iz faktorjev 8 in 3. Ako je treba število 72 deliti s 24, moramo dividend razdeliti na 24 jednakih delov. To pa dosežemo, ako razdelimo dividend 72 na 8 jednakih delov in vsakega izmed teh delov še na tri jednake dele. Iz navedenega izvajamo: Število delimo s produktom dveh števil, ako ga delimo z jed n im faktorjem in znesek z drugim faktorjem. ,, , , J d) 14 : 7 = 2 Zakon, po katerem deliš število s pro¬ duktom. 42 : 21 = 2. Navedena primera imata isti kvocijent. Iz prvega primera Reda,j se ne iz- dobiš drugega, ako pomnožiš dividend in divizor s 3; obratno kv( P' dobiš iz drugega primera prvega, ako deliš dividend in divizor števil, s 3. Iz navedenega izvajamo: Kvocijent se ne izpremeni, ako pomnožiš, ozi¬ roma deliš dividend in divizor z istim številom. e) 39784 : 8 = 4973 ali: 39784 : 8 4973 Ako je treba n. pr. mnogoštevilčno število 39784 deliti z 8, moramo dividendove jednice, desetice, stotice i. t. d. raz¬ deliti na 8 jednakih delov. Deliti začnemo jednote najvišjega reda, v našem slučaji desettisočice. Ker se pa 3 desettisočice ne dajo razdeliti na 8 jednakih delov, pretvorimo jih na tiso¬ čice in dobimo tako 30 tisočic. Tem tisočicam prištejemo še tiste tisočice, ki se nahajajo v dividendu. Tako imamo po vsem 39 tisočic. Ako razdelimo 39 tisočic na 8 jednakih delov, znaša vsak del 4 tisočice in ostane še 7 tisočic, ki jih ne moremo Deljenje mnogo¬ številen ega števila z jedno- številčnim številom. 30 Delski dividend = der Theil- dividend. Mestna vrednost kvocijentovih številk. Deljenje rnnogo- številčnega razdeliti. 4 tisočice zapišemo kot prvo kvocijentovo številko, 7 tisočic pa pretvorimo na stotice in dobimo tako 70 stotič, če prištejemo tem stoticam dividendo ve stotice, imamo po vsem 77 stotič. Osmi del od 77 stotič znaša 9 stotič in ostane še 5 stotič. 9 stotič zapišemo kot drugo kvocijentovo številko, ostanek 5 stotič pa pretvorimo na desetice i. t. d. Na isti način določimo tudi naslednje kvocijentove številke. Večina navedenega umovanja se vrši le v mislih; govori se pri delitvi le toliko, kolikor je neobhodno potrebno; pri navedenem primeru takd-le: 8 v 39 je 4krat, ostane 7; 8 v 77 je 9krat, ostane 5; 8 v 58 je 7krat, ostane 2; 8 v 24 je 3krat. Dividendove sestavine, iz katerih določujemo posamezne kvocijentove številke, t. j. v navedenem primeru 39 tisočic, 77 sto¬ tič, 58 desetic in 24 jednic, imenujemo delske dividende. Vsaka kvocijentova številka ima tisto mestno vrednost kakor delski dividend, iz katerega se je določila; torej ima prva kvocijentova številka mestno vrednost prvega de Iške ga dividenda. Kvocijent pišemo ali v isto vrsto, v kateri stojita dividend in divizor, ali pa pod dividend. V prvem slučaji stavimo jed- načaj med divizor in kvocijent; v drugem slučaji napravimo pod dividendom ravno črto in pod to črto zapišemo kvocijent tako, da stoje jednote istega reda druga pod drugo. Primerjaj navedeno nalogo! 540760:9 = 60084 ali: 54 0760 : 9 4 ostanek 60084, ostanek 4 Govori: 9 v 5 se ne nahaja; 9 v 54 je 6krat; 9 v 0 je Okrat; 9 v 7 je Okrat, ostane 7; 9 v 76 je 8krat, ostane 4; 9 v 40 je 4krat, ostane 4. Kadar se deljenje ne da izvršiti brez ostanka, določimo približni kvocijent, delitveni ostanek pa zapišemo, kakor kaže zgoraj navedeni primer. (8 X 4) 562656 : 32 70332 17583 V navedeni nalogi je divizor izračunani produkt iz fak¬ torjev 8 in 4. V takih slučajih izvršimo deljenje, ako delimo 31 dividend s prvim faktorjem in znesek z drugim faktorjem, števila s pro- . v . duktom dveh Primerjaj izvršeno nalogo! faktorjev. f) 415(8: 10 147(00: 1(00 65(850 : 1-000 415, ostanek 8 147 65, ostanek 850 Koliko znaša deseti del od 1, 2, 3, ... 9 desetic, t. j. od 10, 20, 30, . . . 90 jednot? Koliko znaša stoti del od 1, 2, 3, . . . 9 stotič, t. j. od 100, 200, 300, . . . 900 jednot? Koliko znaša tisoči del od 1, 2, 3, . . . 9 tisočic, t. j. od 1000, 2000, 3000, . . . 9000 jednot? Ali moreš jednoštevilčno število razdeliti na 10 jednakih delov? Zakaj ne? Zakaj ne moreš števila, katero sestavljajo jednice in desetice (jednice, desetice in stotice) razdeliti na 100 (1000) jednakih delov ? Deljenje m nogo- številčnega števila z deka- dičnimi jed- notami. Ako izvršimo delitve v navedenih nalogah na isti način, kakor smo v prejšnjem storili pri delitvah z 8 in 9, in ako primerjamo dividend in kvocijent, najdemo pravilo: Celo število delimo z dekadično jednoto, ako mu odbijemo (odrežemo) na desni toliko številk, kolikor ničel se nahaja v dotični dekadični jed- noti; odbite številke tvorijo delitveni ostanek, ostali del dolo¬ čenega števila pa približni kvocijent. Primerjaj navedene naloge! (io x +) 764(5 : 40 191, ostanek 5 (100 X 6) 852-17 : 600 142, ostanek 17 (1000 X 8 X 8) 576,040 : 24000 72 24, ostanek 40 Divizorji 40, 600, 24000 navedenih nalog se dado raz- Deljenje mnogo- staviti na faktorje. V takih slučajih izvršiš dotično delitev po števiia^pro- pravilu, katero smo navedli pod c), če dobiš pri delitvi s duktom dveh, prvim faktorjem ostanek in istotako pri delitvi z drugim fak- r ° tor jem, kakor n. pr. pri nalogi 7534(1 : 8(0 941, ostanek 61 treba je oba ostanka spojiti v jednega. V navedeni nalogi da. delitev z 10 ostanek 1 in naslednja delitev z 8 ostanek 6. Ker dobiš ostanek 1 od jednic in ostanek 6 od desetic prvot¬ nega dividenda, je torej ves ostanek 61. 32 Deljenje mnogo- številčnega števila z mnogo- številčnim številom. g) 305876 : 47 = 6508 238 376 O Število 305876 delimo s 47, ako razdelimo njegove jed¬ nice, desetice, stotice i. t. d. na 47 jednakih delov. Deliti za¬ čnemo jednote najvišjega reda, v navedeni nalogi stotisočice. Ker se pa 3 stotisočice ne dado razdeliti na 47 jednakili delov, pretvorimo jih v desettisočice. Dobljenih 30 desettisočic zopet ne moremo razdeliti na 47 jednakih delov; zato jih pretvorimo v tisočice. Ako prištejemo tem tisočicam še tiste tisočice, ki se nahajajo v dividendu, dobimo po vsem 305 tisočic. 47ti del od 305 tisočic je 6 tisočic. Ker je 47 krat po 6 tisočic = 282 tisočic, ostane še od prvega delskega dividenda 23 tisočic. Ta ostanek pretvorimo v stotice, in ako prištejemo tem sto- ticam še tiste stotice, ki se nahajajo v dividendu, imamo po vsem 238 stotič. Ge razdelimo 238 stotič na 47 jednakih delov, znaša vsak del 5 stotič. Ker je 47 krat po 5 stotič = 235 stotič, ostanejo še od drugega delskega dividenda 3 stotice. Ta ostanek pretvorimo v desetice, in ako prištejemo tem deseticam še tiste desetice, ki se nahajajo v dividendu, dobimo po vsem 37 desetic. Ker ne moremo 37 desetic razdeliti na 47 jednakih delov, zapišemo v kvocijent na mesto desetic ničlo. Potem pretvorimo ostalih 37 desetic v jednice in tem jednicam prištejemo še tiste jednice, ki se nahajajo v dividendu; tako dobimo po vsem 376 jednic. Ako razdelimo 376 jednic na 47 jednakih delov, znaša vsak del natančno 8 jednic; kajti 47 krat po 8 jednic = 376 jednic. Iz navedenega se vidi, da najdemo ostanek pri vsakem delskem dividendu, ako pomnožimo divizor z vsakokratno kvo- cijentovo številko ter odštejemo ta delski produkt od dotičnega delskega dividenda. Množenje in naslednje odštevanje se da pri pismenem računanji izvršiti ob jednem. Večina zgoraj na¬ vedenega umovanja se vrši le v mislih. Govori se približno takd-le: 47 v 305 (ali poskusoma 4 v 30) je 6krat; 42 in 3 je 45, 4; 24, 28 in 2 je 30. Ostanku 23 pripišemo naslednjo dividendovo številko 8; 47 v 238 (ali 4 v 23) je 5krat; 35 in 3 je 38, 3; 20, 23 in 0 je 23. Ostanku 3 pripišemo na¬ slednjo dividendovo številko 7; 47 v 37 je Okrat (ničkrat), 33 ostane 37. Ostanku 37 pripišemo naslednjo dividendovo šte¬ vilko 6; 47 v 376 (ali 4 v 37) je 8krat; 56 in 0 je 56, 5; 32, 37 in 0 je 37. Na isti način, kakor se izvrši delitev mnogoštevilčnega števila z dvoštevilčnim, izvrši se tudi delitev mnogoštevilčnega števila z mnogoštevilčnim. Iz navedenega izvajamo: Vsaka kvocijentova številka ima tisto mestno Mestna vrednost vrednost kakor delski dividend, iz katerega se je do- k 'številk”'' h ločila. Prva kvocijentova številka ima torej mestno vrednost prvega delskega dividenda. 37632,15 : 768,00 = 49 71456,080 : 693(000 = 103 6912 2156 0, 15 ostanek. 77080 ostanek. Ako se ničle nahajajo na desni v divizorji, prikrajšamo si delitev nekoliko, ako odbijemo v divizorji ničle in v divi- dendu toliko številk na desni, kolikor je ničel v divizorji; kar ostane od dividenda in divizorja, pa delimo. Če dobimo pri tej delitvi ostanek, pripišemo mu odbite dividendove številke, in to je potem delitveni ostanek. Primerjaj izvršeni nalogi! Na kaj se opira navedeno postopanje? O pravosti izvršene delitve se prepričaš, ako pomnožiš Preskušnja. kvocijent z divizorjem in temu produktu prišteješ delitveni ostanek; če dobiš dividend za rezultat, si prav delil. h) Računski prikrajški. 6875 : 25 = 275 3375 : 125 = 27 275,00 27,000 Kvocijent se ne izpremeni, če pomnožiš dividend in divizor z jednim in istim številom. Ako torej pomnožimo dividend in divizor v prvem navedenem primeru s 4 in v drugem z 8, do¬ bimo divizorja 100 in 1000. Odtod izvajamo pravili: Število deliš s 25, ako ga pomnožiš s 4 in pro¬ dukt deliš s 100. Število deliš s 125, ako ga pomnožiš z 8 in pro¬ dukt deliš s 100 0. Matek, Aritmetika. 3 34 587 X 25 58700 : 4 643 X 125 643000 : 8 14675 80375 Število 25 (125) je četrti (osmi) del od 100 (1000). Ako pomnožimo določeno število s 100 (1000) in vzamemo od dob¬ ljenega produkta četrti (osmi) del, najdemo 25(125)kratni multiplikand. Odtod izvajamo pravili: Število pomnožiš s 25, ako ga množiš s 100 in produkt deliš s 4. Število pomnožiš s 125, ako ga množiš s 1000 in produkt deliš z 8. i) Uporabne naloge. 1. 5162 gl se razdeli med več oseb tako, da dobi vsaka oseba 29 gl; koliko je oseb? Ker dobi vsaka oseba 29 gl, mora biti toliko oseb, kolikorkrat se 29 gl nahaja v 5162 gl. Ta račun je mer¬ jenje. Da se delitev, ki jo 5162 gl: 29 gl = 178 zapišeš za pismeno računanje, 226 popolnoma ujema s sklepom, 232 treba ti je pisati nazaj, t. j. 0 178 oseb najprej zapišeš divizor, potem znak deljenja in konečno di¬ vidend. Primerjaj izvršeno nalogo! 2. 5941 5 K je treba jednako razdeliti med 255 oseb; koliko dobi vsaka oseba? Jedna oseba je 255ti del 59415 K : 255 = 233 K od 255 oseb; torej dobi 1 oseba 841 255 ti del od 59415 K. Ta račun 765 je pravo deljenje. Tudi tukaj 0 pišeš kakor pri prejšnji nalogi. Primerjaj izvršeno nalogo! 3. Pretvori 1209600 sekund a) na minute, b) na ure, c) na dneve! a) 12O96O[O sek.: 6;0 sek. 20160 20160 minut b) 2016 [O minut: 6 [0 minut = 336 c) 336 ur : 24 ur = 14 96 336 ur 0 14 dnij V 1209600 sekundah je toliko minut, kolikorkrat se 60 sekund nahaja v 1209600 sekundah; torej 20160 minut. V 20160 minutah je toliko ur, kolikorkrat se 60 minut nahaja v 20160 minutah; torej 336 ur. V 336 urah je toliko dnij, kolikorkrat se 24 ur nahaja v 336 urah; torej 14 dnij. Pri¬ merjaj izvršeno nalogo! 4. 48 q kave se kupi za 4704 gl; koliko velja 23 5? Najprej ti je treba vedeti, koliko velja 1 q. Sklepaš takd-le: 1 q velja 48ti del od 4704 gl; za 23 q plačaš 23krat toliko, kolikor za 1 q. Primerjaj izvršeno nalogo! 4704 gl: 48 = 98 gl 98 gl X 23 384 196 0 294 2254 gl. 5. Iz neke cevi pritečev27 minutah 459 / vode; v koliko minutah priteče iz iste cevi 1768 /? 459 Z: 27 = 17 Z 1768 Z: 17/= 104 189 68 0 104 minute 0 Najprej ti je treba vedeti, koliko vode priteče iz cevi v 1 minuti. Sklepaš takd-le: v 1 minuti priteče iz cevi 27ti del od 459 Z, t. j. 17 l. Iz iste cevi priteče 1768 l vode v toliko minutah, kolikorkrat se 17 Z (t. j. voda, ki jo da cev v 1 mi¬ nuti) nahaja v 1768 Z. Primerjaj izvršeno nalogo! 6. 54 delavcev izvrši neko delo v 16 dneh; koliko dnij potrebuje za isto delo 72 delavcev? (6 X 9) 16 dnij X 54 96 864 dnij Jeden delavec stori na dan le 54ti del tega, kar stori 54 delavcev; torej bo 1 delavec delal na istem delu 54krat 864 dnij: 72 = 12 dnij 144 0 3* 36 Desetina = das Zehntel. Stotina = das Hundertel. tako dolgo, t. j. 54krat 16 dnij = 864 dnij. 72 delavcev pa stori na dan 7 2 krat toliko, kolikor 1 delavec; torej bo 7 2 de¬ lavcev delalo na istem delu le 72ti del od 864 dnij. Primerjaj izvršeno nalogo! Koliko velja vino prve vrste? koliko vino druge vrste? koliko vino tretje vrste? Koliko velja vse vino skupaj? Koliko vina je zmešal? Koliko velja torej 1 hi zmešanega vina? Pri¬ merjaj izvršeno nalogo! Računanje z desetinskimi in mnogoimenskimi števili. § 9. Pojasnila. Ako razdelimo prvotno jednoto, t. j. 1, na 10 jednakih delov, imenujemo vsak del desetino. Desetine štejemo kakor prvotne jednote: 1, 2, 3, 9 desetin; 10 desetin da prvotno jednoto ali jedno celoto; 11 desetin — 1 celota in 1 desetina; 12 desetin = 1 celota in 2 desetini; . . . . 20 desetin — 2 prvotni jednoti ali 2 celoti; 21 desetin = 2 celoti in 1 desetina; .... 30 desetin — 3 prvotne jednote ali 3 celote; 31 desetin — 3 celote in 1 desetina i. t. d. Tako so n. pr. decimetri desetine od metra; 10 dm = 1 m. Ako razdelimo prvotno jednoto na 100 jednakih delov, imenujemo vsak del stotino. Stotino dobimo tudi, ako raz¬ delimo 1 desetino na 10 jednakih delov; kajti prvotna jednota da 10 desetin, in ako napravimo iz vsake desetine 10 jednakih 37 manjših delov, imamo po vsem 100 jednakih delov, to so stotine. Stotine štejemo kakor prvotne jednote: 1, 2, 3, . . . . 9 stotin; 10 stotin da 1 desetino; 12 stotin = 1 desetina in 2 stotini; 20 stotin = 2 desetini; 54 stotin = 5 desetin in 4 stotine; 100 stotin da prvotno jednoto ali jedno celoto i. t. d. Tako so n. pr. centimetri stotine od metra in desetine od decimetra; 10 cm = 1 dm ; 100 cm — 1 m. Ako razdelimo prvotno jednoto na 1000 jednakih delov, imenujemo vsak del ti so čin o. Tisočino tudi dobimo, ako raz¬ delimo 1 stotino na 10 jednakih delov; kajti iz prvotne jednote stvorimo 10 desetin, iz vsake desetine 10 stotin in iz vsake stotine 10 jednakih manjših delov, in to da skupaj 1000 jed¬ nakih delov. Tisočine štejemo kakor prvotne jednote: 1, 2, 3, . . . 9 tisočin; 10 tisočin — 1 stotina; 100 tisočin — 1 desetina; 1000 tisočin da prvotno jednoto ali jedno celoto. Tako so h. pr. milimetri tisočine od metra, stotine od decimetra in desetine od centimetra; 10 mm = 1 cm, 100 mm = 1 dm, 1000 mm = 1 m. Ako razdelimo prvotno jednoto na 10000, 100000, 1000000 i. t. d. jednakih delov, imenujemo te dele zaporedoma desettisočine, stotisočine, milijonine i. t. d. Deset- tisočino dobimo tudi, ako razdelimo tisočino na 10 jednakih delov; stotisočina je deseti del desettisočine; milijonina je de¬ seti del stotisočine i. t. d. Desettisočine, stotisočine, milijonine i. t. d. štejemo kakor prvotne jednote. Desetine, stotine, tisočine, desettisočine, stotisočine, mili¬ jonine i. t. d. so deli ali ulomki prvotne jednote in se imenujejo desetinke ali decimalke. Ako primerjamo desetinke in dekadične jednote (desetice, stotice i. t. d.), spoznamo takoj, da velja v obeh slučajih isti tvorbeni zakon; kajti kakor je vsaka naslednja desetinka deseti del poprejšnje desetinke, je tudi vsaka dekadična jednota deseti del naslednje višje dekadične jednote. Tako so n. pr. desetice deseti del stotič, jednice deseti del desetic, desetine deseti del jednic, stotine deseti del desetin i. t. d. Iz navedenega razloga smemo torej tudi desetinke sma¬ trati za dekadične jednote. Da pa moremo te dve vrsti deka- dičnih jednot ločiti drugo od druge, pravimo desetinkam deka¬ dične jednote nižjih redov, deseticam, stoticam i. t. d. pa dekadične jednote višjih redov; jednice so prvotne Tisočina == das Tausendtel. Desettisočina = das Zehn- tausendtel. Stotisočina = das Hundert- tausendtel. Milijonina = das Milliontel. Desetinka = die Decimale. Dekadične jed¬ note nižjih redov = die niederen dekadischen Ein- heiten. Dekadične jed¬ note višjih redov = die hoheren dekadischen Ein- heiten. Celote = die Ganzen. Zakon o tvoritvi dekadičnih jednot višjih in nižjih redov. 38 Čitanje dese¬ tinskih števil. Napisavanje desetinskih števil. Desetinsko število = die Decimalzahl. Načelo o mestni vrednosti številk pri dekadičnih jednotah nižjih redov. Desetinska pika — der Decimal- punkt. Številčna in mestna vrednost pri desetinkah. jednote. Jednice in dekadiČne jednote višjih redov zovemo s skupnim imenom celote. Kakor pri celotah zaznamujemo tudi pri desetinkah mno¬ žino jednot z arabskimi številkami; ničlo rabimo tam, kjer ni¬ mamo nobene desetinke. Da moremo pri pismenem predočevanji razločevati desetinke različnih redov med seboj, odločila so se desetinkam raznih redov tudi razna mesta. Tako pišemo desetine na prvo mesto za jednicami, stotine na drugo, tisočine na tretje, desettisočine na četrto, stotisočine na peto, milijonine na šesto mesto i. t. d. Da ločimo celote od desetink, stavimo za jednicami na desni zgoraj piko, ki se imenuje desetinska ali decimalna pika. Kakor pri celotah razločujemo tudi pri desetinkah dvojno vrednost, in sicer številčno vrednost, ki določi množino desetinskih jednot, in mestno vrednost, ki pove red dese¬ tinskih jednot. Katera teh vrednosti je izpremerdjiva in zakaj ? Vsako število, v katerem se nahajajo desetinke, se ime¬ nuje desetinsko ali decimalno število. N. pr. 47’589; v tem številu se nahaja 47 celot, 5 desetin, 8 stotin, 9 tisočim Številka 8 ima številčno vrednost 8 in mestno vrednost stotin. Desetinsko število čitamo, ako izgovorimo najprej celote in potem, vsako posamezno desetinko z njeno mestno vrednostjo, ali pa vse desetinke z njih skupno mestno vrednostjo, t. j. z mestno vrednostjo zadnje desetinke. N. pr. 47’589 čitamo: 47 celot, 5 desetin, 8 stotin, 9 tisočin; ali pa: 47 celot, 589 tisočin. Včasih čitamo desetinska števila tudi tako, da imenujemo vsako posamezno desetinko brez njene mestne vred¬ nosti. N. pr. 47 celot z desetinkami 5, 8, 9. Ako razrežemo desetinsko število s črtami na posamezne dele, moramo pri izgovarjanji vsakega dela za-se povedati mestno vrednost zadnje številke. N. pr. v desetinskem številu 14|56’2|890|73 čitamo posamezne dele tako-le: 14 stotič, 562 de¬ setin, 890 desettisočin, 73 milijonin. Desetinsko število je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima celot, koliko desetin, koliko stotin i. t. d. Ako hočemo desetinsko število pismeno predočiti, zapišemo najprej celote, za temi postavimo desetinsko piko in potem zapišemo posamezne desetinke po redu njih mestne vrednosti. Ako ni celot ali posameznih desetink, postavimo na njih mesta ničlo. 39 N. pr. 4 celote, 2 desetini, 1 stotino zapišemo: 4’21; 13 celot, 5 stotin, 6 desettisočin zapišemo: 13’0506; 7 desetin zapi¬ šemo: 0’7. Ali so desetinska števila: 8’7, 8’70, 8’700 jednaka ali različna? Ali imate veljavni številki v vseh nave¬ denih številih isto mestno vrednost? Kaj izvajamo iz tega? Desetinsko število se ne izpremeni, ako mu Kedaj se ne iz- pripisemo na desni jedno ali vec ničel kot deci- tinsk0 , oziroma malke. Istotako se tudi celo število ne izpremeni, celo število, ako mu pripišemo na desni jedno ali več ničel kot decimalke. N. pr. 54 = 54’00. Ali so desetinska števila: 6’532, 65’32, 653’2 med seboj različna? Določi in primerjaj mestne vrednosti po¬ sameznih številk v navedenih številih! Iz prvega desetinskega števila dobimo drugo število, ako Kako 56 >*- pomaknemo desetinsko piko za jedno mesto proti desni. S tem tinsko "število, postane mestna vrednost vsake številke lOkrat večja; število ako premakneš • • vi m - i i v njem se je torej pomnožilo z 10. Obratno dobimo iz drugega de- desetins ii 0 p ik 0 . setinskega števila prvo število, ako pomaknemo desetinsko piko za jedno mesto proti levi. S tem postane mestna vrednost vsake številke lOkrat manjša, t. j. lOti del prejšnje mestne vrednosti; število se je torej razdelilo na 10 jednakih delov. Kako dobimo iz prvega desetinskega števila tretje število ? Kako se s tem izpremeni mestna vrednost vsake številke ? Kaj se torej zgodi s številom? Kako dobimo obratno iz tretjega desetinskega števila prvo število? Kako se s tem izpremeni mestna vrednost vsake številke ? Kaj se torej zgodi s številom ? Iz navedenega izvajamo: Desetinsko število pomnožimo z dekadičnimi jednotami 10, 100, 1000 i. t. d., ako pomaknemo desetinsko piko za toliko mest proti desni, kolikor ničel ima dotična dekadična jednota. Desetinsko število delimo z dekadičnimi jed¬ notami 10, 100, 1000 i. t. d., ako pomaknemo dese¬ tinsko piko za toliko mest proti levi, kolikor ničel ima dotična dekadična jednota. 40 Jednoimensko število = die einnamige Zahl. Mnogoimensko število = die mehrnamige Zahl. Kako seštevaš deseti n ska števila. Iz navedenih pojasnil spoznamo, da tvorijo desetinke naravni podaljšek dekadičnega številnega sestava. Važne so desetinke pri računih javnega življenja, ker so dolgostne, plos¬ kovne, votle in telesne mere, uteži in novci urejeni po dese¬ tinkah. Kako se računa z desetinskimi števili, to hočemo pre¬ iskovati v naslednjih odstavkih. Vsako število, katero ima jednote le jednega imena, imenuje se jednoimensko število. N. pr. 18 m, 2’36 hi i. t. d. Vsako število pa, ki ima jednote raznih imen iste vrste, zove se mnogoimensko število. N. pr. 4 kg 25 dkg, 9 K 36 h i. t. d. § 10. Seštevanje desetinskih in mnogoimenskih števil. a) 75-3 -j- 6-25 -j- 0'478 + 16 = ? V navedeni nalogi so sumandi desetinska števila. Po pojmu seštevanja mora izračunana vsota imeti toliko jednot, kolikor jih je v vseh sumandih skupaj; torej se mora v vsoti nahajati toliko celotinih in toliko desetinskih jednot, kolikor jih je v sumandih. Ker je tvorbeni zakon za de¬ setinke isti kakor za celote, seštevaš desetinke na isti način kakor celote; torej moreš seštevati 0 478 j e dgggtinke istega reda. Temu je najpri- J *’ pravnejše, ako pišeš sumande drugega pod drugega .18 028 tako, da stoje celote pod celotami, desetinske pike druga pod drugo, desetine pod desetinami, stotine pod sto¬ tinami i. t. d. Potem začneš seštevati pri desetinkah na j nižjega reda, in ko si seštel zaporedoma desetinke vseh redov, postaviš v vsoti desetinsko piko ter sešteješ celote. b) Uporabne naloge. 1. A pridela 36 hi 28 l pšenice, 41 hi 50 L rži, 28 hi 7 l ječmena in 59 hi 16 l ovsa; koliko žita je pridelal? 36'28 hi ali: 3628 l 41'5 » 4150» 28'07 » 2807 » 59'16 » 5916 » 165'01 hi 16501 l 41 Sumandi navedene naloge so mnogoimenska števila, ki so Kako seštevaš urejena po desetinkah. V takih slučajih pretvoriš sumande ali mn °f t °™a ns a v jednoimenska desetinska ali pa v jednoimenska cela števila. Primerjaj izvršeno nalogo! 2. A se je porodil dne 20. septembra leta 1800 in je učakal 78 let 6 mesecev 23 dni j; kedaj je umrl? Dan in leto njegovega rojstva je treba najprej pretvoriti v mnogoimensko število. Sumandi te naloge so mnogoimenska števila, ki niso urejena po desetinkah. V takih slučajih seštevaš jednote vsakega imena za-se, v navedeni nalogi torej najprej dneve, potem mesece in konečno leta. Dnevi dado vsoto 42 dnij = 1 mesec in 12 dnij; 12 dnij 1799 let 8 mesecev 19 dnij 78 » 6 » 23 » 1878 let 3 mesece 12 dnij t. j. dne 13. aprila 1879. zapišeš v vsoto pod dneve, 1 mesec pa je treba prišteti mesecem. Pri mesecih najdeš vsoto 15 mesecev — 1 leto in 3 mesece; 3 mesece zapišeš v vsoto pod mesece, 1 leto pa prišteješ letom. Ko sešteješ leta, določiš iz mnogoimenskega števila, ki si ga dobil za vsoto, dan in leto njegove smrti. Primerjaj izvršeno nalogo! § 11. Odštevanje desetinskih in mnogoimenskih števil. a) 103’72 — 68'947 = ? Po pojmu odštevanja mora biti izračunana razlika dveh števil tolika, da dobiš minuend za vsoto, če prišteješ subtra- hendu razliko. Odštevanje desetinskih števil izvršiš najlažje, ako zapišeš subtrahend pod minuend tako, da stoje celote pod celotami, desetinski piki druga pod drugo, desetine pod de¬ setinami, stotine pod stotinami i. t. d. Potem prišteješ vsaki subtrahendovi številki (začenši pri najnižjem 139-72 redu) toliko jednot, da dobiš zgoraj stoječe mi- ('8-947 nuendove jednote istega reda; jednote, katere --- si moral prišteti, zapišeš v razliko. Kjer manjka 61 773 v minuendu ali subtrahendu kake številke, smeš si misliti ničlo. Predno začneš odštevati celote, postaviš v razliki desetinsko piko. Ge je katera subtrahendova številka večja ko nad njo stoječa minuendova, postopaš istotako kakor pri odštevanji celih števil. Kako odštevaš desetinska števila. 42 b) Uporabne naloge. 1. Nečista teža nekega blaga znaša 43 g 60 kg 18 dkg, tara pa 2 g 7 kg 45 dkg', kolika je čista teža? 43'6018 g ali: 4360'18 *7 ali: 436018 dkg 2'0745 » 207'45 » 20745 » 41'5273 7 4152'73 *7 415273 dkg Kako odštevaš mnogoimenska števila. Miuuend in subtrahend sta mnogoimenski števili, urejeni po desetinkah. V takih slučajih pretvoriš obe števili ali v jednoimenski desetinski števili ali pa v jednoimenski celi števili. Primerjaj izvršeno nalogo! 2. A se je porodil dne 27. oktobra leta 1856., B pa dne 15. junija leta 1874.; za koliko je A sta¬ rejši od B-crt Minuend in subtrahend sta mnogoimenski števili, ki niste urejeni po desetinkah. V takih slučajih odštevaš jednote vsa¬ kega imena za-se, začenši pri jednotah najnižjega imena. Da moreš v navedeni nalogi izvr- 17 let 7 mesecev 18 dnij odštevanje pri dnevihj treba je prišteti minuendu 30 dnij in subtrahendu 1 mesec. Na kaj se opira to pravilo? Ker tudi mesecev ne moreš takoj odšteti, moraš prišteti minuendu 12 mesecev in subtrahendu 1 leto. Primerjaj izvršeno nalogo 1 1873 let 5 mesecev 14 dnij 1855 » 9 26 » § 12. Množenje desetinskih in mnogoimenskih števil s celimi števili. a) 37'586 X 9 = ? Kako množiš desetinsko število z jedno- številčnim celim številom. V navedeni nalogi je treba multiplikand sešteti 9krat; torej moraš 9 krat sešteti multiplikandove tisočine, stotine, desetine in celote. Ako pomnožiš multiplikandove tisočine z 9, dobiš 54 tisočin, t. j. 4 tisočine in 5 stotin; 4 tisočine zapišeš kot produktove tisočine, 5 stotin pa moraš pozneje prišteti produktovim stotinam. Ako pomnožiš multiplikandove stotine z 9, dobiš 72 stotin; tem stotinam je treba še prišteti tiste stotine, ki si jih dobil pri izračunanji produktovih tisočin. Tako najdeš po vsem 77 stotin, t. j. 7 stotin in 7 desetin; 7 stotin zapišeš kot produktove stotine, 7 desetin pa moraš 43 pozneje prišteti produktovim desetinam. Ako pomnožiš multi- plikandove desetine z 9, dobiš 45 desetin. Tem desetinam pri- šteješ še prejšnje desetine in najdeš tako 52 desetin, t. j. 2 desetini in 5 jednic; 2 desetini zapišeš kot produktovi de¬ setini, 5 jednic (celot) pa moraš pozneje prišteti produktovim jednicam (celotam). Ako pomnožiš multiplikandove celote z 9 in prišteješ tem celotam še tiste celote, ki si jih dobil pri izračunanji produktovih desetin, najdeš produktove celote. Iz navedenega je jasno, da množiš desetinsko število z jednoštevilčnim celim številom istotako, kakor se množi mnogoštevilčno celo število z jedno¬ številčnim. Desetinsko piko postaviš v produktu, ko si pomnožil vse multiplikandove desetinke. Mestna vrednost vsake produktove številke se ujema z mestno vrednostjo tiste multiplikandove številke, katero je treba pomnožiti, da najdeš dotično pro- duktovo številko. Množenje desetinskega števila, z jednicami izpremeni le številčno vrednost multiplikando vi h številk, ne pa njih mestne vrednosti. b) 4-2 153 X 10 4 2'153 4-21 53 X 100 4 21-53 4-215 3 X 1000 4 215-3 Desetinsko število pomnožiš z dekadičnimi jednotami 10, 100, 1000 i. t. d., ako pomakneš dese¬ tinsko piko za toliko mest proti desni, kolikor ničel ima dotična dekadična jed not a. Primerjaj §9.1 Ako ni v multiplikandu dovolj mest, nadomesti jih z ničlami! Množenje desetinskega števila z dekadičnimi jednotami 10, 100, 1000 i. t. d. izpremeni le mestno vrednost multiplikandovih številk, ne pa njih šte¬ vilčne vrednosti. Ako množiš desetinsko število z dekadičnimi jednotami 10, 100, 1000 i. t. d., poveča se red vsake multiplikandove številke za toliko jednot, kolikor ničel se nahaja v dotični dekadični jednoti. 7-3 94 X00 7-39 4 X 000 7'394 X 6000 Kako množiš desetinsko število z deka¬ dičnimi jed¬ notami višjih redov. 44 3-64 44 36-4 44 364 44 Multiplikator 60 je izračunani produkt iz faktorjev 6 in 10. S 60 množiš torej desetinsko število, ako ga pomnožiš s 6 in dobljeni produkt z 10. Pri prvi množitvi se ne premakne dese- tinska pika, pri drugi množitvi pa se pomakne za jedno mesto proti desni. Katera faktorja sestavljata multiplikator 600, oziroma 6000? Kako množiš desetinsko število n. pr. s 600, oziroma s 6000? (4000. + 000 + 70 4- 3) c) 8’159 X 4673 ali krajše: 8’159 X 4673 32 636 32 636 4 895’4 4 895 4 571’13 571 13 24’477 24 477 38 127’007 38 127’007 Kako množiš desetinsko število z mnogo- številčnim celim številom. Multiplikator 4673 navedene naloge je vsota števil 4000, 600, 70 in 3. Nakazano množenje izvršimo, ako pomnožimo multiplikand s 4000, 600, 70 in 3 ter seštejemo dobljene delske produkte. Prvi delski produkt najdemo, ako pomnožimo multiplikand s 4 in znesek s 1000; množenje s 4 ne premakne desetinske pike, množenje s 1000 pa jo pomakne za tri mesta proti desni. Prvi delski produkt ima torej mestno vrednost jednic. Drugi delski produkt najdemo, ako pomnožimo multi¬ plikand s 6 in znesek s 100; prvo množenje ne premakne desetinske pike, drugo množenje pa jo pomakne za dve mesti proti desni. Drugi delski produkt ima torej mestno vrednost desetin. Tretji delski produkt najdemo, ako pomnožimo multi¬ plikand s 7 in znesek z 10; prvo množenje ne premakne desetinske pike, drugo množenje pa jo pomakne za jedno mesto proti desni. Tretji delski produkt ima torej mestno vrednost stotin. Zadnji delski produkt najdemo, ako pomnožimo multi¬ plikand s 3; mestna vrednost tega delskega produkta se ujema z mestno vrednostjo multiplikandovo. Konečni produkt je iste mestne vrednosti kakor zadnji delski produkt; v konečnem produktu se torej nahaja toliko decimalk, kolikor jih je v multiplikandu. Iz navedenega je jasno, da množiš desetinsko število z mnogoštevilen im celim številom istotako, kakor se množijo mnogoštevilen a cela števila. Dese¬ tinske pike v delskih produktih smeš izpuščati; torej smeš 45 med množenjem tudi popolnoma prezirati desetinsko piko v multiplikandu. V konečnem produktu je treba toliko decimalk odbiti (odšteti), kolikor jih je v multi¬ plikandu. Ako pomnožimo v zgoraj navedeni nalogi n. pr. multipli- Mestna vrednost kandovo številko 5 z multiplikatorjevo številko 7, določimo števifkTdeiskih mestno vrednost dobljenega zneska 35 tako-le. Multiplikator- produktih, jeva številka 7 ima mestno vrednost desetic. Ce pomnožiš de¬ setinsko število z desetico (t. j. 10), pomakne se desetinska pika v multiplikandu za jedno mesto proti desni; potem pa dobi multiplikandova številka 5 mestno vrednost desetin, in to mestno vrednost ima tudi znesek 35. — Mestne vrednosti po¬ sameznih številk v delskih produktih določiš na isti način. N. pr. številka 9 drugega dolskega produkta je tretja številka v tem delskem produktu in je nastala tako, da smo tretjo multiplikandovo številko (t. j. 1) pomnožili z multplikatorjevo številko 6, ki ima mestno vrednost stotič. Množenje s stotico (t. j. 100) pomakne desetinsko piko v multiplikandu za dve mesti proti desni; potem dobi multiplikandova številka 1 mestno vrednost desetic, in to je tudi mestna vrednost številke 9 v drugem delskem produktu. Ali: številka 2 četrtega delskega produkta zavzima peto mesto v tem delskem produktu in je nastala tako, da smo peto multiplikandovo številko (to so de¬ setice, ki jih sicer manjka) pomnožili z multiplikatorjevo šte¬ vilko 3, ki ima mestno vrednost jednic. Ker se v tem slučaji ne premakne desetinska pika v multiplikandu, ima torej šte¬ vilka 2 zadnjega delskega produkta mestno vrednost desetic. d) Uporabne naloge. 1. 1 kg kave velja 1 gl 35 kr; koliko velja 7 zenji. (na desetine) ter sešteješ jednega izmed dobljenih delov 4krat. Na isti način določiš produkt iz multiplikanda 18'3; kajti ako deliš multiplikand z 10 in pomnožiš dobljeni del s 4, najdeš produkt 7'32. — Multiplikator 0'04 druge prejšnje naloge nastane iz prvotne jednote, ako razdeliš to jednoto na 100 jednakih delov (na stotine) ter sešteješ jednega izmed dobljenih delov 4krat. Na isti način določiš produkt iz multi¬ plikanda 18'3; kajti ako deliš multiplikand s 100 in pomnožiš dobljeni del s 4, najdeš produkt 0'732 i. t. d. Iz navedenih primerov izvajamo to-le občno pojasnilo o množenji: Število množiti s številom se pravi produkt do¬ ločiti iz multiplikanda na isti način, kakor nastane multiplikator iz prvotne jednote. To pojasnilo velja tudi pri celih številh. N. pr. število 8 pomnožiš s 3, ako sešteješ multiplikand 8 3 krat. Istotako 4 * 52 Kako množiš desetinsko število z dese- tinskim številom. nastane multiplikator 3 iz prvotne jednote; kajti ako sešteješ prvotno jednoto 3 krat, najdeš število 3. (70+2+ 0'6 + 0'05) Multiplikator 72’65 navedene naloge je vsota števil 70, 2, 0’6 in 0’05. Nakazano množenje izvršiš, ako pomnožiš multiplikand s 70, 2, 0’6 in 0’05 ter sešteješ dobljene delske produkte. Prvi delski produkt najdeš, ako pomnožiš multi¬ plikand s 7 in znesek z 10; množenje s 7 ne premakne dese- tinske pike v multiplikandu, množenje z 10 pa jo pomakne za. jedno mesto proti desni. Prvi delski produkt ima torej mestno vrednost stotin. Drugi delski produkt najdeš, ako pomnožiš multiplikand z 2. Ker množenje z jednicami ne premakne de- setinske pike, ujema se mestna vrednost drugega delskega. produkta z multiplikandovo mestno vrednostjo. Tretji delski produkt najdeš, ako pomnožiš multiplikand s 6 in znesek z 0 • 1; množenje s 6 ne premakne desetinske pike v multiplikandu, množenje z 0’1 pa jo pomakne za jedno mesto proti levi. Tretji delski produkt ima torej mestno vrednost desettisočin. Zadnji delski produkt najdeš, ako pomnožiš multiplikand s 5 in znesek z 0’01, prvo množenje ne premakne desetinske pike v multiplikandu, drugo množenje pa jo pomakne za dve mesti proti levi. Zadnji delski produkt ima torej mestno vrednost stotisočin. Konečni produkt je tiste mestne vrednosti kakor zadnji delski produkt. Ker se pri množenji z vsako naslednjo desetinko pomakne desetinska pika po jedno mesto proti levi, nahaja se v zadnjem delskem produktu in torej tudi v konečnem produktu toliko decimalk, kolikor jih imata multiplikand in multiplikator skupaj. Iz navedenega je jasno, da množiš desetinsko število z desetinskim številom istotako, kakor se množijo mnogoštevilčna cela števila. Mestnih vred- nostij posameznih dolskih produktov ti ni treba določevati, ker 53 Mestna vrednost posameznih številk v delskih produktih. se pomakne vsak naslednji delski produkt za jedno mesto proti desni. Torej smeš med množenjem popolnoma prezirati dese- tinsko piko v faktorjih. V konečnem produktu je treba toliko decimalk odbiti (odšteti), kolikor jih je v obeh faktorjih skupaj. Ako pomnožiš v zgoraj navedeni nalogi n. pr. multipli- kandovo številko 9 z multiplikatorjevo številko 6, določiš mestno vrednost dobljenega zneska 54 tako-le. Multiplikatorjeva šte¬ vilka 6 ima mestno vrednost desetin. Ge pomnožiš določeno število z desetino (t. j. 0’1), pomakne se desetinska pika v multiplikandu za jedno mesto proti levi; potem pa dobi multi- plikandova številka 9 mestno vrednost stotin, in to mestno vrednost ima znesek 54. — Mestne vrednosti posameznih šte¬ vilk v delskih produktih določiš na isti način. N. pr. številka 5 zadnjega delskega produkta je tretja številka v tem produktu in je nastala tako, da si pomnožil tretjo multiplikandovo šte¬ vilko (t. j. 9) z multiplikatorjevo številko 5, ki ima mestno vrednost stotin. Množenje s stotino (t. j. 0’01) pomakne dese¬ ti n sko piko v multiplikandu za dve mesti proti levi; potem dobi multiplikandova številka 9 mestno vrednost tisočin, in to je mestna vrednost številke 5 v zadnjem delskem produktu i. t. d. c) Uporabne naloge. 1. Trgovec kupi kos sukna, ki meri 40 m 25 cm, ter plača meter po 3 gl 48 kr; s u k n o ? 40 m 25 cm — 40‘25 m. Ker je 40 m 25 cm 40’25krat toliko kakor 1 m, velja sukno 40’25- krat po 3 gl 48 kr. koliko velja vse 3’4 8 gl X 4 0’25 1392 696 1740 14 0’0700 gl Kako množiš mnogoimensko število z dese- tinskim številom. 2. Koliko obrestij da 2347’2 gl kapitala po 5% (t. j. 1 00 gl kapitala da 5 gl obrestij v 1 letu) v 3 letih 5 mesecih? 0’05 gl obr. X ^3 47’2 g.? g gl X 41 117’36 0 gl obrestij 39 1 2 v 1 letu q 7 o 117’36 gl obr.: 12 - -777—r i , 40 0’98 gl obrestij 9’78 gl obr. v 1 mes. 54 1 gl kapitala da 0’05 gl obrestij; 2347’2 gl kapitala da 2347’2 krat po 0’05 gl obrestij v 1 letu. Obresti za 1 mesec znašajo 12ti del od obrestij za 1 leto; v 3 letih 5 mesecih = v 41 mesecih znašajo obresti 41 krat toliko, kolikor v 1 me¬ seci. Primerjaj izvršeno nalogo! 3. Koliko velja kava, ki ima 7‘š‘ikg nečiste teže, ako znaša tara 15%, in a po 124 gl 50 kr.? 0’15 kg tare X 73 2 73 2 36 60 _ 109’80 kg tare 732 kg nečiste teže 109’8 > tare 622’2 kg čiste teže o se plača 1 q čiste teže 1’24 5 gl X 622’2 7 47 0 24 90 2 490 2490 7 74’6390 gl = 774 gl 64 kr Pri 100 kg nečiste teže znaša tara 15 kg\ pri 1 kg nečiste teže je 0’15 kg tare; pri 732 kg nečiste teže je 732krat po 0’15 kg tare. Ako odšteješ taro od nečiste teže, najdeš čisto težo. 1 kg čiste teže velja lOOti del od 124 gl 50 kr = 1’245 gl; 622’2 kg čiste teže velja 622’2krat po 1’245 gl. Primerjaj izvršeno nalogo! 4. Koliko let, mesecev, dnij i. t. d. je v 5’768 leta? 5’768 leta — 5 let 9 mes. 6 dnij 11 ur 31 minut 12 sekund 60 minut X 6’5 2 3 1’20 minut 6 0 sekund X 0’2 12’0 sekund Desetinke števila «5’768 leta« je treba najprej v mesece. Jedno leto ima 12 mesecev; v 0’768 leta je 0’768krat po 12 mesecev = 9’216 mesecev. Istotako pretvoriš desetinke dobljenih mesecev v dneve i. t. d. Primerjaj izvršeno nalogo! 55 § 15. Deljenje desetinskih in mnogoimenskih števil z desetinskimi števili. a) 8:0-1=? Navedena naloga nima nobenega pravega pomena, ako jo hočeš izvršiti v smislu pravega deljenja; kajti število 8 raz¬ deliti na jeduo-desetino jednakih delov je brez pomena. Če pa to nalogo izvršiš v smislu merjenja, dobiš kvocijent 80; kajti 8 celot da 80 desetin, in 1 desetina se nahaja v 80 de¬ setinah SOkrat. Isti rezultat tudi najdeš, ako pomnožiš dividend z 10. Torej ima deljenje določenega števila z 0’1 isti pomen, kakor množenje dotičnega števila z 10. O pravosti najdenega kvocijenta se lahko prepričaš še na drug način. Znano je, da se kvocijent ne izpremeni, ako pomnožiš dividend in divizor z istim številom. Če to storiš v zgoraj navedeni nalogi in porabiš za omenjeno množenje število 10, dobiš 8 : 0-1 = 80 : 1 = 80 to je rezultat, ki se popolnoma ujema s prejšnjim. 8 : 0-01 = 800 : 1 = 800 8 : 0'001 = 8000 : 1 = 8000. Na isti način najdeš tudi, da ima deljenje določenega števila z 0’01, 0'001 i. t. d. isti pomen, kakor množenje dotič¬ nega števila z 100, 1000 i. t. d. Iz navedenega izvajamo: Deljenje določenega števila z dekadičnimi jed¬ notami nižjih redov izvršiš na isti način, kakor izvršiš množenje dotičnega števila z dekadičnimi jednotami višjih redov. Določeno število deliš z dekadičnimi jedno¬ tami nižjih redov, ako pomakneš desetinsko piko v dividendu za toliko mest proti desni, kolikor ničel se nahaja pred veljavno številko v dotični dekadični jednoti. Kadar ni dovolj mest, nadomesti jih z ničlami! Deljenje določenega števila z dekadičnimi jed¬ notami nižjih redov izpremeni le mestno vrednost divi dendo vih številk, ne pa njih številčne vrednosti. Kako deliš dolo¬ čeno število z dekadičnimi jed¬ notami nižjih redov. 56 Kako deliš dese- tinsko število z desetinskim številom. Kako določiš mestno vrednost prve kvocijen- tove številke. Ako deliš določeno število z dekadičnimi jed- notami nižjih redov, poveča se red vsake dividen- dove številke za toliko jednot, kolikor ničel se nahaja pred veljavno številko v dotični dekadični j ednoti. b) 312-676 : 8'59 = ? 1'32886 : 0'538 = ? 31267'6 : 859 = 36'4 1328'86 : 538 = 2'47 5497 252 8 343 6 37 66 0 0 Ako pomnožiš dividend in divizor prvega (drugega) pri¬ mera pod b) s 100 (1000), pretvoriš prvotno nalogo v drugo, katere divizor je celo število. Potem izvršiš nakazano deljenje po pojasnilih § 13. Desetinsko število deliš torej z desetinskim številom istotako, kakor se deli celo število s celim številom. Ako veš, kam je treba v kvocijentu posta¬ viti desetinsko piko, smeš med deljenjem popolnoma prezirati desetinsko piko v dividendu in divizorji. V to svrho moraš določiti mestno vrednost prve kvocijentove številke. Po § 13. se ujema mestna vrednost prve kvocijentove številke z mestno vrednostjo prvega delskega dividenda, kadar je divizor celo število, če je pa divizor desetinsko število, pretvoriš lahko dotično delitev tako, da dobiš iz divizorja celo število. Ker se pri tej pretvoritvi premakne desetinska pika v dividendu in divizorji za istotoliko mest proti desni, je torej jasno, da se mestna vrednost prve kvocijentove številke ujema, z mestno vrednostjo tistega dividendovega dela (tiste dividendove številke), v katerem (kateri) se nahajajo divizorjeve celote. N. pr. v prvi pod b) navedeni nalogi se divizorjeve celote 8 nahajajo v dividendovem delu 31; ker ima 31 mestno vrednost desetic, ima tudi prva kvocijentova številka mestno vrednost desetic. V drugi pod b) navedeni nalogi nima divizor celot. Ako pomakneš v mislih desetinsko piko v dividendu in divizorji za jedno mesto proti desni, dobiš v divizorji celote, in potem določiš mestno vrednost prve kvo¬ cijentove številke istotako kakor pri prvi nalogi. Isto mestno vrednost prve kvocijentove številke dobiš tudi takč-le. Prva 57 vel javna divizorjeva številka 5 se nahaja v dividendovem delu 13, ki ima mestno vrednost desetin. Ta mestna vrednost se pri kvocijentovi številki izpremeni za toliko, za kolikor jo izpremeni deljenje z dekadično jednoto tistega reda, katerega je prva divizorjeva številka (t. j. v našem slučaji deljenje z OT). c) Uporabne naloge. 1. Koliko m sukna kupiš za 27 gl 84 kr, ako velja 1 m 3 gl 84 kr? 27-84 gl : 3’84 gl = 7’25 ali: 2784 kr : 384 kr = 7’25 960 960 1920 1920 7’25 m ° 7’25 m Za 27 gl 84 kr kupiš toliko m sukna, kolikorkrat se cena jednega metra, t. j. 3 gl 84 kr, nahaja v 27 gl 84 kr. Mnogoimenski dividend in divizor pretvoriš v jednoimenski desetinski ali pa v jednoimenski celi števili istega imena. Pri¬ merjaj izvršeno nalogo! 2. Kolikokrat je treba 1 uro 30 minut sešteti, da najdeš 1 mesec 15 dni j 9 ur za vsoto? 1 mesec 15 dnij 9 ur : 1 ura 30 minut = ? 24 ur X 45 6534|0 minut: 9|0 minut = 726 9g 120 60 minut X 1089 1080 ur 65340 minut 3 » 1089 ur 1 uro 30 minut moraš tolikokrat sešteti, kolikorkrat se nahaja 1 ura 30 minut v 1 meseci 15 dneh 9 urah. Mnogo- imenski dividend in divizor pretvoriš v jednoimenski celi števili istega imena. Primerjaj izvršeno nalogo! 58 Deljiv — theilbar. Mera = das Mafi. Mnogokratnik — das Vielfache. Praštevilo — die Primzahl. Sestavljeno število = die zu- sammengesetzte Zahl. 0 deljivosti celih števil. § 16. Pojasnila. Število 8 se nahaja brez ostanka v številu 24. O številu 24 pravimo, da je deljivo z 8; število 8 imenujemo mero šte¬ vila 24, število 24 pa mnogokratnik števila 8. V številu 24 se nahajajo brez ostanka tudi števila 2, 3, 4, 6, 12; vsako izmed teh števil smemo torej smatrati za mero števila 24. Število je deljivo z drugim številom, ako se drugo število nahaja brez ostanka v prvem. Vsako število, ki se nahaja brez ostanka v kakem drugem številu, imenuje se mera; število pa, v katerem se nahaja brez ostanka kako drugo število, zove se mnogokratnik dotičnega števila. Ali se 1 nahaja brez ostanka v vsakem številu? koliko¬ krat? Ali se vsako število nahaja brez ostanka v samem sebi? kolikokrat ? Vsako število je deljivo z 1 in samo s seboj. Števila, katera so deljiva le z 1 in sama s seboj, pa z nobenim drugim številom, imenujejo se jednostavna števila ali pra- števila. N. pr. 2, 3, 5, 7, 11 i. t. d. Števila, ki so deljiva ne le z 1 in sama s seboj, temveč tudi še z drugimi števili, zo- vejo se sestavljena števila. Tako je n. pr. število 36 deljivo ne le z 1 in 36, temveč tudi z 2, 3, 4 i. t. d. Ali je določeno število deljivo s kakim drugim številom, razsodimo pri manjših številih s pomočjo poštevanke, pri večjih številih pa je treba prvo število deliti z drugim. Včasih spo¬ znamo iz posebnih zunanjih znamenj, da je določeno število deljivo s kakim drugim številom. Kakšna so ta znamenja, to hočemo preiskavah v naslednjem. § 17. Znamenja deljivosti. Znamenja deljivosti z 2, 5 in 10. a) Ako hočemo zvedeti, ali je določeno število deljivo z 2 (oziroma s 5), treba je 2 (5) odšteti od dotičnega števila tolikokrat, kolikorkrat je mogoče. Če ne dobimo pri takšnem odštevanji nobenega ostanka, je dotično število deljivo z 2 (5). Ker se da 2 (5) odšteti brez ostanka od vsake desetice po 5 (2)krat, od vsake stotice po 50 (20) krat, od vsake tisočice 59 po 5OO(2OO)krat i. t. d., je torej jasno, da mora določeno število biti deljivo z 2 (5), ako moremo 2 (5) odšteti brez ostanka od jednic dotiČnega števila. - Na isti način določimo tudi, katero število je deljivo z 10. Iz navedenega izvajamo: Število je deljivo z 2 (5, 10), ako so njegove jednice deljive z 2 (5, oziroma z 10). Ker so jednice 0, 2, 4, 6, 8 deljive z 2, jednice 0 in 5 deljive s 5, jednice 0 deljive z 10, smemo navedena znamenja o deljivosti izraziti tudi tako-le: Število je deljivo z 2, ako ima na mestu jednic jedno izmed številk 0, 2, 4, 6, 8. Število je deljivo s 5, ako ima na mestu jednic številko 0 ali 5. Število je deljivo z 10, ako ima na mestu jednic številko 0. Z 2 deljiva števila se imenujejo soda števila, z 2 ne- Sodo število = deljiva števila pa se zovejo liha števila. 'nhTsteviio =' b) Število 4 (25) se da odšteti brez ostanka od vsake d,e « n eeiadc stotice po 25(4)krat, od vsake tisočice po 250(40)krat, od znamenja vsake desettisočice po 2500 (400) krat i. t. d. Določeno število deljivosti s i, 25 je torej deljivo s 4 (25), ako moreš 4 (25) odšteti brez ostanka od jednic in desetic dotičnega števila. — Na isti način določiš tudi, katero število je deljivo s 100. Število je deljivo s 4, ako so njegove jednice in desetice kot število deljive s 4. Število je deljivo s 25, ako so njegove jednice in desetice kot število deljive s 25. Število je deljivo s 100, ako ima na mestu jednic in desetic številko 0. c) Število 8 (125) se da odšteti brez ostanka od vsake znamenja tisočice po 125(8)krat, od vsake desettisočice po 1250(80)krat deljl ™ st 1 ‘ 0 g 0 8 ’ 126 i. t. d. Določeno število je torej deljivo z 8 (125), ako moreš 8 (125) odšteti brez ostanka od jednic, desetic in stotič do¬ tičnega števila. — Na isti način določiš tudi, katero število je deljivo s 1000. Število je deljivo z 8, ako so njego.vje jednice, desetice in stotice kot število deljive z 8. 60 Znamenja deljivosti s 3 in 9. Znamenje deljivosti s 6. Kako določiš deljivost s 7, 11 in z drugimi števili. Jednostavni faktor = det einfache Factor. Prafaktor = der Prim factor. Število je deljivo s 125, akoso njegove jednice, desetice in stotice kot število deljive s 125. Število je deljivo s 1000, ako ima na mestu jednic, desetic in stotič številko 0. d) Število 3 (9) se da odšteti od vsake desetice po 3(1)krat z ostankom 1, od vsake stotice po 33(ll)krat z ostankom 1, od vsake tisočice po 333 (111) krat z ostankom 1 i. t. d. Ako na ta način odštevamo število 3 (9) od določenega števila, dobimo za ostanek vse jednice dotičnega števila in vrli tega še toliko jednot, kolikor ima število desetic, stotič, tisočic i. t. d. Ako je torej vsota vseh navedenih jednot, t. j. vsota vseh številk dotičnega števila (številčna vsota), deljiva s 3 (9), je tudi število deljivo s 3 (9). Število je deljivo s 3, ako je njegova številčna vsota deljiva s 3. Število je deljivo z 9, ako je njegova številčna vsota deljiva z 9. e) Ako se nahajate števili 2 in 3 brez ostanka v dolo¬ čenem številu, mora se tudi število 6, ki je sestavljeno iz faktorjev 2 in 3, nahajati brez ostanka v dotičnem številu. Število je deljivo s 6, ako je deljivo z 2 in 3. f) Ali je določeno število deljivo s 7, oziroma z 11 ali s katerim drugim številom, določiš v vsakem posebnem slučaji s poskušnjo; kajti znamenja o tej deljivosti so preobširna in se zato ne dado lahko pojasniti na tej stopnji. § 18. Razstavljanje sestavljenih števil v prafaktorje. 6 = 2X3, 12 = 4 X 3 = 2 X 2 X 3, 36 = 4 X 9 = 2 X 2 X 3 X 3. Ker je vsako sestavljeno število deljivo ne le z 1 in samo s seboj, temveč tudi še z drugimi števili, moremo ga razstaviti na dva faktorja, izmed katerih je včasih le j eden, včasih sta oba, včasih pa ni nobeden praštevilo. Ako ravnamo z vsakim izmed dobljenih faktorjev, ki ni praštevilo, istotako kakor s prvotnim sestavljenim številom, najdemo konečno pra- števila, katera med seboj pomnožena dado dotično sestavljeno število za produkt. Vsako sestavljeno število se da torej raz- 61 staviti na faktorje, izmed katerih je vsak praštevilo. Taki faktorji se imenujejo jednostavni faktorji ali pra¬ faktorji. Faktorje, oziroma prafaktorje manjših števil poiščeš s po¬ močjo poštevanke. N. pr. 72 = 8X9=2X2X2X3X3. Večjim številom poiščeš prafaktorje, ako deliš določeno število z najmanjšim pra- številom (izvzemši 1) s katerim je deljivo; dobljeni kvocijent deliš zopet z najmanjšim praštevilom s katerim je deljiv, in tako postopaš dalje, dokler ne prideš do kvo- cijenta 1. Divizorji vseh teh delitev so pra¬ faktorji dotičnega števila. Glede na obliko računa primerjaj navedeno nalogo! § 19. Največja skupna mera. Število 4 se nahaja brez ostanka v vsakem izmed števil 24, 36 in 48; število 4 se zato imenuje skupna mera števil 24, 36 in 48. Skupna mera dveh ali več števil je tisto šte¬ vilo, katero se nahaja brez ostanka v vseh dolo¬ čenih številih. Skupne mere števil 24, 36 in 48 so: 2, 3, 4, 6, 12. Ali imajo števila 24, 36 in 48 še katero drugo skupno mero? Število 1 se ne jemlje za skupno mero. Število 12 je največje število, ki se nahaja brez ostanka v številih 24, 36 in 48 ter se imenuje naj večja skupna mera teh števil. V znakih zapišemo to takd-le: M (24, 36, 48) = 12. (čitaj: največja skupna mera števil 24, 36 in 48 je 12.) Največja skupna mera dveh ali več števil je tisto največje število, katero se nahaja brez ostanka v vseh določenih številih. V največji skupni meri dveh ali več števil se morajo nahajati le tisti prafaktorji, ki so vsem določenim številom skupni. Ako torej razstaviš določena števila na prafaktorje ter poiščeš in pomnožiš vse skupne prafaktorje, najdeš največjo Kako poiščeš sestavljenemu številu pra¬ faktorje. Skupna mera = das gemeinsame A la 13. Največja skupna mera = das grofite gemein¬ same Mafi. Kako najdeš določenim šte¬ vilom največjo skupno mero. 62 Medsebojna pra- števila = relative Primzahlen. Skupni mnogo¬ kratnik = das gemeinsamc Vielfache. Najmanjši skupni mnogo¬ kratnik = das kleinste gemein- same Vielfache. Števila 4, 9 in 12 nimajo nobene skupne mere (razun 1). Taka števila se imenujejo medsebojna ali relativna pra- števila. Ali ste števili 4 in 9, oziroma števili 9 in 12, med¬ sebojni praštevili? Ali je katero izmed navedenih števil samo po sebi praštevilo? Medsebojna praštevila so tista števila, ki ni¬ majo razun 1 nobene skupne mere. § 20. Najmanjši skupni mnogokratnik. Števila 6, 8 in 12 se nahajajo brez ostanka v številu 24; število 24 se imenuje skupni mnogokratnik števil 6, 8 in 12. Skupni mnogokratnik dveh ali več števil je tisto število, v katerem se nahajajo brez ostanka vsa določena števila. Skupni mnogokratniki števil 6, 8 in 12 so: 24, 48, 72 i. t. d. Števila 6, 8, 12 imajo neizrečeno mnogo skupnih mnogokratnikov. Ali imajo števila 6, 8 in 12 kateri manjši skupni mnogokratnik nego 24 ? Število 24 je najmanjše število, v katerem se nahajajo števila 6, 8 in 12 brez ostanka; 24 se imenuje zato najmanjši skupni mnogokratnik števil 6, 8 in 12. V znakih zapišemo to tako-le: mn (6, 8, 12) = 24. (Citaj: najmanjši skupni mnogokratnik števil 6, 8 in 12 je 24.) Najmanjši skupni mnogokratnik je tisto naj¬ manjše število, v katerem se nahajajo brez ostanka vsa določena števila. 63 V najmanjšem skupnem mnogokratniku dveh ali več števil se mora nahajati vsak prafaktor določenih števil, in sicer tolikokrat, kolikorkrat sestavlja tisto število, v katerem se nahaja največkrat. Z ozirom na to lastnost najdeš določenim številom najmanjši skupni mnogokratnik, ako razstaviš vsa določena števila zaporedoma v prafaktorje ter zbereš in po¬ množiš vse različne prafaktorje, vsakega tolikokrat, kolikorkrat si ga našel v tistem številu, v katerem se nahaja največkrat. N. pr. Kako najdeš določenim šte¬ vilom najmanjši skupni mnogo¬ kratnik. mn (12, 16, 18, 24, 32, 40, 56, 72) = ? = 2 X 2W’3 X 2 X 2 X 3 X 2 X 5 X 10080. Prafaktorji števila 12 so 2, 2 in 3; vse te prafaktorje si moraš zapisati. V številu 16 se nahaja prafaktor 2 štirikrat; ta prafaktor si vzel dvakrat že v poštev, dvakrat ga pa še nisi vzel v poštev; torej ga moraš dvakrat pripisati poprejšnjim prafaktorjem. V številu 18 so prafaktorji 2, 3 in 3; pra¬ faktor 3 moraš jedenkrat pripisati poprejšnjim prafaktorjem, ker si ga vzel še-le jedenkrat v poštev. Prafaktorje števila 24 si vzel že vse v poštev; zato ni treba nobenega izmed teh faktorjev pripisati poprejšnjim. V številu 32 se nahaja pra¬ faktor 2 petkrat; jedenkrat moraš ta prafaktor pripisati poprejšnjim, ker si ga vzel še-le štirikrat v poštev. V številu 40 se nahaja novi prafaktor 5, v številu 56 novi prafaktor 7; oba ta prafaktorja moraš pripisati poprejšnjim. Prafaktorje števila 72 si vzel že vse v poštev. Ako pomnožiš navedene prafaktorje, najdeš najmanjši skupni mnogokratnik. Primerjaj izvršeno nalogo! Računanje z navadnimi ulomki. § 21. Pojasnila. Ako razdelimo jednoto (celoto) na 8 jednakih delov, imenujemo vsak del osmino; ako vzamemo potem jeden ali dva ali tri ali štiri ali pet . . . izmed teh delov, pravimo, da imamo jedno osmino, oziroma dve osmini, tri osmine, štiri osmine, pet osmin i. t. d., v znakih: |, |, |, |, f . .. To so števila nove vrste, ki so po svojem postanku podobna dese¬ tinkam. 64 Imenovalec = der Nenner. Števec = der Zahler. Ulomek — der Bruch. Pravi ulomek = der echte Bruch. Nepravi ulomek = der unechte Bruch. Mešano število : die gemischte Zah). Vsako število, ki postane na ta način, da raz¬ delimo jednoto na več jednakih delov ter vzamemo jeden ali več takih delov, imenujemo ulomljeno število ali ulomek. Pri ulomkih je treba gledati na dvoje: 1. na koliko jednakih delov se razdeli jednota, 2. koliko takih delov se vzame. Da izrazimo ulomek, potrebujemo torej dvoje števil; jedno nam pove, kakšni so deli, imenuje torej dele, in se zategadelj zove imenovalec; drugo pa pove, koliko jednakih delov se vzame, šteje torej dele, in se zato imenuje števec. N. pr. v ulomku pet osmin (|) je število 8 imenovalec, število 5 pa števec. Imenovalec pišemo pod števec, med oba pa napravimo vodoravno črto (ulomkova črta). Kako postane polovica, tretjina, četrtina, petina i. t. d. ? Kako postanejo ulomki: |, f, . .? Koliko polovic, tretjin, četrtin, petin i. t. d. ima celota? Ulomki, katerih vrednost je manjša od celote, imenujejo se pravi ulomki; števec takih ulomkov je manjši od ime¬ novalca. N. pr. |, f, || i. t. d. Ulomki, katerih vrednost je jednaka celoti ali pa večja od celote, imenujejo se nepravi ulomki; števec takih ulomkov je jednak imenovalcu ali pa večji od imenovalca. N. pr. |, i. t. d. Vsako število, ki je sestavljeno iz celega števila in iz ulomka, imenuje se mešano število. N. pr. 5 | ali krajše 5|, 27 -j- || ali krajše 27||. Ako hočemo delitev 4 : 9 izvršiti v smislu pravega deljenja, treba je iz vsake dividendove jednote napraviti devetine in jih potem razdeliti na toliko jednakih delov, kakor kaže divizor. Na ta način najdemo 4 devetine za kvocijent, v znakih 4 : 9 = Ako primerjamo dobljeni rezultat s tem, kar smo slišali o nakazani delitvi in o nakazanem kvocijentu dveh števil, smemo reči: vsaka nakazana delitev (vsak nakazani kvo¬ cijent) v smislu pravega deljenja se da smatrati za ulomek. Ta ulomek je pravi ulomek, kadar je dividend manjši od divizorja, sicer pa nepravi ulomek. 65 Naloge. 1. Pretvori celo število 9 v nepravi ulomek z imenovalcem 12! U ■- j- v O V 12 • Vsaka jednota ima 12 dvanajstin; v 9 jednotah je torej 9 krat po 12 dvanajstin = 108 dvanajstin. Celo število pretvoriš v nepravi ulomek z do¬ ločenim imenovalcem, ako pomnožiš celo število z dotičnim imenovalcem tervzameš dobljeni produkt za števec ulomka, kateremu je imenovalec določen po nalogi. 2. Pretvori mešano število 13f v nepravi ulomek! 19 5 122 1 ° 9 9 ’ * Vsaka, jednota ima 9 devetin; v 13 jednotah je 13krat po 9 devetin — 117 devetin. Ako prišteješ tem devetinam še 5 devetin, ki jih imaš v mešanem številu, najdeš po vsem 122 devetin. Mešano število pretvoriš v nepravi ulomek, ako pomnožiš celote z ulomkovim imenovalcem in temu produktu prišteješ ulomkov števec; dobljeno vsoto vzameš za števec ulomka, kateremu je ime¬ novalec določen po nalogi. 3. Pretvori nepravi ulomek l T 3 K 7 v mešano število! 1_S_7 O _2_ 15 15' Za vsako celoto je treba 15 petnajstin; v 137 petnajstinah je toliko celot, kolikorkrat se 15 petnajstin nahaja v 137 petnajstinah (krajše: 15 v 137), in kar ostane, so petnajstine. Nepravi ulomek pretvoriš v mešano število, ako deliš števec z imenovalcem; približni kvocijent so celote, delitveni ostanek pa je števec pravega ulomka, kateremu je imenovalec določen po nalogi. § 22. Razširjevanje in okrajševanje navadnih ulomkov. 3 6. 4? 8* Primerjajmo navedena dva ulomka glede na njuni vred¬ nosti! Ulomek J postane, ako razdelimo jednoto na 4 jednake dele in vzamemo 3 take dele; ulomek | postane, ako raz- Matek, Aritmetika. 5 66 Razširjevanje ulomkov = das Ervveitern der Bruche. Okrajševanje ulomkov = das Abkiirzen der Bruche. delimo jednoto na 8 jednakih delov in vzamemo 6 takih delov. Pri drugem ulomku napravimo iz jednote dvakrat toliko delov kakor pri prvem; torej so deli drugega ulomka dvakrat manjši ko deli prvega ulomka. Ker pa vzamemo pri drugem ulomku dvakrat toliko delov kakor pri prvem, mora torej drugi ulomek imeti isto vrednost kakor prvi. Ako pomnožiš števec in imenovalec prvega ulomka s številom 2, dobiš drugi ulomek; obratno dobiš iz drugega ulomka prvega, ako deliš števec in imenovalec drugega ulomka, s številom 2. Primerjajmo še te-le ulomke: 3 2.1. 4’ 12’ 2 8 glede na njih vrednosti! Koliko delov napraviš iz jednote pri prvem, koliko pri drugem, koliko pri tretjem ulomku? Kolikokrat so deli dragega, oziroma- tretjega ulomka manjši od delov prvega ulomka? Kolikokrat več delov vzameš pri drugem, oziroma pri tretjem ulomku ko pri prvem? Ali imajo navedeni ulomki isto vrednost? Kako dobiš iz prvega ulomka drugi, oziroma tretji ulomek? Kaj je treba v to svrho storiti s števcem in imenovalcem prvega ulomka? Kako dobiš obratno iz drugega, oziroma tret¬ jega ulomka prvi ulomek? Kaj je treba v to svrho storiti s števcem in imenovalcem dotičnega ulomka? Kaj smeš izvajati iz navedenih primerov? Ulomek ne izpreminja svoje vrednosti, ako množiš, oziroma deliš njegov števec in imenovalec z jednim in istim številom. Kadar izpreminjamo ulomku obliko tako, da pomnožimo števec in imenovalec z jednim in istim številom, pravimo, da razširjamo ulomek. Kadar izpreminjamo ulomku obliko tako, da delimo števec in imenovalec z jednim in'istim številom, pravimo, da okraj - šujemo ulomek. Izmed dveh ulomkov z jednakima imenovalcema je tisti večji, ki ima večji števec. Da moreš ulomke urediti po njih vrednosti, treba jih je pretvoriti na skupni imenovalec. 67 Naloge. 1. Pretvori ulomke J, f, f na skupni imeno¬ valec 6 0! 2 4 0 3_ A 6. * AA A AA 3 60’ 4 60 ’ 5 60 ’ 6 60’ Ulomek | razširiš na ulomek z imenovalcem 60, ako pomnožiš števec in imenovalec s takim številom, da dobiš imenovalec 60. To število najdeš, ako določiš, kolikokrat se nahaja prvotni (ali stari) imenovalec 3 v novem imenovalci 60. Istotako razširiš vsakega izmed navedenih ulomkov. Primerjaj izvršeno nalogo 1 2. Pretvori ulomke |, |, || na najmanjši skupni imenovalec! m« = 5 X 2 X 2 X 2 X 3 = 120 3. - _7_2_ Z _ -10.-5 1.1. _ 110 _ A.ZA 5 1 2 0’ 8 1 20 ’ 1 2 1 20’ 1 5 1 2 O * Najmanjši skupni imenovalec navedenih ulomkov najdeš, ako poiščeš najmanjši skupni mnogokratnik vseh imenovalcev; potem pretvoriš navedene ulomke kakor v prejšnji nalogi. 3. Okrajšaj ulomke ||jf! 8 6 10 2 9 6 4 la? — AA - A i«o AA — _ 8 _ A2A 8 = _1_VA_ — _s_2_ _8_ 2 + 0 3 0 5 ’ 5 4 0 54 2 7 ’ 97 2 0 1080 18 0 4 5 ’ Ulomek okrajšaš, ako deliš števec in imenovalec s takim številom, s kakoršnim sta oba deljiva (s skupno mero). Ako to . ponavljaš, izraziš ulomek z najmanjšima številoma, t. j. s številoma, ki ste medsebojni praštevili. Primerjaj izvršeno nalogo! § 23. Seštevanje navadnih ulomkov. ,, ) 4_I_8 l ili_B_ - S 2 - O _2_ 16 15 I 15 I 15 - 15 - Z 1 5’ 4 petnajstine, 8 petnajstin, 11 petnajstin in 9 petnajstin da skupaj 32 petnajstin. Ulomke jednakih imenovalcev seštevaš, ako Kako seštevaš sešteješ števce, skupni imenovalec pa pridržiš. ulomke. Dobljeno vsoto okrajšaš in pretvoriš v mešano število, če je mogoče. - AA I AA I 6.3. I 8.2. 2_Q_9 - O 6.5. - 7 2 7 2 I" 7 2 T 7 2 7 2 7 2' Ako imajo ulomki različne imenovalce, treba jih je pre¬ tvoriti na skupni imenovalec in potem sešteti. 68 69 nahaja v subtrahendovem ulomku; subtrahendovim celotam pa prišteješ tudi jedno celoto, da se ne izpremeni razlika. Ako sta minuend in subtrahend količini, ravnaš istotako kakor pri odštevanji imenovanih celili in desetinskili števil. H X< = V X 4 = V = 22 <- Kateri način je pripravnejši? Pri uporabnih nalogah sta multiplikand in produkt istega imena; multiplikator je vselej neimenovan. Važna slučaja te vrste sta: a) multiplikator je jednak imenovalcu, b) multiplikator je mera imenovalca. N. pr. »H X 8 = 7 b) & X 8 = f = 2|. Ulomek, pomnožen s svojim imenovalcem, da števec za produkt. Ulomek množiš s celim številom, ako deliš ime¬ novalec s celim številom, števec pa pridržiš neiz- premenjen. Mešano število je vsota celega števila in ulomka. Mešano število množiš torej s celim številom, ako pomnožiš celote in ulomek s celim številom ter sešteješ oba produkta. N. pr. 5| X 4 = 20 4- f = 22|. Mešano število množiš tudi s celim številom, ako pre¬ tvoriš mešano število v nepravi ulomek in potem izvršiš na¬ kazano množenje. N. pr. § 25. Množenje ulomka s celim številom. I X 4=? Številni izraz | X 4 pomeni, da se mora multiplikand | sešteti 4 krat. Ako to storiš, najdeš 3 Vd.-3 13 I 3 I 3 - 3X4 - 12 -.02 5 /k 4 5 “T 5 I 5 5 -- 5- 5 Z S ’ Ulomek množiš s celim številom, ako pomnožiš števec s celim številom, imenovalec pa pridržišne- izpremenjen. Ker torej multiplikator pride kot faktor v števec, smeš skupno mero imenovalca in celega števila izpustiti že pred množitvijo, t. j. imenovalec in celo število smeš okraj¬ šati. N. pr. x 7 \ z 1 A n x z zv ■ A 4 0 Kako množiš ulomek s celim številom. Kako množiš mešano število s celim številom. 70 Kako deliš ulomek s celim številom. Kako deliš mešano število s celim številom. § 26. Deljenje ulomka s celim številom. H : 4 = ? Ako razdelimo 12 petindvajsetin na 4 jednake dele, znaša vsak del 3 petindvajsetine. 2 5 1 2 5 Ulomek deliš s celim številom, ako deliš števec s celim številom, imenovalec pa pridržiš neizpre- m en j en. Ako hočeš delitvi | : 5 določiti kvocijent, treba je ulomek | tako razširiti, da postane števec deljiv s celim številom. To dosežeš, ako pomnožiš števec in imenovalec s 5; potem najdeš 3. . K - 3*5 ■ K - _3_ « • - 8 '5 ' - 4 0’ Primerjaj nakazano deljenje in izračunani kvocijent! Kaj izvajaš iz navedenega? Ulomek deliš s celim številom, ako pomnožiš imenovalec s celim številom, števec pa pridržiš n e - izpr emenj en. Po katerem izmed navedenih načinov se da delitev vsigdar izvršiti? Kedaj deliš po prvem, kedaj po drugem načinu? Ako imata števec in celo število skupno mero, smeš oba deliti s to skupno mero (okrajšati); kajti kvocijent se ne iz- premeni, ako deliš dividend in divizor z jednim in istim šte¬ vilom. N. pr. 16-19_4 . o _ 4 9 • 1 - 9 • ° - 2 7* Mešano število deliš s celim številom na dva načina. Ako je dividend manjši od divizorja, pretvoriš mešano število v nepravi ulomek in potem izvršiš nakazano delitev. N. pr. 73.0 — s 1 . q — si ’ 4 • v - 4 • " -- 3 6’ Ce pa je dividend večji od divizorja, je navadno primernejše, da deliš celote in potem ulomek dividenda s celim številom ter sešteješ oba kvocijenta. Ostanek, ki ga dobiš pri deljenji celot, združiš z ulomkom dividenda. N. pr. 408 ~ : 36 = 11 ; kajti 408 : 36 da 11 z ostankom 12 in 12*: 36 = "/ : 36 = is . q __ i« 5 ' ' 4 5’ Pri uporabnih nalogah sta ali dividend in divizor, ali pa dividend in kvocijent istega imena; v prvem slučaji je 71 kvocijent, v drugem pa divizor neimenovano število. Kedaj imaš prvi, kedaj drugi slučaj? Primerjaj pojasnila o deljenji celih števil 1 § 27. Množenje z ulomkom. a) 5 X | = ? Ako je multiplikator ulomek, nima prvotno pojasnilo o množenji nobenega pravega pomena; kajti število 5 sešteti 3četrtinkrat je brez smisla. V takih slučajih določimo produkt po občnem pojasnilu o množenji. Kako se glasi to pojasnilo? Multiplikator | navedene naloge postane iz prvotne jed- note, ako razdelimo jednoto na 4 jednake dele ter seštejemo jednega izmed teh delov 3 krat. Na isti način najdemo produkt iz multiplikanda. Multiplikand 5 je treba razdeliti na 4 jed¬ nake dele, in jednega izmed teh delov, t. j. f, moramo sešteti 3krat 5X| = fX3=¥=3|. Celo število množiš z ulomkom, ako ga deliš z imenovalcem in dobljeni kvocijent pomnožiš s števcem. Samo po sebi se razume, da smeš navedena računa izvršiti tudi v obratnem redu. Torej množiš celo število z ulomkom, ako ga pomnožiš s števcem in dobljeni produkt deliš z imenovalcem. O pravosti najdenega produkta se prepričaš, ako zamenjaš faktorja ter izvršiš množenje po pojasnilih § 25. Ak o je treba celo število množiti z mešanim številom, zamenjaš v mislih faktorja ter ravnaš po pravilih § 25. b) | X f = ? Ako sta multiplikand in multiplikator ulomka, najdeš pravilo za množenje na isti način, kakor v prejšnji nalogi. Ponovi to izvajanje! 2 \/ i 2X8. AO. 3 7 3X7 2 1' Ulomek množiš z ulomkom, ako pomnožiš multi¬ plikand s števcem in dobljeni produkt deliš z ime¬ novalcem multiplikatorj a. Navedeno pravilo se da, izraziti tudi tako-le: Ulomek množiš z ulomkom, ako pomnožiš števec s števcem in imenovalec z imenovalcem ter vzameš Kako množiš celo število z ulomkom. Kako množiš celo število z mešanim številom. Kako množiš ulomek z ulomkom. 72 Kako množiš mešana števila. Obraten = reciprok (um- gekehrt). Kako deliš celo število z ulomkom. Kako deliš ulomek z ulomkom. prvi produkt za števec, drugega pa za imenovalec. Ker torej števec pride kot faktor v števec in imenovalec kot faktor v imenovalec, smeš vsako skupno mero jednega števca in jednega imenovalca izpustiti pred množitvijo (okrajšati). N. pr. 8. v- 1.5. V 1 _■>_ 9 3 2 3 /x 4 1 2' Ako sta multiplikand in multiplikator mešani števili, pretvoriš ju v neprava ulomka ter izvršiš množenje po pravilih o ulomkih. § 28. Deljenje z ulomkom. Ako zamenjaš pri določenem ulomku števec in imenovalec med seboj, najdeš nov ulomek, ki se imenuje obratni ulomek z ozirom na prvega. Tako je n. pr. vsak izmed ulomkov J in -j obratni ulomek z ozirom na drugega; izmed števil 3 in | ima vsako število obratno vrednost drugega števila. Dvoje takih števil hočemo imenovati obratni števili. |Xf = l, 3X1=1. Produkt dveh obratnih števil je jednak jed noti. a) 6 : | = ? Naloga 6 : | nima v smislu pravega deljenja nobenega pomena. V smislu merjenja ima ta naloga pomen in se da razrešiti. Da moremo določiti, kolikokrat se | nahajajo v 6, treba je 6 celot pretvoriti v četrtine. 6 : a = 24 • s = 8 * 4 4 * 4 3 četrtine se nahajajo v 24 četrtinah tolikokrat, kolikorkrat se 3 nahaja v 24. — Isti rezultat tudi najdemo, ako pomno¬ žimo število 6 s | (t. j. obratni ulomek od |). 6X| = 8. V vsakem drugem slučaji se da istotako postopati. Iz navedenega izvajamo: Celo število deliš z ulomkom, ako ga pomnožiš z obratnim ulomkom. A) » • 4. = ? 6’5 - 1 Da moreš delitev # ; izvršiti v smislu merjenja, treba je ulomka razširiti na skupni imenovalec. 5. • j4 2^5_ • 2 4 1 1_ 6 * 5 30 * 30 1 2 4 1 73 4 petine se nahajajo v 5 šestinah (ali 24 tridesetin v 25 tri- desetinah) tolikokrat, kakor 24 v 25. — Isti rezultat tudi najdeš, ako pomnožiš dividend z obratnim divizorjem. 5.4 —■ A v A — 25 —■ 1 1- 6 ■ 6 -- 6^-4 24 24’ Odtod izvajaš pravilo: Ulomek deliš z ulomkom, ako pomnožiš divi¬ dend z obratnim divizorjem. O pravosti najdenega kvocijenta se prepričaš, ako na¬ praviš preskušnjo; kajti kvocijent, pomnožen z divizorjem, mora dati dividend za produkt. Primerjaj pravili pod a) in b)\ Ali se ujemate? Ker se kvocijent ne izpremeni, ako pomnožiš, oziroma deliš dividend in divizor z jednim in istim številom, smeš pri delitvi ulomka (oziroma celega števila) z ulomkom vsako skupno mero med števcema, oziroma med imenovalcema izpustiti že pred delitvijo (okrajšati). N. pr. 8^ • 4. 2 . 1, 1 i 1 5. 9 * 7 9 * 7 9 x 9’ _4_ • _ 5 _ A * A 2 4 15* 18 5*6 2 5* _8_ ■ 12 2 • 3 10 1 1 15*25 3*5 9 x 9* 24 : || = 3 : / T = = 31|. Mešana števila se pretvorijo pred delitvijo v neprave ulomke. N. pr. 9 1 • 11 7. • 8. 1_4 15 “ 3 ’ X 2 3 ’ 2 9 x 9’ 8 : 3| == 8 : V = 4 : 4 = V = 2|. o 5 5 9 9 Ako imate mešani števili dividenda in divizorja kako skupno mero, okrajša se s to skupno mero, predno se izvrši delitev. N. pr. 0 4 . 19 8 9 1.92 9.29 8 1 °5 ’ 9 Z 4 ' ° 9 4 ’ 9 116' § 29. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalne ulomke. Ulomki, katerih imenovalci so dekadične jednote višjih redov (t. j. 10, 100, 1000 i. t. d.), imenujejo se decimalni ulomki; ulomki pa, katerih imenovalci so različni od deka- dičnih jednot višjih redov, zovejo se navadni ulomki. Deci¬ malne ulomke pišemo na dva načina: ali v obliki navadnih ulomkov, n. pr. T % 9 (j, ali pa v obliki celih števil, n. pr. 0’49. Kako deliš mešano število z mešanim številom. Decimalni ulomek = der Decimalbruch. Navadni ulomek = der gemeine Bruch. 74 ,, j 3 3X12 5 “Z 8 '8X125 = 0'375. Navadni ulomek | pretvorimo v decimalnega, ako ga raz¬ širimo tako, da postane njegov imenovalec jednak kaki višji dekadični jednoti. Ta pretvoritev je mogoča le tedaj, kadar se imenovalec navadnega ulomka nahaja brez ostanka v kaki višji dekadični jednoti. Prafaktorji dotičnega imenovalca torej ne smejo biti različni od prafaktorjev dekadičnih jednot (t. j. od prafaktorjev 2 in 5). b) = 9 0 : 16 = 0-56 2 5 T 4 T 7 T = 47« : 111 = 0’423 100 260 40 380 80 47 0 A = 8 0 : 15 = 0-53 50 5 Kako pretvoriš Navaden ulomek pretvorimo tudi v decimalnega, ako navaden ulomek ... Y . . . Y . .. . . ... . v decimalnega Almo »tevec z imenovalcem m izračunamo kvocijent v obliki desetinskega števila. V to svrho pripišemo prvemu in vsakemu naslednjemu delitvenemu ostanku ničlo, t. j. delitvene ostanke pretvorimo zaporedoma v jednote nižjih redov. Končen deci- Ako pridemo pri takem deljenji do ostanka 0, je deci- malni ulomek— . . . , .. v • i . . . . n endiicher malni ulomek (izračunani kvocijent) popolnoma jednak navad- Decimaibruch. nemu ulomku (končen decimalni ulomek). Končen decimalni ulomek najdemo, kadar je imenovalec navadnega ulomka deljiv le s prašteviloma 2 in 5, a z nobenim drugim. če pa pri omenjeni delitvi ne pridemo do ostanka 0, je izračunani decimalni ulomek le približno jednak navadnemu Brezkončen deci¬ malni ulomek — unendlicher Decimalbruch. Povraten deci- ulomku, in to tem približnejše, čim več decimalk izraču¬ namo. Ker je vsak ostanek manjši od divizorja, morajo se po nekoliko delitvah ponavljati ostanki in istotako tudi številke v kvocijentu (brezkončen decimalni ulomek). Decimalni ulomek, v .katerem se ponavlja jedna ali več številk, imenuje se povraten ali perijodičen decimalni maini^uiomek*— ulomek; vrsta ponavljajočih se številk se zove povračaj ali periodischer Decimalbruch. Povračaj — die Periode. perij oda. Perijoda ima včasih jedno, včasih dve, včasih tri ali več številk. Perijodo zapišemo navadno le jedenkrat ter zaznamujemo nje prvo in zadnjo številko tako, da postavimo piko nad vsako. 75 Tisti decimalni ulomek, pri katerem se ponavljajo vse desetinke, imenuje se čisto perijodičen decimalni ulomek; ulomek pa, pri katerem se ne ponavljajo vse desetinke, ampak le nekatere, zove se nečisto perijodičen decimalni ulomek. Primerjaj zgoraj navedene ulomke! čisto perijodičen decimalni ulomek najdemo, ako je imenovalec navadnega ulomka deljiv le s takimi praštevili, ki so različna od 2 in 5. Nečisto perijodičen decimalni ulomek dobimo, ako je ime¬ novalec navadnega ulomka deljiv s prašteviloma 2 ali 5 in vrh tega še tudi s praštevili, ki so različna od 2 in 5. § 30. Pretvarjanje decimalnih ulomkov v navadne ulomke. a) Končen decimalni ulomek pretvoriš v navadnega, ako ga izgovoriš in potem zapišeš v obliki navadnega ulomka. N. pr. 0'48 = T Vo = H- h) Ako hočeš čisto perijodičen decimalni ulomek pretvoriti v navadnega, pomnožiš ga s tako dekadično jednoto, da po¬ makneš desetinsko piko za vso perijodo proti desni in od tega pomnoženega ulomka odšteješ prvotnega. N. pr. o-iš = ? 1 terni ulomek = 0'121212... lOOterni ulomek = 12'121212. . . 9 9 terni ulomek = 12; torej je jednoterni ulomek — ~-| ali: 0 ■ 12 = čisto perijodičen decimalni ulomek pretvoriš v navadnega, ako vzameš perijodo za števec, za imenovalec pa toliko 9, kolikor ima perijoda številk. c) Ako je treba nečisto perijodičen decimalni ulomek pretvoriti v navadnega, pomnožiš ga s tako dekadično jednoto, da postane čisto perijodičen, in potem postopaš istotako kakor poprej. N. pr. 1 r J 0'375 = ? lOterni ulomek je 3'75 = 3 Čisto povraten decimalni ulomek = rein periodischer Decimalbruch. Nečisto povraten decimalni ulomek = gemischt perio¬ discher Decimal¬ bruch. torej je jednoterni ulomek = 3;,;j : 10 = ali: 0-375 = AV 76 Sklepni računi. § 31. Jednostavni sklepni račun. sklepni račun = V nalogah vsakdanjega življenja se nahajajo količine, die Schluss- • i . v . n . n • i i tv* rechnung P 1 ’ 1 katerih povzroči vsaka izprememba jedne količine izpre- odvisne količine, membo druge količine. O takih količinah pravimo, da so od¬ visne druga od druge. N. pr. 1. Določena množina blaga ima določeno ceno; dvakrat toliko istega blaga velja dvakrat toliko denarja. Koliko velja tri-, štiri-, petkrat toliko istega blaga? 2. Določeno število delavcev izvrši neko delo v določenem času; dvakrat toliko (jednako pridnih) delavcev izvrši isto delo v polovici prvotnega časa. V katerem času izvrši isto delo tri-, štiri-, petkrat toliko delavcev? Pogojni in Vsaka naloga, v kateri se nahajajo odvisne količine, je VPr v S naiogah Vek sestav lj ena i z dveh stavkov, iz pogojnega in vprašalnega Občno pojasnilo stavka, ali se vsaj da razstaviti na taka dva stavka. V po- o razreševanji stavku ste določeni obe odvisni količini; v vprašalnem sklepnih računov. ° J stavku pa je določena le jedna teh količin, drugo je treba poiskati. Naloge te vrste razrešujemo v obče tako, da skle¬ pamo iz določene množine jedne količine na jednoto in iz j e dno te na kako drugo določeno množino iste količine. Razrešitev si nekoliko olajšamo, ako napravimo načrt, t. j. kratek podatek dotične naloge v obliki pogojnega in vprašalnega stavka. Glede na način skle¬ panja in na pismeno predočevanje računa primerjaj naslednje naloge! I. Sklep iz določene množine na jednoto in iz jednote na kako drugo določeno množino. 1. 7 delavcev zasluži na dan 10 gl 50 kr; a) ko¬ liko zaslužijo 4 delavci? b) koliko delavcev zasluži na dan 15 gl? a) 7 del. ... 10 gl 50 kr 4 » . . . ? 1 delavec zasluži na dan sedmi del od 10 gl 50 kr = 1 gl 50 kr; 4 delavci zaslužijo na dan 4krat po 1 gl 50 kr = 6 gl. 77 b) 7 del. ... 10 gl 50 kr ? » ... 15 » 1 delavec zasluži na dan sedmi del od 10 gl 50 kr — 1 gl 50 kr; 15 gl na dan zasluži toliko delavcev, kolikorkrat se zaslužek jednega delavca (1 gl 50 kr.) nahaja v vsem za¬ služku (15 gl). Torej je rezultat — 10 delavcev. 2. 15 zidarjev sezida neki zid v 4 dneh; a) n ko¬ liko dneh sezida isti zid 8 delavcev? b) koliko zi¬ darjev izvrši isto delo v 3 dneh? a) 15 zidar. ... 4 dnij 8 » . . . ? » 1 zidar napravi na dan 15krat manj ko 15 zidarjev; torej potrebuje 1 zidar za isto delo 15 krat po 4 dni = 60 dnij. 8 zidarjev napravi na dan 8krat več ko 1 zidar; torej po¬ trebuje 8 zidarjev za isto delo osmi del od 60 dnij = 7| dneva. b) 15 zidar. ... 4 dnij ? » . . . 3 » V 1 dnevu izvrši isto delo 4krat po 15 zidarjev — 60 zi¬ darjev ; za tri dni je treba le tretji del od 60 zidarjev = 20 zi¬ darjev. 3. 2~ hi vina vel j a 74 K; a) koliko velja 251 hl7 b) koliko hi dobiš za 236| K? Pri pismenem računanji sklepaš istotako, kakor pri raču¬ nanji na pamet. Dotičnega množenja, oziroma deljenja ne izvršiš takoj, temveč ga le nakažeš; iz nakazanega rezultata najdeš a) 24 hi . . . 74^ K Z O i o 25|' » . . . ? » 74- 9 - K —fl—X 25> = 861 t %K izračunanega, ako izvršiš dotične računske načine. Primerjaj nakazani rezultat z naslednjim sklepom! 1 hi velja 2|. del 74~«_ K od 74 A K = £?•— ; 251 hi velja 25|krat toliko ko 1 hi. — Da izračunaš rezultat, deliš 74-/ ? z 2| in dobljeni kvo- cijent pomnožiš s 251, ali pa pomnožiš 74/g s 251 ter deliš dobljeni produkt z 2 ’ . Ali bi bilo primerno izračunati rezultat 78 na prvi navedeni način, če bi dobil pri omenjeni delitvi brez¬ končen decimalni ulomek za kvocijent? b) 2^ hi... 74AK ? » . . . 236 | » _o _ 2-1 h/ X 236| = 7 hi. (4 _*L_ ' * 2 5 9-1 h/ Za 1 K dobiš 74/ K . del od 2f hi = t^ ;za 236fK dobiš 2361 krat toliko hi kakor za 1 K. Glede na izračunanje rezultata primerjaj nalogo pod n)\ Nalogo pod b) razrešiš tudi lahko takd-le. 1 hi velja 74 JL K 2|.del od74/^K = - ■; za 2364 K dobiš toliko hi, koli- •> •> I) I > o "5 korkrat se cena 1 hi nahaja v 2361 K, t. j. v znakih 74-9_ K 2A 236| K : = 236| X = 7; & 5* K torej je rezultat = 7 hi. Pri izračunanji nakazanega rezultata je treba najprej delitev 74-- mešanega števila 236| z ulomljenim številom -jr— pretvoriti ■“ "B v množitev in pri tej pretvoritvi izpustiti povsod, ime. Dobljeno množitev izvršiš potem, ako pomnožiš 2361 z 24 in najdeni produkt deliš s 74 4. Iz neke preje se da natkati 73| m platna, ki je po 1A m š i r o k o ; k o 1 i k o m p o m širokega platna dobiš iz iste preje? 731 m dolgo platno ... m široko platno r » » » ... 1~- » » » 73| m X j •. , , , — * — gji m dolgo platno. Koliko m platna dobiš, ako je po 1 m široko? koliko, ako je po 1| m široko? Primerjaj nakazani rezultat! II. Sklep iz določene množine na kako mero ali na kak mnogokratnik te množine. 1. Neki kapital da v 4 letih 8 mesecih 256 K 80 h obrestij; a) koliko obrestij dobiš od istega kapitala 79 v 7 mesecih? b) v katerem času dobiš od istega kapitala 2568 K obrestij? a) 4 leta 8 mes. . . . 256 K 80 h obrestij 7 mes. ... ? » 256 K 80 h : 8 = 32 K 10 h obrestij. 4 leta 8 mesecev =56 mesecev; 7 mesecev je osmi del od 56 mesecev; v 7 mesecih dobiš torej osmi del od 256 K 80 h obrestij. b) 4 leta 8 mes. ... 256 K 80 h obrestij ? ... 2568 » obrestij 4 leta 8 mes. X 10 = 46 let 8 mesecev. Kolikokrat je 2568 K večji nego 256 K 80 h? V katerem času dobiš torej 2568 K obrestij ? 2. Sprednje kolo na vozu ima 1| m, zadnje 3 m v obsegu; kolikokrat se zavrti zadnje kolo, med tem ko napravi sprednje 835 vrtežev? 1| m obseg . . . 835 vrtežev 3 » » . . . ? » čim večji je obseg kolesa, tem manj vrtežev napravi kolo na isti poti. Ker je v navedeni nalogi obseg zadnjega kolesa 2krat večji nego obseg sprednjega, napravi zadnje kolo le polovico toliko vrtežev ko sprednje, t. j. 417| vrteža. 3. A izda v 12 dnehtoliko, kolikor Bv 15 dneh; ako izda A v 18 dneh 45 gl, koliko izda B v istem času? Koliko izda A v 1 dnevu? koliko v 12 dneh? Toliko izda /Iv 15 dneh. Koliko torej v 1 dnevu? koliko v 18 dneh? 111. Sklep iz določene množine na kako drugo množino s pomočjo skupne mere. 1. Ako razdeliš neko vsoto denarja med 36 re¬ vežev, dobi vsak po 1 gl 50 kr; med koliko revežev bi moral razdeliti isto vsoto denarja, da bi dobil vsak po 2 gl 2 5 kr? 75 kr je n. pr. skupna mera števil 1 gl 50 kr in 2 gl 25 kr. Koliko bi bilo revežev, ako bi dobil vsak 75 kr namesto 80 1 gl 50 kr? Koliko je revežev, ako dobi vsak 2 gl 25 kr namesto 75 kr? 2. 210 oseb izhaja z nekim živežem 36 dnij; od začetka pa se hrani z istim živežem 140 oseb 34 dnij; koliko časa bode izhajalo z ostalim živežem 350 oseb? Obrestni račun = die Zinsen- rechnung. Glavnica = das Capital. Obrest = der Zins. Odstotek = das Procent. Izračunaj najprej, koliko časa izhaja 140 oseb z živežem. Ker pa se 140 oseb hrani s tem živežem le 34 dnij, ostane 140 osebam še živeža za 20 dnij. Koliko časa bode 350 oseb (namesto 140 oseb) izhajalo z ostalim živežem? Primerjaj izvršeni račun! § 32. Obrestni račun. Ako posodi A sosedu B novcev, imenuje se A upnik, B pa dolžnik. Posojeni novci se zovejo glavnica ali kapital, nagrada ali plačilo pa, katero mora dolžnik plačevati upniku zato, da sme rabiti njegov denar, imenuje se obrest. Obresti se računajo po odstotkih ali procentih, to so obresti od glavnice 100 gl (K) v jednem letu. Ako pravimo: kapital je naložen po 5°/ 0 (čitaj: pet odstotkov, ali: pet procentov), pomeni to, da nese 100 gl (K) glavnice na leto 5 gl (K) obrestij; 1 gl (K) kapitala daje torej na leto 5 kr (h) obrestij. Pri obrestnih računih štejemo mesec navadno po 30 dnij in leto po 360 dnij. Ako poznaš obresti za 1 leto, kako najdeš potem obresti za a) več let, b) 1 mesec, c) 1 dan? Naloge. 1. Koliko obrestij da 1 725 gl 60 kr kapitala po 5|% v 1 letu? 100 gl kap. . . . 5| gl obr. 1725-6 » » . . . ? » » 5’25 kr X 1725'6 = 9059'4 kr obrestij = 90 gl 59 kr obrestij. 81 1 gl kapitala dd na leto 5 ' kr obrestij; 1725’6 gl kapi¬ tala da torej na leto 1725’6krat po 5| kr obrestij. Primerjaj nakazani rezultat! 2. Katera glavnica da po 4% naložena v 1 letu 6 6 K 4 h obrestij ? 100 K glav. ... 4 K obr. ? » » . . . 66’04 K obr. -°“ K X 66’04 = 1651 K glav. Jedno K obrestij da četrti del glavnice 100 K; 66’04 K obrestij dobiš od glavnice, ki je 66’04krat večja od poprejšnje. Primerjaj nakazani rezultat! 3. 1896 gl kapitala da v 1 letu 123 gl 24 kr obrestij; po koliko °/ 0 je naložen kapital? 1896 gl kap. . . . 123’24 gl obr. 100 » » . . . ? » » 12 y« g ‘ X 100 = 6’5 gl obr. 1 gl kapitala da na leto 1896. del od 123’24 gl obrestij; 100 gl kapitala da 100 krat toliko obrestij ko 1 gl. Primerjaj nakazani rezultat! 4. V katerem času da 7 20 K glavnice naložene po 4% 144 K obrestij? Izračunaj najprej obresti za 1 leto! Glavnica je toliko let naložena, kolikorkrat se obresti jednega leta nahajajo v vseh obrestih. Izvrši račun! 5. Nekdo si izposodi 2348 gl po 4|°/o! koliko mora plačati za kapital z obrestmi vred čez 2 leti 6 mesecev? Nalogo razrešiš, ako izračunaš obresti za določeni čas ter jih prišteješ kapitalu. Nalogo pa lahko razrešiš tudi tako-le. 100 gl kapitala da v 2 letih 6 mesecih 11 gl 25 kr obrestij; za 100 gl kapitala moraš plačati po določenem času 111’25 gl ; za 1 gl izposojenega kapitala plačaš torej 1’1125 gl in za 2348 gl kapitala plačaš 2348krat toliko ko za 1 gl. Izvrši račun! 6. Koliko moraš izposoditi po 4|%, da se ti plača čez 3 leta 835 K 36 h nazaj? Matek, Aritmetika. 6 82 Odstotni račun = die Procent- rechnung. Dohodnina. Dobiček in izguba. Popust = der Nachlass. Odbitek — der Discont. Gotovo plačilo = die contante Zahlung. Rabat = der Rabatt. Nečista teža = das Brutto- gewicht. Tara = die Tara. Cista teža = das Nettogewicht. Opravnik — der Commissionar. Opravnina = die Pro vision. Za 100 K kap. se plača 113*5 K nazaj » ? » » » » 835*36 » » 10 °^ k 5 ap - X 835-36 = 736 K kap. Primerjaj prejšnji račun! § 33. Odstotni ali procentni račun. Različnim računom vsakdanjega in trgovskega življenja je odstotek ali procent (%) podlaga. N. pr. 1. Od letnega dohodka plačujemo davek (dohodnino) po °/ 0 , t. j. od 100 gl ali K dohodka plačujemo nekatere gl, oziroma K dohodnine. 2. Trgovec prodaja blago navadno z dobičkom, včasih tudi v izgubo; dobiček in izguba se določujeta po »/ 0 , t. j. pove se, koliko gl (K) se dobi ali izgubi pri 100 gl (K) kupne cene. 3. Posestniku se včasih dovoli zaradi različnih nezgod, ki so ga zadele, da mu ni treba plačati vsega davka. V takih slučajih pravimo, da se mu je popustilo na davku, ali da se mu je dovolil popust. Popust se določuje po °/o, t. j. pove se, koliko gl (K) se mu dovoli popusta pri 100 gl (K) davka. 4. Trgovec mora kupljeno blago plačati ob določenem obroku. Ako pa plača takoj (gotovo), dovoli se mu nekoliko popusta. Ta popust se imenuje odbitek ali s k on to in se določuje po %, t. j. pove se, koliko gl (K) se mu popusti pri 100 gl (K) kupne cene. 5. Založniki knjig dovoljujejo knjigarjem za trud, da jim prodajajo knjige, neko nagrado od prodajalne cene. Ta nagrada, se imenuje rabat ter se določuje po °/ 0 , t. j. pove se, koliko gl (K) dovoli založnik knjigarju, ako mu ta proda za 100 gl (K) knjig. 6. Teža posode (tara), v kateri se nahaja blago, določuje se dostikrat po °/ 0 , t. j. pove se, koliko kg znaša tara pri 100 kg nečiste teže. 7. Oseba, ki kupi ali proda blago za trgovca, imenuje se opravnik; opravniku se plača za njegov trud nagrada, ki se zove opravnina ali provizija. Opravnina se določuje navadno po °/ 0 , t. j. pove se, koliko gl (K) znaša opravnina pri 100 gl (K) kupne, oziroma prodajalne cene. Trgovec, za 83 katerega kupi ©pravnik blago, plača kupno ceno in opravnino; trgovec, ki je dal prodati blago, plača opravnino od prodajalne cene. Koliko dobi torej za blago? Opravnina se določuje včasih tudi po odtis očki h ali Odtisoček = das po promilu (°/o O ), t. j. pove se, koliko znaša opravnina pri P,om ' lle ’ 1000 gl (K) kupne, oziroma prodajalne cene. 8. Društva, ki zavarujejo blago, poslopja, hišno opravo, zavarovalno poljske pridelke i. t. d. proti različnim nezgodam, imenujejo se y™sXrangs- zavarovalna društva. Ako nastane kaka škoda na dotični oderAssecuranz- stvari, plača jo društvo. V to svrho se mora društvu na leto Za varovaiMna = plačevati naprej neka vsota denarja. Ta vsota se zove zava- die Versi- rovalnina ter se določuje po °/ 0 ali po %o °d vrednosti chciungsp, ‘ imie - dotične stvari, ki se je zavarovala, t. j. pove se, koliko znaša zavarovalnina pri 100, oziroma pri 1000 gl (K) vrednosti. 9. Zlati novci imajo v prometu dostikrat večjo veljavo Nad a vek = das ko sreberni. Ta razlika v vrednostih se imenuje nad a v ek, ki se določuje po %, t. j. pove se, za koliko je 100 K v zlatu več vrednih ko 100 K v srebru. Naloge. 1. Trgovec kupi za 756 K 80 h blaga ter ga proda s 15°/ 0 (čitaj: 15 procentnim) dobičkom, koliko znaša a) dobiček, b) kupna cena? a) 100 K kup. cene ... 15 K dob. 756’8 » > »...?» » X 756’8 = 113-52 K dob. b) 100 K kup. cene . . . 115 K prod, cene 756’8 » » »...?» » » 1 ioo K X 756’8 = 870’32 K prod. cene. Kako bi drugače izračunal prodajalno ceno? 2. Nekdo ima plačati 540 gl 20 kr davka; koliko bo plačal, ako se mu popusti 12|°/ 0 ? Za 100 gl davka se plača 87’5 gl » 540’2 » » » » ? » Izvrši račun ! (»* 84 3. Pri prodaji nekega blaga znašajo po 3*-% računani postranski stroški ‘26 K 85 h; za koliko se je prodalo blago? 100 K prod, cene ... 3’25 K stroškov ? » » » . . . 26'85 » » Izvrši račun! 4. Koliko velja blago, ki ima 1265 kg nečiste teže in 8% tare, ako se plača 1 q čiste teže po 32 gl 50 kr? 100 kg neč. teže . . . 92 kg čiste teže 1265 » » »...?> » » 1163'8 kg čiste teže. 100 kg čiste teže . . . 32'5 gl 1163'8 » » » . . . ? > Izvrši račun! 5. Opravnik kupi nekemu trgovcu za 968 K 40 h blaga in si računa 1|% opravnine; koliko mora trgovec plačati za blago? Za 100 K kupne cene se plača 101'5 K » 968'4 » » » » » ? » Izvrši račun! Kako bi razrešil nalogo še drugače? 6. Trgovec zavaruje blago, ki ga pošlje po že¬ leznici, z 2i°/ 00 in plača 4 gl 46 kr zavarovalnine; koliko je vredno blago? 1000 gl vrednosti ... 2'5 gl zavar. ? » » ... 4'46 » » Izvrši račun! 7. Trgovec ima pri prodaji nekega blaga, ki je vredno 472 gl, 56 gl 64 kr dobička; koliko je tov °/ 0 ? Pri 472 gl vrednosti . . . 56'64 gl dob. » 100 » » . . . ? » » Izvrši račun! 8. Neko blago se je kupilo za 564 K 80 h in prodalo za 522 K 44 h; koliko % je bilo izgube? 85 Pri 564'8 K kupne cene . . . 42'36 K izgube » 100 » • » . . . ? » » Izvrši račun! 9. Trgovec plača za blago s 3% opravnino vred 529 gl 42 kr; za koliko se je kupilo blago? Za 100 gl kup. cene se plača 103 gl » ? » » » » > 529'42 gl Izvrši račun! 10. A plača za davek, od katerega se mu je popustilo 1 5°/ 0 , 164 K 73 h; kolik je bil popust? Za 100 K prvotnega davka se plača 85 K; pri 85 K davka je torej 15 K popusta. Pri 85 K plačanega davka ... 15 K popusta » 164'73 » » »...?> » Izvrši račun! Razmerja, sorazmerja in njih uporaba. § 34. Razmerje. Ako preiskujemo, kolikokrat se v določenem številu na- Razmerje = das baja neko drugo določeno število, pravimo, da merimo prvo (> '® rhal ‘ n,s - število z drugim, ali da iščemo razmerja med prvim das vordergiied. in drugim številom. N. pr. v številu 12 se nahaja število 4 Zadn - il cIen = ° r J das Hinterglied. trikrat, V znakih Količnik = der 12 i 4 = 3 Quotient (čitaj: razmerje med številoma 12 in 4 je jednako 3, ali: 12 proti 4 je jednako 3). Izraz «12 : 4» se imenuje razmerje števil 12 in 4 ter pomeni, da se število 4 nahaja nekolikokrat v številu 12; 12 zovemo prednji, 4 zadnji člen, število 3 pa količnik ali kvocijent razmerja. Količnik razmerja naznanja, koli¬ kokrat se zadnji člen nahaja v prednjem. Vsako delitev v smislu merjenja smemo smatrati za raz¬ merje dotičnih dveh števil. 86 Kako najdeš kvocijent določenega razmerja? Kako izra¬ čunaš prednji, kako zadnji člen razmerja? Primerjaj v to svrho zgoraj navedeno razmerje! številno razmerje Razmerje med dvema neimenovanima številoma imenu- = das zahien- ^ em0 gj s t 0 številno razmerje, razmerje med dvema isto- Količinsko raz- vrstnima količinama (dvema imenovanima številoma iste vrste) merje = das količinsko razmerje. Tako je n. pr. 12 : 4 čisto številno GroBenverhaltnis. x ... razmerje, 12 m : 4 m pa količinsko razmerje. Raznovrstne koli¬ čine se ne dado primerjati druga drugi; med dvema takima količinama ne moremo imeti nobenega razmerja. Jednaka raz- Vrednost razmerja sodimo po njegovem količniku; čim merja. večji je količnik, tem večja je vrednost razmerja. Razmerja, ki imajo jednake količnike, imenujemo jednaka. Tako imajo n. pr. razmerja 12 : 4, 15:5, 9 gl : 3 gl, 21 hi : 7 hi isti količnik in so zato jednaka. Ako izpustimo pri prednjem in zadnjem členu količinskega razmerja ime, dobimo čisto številno razmerje iste vrednosti; kajti očividno ste si n. pr. količini 12 gl in 4 gl istotako kakor neimenovani števili 12 in 4. 15 : 5 = 3 60 : 20 = 3 obiične izpre- Iz razmerja 15 : 5 dobiš razmerje 60 : 20, ako pomnožiš membe razmerja prednji in zadnji člen s številom 4; obratno najdeš iz zadnjega anderungen des razmerja prvo razmerje, ako deliš prednji in zadnji člen s Verhaitnisses. številom 4. Obe razmerji ste iste vrednosti, ker imate isti kvocijent. Torej smemo reči: Razmerje ne izpremeni svoje vrednosti, ako pomnožiš ali deliš prednji in zadnji člen z jednim in istim številom. S pomočjo navedene lastnosti se da pri vsakem razmerji izpremeniti oblika. Važne so tiste pretvoritve, pri katerih postane oblika jednostavna, in na take pretvoritve se hočemo v naslednjem ozirati. Vsako razmerje, čegar člena sta ulomka, izraziš s celima številoma, ako pomnožiš prednji in zadnji člen z najmanjšim skupnim imenovalcem. N. pr. 91 • 2.-8 S • O S ‘ 6 3'4 8 • 14.11 87 Vsako razmerje, čegar člena imata skupno mero, izraziš z manjšima številoma (okrajšaš), ako deliš oba člena s skupno mero. N. pr. Določenemu razmerju daš najkrajšo obliko, ako ga iz¬ raziš najprej s celima številoma, katera potem okrajšaš, kolikor je mogoče. N. pr. Ako se nahajata v razmerji končna decimalna ulomka, pomnožiš prednji in zadnji člen s primerno dekadično jednoto. Ce sta pa člena perijodična decimalna ulomka, treba je ta ulomka pretvoriti v navadna ulomka. Primerjaj zgoraj navedeni nalogi! Ali smeš okrajšati določeno razmerje, predno ga izraziš s celima številoma? Ali je to mogoče storiti v navedenih primerih ? § 35. Sorazmerje. a) 6 : 2 = 3 15:5 = 3. Dve jednaki razmerji smemo izjednačiti, t. j. reči in Sorazmerje = die pisati smemo, da ima prvo razmerje isto vrednost kakor drugo. Pr °P° rtlon - Dve izjednačeni razmerji tvorite sorazmerje, n. pr. 6 : 2 = 15 : 5 (čitaj: števili 6 in 2 ste si kakor števili 15 in 5, ali 6 proti 2 kakor 15 proti 5). Sorazmerje je sestavljeno iz dveh jednakih razmerij, zunanja in Sorazmerje tvoreča števila se imenujejo členi sorazmerja in no ' ranjaelena = sicer od leve proti desni prvi, drugi, tretji in četrti člen. Prvi Giieder. in četrti člen se zoveta zunanja, drugi in tretji člen pa < j e ! rt , a notranja člena; četrtemu členu pravimo četrta geome- razmernica = trijska sorazmernica prvih treh členov. V zgoraj nave- lliC ™ lta denem sorazmerji je 6 prvi, 2 drugi, 15 tretji in 5 četrti člen; Proportionaie. 6 in 5 sta zunanja, 2 in 15 notranja člena; število 5 je četrta sorazmernica števil 6, 2 in 15. 88 Stalno soraz¬ merje = die stetige Proportion. Srednja geo- Ako izjednačimo razmerji 9 : 6 = 1| in 6 : 4 = 1|| dobimo sorazmerje n . „ J 9 : 6 = 6 : 4 metrijska soraz- , . mernica = die v katerem sta notranja člena jednaka. Vsako tako sorazmerje mittiere geo- se imenuje s t al n o sorazmerje. Notranji člen stalnega soraz- metrische Pro- J , . . portionaie. merja se zove srednja geometrijska sorazmernica zu- Tretja geo- nan jih členov, četrti člen pa tretja geometrijska soraz- metrijska soraz- . . v mernica = die mernica prvega m notranjega člena. dritte geometrische Proportionale. Številno soraz¬ merje = die Zahlen- proportion. Vsako sorazmerje, katerega členi so neimenovana števila, imenuje se čisto številno sorazmerje. b) 20 m : 5 m = 4 12 gl: 3 gl = 4 _ 20 m : 5 m — 12 gl : 3 gl. Količinsko sorazmerje = die Grofien- proportion. Ako izjednačimo dve količinski razmerji, stvorimo koli¬ činsko sorazmerje. V količinskem sorazmerji sta člena vsakega razmerja istoimenska; člena prvega razmerja pa uteg¬ neta imeti različno ime od členov drugega razmerja. Kakor smemo vsako količinsko razmerje pretvoriti v čisto številno razmerje, moremo tudi vsako količinsko sorazmerje izraziti kakor čisto številno sorazmerje. V to svrho je treba izpustiti pri vseh členih imena. Tako najdemo iz zgoraj navedenega ko¬ ličinskega sorazmerja čisto številno sorazmerje 20 : 5 = 12 : 3. Lastnost vsakega številnega soraz¬ merja. c) 6:2 = 15:5 6. 5=2. 3. 5, 2.15 = 2.5.3. Koliko znaša produkt zunanjih členov navedenega soraz¬ merja? Kolik je produkt notranjih členov? Primerjaj oba produkta! Ker je prednji člen vsakega, razmerja jednak produktu iz zadnjega člena in kvocijenta, smemo v navedenem sorazmerji postaviti namesto prvega člena 6 produkt iz drugega člena 2 in iz kvocijenta 3, in namesto tretjega člena 15 produkt iz četrtega člena 5 in iz kvocijenta 3. Ako to storimo, spoznamo takoj, da sestavljajo produkt zunanjih členov isti faktorji kakor produkt notranjih členov, namreč kvocijent, drugi in četrti člen. Zato smemo reči: V vsakem številnem sorazmerji je produkt zunanjih členov jednak produktu notranjih členov. 89 Navedena lastnost velja le o čisto številnih sorazmerjih. Pri količinskih sorazmerjih se ne da izvršiti omenjeno množenje. Zakaj ne? Ako hočeš določiti, ali je kako sorazmerje pravo, moraš dokazati, da sta kvocijenta obeh razmerij jednaka, ali pa, da je produkt zunanjih členov jednak produktu notranjih členov. d) 10 ; x = 14 : 7 3| : 2| = 1|: x Sorazmerje razrešiti se pravi iz treh znanih členov poiskati neznani člen. Neznani člen zaznamujemo navadno s črko x. V vsakem številnem sorazmerji sta produkta zunanjih in notranjih členov jednaka. Kaj najdeš, ako deliš n. pr. produkt zunanjih (notranjih) Členov z jednim notranjim (zunanjim) členom ? Zunanji člen sorazmerja najdemo, ako delimo produkt notranjih členov z znanim zunanjim členom. Notranji člen sorazmerja najdemo, ako delimo produkt zunanjih členov z znanim notranjim členom. Po navedenih pravilih se dado razreševati le čisto številna sorazmerja. Ako je treba razrešiti količinsko sorazmerje, moramo ga najprej pretvoriti v čisto številno sorazmerje. e) 6:2 = 15: 5 18 : 6 = 60 : 20 12 : 2 = 30 : 5 6 : 8 = 15 : 20. Iz prvega navedenega sorazmerja dobimo drugo sorazmerje, ako pomnožimo člena prvega razmerja s številom 3, člena drugega razmerja pa s številom 4; s tem se ne izpremeni kvocijent nobenega razmerja. Iz prvega sorazmerja najdemo tretje sorazmerje, ako pomnožimo prvi in tretji člen s številom 2; kvocijent vsakega razmerja postane na ta način dvakrat večji. Iz prvega sorazmerja dobimo četrto sorazmerje, ako pomnožimo drugi in četrti člen s številom 4; kvocijent vsakega razmerja postane na ta način štirikrat manjši. Obratno najdemo iz Kako se soraz¬ merja razrešujejo. Oblične izpre- membe soraz¬ merja = Form- veranderungen der Proportion. 90 drugega ali tretjega ali četrtega sorazmerja prvo sorazmerje, ako delimo primerne člene z določenim številom. Iz tega izvajamo: Iz določenega sorazmerja dobiš zopet soraz¬ merje, ako pomnožiš ali deliš j eden zunanji in j eden notranji člen z istim številom. S pomočjo navedene lastnosti se da vsakemu sorazmerju izpremeniti oblika. Važne so tiste pretvoritve, pri katerih postane oblika jednostavna, in na take pretvoritve se hočemo v naslednjem ozirati. Vsako sorazmerje, v katerem se nahajajo ulomki, izraziš s celimi števili, ako pomnožiš primeren zunanji in notranji člen z najmanjšim skupnim mnogokratnikom dotičnih imeno¬ valcev. N. pr. ... . 5 a • 7 I ' ' v - 2 • I 1.2 - 5 • /». J/ . g - O . I l - 8 . .7, - 5 • 1 4*3 - 8 * x : S = 3 : 56 f : x = j : 1 2 : f = 5 : x 20 : « = 6 : 1 6:2 = 5:«. Vsako sorazmerje, v katerem imata jeden zunanji in jeden notranji člen skupno mero, izraziš z najmanjšimi števili (okrajšaš), ako deliš dotična člena s skupno mero. N. pr. 18 : x = 6 : 5 24 : 112 = x : 35 3 : x = 1 : 5 3: 14 = «: 35 3 : 2 = « : 5. Določenemu sorazmerju daš najkrajšo obliko, ako ga izraziš najprej s celimi števili in potem okrajšaš, kolikor je mogoče. N. pr. § 36. Sorazmerne količine in uporabne naloge. Premo soraz- a) Blago in cena ste dve raznovrstni količini, ki ste od- meren = gerade v j sn i druga od druge; čim več je blaga, tem večja postane ' ^ortionaL njegova cena. Dvakrat toliko istega blaga velja dvakrat toliko denarja; trikrat toliko istega blaga velja trikrat toliko denarja i. t. d. Ako ste dve količini na ta način odvisni druga od 91 druge, pravimo, da ste premo sorazmerni, ali da ste v premem razmerji. Dve odvisni količini ste premo sorazmerni, ako pripada dvakrat, trikrat . . . toliki množini (tolikemu številu) jedne količine dvakrat, trikrat . . . tolika množina (toliko število) druge količine. t 8 kg blaga velja 10 K t 24 » istega blaga » 30 » 24 kg : 8 kg = 3, 30 K : 10 K = 3; torej je 24 kg : 8 kg — 30 K : 10 K. Ako povemo o odvisnih količinah »blago in cena* dva stavka tako, da določimo v njih množino vsake količine, do¬ bimo števila, iz katerih se daste stvoriti dve jednaki razmerji in jedno sorazmerje. Primerjaj zgoraj navedena stavka! Pušici ob straneh kažete, v katerem redu je treba vzeti dotične količine v razmerje. Iz tega izvajamo : Ako ste dve odvisni količini premo sorazmerni, je razmerje med dvema številoma (množinama) prve količine jednako razmerju med pripadajočima šte¬ viloma (množinama) druge količine, vzetima vistem redu. b) Število delavcev in čas, ki se potrebuje za določeno delo, ste dve drugi odvisni količini; čim več je delavcev, tem manj je treba časa, da izvršijo isto delo. Dvakrat toliko delavcev potrebuje za isto delo polovico prvotnega časa; trikrat toliko delavcev potrebuje za isto delo tretji del prvotnega časa i. t. d. Ako ste dve količini na ta način odvisni druga od druge, pravimo, da ste obratno sorazmerni, ali da ste v obratnem razmerji. Dve odvisni količini ste obratno sorazmerni, ako pripada dvakrat, trikrat, . . . toliki množini jedne količine polovica, tretjina, . . . druge ko¬ ličine. t 7 delavcev izvrši neko delo v 18 dneh I 21 » » isto » » 6 » I 21 del. : 7 del. = 3, 18 dnij : 6 dnij = 3; t0I ' e j 21 del. : 7 del. = 18 dnij : 6 dnij. Kako napravimo sorazmerje iz premo soraz¬ mernih količin. Obratno soraz¬ meren — um- gekehrt oder invers proportional. 92 Kako napravimo Ako povemo o odvisnih količinah «število delavcev in obratoTsoraz- ° as ’ v katerem izvršijo neko delo«, dva stavka tako, da dolo- memih količin, čimo v njih množino vsake količine, dobimo števila, iz katerih se daste stvoriti dve jednaki razmerji in jedno sorazmerje. Primerjaj zgoraj navedena stavka! Pušici ob straneh kažete, v katerem redu je treba vzeti dotične količine v razmerje. Iz tega izvajamo: Ako ste dve odvisni količini obratno soraz¬ merni, je razmerje med dvema številoma prve koli¬ čine jed n ako razmerju medpripadajočima številoma druge količine, vzetima v obratnem redu. Večina količin, ki se jemljejo v računih vsakdanjega življenja v poštev, so odvisne druga od druge tako, kakor smo pokazali na navedenih dveh primerih. Razun teh dveh odvisnostij imamo še med količinami različne druge odvisnosti, na katere se tukaj ne oziramo. Uporabne naloge. 1. Zaslužka dveh delavcev A in B sta si kakor 4: 5; ako zasluži delavec B v določenem času 84 gl 50 kr, koliko zasluži v istem času delavec A? Ako zaznamujemo zaslužek delavca A z ir, je razmerje med zaslužkoma delavcev A in B, t. j. x : 84'5, po pogoju naloge = 4:5. Tako dobimo sorazmerje x : 84'5 = 4:5, iz katerega je treba izračunati neznani člen. x = 66’7 gl. 2. Hitrosti dveh teles ste si kakor 4 : 7; ako potrebuje prvo telo za neko pot 2 minuti 34 sekund, koliko časa bode potrebovalo drugo telo za isto pot? čim hitreje se pomika telo, tem manj časa potrebuje za določeno pot. Hitrost in čas, ki se rabi za določeno pot, ste torej dve obratno sorazmerni količini. Ako zaznamujemo z x čas, katerega potrebuje drugo telo za določeno pot, je raz¬ merje med časoma obeh teles — 154 : x in to razmerje, vzeto v obratnem redu, mora po prejšnjih pojasnilih biti jednako razmerju med hitrostima obeh teles, v znakih x : 154 = 4 : 7; torej x = 88 sekund. 93 3. Koliko srebra dobiš za 4| kg zlata, ako ste si ceni srebra in zlata kakor 2 : 31? čim večja je cena jedne kovine, tem manj se je dobi za določeno množino druge kovine. Cena določene kovine in mno¬ žina te kovine ste torej dve obratno sorazmerni količini. Kakor pri nalogi 2. najdemo tudi tukaj sorazmerje 4f : x — 2 : 31, in iz tega sorazmerja je x = 71% kg srebra. Količine, ki se nahajajo v sklepnih računih, so ali premo ali obratno sorazmerne. Vsaka naloga te vrste se torej da raz¬ rešiti tudi s pomočjo sorazmerja. N. pr. 4. Iz bakrene rude dobiš poprečno 85% či¬ stega bakra; koliko bakrene rude je treba za 45 q čistega bakra? * 100 q bakr. rude . . . 85 q čist, bakra j j x « » » ...45»» » x : 100 = 45 : 85 x — 52% q bakrene rude. Kako ste količini navedene naloge sorazmerni? Kako stvoriš sorazmerje iz teh količin? 5. Po koliko % da določeni kapital v 1 letu 9 mesecih iste obresti, katere nese po 5% v 2 letih 3 mesecih? t 5 % . . . 27 mes. \ x » ... 21 » x : 5 = 27 : 21 x — 6|%. Kako ste količini navedene naloge sorazmerni ? Kako stvoriš sorazmerje iz teh količin? Vadbe in naloge. § i- Katere stvari so iste vrste, katere raznih vrst? Imenuj stvari iste vrste! Povej stvari raznih vrst 1 Kaj naznanja število, kaj jednota ? Kaj so števniki, kaj številke? Kakšna števila razločujemo? Katero število se zove imenovano, katero neimenovano? Povej imenovano in neimenovano število! Kedaj štejemo, kedaj računamo? Kaj je znesek ali rezultat? Kaj je aritmetika? Kaj je količina? Naštej nekatere količine! § 2 - Kako se šteje? Kaj je naravna številna vrsta? Povej prva števila te vrste! Katera števila imenujemo cela števila? Povej nekatera cela števila! Kako si predočujemo naravno številno vrsto ? Koliko je števil? Kaj je številni sestav ali sistem? Kako se imenuje številni sestav, ki ga rabimo? Kako se šteje v dekadičnem številnem sestavu? Povej nekatere dekadične jednote! Kako se tvorijo dekadične jednote? Kako se razvrščajo dekadične jednote? Koliko dekadičnih jednot obsega oddelek, koliko razred? Katera imena imajo oddelki, katera razredi? Povej dekadične jednote prvega oddelka v prvem razredu, prvega oddelka v drugem razredu ! Naštej dekadične jednote drugega oddelka v prvem razredu, drugega oddelka v drugem razredu! Katero število se zove dekadično število? Iz česa je sestavljeno vsako dekadično število? Kedaj je dekadično število popolnoma določeno ? S katerimi števniki izražamo v govoru jednice, s katerimi desetice, stotice, tisočice i. t. d.? Kako izražamo v govoru števila, ki so sestavljena iz dekadičnih jednot raznih redov? Kaj je treba razločevati pri vsaki dekadični jednoti? Kako predočujemo pismeno red dekadičnih jednot, kako njih množino? Na katero mesto pišemo D (desetice), Dt, Dm, Dtml na katero mesto S, St, Sni, Strni Katero mesto zavzemajo T, katero M, katero BI Na katerih mestih stoje tisoči, na katerih milijoni, na katerih tisočmilijoni ? Kolikero vrednost ima vsaka številka napisanega števila? Katera vrednost 95 je izpremenljiva, katera neizpremenljiva ? Kaj določuje številčna vrednost, kaj mestna vrednost? Katera ločila rabimo pri razdelitvi števil v oddelke in razrede? Kaj loči pika, kaj jedna vejica, kaj dve vejici? Kako se čitajo dekadična števila? Kako se čitajo posamezni deli dekadičnega števila? Kako se napisavajo dekadična števila? Kedaj se rabi ničla? Kako razvrščajo romanski narodi dekadične jednote? Kaj pomeni milijarda? XTalog-e. 1. Kakšno vrednost ima: a) četrta, sedma, deveta, dvanajsta številka; b) tretja, šesta, osma, deseta številka ; c) druga, peta, jednajsta številka določe¬ nega števila? 2. čitaj in razstavi sledeča števila, t. j. povej in zapiši, koliko jednic, de¬ setic, stotič i. t. d. se nahaja v številih: a) 309, 724, 6458, 5069, 23719, 40845, 100903; b) 60821, 325368, 750379, 831006, 540098, 900400. 3. Čitaj sledeča števila: a) 3212654, 3418509, 9284073, 51379486, 20416829, 538191378, 3446790814; b) 8900378, 1050090, 72008106, 6200159140, 482500300, 7102004595120, 80040075031062. 4. Citaj posamezne s črtami zaznamovane dele sledečih števil: 75|03|00|62, l|356|0496, 217|31|00|054|6, 6|007|392|4, 50|093|28, 2193|04|01, 73|O1|235O|7. § 3. Koliko je rimskih številk? Zapiši jih ter povej njih vrednosti! Po katerem pravilu napisavamo dekadična števila z rimskimi številkami ? Kedaj je treba vrednosti rimskih številk sešteti, kedaj odšteti? 1ST alog-e. 1. Zapiši z rimskimi številkami: a) 52, 63, 29, 84, 97; b) 174, 365, 419, 640, 930, 969; c) 1077, 1243, 1344, 1492, 1648, 1799, 1878, 1900. 2. Čitaj sledeča števila: a) XXV, LVIII, XLIV, LXI, XCVI, 0X1, CIX, CXLIX; b) CCCLXX, CDXL1V, DCCCXC1X, CMXIX, MDCLXVI, MDCCXI, MDCCCLXXXIX, MCDXCXLIV. § Kakšnega števila iščemo, če je treba n. pr. števili 15 in 5 a) sešteti, b) odšteti, c) množiti, d) meriti, e) deliti? Kako nakazujemo seštevanje, oziroma odštevanje, množenje, merjenje, deljenje dveh, določenih števil ? Zapiši to s katerimkoli primerom! Zakaj smatramo merjenje in deljenje v pravem pomenu te besede samo za jeden računski način? Koliko osnovnih računskih načinov imamo torej? Imenuj jih! Kaj in kakšni so računski znaki? S katerim znakom nakazujemo seštevanje, s katerim odštevanje, oziroma množenje in deljenje? Kaj in kakšen je jednačaj? Kedaj ga rabimo? 96 2>Tsi,log-e.* 1. 25 + 30, 51 + 40, 76 + 20, 42 + 50, 16 + 70, 13 + 80, 56 + 50, 40 + 36, 70 + 24, 80 + 19, 50 + 38, 60 + 39, 20 + 68, 40 + 92, 54 + 35, 26 + 14, 38 + 36, 17 + 55, 53 + 18, 72 + 19, 31 + 58, 38 + 21. 2. Štej od 100 (95) nazaj tako, da odštevaš a) 3, b) T, c) 4, d) .9 1 3. Odštevaj od 100 (97) zaporedoma 5, 8, 6, dokler je mogoče! 4. 64 — 40, 85 — 30, 57 — 20, 96 — 50, 76 — 40, 80 — 37, 50 — 26 70 — 44, 90 — 78, 40 — 13, 49 — 23, 65 — 12, 88 — 21, 53 — 28, 75 — 36’ 91 — 63, 64 — 28, 87 — 69, 46 — 28, 91 — 58. 5. Od jednega hektolitra vina se iztoči 84 (21, 37, 15, 49, 75, 19, 57, 93) litrov; koliko vina še ostane? 6. Povej, koliko je a) 6krat, b) 9krat, c) 2krat, d) 8krat, e.) 5krat, f) Škrat, g) 7krat, h) 4krat po 2, 7, 4, 9, 5, 1, 3, 8, 6! 7. 21 x 4, 95 x.2, 84 X 3, 27 x 3, 47 X 4, 56 x 5, 16 x 6, 23 X 7, 13 X 8, 19 X 9, 145 X 2, 127 x 3, 346 X 4, 125 x 5. 8. Koliko je 2(3)krat po 25, 84, 45, 78, 51, 94? 9. » » 4(5)krat po 19, 48, 71, 59, 37, 66? v 1, 3, 6, 8, 5, 4, 9, 2, 7, 10? v 6, 10, 16, 4, 2, 12, 18, 14, 8, 20? v 15, 6, 24, 9, 12, 27, 3, 30, 21, 18? v 36, 20, 8, 40, 16, 28, 4, 24, 12, 32? v 15, 30, 45, 5, 20, 10, 25, 40, 35. 50? v 24, 6, 18, 48, 60, 36, 12, 54, 42, 30? v 35, 14, 56, 21, 63, 49, 7, 28, 42, 70? v 24, 56, 16, 80, 48, 72, 32, 8, 64, 40? v 72, 18, 63, 36, 81, 27, 90, 9, 45, 54? v 40, 60, 30, 70, 50, 100, 20, 80, 10, 90? v 27 ? Koliko še ostane ? v 16, 23, 8, 13, 22, 10, 17, 28, 20? v 40, 29, 38, 12, 58, 65, 44, 9, 31 ? v 17, 5, 19, 13, 7, 15, 11, 9, 3? v 39, 50, 28, 10, 49, 53, 43, 14, 51 ? v 13, 35, 5, 26, 17, 34, 23, 39, 15? v 55, 79, 21, 48, 26, 69, 84, 13, 34? v 29, 38, 42, 21, 36, 9, 24, 43, 17? v 55, 74, 30, 77, 43, 65, 19, 31, 13? v 24, 59, 48, 76, 18, 62, 31, 86, 93? (peti del) od 20, 35, 5, 45, 10, 25, 50, 15, 30, 40? 31. 32. 33. » 34. » 35. » 36. » 37. » 38. » » sedmina (sedmi del) od 28, 7, 49, 63, 21, 35, 14, 42, 70, 56? » šestina (šesti- del) od 48, 12, 54, 6, 30, 42, 18, 60, 24, 36? » tretjina (tretji del) od 12, 3, 21, 15, 27, 6, 18, 9, 30, 24? » osmina (osmi del) od 24, 8, 32, 80, 48, 16, 64, 40, 72, 56? » polovica od 14, 2, 10, 6, 18, 4, 12, 8, 20, 16? » četrtina (četrti del) od 16, 4, 20, 32, 8, 24, 12, 28, 40, 36 ? » devetina (deveti del) od 81, 27, 9, 45, 63, 18, 36, 72, 54, 90 ? » desetina (deseti del) od 70, 40, 90, 20, 100, 30, 80, 60, 10, 50? * Računaj na pamet tukaj in v naslednjih odstavkih, kolikor je mogoče! 97 § 5. Kaj se pravi dve ali več števil seštevati? Kako se imenujejo števila, ki se seštevajo; kako število, ki ga iščeš? Kako izvršiš seštevanje dveh števil, kako seštevanje več števil? Kakšen je znak seštevanja, kam se stavi, kako se čita? Kam pišeš jednačaj, kam vsoto? Katera vsota se imenuje izračunana, katera nakazana? Kako se razločuje izračunana vsota od nakazane? Kako ločimo nakazano vsoto od nakazanega seštevanja? Zapiši nakazano seštevanje in nakazano vsoto treh števil! Kako seštevaš imenovana števila ? Katera imenovana števila moreš seštevati, katerih pa ne? V čem se razločuje seštevanje imenovanih števil od seštevanja neimenovanih števil ? Kaj smeš storiti s sumandi, da ostane vsota ista? Kako prišteješ vsoti število? Pojasni to pravilo s primerom! Kako prišteješ številu vsoto dveh ali več števil ? Pojasni tudi to pravilo s primerom! Kako izračunaš vsoto mnogoštevilčnih sumandov? Kako najdeš vsotine jednice, desetice, stotice i. t. d.? Kako se zapisujejo sumandi? na koliko načinov? Na kaj moraš gledati, če pišeš sumande drugega pod drugega? Kaj se izpušča pri takem napisavanji sumandov ? Kam zapišeš v tem slučaji vsoto? Kako ločimo vsoto od sumandov? na koliko načinov? Kako se prepričaš, da si prav sešteval? Koliko krajcarjev (kr) ima goldinar (gl)? Koliko vinarjev ali beličev (h) ima krona (K)? Koliko litrov (l) ima hektoliter (hi) ? Koliko kilogramov (ky) ima meterski cent ali stot (q) ? Koliko metrov (m) ima kilometer (km)? Povej in zapiši znamenja za goldinarje in krajcarje, za krone in vinarje, za hektolitre in litre, za meterske cente in kilograme, za kilometre in metre! JŠTalog-e. 1. 29 + 7, 36 + 9, 47 + 6, 48 + 7 + 4, 33 + 5 + 8, 23 + 9 4- 5 + 6, 35 + 7 + 9 + 8, 44 + 3 + 5 + 9 + 6, 56 + 8 + 2 + 6 + 7, 88 + 9 + 5 + 3 + 8 + 4 + 6. 2. 5 gl + 48 kr + 84 kr + 18 gl, 6 K + 58 h + 17 h + 13 K, 9 hi + 20 Z + 5 hi + 17 Z, 8 q + 25 kg + 7 q + 36 kg + 4 q, 7 km + 28 m + 6 km + 59 m + 14 km + 66 m. 3. 73 + 6, 43 + 4, 35 + 3, 82 + 7, 44 + 5, 64 + 90, 79 + 60, 82 + 40, 98 + 10, 67 + 70, 94 + 30, 73 + 80, 95 + 20. 4. 90 + 38, 50 + 76, 20 + 95, 70 + 84, 10 + 79, 80 + 62, 30 + 89, 60 + 52, 67 + 32, 45 + 16, 82 + 15, 13 + 56, 24 + 38, 74 + 17, 65 + 26, 57 + 29, 38 + 37, 76 + 58, 87 + 39, 65 + 72, 77 + 84, 89 + 96, 17 + 98, 53 _|_ 77, 57 + 68, 85 + 97, 145 + 20, 517 + 55, 208 + 47, 723 + 38, 351 + 27, 662 + 34, 412 + 79, 614 + 223, 273 + 318, 517 + 462, 812 + 139. 5. 3716 + 254 + 16094 + 4178 + 5579 + 16408. Matek, Aritmetika. 7 98 6. 58 J- 403 + 6712 + 29048 + 777 + 6849. 7. 34506 + 980 + 7205 + 630076 + 58743. 8. 567806 + 1234006 + 9087 + 36054 + 860095. 10. Seštej sledeča števila a) po vodoravnih, b) po navpičnih vrstah! 17409 + 5604 + 30714 + 91 6742 + 12688 + 9450 + 7122 125780 -J- 81566 + 987 + 7145 55719 + 7846 + 49538 + 71599 12. Katero število je za 12793 večje nego 475061? 13. Katero število je za 7935 večje nego 386 + 12477 + 1098 ? 14. Koliko je osmo število v številni vrsti, ki se začne z 2396, in v kateri je vsako naslednje število za 789 večje od prejšnjega? 15. Številna vrsta se začne s 4583 (67085) in vsako naslednje število je za 692 (9078) večje od prejšnjega; koliko je a) sedmo število, b) vsota vseh 7 števil? 16. Kolika je vsota 6 števil, ako je prvo 5798 (18653) in vsako naslednje za 486 (2788) večje od prejšnjega? 17. Izračunaj vsoto 5 števil, ako je prvo 3589, drugo za 793 večje od prvega, tretje za 546 večje od drugega, četrto za 398 večje od tretjega in peto za 275 večje od četrtega! 18. Za neko kupčijo da A 2684 K, B 3698 K, C 2485 K in D 3157 K; koliko denarja je v kupčiji? 19. Hišni gospodar dobi na leto najemnine: 192 gl, 276 gl, 384 gl, 426 gl in 480 gl; koliko skupaj? 20. Nekdo je dolžen A-u 3825 K, B-u 4786 K, C-u 3942 K, D-u 987 K in E-u 5139K; koliko dolguje vsem? 21. Trgovec kupi za 1234 gl blaga; za koliko gl mora prodati blago, da bo imel 406 gl dobička? 22. Koliko dnij šteje prva polovica navadnega leta, koliko druga polovica? 23. Koliko dnij preteče v navadnem letu a) od 1. januarja do 20. aprila, b) od 8. februarja do 27. avgusta, c) od 13. maja do 18. novembra? 24. Cesar Avgust se je porodil 63. leta pred Krist., umrl pa je 15. leta po Krist.; koliko let je doživel? 25. Cesar Jožef II. se je porodil leta 1741. in je učakal 49 let; katerega leta je umrl ? 99 26. Cesar Franc I. se je porodil leta 1768., 24 let star je postal vladar in je vladal 43 let. Katerega leta je začel vladati, kedaj je umrl, in koliko let je doživel? 27. Trgovec proda v pondeljek za 86 K blaga, v torek za 48 K, v sredo za 206 K, v četrtek za 83 K, v petek za 91 K, v soboto za 178 K in v nedeljo za 129 K; koliko skupi v celem tednu? 28. Na osemrazredni šoli je v prvem razredu 75 učencev, v drugem 56, v tretjem 48, v četrtem 42, v petem 47, v šestem 32, v sedmem 27 in v osmem 24; koliko učencev obiskuje to šolo? 29. Voznik naloži štiri zaboje; prvi tehta 132 /c) od B do K, c) od A do E ? 31. A, B in C napravijo skupno kupčijo; A da 4728 K, B za 586 K več nego A, in C za 479 K več nego B. Dobiček iz te kupčije razdelijo tako, da dobi A 739 K, B za 148 K več nego A, in C za 137 K več nego B. Koliko denarja so vložili v kupčijo, in kolik je bil ves dobiček? § 6 - Kaj se pravi število odštevati od števila? Kako se imenujete določeni števili pri odštevanji ? Katero število se zove minuend, katero subtrahend? Kako se pravi številu, ki ga iščeš? Kako izvršiš odštevanje? na koliko načinov? Kakšen je znak odštevanja, kam se stavi, kako se čita? Kako se zove število, ki stoji pred znakom odštevanja; kako število za znakom odštevanja? Kam pišeš jednačaj, kam razliko? Katera razlika se imenuje izračunana, katera nakazana? Kako se razločuje izračunana razlika od nakazane? Kako ločimo nakazano razliko od nakazanega odštevanja? Pokaži to na primeru! Kako odštevaš imenovana števila? Katera imenovana števila moreš odštevati, katerih pa ne? V čem se razločuje odštevanje imenovanih števil od odštevanja neimenovanih števil? Kako odšteješ od dolo¬ čenega števila dve ali več števil? Pojasni to pravilo s primerom! Ali je rezultat odvisen od reda, v katerem odštevaš dve ali več števil od določenega števila? Ali je rezultat odvisen od reda, v katerem izvršiš seštevanje in odštevanje določenih števil ? Pojasni obe pravili s primeri! Kako odšteješ od določene vsote število? kako od določenega števila vsoto dveh ali več števil? Pojasni obe pravili s primeri! Kaj smeš storiti z minuendom in subtrahendom, da ostane razlika ista? Pojasni to pravilo s primerom! Kako izra¬ čunaš razliko mnogoštevilčnih števil ? Kako najdeš razlikine jednice, ■ 7* 100 desetice, stotice i. t. d.? Kaj storiš, če so n. pr. minuendove jednice (desetice, stotice i. t. d.) manjše od subtraheudovih jednic (desetic, stotič i. t. d.)? Kako se zapisujeta miuuend in subtrahend? na koliko načinov? Na kaj moraš gledati, če pišeš subtrahend pod minuend? Katera znamenja izpuščaš pri takem napisavanji ? Kam zapišeš v tem slučaji razliko? Kako ločimo razliko od minuenda in subtrahenda ? na koliko načinov ? Kako se prepričaš, da si prav odšteval ? nsr aiogre. 1. 11 — 3 , 25 — 8 , 37 — 4, 43 — 7, 54 — 6, 60 — 5, 52 — 9, 93 — 4, 17 8, 65 — 9, 82 — 5, 29 — 7, 44 — 6, 74 — 7, 34 — 5, 52 — 4, 47 — 9. 2. 61 m — 8 m, 84 gl — 9 gl, 51 hi — 6 hi, 62 Z — 5 Z, 44 kg — 7 kg, 2 km — 62 m, 5 gl — 65 kr, 4 K — 27 h, 8 hi — 44 Z, 3 g — 58 kg. 3. 26 — 5 — 6, 31 —8 —4, 47 — 2 — 7, 58 — 9 — 6, 35 — 8 — 3 — 5, 59 2 — 9- 7, 60— 4 — 3 — 6, 36 — 4 — 8 — 7 — 5, 91 — 9 — 6 — 4 — 8. 4. 4 + 9 — 5, 35 — 7 + 5, 28 + 4 — 8, 78 + 6 — 5 — 4, 46 — 8 + 5 — 6, 52 — 9 — 5 + 7, 98 — 4 + 8 — 5 + 7— 6, 108 — 9 — 7 + 5 + 6 — 8 — 4. 5. 54 — 20, 81 — 60, 67 — 50, 92 — 40, 36 — 20, 365 — 40, 248 — 30, 796 70, 587 - 50, 624 — 40, 118 — 30, 447 — 90, 726 — 50. 6. 70 — 18, 50 — 23, 90 — 71, 60 — 47, 100 — 46, 100 — 39, 100 — 77, 65 — 12, 76 — 42, 93 — 51, 87 — 34, 58 — 36, 81 —45, 74 — 59, 96 — 48, 62 — 27, 52 — 35, 360 - 48, 600 - 83, 580 — 59, 860 — 79, 920 — 95, 240 — 74, 236 — 22, 897 — 61, 749 — 34, 575 — 53, 688 — 47, 466 - 149, 393 — 208, 586 — 251, 423 — 175. 8. 37942 + 51092 — 60857 + 34793 — 28275. 9. 24680 — 18772 + 97531 68024 + 47159 — 38196. 10. Katero število je za 2678 manjše nego 8765 ? 11. Katero število moraš odšteti od 513470, da dobiš ostanek 41348? 12. Katero število moraš odšteti od 4039, da bode ostanek = 3755 — 2648? 13. Katera izmed vsot (1271 + 374 + 139) in (561 + 489 + 367) je večja in za koliko? 14. Za koliko je 19876 večje ko 16198, in za koliko manjše od 35844? 15. Za koliko je vsota (25936 + 57108) večja od vsote (13527 + 49874)? 16. Za koliko je razlika (81352 — 62586) manjša od razlike (72542 — 53079) ? 17. Odštej: a) 4203 + 19270 + 42813 od 71935; b) 2074 + 5396 + 10078 + 433 od 24815; c) 82301 + 42167 + 6398 + 59867 od 290643. 18. a) 401894 — (139214 + 91078 + 35709 + 102775); b) 5248901 — (863147 + 168854 + 279039 + 996489); c) 71357083 — (674260 + 925476 + 1043325 + 842079). 101 19. Odštej od števila 4999000 število 624875, od ostanka odštej zopet 624875, in to ponavljaj, dokler je mogoče! 20. Kolikokrat moreš zaporedoma odšteti a) 56874 od 341244, b) 66889 od 468223, c) 57997 od 600400? 21. Od kosa platna, ki je 52 m dolg, odstriže se 35 m-, koliko metrov meri ostanek ? 22. Nekdo kupi za 350 gl blaga in ga proda za. 408 gl; koliko ima dobička? 23. A prejme 900 K, izda pa 813 K; koliko si prihrani? 24. Koliko dni j ima prvih šest mesecev navadnega leta manj nego zadnjih šest? 25. Nekdo se je porodil 1793. leta in je umrl 1871. leta; koliko časa je živel? 26. A je umrl leta 1864. in je doživel 77 let; kedaj se je porodil? 27. Nekdo je bil 1849. leta 24 let star; koliko je bil star leta 1877? 28. Kateri dan in mesec je a) 234. dan leta 1891., b) 187. dan leta 1892.? 29. Iz soda, ki drži 6 hi vina, odtoči se ga zaporedoma: 43 Z, 169 Z, 75 Z, 89 Z; koliko vina ostane še v sodu? 30. Od 750 kg kave se odproda sčasoma: 128, 27, 105, 64 kg-, koliko kave še ostane ? 31. Trgovec izda 3857 K, 2511 K in 4096 K; prejme pa 4862 K, 3749 K in 3511 K; za koliko je več prejel nego izdal? 32. A je dolžen 5356 gl in plača sčasoma 1028 gl, 2175 gl in 946 gl; koliko ostane še dolžen? 33. Neki oče zapusti starejšemu sinu 6840 gl, mlajšemu pa za 1580 gl manj; koliko dobita oba sina skupaj ? 34. A dobi 8500 K, B 6500 K, C 7000 K in I) za 14000 K manj ko A, 1> in C skupaj; koliko je dobil D, in koliko vsi skupaj? 35. Blago z zaboji vred tehta 2788 kg (nečista teža), zaboji sami pa 139 kg (tara); koliko tehta blago samo (čista teža)? 36. Nečista teža nekega blaga znaša 7210 kg, čista teža pa 6875 kg-, koliko je tare? 37. Trgovec dobi štiri sode kave, katerih teža znaša 521 kg, 518 kg, 509 kg, 490 kg-, tare je 42 kg, 43 kg, 41 kg in 40 kg-, koliko znaša čista teža a) vsakega soda, b) vseh sodov skupaj ? 38. V neki deželi se je porodilo v petih letih zaporedoma 58725, 58857, 56840, 60838, 62552 ljudij; umrlo pa jih je 50459, 57559, 52030, 60235, 54976. Za koliko je bilo število rojenih večje od števila umrlih a) v vsakem letu, b) v vseh petih letih ? § 7. Kaj se pravi število množiti s številom? Ali smemo množenje smatrati za seštevanje? Katero seštevanje se imenuje množenje? Kako se imenujete določeni števili pri množenji? Kako se pravi številu, ki ga najdeš? Kako množiš dve števili? Kakšen je znak množenja? kam se stavi? kako se čita? Kako se imenuje število, ki stoji pred znakom množenja, kako število za znakom množenja? Kaj je multiplikand, kaj multiplikator ? Kako se zoveta multiplikand in multiplikator s skupnim imenom? Kaj je poštevanka? Kam za- 102 pišeš jednačaj ? kam produkt ? Kateri produkt se imenuje izračunani produkt, kateri nakazani? Kako se razločuje izračunani produkt od nakazanega? Kako ločimo nakazani produkt od nakazanega mno¬ ženja? Pokaži to na primeru! Kako najdeš produkt treh ali več števil? Kateri faktor sme biti imenovano število? Kedaj je produkt količina? Ali je produkt dveh ali več števil odvisen od reda, v katerem množiš števila? Dokaži, da je n. pr. 4 X 5 = 5 X 4! Ali smeš zamenjati faktorja, če je multiplikand imenovano število? Kaj dobiš, ako pomnožiš določeno število a) z 1, b) z 0? Kako množiš a) vsoto s številom, b) razliko s številom, c) število z vsoto? Pojasni ta pravila s primeri! Kako množiš število s produktom dveh (ali več) faktorjev? Pojasni to pravilo s primerom! Kako pomnožiš mnogoštevilčno število z jednoštevilčnim? Kako najdeš produktove jednice, desetice, stotice i. t. d.? Kam zapišeš produkt v tem slučaji? Kako množiš jednoštevilčno število z mnogoštevilčnim ? Kako množiš celo število z dekadičnimi jednotami 10, 100, 1000 i. t. d. ? Kaj se izpremeni, in kaj se ne izpremeni, ako pomnožiš celo število z dekadično jednoto ? Za koliko se poveča red vsake multiplikandove številke, če ga pomnožiš z dekadično jednoto? Kolikokrat postane vrednost multiplikandovih številk večja, če ga pomnožiš z 10, 100, 1000 i. t. d.? Kako množiš celo število n. pr. s 60, 600, 6000 i. t.d.? Zapiši dve mnogoštevilčni števili ter povej, kako množiš jedno z drugim! Koliko delskih produktov dobiš ? Kako izračunaš prvi delski produkt? kako drugega? kako tretjega i. t. d.? Kaj moraš konečno storiti z dolskimi produkti? Kaj smeš opustiti pri izračunanji delskih produktov? Kedaj imajo vsi delski produkti isto mestno vrednost? Kedaj so mestne vrednosti delskih produktov različne? Kaj določuje mestno vrednost delskega produkta? S čim se ujemajo mestne vred¬ nosti delskih produktov? Kam in kako zapišeš drugi, tretji, četrti i. t. d. delski produkt ? Kedaj so posamezni delski produkti = 0 ? Ali se zapisujejo taki delski produkti? Kaj se potem stori z nasled¬ njim delskim produktom? Kako določujemo mestno vrednost posa¬ meznih številk v delskih produktih? Kako najdemo mestno vrednost zneska, katerega dobimo, ako pomnožimo katerokoli multiplikandovo številko s katerokoli multiplikatorjevo? Kako se prepričaš, da si prav množil? Kako si prikrajšaš množitev, ako se nahajajo na konci jednega ali obeh faktorjev ničle? Kako množiš z 11? Kedaj razstaviš multiplikator, oziroma multiplikand na razliko dveh števil ? Kako množiš v tem slučaji? Pojasni ta slučaj s primerom! 103 aSTalogfe. 1. 7 X 8 X 4, 9 X 6 X 5, 8x9x3, 7x9x8, 2 x 3 x 4 x 5, 2 X 4 X 6 X 8, 3 X 5 X 7 X 9, 4 x 7 X 8 X 5. 2. 0 X 7, 6X0, 8 X 5 X 0 X 7, 1x9, 8x1, 1 X 17, 13 x 1, 7 X 8 X 1, 4 X 6 x 1 X 3. 3. 14 kg x 3, 18 q X 5, 24 gl X 6, 15 K X 9, 12 kr X 7, 32 h x 4 43 hi x 2, 15 Z X 8, 29 m X 6. 4. 53 X 6, 72 x 5, 28 X 9, 65 X 7, 44 X 8, 38 X 4, 77 X 3, 133 X 4, 234 x 3, 119 X 5, 439 x 2, 30 X 15. 5. Koliko je 6(7)krat po 25, 84, 45, 78, 51, 94? 6. » » 8(9)krat po 19, 48, 71, 59, 37, 66? 7. Pomnoži števila od 1 do 10 z 11, 12, 15, 25! 104 21. Izvrši naslednje množitve ter določi mestno vrednost vsake številke 6, ki se nahaja v delskih produktih! 578 X 268, 4137 x 584, 5097 X 7081, 13487 X 3528. 22. 45079 X 23857 + 78302 x 59. 23. 607924 x 157 - 224792 X 351. 24. 5132666 X 996 — 357492 x 1008. 25. 10924 X 85203 + 34526 X 19364. 26. 4789 X 3456 + 1649 X 8559 — 5937 X 3879. 27. Za koliko je 36krat 7130 večje ali manjše ko 139krat 217? 28. Za koliko je produkt števil 917 in 568 večji ali manjši ko 350kratna vsota istih dveh števil. 29. Koliko h je 4, 6, 15, 36 K? 30. » dm je 9, 13, 30, 68 m? 31. » kg je 2, 22, 84, 90 q? 32. » mesecev je 5, 9, 12, 18 let? 33. » minut je 3, 8, 17, 40 ur? 34. » K je 7, 18, 39, 46 gl? 35. » kr je 4, 9, 16, 20 gl ? 36. Koliko cm je 6, 14, 29, 60rf»»? 37. » mm je 7, 11, 40, 53 m? 38. » dnij je 8, 12, 30, 47 mesecev ? 39. » sekund je 5, 9, 13, 36 minut? 40. » g je 3, 16, 50, 77 kg? 41. » mm je 2, 13, 57, 66 cm? 42. » l je 6, 17, 30, 63 M? 43. » h je 8, 10, 25, 37 kr? 44. » cm je 5, 18, 24, 73 m? 45. » dkg je 7, 12, 44, 6(>kg? 46. » ur je 9, 10, 16, 21 dnij? 47. » mm je 4, 15, 27, 43 dm? 48. » g je 3, 13, 28, 39 dkg? 49. 1 dkg kave velja 3 h; koliko a) 1 kg, b) 7, 11, 24 kg? 50. 1 l vina velja 44 kr; koliko a) 1 hi, b) 5, 8, 12 hi? 51. 1 dm blaga se plača po 25 kr; koliko velja a) 1 m, b) 4, 6, 9 m? 52. 1 kg sladorja velja 36 kr; koliko a) 1 q, b) 3, 8, 12 q? 53. 1 m platna velja 68 kr; koliko 7, 12, 15 m? 54. Nekdo proda 43 hi pšenice po 7 gl in 53 hi rži po 6 gl; koliko skupi za vse? 55. Uradnik ima na mesec 132 gl plače; kolika je njegova letna plača? 56. Kapital da na leto 148 gl obrestij; koliko v 3, 5, 7 letih ? 57. Kmet proda 17 gosij po 6 K in 26 rac po 2 K; koliko skupi za vse? 58. I kg nekega blaga velja 42 kr; koliko 7, 9, 12, 15 kg? 59. 1 hi vina se plača po 28 gl; koliko velja 6, 8, 13, 16 hi? 60. I q sladorja se plača po 68 K; koliko velja 4, 7, 11, 15 q? 61. 8 (35) delavcev dovrši neko delo v 17 (54) dneh; koliko časa potrebuje za isto delo 1 delavec? 62. Lokomotiva preteče v 1 uri 32 km-, koliko v 7, 9, 12, 15 urah? 105 63. Pri nekem mojstru delata dva pomagača, jeden 6 in drugi 7 tednov (teden po 6 dnij); kolik je zaslužek obeh skupaj, ako zasluži vsak na dan po 2 K ? 64. Trgovec kupi 216 kg blaga za 80 K in prodaja kg po 42 h; koliko ima dobička. 65. Trgovec kupi 580 m sukna po 4 gl; kolik je dobiček, ako proda vse blago za 3518 gl ? 66. A proda poprečno na dan za 25 gl blaga; za koliko ga proda a) v jednem meseci, b) meseca julija, c) v navadnem letu? 67. Na neki železnici se pelje poprečno na dan 10984 ljudij; koliko a) v jednem tednu, b) v jednem meseci, c) v jednem letu? 68. Koliko ur je 56, 128, 347 dnij ? 69. Nekdo je doživel 67 let, izmed katerih jih je bilo 16 prestopnih; koliko je to a) mesecev, b) dnij, c) ur, d) minut, e) sekund ? 70. Sod kave tehta 218 kg, prazni sod pa 39 kg-, koliko velja kava, ako se plača kg čiste teže po 145 kr ? 71. Nečista teža nekega blaga znaša 7210 kg, tara 245 leg, in 1 kg čiste teže se prodaja po 124 kr; koliko se skupi za vse blago? 72. Zvok preleti v 1 sekundi 333 in; koliko v 7, 9, 15 sekundah? 73. Koliko prebivalcev ima dežela, ki meri 19768 km 2 , ako prebiva po¬ prečno na 1 km 2 134 ljudij ? 74. Pri zdravem odraslem človeku udari žila 4550krat v jedni uri; koli¬ kokrat a) v 1 dnevu, b) v 1 letu? 75. Knjiga ima 128 stranij, na vsaki strani po 39 vrst in v vsaki vrsti po 51 črk; koliko črk je a) na vsaki strani, b) v celi knjigi? 76. Na parobrodu se vozi 125 mož; ako se potrebuje za vsakega moža na dan po 75 clkg moke, koliko moke se porabi v 48 dneh? 77. Ob neki cesti so štirje kraji A, B, C, I); razdalja od A do B znaša 5460 m, razdalja od B do C je dvakrat tolika, razdalja od C do D pa dvakrat tolika kakor od B do C. Kolika je razdalja a) od A do C, b) od A do O? 78. Voznik naloži 8 vreč po 148 kg, 6 vreč po 123 kg in 9 vreč po 136 kg; koliko kg je naložil? 79. A dš, B-u 118 hi ječmena po 5 gl in dobi za to od jB-a 14 hi vina po 21 gl; koliko ima še od B-a, tirjati v denarjih? 80. Nekdo kupi 17 ha njiv po 955 gl, 4 ha travnikov po 583 gl in 22 ha gozda po 295 gl; koliko mora za vse plačati? 81. A kupi 46 hi vina po 35 gl in 65 hi po 28 gl; oboje vino zmeša in prodaja hi te zmesi po 33 gl; koliko ima dobička? 82. Nekdo ima 50000 gl premoženja; koliko mu še ostane, ako kupi 67 ha travnikov po 315 gl, 133 ha pašnikov po 25 gl in 17 ha njiv po 1031 gl? 83. A dobi na mesec 125 gl in porabi poprečno na dan 336 kr; koliko si prihrani v 1 letu? 84. Koliko še ostane od 120 K, če se razdeli po 82 h med 145 oseb? Ko¬ liko bi bilo treba še dodati, da bi dobila vsaka oseba 85 h? 85. A kupi 715 kg blaga po 8 K ter proda 418 kg po 10 K in ostanek po 6 K ; koliko dobička ali izgube ima? Ge pa proda 418 kg po 6 K in ostanek po 10 K, koliko je potem dobička ali izgube? 106 § 8. Kaj se pravi število deliti s številom? Kako se imenujete do¬ ločeni števili pri deljenji? Kako se zove število, ki ga iščeš? Kakšen je znak deljenja? kam se stavi? kako se čita? Kako se zove število, ki stoji pred (oziroma nad) znakom deljenja; kako število za (oziroma pod) znakom deljenja? Kaj je dividend, kaj divizor, kaj kvocijent? Kedaj je določena delitev merjenje, kedaj pravo deljenje? Kedaj in kako spoznaš merjenje po obliki, kako pravo deljenje? Kako izvršiš merjenje, kako pravo deljenje? Pojasni to s primerom! Kaj pomeni kvocijent pri merjenji, kaj pri pravem deljenji? Kedaj je kvocijent količina, kedaj neimenovano število? Kateri števili utegnete biti količini pri merjenji, kateri pri pravem deljenji? Ali dobiš isti kvo¬ cijent, če izvršiš določeno delitev v smislu merjenja ali pa v smislu pravega deljenja? Kaj je približni kvocijent, kaj delitveni ostanek? Pojasni to s primerom! Kolik sme biti delitveni ostanek ? Kaj moraš znati, da hitro določiš kvocijent? Kateri kvocijent se imenuje izra¬ čunani kvocijent, kateri nakazani? Kako se razločuje izračunani kvocijent od nakazanega? Kako ločimo nakazani kvocijent od na¬ kazanega deljenja? Kako čitaš nakazano deljenje v smislu merjenja, kako v smislu pravega deljenja, kako v obče? Pojasni to s primerom! Kako deliš določeno vsoto s številom, kako določeno število s pro¬ duktom dveh števil ? Pojasni obe pravili s primeroma! Kaj so delski kvocijenti? Kedaj se kvocijent ne izpremeni? kaj smeš storiti z dividendom in divizorjem? Pojasni to s primeri! Kako deliš mnogo- številčno število z jednoštevilčnim? Kje začneš deliti? ali pri jednotah najnižjega reda ali pri jednotah najvišjega reda? Kako deliš celo število z dekadično jednoto? Kako deliš muogoštevilčno število z mnogoštevilčnim? Kaj so delski dividendi? Kaj določiš iz vsakega delskega dividenda? Kako najdeš ostanek pri vsakem dolskem dividendu? Kolik sme biti ta ostanek? Katero mestno vrednost imajo posamezne kvocijentove številke? Katero mestno vrednost ima prva kvocijentova številka? Kam zapišeš kvocijent? Kako ga ločiš od dividenda in divizorja? Kaj storiš, če se ničle nahajajo na desni v divizorji ? Kako se prepričaš, da si prav delil ? Kako deliš na okrajšani način celo število s 25, kako s 125? Kako množiš na okrajšani način celo število s 25, kako s 125? 107 2>Ta,log-e. 1. Kolikokrat je 7 v 70, 140, 210, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 126, 315, 567, 644, 721, 82, 144, 216, 352, 751? 2. Kolikokrat je 3 v 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 93, 123, 198, 255, 282, 88, 145, 191, 280, 325 ? 3. Kolikokrat je 6 v 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 96, 186, 336, 498, 582, 91, 112, 213, 457, 529, 641? 4. Kolikokrat je 8 v 80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 176, 288, 592, 664, 760, 99, 114, 345, 467, 871? 5. Kolikokrat je 2 v 20 , 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180 , 200 , 26, 54, 78, 104, 192, 37, 91, 135, 177, 213? 6. Kolikokrat je 5 v 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 75, 195, 280, 365, 470, 99, 137, 221, 442, 533? 7. Kolikokrat je 9 v 90, 180, 270, 360, 450, 540, 630, 720, 810, 900. 126, 288, 477, 765, 873, 349, 563, 687, 730, 952? 8. Kolikokrat je 4 v 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 68, 96, 144, 252, 380, 77, 85, 133, 361, 419? 9. Koliki del je m od km ? I od hl‘i kg od 7? dkg od /«/? cm od w? mm od dm ? kr od gl ? K od gl ? h od K ? h od gl ? dm od m? mm od m? 10. 84 gl : 12, 64 K : 16 K, 96 kr : 24, 108 h : 18 h, 1 hi : 25 l, 1 2 : 20 kg, 2 hi : 50, 3 q : 20, 5 kg : 25, 1 km : 125 m, 2 km : 8, 7 m : 35 dm, 42 : 70, 36 kg : 90 dkg, 40 gl : 16 K, 56 kr : 14 h = ? 16. Izračunaj naslednje kvocijente ter napravi preskušnjo: 1031084 : 2006, 2132865 : 2135, 40779255 : 7531, 40624285 : 9815! 17. a) 6720 : 240 b) 156400 : 4600 c) 3208825 : 8000 14820 : 570 387600 : 6800 1765876 : 7560 57834 : 680 1062674 : 7700 2584104 : 1100. 18. a) 864950 : 25 b) 273750 : 125 c) 63759 x 25 385725 : 25 333250 : 125 46827 x 25 911475 : 25 460625 : 125 70694 x 25. 108 19. 579186 X 125, 793524 x 125, 4042325 X 125. 20. Koliko gl je 700, 825, 908, 1300, 2360 kr? 21. » K je 800, 940, 1080, 1500, 1625 h? 22. » kr je 72, 96, 106, 77, 157 li? 23. » gl je 58, 74, 126, 93, 149 K? 24. . m je 30, 84, 108, 120, 151 420 K 7 h, 130 K 80 h; b) 12 g 38 kg, 6 g 10 leg, 584 g 3 kg, 4 kg 72 dkg, 50 kg 20 dkg, 301 kg 9 dkg, 5 kg 14 dkg 8 g, 17 kg 6 dkg 5 g, 70 kg 40 dkg 3 g-, c) 6 km 258 m, 13 km 77 m, 125 km 40 m, 88 km 9 m, 7 km 500 m, 4 m 8 dm 5 cm 7 mm, 16 m 3 cm 8 mm, 21 m 7 dm 5 mm, 33 m 17 cm, 50 m 628 mm, 4 m 8 cm, 13 m 52 »«»; d) 20 ha 56 a, 8 ha 7 a, 15 ha 60 a, 2 a 36 m' 1 , 70 a 80 m 2 , 12 a 5 m 2 , 3 ha 18 a 24 m-, 45 ha 26 a 7 m-, 66 ha 5 a 43 m 2 , 31 ha 3 a 8 m 2 ; e) 13 hi 76 l, 58 hi 4 l, 62 M 90 l. 7. Pretvori mnogoimenska števila v prejšnji nalogi v jednoimenska cela števila! 8. Pretvori naslednja jednoimenska števila v mnogoimenska: a) 70'54 gl, 13'9 gl, 8'06 K, 1728 kr, 28367 h, 35704 kr, 26860 h; b) 4'738 km, 16'48 km, 9'5 km, 25'036 km, 9'587 m, 14'36 m, 8'4 m, 50'008 m, 37'056 m, 36892 m, 40840 m, 13076 m, 9002 m, 728 dm, 630 cm, 9481 cm, 5094 mm, 386 mm, 9006 mm, 1407 mm', c) 65'84 g, 27'3 g, 106 j, 3'564 kg, 28'037 kg, 0'107 leg, 10'4 kg, 33-b\kg, 1649 kg, 28050 kg, 36007 /^, 4185 g, 7032 g, 14005 g, 60301 g, 5841 dkg, 7802 dkg, 9130 dkg-, 112 d) 678 a, 4020 a, 15008 a, 7241 m 8 , 6085 m 2 , 3006 m' 2 , 22135 m 2 , 101305 m 2 , 17-42 ha, 8'05 ha, 13'6 ha, 24'83 a, 30’07 a, 41’5 ha, 0’4856 ha, 3'7008 ha, 1’0094 ha-, e) 6'58 hi, 18’3 hi, 29’07 hi, 14’96 hi, 2140 l, 20108 l. 9. Koliko dnij je a) 7 mesecev 24 dnij, b) 3 leta 8 mesecev 15 dnij ? 10. Koliko sekund je a) 51 minut 13 sekund, b) 18 ur 35 minut 40 sekund? 11. Koliko let, mesecev in dnij po Kristovem rojstvu je preteklo a) do 23. februarja leta 1876., b) do 30. maja leta 1840., c) do 10. septembra leta 1800., d) do 1. januarja leta 1790.? 12. Določi dan in leto, do katerega je preteklo: a) 1699 let 5 mesecev 17 dnij, b) 1742 >7 » 29 » c) 1819 » — » 6 » d) 1889 »1 — » § 10- Kako seštevaš desetinska števila? Ali moreš seštevati jednote raznih redov? Kako zapišeš sumande? Kje začneš seštevati? Kedaj postaviš v vsoti desetinsko piko? V čem se razločuje seštevanje desetinskih števil od seštevanja celih števil? Kako seštevaš mnogo- imenska števila? na koliko načinov? Kedaj pretvarjaš mnogoimenske sumande v jednoimenske, in kako se to godi? Kedaj seštevaš mnogo- imenska števila tako, da sešteješ jednote vsakega imena za-se? Ali moreš jedno in isto seštevanje mnogoimenskih števil izvršiti na vse načine? Ali je vsak način jedni in isti nalogi jednako primeren? UST alogre. 1. 81’23 + 5’077 + 0’9146 + 16’4 + 96’3764. 2. 1’704 + 15’69 + 0’4157 + 0’06841 + 9’6519. 3. 169’217 + 70’4138 + 5249’61 + 8’045 + 58’2697. 4. 753’3 + 6’257 + 0’394 + 18’05 + 29’146 + 78’593. 5. 0’3176 + 4’703 + 187’6 + 239’038 + 158’74 + 66’859. 6. Kolika je vsota petih števil, izmed katerih je prvo 239’6078 in vsako naslednje za 83’7548 večje od prejšnjega? 7. A ima 1230’56 K, B za 769’41 K več nego A, C za 125 K več ko A in L> skupaj; koliko denarja imajo vsi trije? 8. Trgovec dobi šest sodov sladorja; v prvem ga je 145 kg 40 dkg, v drugem 146 kg 65 dkg, v tretjem 147 kg 85 dkg, v četrtem 144 kg 50 dkg, v petem 148 kg 12 dkg, v šestem 150 kg 70 dkg. Koliko sladorja je v vseh sodih? 9. Nekdo plača svoj dolg v štirih obrokih; prvi obrok znaša 1574 gl 42 kr, vsak naslednji obrok pa je za 369 gl 18 kr večji od prejšnjega. Koliko znaša ves dolg? 113 10. Seštej: a) 6 let 4 mes. 13 dni j 5 » 8 » 22 » —> 9 » 18 » 10 » 6 » 29 » b) 17 ur 14 minut 48 sekund 6 » 52 » 20 — » 55 » 37 » 8 » 48 » 56 » 11. Nekdo se je porodil dne 1. januarja (17. avgusta) leta 1809. in je učakal 72 let 10 mesecev 28 dnij ; kedaj je umrl? 12. Cesarica Marija Terezija je začela vladati dne 20. oktobra leta 1740. in je vladala 40 let 1 mesec 9 dnij (do svoje smrti); kedaj je umrla? 13. Cesar Franc Jožef L se je porodil dne 18. avgusta leta 1830. in je bil 18 let 3 mesece 14 dnij star, ko je začel vladati; kedaj se je to zgodilo? 14. A je bil pred 3 leti 2 mesecema in 25 dnevi isto toliko star kakor njegova brata B in C skupaj; če je bil tačas B 14 let 2 meseca in 10 dnij in C 12 let 10 mesecev in 25 dnij star, koliko je X star sedaj? 15. Od jedne polne lune do druge (sinodski mesec) preteče 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sekunde; ako je dne 18. maja ob 5. uri 27. minuti 28. sekundi zvečer polna luna, kedaj bode prihodnja polna luna? § H- Kako odštevaš desetinska števila? Ali moreš odštevati jednote raznih redov? Kam zapišeš subtrahend? Kje začneš odštevati? Kako določiš posamezne razlikine številke? Kedaj postaviš v razliki desetinsko piko? Kaj storiš, ako je katera subtrahendova številka večja ko nad njo stoječa minuendova? V čem se razločuje odšte¬ vanje desetinskih števil od odštevanja celih števil? Kako odštevaš mnogoimenska števila? na koliko načinov? Opiši na kratko te načine! Ali je vsak način jedni in isti nalogi jednako primeren? XTa.log n e. 1. a) 57'8276 — 40-2345 b) 127'0807 — 69'87654 802'5601 - 692'89 1234'6 — 908'654837. 2. 35'1097 + 27'4006 — 41'0365 — 10'3721. 3. 263'544 — 190'468 + 40'7155 — 38'9771. 4. 152'4405 — (9-1085 + 20'3668 -|- 17'4519). 5. 7901'305 —(206'0408 + 123'456 + 789'012 + 135'79 + 802'406). 6. Za koliko je 61'43 večje od 23'958 in za koliko manjše od 70? 7. Za koliko je vsota števil 40'39 in 12'5 večja od njiju razlike? 8. Kolikokrat moreš zaporedoma odšteti od števila 994'734 število 165'789? 9. A prejme v teku jednega leta 1528'4 K, 4739'26 K in 1835'76 K; izda pa 1738'42 K, 2806'35 K in 1948'6 K. Za koliko je več prejel nego izdal? 10. A ima na mesec 193'48 K plače, B za 49'26 K manj, C za 103'78 K manj ko A in B skupaj; koliko plače dobivajo na mesec vsi trije skupaj? Matek, Aritmetika. 8 114 11. Nekdo ima 235 hi vina ter napolni s tem vinom tri sode, izmed ka¬ terih drži prvi 96 hi 8 l, drugi pa 64 hi 76 Z; koliko drži tretji sod? 12. Trgovec dobi tri zaboje blaga, katerih nečista teža znaša 7 7 95 kg 28 dkg, 5 7 82 kg 17 dkg in 8 7 13 kg 60 dkg-, tare je 65 kg 39 dkg, 53 kg 41 dkg in 70 kg 18 dkg. Kolika je čista teža vsega blaga? 13. Krčmar proda meseca januarja 18 hi 25 l vina in 20 hi 38 l piva, me¬ seca februarja 20 hi 16 l vina in 17 hi 50 l piva, meseca marca 35 hi 9 Z vina in 28 hi 70 Z piva. Za koliko več vina ko piva je prodal v vseh treh mesecih ? 14. Odštej: a) 67 let 7 mes. 18 dnij b) 23 ur 41 minut 16 sekund 39 » 8 » 22 » 18 » 52 » 43 15. Cesar Franc I. je umrl dne 2. marca leta 1835., 67 lot 18 dnij star; kedaj se je porodil? 16. A je bil dne 15. junija 1870. leta 18 let 5 mesecev 14 dnij star; kedaj se je porodil? 17. Koliko let, mesecev in dnij je od 12. oktobra leta 1834. do 18. sep¬ tembra leta 1879.? 18. Nekdo je umrl dne 19. julija leta 1875. ob četrti uri popoldne in je doživel 63 let 8 mesecev 7 dnij 6 ur; kedaj se je porodil? 19. Izračunaj, koliko si danes star? 20. Kadar kaže ura v Gradci 4 ure 52 minut 18 sekund, kaže ura v Pa¬ rizu 3 ure 59 minut 50 sekund; koliko je na uri v Parizu, kadar kaže ura v Gradci 8 ur 23 minut 48 sekund? § 12. Kako množiš desetinsko število z jednoštevilčnim celim številom ? Kedaj postaviš v produktu desetinsko piko? S čim se ujemajo mestne vrednosti produktovih številk? Katera vrednost multipli- kandovih številk se izpremeni, ako pomnožiš desetinsko število z jednicami? Pojasni to s primerom! Kako množiš desetinsko število z dekadičnimi jednotami višjih redov? Katera vrednost multipli- kandovih številk se izpremeni pri množenji z dekadičnimi jednotami višjih redov, in kako se izpremeni ta vrednost? Pojasni to s prime¬ rom ! Zapiši desetinsko in mnogoštevilčno celo število ter povej, kako množiš prvo število z drugim! Koliko delskih produktov dobiš ? Kako najdeš prvi delski produkt, kako drugega, tretjega i. t. d.? Kako določiš mestno vrednost delskih produktov? Kako zapisuješ delske produkte? Kako dobiš konečni produkt? Koliko decimalk ima konečni produkt? Kako si pojasniš to pravilo? Kako določiš mestno vrednost katerekoli številke v delskih produktih? Pojasni to s primeri! Kako množiš mnogoimensko število s celim številom? Na koliko načinov utegneš izvršiti tako množitev? Pojasni te načine 115 s primeri! Kedaj pretvoriš mnogoimenski multiplikand v jedno- imensko število? kedaj navadno tega ne storiš? Kje začneš mno¬ žiti mnogoimenski multiplikand in kako izvršiš tako množitev? Po¬ jasni to s primerom! Ali moreš jedno in isto množenje mnogo- imenskega števila izvršiti na vse načine? Ali je vsak način jedni in isti nalogi jednako primeren? alog-e. 7. Določi mestno vrednost vsakega delskega produkta pri nalogali pod 6.! 8. Določi mestno vrednost zneska, ako pomnožiš pri nalogali pod 6. katero¬ koli multiplikandovo številko s katerokoli multiplikatorjevo! 9. Množi: a) 412'71 x 589 b) 1'384 x 5264 c) 0-07493 x 8569 ter določi mestno vrednost vsake številke 3, oziroma 4 in 6 v delskih produktih 1 10. a) 6'17948 X 11 b) 56'078 X 99 c) 48'57 X 995 0-54865 x 110 68 143 x 499 76 183 x 6999. 11. 1 m platna velja 1 gl 8 kr; koliko velja 7, 12, 25 m? 12. Nekdo izda na dan 2 gl 45 kr; koliko a) na teden, b) na mesec? 13. Nekdo si prihrani na teden 3 K 25 h; koliko v 6, 9, 12 tednih? 14. 1 l pšenice tehta 0’78 kg-, koliko tehta 1, 3, 5, 8 hit 15. 1 hi vina velja 16 gl 25 kr; koliko 4, 6, 10, 12 hit 16. Koliko vina je v 8 sodih, ako drži vsak sod po 9 hi 16 It 17. Delavec zasluži na dan 3 K 50 h; koliko a) na teden (po 6 delavnikov), b) na mesec (po 24 delavnikov)? 18. 1 kg blaga velja 2 K 65 h; koliko velja a) 38 kg, b) 475 kg, c) 6 g 89 kgt 19. V neki shrambi je 12 zabojev, vsak po 37 kg 16 dkg, in 8 zabojev, vsak po 46 kg 25 dkg-, kolika je vsa zaloga? 20. J izda na dan 3 K 25 h, Z) pa 4 K 12 h; za koliko izda B več nego A v 1 letu? 21. Dve telesi se začnete pomikati istodobno od istega mesta; prvo telo preteče vsako minuto 38 m 2 din 5 cm , drugo telo pa 32 m 1 ■ 8 dm. Za koliko ste telesi oddaljeni po 56 minutah, ako se pomikate a) v isto, b) v nasprotno mer? 8* 116 22. Pomnoži 3 leta 7 mesecev 15 dnij 18 tir a) s 6, b) s 24, c) -l 32 ? 23. Pomnoži 12 ur 36 minut 45 sekund a) -l 8, b) s 14, c) s 25 ! 24. Trgovec dobi 24 q riža po 42 K 60 h, 18 q kave po 287 K 45 h in 250 l olja po 1 K 82 h; koliko mu je plačati za vse blago? 25. Vinotržec kupi 135 hi vina po 22 gl 75 kr in prodaja hi po 24 gl 20 kr; koliko ima dobička, ako proda vse vino? 26. Kolo se zavrti vsako sekundo 5krat; kolikokrat se zavrti a) v 1 minuti 10 sekundah, b) v 4 minutah 8 sekundah? 27. Vlak preteče vsako sekundo 5 »i 6 cim; koliko preteče v 2 urah 14 minutah 26 sekundah? 28. Žitar kupi 58 hi pšenice za 751 K 68 h; a on proda 17 lil po 14 K 24 h, 23 hi po 14 K 68 h in ostanek po 14 K 12 h; koliko ima dobička? 29. Krčmar zmeša 15 hi vina po 20 gl 36 kr in 18 hi po 16 gl 55 kr ter prodaja hi zmešanega vina po 19 gl 80 kr; koliko ima dobička pri vsem vinu? 30. Mesečni mesec ima 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sekunde; koliko znaša 12 mesečnih mesecev? Za koliko je mesečno leto krajše nego solnčno leto, ki ima 365 dnij 5 ur 48 minut 48 sekund? § 13- Kako deliš desetinsko število z dekadičnimi jednotami višjih redov? Katera vrednost dividendo vih številk se izpremeni pri takem deljenji in kako? Pojasni to s primerom! Kako deliš desetinsko število s celim številom? Kedaj postaviš v kvocijentu desetinsko piko ? Katero vrednost ima prva kvocijentova številka ? S čim se ujemajo mestne vrednosti kvocijentovih številk? Kako deliš mnogoimensko število s celim številom? Na koliko načinov moreš izvršiti tako delitev? Pojasni te načine s primeri! Kedaj pretvoriš mnogoimenski dividend v jednoimensko število? kedaj pa navadno tega ne storiš? Kje začneš deliti mnogoimenski dividend, in kako izvršiš tako delitev? Pojasni to s primerom! Ali moreš jedno in isto delitev mnogo- imenskega števila izvršiti na vse načine? Ali je vsak način jedni in isti nalogi jednako primeren? IŠTalogre. 1. Deli število 135'79 z 10, 100, 1000, 10000, 100000! 2. a) 5072'4:6 67 0'91836:9 c) 37'896:5 d) 23 176:9 248'52:3 32'5789:2 4'125:4 0 081:6 763'806:8 43'275:6 87'962:7 1'735:7. 3. 264'745 : 63, 5'93524 : 18, 13'824 : 24, 248'67 : 81. 4. a) 139'5:31 b) 130'83:21 c) 3'484 : 26 d) 72'36:12 136'62 : 23 5'93523 : 18 0'479 : 85 0'3861 : 45. 5. a) 9864'8:418 b) 12'24:816 c) 0'740993:341 4865•88 : 462 21•2176 : 596 14757'9225 : 3415. 117 6. Določi kvocijent na pet decimalk: a) 4'5 : 23 b) 906’2 : 469 214 : 317 27928 : 353 c) 768 : 2267 825’77 : 45276. 7. A prejme na leto 3912 K 60 h; koliko poprek a) na mesec, b) na dan? 8. Stroški nekega gospodarstva znašajo meseca maja (februarja) 76’57 (86’52) gl; koliki so poprečni dnevni stroški? 9. Za 120 K dobiš 2 7 15 kg 70 dkg blaga; koliko za 1 K? 10. 125 kg moke se kupi za 27 gl 50 kr in se proda za 31 gl 25 kr; kolik je dobiček pri 1 kg 7 11. Izmed dveh vlakov prevozi prvi 288’9 km v 9 urah, drugi 324’48 km v 13 urah; kateri vlak vozi hitreje? 12. Iz neke cevi priteče v 11 urah 336’6 hi vode; koliko vode priteče iz cevi a) v 1 uri, b) v 2, 10, 16, 45 minutah? 13. 15 delavcev zasluži v 8 dneh 427 K 20 h; koliko zasluži 1 delavec na dan? 14. 876 gl kapitala da na leto 48 gl 18 kr obrestij; koliko obrestij da a) 1 gl kapitala, b) 420 gl kapitala? 15. 24 hi ječmena tehta 15 q 39 kg 60 dkg-, koliko tehta 43, 125 Ul 16. 29 hi vina velja 531 gl 60 kr; koliko velja 56 W? 17. Za 347 kg blaga se plača 867 K 50 h; koliko za 164 kgt 18. 8 ur 6 minut 20 sekund : 100 = ? 19. 126 let 6 mesecev 24 dnij 12 ur : 24 = ? 20. A je 6krat toliko star ko B; koliko je B star, ako šteje A 75 let 9 mesecev 18 dnij ? 21. 12 trgovcev kupi 15 bal bombaža; vsaka bala tehta 162 kg 24 dkg. Blago razdele med seboj na jednake dele; koliko ga dobi vsak? 22. Trgovec dobi 3 sode olja; prvi sod drži 3 hi 15 Z, drugi 2 hi Ib l, tretji 3 hi 8 l. Po čem mu pride 1 l olja, ako plača za vse olje 269 K 40 h ? 23. Na trgu se je prodalo: 54 hi ječmena po 9 gl 25 kr, 63 hi po 9 gl 10 kr, 80 hi po 9 gl 56 kr in 53 hi po 9 gl 80 kr; kolika je srednja cena 1 hi ? 24. Krčmar kupi 18 hi vina po 30 gl 40 kr, 13 hi po 26 gl 28 kr in 14 hi po 19 gl 44 kr; koliko velja poprečno 1 AZ? § 14. Kako množiš celo število z dekadičnimi jednotami nižjih redov? Kako najdeš to pravilo ? S čim se ujema množenje določenega števila z dekadičnimi jednotami nižjih redov? Kako množiš določeno število n. pr. z 0’8, 0’08, 0’008? Ali velja še v teh slučajih prvotno po¬ jasnilo o množenji? Kako se glasi občno pojasnilo o množenji? Kako najdeš to pojasnilo? Ali velja to pojasnilo tudi o množenji celih števil? Zapiši dve mnogoštevilčni desetinski števili ter povej, kako množiš drugo z drugim? Kako izračunaš prvi delski produkt? kako drugega, tretjega i. t. d. ? Kako določiš mestne vrednosti teh delskih produktov? Kako jih zapišeš? Kaj storiš z delskimi produkti? 118 Koliko decimalk ima kouečui produkt? Kako se prepričaš o tem pravilu? Kako določiš mestno vrednost posameznih številk v delskih produktih? Kako določiš mestno vrednost zneska, ako pomnožiš katerokoli multiplikandovo številko s katerokoli multiplikatorjevo? Pojasni to s primeri! 1ŠT euLogre. 4. Določi mestno vrednost posameznih delskih produktov v nalogah pod 3.! 5. Določi mestno vrednost zneska, ako pomnožiš pri nalogah pod 3. katero¬ koli multiplikandovo številko s katerokoli multiplikatorjevo! 6. Množi: a) 4-137 X 58'4 b) 5-097 X 0'7081 c) 13'487 X 3'528 ter določi mestno vrednost vsake številke 6 v delskih produktih! 7. 450-79 x 238-57 + 7830'2 X 0-0059. 8. 513-266 X 9'96 — 357’492 X 10'08. 9. a) 34-57 X 2'36 X 76’1 b) 0-943 X 0’943 X 0’943 46-87 x 46'87 X 46'87 0-708 X 0’24 X 81'6. 10. 1 m sukna velja 7 K 28 h; koliko velja a) 12 m 5 dni, b) 32 m 75 cm? 11. Vozniku se plača za vsak kilometer 7 gl 20 kr voznine; koliko znaša voznina za 4 lem 250 m 1 12. Zitar proda 25 q 60 leg pšenice, 1 q po 10 gl 55 kr, 136 q 45 kg ječmena, 1 q po 9 gl 76 kr, in 340 q 50 kg ovsa, 1 q po 8 gl 42 kr; koliko je skupil? 13. Iz neke cevi priteče vsako minuto 28 l vode; koliko a) v 1 uri 15 mi¬ nutah, b) v 8 urah 15 minutah 30 sekundah? 14. Popotnik napravi poprečno vsako minuto 90 korakov; koliko a) v 6 mi¬ nutah 15 sekundah, b) v 5 urah 12 sekundah? 15. Kapital nese na mesec 18 gl 50 kr obrestij; koliko a) v 5 mesecih 6 dneh, b) v 16 mesecih 18 dneh? 16. Koliko obrestij dobiš od kapitala a) v 3 letih 6 mesecih, b) v 4 letih 3 mesecih, ako dobiš na leto 120 gl obrestij ? 17. Vinotržec kupi 25 M 60 Z vina, hi po 16 gl 25 kr, in 42 hi 85 l po 22 gl 76 kr; koliko ima dobička, ako oboje vino zmeša in ga proda Id po 21 gl 90 kr? 18. A dobi tri zaboje blaga, kateri tehtajo 316’258 kg, 493'72 kg in 384-916 kg-, tare je 15'254 kg, 17’37 kg in 16’67 kg. Koliko mora plačati za vse blago, ako se računa kg čiste teže po 4'65 K? 119 19. Koliko obresti j da na leto: a) 1340 gl kapitala po 5 % ? b) 1076 » » » 4’5%? c) 2912 » » » 6’75%? 20. Koliko obresti j da: a) 942 gl kapitala po 5% v 3 letih? b) 548 » 40 kr kapitala po 4-5% v 5 letih 6 mesecih? c) 1060 » 80 » » » 6 % » 4 » 9 » ? 21. Koliko znaša tara od 285 kg nečiste teže po 8%, b) od 2540 kg nečiste teže po 9’5%, cj od 3175 kg nečiste teže po 12-4%? 22. Neko blago tehta 3780 kg nečiste teže; koliko znaša a) tara po 9• 6%, b) čista teža? 23. Trgovec dobi blago, ki ima 1450 kg nečiste teže in 12% tare; koliko mu je plačati, ako velja 100 kg čiste teže 250 K? 24. Za blago, katero je imelo 4192 kg nečiste teže, plačalo se je 801’72 gl; po čem pride 1 g čiste teže, ako se računa 15% tare? § 15- Kako deliš celo, oziroma desetinsko število z dekadičnimi jednotami nižjih redov? Kako najdeš to pravilo? S čim se ujema deljenje določenega števila z dekadičnimi jednotami nižjih redov? Katera vrednost dividendovih številk se izpremeni pri takem deljenji, in kako se izpremeni ta vrednost? Kako deliš desetinsko število z desetinskim številom? Ali je treba med deljenjem gledati na to, kje stoji desetinska pika v dividenda in divizorji? Kako določiš mestno vrednost prve kvocijentove številke? IST alogre. 1. Deli število 28’75 z 0’1, 0’01, 0’001, 0’0001! 2. a) 379’42:0’4 b) 39’83:0’7 c) 1’753:0’008 3’14155:0’5 0 07614:0’06 0’247347:0’0009. 3. a) 3’484:2’6 b) 12’24:81’6 c) 540’9835:0’02447 22’383:0’027 24’0484:0’472 9’226932:0’7358 530’955 : 0’057 270’2146 : 8’69 5409’835 : 489’8. 4. Določi mestno vrednost prve kvocijentove številke v nalogah pod 3! 5. Določi naslednje kvocijente ter napravi preskušnjo! a) 20’1142 : 1’234 b) 9’226932 : 0’7358 c) 0’2171078 : 0’01057. 6. Izračunaj v naslednjih kvocijentih po 5 decimalk! a) 825 : 794’5 b) 23’7: 48’3 c) 1:3’156. 7. a) 51’0736 X 0’25 b) 385’725:2’5 479’1816 X 12-5 7853’164 : 1’25. 8. Kolikokrat je treba 25ti del števila 15’3 sešteti, da dobiš 128’52 za vsoto ? 9. Kolikokrat se nahaja produkt števil 9’73 in 0’064 v njiju vsoti? 120 10. Nekdo kupi 28'5 kg blaga za 52 -44 gl, drugokiat 36’5 kg za 64'24 gl, tretjikrat 55'8 leg za 106'02 gl; kedaj je kupil najbolj po ceni? 11. Koliko m sukna dobiš za 1440 K, ako plačaš m po 7'5 K? 12. Trgovec ima pri prodaji nekega blaga 11'34 gl dobička, in sicer 12 kr pri vsakem kilogramu; koliko kg je prodal? 13. 57'05 (520'88) K se razdeli med več oseb tako, da dobi vsaka oseba po 8'15 (30'64) K; koliko je oseb? 14. 120'8 kg blaga velja 222'7 gl; po čem se mora prodajati 1 kg, da bode 24'94 gl dobička? 15. 3 mesece 2 dneva 13 ur 12 minut : 5 dnij 3 ure 24 minut — 1 16. Kolikokrat se nahaja 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sekunde v 365 dneh ? 17. 6'55 m blaga velja 14'28 K; a) koliko velja 15 m? b) koliko m kupiš za 105-73 K? 18. Neka cev da v 8’75 ure 56 lil vode; a) koliko v 2'65 ure? b) v katerem času priteče iz cevi 20'5 hl vode? 19. Mešani vlak preteče v 0'45 ure 14'04 koliko v 6'4 ure? 20. Voznik dobi 82 gl 89 kr voznine, ako pelje 35 ■> T2> l> T’ f’ Tz l® ta ? 2. . h (kr) je |, |, f, T %, jV’ Tš’ Tffo K (g>) ? 3- > l je T %, U, T Vo 4- » kg je f, /o, » dnij je .1, f, |, -/ 5 , j? meseca? r ^"32171233 c 6. » cm je 4, 2 0’ 2 5’ 5 0 m ‘ 7- » ^9 j e ’2’ To’ 5"o’ Tod ^9^ 125 8. Iv oliko ur je g, g, g, 12’ 24 dnevu? 9. » mm je ”20^’ ‘2^5’ dm ? 10. ločnih minut je f, J, J, f, y 7 g stopinje ? 11. * časovnih minut je ■g - , 5, Ati’ sFiT’ (lcf ure ? 12 > u io 1 - 9 - - 7 - 7 - Av/? 1Z - y J C 5’ 2 5’ 5 0’ 2 0’ 1 0 0’ 2 O O '^9 r 13. • mm je -j-, -g, To> ytT’ TaT ”*? 14. ločnih sekund je f, f, 7%, -g-jj, minute? * 135 7 10 . 15. časovnih sekund je -g, 4, g-, ys> 3'0' minute ? 16. » dm je -g-, f, t 8 q 17. » g je f, T % dkg'> 18. Določi popolni kvocijent v obliki mešanega števila! a) 79 : 2 44 : 3 97 : 5 b) 61 : 15 42 : 25 87 : 42 c) 8073 : 140 24967 : 975 80731 : 1427. 19. Pretvori v neprave ulomke: a) 2, 3, 5, 7, 11 z imenovalcem 12; b) 4, 6, 9, 10, 13 z imenovalcem 60; c) 17, 196, 285, 746 z imenovalcem 720. 20. Pretvori v neprave ulomke: a ) Ig') 2 3-, 4-5, 6f, 7yg-, 3-25-, 8-J--2; /. '1 n 3 i -1 5 q 7 > 8 — 9 -1 o 7 q 1 9 , ' t’ To na imenovalec 20; &> I’ T> f’ f’ To’ A’ A na imenovalec 60; > X 3 2 _7_ A3 2 4 1T_ 1nn . fc / 2’ 4’ 5’ 10’ 20’ 25’ 50 ’ iuu , ,>2 3 7 5 251319 , tA d) 3’ 4’ 9’ 1 2’ 4 8’ 7 2’ 3B * !”■ 2. Pretvori sledeče ulomke na najmanjši skupni imenovalec: (2) — — b) — — — 3’ 4 3’ 4’ 5 Z _3_ 5’ 1 O _7_ _A_ 12’ 15 .11 1A 4 8’ 6 0 I, j’ T’ 1’ 1 8~’ TA’ TČ"’ 3"2’ «9 I, 11 A 6 0 5’ ) 1 Z 7_ ZA 7 2’ 4’ 8’ 16 1 _A_ _ 9 _ 11 8’ 16’ 20’ 28 3 Z _4_ _9_ 5’ 8’ 15’ 20 1 A 11 l 9 4 ’ 6 ’ 18’ 30’ Z 1 11 ZA IZ 5’ 9’ 36’ 4 8’ 60 1 Z 11 11 IZ 6’ 8’ 12’ 15’ 2 1' 3. Kateri izmed naslednjih ulomkov je največji, kateri najmanjši? 3 7 Z1 _A_ 11 A) 3 Z 13 ZA AL 5’ 8’ 14’ 18’ 30 / 4’ 8’ 1 5’ 25’ 4 5' 4. Uredi sledeče ulomke po njih vrednosti, začenši z najmanjšim! z#) L A _?_ A Z A Z A ZA ZA IZ AZ 2’ 6’ 10’ 4’ 3’ 9 7 5’ 7’ 24’ 3 5’ 20’ 4 5' 5. Okrajšaj sledeče ulomke: n} IZ ZA ZZ ZA 4A ZZ _ 8 _ 4 _- / 1 8’ 3 5’ 6 3’ 20’ 7 2’ 90’ 1 26 ’ A) _AA_ 11Z _ZZ_ ZA Z AZA 1AZ AAA’ ' 1 20’ 1 2 8’ 10 8’ 2 82’ 600’ 240’ 900 ’ r) -AZA- ZAAA ZZZZ ZAAZ ZZ4A AZAZA 1000’ 3 240’ 5 14 8’ 30 24’ 3360’ 4 7 0 25' 6. Izrazi naslednje količine z in imenovalec medsebojni praštevili! ulomkom višjega imena tako, da sta števec a) 24 kr, 36 kr, b) 324 m, 750 m, c) 8 mes., 10 mes., d) 6 min., 15 min., e) 16 ur, 20 ur, 60 kr, 75 kr, 80 kr; 375 m, 540 m, 875 m; 30 mes., 33 mes., 40 mes. 24 min., 56 min., 72 min. 30 ur, 64 ur, 84 ur. § 23. Kako seštevaš ulomke jednakih imenovalcev, kako ulomke različnih imenovalcev ? Kako seštevaš mešana števila ? Kedaj je vsota imenovano število? 1ŠT alog-e. i a) JL 4. _7_ 4. _9_ 4- A» 1. 20' 20' 20' 20 2. a) f + f + l + l 3. a) f + | + H + ff 4- < + < + <+ A ŠT + H + b ) f + TO + b ) L + l + b ) T + I + AA | ZA 36 • 36' Z X 5 4' I + A + /z- I + f- 127 5- ") | + I + T + 2 7 4 2 S 0 + T5 + TO + f- 6- o) lf + To + 8j% 4- 5^2 b) 1 T + 2 TK + ^TT + 8 f- 7. a) 8| + 6 + 4 f- + 3 f b) 25^ + 32^t + IS'/«' + 6||. 8. 12| + 15~[- 7 s ' + 16 4- Ifg + 301 + 7j. 9. 243+ 31511 + 268 H + 523+ 104 + 98 T %. 10. Kolika je vsota petim številom, ako je prvo 731|| in vsako naslednje za 271 večje od prejšnjega? 11. Nekomu je treba plačati 371 gl, 15-fo gl, 22|| gl, 5|f gl, 12| gl in 18f gl; koliko skupaj? 12. Trgovec dobi šest sodov sladorja, ki tehtajo posamič 145|/cy, 1461 kg, US^kg, lAT^kg, 148^ kg, IbO-^kg-, koliko tehtajo vsi sodi skupaj? 13. Trikotnikove stranice merijo 2251, 1731 in 205 | m; kolik mu je obseg? 14. Nekdo prehodi v petih dneh zaporedoma 351 fon, 38 -/g- km, 421 km, 40fon in 36 ttb km ; koliko znaša vsa pot? 15. Izmed treh bratov je najmlajši 71 leta star, drugi za 81 leta starejši in tretji za 31 leta starejši od drugega; koliko let štejejo vsi skupaj? 16. Tri cevi polnijo vodnjak; prva ga napolni sama v 3 (8) urah, druga sama v 4 (12) urah in tretja sama v 6 (15) urah. Koliki del vodnjaka napolnijo vse tri cevi v 1 uri ? (Prva cev napolni v 1 uri | vodnjaka. Koliko napolni druga, koliko tretja cev v 1 uri ? Koliko napolnijo vse tri cevi skupaj v 1 uri ?) § 24. Kako odštevaš ulomke jednakih imenovalcev, kako ulomke različnih imenovalcev? Kako odštevaš mešana števila? Kaj storiš, če je ulomek v minuendu manjši od ulomka v subtrahendu? Kako odštevaš, če manjka v minuendu ulomek? Kedaj je razlika imeno¬ vano število? 128 6 . 4 1 _ _7_ _ 1-3 + 3 _1_ _ 2 1 + 4 1. 7. 17 t S š + 8f-10|-4| + 9|-71|. 8. Za koliko je vsota 3-§- 4- 7-5% 4- 4j večja od vsote 1|- 4- 2f 4~ -f-g? 9. Za koliko je vsota 37 f 4- 13 večja od razlike 67 f- — 19 f ? 10. Za koliko postane ulomek f (j%) večji ali manjši, ako a) prišteješ števcu in imenovalcu 1, fej odšteješ od števca in imenovalca 1? 11. Telo tehta na zraku 16? leg, pod vodo pa 14 leg-, koliko svoje teže izgubi telo v vodi ? 12. V trikotniku merita dva kota a) 647%" ’ n 73®", b) 85° 42 4 ' in 59" 36i%'; kolik je tretji kot? 13. Nekdo prejme 73K, 19t^> > n 28-g K, izda pa 27-j-f-K, 23} K in 31g% K; za koliko je več prejel nego izdal? 14. Trije zaboji tehtajo z blagom vred 516 | kg, 437 4% kg in 335 ? kg-, prazni zaboji pa tehtajo 19f-7c^, 171 leg in 12f-/w/. Koliko tehta blago samo a) v vsakem zaboji, b) v vseh zabojih skupaj ? 15. Od 538i% gl dolga se odplača po malem 86^ gl, 10 J gl, 1183% gl, 58■fn'gl in 64? gl; kolik je ostali dolg? 16. Iz soda, ki drži 32} hi vina, napolnijo se trije manjši sodi po 7-g, 6y in M-, koliko vina ostane še v velikem sodu? 17. Ob neki cesti so zaporedoma kraji A, B, C in />; od A do Ji je 191 km, od li do C 17 3% km, od C do D 35 5 km. a) Kako daleč je od A do D? b) Kako daleč ima popotnik še do D, ako je od A odšel in že 47 } km prehodil ? 18. Neka cev napolni prazni vodnjak v 5 (8) urah, druga cev -pa izprazni polnega v 9 (12) urah; koliki del vodnjaka jo napolnjen v 1 uri, ako voda priteka po prvi cevi, po drugi pa odteka, in ako je bil vodnjak v začetku prazen? § 25. Kako množiš ulomek s celim številom? Kedaj in kako moreš okrajšati tako množenje? Pojasni to s primerom! Kaj dobiš za produkt, ako pomnožiš ulomek z imenovalcem tega ulomka? Kako množiš ulomek s celim številom, če je celo število mera ulomkovega imenovalca? Pojasni in dokaži to s primeri! Kako množiš mešano število s celim številom? na koliko načinov? Kedaj je produkt imenovano število? Ali more multiplikator biti količina? IŠTalog - ©. 1. a) X 11 < X 13 H X 38 3 2 b) X 14 li X 20 X 36 Tl X 9 ,-2 X 6. 129 5. Stranica jednakostraničnega trikotnika meri 47-f-tto; kolik je obseg? 6. 1 M vina velja 181 gl; koliko velja 9, 12, 15 hlf 7. Uradnik ima na dan 4f gl plače; koliko na mesec, koliko na leto? 8. 1 q nekega blaga velja 25 J K; koliko velja 32, 56, 113 j? 9. Kolik je obseg kolesu, katero ima 48 zobcev, ki so po 4f- cm oddaljeni drugi od drugega? 10. A izda meseca avgusta na dan po 3 ? gl, meseca septembra po 3« gl in meseca oktobra po 4-| gl; koliko je izdal v vseh treh mesecih? 11. Neka cev napolni vodnjak v 6 urah, druga cev v 8 urah in tretja cev v 10 urah; koliki del vodnjaka napolnijo vse tri cevi a) v 1 uri, b) v 3 (5) urah? 12. V vodnjak priteka voda po neki cevi, po drugi pa odteka; prva cev napolni prazni vodnjak v 9 urah, druga pa izprazni polnega v 12 urah. Koliki del vodnjaka je napolnjen, ako ste obe cevi odprti 5 ur, in ako je bil vodnjak v začetku prazen? § 26. Kako deliš ulomek s celim številom? na koliko načinov? Ali se da v vsakem slučaji delitev izvršiti na oba načina? Kako najdeš te pravili? Kedaj in kako moreš okrajšati delitev ulomka s celim številom? Kako deliš mešano število s celim številom? na koliko načinov? Kedaj je prvi, kedaj drugi način primernejši? Kedaj je kvocijent imenovano število? Kateri števili ste pri merjenji, kateri pri pravem deljenji količini? Matek, Aritmetika. 9 130 4. Deli 3 t 4 š+71|-5 t % s 13! 5. Delavec zasluži na mesec 152^ K; koliko na dan? 6. 42 m sukna velja 226gl; koliko lm? 7. 1 hi vina velja a) 47 f-K, b) 28 t’,- K, c) 32f-K; koliko velja v vsa¬ kem slučaji 25 Z? 8. Vinotržec proda 8 J hi, 64 hi in 8 bi v ’ na ter skupi zanj 806| K; koliko velja 1 hi? 9. Lokomotiva preteče v 4 urah 121 f km; koliko v 1 minuti? 10. Ob cesti, ki je 588vi m dolga, stoji na vsaki strani 107 dreves; kako daleč je drevo od drevesa? 11. Nekdo zmeša 24 hi pšenice po 8jgl in 26 hi po 9^- gl; koliko je vreden 1 hi zmešane pšenice? 12. Krčmar kupi 72 hi vina po 231 gl in proda vse vino tako, da ima 165 2^5 gl dobička; a) za koliko je prodal vino, b) koliko dobička je imel pri 1 hi? 13. 1343^0- K je treba med 4 osebe razdeliti tako, da dobi A 3, B4, C 5 in D 6 jednakih delov; koliko dobi vsaka oseba? (Koliko delov je po vsem? Koliko denarja pride na 1 del?) 14. 9 (13) m blaga velja 38 j (54f) K; koliko 24 (35) m? 15. Kos platna meri 40 m in velja 32 | gl; koliko je treba plačati za 18 »»? 16. Nekdo zasluži v 6 dneh 10K; koliko v 35 dneh? 17. Neka družina porabi na teden 22^ gl; koliko v 52 dneh? 18. Ako razdeliš neko vsoto denarja med 36 revežev, dobi vsak 3j gl; koliko bi dobil vsak, če bi razdelil isti denar med 45 revežev? (Koliko je de¬ narja, ki ga razdeliš?) 19. Dva trgovca kupita skupaj 2385 lcy olja; A ga vzame 1845 kg in plača zanj 1473f gl; koliko olja ostane B-u, in koliko mu je treba plačati? 20. Voz sena velja 65A K in tehta z vozom vred 1455 /«/; koliko velja 100 kg sena, ako telita prazni voz 280 kg? § 27. Kako množiš celo število z ulomkom ? kako ulomek z ulomkom ? Kako najdeš dotična pravila? Kedaj in kako moreš okrajšati množitev v navedenih slučajih? Kako množiš celo število z mešanim številom? kako mešano število z mešanim številom? IŠTalog'©. 131 5. Pomnoži g + -pg- — s 7-j-l 6. Pomnoži 3-g- + 9^ — 8f- s 5y + j — 4-j-j-i 7. Za koliko je produkt ulomkov f in f manjši nego vsak faktor? 8. Za koliko je produkt ulomkov | in f manjši od njih vsote? 9. 1680 (385 J) K je treba med tri osebe razdeliti tako, da dobi A | (jo), B f (j), C pa ostanek; koliko dobi vsaka oseba? (4 določenega števila najdeš, ako pomnožiš število z 10. A ima 45 4 gl, B 24krat toliko kakor A, C l-fkrat toliko kakor B, in T) -g-krat toliko kakor C; a) koliko denarja ima vsak, b) koliko vsi skupaj? 11. Z blagom napolnjen zaboj tehta 328|-7c^, zaboj sam 24f kg-, koliko je blago vredno, ako se računa kg po 4tK? 12. Trgovec skupi na dan poprečno 17gl; koliko a) v 1 meseci, b) v 8 g- meseca, c) v f leta ? 13. Krčmar zmeša 7-/y hi vina po 163% gl, 6y hi po 18 J gl in 9 hi po 144 gl; koliko je vredno zmešano vino? 14. Dve cevi polnite vodnjak; prva napolni v 1 uri druga pa praznega vodnjaka. Koliki del vodnjaka se napolni, ako je prva cev odprta 3g ure, druga pa 2jj- ure? § 28. Kateri ulomek se imenuje obratni ulomek? Kako ga najdeš? Katera števila se zovejo obratna števila? Katero lastnost imate dve obratni števili? Kolik je njih produkt? Kako deliš celo število z ulomkom? kako ulomek z ulomkom? Kako najdeš ta pravila? Kedaj in kako moreš okrajšati deljenje v navedenih slučajih? Kako deliš celo število z mešanim številom? kako mešano število z mešanim številom? Ali moreš tudi v teh slučajih okrajšati delitev? »* 132 5. Kolikokrat se nahaja a) 5-f-g v f + k — 4 1 zV b) 7>— 3> v 37< + 18|— 13 2.± —Z- XXX 6. Z 8.2.3.’.. a / 40’ 25’ 250’ 1 2 5’ 6 4’ 6 251)1 , 1 Z JL A O. 5.3. s. O. 4.2.^ . 9’ 11’ 33’ 37’ 81’ 101 ’ 1 XZ _2_5_ _1_S_ 2J_7 49. 51. 3 6’ 14 4’ 10 5’ 3 3 0’ 5 4’ 8 8' 2. Izračunaj: a) 1'68 X J 0'736 X 16'9 X b) 2'751 : f 3'43 0'34 :|f. (Decimalni ulomek pomnožiš z navadnim ulomkom, ako množiš decimalni ulomek s števcem in dobljeni produkt deliš z imenovalcem.) 3. Ako velja 9 J m nekega blaga 20'625 gl; koliko m kupiš za 36 gl? § 30. Kako pretvorimo končen decimalni ulomek v navadnega? kako čisto perijodičen decimalni ulomek v navadnega? kako nečisto perijodičen decimalni ulomek v navadnega? ZTalog - ©. 1. Pretvori sledeče decimalne ulomke v navadne: a) 0'25, 0'275, 1'016, 0 064, 3'1625, 1 0496; b) 0'5, 0'72, 0'504, 3'936, 2'0234, 1'4113; c) 0'83, 0'48, 0'426, 0'306, 0'5727, 3'2027. 2. Izračunaj: a) 6'4 X 5'27 2 13 X 0'6 0'8 X 0'48; b) 1'037 :2'i5 2'4:1'15 1'06:0'426. (Perijodične decimalne ulomke je treba pretvoriti v navadne ulomke, predno se računa z njimi.) 135 § 31. Katere količine se imenujejo odvisne? Pojasni s primeri, kako so količine odvisne druga od druge! Kako je sestavljena (kako se da razstaviti) vsaka naloga, v kateri se nahajajo odvisne količine ? Kako se razrešujejo v obče take naloge? 1-T alog-e. 1. 5 m blaga velja 8 gl; koliko 3 m? 2. 6 l vina velja 3 K; koliko l ga dobiš za 5 K 40 hi 3. 17 delavcev dovrši neko delo v 3 dneh; v koliko dneh dovrši isto delo 6 delavcev? 4. 7 oseb izhaja z nekim živežem 12 dnij; koliko oseb izhaja z istim živežem 21 dnij ? 5. Popotnik prehodi v 4 urah 19 km-, koliko v 7 urah? 6. 9 delavcev zasluži na dan 13 gl 50 kr; koliko delavcev zasluži na dan 30 gl? 7. Pisar prepiše rokopis v 5-f dneva, ako dela na dan po 12 ur; koliko dnij potrebuje za isto delo, ako dela na dan 11 ur? 8. 12 koscev pokosi travnik v 5 dneh; koliko koscev pokosi isti travnik v 6 dneh? 9. 30 m sukna tehta 7|- kg-, koliko m tehta 67 4 kgl 10. Voznik dobi 216 K, da pelje 58 q blaga od kraja -4 do kraja J3-, koliko blaga bo peljal isto pot za 174 K? 11. 480 gl kapitala nese v 3 letih določene obresti; a) kateri kapital nese v 4 letih iste obresti ? b) v koliko letih nese 250 gl kapitala iste obresti ? 12. 1280 K kapitala da na leto 44 K 80 h obrestij; a) koliko obrestij da 1642 K kapitala v istem času ? b) kateri kapital da. na leto 120 K obrestij ? 13. Iz neke cevi priteče v 11 minutah 308 l vode; v koliko minutah pri¬ teče iz iste cevi 980 l vode ? 14. Sel potuje 8-4 dneva ter prehodi na dan 43 f hm; koliko km mora na dan prehoditi, če hoče isto pot napraviti v 7 dneh? 15. 7^ q blaga velja 18j- gl; a) koliko velja 3f- g? b) koliko q dobiš za 38|gl? 16. Za obleko je treba 3 m 4 dm sukna, ki je 75 cm široko; koliko m sukna potrebuješ za isto obleko, ako je sukno 51 cm široko? 17. Koliko steklenic vina po 60 kr dobiš za 58 steklenic po 72 kr? 18. Na obsegu nekega kolesa je 308 (60) zobcev, ki so po 25 (8 4) mm oddaljeni drugi od drugega; koliko zobcev bi bilo na istem kolesu, ako bi bili po 28 (104) mm narazen? 19. Na njivi, ki meri 6-g- ha, pridelaš 684 hi žita; kolik je pridelek na drugi jednako dobri njivi, ki meri 134 hal 20. Trgovec zasluži pri prodaji 45 kg blaga 3 f gl; koliko pri 37 4 kg ? 21. Jednakomerno napeta cesta se vzdigne na 20f- km za 49f m; za koliko se vzdigne na 2 4 km ? 22. Kolo se zavrti v 27 minutah 2295krat; a) kolikokrat se zavrti kolo v 10 minutah ? b) v koliko minutah napravi kolo 3655 vrtežev ? 136 23. Za 17 K kupiš 14l ky blaga; koliko ga dobiš a) za 68 K, b) za 8 K 50 h ? 24. 18 delavcev dovrši neko delo v 7 dneh; v katerem času dovrši isto delo a) 6 delavcev, b) 54 delavcev? 25. 9 kg riža velja 2 gl 16 kr; koliko velja a) 72 kg, b) 3 kgl 26. 6 oseb izhaja z nekim živežem 135 dnij; koliko časa izhaja z istim živežem a) 54 oseb, b) 3 osebe? 27. 25 m platna tehta 3 kg-, koliko m platna tehta a) 12 leg, b) 60 dkgl 28. Popotnik prehodi 7 km v 1 uri 25 minutah; koliko km prehodi a) v 17 minutah, b) v 4 urah 15 minutah? 29. Mlinsko kolo se zavrti v 8 minutah 3 krat; kolikokrat v 2 urah 16 minutah? 30. Za določeno plačilo pelje voznik 39 q blaga 17 f km daleč; kako daleč bo peljal za isto plačilo 6 | q 1 31. Neki kapital da na leto 78 gl obresti j; koliko obresti j dobiš «7 v 3 me¬ secih, b) v 4 mesecih, c) v 36 mesecih? 32. 350 K kapitala nese na leto 21 K obrestij; koliko obrestij dobiš a) od 1050 K, b) od 70 K kapitala? 33. 1240 gl kapitala da. v 2 letih 4 mesecih določene obresti; kateri ka¬ pital dš. iste obresti a) v 7 mesecih, b) v 9 letih 4 mesecih ? 34. Voznik pelje tovor 195 km daleč za 56 gl 60 kr; a) koliko znaša voz¬ nina za krni b) kako daleč pelje voznik isti tovor za 7 gl 74 kr? 35. Sprednje kolo na vozu se zavrti 70 krat v istem času, ko se zavrti zadnje 65 krat; koliko vrtežev napravi zadnje kolo, med tem ko se zavrti sprednje 840 krat? 36. Mlin zmelje v 8 urah lihi rži; a) koliko v 4 urah? b) v koliko urah zmelje 225 KI ? 37. 8 delavcev zasluži na teden 136 gl; koliko zasluži v istem času 20 delavcev ? 38. 54 zidarjev sezida neki zid v 16 dneh; a) koliko dnij potrebuje za isto delo 72 zidarjev? b) koliko je treba najeti zidarjev, da sezidajo isti zid v 24 dneh? 39. Za 24 q blaga znaša voznina 15’12 gl; kolika je voznina za 36 q“l 40. Za neko knjigo je treba 24 pol papirja, ako se natisne na vsako stran 50 vrst; a) koliko pol je treba, ako se natisne na stran po 40 vrst? b) koliko vrst mora priti na vsako stran, da bo obsegala knjiga 25 pol ? 41. 14 kg blaga velja 18 K 60 h; koliko 35 kgl 42. A porabi v 30 dneh 42 gl 80 kr; koliko v 18 dneh? 43. Nekdo dovrši neko delo v 32 dneh, ako dela na dan po 9 ur; koliko ur mora delati na dan, da dovrši isto delo v 24 dneh ? 44. A izda na dan 2 gl 40 kr in izhaja z določenim denarjem 51 dnij ; kako dolgo bo izhajal z istim denarjem, ako izda na dan 1 gl 80 kr ? 45. Neki kapital da na leto 3870 K obrestij; koliko a) v 8 mesecih b) v 1 letu 3 mesecih? 46. Ako se razdeli določena vsota denarja med 54 oseb, dobi vsaka 720 gl; koliko bi dobila vsaka oseba, ako bi se razdelila ista vsota med 48 oseb ? 137 47. Iz neke preje natke tkalec 84 m platna, ki je 77 cm široko; koliko m bi natkal iz iste preje, če bi bilo platno 66 cm široko ? 48. Njiva 12 ha da. na leto 630 gl haska; kolika bi morala njiva biti, da bi dala na leto 450 gl haska ? 49. Neki rokopis ima 144 stranij in stran po 32 vrst; koliko istotako dolgih vrst mora priti na stran, da bo imel rokopis 24 stranij manj ? 50. Kapital da na leto 246 gl obresti j; a) koliko obrestij da isti ka.pital v 30 mesecih, b) v koliko mesecih da isti kapital 369 gl obrestij ? 51. A zasluži v 4 dneh toliko, kolikor B v 5 dneh; če zasluži A v 15 dneh 18f-gl, koliko zasluži 13 v istem času? 52. 32 delavcev izkoplje neko jamo v 25 dneh; čez 7 dnij se pa odpusti 7 delavcev; koliko dnij bodo morali delati ostali delavci ? 53. 30 delavcev dodela neko cesto v 12 tednih ; od začetka je delalo 45 delavcev 6 tednov. Koliko delavcev je treba najeti, da dodelajo ostali del ceste v 41 tedna? 54. Na ladiji je 36 mornarjev, ki imajo živeža za 60 dnij; 12 dnij potem, ko so se odpeljali, utonilo je vsled viharja 20 mož ; kako dolgo izhajajo ostali mornarji z živežem, kar ga je še ostalo ? § 32. Kdo je dolžnik, kdo upnik? Kaj je glavnica ali kapital? Kaj so obresti? Kako določujemo obresti? Kaj je odstotek ali procent? Koliko dnij šteje mesec, koliko leto pri obrestnih računih? l-T aJ.og-e. 1. Koliko obrestij da na leto : a) 575 gl kapitala po 4%? b) 708 gl kapitala po 4|7o? c) 1560 gl » » 6%? d) 1848-84 gl » » 5f°/ 0 ? 2. Koliko obrestij nese: a) 562 K kapitala po 5 % v 3 letih ? b) 298 » » > 3|°/, v 4 letih ? 3. Koliko obrestij dobiš: a) od 753 gl kapitala po 5% v 4 mesecih? b) » 740 » » » 4^% »3 » ? c) » 2985 » » » 4 % » 7 » ? 4. Koliko obrestij nese: aj 1350 K kapitala po 6% v 72 dneh? b) 4065 » » » 4% » 240 » ? c) 2104 » » » 5>“/ 0 »182 » ? 5. Koliko obrestij da: a) 760 gl kapitala po 5 p/ 0 v 2 letih 3 mesecih 6 dneh? b) 125 » » » 6% » 1 letu 4 » 18 » ? c) 5934 » > » 6|% . 3 letih 6 » 15 » ? 138 6. Kateri kapital da na leto: a) po 5 °/ 0 355 gl 40 kr obresti j? b) ■» 4% 168 » obrestij ? 7. Kateri kapital nese: a) P° na mesec 326 K 40 h obrestij? b) » 6% v 8 mesecih 288 K obrestij? 8. Kolik je kapital, ki dš,: a) po 5 % v 5 letih 300 gl obrestij ? b} • 4% v 9 mesecih 54 gl obrestij ? c) » 4|% v 18 dneh 4 gl 5 kr obrestij? 9. Izmed dveh kapitalov je prvi naložen po 5 ^°/ 0 , drugi pa po 4^%; kolik je vsak izmed kapitalov, ako dobiš v 4 mesecih od vsakega 37 gl 50 kr obrestij ? 10. Po koliko % J e naložen kapital 450 (3445) K, ako daje na leto 18 (250'31) K obrestij? 11. Po koliko % J e naložen kapital 1092 gl, ako nese v 4 | leta 196'56 gl obrestij ? 12. Po koliko % a) 696 K kapitala v 3 mesecih 20 dneh 9 K 57 h obrestij ? b) 1800 gl kapitala v 9 mesecih 121 gl 50 kr obrestij ? 13. Nekdo kupi hišo za 8340 gl; koliko % nese hiša, ako daje v 6 mesecih 187 gl 65 kr najemnine ? 14. V katerem času da: a) 934 K kapitala po 5 % 70 K 5 h obrestij ? b) 360 » » » 4"/o 94'05 K obrestij? c) 7135 » » »4 % 513 K 72 h obrestij? 15. A si izposodi 835 gl; koliko mu je plačati s 6% obrestmi vred a) čez 1 leto, b) čez 7 let? 16. Nekdo ijna 6350 K kapitala naloženega po 4 .y°/ 0 ; koliko je vreden ta kapital z obrestmi vred čez 8 let? 17. A dobi čez 4-g- leta za izposojeni kapital z obrestmi vred 1288'56 K nazaj; kolik je bil kapital, ako se računajo obresti po 4%? 18. Koliko kapitala moraš naložiti po 6 °/ 0 , da dobiš čez 2 leti 8 mesecev z obrestmi vred 2157'95 gl nazaj? § 33. Pojasni, kaj je dohodnina, popust, odbitek, rabat, tara, opravnina, zavarovalnina, nadavek! Kako se določujejo te stvari v vsakdanjem življenji? Kaj je odtisoček, in kaj se določuje po odtisočkih? KT alogre. 1. Nekdo ima na leto 2456 K dohodka, od katerega mu je treba plačati 6% dohodnine; koliko znaša ta davek? 2. Dolžnik se poravna s svojim upnikom tako, da mu plača 78% za dolg, ki znaša 2680 gl; koliko dobi upnik ? 139 3. A kupi za 880 gl blaga ter ga proda s 15% dobičkom; koliko znaša dobiček ? 4. V nekem mestu se je porodilo nekega leta 1650 otrok, in sicer 52% dečkov in 48% deklic; koliko je bilo dečkov, koliko deklic? 5. Trgovec kupi za 320 K blaga ter ga mora prodati s 4j% izgubo; koliko je izgubil? 6. A dobi po srečki 10000 gl in od tega dobička mora plačati 20% davka; a) koliko znaša davek, b) koliko mu ostane od dobička? 7. Delavcu, ki zasluži na dan 2 K 40 h,, zviša se dnina za 15%; koliko zasluži potem? 8. Trgovec kupi 364 kg blaga po 64 h ter ga proda z 8% dobičkom; po čem je prodal kg“t 9. Neki trgovec kupi blaga za 3012'64 K in ima pri prodaji 2f% izgube; za koliko je prodal blago ? 10. A kupi 730 kg blaga po 68f kr; ako plača gotovo, dovoli se mu 34% odbitka; koliko je gotovo plačilo? 11. Nekomu je treba plačati 345 gl davka; koliko bo plačal, ako se mu dovoli 8% popusta? 12. Koliko je treba plačati za 245 K s 3% priklado vred? 13. 1 m sukna velja 5 gl 24 kr; po čem ga bodeš plačal, ako se cena zviša za 12-|%? 14. Sukno je za 4% postalo ceneje; koliko velja 1 m, za katerega si poprej plačeval 4 gl 25 kr ? 15. Iz pese se dobi 5% neprečiščenega sladorja; koliko kg pese je treba za 4720 kg neprečiščenega sladorja? 16. Koliko je vredno blago, pri katerem znašajo po 5-g-% računani postranski stroški 73 K 24 h? 17. Pri prodaji nekega blaga znaša po 7f% računani dobiček 261'44 gl; za koliko se je kupilo blago? 18. Pri neki kupčiji je bilo 24% izgube; koliko vsoto je vložil tisti, ki je dobil 2165 K nazaj? (Koliko je dobil nazaj za 100 K vloge?) 19. Blago ima 638 kg nečiste teže; a) koliko znaša tara po 6%? b) kolika je čista teža? 20. Pri nekem blagu, ki ima 470 kg nečiste teže, znaša tara 4%; koliko velja blago, ako se plača kg čiste teže po 35 kr? 21. Opravnik kupi za 3054 K blaga; a) koliko znaša opravnina po 2%? b) koliko mora plačati trgovec, za katerega je kupil opravnik blago? 22. Opravnik proda neko blago za 2085 K in si zaračuna 1 g % opravnine; a) kolika je opravnina? b) koliko dobi trgovec, za katerega je prodal opravnik blago ? 23. Trgovec kupi blago, ki ima 12'4 g nečiste teže in 8% tare; koliko mu je plačati, ako velja kg čiste teže 66 h in ako se računa opravnina po 1 J- % ? 24. Opravnik proda za nekega trgovca blago, ki ima 1560 kg nečiste teže in 5% tare; koliko denarja dobi trgovec, ako proda opravnik kg čiste teže po 75 kr in si zaračuna 2^% opravnine? 140 25. J kupi za nekega trgovca različno blago ter zasluži 33'6 K opravnine; koliko je vredno blago, ako se računa opravnina po lf%? 26. Na 17800 gl cenjena hiša se zavaruje proti ognju po 1-g-"/«; koliko znaša zavarovalnina ? 27. Koliko znaša zavarovalnina po 4-5-°/oi> za ki je vredno 7760 K? 28. Nekdo zavaruje svojo hišno opravo proti ognju po l'6% 0 in plača na leto 4’48 K zavarovalnine; koliko je vredna hišna oprava? 29. Koliko je treba, plačati v srebru za 860 gl zlata, ako ima zlato 3f% nadavka? 30. Nekdo proda blago za 287 gl v zlatu; koliko gl v srebru dobi zanj, ako znaša nadavek 12f%? 31. Iz 150 kg apnenca se dobi 84 kg živega apna; koliko je to v %? 32. A ima na leto 1700 gl dohodka in plača 306 gl za stanovanje; koliko % dohodka velja stanovanje? 33. Veletržec proda na leto za 55600 gl blaga in ima 4587 gl dobička; koliko je to v %? 34. Nečista teža nekega blaga znaša 1042 kg, čista teža pa 945'615 kg\ koliko % vse t eze znaša tara? 35. 875 kg kave tehta po žganji 791 kg-, koliko % izgubi kava pri žganji? (Kolika je izguba pri 875 kgt kolika pri 100 kg'l) 36. Blago se kupi za 48 gl in pride s postranskimi stroški na 49'68 gl; koliko % kupne cene znašajo stroški? (Koliki so stroški pri 48 gl? koliki pri 100 gl kupne cene ?) 37. A kupi 920 kg blaga za 782 gl in prodaja q po 81'5 (92'65) gl; koliko % dobička ali izgube ima pri prodaji? (Kolik je dobiček ali izguba pri 782 gl? kolik pri 100 gl kupne cene?) 38. Nekdo je plačal za davek s 4% priklado vred 468 gl; koliko je pravega davka? (Za 100 gl pravega davka plača s priklado vred 104 gl.) 39. Blago se je prodalo s 3% izgubo za 520 K; kolika je kupna cena? (100 K kupne cene da 97 K prodajalne cene.) 40. Pri nekem konkurzu znaša izguba 25 %; kolik je bil dolg, za katerega se je plačalo 16500 gl? (Za 100 gl dolga se plača 75 gl.) 41. Blago velja z 2% kupno opravnino vred 3207 K 90 h; kolika je kupna cena? (100 K kupne cene da z opravnino vred 102 K.) 42. Kolik je 15% dobiček pri blagu, ki se je prodalo za 1860 gl? (100 gl kupne cene da 15 gl dobička; torej je pri 115 gl prodajalne cene 15 gl dobička.) 43. Trgovec proda blago za 782 gl in ima pri tem 8% izgube; koliko znaša izguba? (100 gl kupne cene da 8 gl izgube; torej je pri 92 gl proda¬ jalne cene 8 gl izgube.) 44. Nekdo je plačal za davek, od katerega se mu je 4% popustilo, 398 gl 40 kr; koliko znaša popust? (Namesto 100 gl davka plača 96 gl; torej je pri 96 gl davka, ki ga plača, 4 gl popusta.) 45. Opravnik si zaračuna za prodano blago 2% opravnine in pošlje po odbitku te opravnine trgovcu, za katerega je prodal blago, 2773 gl; kolika je opravnina? (Za 100 gl prodajalne cene dobi trgovec 98 gl; torej je pri 98 gl, katere dobi trgovec, 2 gl opravnine.) 141 46. J plača za izposojeni denar in 6-1% obresti čez leto 479'25 gl; kolike so obresti ? (Za 100 gl kapitala se plača z obrestmi vred 106'5 gl; torej je pri 106'5 gl, ki se plačajo, 6'5 gl obrestij.) 47. Trgovec je dolžan A-u 762'5 gl, B-n 497'75 gl in C-u 352 gl. Zaradi konknrza poplača svoje dolgove s 60%; koliko dobi A, B in C? 48. A kupi 872 kg kave za 828?- gl ter ima pri prodaji 20% dobička; kako drago je prodajal %? 49. Opravnik proda blago za 7350 K in si zaračuna 5f% opravnine; koliko dobi trgovec, ki je dal prodati blago, ako mora poleg opravnine plačati še 44 K 10 h postranskih stroškov ? 50. Koliko je treba danes izposoditi po 6%, da dobiš čez 3 leta z obrestmi vred 1475 gl nazaj ? 51. Neko blago se je kupilo za 4250 K in prodalo za 4590 K; koliko % je znašal dobiček? 52. Koliko velja 2108 kg nečiste teže, ako znaša tara 9% in ako se plača q čiste teže po 82 K 50 h in kupna opravnina po 11% ? 53. A ima 1677 gl dohodka po odbitku 21% dohodnine; koliko znaša ta davek? 54. Uradnik dobi s 15% priklado 1836 gl plače na leto; koliko znaša pri klada? 55. Ako se proda kg nekega blaga po 81 h, znaša izguba 10%; kako drago bi se moral kg prodati, da bi bilo 7 ?,% dobička? (Izračunaj najprej kupno ceno za 1 /w/!) § 34. Kaj je razmerje dveh števil? Kedaj ga iščeš? Kako se imenujejo števila, ki se nahajajo v razmerji? Katero število se zove prednji, katero zadnji člen? Kaj je količnik razmerja? kako se imenuje še drugače? Katero razmerje je čisto številno? katero količinsko? Od česa je odvisna vrednost razmerja? Kedaj se poveča razmerje? kedaj pomanjša? Katera razmerja se imenujejo jednaka? Ali morejo številna in količinska razmerja biti jednaka? Kedaj ne izpremeni določeno razmerje svoje vrednosti? Katere so oblične izpremembe določenega razmerja? Kako daš razmerju jednostavno obliko ? ZSTa-logfe. 1. Izračunaj količnik naslednjih razmerij: a) 8'4 : 2'1 b) 7< : 18< 39 : 9 j fi:4f 131 = 2f 3 J : 6 e) 18f ■ Ti 450 : 100 8'875 : 3-75. 142 2. Izrazi naslednja razmerja, s celimi števili: a) 3 kg 7 dkg in 95 g-, b) 3 leta 7 mes. 18 dnij in 1 leto 2 mes. 15 dnij; c) 17° 48' in 25° 16'; d) 52° 36'40'' in 6° 34' 35"? 6. V katerem razmerji ste hitrosti kazalcev na uri, ki kažeta a) minute in ure, b) sekunde in minute, c) sekunde in ure ? (Določi najprej kot, katerega nariše vsak izmed kazalcev v 1 minuti!) 7. Popotnik A prehodi v 2 (3 4) urah 9 (261) km in popotnik B v 3 (5j-) urah 14'4 (39j%) km ; kako ste si hitrosti obeh popotnikov? (Določi najprej pot, katero prehodi vsak popotnik v l uri!) 8. Kakšno je razmerje med ceno pšenice in ječmena, ako plačaš za 3 M pšenice 24 gl 30 kr in za 2 hi ječmena 10 gl 80 kr? (Določi najprej, koliko velja 1 Id vsakega žita!) 9. Izmed dveh delavcev dovrši prvi neko delo v 111 dneva, drugi pa v 16f dneva; kako ste si sposobnosti obeh delavcev za delo pri jednaki pridnosti? (Določi najprej, koliki del vsega dela izvrši vsak izmed delavcev v 1 dnevu!) 10. Izmed dveh koles, katerih zobci segajo drugi v druge, ima jedno 35, drugo pa 42 zobcev; v katerem razmerji ste hitrosti, s katerima se vrtite kolesi? (Določi najprej, koliko pot preteče točka na obodu [koliki del kolesovega oboda], med tem ko se vsako kolo pomakne za jeden zobec dalje!) 11. A ima 62 K, B pa 284 K; vsak izgubi najprej 14 K in dobi potem 54 K; v katerem razmerji ste imovini obeh a) pred izgubo, b) po izgubi, c) po dobičku ? Katero izmed teh razmerij je največje ? § 35. Iz česa je sestavljeno sorazmerje? Kako ga stvorimo? Kako se imenujejo števila, ki tvorijo sorazmerje? Katera člena sta notranja, katera zunanja? Kako se zove četrti člen sorazmerja? Katero sorazmerje se imenuje stalno? Kako pravimo notranjemu, kako četrtemu členu stalnega sorazmerja? Katero sorazmerje je številno, katero količinsko? Ali smemo količinsko sorazmerje pretvoriti v 143 čisto številnega, in kako se to napravi ? Katere lastnosti ima vsako pravo sorazmerje ? Kakšna sta količnika obeli razmerij ? Kakšna sta produkta notranjih in zunanjih členov? Kaj smeš storiti s členi določenega sorazmerja, da dobiš zopet sorazmerje? Ali je vsak podatek, ki ima obliko sorazmerja, tudi res sorazmerje? Kako spoznaš pravo sorazmerje? na koliko načinov? Kaj se pravi soraz¬ merje razrešiti? Kako izračunaš notranji, kako zunanji člen določenega sorazmerja? Kako izraziš sorazmerje, v katerem se nahajajo ulomki, s celimi števili? Kedaj in kako okrajšaš sorazmerje? Kako daš sorazmerju jednostavno obliko? XTa,log-e. 1. Določi iz naslednjih podatkov prava sorazmerja: a) 7 : 9 = 6 : 8 9 : | = 8 : 1| b) f :6| = 2:16< 3< : 10 = 7f : 24 2:1 = 261:1« c) 4f : 8 = 0’5 : 0’9 0-3 : 0'7 = | : if 9 : 10-25 = 18-3 :20 3. 2. Razreši naslednja sorazmerja: a) x : 16 = 7 : 63 10-f : x = 2 -g- : 3 2 171 : 12 t 2 t = 14f :x 43 3*2 ■ 19 2^1 = x : 5 7^:5^ = ®: 12^ 131 : 7 = 6 : x 4-35 : x = 318 : 2'31 0-4375 : 0'5 = x : 15 b) 9j : x = 3f : 6 105 j : 951 = ® : 96 ®:3> = 7< : 61 7| : 51 = 181 : x 131 :a- = 8 : | 5|: x = 71 : 4 0-6 : 8 = x : 4-5 3-8:8 = 16-75 : x c) 8 kg : 3 kg = 7 gl x gl 3 del. : 17 del. = 5 dni j : x dni j 9 K 17 h : 18 K 34 h = x dkg : 75 dkg x m : 151 m- — 35 gl : 14 gl 950 K kap. : 2500 K kap. = 38 K obrestij : x K obrestij 7 km poti : 2800 m = 1 ura 25 min. : x časa. 3. Izrazi naslednja sorazmerja s celimi števili: a) 'X : 71 = 151 = H 41:81 = 61:® 5|:® = 7|:4 x: ll = 61:5f 61 : 21 = r : 5 j- 1-2 : 14-8 = 0-15 : b) 13 1 : ® = 1 : 1 3^:5^ = ®: 10 j 7> :81 = ®:31 4 : "5 — 7 -g : x ®: 18f = 21|:7H 8-75 : x — 6'6 : 9'8. 144 4. Okrajšaj naslednja sorazmerja: a) 16 : 12 = x : 15 9 : x = 24 : 84 x : 16 = 13 : 117 46 : 368 = x : 48 1530 : 187 = 54 : x b) 382 : 700 — x : 35 78 : x = 84 : 3 52 : 180 = x : 40 x : 7 = 332 : 84 132 : 1050 = x : 75. 5. Izrazi naslednja sorazmerja z najmanjšimi celimi števili: a) 2f :4| = 9‘- :a! V 0'7 : 2-5 = x : 3'35 9|:8f = 7f:a: x : 2'3 = 5'35 : 0'8 15f:23| = a?:5 12-4 : .r = 4 : 5 24 . r:7 3_ 6 | :9 | 2-24 : 8'678 = 30’27 : x l T V:a.'=--4|:5| 10'27 : 7'7083 = x : 20f. 6. Izračunaj četrto sorazmernico števil: 2 ’ 3 ; «9 j, i; c) l, 2|, 6; d) 4|, 8'5, 0'1; e) 9 m, 4 ni, 27 m-, f) 13'5, 1'08, 1'25. 7. Izračunaj tretjo sorazmernico števil: a) 9, 12; b) 4|, c) 0'04, 6; d) 2|, 2'4. § 36. Kedaj ste dve količini premo, kedaj obratno sorazmerni? Pojasni to s primeri! Kaj se da stvoriti iz premo in obratno sorazmernih količin? Kako napraviš sorazmerje iz premo, kako iz obratno sorazmernih količin? IŠT sulogre. 1. Dve daljici ste si kakor 1|- : 4j; kolika je druga daljica, ako meri prva 187 m ? 2. Hitrosti dveh premikajočih se teles ste si kakor 9:17; ako potrebuje prvo telo za neko pot 5 minut 51 sekund, koliko časa bode potrebovalo drugo telo za isto pot? 3. Svinec in baker sta si po teži kakor 35 : 26; ako tehta svinčena krogla 3 -j kg, koliko tehta istotolika bakrena krogla ? 4. Koliko hi ovsa dobiš za 34 hi pšenice, ako ste si ceni ovsa in pšenice kakor 2:5? 5. Hitrosti pešca in vlaka ste si kakor 3 : 44; koliko pot preteče vlak, ako prehodi pešec a) 35 m, b) 1 km? 6. Neka železnica se vzdiguje v razmerji 1 : 65; a) kako daleč se moraš peljati po tej železnici, da prideš 100 m višje? b) za koliko se vzdigne železnica na 750 m dolgi poti? 145 7. Plači dveh oseb A in B ste si kakor 18 : 23; ako dobi A na leto 1720 gl, koliko dobi B a) v 1 letu, J; v 3| meseca? 8. V nekem trikotniku ste si prva in druga stranica kakor 3 : 4, druga in tretja pa kakor 5:6; ako meri prva stranica 12'5 m, koliko merite ostali dve stranici? 9. A, B in C podedujejo neko vsoto denarja; J-jev in /i-jev delež sta si kakor 5 : 8, A-jev in C-jev delež pa kakor 9 : 10. Ako dobi C 450 K, koliko dobi A, koliko B‘i 10. V trikotniku meri jeden kot 44° 16'; ta kot in f- drugega kota sta si kakor 4 : 5. Kolik je drugi, kolik tretji kot? 11. V jednokronskih novcih (v 1 kroni) ste si teža čistega srebra in vsa teža kakor 835 : 1000; a) koliko čistega srebra jo v 1 kroni, ki tehta 5 //? b) v koliko kronah se nahaja 1 kg čistega srebra? 12. V dvajsetkronskih novcih (v 20 kronah v zlatu) ste si teža čistega zlata in vsa teža kakor 9 : 10; a) koliko zlata je v 1 dvajsetkronskem novci? b) v koliko dvajsetkronskih novcih se nahaja 1 leg čistega zlata? 13. Rumena med je zlita iz bakra in cinka v razmerji 27 : 13; koliko cinka je treba pridejati 8'1 kg bakra ? 14. 3'6 m velja 151 gl; koliko 7'85 m? 15. Lokomotiva preteče v 8 minutah 44 km-, koliko v 1 uri 5 minutah? 16. Po koliko % dd 1463 K kapitala iste obresti kakor 1064 K po 5 4 "7o 17. Kateri kapital da po 54% v določenem času iste obresti kakor 382'5K po 4%? 18. Nekdo skupi za blago 5730 gl in ima 447o izgube; za koliko je kupil blago ? 19. A zamenja 16 zlatov in dobi za nje 90'4 gl; a) koliko gl ima plačati za 100 zlatov? b) koliko zlatov mora dati za 542'6 gl? 20. Trgovec kupi 8 q 25 kg blaga za 396 gl in proda q po 55 gl 20 kr; koliko 7o dobička ima? 21. Neki kapital da v določenem času po 44% 98'1 gl obrestij; koliko obrestij da isti kapital v istem času po 5%? 22. Kateri kapital nese v 4 letih, po istotoliko % naložen, iste obresti ko 4200 K kapitala v 2 4 leta ? 23. Za blago, ki ima 4192 kg nečiste teže in 16f-% tare, plača se 880 gl; po čem pride q čiste teže? 24. Knjigar dobi za 384 K 60 h knjig; koliko mu je plačati, ako mu dd založnik 25% popusta (rabata)? 25. V katerem času da. 567 gl kapitala iste obresti ko 729 gl kapitala po istotoliko % v d letih 8 mesecih? 26. Ob neki cesti stoji 7200 dreves, ki so po 6 | m narazen; koliko dreves bi bilo ob cesti, ako bi bila drevesa po 8 m narazen? 27. A kupi dva soda vina, ki držita skupaj 29 hi 26 1-, prvi sod drži 15'66 hi in velja 3914 gl; koliko velja vino v drugem sodu? Matek, Aritmetika. 10 146 28. Neko blago velja z 2 % kupno opravnino vred 3207 K 90 h; za koliko se je blago kupilo ? 29. Koliko znaša 15% dobiček pri blagu, katero se je prodalo za 1860 gl? 30. Zadnje kolo na vozu se obrne 80krat, med tem ko se sprednje 95krat; kolikokrat se obrne sprednje kolo, ako napravi zadnje 3460 vrtežev? 31. Na neki železnici so si voznine za prvi, drugi in tretji razred kakor 4, 3 in 2; ako se plača za tretji razred 71 gl, koliko velja vozni list za drugi, koliko za prvi razred? 32. Dvakrajcarska žemlja tehta 8 j dbg, ako velja hi pšenice 9'3 gl; koliko bi moral hi pšenice veljati, da bi tehtala taka žemlja 9 dkg ? 33. V katerem času da, neki kapital po 6|% iste obresti kakor po 4% v leta? 34. Po koliko % nese neki kapital v 1 letu 9 mesecih istotoliko obrestij kakor po 5% v 2 letih 3 mesecih? 35. Neko kolo ima 2-| m v obsegu in se obrne na neki poti 5850krat; koliko vrtežev napravi »a isti poti drugo kolo, ki ima 33-m v obsegu? 36. Uradnik dobi na leto poleg svoje plače še 600 gl za stanovanje; kolika je njegova plača s priklado za stanovanje vred, ako znaša priklada 18% njegove letne plače? 37. Trgovec kupi 324 kg kave za 408'24 gl in prodaja leg po 1'45 gl; koliko % i ma dobička? 38. Iz neke cevi priteče v 4-| minute 985- Z vode; koliko l priteče iz iste cevi v 45'2 minute? 39. Koliko obrestij nese kapital v 2| leta, ako da v 4% meseca 24 K 96 h? 40. Po koliko % je treba naložiti 3127 gl kapitala, da dobiš na leto 125 gl 10 kr obrestij ? 41. Kateri kapital da po 5|% na leto 187 K obrestij? 42. Koliko hi rži dobiš za 36 f hi pšenice, ako dobiš za 3 hi pšenice 4 J hi rži? 43. Telo preteče v 81 sekundah 672'3 m;. koliko časa potrebuje za pot, ki je za 215'8 m krajša? 44. Nekdo kupi dvojo kavo; 4 kg prve vrste veljajo 7 gl 36 kr, 6 kg druge vrste pa 10 gl 56 kr; koliko je razmerje med obema cenama? 45. A dobi pri konkurzu namesto 638'49 K le 420 K; koliko % je izgubil? 46. Trgovec kupi za 918 | K drv ter jih proda za 1007f K; koliko % do¬ bička ima pri prodaji? 47. Blago se kupi za 1740 K in pride z opravnino vred na 1770 K 45 h; koliko % znaša opravnina? 48. V katerem času dš. 364 gl kapitala iste obresti kakor 390 gl kapitala v 9| meseca? 49. Kateri kapital je treba po 5% naložiti, da nese v določenem času toliko obrestij, kolikor 3775 gl po 4% ? 50. Koliko obrestij da 2896 gl kapitala po 5^-% v 2 letih 6 mesecih 25 dneh? 147 51. Trdnjava ima (>800 mož posadke in živeža za 6meseca; koliko mož mora oditi, da bodo ostali izhajali z živežem 8 j meseca? 52. Pomorska milja meri 1’8519 km-, a) koliko pomorskih milj je 1 km? b) koliko 9’6 tem ? 53. Koliko pot preteče lokomotiva v 4 urah 24 minutah, ako preteče v 2 urah 15 minutah 69 km 274 m ? 54. Cisti znesek za prodano blago znaša, po odbitku 2^% stroškov 3448 gl; kolika je prodajalna cena? 55. Neko blago se je kupilo za 275 K in prodalo za 308 K; koliko % je bilo dobička? 56. Trgovec dobi blago, ki ima 1625 kg nečiste teže in 1565 kg čiste teže; koliko % je tare? 57. Kapital 4840 gl je naložen po 4% °/o; koliko je vreden ta kapital z obrestmi vred čez 24 leta? 58. Nekdo ima 750 K plačati čez 6 mesecev; koliko mora plačati takoj, če se mu zaračunajo obresti po 4%? 59. Za dolg, ki bi se moral plačati čez 3 leta, plača se takoj 360 K; kolik je dolg, ako se računa odbitek po 5% ? 60. Kateri kapital da v 1 letu 8 mesecih toliko obresti j, kolikor 37154 gl kapitala v 2 letih 4 mesecih? 61. Neki kapital nese po 6% 508’24 K obrestij; koliko obrestij nese isti kapital v istem času po 4f%? 62. A plača za blago, katero je poslal po železnici, 2 K 40 h zavarovalnine; za koliko je bilo blago zavarovano, ako se računa zavarovalnina po a’% 0 ? 63. Konjar ima za 28 konj krme za 5 f meseca; čez 1 f meseca pa od¬ proda 12 konj; koliko časa bo imel dovolj krme za ostale konje? 64. A ima po odbitku 2-|% dohodnine na leto 1677 gl dohodka; koliko znaša dohodnina? 65. Neko blago velja z 8 % stroški vred 70 gl 20 kr; koliko znašajo stroški ? 66. A plača konec leta za izposojeni kapital in za 44% obresti skupaj 785 gl 84 kr; koliko znašajo obresti? 67. 'Trgovec plača za blago, ki ima 975 kg nečiste teže in 4% tare, 1198 gl 8 kr; po čem mora 1 kg prodajati, da bo imel 124% dobička? 68. Iz 160 kg apnenca se dobi 814 živega apna; koliko % izgubi apnenec pri žganji? 69. Za 1350 gl v zlatu je treba plačati 1566 gl v srebru; koliko % na- davka ima zlato ? 70. Izmed dveh cevij napolni jedna vodnjak v 2 urah 48 minutah, druga pa v 1 uri 51 minutah; koliko hi vode dh prva cev v 1 uri, ako je priteče po drugi cevi vsako uro 8’35 hi? 71. Gospod obljubi svojemu slugi na leto obleko in 144 gl; čez 3 mesece ga odpusti, in sluga dobi obleko in 18 gl; za koliko se mu je zaračunala obleka? 148 (Koliko denarja in koliki del obleke zasluži sluga na mesec? koliko v 3 mesecih? Nezasluženi del obleke je toliko vreden, za kolikor dobi sluga premalo denarja.) 72. Zitar kupi za 1215 gl ječmena ter ga prodaja s 6?-% dobičkom hi po 4 J gl; koliko hi je kupil? 73. A ima 12400 gl premoženja; 65% tega premoženja se obrestuje po 4% in ostanek po 5%- Po koliko % hi se moralo vse premoženje naložiti, da bi dalo iste letne obresti ? 74. Neka vsota denarja se razdeli med A in B tako, da dobi A tolikokrat po 45 kr ko B po 75 kr; če dobi A po vsem 81 gl, koliko dobi BI 75. Krčmar kupi 27 hi vina po 28f- gl in 32 hi po 25 f- gl; prvo vino pro¬ daja l po 36 kr, drugo po 32 kr; koliko znaša dobiček v % ? 76. kg nekega blaga se prodaja z 10% stroški in z 12% dobičkom vred po 45’5 kr; po čem se je kupil? 77. Ako se proda blago za 150 gl, je 10% izgube; za koliko je treba pro¬ dati blago, da bo 5% dobička? Dodatek Mere, uteži in novci. 1. Časovne mere. Jednota časovne mere je dan, t. j. čas, v katerem se zavrti zemlja jedenkrat okoli svoje osi. 1 dan ima 24 ur, 1 ura » 60 (časovnih) minut, 1 minuta » 60 » sekund. 7 dnij = 1 teden; 30 dnij = 1 mesec; 12 mesecev = 1 leto. V računih (posebno v obrestnih) šteje leto 360 dnij; po koledarji pa šteje navadno leto 365 dnij, prestopno leto 366 dnij. Posamezni meseci imajo po koledarji: Ako se v računih mesec imenuje izrecno, jemlje se po toliko dnij v poštev, kolikor jih šteje po koledarji. Istotako velja tudi o letu. 2. Skupinske mere. 12 komadov (ali kosov) se imenuje dvanajsterica (ali tucat); 15 komadov — 1 stava; 60 komadov = 1 kopa; 12 dvanajsteric — 1 gro. Papir štejemo tako-le: 10 pol = 1 lega ali 1 snopič, 10 leg = 1 knjiga, 10 knjig — 1 rizma, 10 rižem = 1 bala. 150 3. Ločne in kotne mere. Loke merimo z ločnimi stopinjami (“), ločnimi minutami (') in ločnimi sekundami ("). Ločna stopinja je 360ti del krogovega oboda, ločna minuta je 60ti del ločne stopinje, ločna sekunda pa 60 ti del ločne minute. Kote merimo s kotnimi stopinjami (°), kotnimi minutami (') in kotnimi sekundami ("). Kotna stopinja je 360ti del polnega kota, kotna minuta je 60 ti del kotne stopinje, kotna sekunda pa 60ti del kotne minute. 4. Dolgostne mere. Jednota dolgostne mere je meter (m), t. j. dolgost neke palice, ki se hrani na pariški zvezdarni. 1 meter =10 decimetrov (dm), 1 decimeter = 10 centimetrov (cm), 1 centimeter = 10 milimetrov (mm), 1000 m — 1 kilometer (km), 10 km = 1 miriameter (/im). 5. Ploskovne mere. Ploskve merimo s kvadratnimi metri (m 2 ), kvadratnimi deci¬ metri (dm 2 ), kvadratnimi centimetri (cm 2 ) in kvadratnimi milimetri (mm 2 ), to so ploskve, ki so po 1 m, oziroma 1 dm, 1 cm, 1 mm dolge in istotako široke. Večje ploskve, kakor njive, polja, dežele i. t. d., merimo z ari (a), kektari (ha), kvadratnimi kilometri (km 2 ) in kva¬ dratnimi miriametri (um 2 ), to so ploskve, ki so po 10 m, oziroma 100 m, 1 km, 1 /im dolge in istotako široke. 1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1,000.000 mm 2 , 1 dm 2 = 100 cm 2 == 10.000 mm 2 , 1 cm 2 = 100 mm 2 , 1 a — 100 m 2 , 1 ha = 100 a = 10.000 m 2 , 1 km 2 = 100 ha = 10.000 a — 1,000.000 m 2 , ] pm 2 = 100 km 2 = 10.000 ha = 1,000.000 a. 151 6. Telesne mere. Prostornino teles določamo s kubičnimi metri (m 8 ), kubičnimi decimetri (dm 3 ), kubičnimi centimetri (cm 3 ) in kubičnimi milimetri (mm 3 ), to so telesa, ki so po 1 m, oziroma 1 dm, 1 cm, 1 mm dolga, istotako široka in visoka. 1 m 3 = 1000 dm 3 — 1,000.000 cm 3 = 1000,000.000 mm 3 , 1 dm 3 — 1000 cm 3 = 1,000.000 mm s , 1 cm 8 — 1000 mm 3 . 7. Votle mere. Tekočine, zrnje in podobne stvari merimo z litri (Z) in hekto¬ litri (A/); 1 liter = 1 dm 3 ; 100 l = 1 hi = 100 dm s = 01 m 3 . 8. Uteži. Težo teles določamo po kilogramih (Ap), t. j. teža kubičnega decimetra čiste (destilovane) vode, ki ima po stodelnem toplomeru 4 stopinje toplote. Stoti del kilograma se imenuje dekagram (dbg'), deseti del dekagrama je gram (y). 100 leg = 1 meterski stot ali cent ( »' »