i
i
“1268-Vencelj-Tridimenzionalne” — 2010/7/22 — 14:15 — page 1
#1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 5
Strani 257–263
Marija Vencelj:
TRIDIMENZIONALNE TEŽAVE GOSPODA PLOŠČAKA
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, geometrija, dimenzije pro-
storov, Flatland, Edwin A. Abbot.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1268-Vencelj.pdf
c© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I Za~nimivosti - Razvedrilo
TRIDIMENZIONALNE TEŽAVE
GOSPODA PLOŠČAKA
Živimo v tridimenzionalnem prostoru. To pomeni, da ima gibanje in
opazovanje v našem prostoru tri prostostne stopnj e. Poenostavljeno bi
rekli, če govorimo le o gibanju, da lahko pridemo iz vsake točke našega
prostora do poljubne druge njegove točke s kombinacijo treh gibanj v treh
sm ereh, ki jih lahko vzamemo tudi kot medsebojno pravokotne. (No , če
smo pošteni , je gibanje gor-dol za nas včasih rahlo problematično; svet je
nekoliko bolj tridimenzionalen za ptice in ribe kot za nas.)
V prejšnji številki Preseka smo objavili prispevek o tem , kako si lahko
predstavljamo štiridimenzionalno kocko . Kaj pa predstava o četrti dimen-
ziji nasploh, to je o smeri, pravokotni na vse smeri, ki jih zaznavamo v
našem tridimenzionalnem svetu? Je sploh možna njena mentaIna slika?
Ed en najboljših načinov za predstavljanje četrte dimenzije je analo-
gija. Pri poskusu, kako naj bi izgledali štiridimenzionalni predmeti, si
pomagamo s predstavo o podobnih naporih, ki bi jih imela dvodimenzio-
nalna bitja, če bi si hotela predstavljati tridimenzionalne predmete. Dvo-
dimenzionalnemu bitju, čigar napore bomo opazovali , bomo rekli Ploščak.
Živi v Ploski dežel i.
Ploska dežela je ravnina, čudna dvodimenzionalna dežela, naseljena
z geometrijskimi liki, ki mislijo, govorijo in imajo človeške občutke. Vse
njihovo gibanje in opazovanje j e omejeno na ravnino.
Ploščak se je prvič pojavil z imenom A. Square v knjigi Flatland,
angleškega šolnika in teologa Edwina A. Abbotta okrog leta 1884. Ne
vemo, ali je Abbott res začetnik ideje o tovrstnem razvoju predstave o
četrti dimenziji. Morda je dobil navdih vPlatonovi alegoriji o votlini, v
kateri poznajo jetniki tridimenzionalni svet le po senčnih slikah. :
Zanimivosti - Razvedrilo I
Abbottov Flatland, s podnaslovom Romanca o več dimenzijah, je
tudi imenitna satira na viktorijansko Britanijo. Položaj prebivalca Ploske
dežele je določen z njegovo obliko, začenši z najvišjo - svečenikom kot
krogom, nato pa preko večkotnikov (več oglišč imaš, več veljašl) tja dol
do daljic, ki predstavljajo ženske. Knjiga - takih danes ne pišejo več - ki
jo je vredno prebrati!
Pa se vrnimo k našemu Ploščaku. Zamislimo si, da je Ploska dežela
velik list papirja. Po njem se Ploščak lahko giblje naprej-nazaj in levo-
desno ter opravi poljubno kombinacijo teh dveh gibanj .
Pri sodeželanu lahko loči število oglišč (ne pozabimo, da vidi le v
dveh dimenzijah, torej le projekcijo na premico, ki je pravokotna na smer
gledanja), ker vsepovsod prisotna meglica povzroča, da so bližnje točke
svetlejše, kar pomaga pri razpo-
znavanju oblik. Ne more pa z lis-
ta papirja, še več, popolnoma je
tudi prikrajšan za vedenje o kate-
rikoli drugi dimenziji , razen o tis-
tih dveh , ki ju pozna.
Ko se je neke noči Obla (po-
vršje tridimenzionalne krogle) od-
ločila, da ga pouči o tretji dimen-
ziji, je imela zelo trdo delo .
Prva stvar, ki jo je Obla po-
skusila, je bilo preprosto gibanje
naravnost skozi Ploščakovo delov-
no sobo. Ko je Obla prvič prišla
v stik s tistim dvodimenzionalnim
območjem svojega tridimenzio-
nalnega prostora, ki je bil Ploska
dežela, je Ploščak zagledal točko.
Ko je Obla nadaljevala svojo pot,
je točka prerasla v majhno krož-
nico, ki se je najprej večala, nato
pa manjšala, se stisnila v točko in
na koncu izginila.
Zanimivosti - Razvedrilo
Ploščakova reakcija na ta čudni pojav je bila: "To že ne bo krožnica,
ampak najbrž zelo spreten žongler ." In kaj bi rekli mi , če bi naenkrat
zaslišali skrivnostni glas iz nedoločljive smeri , ki bi oznanil : "Sem hipers-
fera . Rada bi vas poučila o četrti dimenziji in v ta namen bom sedaj
prešla vaš prostor." In nato bi se pojavila pika, ki bi počasi naraščala do
velike oble, se nato spet počasi skrčila v točko in poniknila. Ploščakovo
in naše doživetj e prikazuje naslednja slika .
• 000 •
• @ @ €ID •,
Z našega vidika je razlika med obema izkušnjama ta, da zlahka vi-
dimo, kako se nakladajo krožnice v tr etjo dimenzijo , da dobimo oblo , ni
pa jasno, kako naložitI oble v četrto dimenzijo , da bi dobili hip ersfero .
. Pojdimo spet v Plosko deželo k gospodu Ploščaku. S tem, da se
je Obla Ploščaku prikazala, ga ni prepričala. Tako se je odločila za nove
trike. Najprej je izmaknilaiz Ploščakove zidne omare neki predmet, ne da
bi omaro odprla ali podrla kakšno steno. Kako je bilo to mogoče? Omara
je v Ploski deželi le zaprta dvodimenzionalna figura kot npr. pravokotnik.
Vendar lahko v tridimenzionalnem prostoru sežemo vanjo , ne da bi vdrli
njene dvodimenzionalne stene .
Zanimivosti - Razvedrilo I
Analogija s tem trikom je , da bi lahko štiridimenzionalno bitje, na
primer, izmaknilo rumenjak iz jajca, ne da bi strlo lupino. Lahko bi po-
bralo denar iz sefa, ne da bi odprlo sef ali zato moralo iti skozi katero od
njegovih sten. Ali bi se, denimo , pojavilo ta hip tu med nami, ne da bi
prišlo skozi vrata, okna, stene, strop ali tla. Ideja analogije ni v tem , da
bi se štiridimenzionalno bitje dematerializiralo ali nehalo eksistirati, da
bi lahko šlo skozi zaprta vrata. Našemu prstu ni potrebno, da preneha
eksistirati, če naj ga postavimo v notranjost kvadrata, narisanega na pa-
pirju. Gre za to, da je četrta dimenzija pravokotna na vse naše normalne
tridimenzionalne smeri in da zaprte množice v tridimenzionalnem svetu
nimajo mej v tej smeri . Sleherna stvar na Zemlji leži odprta pred očmi
štiridimenzionalnega opazovalca, celo naše srce .
Edini način, da je Obla lahko prepričala Ploščaka o realnosti tretje
dimenzije , je bil, da gaje dejansko dvignila iz Ploske dežele in mu prikazala
gibanje v treh dimenzijah . Imamo mi kakšno možnost, da kaj podobnega
doživimo? Kot podobno doživetje bi si lahko predstavljali, da so nekje
štiridimenzionalna bitja, ki bi nas z nekim zaporedjem dejanj dvignila iz
naših stlačenih treh dimenzij in nam pokazala "resnični prostor". Tisti
pravi!
Veliko ljudi je v nekaj takega verjelo v času spiritističnega giba-
nja okrog leta 1900 . Osrednja misel tega gibanja je bila, da so duhovi
štiridimenzionalna bitja, ki se lahko pojavijo ali izginejo na vsakem kraju ,
bitja, ki vse vidijo . . . Zelo ugleden astronom , profesor Zollner, je celo na-
pisal knjigo z naslovom Transcendentna fizika, v kateri je opisal številne
seanse, ki jim je prisostoval s pričakovanjem, da bo dokazal, da so "du-
hovi" res štiridimenzionalna bitja. Videti je, da je bil Zollner brezupen
lahkovernež in njegova knjigaje povsem neprepričljiva. (Nekaj protislovij,
ki jih najdemo v njegovi knjigi, je veni svojih knjig uporabil za zglede tudi
pri nas znani Martin Gardner in jih seveda ovrgel) . V splošnem je videti,
da so avtorji idejo o četrti dimenziji ponižali na nivo okultnih ved, name-
sto , da bi jih ta ideja vodila k razjasnitvi matematičnihvprašanj. Dejstvo,
da je nekaj težko, še ne pomeni , da je zmedeno. Najboljša knjiga o četrti
dimenziji, napisana z mističnega vidika, je Tertium Organum astronoma
Ouspenskega, ki je napisal tudi zelo dobro poglavje o četrti dimenziji v
svoji knjigi Novi model vesolja.
Kakorkoli, Abbottova Ploska dežela se konča kmalu po Ploščakovem
izletu v tretjo dimenzijo . Ko jih je hotel prepričati o obstoju tretje di-
menzije , so ga Ploskodeželani zaprli (in vrgli ključ stran).
Zanimivosti - Razvedrilo
Najdemo pa posrečeno nadaljevanje Ploščakove zgodbe v knjiži ci
ame riškega matematika Rudolfa Ruckerja Geometrija, relativnost in četr­
ta dimenzija, ki je izšla let a 1977 pri založbi Dover. Avtor takole naveže
svojo zgodbo:
Imel sem veliko srečo , da mi je prišla v roke resnična kronika ostanka
Ploščakovega življenja .
Ploščak je bil že kakih deset let zaprt , ko se je poj avila v njegovi
borni celici Obl a spet kot krožni ca spreminjajoče se velikosti . "Kaj se ti
je pripetil o, dete?"
"O, presvetla Obla, ko bi te le ne bil nikoli videl; ko bi bil vsaj zaradi
prem alo oglišč nesposoben doj eti tvoj dokaz!"
"Pa saj še nisi kaj dosti videl. Bi rad, da te dvignem iz te celice in
post avim nazaj v ženino sobo? Veš, bojim se ti povedati, da živi sedaj v
tvoj i hiši velik oster enakokraki trikotnik."
"Obla , Obl a , ko bi mi vsaj verjeli! Nobenega smisla nima, spraviti
me ven . Takoj bi me spet zaprli, morda celo giljotinirali. Toda tu si in jaz
imam načrt. Obrni me, obrni me in moje lastno telo bo dokaz, da tretja
dimenzija obst aja!"
Nato je Ploščak razložil svojo idejo . V j eči je nekaj več premišlj eval
o Premi deželi . Premo deželo je videl v sanjah pred davnimi leti. To je
bila premica, po kateri so sem in tja drsele daljice - Premščaki , prebivalci
te dežele, s čuti l i na obeh kraji š čih,
Ploščak je premišljal o Premi deželi podobno kot mi o Ploski deželi.
Svoj e težave s tretjo dimenzijo je premagal, ko si je predstavljal težave
Premščakov z drugo dimenzijo.
Prišel mu je na um način trajne sprememb e, ki jo je bil sposoben
napraviti v Premi deželi. (Seveda bi lahko izmaknil kako daljico , toda
to bi lahko proglasili za nenavadno izginotje.) Dopustil je, da ima vsaka
daljica na levem koncu bas , na desnem tenor. Če bi eno od daljic obrnil,
bi vsakdo v Premi deželi lahko opazil to spremembo.
T B
Če bi torej Ploščak lahko obrnil daljico okrog točke, mar ne bi mogla
Obla obrniti Ploščaka okoli daljice? Oblabi lahko obrnila Ploščaka v
njegovo zrcalno sliko! In vsakdo v Ploski deželi bi to spr emembo lahko
dojel, saj ima vsak , ki ima oko na severu , usta na vzhodu .
Zanimivosti - Razvedrilo I
J
Ploščak
Rečeno, storjeno . Ploščak (ali bo lje )/.s5aoIQ) je poklica l stražo: "Glej-
t e, vi tepci om ejeni , zavrteli so me skozi tretjo dimenzijo. Postal sem svoja
lastna zrcalna slika. Ho, ho , ho , ho! Pokažite me svečeniku! Sedaj bo , ne,
sedaj bo m oral verj eti!"
No , na Ploskodeželane je naredil velik vtis . Tako velik, da so ga
obsodili na smrt.
Preden nadaljujemo s to srh vzbuj aj o če zgodbo, premislimo analogno
svojo situacijo.
Videti je, da bi nas lahko štiridimenzionalno bitje obrnilo v našo
lastno zrcalno sliko z rotacijo skozi četrto dimenzijo okrog ravnine, ki bi
sekala naše telo , recimo da bi šla skozi nos , popek in hrbtenico. In kaj
bi čutili, če bi nas takole obrnili? Ne vem . Dokaj neokusna misel je, da
bi bilo vse, kar bi ostalo v tridimenzionalnem prostoru , če bi bil zasuk
površno izveden , ravnina, okrog katere bi nas zasukali . Bili bi torej plosk
človekov presek . Podobno, kot bi od Ploščaka ost ala le presečna daljica,
če bi Ob la odnehala na pol poti .
Pa še enkrat obiščimo ubogega Ploščaka. Ploskod eželani so ga po-
im enovali "predmet gnusa za lj udstvo" in ga sklenili takoj giljotinirati .
(Naša t rid imenzionalna giljotina deluje tako, da pride ravninski segment
med dva dela žrtvinega telesa. Giljotina v Ploski deželi pa je dalj ica , ki
pride med dva dela obsojenčevega poligonskega te lesa.)
Zanimivosti - Razvedrilo
Ploščak se je potil od groze. Bil je tako prestrašen, da ni niti malo
zmogel uživati v svoj i zrcalni sliki - pišoč nazaj in podobne stvari. Klical
je Obl o na pomoč , a nič se ni zgodilo .
Nekega sivega mračnega jutra so ga odpeljali na Polje groze, kjer je
bila pripravljena giljotina. Videl je veliko starih prijateljev , a nobeden ga
ni gledal v oči . Obsodbo so prebrali in dva ostra enakokraka trikotnika
sta začela potiskati strašni inštrument proti njemu. In ted aj
~
r.
Tedaj se je pojavila Obla . Poh itela je do točke med Ploščakom in
rezilom giljotine in začela vleči navzgor. Začela je raztegovati Plosko
deželo v smeri tretje dimenzije in jo je raztegovala, dokler ni bil prostor
med obsojencem in rezilom t ako velik, da rezilo Ploščaka ni moglo doseči .
•
Ploskodeželani so bili zelo prevzeti. Ko je nato vzela Obla še srce
iz svečenika, pa tudi močno prestrašeni. Zahtevali so pomilostitev za
Ploščaka.
Nekoč obsojeni večkotnik je postal vodilni raziskovalec na Univerzi v
Ploski deželi. Poglavitni cilj njegovih razisk av je bila ukrivljenost Ploske
dežele in razlaga tretj e dimenzije.
Analogij a Ploščakove rešitve v našem prostoru pa je že težja mate-
matična zgodb a. Reče se ji neevklidska geometrija.
Marija Vencelj