OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
SEPTEMBER 2022STR 89-128ŠT. 3LETNIK 69LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2022
Letnik 69
3
i
i
“kolofon” — 2022/9/14 — 10:25 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, SEPTEMBER 2022, letnik 69, številka 3, strani 89–128
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
Posamezna številka za člane stane 6,00 EUR, stare številke 3,00 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2022 DMFA Slovenije – 2155 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 89 — #1 i
i
i
i
i
i
VARIACIJE NA MOIVREOVO TEMO
ANTON CEDILNIK
Biotehnǐska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 12D05, 13-01
Že iz srednje šole poznano Moivreovo formulo za potenciranje kompleksnih števil
posplošimo na vse variante dvorazsežne enotske algebre nad poljubnim poljem.
VARIATIONS ON A THEME OF DE MOIVRE
We generalize Moivre’s formula for exponentiating complex numbers, well known from
high school, to all variants of two-dimensional unital algebras over any field.
Uvod
Algebra – matematična struktura in ne poglavje matematike − je vektorski
prostor z dodatno operacijo, imenovano množenje, ki je distributivna in
homogena. Bolj podrobno: če je A vektorski prostor nad komutativnim
obsegom (poljem) F in ima preslikava (a, b) ∈ A2 ↦ a b ∈ A lastnosti
∀(a, b, c) ∈ A3 ∶ (a + b) c = a c + b c, a (b + c) = a b + a c,
∀(λ, a, b) ∈ F ×A2 ∶ (λa) b = a (λb) = λ(a b),
potem urejeni par (A, ) imenujemo F-algebra.
Če ni nevarnosti nesporazuma, po stari navadi namesto a b pǐsemo kar
ab. Pa tudi λab namesto λ(a b).
Najprej nekaj nujnih definicij. Razsežnost (dimenzija) algebre (A, ) je
kar dimenzija vektorskega prostora A.
Algebra (A, ) je asociativna, če je
∀(a, b, c) ∈ A3 ∶ (ab)c = a(bc),
in komutativna, če je
∀(a, b) ∈ A2 ∶ ab = ba.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3 89
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 90 — #2 i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
Algebra (A, ) je enotska (unitalna), če v njej obstaja element e ≠ 0
(enota) z lastnostjo
∀a ∈ A ∶ ea = ae = a.
Algebri (A, ) in (B, ○) sta izomorfni, če obstaja taka obrnljiva linearna pre-
slikava U ∶ A→ B (izomorfizem), da je
∀(a, b) ∈ A2 ∶ U(a b) = U(a) ○U(b).
Izomorfnih algeber navadno sploh ne razlikujemo, saj se pri njih vse z alge-
brsko strukturo povezane reči ujemajo.
Zelo preprosto je dokazati, da je enotski algebri izomorfna algebra tudi
enotska in da vsak izomorfizem ohranja enoto.
Izomorfni algebri imata seveda isto dimenzijo. Klasificirati algebre iz
razreda algeber z določeno dimenzijo pomeni razdeliti ta razred na pod-
razrede tako, da sta poljubni algebri iz istega podrazreda izomorfni, po-
ljubni algebri iz različnih podrazredov pa sta neizomorfni. Navadno želimo
iz vsakega podrazreda odlikovati po en primerek, ki ga potem okličemo za
kanonskega in je klasifikacija dana kar s spiskom teh kanonskih algeber.
Moivreova formula
Primer, ki je tu še posebej zanimiv, je realna algebra kompleksnih števil
(C, ), torej množica vseh kompleksnih števil kot realen dvorazsežni vek-
torski prostor skupaj z običajnim množenjem kompleksnih števil. Zaradi
razčǐsčevanja pojmov se splača omeniti: skalarji so tu realna števila, vek-
torji so kompleksna števila. V zapisu λab = λ a b je leva pika množenje
realnega in kompleksnega števila, desna pika pa množenje kompleksnih šte-
vil; piki torej predstavljata različni operaciji, leva je množenje vektorja s
skalarjem, desna pa je množenje vektorjev.
Znano Moivreovo formulo je leta 1707 odkril francoski matematik Abra-
ham de Moivre (abraám d@muávr, 1667–1754). V sodobni obliki se takole
glasi:
∀(n,ϕ) ∈ Z ×R ∶ (cosϕ + i sinϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ).
90 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 91 — #3 i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
Dokaz gre s popolno indukcijo. Ponovimo ga, ker bo model za dokazovanje
v prihodnje.
n = 0 ∶ Formula trivialno velja.
n = k ∶ Predpostavljamo: (cosϕ + i sinϕ)k = cos(kϕ) + i sin(kϕ)
n = k + 1 ∶ (cosϕ + i sinϕ)k+1 = (cosϕ + i sinϕ)k(cosϕ + i sinϕ)
= [cos(kϕ) + i sin(kϕ)](cosϕ + i sinϕ)
= [cos(kϕ) cosϕ − sin(kϕ) sinϕ] + i[cos(kϕ) sinϕ + sin(kϕ) cosϕ]
= cos((k + 1)ϕ) + i sin((k + 1)ϕ)& (Konec popolne indukcije.)
n < 0 ∶ Če označimo n = −m in je m > 0, je
(cosϕ + i sinϕ)n = (cosϕ + i sinϕ)−m
= ( 1
cosϕ + i sinϕ)
m
= ( cosϕ − i sinϕ(cosϕ + i sinϕ)(cosϕ − i sinϕ))
m
= (cosϕ − i sinϕ)m = [cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)]m
= cos(−mϕ) + i sin(−mϕ) = cos(nϕ) + i sin(nϕ)
Najpomembneǰsa uporaba Moivreove formule je seveda potenciranje kom-
pleksnih števil. Napǐsimo ustrezno formulo kar brez (splošno znanega) do-
kaza za kompleksno število x + iy ≠ 0 ∶
∀n ∈ Z ∶ (x + iy)n = rn[cos(nϕ) + i sin(nϕ)],
kjer je r = +
√
x2 + y2 in cosϕ = xr , sinϕ =
y
r . Ta formula se lahko ob primerni
interpretaciji uporabi tudi za ne-cele n, a ta zgodba nas tu ne bo zanimala.
Klasifikacija dvorazsežnih enotskih algeber
Kdaj so se matematiki začeli zanimati za dvorazsežne posplošitve realne
algebre kompleksnih števil, mi ni uspelo ugotoviti. Najstareǰsa najdena
letnica v tej zvezi je bila 1848 v [4]. Sprva so premǐsljevali le o spremenjeni
naravi imaginarne enote i, potem pa se je z razvojem teorije vektorskih
prostorov nad poljubnim poljem naravno odprlo vprašanje, kaj če realna
števila nadomestimo s kakim drugim poljem.
Zastavimo si nalogo klasificirati vse dvorazsežne enotske algebre nad
poljubnim poljem F! Bazo algebre naj vedno sestavljata enota e in še en
element u. Potem ima vsaka multiplikacijska tabela take algebre zelo pre-
prosto obliko (glej tabelo 1). Skalarja λ in µ sta strukturni konstanti in sta
v načelu še povsem poljubna, bo pa klasifikacija odvisna ravno od njiju.
89–98 91
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 92 — #4 i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
e u
e e u
u u λe + µu
Tabela 1. Dvorazsežna enotska algebra.
Preprosto je dokazati, da so vse te algebre komutativne in asociativne.
Le kot zanimivost omenimo še, da za vsak element c = αe+βu, (α,β) ∈ F2,
velja kvadratična enačba c2 − T (c)c +N(c)e = 0, kjer sta funkcionala T in
N podana takole: T (c) = 2α + βµ,N(c) = α2 + αβµ − β2λ. Dokaz je zelo
preprost: v izpeljavi
0 = c2 − T (c)c +N(c)e
= [α2e + 2αβu + β2(λe + µu)] − T (c)[αe + βu] +N(c)e
= [α2 + β2λ − T (c)α +N(c)]e + [2αβ + β2µ − T (c)β]u
morata v zadnjem delu oba koeficienta biti enaka nič zaradi linearne ne-
odvisnosti elementov e in u. T je linearen (aditiven in homogen), N pa je
multiplikativen in 2-homogen, tj. za a, b, c iz algebre in skalar δ velja:
T (a + b) = T (a) + T (b),
T (δc) = δT (c),
N(ab) = N(a)N(b),
N(δc) = δ2N(c).
Tudi nekakšno konjugiranje lahko uvedemo: αe + βu ∶= (α + βµ)e − βu.
Bralec bo zlahka dokazal naslednje relacije, kjer sta c in d elementa algebre,
δ pa skalar:
c ± d = c ± d, δc = δc, cd = cd.
c = c, c + c = T (c)e, cc = N(c)e.
Imejmo še eno tako algebro, enota naj bo f , drugi element baze v pa naj ima
kvadrat v2 = σf + τv, (σ,τ) ∈ F2. Če sta algebri izomorfni, obstaja izomor-
fizem U z vrednostma U(e) = f,U(u) = xf + yv, (x, y) ∈ F2. Ker obrnljivi
operator linearno neodvisna elementa preslika spet v linearno neodvisni sliki,
mora biti y ≠ 0. Naredimo tale račun:
(λ + µx)f + µyv = U(λe + µu) = U(u2)
= U(u)2 = (xf + yv)2 = (x2 + σy2)f + (2xy + τy2)v.
92 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 93 — #5 i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
Takoj sledita enačbi
λ + µx = x2 + σy2, µy = 2xy + τy2.
Poenostavimo:
λ = −x2 − τxy + σy2, µ = 2x + τy. (1)
Povzemimo: algebri s paroma strukturnih konstant (λ,µ) in (σ,τ) sta izo-
morfni natanko tedaj, ko obstaja tak par (x, y ≠ 0) ∈ F2, da sta enačbi (1)
izpolnjeni.
Preden nadaljujemo, se spomnimo, kaj je karakteristika polja − označili
jo bomo s simbolom char F. Recimo, da velja sklep1
n ∈ N ∧ ∀δ ∈ F ∶ nδ = 0 ⇒ n = 0.
Potem je char F = 0. Nasprotno od tega pa obstaja tako najmanǰse naravno
število n > 0 , da je za vsak δ iz F velja nδ = 0, in tedaj je char F = n. Izkaže
se še, da je neničelna karakteristika nujno praštevilo. Več o tem najdemo v
[2, str. 107].
Sistem (1) obravnavajmo najprej v primeru char F ≠ 2. Tedaj je x =
1
2µ −
1
2τy in
4λ + µ2 = (4σ + τ2)y2. (2)
Iz enačbe (2) razberemo, da je algebra s poljubnim parom strukturnih kon-
stant (σ,τ) izomorfna algebri s parom (4σ + τ2,0) (izbrali smo y = 2), torej
da smemo predpostavljati µ = τ = 0. Enačba (2) se močno poenostavi:
λ = σy2, problem pa razpade na tri možnosti:
• σ = 0 in zato tudi λ = 0;
• σ ni kvadrat in tak je potem tudi λ;
• σ je neničelni kvadrat in potem je lahko λ = 1 pri izbiri y = σ−1/2.
Povzemimo te ugotovitve z nekoliko spremenjenimi oznakami!
Izrek 1 (Klasifikacija dvorazsežnih enotskih algeber s karakteristiko ≠ 2).
Če je algebra podana s tabelo 1, je ena od naslednjih tipov:
A. char F ≠ 2, µ = λ = 0.
1Ali je 0 naravno število ali ne, je bolj kot ne stvar okusa, saj enotnega mnenja med
matematiki po svetu ni. V tem članku velja, da so naravna števila pač moči končnih
množic. Torej N = Z+ ∪ {0} in zato 0 ∈ N.
89–98 93
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 94 — #6 i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
B. char F ≠ 2, µ = 0, λ ni kvadrat; dve taki algebri s parametroma λ1 in λ2
sta izomorfni natanko tedaj, ko je λ1λ2 kvadrat.
C. char F ≠ 2, µ = 0, λ = 1.
Opozoriti je treba, da ta klasifikacija dejansko ni popolna, saj je neizomorf-
nih algeber tipa B lahko še mnogo − v primeru F = Q (polje racionalnih
števil) jih je celo neskončno. A kaj več se ne da povedati, če o obravnava-
nem polju nič ne vemo.
Zdaj pa se omejimo na primer char F = 2. Spomnimo na tri nenavadne
posledice take karakteristike: za vsak par (α,β) ∈ F2 je 2α = 0,−α = α, (α +
β)2 = α2 + β2.
Sistem (1) se takole poenostavi:
λ = x2 + τxy + σy2, µ = τy. (3)
Če je τ = 0, je tudi µ = 0. Če pa je τ ≠ 0, lahko z izbiro y = τ−1 dobimo µ = 1.
Problem klasifikacije zato razpade na dva dela: µ = τ = 0 in µ = τ = y =
1. Nadaljevanje gre v istem slogu in brez odvečnih besed napǐsimo končni
rezultat.
Izrek 2 (Klasifikacija dvorazsežnih enotskih algeber s karakteristiko 2).
Če je algebra podana s tabelo 1, je ena od naslednjih tipov:
D. char F = 2, µ = λ = 0.
E. char F = 2, µ = 0, λ ni kvadrat; dve taki algebri s parametroma λ1 in
λ2 sta izomorfni natanko tedaj, ko je rešljiva enačba λ2 = x2 + λ1y2 z
neznankama x, y.
F. char F = 2, µ = 1, λ = 0.
G. char F = 2, µ = 1, ∀x ∈ F ∶ x2 +x+λ ≠ 0; dve taki algebri s parametroma
λ1 in λ2 sta izomorfni natanko tedaj, ko je rešljiva enačba λ2 = x2+x+λ1
z neznanko x.
Tudi klasifikacija v izreku 2 ni popolna pri algebrah tipov E in G. Po-
polno klasifikacijo lahko dobimo le, če o polju vemo vsaj to, kako je z reši-
tvami kvadratičnih enačb.
Klasifikacija realnih algeber zelo preprosto sledi iz izreka 1. Le tri algebre
obstajajo:
A. F = R, µ = λ = 0.
94 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 95 — #7 i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
B. F = R, µ = 0, λ = −1.
C. F = R, µ = 0, λ = 1.
Elementom algebre A pravimo dualna števila in tistim iz algebre C razcepno-
kompleksna števila. Algebra B je pa seveda kar algebra kompleksnih števil.2
Klasifikacija kompleksnih algeber je še bolj preprosta; samo dve sta:
A. F = C, µ = λ = 0.
C. F = C, µ = 0, λ = 1
Še zadnji primer, tokrat z najmanǰsim poljem Z2, ki ima le elementa 0 in 1,
seštevanje in množenje pa izvajamo po modulu 2:
0 + 0 = 1 + 1 = 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 = 1 1 = 1.
Potem z uporabo izreka 2 dobimo tole klasifikacijo s tremi kanonskimi alge-
brami:
D. F = Z2, µ = λ = 0.
F. F = Z2, µ = 1, λ = 0.
G. F = Z2, µ = λ = 1.
Tile posebni primeri primaknejo predzadnji kamenček h klasifikaciji, namreč
eksistenco tipov algeber iz izrekov 1 in 2. Le še eksistenco tipa E bi bilo
treba dokazati, a se bomo temu izognili; izkaže se namreč [2, str. 285], da je
polje s karakteristiko 2, ki ima vsaj kakšen ne-kvadrat, nujno neskončno.
Potenciranje v dvorazsežnih enotskih algebrah
Če nam je Moivreova formula dana, je dokaz njene pravilnosti − kot smo
videli na začetku − dokaj preprost. Podobno je s formulami za potenciranje
v poljubni dvorazsežni enotski algebri. Zato bomo tu samo navedli vse
formule, skoraj vse dokazovanje pa prepustili marljivemu bralcu.
Povsod naj bo c = αe + βu ≠ 0, (α,β) ∈ F2 in n ∈ Z. Trivialni potenci v
vseh primerih: c0 = e, c1 = c.
A. α = 0 ∶ cn = 0 za n > 1
α ≠ 0 ∶ cn = αne + nαn−1βu
2Pedantno povedano: Algebra tipa B je izomorfna realni algebri kompleksnih števil.
89–98 95
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 96 — #8 i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
B. cn=12 [(α + β
√
λ)n + (α − β
√
λ)n] e + 1
2
√
λ
[(α + β
√
λ)n − (α − β
√
λ)n]u
Formulo razumemo tako, kot da
√
λ v resnici obstaja v F; bolj strokovno
pravimo, da računamo v enostavni korenski razširitvi polja F [2, str.
308]. Če res izračunamo tako potenco za neki konkreten n, v rezultatu√
λ ne nastopa več.
C. cn = 12 [(α + β)
n + (α − β)n] e+ 12 [(α + β)
n − (α − β)n]u, v primeru α2 =
β2 le za n ≥ 0
D. α = 0 ∶ cn = 0 za n > 1
α ≠ 0 ∶ c2n = α2ne, c2n+1 = α2n(αe + βu)
E. c2n = (α2 + β2λ)ne, c2n+1 = (α2 + β2λ)n(αe + βu)
F. cn = αne + [αn + (α + β)n]u, v primeru α(α + β) = 0 le za n ≥ 0
G. β = 0 ∶ cn = ane
β ≠ 0 ∶ cn = βn ([Bn+1 + (γ + 1)Bn] e +Bnu), kjer je γ ∶= αβ−1 in δ ∶=
γ2 + γ + λ. Koeficienti Bn zadoščajo diferenčni enačbi
Bn+2 +Bn+1 + δBn = 0, B0 = 0, B1 = 1.
Rešitev tega diferenčnega problema je (za n > 0):
B2n = 1 +
n
∑
k=1
[(n − intk+12 n − k) + (n − 1 − int
k
2 n − k)] δ
k,
B2n+1 = 1 +
n
∑
k=1
(n − intk+12 n − k) δ
k,B−n = δ−nBn.
V formulah za tip G nastopa v binomskih simbolih funkcija celi del int x,
ki jo pogosto označujejo tudi s simbolom ⌊x⌋. Ta funkcija priredi realnemu
številu x največje celo število, ki ni večje od x.
Še tole mimogrede omenimo: koeficienti Bn zadoščajo še eni zanimivi
identiteti: B2n+1+Bn+1Bn+δB2n = δn. Dokaz je dokaj preprost in tu povejmo
samo, da sledi iz računa cn+1c−(n+1) = e.
Formul za tip G doslej še nisem zasledil nikjer v matematični litera-
turi. Vem pa iz [3], da jih je leta 2014 izpeljal slovenski matematik Marko
Petkovšek, zato bom te formule imenoval Petkovškove formule; glej tudi [4].
Pri tipih B, E in G se vse potence dajo neomejeno izračunati, v posebnem
tudi potenca c−1 za c ≠ 0, kar pomeni, da v takih algebrah lahko definiramo
deljenje (zato jih tudi imenujemo algebre z deljenjem). Ker so te algebre
asociativne in komutativne in imajo deljenje, so to dejansko polja, razširitve
96 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 97 — #9 i
i
i
i
i
i
Variacije na Moivreovo temo
prvotnega polja F v istem smislu, kot je polje C razširitev polja R. Iz
a
b = ab
−1 in formul za potenciranje dobimo za (α,β, γ, δ) ∈ F4, γe + δu ≠ 0:
B. αe+βuγe+δu = (γ
2 − δ2λ)−1 [(αγ − βδλ) e + (βγ − αδ)u]
E. αe+βuγe+δu = (γ
2 + δ2λ)−1 [(αγ + βδλ) e + (βγ + αδ)u]
G. αe+βuγe+δu = (γ
2 + γδ + δ2λ)−1 [(αγ + αδ + βδλ) e + (βγ + αδ)u]
Za konec pa še nekaj besed o dokazovanju formul za potenciranje. Dokazi
se − kot že rečeno − lahko naredijo na način, ki smo ga prikazali v razdelku
Moivreova formula za originalno Moivreovo formulo. No, vsaj pri tipih B, E
in G ni nobene bistvene razlike. Nekoliko več pazljivosti zahtevajo preostali
tipi, ker je treba še ugotoviti, katere potence sploh obstajajo.
B. Russell, angleški matematik in filozof, je izrekel tole misel: Kdaj
pa kdaj se je dobro vprašati o sleherni stvari, ki se vam zdi samoumevna.
Sledimo tej misli in se vprašajmo, kaj sploh so potence − ne pozabimo
namreč, da gre tu za »eksotično okolje« algebre in ne za neko številsko
množico.
Enotski kolobar [2, str. 84] je taka posplošitev polja, v kateri ne zahte-
vamo eksistence inverznega elementa za neničelne elemente in torej deljenje
ni vedno izvedljivo. Pa še komutativnosti množenja tudi ne zahtevamo več.
Prav lahko je videti, da so vse algebre A − G taki kolobarji.
V kolobarju K z enoto e se potenciranje definira kot množenje enakih
faktorjev:
∀a ∈ K ∀n ∈ N ∶ a0 ∶= e, an+1 ∶= aan.
Za te potence veljata osnovna zakona:
∀a ∈ K ∀(m,n) ∈ (N)2 ∶ aman = am+n, (am)n = amn. (4)
Od tod dalje pa velja splošno sprejet dogovor: Ostale potence s celoštevil-
skimi ali celo racionalnimi eksponenti naj bodo definirane tako, da zakona
(4) ostaneta veljavna. S popolno indukcijo lahko še dokažemo
∀(a, b) ∈ K2 ∀n ∈ N ∶ [ab = ba⇒ (ab)n = anbn = bnan]. (5)
Glede na to, da je polje realnih števil tudi enotski kolobar, je naravno vpra-
šanje, zakaj v splošnem kolobarju privzamemo 00 = e, pri delu z realnimi
števili pa ne. Odgovor je preprost: zahteva 00 = 1 povzroči nezveznost
potenciranja, čemur se pa radi izognemo. Primer: Za funkcijo
f(x) ∶= { (ln ∣x∣)
−1 ln 2 x ≠ 0
0 x = 0 (6)
89–98 97
i
i
“Cedilnik” — 2022/9/19 — 8:15 — page 98 — #10 i
i
i
i
i
i
Anton Cedilnik
velja
lim
x→0
∣x∣f(x) = 2 ≠ 1 = ∣0∣f(0)
Pri delu s številskimi kolobarji zato 00 pustimo nedefiniran.
Pomemben argument za smiselnost enačbe 00 = e je naslednji. V kolo-
barju lahko obstaja kakšen nilpotent, torej tak r ∈ K, da je r ≠ 0 = rk za
neki k ∈ Z+ (v algebrah tipov A in D je u tak element). Potem mora veljati:
e = r0 = r0⋅k = (rk)0 = 00. Element 0 pa v nobenem kolobarju ne more imeti
negativnega eksponenta, ker bi to vodilo v protislovje: 0 = 0 0−1 = 01 0−1 =
01−1 = 00 = e.
Potence neničelnega elementa z negativnimi eksponenti so najtesneje
povezane z inverznim elementom: a−1 je definiran z identiteto aa−1 = a−1a =
e. Ti enačbi na splošno nista rešljivi in tak element potem nima potenc
z negativnimi eksponenti. Če pa rešitev obstaja, je ena sama, ker če bi
obstajali dve rešitvi a−1 = b in a−1 = c, bi sledilo: b = eb = (ca)b = c(ab) =
ce = c
Druge potence z negativnimi eksponenti so definirane z identiteto a−n =
(a−1)n. Zaradi lastnosti (5) je a−nan = (a−1)nan = an(a−1)n = ana−n in
(a−1)nan = (a−1a)n = en = e, zato a−n = (an)−1, kar potrjuje, da so take
potence dobro definirane.
Kot primer dokazujmo formulo za potenciranje v algebri tipa C. Ozna-
čimo p = 12(e + u) in q =
1
2(e − u). p in q sta linearno neodvisna in sta
idempotenta: p2 = p, q2 = q, pa še pq = 0 in αe + βu = (α + β)p + (α − β)q.
Mimogrede: prav tale zadnja dekompozicija je vzrok, da elementom algebre
tipa C nad realnimi števili rečemo razcepno-kompleksna števila.
S popolno indukcijo dokažemo, da je (δp+εq)n = δnp+εnq za vsako celo
število n. Seveda mora v primeru n < 0 biti δ ≠ 0 ≠ ε.
Elementi oblike δp ali εq pa ne morejo imeti negativnih eksponentov.
Kot primer rešujmo enačbo za inverz elementa p. Obstajati morata taka
skalarja x, y, da je pp−1 = p(xp + yq) = e = p + q. Sledi: xp = p + q, kar pa
zaradi linearne neodvisnosti p in q ni mogoče.
LITERATURA
[1] M. Petkovšek in H. Zakraǰsek, Solving linear recurrence equations with polynomial co-
efficients, Computer algebra in quantum field theory, Texts Monogr. Symbol. Comput.,
Springer, Vienna, 259–284, 2013.
[2] I. Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972.
[3] Osebni kontakt.
[4] Split-complex/number, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Split-complex\
_number, ogled 2. 9. 2022.
98 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 99 — #1 i
i
i
i
i
i
JOŽEF STEFAN JE OBJAVLJAL V ANGLEŠČINI IN
FRANCOŠČINI
STANISLAV JUŽNIČ
Filozofska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Ključne besede: Stefanov problem, zgodovina fizike in kemije, Philosophical Magazine,
Marian Koller, Andreas pl. Ettingshausen
Predstavljenih je dvajset prevodov skraǰsanih poročil o Stefanovih temeljnih eksperi-
mentalnih raziskavah, ki so izšli hkrati s Stefanovimi članki v nemškem jeziku. Angleške
prevode so tiskali v reviji The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine
and Journal of Science. Vsaj dva od teh člankov sta bila objavljena tudi v francoskih
prevodih v Parizu in Ženevi.
JOŽEF STEFAN PUBLISHED IN ENGLISH AND FRENCH LANGUAGES
We present twenty translations of abbreviations of Stefan’s basic experimental rese-
arch, which were published simultaneously with Stefan’s articles printed in German langu-
age. English translations were issued in The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical
Magazine and Journal of Science. At least two of these studies were also published as
French translations in Paris and Geneva.
Uvod
Jožef Stefan je nedvomno najpomembneǰsi slovenski znanstvenik vseh ča-
sov. Kljub siromašnemu otroštvu sta mu pot na Parnas tlakovali dve srečni
okolǐsčini: izjemno vplivna podpora bohinjskega rojaka Mariana Kollerja
in posledično številne prekomorske objave Stefanovih del v angleščini. Če-
ravno Jožef Stefan ni veliko potoval, je znal izkoristiti mednarodne povezave
svojega mentorja Mariana Kollerja. Te so mu omogočile domala hkratne
britanske prevode nemških razprav, ki jih je objavljal na Dunaju in v Leip-
zigu. S tem si je Stefan pridobil mednarodni sloves kot le redek slovenski
učenjak. V podpori tezi o mednarodni vpetosti tedanjih slovenskih izobra-
žencev opisujemo dvajset prevodov skraǰsanih poročil o Stefanovih temeljnih
eksperimentalnih raziskavah, ki so izšli hkrati s Stefanovimi članki v nem-
škem jeziku. Angleške prevode so tiskali v reviji The London, Edinburgh,
and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Vsaj dva od teh
člankov sta bila objavljena tudi v francoskih prevodih v Parizu in Ženevi.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3 99
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 100 — #2 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
Posrečilo se je identificirati nekaj prevajalcev Stefanovih del: z njimi je bil
bržkone tudi v osebnih stikih.
Jožef Stefan (1835–1893) se je rodil slovenskim staršem v vasi Sveti Pe-
ter, ki je zdaj del Celovca. Na dunajski univerzi je od leta 1853 študiral
matematiko in fiziko ter leta 1858 doktoriral pri Andreasu pl. Ettingshau-
snu (1796–1878). Profesorji so prepoznali njegove raziskovalne in pedagoške
sposobnosti ter delavnost. Pri 25 letih je postal član Akademije znanosti
na Dunaju, čez tri leta so ga imenovali na novo profesorsko mesto za ma-
tematiko in fiziko, leta 1865 pa je bil imenovan za direktorja inštituta za
fiziko na dunajski univerzi in rednega člana akademije, star komaj trideset
let [20]. Za Stefana se je posebej zavzel Marian Wolfgang Koller (1792–
1866), astronom in visoki uradnik Ministrstva za šolstvo, rojen v Bohinjski
Bistrici št. 78. Stefan ni bil naklonjen potovanjem, zato ni bil domala ni-
koli zunaj domače Avstro-Ogrske [89]. Pri objavljanju prevodov so mu bila
v pomoč osebna poznanstva Kollerja in Ettingshausna [21]. Šele oktobra
1883 se je Stefan srečal z Williamom Thomsonom (1824–1907). Thomson,
pozneǰsi lord Kelvin, je bil od julija leta 1871 sourednik revije The London,
Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science (v
nadaljevanju: Phil. Mag.), kjer je pomagal objaviti najmanj trinajst pre-
vodov Stefanovih raziskav. Leta 1883 so vodilni kemiki in fiziki na čelu
s Thomsonom in njegovim prijateljem Williamom Siemensom (1823–1883)
obiskali Stefana kot znanstvenega vodjo mednarodne razstave elektrike na
Dunaju [22, 54, 53].
Prevodi Stefanovih razprav
Stefan je vse svoje znanstvene razprave najprej objavil v nemškem jeziku, ve-
činoma pri dunajski akademiji; tajnik njenega matematično-naravoslovnega
razreda je bil v letih 1875–1885, nato pa je bil do smrti podpredsednik aka-
demije. To pa seveda ni bilo dovolj za prestižni mednarodni ugled; zato
je objavljal tudi prevode svojih dosežkov v najpomembneǰsih znanstvenih
sredǐsčih tedanje Evrope.
Najmanj dvajset angleških povzetkov Stefanovih razprav v Phil. Mag.
je bilo pretežno prevedenih iz Anzeiger der (Kaiserlichen) Österreichischen
Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse
(Wien. Anz.), ki je bil svojevrsten zapisnik dunajskih akademskih sej: spre-
jemljive tam na kratko predstavljene razprave so nato v celoti objavljali v
100 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 101 — #3 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
Wiener Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in
Wien (Wien. Ber.), dalǰse članke pa v Denkschriften der Kaiserlichen Aka-
demie der Wissenschaften. Manj primerne razprave so povzeli le v Wien.
Anz., med njimi razprave Martina Sekulića (profesor Nikole Tesle), naspro-
tujoče Helmholtzu [52], ali kritike Boltzmannove ergodične hipoteze Simona
Šubica z graške univerze [90]. Prevajalec nekaterih Stefanovih del je bil
morda John Tyndall (1820–1893) kot eden od petih urednikov Phil. Mag.
med letoma 1856 in 1862, ko je bil glavni urednik William Francis (1817–
1904). Tyndall je za Phil. Mag. prevajal tudi razprave R. Clausiusa (Me-
hanska teorija toplote (Mechanical theory of heat)), H. Helmholtza, A. J.
Angströma [2], poglavitnega nemškega zagovornika Faradayevih novosti Ju-
liusa Plückerja (1801–1868) in drugih. Večino Stefanovih dunajskih razprav
so objavili v Wien. Ber. s skraǰsanim besedilom povzetim v Wien. Anz.
in ponatisom v leipzǐskih Annalen der Physik und Chemie (Ann. Phys.).
Stefanove raziskave, večinoma prevedene iz Wien. Anz. v angleščino in
francoščino za natis zunaj nemško govorečega območja, so si sledile takole:
1. V svojem prvem članku, priobčenem v Phil. Mag., je Stefan podprl
kinetično teorijo Augusta Karla Kröniga (1822–1879) in Rudolfa Cla-
usiusa (1822–1888) [55]. Njuna dela so bila pogosto prevajana v Phil.
Mag., saj so njune teorije potrebovali pri popravljanju Newtonovih in
Laplaceovih enačb za izračunavanje hitrosti zvoka. To Stefanovo delo so
Britanci objavili po šestih letih njegovih večinoma na Dunaju tiskanih
člankov. Londonski natis je bil odmev Stefanovega novega statusa na
dunajski univerzi in pri akademiji, bil pa je tudi začetek novega trenda
tiskanja del habsburških raziskovalcev v Phil. Mag. V istem zvezku so
namreč objavili tudi dosežke Stefanovega kolega Edmunda Reitlingerja
(1830–1882). Reitlinger je raziskoval stratifikacijo z elektriko spodbu-
jane svetlobe v Geisslerjevi katodni elektronki (cevi) [41].
2. Stefan je znova podprl Clausiusovo kinetično teorijo, o kateri so pogosto
pisali v Phil. Mag. Pri tem je kritiziral napako benediktinca Karla
Puschla (1825–1912) [56, 39, 40].
3. Naslednji angleški prevod Stefanove razprave je pripravil profesor ke-
mije James Alfred Wanklyn FRS (1834–1906), ki je predaval na Lon-
don Institution po letu 1863. Njegov prevod ni bil objavljen v rubriki
»Obvestila in razni članki«, temveč v odmevneǰsem glavnem delu re-
99–120 101
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 102 — #4 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
vije [58]. Stefan je podpiral Cauchyjev zakon, medtem ko je kritiziral
zakon Jeana-Baptista Biota (1774–1862), morda tudi zato, ker je bil
baron Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) prijatelj Ettingshausna in
Kollerja [19]. Opombe k prevedenemu Stefanovemu članku je zapisal
George Gabriel Stokes (1819–1903), podpisan kot GGS. Stefanu je oči-
tal računsko napako, ker je po integraciji samovoljno izpustil negativno
konstanto v disperzijski formuli, ki naj bi sicer pokazala, da Stefanovi
poskusi vendarle potrjujejo Biotov zakon. Poleg Davida Brewsterja
(1781–1868) je bil prav Stokes poglavitni tedanji britanski strokovnjak
za optiko in domnevni pobudnik tega prevoda, a sam Stokes morebiti
ni znal dovolj nemščine, da bi prevajal samostojno. Verjetno je prav
zaradi Stokesove kritike Stefan po letu 1866 opustil nadaljnje raziskave
optike; dopolnil jih je zgolj v dveh člankih [59, 60], ki v Phil. Mag. nista
bila prevedena. Stokes je bil blizu W. Thomsonu, ki se je pozneje spo-
prijateljil s Stefanom. Stokesova kritika je morda imela celo nekatere
politične motive, saj je bil Cauchy najbolj katolǐski konservativec med
vsemi vrhunskimi znanstveniki, medtem ko je njegov parǐski antago-
nist Biot ostal zadnji pomembni zagovornik Newtonove korpuskularne
(delčne) teorije svetlobe; poleg tega je Biot nasprotoval teoriji etra [18].
4. Kot redni bralec in avtor razprav v Phil. Mag. je Stefan povzel meri-
tve Roberta Wilhelma Bunsena (1811–1899), objavljene v Phil. Mag.
leta 1865 [61, 7, 8]. Stefan je obenem pohvalil uspeh Siegfrieda Samu-
ela Marcusa (1831–1898), ki si je na Dunaju kruh služil kot mehanik
Stefanovega nekdanjega mentorja, fiziologa Carla Friedricha Wilhelma
Ludwiga (1816–1895). Marcus je izumil svoje vozilo na bencinski pogon
leta 1864 [34].1 Stefan je v prispevku ovrednotil tudi termočlen prvega
profesorja kemije na londonskem kraljevem kolidžu Johna Frederica Da-
niella (1790–1845). V istem zvezku Phil. Mag. je Stefanov nasprotnik
Ernst Mach (1838–1916) v Gradcu obravnaval fiziologijo retine glede na
vpadno svetlobo [33].
5. Stefan je nadaljeval meritve, ki so jih objavili Hippolyte Fizeau (1819–
1896), Léon Foucault (1819–1868), Joseph pl. Fraunhofer (1787–1826),
Jacob Fredrik Emanuel Rudberg (1800–1839), njegov doktorand Anders
1Marcus je članek prebral na 8. seji 16. marca, natisnili pa so ga za Stefanovim uvo-
dnim člankom po 9. seji 23. marca 1865. Prevod pa je bil natisnjen pred Stefanovim
prispevkom [62].
102 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 103 — #5 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
Jonas Ångström (1814–1874) in Stefanov študent Leander Ditscheiner
(1839–1905). Stefan je uporabil teorijo uklona za določitev valovne
dolžine spektralnih črt kvarca [63, 3, 11].
6. Stefan je diferencialne enačbe opisa širjenja zvoka priredil za svojo pri-
ljubljeno hidrodinamiko po meritvah Oskarja Emila Meyerja (1834–
1909), ki je po doktoratu pri Franzu Ernstu Neumannu (1798–1895)
postal, ob Stefanu, vodilni raziskovalec trenja v tekočinah in kinetične
teorije plinov [64].
7. Stefan je izbolǰsal eksperimentalne metode Ernsta Florensa Friedricha
Chladnija (1756–1827) [65, 9] za svoje meritve hitrosti zvoka v belem
(čebeljem) vosku raztopljenem v stekleni cevi pri stalni temperaturi,
v leseni palici, stekleni cevi, pluti, pečatnem vosku, kredi ter (belem
in vulkaniziranem) kavčuku. Rezultate je primerjal z meritvami hitro-
sti živčnih dražljajev Hermanna Helmholtza (1821–1894), s katerim sta
skupno utirala pot kinetični teoriji plinov in (Maxwellovi) teoriji elek-
tromagnetnega polja [16].
8. Stefan je nadaljeval graške poskuse svojega študenta Boltzmanna in
njegovega sodelavca Augusta Töplerja (1836–1912), prav tako pa Au-
gusta Kundta (1839–1894) in Machovega asistenta na praški univerzi
Čeha Clemensa Neumanna (Klemens, Mı́rumil, 1846–1873) [67]. Stefan
je njihove akustične raziskave povezoval s plastmi v Geisslerjevi katodni
elektronki, v kateri molekule plinov, osvetljene s prehodom električnega
toka, prevzamejo enako vlogo kot zrna pri poskusih z zvokom. Vsaj
dva povzetka Stefanovega članka sta bila objavljena tudi v francoskem
jeziku. V prvem je bil Stefan v kazalu na koncu naveden kot J. Stephan,
njegov priimek pa je bil v naslovu članka napisan v pravilni obliki kot
Stefan; v tistem času pravopisi niso bili dovolj poenoteni, tako da je celo
Koller navajal priimek svojega varovanca Stefana v obeh oblikah [25].
Ženevski izdajatelj Stefanove razprave je bil Alfred Cherbuliez (1838–
1895), ki je podedoval podjetje A. Cherbuliez et c. s podružnicama v
Parizu in Lozani. Revijo je vsaj formalno urejal vodilni kemik-fizik Au-
guste de la Rive (1801–1873) [68]. Dalǰsi francoski povzetek Stefanovega
prispevka je v svoji parǐski reviji v dveh delih objavil Cauchyjev prija-
telj Moigno [69]. Skraǰsano prevedeno poročilo švicarskega francoskega
povzetka so nato objavili Britanci [70].
99–120 103
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 104 — #6 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
9. Določanje meje med večfaznimi sistemi, ki se s časom prosto premika,
imenujemo Stefanova naloga. Prva sodobna razprava o Stefanovem pro-
blemu in Stefanovem številu [71] je bila prevedena v številnih skraǰsanih
inačicah. Angleški povzetek [72] je bil objavljen s pomanjkljivim cita-
tom francoskega vira [73]. Poročila s sej dunajske akademije dne 22.
oktobra 1873 (v resnici 23. oktobra) in 13. novembra 1873 je za pari-
ško objavo decembra 1874 povzel zoolog in paleozoolog August Friedrich
grof Marschall pl. Sudoc iz Burgholzhausna in Tromsdorfa (1804–1887),
ki se je podpisoval kot grof Marschall [74]. Marschallovo poročilo je
v Parizu ponatisnil Cauchyjev prijatelj, nekdanji jezuit, urednik abbé
François-Napoléon-Marie Moigno (1804–1884) [75]. Moignov članek je
navajal priimek Stephan in referenco Journal l’Institut. To je bila prva
sodobna razprava o Stefanovem problemu in Stefanovem številu, seveda
poznanem pod tem imenom komaj stoletje pozneje.
10. Stefan je v tridelni razpravi obravnaval magnetno silo po Ampèru,
magnetno indukcijo pa po M. Kollerjevem znancu baronu Siméonu-
Denisu Poissonu (1781–1840). V podporo novi Maxwellovi teoriji polja
je Stefan nanizal dvome zoper konkurenčno teorijo Wilhelma Webra
(1804–1891) ob meritvah feromagnetizma Helmholtzevega in Maxwel-
lovega varovanca Henryja Augustusa Rowlanda (1848–1901), Gustava
Kirchhoffa (1824–1887), njegovega doktoranda Aleksandra Grigorieviča
Stoletova (Stoletow, 1839–1896) in Gustava pl. Quintus-Iciliusa (1824–
1885) [76, 26].
11. Po J. Stefanu adhezija dveh marmornatih plošč ne vključuje sil med
nevidno majhnimi sestavnimi deli, s katerimi so pred Stefanom dve sto-
letji dokazovali obstoj vakuuma. Stefan je lahko zavrnil stare ideje o
vakuumu med dvema ravnima stiskanima ravninama, saj je imel na vo-
ljo številna druga ustrezneǰsa orodja za podporo svojemu kinetičnemu
atomizmu. Eksperimentiral je s steklenimi ploščami, potopljenimi v
čisto vodo, slano vodo, alkohol in zrak. Sila med ploščama se je zmanj-
ševala s četrto potenco razdalje. Problem je povezal s hidrodinamiko
kapilarnosti in ne več s statiko. Stefan je koeficiente notranjega trenja
(viskoznosti) določil po izsledkih študenta Araga in Ampèra na parǐski
Politehniki, Jeana Léonarda Marieja Poiseuilla (1797–1869) ob razlagah
Oskarja Emila Meyerja in Maxwella [77].
104 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 105 — #7 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
12. J. Stefan se je oprl na koncept, ki ga je leta 1855 v Zürichu Adolf Eugen
Fick (1829–1901) uvedel kot Fickove zakone difuzije plina skozi tekočin-
sko membrano. Fick je v Marburgu študiral pri pozneǰsem Stefanovem
dunajskem mentorju Carlu Ludwigu (1816–1895), zato so vsi trije te-
sno sodelovali. Leta 1870 je Fick prvi izmeril srčni pretok z uporabo
Fickovega načela [78, 12].
13. V drugem delu svoje obravnave difuzije se je Stefan poleg Ficka skliceval
še na meritve Thomasa Grahama (1805–1869) [79, 14].2
14. J. Stefan je uporabil meritve Žida Augusta Beera (1825–1863), ki je bil
doktorski študent in sodelavec J. Plückerja. Stefan je nadaljeval dosežke
Juda Maxa Margulesa (1856–1920), ki je bil Boltzmannov doktorski štu-
dent elektrodinamike v Stefanovem dunajskem laboratoriju. Margules
je zaslovel z raziskovanjem neviht na dunajskem meteorološkem inšti-
tutu, ki ga je ustanovil Stefanov mentor M. Koller. Seveda se je Stefan
skliceval tudi na svoje desetletje stareǰse delo [80, 66, 4, 35, 36].
15. Sedem let po uspešnem vodenju dunajske električne razstave se je Stefan
opiral na Kirchhoffovo desetletje stareǰse proučevanje magnetnih induk-
cij [24] in raziskave docenta za fiziko na katedri Rensselaer v Troyu v
New Yorku, Rowlanda. Rowland je svoje izsledke poslal v London 2. ju-
nija 1873, kjer jih je za Phil. Mag. predstavil sam J. C. Maxwell [43].3
Rowland je tisti čas še vedno podpiral Thomasa A. Edisona, vendar
je njegovo tehnologijo pozneje leta 1883 kritiziral kot znanosti tuj po-
sel. Stefan je seveda pohvalil tudi habsburškega plemiča Adalberta
Carla viteza Waltenhofna zu Eglofsheimba (1828–1914). Waltenhofen
je bil takrat profesor fizike na praški nemški tehnǐski univerzi. V letih
1867–1883 je bil Waltenhofen prvi profesor in nato direktor Inštituta za
2Kmalu za tem je Stefan objavil svojo slovito razpravo z zakonom, ki ga danes ime-
nujemo po njem [81]. Angleški povzetek ni bil objavljen v Philosophical Magazine, saj
so tam imeli raje bolj eksperimentalne raziskave, kot je bil sočasni članek o taistem pro-
blemu Stefanovega dunajskega sošolca Francesca Rossettija (1833 Trento–1885 Padova),
ki ga je iz Annales de Chimie et de physique 1879 zvezek 17 prevedel F. Engelsov znanec
John I. Watts (1818 Coventry–1887 Manchester). Objavljen je bil pod naslovom Experi-
mental Researches [42], Stefan pa ga je seveda citiral že v italijanskem originalu na str.
427–428). Tako je zunaj nemškega jezikovnega območja kritiko Stefanovega zakona med
prvimi objavil komaj Jules Louis Gabriel Violle (1841 Langres, Haute-Marne–1923 Fixin.
Bourgogne-Franche-Comté) [96].
3Stefan je citiral predzadnjo stran 158.
99–120 105
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 106 — #8 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
elektrotehniko na dunajski Univerzi za tehnologijo, imenovan med Ste-
fanovo dunajsko mednarodno električno razstavo leta 1883. Na njegovi
Dunajski visoki šoli so nasledniki Waltenhofna po njegovi upokojitvi
leta 1899 poučevali tudi poglavitnega slovenskega naslednika Stefanove
elektrotehnike Milana Vidmarja, ki je bil na Dunajski tehnološki uni-
verzi promoviran 16. julija 1910 [97].4
16. Stefan je nadaljeval raziskave Carla Frommeja (1852–1945). Leta 1880
je Carl Fromme na predlog Wilhelma Röntgena, ki je takrat delal na
Univerzi v Gießnu, postal tam izredni profesor za teoretično fiziko in
geodezijo. Fromme je bil imenovan tudi za direktorja tamkaǰsnjega
inštituta. Stefan je eksperimentiral z močnim induktorjem Heinricha
Daniela Ruhmkorffa (1803–1877); napravo je med drugim leta 1880 po-
sodil dunajskemu docentu Ivanu Pavloviču Puluju (1845–1918) za nje-
gove poskuse. Takoj za Stefanom je v istem zvezku Phil. Mag. Stefanov
študent Albert pl. Obermayer (1844–1915) objavil raziskavo ognja sv.
Elma [83, 13, 38].
17. Stefan je posodobil svoje šestnajst let stareǰse eksperimente z izpareva-
njem etra in ogljikovega disulfida (CS2), objavljene tudi v Phil. Mag.
pod naslovom Poskusi z izparevanjem. Izparevanje etra in ogljikovega
disulfida je opazoval v ozkih steklenih ceveh s premerom 2 do 6 mm.
Strupenost ogljikovega disulfida njega dni še ni bila tako očitna. Po-
skusi z njim so gotovo pripomogli k Stefanovi Brightovi bolezni (oblika
nefritisa, imenovana po Richardu Brightu (1789–1858)), in končno h
kapi tri leta in pol po začetku poskusov z etrom in ogljikovim disulfi-
dom. V tveganih okolǐsčinah je Stefan sestavil eno poglavitnih razprav
o Stefanovem problemu in Stefanovem številu: torej je bila bralcem v
angleškem jeziku na voljo le nekaj tednov po objavi na Dunaju [84, 89].
18. Stefan je med prvimi raziskoval Hertzove valove. Uporabil je meritve
Kirchhoffovega doktoranda, Žida Gabriela Lippmanna (1845–1921) [31].
Stefan je raziskal nove oscilatorje radijskih valov H. Hertza, ki je bil uče-
nec poglavitnega Stefanovega nemškega podpornika Helmholtza [17].
Stefan je sledil Maxwellu in Johnu Williamu Struttu lordu Rayleighu
(1842–1919), vendar svoje enačbe kožnega pojava ni izpeljal iz Maxwel-
love teorije polja, temveč iz elektrodinamičnega potenciala dveh elemen-
4Stefan je citiral str. 746 v [82].
106 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 107 — #9 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
tov električnega toka F. E. Neumanna in W. Webra. O njem je Stefan
pisal že dve leti prej, čeprav je Stefan dvomil o Webrovi elektrodina-
miki že med svojimi predavanji, povzetimi v Kollerjevih zapiskih leta
1862/63 [90, 26]. Stefan je uporabil tudi meritve prevodnosti žveplove
kisline v primerjavi z živim srebrom, ki jih je objavil Rudolf Kohlrau-
sch (1809–1858). Upor elektrolita je raziskoval Joseph John Thomson
(1856–1940), ki je 22. decembra 1884 presenetljivo zamenjal Maxwella in
Rayleigha kot direktor Cavendishevih laboratorijev v Cambridgeu [91].
Stefan je torej uporabil povsem nove raziskave, objavljene le nekaj me-
secev pred lastnim prispevkom [86].
19. Med nadaljnjim proučevanjem Hertzovih radijskih valov se je Stefan
opiral na novo teorijo oscilacij leydenske steklenice Kirchhoffa in Stefa-
novega novega prijatelja Williama Thomsona, ki ni več iskala analogij
z mehanskim nihalom. Stefan je uporabil dosežke neodvisnega ženev-
skega znanstvenika Edouarda Sarasina (1843–1917) in Augustovega sina
Luciena de la Riva (1834–1924) [87, 51].
20. V svoji zadnji raziskavi, objavljeni v Phil. Mag. za časa njegovega
življenja, ki se je izteklo 14 mesecev pozneje, je Stefan obravnaval Kir-
chhoffov dokaz iz leta 1857. Kirchhoff je dognal, da se elektrika pod
določenimi pogoji v tanki žici v skladu z zakoni valovnega gibanja širi s
hitrostjo svetlobe [23]. Stefan je raziskal razmere v neravnem vodniku
po poskusu Charlesa Wheatstona (1802–1875) s tuljavo in nameril večjo
hitrost od Wheatstonove [88, 98].
Razprava
Jožef Stefan je bil predvsem eksperimentalni raziskovalec tistih področij
fizike in kemije, ki jih danes zaznamujejo izrazi Stefanov zakon, Stefanov
problem in brezdimenzijsko Stefanovo število.
Najzgodneǰso sodobnim idejam podobno matematično formulacijo Ste-
fanovega problema premične meje večfaznega sistema sta objavila Gabriel
Lamé (1795–1870 Pariz) in njegov prijatelj Benôıt Paul Émile Clapeyron
(1799–1864). Oba sta študirala na École Polytechnique in na École des Mi-
nes v Parizu. Po diplomah sta leta 1820 za dvajset let odšla v Peterburg.
V hladnem peterburškem podnebju sta se oba prijatelja lotila problemov
zaledenitve. Zanimalo ju je tudi aktualno vprašanje tistega časa, navidezno
99–120 107
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 108 — #10 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
neskladje med geološko starostjo Zemlje ali Sonca in njunim hitrim ohlaja-
njem.
V Rusiji sta Lamé in Clapeyron podpirala Cauchyjeve novosti, čeprav
sta se vrnila v Pariz ravno ko je Cauchy metropolo zapustil skupaj z izgna-
nim burbonskim dvorom. Nekaj tednov pred julijsko revolucijo 1830 so na
parǐski akademiji prebrali Laméjev in Clapeyronov članek z naslovom »Raz-
prava o strjevanju hlajene tekoče krogle« [28]. Kljub izbranemu naslovu
sferična geometrija ni bila njun glavni interes. Njun poglavitni problem,
ki sta ga dejansko obravnavala na zadnjih dveh straneh, je bilo nastaja-
nje ravne trdne skorje med hlajenjem skozi zgornjo površino s konstantno
temperaturo, medtem ko neskončna tekočina spodaj ostaja pri konstantni
enakomerni temperaturi strjevanja. Štiri leta pozneje, leta 1834, je Clape-
yron populariziral desetletje stareǰse delo Sadija Carnota (1796–1832), ki
ga je kmalu zaznamoval Clausiusov izraz entropija; ta temeljna novost je
spadala v isto širšo vejo raziskav prenosa toplote s Stefanovim problemom
vred.
Osem let po Laméjevi in Clapeyronovi razpravi, prebrani pred parǐsko
akademijo, so se 27. avgusta 1838 Marian Wolfgang Koller, A. Ettingshausen
in pozneǰsi Stefanov profesor fizike August Kunzek pl. Lichton (1795–1865)
udeležili srečanja parǐske Akademije znanosti. Tam so jih sprejeli François
Arago (1786–1853), Poisson (1781–1840), kemik Michel Eugène Chevreul
(1786–1889), geolog Alexandre Brongniart (1770–1847), vulkanolog Jean-
Baptiste Geneviève Marcellin Bory de Saint-Vincent (1778–1846), Jacques
Babinet (1794–1872), pionir raziskav faznih prehodov baron Charles Ca-
gniard de la Tour (1777–1859) in Alexander pl. Humboldt (1769–1859).
Clapeyron in Lamé še nista bila člana parǐske akademije, čeprav sta bila že
dopisna člana ruske akademije, Lamé pa je bil novoimenovani član pruske
akademije. Lamé je postal član parǐske akademije leta 1843, Clapeyron pa
je bil tja izvoljen šele leta 1858. Zato se Koller verjetno ni čutil dolžnega, da
bi v svojem potovalnem dnevniku omenil svoje morebitno srečanje z njima
leta 1838 [19].
Pol stoletja po Kollerjevem evropskem potovanju je Kollerjev varovanec
Jožef Stefan v sedmih prispevkih, objavljenih med letoma 1889 in 1891,
nadgradil Lamé-Clapeyronove ideje ter raziskave Charlesa Cagniarda de la
Toura o faznih prehodih iz trdnega v tekoče.
Stefan je v zimskem semestru 1862/63 predaval o J. Fourierevi (1768–
108 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 109 — #11 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
1830) teoriji toplotne prevodnosti svojim dunajskim študentom. Predavanja
je obiskoval tudi 70-letni Koller. Boltzmann se je udeležil podobnih Stefano-
vih tečajev v poletnem semestru 1863/64 in v zimskem semestru 1865/66:
poslušal je 12 in nato še 14 dveurnih predavanj [22]. Stefan je svojemu
občinstvu predaval o ohlajanju končnih ali neskončnih palic, ni pa pose-
bej razpravljal o kroglah ali premičnih mejah med različnimi agregatnimi
stanji, saj bi to lahko bilo preveč zapleteno za Stefanove dodiplomske štu-
dente. Stefan je teorijo toplotne prevodnosti obravnaval v širšem kontekstu
svojega in Boltzmannovega zanimanja za transportne pojave, zlasti fazne
prehode iz tekočega v plinasto stanje in vzporedne kemijske reakcije, ki jih
je Stefan raziskal v letih 1873–1889. Stefanovo delo je pomenilo prehod na
sodobne raziskave s prvih eksperimentalnih in analitičnih poskusov opiso-
vanja sprememb v trdni-tekoči fazi Georgiusa Agricole (Bauer, 1494–1555),
Johannesa Keplerja (1571–1630) in Josepha Blacka (1728–1799). Blackova
raziskovanja latentne toplote, potrebne za fazni prehod, so zaslovela po po-
smrtni objavi njegovih predavanj. Leta 1803 jih je uredil naslednik njegove
katedre v Glasgowu, oboževalec Ruđerja Boškovića (1711–1787) John Robi-
son (1733–1805). Naslovil jih je: Predavanja o temeljnih principih kemije,
ki jih je na Univerzi v Edinburgu imel pokojni Joseph Black. Blackovi pri-
vrženci so bili Kollerjev znanec Charles Cagniard de la Tour, J. Fourier,
Thomas Andrews ter Lamé in Clapeyron leta 1831. Tri desetletja pozneje,
leta 1860 v Kaliningradu, so bile njihove ideje dodelane v neobjavljenih pre-
davanjih F. E. Neumanna s komentarji Riemannovih idej. Heinrich Martin
Weber (1842–1913) je objavil Riemannovo zapuščino, Stefan pa je njegove
komentarje leta 1890 uporabil kot vodilni habsburški raziskovalec specifične
toplote snovi.
Med najbolǰsimi opazovanji tvorbe ledu, ki jih je imel Stefan na voljo,
so bile meritve v Mariboru rojenega Wilhelma pl. Tegetthoffa (1827–1871),
habsburškega poveljnika flote na Severnem morju med drugo schleswǐsko
vojno. Stefanovega raziskovanja toplotne prevodnosti niso več spodbujali
problemi s hlajenjem Zemlje in Sonca, temveč težave s poledenelim mor-
jem, ki je povzročalo preglavice habsburškemu imperialističnemu iskanju
severnih prehodov k Ameriki in Kitajski. Z nenadno Stefanovo smrtjo je ro-
jevajoča se panoga raziskovanja zamrla, preden so njegovi učenci množično
začeli raziskovati ta novi Stefanov problem. Stefanov naslednik Boltzmann
se je bolj zanimal za abstraktneǰsa znanstvena iskanja v termodinamiki.
99–120 109
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 110 — #12 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
Slika 1. Kollerjevi zapiski Stefanovih predavanj o toploti. Foto: Pater Amand Kraml.5
Prva svetovna vojna in razpad Avstro-Ogrske sta dodatno pripomogla, da
so znanstveniki pozabili na Stefanov problem. Znova je postal priljubljen
med raziskovalci, zaposlenimi v sovjetski naftni industriji in metalurgiji v
drugi polovici 20. stoletja. V počastitev Stefanovega raziskovanja meje med
trdnim in tekočim, ki se s časom prosto premika vzdolž polarnega ledu, se
danes v večfaznih sistemskih raziskavah pogosto uporabljata koncepta Ste-
fanovega problema in brezrazsežnega Stefanovega števila. Če je Stefanovo
število veliko, fazni prehod nima pomembnega učinka na premično mejo
večfaznih sistemov; če je Stefanovo število majhno, ima fazni prehod po-
memben učinek [93, 85, 92]. Stefan na Koroškem in Koller v Bohinju sta
5V Kollerjevi zapuščini v Kremsmünstru je skupno pet zajetnih zvezkov zapiskov šestih
semestrov Stefanovih predavanj [27].
110 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 111 — #13 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
seveda veliko izvedela o zaledenitvah že med mladostnimi potepanji; zato
domnevamo, da jima je bilo tovrstno raziskovanje položeno v zibelko.
V letih 1889–1891 je Stefan predstavil svoje ideje, ki jih danes imenu-
jemo Stefanov problem. Sedem zaporednih publikacij je natisnila dunajska
akademija, nekatere so bile ponatisnjene v Annalen der Physik und Chemie,
uvodno raziskavo o izparevanju in raztapljanju kot pojavih difuzije pa je
povzel Phil. Mag. že januarja 1890. V nasprotju s Stefanovim zakonom sta
bila vsaj dva zgodnja Stefanova članka o Stefanovem problemu hitro objav-
ljena v Phil. Mag. in v Parizu že v letih 1873 in 1879 za takoǰsnjo uporabo
anglosaških in francoskih raziskovalcev v Evropi in Ameriki.
Leta 1831 sta Lamé in Clapeyron objavila prvi poskus splošne rešitve
uganke, pozneje imenovane Stefanov problem [49]. Marcel Brillouin (1854–
1948) je v Parizu leta 1929 ob svojih zapisih o Clapeyronu razpravljal o
Stefanu [6]6 in prvič uporabil izraz Stefanov problem, kar je ušlo pozornosti
pozneǰsih učenjakov. Bil je prvi, ki je resno obravnaval Stefanov problem
po Stefanovih prispevkih iz let 1889–1891; razpravo je objavil leta 1930/31.
Danes priljubljeni naziv Stefanov problem je Lev Isakovich Rubinstein
(1914–2009) znova uvedel v Sovjetski zvezi leta 1947. Tedaj je Rubinstein za
sovjetsko-turkmensko naftno industrijo rešil modifikacijo Stefanovega pro-
blema Leonida Samuiloviča Leibenzona (1879–1951). Leibenzon je delal za
sovjetsko naftno industrijo kot organizator prvega laboratorija za naftna
polja v ZSSR v Moskvi leta 1925 in kot profesor na Moskovski rudarski aka-
demiji v letih 1922–1930. Tako kot Rubinstein nekaj let pozneje je bil tudi
Leibenzon aretiran in deportiran v Alma-Alto v Kazahstanu od 1936/37 do
1939. Nato je bil pomiloščen in leta 1943 izvoljen za akademika [44].
Rubinstein je 4. aprila 1953 poslal v Moskvo raziskave iz svoje turkmen-
ske podružnice Zveznega sovjetskega raziskovalnega inštituta v zahodno-
turkmenskem sredǐsču naftne industrije mesta Balkanabat. 24. aprila 1953
je njegov prispevek prebral pred Moskovsko akademijo eden vodilnih obli-
kovalcev projekta sovjetske jedrske bombe akademik Sergij Lvovich Sobolev
(1908–1989). Amerǐski prevod je sledil decembra istega leta 1953 v Oak Rid-
geu z naslovom O dinamiki izhlapevanja idealnih večkomponentnih tekočih
zmesi. To je bila modifikacija Stefanovega problema, prilagojenega sestav-
ljenemu robnemu problemu enačbe toplotne prevodnosti v območju fiksnih
6Reprint: str. 287, 280, 294, 296, 300–301.
99–120 111
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 112 — #14 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
meja. Rubinstein je v svoji razpravi omenil vse tri Stefanove prispevke iz
leta 1889 [45, 46, 47, 48].7
Geofizik Andrej Nikolajevič Tikhonov (1906–1993) je uporabil Leiben-
zonovo rešitev (1939) Stefanovega problema za metalurgijo zveznih ingo-
tov [49, 94, 30]. Na drugi strani železne zavese je med drugimi izraz Stefa-
novo število (znova) skoval profesor strojnǐstva na Univerzi v Edmontonu v
Kanadi Gerald Seymour Hunter Lock (1935) leta 1969, saj verjetno ni vedel
za Brillouinovo delo. Domingo Alberto Tarzia (1950) z univerze Univer-
sidad Austral v Buenos Airesu v Argentini je raziskoval Stefanove gibljive
meje faznih prehodov na univerzi Nevada v mestu Reno. Od leta 1979 slovi
kot eden glavnih bibliografov raziskovalcev Stefanovega problema. Njegovo
bibliografsko delo danes nadaljujeta Božidar Šarler z ljubljanske univerze
(Fakulteta za strojnǐstvo) in John C. Crepeau z Oddelka za strojnǐstvo Uni-
verze v Idahu v mestu Moskva (Moscow) [32, 95, 10], zaradi česar je Stefanov
problem nekakšna slovenska tema.
Stefanov problem, znan tudi kot problem gibljive meje, je vedno bolj plo-
dno področje raziskav. Poleg bistvene Rubinsteinove knjige med pomembne
osnove spada še Klasični Stefanov problem avtorja Sushila Chandre Gupte
(1937) in druga dela o taljenju in strjevanju materialov ter numeričnih me-
todah reševanja Stefanovega problema [15, 1, 99, 100, 50].
7Lev Rubinstein je bil rojen v mestu Berdychiv, ki je imelo največ židovske populacije
v takratnem ruskem imperiju. 15. marca 1941 ga je NKVD obsodila na pet let zapora
v premogovnǐsko-gozdarskem gulagu najvzhodneǰsega evropskega mesta Vorkuta znotraj
polarnega kroga, kot družbeno nevaren element. Morda je bila to v resnici njegova velika
sreča, ker so Nemci do oktobra 1941 v njegovem rodnem Berdičevu pobili malodane vseh
več deset tisoč Židov. V četrtem največjem mestu v severnem arktičnem krogu, Vorkuti, se
je Rubinstein navdušil za Stefanov problem polarnega ledu, ki ga je raziskoval naslednjega
četrt stoletja, tudi po selitvi na Hebrejsko univerzo v topleǰsem Jeruzalemu. Iz gulaga
Vorkuta je odšel v mesto Ufa z več kot milijonom prebivalcev v ruski Baškiriji med reko
Volgo in Uralom. Tam mu je soproga Batya Haskin poročena Rubinstein rodila sina
Isaaka 16. septembra 1949. V naslednjih letih se je družina preselila v zahodno turkmensko
sredǐsče naftne industrije Balkanabat, kjer je Lev raziskoval leta 1953. Nato so se odpravili
v Latvijo. Isaak je diplomiral v Rigi in leta 1971 tam zagovarjal magistrsko nalogo na
Latvijski državni univerzi, kjer se je poročil z Lubo Gourevitch (Люба Гуревич) 27. julija
1971. Isaak je leta 1978 doktoriral na Weizmannovem inštitutu za znanost v Rehovotu v
Izraelu, post-doktorski študij pa je opravil kot raziskovalni sodelavec MIT v Cambridgeu
v letih 1978–1979. Tako se je družina Rubinstein sredi sedemdesetih let končno preselila
v Izrael. Tam je Lev objavljal skupaj s svojim sinom Isaakom Rubinsteinom z univerze
Ben-Gurion v Negevu.
112 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 113 — #15 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
Zaključek
Jožef Stefan in sploh vsak znanstvenik stoji na ramenih veličine svojih pred-
hodnikov. Rek velja vsesplošno, čeravno se je Isaac Newton z njim pošalil,
saj je namigoval na svojega nasprotnika Roberta Hooka, ki je bil majhne in
grbaste postave. K Stefanovemu uspehu so veliko pripomogle mednarodne
britanske in francoske zveze njegovih mentorjev Kollerja in Ettingshausna.
Pod njunim vplivom se je Stefan osredotočil na raziskovanje kinetične teorije
in atomov v skladu s prizadevanji Britanca Maxwella in Helmholtza v Ber-
linu. Zato so Britanci in Francozi Stefanove dunajske razprave sproti tiskali
v prevodih, resda precej raje njegove eksperimentalne dosežke, kot matema-
tične teorije. To mednarodno razsežnost Stefanovega dela v tem prispevku
prvič predstavljamo slovenskim bralcem, obenem pa prvi uporabljamo Kol-
lerjeve zapiske Stefanovih univerzitetnih predavanj kot edini tovrstni do zdaj
znani primarni vir. Ob tem kaže poudariti še izredno Stefanovo nadarjenost
za kadrovanje, saj se mu je v zelo kratkem času na vse vodilne akademske
položaje v Habsburški monarhiji posrečilo postaviti svoje učence, vključno
z Boltzmannom, z izjemo Machove praške univerze.
LITERATURA
[1] V. Alexiades in A. D. Solomon, Mathematical Modeling of Melting and Freezing
Processes, CRC Press, 1992.
[2] A. J. Angström, Optične raziskave (Optiska undersökningar), Svenska vetenskap-
sakademiens Handlingar 40, sprejeto 16. 2. 1853, 1852, 333–360. Prevod: Optische
Untersuchungen, Ann. Phys. 170/1 94 (1855), 141–165. Prevod iz nemščine: Optical
Researches. Phil. Mag., Series 4, 9 (1855), 327–342.
[3] A. J. Angström, Neue Bestimmung der Länge der Lichtwellen, nebst einer Methode,
auf optischem Wege die fortschreitende Bewegung des Sonnensystems zu bestimmen,
Ann. Phys. 199/11 (1864), 489–505.
[4] A. Beer, Ueber das Verhältniss des Laplace-Biot’schen Gesetzes zu Ampère’s Theorie
des Magnetismus; Vergleich der von Neumann und Plücker aufgestellten Theorien
der magneto-elektrischen Induction, Ann. Phys. 94, 170/2 (1855), 177–192.
[5] L. Boltzmann in A. Töpler, Über eine neue optische Methode, die Schwingungen
tönender Luftsäulen zu analysiren, Wien. Anz. 17/9 (1870), 73–75 (prebral J. Ste-
fan). Dalǰsa inačica: Ueber eine neue optische Methode, die Schwingungen tönender
Luftsäulen zu analysiren, Ann. Phys. 141 (1870), 217/11, 321–352.
[6] M. Brillouin, Sur quelques problèmes non rśolus de la Physique Mathḿatique clas-
sique: Propagation de la fusion, Annales de l’Institut Henri Poincaŕ, 1/3 (1930),
285–308. Reprint: Paris, 1931.
99–120 113
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 114 — #16 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
[7] R. W. Bunsen, On some thermo-electric piles of great activity, Phil. Mag., 29/194
(1865), 159–162.
[8] R. W. Bunsen, Simple method of preparing thallium, Phil. Mag., 29/194 (1865), 168.
[9] E. F. F. Chladni, Kurze Übersicht der Schall und Klanglehre, nebst einem Anhange
die Entwickelung und Anordnung der Tonverhältnisse betreffend, Mainz, 1827.
[10] J. C. Crepeau, Jožef Stefan: His Scientific Legacy on the 175th Anniversary, Shar-
jah (UAE): Bentham Science Publishers, 2013.
[11] L. Ditscheiner, Theorie der Beugungserscheinungen in doppeltbrechenden Medien,
Wien. Anz., 3/21 (1866), 193–195.
[12] A. Fick, Ueber Diffusion, Ann. Phys., 170/94 (1855), številka 1, 59–86.
[13] C. Fromme, Zur Frage der anomalen Magnetisirung, Ann. Phys., 269/1 (1887),
236–237.
[14] T. Graham, Liquid diffusion applied to analysis, Philosophical Transactions, 151
(1861), 183–224. Ponatis: Phil. Mag., 4/23 (1862), 204–223, 290–306, 368–380.
Prevod: Mémoire sur la diffusion moléculaire appliquée à l’analyse, Annales de
Chimie et de Physique, 3/65 (1862), 129–207.
[15] S. C. Gupta, The Classical Stefan Problem: Basic Concepts, Modelling and Ana-
lysis, 45, Elsevier, 2003.
[16] H. Helmholtz, Messungen über Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Reizung in den
Nerven, Archiv für Anatomie, Physiologie und wissenschaftliche Medicin, 19 (1852),
199–216.
[17] H. Hertz, Ueber die Fortleitung electrischer Wellen durch Dräthe, Ann. Phys., 273/7
(1889), 395–408.
[18] S. Južnič, Zgodovina raziskovanja vakuumskih tehnik 2, Ljubljana: DVTS, 2010,
str. 268, 281.
[19] S. Južnič, Marian Koller: Sloviti bohinjski astronom, Zgodovina za Vse, 27/2 (2020),
85.
[20] S. Južnič, Marian Koller: Sloviti bohinjski astronom, Zgodovina za Vse, 27/2 (2020),
89.
[21] S. Južnič, Bohinjski astronom za afrǐske misijone, Slovenski časi, kraji, ljudje; slo-
venski zgodovinski magazin, 3/28 (2020), 25–29.
[22] S. Južnič, Jožef Stefan predava matematiko, Matematika v šoli, 26/2 (2020), 47–53.
[23] G. Kirchhoff, O gibanju elektrike (Über die Bewegung der Elektricität), Ann. Phys.,
178/12 (1857), 529–544.
[24] G. Kirchhoff, O teoriji magnetizma v železnem telesu (Zur Theorie des in einem
Eisenkörper inducirten Magnetismus), Ann. Phys. 218/1 (1871), 1–15.
[25] M. Koller, O interferenci, uklonu, polarizaciji (Über Interferenz, Beugung, Polari-
sation), rokopis Stefanovih predavanj v poletnem semestru 1863/64 z L. Boltzman-
114 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 115 — #17 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
nom med študenti po njegovi maturi oktobra 1863, 10 folijev (= 40 strani). Rokopis
št. 27, Direktorij-Arhiv opazovalnice Kremsmünster.
[26] M. Koller, Zapiski s predavanj ki jih je imel prof. dr. Jožef Stefan pod naslovom
Über Elektrodynamik und Theorie der Induction v letnem semestru 1862/63, 26
folijev (= 104 strani), Direktorij-Arhiv opazovalnice (Sternwarte) Kremsmünster
(Direktions-Archiv der Sternwarte Kremsmünster), Koller-Manuskripte 32.
[27] M. Koller, Zapiski s predavanj ki jih je imel prof. dr. Jožef Stefan pod naslovom
Über die Theorie der Wärme v zimskem semestru 1862/63, 35 folijev (=140 strani),
Direktorij-Arhiv opazovalnice (Sternwarte) Kremsmünster (Direktions-Archiv der
Sternwarte Kremsmünster), Koller-Manuskripte 31. V Kollerjevi zapuščini v Krem-
smünstru je skupno pet zajetnih zvezkov zapiskov šestih semestrov Stefanovih pre-
davanj (foto: dr. Amand Kraml).
[28] G. Lamé in Clapeyron, Mémoire sur la solidification par refroidissement d’un globe
liquide, Annales de Chimie et de Physique 47 (1831), 250–256.
[29] L. S. Leibenzon, Руководство по нефтепромысловой механике (A guide to petro-
leum industry mechanics), Moskva, 1931.
[30] L. S. Leibenzon, К вопросу о затвердевании земного шара из первоначального
расплавленного состояния (On the question of the solidification of the globe from
its original molten state). Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Geograf, i Geofiz., 6 (1939),
625–660.
[31] G. Lippmann, Sur une loi générale de l’induction, dans les circuits dénués de rési-
stance, Comptes rendus, 109 (1889), 251–255.
[32] G. S. H. Lock, On the Use of Asymptotic Solutions to Plane Ice-Water Problems,
Journal of Glaciology, 8/53 (1969), 285–300.
[33] E. Mach, Über die Wirkung der räumlichen Vertheilung des Lichtreizes auf die
Netzhaut: vorgelegt in der Sitzung am 3. october 1865, Wien. Ber., 52/2 (1865),
303–322. Povzetek: On the Visual Sensations Produced by Intermittent Excitations
of the Retina, Phil. Mag., 4/30 (1865), 319–320.
[34] S. S. Marcus, Nova zelo močna termoelektrična baterija (zlitina baker-cink-nikelj
/ zlitina antimon-cink-bizmut) (Eine neue und sehr kräftige thermo-elektrische
Säule (Kupfer-Zink-Nickellegierung/Antimon-Zink-Wismutlegierung)), Wien. Ber.,
51 (1865), 280–285. Prevod: On a new Thermo-Element, Phil. Mag., 4/30 (1865),
406–407.
[35] M. Margules, Über Theorie und Anwendung der elektromagnetischen Rotationen,
Vorgelegt in der Sitzung am 23 Mai 1878, Wien. Ber., II/77 (1878), 805–818. Re-
print: Annalen der Physik, 242/1 (1878), 59–72.
[36] M. Margules, Bemerkung zu den Stefan’schen Grundformeln der Elektrodynamik,
Vorgelegt in der Sitzung am 17 October 1878, Wien. Ber., 78 (1878), 779–788.
[37] C. Neumann, Beobachtungen über die Schwingungen gestrichener Saiten, (vorgelegt
in der Sitzung am 20. Jänner 1870), Wien. Ber., II/61 (1870), 89–104, Wien. Anz.,
17/3 (1870), 18–19 (poslal dopisni član akademije E. Mach).
99–120 115
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 116 — #18 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
[38] A. Obermayer, Fire of St. Elm, Phil. Mag., 5/25 (1888), 323–324.
[39] K. Puschl, Über den Wärmezustande der Gase, Wien. Ber., 45 (1862), 357–384.
[40] K. Puschl, Notiz über die Molekularbewegung in Gasen, Wien. Ber., 48 (1863), 35–
39.
[41] E. Reitlinger, On the stratification of the electric light, Phil. Mag., 4/25 (1863),
317–318.
[42] F. Rossetti, Annales de Chimie et de physique, 17 (1879). Prevod: LIII, Experi-
mental Researches on the temperature of the sun, Phil. Mag., 8/49 (1879), 324–332,
8/51 (1879), 438–449.
[43] H. A. Rowland, O magnetni prepustnosti (On Magnetic Permeability), Phil. Mag.,
4/46 (1873), 140–159; Stefan je citiral predzadnjo stran 158.
[44] I. Rubinstein, Elektronski sporočili Levovega sina Isaaka Rubinsteina poslani av-
torju iz Izraela 26. marca 2021 ob 13:05 in 19:26.
[45] L. Rubinstein, On the Dynamics of Evaporation of Polycomponent Solutions in
a Nonvolatile Solvent, Oak Ridge, Tennessee: US. Atomic Energy Commission,
Technical Information Service, 1953.
[46] L. Rubinstein, Об определении положения границы раздела фаз в одномерной
задаче Стефана (Stefan Problem), Doklady Akademii Nauk SSSR, Acts of Aca-
demy of Sciences of USSR, series A, 58/2 (1947), 217–220.
[47] L. Rubinstein, К вопросу о численном решении интегральных уравнений задачи
Стефана. Изв. вузов. Матем. (On question of numerical solving of integral equation
of Stefan Problem, Reports of Higher Schools of Mathematics), 4 (1958), 202–214.
[48] L. Rubinstein in I. Rubinstein, Differential Equations in classical mathematical
physics, New York: Cambridge University Press, 1995.
[49] L. Rubinstein, The Stefan Problem, Translations of Mathematical Monographs, Pro-
vidence, 1971.
[50] L. Salvatori in N. Tosi, Stefan Problem through Extended Finite Elements, Re-
view and Further Investigations, Algorithms, 2(3) (2009), 1177–1220, DOI: 10.
3390/a2031177.
[51] E. Sarasin in L. de la Rive, O hitrih električnih nihanjih M. Hertza (Sur les oscil-
lations ĺectriques rapides de M. Hertz), sporočeno ženevski Société de physique 5.
septembra 1889, Archives des science physiques et naturelles, 3/22 (1889), 283–288.
[52] M. Sekulić, Beziehung zwischen der elektromotorischen Kraft und der chemi-
schen Wärmetönung, Wien. Anz., 16/15 (1878), 129. Prebral tajnik matematično-
naravoslovnega razreda akademije J. Stefan dne 21. 6. 1878.
[53] S. Sitar, Jožef Stefan: pesnik in fizik: Ob stoletnici rojstva, Založba Park, Ljubljana,
1993.
[54] J. Strnad, Jožef Stefan: Ob stopedesetletnici rojstva, Društvo matematikov, fizikov
in astronomov SRS, Ljubljana, 1985.
116 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 117 — #19 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
[55] J. Stefan, O hitrosti zvoka v plinih (Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des
Schales in gasförmigen Körpern), Ann. Phys., 4, 118 (28, 194)/3, 14. april 1863,
494–496. Poslano z Dunaja 13. marca 1863. Prevod: LXVI. Intelligence and miscel-
laneous articles, On the velocity of the propagation of sound in gaseous bodies, Phil.
Mag., 4/25 (1863), 490–491.
[56] J. Stefan, Pripombe k teoriji plinov (Bemerkungen zur Theorie der Gase), Wien.
Ber. II/47 (1863), 81–97 (seja 22. januarja 1863). Skraǰsan ponatis: Ann. Phys.,
119/29 (1863), 492–496. Skraǰsano prevedeno poročilo iz 47. zvezka Wien. Ber.,
XIV. Intelligence and miscellaneous articles, Remarks on the theory of gases, Phil.
Mag., 4/27 (1864), 75–77.
[57] J. Stefan, O širjenju toplote (Über die Fortpflanzung der Wärme), Wien. Ber., II/47
(1863), 326–345. Ponatis: Ann. Phys., 125 (201 v celotnem štetju zvezkov) (1865),
257–275.
[58] J. Stefan, O sipanju svetlobe v kremenu pri vrtenju polarizacijske ravnine (Über
die Dispersion des Lichtes durch Drehung der Polarisationsebene im Quarz), Wien.
Ber., II/50/15 (1864), 88–124. Skraǰsan prevod z nekoliko spremenjenim naslovom:
Ein Versuch über die Natur des unpolarisirten Lichtes und die Doppelbrechung der
Polarisationsebene im Quarz in den Richtung der optischen Axe, Wien. Anz., 1/23
(1864), 175–177. Skraǰsan prevod iz Wien. Ber.: O razpršitvi svetlobe zaradi vrtenja
polarizacijske ravnine kremena (On the Dispersion of Light by Quartz, owing to the
rotation of the plane of polarisation), Phil. Mag., 4/28 (1864), 137–140.
[59] J. Stefan, Über den Einfluß der Wärme auf die Brechung des Lichtes in festen
Körpern, Wien. Ber., 63 (1871), 223–245.
[60] J. Stefan, Über die mit dem Soleil’schen Doppelquarz ausgeführten Interferenzver-
suche, Wien. Ber., 66 (1872), 325–354.
[61] J. Stefan, O nekaterih termoelementih z veliko napetostjo (Über einige Thermo-
elemente von grosser elektromotorischer Kraft), Wien. Ber., 51 (1865), 260–262.
Brano na 9. seji 23. marca 1865. Ponatis: VIII, Über einige Thermoelemente von
grosser elektromotorischer Kraft, Ann. Phys., 124/4 (1865), 632–635. Skraǰsano pre-
vedeno poročilo iz Ann. Phys.: XI, Intelligence and miscellaneous articles. On some
thermo-elements of great electromotive force, Phil. Mag., 4/30 (1865), 77–78.
[62] J. Stefan, On a new Thermo-Element, Phil. Mag., 29/197 (1865), 406–407.
[63] J. Stefan, O novi metodi za merjenje valovne doľzine svetlobe (Über eine neue Me-
thode, die Lange der Lichtwellen zu messen), Wien. Ber., II/53 (1866), 521–528,
brano na Dunajski akademski seji 19. aprila 1866. Povzetek: Wien. Anz., 3/11
(1866), 95–96. Skraǰsano prevedeno poročilo: LXXIX, Intelligence and miscellane-
ous articles. On a New Method of Measuring the Lengths of Luminous Waves, Phil.
Mag., 4/31 (1866), 212 (Supplement), 550–551.
[64] J. Stefan, O vplivu notranjega trenja v zraku na širjenje zvoka (Über den Einfluß der
inneren Reibung in der Luft auf die Schallbewegung), Wien. Ber., II/53 (1866), 529–
537 (brano na seji dunajske akademije 16. aprila 1866). Povzetek: Wien. Anz., 3/11
(1866), 96. Skraǰsano prevedeno poročilo: LXXIX, Intelligence and miscellaneous
articles. On the Influence of Internal Friction un the air on the motion of sound,
Phil. Mag., 4/31 (1866), številka 212 (Supplement), 551–551.
99–120 117
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 118 — #20 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
[65] J. Stefan, Uporaba nihanja sestavljenih palic za določanje hitrosti zvoka (Anwendung
der Schwingungen zusammengesetzer Stäbe zur Bestimmung der Schallgeschwindi-
gkeit), Wien. Ber., II/57 (1868), 697–708 (brano na Dunajski akademski seji 30.
aprila 1868). Skraǰsano prevedeno poročilo: XIII, Intelligence and miscellaneous
articles. (On the) Application of the vibrations of compound bars to determining the
velocity of sound, Phil. Mag., 4/36 (1868), številka 240, 80.
[66] J. Stefan, O osnovnih enačbah elektrodinamike (Über die Grundformeln der Elek-
trodynamik), Wien. Ber., II/59 (1869), 693–769.
[67] J. Stefan, O plasteh v nihajočih tekočinah (Über Schichtungen in schwingenden
Flüßigkeiten), Wien. Ber., II/65 (1872), 424–427. Ponatisi: Sitzungsberichte der
Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Berlin. Ber., s seje
Pruske akademije znanosti), 1872; Naturforscher, 6/7 (1873), 67.
[68] J. Stefan, Stratification dans un liquide animé d’un mouvement oscillatoire, Archi-
ves des science physiques et naturelles (Bibliothèque Universelle et Revue Suisse,
Geneve), Nouvelles Période, 2/46 (1873), 270–271.
[69] J. Stefan, Stratification dans un liquide animé d’un mouvement oscillatoire, Kosmos,
Les mondes; revue hebdomadaires des science et leurs applications aux arts et à
l’industrie, 32 (1873), 707–708; 33 (1874), 564–565.
[70] J. Stefan, Obvestila in razni članki, (O) Stratifikaciji v tekočinah v nihajočem giba-
nju, (XL. Intelligence and miscellaneous articles. (On) Stratification in a Liquids in
oscillatory motion), Phil. Mag., 4/45 (1873), 320.
[71] J. Stefan, Raziskovanje izparevanja (Versuche über die Verdampfung), Wien. Ber.,
II/68 (brano na seji 23. oktobra, natis novembra 1873), 385–423.
[72] J. Stefan, LXIV. Intelligence and miscellaneous articles. Experiments on evapora-
tion, Phil. Mag., 4/46 (1873), 483–484.
[73] J. Stefan, Résultats des expériences sur l’évaporation, Journal d’Institut (Mémoires
de l’Académie des sciences de l’Institut de France Académie des sciences; Mḿoires
prśentś par divers savans à l’Acadḿie royale des sciences de l’Institut de France, et
imprimś par son ordre: sciences mathḿatiques et physiques, des savants étrangers),
1874, 39. zvezek. Zvezek 20 je bil tiskan leta 1872, zvezek 21 pa leta 1875, vmes leta
1874 pa natisov ni bilo.
[74] J. Stefan, Sur l’évaporation, L’institut: journal universel des sciences et des socit́́s
savantes en France et à l’t́ranger, Paris: E. Donnaud (Paris: L’Institut), 1873, 41
(nouvelle série 1re année no 50), 400, 31. december 1873, 41 (nouvelle série 1re
année no 52), 414.
[75] J. Stefan, Résultats des expériences sur l’évaporation, Kosmos, Les mondes; revue
hebdomadaires des sciences et leurs applications aux arts et à l’industrie, 33 (1874),
272.
[76] J. Stefan, K teoriji magnetnih sil (Zur Theorie der magnetischen Kräfte), Wien.
Ber., II/69 (1874), 165–210. Preveden povzetek: Contribution to the theory of ma-
gnetic forces, Phil. Mag., 4/47 (1874), 318–319.
118 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 119 — #21 i
i
i
i
i
i
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini
[77] J. Stefan, Poskusi z navidezno adhezijo (Versuche über die scheinbare Adhäsion),
Wien. Ber., II/69 (1874), 713–728. Skraǰsani ponatis: Ann. Phys., 154 (1875), 230/2,
316–318. Povzetek: Experiments on apparent adhesion, Phil. Mag., 4/47 (1874),
465–466.
[78] J. Stefan, O difuziji tekočin I. O optičnih opazovalnih metodah (Über die Diffusion
der Flüssigkeiten (1: Über die optischen Beobachtungsmethoden), Wien. Ber., II/78
(1878), (brano na 26. seji, 5. decembra 1878), 953, 957–975. Prevod povzetka: On
the Diffusion of Liquids, Phil. Mag., 5/7 (1879), 74–75.
[79] J. Stefan, O difuziji tekočin II. Račun Grahamovih poskusov (Über die Diffusion der
Flüssigkeiten, 2 Abhandlung (2: Berechnung der Graham’schen Versuche), Wien.
Ber., II/79 (brano na 3. seji, 3. januar 1879), 161–214. Povzetek: Wien. Anz.,
qtextbf16 (1879), 24–27. Prevod povzetka: On the Diffusion of Liquids, Phil. Mag.,
5/7 (1879), 295–297.
[80] J. Stefan, O razlikah med Ampèrovo teorijo magnetizma in teorijo elektromagne-
tnih sil (Über die Abweichungen der Ampèreschen Theorie des Magnetismus von
der Theorie der elektromagnetischen Kräfte), Wien. Anz., 16/10 (1879), 110–111.
Celotna razprava: Über die Abweichungen der Ampèreschen Theorie des Magne-
tismus von der Theorie der elektromagnetischen Kräfte, Wien. Ber., II/79 (1879),
(brano na 10. seji, 17. april 1879), 659–679. Prevod povzetka: On the deviations of
Ampère’s theory of Magnetism from the Theory of the Electromagnetic Forces, Phil.
Mag., 5/8/46 (1879), 83–84.
[81] J. Stefan, Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur,
Wien. Ber., II/79 (8. seja, 20. marec 1879), 391–428. Povzetek: Wien. Anzeiger,
16/8 (1879), 87–89.
[82] J. Stefan, O nosilnosti magnetov (Über die Tragkraft der Magnete), Wien. Ber.,
II/81 (1880), 89–116. Povzetek: Wien. Anz., 17/2 (1880), 14–15. Prevod: On the
carrying-power of magnets, Phil. Mag., 5/9/55 (1880), 232–233.
[83] J. Stefan, O produkciji močnih magnetnih polj (Über die Herstellung intensiver
magnetischer Felder), Wien. Ber., II/97 (1888), 176–183. Prevod: On the production
of intense magnetic fields, Phil. Mag., 5/25/155 (1888), 322–323.
[84] J. Stefan, O izparevanju in raztapljanju kot pojavih difuzije (Über die Verdampfung
und die Auflösung als Vorgänge der Diffusion), Wien. Ber., II/98 (1889), 1418–1442.
Ponatis: Ann. Phys., 41/277 (1890), 725–747. Prevod: On evaporation and solution
as processes of diffusion, Phil. Mag., 5/29/176 (1890), 139–140.
[85] J. Stefan, Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung im
Eismeere, Wien. Ber., II/98 (1889), 965.
[86] J. Stefan, O električnem nihanju v premih vodnikih (Über die elektrische Schwin-
gungen in geraden Leitern), Wien. Ber., II/99 (1890), 319–339; Skraǰsani ponatis:
Ann. Phys., 41 (1890), 400. Prevod: On electrical vibrations in straight conductors,
Phil. Mag., 5/29/179 (1890), 373–374 in 180 (1890), 450–452.
[87] J. Stefan, O teoriji oscilacij elektrostatične razelektritve (Über die Theorie der osci-
latorischen Entladung), Wien. Ber., II/99 (1890), 534–548. Ponatis: Ann. Phys., 41
99–120 119
i
i
“Juznic” — 2022/9/14 — 13:06 — page 120 — #22 i
i
i
i
i
i
Stanislav Južnič
(1890), 725. Prevod: On the theory of oscillation discharge, Phil. Mag., 5/30/184
(1890), 373–374 in 180 (1890), 282–283.
[88] J. Stefan, O Wheatstonovi določitvi hitrosti elektrike (Über Wheatston’s Bestim-
mung der Geschwindigkeit der Elektrizität), Wien. Anz., 28/10 (1891), 106. Samo
zaznamek z naslovom: Wien. Ber., 100/4 (1891), 469. Prevod: On Wheatstone’s de-
termination of velocity of electricity, Phil. Mag., 5/31/193 (1891), 519–520 in 32/198
(1891), 480.
[89] I. Šubic, Dr. Josip Stefan. Zbornik znanstvenih in poučnih spisov, 4 (1902), 63.
[90] S. Šubic, O temperaturnih konstantah (Ueber die Temperatur-Constante), Wien.
Ber. mat. nat. Kl., 65 (1872), 27. Povzetek: Wien. Anz., 9 (1872), 26. J. Stefan, O
spremenljivih električnih tokovih v debelih vodnikih (Über veränderliche elektrische
Ströme in dicken Leitungsdrähten), Wien. Ber., 95 (1887), 917–934.
[91] J. J. Thomson, Elektrolitski upor prehajanju visoko frekvenčnih izmeničnih tokov, z
nekaterimi preiskavami o periodah vibracij električnih sistemov (The resistance of
electrolytes to the passage of very rapidly alternating currents, with some investi-
gations on the times of vibration of electrical systems), Proceedings of the Royal
Society, 45 (1889), 269–290.
[92] B. Šarler, O Stefanovih raziskavah večfaznih sistemov, 14. 12. 2011. Neobjavljeno
predavanje na Inštitutu Jožef Stefan, posredovano v PowerPointu avtorju tega pri-
spevka februarja 2021.
[93] B. Šarler, Stefan’s work on solid-liquid phase changes. Stefan and Moving Front
Problems, Engineering analysis with boundary elements (Eng. Anal. Bound. Elem.),
16/2 (1995), 83.
[94] A. N. Tikhonov, Funkcijske enačbe Volterrovega tipa in njih uporaba za nekatere
probleme matematične fizike (О функциональных уравнениях типа Вольтерра и
их приложениях к уравнениям математической физики), Бюллетень Москов-
ского государственного университета имени М. В. Ломоносова (Бюлл. МГУ),
секция А, серия: математика и механика, 1/8 (1938), 1–25.
[95] D. A. Tarzia, A Bibliography on Moving-Free Boundary Problems for the Heat-
Diffusion Equation, The Stefan and Related Problems, MAT-Series A 2 (2000),
1–297.
[96] J. L. G. Violle, Stefan – Ueber die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und
der Temperatur (Sur la relation entre le rayonnement calorifique et la température);
Sitzungs berichte d. K. Akademie d. Wissenschaften in Wien, p. 84. J. Phys. Theor.
Appl., 10/1 (1881), 317–319.
[97] A. C. Waltenhofen, O elektromagnetni nosilni sili (Über elektromagnetische Tra-
gkraft), Wien. Ber., 61 (poslano iz Prage 4. aprila 1870), 739–754.
[98] C. Wheatstone, An account of some experiments to measure the velocity of electri-
city, and the duration of electric light, Phil. Trans., 124 (1834), 583–591.
[99] L. S. Yao in J. Prusa, Melting and Freezing, Adv. Heat Transfer, 19 (1989), 1–95.
[100] R. Viskanta, Heat Transfer During Melting and Solidification of Metals, J. Heat
Transfer, 110 (1988), 1205–1219.
120 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“vabilo” — 2022/9/15 — 7:09 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Vabilo na strokovno srečanje in 75. občni zbor društva
Spoštovane članice in člani DMFA Slovenije!
Obveščamo vas, da bosta strokovno srečanje in 75. občni zbor društva
potekala v petek, 11. novembra 2022, v hotelu Terme v Termah Čatež.
Posebej vas opozarjamo na spremembo termina s prvotno načrtovanega v
oktobru. Srečanje bo organizirano v živo po naslednjem programu:
• 9.00–9.45 Predstavitev portala tekmujem.si
• 9.45–12.30, 14.00–15.30 Pedagoške delavnice (Astronomija, Fizika, Ma-
tematika, Umetna inteligenca)
• 15.30–16.30 Predavanji Presekovih 50 in 60 let računalnika ZUSE
• 16.30–18.00 Občni zbor društva z volitvami
• 18.00–19.00 Znanstveni predavanji iz matematike in fizike
Vzporedno s strokovnim srečanjem bo v sosednjem hotelu Toplice potekala
12. konferenca fizikov v osnovnih raziskavah.
Druge informacije in obrazec za prijavo bodo objavljeni na spletni strani
DMFA in poslani po elektronski pošti članom društva. Kotizacija za Peda-
goške delavnice so:
• 56 EUR člani / 80 EUR nečlani: vključeni odmori s kavo in kosilom
Po koncu srečanja bo organizirana skupinska večerja z okvirno ceno 16 EUR,
ki jo plačajo udeleženci sami.
Udeleženci imajo po dogodku možnost nočitve v hotelu Toplice 4* in re-
zervacije sob po znižanih cenah. Rezervacije pošljite na info@terme-catez.
si do 2. novembra 2022 s pripisom, da gre za Konferenco fizikov v osnovnih
raziskavah oz. srečanje DMFA.
Vljudno vabljeni!
Neža Mramor Kosta
predsednica DMFA Slovenije
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3 121
i
i
“Mohoric” — 2022/9/19 — 8:27 — page 122 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2020
Zoisove nagrade in priznanja, priznanje Ambasador znanosti ter Puhovo
priznanje in nagrada za leto 2020 so bile podeljene 1. decembra 2020 v
Ljubljani. Te nagrade in priznanja so najvǐsje državne nagrade za dosežke
na področju znanstvenoraziskovalnega dela, razvojne dejavnosti in prenosa
znanstvenih izsledkov in novosti v gospodarstvo. Priznanje Ambasador zna-
nosti Republike Slovenije je prejel Boštjan Kobe. Tamara Lah Turnšek in
Radovan Stanislav Pejovnik sta prejela Zoisovo nagrado za življenjsko delo.
Zoisove nagrade za vrhunske dosežke so prejeli Barbara Malič, Gregor An-
derluh, Andrej Filipčič, Samo Stanič, Marko Zavrtanik in Kozma Ahačič.
Zoisova priznanja so prejeli Katarina Čufar, Boris Kryštufek, Lara Lusa,
Samo Kralj in Miha Škerlavaj. Janez Trontelj je prejel Puhovo nagrado
za življenjsko delo, Janko Petrovčič pa Puhovo nagrado za vrhunske do-
sežke. Darko Goričanec je prejel Puhovo priznanje. Med prejemniki sta
člana Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Samo Stanič in
Samo Kralj.
Dosežki nagrajencev so opisani na straneh Ministrstva za izobraževanje,
znanost in šport [1]. Povzemimo dosežke naših članov.
Slika 1. Samo Stanič, foto: http://www.ung.si/en/research/cac/staff/head/
Prof. dr. Samo Stanič je prejel Zoisovo nagrado za vrhunske dosežke pri
raziskavah kozmičnih delcev ekstremnih energij.
Prof. dr. Samo Stanič je bil dekan Fakultete za naravoslovje na Univerzi v
122 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Mohoric” — 2022/9/19 — 8:27 — page 123 — #2 i
i
i
i
i
i
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2020
Novi Gorici in sodelavec Instituta »Jožef Stefan«. Nagrado je prejel skupaj s
prof. dr. Andrejem Filipčičem in prof. dr. Markom Zavrtanikom. Zadnjih 15
let svoje kariere je posvetil raziskavam v astrofiziki osnovnih delcev v okviru
mednarodne kolaboracije Pierre Auger, ki proučuje kozmične žarke ekstre-
mnih energij. Njegovi svetovno odmevni uspehi so prispevali k odličnosti in
prepoznavnosti slovenskega raziskovalnega prostora. Raziskuje lastnosti ra-
zvoja plazov relativističnih sekundarnih delcev v atmosferi, fluks nevtrinov
ekstremnih energij, anizotropijo v vpadnih smereh kozmičnih delcev ekstre-
mnih energij ter večglasnǐske raziskave prvič opaženega zlitja nevtronskih
zvezd. Bistveno je prispeval k razumevanju vesolja pri najvǐsjih energijah,
njegov najbolj odmeven članek je poročal o večglasnǐskem opazovanju zlitja
nevtronskih zvezd. Lastni detektorski sistem in eksperimentalne tehnike je
uspešno prenesel v slovenski raziskovalni prostor z vzpostavitvijo Centra za
raziskave atmosfere na Univerzi v Novi Gorici in izgradnjo prvega lidarskega
observatorija v Sloveniji na Otlici nad Ajdovščino. Njegovo delo je prispe-
valo k novim, temeljnim znanstvenim dognanjem na področju astrofizike in
s tem bistveno vplivalo na nadaljnji razvoj raziskav na tem področju pri nas
in v svetu. Odmevnost njegovih raziskav je razvidna iz visoke citiranosti,
saj se uvršča med 50 najbolj citiranih raziskovalcev v Sloveniji.
Slika 2. Samo Kralj, foto: https://www.researchgate.net/profile/Samo-Kralj
Prof. dr. Samo Kralj je prejel Zoisovo priznanje za pomembne znanstve-
noraziskovalne dosežke na področju fizike mehke snovi.
Prof. dr. Samo Kralj vodi laboratorij Fizika kompleksnih sistemov na Fa-
kulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru in je znanstveni
svetnik na Institutu »Jožef Stefan«. Je svetovno priznan strokovnjak na
področju modeliranja tekočih kristalov in topoloških defektov. Kot vodilni
avtor je s sodelavci originalno vpeljal in demonstriral (i) mehanizem ECTT
(effective-topological-charge-cancellation), ki napoveduje vpliv geometrijske
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3 123
i
i
“Mohoric” — 2022/9/19 — 8:27 — page 124 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
ukrivljenosti na tvorbo in zbiranje topoloških defektov v tankih nematič-
nih plasteh, (ii) mehanizem »zunanje ukrivljenosti«, ki razloži anomalno
široko področje geometrijske stabilnosti celic rdečih krvničk v sesalcih, in
(iii) mehanizem ADCT (adaptivedefect-core-targeting), ki napoveduje, pod
kakšnimi pogoji defekti učinkovito zajemajo nanodelce. (iv) Razvil je tudi
prvi teoretični model elektrokaloričnega pojava v nematičnih in smektič-
nih A tekočih kristalih, na podlagi katerega so odkrili anomalno občutljiv
režim. V slednjem so eksperimentalno izmerili rekordno vrednost elektro-
kaloričnega odziva v tekočih kristalih, ki je dovolj velik, da lahko vodi do
razvoja hladilnih in grelnih sistemov nove generacije.
Vsem nagrajencem iskreno čestitamo za uspeh in priznanje.
LITERATURA
[1] https://www.gov.si/novice/2020-12-01-znane-so-letosnje-prejemnice-in-prejemniki-
nagrad-in-priznanj-za-izjemne-dosezke-v-znanstveno-raziskovalni-dejavnosti/, dostop
8. 10. 2020.
Aleš Mohorič
Andrej Bauer prejemnik nagrade Levija L. Conanta 2022
Prof. dr. Andrej Bauer, profesor računalnǐske matematike na Fakulteti za
matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, je od American Mathematical
Society prejel nagrado Levija L. Conanta za leto 2022 za članek z naslovom
Five stages of accepting constructive mathematics (Pet faz sprejemanja kon-
struktivne matematike) [1]. V spomin na Levija L. Conanta, matematika in
pedagoga, ki je bil znan po svojem odličnem pedagoškem delu, se nagrada
podeljuje od leta 2000 za najbolǰsi ekspozicijski članek, objavljen v revijah
Bulletin of the American Mathematical Society in Notices of the American
Mathematical Society v preteklih petih letih. Novica je objavljena na spletni
strani AMS na povezavi https://www.ams.org/news?news_id=6827.
Bauer se je rodil leta 1971 v Ljubljani. Diplomiral je leta 1994 pod men-
torstvom prof. dr. Dušana Repovša na Fakulteti za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani na programu matematika, teoretična smer. Za di-
plomsko delo z naslovom Seifertovi vlaknati prostori je prejel univerzitetno
Prešernovo nagrado. Na pobudo prof. dr. Marka Petkovška se je odpravil na
doktorski študij na Carnegie Mellon University v ZDA, kjer je leta 2000 dok-
toriral pod mentorstvom prof. dr. Danea Scotta. Oddelek za računalnǐstvo
univerze Carnegie Mellon je Bauerju za doktorsko disertacijo z naslovom
The Realizability Approach to Computable Analysis and Topology podelil
študentsko nagrado. S konstruktivno matematiko se je srečeval že v času
124 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Mohoric” — 2022/9/19 — 8:27 — page 125 — #4 i
i
i
i
i
i
Andrej Bauer prejemnik nagrade Levija L. Conanta 2022
doktorskega študija, saj je tesno povezana s teorijo izračunljivosti, ki jo je
Bauer uporabil na konstrukcijah iz analize in topologije. Po končanem dok-
toratu je Bauer leto preživel na inštitutu Mittag-Leffler na Švedskem, kjer je
v okviru posebnega raziskovalnega programa za logiko nadaljeval raziskave.
Pot ga je vodila nazaj v Ljubljano, kjer se je na Fakulteti za matematiko
in fiziko Univerze v Ljubljani zaposlil kot visokošolski učitelj in leta 2014
postal redni univerzitetni profesor.
Med letoma 2012 in 2013 je na inštitutu Institute for Advanced Study
(IAS) v Princetonu, ZDA, potekalo posebno leto, namenjeno univalentnim
temeljem matematike. Bauer se je pridružil vodilnim znanstvenikom na
področju teorij tipov in dokazovalnih pomočnikov. Skupaj so razvili novo
osnovo matematike, homotopsko teorijo tipov (HoTT), ki temelji na idejah
konstruktivne matematike in združuje teorijo tipov s principi homotopske
teorije. Kot produkt plodovitega leta je izšla knjiga Homotopy Type The-
ory [2], ki je postala osnova za študijo HoTT. Kasneje je homotopska teorija
tipov doživela tudi implementacijo kot knjižnica dokazovalnega pomočnika
Coq, imenovana HoTT Library [5], katere začetnik je bil prav Bauer. Knji-
žnico so razvijali številni strokovnjaki, skupnost uporabnikov in razvijalcev
pa se še vedno širi.
Raziskovalno se Bauer poleg študije homotopske teorije tipov ukvarja
tudi s sintetično izračunljivostjo ter algebrajskimi učinki in njihovimi pre-
strezniki, ki sta jih utemeljila [6] skupaj z doc. dr. Matijo Pretnarjem. Dan-
današnji se Bauer posveča raziskovanju metateorije teorij tipov, razvoju
dokazovalnega pomočnika Andromeda ter formalizaciji posameznih podro-
čij diskretne matematike z dokazovalnim pomočnikom Lean. Bil je mentor
številnim dodiplomskim in magistrskim študentom, na doktorskem študiju
pa je vodil dr. Davorina Lešnika, ddr. Melito Hajdinjak, dr. Philippa Georga
Haselwarterja, dr. Anjo Petković Komel in Jureta Taslaka. Na Fakulteti za
matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani Bauer vodi raziskovalni seminar
za temelje matematike in teoretično računalnǐstvo.
Bauer je zelo dejaven tudi kot član širše matematične skupnosti na
spletu. V svojem blogu z naslovom Mathematics and Computation objavlja
misli, ki so morda prekratke za članek, ali pa članke, predstavitve, videe in
zapise pospremi z dodatno intuitivno razlago, da tako lažje dosežejo bralca.
Na forumu StackExchange je ob času pisanja tega prispevka v kategoriji ra-
čunalnǐstva (Computer science) med 20 najbolj aktivnimi člani, v kategoriji
teoretičnega računalnǐstva (Theoretical computer science) pa je celo najbolj
aktiven član s številnimi prispevki in odgovori na vprašanja. Na forumih
aktivno prispeva tudi na področju matematike (Mathematics, MathOver-
flow), nedavno pa je povezal raziskovalce in ustanovil forum za dokazovalne
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3 125
i
i
“Mohoric” — 2022/9/19 — 8:27 — page 126 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
pomočnike (Proof assistants). Znanstvene ideje širi tudi v medijih, v po-
govornih oddajah (na primer Nedeljski gost na Valu 202), informativnih
oddajah in drugod.
Na IAS so v letu namenjenem raziskovanju temeljev matematike pote-
kali tudi seminarji za širšo matematično publiko, kjer je Bauer hudomušno
predstavil ideje konstruktivne matematike [4] preko petih faz žalovanja, kot
jih je opisala Elisabeth Kübler-Ross v svoji knjigi On Death and Dying [3]:
zanikanje, jeza, pogajanje, depresija in sprejemanje. Med slušatelji je bil
tudi prof. dr. Mark Goresky, urednik revije Bulletin of the American Ma-
thematical Society, ki je Bauerja spodbudil in podpiral, da je predavanje
nadgradil v (nagrajeni) članek [1].
Idejo konstruktivne matematike marsikdo prehitro zavrne, ker ima o njej
napačno predstavo. Zato v članku Bauer bralcu najprej v fazi zanikanja po-
jasni, kaj konstruktivna matematika pravzaprav je: to je matematika, ki
ne uporablja zakona o izključenem tretjem, ki pravi, da za vsako izjavno
spremenljivko P velja P ∨ ¬P . To seveda ne pomeni, da konstruktivizem
dopušča neko »tretjo« možnost, saj tudi v konstruktivni matematiki ve-
lja zakon o neprotislovju, ki trdi, da ne obstaja izjava P , za katero velja
P ∧ ¬P . Faza zanikanja se nadaljuje z razlikovanjem med dokazom ne-
gacije, ki je kot logični sklep prisoten tudi v konstruktivni matematiki, in
dokazom s protislovjem, ki pa je ekvivalenten zakonu o izključenem tretjem
in ga konstruktivna matematika ne zajema. Na primerih Russelovega pa-
radoksa in dokaza obstoja iracionalnih števil a in b, katerih potenca ab je
racionalna, Bauer ilustrira, da za mnoge matematične izreke lahko najdemo
povsem intuitivne konstruktivne dokaze. V zadnjem delu faze zanikanja se
Bauer posveti aksiomu izbire in poda dokaz, da iz aksioma izbire sledi za-
kon o izključenem tretjem, ter na primeru Lebesgueovega izreka o pokritju
znova pokaže, da se je pogosto mogoče izogniti nepotrebni uporabi aksioma
izbire v prid konstruktivnemu dokazu.
Sledi kratka faza jeze, kjer se Bauer dotakne nekaj zgodovinskih vzgibov
in odzivov na konstruktivno matematiko. Še posebej provocira z izrekom, da
je zakon o izključenem tretjem ekvivalenten izjavi, da so podmnožice končne
množice končne, kar primerja z nekaterimi drugimi drznimi matematičnimi
konstrukcijami (neevklidske geometrije, Weirstrassova nikjer odvedljiva zve-
zna funkcija, izrek Banach-Tarskega), ki so prav tako v preteklosti dvigovale
prah, pa smo sčasoma sprejeli njihove matematične razlage.
V fazi pogajanja Bauer bralcu, ki je tipično vzgojen v duhu klasične ma-
tematike, pojasni, kako se sploh lotiti konstruktivne matematike. Za lažjo
inuticijo mu predstavi nekaj modelov konstruktivne matematike. Posebno
pozornost posveti realizabilnosti, povsem konstruktivnemu modelu, kjer je
126 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Mohoric” — 2022/9/19 — 8:27 — page 127 — #6 i
i
i
i
i
i
Andrej Bauer prejemnik nagrade Levija L. Conanta 2022
resnično le tisto, kar je mogoče izračunati. Program, ki služi kot priča re-
sničnosti izjave, se imenuje realizator. Bauer dokaže, da zakon o izključenem
tretjem nima realizatorja in zato ne velja v modelu realizabilnosti. Nadalje
Bauer predstavi topos svežnjev na topološkem prostoru X kot model kon-
struktivne matematike, kjer so resničnostne vrednosti odprte podmnožice
X. Zakon o izključenem tretjem je v tem modelu ekvivalenten dejstvu, da
odprte in zaprte množice sovpadajo, čemur zadoščajo zgolj zelo specifični
topološki prostori X. S pomočjo Arhimedovega aksioma, da za vsako realno
število x obstaja strogo večje celo število k, Bauer pojasni, zakaj v modelu
aksiom izbire ne velja.
Nato nas Bauer popelje na kratek panoramski pregled mnogih konstruk-
tivnih modelov matematike, od Grothendieckovih toposov do homotopske
teorije tipov. Ker se izkaže, da je konstruktivnih vesolij neznosno mnogo,
Bauer to popotovanje šaljivo poimenuje faza depresije, in se hkrati poigra s
primerjavo, da so se matematiki tudi znotraj teorije množic srečali z mno-
gimi svetovi klasične matematike.
V zaključni fazi sprejemanja Bauer pokaže, kako konstruktivistična per-
spektiva spreminja pogled na matematične definicije, dokaze in izreke. Na
zgledu izreka o srednji vrednosti in izreka Tihonova nam ilustrira, kako ma-
tematične pojme reformuliramo v klasično ekvivalentne in konstruktivno
veljavne različice. Konstruktivizem nam tako odstira nov bogateǰsi pogled
na matematične konstrukcije.
Za prejeto nagrado Andreju Bauerju iskreno čestitamo in mu želimo
veliko navdiha in uspeha pri nadaljnjem delu!
LITERATURA
[1] A. Bauer, Five stages of accepting constructive mathematics, Bull. Amer. Math. Soc.
(N. S.) 54 (2017), 481–498.
[2] The Univalent Foundations Program, Homotopy Type Theory: Univalent Fo-
undations of Mathematics, Institute for Advanced Study, 2013, dostopno na
homotopytypetheory.org/book, ogled 3. marca 2022.
[3] E. Kübler-Ross, On Death and Dying, New York, Routledge, 1969.
[4] A. Bauer, Five stages of accepting consturctive mathematics, Predavanje na School
of Mathematics, Institute for Advanced Study, Princeton, ZDA, 2013, dostopno na
www.youtube.com/watch?v=21qPOReu4FI, ogled 3. marca 2022.
[5] A. Bauer, J. Gross, P. LeFanu Lumsdaine, M. Shulman, M. Sozeau in B. Spitters,
The HoTT Library: A formalization of homotopy type theory in Coq, 2016.
[6] A. Bauer in M. Pretnar, Programming with algebraic effects and handlers, J. Log.
Algebr. Methods Program., Elsevier BV 84 (2015), 108–123.
Anja Petković Komel
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3 127
i
i
“Prelovsek” — 2022/9/13 — 10:20 — page 128 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
V spomin, prof. dr. Peter Gosar, 1923–2022
Aprila letos je na svojem domu v Ljubljani v 99. letu umrl prof. dr. Peter
Gosar, častni član Društva matematikov, fizikov in astronomov (DMFA).
Peter Gosar je bil rojen v Ljubljani. Po končani klasični gimnaziji je
študiral fiziko, takrat na Filozofski fakulteti Univerze v Ljubljani. Zaradi
vojne je moral prekiniti študij, diplomiral je leta 1951. Leta 1956 je na
Univerzi v Ljubljani zagovarjal doktorsko disertacijo o razširjanju svetlobe v
optično nehomogenem sredstvu. Po diplomi in odsluženi vojaščini se je leta
1953 zaposlil v laboratoriju za polprevodnike pri Institutu za elektrozveze
v Ljubljani. Delal je na razvoju polprevodnǐskih sestavnih delov, diod in
tranzistorjev. Po dogovoru o skupnem delu na polprevodnikih se je leta
1957 zaposlil na Nuklearnem Institutu Jožef Stefan (IJS). Istega leta je dobil
francosko dveletno štipendijo, s katero je v Laboratoire de Magnetisme et
de Physique du Solide, Bellevue v Parizu delal na raziskavah sončnih celic,
fotoefekta in lastnostih silicija. Po vrnitvi leta 1959 se je posvetil teoretičnim
raziskavam v fiziki trdne snovi in bil še istega leta izvoljen v znanstvenega
sodelavca IJS. Leta 1961 je postal predstavnik Odseka za teorijsko fiziko in
pozneje tudi vodja odseka ter načelnik Oddelka za fiziko IJS. Za njegovo
delo na teoretični fiziki sta bili zelo pomembni kasneǰsi gostovanji leta 1964
v Chapel Hillu, ZDA, in v letih 1972 in 1973 v Grenoblu, Francija.
Profesor Gosar je začetnik teoretičnih raziskav trdnih snovi pri nas. Tudi
na IJS, ki je bil v začetnem obdobju usmerjen v jedrsko fiziko in s tem po-
vezano teorijo. Fizika trdne snovi je z razširitvijo na eksperimentalne razi-
skave pozneje postala ena osrednjih fizikalnih tematik. V začetnem obdobju
je prof. Gosar raziskoval površinske lastnosti silicija, fotoefekt in silicijeve
sončne celice. Kot teoretik je sprva obravnaval vprašanja fizike polprevo-
dnikov. Po svojih gostovanjih v tujini pa se je lotil takrat najbolj aktualnih
teoretičnih izzivov v fiziki trdne snovi. Njegova dela obravnavajo predvsem
transportne in dinamične probleme v trdnih snoveh: protonsko prevodnost
v ledu; dinamični in statični odziv paraelastičnih centrov; gibljivost elek-
tronov v molekulskih in neurejenih kristalih; gibanje majhnih polaronov;
notranje trenje trdnih snovi; gibanje povezanih elektronov. Deloma so bili
tematika in objavljeni članki vezani tudi na delo z diplomanti in doktorandi,
pri čemer je bil prof. Gosar mentor pri štirih doktorskih delih. Ko je za-
čenjal znanstveno delo, so bile mednarodne objave zelo redke, prof. Gosar
pa je objavil več kot 50 člankov v uglednih strokovnih revijah. Pri svojem
128 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3
i
i
“Prelovsek” — 2022/9/13 — 10:20 — page 129 — #2 i
i
i
i
i
i
V spomin, prof. dr. Peter Gosar, 1923–2022
delu je sledil hitremu razvoju in uporabi teoretičnih metod kvantne meha-
nike in statistične fizike pri razumevanju trdnih snovi. Zlasti odmevna in za
razvoj tukaǰsnje teorije pomembna so bila njegova dela o kvantni dinamiki
z uporabo odzivnih in Greenovih funkcij.
Prof. Peter Gosar se je leta 1961 vključil v poučevanje na Oddelku za
fiziko takratne Fakultete za naravoslovje in tehnologijo (FNT), kjer je bil
redno zaposlen od leta 1966 do svoje upokojitve leta 1993. Na Univerzi v
Ljubljani je bil leta 1971 izvoljen za rednega profesorja. S svojimi razisko-
valnimi izkušnjami je bil začetnik predavanj s tematiko fizike trdne snovi,
tako na diplomskem kot tudi na podiplomskem študiju. Na FNT je pre-
daval izmenoma tudi druge predmete teoretične fizike. Njegova predavanja
so med študenti veljala kot vzor dobro pripravljenih in kljub zahtevnosti
razumljivih predavanj. V zadnjem desetletju je bila ključna njegova vloga
kot predsednika komisije in glavnega izpraševalca pri zaključnih izpitih. V
tej vlogi, pa tudi sicer pri drugih izpitih, je vedno vztrajal zlasti pri trdnosti
osnovnega znanja, kar je sploh bila (in ostaja) odlika ljubljanske fizikalne
šole.
Peter Gosar je zaradi svoje doslednosti in znanstvene avtoritete prevze-
mal vrsto odgovornih zadolžitev. Na IJS je bil v letih 1980 do 1982 predse-
dnik znanstvenega sveta, na FNT pa več let predstojnik Oddelka za fiziko.
Bil je član predsedstva Raziskovalne skupnosti in predsednik njene področne
komisije za matematično-fizikalne vede. Za raziskave protonske prevodnosti
je profesor Gosar prejel leta 1964 Kidričevo nagrado in leta 1994 za življenj-
sko delo na področju teoretične fizike državno nagrado Republike Slovenije
za znanstveno-raziskovalno delo. Slovenska akademija znanosti in umetno-
sti ga je leta 1976 izvolila za rednega člana. Leta 1980 je bil odlikovan z
redom dela z zlatim vencem. Univerza mu je ob upokojitvi podelila na-
ziv zaslužnega profesorja, IJS pa naziv zaslužnega znanstvenika. V okviru
DMFA je bil organizator več seminarjev za srednješolske učitelje. V letih
1970 in 1971 je bil predsednik DMFA. V letih 1960 do 1965 je sodeloval kot
član urednǐskega odbora Obzornika za matematiko in fiziko. Leta 1994 ga
je DMFA imenovala za častnega člana.
Prof. Peter Gosar upravičeno velja za enega od stebrov slovenske fizi-
kalne šole. Raziskovalno delo prof. Gosarja na teoriji trdnih snovi danes
uspešno nadgrajujejo njegovi znanstveni vnuki in pravnuki.
Peter Prelovšek
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 3 XI
i
i
“kolofon” — 2022/9/14 — 10:25 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, SEPTEMBER 2022
Letnik 69, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Variacije na Moivreovo temo (Anton Cedilnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89–98
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini (Stanislav Južnič) . . 99–120
Vesti
Vabilo na strokovno srečanje in 75. občni zbor društva
(Neža Mramor Kosta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2020
(Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122–124
Andrej Bauer prejemnik nagrade Levija L. Conanta 2022
(Anja Petković Komel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124–127
V spomin, prof. dr. Peter Gosar, 1923–2022 (Peter Prelovšek) . . . . . . . . 128–XI
CONTENTS
Articles Pages
Variations on a theme of De Moivre (Anton Cedilnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89–98
Jožef Stefan published in English and French Languages
(Stanislav Južnič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99–120
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–XI
Na naslovnici: Stran iz Kollerjevih zapiskov Stefanovih predavanj o elektrodina-
miki in indukciji v poletnem semestru leta 1863 (glej članek na straneh 99–120).
Foto: dr. Amand Kraml, direktor opazovalnice Kremsmünster.