FILONOVA PREMICA MARKO RAZPET Pedago ska fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2020): 01A20, 51M15, 51M16, 51M25 Filonova premica skozi izbrano to cko v notranjosti danega kota seka njegova kraka tako, da je razdalja med prese ci s cema najmanj sa. Geometrijska konstrukcija Filonove premice na splo sno ni mogo ca samo z neozna cenim ravnilom in sestilom. Problem vodi do kubi cne ena cbe, katere edini pozitivni koren natan cno dolo ca Filonovo premico. Pojasnili bomo njene glavne lastnosti. Do Filonove premice pridemo tudi s prese ci s cem kro znice in hiperbole. THE PHILON LINE The Philon line through a selected point inside a given angle intersects its two arms in such a way that the distance between the intersections is the shortest. In general, the geometric construction of a Philon line is not possible only with an unlabelled ruler and pair of compasses. The problem leads to a cubic equation, whose only positive root exactly determines the Philon line. We will explain its main properties. The Philon line is also obtained by the intersection of a circle and a hyperbola. Uvod Zamislimo si vodna kanala (slika 1). Prvi ima smer vzhod{zahod in je sirok b, drugi, ki je sirok a, pa vstopa vanj pod kotom ’. Na vodi plava tanka ravna lesena letvica dol zine ‘. Kako dolga je se lahko letvica, da lahko neovirano prehaja med kanaloma? V skrajnem primeru se letvica lahko dotakne vogalov, kraji s ci pa robov kanalov. To pomeni, da je treba poiskati najmanj so dol zino letvice, ki ravno se dopu s ca tak ekstremen polo zaj. Na sliki je ’< ’, zato je iskana ekstremna dol zina ve cja, ce letvica oplazi vrh kota ’, kot ce se dotakne vrha kota ’. Primer, ko je kot ’ pravi, pogosto najdemo med nalogami poglavja o ekstremih funkcije ene spremenljivke v matemati cni analizi. Spoznali bomo, da naloga za splo sne kote ni ni c te zja, ce se jo lotimo prav. V prispevku bomo nalogo re sevali za kote med 0 in in ugotovili, da pri tem igra pomembno vlogo tako imenovana Filonova premica, ki je dobila ime po anti cnem mehaniku, matematiku in pisatelju Filonu iz Bizanca, tudi Filonu Mehaniku, ki je zivel v 3. stoletju pr. n. st. O samem Filonu je malo znanega. Ve cinoma je deloval v Aleksandriji, verjetno v slovitem Muzejonu, in na Rodosu. Napisal je delo Priro cnik mehanike, ki ga je sestavljalo 9 knjig, v katerih je obravnaval tudi nekaj Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 121 Marko Razpet Slika 1. Problem plavajo ce letvice in kanalov. matemati cnih problemov, najbolj pa se je posvetil gradnji pristani s c, me- haniki, katapultom, oblegovalnim in obrambnim napravam ter menda celo tajnopisom (glej [1]). V celoti je ohranjena v gr s cini le 4. knjiga, nekatere pa v arabskem prevodu. V matematiki je re seval problem podvojitve kocke in dal nekaj alternativnih dokazov trditev iz Evklidovih Elementov (eden od teh je objavljen v [5]). Filonova premica Problema letvice in kanalov se lotimo najprej geometrijsko. Dovolj je obrav- navati kot# =\XOY z vrhomO in krakomaOX inOY (slika 2). Pri tem je 0 < # < . Znotraj kota naj bo to cka P , ki je od kraka OX oddaljena za b, od kraka OY pa za a. Skozi P na crtamo premico, ki seka krak OX v to cki A, krakOY pa v to cki B. Poiskati je treba tisto premico, za katero je razdaljajABj najmanj sa. Tej premici re cemo Filonova premica skozi to cko P v kotu #. Filonova premica je odvisna od kota in od to cke v njem. S preprostim sklepanjem ugotovimo, da obstaja taka premica. Ce namre c A dovolj oddaljimo odO, lahko razdaljajABj dose ze poljubno veliko vrednost, ce pa jo pribli zujemo O, se B oddaljuje od O in spetjABj dose ze poljubno veliko vrednost. Kasneje bomo to potrdili tudi z ra cunom. V trikotniku OAB ozna cimo kota ob ogli s cih A in B z in . Seveda velja zveza + +# = in relaciji 0 < < # ter 0 < < #. Razdaljo ‘( ) =jABj =jAPj +jPBj izrazimo s kotom : ‘( ) = b sin + a sin = b sin + a sin( # ) = b sin + a sin( +#) : S tem smo na intervalu (0; #) denirali pozitivno funkcijo ‘ : 7!‘( ). Njena prva dva odvoda sta ‘ 0 ( ) = b cos sin 2 a cos( +#) sin 2 ( +#) = a cos sin 2 b cos sin 2 ; 122 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 Filonova premica Slika 2. Prese cnica kota skozi dano to cko. ‘ 00 ( ) = b(1 + cos 2 ) sin 3 + a(1 + cos 2 ) sin 3 : Ena cba ‘ 0 ( ) = 0 ima na intervalu (0; #) eno samo re sitev 0 , v kateri je o citno lokalni minimum funkcije ‘. S kotom 0 je Filonova premica natan cno dolo cena. Kot ob ogli s cu B pa je tedaj 0 = # 0 . Koordinatna obravnava S funkcijo ‘ se da izpeljati lastnosti Filonove premice. Te zava nastopi pri re sevanju trigonometri cne ena cbe ‘ 0 ( ) = 0. La ze pa vsa obravnava Filonove premice poteka z uporabo koordinat. To cko P v kotu # bomo opisali s po sevnokotnima koordinatama, tako kot ka ze slika 3. To cko P projiciramo vzporedno s krakoma OY in OX v to cki P 0 in P 00 . Ozna cimo e =jP 00 Pj in f =jP 0 Pj, ki ju imenujemo po sevnokotni koordinati to cke P za kot#. Nato vpeljemo se u =jP 0 Aj inv =jP 00 Bj, ki ju bomo imeli za spremenljivki. Kot bomo videli, sta med seboj odvisni. Pri tem seveda veljata zvezi a =e sin# in b =f sin#. Plo s cino trikotnika OAB izrazimo kot vsoto plo s cin paralelograma OP 0 PP 00 in trikotnikov P 0 AP ter P 00 PB: ef sin# + 1 2 uf sin# + 1 2 ve sin# = 1 2 (e +u)(f +v) sin#: Po poenostavitvi dobimo preprosto zvezo med u in v: uv =ef. 121–131 123 Marko Razpet Slika 3. Po sevnokotni koordinati to cke. Kvadrat dol zine daljice jABj izrazimo s kosinusnim izrekom: jABj 2 = (e +u) 2 + (f +v) 2 2(e +u)(f +v) cos#: Zaradi zveze uv =ef lahko izlo cimo v in dobimo najprej z(u) =jABj 2 = (e +u) 2 + (f +ef=u) 2 2(e +u)(f +ef=u) cos#; nato pa s poenostavitvijo z(u) = (e +u) 2 u 2 (u 2 +f 2 2fu cos#): Funkcijaz :u7!z(u) je denirana, zvezna in odvedljiva na poltraku (0 ;1), njen odvod pa je z 0 (u) = 2(e +u) u 3 (u 3 fu 2 cos# +efu cos# ef 2 ): Potreben pogoj za ekstrem funkcije z je ena cba u 3 (f cos#)u 2 + (ef cos#)u ef 2 = 0; (?) ki ima zagotovo vsaj en pozitiven koren, ker je za u = 0 izraz na njeni levi strani negativen, za dovolj velik pozitiven u pa pozitiven. Eksistenco minimuma funkcije z zagotavlja eksistenca minimuma funkcije ‘. 124 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 Filonova premica Ce so u 1 ;u 2 ;u 3 koreni ena cbe ( ?), veljajo zanje Vi etove formule u 1 +u 2 +u 3 =f cos#; u 1 u 2 +u 2 u 3 +u 3 u 1 =ef cos#; u 1 u 2 u 3 =ef 2 : Zadnja formula dopu s ca, da so vsi trije koreni pozitivni ali pa dva nega- tivna in en pozitiven ali pa dva konjugirano kompleksna in en pozitiven. Poka zimo, da prva mo znost ne pride v po stev. Iz Vi etovih formul dobimo 1 3 (u 1 +u 2 +u 3 ) 1 3 (1=u 1 + 1=u 2 + 1=u 3 ) = 1 9 cos 2 #: Ce bi bili vsi koreni pozitivni, potem bi bil prvi faktor v tej relaciji njihova aritmeti cna sredina, drugi faktor pa obrat njihove harmoni cne sredine. Ker harmoni cna sredina ne presega aritmeti cne sredine, je leva stran ve cja ali enaka 1, kar bi pomenilo, da je cos 2 # 9, kar je protislovje. To pomeni, da ima ena cba ( ?) natan cno en pozitiven koren . Za Filonovo premico je torejjP 0 Aj = injP 00 Bj = = ef= . Hitro se da pokazati, da je edini pozitivni koren ena cbe v 3 (e cos#)v 2 + (ef cos#)v e 2 f = 0: (??) Za razdaljojABj dobimo izraza jABj = e + p f 2 + 2 2f cos# = f + p e 2 + 2 2e cos#: (???) Do podobnega izraza pridemo, ce namesto koordinat e in f uporabimo razdalji a =e sin# in b =f sin#: jABj = a + sin# p b 2 + 2 2b cos#; (??? 0 ) pri cemer je pozitivni koren ena cbe w 3 (b cos#)w 2 + (ab cos#)w ab 2 = 0; (? 0 ) V posebnem primeru, ko le zi to cka P na simetrali kota #, je e = f = = injABj = 4e sin(#=2). Takrat je Filonova premica kar pravokotnica v P na kotno simetralo. Ko imamo Filonovo premico, vzporedno premaknemo trikotnik P 0 AP tako, da pade P v B, A v Q in P 0 v Q 00 (slika 4). To cka Q 00 je seveda na daljici OB. Iz zvezjOBj =f + =f +jOQ 00 j sledijOQ 00 j = . Ker pa je se jQ 00 Qj = , sta in po sevnokotni koordinati to cke Q za kot #. 121–131 125 Marko Razpet Slika 4. Filonova premica skozi dano to cko. Lastnosti Filonove premice V prispevku nekajkrat uporabimo paralelogramsko enakost, ki pove, da je v paralelogramu vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To cka Q je na Filonovi premici in ima, glede na to, kako smo do nje pri sli, lastnostjAPj =jQBj. Dokazali pa bomo, da je Q pravokotna projekcija vrhaO kota# na Filonovo premico. V ta namen zapi semo paralelogramsko enakost za paralelogram OQ 0 QQ 00 : 2 2 + 2 2 =jOQj 2 +jQ 0 Q 00 j 2 : Nato zapi semo se kosinusna izreka za trikotnika Q 00 Q 0 Q in Q 00 QB: jQ 0 Q 00 j 2 = 2 + 2 2 cos#; jQBj 2 = 2 +f 2 2f cos#: Nazadnje izra cunamo: jOQj 2 +jQBj 2 j OBj 2 = 2( 2 + 2 ) ( 2 + 2 2 cos#)+ +( 2 +f 2 2f cos#) (f + ) 2 = 2 ( 3 (f cos#) 2 +(ef cos#) ef 2 ) = 0: Pri tem smo upo stevali zvezo = ef in ena cbo ( ?), ki ji zado s ca . Torej velja relacijajOQj 2 +jQBj 2 =jOBj 2 in trikotnikOQB je pravokoten s pravim kotom ob ogli s cu Q. 126 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 Filonova premica Slika 5. K dokazu enakosti jSAj = jSBj. Naj bo S sredi s ce daljice OP . Ce skozi P poteka Filonova premica, ki preseka kraka kota# v to ckah A inB, potem sta razdaljijSAj injSBj enaki. Ti dve razdalji sta dol zini te zi s cnic v trikotnikih OAP in OPB na skupno stranico OP . Kot posledico paralelogramske enakosti dobimo (slika 5) (2jSAj) 2 +jOPj 2 = 2jOAj 2 +2jAPj 2 ; (2jSBj) 2 +jOPj 2 = 2jOBj 2 +2jBPj 2 : EnakostjSAj =jSBj bomo dokazali, cim doka zemo, da je = (jOAj 2 +jAPj 2 ) (jOBj 2 +jBPj 2 ) = 0: Dvakrat uporabimo kosinusni izrek in dobimo: = (e + ) 2 + 2 +f 2 2f cos# (f + ) 2 2 e 2 + 2e cos#: Dobljeni izraz preoblikujemo v = 2 ( 3 (f cos#) 2 + (ef cos#) ef 2 ) 2 ( 3 (e cos#) 2 +(ef cos#) e 2 f); pri cemer upo stevamo, da je =ef. Ker zado s ca ena cbi ( ?), pa ena cbi (??), je = 0 injSAj =jSBj. Lastnosti Filonove premice jAPj =jQBj; OQ?AB; jSAj =jSBj 121–131 127 Marko Razpet so poznali ze anti cni matematiki Filon iz Bizanca, Apolonij iz Perge in Heron iz Aleksandrije. Za # = = 2 so jih uporabili za re sevanje problema podvojitve kocke. Filonova premica, kro znica in hiperbola To cka Q na Filonovi premici to cke P v kotu# =\XOY le zi po Talesovem izreku na kro znici K, ki ima za premer daljicoOP . Ce vpeljemo pravokotni kartezi cni koordinatni sistem Oxy, kjer je krak OX pozitivni del abscisne osi, os y pa v O pravokotna nanjo in orientirana na obi cajni na cin, ima K sredi s ce v to cki S((e +f cos#)=2; (f sin#)=2) in ena cbo x 2 +y 2 (e +f cos#)x (f sin#)y = 0: (K) Kraka kota#, podalj sana v premici z ena cbama y = 0 inx sin# y cos# = 0 sta asimptoti hiperbole y(x sin# y cos#) =c; kjer je c6= 0 poljubna konstanta. Skozi to cko P (e +f cos#;f sin#) poteka ena veja hiperboleH, ki ima ena cbo y(x sin# y cos#) =ef sin 2 #: (H) TemeT te veje le zi na simetrali s kota# in je odO oddaljeno 2 p ef cos(#=2), gori s ce F pa 2 p ef (slika 6). Slika 6. Dolo citev Filonove premice s kro znico in hiperbolo. 128 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 Filonova premica Izra cunajmo drugo prese ci s ce kro znice K in hiperboleH. Iz ena cbe ( H) izrazimo x in ga vstavimo v ena cbo ( K), preuredimo in dobimo ena cbo za y: y f sin# y sin 2 # (y 3 (e sin# cos#)y 2 + (ef sin 2 # cos#)y e 2 f sin 3 #) = 0: Re sitev y 1 =f sin# je ordinata to cke P , ustrezen x 1 =e +f cos# pa njena abscisa. Druga re sitev je ni cla drugega faktorja. Vanj vstavimo y = sin#, okraj samo in dobimo ena cbo 3 (e cos#) 2 + (ef cos#) e 2 f = 0: Primerjamo jo z ena cbo ( ??) in zapi semo edino pozitivno re sitev = . Druga re sitev za y je zato y 2 = sin#. Za ustrezno absciso dobimo x 2 = + cos#. To cka s koordinatama x 2 in y 2 pa je ravno to cka Q na Filonovi premici. To pomeni, da se kro znica K in hiperbolaH v primeru e6=f sekata v to ckah P inQ, v primerue =f pa se vP dotikata (slika 6). Vzemimo na obravnavani veji hiperboleH poljubno to cko s po sevnokotni- ma koordinatama u in v za kot #. Njuni pravokotni koordinati sta x = v cos# +u in y = v sin#. To upo stevamo v ena cbi ( H) in dobimo: uv =ef. Pri tem omenimo se eno lastnost hiperbole, ki je bila znana ze Apoloniju iz Perge. Ce premica preseka hiperbolo v to ckah P inQ, njeni asimptoti pa v to ckah A in B, potem imata daljici PQ in AB skupno sredi s ce, kar ima za posledico relacijojAPj =jQBj. Analiti cni dokaz je na primer v [4]. To cka P natan cno dolo ca kro znico K in hiperboloH ter njuni prese ci s ci P inQ. Po sevnokotna koordinata to cke Q je tudi koren ena cbe ( ??), zato je koodinata =ef= koren ena cbe ( ?), kar pa pomeni, da je z 0 ( ) = 0 in premica skozi ustrezni to cki A in B je Filonova. Filonova premica za pravi kot Za pravi kot se ra cuni poenostavijo. Tedaj je a = e in b = f, ena cbi ( ?) in (??) za in se poenostavita v u 3 = ab 2 ; v 3 = a 2 b, ki imata re sitvi = 3 p ab 2 in = 3 p a 2 b. Za razdaljo med to ckama A in B pa dobimo jABj = (a 2=3 +b 2=3 ) 3=2 : Ena cbi kro znice K in hiperboleH se poenostavita v x 2 +y 2 ax by = 0; xy =ab: 121–131 129 Marko Razpet Slika 7. Primer Filonove premice za pravi kot. Relevantne to cke s koordinatami so: A(a +; 0); B(0;b + ); P (a;b); Q(; ); S(a=2;b=2): Po vi sinskem izreku v pravokotnem trikotniku OAQ velja relacija 2 = a oziroma a= == . Zaradi podobnosti trikotnikov P 0 AP inP 00 PB dobimo se relacijo =b = a= . To lahko potrdimo tudi z izrazoma za in . Na sli smo relacijo a = = b : Pravimo, da sta in srednji geometrijski sorazmernici dol zin a in b. Ker in zado s cata ena cbama y 2 = ax in x 2 = by, lahko srednji geometrijski sorazmernici poi s cemo tudi s presekom parabol y 2 = ax in x 2 = by. Tako metodo so poznali ze nekateri starogr ski matematiki (ve c o tem najdemo na primer v [3]). Zaa = 2b je =b 3 p 2, kar pomeni, da ima kocka z robom za prostornino dvakratnik prostornine kocke z robom b. Takrat abscisa prese ci s ca Q6= P kro znice x 2 +y 2 2bx by = 0 in hiperbole xy = 2b 2 re si star anti cni problem podvojitve kocke. Filon iz Bizanca, ki se ni poznal analiti cne geometrije, je problem re se- val tako, da je na crtal pravokotnik OP 0 PP 00 , mu o crtal kro znico, podalj sal stranici OP 0 in OP 00 prek P 0 in P 00 (tako kot na sliki 8), nato pa je pre- mico vrtel okoli P malo v eno, malo v drugo smer, da je dosegel enakost 130 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 Filonova premica Slika 8. Podvojitev kocke. jAPj =jQBj oziroma se ji dovolj natan cno pribli zal. Pri tem sta A in B prese ci s ci podalj skov s to premico, Q pa njeno prese ci s ce s kro znico. Ce je jP 0 Pj rob kocke, potem jejP 0 Aj rob podvojene kocke (v gr s cini in nem s cini, sicer z druga cnimi oznakami, je to razlo zeno v [2]). Za konec S Filonovo premico re simo problem plavajo ce letvice v kanalih iz uvoda tega prispevka. S sirinama a in b kanalov in za kot # = max(’; ’) zapi semo ena cbo ( ? 0 ), poi s cemo njeno pozitivno re sitev in nazadnje izra cunamo iskano dol zino letvice po formuli v ( ??? 0 ). Problem je znan tudi pod drugimi imeni, na primer problem najdalj se cevi, ki jo lahko nesemo iz enega hodnika v drugega, ali problem najkraj se lestve, ki jo lahko prislonimo na zid, pred katerim je ovira, na primer omara. LITERATURA [1] I. Asimov, Biografska enciklopedija znanosti in tehnike, Tehni ska zalo zba Slovenije, Ljubljana, 1978. [2] H. Diels in E. Schramm, Philons Belopoiika: viertes Buch der Mechanik, Verlag der Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1919. [3] T. Heath, A history of Greek mathematics, Vol. I, Dover Publications, New York, 1981. [4] M. Razpet in N. Razpet, Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata, Obzornik mat. z. 66 (2019), 41{53. [5] A. Ostermann in G. Wanner, Geometry by its history, Springer, Heidelberg in drugje, 2012. 121–131 131