     
P 51 (2023/2024) 614
Valovni vozli na kvadratni opni
A L
Na poti do velike fizikalne predavalnice so po-
stavili začasno pregrado - med količka so napeli
tanjšo verigo. Nisem si mogel kaj, da je pri hoji
ne bi rahlo udaril ob količku in opazoval val, ki
se je širil vzdolž verige, se na oddaljenemu koncu
odbil in prihitel nazaj. Valovanje je pač pojav, ki
nas vedno znova prevzame. Ko pa se zavemo, da
so svetloba, vseh vrst drugih elektromagnetnih va-
lov, zvok v zraku in snoveh, seizmično gibanje ze-
meljske skorje, pojavi na vodni gladini in skrivno-
stno gibanje mikroskopskih delcev snovi tudi va-
lovanja, se zavemo, da valovanje ni le zanimivo,
je v jedru fizike. Pa se poigrajmo z valovanjem
na nizu in v mrežo medsebojno povezanih kroglic.
Poskusi s pravimi kroglicami bi bili prezahtevni,
zato bomo v igro pritegnili računalnik.
SLIKA 1.
Niz elastǐcno spetih kroglic med nepremǐcnima stenama.
Enako velike kroglice v mislih povežemo v niz z
elastično vrvico. Razdalja d med sosednjima krogli-
cama naj bo povsod enaka. Niz nekoliko napnemo
in krajiščni kroglici pritrdimo med nepremični steni,
glej Sliko 1. Teža niz nekoliko upogne, a to bomo
zanemarili. Sedaj nekaj kroglic malo zmotimo, izma-
knemo jih navpično iz ravnotežne lege in pustimo,
da se gibljejo po svoje. Kako se bodo kroglice v nizu
odzvale na to motnjo?
SLIKA 2.
K izpeljavi zakona gibanja kroglic v nizu.
Če želimo ponazoriti gibanje kroglic v nizu z ra-
čunalnikom, moramo poznati enačbo njihovega gi-
banja. Ta bo seveda sledila iz Newtonovega zakona,
ki pravi, da je pospešek izbrane kroglice sorazme-
ren vsoti vseh sil, ki nanjo delujejo. Na Sliki 2 je
prikazana izbrana, denimo i-ta kroglica, ter njeni so-
sedi z oznakama i ´ 1 in i ` 1. Edino ti dve sosedi
preko elastične vrvice delujeta na izbrano kroglico i.
Vsote njunih sil s slike ni težko določiti. Enotska vek-
torja (vektorja brez enote in dolžino 1, nakazujeta le
smer) od kroglice i proti sosedama sta:
~ei´1 “
1
a
d2 ` pyi´1 ´yiq2
p´d, yi´1 ´yiqT ,
~ei`1 “
1
a
d2 ` pyi`1 ´yiq2
pd, yi`1 ´yiqT .
Odmike kroglic v navpični smeri smo označili z yi´1,
yi in yi`1, T pa je znak za transpozicijo vrstice v
     
n
a
d
a
lje
va
n
je
n
a
st
ra
n
i
18
P 51 (2023/2024) 6 15
stolpec. Normirna faktorja:
1
a
d2 ` pyi´1 ´yiq2
in
1
a
d2 ` pyi`1 ´yiq2
poskrbita, da sta ~ei´1 in ~ei`1 res enotska vektorja.
Poenostavimo ju, saj so odmiki y majhni, njihove
razlike pa še veliko manjše in jih zanemarimo, zato
je ta faktor kar enak d´1. Sili na kroglico i sta torej
preprosto
~Fi´1 “ F0p´1,
yi´1 ´yi
d
qT ,
~Fi`1 “ F0p1,
yi`1 ´yi
d
qT .
S F0 smo označili velikost sile, s katero napnemo
kroglični niz. Razdalje med sosednjimi kroglicami
so zaradi njihovih odmikov iz ravnovesne lege sicer
nekoliko večje kot d, a to tudi zanemarimo. Njuna
vsota je torej enaka:
~F “ F0 p0,
yi´1 ´ 2yi `yi`1
d
qT .
Vsota sil ima od nič različno le navpično kompo-
nento, ki ima velikost
Fi “
F0
d
pyi´1 ´ 2yi `yi`1q .
Ko poznamo silo na kroglico, lahko določimo njen
pospešek:
ai “
Fi
M
“ F0
Md
pyi´1 ´ 2yi `yi`1q . (1)
Z M smo označili maso kroglice.
Gibanju kroglic bomo sledili v zaporednih trenut-
kih tm “ m∆t s časovnim presledkom med njimi ∆t.
Odmik kroglice i v času tm bomo označili takole:
yiptm “ m∆tq ” ymi .
Sposodili smo si mesto, kjer sicer postavimo ekspo-
nent, ker eksponentov pri odmikih ne bomo potrebo-
vali. Za določitev pospeška potrebujemo zaporedni
hitrosti kroglice v časih tm´1 in tm´2. Hitrost kro-
glice izračunamo iz zaporednih odmikov v sosednjih
časih. Tako v času
tm´2 “ pm´2q∆t uporabimo odmika ym´1i in y
m´2
i :
vm´2i “
ym´1i ´y
m´2
i
∆t
,
v času tm´1 “ pm´ 1q∆t pa odmika ymi in y
m´1
i :
vm´1i “
ymi ´y
m´1
i
∆t
.
Pospešek pa je potem:
am´1i “
vm´1i ´ v
m´2
i
∆t
Zapisano z odmiki je pospešek:
am´1i “
ymi ´ 2y
m´1
i `y
m´2
i
p∆tq2 . (2)
Sedaj imamo vse potrebno, da zaporedoma izra-
čunavamo lege kroglic ymi iz njihovih prejšnjih dveh
leg in leg sosednjih kroglic. Osnovno Newtonovo
enačbo:
am´1i “
Fm´1i
M
,
zapišemo z odmiki y iz enačb (1) in (2) :
ymi “ 2y
m´1
i ´y
m´2
i `
` F0∆t
2
Md
pym´1i´1 ´ 2y
m´1
i `y
m´1
i`1 q . (3)
Tako so na desni strani enačbe vse lege znane. Ko iz-
računamo za vse kroglice lege ymi , i “ 1,2, ...K, poti-
snemo m za ena dalje in ponovno izračunamo novo
lego ym`1i v času tm`1. Odmikom najpregledneje
sledimo, če si vsako naslednjo izračunano lego izri-
sujemo na zaslon, prejšnjo lego pa zbrišemo.
Po mili volji se lahko igramo in opazujemo odmike
kroglic v zaporednih časih, potem ko smo nekatere
nekoliko odmaknili od njihove ravnovesne lege. Vi-
dimo, da se motnja širi proti obema stenama. Opi-
san račun zelo dobro opiše valovne pojave na nizu
kroglic, zato lahko mirno rečemo, da je enačba (3)
"valovna enačba". Z manjšanjem razdalje dmed kro-
glicami in ustreznim manjšanjem njihove maseM se