Verlag von F. TEMPSKY in WIEN and PE AG. Begleitwort *••• till* Mocniks Geo m e t r i s c h e F o r m e n 1 e li r e % uni] Anfangsgriinde der Geometrie fUr Realschulen. Bearbeitet von Joliann Spielmann. Alit 210 in den Text gedruckten Figuren. Achtzehnie. geanderte Auflage. Preis geheftet 1 K 00 li, geblinden 2 K 10 li. Seit clem Erscheinen tier 17. Auflage der Anfangsgriinde der Geo¬ metrie ftir die 2., 3. mid 4. Classe der Realschulen von Mo&iik sind fast 20 Jalire verst lichen. Durcli die in dieser Zeit iiblich gewordene ge¬ anderte Darstellung der^geometrischen Leliren ftir die Schule mid durcli den neuen Lehrplan ftir Realschulen ist eine neue Auflage nothwendig geworden. Dieselbe schlieflt sicli selbstverstandlich vollstandig den Forderungen des Lelirplanes und den Instructionen an. Sie miterscliei(let sicli von der 17. Auflage dadurcli, dass sie aucli die geometriscbe Formenlehre ftir die 1. Classe entbalt. Damit ist der Vortheil ver- bunden, class der Schtiler durcli alle vier Classen dasselbe Bucli bei- belialt, dass es niclit nothwendig ist, manclie Leliren ftir die verscliiedenen Stufen wiederholt in das Bucli aufzunelimen, soudern nur eimnal, wo- durch niclit nur eine Kttrzung sicli ergibt, soudern aucli das Local- gedachtnis der Schtiler mehr ausgentitzt wird. Die achsiale Symmetric wird in der neuen Auflage starker betont und consequent ausgentitzt. Die aus derselben sicli ergebenden Slitze wurden niclit auf die Con- gruenz der Dreiecke soudern auf die unmittelbare Anscliauung gegriindet. Die Nothwendigkeit dieses Yorganges ergab sicli aucli aus der Forde- rung der Instructionen, dass aclisiale und centrische Svmmetrie sell on 7 t/ in den Unterriclitsstoflf der 1. Classe aufzunehmen sind; es schien ge- rathen, niclit erst bei den regelmaliigen Polygonen damit zu beginnen, sonrlern sie sclion frilher an einfaclieren Foraien zu erortern. Die Darstellung der geometrischen Gebilde durch iiire Projection wurde nicht wie in der friilieren Auflage nur Anhangsweise vorgenommen, sondern dem Lehrstoff an den entsprechenden Stellen selbst eingeftigt. Die neue Auflage weist ferner auch eine groBe Anzalil neuer Figuren auf, da in dieser Beziehung die 17. einer Verbesserung bedurfte. Das beigcdrnckte Inhaltsverzeichnis liisst den Inlialt nnd den Umfang des Buches erkennen. Der Umfang des Buches ist (lurch den Lehrplan mid die Instructionen bestinmit. Auf die einzelnen Classen entfallen der Reihe nacli ca. 30, 40, 33 und 55 Seiten. Eine Reduction tritt von selbst dadurch ein, dass von den zablreicben Ubungsbeispielen immer ein Theil wegfallen wird; in seinem Umfange wurde aber der t bungsstotf wegen der wiinsclienswerten Moglicbkeit des Abwechselns erbalten. Der grbfiere Umfang des Pensums der ersten Classe tindet darin seine Erklarung, dass von den wiclitigsten geometriscben Gebilden (Gerade, Dreieck, Viereck, Vieleck), nachdem sie an den Korpern vorgenommen wnrden, im Interesse der Wiederbolung und der Cbersicht nocli eine zusammen- fassende Darstellung gegeben wurde, die dem Schiller nur melir wenig Mithe verursachen wird. Druck von Gebriider Stiepel in Reichenbor^ M o c n i k s Anfangsgriinde der Gfeometrie fur Realschulen. Bearbeitet von Johann Spielmann. Mit 216 in den Text gedruckten Figuren. Achtzehnte, geanderte Auflage. Preis geheftet l K 60 h, gebunden 2 K 10 h. Wien und Prag. V e r 1 a g von F. T e m p s k y. 1900. Druck von GebrUder Stiepel in Reichenberg. INHALT. 1. Thell. Geometrische Formenlehre und Planimetrie. Seite I. Die einfachstenKorperformen und diewichtigsten ebenen geometrischenGebilde. 1 Der Wiirfel. 1 Raumgebilde und Raumgrofien. 5 Entsteliung der Raumgroflen durcli Bewegung. 5 Das gerade quadratisclie Prisma. 5 Das rechtwinklige Parallelepiped. 6 Die quadratisclie gerade Pyramide und ihr Stumpf. 6 Das schiefe Parallelepiped. 7 Die schiefe vierseitige Pyramide und ihr Stumpf. 8 Der Punkt. 9 Die gerade Linie. 9 Der Winkel.11 Das Dreieck.13 Das Viereck.15 Die achsiale Symmetric.'.16 Das regelmatfige seclisseitige Prisma.18 Die regelmaflige fiinfseitige Pyramide.18 Das Vieleck.18 Die centrische Symmetric.. ....19 Der gerade Cylinder. 20 Der gerade Kegel und sein Stumpf .. .. . .21 Die Kugel.' . 4V • ..22 Der Kreis und die Winkelmessung ..23—26 Die Ellipse. 26 II. Gerade Linien und Winkel; Constructionsaufgaben . . . . 28 Zeichnendes Rechnen mit Strecken und Messung derselben .... 28—29 Zeichnendes Rechnen mit Winkeln.30 Winkelpaare.31 Senkrechte und schiefe Gerade. 32 Parallelentheorie.33 Centriwinkel, Sehnen und Bogen eines Kreises; Constructionsaufgaben . 36 III. Eigenschaften der Strecken- und Winkelsymmetrale und aus denselben sicli ergebende Con stru ctionen.38 IV. Das Dreieck .40 1. Lehrsatze uber Seiten und Winkel eines Dreieckes.. 40 2. Construction der Dreiecke und Congruenz derselben.44 3. Symmetric des gleichschenkligen und gleichseitigen Dreieckes .... 50 IV Seite V. Grund eigen sell aften des Kreises.50 1. Gerade und Winkel in Beziehung zum Kreis.50 2. Sehnen- und Tangentendreiecke.53 3. Lage zweier Kreise. 54 VI. DasViereck . 55 VII. DasVieleck .. .. 63 • • VIII. GeometrischeOrter.67 IX. Flachengleicliheit der ebenen Figuren.70 Verwandlung und Theilung der ebenen Figuren.73 X. Ausmessung der ebenen Figuren .76 1. Ausmessung der geradlinigen Figuren.76 2. Ausmessung des Kreises.83 XI. Ahnl ichkeit der ebenen Figuren .. . . . 87 1. Geometrische Verhiiltnisse und Proportionen.87 2. Ahnlichkeit der Dreiecke.92 3. Anwendungen der Ahnlichkeit der Dreiecke ..93 4. Ahnlichkeit der Vielecke.95 5. Umfangs- und Flachenverhaltnisse ahnlicher Figuren.97 XII. Anwendung der Algebra auf die Oeometrie.98 2. Theil. Die Stereometrie. I. Gerade Linien und Ebenen im Raume . . . ..104 1. Hauptlagen von Geraden und Ebenen.104 2. Lage der Geraden gegen eine Ebene.105 3. Lage der Ebenen gegeneinander. 108 4. Von den orthogonalen Projectionen.110 a) Projectionen auf eine Ebene.. . 110 b) Projectionen auf zwei Ebenen. 113 5. Korperecken. 118 II. Korper .119 Erkliirungen und allgemeine Eigenschaften der Korper.119 1. RegelmaGige Korper.119 2. Das Prisma. 121 3. Die Pyramide.125 4. Der Cylinder.129 5. Der Kegel.131 6. Die Kugel.135 III. Ausmessung der Korper ... . . . 138 1. Das Prisma.139 2. Die Pyramide.143 3. Der Cylinder.148 4. Der Kegel. 150 5. Die Kugel.153 6. Volumen und Gewicht der Korper.155 ERSTER THEIL. Geometrisehe Formenlelire uiid Planlmetrie. I. Die einfachsten Korperformen und die wichtigsten ebenen geometrischen Gebilcle. Der Wiirfel. Der Wiirfel wird auf einem Tische so aufgestellt, dass eine Flache den Schulern zugewendet ist. §. 1. Der Wiirfel (Fig*. 1) nimmt einen Raum ein, der von alien Seiten begrenzt ist. Ein von alien Seiten begrenzter Raum heifit ein Korper. Der Wiirfel ist ein Korper. Der Wiirfel ist nach drei Hauptrichtungen ausgedehnt: von recbts nacli links, von vorne nacb bin ten, von unten nach oben. Die Aus- dehnung von rechts nacli links lieifit gewblinlich Lange, die von vorne nach liinten Breite und die von unten nach oben Hohe. Ein Korper hat drei Ausdehnungen: Lange, Breite und Holie. §. 2 • Der Wiirfel wird von seclis F lac hen begrenzt. Diese sind: die obere, untere, vordere, hintere, rechte und linke Flache. Da der Wiirfel von seclis Flachen begrenzt wird, lieifit er aucli Sechs- flachner oder Hexaeder. Alle Flachen des Wiirfels sind ebene Flachen. Jede Flache des Wiirfels ist nach zwei Hauptrichtungen aus¬ gedehnt. Die untere Flache von rechts nacli links und von vorne nacli liinten, die vordere Flache von rechts nach links und von unten nach oben u. s. w. Eine Flache hat zwei Ausdehnungen: Lange und Breite (Hohe). Die untere Flache, auf welcher der Wiirfel stelit, sowie aucli die obere Flache, heilfen Grundflachen; die tibrigen vier Flachen werden Seiten flache n genannt. Die Flachen eines Wiirfels zeigen gegeneinander eine zweifache Lage. 1. Die beiden Grundflachen treffen nie zusammen, soweit man sie aucli in ihren Richtungen erweitert, sie heifien parallel; von den Mocnik-Spielmann, Geom. FormenJ. u. Anfangsgr. d. Geom. f. Kealsch. 1 2 Seitenflachen sind die vordere und hintere, ebenso die rechte und linke zueinander parallel. Am Wtirfel gibt es also drei Paare paralleler Flachen. 2. Jede Seitenflache trifft mit jeder der Grundflachen zusammen, sie sckneiden einander. Dasselbe ist bei zwei benachbarten Seiten- flachen der Fall. Am Wtirfel stelien je zwei sicli schneidende Flachen senkrecht (normal) aufeinander. Alle Grenzflachen des Wtirfels zusammen bilden dessen Ober- flaclie. §. 3. Jede Flache am Wtirfel wird von yier Kantenlinien oder Kan ten begrenzt. Fine Kantenlinie entsteht da, wo zwei Flachen zusammenstoflen. Am Wtirfel kommen im ganzen 12 Kanten vor. Alle Kanten des Wtirfels sind gerade Linien. Jede Kante des Wilrfels ist nur nach einer Kichtung aus- gedehnt; z. B. die vordere obere von rechts nach links. Fine Linie hat nur eine Ausdehnung: die Lange. Die 8 Kanten an den Grundflachen heiflen Grundkanten, die iibrigen 4 Kanten heiflen Sei ten kanten. Die Kanten des Wilrfels haben gegeneinander eine dreifache Lage. 1. Der Wtirfel hat Kanten, welche einen Punkt gemeinschaftlich haben, diese schneiden einander in diesem Punkt. Die am Wtirfel sicli schneidenden Kanten stelien aufeinander senkrecht und liegen in derselben Flache. 2. Es gibt Kanten, welche dieselbe Richtung besitzen, sie treffen niclit zusammen, so weit man sie auch verlangert, Sie heiflen parallel. Am Wtirfel kommen 3 Gruppen von je 4 parallelen Kanten vor; je zwei derselben liegen in derselben Flache. 3. Der Wtirfel besitzt auch Kanten, die weder parallel sind, nocli sich schneiden, auch wenn sie beliebig verlangert werden; z. B. die vordere obere und die rechte untere Grundkante; sie liegen nicht in derselben Flache. Derartige Kanten heiflen sich kreuzende. Die Kanten des Wtirfels haben gegen die Flachen desselben eine zweifache Lage. Die vordere obere Kante trifft die untere Grundflache nicht, dies wiirde auch bei beliebiger Erweiterung beider nicht geschehen. Diese Kante ist mit der unteren Grundflache parallel. Die Seiten- kanten hingegen treffen die untere Grundflache, sie schneiden dieselbe. Alle Kanten des Wtirfels stehen auf den Flachen, welche sie schneiden, senkrecht. Eine nach alien Seiten begrenzte ebene Flache heifit eine ebene Figur. Die Grenzlinien einer Figur heiflen Seiten derselben. Jede Flache des Wtirfels ist eine vierseitige Figur. Da die Seiten gerade 3 Linien sind, heifit die Figur geradlinig; da alle Seiten gleich sind, heifit sie gleichseitig. Alle Grenzlinien einer Figur zusammen bilden ihren Umfang. Der Umfang einer Flache des Wtirfels ist eine gebrochene Linie. §. 4. Jede Kantenlinie des Wtirfels wird von zwei Eckpunkten begrenzt. Ein Eckpunkt entsteht da, wo drei Flachen zusammenstofien. Der Wtlrfel bat 8 Eckpnnkte. Der Wilrfel ist ein eckiger Korper. Die Eckpunkte des Wtirfels sind nacli keiner Richtung aus- gedeknt; sie sind weder lang, nocli breit, noch dick. Ein Punkt bat keine Ansdeli nun g. Eine Figur, welche vier Seiten hat, hat auck vier Eckpunkte und heifit deshalb auch einViereck. Jede Flache am Witrfel ist ein gleichseitiges Viereck. §. 5. Zwei Kanten, welche sicli treffen, bilden einen Wink el. Jede Flache des Wurfels hat vier Winkel. Am ganzen Wiirfel sind 24 Winkel. Die Kanten, welche einen Winkel bilden, heifien die Sclienkel und der Eckpunkt, in dem sie zusammentreffen, der Sclieitel des Winkels. Ein Winkel, dessen Sehenkel aufeinander senkrecht stehen, heifit ein re eh ter. Am Witrfel kommen lauter rechte Winkel yor. Jede Flache am Witrfel hat vier rechte Winkel, sie ist recht- winklig; da diese Winkel gleich sind, ist sie gleich win klig. Eine Figur, welche gleichseitig und gleickwinklig ist, heifit regelmafiig. Das regelmafiige Viereck heifit Quadrat. Am Witrfel ist also jede Flache ein Quadrat. Die Quadrate am Wiirfel haben gleiche Grofie und gleiche Ge¬ stalt; infolge dessen lassen sie sich so aufeinander legen, dass sie sich dec ken; sie sind congruent. Ein Korper welcher von lauter con- gruenten und regelmafiigen Figuren begrenzt wird, heifit regelmafiig. Der Wiirfel ist ein regelmafiiger Korper. Ein eckiger Korper, dessen obere Grundflache mit der unteren parallel und congruent ist, heifit ein Prisma. Der Witrfel ist also ein Prisma. Da die Seitenkanten des Wtirfels auf den Grundflachen senk¬ recht stehen, sagt man: der Witrfel ist ein senkreelites oder ge- rades Prisma. §. (J. Verbindet man zwei gegeniiberliegende Eckpunkte eines Quadrates durch eine Gerade, so erhalt man eine Diagonale desselben. Jedes Quadrat hat zwei Diagonalen, die untereinander gleich, aber grofier als eine Seite sind. l* 4 Die Diagonalen eines Quadrates bilden mit den Seiten spitze Winkel. (Fig. 2.) Der Durchschnittspunkt halbiert jede derselben. Die yier Eckpnnkte eines Quadrates sind daher von dem Durchschnittspunkt der Diagonalen gleich weit entfemt; dieser heifit deshalb der Mittelpunkt des Quadrates. Verbindet man zwei gegentiberliegende Eckpunkte eines Wtirfels (einer gehort der oberen, der andere der unteren Grundflache an) durcli eine Gerade, so erhalt man eine Diagonale des Wtirfels. Jeder Wiirfel hat vier Paare gegeniiberliegender Eckpunkte, mitliin auch vier Diagonalen. Alle schneiden einander in demselben Punkt und werden durcli ihn halbiert. Verbindet man die Mittelpunkte zweier gegeniiberliegender Flachen eines Wtirfels durcli eine Gerade, so erhalt man eine Achse des Wtirfels. Der Wiirfel besitzt drei gleich lange aufeinander senkrecht stehende Aclisen; sie schneiden einander in dem Durchschnittspunkt der Diago¬ nalen und werden durcli denselben halbiert. Dieser Punkt heifit daher der Mittelpunkt des Wtirfels. §. 7. Eine Gerade, welche die Richtung eines Bleilothes d. i. eines frei hangenden durcli eine Bleikugel gespannten Fadens hat, heifit loth- reclit oder vertical. Eine Gerade, welche die Richtung eines auf einem ruhigen Wasserspiegel schwimmenden Stabcliens hat, heifit hori¬ zontal oder wagrecht. Eine Gerade, welche weder horizontal noch lothrecht ist, heifit sc hr age. Jede ebene Flache, welche durch eine lothrechte Gerade gelegt wird, heifit lothrecht oder vertical; hingegen heifit sie horizontal, wenn alle in ihr enthaltenen Geraden horizontal sind. Ist eine ebene Flache weder horizontal nocli vertical, so heifit sie schrage. Mithin sind die oberen und unteren Kanten des Wtirfels in der betrachteten Lage horizontal, die Seitenkanten vertical, die Diagonalen der Seitenflachen und die Diagonalen des Wtirfels schrage. Die Grund- flachen sind horizontal, die Seitenflachen vertical. §. 8. Jede Kante des Wtirfels ist durch ihre Endpunkte begrenzt. Denkt man sicli eine Kante tiber ihre Endpunkte ohne Ende verlangert, so erhalt man eine unbegrenzte Gerade oder einen Strahl. Er- weitert man eine Begrenzungsflache des Wtirfels tiber die Kanten hinaus ohne Ende, so erhalt man eine unbeg renzte Ebene. Denkt man sich zwei in einer Kante eines Wtirfels sicli schneidende Flachen er- weitert, so begrenzen sie theilweise einen Raum, welcher K e i 1 genannt wird. Erweitert man die drei an einer Ecke eines Wtirfels zusammen- o stofienden Flachen, so lieiflt der theilweise begrenzte Raum ein Drei- kant und zwar ein rechtwinkliges Dreikant, weil die Kanten und Flachen desselben aufeinander senkrecht stehen. Weder ein Keil noch ein Dreikant ist ein Korper, weil sie den Raum niclit vollstandig begrenzen. Raumgebilde und Raumgrofien. §. 9. Korper, Flachen, Linien und Punkte nennt man Raumgebilde. Die ersteren drei sind im Raume ausgedehnt und heiflen deshalb Raura- groflen. Der Punkt hat keine Ausdehnung und ist dalier keine Raumgrbfle. Entstehung der Raumgrof3en durch Bewegung. §. 10. Die Raumgroflen konnen durch Bewegung erzeugt werden. 1. Bewegt sicli ein Punkt im Raume, so dass er stets dieselbe Richtung der Bewegung beibehalt, so ist der von ihm zuriickgelegte Weg eine Gerade. Ein Gerade kann durch zwei Bewegungen eines Punktes erzeugt werden, deren Richtungen entgegengesetzt sind. 2. Bewegt sicli eine gerade Linie im Raume in einer bestimmten Richtung, die aber mit der Ausdehnung der Geraden selbst niclit zu- sammentallt, so entsteht eine ebene FI ache. 3. Bewegt sicli eine ebene FI a die im Raume in einer anderen Richtung, als in der sie selbst ausgedehnt ist, so entsteht ein Korper. So kann man den Wtirfel durch Bewegung eines Quadrates entstanden denken. Fig. 3. Das quadratische gerade Prisma. §. 11. Der Korper in Fig. 3 hat zwei Grundflachen, welche con- gruente parallele Quadrate sind, und vier congruente Seitenflachen, yon welchen jezwei gegeniiberliegende parallel sind, je zwei anstoflende aufeinander senkrecht stehen. Alle Seiten¬ flachen stehen auf den Grundflachen senkrecht. Jede der Seitenflachen ist ein Viereck, das nur rechte Winkel enthalt; je zwei gegeniiberliegende Seiten desselben sind gleicli, je zwei anstoflende ungleicli. Ein solches Viereck heiflt ein Recliteck. Im Quadrat und im Recliteck sind je zwei gegen¬ iiberliegende Seiten parallel; ein solches Viereck wird ein Parallelogramm genannt. Weil das Quadrat und das Recliteck nur rechte Winkel entkalten, heiflen sie rec-htwinklige Parallelogramme. Das Quadrat ist ein rechtwinklig gleich- seitiges, das Reckteck ein rechtwinklig ungleichseitiges Parallelogramm. Der betrachtete Korper hat 8 gleiche Grundkanten, vier ebenfalls untereinander gleiche Seitenkanten. Die Seitenkanten sind den Grund¬ kanten niclit gleicli. Er ist nach §. 5 wie der Wiirfel ein Prisma; da 6 die Grundflachen Quadrate and die Seitenkanten auf den Grundflachen senkrecht sind, so heifit er das quadratische gerade Prisma. Da er uiclit yon durchaus congruenten Flachen begrenzt ist, so ist er kein regelmafiiger Korper. Welche Kanten des geraden quadratischen Prismas sind a) parallel, b) hori¬ zontal, c) vertical? Das rechtwinklige Parallelepiped. §. 12. Der in Fig. 4 dargestellte Korper liat zu Grundflachen parallele congruente Rechtecke und zu Seitenflachen rechtwinklige Parallelogramme. Nacli § 5 ist derselbe eben- falls ein gerades Prisma. Er hat aclit Grund- kanten, von welchen je vier gleicli lang sind, und vier gleiche Seitenkanten. Ein Prisma, in welchem die Grundflachen Parallelogramme sind, heifit ein Para lie 1- e p i p e d. Der betrachtete Korper ist daher wie der Wtirfel und das gerade quadratische Prisma ein Parallelepiped. Da alle drei Prismen nur rechtwinklige Parallelogramme als Begrenzungsflachen enthalten, so sind sie recht¬ winklige Paral 1 e 1 epip ede. Die quadratische gerade Pyramide. §. 13. Der in Fig. 5 dargestellte Korper ist von 5 Flachen begrenzt; eine derselben ist horizontal, die vier anderen sind schrage und treffen in einem Punkte, der Spitze, zusammen. Die Grund- Fl &- 5 - flaclie ist ein Quadrat, jede der Seitenflachen hat drei Eckpunkte und aucli drei Seiten, und wird daher ein Dreieck genannt. In jedem dieser Dreiecke sind zwei Seiten gleicli, ein solches Dreieck heifit ein gleicli- schenkliges; die gleichen Seiten werden Schenkel ge¬ nannt, die ungleiclie Seite ist die Grundlinie. Alle vier Seitendreiecke sind congruent. Der Korper besitzt 8 Kanten; vier davon heifien Grundkanten, die vier anderen, in welchen je zwei Seitenflachen einander schneiden, heifien Seitenkanten. Sowold die Grundkanten als aucli die Seitenkanten sind untereinander gleicli. Der Korper hat 5 Ecken, die an der Grundflaclie liegenden sind Dreikante, die Ecke an der Spitze ist ein Vierkant, weil sie vier Kanten besitzt. Der betrachtete Korper heifit eine Pyramide; eine Pyramide wird gerade oder senkrecht genannt, wenn die Seitenkanten gleicli sind. Da in der vorliegenden Pyramide iiberdies die Grundflaclie ein Quadrat ist, so heifit sie die quadratische gerade Pyramide. Sind die Seitenkanten Fig. 4. 7 den Grundkanten gleich, so ist die Pyramide eine vierseitige gleich- kantige Pyramide. Der quadratische gerade Pyramidenstumpf. §. 14. Legt man durch den Korper in Fig. 5 eine zur Grundflache parallele Ebene, so zerfallt er dadurch in zwei Korper; der obere ist wieder eine gerade quadratische Pyramide, der untere lieifit eine abgestumpfte Pyramide oder ein Pyra¬ midenstumpf. (Fig. 6.) Der vorliegende Pyra¬ midenstumpf ist von 6 Flachen begrenzt. Die obere und untere lieifien die Grundflachen und sind Quadrate. Sie stimmen in der Grofie niclit tiberein und konnen daher niclit zur Deckung gebraclit werden; sie liaben aber gleiclie Form. Figuren von verscliiedener Grofie aber gleicher Form lieifien ahnlich. Die Seitenflachen dieses Pyramidenstumpfes sind Yierecke, in welclien zwei Gegenseiten parallel, die beiden andern niclit parallel sind. Ein solckes Yiereck lieifit ein Trapez. Sind die niclit parallelen Seiten gleich, so lieifit das Trapez gleichschenklig. Die Seitenflachen des betracliteten Pyramidenstumpfes sind congruente gleichschenklige Trapeze. Der betrachtete Korper hat aclit Grundkanten, von denen je vier einander gleich sind, ferner vier gleiclie Seitenkanten. Welche Lage liaben clie Grundkanten, welche die Seitenkanten? Ein aus einer geraden Pyramide entstandener Pyramidenstumpf lieifit ebenfalls ein gerader. Das schiefe Parallelepiped. §. 15. Der Korper in Fig. 7 hat zu Grund¬ flachen Pechtecke, zu Seitenflachen vier Yier¬ ecke, die auf den Grundflachen niclit senkrecht stehen. Je zwei gegeniiberliegende Seiten in einem dieser Vierecke sind parallel, daher ist jedes der- selben ein Parallelogramm; zwei benachbarte Seiten derselben stehen aber niclit senkrecht aufeinander, sondern scliief, die Winkel sind niclit rechte, sondern schiefe. Ein solches Parallelogramm lieifit ein scliiefwinkliges. (Fig. 8.) Die beiden Grundflachen sind congruent, von den Seitenflachen sind je zwei gegentiber- liegende ebenfalls congruent. Der Korper hat 8 Grundkanten, von welclien je vier einander gleich sind; er besitzt vier gleiclie Fig. 7. Fig. 6. ¥ 8 und parallele Seitenkanten. Die Ecken sind Dreikante. Da die Grund¬ flachen dieses Prismas (§ 5) Parallelogram me sind, so ist es ein Parallel¬ epiped, da die Seitenkanten scliief zu den Grundflachen sind, ein scliiefes Parallelepiped. Die Grundflachen konnten auch schiefwinklige Parallelogramme sein. Die schiefe vierseitige Pyramide. §. 16. Der Korper in Fig. 9 ist eine Pyra- Fig. 9. mide, da er eine Grundflaclie (ein Quadrat) und zu Seitenflaclien (vier) Dreiecke hat, die in einem Punkte zusammenstoflen. Der betrachtete Korper ist aber von der in Fig. 5 dargestellten Pyramide dadurch verschieden. dass die Seitenkanten ver- schiedene Lange besitzen. Daher haben auch die Seitenflaclien ungleiclie Seiten und sind mithin ungleichseitige nicht congruente Dreiecke. Eine solche Pyramide lieiflt eine schiefe Pyramide; die Grundflaclie muss nicht ein Quadrat, sondern kann irgend ein Yiereck sein. Der schiefe vierseitige Pyramidenstumpf. §. 17. Legt man durch eine schiefe vierseitige Pyramide eine zur Grundflaclie parallele Ebene, so zerfallt sie in zwei Korper, der obere ist wieder eine schiefe vierseitige Pyramide, der untere eine abgestiimpfte Pyramide oder ein Pyramidenstumpf. (Fig. 10.) Die Grundflachen sind ahnliche Vierecke; die Seitenflaclien sind Vierecke, in welclien zwei gegenttberliegende Seiten parallel, die beiden andern nicht parallel und ungleicli sind. Eine solche Figur lieiflt ein ungleichschenkliges Trapez. Die vier Seitenflaclien lassen sich nicht zur Deckung bringen, sind also nicht congruent. Der vorliegende Pyramidenstumpf hat aclit Grundkanten und vier ungleiclie Seitenkanten. An den aclit Ecken liegen Dreikante. Welche Lage haben die Grundkanten, welche die Seitenkanten ? Ein Pyramidenstumpf, welcher aus einer schiefen Pyramide ent- standen ist, lieiflt ebenfalls scliief. Der betrachtete Korper ist ein vier- seitiger schiefer Pyramidenstumpf. An den in den §§. 1 —17 betrachteten Korpern kamen Punkte, Gerade, Winkel, Dreiecke und Vierecke zur Besprecliung. Fig. 10. 9 Der Punkt. §. 18. Der Punkt hat keine Ausdelinung; er kann daher niclit geseken, sondern nur an einer bestimmten Stelle gedacht werden. Um ihn zu versinnlichen, zieht man um die Stelle, an welclier er gedacht wird, einen kleinen Ring oder bezeichnet dieselbe mit einem Sternchen und setzt dazu, um ihn benennen zu konnen, einen Buchstaben oder eine Ziffer. Z. B. A a I 1 O • # + Die gerade Linie. §. 19. Bestimmung der Lage einer Geraden. Durch einen Punkt lassen sich unzahlig viele gerade Linien in alien moglichen Lagen denken. 1st noch ein zweiter Punkt gegeben, so wird es unter alien friihereir Lagen der Geraden nur eine einzige geben, in welcher die Gerade durch beide Punkte geht. Die Lage einer Geraden ist demnach durch zwei Punkte vollkommen bestimmt. Eine gerade Linie wird mit Hilfe des Lineals gezeichnet. A u f g a b e: 1. Wie viele verticale Gerade sind durch einen Punkt mdglich? 2. Wie viele horizontale Gerade sind durch einen Punkt mdglich? §. 20. Unbegrenzte und begrenzte Gerade. L Die Gerade ist an sich unbegrenzt und heifit als solclie ein Strahl. Nimmt man in derselben (Fig. 11) einen Punkt A an, so Fig. 11. c Jl a 3 -<—o-o-o- wird sie in zwei Theile getheilt, welche von diesem Punkte aus in zwei einander entgegengesetzten Richtungen ausgedelint sind und H a 1 b s t ra h 1 e n genannt werden. Ein Halbstrahl ist demnach eine durch einen Punkt (Grenzpunkt) halb begrenzte Gerade. Er wird durch den Grenzpunkt A und einen zweiten in ihm liegenden Punkt B (C) oder mit einem einzigen Buchstaben a bezeichnet. Gehen mehrere in einer Ebene liegende Gerade (Fig. 12) durch denselben Punkt $, so bilden sie ein Strahlenbtischel. Der alien Fig. 12. 10 Fig. 13. Geraden gemeinschaftliche Punkt S wird Mittelpunkt oder das Centrum des Stralilenbiisckels genannt. Durch den Mittelpunkt wird jeder Strahl in zwei Halbstrahlen zerlegt, welclie dieselbe Lage, aber entgegengesetzte Richtung baben. 2. Nimmt man in einer Geraden zwei Punkte an (Fig. 13), so heifit der durch dieselben begrenzte Tlieil der Geraden eine Strecke. Eine Strecke ist daber eine durch zwei Punkte ganz begrenzte Gerade. Die beiden Grenzpunkte nennt man ihre End- pun kte, oder aueh den einen den Anfangspunkt, den anderen den _ Endpunkt. Urn eine Strecke zu benennen, setzt man an jeden ibrer Endpunkte einen Buchstaben und spricht diese in der Reibenfolge AB oder BA aus, je nacbdem man sich die Strecke durch die Bewegung eines Punktes von A nacb B oder umgekehrt von B nacb A ent- standen denkt. * Die zwiscben zwei Punkten gezogene Gerade (Strecke) ist die ktirzeste Verbindungslinie derselben und wird des- halb die Enfernung oder der Abstand (Distanz) der beiden Punkte genannt. A -o B -o- §• 21. Vergleichung zweier Strecken hinsichtlich ihrer Lange. Um zwei Strecken hinsichtlich ibrer Lange zu vergleichen, lege man sie so aufeinander, dass sie einen Endpunkt gemeinschaftlich baben. Fallen dann die anderen zwei Endpunkte ebenfalls zusammen, so sind die beiden Strecken einander gleich. In Fig. 14 ist AB = CD. Wenn Fig. 14. aber die anderen Endpunkte der beiden Strecken nicht zusammenfallen, so sind die Strecken un gleich, und zwar ist diejenige die kl eine re, deren zweiter Endpunkt zwiscben die Endpunkte der anderen fallt, diese die grofiere. In Fig. 15 ist EF^>GH oder GH<^EF. Eine Gerade bat nur eine Lage, eine Grofie, hingegen zwei Ricbtungen, die entgegengesetzt sind. A B (Fig. 14) von A nach B , und von B nach A. §. 22. Vergleichung zweier Geraden hinsichtlich ihrer gegen- seitigen Lage. 1. Zwei Gerade, welche in derselben Ebene liegen und, wenn sie noch so weit verlangert werden, nie zusammentreffen, heifien gleich- 11 laufend oder parallel. Dass die Geraden AB und CD (Fig. 16) parallel sind, dritckt man dadurch aus, dass man schreibt: AB || CD. Der zwischen zwei par- Fig. 16. allelen Geraden liegende A — - B Theil der Ebene heifit ein Parallelstreifen. c —-- —B 2. Zwei Gerade, welche in einer Ebene liegen und, hinreichend verlangert, zusammentreffen, heifien ung lei eh laufend oder nicht parallel, wie A B und CD. (Fig. 17.) Zwei nicht par- allele Gerade heifien in der Richtung nach dem gemeinschaftlichen Schnittpunkte bin con- vergierend und nach der entgegengesetzten Richtung divergierend. Aufgaben: 1. Welche Lage gegeneinancler haben die Geraden, welche von den Punkten eines frei fallenden Korpers beschrieben werden? 2. Welche Lage gegeneinander haben die von einem leuchtenden Punkte aus- gehenden Strahlen? Der Winkel. Fig. 18. §. 23. Entstehung und Bezeichnung eines Winkels. Dreht man den Halbstrahl OA um 0 (Fig. 18) in der Richtung des Pfeiles in die Lage OB, so wird der von ilirn beschriebene Theil der Ebene ein Winkel genannt. Die Halbstrahlen, welche einen Winkel bilden, nennt man die Schenk el, ihren Schnittpunkt den Scheitel des Winkels. Man bezeichnet einen Winkel ent- weder durch einen Buchstaben am Scheitel oder durch einen kleinen Buchstaben, den man in die Offnung des Winkels setzt, oder durch drei Buchstaben. Im letzteren Falle steht ein Buchstabe am Scheitel, und die zwei anderen an beliebigen Punkten der beiden Schenkel; diese Buchstaben werden bei der Benennung eines Winkels in einer solchen Ordnung gelesen, dass der am Scheitel stehende die Mitte einnimmt. In dem Winkel (Fig. 18) ist 0 der Scheitel, OA und OB sind die Schenkel, und der Winkel heifit: Winkel 0, oder Winkel m, oder Winkel AOB, oder Winkel BOA. A* 14 Fig. 23. C Dreieck erriclitet denken kann, so kann im allge- meinen aucli jecle Seite Grundlinie sein. Der Scheitel des Winkels, welclier der Grundlinie gegeniiber liegt, wird die S p i t z e oder der S c li e i t e 1 und die Senk- reclite, die vom Scheitel auf die Grundlinie gefallt wird, die Hi)he des Dreieckes genannt. Sie gibt den Abstand des Scheitels von der Grundlinie an. Nimmt man im Dreiecke ABC (Fig. 23) AB als Grundlinie an. so ist C der Scheitel und, wenn CD J _ AB ist, CD die Hohe. Die Summe der Seiten eines Dreieckes heifit der Umfang desselben. §. 27. Eintheilung der Dreiecke nach den Seiten. In Beziehung auf die Lange der Seiten unterscheidet man ungleichseitige, gl eichschenklige und gleichseitige Drei¬ ecke. (Fig. 24.) Fig. 24. F C J gleich Ein Dreieck heifit ungleich- s e i t i g, wenn in demselben keine Seite einer andern ist, wie ABC ; g 1 ei ch- schenklig, wenn zwei Seiten einander gleich sind, wie DDF• und gleichseitig wenn alle drei Seiten gleich sind, wie GHJ. Im gleichschenkligen Dreiecke nennt man die gleichen Seiten die Schenkel, die dritte Seite die Grundlinie und den ihr gegentiber- liegenden Eckpunkt den Scheitel des Dreieckes. §. 28. Eintheilung der Dreiecke nach den Winkeln. Nach der G r o 6 e derWinkel unterscheidet man s p i t z w i n k 1 i g e, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. (Fig. 25.) Fig. 25. . Ei “. Dreieek r n heifit spitzwink- wenn es drei spitze Winkel hat, wie ABC : reclit- w i n k 1 i g, wenn es einen rechtenWinkel hat, wie DDE; und stumpfwinklig, wenn es einen stumpfen Winkel hat, wie JGH. Im rechtwinkligen Dreiecke nennt man die Seite, welche deni rechten TVinkel gegentiberliegt, Hypotenuse, die beiden andern Seiten Katheten. 1 i °’ 1 1 O) 15 Das Yiereck. §. 29. Erklarungen. 1. Eine von vier Strecken begrenzte ebe ne Figur wird ein Yiereck genannt. Ein Yiereck hat vier Seiten, vier Winkel und vier Eckpunkte. Die Strecke, welche zwei gegeniiber- liegende Eckpunkte verbindet, heifit D i a go n al e. Wie viele Diagonalen konnen in einem Vierecke gezogen werden? Nenne in dem Vierecke ABCD (Fig. 26) alle vier Seiten und alle vier Winkel! Nenne die Diagonalen! Die Summe der Seiten eines Viereckes heifit der Umfang desselben. Fig. 26. D §. 30. Eintheilung der Vierecke nach der Lage der Seiten. Nach der Lage der Seiten unterscheidet man drei Arten von Vierecken: Parallelogramme, Trapeze und Trapezoide. (Fig.27.) Fig. 27. Ein Parallelogramm (I. in Fig. 27) ist ein Viereck, in welchem beide Seitenpaare parallel sind. In einem Parallelogramm kann nlan irgend eine Seite als 6 r u n d- linie annehmen; die Senkrechte, welche auf die Grundlinie yon der gegentlberliegenden Seite gezogen wird, ist dann die Hohe. Ein Trapez (II. in Fig. 27) ist ein Viereck, in welchem nur ei n Paar yon Seiten parallel ist. Die nicht parallelen Seiten heifien Schenkel. Im Trapeze wird nur eine der beiden Parallelseiten als Grundlinie angenommen, und die Hohe ist dann die Senkrechte, die yon der andern Parallelseite auf sie gefallt wird. Eine besondere Art des Trapezes ist das gleichschenklige Trapez (III. in Fig. 27) in welchem die nicht parallelen Seiten einander gleich sind. Ein Trapezoid (IV. in Fig. 27) ist ein Viereck, in welchem kein Paar yon Seiten parallel ist. Eine besondere Art des Trapezoides ist das Deltoid (V. in Fig. 27), in welchem zwei Paare gleicher an- stofiender Seiten vorkommen. 16 §. 31. Eintheilung der Parallelogramme nach der GroGe der Seiten und Winkel, 1. Sind in einem Parallelogramm alle Winkel rechte, so heifit es reclitwinklig, sind sie sckief, so heifit es schiefwinklig. Sind in einem Parallelogramm alle Seiten -gleich, so ist es gleichseitig, sind aber nur die Gegenseiten gleich, die an derselben Ecke liegenden nngleich ; so ist es ungleichseitig. 2. Mit Rticksicbt auf die Grofie der Seiten und der Winkel unterscheidet man yier Arten yon Parallelogrammen (Fig. 28). Das Fig. 28. ungleichseitige schiefwinklige Parallelogramm (L\ leifitRhom- V / boid,dasgleieh- seitige scliief- winklige (II) Rhombus, das ungleichseitige rechtwinklige (III) Rechteck und das gleichseitige rechtwinklige (IV) Quadrat. §. 32. Die achsiale Symmetrie. 1. Symmetrische Lage zweier Punkte. Zwei Punkte P und P* (Fig. 29) liegen in Bezug auf eine Gerade SS* symmetrisch, wenn ihre gerade Verbindungs- linie PP l auf der Geraden SS* normal steht und you derselben halbiert wird. 2. Symmetrische Lage zweier Gebilde (Figuren). Zwei Gebilde (Figuren) ABC und A* B* C* (Fig. 29) sind in Bezug auf eine Gerade SS* symmetrisch, wenn jedem Punkte des einen Ge- bildes ein symmetrisch liegender Punkt des andern entspricht. Die Gerade SS* heiflt die Symmetrieachse oder Sym- metrale und die beiden Punkte oder Gebilde, welche in Bezug auf SS* symmetrisch liegen, einander symmetrisch zugeordnet oder kurz zugeordnet. Zwei Gebilde, welche einander symmetrisch zugeordnet sind, konnen durch Drehung um die Symmetrale zur Deckung gebracht werden, sie sind daher congruent. Fig. 29. A 17 Aufgaben: 1. Es 1st die Symmetrale und ein Punkt gegeben; der zugeordnete Punkt zu finden. heifit symmetrisch, wenn sicli dieselbe durch eine Gerade in zwei symmetrisch liegende Halften theilen lasst. Nach der Anzalil der Geraden, durch welclie eine Figur (Gebilde) in zwei symmetrisclie Halften getkeilt werden kann, heiflt dieselbe ein-, zwei-, drei-, mehrachsig symmetrisch. Von den bisher betrachteten Gebilden sind die folgenden sym¬ metrisch : a) die unbegrenzte Gerade: jede ihrer Normalen kann als Symmetrale derselben angesehen werden; b) die Strecke. Die Normale in ihrem Halbierungspunkte ist ihre Symmetrale; man nennt sie kurz Streckensymmetrale; c) der Parallelstreifen. Die Parallele in der Mitte desselben und jede Normale zu seinen Begrenzungsgeraden sind Symmetralen; d) der Wink el. Seine Halbierungslinie ist die Symmetrale; man nennt sie kurz Winkelsymmetrale; e*) das gleiclischenklige Dreieck; die Hohe auf die Grundlinie ist die Symmetrieachse; f) das gleichseitige Dreieck; jede Hohe ist eine Symmetrie- 2. Es ist die Symmetrale und a) eine Strecke, b) ein Winkel, c) ein Dreieck gegeben und das zugeordnete Gebilde zu zeichnen. 3. Symmetrisclie Fignren (Gebilde). Eine Figur (Gebilde) achse; g) das Quadrat; jede Seitensymmetrale und jede Diagonale ist eine Symmetrieachse ; h) das Rechteck; iede Seitensymmetrale ist eine Fig. 31. h) das Rechteck; jede Seitensymmetrale ist eine Symmetrieachse; S i) der Rhombus; jede Diagonale ist eine Symmetrieachse ; k) das gleichschenk- Fl £- 30 Fig. 30. A 1 i g e Trapez; C Symmetrale der beiden Parallelseiten ist die Symmetrieachse (Fig. 30); S l) das Deltoid; die Dia¬ gonale zwischen den S Eckpunkten, an denen die gleichen Seiten liegen, ist die Symmetrie¬ achse (Fig. 31). *) Der Schuler schneide diese und die folgenden Figuren aus Papier aus und iiberzeuge sich durch Drehung um die Symmetralen yon der Richtigkeit der aus- gesprochenen Satze. 2 18 Fig. 32. Das regelmafiige sechsseitige Prisma. §. 83. Der in Fig. 32 dargestellte Korper ist ein regelmafiiges sechsseitiges Prisma. Die Grundflacken sind regelmafiige Secksecke, d. k. geradlinig begrenzte Figuren mit seeks gleiclien Seiten und eken so vielen gleiclien Winkeln. Sie sind parallel und congruent. Der Korper kat 12 Grund- kanten und 6 Seitenkanten, welcke auf den Grundflacken und den Grundkanten senkreckt steken. Die Seiten- flacken sind seeks Recktecke. Ein gerades Prisma heifit regelmafiig, wenn die Grundflacken regelmafiige Yielecke sind; es ist aber kein regelmafiiger Korper. (§ 5.) Besckreibe ein regelmafiiges a) dreiseitiges, 6) ftinf- seitiges Prisma. Die regelmafiige flinfseitige Pyramide. §. 34. Der in Fig. 33 dargestellte Korper ist eine regelmafiige funfseitige Pyramide. Die Grundflache ist ein regelmafiiges Flinfeck, die Seitenkanten sind einander gleick und treffen in einem Punkt zusammen. Die Seitenflacken sind con- gruente gleicksckenklige Dreiecke. Der Korper kat fiinf Grundkanten und fiinf Seitenkanten. Da die Seiten¬ kanten dieser Pyramide gleick sind, so ist sie zugleick eine gerade. Eine Seitenkante kann aucli dieselbe Lange kaben wie eine Grundkante, in diesem Falle heifit die Pyramide gleichkantig. Eine Pyramide keiflt regelmafiig, wenn sie gleick e Seitenkanten und zur Grundflache ein regelmafiiges Yieleck hat. Sie ist aber kein regelmafiiger Korper. Fig. 33. Das Yieleck (Polygon). §. 35. Erklarungen. 1. Eine von mehr als vier Seiten begrenzte ebene Figur heifit ein V i e 1 e c k oder Polygon. (Fig. 34.) Nack der Fig. 34. Seitenzakl unterscheidet man Fiinfecke, Secksecke etc. In weiterem Sinn werden auch die Dreiecke und Vier- ecke Polygone genannt. Jedes Vieleck hat so viele Eckpunkte und so viele Winkel, als es Seiten kat. Eine Strecke, welcke zwei niclit unmittelbar aufeinander folgende Eckpunkte eines Yieleckes ver bindet, lieifit Diagonale. 19 §. 36. Eintheilung der Vielecke nach der Grdfie der Seiten und Winkel. Ein Yieleck heiBt gleich sei tig, wenn alle Seiten einander gleick sind; sonst ungleichseiti g. Ein Yieleck heiBt gleich- winklig, wenn alle Winkel einander gleich sind; sonst ungleich- winklig. Ein Yieleck heiBt regelmaBig, wenn alle Seiten und alle Winkel gleich sind; sonst unregelmafiig. So ist z. B. der Rhombus ein gleichseitiges, das Rechteck ein gleichwinkliges, das Quadrat ein regelmaBiges Viereck. §. 37. Achsiale Symmetrie eines regelmaBigen Vieleckes. Jede Symmetrale a) einer Seite, b) eines Winkels ist auch eine Symmetrale des ganzes Polygones. (Nachweis durcli Deckung.) Hat ein Polygon eine gerade Anzahl von Seiten, so fallen die Symmetralen Fig. 35 a. Fig. 35 b. a) je zweier paralleler Seiten, b) zweier Gegenwinkel zusammen. Hat ein Polygon eine ungerade Seitenzahl, so fallt jede Seitensymmetrale mit einer Winkelsymmetrale zusammen. Mithin hat jedes regelmaBige Polygon so viele Symmetralen, als es Seiten hat. (Fig. 35 a und b.) Alle Symmetralen eines regelmaBigen Polygones schneiden einander in demselben Punkt 0, der a) yon alien Ecken, 6) yon alien Seiten gleichen Abstand hat. Er heiBt der Mittelpunkt des regelmaBigen Vieleckes. Die centrische Symmetrie. §. 38. Zwei Punkte A und A ' (Fig. 36) liegen centrisch beziiglich des Punktes 0, wenn die Strecke A A 4 durch 0 halbiert wird. Der Punkt O heiBt das Centrum. Zwei Gebilde liegen beziiglich des Punktes Fl £* 36 - 0 centrisch, wenn jedem Punkt des einen ein centrisch liegender Punkt des andern entspricht. Die gleichen und parallelen Strecken AB und A'B 4 (Fig. 36) liegen beziiglich des Punktes 0 centrisch. 2 * 20 Liegen umgekehrt zwei Strecken centrisck, so miissen sie gleich und parallel sein. Yon zwei centrisck liegenden Gebilden lasst sick jedes dnrck eine in der Zeicknungsebene nm das Centrum vorgenommene Drekung yon 180° mit dem andern zum Deckling bringen. Ein Gebilde heifit centrisck, wenn es einen Punkt kat, in Bezug auf welcken die Punkte des Gebildes paarweise centrisck liegen. Centriscke Gebilde sind: 1. Ein Strakl. Jeder Punkt desselben kann als Centrum an- genommen werden. 2. Eine Streeke. Symmetriecentrum ist der Halbierungspunkt. \ 3. Zwei sick kalbierende Strecken. Ikr Durcliscknittspunkt ist das Centrum. 4. Jedes Parallelogramm. Der Durck- scknittspunkt der Diagonalen O (Fig. 37) ist das Centrum. Jede durck 0 gekende und durck zwei Seiten des Parallelogrammes be- grenzte Streeke wird in 0 kalbiert, 5. Jedes regelmafiige Polygon yon gerader Seitenzakl. Der Mittel- punkt 0 des Polygones ist das Symmetriecentrum. (Fig. 35 b.) Jede durck 0 gekende und durck zwei Seiten des Polygons begrenzte Gerade wird in 0 kalbiert. Fig. 38. Der gerade Cylinder. §. 39. Die Fig. 38 stellt einen geraden Cylinder dar. Dieser wird yon drei Flacken begrenzt; zwei derselben, die Grundflacken, sind ebene, parallele und congruente Figuren, die dritte, die Mantelflache des Cylinders, ist keine ebene, sondern eine gekriimmte Flacke. Weil der Cylinder nickt yon lauter ebenen Flachen, sondern auck yon einer krummen Flache begrenzt ist, heifit er ein krumm- flackiger Korper; die friiker betrackteten Koi’per waren eckige. Die Grundflacken des Cylinders sind yon einer krummen Linie begrenzt. In jeder derselben gibt es einen Punkt (Centrum), der yon alien Punkten des Umfanges (Peripherie) gleick weit entfernt ist. Eine solche Flacke heifit eine Kreisflache, die sie begrenzende krumme Linie Kreislinie. Die gerade Verbindungslinie eines Punktes derselben mit dem Mittelpunkt heifit Halbmesser oder Radius. Eine Streeke, welehe zwei Punkte des Umfanges verbindet und durch den Mittelpunkt geht, 21 keifit D u r c h m e s s e r (D i a m e t e r). Alle Halbmesser und daker auck alle Durckmesser eines Kreises sind einander gleich. Jeder Durckmesser tkeilt den Kreis in zwei Halbkreise. Verbindet man die Endpunkte zweier paralleler in derselben Richtung gezogener Radien der beiden Grundflachen durck eine Gerade, so fallt dieselbe in die Mantelflache des Cylinders; sie keifit eine S e i t e desselben. Bei dem betrackteten Cylinder stekt jede Seite anf den beiden Grundflacken senkreckt, der Cylinder keifit daker ein senkreckter oder gerader Cylinder. Die gerade Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden Grundflachen keifit die Ackse des Cylinders. Bei dem geraden Cylinder ist sie auf den beiden Grundflacken normal. Einen geraden Cylinder kann man durcli Yersckiebung eines korizontalen Kreises in verticaler Richtung oder durck Rotation eines Reckteckes urn eine seiner Seiten entstanden denken. Der gerade Kegel. §. 40. Der in Fig. 39 dargestellte Korper ist ein gerader Kegel; er ist yon zwei Flacken begrenzt, der Grundflache und dem Mantel. Die Grundflache ist ein Kreis, also eine ebene Flache, der Mantel kingegen ist eine krumme, in einen Fig. 39. Pnnkt auslaufende Flache. Dieser Punkt heifit die Spitze des Kegels. Verbindet man dieselbe mit einem Punkte des Umfanges der Grundflache durch eine Gerade, so fallt diese in die Mantelflache und keifit eine Seite des Kegels. Alle Seiten des geraden Kegels stehen gegen die Grundflache schief und sind gleich ’lang. Die gerade Verbindungslinie der Spitze mit dem Mittelpunkt der Grundflache ist die Achse des Kegels; sie steht beim geraden Kegel auf der Grundflache senkreckt. Einen geraden Kegel kann man durch Rotation eines rechtwinkligen Dreieckes um eine seiner Katketen entstanden denken. Der gerade Kegelstumpf. § 41 . Wird ein gerader Kegel (Fig. 40) durch eine mit der Grundflache parallele Ebene geschnitten, so ist die Schnittfigur ein Kreis. Der Kegel zerfallt durch einen solchen Schnitt in zwei Theile, einen zwischen der Grundflache und der Schnittflache liegenden Theil, welcher ein abgekttrzter gerader Kegel oder ein gerader Kegel¬ stumpf heifit, und einen zwischen der Schnittflache und dem Scheitel liegenden kleineren Kegel, welcher der Erganzungskegel des Stumpfes genannt wird. Der Kegelstumpf wird von zwei parallelen 22 ungleichen Kreisen als Grundflachen und der zwischen ihnen ent- haltenen Mantelflache begrenzt. Die Strecke Oo, welcbe die Mittelpunkte der Grundflachen ver- bindet, heiflt die Achse; sie steht auf den beiden Kreisflachen senk- recht. Eine Strecke, welche die Endpunkte zweier paralleler in derselben Ricktung gezogener Radien der beiden Grundflachen verbindet, fallt in die Mantelflache des Stumpfes und heiflt eine Seite desselben; z. B. A a. Einen geraden Kegelstumpf kann man sich dadurch entstanden denken, dass sich ein Trapez A 0 o a, in welchem ein Schenk el 0 o auf den beiden parallelen Seiten senkrecht steht, um diese Seite als Achse herumdreht; der andere Schenkel A a beschreibt dabei die Mantelflache, die beiden parallelen Seiten AO und ao erzeugen die Grund¬ flachen des geraden Kegelstumpfes. In einem geraden Kegelstumpfe sind alle Seiten gleich. §. 42. Erklarung und Entstehung einer Kugel. Der in Fig. 41 dargestellte Korper 1st eine Kugel. Sie ist von einer einzigen gekriimmten Flache begrenzt, deren Punkte von einem innerhalb derselben liegenden Punkt 7 dem Mittel- punkt oder Centrum, gleich weit abstehen. Die Strecke zwischen einem Punkt der Oberflache und dem Centrum heiflt Halbmesser oder Radius; eine Strecke, welche zwei Punkte der Oberflache einer Kugel verbindet und durch den Mittelpunkt geht, heiflt Durchmesser (Diameter). Alle Radien und daher auch alle Durchmesser einer Kugel sind einander gleich. Man kann sich eine Kugel durch eine halbe Umdrehung eines Kreises NASQ um den Durchmesser NS (Fig. 41) entstanden denken; der Durchmesser NS heiflt die Achse, seine Endpunkte werden die Pole der Kugel genannt. Die einzelnen Lagen der sich drehenden Kreislinie lieiflen Meridiane, und die Kreislinien, z. B. (7if, welche die Punkte der sich drehenden Kreislinie beschreiben, Parallelkreise. Die Meridiane sind alle einander gleich, die Parallelkreise haben verschiedene Grofle. Der groflte Parallelkreis ist der A qua tor AQ , d. i. derjenige Kreis, welcher von dem Halbierungspunkte A des Halbkreises NAS beschrieben wird. Fig. 41 N Q Fig. 40. ,S Fig. 42. N § 43. Schnittfiguren an der Kugel. 1. Sclmeidet man eine Kugel (lurch eine Ebene, so ist die Schnitt- flache ein Kreis, welcher um so grofler ist, je naher am Mittelpunkte der Sclinitt gelegt wird. Am grbfiten wird er, wenn die Schnittebene (lurch den Mittelpunkt der Kugel geht; ein solcher Kreis, dessen Mittel- punkt im Mittelpunkte der Kugel liegt, dessen Halbmesser also so grofl ist als der Halbmesser der Kugel, heifit ein g r o fi t e r Kreis der Kugel. Der Aquator, sowie alle Meridiankreise siiul grofite Kugelkreise. 2. Scbneidet man eine Kugel (lurch eine Ebene, so zerfallt der Kugelkorper in zwei Theile, welche man Kugelabschnitte nennt. Geht die Schnittebene (lurch den Mittelpunkt, so theilt sie den Kugelkorper in zwei svmmetrische Kugel¬ abschnitte, welche Halbkugeln heifien; fiir jede nicht durch den Mittelpunkt gehende Schnitt¬ ebene sind die Kugelabschnitte ungleich. Die gekrummte Flache eines Kugelabschnittes heifit eine Kugelmiitze oder Calotte. 3. Wird eine Kugel durch zwei parallele Ebenen geschnitten, so heifit der zwischen ilmen befindliche Theil des Kugelkorpers eine Kugel sc hicht und der dazu gehorige Theil der Kugelflache eine Kugelzone. § 44. Der Kreis. a) Entstehung der Kreislinie. Dreht sich eine Strecke O A (Fig. 43) um den Punkt 0 in der Ebene so lange, bis sie wieder in ihre urspriinghche Lage kommt, so beschreibt der Punkt A eine Linie, deren Punkte yon 0 gleichen Abstand haben, also Fl S* 43 - einen Kreis (§ 39). 0 ist der Mittelpunkt, A O ein Radius, A D ein Durchmesser. Die von der Kreislinie eingeschlossene Figur heifit Kreisflache. Der Kreis ist eine centrische und eine aehsial-symmetrische Figur. Jeder Durch¬ messer ist eine Symmetrieachse. b) Punkt und Kreis. Ein Punkt liegt in der Peripherie, aufierhalb oder innerhalb derselben, je nach- dem sein Abstand vom Mittelpunkt (Centralabstand) gleich dem Radius, grofier oder kleiner als derselbe ist. 24 c) Die Gerade und der Kreis. Eine Gerade kann mit einer Kreislinie zwei Punkte oder nur einen Punkt oder gar keinen Punkt gemeinschaftlich liaben. Eine Strecke AB (Fig. 44), welcbe zwei Punkte des Umfanges verbindet, heiBt eine Sellne. Gelit eine Sehne durcli den Mittel- punkt, so ist sie ein Durclnnesser. Eine Gerade CD (Fig. 44), welcbe durcli die Verlaugerang einer Sehne AB iiber ihre Endpunkte biuaus entstebt, beiBt eine Sec ante. Eine Gerade JEF : welcbe mit der Kreislinie nur einen Punkt A gemeinschaftlich bat und iibrigens ganz auBerhalb des Kreises liegt, heiBt eine Tangente des Kreises. Die Durclimesser eines Kreises bestimmen ein Strahlenbuschel. Man bedient sicb desselben zum Zeicbnen der Kreislinien aus freier Hand. • d) Tbeile der Kreislinie. Jeder Theil des Umfanges, wie z. B. AB (Fig. 43) wird ein Kreisbogen genannt* die Halfte des Umfanges heiBt insbesondere ein Halbkreis, der vierte Theil ein Quadrant, der sechste ein Sextant, der acbte ein Octant. Um die Grofie eiues Kreisbogens im Vergleich zum ganzen Kreisumfange angeben zu konnen, tbeilt man diesen in 360 gleicbe Theile und nennt einen sole-hen Theil einen Bogengracl. Ein Bogengrad (°) wird in 60 Bogenminuten (') und eine Bogenminute in 60 Bogensecunden (") eingetheilt. Aufgaben: 1. Wie viele Bogengrade kommen auf einen Halbkreis, wie viele auf den Qua- dranten, den dritten, funften, seclisten, achten, zehnten Theil des Kreis- umfanges? 2. Der wievielte Theil des Kreisumfanges ist ein Bogen von 10°, 20°, 30°, 36°, 40°, 60°, 90°, 120°? e) Tbeile der Kreisflache. 1. Der Kreisabs ch nitt oder das Kreissegme nt, d. i. ein Theil der Kreisflache, welcher yon einer Sehne AB (Fig. 44) und dem durch diese abgeschnittenen Bogen begrenzt wird. Da zu jeder Sehne zwei Bogen gehoren, so zerschneidet sie auch den Kreis in zwei Seg- mente. Spricht man von einem, so ist das kleinere gemeint. 2. Der Kreisausschnitt oder Kreissector, d. i. ein Theil der Kreisflache, welcher von zwei Halbmessern und dem dazwisclien liegenden Bogen begrenzt wird, wie AOB (Fig. 44). Fig. 44. 25 § 45. Messen der Winkel. 1. Zur Messung der Winkel nimmt man einen bestimmten Winkel als Einkeit an und untersucht, wie oft dieselbe in dem zu messenden Winkel enthalten ist. Die Einheit des Winkelmafies ist der 90. Tlieil eines rechten Winkels. Dieser wird ein Winkelgrad genannt. Der 60. Tlieil eines Winkelgrades heifit eine Winkelminute, der 60. Tlieil einer Winkel- minute eine Winkelseeunde. Wie grofl ist ein gestreckter Winkel? Zwischen welchen Grenzen liegt ein hohler, ein spitzer, ein stumpfer Winkel? 2. Theilt man den Bogen eines Halbkreises in 180 gleiche Tkeile, so heifit jeder dieser Theile ein Bogengrad. Zielit man vom Mittel- punkte des Kreises zu den Endpunkten eines jeden Bogengrades Halb- messer, so entstehen urn den Mittelpunkt lierum 180 Winkel (Centri¬ winkel), welche zusammen einen gestreckten Winkel bilden. Diese Winkel sind untereinander gleich, da bei je zweien, wenn man sie gehorig aufeinander legt, die Bogen und dalier auch die Schenkel zusammenfallen. Zu jedem Bogengrad gehort also ein Centriwinkel von einem Winkelgrad; ebenso zu einer Bogenminute und einer Bogen- secunde ein Centriwinkel von einer Winkelminute, bezieliungsweise einer Winkelseeunde. Dalier hat jeder Centriwinkel eben so viele Winkelgrade, Winkelminuten und Winkelsecunden als der zugehorige Bogen Bogengrade, Bogenminuten und Bogensecunden enthalt. Wegen dieser Ubereinstimmung ist es moglich, einen Winkel durck den Bogen zu messen, zu welchem er als Centriwinkel gehort, obwohl Bogen und Winkel ungleichartig sind. Zum Messen und Auf- tragen der Winkel bedient man sick des Winkel- m e s s e r s oder Tran s- porteurs. (Fig.45.) Dieser ist ein in 180 Grade einge- theilter Halbkreis aus Papier, Holz oder Metall, bei wel¬ chem die Xante 0...180 den Durchmesser und der Punkt M den Mittelpunkt vorstellt. 3. E r h a b e n e Winkel. Die Drehung eines Halbstrahles wurde in § 25 auf eine halbe Umdrehung beschrankt; sie kann aber auch grofier Fig. 45. 90 180 0 26 sein. Die so entstehenden Winkel heifien erhabene oder convexe Winkel, z. B. AOB (Fig*. 46). Ein Winkel, welcher durch eine ganze Um- drehnng* entsteht, heifit ein voller Winkel. Seine Fig. 46. Schenkel liegen in einer Geraden nach derselben Richtung*. Ein erhabener Winkel bat mebr als ^ 180°, ein voller Winkel 360°. Zwei von demselben Punkt ausgekende Halb- strahlen bilden zwei Winkel; unter dem Winkel derselben meint man den kleineren, wenn nicht das Gegentheil ausdriicklich gesagt ist. Die Grade, Minuten und Secunden der Winkel werden so wie die der Bogen durch °, " bezeichnet. Aufgab en: 1. Wie viele Grade hat der Winkel, den der Stundenzeiger einer Uhr in 1, 3, 5, 6, 8, 10 Stunden beschreibt? 2. Wie grol] ist der Winkel, den der Minutenzeiger in 1, 4, 15, 34, 48 Zeit- minuten beschreibt? 3. Wie grofi ist der 'Winkel, welchen die beiden Zeiger einer Uhr nm 1, 2, 4, 7, 9, 11 Uhr bilden? 4. Miss die an verschiedenen eckigen Korpern vorkommenden Winkel mittelst des Transporteurs! 5. Zeichne beliebige Winkel, schatze znerst ihre Grohe nach dem Augenmafie ab nnd miss sie dann mit dem Transporteur! 6. Zeichne znerst nach dem Augenmafie ans freier Hand nnd dann mit Hilfe des Transportenrs einen Winkel von 90°, 45°, 60°, 30°, 80°, 50°, 120° 175°, 200°, 270°, 285°, 300°. § 46. Complementare und supplemental Winkel. Betragt die Summe zweier Winkel 90°, so heifien sie complementare Winkel; jeder der beiden Winkel wird das Complement des andern genannt. Betragt die Summe zweier Winkel 180 °, so heifien sie supplemental Winkel; jeder wird das Supplement des andern genannt. Anfgaben: 1. Wie gro3 ist das Complement eines Winkels von a) 35°, b) 48° 12', c) 75° 8'42"? 2. Wie grob ist das Supplement eines Winkels von a) 55°, b) 96° 20', c) 137° 21'28"? * * * *• i_ v • .. § 47. Die Ellipse. An dem geraden Cylinder und Kegel kann nock eine andere krumme Linie zur Ansckauung gebracht werden. Schneidet man diese Korper durch eine Ebene, welche zur Grand- flache nicht parallel ist und alle Seiten trifft, so erhalt man als Durch- 27 schnittsfigur derselben mit dem Mantel eine krumme Lime, welclie Ellipse genannt wird, Man kann sie an dem Niveau einer Fliissigkeit erkennen, \velcke in einem Gefafl, das die Form eines geraden Cylinders oder Kegels hat, sich befindet, wenn man demselben eine schrage Stelluug gibt. Construction der Ellipse. Befestigt man in den Punkten A und B (Fig. 47) die Enden einer Schnur, spannt dieselbe mittels eines Stiftes M und falirt mit diesem um die beiden Punkte so herum, dass die Schnur immer gespannt bleibt, so be- schreibt der Stift eine Ellipse. Die Punkte A und B nennt man die Brennpunkte der Ellipse. Die Ent- fernungen eines Punktes M yon den beiden Brennpunkten, d. i. die Strecken A M und B M, beiden die Leitstrahlen dieses Punktes. Die Strecke CD, welche durch die Brennpunkte geht, heifit die grofie Aclise; die Endpunkte C und D derselben heifien die Scheitel der grofien Achse, und der Halbierungspunkt 0 der Mittelpunkt der Ellipse. Die Strecke EF, welche im Mittelpunkte auf der grofien Aclise senkreclit steht, heifit die kleine Achse; die Punkte E und F sind die Scheitel derselben. Aus der Entstehung der Ellipse geht hervor, dass sich die Langen der beiden Leitstrahlen AM und BM von Punkt zu Punkt verandern, dass aber ilire Summe stets dieselbe bleibt. Die Summe stellt die Lange der Schnur dar und diese ist der grofien Achse gleich. In der Ellipse ist also die Summe der Leitstrahlen eines jeden Punktes gleich der grofien Achse. Die Ellipse ist eine zweiachsig symmetrische Figur; die beiden Achsen sind die Symmetralen. Wie gro.8 sind die Leitstrahlen A E und BE? Eine Strecke, welche zwei Punkte der Ellipse verbindet, heifit eine Sehne derselben. Geht die Sehne durch den Mittelpunkt, so heifit sie ein Durchmesser. Die beiden Achsen sindDurchmesser der Ellipse. Alle Durchmesser werden durch den Mittelpunkt lialbiert. Daher ist die Ellipse eine centrische Figur, das Centrum ist 0. Eine gerade Linie, welche mit der Ellipse nur einen Punkt ge- meinschaftlich hat und iibrigens ganz aufierhalb der Ellipse liegt, heifit eine Tangente der Ellipse. Fig. 47. E D 28 Je kleiner die Entfernung der Brennpunkte vom Mittelpunkte, oder je kleiner der Unterschied zwischen der grofien nnd der kleinen Achse ist, desto mehr nahert sich die Ellipse einem Kreise. Markiert man auf einem Lineale drei Punkte und lasst zwei derselben auf den Schenkeln eines Winkelkreuzes gleiten, so beschreibt der dritte Punkt eine Ellipse. II. Gerade Linien und Winkel. A C BC BE D E §. 48. Zeichnendes Rechnen mit Strecken. 1. Addition zweier oder mehrerer Strecken. Um zwei oder mehrere Strecken zu addieren, legt man sie in einer Geraden so neben- einander, Flg ’ 48 ' dass der End- _ p punkt der ersten mit dem Anfangs- punkte der zwei- p ten, der Endpunkt der zweiten mit dem Anfangspunkte der dritten Strecke u. s. w. zusammenfallt; dann ist die Strecke zwischen dem Anfangspunkte der ersten und dem End- punkte der letzten Strecke die gesuckte Sum me. In Fig. 48 ist AF= AB + CD + EF 2. Subtraction zweier Strecken. Um zwei Strecken zu subtrabieren, legt man die kleinere so auf die groflere, dass zwei End- punkte derselben zusammen- Fig. 49. A (A E fallen; dann ist die Strecke zwischen den anderen End- punkten die gesuchte DifPerenz (Unterschied). In Fig 49 ist BE=AB — CJD. 3. Multiplication einer Strecke mit einer ganzen Zahl. (Vervielfachen einer Strecke.) Eine Strecke wird mit einer ganzen Zabl multipliciert (yervielfacht), in- dem man dieselbe in der friiher an- r ^ gegebenen Weise so oft als Addend setzt, als die ganze Zahl anzeigt. Ist z. B. die Strecke AB (Fig. 50) mit 4 zu multiplicieren oder zu vervierfachen, so tragt man dieselbe auf Fig. 50. A 4 E E C B 29 einer Geraden viermal nebeneinander auf; es ist dann AE = AB X 4 oder AE das Vierfache von AB. 4. Division einer Strecke. a) Durch eine ganze Zahl (Theilung). Eine Strecke durch eine ganze Zahl dividieren heifit, die- selhe in so viele gleiche Summanden zerlegen, als die ganze Zahl an- zeigt. Der Quotient ist eine Strecke. Ist eine Strecke in 2, 4, 8, 16 . . . gleiche Theile zu theilen, so theile man dieselbe vorlaufig nach dem Augenmafie in zwei, jede Halfte wieder in zwei, jedes Viertel wieder in zwei gleiche Theile u. s. w. Ist eine Strecke in 6 gleiche Theile zu theilen, so theilt man dieselbe zuerst in zwei gleiche Theile und jede Halfte in drei gleiche Theile. b) Durch ein Strecke. Eine Strecke durch eine Strecke dividieren heifit untersuchen, wie oft die letztere in der ersten enthalten ist. (Messung.) Der Quotient ist eine Zahl. Z. B. (Fig. 50) AE: A B — 4. Aufgaben: 1. Es sind drei horizontale Strecken zu zeichnen, dieselben bezuglich ihrer Lange zu vergleichen und zu addieren. 2. Es sind drei verticale Strecken zu zeichnen und zu addieren. 3. Es sind zwei verticale Strecken zu zeichnen und ihre Differenz zu ermitteln. 4. Es ist eine gegebene Strecke mit 7 zu multiplicieren. 5. Es ist a) eine horizontale, b) eine verticale, c) eine sclirage Strecke in 3, 4, 5, 6, 8, 10 gleiche Theile zu theilen. §. 49. Messen der Strecken. Auf der Division einer Strecke durch eine Strecke beruht die Bestimmung der Lange einer Strecke d. i. das Messen derselben. Eine Strecke messen heifit untersuchen, wie oft eine als Langen- einheit angenommene Strecke in der zu messenden enthalten ist. Die Zahl, welche dieses anzeigt, heifit die Mafizahl der Strecke. Die Einheit des osterreichischen Langenmafies ist das Meter (m), das in 10 Decimeter (dm) a 10 Centimeter ('em) a 10 Millimeter (mm) eingetheilt wird. Ein Meter ist nahezu der zehnmillionste Theil eines Erdmeridianquadranten. 1000 Meter = 1 Kilometer (km), 10 Kilometer = 1 Myriameter (jam). Zum Ausmessen der Langen dienen Stabe von Holz oder Metall, auf welchen eine oder mehrere Langeneinheiten nebst den Unter- abtheilungen aufgetragen sind; sie heifien Mafistabe. Anfangern ist anzurathen, dass sie zur Ubung des Augenmabes verschiedene Langen zuerst annaherungsweise mit dem Auge abschatzen und dann mit dem Maft- stabe genau messen. Aufgaben: 1. Die Summe folgender Strecken zu suchen: a) 3 dm 8 cm 5 mm , 7 dm 9 cm 6 mm, 8 dm 6 mm; b) 3 km 86 m, 5 km 817 m. 30 2. Die Differenz folgender Strecken zu suchen: а) B m 8 dm 5 cm, 1 m 2 dm 3 cm; б) 13 4 dm 7 c?», 8 m 9 dm 8 cm; c) 4 £m, 1 km 27 3. Die Strecke 3 m 8 dm 9 cm a) mit 3 zu multiplicieren, /,) ihreri 5. Theil zu berechnen. 4. Wie oft sind 3 km 826 m in 15 km 304 m enthalten? Fig. 51. §. 50. Zeichnendes Rechnen mit Winkeln. 1. Addition der Winkel. Zwei Winkel ABC und DEF (Fig. 51) werden addiert, indem man sie so nebeneinander legt, dass sie den Scheitel und ein Paar Sclienkel ge- meinschaftlich liaben und das audere Paar Schenkel auf die entgegenge- setzten Seiten des gemein- schaftliclien fallt. In Fig. 51 ist <£.ABG = <3l AB CDEF 2. Subtraction der Winkel. Zwei Winkel ABG und DEF Fig. 51 werden subtraliiert, indem man den kleineren so auf den grofleren legt, dass sie den Scbeitel und ein Paar Sclienkel gemein- schaftlich haben und das andere Paar Sclienkel auf dieselbe Seite des gemeinschaftliclien fallt. In Fig. 51 ist <£ A B C = <£ AB G — <$iD EF. 3. Multiplication eines Winke 1 s mit einer ganzen Zahl. (Vervielfachen eines Winkels.) Ein Winkel A OB (Fig. 52) wird mit einer ganzen Zahl multipliciert (vervielfackt), indem man denselben in der oben angegebenen Weise so oft als Addend setzt, als die ganze Zahl anzeigt. In Fig. 52 ist <£ AGE = AOB X 4. 4. a) Division eines Winkels d u r c li e i n e g a n z e Z a b 1. (Theilung eines Winkels.) Einen Winkel dureh eine ganze Zalil dividieren heiht, den- Fig. 52. selben in so viele gleiche Summanden zerlegen, als die ganze Zalil anzeigt. Der Quotient ist also ein Winkel. Zu diesem Zwecke beschreibe man aus dem Scheitel des zu theilenden Winkels mit einem beliebigen Halb- 31 messer einen Kreisbogen, welclier beide Sclienkel durclischneidet, und theile den zwischen den Sclienkeln gelegenen Theil des Kreisbogens in so viele gleiche Theile, als die ganze Zalil anzeigt. Yerbindet man jeden Theilungspunkt mit dem Scbeitel des Winkels, so erscheint der- selbe als Summe so vieler gleiclier Winkel, als die ganze Zahl anzeigt. In Fig. 52 ist <^AOE < AOB. b) Division eines Wink els durch einen Winkel. (Mes- sung.) Dadurch wird untersucht, wie oft ein Winkel in einem andern enthalten ist. Der Quotient ist also eine Zahl. Z. B. (Fig. 52) AO E: < AOB — Aufgaben: 1. Was fur ein Winkel ist die Summe a) eines recliten und eines spitzen, b) eines recliten und eines stumpfen, c) eines gestreckten und eines hohlen Winkels ? 2. \\ ie groG ist die Summe aller Winkel, die in einer Ebene um einen gemein- schaftlichen Scheitel herum liegen ? 3. Wie groG ist die Differenz a) eines gestreckten und eines recliten, b) eines vollen und eines gestreckten, c) eines vollen und eines recbten Winkels? 4. Was fur ein Winkel ist die Differenz a) eines recbten und eines spitzen, b) eines stumpfen und eines rechten, c) eines gestreckten und eines stumpfen, cl) eines vollen und eines recbten, e) eines vollen und eines stumpfen, f) eines vollen und eines spitzen Winkels? 5. Was fiir ein Winkel ist das Doppelte a) eines rechten, b) eines stumpfen, c) eines gestreckten Winkels? 6. Was fiir ein Winkel ist die Halfte a) eines rechten, b) eines stumpfen, c) eines gestreckten, d) eines erbabenen, e) eines vollen Winkels? 7. Die Summe folgender Winkel zu sucben: a) 52°, 39°, 124° und 76°; b) 28° 24'30", 33° 45' 56", 74° 28'53", 22° 16'37". 8. Die Differenz folgender Winkel zu sucben: a) 128°, 73°; b) 216° 34'28", 78°24'17"; c) 73° 16'47", 58°23'56"; d) 23°, 14° 25' 38". 9. Den Winkel 43° 38' 35" a) mit 3 zu multiplicieren, b) in 5 gleiche Theile zu theil en. 10. Untersuche, wie oft ein Winkel von a) 8°, b) 15'28", c) 12° 35'49" bezuglich in einem Winkel von a) 96°, b) 108° 16', c) 100° 46'32" enthalten ist. §. 51. Neben- und Scheitelwinkel. a) Neben winkel. Verlangert man einen Sclienkel eines hohlen Winkels liber den Scheitel hinaus, so entsteht seinNeben- winkel. Nebenwinkel sind also zwei Winkel, welche einen Sclienkel gemeinschaft- Fig. 53. 32 lich haben, und deren zwei andere Schenkel in einer Geraden liegen. AOB (Pig. 53) ist ein Nebenwinkel von BOC ; ebenso ist AOD ein Nebenwinkel von DOC. Die Sum me zweier Nebenwinkel ist gleich zwei Re elite n oder 180°. b) Scbeitelwinkel. Verlangert man beide Schenkel eines hohlen Winkels liber den Sclieitel hinaus, so entsteht sein Scbeitel- wink el. In Fig. 54 sind a und c, b und d Scbeitelwinkel. Scbeitelwinkel entstehen durch dieselbe Drebung ; denn dreht man (Fig. 54) AB um 0 in der Riclitung des Pfeiles bis in die Lage CD, so besclireibt AO den Winkel a, BO den Winkel c; dalier ist a — c. Zwei Scbeitelwinkel sind dalier einander gleicb. Anfgaben: 1. Wie groG ist der Nebenwinkel eines Winkels von a) 65°, b) 28° 40', c) 115° 48', d) 78° 19' 52"? 2. Die Differenz zweier Nebenwinkel betragt 28°; wie groG ist jeder derselben? 3. Yon zwei Nebenwinkeln ist der eine doppelt so groG als der andere; wie groG ist jeder? 4. Ein Winkel ist a) 37°, b) 68°27', c) 53°36'43"; wie groG ist der Scbeitel¬ winkel seines Nebenwinkels ? 5. Wenn in Fig. 54 der Winkel a 69° 17'26" betragt, wie groG ist jeder der Winkel b, c, d? 6. Wie groG ist der Winkel der von den Halbierungslinien zweier Nebenwinkel gebildet wird? Senkreclite und parallel© Gerade. Senkrechte und schiefe Gerade. §. 52. Aus den Lehrsatzen yon den Neben- und den Scheitel- winkeln folgt: Ist von den Winkeln, welche zwei sicb schneidende Gerade mit- einander bilden, einer ein rechter, so sind es aucb die andern; ist einer von jenen Winkeln ein schiefer, so sind es aucb die andern. Bilden zwei sich schneidende Gerade miteinander rechte Winkel, so heiflen sie aufeinander senkrecht oder normal; bilden sie mit¬ einander schiefe Winkel, so heifien sie gegeneinander schief. Ist in Fig. 53 der Winkel AOD ein rechter, so ist -DO JL AC] dagegen stebt BO auf AC schief. Die Senkrechte wird auch Normale oder Loth genannt. Loth- recbt oder vertical ist wobl zu unterscheiden von senkrecht oder normal. Fig. 54. 33 Parallelentheorie. §. 53. Die Erklarung von parallelen Geraden ist in § 22 enthalten. Durch einen Punkt aufierhalb einer Geraden kann mit dieser nur eine Par allele gezogen werden. (Grund- satz von den Parallelen.) Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel. §. 54. Werden zwei Gerade von einer dritten geschnitten, so ent- stelien um die beiden Schnittpunkte acht Winkel. Die vier Winkel, welche zwischen den beiden geschnittenen Geraden liegen, beifien inn ere, die andern vier aufiere Winkel. In Fig. 55 sind AB und CD die beiden geschnittenen Geraden, EF ist die sclinei- d e n d e Gerade oder T r a n s v e r s a 1 e; c, d , m und n sind inn ere, a, &, o und p aufiere Winkel. Ein aufierer und ein innerer Winkel, welche ver- schiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, beifien Gegenwinkel. Zwei aufiere oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel liaben und auf verschiedenen Seiten der Schneidenden liegen, werden Wechselwinkel ge- nannt. Zwei aufiere oder zwei innere Winkel, welche auf derselben Seite der Schneidenden liegen, beifien Anwinkel. Gegenwinkel: a und m, b „ n. c d o 55 55 n F Wechselwinkel a und p : b o. c d 55 55 55 n m Anwinkel: a und o, h 55 JP 5 c „ m, d „ n. §. 55. Lehrsatze. 1. Wenn zwei parallele Gerade von einer dritten geschnitten werden, so sind a) je zwei Gegenwinkel einander gleich, b) je zwei AVechselwinkel einander gleich, c) je zwei Anwinkel supplemental*. Yoraussetzung. AB || CD (Fig. 56.). Mocnik-Spielmann, Geom. Formenl. u. Anfangsgr. d. Geom. f. Realsch. 3 34 Fig- 56. B ewe is. Bewegt sicli die Gerade AB parallel mit sicli selbst, so bildet sie, da sick dabei ihre Lage gegen EF niclit andert, mit dieser stets die- selben vier Winkel; es fallen also, wenn AB nach CD gelangt, je zwei Gegenwinkel aufeinander, Gegen- winkel sind daher einander gleich, je zwei Wechsel- winkel gelien in zwei Scheitelwinkel liber, sind also ebenfalls einander gleich; je zwei Anwinkel endlicli werden zu Nebenwinkeln, betragen also zusammen 180°. 2. Umgekehrt folgt: Wenn zwei Gerade von einer dritten so geschnitten werden, dass entweder zwei Gegenwinkel oder zwei Wechselwinkel gleicli, oder zwei Anwinkel supplemental* sind, so mtissendie geschnittenenGeraden parallel sein. Daraus ergibt sich die grofie Wichtigkeit der Gegen-, Wechsel- und Anwinkel. Um mit Gewisslieit behaupten zu konnen, dass zwei Gerade parallel sind, sollte man zeigen, dass sie fort und fort ver- langert doch nie zusammentreffen. Da aber eine solche Verlangerung niclit ausfiihrbar ist, so wird die parallele Lage zweier Geraden ganz einfach durch die Winkel entschieden, welche entstelien, wenn diese Geraden von einer dritten geschnitten werden. Ein Grundsatz (§. 53) enthalt einen Satz, dessen Richtigkeit ohne Beweis zu erkennen ist, wahrend ein Lehrsatz eines Beweises bedarf. Ein Lehrsatz besteht aus Voraussetzung und Behauptung. Yertauscht man dieselben miteinander (§. 55, 1 und 2), so erhalt man die Umkehrung des Lelirsatzes. Aufgab e: Es sei in Fig. 56 der Winkel ci= 103° 47' 25"; wie grofl ist jeder der Winkel ft, c, d , ??z, n , o, p? §. 56. LehrsStze. 1. Stehen zwei gerade Linien auf einer dritten senkrecht, so sind sie parallel. Voraussetzung: Es sei (Fig. 57) AB _\_MN und CD J_ MN. Behauptung: AB^CD. Beweis: Da a = R und b = R, so ist auch a = b] die Geraden AB und CD A Fig. 57. c M a B D bilden also mit der sie Schneidenden MN gleiche Gegenwinkel, folglich sind sie parallel. ■j\f 2. Steht yon zwei Parallelen die eine auf einer Geraden senk¬ recht, so steht auch die andere auf ilir senkrecht. (Fig.57.) 35 Voraussetzung: Es sei AB || CD und AB J_ MN. Behauptung : CD J_ MN. Beweis: Wegen AB\\CD ist a = 6, wegen A B MN ist a = R ; daher ist aucli b — i?, d. i. CD _]_ MN. 3. Yon einem Punkt lasst sicli auf eine Gerade nur eine einzige Normal e er rich ten. Waren CD und CD (Fig*. 58) senkreckt Fig. 58. auf AB , so waren m und n als rechte Winkel supplemental*; da sie aber Anwinkel sind, so mussten CD und CE parallel sein, was nicht moglich ist, da sie den Punkt C gemeinscliaft- licli liaben. Die Lange dieser vollig bestimmten Senk- ^ rechten gibt den Abstand des Punktes von der D E Geraden an. Auch in einem Punkt einer Geraden lasst sich auf diese nur eine einzige Normale errichten. §.57. Lefrrsatze. 1. Zwei Winkel, der en Schenk el paar- weise einander parallel sind, sind einander gleicli, wenn beidePaareder parallelen Sclienkel nacli derselbenSeite oder nacli entgegengesetzten Seiten gericktet sind. 2. Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise einander parallel sind, betragen zusammen 180°, wenn nur ein Paar der parallelen Schenkel nach derselben Seite, das andere aber nacli entgegengesetztenSeitengericktet ist. 3. Es sei (Fig. 59) AB |j DE und AC || D F. Fig. 59. I II III In I sind die parallelen Schenkel der Winkel a und m gleich- gerichtet. Es sei z. B. x = 75°; da a und m Gegenwinkel zu dem Winkel x zwischen Parallelen sind, so muss jeder derselben eben- falls 75° sein, sie sind also einander gleich. In II sind die parallelen Schenkel der Winkel a und m entgegen- gesetzt gericktet. Es sei x = 75°; dann ist sowohl a als Wechsel- 8 * 36 winkel unci m als Gegemvinkel zu x bei Parallelen ebenfalls 75°; m und a sind dalier einander gleicli. In III haben die Winkel a und n auch paarweise parallele Schenkel, es ist jedoch nur ein Paar nach derselben Seite, das andere Paar aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet. Es sei z. B. y = 105°, dann ist a als Anwinkel zu y 75° und n als Wechselwinkel zo y 105°. Daher a -f- n = 180°. §. 58. Centriwinkel, Sehnen und Bogen eines Kreises. Zu jedem Centriwinkel gehort ein bestimmter Bogen, eine bestimmte Sehne, ein bestimmter Kreisabschnitt und Kreisaussclmitt. Dasselbe gilt von einem Bogen, Kreisabschnitt und Kreisaussclmitt. Zu einer bestimmten Sehne hingegen gehoren zwei Bogen, zwei Centriwinkel, zwei Kreisabsclmitte und zwei Kreisausschnitte. Wenn nicht das Gegen- theil bemerkt ist, wird immer das kleinere dieser Stticke als zur Sehne gehorig angesehen. Von den Centriwinkeln, Sehnen und Bogen desselben Kreises oder gleicher Kreise gelten folgende Lehrsatze: 1. Zu gleichen Centriwinkeln gehoren gleiclie Sehnen und gleiche Bogen. 2. Zu gleichen Sehnen gehoren gleiche Centriwinkel und gleiche Bogen. 3. Zu gleichen Bogen gehoren gleiche Sehnen und gleiche Centri¬ winkel. Yon der Richtigkeit dieser Satze tiberzeugt man sich, wenn man entweder zwei gleiche Centriwinkel, oder zwei gleiche Sehnen, oder zwei gleiche Bogen annimmt und dann die betreffenden Kreisausschnitte iibereinander gelegt denkt; man findet, dass unter jeder dieser Voraus- setzungen die beiden Kreisausschnitte sich decken, dass also fur jede derselben auch die angefithrten Behauptungen richtig sind. §. 59. Constructionsaufgaben. 1. Einen Punkt zu bestimmen, welcher von einem gegebenen Punkt einen gegebenen Abstand hat. Beschreibt man aus dem gegebenen Punkt als Mittelpunkt mit dem gegebenen Abstand als Halbmesser einen Kreis, so gentlgen alle Punkte dieser Kreislinie den Bedingungen der Aufgabe. Eine Aufgabe, welclie unendlich viele verschiedene Auflosungen zulasst, heifit unbestimmt, im Gegensatz zu einer bestimmten, welche entweder nur eine einzige Auflosung, oder eine beschrankte, genau be- stimmbare Anzahl von Auflosungen besitzt; nach der Anzahl der Auf- 37 losungen ist sie ein-, zwei- oder mehrdeutig. Die yorliegende Aufgabe ist demnacli unbestimmt. Eine Aufgabe heiflt iiberbestimmt, wenn mehr Bedingungen ge- geben sind, als zur Auflosung erforderlich sind. Z. B. Yon einem gegebenen Punkt A mit einem gegebenen Badius r einen Kreis zu beschreiben, der durch einen bestimmten Punkt B geht; die Aufgabe ist nur moglich, wenn r = AB ist. Sonst ist sie unmoglich. Im allgemeinen sind iiberbestimmte Aufgaben un- loslich, weil die gegebenen Stiicke die zur Auflbsung erforderlichen Be¬ dingungen meist nicbt erftillen. 2. Einen Punkt zu bestimmen, welclier von zwei gegebenen Punkten einen gegebenen Abstand hat. Es seien (Fig. 60) A und B die ge¬ gebenen Punkte, CD der gegebene Abstand. Die gesuchten Punkte miissen in den Durch- schnittspunkten zweier Kreise liegen, welche von den Mittelpunkten A und B mit CD als Eadius besclirieben werden. Da sich im allgemeinen die beiden Kreislinien in zwei Punkten M und N schneiden, so gibt es zwei verschiedene Punkte, welche der Aufgabe gentigen. Ist CD gleicli der Halfte der Strecke AB, so erhalt man nur einen einzigen Punkt, welclier in der Mitte von AB liegt; ist CD kleiner als die Halfte von AB, so erhalt man keinen Punkt. Die Aufgabe kann also eindeutig oder zweideutig bestimmt, aber aucli unmoglich sein. Fig. 60. 3. Einen Punkt zu bestimmen, welclier von zwei gegebenen Punkten verschiedene gegebene Abstande hat. Die Auflosung ist der- jenigen der Aufgabe 2 analog. 4. Einen gegebenen Bogen Fl »- 61 - zu ttbertragen, d. h. einen Bogen zu zeichnen, der einem aus dem Mittelpunkte 0 (Fig. 61) beschriebenen Bogen M N gleich ist. Man ziehe die beliebige Gerade O' A 1 und besclireibe aus O' mit dem Halbmesser O' M l = OM einen Bogen, welclier die Gerade O' A 1 in M* schneidet. Tragt man nun von M J die Sehne MN auf, so erhalt man N‘ und es ist dann Bogen M N‘ = Bogen MN (§. 58). 38 Durch eine gleiche Construction lasst sich auch ein gegebener Wink el tibertragen. (Fig. 61.) Fig. 62. 5. Durch einen Punkt C auflerhalb einer gegebenen Geraclen AB zu dieser die Parallele zu ziehen. a) Man ziehe durch C (Fig. 62) eine Gerade, welche die gegebene Gerade AB in D schneidet, und construiere zu dem Winkel CDB imPunkte C einen gleichen Gegen winkel PCQ ; dann ist CQ l| AB. b) Die Construction wil’d am einfachsten, wenn die Winkel C und D rechte sind; man ftlhrt sie mit Hilfe eines Winkelbrettchens aus, welches die Form eines rechtwinkligen Dreieckes hat. (§. 56, 1.) III. Eigenschaften der Strecken- und Winkelsymmetrale und aus denselben sich ergebende Constructionen. Fig. 63. D §. 60. ci) Es sei CD (Fig. 63) die Symmetrale der Strecke AB , also AC — BC und CD J _ AB (§ 32). Yerbindet man irgend einen Punkt M der Symmetrale mit den Endpunkten der Strecke und dreht die rechte Halfte der Figur um CD als Achse um 180°, so muss, da die Winkel bei C als rechte gleich sind, CB in die Kichtung von A C fallen, weil BC = AC fiillt ferner B auf A, somit BM auf AM. Jeder Punkt der Streckensymmetrale hat also von den Endpunkten der Strecke gleiche Abstande; und um- gekeh rt: - ------— Hat ein Punkt von den Endpunkten einer Strecke gleiche Abstande, so liegt er in der Symmetrale der Strecke. b) Es sei CD (Fig. 64) die Symme¬ trale des Winkels ACB, also <£ ACD = BCD. (§. 32.) Fallt man von irgend einem Punkt M der Symmetrale auf die Schenkel des Winkels ACB die Normalen MP und MQ und dreht die untere Halfte ACD der Figur um CD als Achse um 180°, so muss CA in die Kichtung von CB fallen, weil Fig. 64. 39 ACD = BCD ist, MQ muss auf MP fallen, weil von einem Punkte (M) auf eine Gerade iCB) nur eine einzige Senkrechte moglich ist. Jeder Punkt d e r Winkelsym met rale hat also von den beiden Schenkeln desWinkels gleiclie Abstande; und umgekehrt: Hat ein Punkt yon den Schenkeln eines Wink els gleiclie Abstande, so gehort er der Symmetrale des- selben an. §. 61. Constructionen. a) Die Symmetrale einer gegebenen Strecke AB (Fig. 65) zu construieren. Bestimmt man nach §. 59, 2 zwei Punkte C und D so, dass jeder derselben yon den End- punkten A und B der gegebenen Strecke gleiche Abstande hat, so ist durch CD die Lage der Symmetrale der Strecke AB bestimmt. Dieselbe Construction liefert aucli die Auf- losung fur folgende Aufgaben : b) Die Symmetrale zvveier gegebener Punkte zu construieren. A Fig. 65. X i ■ I E B V X I) c) Eine gegehene Strecke zu halbieren. d) Zu einer gegebenen Geraden AB (Fig. 66) von einem aufier ihr liegenden Punkte C die Normale zu ziehen. Man bestimme nach §. 59, 1 auf der Geraden zwei Punkte M und N, welclie von C gleich weit abstehen, und construiere zu MN die Symmetrale CD , so ist diese zu AB normal. Durch dieselbe Construction wird auch die Aufgabe gelost: e) Zu einem gegebenen Punkte (C) den in Beziehung auf eine gegehene Gerade {AB) symmetrisch liegendenPunkt (D) zu bestimmen. Es muss hier MD = MC sein. f) Auf eine gegehene Gerade AB (Fig. 67) in einem gegebenen Punkte C derselben die Normale zu errichten. Man bestimme in der Geraden zwei Punkte M und N so, dass CM = CN ist, und construiere die Symmetrale von MN ; Fig. 66. C M X D Fig. 67. D X A M B C 40 zur Bestimmimg derselben ist aufier C nocli ein zweiter Punkt D erforderlich, so dass D M = D N ist. g) Die Symmetrale eines gegebenen Winkels BAC (Fig. 68) zu construieren, d. h. den Winkel zu halbieren. Bestimmt man auf den Schenkeln zwei Punkte M und N, welche vom Scheitel A gleich weit absteben, und dann in der Winkelflache den Punkt D so, dass er von M und N gleichen Abstand liat, so ist A D die Symmetrale der Strecke MN, folglich ist sie auch, wie man sicli durch Deckung iiberzeugen kann, die Symmetrale des Winkels BAC. Durch diese Construction kann auch folgende Aufgabe gelost werden: K) Einen gegebenen Kreisbogen zu halbieren. Man halbiere den zugehorigen Centriwinkel. Durch wiederholte Anwendung der Con- structionen c, g und h kann man eine Strecke, einen Winkel, einen Bogen in 4, 6, 8 . . . gleiche Theile theilen. IV. / Das Dreieck. 1. Lclirsatze iiber Seifen und Winkel eines Dreieckes. §. 62. InjedemDreiecke istdieSumme zweierSeiten g r o 6 e r a 1 s die d r i 11 e ; denn die Gerade A B (Fig. 69) ist die ktirzeste Linie zwisehen A und B , also ist die gebrochene Linie ACB d. i. AC - f- CB groBer als AB. Aus drei Linien, deren Langen 2 m, 3 m und 4 m sind, ist demnach ein Dreieck moglich ; yergleicht man jede dieser 3 Seiten mit der Differenz der beiden andern, so ergibt sich: Jede Seite eines Dreieckes ist grofier als die Differenz der beiden andern. Wenn zwei Seiten eines Dreieckes 24 m und 17 m sind, zwisehen welchen Grenzen liegt die dritte Seite? In welcher Beziehung steht ein Schenkel eines gleichschenkligen Dreieckes zur Grundlinie ? §. 63. Verlangert man eine Seite eines Dreieckes, so bildet die Verlangerung mit der anstoBenden Seite einen Winkel, welcher ein AuBenwinkel des Dreieckes heiflt, wakrend die drei Winkel im Dreieck inn ere Winkel sind. 41 Fig. 70. CBD (Fig*. 70) ist ein Aufienwinkel des Dreieckes ABC. §. 64. a) Die Su m me d e r d r e i innercn Winkel eines Dreieckes ist gleicli zwei Recliten oder 180°. Beweis. Wird die Seite A B des Dreieckes ABC (Fig. 70) verlangert und durch B die Gerade BE AC gezogen, so entstehen die zwei Winkel m und n, von denen m dem Winkel a als Gegenwinkel, n dem Winkel c als Wechsel- winkel bei Parallelen gleicb ist. Die Summe der drei Winkel a, 6, c ist daher so grofi als die Summe der Winkel m, n, b. Die letztere Summe aker betragt einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte; also muss auch die Summe von a, c und b zwei Rechte betragen. Aus diesem Satze folgt: 1. Zwei Dreieckswinkel betragen zusammen weniger als 180°. Konnen in einem Dreiecke zwei rechte Winkel, oder zwei stumpfe Winkel, oder ein rechter und ein stumpfer Winkel vorkommen? Jedes Dreieck hat daher wenigstens wie viele spitze Winkel? 2. Sind in einem Dreiecke zwei Winkel bekannt, so findet man den dritten, indem man die beiden gegebenen Winkel addiert und ill re Summe von 180° subtrahiert. b) Jeder Aufienwinkel eines Dreieckes ist gleich der Summe der beideninnerenilim nicbtanliegendenWinkel. Denn der Aufienwinkel CBD (Fig. 70) ist die Summe der Winkel m und n ; diese sind aber den Winkeln a und c gleich. Aufgaben. 1. In einem Dreiecke sei der Winkel a) a = 65°, b) a = 43° 10', c) a = 25° 46' 21", b = 87°; b = 102° 27'; b = 74° 48' 49"; wie groh ist der dritte Winkel c? 2. Wie grojQ ist jeder der Winkel, wenn 1) a = b = c, 2) a = b und c = 57° ? 3. In einem Dreiecke ist ein Winkel 63° 35', die Differenz der beiden andern betragt 12° 27'; wie gro6 ist jeder derselben? 4. In einem Dreiecke sind zwei innere Winkel a) a = 24°, b) a = 65° 12', c) a = 12° 47' 43", c = 52°; c = 79° 54'; c = 81° 9' 56"; wie gro6 ist der entsprechende Aufienwinkel? 5. Ein Aufienwinkel eines Dreieckes sei 102° 25' 39", ein innerer ihm nicht an- liegender Winkel 40° 40' 52"; wie grofi ist der andere ihm nicht anliegende Winkel? 6. "Wie grofi ist in einem rechtwinkligen Dreiecke die Summe der beiden spitzen Winkel? 42 7. In einem rechtwinkligen Dreiecke sei ein spitzer Winkel a) 62°, b) 38° 39', c) 49° 17' 25"; wie groG ist der andere spitze Winkel? 8. In einem rechtwinkligen Dreiecke betragt der eine AuGen winkel an der Hypotenuse a) 96°, b) 117° 48', c) 133° 56' 50"; wie groG ist der zweite AuGen winkel an der Hypotenuse? 9. Ein spitzwinkliges, ein rechtwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck mit den drei H5hen zu zeichnen und die Lage derselben anzugeben. §. 65. 1. Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 71) die Seite AC = BC. Stellt man sich das Dreieck ABC nocli einmal, und zwar urn- gewendet als A‘ B‘ C l vor, so kann man das letztere so auf das erstere legen, dass sich die Winkel C und C‘ decken; dann fallt der Punkt B‘ auf A , der Punkt A‘ auf B , die Seite B 1 A' auf AB , und ist deshalb der Winkel B‘ = A ; B‘ ist aber = B , also ist auch B = A. Hieraus folgt: Gleichen S e i t e n e i n e s Dreieckes 1 i e g e n g 1 e i c h e Winkel gegenttber. 2. Ist umgekehrt in dem Dreiecke ABC der Winkel B = A, so kann man auf gleiche Weise die Seite B 1 A‘ mit der Seite AB sich decken lassen und zeigen, dass die Seite AC = BC sein muss; d. h.: Gleichen Winkeln eines Dreieckes lie gen gleiche Sei ten gegenliber. % Aus dem ersten Satze folgt: a) In einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der Grundlinie ein an der gleich. b) In einem gleichseitigen Dreiecke sind a 11 e drei Winkel ei nan der gleich. A u f g a b e n. 1. Wie groG ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes? 2. Wie groG ist jeder Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Drei¬ eckes, wenn der Winkel am Scheitel ein rechter ist? 3 . Der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes ist a) 23° 35', b) 65° 10' 36", c) 118° 48' 29"; wie groG ist ein Winkel an der Grundlinie? 4 . Wie groG ist der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn ein Winkel an der Grundlinie a) 15° 12', b) 48° 5' 49", c) 73° 41' 17" betragt? 5. Wenn der AuGenwinkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes 130° ist, wie groG ist ein Winkel an der Grundlinie? Welcher Satz ergibt sich daraus ? Fig. 71. 43 §. 60. 1st (Fig-. 72) AB = A D, also das Dreieck Hi>.D gleich- scheuklig, so sind die Winkcl m and n an der Grundlinie einander gleicli. Dreht man BD um B l)is BC, so wird der Winkel ABC grofier als m, der Winkel ACB dagegen um ebensoviel kleiner als n, da der dritte Dreieckswinkel A ungeandert bleibt. In dem Drei- ecke ABC ist demnach die Seite AC > AB und zugleich der Winkel ABC > ACB. Daraus folgt: 1. Der grofieren Seite eines Dreieckes liegt ein grofierer Winkel gegenttber; und umgekehrt: 2. Dem grofieren Winkel eines Dreieckes liegt eine grofiere Seite gegenfiber. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist daber die Hypotenuse, in einem stumpfwinkligen Dreiecke die dem stumpfen Winkel gegentiberliegende Seite die grofite. Aufgaben. 1. Wenn in einem Dreiecke <£ A — 72°, <£ B = 55° ist, welche Seite des- selben ist die grofite? 2. Wenn in einem Dreiecke die Seiten 75 cm, 48 cm, 80 cm sind, welcher Winkel ist der grofite, welcher der kleinste? 3. Ist es moglich, dass in einem Dreiecke mit zwei Seiten von 76 mm und 98 mm Lange der ersten ein Winkel von 95° gegeniiberliegt ? Fig. 73. A §. 67. Zieht man von einem Punkte A (Fig. 73) zu einer Ge- raden BC die Normale AD und zugleich mehrere schiefe Strecken A E, AF\ AG, so entsteben die recht¬ winkligen Dreiecke A D E, AD F, AD G, in denen die Kathete A D ktirzer ist als jede der Hypotenusen A E, AF, AG. Daraus folgt: Die Normale ist die kiirzeste Strecke, die von einem Punkte zu einer geraden Linie gezogen werden b k a n n. a C §. 68. Anf g ab en. 1. Einen Winkel von a) 60°, b) 30°, c) 120°, d) 150° zu construieren. a) Durch Construction eines gleichseitigen Dreickes. b) Durch Halbierung eines Winkels von 60°. c) und d) Durch Construction des Nebenwinkels von 60°, bezuglich von 30°. 2. Einen Winkel von a) 90°, b) 45°, c) 135° zu construieren. a) Nach §. 61 /. * b) und c) Durch Halbierung eines Winkels von 90°, und durch Construction des Nebenwinkels von 45°. 44 8. Die Peripherie eines Kreises in mehrere gleiche Theile zu theilen. Auflosung. Man bestimme die GroBe eines Centriwinkels, indem man 360° durck die Zahl der verlangten gleichen Theile des Kreises dividiert, construiere diesen Winkel am Mittelpunkte, und trage die dnrch seine Schenkel abgeschnittene Sehne in der Peripherie herum. Einige Theilungen des Kreisumfanges lassen sich geometrisch aus- fuhren. Dem 3ten, 4ten, 6ten, 8ten, 12ten Theile der Peripherie entspricht ein Centriwinkel von beziiglich 120°, 90°, 60°, 45°, 30°. Mechanisch kann die Construction der Winkel und daher die Kreis- theilung mit Hilfe des Transporteurs vorgenommen werden. 4. Einen Halbkreis in Grade zu theilen, oder einen Transporteur anzufertigen. Damit der Halbkreis von Grad zu Grad getheilt erscheine, muss er 180 gleiche Theile erhalten. Zu diesem Ende theile man den Halbkreis zu- erst in 3 gleiche Theile; durch zweimaliges Halbieren derselben ergeben sich 12 gleiche Bogen, jeder von 15°. Wird ferner durch Versuche jeder solche Bogen in 3, und jeder neu erhaltene Bogen in 5 gleiche Theile getheilt, so erhalt man 180 gleiche Theile, deren jeder einen Grad umfasst. 2. Construction der Dreiecke und Congrucnz derselben. §. 69. Erklarung. Zwei Raumgrofien heifien congruent, wenn sie dieselbe GroBe und dieselbe Gestalt haben, so dass sie aufeinander gelegt sich vollstandig decken. Damit zwei Dreiecke congruent sind, mtissen alle sechs Bestand- stiicke, die drei Seiten und die drei Winkel, paarweise gleick sein. In congruenten Dreiecken 1 iegen gleichen Seiten gleiche Winkel, und gleichen W i n k e 1 n gleiche Seiten gegentibe r. Da durch die GroBe gewisser Seiten und Winkel eines Dreieckes auch die GroBe der anderen, z. B. durch die GroBe zweier Winkel die GroBe des dritten Winkels, bestimmt ist, so kann man aus der Gleich- lieit von weniger als sechs Bestandstiicken in zwei Dreiecken auf ihre Congruenz schlieBen. Um zu sehen, wie viele und welclie Bestandstiicke in zwei Drei¬ ecken paarweise gleich sein mtissen, damit die Dreiecke congruent seien, braucht man nur zu untersuchen, wie viele und welche Stiicke erforder- lich sind, um mit denselben ein Dreieck von bestimmter GroBe und Gestalt construieren zu konnen, weil dann alle Dreiecke, welche in diesen Stiicken iibereinstimmen, congruent sein miissen. 1. Ist nur ein Bestandstiick, ein Winkel oder eine Seite gegeben, so lassen sich unzahlig viele verschiedene Dreiecke construieren, die alle jenes Stuck enthalten. Durch ein Bestandstiick ist also die GroBe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. 2. Audi mit zwei Bestandstiicken: mit zwei Winkeln, mit einer Seite und einem anliegenden Winkel, mit einer Seite und dem gegen- iiberliegenden Winkel, oder mit zwei Seiten konnen unzahlig viele ver- schiedene Dreiecke construiert werden. Durch zwei Bestandstiicke ist also die Grofie und Gestalt eines Dreieckes niclit bestimmt. 3. Sind d r e i Bestandstiicke des Dreieckes gegeben, so konnen es sein: a) alle drei Winkel; b) eine Seite und zwei Winkel (die zwei anliegenden oder ein anliegender und der gegeniiberliegende Winkel); c) zwei Seiten und der von ihnen eingesdilossene Winkel; d) zwei Seiten und der einer derselben gegeniiberliegende Winkel; e) alle drei Seiten. Da durch zwei Winkel eines Dreieckes auch der dritte Winkel bestimmt ist, mit zwei Winkeln sicb aber kein bestimmtes Dreieck con- struieren lasst, so wird auch durch drei Winkel die Grofie und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. Der erste der angefiihrten fiinf Falle liefert also keine bestimmte Construction. Fig. 74. a A Es bleiben demnach nur die letzten yier Fade zu untersuchen iibrig. §. 70. Ein Dreieck zu construieren, wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind. Die Construction ist nur moglich, wenn die Summe der beiden Winkel kleiner ist als 180°. Die zwei Winkel sind entweder die der gegebenen Seite anliegen¬ den, oder ein ihr anliegender und der ihr gegeniiberliegende Winkel. a ) Es sei (Fig. 74) a die gegebene Seite und die Winkel m und n die ihr anliegenden Winkel. Man ziehe AB = a; dadureh sind zwei Eckpunkte des Dreieckes, A und B , bestimmt. Tragt man in A den Winkel m , und in B den Winkel n auf, so geben die Geraden AC und BC die Richtungen der zweiten und der dritten Seite des Dreieckes an; der dritte Eckpunkt C kann daher nur in dem Sclinittpunkte dieser Geraden liegen. Man erhalt also aus den gegebenen drei Stiicken nur das Dreieck ABC. Construiert man mit denselben drei Stiicken ein zweites Dreieck A‘ B‘ C\ so unterscheidet es sich yon dem ersten nur durch den Ort, an dem es sich befindet, es ist nur eine Copie desselben und mit ihm congruent. 46 Daraus folgt: 1. Durch eine Seite and die beiden ihr anliegenden Wink el wird ein Dreieck vollstandig bestimmt. 2. (I. Congruenzsatz.) Sind in zwei Dreiecken eine Seite und die beiden ihr anliegenden Wink el paarweise gleich, so sind die Dreiecke congruent. b) Sind von einem Dreiecke eine Seite, ein anliegender und der gegeniiberliegende Winkel gegeben, so ist dadurch auch der dritte Winkel bestimmt; dann sind aber eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt. Dieser Fall lasst sick also auf den fruheren a) zuriick- fiihren, und man kann allgemein sagen: Durcli eine Seite und zwei AYinke 1 wird ein Dreieck vollstandig bestimmt. Da rechtwinklige Dreiecke immer den rechten Winkel gleich haben, so gilt auch der Satz: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn sie 1. die Hypotenuse und einen spitzen Winkel, 2. eine Kathete und einen gleichliegenden spitzen AAHnkel paar¬ weise gleich haben. Aufgaben. 1. Construiere ein Dreieck mit cler Seite 2 cm 9 mm und den anliegenden Winkeln 60° und 45°. 2. Construiere ein Dreieck, in welchem eine Seite 27 mm, ein anliegender Winkel 45° und der gegeniiberliegende Winkel 75° betragt. 3. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, wenn gegeben sind: a) eine Kathete (25 mm) und der anliegende spitze Winkel (30°); b) eine Kathete (3 cm) und der gegeniiberliegende Winkel (75°); c) die Hypotenuse (4 cm) und ein anliegender Winkel (55°). 4. Construiere ein gleichschenkliges Dreieck, wenn gegeben sind: a) die Grundlinie (28 mm) und ein anliegender Winkel (75°); b) die Grundlinie (3 cm) und der gegeniiberliegende Winkel (150°); c) der Schenkel (26 mm) und ein Winkel (30°) an der Grundlinie. 5. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck zu construieren, wenn die Hypote¬ nuse (35 mm) gegeben ist. §. 71. Ein Dreieck zu construieren, wenn zwei Seiten und der von iknen eingeschlossene AY ink el gegeben sind. Fig. 75. a Es seien a und b (Fig. 75) die zwei gegebenen Seiten und m der yon ihnen eingeschlossene Winkel. Um mit diesen drei Stiicken ein Dreieck zu construieren, zeichne man zuerst einen Winkel A = m , trage dann auf dessen Schenkeln ^ die gegebenen Seiten a und b auf. 47 Dadurch ist die Lage der Eckpunkte B und C, daher auch die dritte Seite bestimmt. ABC ist dann dasjenige Dreieck, welches die ge- gebenen drei Stitcke enthalt. Wann ist die Construction nur moglich? Da die Construction nur ein Dreieck ergibt, so folgt: # 1. DurchzweiSeitenund den von ihnen eingeschlossenen Winkel wird ein Dreieck vollstandig bestimmt. 2. (II. Congruenzsatz.) Sind in zwei Dreiecken zweiSeiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel paarweise gleich, so sind die Dreieeke congruent. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind demnach con¬ gruent, wenn sie die beiden Katheten paarweise gleicli li a b e n. Aufgaben. 1. Construiere ein Dreieck mit den Seiten 2 cm und 8 cm, welche einen Winkel von 60° einschlieBen. 2. Zwei Strecken betragen 27 mm und 32 mm; zeickne mit denselben ein Dreieck, in welchem der von ihnen eingeschlossene Winkel 45° betragt. 3. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, wenn dessen Schenkel (38 mm) und der Winkel am Scheitel (150°) gegeben sind. 4. Construiere ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten 2 cm 2 mm und 2 cm 6 mm sind. 5. Construiere ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, dessen Kathete 2 cm betragt. §. 72. Ein Dreieck zu construieren, wenn zwei Seiten und der einer dieser Seiten gegen liber liege nde Winkel gegeben sind. Der gegebene Winkel kann der grofieren oder der kleineren der beiden Seiten gegeniiberliegen. a) Es seien (Fig. 76) a und b die beiden gegebenen Seiten, und zwar sei a > b] der der grofieren Seite gegeniiberliegende Winkel sei m. Man trage den Winkel F - o , 7( . m auf und mache den ei¬ nen Schenkel AC gleich der Seite b ; dadurch sind zwei Eckpunkte des Drei- eckes ; A und ( 7 , bestimmt. Der dritte Eckpunkt B muss in dem zweiten Schenkel A B und zu- gleich in der Kreislinie liegen, welche aus C mit dem Halbmesser a beschrieben wird. Der Eckpunkt B muss daher der Durchschnitts- a 48 * punkt dieser Kreislinie mit dem Schenkel AB sein. Die Kreislinie schneidet den Schenkel AB in zwei Punkten B und B\ und man er- halt somit zwei Dreiecke A B C und AB'C. Yon diesen enthalt jedoch nur das erste die gegebenen drei Stlicke. Wann ist die Aufgabe moglich? Da die Aufgabe nur eine Losung hat, so folgt: 1. Durch zwei Seiten und den der g ro fi e r e n dieser Seiten gegenuberliegenden Wink el ist ein Dreieck v o li¬ st andig bestimmt. 2. (III. Cougruenzsatz.) Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten und der der grofieren dieser Seiten gegentiber- liegende Wink el paarweise gleich, so sind die Drei¬ ecke congruent. Daraus ergibt sich: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn sie die Hypotenuse und eine Kathete paarweise gleich haben. a A u f g a b e n. 1. Construiere ein Dreieck, worin die Seiten 2 cm und 3 cm 5 mm vorkommen und der zweiten Seite ein Winkel von 75° gegeniiberliegt. 2. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, in welchem die Hypotenuse 25 mm und eine Kathete 2 cm ist. b) Es seien (Fig. 77) a und b die zwei gegebenen Seiten, und zwar a < b, und der Winkel, welcher der kleineren Seite gegeniiber¬ liegt, sei in. Durch ein ahnliches Verfahren, wie oben unter a), erhalt man zwei Dreiecke ABC und AB l C welche beide die gegebenen drei Stiicke 77 enthalten, aber in der GroBe und Gestalt yerschieden sind. Durch zwei Seiten und den der kleineren Seite gegenuberliegenden Winkel ist also im allgemeinen ein Drei¬ eck nur zweideutig bestimmt; es kann aus der Gleichheit dieser Stiicke auf die Congruenz derDrei- ecke nicht geschlossen werden. Damit der aus C mit der kleineren Seite a beschriebene Bogen den Schenkel A B schneide, muss a grofier sein als die zur dritten Seite gehorige Hohe. Ist die kleinere Seite a gleich dieser Hohe, so fallen die beiden Schnittpunkte B und B ' in einen einzigen zusammen, d. i. der Kreisbogen beriihrt die dritte Seite, und man erhalt ein recht- A i 49 winkliges Dreieck. 1st endlich a kleiner als die Hohe, so entsteht kein Dreieck. Welche Eigenschaft muss der gegebene Winkel haben? §. 73. Ein Dreieck zu construieren, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Die Construction ist nur moglich, wenn die dritte Seite kleiner als die Summe und groiler als die Fig. 78. a Differenz der beiden ersten Seiten ist; die ersten zwei Seiten konnen willkiirlich gewahlt werden. Es seien (Fig. 78) a, b , c die Langen der drei Seiten. Tragt man die Strecke AB = a auf, so sind dadurcli zwei Eckpunkte des Dreieckes, .4 und B , bestimmt; der 3. Eckpunkt muss der Durch- schnittspunkt zweier Kreise sein, welche von den Mittelpunkten A und B mit den Radien b und c beschrieben werden. Da sicli aber die beiden Kreise in zwei Punkten C und C‘ schneiden, so erhalt man zwei Dreiecke ABC und ABC *, welche die gegebenen drei Seiten haben. Diese zwei Dreiecke haben jedocli dieselbe Grofie und Gestalt, da sich, wenn das Dreieck ABC* um die Seite AB umgewendet und auf das Dreieck ABC gelegt wird, beide Dreiecke decken; denn AB ist die Symmetrale von CC*. Daraus folgt: 1. DurchdreiSeitenisteinDreieckvollstandigbestimmt. 2. (IV. CongTiienzsatz.) Sind in zwei Dreiecken alle drei Seiten paarweise gleich, so sind die Dreiecke con- g r u e n t. A u f g a b e n. 1. Construiere mit den Seiten 38 mm, 30 mm, 41 mm ein Dreieck. 2. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, wenn die Grundlinie 24 mm und ein Schenkel 29 mm ist. 3. Construiere ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 28 mm. §. 74. Ein Dreieck zn tibertragen. Um diese Construction auszufiiliren, darf man nur drei Stiicke des gegebenen Dreieckes nehmen, welche ein Dreieck bestimmen, und mit denselben das neue Dreieck construieren. Am einfachsten ist die Con¬ struction mittelst der drei Seiten. Mocni k-Spielmann, Geom. Formenl. u. Anfangsgr. d. Geom. f. Realsch. 4 50 3. Symmetric des gleiclisclienkligen mid gleichseitigen Dreieckes. §. 75. Es gleichschenklig. Fig. 79. c sei (Fig. 79) AC = BC , also das Dreieck ABC Die Symmetrale der Grundlinie muss durch C gehen. (§. 60 a.) Drelit man das Dreieck BCD um CD um 180°, so deckt es ACD. Folglich ist c = d. Die Symmetrale der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, die Hoke und die Symmetrale des Winke 1 s am Selleitel fallen in dieselbe Gerade. Das gleiclisckenklige Dreieck ist mitliin eine einachsig symmetrische Figur. Seine Symmetrie- ackse ist die Hoke. §. 76. Aus den Satzen liber das gleickschenklige Dreieck §. 75 ergibt sick: In einem gleickseitigen Dreiecke ist jede Hoke zu- g 1 e i c k eine S e i t e n- und eine W i n k e 1 s y m m e t r a 1 e. Das gleickseitige Dreieck ist eine dreiacksig sym¬ metrise lie Figur; jede seiner drei Hohen ist eine Symmetrieachse des Dreieckes. A u f g a b e n. 1. Eiii gleichschenkliges Dreieck zu construieren, wenn die Grundlinie (32 mm) und die Hohe (22 mm) gegeben sind. 2. Ein reclitwinkliges, gleichsclienkliges Dreieck zu construieren, wenn die Hohe (35 mm) gegeben ist. 3. In welcher Linie liegen die Scheitel alter gleichschenkligen Dreiecke iiber derselben Grundlinie? 4. Ein gleichseitiges Dreieck aus seiner Hohe (30 mm) zu construieren. V. Grnndeigenschaften des Kreises. Fig. 80. 1. Gerade und Winkel in Bezieliung auf den Kreis.' §. 77. Jede Sekne AB (Figur 80) eines Kreises kann als die Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, dessen Scheitel im Mittelpunkte liegt und dessen Schenkel Halbmesser des Kreises sind, angeselien werden. Aus §.75 folgt: 1. Zieht man in einem Kreise vom Mittel¬ punkte die Senkrechte auf eine Sekne, so wird diese dadurch kalkiert. 2. Die Symmetrale einer Sehne geht durch den Mittelpunkt des Kreises. 51 §. 78. Errichtet man in dera Endpunkte eines Halb- messers auf denselben die Senkrechte, so ist diese eine Tan gen te des Kreises. Be we is. Es sei (Fig. 81) AB _]_ OB. Jede zu AB gezogene scliiefe Strecke, wie OE , OF \..., ist langer als die Senkrechte OD-, also liegen die Punkte j E, F ... aufierhalb der Kreislinie. Die Gerade AB hat daher mit der Kreislinie nur den Punkt D gemeinschaftlich, ist also eine Tangente des Kreises. Zusatz. Die anf der Tangente eines Kreises im B e- r tthr ungspunkte errichtete Normale gelit dureh den Mitt el punkt des Kreises. Der Abstand einer Geraden vom Mittelpunkt eines Kreises heiflt der Centralabstand. Ist der Centralabstand einer Geraden kleiner, ebenso grofi oder grofier als der Radius, so ist beziehungsweise die Gerade eine Secante, eine Tangente, oder sie liegt ganz aufierhalb des Kreises. Und umgekehrt. §. 79. Dber die auf die Centriwinkel sich beziehenden Satze siehe §. 58. Ein Winkel, dessen Scheitel in der Peripherie eines Kreises liegt und dessen Schenkel Selinen des Kreises sind, hei fit ein Peripherie winkel. AOB (Fig. 82) ist ein Centriwinkel, der auf dem Bogen AB aufsteht; ACB ist ein Peripherie- winkel, der auf demselben Bogen AB aufsteht. Ein Peripheriewinkel BDC , dessen zuge- horiger Bogen einHalbkreis ist, heifit ein Winkel i m H a I b k r e i s e. §. 80. Ein Peripheriewinkel ist die Halfte des Centri- winkels, der auf demselben Bogen aufsteht. Be we is. Der Mittelpunkt eines Kreises kann in Beziehung auf einen Peripherie¬ winkel eine drei- fache Lage haben: er liegt entweder auf einem Schenkel des Peripheriewin- kels (Fig. 83, oder er liegt in der Fig. 83. Fig. 82. D Fig. 81. 4 * 52 Winkelflache des Peripheriewinkels (Fig. 83, 17), oder er liegt aufier- halb der Winkelflache desselben (Fig*. 83, III). a) Ist Fig*. 83, I z. B. <£ a = 42°, so ist aucli b = 42° und m = 84° (§. 64.) b) Ist Fig. 83, II z. B. a = 20°, b = 33°, also a + h =-- 53°, so ist m = 40°, n = 66° und m -(- n = 106°. c) Ist z. B. Fig. 83, III a = 34°, b = 17°, also a -)- & = 51°, so ist m - n = 102°, n = 34°; mithin m = 68°. In alien drei Fallen ist also der Centriwinkel doppelt so grofi als der zugeliorige Peripheriewinkel. Da ein Centriwinkel durcli den ganzen zugehorigen Bogen ge- messen wird, so hat ein Peripheriewinkel die Halfte' des zugehorigen Bogens zurn Mali. Daraus folgt : 1. Peripheriewinkel, welche in dernselben Kreise auf gleichen Bogen aufstehen, sind einander gleich. 2. Ein Winkel im Halbkreise ist ein rec liter. Denn er hat die Hiilfte des Halbkreises zum Mali. §. 81 . Aufgaben. 1. Ein Centriwinkel eines Kreises sei a) 64°, b) 87° 45', c) 128° 13' 50", d) 64f°; wie gro3 ist der Peripheriewinkel iiber dernselben Bogen? 2. Ein Peripheriewinkel eines Kreises sei a) 56°, b) 41° 37', c) 108° 12' 12", d) 64f°; wie grog ist der Centriwinkel iiber dernselben Bogen? 3. Wie grol] ist ein Peripheriewinkel eines Kreises, wenn der zugehorige Centri¬ winkel liber | der Peripherie aufsteht? 4. Von dernselben Punkt auf der Peripherie eines Kreises werden zwei Sehnen gezogen, welche Bogen von 130J° und 70J° abschneiden; welchen Winkel bilden die Sehnen? Constructionsaufgaben. §. 82. a) Durch drei Punkte A, B, C (Fig. 84), welche nicht in einer geradenLinie 1 iegen, einen Fig. 84. Kreis zu beschreiben. Man ziehe die Strecken AB und BC und er richte die Symmetralen derselben; dann ist nach §. 77, 2 der Durchschnitt derselben der Mittelpunkt und OA der Halbmesser des gesuchten Kreises. Durch eine analoge Construction kann aucli der Mittelpunkt eines Kreises oder eines Kreis- bogens gefunden werden. b) Durcli einen Punkt in dem Umfange eines Kreises an die sen die Tangent e zu ziehen. 53 A u flo sung. Man errichte in dem gegebenen Punkte auf den Halbmesser die Senkreclite; diese ist die verlangte Tangente (§. 78). e) Durcli einen Punkt A aufierhalb eines Kreises an d i e s e n ei ne Tangente zu ziehen. Auflosung. Man verbinde (Fig. 85) den gegebenen Punkt A mit dem Mittelpunkte 0 des gegebenen Ereises durch die Strecke AO , halbiere diese in C, und beschreibe aus C mit dem Halbmesser CA einen Kreis, welcher den gegebenen in den Punkten D und E schneidet. Zielit man nun AD und AE , so sind diese beiden Geraden, da die Winkel ADO und AEO als Winkel im Halbkreise rechte sind, Tangenten des Kreises. Aus der Congrnenz der Dreiecke ADO und AEO folgt, dass die Tangenten A E und AD einander gleich sind. Fig. 85. §. 83. Ubungsaufgaben: 1. Aus einem gegebenen Mittelpunkte einen Kreis zu beschreiben, welcher eine gegebene Gerade beriihrt. 2. Einen Kreis zu zeichnen. welcher eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte beriihrt. 3. Mit einem gegebenen Radius einen Kreis zu zeichnen, der eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte beriihrt. 2. Selmen- und Tangentendreiecke. §. 84. Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 86) DO die Sym- metrale der Seite AB , und FO die Symmetrale der Seite AC. Dann ist der Scknittpunkt 0 der beiden Symmetralen sowohl von A und B , als auch von A und C : somit auch von B und C gleich weit entfernt. Hat aber der Punkt 0 von Fl §'- 86 - B und C gleiche Abstande, so muss er auch in C ^^ der Symmetrale der Seite BC liegen. x/ V Die drei Seitensy mmetralen eines / \ \ Dreieckes sclineiden also einander in /V _ \ Xfi' \ demselben Punkte, der von den drei / \\ J Eckpunkten gleiche Abstande hat. \ N / / / X \ / Yon dem Punkt 0 lasst sich mithin ein D Kreis beschreiben, der durch die Eckpunkte des Dreieckes geht. Sein Radius ist der Abstand des Punktes 0 von einem Eckpunkt. Er heifit dem Dreieck umgeschrieben, das Dreieck ist dem Kreise eingcschrieben (Sehnendreieck). 54 Wo iiegt der Mittelpunkt des umgeschriebenen Kreises a) bei einem spitz- winkligen, b) bei einem rechtwinkligen, c) bei einem stumpfwinkligen Dreieck ? §. 85. Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 87) AO die Sym- Dann ist der Schnittpunkt 0 der beiden Symmetralen sowohl von den also einander in demselben Punkte, der von den drei Seiten gleiche Abstande hat. Yon dem Punkte 0 lasst sick ein Kreis besckreiben, der die Seiten des Dreieckes bertihrt. Sein Eadins ist der Abstand des Pnnktes O yon einer Seite. Er heifit dem Dreieck eingeschrieben. (Tangenten- dreieck.) Im gleicliseitigen Dreieck fallen die Mittelpunkte des ein- und umgeschriebenen Kreises zusammen; denn jede Seitensymmetrale eines gleicliseitigen Dreieckes ist zugleich eine Winkelsymmetrale desselben. Abstand der Mittelpunkte Centralabstand. Da in die Centrale ein Durchmesser eines jeden der beiden Kreise fallen muss, so ist sie die gemeinschaftliche Symmetrale derselben. Daraus folgt: schaftlich, so muss dieser in der Centrale liegen. In diesem Falle be- metrale des Winkels BAC und CO die Symmetrale des Winkels ACB. c Fig. 87. Schenkeln AB und AC , als auch von den Schenkeln A C und B C, somit auch yon AB und BC gleich weit entfernt. Hat aber der Punkt 0 Yon den Schenkeln AB und BC gleiche Abstande, so muss er auch in der Sym¬ metrale des Winkels ABC liegen. A D II Die drei W i n k e 1 s y m m e t r a- len eines Dreieckes schneiden 3. Lage zweier Kreise gegeneinander. Fig. 88. §. 86. Zwei Kreise heiben concentriscli oder excentrisch, je nachdem sie einen gemeinschaftlichen Mittelpunkt haben, oder nieht. Die zwischen den Peri- plierien zweier, concentrischer Kreise liegende Flache heidt Kreisring. (Fig. 88.) §. 87. Die durch die Mittelpunkte zweier exeen- trischer Kreise gelegte Gerade heibt Centrale, der 1. Haben die Umfange zweier Kreise nur einen Punkt gemein- 55 2. Haben die Umfange zweier Kreise zwei Punkte gemeinschaftlich, so liegen diese symmetrisch beziiglich der Centrale. Die Centrale ist daher auch die Symmetrale der gemeinschaftlichen Sehne, der zuge- horigen Centriwinkel und Bogen. Die Kreise schneiden sicb. Die Bertihrung kann von aufien (Fig. 89) oder yon iimen (Fig. 90) stattfinden, je nachdem der kleinere Kreis aufierhalb oder innerhalb des grofleren liegt. Im ersten Falle ist der Centralabstand der Summe, irn zweiten der Differenz der beiden Radien gleich. Fig. 89. Fig. 90. Fig. 91. Da in einem Dreiecke jede Seite zwiscben der Summe und der Differenz der beiden andern liegt 7 so ist (Fig. 91) E -)- r > 0 O' > R — r. Schneiden sicb also zwei Kreise, so ist der Centralabstand kleiner als die Summe, aber grofier als die Differenz der beiden Rad’ien. Von zwei excentrischen Kreisen, welche sich weder bertihren noch schneiden, kann der kleinere innerhalb oder aufierhalb des grofieren liegen. Im ersten Falle ist der Centralabstand kleiner als die Differenz, im zweiten grofier als die Summe der Halbmesser. §. 88. U b u n g s a u f g a b e n. ]. Die Lage zweier Kreise zu bestimmen, fur welche der Centralabstand und die Halbmesser folgende Werte haben: a) Centralabstand 8 dm, Halbmesser 5 dm und 8 dm\ 2. Mit den Halbmessern 35 mm und 21 mm zwei Kreise zu construieren, die sich a) von auften, b) von innen beruhren. 3. Aus einem gegebenen Punkte einen Kreis zu construieren, welcher einen gegebenen Kreis beriihrt. VI. Das Viereck. Winkelsumme eines Viereckes. §. 89. Zieht man in dem Vierecke ABCD (Fig. 92) die Diagonale AC\ so wird dadurch das Viereck in zwei Dreiecke zerlegt und es sind 56 die vier Winkel des Viereckes so groB, als die seeks Winkel der zwei Dreiecke zusammengenommen; die Winkel der beiden Dreiecke be- tragen nun 4 R. Daraus folg*t: Die Summe aller Winkel eines Vier¬ eckes ist gleicli vier Reckten oder 360°. Wenn in einem Vierecke alle vier Winkel gleich sind, wie gro6 ist jeder derselben? Wie viele spitze, reckte, stumpfe oder erkabene Winkel kann ein Viereck enthalten? A u f g a b e. In einem Viereck ist <£ A = | R, BCD (IV. Con- gruenzsatz); da A B — C D ist, muss auch m = n, daher, da diese Winkel Wechselwinkel sind, A D || B C sein; wegen A D = B C folgt ebenso p = q, und somit A B || D C. Es ist also A B || D C und AD || B C, mithin das Viereck ABCD ein Parallelogramm. Sind also in eiuem Yierecke je zwei gegeniiber- liegende Sei ten gleich, so ist das Viereck ein Parallelo¬ gramm. b) Es sei (Fig. 93) AB = CD und AB\\CD. Ziebt man die Diagonale B D, so ist p — q als Wechselwinkel bei Parallelen, daher A B D ^ BCD (II.) 7 und folglich A D = B C. Dann ist aber nach dem vorhergehenden Satze ABCD ein Parallelo¬ gramm. Sind also in einem Yierecke zweigegeniiberliegende Seiten gleich und parallel, so ist das Viereck ein Parallelo¬ gram m. §. 92. Da die Schenkel zweier gegeniiberliegender Winkel eines Parallelogrammes parallel und entgegen- gesetzt gerichtet sind, so sind sie gleich. Welche Eigeuschaft haben zwei an derselben Seite liegende W^inkel eines Parallelogrammes ? 1st in einem Parallelogramme ein Winkel ein rechter, so sind es aucli die itbrigen; ist ein Winkel ein schiefer, so sind es auch die iibrigen. Nach der Grofie der Winkel unterscheidet man daher recht- winklige und schiefwinklige Parallelogramme. In einem Parallelogramme ist ein Winkel a) 48° 18', b) 94° 35' 40", c) 108° 28' 15"; wie grol] ist jeder der drei andern? §. 93. Zieht man in dem Parallelogramme ABCD (Fig. 94) die Diagonalen AC und B D, so ist A AO B QO COD (I. Congruenz- satz), weil AB = CD, a — c, b — d ist; es mtissen daher die den gleiclien Winkeln gegen- tiberliegenden Seiten gleich sein, also BO = DO, AO = CO. Daraus folgt: In j e d e m Parallelogramme hal- bieren die Diagonalen ein an der. Jede in einem Parallelogramme durch den Sclinittpunkt O (Fig. 94) der Diagonalen ge zogene Strecke wird in diesem Punkte halbiert. Fig. 94. 58 Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich aus der Congruenz der Dreiecke AO F und EO C. Der Punkt 0 heifit der Mittelpunkt des Parallelogramms. Es folgt daraus, dass jedes Parallelogramm eine cen- trische Figur ist; das Centrum ist der Durchsehnittspunkt der Diagonalen. / Das Rechteck, der Rhombus und das Quadrat. §• 94. Das Rechteck hat folgende besondere Eigenschaften: 1. Die Diagonalen eines Rechteckes sind einander glei ch. Es sei A B C D (Fig. 95) ein Rechteck; dann ist A ABC {SI A B JD (II. Congruenzsatz) und daher A C = B D. 2. Dem Rechteck lasst sich ein Kreis Fig;. 95 . umschreiben, d. h. es ist ein Sehnenviereck; der Mittelpunkt dess el ben ist der Durch- schnittspunktder Diagonalen. (§.93 u. 94, 1.) 3. Das Rechteck ist zweiachsig symme- trisch; jede der zwei Seitensymmetralen ist eine Symmetrieachse des Rechteckes. Dass die Symmetrale E F der Seite A B das Rechteck in zwei symmetrisch liegende Theile theilt, ergibt sich, wenn man den einen Theil E B C F um diese Linie als Achse um 180° dreht; es fallt dabei B auf A, B C in die Richtung yon AD wegen B = <£. A, C auf D wegen BC = AD, und daher C F auf D F Fig. 96. §. 95. Der Rhombus hat folgende besondere Eigenschaften: 1. Jede Diagonale eines Rhombus ist die Symmetrale der andern. q 2. Der Rhombus ist zweiachsig sym¬ metrisch; jede der zwei Diagonalen ist eine Symmetrieachse desselben. Die Satze 1 und 2 ergeben sich aus AD — CD — BC = AB (Fig. 96). Da mitkin A0 mit CO durch eine Drekung um 180° um BD zur Deckung gebracht werden kann, so ist dies auch mit ABD und CBD der Fall, ebenso bei A DC und ABC . Daraus folgt, dass die Diagonalen eines Rhombus zugleich die Symmetralen der Winkel sind. 3. Dem Rhombus lasst sich ein Kreis einschreiben, d. h. er ist ein Tangentenyiereck. Der Mittelpunkt ist der Durchsehnittspunkt der Diagonalen, der Radius der Abstand desselben yon einer Seite. (§. 95, 2 und §. 60 b.) 59 Au f gab e. Zu beweisen, dass ein Rhombus durch die beiden Diagonalen in vier con- gruente Dreiecke getheilt wird. §. 96. Ein Quadrat ABCD (Fig*. 97) vereinigt in sicli die Eigensehaften des Rechteckes und des Rhombus. Man hat daher folgende Satze: Fig. 97 . 1. Die Diagonalen eines Quadrates sind einander g 1 eich und zueinander normal; sie sind die Symmetralen der Winkel, welche sie durchschneiden. 2. Das Quadrat ist vierachsig sym- metrisch; sowohl jede der zwei Seitensymmetralen als jede der zwei Diagonalen ist eine Achse desselben. 3. Deni Quadrate lasst sich ein Ivreis ein- und umschreiben. Denn der Durclischnittspunkt der Diagonalen hat a) von den Seiten, b) yon den Eeken gleiche Abstiinde. Das Trapez und das Deltoid. §. 97. Zieht man in dem Trapeze ABCD (Fig. 98) C B \\ D A, so zerfallt dasselbe in ein Parallelogramm ABCD und in ein Dreieck ECB, welches letztere die zwei Sclienkel und die Differenz der Parallelseiten des Trapezes zu Seiten hat. Ist das Trapez ABCD gleichschenklig, so ist in dem Dreieck EB C aucli CE = CB , daher ist Winkel B = E = A. Dann sind auch die Winkel BCD und AD C gleicli als Supple- mente zu den gleichen Winkeln B und A. Das gleichschenklige Trapez hat daher folgende Eigensehaften: 1. Die Winkel an jeder der zwei Parallelseiten sind einander gleicli; 2. Die Diagonalen sind einander gleicli. Folgt aus der Congruenz der Dreiecke ABC und ABD . 3. Das gleichschenklige Trapez ist symmetrisch; seine Achse ist die Sym- metrale einer Parallelseite. (Beweis durch Um- wenden; vgl. §. 94, 3.) 4. Das gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck; der Mittelpunkt des um- geschriebenen Kreises ist der Durclischnittspunkt der Symmetralen zweier anstofiender Seiten. (Fig. 99.) Denn es ist A O = D 0 = CO = B O. Fig. 99 Fig. 98. 60 Auf gab e. Wie viele Winkel a) eines Trapezes, b) eines gleichschenkligen Trapezes mussen bekannt sein, um die andern berechnen zu konnen? Fig. 100 C §. 98. Ein Viereck, das zwei Paare gleicher anstofiender Seiten bat, lieiBt ein Deltoid. 1st (Fig. 100) AC = BC und AD = BD : so ist ACBD ein Deltoid; dasselbe besteht aus zwei gleichschenk¬ ligen Dreiecken, deren gemeinsame Grundlinie die Diagonale AB ist. Besondere Eigenschaften: 1. Die Diagonalen eines Deltoids sind zueinander normal. Da AC — BC nnd AD = BD ist, so ist CD die Symmetrale von AB , somit zu ihr normal. 2. Das Deltoid ist einachsig symmetrisch; seine Sym- metrieachse ist die Diagonale, welche die Ecken miteinander verbindet, an welchen die gleichen Seiten sich schneiden. 3. Die Winkel, in deren Scheitelpunkten zwei un- glei’che Seiten zusammenstofien, sind einander gleich. 4. Das Deltoid ist ein Tangentenvier- eck. Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist der Durchscknittspunkt der Symmetrale des Deltoides und der Symmetrale eines der beiden gleichen Winkel desselben. (Fig. 101.) Denn es ist O E = 0 F= OG = 0 H. Fig. 101. C Aufgaben. 1. Die Winkel eines Deltoides, welcbe die Symmetrale desselben durcbscbneidet, sind 74|° nnd 106}°; wie groll sind die beiden andern? 2. < A (Fig. 100) = 120° 34' 35", < C= 87° 45' 46"; die Winkel B und D zu berechnen. Sehnen- und Tangentenvierecke. §. 99. Da die Winkel A und C des Selinenviereckes A B CD (Fig. 102) durcli die Halfte der Bogen BCD und BAD gemessen Fig. 102 . werden (§. 80), so hat ihre Summe die lialbe Peripherie zum MaB; mithin ist A + C = 180°, daher auch B + D = 180°. In jedem Sehnen vie reck sind zwei Ole gem winkel supplemental*. Welche Parallelogramme konnen daher nur Sehnenvier- ecke sein? 61 Fig. 103. §. 100 . Iii Fig. 103 sincl die mit «, 6, c und d bezeiclmeten Tangenten einander gleich. Da A B 4- CD = a -\-b -f- c d und AD 4- B C = a -f- b -f- c -}- d ist, so ist A'B + CD = AD + BC. InjedemTangentenviereck i st d i e C Summe zweierGegenseiten gleich der Sum me der beiden andern. Welche Parallelogramme konnen nur Tangenten- vierecke sein? c F b B Constructionsaufgaben. §. 101 . 1. Mit der gegebenen Seite a (Fig. 104) ein Quadrat zu beschreibeu. Man coustruiere den rechten Winkel A, scbneide auf den Schenkeln AB=AD = aab und beschreibe aus B und D mit dem Halbmesser a Kreisbogen, welche sich in C schneiden. Zieht man BC und CD, so ist ABCD das verlangte Quadrat. 2. Construiere ein Quadrat, dessen Umfang 1 dm ist. 3. Zeichne ein Quadrat, welches mit einem ge¬ gebenen Reclitecke gleichen Umfang hat. 4. Ein Quadrat zu construieren, wenn dessen Diagonale (36 mm) gegeben ist. Durch welche und wie viele Bestandstiicke wird ein Quadrat bestimmt ? 5. Einem Kreis ein Quadrat a) einzuschreiben, b) umzuschreiben. \ Fig. 104. ci §. 102 . 1. Ein Recliteck zu construieren, wenn zwei anstofiende vSeiten a und b gegeben sind. 2. Zeichne ein Recliteck, wenn eine Seite (22 mm) und die Dia¬ gonale (31 mm) gegeben sind. 3. Zeichne ein Recliteck, in welchem die Diagonale 32 mm betragt und die beiden Diagonalen einen Winkel yon 60° bilden. Wie viele Bestandstiicke bestimmen ein Recliteck? 4. Einem Kreis ein Rechteck einzuschreiben, wenn eine Seite des- selben gegeben ist. §. 103. 1. Ein schiefwinkliges Parallelogramm zu zeichnen, wenn zwei Seiten a und b und der von ihnen eingeschlossene Winkel ge¬ geben sind. 2. Es soli ein Rhombus construiert werden, wenn gegeben sind: a) die Seite und ein Winkel (34 mm, 30°); b) die Seite und eine Diagonale (24 mm, 32 mm); 62 c) die beiden Diagonalen (18 mm, 28 mm); d) eine Diagonale und ein Winkel. (Die gegebene Diagonale kann durcb den Scheitel des gegebenen Winkels gehen, oder nicht.) 3. Zeichne ein Rhomboid, wenn gegeben sind: a) Zwei Seiten (25 mm und 33 mm) und der von ihnen ein- geschlossene Winkel 60°; b) zwei anstoilende Seiten und die durch ihren Schnittpunkt gehende Diagonale (22 mm, 29 mm, 35 mm); c) die beiden Diagonalen und eine Seite (31 mm, 34 mm, 25 mm); d) die beiden Diagonalen und der von ihnen eingeschlossene Winkel (36 m??i, 43 mm, 60°). Durch wie viele Stiicke wird a) ein Rhombus, b) ein Rhomboid bestimmt ? §. 104. 1. Ein Trapez zu construieren, wenn eine Parallelseite a, die zwei Schenkel b und c und der von a mit AB und beschreibe aus B mit dem Halbmesser c einen Kreis- bogen, welcher jene Parallele in C schneidet. Zielit man nun B ( 7 , so erhalt man das Trapez ABCJD , welches die vier gegebenen Stiicke enthalt. Da aber der aus B beschriebene Kreisbogen die Parallele D C noch in einem zweiten Punkte C‘ schneidet, so gibt es auch noch ein zweites Trapez ABC‘D , welches dieselben vier Stiicke enthalt. Die Aufgabe lasst also im allgemeinen zwei Auflosungen zu. Wann erhalt man nur ein, wann gar kein Trapez? Sind miter den Bestimmungsstiicken die beiden Parallelseiten gegeben, so gescbieht die Construction mit Hilfe eines Dreieckes, dessen Grundlinie der Differenz der Parallelseiten gleicli ist; die beiden andern Seiten sind die Schenkel des Trapezes. (Siehe Figur 98.) 2. Zeichne ein Trapez, wenn gegeben sind: a) die Parallelseiten und die Schenkel (42 mm, 30 mm, 36 mm, 28 mm); b) die zwei Parallelseiten und die der ersten anliegenden Winkel (45 mm, 28 mm, 45°, 60°); c) die zwei Parallelseiten, ein Schenkel und ein demselben an- liegender Winkel (42 mm, 29 mm, 33 mm, 75°). 63 3. Construiere ein gleichschenkliges Trapez, von welchem gegeben sind: a) die Parallelseiten (36 mm, 32 mm) und der Sclienkel (28 mm); b) die Parallelseiten und die Hohe (38 mm, 3 cm, 26 mm); c) die Parallelseiten und ein Winkel (32 mm, 24 mm, 120°). Durcli wie viele Stticke wird a) ein Trapez tiberhaupt, b) ein gleicbschenkliges Trapez bestimmt? 4. Einem gleichschenkligen Trapez einen Kreis umzuschreiben. 5. Ein Deltoid zu construieren, wenn gegeben sind: a) zwei Seiten und die Symmetrale (30 mm, 36 mm, 45 mm); b) zwei Seiten und die Diagonale, welche nicht die Symme¬ trale ist (42 mm, 31 mm, 37 mm). 6. Einem Deltoid einen Kreis einzuschreiben. 7. Ein Yiereck zu construieren, wenn gegeben sind: a) alle vier Seiten und ein Winkel (25 mm, 30 mm, 35 mm, 20 mm , 70°) ; b) alle vier Seiten und eine Diagonale (20 mm, 24 mm, 30 mm, 36 mm, 28 mm); c) drei Seiten und die beiden eingeschlossenen Winkel (18 mm, 24 mm, 20 mm, 60°, 80°); d) drei Seiten und die beiden Diagonalen (20 mm, 25 mm, 34 mm, 28 mm, 40 mm). §. 105. Ein Yiereck zu construieren, welches mit einem gegebenen Vierecke ABCD (Fig. 106) congruent ist. Zielit man die Dia¬ gonale BD , construiert Flg ' 106 ‘ EFH cxj /\ABD, und fiber das Dreieck FGH /\BCD, so ist das Yiereck EFGH^ABCD. Es ist tibrigens nicht nothig, die Diagonale BD wirklich zu ziehen; man braucht nur die Eckpunkte E , F, (?, JT des neuen Yiereckes entsprechend zu bestimmen. VII. Das Vieleck. §. 106. Zahl der Diagonalen eines Vieleckes von einem Eckpunkte aus. Ein Polygon heifit concavwinklig, wenn es nur concave Winkel enthalt. Nur solche sollen besprochen werden. 64 Von einem Eckpunkte eines Vieleckes ist zu drei Eckpunkten keine Diagonale moglich; die Zalil der Diagonalen, die yon einera Eck¬ punkte aus gezogen werden konnen, ist dalier gleich der um drei ver- minderten Seitenzahl. Sie ist also n — 3. (n Seitenzahl.) Jede dieser Diagonalen schneidet von dem Polygon ein Dreieek ab, die letzte liefert zwei. Folglich ist die Zahl der Dreiecke um eins groBer als die der Diagonalen; d. h. n — 3 + 1 = n — 2. §. 107. Lehrsatz. In jed em n -Eck ist die Siimme a 11 er Wink el gleich 180° multipliciert mit n — 2. Beweis. Jedes n-Eck wird durck die von einem Eckpunkte ge- zogenen Diagonalen in n — 2 Dreiecke zerlegt, deren Winkelsumme jener des Polygons gleich ist. Aufgaben. 1. Wie gro$ ist die Summe aller Winkel eines a) Funfeckes, b) Sechseckes c) Achteckes, d) Zehneckes, e) Zwolfeckes? 2. Wie grotf ist jeder Winkel eines regelmaGigen a) Funfeckes, b) Sechseckes, c) Achteckes, d) Zehneckes, e) Zwolfeckes? §. 108. Constructionsaufgaben. 1. Ein einachsig symmetrisches Polygon zu zeichnen. Man nehme auf einer Seite der Achse Punkte als Ecken des Polygones an und zeichne die symmetrisch liegenden; liegt ein Punkt in der Achse, so ist er selbst sein symmetrisch liegender Punkt. Fig. 107. Fig. 108. C 2. Ein zweiachsig symmetrisches Polygon mit aufeinander senk- rechten Aclisen zu zeichnen. Die Auflosung ist aus Fig. 108 ersichtlich. Ein solches Polygon ist centriscli. Sein Mittelpunkt ist der Durchschnitt der Achsen. Das regelmaBige Polygon.*) §. 109. Es sei ABC D EF Fig. 109 ein regelmafiiges Polygon (§. 36). Es seien A 0 und B 0 die Symmetralen der Winkel A und B , *) Der Schuler versuche die in §. 37 uber die achsiale Symmetric der regel- ma^igen Polygone ausgesprochenen Satze nach dem Yorgang von §. 04, 3 nach- zuweisen. 65 die sicli in O schneiden. Dreht man das Polygon nm O in seiner Ebene so weit, dass C auf A und D auf B fallt, so miissen die Symmetralen der Winkel C und JD mit AO und BO zu- sammenfallen, also ebenfalls durch O gehen. Durch Fortsetzung der Drehung kann man dasselbe yon den Symmetralen der iibrigen Winkel zeigen. Der Punkt O hat mithin von alien Eckpunkten des Polygones denselben Abstand. Verbindet man O mit alien Eck¬ punkten, so zerfallt das Polygon in congruente gleichschenklige Dreiecke. Die Symmetralen der Grundlinien derselben sind die der Seiten des regelmafligen Polygones, diese gehen also ebenfalls durch 0. Da diese Dreiecke in Bezug auf die gleichen Seiten auch gleiche Hohen haben, so ist O aucli von alien Seiten des Polygones gleich weit entfernt. O G = OH.... In jedem regelmafligen Polygon gibt es einen Punkt, den Durchschnitt aller Seiten- und Winkelsymmetralen, der von alien Ecken und yon alien Seiten gleich weit ab- steht. Er lieifit der Mittelpunkt des regelmafligen Poly- gone s. Aufgabe. Vom Mittelpunkte eines regelmabigen a ) Dreieckes, b) Viereckes, c) Fiinf- eckes, cl) Sechseckes, e) Achteckes, f) Zehneckes, g) Zwolfeckes sind zu alien Eck¬ punkten Strecken gezogen; wie groJQ ist 1. der Winkel am Scheitel, 2. der Winkel an der Grundlinie in jedem der dadurch gebildeten Dreiecke? §. no. Um und in jedes regelmaflige Vie 1 eck 1 asst sicli ein Kreis beschreiben. Der Mittelpunkt eines jeden der beiden Kreise ist der Mittelpunkt 0 des Polygones. (Fig. 109.) Der Radius des eingeschriebenen Kreises ist der Abstand des Mittelpunktes yon einer Seite (06r), jener des nm- geschriebenen Kreises von einer Ecke (AO). §. 111. 1. Theilt man den Umfang eines Kreises in mehrere gleiche Theile und zieht durch je zwei benach- barte Theilungspunkte eine Sehne, so ist das yon diesen Selinen begrenzte Yieleck regelmafiig. Beweis. 1st (Fig. 110) die aus 0 mit dem Halbmesser 0 A be- schriebene Kreislinie in mehrere gleiche Theile getheilt und zieht man die Sehnen AB , BC , CD, DE , EF, FA , so sind in dem Yielecke ABCDEF die Seiten als Sehnen des Kreises, welclie zu gleichen Bogen gehoren, Fig. 109. C Mocnik-Spielmann, Geom. Formenl. u. Anfangsgr. d. Geom. f. Realsch. 5 66 und die Vieleckswinkei als Peripkeriewinkel, welclie auf gleichen Bogen aufstehen, einander gleicli. Das Yieleck ist daher gleichseitig und gleichwinklig, also regelmafiig. 2. Thei 11 man einen Kreis in mehrere gleicke Theile und z i e h t durch jeden Theilungspunkt eine Tangente, so wird yon diesen Tan¬ ge n t e n e i n regelmafiiges V i e 1 e c k eingesclilossen. Beweis. 1st (Fig. 110) die aus 0 mit dem Halbmesser OG beschriebene Kreislinie in mehrere gleicke Theile getkeilt und er- richtet man in den Punkten (?, H, J, Z, L, M auf die zu denselben gezogenen Halbmesser Senkreckte, so erhalt man das dem Kreise umgeschriebene Yieleck ABCDEF. Dieses Yieleck ist regelmafiig; denn dreht man dasselbe um den Mittelpunkt, bis jeder Theilungspunkt mit dem nachst folgenden zusammenfallt, so deckt aucli jeder Halbmesser den folgenden, daher auch jede Tangente die folgende. Das Yieleck ist also gleichwinklig und gleichseitig, d. i. regelmafiig. §. 112. Die Seite des ein e m Kreise eingeschriebenen regelmafiigen Seehs- eckes ist gleich dem Halbmesser des Kreises (Fig. 111). Beweis. Es sei das Sechseck ABCDEF regelmafiig. Der Winkel jp muss als Centriwinkel zu einem Sextant = 60° sein, also ist m = n = 60°, daher muss das Dreieck ABO gleichseitig sein; folglicli ist AB = OA. §. 113. Anfgaben. 1. Die Peripherie eines Kreises a) in 6, b) in 3, c) in 12 gleiche Theile zu theilen. 2. Einem gegebenen Kreise ein regelmafiiges a) Dreieck, b) Viereck, c) Sechs¬ eck, d) Achteck, e) Zwolfeck einzuschreiben und umzuschreiben. 3. Einem gegebenen Kreise mit Hilfe des Transporteurs ein regelmafiiges a) Funfeck, b) Zehneck ein- und umzuschreiben. 4. Ein regelmafiiges Vieleck zu zeichnen, wenn jede Seite eine bestimmte Lange haben soli. Hier kommt es nur darauf an, die Grofie des Kreises zu finden, welchem das verlangte Vieleck eingeschrieben erscheint. Zu diesem Ende wird das Dreieck ABO (Fig. 110) construiert, indem man fur AB die gegebene Seite und fur BAO und ABO die halben Vieleckswinkei annimmt. Man berechne daher zuerst die Grofie eines Vieleckswinkels, ziehe eine Strecke, welche der Fig. 110. 67 gegebenen Seite gleicli ist, trage in jedem Endpunkte den lialben Vielecks- winkel auf, ans dem Schnittpunkte der beiden neuen Schenkel beschreibe man durcli die Endpunkte der gezogenen Strecke einen Kreis und trage darin die gegebene Seite als Selme herum. Ein regelmaGiges Polygon ist also durch zwei Stuck e bestimmt. In diesem Falle durcli die Seite und einen Winkel. 5. Zeichne eine Strecke von 2 cm Lange und construiere uber derselben ein regelmaCiges a ) Sechseck, b) Achteck. §. 114. Constructionsaufgabe. Ein Vi deck ABCDEF zu tibertragen, d. i. einVieleck zn zeichnen, welches in it dem Vie 1 ecke ABCDEF congruent ist. A u f 1 o s u n g. Man zer- lege das gegebene Vieleck von A aus durch Diagonalen in Dreiecke, beschreibe eben so viele in derselben Ordnuug liegende Dreiecke, welche mit denen des gegebenen Vieleckes congruent sind; dann ist Viel- eck GHJKLM ^ ABCDEF. Auf dem Zeichnen congruenter Vielecke beruht das geometrische Copieren der Gebi 1 de in g 1 eicher G r o B e. • • VIII. Greometrische Orter. §. 115. Erfiillen alle Punkte, welche in einer Linie liegen, aber auch nur diese Punkte, eine gewisse Bedingung, so heifit die Linie der geometrische Ort jener Punkte. •« Die Satze liber die geometrischen Orter sind bereits bekannte, und nur in anderer Form ausgedruckte Lehrsatze. Die wichtigsten derselben sind: 1. a) Der geometrische Ort aller Punkte, welche von einem gegebenen Punkte einen gegebenen Abstand haben, ist der um jenen Punkt als Mittelpunkt mit jenem Abstande als Halbmesser beschriebene Kreis. b) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Halbmesser haben und durch einen gegebenen Punkt gehen, ist der um diesen Punkt mit jenem Halbmesser beschriebene Kreis. 2. a ) Der geometrische Ort aller Punkte, welche von den End- punkten einer Strecke gleich weit abstehen, ist die Symmetrale dieser Strecke. b) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche durch zwei gegebene Punkte gehen, ist die Symmetrale der Verbindungs- linie derselben. Fig. 112. 5 * 68 3. a) Der geometrische Ort aller Purikte, welclie yon einer ge- gebenen Geraden auf einer bestimmten Seite derselben einen gegebenen Abstand haben, ist die mit der Geraden auf derselben Seite in dem gegebenen Abstande gezogene Parallele. b) Der geometrische Ort der Mittelpunkt aller Kreise, welche einen gegebenen Halbmesser baben und eine gegebene Gerade auf einer be¬ stimmten Seite derselben beriihren, ist die mit der Geraden auf der- * selben Seite in einem Abstande gleich dem gegebenen Halbmesser gezogene Parallele. 4. a) Der geometrische Ort aller Punkte, welclie von den Sckenkeln eines Winkels gleiche Abstande baben, ist die Symmetrale dieses Winkels. b) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche zwei nicht parallele Gerade beriihren, ist die Symmetrale des von den Geraden in ihrem Schnittpunkte gebildeten Winkels. 5. Der geometrische Ort der Scheitel aller rechtwinkligen Dreiecke liber einer Geraden als Hypotenuse ist der iiber dieser als Durch- messer beschriebene Kreis. 6. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte derselben beriihren, ist die in diesem Punkte auf der Geraden errichtete Senkrechte. 7. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte desselben beriihren, ist die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des gegebenen Kreises gehende Gerade. 8. Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Halbmesser haben und einen gegebenen Kreis beriihren, ist ein mit diesem concentrischer Kreis, dessen Halbmesser gleich ist der Summe oder der Differenz der beiden gegebenen Halbmesser, je nachdem die Beriikrung von aufien oder von innen stattfindet. §. 116. Ist fiir einen Punkt ein einziger geometrischer Ort ge- geben, so ist dadurch die Lage des Punktes nicht bestimmt, da es unzahlig viele Punkte gibt, welche in diesem geometriscken Orte liegen; ein geometrischer Ort enthalt daher die Losungen einer unbestimmten Aufgabe. Sind dagegen fur einen Punkt zwei geometrische Orter bekannt, so gibt es nur einen, oder eine bestimmte Anzahl yon Punkten, welche in beiden geometriscken Ortern liegen; zwei geometrische Orter eines Punktes enthalten daher die Auflosung einer bestimmten Aufgabe. Die geometrisehen Orter sind fur die Losung geometrischer Con- structionsaufgaben von grofier Wichtigkeit, indem es bei diesen eigentlich nur auf die Bestimmung von Punkten ankommt. 69 §. 117 . Ein Dreieck ABC (Fig*. 113) zu construieren, wenn zwei Seiten AB und AC und die Holie CD auf die erste dieser Seiten gegeben sind. Durcli die gegebene Seite AB sind die beiden Eckpunkte A und B bestimmt. Fur den dritten Eckpunkt C ist ein geometrisclier Ort der urn A mit dem Halbmesser AC bescliriebene Kreis, und ein zweiter die zu AB im Abstande CD ge- zogene Parallele; somit ist auch C bestimmt. Construction. Man zieke AB, beschreibe um A mit dem Halb¬ messer AC einen Kreis und die zu AB in dem Abstande CD parallele Gerade, welclie den Kreis in C und C‘ scbneidet; ABC und ABC ' sind die verlangten Dreiecke. Die Aufgabe hat zwei Auflosungen, oder eine, Oder keine. Wann tritt jeder dieser drei Falle ein? Fig. 113. §. 118. tib ungsaufgaben. 1. In einer Seite eines gegebenen Dreieckes einen Punkt zu finden, welcher von den beiden anderen Seiten gleichweit entfernt ist. (§. 115, 4. a.) 2. Ein rechtwinkliges Dreieck zu construieren, wenn die Hypotenuse und die Hohe auf dieselbe gegeben sind. (§. 115, 5. und 3. a.) Welche Falle sind moglich ? 3. Ein Dreieck zu construieren, wenn zwei Seiten und die Hohe auf die dritte Seite gegeben sind. (§. 115, 1. a und 3. a.) 4. Einen Rhombus zu construieren, wenn die Hohe und ein Winkel (28 mm, 70°) gegeben sind. 5. Einen Rhombus zu construieren, wenn ein Winkel und der Radius des ein- geschriebenen Kreise3 (15 mm, 65°) gegeben sind. 6. Ein Trapez zu zeichnen, wenn die zwei Parallelseiten, ein Winkel an den- selben und die Holie (40 mm, 32 mm, 60°, 26 mm) gegeben sind. 7. Ein Trapez zu zeichnen, wenn die zwei Schenkel eine Parallelseite und die Hohe (34 mm, 42 mm, 48 mm, 27 mm) gegeben sind. S. Ein gleichschenkliges Trapez zu zeichnen, wenn der Schenkel die Diagonale und die Hohe (36 mm, 46 mm, 28 mm) gegeben sind. 9. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu beschreiben, welcher a) durch zwei gegebene Punkte geht (§. 115, 1. b); b) durch einen gegebenen Punkt geht und eine gegebene Gerade beriihrt (§. 115, 1. b) und 3. b); c) durch einen gegebenen Punkt geht und einen gegebenen Kreis beriihrt (§. 115, 1. b und 8.); d) zwei gegebene Gerade beriihrt (§. 115, 3. b)', e) eine gegebene Gerade und einen gegebenen Kreis beriihrt (§. 115, 3. b und 8.); f) zwei gegebene Kreise beriihrt (§. 115, 8.). 10. Einen Kreis zu beschreiben, dessen Mittelpunkt in einer gegebenen Geraden liegt und dessen Peripherie a) durch zwei gegebene Punkte geht (§. 115, 2. b ); b) zwei gegebene Gerade beriihrt (§. 115, 4. b). 70 11. Einen Kreis zu beschreiben, welclier a) durch einen gegebenen Punkt geht und eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte beriihrt. b) zwei gegebene Gerade nnd zwar die eine in einem gegebenen Punkte be- ruhrt (§. 115, 6. und 4. b). 12. Drei Kreise, deren Halbmesser gegeben sind, so zu construieren, dass sie sich gegenseitig von aufien beruhren. (§. 115, 7. und 8.) ^IX. Flachengleichheit der ebenen Figuren §. 119. Unter dem Flacheninhalte einer Figur yerstelit man die Grofie des Theiles der Ebeue, welchen ihre Grenzlinien einsclilieden. Zwei Figuren, welche denselben Flacheninlialt baben, heiflen flachen- gleich. Zwei congruente Figuren sind aucb flachengleich. Figuren, welche aus congruenten Theilen bestehen, sind im allgemeinen nicht congruent, aber stets flachengleicb. (Fig. 114.) Fig 114. Fig. 115. E B §.120. Lehrsatz. Jedes schiefwinklige Parallelogramm ist flacliengleicb einem Rechtecke, das mit ibm gleicbe Grundlinie und glei cbe Ho he bat. Beweis. Zieht man (Fig. 115) von den Eck- punkten A und B des scliiefwinkligen Parallelo- grammes ABDC zu der Seite CD die Senkrechten AF und BE , so erkalt man das Recbteck ABEF\ welches mit dem Parallelogramme ABDC gleicbe Grundlinie und gleicbe Kobe hat. Die recktwinkligen Dreiecke BED und AFC sind congruent; addiert man jedes derselben zu dem Trapeze ABEC , so miissen auch die Summen gleich sein, d. i. Parallelogramm ABDC = Recbteck ABEF. Aus diesem Lehrsatze folgt: Zwei Parallelogramme von gleicher Grundlinie und gleicherHobesind flacliengleich; denn jedes ist mit demselben Recbteck flachengleicb. :/ B §. 121. # Lelirsatz. Jedes Dreieck ist die Halfte eines Parallelogramms, da's mit ilim gleicbe Grundlinie und gleicbe Hohe hat. 71 Be we is. Zieht man (Fig*. 116) (lurch zwei Fig. 116. Eckpunkte C und B des Dreieckes ABC Parallele mit den gegenliberliegenden Seiten, so entsteht das Parallelogramm A B D ( 7 , welches mit dem A ABC gleiche Grundlinie und gleiche Hohe hat und von welchem A B C die Hiilfte ist. (§. 90, 1.) Hieraus folgt: ZweiDreiecke von gleicherGrundlinie und g 1 eicher Hohe sind flachengleich. §. 123. Lelirsatz. JedesTrapez ist flachengleich einem Dreiecke, das mit ihm gleiche Hohe hat und dessen Grundlinie g 1 eich ist der Summe der parallelen Seiten des Trapezes. D Be we is. Halbiert man in dem Trapez ABCD (Fig. 117) den Schenkel BC in E und zieht durcli D und E die Gerade D F, so ist A CPE ^ BFE. (I. Congruenzsatz.) Addiert man daher zu dem Yiereck ABED einmal das A CDE , und dann das A BFE , so miissen die Summen gleich sein, d. i. Trapez ABCD = Dreieck AFD. In dem A A FD ist nun die Grundlinie A F = = AB ~l~ CD , also gleich der Summe der Parallelseiten und die Hohe D H gleich der Hohe des Trapezes. Fig. 117. AB -f BF des Trapezes, §. 123. Lelirsatz. Jedes regelmafligeVieleck ist flachengleich einem Dreiecke, das den Umfang des Viel- eckes zur Grundlinie und den Ah stand des Mittelpunktes desselben von einer Seite zur Hohe hat. Be we is. Es sei (Fig. 118) O der Mittelpunkt des regelmafiigen Vieleckes ABCDEF und OP _L AB. Zieht man die Strecken OA, 0 B, O C, . . , so wird das Yieleck in lauter congru- ente Dreiecke zer- legt. Tragt man nun alle Seiten desYieleckes auf der verlangerten AB auf und zieht von den End- H Fig. 118. G K L 72 punkten zu dem Punkte 0 Strecken, so ist /\ HO L = /\ AO B x 6, Polygon ABCBEF = A AOi? X 6. Daher Polygon ABCDEF = A HOL. Somit ist das regelmafiige Yieleck flachengleich einem Drei- ecke, dessen Grundlinie HL dem Umfange des Vieleckes, und dessen Holie OP dem Abstande des Mittelpunktes des Vieleckes von einer Seite gleick ist. Lasst man in einem regelmafligen Vielecke die Anzahl der Seiten ohne Ende zunehmen, so nahert sich das Yieleck ohne Ende einem Kreise, der Umfang des Vieleckes der Peripherie, und der Abstand des Mittelpunktes des Vieleckes von einer Seite dem Halbmesser des Kreises. Daraus ergibt sick: Ein Kreis ist flachengleick einem Dreiecke, das die Peripherie des Kreises zur Grundlinie und den Halb¬ messer zur Hoke hat. Ebenso lindet man: Ein Kreisaussclinitt ist flachengleick einem Dreiecke, das die Lange des Kreisbogens zur Grundlinie und den Halbmesser zur Ho he hat. Die Verwandlung eines Kreises oder Kreisausschnittes in ein Dreieck kann dadurch ausgefuhrt werden, dass man die Peripherie beziehungsweise den Bogen des Ausschnittes in kleine Tlieile theilt und dieselben auf eine Gerade ubertragt. • • Uber der so erhaltenen Strecke als Grundlinie construiert man ein Dreieck, dessen Hoke der Radius ist. Dieses Dreieck ist nur annahernd dem Kreise oder dem Sector gleick, da seine Grundlinie nur naherungsweise der Peripherie beziiglick dem Bogen gleick ist. §. 124. Flachensatze des rechtwinkligen Dreieckes. Zieht man die Hohe eines rechtwinkligen Dreieckes auf die Hypotenuse, so erhalt man zwei Abschnitte der Hypotenuse. a) Das Quadrat liber jeder Kathete eines recht¬ winkligen Dreieckes ist gleick dem Recktecke aus der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Abschnitte derselben; b) das Quadrat liber der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten (Pythago- reischer Lehrsatz); c) das Quadrat liber der Hohe ist gleich dem Reclit- ecke aus den beiden Abschnitten der Hypotenuse. 1. Es ist (Fig. 119) A ABF ^ ACG (§. 71). Da A A B F = |i FEC und A ACG = \ ADL G, so ist AFEC = AD LG. Ebenso kann bewiesen werden, dass BCKJ = DBHL . 74 Fig. 123. Man mache A D = a, zielie C D und BE \CD] ADE ist nun das verlangte Drei- eck. Denn es ist A ACD = A ACD, A CDE = A also /±ACD + A = A A CD+&CDB, odcr A ADE = A ABC . Dieselbe Yerwandlung zu machen, wenn a A B ist. Fig. 124. (7 Fig. 125. 2. Ein Dreieck ABC (Fig. 124) in ein anderes zu ver wand ein, das eine gege- bene Holie h hat. Man errichte AD =h senkrecht auf AB , zielie DE A B, dann E B, und CF || ^ E. Zieht man nun die Strecke EF, so ist A AEF = & ABC. Beweis wie bei der Aufgabe in 1. Dieselbe Yerwandlung zu maclien, wenn h grower als die Holie des gegebenen Dreieckes ist. C Fig. 126. D C §.128. Ein Dreieck in ein Parallelogramm mit gleiclier Grundlinie zu verwandeln. Man halbiere die Seiten (Fig. 125 ) ACimdBC in D und E , zielie durch diese Punkte die Gerade und BF\\ AC] dann ist A B E F LSj CED, daherauch ABED + B EF— ABED -f- CED y also Parallelogramm ABFD = A ABC. §. 129. Ein Rechteck-4£ CD (Fig. 126) in ein Quadrat zu verwandeln. Man verlangere die kleinere Seite A B bis E , so dass A E = A D wird, beschreibe fiber A E einen Halbkreis, welcher die verlangerte Seite C B in F trifft. Zieht man A F und beschreibt darttber das Quadrat AFGH , so ist dieses dem gegebenen Rechtecke gleich (§. 124, a). §.130. Ein Vieleck ABCDEF (Fig.127) in ein anderes zu verwandeln, das eine Seite weniger hat. Man zielie die Diagonale DFund EG I OF. O 11 7 und verlangere A F bis G. Zieht man D (?, so ist das Vieleck ABC D G gleich dem Vielecke ABCDEF\ weil beide aus gleichen Theilen bestehen. 75 Durch Wiederliolung dieses Verfahrens kann jedes Vieleck in ein Dreieck verwandelt werden. Da sicli nun jedes Dreieck in ein Parallelogramm, dieses in ein Rechteck, und letzteres in ein Quadrat verwandeln lasst, so kann auch jedes Vieleck durch blofle Construction in ein Quadrat verwandelt werden. §. 131. 1. Ein Quadrat zu construieren, welches der Summ e zweier gegebener Quadrate g 1 eicli ist. Man construiere ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten gleich sind den Seiten der gegebenen Quadrate; die Hypotenuse dieses Drei- eckes ist die Seite des verlangten Quadrates. 2. Ein Quadrat zu construieren, welches der Diffe- renz zweier gegebener Quadrate gleich ist. Man construiere ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse gleich der Seite des grofieren, und dessen eine Kathete gleich der Seite des kleineren Quadrates ist; dann ist die zweite Kathete die Seite des verlangten Quadrates. §. 132. Ein gegebenes Dreieck durcli Strecken, welche durch einen Eckpunkt gehen, in mehrere gleiche Tlieile zu theilen. Tlieile die diesem Eckpunkte gegeniiberliegende Seite in so viele gleiche Theile, als verlangt werden, und verbinde die Theilungspunkte mit jenem Eckpunkte durch Strecken. §. 133. EinParallelogramm (ein Rechteck) in mehrere gleiche Theile zu theilen, so dass die Theilungslinien zwei G-e gen seiten schneiden. Theile die zwei Gegenseiten in die verlangte Anzahl gleicher Theile und verbinde je zwei gegeniiberliegende Theilungspunkte durch eine Strecke. §. 134. Ein Trapez in mehrere gleiche Theile zu theilen, so dass die Theilungslinien die beiden paral- lelen Seiten schneiden, Durch Theilung der Parallelseiten in gleiche Theile und Ver- bindung der Theilungspunkte. §. 135. Ubungsaufgaben. 1. Ein schiefwinkliges Dreieck in ein rechtwinkliges zu verwandeln. 2. Construiere ein Dreieck mit den Seiten 31 mm und 17 mm und dem einge- schlossenen Winkel 45° und verwandle es dann in ein Dreieck mit der Grund- linie 26 mm und einem anliegenden Winkel von 60°. 3. Ein scliiefwinkliges Parallelogramm in ein Rechteck zu verwandeln. 4. Einen Rhombus in ein Rechteck zu verwandeln. 5. Ein ungleichseitiges Dreieck in ein Rechteck zu verwandeln. 6. Ein Quadrat in ein Dreieck zu verwandeln, von dem eine Seite und ein Winkel gegeben sind. 76 7. Ein Parallelogramm in ein anderes a) mit einer gegebenen Seite, bj mit einem gegebenen Winkel zn yerwandeln. 8. Ein Trapez in ein Parallelogramm zu verwandeln. 9. Ein ungleicbschenkliges Trapez in ein gleicbscbenkliges zu verwandeln. 10. Ein hohlwinkliges Trapezoid in ein Rechteck zn verwandeln. 11. Ein unregelmabiges Fiinfeck in ein Dreieck zu verwandeln. 12. Construiere ein Dreieck, welches gleich ist einem regelmafligen Achtecke iiber der Seite 12 mm. 18. Construiere ein Quadrat, welches flachengleich ist einem regelmafiigen Sechs- ecke iiber der Seite 2 cm. 14. Zwei Parallelogramme mit gleichen Grundlinien a) zu addieren, b) zu sub- trahieren. 15. Zwei Parallelogramme mit gleichen Hohen a) zu addieren, b) zu subtrahieren. 16. Zwei Dreiecke mit gleichen Grundlinien a) zu addieren, b) zu subtrahieren. 17. Zwei beliebige Parallelogramme (Dreiecke) a) zu addieren, b) zu subtrahieren. 18. Ein Quadrat zu constraieren, welches a) doppelt so grojg, b) lialb so grofi als ein gegebenes Quadrat ist. 19. Ein -Quadrat zu construieren, das a) der Summe dreier oder mehrerer gegebener Quadrate gleich ist; b) Bmal, 4mal, 5mal so grofi ist als ein gegebenes Quadrat. 20. Ein Dreieck in vier congruente Dreiecke zu theilen.] 21. Ein Parallelogramm von einem in einer Seite liegenden Punkte aus zu halbieren. 22. Ein Parallelogramm von einem Eckpunkte aus in vier gleiche Theile zu theilen. X. Ausmessung der ebenen Figuren. 1. Ausmessung der geradlinigen Figuren. §. 136. Umfang und Flacheninhalt. Bei der Ausmessung der ebenen Gebilde kommt der Umfang und der Flacheninhalt derselben in Betracht. Um den Umfang einer geradlinigen Figur zu bestimmen, darf man nur die Seiten derselben messen und die gefundenen Mafizahlen addieren. Ist die Figur gleichseitig, so ist der Umfang gleich der Lange einer Seite multipliciert mit der Anzahl der Seiten. §. 137. Um den Flacheninhalt einer Figur zu bestimmen, d. i. um die Flache der Figur zu messen, muss man irgend eine bestimmte Flache als Einheit annehinen und untersuchen, wie oft dieselbe in der geg ; ebenen Flache enthalten ist. Die Zahl, welclie dieses anzeigt, heiflt die Mat!zahl der Flache. Als Einheit des Flachenmafies nimmt man ein Quadrat an, dessen Seite der Einheit des LangenmaBes gleich ist, von welcher dann das Quadrat den Namen erhalt. Ein solches Quadrat heifit ein 77 Quadrat me ter (m 2 ), eiu Quadra t dec ime ter (dm 2 ) . . . , je nacli dem die Seite einem Meter, Decimeter, . . . gleich ist. Die Bestimmung des Flacheninhaltes geschieht iibrigens nicht durcli unmittelbares Auftragen der genanuten QuadratmaBe auf die zu messeude Flache, da dieses sehr mtthsam und meistens auch unaus- fithrbar ware. Man bestimmt vielmehr den Flacbeninhalt mittelbar, indem man diejenigen Strecken, von denen die Grofie der Figur abhangt, mit dem Langenmafie misst und aus den Mafizahlen dieser Strecken den Inhalt der Flache durch Rechnung findet.. §. 138. Das Quadrat. Betragt eine Seite des Quadrates ABCD (Fig. 128) 3 dm, so kann man jede Seite in 3 gleiche Tlieile theilen, deren jeder 1 dm lang ist. Verbindet man nun die F . o , 19g gegentiberstehenden Theilungspunkte durch Strecken, jj , (J so zerfallt das gegebene Quadrat in lauter kleinere j j Quadrate, deren jedes 1 dm 2 yorstellt; und zwar —j-f*. enthalt jeder Streifen 3 dm 2 . Da drei Streifen _i_i. yorhanden sind, so ist der Inhalt des Quadrates i ! 3 dm 2 X 3 = 9 dm 2 . A B Fig. 128 r- -- Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 4 cm ist, und bestimme auf gleiche Weise, wie viel cm 2 dasselbe enthalt. Die Mafizahl fur den Flacbeninhalt eines Quadrates wird also gefunden, indem man die Mafizahl einer Seite mit sicli selbst multipliciert. Eine Zalil mit sicli selbst multiplicieren heifit dieselbe zur zweiten Potenz erlieben. Daher kommt es, dass man auch in der Arithmetik die zweite Potenz einer Zalil das Quadrat derselben nennt. Bezeiehnet man die Mafizahl der Seite eines Quadrates durch s, und die Mafizahl seines Flacheninhaltes durch /, so ist / = s 2 - Zusatz. Die zweite Potenz s 2 oder AB 2 ist im geometrischen Sinne als ein Quadrat liber der Seite s oder AB aufzufassen. Sind F und f die Flacheninhalte zweier Quadrate mit den Seiten S und s, so ist F = S 2 , f = s 2 , mithin F: f = S 2 : s 2 ; d. h. Die Flacheninhalte zweier Quadrate yerhalten sicli wie die zweiten Potenzen ihrer Seiten. Wie andert sicli demnach die Flache eines Quadrates, wenn die Seite mit 2, 3, 4... multipliciert wird? §. 139. Ein Quadrat, dessen Seite 10 dm betragt, hat 10 dm 2 X 10 = 100 dm 2 Inhalt. Ein solches Quadrat ist nun 1 m 2 , also ist 1 m 2 = 100 dm 2 . 78 Eben so folgt: 1 dm 2 = 100 cm 2 . 1 km 2 = 1000000 m 2 . 1 cm 2 = 100 mm 2 . 1 gm 2 = 100 &m 2 . Beim Bodenflachenmafie lieiBt eine Flaclie von 100 m 2 ein Ar (a), eine Flaclie yon 100 Ar ein Hektar (Aa); dalier ist 1 gm 2 = 10000 Hektar. §. 140. A u f g a b e n. 1 . Die Seite ernes Quadrates ist a) 21 m, b) 5 w 4 dm, c) 359 mm, d ) 0*715 m, e) 3*4752. . . m; wie gro6 ist 1. der Umfang, 2. der Flacheninhalt? 2. Der Umfang eines Quadrates ist 23 m 2 dm ; wie gro8 ist der Flacheninhalt ? 3. Wie viel kostet ein quadratischer Bauplatz von 36 in Seitenlange, wenn man das m 2 mit 11 K 20 h bezahlt? 4. Man will in einem quadratformigen Garten, dessen Seite 58 m 5 dm ist, ringsherum einen Weg machen, der eine Breit.e von 1 m 2 dm haben soli welchen Flachenraum wird dieser Weg einnehmen? §. 141. Das Rechteck. Es sei in dem Recktecke ABCD (Fig. 129) die Grundlinie AB = 6 cm, und die Hoke A D = 4 cm. Tlieilt man AB in 6 , AD in vier gleicke Tkeile, nnd ziekt zu jj_ ,____den Seiten durcli die Tkeilungspunkte parallele Linien, so ist jedes der dadurch entstekenden Quadrate 1 cm 2 , und man kat vier Reilien solcker Quadrate, je von 6 cm 2 ; der Flacken- Fig. 129. A B inkalt des Reckteckes ABCD betragt daker 6 cm 2 X 4 24 cm 2 DieMaflzakl flir den Flackeninkalt eines Reckteckes wird also gefunden, in dem man die MaBzakl der Grund¬ linie mit der MaBzakl der Hoke (oder die MaBzakl der Lange mit der MaBzakl der Breite) multipliciert. Man pflegt diesen Satz ktirzer so auszudrucken : Der Flackeninkalt eines Reckteckes ist gleick dem Pro duct e aus der Grundlinie und der Hoke. Bezeicknen g und h die Mafizaklen der Grundlinie und der Hoke eines Reckteckes und f die MaBzakl seines Flackeninkaltes, so ist f = 9 • h - Wird das Product zweier Factoren durcli den einen Factor dividiert, so erkalt man den andern Factor. Es ist daker 9 f und h ,f It y Driicke diese zwei Formeln mit Worten aus. Zusatz. Das Product g . h oder AB . AD ist im geometri- sclien Sinne als ein Reckteck, dessen zwei zusammenstoflende Seiten g und h oder AB und AD sind, aufzufassen. 79 §. 142. Aufgaben. 1. Bestimme 1) den Umfang, 2) den Flacheninhalt folgender Rechtecke: a) Grundlinie 9*2 m, Hohe 5*8 m- b) „ 12 m 3 dm 3 cm, „ 9 m 2 cm ; c) „ 3*2152... m, „ 1*0647... m. 2. Der Flacheninhalt eines Rechteckes ist 34*2 m*, die Grundlinie 9 m; wie gro6 ist die Hoke? 3. Ein Rechteck ist 2 m 8 dm breit und enthalt 1G m 2 91 dm 2 20 cm 2 ; wie groG ist seine Lange? 4. Der Umfang eines Rechteckes betragt 87 m 4 dm, eine Seite 18 m 4 dm ; wie groG ist der Flacheninhalt? 5. Ein Quadrat hat mit einem Rechtecke, dessen Seiten 62 cm und 34 cm sind, gleiclien Umfang; um wie viel ist der Flacheninhalt des Quadrates groGer als der des Rechteckes? 6. Eine Tischplatte ist 1*4 m lang und 1*2 m breit; wie groG ist ihre Flache? 7. Ein Spiegel mit Rahmen hat 6 dm 3 cm Breite und 8 dm 5 cm Hohe; wie groG ist a) der Umfang, b) der Flacheninhalt der sichtbaren Spiegelflache, wenn der Rahmen 5 cm breit ist? 8. Jemand kauft einen Bauplatz von der Form eines Rechteckes, 34 m 4 dm lang und 19 m 2 dm breit, und bezahlt das m 2 zu 10| K; wie viel kostet der Bauplatz ? 9. Wie viel Ar hat ein rechteckiger. Garten von 38 m Lange und 32 m Breite? 10. Ein Acker ist 116 m lang und 18 m 5 dm breit; wie viel Weizen wird zur Aussaat erfordert, wenn man auf ein Ar 2J Liter Weizen aussaet? 11. Ein Cassatisch, der 1*3 m lang und 0*8 m breit ist, soil eine Steinplatte erhalten, die 1 dm Holzrand stehen lasst; wie viel kostet die Platte, wenn das m 2 mit 17J K bezahlt wird? 12. Ein Hof von 18 m Lange und 12 m Breite soil mit Steinplatten belegt werden, welche 3 dm lang und ebenso breit sind; a) wie viel Platten sind erforderlich ? b) wie hoch kommt die Pflasterung, das m 2 zu 16f K gerechnet? 13. Ein Dacli von 7*4 m Lange und 5*8 m Breite soli mit Zinkplatten belegt werden; a) wie viel Platten von 1*5 m Lange und 8 dm Breite sind dazu erforderlich, wenn an jeder Seite der Platte 3 cm durch die Falze verloren gehen? b) wie viel kosten dieselben, wenn jede Platte 6 Kilogramm wiegt und 1 Kilogramm Zinkplatte mit 1 K 10 h bezahlt wird? §.143. Das schiefwinklige Parallelogramm. 1. Die Mafizahl f 11 r den Flacheninhalt eines jeden Parallelogram ms ist gleich dem Producte aus den Mallzahlen der Grundlinie und der Hohe. Folgt aus §. 120 und §. 141. Sind P und p die Flacheninhalte zweier Parallelogramme mit den Grundlinien G und g und der Hohe Ii und h, so ist P = G.H, p = gh, mi thin P : p = GH: gh] d. h. Die Flacheninhalte zweier Parallelogramme ver- halten sicli wie die Producte aus ihren Grundlinien und Hoh en. 80 Wie verhalten sicli die Flacheninhalte zweier Parallelogramme a) von gleicher Grundlinie, b) von gleicher Hohe ? §• 144. Anfgaben. 1. In einem Rhomboid ist die Grundlinie 108 dm, die Hohe 64 dm\ wie groB ist der Flacheninhalt? 2. Von einer Wiese, welche die Form eines Rhomboids hat, worm die Grund¬ linie 66*4 m und die Hohe 45*2 m betragt, wird ein Stuck von 14 m Hohe parallel mit der Grundlinie abgeschnitten und zu Ackerland gemacht; a) wie groB war die Wiese? b) wie groB ist das iibrig bleibende Stuck derselben? 3. Die Flache eines Parallelogramms ist 19*43725... m 2 , die Grundlinie 6*238... m\ die Hohe zu berechnen. §.145. Das Dreieck. DieMafizahl fitr den Flacheninhalt eines Dreieckes ist gleich dem halben Prod note a us den Mafizahlen der Grundlinie und der Hohe. Folgt aus §. 121 und §. 143. Bezeichnen g und h die Mafizahlen der Grundlinie und der Hohe eines Dreieckes und / seinen Flacheninhalt, so hat man oder 9 = / : \ und h = / : y- In einem rechtwinkligen Dreiecke wird gewoknlich eine Kathete als Grundlinie angenommen; die andere Kathete stellt dann die Hohe yor. Die Mafizahl fitr den Flacheninhalt eines recht- winkligen Dreieckes ist da her gleich dem halben Pro- ducte aus den Mafizahlen der beiden Katheten. Wie verhalten sich die Flachen zweier Dreiecke a) von verschiedener Grund¬ linie und Hohe, b) von gleicher Grundlinie, c) von gleicher Hohe? §. 146. A u fg a b e n. 1. Berechne den Flacheninhalt eines Dreieckes, wenn gegeben sind: Grundlinie a) 3*5 m, b) 1 m 4 dm 2 cm, c) 794 cm, Hohe 3*2 m, 5 dm 9 cm, 563 cm. 2. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete 29 m 3 dm, die andere 18 m 4 dm ; wie gro6 ist der Flacheninhalt? 3. Wie groB ist die Grundlinie eines Dreieckes, wenn die Hohe 5*6 m, und der Flacheninhalt 40*32 m 2 betragt? 4. Ein Dreieck hat 20 m 2 67 dm 2 Flacheninhalt, und 5 m 3 dm zur Grundlinie; wie groB ist die Hohe? 5. In einem rechtwinkligen Dreiecke, welches 21 m 2 ' 5 dm 2 enthait, ist eine Kathete 7 4 dm\ wie groB ist die zweite Kathete? 6. Ein Dreieck hat mit einem Parallelogramme gleichen Flacheninhalt und gleiche Grundlinie; wie groB ist die Hohe des Dreieckes? 7. Die Flache eines Dreieckes ist 12*4786... m 2 , die Grundlinie ist 8*3452. .. m\ die Hohe zu berechnen. / 9 ■ 9 % und h h 2 / s' 81 §. 147. DasTrapez. Die Mafizahl filr den Flacheninhalt eines Trapezes ist gleich dem halbenProducte aus der Mali z a hi der Summe der Parallelseiten und der Mafizahl der Ho he. Folgt aus §. 122 und §. 145. Sind a und b die Mafizahlen der zwei Parallelseiten, h die Mafi¬ zahl der Hohe eines Trapezes und f der Flacheninhalt, so hat man Daraus folgt (;?, c/ = 15*4 ro,/c? = 16*8 ro, dFJ = 34*8 m. Fig. 130. Fig. 131. 2. Ausuiessung* des Kreises. §. 153. Umfang eines Kreises. Das einem Kreise eingeschriebene regelmafiige Sechseck bat einen kleineren, das umgeschriebene regel- mafiige Secbseck einen grofieren Umfang als der Kreis. Bestimmt man daher die Umfange dieser Secbsecke, so erhalt man zwei Werte, zwischen denen die Peripherie des Kreises liegt. Noch enger wird die Peripherie durcb die Umfange der dem Kreise ein- und umgeschriebenen 12-, 24-, 48ecke, u. s. w., eingeschlossen. So findet man bei fortgesetzter Ver- dopplung der Seitenanzahl: Umfang des eingeschr. regelm. 3072eckes = 3*141592.... X d, „ „ umgescbr. ., „ = 3*141594-X d, wenn d die Lange des Durchmessers bedeutet. Welche Grenzen fur die Peripherie liefern das einem Kreise eingeschriebene regelmaOige Sechseck und das umgeschriebene Quadrat? Da nun die Peripherie des Kreises immer zwischen den Umfangen der ein- und der umgeschriebenen Vielecke liegt, so miissen die Decimal- stellen, in welchen die Umfange des ein- und des umgeschriebenen 3072eckes tibereinstimmen, nothwendig auch fur die Peripherie des Kreises gelten. Man hat daher auf 5 Decimalstellen genau Peripherie des Kreises = 3* 14159.. X d. Die Zahl 3 * 14159..., mit welcher man den Durchmesser eines Kreises multiplicieren muss, urn die Peripherie zu erlialten, heiflt die Ludol- phische Zahl, da sie von Ludolph van Ceulen auf eine grofiere Zahl von Decimalstellen berechnet wurde, und wird mit dem griechischen Buchstaben jt bezeichnet. Sie ist die Verhaltniszahl zwischen dem Kreis- umfang und dem Durchmesser. Sie lasst sich nicht durch einen endlichen 6 * 84 Decimalbruch genau ausdrticken, kann aber mit jedem Grade der Annaherung bestimmt werden. In Rechnungen, welcbe keine grofle Genauigkeit erfordern, ist der Naherungswert ji = 3*14 oder jt = 3*- ausreichend. Bezeicbnen d , r und p folgeweise die Maflzahlen des Durchmessers, des Halbmessers und der Peripherie eines Kreises, so ist nach dem Y orbergebenden p — djz oder p — 2rjt , dalier d = — und r — oder r = —■ : ut. n 2n 2 1) Die Peripherie eines Kreises ist gleicli dem Durch- messer oder dem doppelten Halbmesser multipliciert mit der Ludolphiscben Zahl. 2) Der Durcbmesser eines Kreises ist gleicb der Peri¬ pherie dividiert durch die Ludolpbiscbe Zahl. 3) Der Halbmesser eines Kreises ist gleich der Peri¬ pherie dividiert durch die doppelte Ludolpbiscbe Zahl, oder gleicb der balben Peripherie dividiert durch die Ludolpbiscbe Zahl. Sind P undp die Peripberien zweier Kreise mit den Radien P und r 7 so ist P = 2 Rjty p = 2 r n, mitbin P : p = 2 R n : 2 rn = R : r ; d. b. Die Peripberien zweier Kreise verhalten sicli wie ihre Radien. §• 154. Aufgaben. 1. Der Halbmesser eines Kreises ist 13 m ; wie gro8 ist die Peripherie? p = 3*1416... X 26 62 62 83 2 1885 0 81*68... p = 81*68... in = 81 in 6 dm 8... cm. 2. Der Durchmesser d eines Kreises ist a) 5*8 m, b) 3*85 m , c) 5 in 8 dm 3 cm, dj 2*8743... m; wie grob ist die Peripherie? (tc = 3*1416...). 3. Wie grofi ist der Umfang p eines Kreises, dessen Halbmesser r a) 2 in, b) 3*8 dm, c) 715 cm, d) 3*4792... m ist? 4. Wie gro8 ist a) der Durchmesser, b) der Halbmesser eines Kreises, dessen Peripherie 20 m betragt? 5. Wie gro3 ist r fur a) p = 2*5 m, b) p = 131*95 dm, c) p = 18 m 3 dm 4*69 cm? 6. Der Minutenzeiger einer Uhr ist 14 cm lang; welche Lange hat der Weg, den seine Spitze in einer Stunde beschreibt? 7. Der Umfang eines Baumes ist 8 dm 6 cm; wie grob ist der Durchmesser? 85 8. Man will einen kreisrunden Tisch fur 8 Personen machen; wie grofl wire! man den Durchmesser dazu nehmen, wenn man auf eine Person 8 dm des Umfanges rechnet? 9. Jeder Grad des Erdaquators ist 15 geographische Meilen lang; wie groG ist a) der Umfang, b) der Halbmesser des Aquators? 10. Ein Erdglobus hat 6 dm im Durchmesser; welche Lange hat daran der Aquator? 11. Ein Wagenrad, dessen Durchmesser 1*1 m betragt, hat auf einer zuriick- gelegten Strecke 240 Umlaufe gemacht; wie lang war die Strecke? 12. An einem Wagen hat jedes .Vorderrad 1 ??i, und jedes Hinterrad 1*4 m Durchmesser; wie viele Umlaufe hat jedes Rad gemacht, wenn der Wagen eine Strecke von 1 km zuriickgelegt hat? 13. Welchen Durchmesser hat ein Locomotivrad, das sich auf einem Schienen- wege von 990 m 315mal umdrelit? 14. Der Durchmesser der Winde bei einem Brunnen ist 37 cm; wie tief ist der Brunnen, wenn das Seil, das bis auf den Boden reicht, 12mal um die Winde geht? §. 155. Lange eines Kreisbogens. Da der Umfang* eines Kreises 2 rn ist, so ist die Lange eines Bogengrades hat ein 180 Bogen m Bogengrade, so ist seine Lange (b) im Langenmafi b 180 b Da mitliin mm = 180 b ist, so erhalt man r nnd m Jim _ rJt m ~~ "180 ' 180 b rJi Aufgaben. 1. Bestimme die Bogenlange von a) 56°, b) 120°, c) 270° in einem Kreise vom Halbmesser 1 m. 2. Der Durchmesser eines Kreises ist a) 1 m, b) 2 m, c) 3 m; welche Lange hat in jedem dieser Kreise ein Bogen von 60° ? 3. Ein Bogen von 48° hat 1*26 m Lange; wie grofi ist der Halbmesser dieses Kreises ? 4. Welchen Durchmesser hat ein Kreis, in welchem ein Bogen von 15° a) 3 dm, b) 7*5 dm, c) 25*2 dm, d) 4*5 cm, e) 8*6274... m lang ist? 5. Wie viel Grade hat ein Bogen von 7*853 dm Lange, wenn der Kreisdurch- messer 2 m lang ist? Flacheninhalt eines Kreises und seiner Theile. §. 156. Die Madzakl fill* den Flacheninhalt eines Kreises ist gleicli dem halben Producte a us den Mafi- zahlen der Peripherie und des Halbmessers. Folgt aus § 123 und § 145. Bezeicknet f den Flacheninhalt und p die Peripherie eines Kreises, dessen Halbmesser r ist, so hat man 2ra ist ; p . r "IT* so ist aucli 2 rn . r oder, r 2 jt. Da aber p 2 86 Man kann daher aucli sagen: Die Mafizahl ftir den Flacheninhalt eines Kreises ist gl.eich der zweiten Potenz der Mafizahl des Halbmessers multipliciert mit der Ludolphischen Zahl. Sind F und / die Flachen zweier Kreise mit den Radien R und r, so ist F=R 2 7t,f=r 2 7 r, mitliin F : f = R 2 n : r 2 n = R 2 : r 2 ; d. h. Die Flachen zweier Kreise verhalten sich wie die Quadrate ihren Radien. Wie andert sich a) die Peripherie, b) die Flache eines Kreises, wenn der Radius verdoppelt wird? §. 157. Den Flacheninhalt eines Kreisringes findet man, indem man die Flacheninhalte der beiden concentrischen Kreise, deren Unterschied der Ring ist, berechnet und voneinander subtrahiert. Sind R und r die Mallzahlen der Halbmesser zweier concentrischer Kreise und / der Flacheninhalt des von ilmen gebildeten Kreisringes, so hat man y = 7^2^ — r 2 jr _ ^2 — r 2 )jc , oder f = (R -f- r) (R — r)jt. §. 158. Die Maflzahlfur den Flacheninhalt eines Kreis- ausschnittes ist gleich dem halben Producte aus den Mabzahlen der Lange des Bogens und des Halbmessers. Folgt aus §. 123 und §. 145. Bezeichnet / den Flacheninhalt eines Kreisausschnittes mit dem Halbmesser r und der Bogenlange 6, so hat man f = 6 = — und r = j 2 1 r oder b=f: y und r=f: Der Flacheninhalt eines Kreisausschnittes kann auch aus dem Radius und dem Centriwinkel m berechnet werden; da b = so ist j. b . r r 2 mm ' ~2~~~ 360 * Zusatz. Um den Flacheninhalt eines Kreisabschnittes zu finden, berechnet man den Flacheninhalt des zugehorigen Kreis¬ ausschnittes und subtrahiert davon den Inhalt des Dreieckes, um welches der Ausschnitt grober als der Abschnitt ist. §. 159. Aufgaben. 1. Der Flacheninhalt eines Kreises zn suchen, wenn der Radius 8 dm ist. 3 * 1416 ... X 64 46 188 49 6 12 56 6 201 - 06 ... f — 201 * 06 ... dm 2 = 2 m 2 1 dm 2 6 ... cm 2 . 87 2. In einem Kreise ist der Halbmesser a) 2*65 m, b) 1 m 7 dm 8 cm, cj 35J dm, d) 3*4756... m; wie groB ist der Flacheninhalt? 3. Wie gro6 ist der Flacheninhalt eines Kreises, dessen Durchmesser a) 15 m, b) 5*135 m, c) 8 dm 3 cm 4 mm, d) 8*473... dm betragt? 4. Wie grod ist der Flacheninhalt eines Kreises, dessen Peripherie 24*41 cm betragt ? 5. Eine Scheibe hat 1 m 48 cm im Umfange; wie groB ist ihr Flacheninhalt? 6. Der Umfang eines Baumes ist 2f m; wie gro6 ist der Flacheninhalt eines Querschnittes ? 7. Wie viel Menschen haben in einem kreisrunden Saale Platz, dessen Durch¬ messer 14 m ist, wenn ein Mensch 17 J dm 2 Raum einnimmt? 8. Wie grod ist der Flacheninhalt eines Kreisringes, wenn die zwei concen- trischen Kreise 5 m 6 dm und 4 m 4 dm zu Durchmessern haben? 9. Bestimme den Flacheninhalt eines Kreisringes, wenn die ihn einschlieBenden Kreisumfange 315*8 mm und 410*5 mm betragen. 10. Auf einer SchieBscheibe betragt der Durchmesser des inneren schwarzen Kreises 0*15 m und die Breite des weiBen Ringes 0*3 m\ wie groB ist der weiBe Ring? 11. Um einen kreisrunden Thurm von 32 m Umfang wird ein 3 m breiter Graben gezogen; welchen Flacbenraum nimmt dieser ein? 12. Wie groB ist der Flacheninhalt eines Kreisausschnittes, wenn a) der Halbmesser 5*8 m, der Bogen 8*2 m, b) „ „ 0*17 dm, „ „ „0’25 dm ist? 13. Ein Kreisausschnitt von 23 cm Bogenlange hat 161 cm 2 Flacheninhalt; wie groB ist der Halbmesser? 14. Der Halbmesser eines Kreises ist 4 m, ein Centriwinkel betragt 36°. Den Flacheninhalt des zugehorigen Kreisausschnittes zu berechnen. 15. Ein Kreisausschnitt mit dem Centriwinkel 57° 17' 43" hat 12 cm Halbmesser; wie groB ist sein Flacheninhalt? 16. Ein Kreisausschnitt, dessen Halbmesser 6 cm ist, hat 41*357 cm 2 Flachen¬ inhalt; wie groB ist der zugehorige Centriwinkel? 17. Einem Kreise, dessen Radius 2*7 m betragt, ist ein Quadrat eingeschrieben; wie groB ist das durch eine Seite desselben abgeschnittene Segment? XI. Ahnlichkeit der ebenen Figuren. 1. Greometrische YerMltnisse und Proportioned §. 160. Verhaltnis zweier Strecken. Unter dem Verhaltnis zweier Strecken yersteht man das Verhaltnis ihrer Mafizalilen, wenn beide durch dieselbe Langeneinheit gemessen werden. Ist z. B. a = 5 dm, b = 2 dm, so verhalten sich diese beiden Strecken wie 5:2.. Als Mafieinheit kann jede beliebige Strecke genommen werden. In Fig. 132 ist AB : CD = 3:2 und EF :GH = 3 : 2. 88 Die Verhaltnisse AB:CD und EF:GH sind dalier einander gleich, and geben die Proportion AB: CD = EF: G H. Man sagt die Strecken AB und CD sind den Strecken EF and GH proportional; GH keifit die vierte Proportionale zu AB : CD and EF. Fig. 132. A -1-1- B E 1 - 1 -+-1 F C' - 1 - D Q' -f- El Eine Proportion, in welcher die inneren Glieder gleich sind, z. B. a : b = b : c, keifit eine s t e t i g e Proportion, b keifit die m i 111 e r e geometriscke Proportionale zwischen a und c und c die dritte stetige Proportionale zu a und b . Dass b die mittlere stetige Proportionale zu a und c ist, kann auch dureli die Gleickung b 2 = ac ausgedrtickt werden. Bilden die Strecken a, b, c, d die Proportion a : b = c : d, so ist ad = 6c; d. h. das Rechteck aus den auBeren Gliedern der Proportion ist dem Rechteck aus den inneren Gliedern flachengleich. Ist eine Strecke b die mittlere geometrische Proportionale zwischen den Strecken a und c, so ist b 2 = ac, d. h. das Quadrat aus der Strecke b ist dem Rechteck aus den beiden anderen Strecken flachengleich. §. 161 . Es seien auf dem Schenkel AF des Winkels A die gleichen Tlieile AB, BC, CD , DE aufgetragen und gegen den anderen Schenkel die Parallelen a , b, c, d, e durch die Theilungspunkte gezogen. Yerscliiebt man die Figur langs AF bis A nach B gelangt, so fallt jeder der Punkte B, C, D... auf den folgenden, jede der Parallelen a, b 7 c auf die folgende, die Geraden m, n, o, p kommen in (be neuen Lagen m } n 7 o, p auf der Parallelen B G. Aus den ent- standenen Parallelogrammen ergibt sich m = n, n — o, o = p } oder m = n = o — p. Es gilt der Satz: Tragt man auf einemSch-enkel eines Winkels g 1 eiche T h e i 1 e auf und z i e h t durchdieTheilungspunktePar allele gegen den anderen Schenkel, so werden auf diesem ebenso viele gleiche Theile abgeschnitten. §. 162 .. Eine gegebene Strecke AB (Fig. 134) in mehrere, z. B. in ftinf gleiche Theile zu thei 1 en. Fig. 133. 89 a) Man zieht (lurch den einen Endpnnkt A unter einem beliebigen Winkel einen Strahl AX, tragt darauf fllnf gleiclie Strecken yon beliebiger Grobe bis C auf, verbindet C mit deni zweiten Endpunkte B und zieht (lurch die librigen Theilungspunkte von AC Parallele mit BC gegen AB. Fig. 135. Fig. 134. X b) Um das Ziehen der vielen Parallelen zu vermeiden, lege man an AB (Fig. 135) durcli A die beliebige Gerade AC, und (lurch B die Gerade BD |j AC, trage sowohl auf AC, als auf BD 4 gleiclie Theile auf, und zielie durcli die Theilungspunkte die Strecken EM, FL, G K, H J ; diese theilen A B in fiinf gleiche Theile. Der Parallelisums der Geraden HJ, GK, FL etc. folgt aus §. 91. §. 1(53. Lelirsatz. Zieht man in einem Dreieckemit einer Seite eine Parallele, so werden 1. die beiden anderen Seiten proportional getheilt, 2. die Seiten des abgeschnitt enen Dreieckes sind den gleichliegenden Seiten des Dreieckes proportional. Beweis. Es sei in deni Dreiecke ABC (Fig. 136) DE \\AB und Ca ein Mali, das in AD 2mal, in DC 3mal entkalten sei. Zieht man durcli die Theilungspunkte von AC Parallele zu AB und CB, so werden (lurch diese auch CB und AB in je 5 gleiche Theile getheilt, und zwar ist jecler Tlieil von CB gleicli Cb und jeder Theil von AB gleicli ah ; DE aber wird in 3 gleiche Theile getheilt, deren jeder gleich ab ist, da Parallele zwischen Parallelen gleich sind. Man hat also: 1. AD: DC = 2:3 und BE: EC = 2:3; daher AD : DC = BE: EC. 2. AC: DC =5:3 und BC: EC =5:3, AB: DE = 5:3; demuach : AB: DE= AC:DC= BC: EC. Fig. 136. c \ 90 Umgekehrt: Wird ein Dreieck durch eine Transversale so ge- schnitten, dass eine der obigen Proportionen stattfindet, so ist die Trans¬ versale mit der nicht geschnittenen Dreieckseite parallel. §. 164 . a) Eine gegebene Strecke AC (Fig. 137) nacb einem gegebenen Verhaltnisse, z. B. 3 : 2, zu theilen. Man lege durch A den willktirlichen Strabl AE, trage auf demselben von A bis D 3, von D bis E 2 gleiche Strecken auf und ziehe EC. Macht man dann DB ^ EC, so ist AC im Punkte B nacb deni Verbaltnisse 3 : 2 getlieilt. b) Mehrere Strecken nach einem gegebenen Verhaltnisse zu verkleinern oder zu vergrollern. Um die gegebenen Strecken OA, OB , OC (Fig. 138) z. B. in dem Verhaltnis 4 : 3 zu verkleinern, ziehe man eine Gerade PQ , trage von P bis S 4 gleicbe Tbeile auf; in den Punkten R und S errichte man die Senkrecliten RT und 5F, trage auf $F die gegebenen Strecken von S bis A\ B‘ , C l auf, und ziehe durch den Punkt P und die Punkte A ‘, B ', C‘ gerade Linien, welche RT in A", B“, C“ treffen; die Geraden RA“, RB“ y RC U sind dann die gesuchten verhaltnismafiig verkleinerten Strecken. Waren die gegebenen Strecken in dem Verhaltnisse 3:4 zu ver- grofiern, so wiirde man sie auf RT auftragen; auf S V erhielte man dann die verhaltnismafiig vergrofierten Strecken. Dieselbe Construction ist natiirlich auch anwendbar, wenn nur eine Strecke OA nach einem gegebenen Verhaltnis zu vergrofiern oder zu verkleinern ist. §. 165 . Zu drei gegebenen Strecken a, b, c (Fig. 137) die vierte Proportion ale zu finden. Auflosung. Construiere einen beliebigen Winkel A, schneide auf dessen Schenkeln AB — a, AC = b, AD = c ab, und ziehe CE || BD. Dann ist AB : AC = AD : AE , oder: a : b = c : AE. 1st c = b, so ist AE die dritte stetige Proportionate zu a und b. Fig. 138. P R Fig. 137. a A c c 91 §. 166. Eine gegebene St re eke jin mehrere gleiclie Theile zu theilen. Man errichte auf der zu theilenden Strecke AB (Fig. 139) in den Endpunkten die Senkrecliten AC und BD , trage auf jede z. B. 10 gleich grofie Theile bis C und D auf und ziehe durch je zwei zusammengelibrige Theilungspunkte eine Gerade. Zieht man nun die Transversale AD, so ist ab der 10 te Theil you AB, cd ist T 2 n , ef T 3 0 , u. s. w. von der Strecke AB. Fig. 139. c 7 7 Z A r D b f B §. 167. Es ist die Lange der Strecke ab (Fig. 140) anzugeben wenn AE = 1 m ist. Ein Mafistab, auf welcliem die iiblichen Langeneinheiten niebt in ihrer wirk- licben Grofie sondern verkleinert aufgetragen sind, heifit ein verjungter Mafistab. Fig. 140 stellt einen verjiingten Transversalmafistab dar. Es ist ein tausendtheiliger, wenn A E auf der Strecke A X zebnmal aufgetragen wird. Fig. 140. C SO 60 UO 20 0 100 200 _ 300 §. 168. Ubungsaufgaben. 1. Construiere einen verjiingten tausendtlieiligen Mafistab, auf welcliem 2 cm der natiirlicben Grofie 1 dm vorstellen. 2. Trage mit Hilfe dieses Mafistabes auf einer Geraden eine Strecke von 3 dm, 2 dm 8 cm, 1 dm 7 cm 5 mm, 239 mm, 30 4 mm auf. 3. Zeichne mit den Seiten 21 cm, 18 cm und 16 cm ein Dreieck. 4. Zeicbne mit der Seite 145 mm ein Quadrat. 5. Ziebe drei Strecken und bestimme nach dem obigen Mafistabe, wie viel Milli¬ meter jede enthalt. 6. Zeicbne ein 4-, 5-, 6 seitiges Vieleck und bestimme dessen Umfang. 7. Zwei Strecken verbalten sich wie 3 : 4, die erste ist 126 mm lang; zeichne die beiden Strecken. 8. Gegeben sind vier ungleiche Strecken; man soil sie a) in dem Verhaltnisse 3 : 5 vergrofiern; b) in dem Verhaltnisse 5 : 3 verkleinern. 92 9. Auf einem Katastralplane betragt eine Strecke 5* *7 cm; wie grofi ist die natiirliche Lange derselben, a) wenn 1 cm der Zeichnung zu 30 m ange- nommen wird, b) wenn sich die Mafie des Planes zu den natiir lichen Langen- maflen wie 1 : 2500 verhalten? 10. Welche Lange wird eine Strecke, welche in der Wirklichkeit 648 m raisst, in der Zeichnung erhalten, wenn die Langenmafle im Yerhaltnisse 1 : 7500 der natiirlichen Grofie gezeichnet werden sollen? 11. Zu einer Seite eines gegebenen Dreieckes eine Parallele zu zielien, welche J jener Seite ist. 2. Ahnlichkeit der Dreiecke. §. 169. Zwei Raumgrofien heifien ahnlich, wenn sie dieselbe Gestalt besitzen. Um die Bedingungen zu erkennen, welche die Bestandstticke ahnlicher Dreiecke erfiillen miissen, werde die Seite AB des /\ ABC parallel zu sich selbst verschoben; dadurch andert sich nur die Grofle des Dreieckes ABC\ nicht aber die Gestalt; in jeder Lage yon AB ist also A aCb ahnlich (cvj) mit ACB.*) Nun sind die Winkel beider Dreiecke gleich und die den gleichen Winkeln gegenuberliegenden Seiten nach §. 163 proportional. Es ergibt sich also der Satz: Die Winkel ahnlicher Dreiecke sind paarweise einander gleich und die den gleichen Winkeln gegenuber¬ liegenden Seiten (d. i. die homologen Seiten) sind pro¬ portional. Die Seiten sind proportional heiflt: Ist z. B. AB — ab. 2, so muss auch B C = b C .2 und AC = a C.2 sein. Umgekelirt: Sind die Winkel zweier Dreiecke paar¬ weise gleich und die Seiten derselben proportional, so sind die Dreiecke ahnlich. Infolge des Zusammenhanges der Bestandstilcke eines Dreieckes ist es aber fur die Ahnlichkeit zweier Dreiecke nicht nothwendig, dass a lie diese Bedingungen als vorhanden erkannt werden, sondern es reicht eine geringere Zahl derselben bin, aus welchen die andern sich von selbst ergeben, ahnlich wie bei der Congruenz der Dreiecke. Darnach • * _ _ unterscheidet man auch hier die Ahnliclikeitssatze der Dreiecke. Es gibt vier, yon welchen der erste der wichtigste ist. • • *) Das Zeichen der Ahnlichkeit ist co, ein liegendes s von similis, ahnlich. Da congruente Raumgr56en gleich und ahnlich sind, so vereinigt das Zeichen der • • Congruenz (3£) die Zeichen der Gleichheit und Ahnlichkeit. 93 §. 170. Zwei D-reiecke sind ahnlich wenn in denselben a 11 e drei Winke 1 paarweise g 1 eicli sind. Voraussetzung. Es sei in den Dreiecken ABC und DEF ( Fig. 142) der Winkel A — D , B = E und daher C — F. Beliauptung. A ABC c\J DEV . Be we is. Man sckneide von der Fig. 142. Seite AC ein Stuck CG ab, welches der Seite D jF gleich ist, und ziehe G H || AB; dann ist A ABC CO GHC (§. 169). Das letztere Dreieck GHC ist nun mit DEF congruent, denn es ist CG = DF, der Winkel G = D, weil beide dem Winkel A gleicli sind, und der Winkel C = F. Wenn aber das Dreieck AB C mit GHC ahnlich, und GHC mit DEF congruent ist, so muss aucli /\ ABC CO DEF sein. Da in zwei Dreiecken, welclie zwei Winkel paarweise gleich haben, aucli die dritten Winkel gleich sein mtissen, so kann man schon aus der Gleichheit zweier Winkel in zwei Dreiecken auf die Ihnlichkeit derselben schliefien. §. 171. a) t)ber einer Strecke DE (Fig. 142) ein Dreieck zu constrnieren, welches mit einem gegebenen Dreiecke ABC ahnlich ist, wenn DE die homologe Seite zu AB ist. Man trage in D den Winkel EDF = BAC und in E den Winkel DEF = ABC auf; ihre Schenkel schneiden sich im Punkte F und es ist A DEF co ABC. b) Zu einem Dreiecke ein ahnlich es zu construieren, so dass die Seiten des gegebenen Dreieckes im Verhaltnis 4 : 3 vergroBert erscheinen. c) Zu einem gegebenen Dreieck ein ahnliches zu construieren, so dass die Seiten im Verhaltnis 3 : 5 verkleinert werden. d) In einem Dreieck sind die Seiten 38 cm, 32 cm, 28 cm; wie grofi sind die Seiten eines ahnlichen Dreieckes, wenn das Verhaltnis der gleichliegenden Seiten a) 4 : 3, b) 2:5 ist? 3. Anwendungen der Alnilichkeit der Dreiecke. §. 172. Fallt man in einem rechtwinkligen Dreiecke die Ho he auf die Hypotenuse, so ist 1. jede Kathete die mittlere Pro port ion ale zwisclien der ganzen Hypotenuse und dem ihr anliegenden Abschnitte derselben; 2. die Hohe die mittlere Proportionate zwischen den beiden Abschnitten der Hypotenuse 94 Jedes der Dreiecke ABC ' ABB und ACD enthalt dieselben Winkel m, n , i?, folglich sind sie paarweise ahnlich. A ABC cv> ABB. Daher ist a : c = c : A ABC c\J ACB. „ „ a:b — b:p. A ABB CV> ACB. „ „ q : h = h : p. §• 173. Wenn man die Endpunkte eines Durchmessers mit einem Punkte der Peripherie durch Sehnen verbindet, so entsteht ein recht- winkliges Dreieck. Aus §. 172 ergibt sich daher: Ziehtman yon einem Punkte einer Kreislinie Sehnen zu den Endpunkten eines Durchmessers und die Senk- rechte auf diesen, so ist 1. jede Sehne die mittlere Pro¬ port ion ale zwischen dem ganzen Durchmesser und dem jener Sehne anliegenden Abschnitte desselben; 2. die Senkrechte die mittlere Proportionale zwischen den bei- den Abschnitten des Durchmessers. §. 174. Schneiden sich zwei Sehnen eines Kreises innerhalb desselben, so bilden die Abschnitte der einen Sehne die aulieren, die Abschnitte der an dem die inneren Glieder einer Proportion. Zieht man (Fig. 144) die StreckeniW?' und R'S, so ist A MRS'cyjMR'S, da R = R' (§. 80, 1) und die Winkel bei M ebenfalls gleich sind; daher MR : MS' = MR ' : MS. Fig. 144. 145. * §. 175. Zieht man yon einem Punkte aufierhalb eines Kreises zu diesem zwei Secanten, so bilden die eine Secante und ihraufiererAbschnittdieaufleren, dieandere Secante und ihr auBerer Abschnitt die inneren Glieder einer Proportion. Zieht man (Fig. 145) die Strecken RS' und R'S ., so ist Winkel R — R\ <£ M — M, daher A MRS 1 cvj MR'S, und folglich MR : MS' = MR' : MS. 95 Fig. 146. M §. 176. Dreht man die Secante ME' (Fig. 145) um den Punkt M so weit, dass aus derselben die Tangente MT (Fig*. 146) wird, so ist MS J = MR‘= MT und MR:MT = MT: MS. Zieht man von einem Punkte aufier- ha 1 b eines Kreises zu diesem eine Secante und eine Tangente, so ist die Tangente die mittlere Proportionale zwisclien der ganzen Secante und ihrem aufieren A b- s c h n i 11 e. § 177. mittlere geometrischeProportionale zu construieren. Man mache (Fig. 147) AD = a, DB = b, beschreibe liber AB einen Halbkreis und errichte DC _]_ AB , so ist DC die mittlere Proportionale zwisclien AD und DB (§. 173, 2). Fig. 147. C 4. Alinliclikeit der Vielecke. §. 178. a) Zwei Vielecke sind ahnlich, wenn sie aus gleich yielen paarweise ahnlichen Dreiecken in tibereinstimmender Weise zu- sammengesetzt sind. Ist (Fig. 148) ABC co FGH : ACD co FHJ , ADE co FJK , so ist ABCDE co FGHJK. Mithin sind in ahnlichen Viel- ecken die Winkel paarweise gleich und je zwei einander entsprechende Seiten (Diagonalen) liaben dasselbe Verhaltnis. Eegelmafiige Vielecke von gleicher Seitenzahl sind ahnlich. b) Umgekehrt gilt auch der Satz: Ahnliche Polygone werden durch gleichliegende Diagonalen in ahnliche Dreiecke zerlegt. Fig. 148. 1 ) §• 179* Aufgaben. • • 1. Uber einer Strecke m ein Polygon zu construieren, das einem gegebenen Polygon ahnlich ist. a) Es sei (Fig. 149) ABCDE das gegebene Polygon und m die zu A B homologe Seite. Man ziehe die Diagonalen von A aus, mache AB 4 = m und construiere B 4 C 4 || BC, C 4 D 4 || CD, D 4 E 4 \\DE- dann ist AB 4 C 4 D 4 E 4 <*> ABCD E (§. 178 a). Fig. 149. D 96 b) Zu ABODE (Fig. 149) ein ahnliches Polygon zu zeichnen, wenn das Ver- haltnis der Seiten 5 : 3 ist. Man bestimme in der Seite A B den Punkt B' so, dass A B : A B‘ = 5 : 3 ist und verfahre wie unter a). Diese Aufgabe kann noch in anderer Weise gelost werden. Man verbinde die Eckpunkte des gegebenen Polygones mit dem be- liebig gewahlten Punkte S (Fig. 150a), theile AS in a nach dem gegebenen Verhaltnis (z. B. : Sa = 2 : 1 ) und ziehe ab || AB, be || BC, cd || CD etc. I)ann ist abede cv ABODE. Oder man verbinde S (Fig. 150 b) mit den Eckpunkten des gegebenen Polygones, verlangere AS und mache Sa = J SA und verfahre jetzt wie friiher. Dann ist abode cv> ABODE • Fig. 150 a. Fig. 150 b. In beiden Fallen heifit der Punkt S der Ahnlichkeitspunkt der beiden Polygone. In Fig. 150a ist er ein auderer in Fig. 150b ein innerer. Im ersten Falle sind die Seiten der ahnlichen Polygone parallel und gleich gerichtet, im zweiten parallel und entgegengesetzt gerichtet. Die darge- stellte Lage der Polygone hei8t die perspectivische. Ahnliche Polygone lassen sich immer in die perspectivische Lage bringen. Bei zwei ahnlichen und perspectivisch liegenden regularen Vielecken liegt der innere Ahnlichkeitspunkt auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden Vielecke, der aufiere auf der Verlangerung dieser Strecke. Zwei Kreise sind immer ahnlich und perspectivisch liegend; sie haben sowohl einen aufleren als auch einen °* ' inneren Ahnlichkeitspunkt. Der erste liegt auf der Verlangerung der Cen- trale, der zweite in der Centrale selbst. Auflerdem liegen sie in der Verbindungslinie der Endpunkte zweier paralleler Radien, welche fur den aufleren Ahnlichkeitspunkt gleich gerichtet, fiir den inneren ent¬ gegengesetzt gerichtet sind.(Fig. 151.) 2. Zeichne zwei ahnliche Vierecke, deren Seiten sich wie 2 : 5 verhalten. 3. Zeichne ein beliebiges Fiinfeck und construiere nach dem Seitenverhaltnisse a) 4 : 3, b) 3 : 5 ein ihm ahnliches Fiinfeck so, dass beide einen Winkel ge- meinschaftlich haben. 4. Zu einem gegebenen Vierecke ein ihm ahnliches perspectivisch liegendes Vier- eck zu construieren, wenn ein Eckpunkt desselben und der Ahnlichkeitspunkt gegeben sind. 97 5. Umfangs- und FlachenverMltnisse Shnlicher Figuren. §. 180. Wenn jede Seite eines Yieleckes 2mal, 3mal, 4mal so grok ist, als die gleickliegende Seite eines ahnlicken Yieleckes, so wird aucli die Sunime aller Seiten, d. i. der Umfang des ersten Vieleckes, 2mal, 3 mal, 4mal so grofi sein als der Umfang des zweiten Vieleckes. Die Umfange ahnlicher Vielecke verhalten sick also wie je zwei gleichli egende Seiten. §. 181. DieFlacheninhalte zweier ahnlicher Dreie cke verhalten sick wie die Quadrate ikrer gleickliegenden Seiten. Beweis. Es seien (Fig. 152) ABC und abC zwei ahnliche Dreiecke, deren gleickliegende Seiten sick wie 5 : 3 verhalten. Theilt man A C in 5 gleicke Theile, von denen auf aC 3 kommen, und zieht durck die Theilungspunkte von A C Parallele mit AB und BC , durck die auf B C Parallele mit A C , so zerfallen die gegekenen Drei¬ ecke in lauter congruente Dreiecke, und zwar ist /\ ABC = 2h mnC , /\± abC = 9 mnC\ daher ABC : abC = 25 : 9. Dasselbe Verkaltnis 25 : 9 liaben aber aucli die Quadrate zweier gleichliegender Seiten. §. 182. Die Flackeninkalte zweier ahnlicherVielecke verhalten sick wie die Quadrate ikrer gleichliegenden Seiten. Denn zerlegt man zwei ahnliche Vielecke, deren Seiten sich z. B. wie 5 : 3 verhalten, durch gleickliegende Diagonalen in Dreiecke, so verhalten sich nach §. 181 je zwei gleickliegende Dreiecke der beiden Vielecke wie 25 : 9; es miissen sich demnach aucli die Summen aller dieser Dreiecke d. i. die beiden Vielecke selbst wie 25 : 9 verhalten. Wird daher eine in der Wirklichkeit aufgenommene Figur im ver- ittngten Make auf dem Papier dargestellt, so dass jede Strecke auf dem Papier nur 1 ... von der wirklick gemessenen Lange betragt, so ist der Flacheninhalt der Figur auf dem Papier 1 . .. von dem Flacheninhalte der Figur in der wahren Groke. §. 183. Ubungsaufgaben. 1. Em Sechseck ist gegeben; zeiclme ein ilirn ahnliches Sechseck, clessen Um¬ fang die Halfte von dem XJmfange des gegebenen ist. 2. Das Verhaltnis der Seiten zweier Dreiecke ist 5 : 4, der Umfang des ersten ist 55 cm ; wie grob ist der Umfang des zweiten? Mocnik-Spielmann, Geom. Formenl. u. Anfangsgr. d. Geom. f. Realsch. 7 Fig. 152. c A 98 3. In zwei ahnlichen Dreiecken betragen zwei gleichliegende Seiten 0*24 m und 0*4 ra, der Umfang des ersten ist 0*63 m ; wie grob ist der Umfang des zweiten ? 4. Der Umfang eines Dreieckes betragt 4*37 m\ die Seiten eines ihm ahnlichen Dreieckes sind 4*55 7n, 4*445 m und 6*3 m ; wie grob sind die Seiten des ersten Dreieckes? 5. Die Seiten zweier Quadrate sind 2*4 dm und 3*6 dm ; wie verhalten sic-h ihre Flacheninhalte ? 6. Die Seiten zweier ahnlicher Dreiecke verhalten sich wie 4:5; die Flache des ersten Dreieckes ist 8 m ?; wie grob ist die Flache' des zweiten ? 7. Der Flacheninhalt eines Dreieckes, dessen eine Seite 4 cm ist, betragt 12 cm 2 -. wie grob ist der Flacheninhalt eines ahnlichen Dreieckes, in welchem die ent- sprechende Seite 15 cm betragt? 8. Ein gegebenes Dreieck von einem Eckpunkte aus in drei Theile zu theilen, welche sich wie 2:3:4 verhalten. 9. Die Umfange zweier ahnlicher Yielecke sind: 23*52 cm und 17*84 cm\ wie verhalten sich ihre Flacheninhalte? 10. In einem Bauplane, in welchem 4 cm des gewahlten Mabstabes 3 m vorstellen sollen, betragt der Flacheninhalt des Grundrisses 5 dm 2 20 cm 2 : wie grob ist die wirkliche Baufiache? 11. Auf einer Landkarte sind die natiirlichen Langen in dem Yerhaltnisse 1 : 250.000, auf einer zweiten in dem Yerhaltnisse 1 : 50.000 dargestellt: Avelche Flache nimrnt auf der ersten Karte ein Land ein, das auf der zweiten eine Flache von 1*6 dm? hat? XII. Anwendung der Algebra auf die Greometrie. §. 184. Geometrische Bedeutung algebraischer Formeln. 1. a, 6, c, d seien die Mafizahlen von Streeken, (a > 6, c > d)] die geometrische Bedeutung der Ausdriicke a -f- a — b, cib, a 2 , (a -|- b) c, (a -f- b) (c d ), (a -(- b) (c — d ), (a — b) (c —(— cT), ( a — b) (c — d), (a -j- b ) 2 , (a — b) 2 anzugeben. 2. Die Richtigkeit nachstehender Gleickungen in geometrischer Hinsicht zu prufen und die sich ergebenden Satze auszuspreclien: a) ac-{-bc = (a-\-b)c (Fig. 153). b) ac — b c = (a — b) c. c) (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 ab (Fig. 154). d) (a — bf = a 2 + b 2 — 2 ab (Fig. 155). e) (a + 6) (a - b) = a 2 — b 2 (Fig. 156). Die geometrische Darstellung der beiden ersten Gleichungen bringt die Addition und Subtraction zweier Rechtecke mit gleichen Grundlinien oder gleichen Hohen zur Anschauung. Fig. 153. CL 7, 99 Fig. 154. a a b Fig. 155. Fig. 156. a-b b b §. 185. Arithmetischer Ausdruck fur den Pythagoreischen Lehrsatz. 1st a die Mafizahl der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes, (lessen Katlieten die Mafizahlen b und c haben, so sind a 2 , b 2 , c 2 die Mafizahlen der Inhalte der liber den Seiten des Dreieckes errichteten Quadrate. Somit erhalt der Pythagoreische Lehrsatz, dessen Richtigkeit ira geometrischen Sinne in §. 124 bewiesen wurde, die Form: a 2 = b 2 + c 2 . Dies ist der aritkmetische Ausdruck fur den Pythagoreischen Lehrsatz. Aus a 2 = b 2 4“ c 2 folgt: b 2 = a* — c 2 und c 2 = a 2 — b 2 . Anwendungen des Pythagoreischen Lehrsatzes. §. 186. Das rechtwinklige Dreieck. 1. Gegeben sind die Katheten b und c eines rechtwinkligen Dreieckes; man suche die Hypotenuse a. Nach dem Pythagoreischen Satze ist a 2 = b' 2 + ° 2 - Daher ist a = V b 2 + c 2 . Z. B. Wie grofi ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen Katheten 36 cm und 160 cm sind ? b 2 = 36 2 = 1296 c 2 = 160 2 = 25600, daher a = V 26896 = 164. a = 164 cm = 1 m 6 dm 4 cm. 2. Gegeben ist die Hypotenuse a und eine Kathete b ; zu suchen die andere Kathete c. Aus c 2 = a 2 — b 2 erhalt man c = V a 2 — b 2 . 7 * 100 1st z. B. die Hypotenuse 208 cm, eine Kathete 80 cm, so hat man a 2 = 208 2 = 43264 _ b 2 = 80 2 = 6400, daher c = V 36864 = 192. c = 192 cm = 1 m 9 dm 2 cm. 3. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes sind a) 35 m und 12 m, b) 7*2 cZm und 3 # 84 dm; wie grofi ist a) die Hypotenuse, 6) der Flacheninhalt, c) die Holie auf die Hypotenuse? 4. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist a) die Hypotenuse 68 dm , eine Kathete 32 dm ; 6) die Hypotenuse 5*46 m, eine Kathete 2* 72 m ; wie grofi ist die andere Kathete, wie grofl der Flacheninhalt ? §. 187 . Das Quadrat. Es seien a, d und f die Mafizablen der Seite, der Diagonale und des Flacheninhaltes eines Quadrates. 1. Aus der Seite a eines Quadrates die Diagonale d zu berechnen. Nach §> 185 ist d 2 — a 2 -f- a 2 , oder d 2 —2a 2 ; mithin d = \2a 2 oder d = a\/2. 2. Gegeben die Diagonale d\ zu suchen die Seite a und der Flacheninhalt /. Da 2 a 2 — d 2 , so ist a 2 ^/ 2 2 r/ 2 , . d 1/2 — = —, daher a = — -— . 2 4 ’ 2 Aus f = a 2 folgt dann f = —. 3. Gegeben der Flacheninhalt /; gesucht wird a und cZ. Aus a 2 = / ergibt sich a = \ f. Aus d 2 = 2 a 2 folgt ferner d 2 = 2/, somit d = V 2 f 4. Die Diagonale eines Quadrates betragt 1'4 ; wie grofi ist a) die Seite, 6) der Flacheninhalt? 5. Der Flacheninhalt eines Quadrates ist 15* 1321... .dm 2 ; wie grofi ist a) die Seite, 6) die Diagonale? 6. Wie lang ist die Seite eines Quadrates, welches so grofi ist, als zwei Quadrate zusammengenommen, deren Seiten 2* 58 dm und 9 * 34 cm sind ? §. 188. Das Rechteck. Man bezeichne die Mafizahlen der Seiten eines Rechteckes durch a und 6, die Mafizahl der Diagonale durch d und die Mafizahl des Flacheninhaltes durch f. 1. Gegeben die Seiten a und b eines Rechteckes; zu suchen d und f. Es ist d 2 = a 2 -f- 6 2 , daher d = V a 2 -f- b 2 . f = ah. 2. Gegeben ist eine Seite a und die Diagonale d] man berechne b und /. 101 Es ist b = V d* — a 2 . Flir den Flacheninhalt hat man / = ab = a \d 2 — a 2 . 3. Wie grofi ist die Diagonale eines Rechteckes von 5*6 m Lange und 3*3 m Breite? 4. Die Diagonale eines Rechteckes ist 7-3 dm , eine Seite des- selben 4*8 dm] wie grofi ist die Seite eines flachengleichen Quadrates ? §. 189. Das gleichseitige Dreieck. Es sei in dem gleich- seitigen Dreiecke ABC (Fig. 157) die Seite AB = BC = AC = a, die Holie CD = h , und f die Mafizalil des Flacheninhaltes. 1. Gegehen sei die Seite a ; zu suchen h und Fig. 157. 2. Gegehen die Flache, zu suchen a und h. Es ist/= V3, a 2 \'3 = 4 /' a 2 = 4/ = M V 3 • 4 V3 3 daher a = 3. In einem gleichseitigen Dreiecke betragt eine Seite 8 dm ; wie grofi ist a) die Holie, b) der Flacheninhalt? 4. Wie grofi ist die Seite eines gleichseitigen Dreieckes, das mit einem Quadrate von 15 dm Seitenlange flachengleich ist? §. 190. Das gleichschenklige Dreieck. Es sei in dem gleichschenkligen Dreiecke ABC (Fig. 158) die Grundlinie AB = a , der Schenkel AC = B C = b und die Hohe CD = h; die Mafizahl des Flacheninhaltes sei /. 158 - 1. Aus der Grundlinie a und dem Schenkel b die Hohe h und den Flacheninhalt f zu berechnen. Man hat h 2 = b 2 — ^ 2 —^ = b 2 - daher h = \/ b 2 -—; sodann / = —. C 2. Gegehen die Holie h und der Schenkel b ; zu suchen a und /. b 2 — h 2 , daher -g = 2 V'6» Vft 2 — h 2 , und ah = Y* li 2 und damit / 102 3. In einem gleichschenkligen Dreiecke betragt die Grundlinie 4*8 dm , und jeder Schenkel 2*5 dm; wie grofi ist a) die Hoke, b) der Flacheninhalt ? 4. In einem gleichschenkligen Dreiecke betragt die Grundlinie 3*36 m und die Hohe 4*25 m; wie grofi ist ein Schenkel? 5. Bei einem gewohnlichen Hausdache ist der Dachstuhl 14 m breit; wie lang miissen die Dachsparren werden, wenn der Dachstuhl 6 m hocli sein soli? §. 191. Das regelmafiige Seekseck. 1. Aus der Seite a eines regelmafiigen Secliseckes den Flacheninhalt f zu bestimmen. Da der Umfang des regelmafiigen Sechseckes 6a, der Abstand seines Miltelpunktes von einer Seite aber die Hohe eines gleichseitigen i Dreieckes mit der Seitenlauge a und daher gleich —ist, so erhiilt man nacli §. 149 / 6 a .a V 3 3 a 2 V 3 2. Wie grofi ist der Flacheninhalt eines regelmafiigen Sechseckes mit der Seitenlange 4*24 dm? 3. Ein Quadrat und ein regelmafiiges Sechseck haben gleichen Umfang, namlich 2*4 m; um wie viel ist der Flacheninhalt des Quadrates kleiner als der des Sechseckes? Der Kreis. §. 192. 1. Der Halbmesser eines Kreises sei r, die Lange einer Seline s und ihr Abstand vom Mittelpunkte des Kreises a; aus zweien dieser Grofien die dritte zu bereclinen. Aus den letzten zwei Ausdriicken ergibt sick: a) Zwei Sehnen eines Kreises, welche vom Mittelpunkte gleichweit abstehen, sind einander gleich. b ) Yon zwei Sehnen eines Kreises ist diejenige die grofiere, welche einen kleineren Abstand vom Mittelpunkte hat. c) Gleiche Sehnen eines Kreises haben gleichen Abstand vom Mittel- punkte. d) Yon zwei ungleichen Sehnen eines Kreises hat die grofiere einen kleineren Abstand vom Mittelpunkte. Beispiele. 1. Gegeben s = 24 cm, a = 7 cm; zu suclien r. 2. „ r — 29 cm, a = 21 cm-, „ „ ,s. 3. „ r = 35 cm, s = 28 cm ; „ „ a. 103 2. Den Flacheninhalt eines Kreisabsclinittes, (lessen Halbmesser r und dessen Sehne dem Halbmesser gleicli ist, zu berechnen. •/. j Da die dem Halbmesser gleiche Sebne den sechsten Theil der 2 Peripherie absehneidet, so ist der zugehorige Kreisansscbnitt r —^-. Der Flacheninhalt des gleiebseitigen Dreieckes liber der Seite r ist Der Flacheninhalt des Kreisabsclinittes ist also r 2 n r 2 V 3 __ r 2 (2/r — 3 V 3) 6 4 12 3. Der Halbmesser eines Kreisabschnittes ist r, seine Sehne ist die Seite eines dem Kreise eingeschriebenen Quadrates; wie grofi ist der Flacheninhalt des Abschnittes? §. 193. ZurErganzung derLehre von der Berechnung des Flacheninhaltes eines Kreises folgen liier noch einige Umkehrungsaufgaben. 1. Aus dem Flacheninhalte f eines Kreises den Halbmesser r desselben zu berechnen. Es ist r 2 :r = /, dalier r 2 = ■=£-, und somit 2. Der Flacheninhalt eines Kreises ist a) 10 dmb) 0*8659 m 2 , c) 31*47 cm 2 , d) 23*476325. . .m 2 ; wie groli ist der Halbmesser? 3. Bestimme den Halbmesser eines Kreises, der an Inhalt gleich ist einem Quadrate mit der Seite 2 m 3 dm. 4. Der Flacheninhalt eines Kreises betnigt 4*0115 dm 2 ; wie grofi ist die Peripherie? 5. Der Flacheninhalt eines Kreisausschnittes und der zugehorige Centriwinkel m° sind gegeben ; man suclie den Halbmesser r . Nach §. 158 ist mr-jz = 360 /, folglich r 2 = nn( l daher , = \/w? V m n 6. Der Flacheninhalt eines Kreisausschnittes, der zu einem Centri¬ winkel von 30° gehort, betriigt 37*7 dm 2 ; wie grofi ist der Halbmesser des Kreises? ZWEITER THEIL. Die Stereo m etrie. I. Gerade Linien unci Ebenen im Raume. §. 194. Bestimmung der Ebene. Eine Flache, welche die Eigen- scliaft hat, dass jede gerade Linie, welche zwei beliebige Punkte der- selben verbindet, ganz in dieselbe hineinfallt, heifit eine ebene Flache, kurz Ebene. In den folgenden Betrachtungen wird sowolil die Gerade als auch die Ebene als unbegrenzt angesehen, wenn nicht ausdriicklich das Gegentheil angegeben oder aus dem Satze ersichtlich ist. Durcli zwei Punkte lasst sicli eine einzige gerade Linie zielien. Legt man nun durch diese Gerade eine Ebene, so kann man dieselbe um die Gerade drelien, wodurch sie unzahlig viele verschiedene Lagen einnimmt. Durch zwei Punkte oder durch eine gerade Linie ist dem- nacli eine Ebene nicht bestimmt. Nimmt man aber aufier der Geraden noch einen dritten Punkt an, so wird es unter jenen unzahlig yielen Lagen, welche die Ebene wahrend ihrer Umdrehung annehmen kann, eine einzige geben, in welcher die Ebene durch die gerade Linie unci den aufier ihr liegenden Punkt geht. Durch eine Gerade und einen aufier ihr liegenden Punkt, oder durch drei nicht in einer geraden Linie 1 i e g e n d e Punkte, kann nur eine Ebene ge 1 egt werden. Die Lage einer Ebene ist vollkommen bestimmt: 1. ) durch drei nicht in einer Geraden liegende Punkte, 2. ) durch eine Gerade und einen Punkt aufierhalb derselben, 3. ) durch zwei sicli schneidende Gerade, 4. ) durch zwei parallel e Gerade. 1. Hauptlagen you Geraden und Ebenen. §. 195. Zwei gerade Linien konnen eine dreifache Lage haben: 1. sie schneiden sick; 2. sie sind parallel; 3. sie schneiden sich weder, noch sind sie parallel. In den ersten beiden Fallen lasst sich durch die beiden Geraden eine Ebene legen, im dritten Falle ist dies nicht moglich. oder sie sind windschief. Fiir jeden der drei Falle sind Beispiele an den Kanten im Schulzimmer an- In diesem Falle sagt man, die Geraden kreuzen einander zugeben. 105 §. 196. Bewegt man zwei sich schneidende Gerade parallel zu sich selbst, so bleiben die Winkel zwischen ihnen ungeandert. Wie fiir Winkel in der Ebene, gilt daher auch ftir Winkel des Raumes der Satz: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, sind a) ein- ander gleich, wenn beide Paare der parallelen Schenkel nach derselben Seite oder beide Paare nach entgegengesetzten Seiten gerichtet sind, dagegen b) supplemental*, wenn nur ein Paar nach derselben Seite, das andere aber nacli entgegengesetzten Seiten gerichtet ist. §. 197. Zwei Ebenen heifien parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinschaftlich haben. Haben sie gemeinschaftliclie Punkte, so sagt man, dass die Ebenen einander schneiden. Die gemeinschaftlichen Punkte zweier sich schneidenden Ebenen liegen in einer Linie, welclie die Durclischnittslinie der beiden Ebenen heifit. Diese muss eine Gerade sein. Denn verbindet man zwei gemeinschaftliche Punkte der beiden Ebenen durch eine Gerade, so kann kein Punkt auflerhalb dieser Geraden beiden Ebenen angehoren; die beiden Ebenen warden dann zusammenfallen, da durch eine Gerade und einen aufierhalb derselben liegenden Punkt eine Ebene bestimmt ist. 2. Lage (lev Geraden gegen eine Ebene. §. 198. Eine Gerade im Raume kann mit einer Ebene zwei Punkte, oder einen, oder gar keinen Punkt gemeinschaftlich haben. Im ersten Falle liegt sie ganz in der Ebene; im zweiten schneidet sie die Ebene, im dritten heifit die Gerade zu der Ebene parallel. Die unbegrenzte Ebene wird durch jede in ihr liegende Gerade in zwei Halbebenen getheilt. Der Punkt, in welchem eine Gerade eine Ebene schneidet, wird der Fufipunkt der Geraden in dieser Ebene genannt. Eine Gerade kann auf einer durch ihren Fufipunkt in der Ebene gezogenen Geraden senkrecht oder schief stehen. §. 199. Lelirsatz. Stelit eine gerade Linie auf zwei Geraden, we 1 che durch ihren Fufipunkt in einer Ebene gezogen werden, senkrecht, so stelit sie auch auf jeder andern durch ihren Fufipunkt in dieser Ebene gezogenen Geraden senkrecht. Beweis. Es sei (Fig. 159) die Gerade AO auf zwei durch ihren Fufipunkt in der Ebene MN gezogenen Geraden 0 C und OD 106 senkrecht, und 0 E eine dritte durch ihren Fufipunkt in dieser Ebene willktirlich gezogene Gerade. Man zielie CD , welcke OE in E schneidet, verlangere A 0 unter die Ebene MN bis B, so dass 0 B = 0 A wird, und zielie AC und BC, AD und BD, ferner AE und BE. Es ist AC = BC, da C ein Punkt einer Symmetrale von AB ist. Es ist AD = BD, da D einer Symmetrale von AB angehort. Daher ist AC D B C D. Dreht man BCD um CD, so muss es das Dreieck A CD decken, mithin ist BE = AE. Desbalb gehort E einer Symmetrale von AB an. also ist OE J_ AB. Die Gerade AO heiflt in diesem Falle auf der Ebene MN senk¬ recht oder normal, und umgekehrt die Ebene MN auf der Geraden AO senkrecht; jede andere durch A zu der Ebene MN gezogene Gerade AD ist zu dieser Ebene schief. Denn in dem AOD ist <£ 0 = 90°, daher <£ D < 90°. Es 1 asst sich also von einem Punkt aufierhalb einer Ebene auf diese nur eine Senkre elite er rich ten. A li n 1 i c h 1 a s s t s i c h z eigen, dass a u c h in e i n e m Punkt einer Ebene auf diese nur eine N o r m a 1 e mog- 1 i c h ist. Fig. 159. A Fisr. 160. §. 200. Lehrsatz. Die Senkre elite ist die kurzeste Strecke, die von einem Punkte aufierhalb einer Ebene zu dieser gezogen werden kann. Beweis. Ist (Fig. 160) PO J_ Ebene MN und OA irgend eine andere von O zu der Ebene gezogene Strecke, so ist, wenn man AP zieht, in dem recht- winkligen Dreiecke APO die Kathete OP kleiner als die Hypotenuse OA. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene gibt die Entfernung jenes Punktes von der Ebene an. §. 201. Lelirsatz. Zieht man von einem Punkte einer Geraden, die aufeiner Ebene senkrecht steht, zu dieser mehrere g 1 eich 1 ange schiefe Strecken, so 1 iegen die Fufi punkte derselben in einer Kreislinie, deren Mitt el- pun kt der Fufi punkt der Senkrechten ist. Beweis. Es sei (Fig. 160) OP EMN und OA — OB = OC. Zielit man AP , BP und CP, so sind die reclitwinkligen Dreiecke 107 ABO, BPO und CFO congruent, weil sie gleiche Hypotenusen und cine gemeinschaftliche Kathete haben; es ist demnach AP = BP=CP. Die Punkte A , B und C stehen also vom Punkte P glcichweit ab, d. i. sie liegen in einem Kreise, dessen Mittelpunkt P ist. Dieser Satz kann anschaulich aucli so abgeleitet werden: Dreht man ein rechtwinkliges Dreieck APO um die eine Kathete U P herum, so beschreibt die zweite Kathete A P wahrend dieser Drehung eine Kreisebene, auf welcher die erste Kathete OP senkrecht stelit. Die Hypotenuse AO stellt dabei nach und nach alle gleich langen Strecken vor. die von O zur Ebene des Kreises scliief gezogen werden konnen. Ihre Fufipunkte liegen daher in einer Ivreislinie, deren Mittelpunkt P ist. §. 202. 1. Stelit eine Gerade auf einer Ebene senk¬ recht, so ist aucli jede in it ihr parallele Gerade auf der- s el be n Ebene senkrecht. Be we is. Es sei die Gerade AC (Fig. 161) auf der Ebene MN senkrecht. Wenn nun AC kings CD mit sich selbst parallel fortschreitet, bis sie in die Lage B D komint, so wird wahrend dieser Bewegung die Lage der Geraden AC gegen die Ebene nicht geandert; es wird daher A C auch in der Lage B D auf der Ebene senk¬ recht stehen. 2. Umgekehrt: Stehen zwei Gerade aufderselbenEbene senkrecht, so sind sie parallel. Fig 161. A B M §. 203. Ist (Fig. 162) MN eine Ebene, AB eine in dieser Ebene liegende Gerade, mit welcher CD parallel ist, so muss auch CD mit MN parallel sein. Denn durch die beiden Parallelen AB und CD ist die Ebene ABDC bestimmt; wtirde CD die Ebene MN schneiden, so mtisste sich derDurch- schnittspunkt nicht nur in MN , sondern auch in der Ebene ABDC befinden, weil CD in dieser Ebene liegt; er mtisste daher der Durchschnittslinie beider Ebenen, d. h. AB angehoren, was nicht inoglich ist, da AB\\CD ist. Daraus folgt: Fig. 162. C D N 1st eine Gerade zu einer Geraden in einer Ebene parallel, so ist.sie auch zur Ebene selbst parallel. Umgekehrt: 1st eine Gerade zu einer Ebene parallel, so ist sie auch zu jeder Geraden in dieser Ebene parallel, we 1 che mit ihr in derselben Ebene liegt. % 109 liebigen Punkte derselben zwei Senkrechte so errichtet, (lass die eine Senkreckte in die eine, die zweite in die andere Schenkelflache fallt. I)en Neigungswinkel zweier Ebenen kaun man (lurch die oberen oder unteren Hander eines aufgeschlagenen Buches veranschaulichen. 206. Da die Keile durch die zugehorigen Neigungswinkel ge- rnessen werden, so gelten alle Beziehungen und Satze, welclie in der l'lanimetrie von den Winkeln entwickelt wurden, auch von den Keilen, wenn man die Ausdriicke W i n k e 1, S c li e i t e 1, b’eziiglich durch die Ausdriicke Schenkel, G e r ad e Keil, Kante, Schenkelflache, Ebene ersetzt. Man unterscheidet auch liier liolile und erhabene, spitze, rechte, stumpfe und gestreckte Keile; ferner Neben- und Scheitelkeile. §. 207. Die beiden parallelen Ebenen MN und PQ (Fig. 164) werden durch die Ebene ABDC gescbnitten; die Durchschnittslinien sind AB und CD. Diese konnen als Gerade derselben Ebene ABDC nur parallel sein, oder sie mtlssen sich schneiden. Wurden sie sich etwa in dem Punkte E schneiden, so miisste E sowolil in MN als auch in PQ liegen, weil AB und CD diesen Ebenen angehoren; dann aber wurden die Ebenen sich schneiden. AB und CD miissen daher parallel sein. Fig. 164. Werden zwei parallele Ebenen voneinerdrittengeschnitten, sosind die Durchschnittslinien parallel. Es seien (Fig. 164) AC und BD parallele Strecken zwischen den parallelen Ebenen MN und PQ. Legt man durch AC und BD die Ebene ABDC , so ist AB CD, daher ist ABDC ein Parallelo¬ gram m und mi thin AC = BD. o P Parallele Strecken zwischen parallelen Ebenen sind e i n a n d e r g 1 e i c h. §. 208. Ist der Xeigungswinkel zweier Ebenen ein rechter, so heiflen diese aufeinander senkrecht oder normal, sonst schief. 110 Fig. 165. Fig. 166. 1. Es sei (Fig. 165) die Gerade AB J_ Ebene MN, und man lege dnrcli AB eine Ebene BS , welche die Ebene MN in der Geraden PS scbneidet; dann muss auch Ebene BS _L Ebene MN sein. Denn zielit man in der Ebene MN die Gerade BC J_ P£, so ist ABC der Neigungswinkel der Ebenen BS und MN ; dieser Winkel ist aber ein recbter, da AB _L MN und dalier auch AB JL BC ist; folglich Ebene BS J_ Ebene MN. Ist daher eine Gerade zu einer Ebene normal, so ist auch jede durch die Gerade g e 1 e g t e Ebene zu der ersten Ebene normal. 2. Ist AB _L MN (Fig. 166j, so ist auch Ebene ABC J_ MN. Dreht man die Ebene ABC um AB , so ist sie in jeder Lage z. B. ABD ±_ Ebene MN. Daraus folgt: Sind zwei ei nan der schneidende Ebenen zu einer dr it ten Ebene normal, so ist auch ihre D urclisclinittslinie zu dieser Ebene normal. §. 209. Der Neigungswinkel zweier Ebenen andert sicli niclit, wenn die eine der beiden Ebenen parallel zu sich selbst fortschreitet. Daraus folgt: 1. ZweiparalleleEbenenhabengegen diese 1 be dri11e Ebene gleiche Neigungswinkel. 2. Ist von zwei parallelen Ebenen die eine zu einer dritten Ebene normal, so ist auch dieanderezu derselben normal. 4. Yon den orthogonalen Projectionen. a) Projectionen auf eine Ebene. §. 210. Zielit man yon dem Punkte A (Fig. 167) im Raume die Normale A A 1 auf die Ebene MN, , so heifit der Fufipunkt A 1 dieser Normalen die Projection und zwar die Normalpro- jection oder die orthogonale Projection des Punktes A auf die Ebene; die Normale A A 1 heifit die projicierende Gerade, die Ebene MN die Projections- Fig. 167. R B 11L A BAR AB Ill ebene. Liegt der zu projicierende Punkt in der Projectionsebene, so ist er selbst seine Projection. Unter Projection einer Linie auf eine Ebene versteht man den Inbegriff der Projectionen sammtlicher Punkte jener Linie anf diese Ebene. Ist eine Strecke zu projicieren, so projiciert man die Endpunkte derselben, die Verbindungslinie dieser Projectionen ist die Projection der Strecke. 1st die Linie eine Curve, so projiciert man eine hin- reicbende Anzahl von Punkten derselben und verbindet die Projectionen derselben in der Projectionsebene. In Fig. 167 I ist demnach A ' B ' die Projection von AB. §. 211 . Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene versteht man den Winkel, welchen die Gerade mit ihrer Normalprojection auf diese Ebene bildet. Stelit (Fig. 168) AB sckief, BC dagegen normal auf der Ebene MN, so ist AC die Projection der Geraden AB auf die Ebene MN und B AC ihr Neigungswinkel gegen diese Ebene. Der Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene ist der kleinste unter alien Winke 1 n, we 1 clie sie mit Ge¬ raden bildet, die in der Ebene durch ihren Fufipunkt gehen. Welcher dieser Winkel ist der groljte? Der Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene andert sich nicht, wenn die Gerade parallel zu sich selbst verschoben wird. Daraus folgt: Par allele Gerade haben gegen eine Ebene denselben Neigungswinkel. Zwischen den Strecken, ihren Projectionen und Neigungswinkeln zu einer Ebene linden folgende Beziehungen statt: 1. Ist eine Strecke zu der Ebene parallel, d. i., ist ihr Neigungs¬ winkel gleich Null, so ist ihre Projection von gleicher Lange (Fig. 167,1); wachst der Neigungswinkel, so wird die Projection kleiner (Fig. 167,11); wird der Neigungswinkel 90°, d. h., steht die Strecke auf der Ebene normal, so ist die Projection ein Punkt (Fig. 167, III). 2. Bei gleichen Neigungswinkeln haben gleiche Strecken auch gleiche Projectionen, und umgekehrt; zu einer grofieren Strecke gehort auch eine grofiere Projection, und umgekehrt. Fig. 168. B 112 §. 212. Der Neigungswinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene andert sicli nicht, wenn die Ebene parallel zu sich selbst fort- scbreitet. Hieraus ergeben sich folgende Satze: 1. Zwei par allele Ebenen bilden mit derselben Ge¬ ra d e n g 1 e i c h e Neigungswinkel. 2. 1st von zwei -parallelen Ebenen die eine zu einer Geraden normal, so ist es auch die andere. Der 2. Satz lasst aucli die Umkehrung zu: Zwei normaleEbenen derselben Geradensind parallel. Da Gerade, die auf zwei parallelen Ebenen normal stehen, parallel sind, so gilt (§. 207) der Satz: Nor male Gerade zwischen parallelen Ebenen sind e in an der gleich. Die normale Gerade zwischen parallelen Ebenen heiflt der Abstand derselben; parallele Ebenen liaben also in alien Punkten denselben Abstand. I. Fig. 1G9. II. III. §. 213. Enter der Projection eines geradlinigen Gebildes auf eine Ebene versteht man das Gebilde, welches erhalten wird, wenn man die Projectionen der Eckpunkte desselben auf diese Ebene durch Strecken verbindet. Die Form und Grofle der Projection des Gebildes ist yon der Lage desselben gegen die Projectionsebene abhangig. ' Die Projection eines Quadrates z. B. ist ein gleich grofies Quadrat I (Fig. 169), oder ein flachenkleineres ✓ Parallelogramm II, oder eine Strecke III, je nachdem die Ebene des Quadrates mit der Projectionsebene parallel, oder gegen die Projectionsebene schief, oder auf der Projec¬ tionsebene senkrecht stelit. Ist ein ebenes Gebilde * krummlinig, so ist auch seine Projection im allgemeinen krummlinig, und nur dann eine Strecke, wenn die Ebene des Gebildes auf der Projectionsebene senkrecht stelit. So ist die Projection eines Kreises auf eine Ebene entweder wieder ein Kreis von gleichem Halbmesser, oder eine Ellipse, oder eine Strecke von gleicher Lange mit dem Durchmesser, je nachdem die Ebene des Kreises mit der Projectionsebene parallel, oder gegen dieselbe geneigt, oder auf ihr senkrecht ist. 113 b) Projectionen auf zwei Ebenen. §. 214. 1st cin Punkt, eine Gerade, ein Polygon gegeben, so ist die Projection bestimmt. Umgekehrt ist durch die Projection ein Punkt, cine Gerade, ein Polygon nicht bestimmt. Stehen z. B. melirere Gerade aut einer Ebene senkreclit, so liaben alle Gebilde, deren Eckpunkte in denselben Senkrecbten liegen, dieselbe Projection auf diese Ebene. Aus der Projection eines Gebildes auf eine Ebene kann man daher weder auf die Page desselben im Baum nocli auf dessen Grofie schliefien. Um nun Gebilde geometriscli so darzustellen, dass man aus der Darstellung selbst ihre Page im Baum und ihre Ausdehnungen entweder unmittelbar entnelimen oder durcli einfaclie Constructionen finden kann, projiciert man dieselben auf zwei sicli senkreclit schneidende Ebenen, von denen die eine horizontal, die andere vertical ist. Die Horizontal- ebene H lieiflt aucli erste Projectionsebene, die Verticalebene V zweite Projectionsebene. Die Projection auf H lieifit der Grundriss, die auf V Aufriss. Die Durcbschnittslinie der beiden Projectionsebenen lieidt Aclise. V F ^- 17 °- §. 215. Projectionen eines Punktes. Der Grundriss eines Baum- punktes a (Fig. 170) wird mit a', der Aufriss desselben mit a" be- zeiclmet. aa lieifit der erste, a a 4 ' der zweite Projectionsstrahl. Pegt man durcli a a' und a a" die Ebene, so stelit diese sowohl auf H als auch auf V senkreclit, daher stelit auch die Durcbschnittslinie beider, d. i. die Achse auf dieser Ebene senkreclit (§. 208). Mithin ist auch a' m J _ AX und a" m _j_ AX. In dem Bechteck aa“ma‘ ist a a 4 = a" m und a a" = a'm. Der Ab stand des Baum punktes von H ist also dem A fa¬ st and der zwei ten Projection von der Achse gleich. Der Abstand des Baumpunktes von V ist dem Abstand der ersten Projection von der Achse gleich. Denkt man sicli (Fig. 171) die Ebene H um die Achse AX um 90° so gedrelit, dass sie in die Erweiterung der Ebene V zu liegen kommt, so kommen Grundriss und Aufriss in dieselbe Ebene. Von den beiden Projectionsebenen braucht man nur die Achse zu zeichnen. Der Grund¬ riss erscheint unterhalb, der Aufriss oberhalb der Achse; beide befinden sich in derselben Normalen der Achse, da oben gezeigt wurde, dass a 11 m J_ 41 und a'm J_ AX ist. Mocnik-Spielmann, Geom. Forraenl. u. Anfangsgr. d. Geom. f. Realsch. 8 114 Fig. 171. a* X If era a: Fig. 172. Liegt ein Punkt a (Fig. b"b 172) in del* Ebene //, so ist er selbst seine erste Projec¬ tion, seine zweite Projection liegt in der Aclise. Liegt ein Punkt b (Fig. 172) in der Ebene F, so ist er selbst seine zweite Projection, seine erste liegt in der Aclise. Liegt ein Punkt c in der Aclise, so ist er selbst seine erste und zweite Projection. §. 216. Projectionen a) einer Strecke, b) zweier Strecken. a) Um die Horizontal- und Verticalprojection einer Strecke zu erlialten, hat man die Strecke zwischen den gleichnamigen Projectionen ilirer End- punkte zu zielien. 1. Ist die Raumgerade gegen eine der Projectionsebenen normal, so ist ihre gleichnamige Projection ein Punkt, die ungleichnamige hin- gegen eine Gerade, Fig. 173. b" a 2 a.b a b" a b" a 6 ' die zur Aclise normal und mit der Raum- geraden gleich lang ist. (Fig. 173, 1, 2.) 2. Liegt die Raumgerade in einer y, j ; der beiden Projec- tionsebenen, so ist sie cf i i ! ! i i selbst ihre gleicli- a y a i) - -; f namige Projection ; die ungleichnamige fallt in die Achse und ist gleich lang oder verklirzt, je nachdem die Raumgerade zur zweiten Projectionsebene parallel ist oder nickt. (Fig. 173, 3, 4.) 3. Ist die zu projicierende Gerade mit nur einer der Projections¬ ebenen parallel, so ist ihre gleichnamige Projection mit ihr parallel, von gleicher Lange und schief gegen die Achse; die ungleichnamige ist zur Achse parallel und verklirzt. (Fig. 173, 5.) 4. Ist die zu projicierende Gerade gegen beide Projectionsebenen schief, so sind beide Projectionen ebenfalls schief gegen die Achse und verklirzt. (Fig. 174 a, 6.) Die wahre Lange der Raumgeraden findet man durch Construction des projicierenden Trapezes aus einer der nicht parallelen und den auf ihr senkrecht stehenden parallelen Seiten; 115 die nicht parallele Seite ist eine der beiden Projectionen, die parallelen sind die zugehorigen Projectionsstralilen. Die vierte Seite des Trapezes gibt die Raumgerade in ilirer wahren Grofle an fFig. 175). Pig- 174 a. Fig. 174 b. X Fig. 175. Die Lage der Raumgeraden, deren Projectionen in Fig. 176 a enthalten sind, anzugeben. Fig. 176 a. 6 10 11 b* b) Bezilglich der Projectionen zweier Strecken gelten die Satze: 1. Die gleichnamigen Projectionen paralleler Strecken sind parallel (Fig. 1766, 1). 2. Wenn zwei Strecken sich schneiden, so schneiden sich auch die gleichnamigen Projectionen derselben 8 * 116 (Fig. 176 b, 2). Die Verb in dungs linie der beidenProjectionen des Schnittpunktes stelit auf der Achse normal. Fig. 176 6, 3 enthalt die Projection von zwei windschiefen Geraden. §. 217. Projectionen ebener Gebilde. Um die Horizontal- und Verticalprojection eines ebenen Gebildes zu erhalten, bat man so zu verfahren, wie bei der Projection eines solchen Gebildes auf eine Ebene. Fig. 177. Liegt ein Gebilde in einer der beiden Projectionsebenen, so ist es selbst seine gleicbnamige Projection, die zweite liegt in der Achse. Ist das Gebilde mit einer der beiden Ebenen parallel, so ist die gleicbnamige Projection mit dem Gebilde congruent, die andere ist eine mit der Acbse parallele Gerade. Ist die Ebene des Gebildes auf einer der beiden Projectionsebenen senkrecht, so ist die gleicbnamige Projection eine Strecke. Fig. 178. Die Gebilde der in Fig. 1.77 ent haltenen Projec¬ tionen anzugeben. Ist ein Ge¬ bilde in schiefer Lage gegen eine der beiden Pro¬ jectionsebenen, so leite man die Pro¬ jection aus der parallelen Lage ab (Fig. 178). 117 §• *218. Aufgaben. Kin Raumpunkt a soil mit a (p, q) bezeichnet werden; p bedeutet den ersten 7 den zweiten Projectionsstrahl, beide in cm gemessen. 1. Die Projectionen folgender Punkte zu zeichnen und ihre Lage zu bestimmen: « (2-4, 3*7), b (0, 4*1), c (3*8, 0), d (0, 0). 2. Die Projectionen folgender Strecken, deren Endpunkte a und b sind, zu zeiclmen, die Lage und wahre Lange derselben zu bestimmen: (Fig. 174 b.) 3. Was fur Projectionen gibt eine Strecke des Raumes, wenn dieselbe a) mit der verticalen, b) mit der liorizontalen, c) mit beiden Projectionsebenen parallel ist: d) auf der verticalen, e) auf der liorizontalen Projectionsebene senkreclit steht; f) in der verticalen, g) in der liorizontalen Projections¬ ebene liegt? 4. Eine Strecke von 3 cm Lange liegt in Il\ der Punkt, welcher der Aclise am nachsten ist. bat von dieser den Abstand 1 cm ; sie schlieBt mit der Aclise nach reclits einen Winkel von 30° ein. Hire Projectionen zu zeiclmen. 5. Eine Strecke von 4 cm Lange liegt in V; der Punkt, welcher der Aclise am nachsten ist, hat von dieser den Abstand 2 cm; sie schlieBt mit der Achse nach links einen Winkel von 40° ein. Ihre Projectionen zu zeichnen. 6. Eine Strecke von 5 cm Lange ist mit H parallel in dem Abstand 2 cm; der am nachsten der Ebene V links liegende Punkt hat von V 3 cm Abstand; sie schlieBt mit V den Winkel von 50° ein. Ihre Projectionen zu zeichnen. 7. Ein Quadrat von 3 cm Seitenlange ist parallel mit II in dem Abstand 4 cm; die Diagonale d x ist senkrecht auf V, ihr nachster Punkt hat von V 2 cm Abstand. Die Projectionen zu zeichnen. Das Quadrat um 45° um d x als Achse zu drehen. 8. Wie gestalten sicli Grand- und Aufriss eines ebenen Gebildes, wenn dieses a) mit der liorizontalen, b) mit der verticalen Projectionsebene parallel ist? 9. Ein regelmaBiges Sechseck mit der Seite 2 cm ist parallel mit V in dem Abstand 5 cm, eine Seite des Sechseckes liegt in II. Die Projectionen zu zeiclmen. Das Sechseck um eine verticale Achse um 50° zu drehen, wenn diese gelit cl) durch einen Eckpunkt, b) durch den Mittelpunkt der liorizontalen Winkelsvmmetrale. «/ 10. Von einem Kreise ist ci) der Grundriss ein Kreis, der Aufriss eine Strecke; b) der Grundriss eine Strecke, der Aufriss ein Kreis; c) Grundriss und Aufriss sind Strecken; d) der Grundriss ist eine Strecke, der Aufriss eine Ellipse; e) der Grundriss eine Ellipse, der Aufriss eine Strecke; f) Grundriss und Aufriss sind Ellipsen. Wei he Lage gegen die Projectionsebenen hat der Kreis in jedem dieser Falle? 118 5. Korperecken. §. 219. Drei oder mehrere Ebenen, welche sick in eben so vielen Geraden schneiden, die in einem Punkte zusammentr effen, bilden einen kb r per lichen Wink el oder eine Ecke. Die Geraden, in denen sicli je zwei aufeinander folgende Ebenen schneiden, nennt man die Kanten, die Ebenen selbst die Seitenflachen und den Punkt, in welchem alle Kanten zusammenstoilen, die Spitze oder den Scheitel der Korperecke. Ein Winkel, welcher von zwei aufeinander folgenden Kanten gebildet wird, heifit ein Kantenwinkel oder eine Seite der Ecke; der von zwei aufeinander folgenden Seitenflachen gebildete Winkel wird ein Flaclien winkel oder kurz Winkel der Ecke genannt. Urn eine Korperecke zu benennen, gibt man entweder blofi den Buchstaben am Scheitel an, oder man nennt auch die Buclistaben an alien Kanten, so jedocli, dass der Buchstabe am Scheitel zuerst gesetzt wird. Die Ecke (Fig. 179) heifit die Ecke 0, oder die Ecke 0ABC] 0 ist der Scheitel; 0A, OB , OC sind die Kanten, AO B, BOC , CO A die Kantenwinkel oder Seiten. Eine Ecke heifit dreikantig, vier- kantig (oder ein Dreikant, Yierkant . . . .) je nachdem sie von drei, vier, .... Ebenen C gebildet wird. Entkalt eine Ecke gleiche Seiten und gleiche Winkel, so wird sie regelmafiig ge¬ nannt. §. 220. Lelirsatz. In jeder dreikantigen Ecke ist die Sumine zweier Kantenwinkel grofier als der dritte. Beweis. 1st aus den Kantenwinkeln a, 6, c (Fig. 180) eine Korperecke zu bilden, so braucht man nur die Ebenen AOB und DOC so lange urn die Ge¬ raden OB und OC zu drehen, bis die Schenkel OA und OD ineinander fallen. Damit eine Korperecke entstelien konne, mitssen OA und 0D aufierhalb der Ebene BOC zusammenfallen, was nur dann mbglich ist, wenn die Winkel a und c zusammengenommen grofier sind als b. Ebenso lasst sich zeigen, dass a b grofier als c, und b c grofier als a sein muss. Aus diesem Satze folgt: In jeder dreikantigen Ecke ist jeder Kantenwinkel grofier als die Differenz der beiden andern. Vergleiche damit die Satze iiber die Seiten eines Dreieckes. 119 §. 221. Lelirsatz. In jeder Ecke ist die Summe aller K a n t e n w i n k e 1 k 1 e i n e r als v i e r R e c li t e. Denn wtirden alle Kantenwinkel zusammen yier Reclite betragen, so iniissten alle Seitenebenen in eine einzige Ebene fallen und konnten daher keine Ecke bilden. Weim mehrere ebene Winkel zusammengenommen 860° Oder mehr als 360° betragen, so lilsst sicli aus denselben keine Ecke bilden. §. 222. Zwei Ecken heifien congruent, wenn sie sicli so in- einander legen lassen, dass sicb alle ihre Kanten und Seitenflachen decken. Soli diese Deckung moglich sein, so miissen nicht nur die Kanten- und Flaclienwinkel der beiden Ecken gleicb sein, sondern auck in beiden in derselben Ordnung aufeinander folgen. ' II. Korper. Erklarungen und allgemeine Eigenschaften der Korper. $ §. 223. Ein Korper, welcher von lauter Ebenen begrenzt wird, heifit ein ebenflaclii ger oder eckiger Korper, aucli Polyeder. &/■■ Ein Korper, welcher entweder theils von ebenen theils von gekrummten Flacken, oder nur von gekrtimmten Flacken begrenzt wird, lieifit ein krummflachiger oder runder Korper. Wenn ein Korper auf einer Ebene aufliegt, so heifit diese die Grundflache; und wenn mit dieser als Grundflache betrachteten Ebene eine zweite Ebene parallel ist, so sagt man: der Korper hat zwei par allele Grundflachen. Die iibrigen Grenzflachen eines Korpers werden Seitenflachen genannt. Drei Ebenen bilden eine Ecke, schliefien aber noch keinen Raum ein. Damit ein Raum nach alien Seiten abgeschlossen, d. i. damit ein Korper gebildet werde, sind wenigstens vier Ebenen erforderlich. Die Schnittlinie je zweier Grenzebenen wird eine Kante des Korpers genannt. §. 224. Zwei Korper, welche so ineinander gelegt werden konnen, dass sicli alle ihre Grenzflachen decken, heifien congruent. Zwei Korper, in denen je zwei entsprechende Grenzflachen ahnlich und je zwei entsprechende Flaclienwinkel gleich sind, heifien ahnlich. 1. Regelmafiige Korper. §. 225. Ein Korper, in welchem alle Grenzflachen congruente regelmafiige Vielecke sind und congruente Ecken bilden, heifit e n regelmafiiger Korper. Aus dem Satze, dass die Summe aller Kantenwinkel einer Ecke kleiner als 360° sein muss, folgt, dass es nur fiinf regelmafiige Korper geben kann. 120 Fig. 181. I. II. III. Denn der Winkel eines regelmafiigen (gleichseitigen) Dreieckes betragt 60°; von solchen Winkeln konnen drei, vier oder auch fiinf eine Ecke bilden; aus seeks oder mekr als sechs solclien Winkeln aber kann keine Ecke entsteben, da ihre Summe 360° oder mekr als 360° betragt. Von gleickseitigen Dreiecken konnen daher nur drei regel- mafiige Korper begrenzt werden, namlich das Tetraeder, das Octaeder und das Ikosaeder. _ Has Tetrae¬ der (Fig. 181, I) wird von vier gleicli- seitigen Dreiecken begrenzt, von denen je drei in einer Ecke zusammenstoflen; es bat 4 Ecken und 6 Kanten. Das Octaeder (Fig. 181, II) wird von aclit gleickseitigen Dreiecken eingeschlossen, von denen je vier eine Ecke bilden; es bat 6 solche Ecken und 12 Kanten. Das Ikosaeder (Fig. 181, III) wird von zwanzig gleichseitigen Dreiecken begrenzt, deren je fitnf eine Ecke bilden; es bat 12 Ecken und 30 Kanten. Der Winkel eines regelmafiigen Viereckes (Quadrates) ist ein rechter; von solchen Winkeln konnen nur drei in einer Ecke zusammen- treffen; aus vier oder mehr als vier rechten Winkeln kann keine Ecke gebildet werden. Es gibt daher nur einen von Quadraten begrenzten Korper; er heifit Hexaeder, Cubus oder Wtirfel. Das Hexaeder (Fig. 182) wird von seeks Quadraten eingeschlossen und hat 8 dreiseitige Ecken und 12 Kanten. Der Winkel eines regel¬ mafiigen Fiinfeckes betragt 108°; von solchen Winkeln konnen nur drei eine Ecke bilden. Es gibt demzufolge nur einen von regel¬ mafiigen Fiinfecken begrenzten regelmafiigen Korper. Dieser heifit Dodekaeder (Fig. 183); er hat 12 Seitenflachen, 20 drei¬ seitige Ecken und 30 Kanten. Im regelmafiigen Seclisecke ist jeder Winkel 120°. Von solchen Winkeln kann keine Ecke gebildet werden, da schon drei zusammen Fig. 182. Fig. 183. 121 360° betragen. Eben so wenig kann aus den Winkeln eines regelmabigen \ ieleekes von mehr als seeks Seiten eine Ecke entstehen. E 8 gibt dalier nur ftinf regelmafiige K dr per. §. 226. Die zusammenhangende Zeiclmung der Grenzflachen eines Korpers auf einer einzigen Ebene heifit ein Korpernetz. Uni das Netz eines Tetraeders zu erlialten, zeiebne man Fig. 184) ein gleichseitiges Dreieck, halbiere dessen Seiten und ver- binde die Halbierungspunkte durch Strecken. Das Netz eines Octaeders wird erlialten, wenn man (Fig. 185) zuerst das Netz eines Tetraeders construiert und dann an dieses ein zweites congruentes Netz so anlegt, dass beide eine Seite gemein- scliaftlicli liaben. Fig. 184. Fig. 185. Fig. 186. Das Netz eines Wiirfels (Fig. 186) entsteht, wenn man langs einer Geraden vier Quadrate nebeneinander auftragt und iiberdies an den entgegengesetzten Seiten eines jener Quadrate noch zwei Quadrate construiert. 2. Das Prisma. §. 227. Entstehung und Bestandstiicke eines Prismas. Gleitet eine unbegrenzte Gerade AE (Fig. 187) parallel zu sicli selbst langs des Umfanges eines Polygons A BCD... bin, so scblieflen die von ibr beschriebenen Ebenen, deren Scbnittlinien BE\ CG , DH,... parallel sind, einen nacli zwei Seiten offenen Raum ein, welcber ein prisma- tiseller Raum heiflt. AE heifit die erzeugende Gerade, ABCD das Leitpolygon. Wird ein prismatischer Raum durcb zwei parallele Ebenen geschnitten, so beifit der dadurcli abgegrenzte Korper ein Prisma; es ist nicht noth- wendig, dass diese zwei Sclmittebenen dem Leit¬ polygon parallel sind. Die zwei parallelen Schnittflachen, von welcben die eine in Fig. 187 mit dem Leitpolygon selbst zu- sammenfallt, heifien die Grundf 1 aclien, die iibrigen / Grenzflachen die Seitenflaehen. 122 Die Grundflachen eines Prismas ABCD und EFGH sind con¬ gruent, da die Seiten und Winkel paarweise gleich sind. AB = E F als Parallele zwischen Parallelen, der Winkel bei A ist gleich dem Winkel bei E , weil die Sclienkel parallel und gleickgerichtet sind. Die Sclinittlinien der Seitenflachen untereinander heillen Seiten- kanten; sie sind parallel, da die erzeugende Gerade parallel zu sich selbst bewegt wurde. Die Seitenflachen eines Prismas sind daher Parallelogramme. Die Schnittlinien der Seitenflachen mit den Grunclflachen heillen Grundkante n. Ein Prisma ist also ein Korper, welcher von zwei parallelen und congruenten Yielecken als Grunclflachen und von so vielen Parallelo- grammen, als eine Grundflache Seiten hat, als Seitenflachen begrenzt ist. Der Abstand PQ der beiden Grundflachen heifit die Ho he des Prismas. Man kann sich ein Prisma auch dadurch entstanden denken, dass ein Polygon parallel zu sich selbst so fortsclireitet, dass alle Eckpunkte desselben gerade Linien beschreiben. §. 228. Eintheilung der Prismen. Nach der Anzahl der Seitenkanten unterscheidet man dreiseitige, vierseitige und mehrseitige Prismen. Mit Rucksicht auf die Lage der Seitenkanten gegen die Grundflachen heifit ein Prisma gerade oder schief, je nachdem die Seitenkanten auf der Grundflache normal oder schief stehen. In einem geraden Prisma sind die Seitenflachen Rechtecke, und jede Seitenkante ist der Hohe des Prismas gleich. Jedes gerade Prisma, dessen Grundflachen regelmafiige Polygone sind, heifit ein regel- mafiiges Prisma. Ein Prisma, in welchem alle Kanten gleich sind, heifit ein gleichkautiges Prisma. Ein Prisma ABCD EFGH (Fig. 188), dessen Grundflachen Parallelogramme sind, heifit ein Parallelepiped. Dasselbe kann 7 wie jedes andere Prisma, gerade oder schief sein. Ein Parallelepiped wird von seclis Parallelogrammen begrenzt. Ein gerades Prisma, dessen Grundflachen Rechtecke sind 7 heifit ein rechtwinkliges Parallelepiped. Es wird von sechs Recht- ecken begrenzt. Fig. 188. H G 123 Lin rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Kanten gleich sind, lieilit ein Wiirfel oder Cub us. Es wird von seclis Quadraten begrenzt. Ein schiefes Parallelepiped, dessen sammtliche Grenzflachen congruente Rhomben sind, heiflt ein Rhomboeder. §. 229. Schnitte der Prismen. 1. Wird ein Prisma durch eine niit der Grundflache parallele Ebene gesclinitten, so ist die Schnittfigur . Die Kugel. Die Entstehung einer Kugel, die Erklarung derselben und ihrer Theile ist in den §§. 42—43 entkalten. Fig. 212. §. 253. Die Kugelflache und der Punkt. Der Abstand irgend eines Punktes vom Mittelpunkte einer Kugel lieiflt der Centralabstand des Punktes. Ein Punkt liegt auf der Kugelflache, innerhalb oder auflerhalb derselben, je nach- dem sein Centralabstand gleicli dem Halb- messer der Kugel, kleiner oder groller als derselbe ist. §. 254. Die Kugelflache und die Gerade. Der Abstand irgend einer Geraden vom Mittelpunkte einer Kugel lieiflt der Centralab¬ stand der Geraden. Ist der Centralabstand einer Geraden groller als der Halbmesser der Kugel, so hat die Gerade mit der Kugelflache keinen Punkt 136 gemeinschaftlich. 1st der Centralabstand der Geraden gleich dem Halb¬ messer, so bat sie mit der Kugelflache nur einen Punkt gemein¬ schaftlich, wahrend alle anderen Punkte aufierhalb der Kngel liegen; sie heifit eine Tangente der Kugelflacbe. 1st endlich der Central¬ abstand der Geraden kleiner als der Halbmesser, so schneidet sie die Kugelflache in zwei Punkten. 1st (Fig. 212) der Halbmesser einer Kngel 0 D — r, die Lange der Selme D R — s und ihr Centralabstand 0 P = a, so erhalt man aus dem rechtwinkligen Dreiecke D P 0: r = |j a' 2 Aus den letzten zwei Ausdriicken ergibt sicli: 1. Zu gleichen Centralabstanden gelioren in derselben Kugel gleiche Sehnen; und umgekehrt. 2. Zum kleineren Centralabstande gehort in derselben Kugel die groflere Selme; und umgekehrt. 3. Der Kugeldurclimesser ist die grofite Kugelsehne. Die Kugelflache und die Ebene. §. 255. Der Abstain! irgend einer Ebene von dem Mittelpunkte einer Kugel heifit der Centralabstand der Ebene. Ist der Centralabstand einer Ebene grofier als der Halbmesser der Kugel, so hat die Ebene mit der Kugelflache k einen Punkt gemein¬ schaftlich. Ist der Centralabstand der Ebene gleich dem Halbmesser, so hat sie mit der Kugelflache nur einen Punkt gemeinschaftlich und heifit eine Berlth rungs- oder Tangential ebene; sie enthalt alle Tangenten, welche im Beriihrungspunkte an die Kugel gelegt werden konnen. Ist der Centralabstand der Ebene kleiner als der Halbmesser, so schneidet die Ebene die Kugelflache. §. 256. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Die Richtigkeit dieses Satzes geht sehon aus der Entstehungs- weise der Kugel hervor, kann aber auch fur sich leicht nachgewiesen werden. Es sei DNR (Fig. 212) ein ebener Kugelschnitt. Fallt man vom Kugelmittelpunkte 0 die Normale 0 P auf die Schnittebene, zieht yon P nach dem Umfange des Schnittes die beliebigen Strecken PD und PS, ferner noch die Halbmesser 0 D und OS, so ist P D = P S (§. 201). Daraus folgt, dass alle Umfangspunkte des Schnittes DNE von P gleichen Abstand haben, dass also der Schnitt ein Kreis ist. Der Kreis DNR wird ein Kugelkreis genannt. 137 Zwischen (lem Halbmesser 0 D = r der Kugel, dem Halbmesser PD = q des Kugelkreises und dem Centralabstande 0 P = a des letzteren bestehen, da das Dreieck DPO rechtwinklig ist, die Be- ziehungen: r = ' Q 2 + a '\ Q = Vr 2 — a 2 , a = Vr 2 — q 2 . Daraus folgt: 1. Zu gleichen Centralabstanden gelioren gleiche Kugelkreise; und umgckehrt. 2. Zum kleineren Centralabstande geliort ein grofierer Kugelkreis • und umgekekrt. Am groflten wild ein Kugelkreis, wenn er durch den Mittel- punkt der Kugel geht; er lieifit deshalb geradezu ein grbfiter Kugel¬ kreis oder aucli ein Hauptkreis; jeder andere Kugelkreis heifit ein Nebenkreis. Der Halbmesser eines Hauptkreises ist gleicli dem Halbmesser der Kugel. Alle Hauptkreise sind daher einander gleicli. Zur eindeutigen Bestimmung eines Hauptkreises sind auller dem Kugelmittelpunkte nocli zwei mit ilirn nicht in gerader Linie liegende Punkte erforderlicli. Durcli die Endpunkte eines Durchmessers kann man unzahlig yiele Hauptkreise, durch zwei Punkte, welche niclit Endpunkte eines Durchmessers sind, nur einen einzigen Hauptkreis legen. Ein durcli zwei Punkte M und N (Fig. 212) der Kugelflache gelegter Hauptkreis wird durch diese Punkte in zwei Bogen getheilt den Bogen MN und MBmAN. Der kleinere Bogen MN des durch zwei Punkte M und N gelegten Hauptkreises hejflt der s p h a r i s c h e A b s t a n d der beiden Punkte. (Meridiane und Parallelkreise am Globus, Erdachse, Nord- und Sudpol, Aquator, geographische Breite und Lange.) §. 257. Netz ein er Kugel. Die Flaclie einer Kugel lasst sich, da sie doppelt gekrummt ist, nicht in eine Ebene abwickeln; daher kann von der Kugelflache kein genaues Netz construiert werden. §. 258. Frojectionen der Kugel. In Fig. 213,1 ist der Grund- riss. in II der Aufriss einer Kugel dargestellt. deren Achse auf der Horizontalebene senkreclit steht. Fig. 213. 138 Der Grand- und der Aufriss einer Kugel sind fiir jede Lage der- selben Kreise, deren Durchmesser dem Durchmesser der Kugel gleieh ist. Steht die Acbse der Kugel auf der Horizoutalebene senkrecht, so er- scheinen im Grundriss alle Meridiane als Durchmesser, im Aufriss einer als Kreis, einer als Durchmesser und alle iibrigen als Ellipsen; die Parallelkreise erscheinen im Grundriss als concentrische Kreise, im Aufriss als parallele Sehnen. III. Ausmessung der Korper. Oberflache und Cubikinhalt. §. 259. Bei der Ausmessung der Korper hat man die Ober¬ flache und den Cubikinhalt derselben in Betracht zu ziehen. Unter der Oberflache eines Korpers versteht man die Summe aller Grenzflachen desselben. Um daher die Oberflache eines Korpers zu erhalten, braucht man nur den Flacheninhalt jeder Grenzflache fiir sich zu bestimmen und alle gefundenen Flachen zu addieren. Die Summe der Seitenflachen heifit insbesondere die Sei ten ober¬ flache des Korpers. §. 260. Der Raum, welchen die Oberflache eines Korpers ein- schlieflt, heiflt dessen Cubikinhalt oder Vo lumen. Zwei Korper, welche gleichen Cubikinhalt haben, heiflen in¬ halts gleieh. Um den Cubikinhalt eines Korpers zu bestimmen, nimmt man irgend einen bekannten Korper als Einheit des Cubikmafles an und untersucht, wie oft derselbe in dem gegebenen Korper enthalten ist. Die Zahl, welche dieses angibt, heiflt die Maflzahl fiir den Cubik¬ inhalt des Korpers. Als Einheit des Cubikmafles wird ein Wiirfel (Cubus) angenommen, dessen Seite der Einheit des Langenmafles gleieh ist, also ein Meter, ein Decimeter, . . . betragt, und der dann beziehungs- weise Cubikmeter (m 3 ), Cubikdecimeter ( dm 3 ), . . . heifit. Einen Korper messen heiflt also untersuchen, wie viel m 3 , dm 3 u. s. w. in demselben enthalten sind. Es wiirde zu miihsam und in vielen Fallen unausfiihrbar sein, diese Untersuchung durch wirkliches Neben- und Aufeinanderlegen der Cubikeinheit yorzunehmen; einfacher wird der Cubikinhalt eines Korpers mittelbar aus dem Mafie der Strecken oder Flachen, von denen die Grofle desselben abhangt, durch Rechnung gefunden. §. 261. Cavalieri'scher Satz. Zwei Korper, welche auf derselben Ebeneaufstehen, und mit jeder zu dieserEbene 139 parallelen Ebene gleiche^Schnittflachen ergeben, haben dasse 1 be Volumen. Denn man kann zwei Korper, welche cliese Eigenschaft haben, in eine gleiche Zahl unendlich diinner Platten zerlegt denken, welche paarweise dasselbe Volumen haben; es mtissen dann auch die Summen aller Platten fur jeden der beiden Kbrper, d. h. die beiden Korper selbst. inhaltsgleich sein. Dieser Satz heifit der Cavalieri’sche Satz. 1. Das Prisma. §. 262. Oberflache eines Prismas. Um die Oberflache eines Prismas zu berechnen, bildet man die Summe aus der doppelten Grund- flache und der Summe aller Seitenflachen, welche als Mantelflache des Prismas bezeichnet wird. Sind O, G und M die Mafizahlen fHr die Oberflache, eine der beiden Grundflachen und den Mantel, so ist O = 2(? + M. Da der Mantel eines senkrechten Prismas in eine Ebene abge- wickelt ein Reckteck gibt, dessen Grundlinie der Umfang u der Grund- flache des Prismas und dessen Hohe die Seitenkante s desselben ist, so ist fur ein senkrechtes Prisma M us. Ftir einen Wlirfel ist O = 6 s 2 ; also s vi • Sind die Seiten zweier Wlirfel S und s, ilire Oberflachen O und o, so ist 0 : o = -S' 2 : s •. Volumen des Prismas. §. 263. Es sei (Fig. 214) die Maflzahl ftir das Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipeds zu bestimmen, in welchem die Lange AB = 3 m, die Breite AD = 2 m und die Hohe A E = 4 m ist. Da die Hohe 4 m be- tragt, so kann man das Parallelepiped in 4 gleiche Parallelschichten zerlegen, deren jede 1 m lioch ist. Da ferner das Parallelepiped 3 m lang und 2 m breit ist, so lasst sich jede dieser Parallelschichten in 3 X 2 Wlirfel zer¬ legen, deren jeder 1 Cubikmeter ist. Die Maflzahl ftir das Volumen dieses Parallelepipeds ist sonacli 3 X 2 X 4 = 24 und zwar auf das Cubikmeter als Einheit bezogen. Die Maflzahl fitr das Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipeds ist also gleich dem Producte aus den Mafizahlen dreier zusammenstoflender Kanten (Lange, Breite Fig. 214. H G 140 'trad Hohe) oder dem Product© aus den Mafizahlen der Grundflache und der Hohe. Kiirzer sagt man gewohnlich: Das Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipeds ist gleich dem Producte aus drei zusammenstofienden Kanten oder dem Producte aus der Grundflache und der Hohe. Sind allgemein a, b und c die Mafizahlen der in einer Ecke zusammenstofienden Kanten und v die Mafizahl des Volumens, so ist v = a b c, und umgekehrt a = -2—, b = —, c = —-. 0 C CL C Q 0 Sind a und b die Seiten der Grundflache < 7 , so ist g = a b ; c ist die Hohe h des rechtwinkligen Parallelepipeds; es ist dann v = gh. §. 264. Da nach dem Satze yon Cavalieri jedes Prisma gleiches Volumen mit einem rechtwinkligen Parallelepiped von gleicher Grund¬ flache und gleicher Hohe hat, so gilt allgemein der Satz: Das Volumen eines jeden Prismas ist dem Producte aus der Grundflache und der Hohe gleich. Sind v, g , h die Mafizahlen fur das Volumen, die Grundflache und die Hohe eines Prismas, so ist v — gh] daher < 7 = y, Bezeichnen G und g die Mafizahlen der Grundflachen, H und h die Mafizahlen der Hohen zweier Prismen und V und v die Mafizahlen ihrer Cubikinhalte, so hat man: 1) V: v = G. H : g.h. 2) Fill* G = g ist V:v = H:h . 3) Fill* H = h ist V : v = G : g. Driicke diese Proportionen mit Worten aus. §. 265. Da ein W ii r f e 1 (Cubus) ein rechtwinkliges Parallelepiped yon gleicher Lange, Breite und Hohe ist, so folgt: Das Volumen eines Wiirfels ist gleich der dritten Potenz einer Seite. Darum nennt man auch in der Arithmetik die dritte Potenz einer Zahl den Cubus derselben. Bezeichnen s und v die Mafizahlen der Kante und des Volumens eines Wiirfels, so ist 3 v = s 3 , und umgekehrt s = y'v. Sind S und V die Kante und das Volumen eines zweiten Wiirfels, so ist auch V = $ 3 , daher V: v = S 3 : s 3 ; d. h.: Die Volumina zweier Wiirfel verhalten sicli wie die dritten Potenzen ihrer Kanten. 141 Wie andert sicli demnacli das Volumen eines Wiirfels, wenn die Seite des- selben verdoppelt wird? Wie die Oberflache? Ein Wiirfel, (lessen Kante 10 dm betriigt, hat 10.10.10 dm 3 = 1000 dm 3 . Ein soldier \\ iirfel ist nun 1 Cubikmeter; also ist 1 m ’ = 1000 dm 3 . Ebenso folgt: 1 dm 3 = 1000 cm 3 . 1 cm 3 — 1000 mm 3 . 1 Cubikdecimeter heifit als Hohlmafl ein Liter; 100Liter= 1 Hektoliter. §. 266. Aufgabem a) Der Wiirfel. 1. Wie groC ist a) die Oberflache, b) der Cubikinhalt eines Wiirfels, dessen Seite a) 12 dm, b) 2 m 3 dm, c) 0*575 m ist? 2. Die Kante eines Wiirfels ist 5*2 dm; wie grofl ist a) die Diagonale, b) die Oberflache, c) der Cubikinhalt? 3. Die Diagonale eines Wiirfels ist 1*5 m ; berechne a) die Kante, b) die Ober¬ flache, c) den Cubikinhalt. 4. Die Oberflache eines Wiirfels betragt 398*535 cm 2 ; wie grofl ist eine Kante desselben ? 5. Eine Seitenflache eines Wiirfels betragt 3 m 2 61 dm 2 ; wie grofl ist der Cubik¬ inhalt? 6. Der Cubikinhalt eines Wiirfels ist 6434*856 cm 8 ; wie grofl ist dessen Ober¬ flache ? 7. Es soil ein wiirfelformiges, oben offenes Gefafl von 0*38 m Kantenlange an- gefertigt werden; wie viel m 2 Kupferblech braucht man? 8. Ein wiirfelformiges Gefafl hat 4*8 dm innere Weite; wie viel Liter fasst es? 9. Wie schwer ist ein Wiirfel mit der Seite 3 dm 7 cm, wenn 1 dm 8 des Materiales 0*86 kg wiegt? 10. Ein Wiirfel von 2 dm Seitenlange wiegt 16 kg; wie viel wiegt ein anderer Wiirfel aus demselben Material von 6 dm Seitenlange? 11. Es soil ein Wiirfel gemacht werden, welcher so grofl ist als zwei andere Wiirfel, deren Kanten 5*4 dm und 4*9 dm sind; welche Lange muss man eiuer Kante desselben geben? b) Das rechtwinklige Parallelepiped. 1. Die Kanten eines rechtwinkligen Parallelepipeds sind a) 12 cm, 16 cm und 48 cm, b) 1*04 m, 1*98 m und 2*64 m; wie grofl ist 1.) die Diagonale, 2.) die Oberflache, 3.) der Cubikinhalt? 2. Berechne 1.) die Oberflache, 2.) den Cubikinhalt folgender rechtwinkliger Parallelepipede: a) Lange 25 dm, Breite 18 dm, Hohe 36 dm; b) „ 1 * 264 m, „ 1*055 m, „ 0*843 m. 3. In einem rechtwinklichen Parallelepiped ist die Grundflache 7 dm 3 cm lang und 2 dm 4 cm breit; wie grofl ist die Hohe, wenn der Inhalt 64 dm 3 820 cm 3 betragt ? 142 4. Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundflachen Rechtecke von 28 cm Lange und 16 cm Breite sind, hat 672 cm 3 Cubikinhalt; wie groff ist seine Oberflache ? 5. Die beiden quadratischen Grundflachen eines geraden Parallelepipeds be- tragen zusammen 162 dm\ die vier Seitenflachen 590*4 dm 2 ; wie groff ist der Cubikinhalt? 6. In einem rechtwinkligen Parallelepiped betragt der Umfang der quadratischen ' Grundflache 11*6 dm, die Seitenoberflache 17*4 dm 2 ; wie groff ist die Kante eines inhaltsgleichen Wiirfels? 7. Ein viereckiges Gefafl von Blech ist 0*6 m lang, 0*5 m breit und 0*4 m hoch; wie viel m 2 Blech ist daran, wenn das GefaO oben unbedeckt ist? 8. Wie hoch kommt eine Kiste zu stehen, die 2 m lang, 1*2 m breit und 1*3 m hoch ist, wenn 1 m 2 mit 1 K 60 h bezahlt wird? 9. Wie groff ist der Cubikinhalt eines Getreidekastens, bei welchem die Lange 2 m, die Breite 1 m 3 dm und die Hohe 1 m 4 dm ist? Wie viel Hektoliter Getreide kann derselbe aufnehmen? 10. Die Grundflache eines prismatischen Gefaffes ist ein Recliteck von 2 m Lange und 1*2 m Breite; wie tief muss das Gefaff sein, um 12 Hektoliter zu fassen? 11. Die Lange einer Mauer ist 23 m, die Hohe 2 m 4 dm , die Dicke 8 dm; wie viel Ziegel braucht man, um diese Mauer aufzufuhren, wenn ein Ziegel sammt Yerbindungsmittel als 32 cm lang, 16 cm breit und 8 cm hoch anzunehmen ist ? 12. Eine Mauer ist 21 m lang, 8 dm dick und 8 m hoch; welchen Druck ubt dieselbe auf die Unterlage aus, wenn 1 m 3 Mauerwerk 1634 Kilogramm wiegt? 13. 1 cm 8 reines Wasser wiegt 1 Gramm; wie viel wiegt ein mit Wasser ge- fulltes Blechkastchen von 1*5 dm Lange, 1*2 dm Breite und 8 cm Hohe, wenn das leere Blechkastchen 155 Gramm wiegt? 14. Eine 3560 m lange und 6 m breite Straff e soli mit Kies 1*2 dm hoch be- schiittet werden; wie viel m 3 Kies braucht man dazu und wie viel Fuhren sind nothig, wenn der Wagenkasten 1*6 m lang, 7 dm breit und 5 dm tief ist ? 15. Aus 29 m 3 gebranntem Kalk erhalt man 100 m 3 geloschten Kalk; w T ie viel m 3 gebrannten Kalk braucht man, um eine Grube von 3*2 m Lange, 2*2 m Breite und 1*5 m Tiefe mit geloschtem Kalk zu fiillen? 16. Um einen Keller anzubringen, muss die Erde in einer Lange von 9 m 4 dm durchaus 1mA dm breit und 2 m 8 dm tief ausgegraben werden; wie viel Wagen Erde gibt dieses, wenn die Wagentruhe 1 m 8 dm lang, 1 m breit und 0*3 m tief ist, und wenn 10 m 3 feste Erdmasse beim Ausgraben 18 m 3 lockeres Erdreich geben? c) Das Prisma. 1. Wie groff ist der Cubikinhalt eines Prismas, dessen Grundflache 5 dm 1 46 cm 2 und dessen Hohe 2 dm 9 cm ist? 2. Die Grundflachen eines 2*4 dm hohen geraden Prismas sind rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten 0*5 dm und 1*2 dm; berechne a) die Oberflache, b) den Cubikinhalt. 3. Der Inhalt eines Prismas ist 5*85 m 3 , die Hohe 1*3 m; wie groff ist die Grundflache ? 4. Die Hohe eines geraden Prismas ist h, die Grundflache ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlange a; man berechne die Oberflache o und den Cubikinhalt v. 143 Der Umfang der Grundflaehe des dreiseitigen Prismas ist 3a, der Flaclien- inhalt — V3 . daher ist a 2 O = Vs f a VS l -\- 3 a li = a y g + 3 h f Fiir den Cubikinhalt hat man v a 2 h \S 4 5. A\ ie gro3 sind Oberflache nnd Inhalt eines geraden dreiseitigen Prismas, dessen jede Kante 3 dm betragt? 0. Die Holie eines geraden Prismas ist li , die Grundflaehe ein regelmaGiges Sechseck mit der Seitenlange a; man bestimme die Oberflache o und den Cubikinhalt v. 7. Die Grundflaehe eines geraden Prismas ist ein regelmaCiges Sechseck, die Hohe gleich 1 in 8 dm ; wie groC ist die Seitenoberflache, wenn eine Seite der Grundflaehe 1 m 1 dm ist? 8. Ein Wiirfel ist inhaltsgleich einem geraden Prisma, dessen Grundflaehe ein regelmiiOiges Sechseck mit der Seitenlange 5 cm ist; wie grofl ist die Kante des Wtirfels, wenn die Seitenkante des Prismas 8 cm betragt? 1). Der Dachraum einer Scheune bildet ein dreiseitiges Prisma, dessen Grund- flache 5*6 m zur Grundlinie, 5 m zur Holie hat, und dessen Holie (Lange des Daclies) 8*4 in betragt; wie viel kg Heu kann dieser Raum aufnelimen, wenn 1 m 8 Heu 114 kg wiegt? 10. Ein Balken ist 5 m lang und hat zu Grundflaclien zwei gleiche Trapeze, in denen die Parallelseiten 40 cm und 30 cm sind, und die Hohe 15 cm betriigt; wie groO ist der Inlialt? 11. Die Seitenoberflache einer 4*2 m liolien senkrechten Saule, deren Grundflaehe • • ein regelmafiiges Sechseck mit der Seitenlange 0'4 in ist, soil einen Olanstrich erhalten; wie viel kostet derselbe, wenn fiir das m z 1J K gezahlt werden? 2. Die Pyramid©. §. 267. Oberflache einer Pyramide. Die OberfUiche 0 einer Pyramide bestelit aus der Grundflaehe G und der Summe aller Seiten- flachen, dem Mantel, M. Es ist : O = G + M. Da der Mantel einer regelmafligen Pyramide aus congruenten Dreieeken besteht, so ist fiir eine solche Pyramide: wenn u den Umfang der Grundflaehe, h‘ die Seitenhohe bezeichnet. §. 268. Oberflache eines Pyramidenstumpfes. Sind G und g die beiden Grundflachen, M der Mantel des Stumpfes, so ist O = G + g +• M. 144 Bei einem regelmafiigen Pyramidenstumpf sind die Trapeze des Mantels con¬ gruent ; sind a und b die Parallelseiten, V die Seitenholie, n die Anzahl der Grund- kanten, so ist M n — \ ( an + M = \ (V «), wenn TJ und u die Umfange der beiden Grundflaehen bezeichnen. Der Mantel eines regelmaOigen Pyramidenstumpfes ist also gleich der Mafizabl der balben Seitenbobe multipliciert mit der Summe der Maflzahlen der Umfange der beiden Grundflaehen. Volumen der Pyramide. §. 269. Haben zwei Pyramiden gleicke Grundflacben und gleicbe Hoben und liegen sie mit den Grundflacben auf derselben Ebene, so geben sie mit jeder zu den Grundflacben parallelen Ebene gleicbe Schnittflachen. Denn ist G ihre Grundflacbe, h ibre Hobe, d der Ab- stand der Schnittebene vom Scbeitel, sind ferner F und F‘ die Scbnitt- flacben, so ist G : F = h 2 : d 2 und G : F l = h 2 : d'\ daber aucb G : F = G : F) daber F = F\ Hieraus folgt dann nacb dem Cavalieri’scben Satze: Zwei Pyramiden, welcbe gleicbe Grundflacben und gleicbe Hoben baben, sind inbaltsgleicb. §. 270. Es sei ABCDEF (Fig. 215) ein dreiseitiges Prisma. Schneidet man dasselbe durch die Ebene A EC, so zerfallt es in die dreiseitige Pyramide EABC und in die vierseitige EACFD. Durch Fig. 215. die Ebene CED wird die letztere wieder in zwei dreiseitige Pyramiden EACD und ECDF zerlegt, so dass das dreiseitige Prisma aus drei dreiseitigen Pyramiden zusammengesetzt erscheint. Es lasst sich nun zeigen, dass diese drei Pyramiden inhaltsgleich sind. Die Pyramiden EACD und ECDF haben namlich gleicbe Grundflacben ACD und CDF\ welcbe in derselben Ebene liegen, und denselben B Scbeitel E, daher auch dieselbe Holie; folglich sind sie gleich. In den Pyramiden EACD und EABC kann man den Scbeitel in (7annebmen; die Grundflacben EAB und EAD liegen in derselben Ebene und sind einander gleich; die beiden Pyramiden baben demnach auch gleicbe Grundflacben und dieselbe Hohe, sind also inhaltsgleich. Es sind somit alle drei Pyramiden uutereinander gleich. Daraus folgt: Jede dreiseitige Pyramide ist der drifcte Theil eines Prismas, welches mit der Pyramide gleiche Grundflache und Holie bat. 145 §. 271. Aus §§. 270 und 264 folgt: Die Mafizahl filr das Volumeii einer dreiseitigen Pyramide ist gleicli dem dritten Tlieile des Productes aus den Mafizahlen der Grundflache und der Ho he. Da auch jede mehrseitige Pyramide mit einer dreiseitigen von gleicher Grundflache und gleicher Hohe inhaltsgleich ist, so gilt allgemein der Satz: Die Mafizahl Pit r das Vo lumen einer Pyramide ist gleicli dem dritten Tlieile des Productes aus den Mafi- zallien der Grundflache und der Holie. Bedeutet g die Mafizahl des Flacheninhaltes der Grundflache einer Pyramide, h der Holie und v des Volumens, so ist Ftir die Volumsverhaltnisse der Pyramiden ergeben sich hieraus dieselben Beziehungen, wie in §. 264 fur die Volumsverhaltnisse der Prismen. §. 272. Aufgaben. 1. Die Grundflache einer regelmaftigen Pyramide ist ein Quadrat von 6 dm Seitenlange, die Seitenhohe ist 12*37 dm; wie grofl ist die Oberflache? 2. Berechne den Cubikinhalt folgender Pyramiden: a) Grundflache 13 dm 2 , Holie 8 dm; b) „ 2*34 dm 2 , „ 6*3 dm; c) „ 1 m 2 85 dm 2 , „ 5 dm 6 cm. 3. Der Cubikinhalt einer Pyramide ist 0*6264 m 3 , die Hohe 0*9 m; wie grofl ist die Grundflache? 4. In einer Pyramide ist die Grundflache ein Rechteck von 3 dm 4 cm Lange und 1 dm 9 cm Breite, und der Cubikinhalt 17 dm 3 955 cm 3 ; wie grofl ist die Hohe ? 5. In einer regelmafligen vierseitigen Pyramide betragt jede Seite der Grund¬ flache 14 dm und jede Seitenkante 15 dm; wie grofl ist a) die Oberflache, b) der Cubikinhalt? 6. Aus der Kante a eines regel inafligen Tetraeders die Oberflache zu berechnen. 7. Wie grofi ist die Oberflache und das Volumen eines Octaeders, dessen Kante 14 cm betragt? 8. Ein Wurfel hat dieselbe Oberflache wie ein Tetraeder mit der Kante 1 dm; wie grofl ist die Kante des Wiirfels? 9. In einer geraden Pyramide, deren Grundflache ein regelmafliges Sechseck ist, sind die Grundkante a und die Seitenkante b gegeben; man bestimme die Holie h der Pyramide, die Seitenhohe h 4 , die Seitenoberflache m und den Cubikinhalt v. Da der Abstand des Mittelpunktes eines regelmafligen Sechseckes von einem Eckpunkte gleich ist der Seite, so ist die Hohe h der Pyramide eine Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen Hypotenuse b und dessen zweite Moenik-Spielmann, Geom. Formenl. u. Anfangsgr. d. Geom. f. Kealsch. 10 146 Kathete a ist, clalier h = \'b 2 — a 3 . Die Seitenliohe It ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreieckes mit b als Hypotenuse und a als zweiter Kathete; daher V = b 2 — Hiernach ergibt sich, da der Umfang der Grundflache 6 a und der Flachen- inlialt derselben ist; m = 3 « V 8 a a und v = a 2 VB 2 V&* — a 2 . 10. In einer geraden sechsseitigen Pyramide mit regelmaBiger Grundflache ist a eine Grundkante und h die Hoke; man berechne die Seitenliohe ti die Seiten- oberflache m und den Cubikinhalt v. Die Seitenhohe ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes mit den Katheten li und \/s (Hohe eines gleichseitigen Dreieckes mit der Seite a). A Daher ist *' = V^ + (1 V3 ) S = \ , +¥■ Ferner ist in = 3a v h 2 -\- — und v — __ a*h VB 11. In einer regelmafligen sechsseitigen Pyramide ist jede Seite der Grundflache 14 cm und die Seitenhohe 36 cm; wie grofj ist a) die Oberflache, b) der Cubikinhalt ? 12. Die Grundflache einer geraden 1*4 m hohen Pyramide ist ein Rechteck mit den Seiten 6 dm und 8 dm ; man berechne die Seitenkante und die Oberflache der Pyramide. 13. Ein Thurmdach hat die Form einer regelmaJgigen vierseitigen Pyramide von 9*6 m Umfang der Grundflache und 10*2 m Seitenhohe; wie viel m 2 Blech sind zur Eindeckung erforderlich, wenn fur Yerschnitt und Falze 6% hin- zugerechnet werden? 14. Es soil eine Pyramide, deren Grundflache 1 m 2 15 dm 2 , und deren Holie 2 m betragt, aus Eisen gegossen werden; wie viel wird sie wiegen, wenn 1 dm* Eisen 7*21 kg wiegt ? 15. Wie gro3 ist das Gewicht einer geraden Pyramide aus Marmor, wenn die Hohe 3 m und eine Seite der quadratischen Grundflache 5 dm betragt und 1 dm 8 Marmor 2*72 kg wiegt? 16. Auf einer LandstraBe ist jeder Schotterhaufen unten 2*2 m, oben 1*8 m lang, seine Breite betragt 1 m und die Hohe 0 * 7 m ; wie groB ist sein Cubikinhalt ? Um den Cubikinhalt eines solchen Korpers (Fig. 216) zu bestimmen, darf man nur von den oberen Eckpunkten zwei auf die oberste Kante senkrechte Schnitte fuhren; dann erscheint der Mitteltheil als ein dreiseitiges Prisma, und die beiden Seitentheile geben zusammen eine vier- seitige Pyramide. 147 §. 273. Cubikinhalt eines Pyramidenstumpfes. Um den Cubikinhalt eines Pyramidenstumpfes zu linden, bestimme man die Cubikinhalte der beiden Pyra- miden, deren Unterscliied der Pyramidenstumpf ist, und subtrahiere den Inhalt der Erganzungspyramide von dem Inhaite der ganzen Pyramide. Die Hohe des Stumpfes h ist meist gegeben, die der Erganzungspyramide h 4 liingegen zu berechnen. Sind zwei homologe Seiten der Grundflachen S und s gegeben, so ist nach §. 238 ?•' = T’ - • Sind die Grundflachen bekannt, so ist *S - $ 5 G : g = (h + V) 2 : h 42 V o : V g = (* + V) ■ v und h‘ \/G = k \/g + h‘ \/ ,, !>' (V G-M g) = h V g h . _ h Vff V G V <7 Die Hohe eines Pyramidenstumpfes mit quadratischen Grundflachen, deren Seiten (J cm und 4 cm sind, ist 5 cm; wie grofl ist sein Volumen? Die Ilblie der Erganzungspj’ramide ist h 4 4.5 6—4 cm =10 cm. v = 36.15 , 16.10 , • —-— cm 8 --— cm 2 = 126*6 cm §. 274. Aufgaben. 1. Die Grundflachen eines geraden Pyramidenstumpfes sind gleichseitige Drei- ecke mit den Umfangen 1*74 m und 1*11 m, die Hohe eines Seitentrapezes betragt 0*84 m; wie grofl ist die Oberflache? 2. In einem Pyramidenstumi)fe, dessen Grundflachen Quadrate sind, betragt eine Seite der unteren Grundflache 25 cm, eine Seite der oberen Grundflache 19 cm, die Hohe 20 cm; berechne den Cubikinhalt des Stumpfes. 3. Ein vierkantig behauener Baumstamm von 5 m Lange ist an der einen Grundflache 28 cm breit und 21 cm hoch, an der andern 24 cm breit und 18 cm hoch; wie viel m z Holz enthalt er? 4. Ein Bauholz, das 4 m lang ist, hat zu Grundflachen zwei ungleiche Quadrate, deren Seiten 31 cm und 27 cm sind; wie viel ist es wert, wenn das m* mit 56 Iv bezahlt wird? 5. Wie viel Liter fasst ein 6*2 dm tiefes Gefafl von der Form einer abgekiirzten Pyramide, deren Grundflachen Quadrate von 4*8 dm und 3*2 dm Seiten- lange sind? 6. Es sei ein regelmaOiger Pyramidenstumpf aus Eisen zu gieflen; die Hohe soil 2*5 m betragen, die Grundflachen sollen gleichseitige Dreiecke von 0*4 m und 0*3 m Seitenlange sein; wie viel he/ Eisen wird man dazu brauchen ? (1 dm 3 Eisen wiegt 7*21 kg.) 7. Die grofle Pyramide bei Ghizeli in Agypten hat 149 m Hohe, ihre untere Grundflache ist ein Quadrat, dessen Seite 233 m betragt, die obe.re ist ein Quadrat von 4 m Seitenlange; wie grofl ist a) die Seitenoberflaclie, b) dei Cubikinhalt ? 10 * 148 3. Der Cylinder. §. 275. Oberflache eines Cylinders. Aus der Darstellung des Netzes eines geraden Cylinders folgt: Die Mantelflache eines geraden Cylinders ist gleich einem Reelitecke, welches den Uni fang der Grundflache zur Grundlinie nnd die Hohe des Cylinders zurHohe hat. Um die ganze Oberflache eines geraden Cylinders zu erhalten, addiert man zu der Mantelflache den doppelten Flacheninhalt der Grundflache. Drtickt man durch r 7 h , m und o beziiglich den Halbmesser der Grundflache, die Ilohe, die Mantelflache und die Oberflache eines geraden Cylinders aus, so ist m = 2rjc.h , und o = 2r 2 jt -| -2rhjc oder o = 2 rot (r -)- h }. Im gleichseitigen Cylinder ist h = 2r, daher m=4r 2 jt und o = 6r 2 jt. Ist E der Halbmesser der Grundflache und 0 die Oberflache eines zweiten gleichseitigen Cylinders, so hat man 0 = 6E 2 jr , daher O : o = E 2 : r 2 . Aus Fig. 201 ist zu crkennen, dass die obigen Formeln fur die Berechnung des Mantels und der Oberflache eines geraden Cylinders fur einen schiefen nicht gelten. §. 276. Volumen eines Cylinders. Da jeder Cylinder als ein Prisma, dessen Grundflachen Kreise sind, betrachtet werden kann, so folgt: Die Maflzahl fur das Volumen eines Cylinders ist gleich dem Producte aus den Maflzahlen der Grundflache und der Hohe. Ist r der Halbmesser der Grundflache, h die Hohe und v das Volumen eines Cylinders, so ist v = r 2 jr.h. Ahnlich wie §. 264 erhalt man filr zwei Cylinder v : v‘ = r 2 : r' 2 , fur h = h‘ , und v : v‘ = h : h 1 , fur r = r\ (In Worten?) Filr den gleichseitigen Cylinder ist h=2r : daher v = 2r 3 jz: Ist E der Halbmesser der Grundflache und V der Inhalt eines zweiten gleichseitigen Cylinders, so hat man auch V =2E 3 jr, daher V : v = E s : r 3 . §. 277. Unter einer cy lin id rise.hen Rohre yersteht man einen Korper, welcher zwischen den Mantelflachen zweier Cylinder liegt, die 349 e i ne gemeinscbaftlicbe Acbsc babon. Ijm das Yolumen eiiier cylindri- scben Robre zu finden, braucbt man nur das Yolumen der beiden Cylinder, von welcben der kleinere dem grbfieren ausgescbnitten ist, v.w berecbnen, und den Inhalt des kleineren Cylinders von jenem des grollereii zu subtrabieren. Sind also R und r die Halbmesser der beiden Cylinder und h die Holie der cylindrischen Robre, so ist ibr Yolumen v = R 2 Jth — r 2 jr.li = ( R 2 — r 2 ) jt li. §. 278. Aufgaben. 1. Berechne 1) die Oberfiache, 2) den Cubikinlialt folgender gerader Cylinder: a) Durchmesser der Grundflaclie 23 dm, Holie 14 dm ; h) Halbmesser „ „ 8*25 dm, „ 5*24 dm. 2. Wie groG ist die Oberfiache eines geraden Cylinders, in welchem die Seite 3 dm 4 cm und der Umfang der Grundflaclie 7 dm 8 cm betragt ? 3. Der Durchmesser eines gleichseitigen Cylinders ist 2*4 dm- wie groG ist der Cubikinhalt? 4. Die Mantelflache eines geraden Cylinders betragt 7 m 2 4 dm 2 , der Umfang der Grnndflacbe 1*76 m; wie groG ist der Cubikinhalt des Cylinders? 5. Die Mantelflache eines geraden Cylinders ist 62*8 dm 2 , der Durchmesser der Grundflaclie 4 dm-, wie groG ist die Holie? 6. Bestimme den Halbmesser der Grundflaclie eines Cylinders, dessen Holie . 4 dm und dessen Inlialt 9 dm 8 496 cm 3 betragt. 7. Wie groG ist der Halbmesser eines gleichseitigen Cylinders, wenn a) dessen Mantelflache 10 dm 2 , b) dessen Inlialt 10 cm 3 betragt? 8. Aus der Mantelflache m und dem Cubikinhalt v eines geraden Cylinders den Halbmesser r der Grundflaclie zu berechnen. v r 2 n . li r 2 v Es ist - = - = -; daher r = —. in 2r7i.li 2 m 9. Ein Wiirfel ist inhaltsgleich mit einem geraden Cylinder, dessen Holie 2 * 4 dm und dessen Mantelflache 7*54 dm 2 betragt; wie groG ist die Oberfiache des Wurfels ? 10. Einem geraden 2 dm ho lien Cylinder vom Halbmesser 0*8 dm ist ein Parallel¬ epiped mit quadratischer Grundflaclie umgeschrieben; wie groG ist die Differenz a) der Oberflachen, b) der Inhalte der beiden Korper? 11. Ein Brunnen hat eine cylindrische Form mit 14 dm im Durchmesser; wenn nun das Wasser 3 m hoch steht, wie viel Id sind es? 12. Wie oft wird sich eine Walze urn ihre Aclise drehen mlissen, wenn ein Stuck Feld von 20 a ganz iiberwalzt werden soil, und die AValze 1*6 m lang ist und 0*3 in im Durchmesser hat? 13. Ein cylindrisches GefaG soil 1 l halten; wie hoch muss es sein, wenn der innere Durchmesser 108 mm betragt? 14. Wie groG ist der Durchmesser eines cylindrischen GefaGes, das 5*031 dm hoch ist und einen Id halt? 15. Eine Feuerspritze hat 2 Cylinder (Stiefel), deren innerer Durchmesser 1 8 dm betragt; die Hubhohe des Kolbens ist in jedem 2*3 dm und jeder Kolben steigt wahrend einer Minute 25mal auf und ab; wie viel Id AVasser wird diese Feuerspritze wahrend einer Stunde unausgesetzter AA irksamkeit verspritzen? 150 16. Der innere Durchmesser eines runden Thurmes ist 4*2 m, die Mauer ist 1*2 m dick; wie viel Cubikmeter entha.lt die Mauer, wenn die Hoke des Thurmes 14*5 m betragt? 17. Eine gusseiserne Walze von 1*2 m Lange und 11 cm Durchmesser wird so weit abgedreht, dass der Durchmesser nur 9*5 cm betragt; um wie viel ist die abgedrehte Walze kleiner als die fruhere? 18. Zu einer Wasserleitung braucht man in einer Lange von 840 m Rohren von Blei, welche 14 cm dick sind, und deren Weite im lichten 8 cm betragt; wie viel kostet das Blei, wenn 1 dm 3 desselben 11*35 kg wiegt und das kg Blei mit 80 h bezahlt wird? 19. Wie schwer ist ein gleichseitiger Cylinder, dessen Radius 7 cm 8 mm misst, wenn 1 dm 3 des Materiales 8*4 kg wiegt? 4. Der Kegel. §. 279. Oberflache eines Kegels. Die Oberflache eines Kegels findet man, indem man die Summe aus der Grundflacke und dem Mantel bildet. Da der Mantel eines geraden Kegels abgewickelt einen Kreis- ausscbnitt gibt ? dessen Bogen und Badius beziekungsweise dem Umfang der Grundflacke und der Seite des Kegels gleick sind, so ist M—2rji. -^- = rjrs, wenn M, r und s die Mafizaklen des Mantels, des Halbmessers der Grundflacke und der Seite des Kegels sind. 1st der Kegel ein gleickseitiger, so ist s = 2r und M = r jz .2r = 2 r~ Jt. Die ganze Oberflacke 0 eines geraden Kegels ist 0 = T Jt S —{— T ~ Jt = T Jt (r -f- s). Ist der Kegel gleickseitig, so ist 0 = 3r 2 jc. Wie verhalt sich in einem gleichseitigen Kegel die Mantelflache zur ganzen Oberflache ? Wie verhalten sich die Oberflachen zweier gleichseitiger Kegel mit den Radien R und r? Da der Mantel eines sckiefen Kegels kein Kreisaussclinitt ist (§. 251), so gelten die obigen Formeln fill* den Mantel und die Ober¬ flache eines geraden Kegels nicht fur den sckiefen. §. 280. Oberflache eines geraden Kegelstumpfes. Sind G und g die beiden Grundflachen und M der Mantel des Stumpfes, so ist 0 — G g - f- M. Ein gerader Kegelstumpf kann als regelmajQiger Pyramidenstumpf angesehen werden, dessen Grundflachen unendlich viele Seiten haben, d. h. Kreise sind, und dessen Seitenhohe der Seite des geraden Kegelstumpfes gleich ist. In der Formel 151 ]/ 2 (/ S ^ u< ^ f untl u zu erset zen durch s, 2 R jz und 2 r ;t; daher ist fur einen geraden Kegelstumpf M = ~2 (2 R n 4~ 2 r jt) = jt s (R + r). Demnach wird . _ ■ () = ^ l>2 ' T 4~ 71 4" - T « (# + r) = .t [R 2 4- r* 4“ s (R 4~ >*)]• §• *281. Volumen eines Kegels. Da ein Kegel als eine Pyra- miile, deren Grundfliiche ein Kreis ist, betraclitet werden kann, so folgt: Die Malizali 1 fttr das Volumen eines Kegels ist g 1 eich deni dritten Theile des Productes aus den Mafizahlen der Grundfliiche und del* Hohe. Ist r der Halbmesser der Grundfliiche und h die Hohe des Kegels, so ist das Volumen r 2 n. li 1st von einem geraden Kegel statt der Hohe h die Seite s gegeben, so ist h = Vs 2 — r 2 , daher V — r<2 71 V * 8 ~ r* 3 Fiir den gleichseitigen Kegel ist s = 2r, daher h = r\3 , und 3 V n\ 3 3 Heiflt V das Volumen eines zweiten gleichseitigen Kegels, dessen Grundfliiche R zum Halbmesser hat, so ist V: v R 3 n \ 3 . r 3 7t\ 3 R 3 V 3 *28*2. Volumen eines Kegelstumpfes. Das Volumen eines Kegelstumpfes kann auf dieselbe Weise berechnet werden, wie das eines Pyramidenstumpfes. Zu- meist sind die Radien der Grundflachen und die Hohe des Stumpfes gegeben, die Hohe des Erganzungskegels //' kann aus diesen Groflen berechnet werden. (§. 250.) §. 283a). Aufgaben. 1. Suche die Mantelflache eines geraden Kegels, dessen Grundflache 11*8 cm zum Halbmesser hat, und dessen Seite 15*5 cm betragt. 2. Berechne den Cubikinhalt folgender Kegel: a) Halbmesser der Grundflache 6*2 dm, Hohe 7*5 dm ; h) „ „ „ 14J cm, „ 23f cm; c) „ „ „ 1 m 1 dm 8 cm, „ 2 m 4 dm 6 cm. 3. Die Seite eines geraden Kegels ist 3*33 dm, die Mantelflache 1/59 296 cm 2 ; wie grofl ist der Durchmesser der Grundflache? ^ 4. Der Halbmesser der Grundflache eines geraden Kegels ist 12 cm, die Hohe 35 cm; wie grofl ist die Oberflache? 152 5. Ein Kegel und ein Cylinder liaben gleiclie Grundflache und gleiche Hohe; wie verhalten sicli ihre Inhalte zueinander? 6. In einem gleichseitigen Kegel ist die Seitenlange 7*5 (for, wie gro!3 ist a) die Oberflaclie, b) der Inhalt? 7. Die Oberflaclie eines gleichseitigen Kegels* ist 2580 cm 2 ; wie grofl ist dessen Cubikinhalt? 8. Der Cubikinhalt eines gleichseitigen Kegels ist 0*16 hi 3 -, berechne dessen Oberflaclie. 9. Ein gleichseitiger Cylinder und ein gleichseitiger Kegel haben gleiche Hohe: wie verhalten sich ihre Mantelflachen ? 10. Ein gleichseitiger Kegel von 36 cm Hohe hat dieselbe Oberflaclie wie ein gleichseitiger Cylinder; wie grofl ist die Seite des Cylinders? 11. Die Oberflaclie eines geraden Kegels betragt 11*204 m 2 , der Halbmesser der Grundflache ist 1*2 m; wie grofl ist der Cubikinhalt des Kegels? 12. An einem geraden Kegel ist der Halbmesser der Grundflache 1*5 m, die Seite 1*8 m; eine Pyramide hat mit dem Kegel denselben Scheitel, und zur Grundflache ein der Grundflache des Kegels eingeschriebenes Quadrat; wie grofl ist die Differenz der Cubikinhalte beider Korjier ? 13. An einem kegelformig aufgeschutteten Getreidehaufen betragt der Umfang der Grundflache 2 m 5 dm , und die Hohe 1 m; wie viel Id Getreide enthalt der Haufen? 14. Ein Ileuschober hat 2*6 m Durc-hmesser und 4*5 m Hohe; wie viel kg Hen enthalt er, wenn das m s Heu 114 kg wiegt? 15. Ein messingener Kegel ist 21 cm hoch und hat eine Grundflache von 10*5 cm Durchmesser; wie grofl ist das Gewiclit desselben, wenn 1 m 3 Messing 8| kg wiegt? 16. Welchen Wert hat ein unentwipfelter Tannenstamm, welcher 12*6 m hoch ist und unten 2*2 m im Umfange hat, wenn das m 3 Holz mit 8 K 80 h bezahlt wird? 17. Aus einem kegelformigen, mit Wasser gefulltem GefaOe von 21 cm Durch¬ messer und 15 cm Hohe wird das Wasser in ein cylindrisches Gefafl von 12 cm Durchmesser gegossen: wie hoch wird das Wasser in diesem Ge- fal]e stehen? §. 283 b). 1. Die Durchmesser der Grundflachen eines Kegelstumpfes sind 2*4 dm und 1*8 dm, die Hohe betragt 3*02 dm; wie grofl ist der Cubikinhalt des Kegelstumpfes? 2. Die Seite eines geraden Kegelstumpfes ist 6 dm, die Durchmesser der Grund¬ flachen betragen 9 dm und 7 dm; wie grofl ist die Oberflaclie? 3. Wie grofl ist a) die Mantelflache, b) der Cubikinhalt eines geraden Kegel¬ stumpfes, dessen Grundflachen 3 m und 2 m zu Durclimessern haben und 1*2 m voneinander abstehen? 4. Berechne die Oberflaclie und den Cubikinhalt eines geraden Kegelstumpfes, dessen Seite 5 dm ist, und dessen Grundflachen 7 dm und 4 dm zu Halb- messern haben. 4 153 5. Ein 36 cm holier Kegel, dessen Grundflache 6 cm zum Halbmesser liat. wird in her Mitte dor Ilohe parallel mit der Grundflache durchschnitten; wie grofl ist der Cubikinhalt jedes der beiden Theile? 6. Ein in h orm eines Kegelstumpfes anzufertigendes Gefafl soil unten 70 cm uiul oben 90 cm Umfang haben und 20 cm hoch sein; wie viel Liter fasst es? i. Ein Bottich hat 1 m uuteren und 1*4 m oberen Durchmesser und 1*2 m Tiefe; wie viel hi halt derselbe? ♦ Ein Baumstamm hat an dem einen Ende 17 dm, an dem andern 13*6 dm I miang, die Lange betragt 7 ?«; wie grofl ist a) sein Cubikinhalt, b) sein Gewicht, wenn ein dm 8 Holz 0*48 kg wiegt? 9. Wie viel m 8 Scheitholz gibt ein Baumstamm von 5 m Lange, der an dem einen Ende 7 dm , an dem andern 6 dm Durchmesser hat, wenn man annimmt, dass 1 wi 8 Stammholz 1J m 8 Scheitholz gibt? 5. Die Kuirel. §. 284. Oberflache und Volumen einer Kugel. Bezeichnen r, n, v den Radius, die Oberflache und das Yolumen einer Kugel, so ist, wie bier nicht bewiesen werden soli, o = 4r 2 jr, v = Da v 4 r 8 n 4 r 1 it . —, so ist v O V °- 3* Diese Gleichungen enthalten folgende Satze: Die Oberflache einer Kugel ist gleich dem vierfachen In halt eines Hauptkreises. Das Yolumen einer Kugel ist g 1 eich dem Producte aus der Maflzahl der Oberflache und dem dritten Theile des Radius derselben. Umgekehrt folgt r- o daher r o 4 7T 1 J 4 n Heiflt E der Halbmesser und 0 die Oberflache einer zweiten Kugel, so ist auch 0 == 4:E 2 jt, daher 0: o = 4R 2 Jt : 4r 2 jc = B 2 : r 2 ] d. h. Die Oberflachen zweier Kugeln verhalten sich wie die zweiten Potenzen ihrer Halbmesser. Fttr die Volumina zweier Kugeln mit den Radien E und r hat man: T UP: 4 r 3 -t V , mithin V:v = R s :r' A ; d. h. 3 ’ 3 Die Volumina zweier Kugeln verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Halbmesser. Eine Hohlkugel ist die Differenz der Volumina zweier Kugeln; sind ---v ft 4 Q 4 die Radien derselben E und r, so ist V 4 7t 3 7i 4 r 8 7i 4 71 3 (R r 9 \ 3 3 154 §. 285 . Aufgaben. 1. Der Halbmesser einer Kugel ist a) 0*36 m , b) 48f cm, c) 1*32 dm\ wie grofl ist a) die Oberflache, b) der Inhalt der Kugel? 2. Der groflte Kreis einer Kugel hat 4*8 dm im Umfange; wie grofl ist a) die Oberflaclie, b) der Inhalt der Kugel? 3. Die Oberflaclie einer Kugel betragt a) 0* 15 m 2 , b) 12 *76 cm 2 , c) 66 dm 2 3*96 cm 2 ; wie grofl ist der D urclimesser? 4. Der Cubikinhalt einer Kugel ist a) 4 dm 8 , b) 0*357 m 3 , c) 4 dm z 875 cm 3 ; wie grofl ist die Oberflache? 5. Ein Kugelkreis, welcher 9 cm vom Mittelpunkte der Kugel absteht, hat 454*74 cm 2 Flacheninhalt; wie grofl ist a) die Oberflache, b) der Inhalt dieser Kugel? 6. Wie verhalten sich a) die Oberflachen, b) die Cubikinhalte zweier Kugeln, deren Halbmesser 0*36 m und 0*48 m sind? 7. Wie verhalten sich die Cubikinhalte zweier Kugeln, deren Oberflachen sich wie 16:25 verhalten? 8. Wie verhalten sich die Oberflachen zweier Kugeln, deren Cubikinhalte sich wie 27:64 verhalten ? 9. Von zwei Kugeln hat die erste 6 dm, die zweite 5 dm im Durchmesser; wie grofl ist der Durchmesser einer Kugel, deren Inhalt gleicli ist deni Inhalte der beiden andern Kugeln zusammengenommen? 10. Wie grofl ist der Durchmesser einer Kugel, welche so grofl ist als ein Wiirfel, desseD Seite 1*11 m betragt? 11. Suche die Seite eines Wiirfels, der an Inhalt gleicli ist einer Kugel von 1 m 2 dm Durchmesser. 12. Die Seite eines Wiirfels ist s, und eben so grofl ist auch der Durchmesser einer Kugel; welches Verhaltnis haben a) die Oberflachen, b) die Cubikinhalte beider Korper? 13. Eine Kugel hat mit einem geraden Cylinder gleichen Halbmesser und gleichen Cubikinhalt; wie grofl ist die Mantelflache des Cylinders, wenn die Oberflache der Kugel 5*64 dm 2 betragt? 14. Ein gerader Kegel hat 0*8 m Hohe und eine Grundflache von 0*3 m Halb¬ messer; wie grofl muss der Durchmesser einer Kugel sein, deren Oberflache gleicli ist der Mantelflache jenes Kegels ? 15. Wie groB ist die Seite eines gleichseitigen Kegels, welcher mit einer Kugel vom Halbmesser 14 cm inhaltsgleich ist? 16. Eine Kugel, ein gleichseitiger Cylinder und ein Wiirfel haben gleiche Ober¬ flache, namlich 10 dm 2 ; wie gro6 sind die Cubikinhalte dieser drei Korper? 17. Eine Kugel, ein gleichseitiger Cylinder und ein Wiirfel haben gleichen Cubik¬ inhalt, namlich 10 dm 3 ; wie gro8 sind die Oberflachen dieser drei Korper? 18. In einen gleichseitigen Cylinder mit dem Halbmesser r werden eine Kugel und ein gerader Kegel eingeschrieben; wie verhalten sich die Cubikinhalte des Kegels, der Kugel und des Cylinders zueinander? 19. Um eine Kugel mit dem Halbmesser r wird ein gleichseitiger Cylinder be- schrieben; wie verhalten sich a) die Oberflachen, b) die Cubikinhalte der beiden Korper? 155 ^ g v °ft ^ st die Oberflache der Erde, wenn man diese als eine Kugel betrachtet, deren Halbmesser 0378 km betragt? [n = 3*141593....) -1- Her Darchmesser eines Erdglobus ist 4 dm; wie verhalt sich dessen Ober¬ flache zur Oberflache der Erde ? 1 M ie grofi miisste der Durclimesser eines Erdglobns angenommen werden, auf welchem 1 als 1 mm 2 erscheiuen soil? Wie grofl ist der Durclimesser einer Kanonenkngel von 15 kg Gewicht, wenn 1 dm 3 Eisen 7*2 kg wiegt? 24. Eine Kugel von 2*S ihn Halbmesser wiegt 4'5 kg-, wie viel wiegt eine andere Kugel aus demselben Stoffe, deren Halbmesser 8*2 dm ist? 25. Ein eylindrischer Dampfkessel mit zwei halbkugelformigen Endstiicken ist 1 /// weit und 4 m lang, so dass die Lange des Cylinders 3 m betragt; wie groO ist a) die Oberflache, b) der Inhalt des Kessels, c) das Gewicht, wenn 1 dm 3 Eisen 7*8 kg wiegt? 20. Der Umfang des aufleren groflten Kreises einer Hohlkugel ist 1*2 m, die Wandstiirke 2 cm; wie grofl ist der Inhalt der Kugelschale? 27. Wenn man den Durclimesser der Erde = 12750 km und die Hohe ihrer Luft- sdiichte = 84 km setzt, wie grofl ist der Inhalt der Luftschichte? (>. Yoliimen und Gewicht der Kdrper. §. *280. Auf eine ganz einfaclie Weise wird das Yolumen eines beliebigen Korpers mit Hilfe eines prismatischen oder cylin- d rise hen Gefafies bestimmt, dessen Grundtlaehe bekannt und an dessen Seitemvand die innere Hohe in Decimeter, Centimeter und Milli¬ meter eingetlieilt ist. Man legt den zu messenden Kdrper in ein solches GefaB, ftillt dieses mit Wasser so liocli, dass der Kdrper ganz von Wasser bedeckt ist, und merkt sich die Hohe des Wasserstandes; hierauf wird der Kdrper herausgenommen und die Hohe des nun niedrigeren Wasserstandes abgelesen. Der Inhalt des zu bestimmenden Korpers ist nun gleicli dem Inhalte eines prismatischen oder cylindrischen Korpers, welcher mit dem Gefafie gleiche Grundtlaehe hat, und dessen Hohe der Differenz der beiden Wasserstande gleich ist. Wenn der zu messende Kdrper das Wasser einsaugt, so verwendet man feinen Sand zum Fallen des Gefafies. Mittelst eines solchen Gefafies kann man auch den Inhalt irgend eines anderen unregelmafiigen hohlen Gefafies finden. Man ftillt dieses mit Wasser, schtittet dasselbe dann in das mit der Scala versehene GefaB, und bereclmet nach diesem aus der Grundtlaehe und der Hohe des Wassers den gesuchten Inhalt. Die Scala eines solchen Gefafies kann unmittelbar auch das Volu- men desselben bis zu bestimmten Querschnitten angeben. §. 287. Das Volumen eines Korpers kann auch mittelst des Gewichtes desselben bestimmt werden. 156 Die Grofie des Druckes, den ein Korper von beliebigem Baum* inhalte auf seine Unterlage austibt, heifit das absolute Gewicht des Korpers. Das Gewicht, das eine Cubikeinlieit, z. B. ein Cubik- decimeter, des Korpers liat, nennt man dessen specifisehes Ge¬ wicht. Z. B. 1 dm* Silber wiegt 10*51 kg] dies ist das specifische Gewicht des Silbers fur 1 dm d als Cubikeinlieit. Bei den Angaben liber das specifische Gewicht nehinen wir durch- gangig 1 dm n als Cubikeinlieit mid 1 kg als Gewichtseinheit an. Nachstehend folgen die specifisehen Gewichte einiger Korper: 1 Cubik decimeter Es sei z. B. der Cubikinhalt eines Silberbarrens, der 32 kg wiegt, zu bestimmen. Da 1 dm 6 Silber 10*51 kg wiegt, so nelimen 32 % Silber so viel dm 3 Raum ein, wie oft 10*51 kg in 32 kg enthalten sind; man hat daher 32 : 10*51 .. = 3*045 .. Das Volumen ist also 3*045 .. dm : \ Das Volumen eines Korpers in Cubikdecimetern wird demnach gefunden, indem man das absolute Gewicht desselben in Kilogrammen durch das specifische Gewicht fill* 1 dm ?> dividiert. Umgekehrt findet man aus dem Volumen eines Korpers das absolute Gewicht desselben, wenn man dessen specifisehes Gewicht mit der Mafizahl des in dm 3 ausgedriickten Volums multipliciert. Ist z. B. das absolute Gewicht von 225 dm 3 Messing zu bestimmen, so hat man 1 dm 3 Messing wiegt 8*40...% 225 „ „ wiegen 8*40... kg X 225 = 189o kg. Mittelst des Gewichtes kann auch der Inhalt eines wie immer geformten hohlen Gefafles auf eine sehr einfaclie Art bestimmt werden. Man wagt zuerst das leere GefaG ab, fiillt es mit Wasser, wagt sodann das voile GefaG ab und subtrahiert das erste Gewicht von dem zweiten. So viele Kilogramm diese Gewichtsdifferenz betragt, ebensoviele Cubikdecimeter oder Liter halt das Gefag. 157 • » o. 6 . 7 . 8 . 9. 10 . 11 . 12 . 13 . 14 . 18 . 19 . 20 . §. 288 . A u f g a b e n. In eiu pi ismatisches GeiaO von 47 cm Lange und 32 cm Breite, welches zum 1 heile mit V asser getiillt war, wurde ein unregelmajQiger Korper gesenkt, so dass ihn das Wasser bedeckte; das Wasser stand dann 36 cm hoch. Nachdem man den Korper herausgenommen liatte, stand das Wasser noch 24 cm hoch; welches Volumen hat der Korper? Kin cvlindrisches Gefatf von 3 dm Durchmesser nnd 4 dm Hohe, worm sich 2 i dm hoch \\ asser befand, war, nachdem man einen unregelmahigen Korper hineingelegt hatte, gerade geftillt; wie groO ist das Volumen dieses Korpers? l'.m cvlindrisches (>las, dessen innere Plohe 1 dm und dessen Durchmesser l*o dm betragt, ist ganz mit Wasser geftillt; wenn nun eine Kugel von 8 cm Durchmesser in das Glas gesenkt wird, so wird daraus ein Theil des Wassers ausflieljen. Wie hoch wird das Wasser im Glase stehen, nachdem die Kugel wieder heransgenommen wurde? Wie groi; ist der Inhalt eines Gefafles, das leer 1*5 kg, mit Wasser geftillt 14*8 ky wiegt? Wie viel ly wiegt das Wasser, das in einem Gefafle von 165 cm Lange, 85 cm Breite und 7 dm Tiefe enthalten ist? Kin Stuck Blei wiegt 24 Icy ; welches ist sein Volumen? Wie viel m 3 enthalt ein Balken a) Eichenholz, b) Buchenholz, der 135 Icy wiegt? Wie groll ist die Kante eines Marmorwiirfels, der 184 kg wiegt? Eine eiserne Walze von 2*5 m Lange wiegt 680 kg; wie groh 1st ihr Durch- / messer? Line Kugel aus Klfenbein wiegt 12*135 dkg; wie groO ist ihr Halbmesser? Wie viel Icy wiegt eine Platte von Gusseisen, welche 1*9 m lang, 0*2 m breit und 0*08 m dick ist? Wie viel wiegt ein Cylinder von Eichenholz, wenn seine Lange 28 dm und sein Durchmesser 3*5 dm betragt? Auf den Ecksaulen eines Gartentkores liegen zwei kugeltormige Korper aus Granit; wie viel ley wiegen dieselben, wenn jeder 5*2 dm im Durchmesser hat? Wie viel wiegt eine hohle Kugel aus Messing, bei welcher der innere Durch¬ messer 3 dm betragt und das Messing 1 cm dick ist? Ein Hektoliter Wein wiegt 100*8 kg; % wie groh ist das specifische Gewicht dieses Weines ? Ein Fass von 0*6 m 3 Inhalt ist mit 01 geftillt, das 520 kg wiegt; welches • • specifische Gewicht hat das 01? An einem Zuckerhut, der die Gestalt eines geraden Kegels hat, betragt der Umfang der Grundflache 7 dm und die Seite 5 dm; wie groh ist das speci¬ fische Gewicht des Zuckers, wenn der Zuckerhut 6*8 kg wiegt? Eine messingene Walze soil 4 kg wiegen und 3 dm lang sein; welchen Durch¬ messer muss man der Walze geben? Es soli ein Cylinder aus Gusseisen gegossen werden, der 1 kg wiegt und 4 cm im Durchmesser hat; wie gro6 wird die Hohe sein ? Es sollen cylinderformige Gewichte von je 1 kg und zwar a) aus Blei, b) aus Messing, c) aus Gusseisen gegossen werden; wie viel cm muss der Durchmesser betragen, wenn er nur die Halite der Hohe des Cylinders sein soil? 158 21. Die Grobe des Druckes einer Flussigkeit auf den Boden eines Gefabes ist gleich dem Gewichte einer Fliissigkeitssaule, deren Grundflache die Boden- flache des Gefabes und deren Hohe die Hohe des Fliissigkeitsstandes ist. Wie groJ0 ist der Druck auf den Boden eines cylindrischen Gefabes von 1*2 dm Durchmesser, das bis zu einer Hohe von 2 dm mit Regenwasser (specifisches Gewicht = 1*09) gefullt ist? 22. Die Bodenflaehe eines prismatischen Gefabes von 1 m Lange und 5 dm Breite kann nur einen Druck von 170 kg aushalten; bis zu welcher Hohe darf dieses Gefab mit Baumol (specifisches Gewicht = 0'92 kg) gefullt werden? 23. Die Grofie des Luftdruckes auf eine Flache ist gleich dem Gewichte einer Quecksilbersaule, deren Grundflache jene Flache und deren Hohe der jeweilige Barometerstand ist. Wie grob ist der Luftdruck auf eine Flache von 1 dm* bei einem Barometerstande von 742 mm ? 24. Wie grob ist bei demselben Barometerstande der Luftdruck a) auf die Ober- flache eines Wiirfels von 1 dm Seitenlange, b) auf die Oberflache einer Halb- kugel von 2 dm Durchmesser? * * he NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJI2NICA 00000493120 *'t* itv/' J. -r- A . ' v - A > 1 'V v ' - V f" -*« ■ •' / , •: , A i: ' '■ S-. ■: ' H V U . - i£3&4j2&T4fVT/. XX.' mgMgm. ///■/'. WMb mzmm Mmm Yr/SsA/yj/ iv •■•‘Jj r if / wwWMmWk WmSmMmk oxc &wJ% SffiS tflMK -:-r^ 'v/'l-.^o' v * , . t e/Zr/y,Y,*' •///■xoxji'r.j'* Kf". Wmmm siPlSgipit mmpmt EgBg&giajMgl rnmmmmmw§0^ Y^vrY/tVftr - wA nsmmmM^m wm&. wmm. //*/' wm^MMWM^w , '£wMSM ’SmmmMMmmmm. /w Wmmm 4‘&n/T «W*£ ArA'/t'. mmm ■//////,V/AV/