OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
DECEMBER 2022STR 129-176ŠT. 4LETNIK 69LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2022
Letnik 69
4
i
i
“kolofon” — 2022/12/11 — 19:06 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, DECEMBER 2022, letnik 69, številka 4, strani 129–176
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
Posamezna številka za člane stane 6,00 EUR, stare številke 3,00 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2022 DMFA Slovenije – 2155 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 129 — #1 i
i
i
i
i
i
SIDRNA VERIGA
VLADO MALAČIČ
Nacionalni inštitut za biologijo, Morska biološka postaja Piran
Ključne besede: sidrna veriga, verižnica
Obravnavana je oblika sidrne verige s pomočjo verižnice. Izveden je iterativni izračun
parametra verižnice, ki temelji na dolžini sidrne verige ter na legi točke sidrne verige na
gladini glede na sidro na morskem dnu. Določena je točka na sidrni verigi, v kateri se veriga
na dnu prične vzpenjati proti plavajočemu objektu. Prikazanih je nekaj porazdelitev
verižnic, ko je plavajoče telo sidrano s tremi verigami.
ANCHOR CHAIN
The anchor chain is described with the catenary curve. The parameter of the catenary
is iteratively calculated from the length of the anchor chain and the point of the chain at
the sea-surface with respect to the anchor at the sea floor. The point on anchor chain is
determined, at which the chain starts to rise from the sea floor toward a floating body.
Situations with the »three-point« anchoring are presented with a model on a table.
Uvod
Vnaprej pričakujemo, da je krivulja, ki jo opǐse viseča veriga, vpeta med
sidrom in plavajočim telesom nad njim, podobna verižnici. Kljub množici
virov [7, str. 324] o izredno znani in razširjeni verižnici pa je še vedno po-
treben določen trud, da bi se dokopali do podrobneǰse oblike viseče verige,
če npr. poznamo osnovne podatke o verigi, kot je npr. njena dolžina, vǐsina
točke vpetja verige na plavajočem objektu nad sidrom na morskem dnu ter
horizontalno oddaljenostjo (točke vpetja) plavajočega objekta od sidra, ki
objekt (npr. bojo, plovilo, splav) povezuje s sidrom. Ko nas zanimajo sile,
je seveda treba poznati tudi dolžinsko gostoto verige. Običajno čoln v ma-
rini privežemo tako, da ta lebdi nekje med sidrom, ki se nahaja za krmo, ter
privezom na obrežju. Vmes med privezno točko na plovilu ter privezom na
obrežju oz. krmo in sidrom se nahaja gibka vrv ali veriga, obe bolj ali manj
sledita krivulji verižnice. Upoštevali bomo njeno težo in silo vzgona nanjo.
Nekako se morda spodobi, da med vire o verižnici navedemo tiste, ob-
javljene v Preseku in Obzorniku. Zgodovina verižnice je zgoščeno opisana
v [4], tukaj zapǐsimo le, da je krivulja verižnice znana okoli tri stoletja in pol,
po razvoju diferencialnega računa. Zaradi pomanjkanja slednjega je verjetno
antični modreci niso mogli dognati. Tako je že A. Likar [2] navedel uporabo
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 129
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 130 — #2 i
i
i
i
i
i
Vlado Malačič
verižnice v obokih in kupolah. Avtorja v [5] pa sta pokazala, da se stranice
kvadrata, pri katerem se sredǐsče kvadrata zgolj horizontalno pomika, kota-
lijo po zlepljenih odsekih verižnice. Obstajajo tudi zahtevneǰsi prispevki [4],
ki se ukvarjajo s »pravo« in simetrično verižnico v radialnem gravitacijskem
polju, v katerem gravitacijska sila upada s kvadratom oddaljenosti od težǐsča
mase, ki ustvarja tako polje. To polje pa bi prǐslo do izraza le, če je verižnica
pač ogromna. V njenem temenu, ki je bližje težǐsču mase, ki ustvarja gravi-
tacijsko polje, je privlačna sila večja, verižnica v takem polju je zato videti
bolj koničasta glede na običajno verižnico. Obravnavan je bil tudi poseben
primer prave verižnice [3] (v centralnem gravitacijskem polju), za katero
velja, da je njena (ločna) dolžina s produkt polarnega kota ϕ in polarne
(radialne) oddaljenosti točke na verižnici: s = ϕ r(ϕ). V prispevku [6] pa
je opisana verižnica kot rezultat iskanja minimuma funkcionala potencialne
energije krivulje, ki je vpeta v dveh točkah, oz. njen desni rob lahko drsi
vzdolž premice. Iz minimuma funkcionala je avtor [6] pridobil diferencialni
enačbi (tam enačbi (13)) drugega reda z robnimi pogoji za koordinate točk
verižnice kot funkciji ločne dolžine s vzdolž verižnice, ki ju je rešil.
V [5] je tudi zapisana lastnost verižnice, za katero velja, da je naklon
tangente v katerikoli njeni točki sorazmeren z dolžino krivulje od točke na
njej, v kateri je tangenta na krivuljo vodoravna. Podobno je zapisal avtor
v [2], ki pa je to povezal z ravnovesjem sil: teža visečega dela verižnice
od opazovane točke na njej do najnižje točke, kjer je tangenta vodoravna,
je namreč sorazmerna z dolžino verižnice, saj je masa m = µs, kjer je s
dolžina visečega dela verige in µ dolžinska gostota, pri čemer predpostavimo
homogeno verigo (µ ni funkcija prostora) in dovolj kratke člene verige, da
zadoščajo za zvezen opis z diferencialnim računom. Vertikalna komponenta
vlečne sile zato v ravnovesju uravnoveša težo in raste z dolžino visečega dela
verige od dna do točke na verigi:
F sinα = gµs(x), (1)
kjer je α naklonski kot (tangente) verige v opazovani točki do horizontalne
osi, vzdolž katere raste koordinata x, z njo pa tudi dolžina visečega dela
verige. Horizontalna komponenta vlečne sile pa je enaka vzdolž celotne
verige, tako visečega dela kot tistega na vodoravnem morskem dnu
F cosα = F0, (2)
kjer je F0 horizontalna natezna sila na verigo v »temenu« verižnice, na nje-
nem najnižjem delu, kjer naj bo koordinata x = x0. Predpostavimo še,
da sta dno in veriga na njem vodoravna, da nas ne bi motilo diferencialno
130 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 131 — #3 i
i
i
i
i
i
Sidrna veriga
pogrezanje verige v muljevito dno. Vertikalna koordinata z = 0 za vsak
x ∈ [0, x0], kjer je izhodǐsče postavljeno v točkasto in negibno sidro. Hori-
zontalna natezna sila F0 verige na dnu je vzdolž verige enaka vse do sidra,
seveda je tudi enaka natezni sili na verigo v vodnem stolpcu. Iz (1) in (2)
pridobimo, kar je bilo navedeno že v [2], to je:
tgα =
s
a
; a =
F0
µg
. (3)
Vpeljali smo parameter a, običajen za verižnico, ki je sorazmeren horizon-
talni natezni sili in obratno sorazmeren dolžinski gostoti. Kako pridemo do
take situacije, ko del verige raztegnjen leži na dnu? Predstavljajmo si, da
smo s čolna spustili sidro na dno in se potem od sidra oddaljujemo proti
obrežju, na katerega želimo čoln pritrditi z vrvjo na kljunu. S približeva-
njem obrežju in z oddaljevanjem od sidra za seboj vlečemo verigo in nanjo
že izvajamo silo. Če smo se odmaknili za razdaljo D, katere vsota z glo-
bino sidra (vǐsino čolna nad sidrom) je večja od dolžine verige, H +D > L,
je del verige na dnu raztegnjen, drugi del pa gotovo viseč in ukrivljen, saj
»ni dovolj verige«, da bi se ta lahko horizontalno raztezala do oddaljenosti
D, pa še v vǐsino z = H. Kje pa je točka x0 < D, pri kateri se veriga
začne vzpenjati do »čolna«? Predpostavimo še, da je viseči del verige nad
gladino na čolnu zanemarljiv. Lahko si predstavljamo na podoben način
vpeto plavajočo bojo, iz katere se že pod gladino spusti sidrna veriga do
dna. Masa verige (teža) prepreči, da bi v skrajno napetem stanju imeli
verigo premočrtno diagonalno napeto od sidra do plavajočega telesa, torej
tudi velja L > (H2 +D2)1/2.
Vhodni podatki in robni pogoji
Podane imamo naslednje podatke, ki si jih izposodimo od sidranja oceano-
grafske boje Vide: boja je horizontalno oddaljena od sidra za D = 33 m,
vǐsina gladine, kjer je veriga vpeta nad dnom, naj bo H = 22 m, dolžina
verige L = 50 m, dolžinska gostota µ = 25,4 kg/m. Meri H in D sta ne-
zanesljivi na nekaj m, L verjetno nedoločena na manj kot 0,5 m. To so
mere sidranja oceanografske boje Vide [8], ki je sicer tri-točkovno sidrana s
tremi verigami dolžine L, pri čemer so v grobem (zelo v grobem) tri sidra
porazdeljena okoli Vide pod kotom 120° v horizontalni oddaljenosti 33 m.
Predpostavimo zgolj eno sidro. Nekaj več o treh sidrih opǐsemo pri koncu
prispevka. Zaenkrat zadostuje, da pri opazovanju ene verige horizontalno
natezno vlečno silo izvajata drugi dve verigi in njuna sidrna bloka.
129–139 131
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 132 — #4 i
i
i
i
i
i
Vlado Malačič
Še misel o robnem pogoju naklonskega kota v točki (x0, 0), v kateri se
veriga začne vzpenjati. Ker je po (3) naklon tangente sorazmeren dolžini
visečega dela pod opazovano točko, tega pa v tej točki pač ni, je naklon in
s tem α(x0) = 0. Zato kar zapǐsemo:
z(x0) = 0;
(
dz
dx
)
x0
= p(x0) = (tgα)x0 = 0. (4)
Vpeljali smo funkcijo odvoda vǐsine po x oz. naklona tangente p(x). Naklon-
ski kot pri boji v točki (D,H) pa bomo določili, ko bomo razrešili enačbo
verižnice, kar pomeni po določitvi vrednost parametra a. V tej točki priča-
kujemo kar visoko strmino naklona, saj sta pod to točko največja dolžina in
masa visečega dela verige.
Zapis verige
Kot že povedano, gre za izjemno razširjeno krivuljo, ki je analitično dobro
razdelana. V Preseku [5] sta avtorja očitno predpostavila, da bralci revije
obvladajo osnove vǐsje matematike. Ubrala sta eleganten pristop do veri-
žnice, ki temelji na levi strani (3) in na zapisu elementa ločne dolžine ds z
naklonom p(x) v točki (x, z):
ds =
√
1 + p2(x)dx;
d~r
ds
=
(
dx
ds
,
dz
ds
)
= (cosα, sinα), (5)
kjer smo dodali spremembo krajevnega vektorja ~r z ločno dolžino, zapisano
s komponentami enotskega vektorja tangente na krivuljo. Leva stran (5) ob
uporabi (3) preide v
s′ =
√
1 + p2(x); p′ =
s′
a
=
1
a
√
1 + p2(x), (6)
kjer je ()′ = d()/dx. Z ločitvijo spremenljivk p in x v desnem izrazu v (6)
sta avtorja [5] hitro pridobila, da je integral za x/a sorazmeren s funkcijo
arsh(x/a), od koder sledi, da je p(x) do aditivne konstante sorazmeren s
sh(x/a), zato je tudi rešitev z(x) sorazmerna s ch(x/a), poleg sta tudi dve
konstanti. Tukaj bomo sledili morda »običajneǰsi« izpeljavi, podobni kot
v [7], vendar s sledenjem robnim pogojem, ki ustrezajo našemu problemu.
V ta namen zapǐsemo spremembe koordinat z naklonskim kotom:
dx
dα
=
dx
ds
ds
dα
=
a
cosα
;
dz
dα
=
dz
ds
ds
dα
= sinα
a
cos2 α
, (7)
132 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 133 — #5 i
i
i
i
i
i
Sidrna veriga
pri čemer smo uporabili desni izraz v (5) ter levi v (3). Za vertikalno ko-
ordinato hitro pridobimo odvisnost od naklonskega kota z elementarnim
integriranjem in upoštevanjem robnega pogoja (4)
z = a
[
1
cosα
− 1
]
(8)
Iz (7) pa x(α) ne sledi tako hitro, vendar je integracija možna na več na-
činov, izvede se npr. z uporabo »univerzalne substitucije« pod integralom
t = tg(α/2) [1, str. 324], ali pa z uporabo tabel nedoločenih integralov [1,
integral 325 na str. 879]. Tukaj sledimo posnetku [9] s privlačno spremembo
argumenta pod integralom po α:
x− x0 = a
∫ α
0
dα
cosα
= a
∫ α
0
(tgα+ 1/ cosα)dα
cosα(tgα+ 1/ cosα)
= a
∫ α
0
[(1/ cos2 α) + (sinα/ cos2 α)]dα
(tgα+ 1/ cosα)
x− x0 = a
∫ α
0
d(tgα+ 1/ cosα)
(tgα+ 1/ cosα)
= a ln[tgα+ 1/ cosα] (9)
ali
e(x−x0)/a = tgα+ 1/ cosα. (10)
Podobno sledi
e−(x−x0)/a =
1
tgα+ 1/ cosα
=
cosα(1− sinα)
(1 + sinα)(1− sinα)
=
(1− sinα)
cosα
e−(x−x0)/a = − tgα+ 1/ cosα. (11)
S seštevanjem (10) in (11) se znebimo tgα, delimo z 2, upoštevamo (8) in
pridobimo rešitev:
z = a
[
ch
(
x− x0
a
)
− 1
]
. (12)
Vloga parametra a je torej dvojna: pomeni vertikalni razteg (»amplitudo«)
verižnice in hkrati tudi normalizacijo argumenta. Naklon tangente na kri-
vuljo je
p = sh
[
x− x0
a
]
. (13)
Z (12) in (13) tudi izpolnjujemo robna pogoja (4). Kaj pa dolžina dvi-
gnjenega dela verižnice? Lahko integriramo levi del (5) s pomočjo (13) od
x = x0 dalje, vendar je dolžina dvignjenega dela s že bila zapisana v (3),
129–139 133
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 134 — #6 i
i
i
i
i
i
Vlado Malačič
saj je sorazmerna naklonu verižnice, tu jo zgolj prepǐsimo s pomočjo (13) v
drugo obliko
s = a sh
[
x− x0
a
]
. (14)
Zapǐsimo še zvezo med celotno dolžino verige L in vǐsino verige pri boji H,
pri čemer je horizontalna oddaljenost boje od sidra D:
L = a sh
(
D − x0
a
)
+ x0; H = a
[
ch
(
D − x0
a
)
− 1
]
;
ch2
(
D − x0
a
)
− sh2
(
D − x0
q
)
=
(H + a)2
a2
− (L− x0)
2
a2
= 1;
L− x0 =
√
H(H + 2a); x0 = L−
√
H(H + 2a). (15)
Tako smo lego začetka dvigovanja verižnice x0 izrazili z dolžino verige L in
vǐsino H nad dnom.
Čaka nas še določitev parametra a. Lahko bi opisali več neposrečenih
poskusov iskanja iterativne rešitve, na tem mestu raje sledimo poti [7], ki
je z našo rešitvijo tako videti:
s2 − z2 = a2
[
sh2
(
x− x0
a
)
−
(
ch
(
x− x0
a
)
− 1
)2]
s2 − z2 = 2a2
[
−1 + ch
(
x− x0
a
)]
= 4a2 sh2
(
x− x0
2a
)
. (16)
V (16) vstavimo znane podatke pri x = D (tedaj s = L − x0 in z = H) in
x0 iz (15), uporabimo tudi izraz za sh polovičnega kota
H = 2a sh2
[
(D − L+
√
H(H + 2a))
2a
]
. (17)
Od tod sami uberemo iterativni postopek, ki konvergira:
aN+1 =
(
D − L+
√
H(H + 2aN )
)
2 arsh
(√
H
2aN
) (18)
in o katerem bo še tekla beseda.
134 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 135 — #7 i
i
i
i
i
i
Sidrna veriga
Rezultati
Izraz (18) na srečo konvergira za katerokoli vrednost a > 0. Oglejmo si sliko
iteracij za a, tako pri iskanju presečǐsča med premico y = a in iracionalno
funkcijo f(a) (slika 1a), ki je izraz na desni strani v (18), kot pri različnih
začetnih vrednostih (slika 1b).
Slika 1. a) Iteracijski postopek za a1 = 0,1 m in za a1 = 5 m. b) Konvergenca iteracij za
različne začetne vrednosti.
Izberemo kar a1 = 1 m. Iteracijo lahko izvedemo v katerem koli znanem
orodju, tudi v Excelu. Z njo pridobimo a20 = 2,44869 m, a21 = 2,44873 m,
kar zaokrožimo na a = 2,4487 m, torej na zadostno natančnost pod mm.
Po (15) in vhodnih podatkih je x0 = 25,674 m, po (12) in (14) za x = D s
takim a pa postane z = 22,002 m in s(D) + x0 = 50,002 m, kar je zadostno
ujemanje s H in L. Naklon tangente pri x = x0 je 0, pri x = D pa je po
(13) p(D) = 9,93 in s tem α = 84,25°.
Končno si oglejmo znano krivuljo. V ta namen smo si omislili ponazo-
ritev razmer z okrasno verižico, ki smo jo raztegnili po podlagi in na enem
koncu privzdignili. Mere verižice in »drugih danosti« so narekovale, da smo
129–139 135
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 136 — #8 i
i
i
i
i
i
Vlado Malačič
izbrali malo čudno merilo za ponazoritev stanja na morju z eno verigo. Di-
menziji D in H smo zmanǰsali za faktor 264. Modelska ponazoritev je na
fotografijah na sliki 2, na diagram smo prenesli odčitke sedmih točk oblike
verižice iz milimetrskega papirja.
Slika 2. Fotografiji prikazujeta modelsko predstavitev verižnice. Na diagramu je s polno
črto prikazana izračunana krivulja. Rdeča točka na x-osi predstavlja lego x0, s točkami
pa so označene modelske vrednosti.
Ujemanje modelčka z idealno krivuljo je sicer ustrezno. Vidno pa je,
da se je verižica (pri ohlapni skrbnosti avtorja) privzdignila v točki z malo
manǰso vrednostjo od x0 in da so tako tudi druge vrednosti pretežno rahlo
vǐsje od idealne krivulje, ki ustreza robnim pogojem, razen pri večjih vǐsinah.
Na koncu pa prikažimo še realneǰso situacijo. Boja Vida je tritočkovno
sidrana, žal so meritve plovcev na gladini z DGPS sistemom v mirnem
vremenu pokazale, da so sidra od nje sicer oddaljena za okoli 33 m (z napako
manǰso od 2 m), vendar kotna porazdelitev kar za več 10° odstopa od 120°
porazdelitve enakostraničnega trikotnika. Če opazujemo eno verigo, potem
jo v ravnovesju (mirnem vremenu) napenjata drugi dve verigi. Na sliki 3
vidimo porazdelitev treh verižnic, ki so pritrjene približno tako, kot so bile
izmerjene lege sidrnih blokov boje Vide v mirnem vremenu.
Modelski pogled zaključimo z vpogledom položaja verig na boji Vidi v
primeru, ko pihata burja (slika 4 levo) in jugo (slika 4 desno).
136 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 137 — #9 i
i
i
i
i
i
Sidrna veriga
Slika 3. Dva pogleda na model ravnovesne lege treh sidrnih verig v mirnem vremenu.
Slika 4. Modelska ponazoritev porazdelitve verig, ko na boji Vidi piha burja (levo) in ko
piha jugo (desno).
Pričakovano je ob burji ohlapna tista »veriga«, ki je najbolj zahodno si-
drana. Ta veriga od boje dokaj strmo pada, pri dnu pa veriga opǐse vijugavo
krivuljo. Drugi dve verigi sta bolj napeti; tista, ki je sidrana na jugovzho-
dni strani sicer pri dnu tudi opǐse krivuljo, ki je pričakovano premaknjena
proti zahodu, najbolj pa je napeta veriga, ki je sidrana v severovzhodni
129–139 137
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 138 — #10 i
i
i
i
i
i
Vlado Malačič
smeri (približno med severno smerjo in burjo). V primeru južnega vetra pa
je seveda najbolj ohlapna veriga, ki je bila pri burji najbolj napeta, drugi
dve verigi sta lepo raztegnjeni, pod največjo napetostjo pa je veriga, ki je
sidrana v jugovzhodni smeri.
Komentar in zaključna misel
Pri postavitvi modelčka z ženinimi verižicami je verjetno bila prisotna mo-
teča zaskrbljenost, ki je ovirala skrbneǰso demonstracijsko postavitev. Lega
»sidra« je zanesljivo nedoločena na nekaj mm, saj je bil del verižice, kjer
bi naj bilo »sidro«, pritrjen na podlago z lepilnim trakom. Tolika je torej
napaka pri ponazoritvi razdalje D, kar ustreza 0,5 m veliki napaki »v na-
ravi« (od 33 m). Verižica ni bila povsem pri vertikalni steni škatle z mm
papirjem, saj je visela na anteni tranzistorskega sprejemnika, pred konč-
nim 3 mm »čepom« antene. Kljub trudu pri modelski ponazoritvi »idealne
vǐsine« H(= 22/264 m = 8,3 cm), je tudi tu napaka reda nekaj mm. Zago-
tovo je prisoten vpliv prostorske projekcije pri slikovnem odčitavanju oblike
verižice na milimetrskem papirju.
Še komentarja pred zaključkom. Pod vodo je seveda teža potopljene ve-
rige reducirana za silo vzgona in je »rezultančna« (reducirana) teža Fgr =
g(m − mv) = gV (ρ − ρv), kjer je V volumen verige, ρv gostota morske
vode (okoli 1026 kg/m3 pri temperaturi 20 °C in slanosti 37) in ρ gostota
železa, za katero iz tabel razberemo, da velja ρ ≥ 7750 kg/m3. Če izberemo
spodnjo mejo za gostoto železa, je teža verige v morski vodi približno za
13 % manǰsa kot v zraku, oz. faktor zmanǰsanja teže je 0,87, sicer pa vzgon
preprosto upoštevamo, če za ta faktor reduciramo dolžinsko gostoto, ki tako
postane µ = 22,0 kg/m.
Dodamo še misel o horizontalni komponenti sile. Iz (3) je F0 = aµg in
iz podatka o dolžinski gostoti ter parametra a sledi ocena horizontalne sile
verige F0 = 528,5 N, pri čemer smo za µ upoštevali reducirano dolžinsko
gostoto zaradi vzgona. Tolikšna je v ravnovesju Vide približno horizontalna
napetost vsake od verig. Kadar pa piha stalen veter, je seveda obremenitev
verig (in sidra) bistveno spremenjena in tudi med njimi različna. S para-
metrom a je po (15) povezana točka dviga verige x0, ki se s korenom iz a
zmanǰsuje. Vendar je na dnu veriga seveda lahko tudi v zapleteni krivulji in
je bolǰse merilo za povezavo med horizontalno silo in obliko verižnice dolžina
dvignjenega dela verige, L−x0, ki pa raste s korenom iz a. Od dveh enakih
verig, ki sta pritrjeni na enaki vǐsinski razliki, bo tista z večjo visečo dol-
žino napeta z večjo horizontalno silo. V primeru tritočkovnega sidranja pri
stalnem vetru pa bi horizontalne sile lahko izvekli iz vektorskega ravnovesja
138 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Malacic” — 2022/12/11 — 18:32 — page 139 — #11 i
i
i
i
i
i
Sidrna veriga
sil, pri čemer je ključna ravnovesna lega boje, kjer se tri verige »srečajo«.
V divjem vremenu pa seveda lege boje še nismo odčitali, morda bomo prǐsli
do kakšnih zaključkov v prihodnosti z analizo GPS pozicije, ki se na Vidi
meri, v znanih vetrnih razmerah.
Eno verigo v točki (x0, 0) sila F0 vleče proč od sidra, to vsaj deloma
uravnoveša sila lepenja. Ko je veriga na mehkeǰsem dnu, so adhezijske sile
pričakovano večje in ostaja odprto vprašanje, kolikšen je preostanek sile na
sidro oz. sidrni blok, ko je ležeča veriga napeta. Večja ko bo vlečna sila,
manǰsa bo oddaljenost x0 raztegnjene verige od sidra, kjer se veriga vzpne.
Za sidro pa je visoka maksimalna sila lepenja seveda zaželena. Na trdi
podlagi bo sila lepenja verige manǰsa in ko je F0 večja od maksimalne sile
lepenja, je v igri še sila lepenja na sidrnem bloku za zaustavitev pomikov že
raztegnjene verige. Kadar pa se vlečna sila F0 plavajočega telesa poveča oz.
spremeni tudi po smeri (predvsem zaradi sile upora vetra ter sile valov in
tokov), in ko celo veriga na dnu ni v iztegnjeni obliki, ampak je zamotana
v obliki zank, pa pri pomikih verige po dnu stopi v igro sila trenja, ki
je manǰsa od maksimalne sile lepenja. Zato so pomiki verige sunkoviti, v
obliki zaporednih zdrsov, kar smo opazili tudi pri postavljanju modelčka in
spreminjanju lege »boje«. Takrat je seveda bolje, da potapljača ni poleg
boje Vide.
Iz danih vhodnih podatkov smo iteracijsko izračunali parameter veri-
žnice a, posledično pa točko dviga verige nad dnom (na oddaljenosti 25,7 m
od sidra, ko je pri dnu veriga raztegnjena) in tudi ravnovesno horizontalno
silo v posamezni verigi na 528,5 N.
LITERATURA
[1] I. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev, G. Musiol in H. Muehlig, Matematični priročnik,
Tehnǐska založba Slovenije, Ljubljana, 1997.
[2] A. Likar, Veriga in obok, Presek, 18 (1990/1991), 3, 130–133.
[3] M. Razpet, Neka verǐznica, Obzornik mat. fiz. 59 (2012), 161–169.
[4] M. Razpet, Prava simetrična verǐznica, Obzornik mat. fiz. 56 (2009), 4, 121–133.
[5] M. Razpet in N. Razpet, Kvadratno kolo, verǐznica in traktrisa, Presek, 25
(1997/1998), 5, 294–299.
[6] K. Veselić, Verǐznica – elementaren in celovit pristop, Obzornik mat. fiz. 59 (2012), 6,
201–204.
[7] Catenary, dostopno na https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary, ogled 11. febru-
arja 2022.
[8] Oceanografska boja, dostopno na http://www.nib.si/mbp/sl/
oceanografski-podatki/buoy-2/general-2, ogled 11. februarja 2022.
[9] The Catenary: Definition and Derivation, dostopno na https://youtu.be/
16JI6JzOzeI?t=7, ogled 11. februarja 2022.
129–139 139
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 140 — #1 i
i
i
i
i
i
INTERVJU
POGOVOR S PROFESORJEM JOŽETOM VRABCEM
Jože Vrabec je bil rojen leta 1940. Diplomi-
ral je leta 1963 kot prvi diplomant Tehniške
matematike na Univerzi v Ljubljani. Dok-
toriral je na University of Wisconsin v Ma-
disonu v Združenih državah Amerike leta
1971. Gostoval je na prestižnem Institute
for Advanced Study v Princetonu v ZDA.
V Ljubljani je postavil temelje poučevanja
in raziskovanja topologije. Poleg topolo-
gije je na Oddelku za matematiko Fakul-
tete za matematiko in fiziko Univerze v Lju-
bljani mnoga leta poučeval tudi temeljne
predmete analize in algebre. Upokojil se
je leta 2005. Profesor Vrabec se je mno-
gim vtisnil v spomin predvsem kot zahteven
učitelj, številnim pa tudi kot učitelj, kate-
rega zahtevnost zbledi ob njegovi predano-
sti, zahtevnosti do samega sebe in lucidno-
sti. Profesorja Vrabca odlikujejo tudi velika skromnost, (samo)kritičnost,
široka razgledanost ter ljubezen do gora in glasbe.
Profesor Vrabec, maturirali ste leta 1959 na Klasični gimnaziji v Ljubljani.
Takrat so se dogajale velike družbene in tudi šolske spremembe. Leto 1958
velja za prelomno leto, ko je bila ukinjena stara gimnazija, nastali sta obve-
zna osemletka in štiriletna gimnazija. Kje je vas takrat ujela šolska reforma?
Mi smo takrat šli iz sedme gimnazije v četrto. Takrat so se dogajale tudi
velike prostorske spremembe na šolah. Takoj naslednje leto se je gimnazija
iz matičnih prostorov na današnji Prežihovi ulici selila v prostore današnje
Šubičeve ali Plečnikove gimnazije. Ne vem, če se ni takrat imenovala II.
gimnazija v Ljubljani. Jaz pa sem maturiral še v prostorih stare Klasične
gimnazije, to je v lepi stavbi za Narodnim domom na današnji Prežihovi
ulici, kjer je sedaj Osnovna šola Prežihov Voranc.
Se spominjate dijaških let?
Marsičesa se spominjam. Gotovo je bila to elitna šola. Spomnim se, kako so
v prvih letnikih profesorji grozili, da bo, kdor se ne bo dovolj učil, pač moral
na »realko«. In tudi res je bilo tako. Dijaki, ki so vse tja do tretjega letnika
zapustili Klasično gimnazijo s kopico cvekov in se vpisali kam drugam, so bili
tam pogosto zvezde. To sicer ni veljalo za vse gimnazije, ampak predvsem za
140 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 141 — #2 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
nekatere, ki jih raje ne bi imenoval. Klasična gimnazija1 je takrat pobirala
le zares najboljše, je pa seveda res, da smo takrat gimnazijo začenjali pri
starosti desetih let, ko še nismo bili povsem izoblikovani.
Spomini na posebej izstopajoče in dobre učitelje?
Nekaj prav posebnega je bil profesor Alojzij Žitnik2. Bil je že starejši in zanj
so takrat rekli, da je učil že naše takratne profesorje. Učil nas je nemščino,
sicer pa je izjemno dobro poznal klasične jezike. V prejšnjih letih je menda
učil tudi matematiko. Bil je profesor starega kova. Po videzu suh, strog,
vedno urejen. Mi smo ga dobili v drugi gimnaziji. Spomnim se, da je bilo v
razredu pred prihodom profesorjev vedno hrupno. Ko je on prvič vstopil v
naš razred, so se vrata počasi odprla. Kot vedno je bil ogrnjen v plašč, ki
ga je pozneje odložil na stol. Pri vratih se je zaustavil in mirno čakal. Ko
smo povsem utihnili, je vstopil in se približal katedru. Z mirnim glasom je
povedal, da ko se začne ura, je trebna utihniti. Bil je res nekakšen bavbav.
Čeprav ni nikoli vpil ali povzdignil glasu, je imel izjemno avtoriteto. Bil je
človek, ki je avtoriteto izžareval s svojim znanjem in obnašanjem. Zelo smo
ga spoštovali in ga na koncu imeli tudi zelo radi. Meni je s svojim načinom
dela zelo ustrezal. Veliko smo se morali učiti tudi na pamet. In veste, to
mogoče sploh ni tako slabo, saj se vam tako struktura in ritem jezika vtisneta
v spomin in v podzavest. Bil je zelo natančen. Pri izgovarjavi nas je vedno
opozarjal na vse podrobnosti. Rekel je na primer »pa ne reci ›Ziege‹ (koza)
ampak »Züge« (poteze)«. Natančno smo morali poznati nepravilne glagole
in slovnico. Ko smo jemali novo lekcijo, smo najprej šli s slovarjem od
besede do besede z njegovimi natančnimi komentarji, ki so opisali vse od
latinskih vzporednic besed do etimologije3. Za vsako novo besedo je bila
cela zgodba in njena zgodovina. Meni je bilo to strašno všeč. Posebej mi je
bila zanimiva etimologija, čeprav takrat same besede »etimologija« še nisem
poznal. Profesor Žitnik je bil gotovo nekaj posebnega. Slabih profesorjev
ni bilo. Bili so taki, ki niso znali vzpostaviti discipline in kot vedno so to
dijaki znali izkoristiti. Kot veste, učitelj ima toliko avtoritete, kot si jo zna
vzpostaviti. Na splošno imam zelo lepe spomine na gimnazijo. Mogoče
1Klasična gimnazija je bila znana kot elitna šola. O teh dejstvih nekaj pove na primer
statistika generacije 1948–1956. Čeprav je šola rekrutirala praktično izključno 10-letne
odličnjake, je po prvem šolskem letu 1948/49 odpadla četrtina vpisanih dijakov. Po štirih
paralelkah v prvem razredu so tako ostale le še tri paralelke v drugem razredu. Po
končanem tretjem razredu je sledila mala matura iz latinščine, slovenščine in matematike,
zaradi katere je odpadla še tretjina dijakov. Višjo petletno gimnazijo sta tako nadaljevala
le še dva paralelna razreda. Med takratnimi dijaki 8. a razreda pozneje najdemo polovico
z doktorati znanosti, dva ministra, predsednika ustavnega sodišča, prorektorja univerze,
dekana fakultete, pet univerzitetnih profesorjev, ustanovitelja ugledne odvetniške družbe,
predsednika Društva novinarjev Slovenije in uspešno industrijsko oblikovalko.
2Alojzij Žitnik (1891–1980), ena najbolj znanih avtoritet Klasične gimnazije v Lju-
bljani, kjer je poučeval od leta 1926 do leta 1958.
3Etimologija je veda o zgodovini in izvoru besed.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 141
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 142 — #3 i
i
i
i
i
i
Intervju
lahko omenim, da je bil akademik Žekš4 moj sošolec na Klasični gimnaziji.
V letih 1959–1963 ste študirali matematiko na takratni Fakulteti za nara-
voslovje in tehnologijo. Bili ste prvi diplomant takrat novonastale smeri
Tehniška matematika, ki se je pozneje razdelila na Uporabno in Teoretično
matematiko. Takoj za vami je na tej smeri diplomirala Marija Vencelj5.
Kako se spomnite študentskih let in vaših takratnih učiteljev?
Dejansko sva s kolegico Vencljevo študirala in diplomirala hkrati. Mogoče
sem diplomiral kak dan pred njo. Imel sem srečo, da mi je večino predmetov
vsaj v začetku študija predaval Vidav6. Analizo 1, ki se ji je takrat reklo
Matematika 1, je predaval Vidav. Predavanja so bila skupna za matema-
tike, fizike, elektrotehnike in gradbenike. Tudi Matematiko 2, ki je bila prav
tako skupna za navedene štiri smeri, je predaval Vidav. Ravno pred mojim
začetkom študija se je upokojil profesor Plemelj7. Letniku pred mano je še
nekaj predaval, jaz sem ga pa le še tu in tam videl na hodniku. Ko sem
začel s študijem, profesorjev, razen Vidava, praktično ni bilo. V drugem
letniku nam je Križanič8 predaval Diferencialne enačbe. Križanič se je tik
pred tem vrnil iz Moskve. Predavali so nam tudi nekateri drugi predavatelji,
kot na primer Sajovic9. Potem so v prvih letih mojega študija doktorirali
še Prijatelj10, Grasselli11 in Jamnik12, nekoliko pozneje pa še Suhadolc13 in
Bohte14. Vidav mi je potem predaval še Funkcionalno analizo, ki je bila
tisto leto prvič v programu, pa tudi Teorijo analitičnih funkcij. Vsa preda-
vanja v višjih letnikih so bila takrat še ciklična, to je na dve leti in sta jih
4Boštjan Žekš (1940), doktor fizike, profesor za biofiziko na Medicinski fakulteti v
Ljubljani, član SAZU.
5Marija Vencelj (1941–2020), slovenska matematičarka, višja univerzitetna predavate-
ljica na FMF UL.
6Ivan Vidav (1918–2015), slovenski matematik, član SAZU, glej intervju Obzornik mat.
fiz. 54 (2007) 6, 202–226.
7Josip Plemelj (1873–1967), slovenski matematik, prvi rektor (1919/1920) Univerze v
Ljubljani. Doktoriral je iz matematike na Dunaju leta 1898, bil je profesor v Černovicah
(današnja Ukrajina) v letih 1907–1917, od ustanovitve SAZU leta 1938 je bil njen redni
član in tudi dopisni član hrvaške, srbske in bavarske akademije znanosti.
8France Križanič (1928–2002), slovenski matematik, učitelj na FMF UL, pisec polju-
dnih knjig, srednješolskih in visokošolskih učbenikov iz matematike.
9Oton Sajovic (1907–1996), slovenski matematik, profesor opisne geometrije na tehni-
ških fakultetah UL.
10Niko Prijatelj (1922–2003), slovenski matematik, učitelj na FMF UL. Doktoriral je
leta 1961, na Oddelku za matematiko ljubljanske univerze je poučeval že pred doktoratom.
11Josip Grasselli (1924–2016), slovenski matematik, učitelj na FMF UL, doktoriral je
leta 1961; glej intervju Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 3, 100–113.
12Rajko Jamnik (1924–1983), slovenski matematik, učitelj na FMF UL. Doktoriral je
leta 1961.
13Anton Suhadolc (1935), slovenski matematik, učitelj na FMF UL, glej intervju Ob-
zornik mat. fiz. 69 (2022) 2, 57–87.
14Zvonimir Bohte (1935), slovenski matematik, učitelj na FMF UL.
142 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 143 — #4 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
skupaj poslušala po dva letnika. Pred tem – mislim, da je to veljalo še za
generacijo Suhadolca – so predavanja potekala še v triletnih ciklih, to je 2.,
3. in 4. letnik skupaj. Plemelj je tako predaval Diferencialne enačbe, Teorijo
analitičnih funkcij in Algebro. Na takratni smeri Tehniška matematika sva
bila v letniku samo midva z Marijo Vencelj, a večino predavanj smo imeli
skupno s kolegi na pedagoški smeri, ki jih je bilo približno 10. Takrat se
z Marijo Vencelj nisva počutila kot posebna smer. Zdi se mi, da je danes
pripadnost študijskim smerem veliko pomembnejša. Mogoče je to tudi zato,
ker so danes skupine večje. Jaz sem se vpisal še na Naravoslovno fakul-
teto15, potem je pa med mojim študijem nastala Fakulteta za naravoslovje
in tehnologijo. Tisto leto, ko sem začenjal študij, je bilo prvo leto, ko je
bilo mogoče študirati »enopredmetno matematiko«. Prej je bil namreč le
dvopredmetni pedagoški program, ki se mu je reklo Matematika – fizika.
In seveda je bila tudi podobna pedagoška smer Fizika – matematika. Jaz
takrat nisem vedel, kaj bi študiral, saj mi je bila fizika tudi všeč. Za nasvet
sem vprašal profesorja Bohteta, s katerim sva se poznala s košarke. Bohte
je bil ob začetku mojega študija že asistent. Pa mi je Bohte svetoval, da
se vpišem na enopredmetni študij, in sem se. Potem ob prehodu v drugi
letnik se je pa smer preimenovala v Tehniško matematiko. Za to si je takrat
zelo prizadeval Križanič in spomnim se, da profesor Vidav nad tem ni bil
posebej navdušen.
Rekli ste, da sta z Bohtetom skupaj igrala košarko?
Ja, jaz sem najprej igral košarko pri Košarkarskem klubu Odred na gimnaziji
Poljane. Pozneje pa nas je pod okrilje vzel Slovan16 in smo z isto ekipo
tekmovali kot ekipa Slovana. Med študijem, mislim, da nekje v tretjem
15Leta 1919 je bila ustanovljena predhodnica današnje Univerze v Ljubljani s Pravno,
Filozofsko, Tehniško, Teološko in nepopolno dveletno Medicinsko fakulteto. Leta 1949/50
je nastala Prirodoslovna matematična fakulteta z izločitvijo iz Filozofske fakultete.
Leta 1954/55 sta se Filozofska fakulteta in Prirodoslovna matematična fakulteta zdru-
žili v Prirodoslovno-matematično-filozofsko fakulteto. Leta 1957/58 je Prirodoslovno-
matematično-filozofska fakulteta razpadla na Filozofsko fakulteto in Naravoslovno fakul-
teto. Leta 1960/61 je nastala Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo (FNT) z združitvijo
Naravoslovne fakultete in Fakultete za rudarstvo, metalurgijo in kemijsko tehnologijo.
Leta 1994 je Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo (FNT) razpadla na današnje Fakul-
teto za matematiko in fiziko (FMF), Fakulteto za kemijo in kemijsko tehnologijo (FKKT),
Fakulteto za farmacijo (FFA) in Naravoslovnotehniško fakulteto (NTF).
16Začetki zgodovine Košarkarskega društva (KD) Slovan segajo v leto 1951, ko je bil
ustanovljen košarkarski klub (KK) Poljane, ki je večkrat zamenjal svoje ime. V letih 1954–
1959 se je imenoval KK Odred. Leta 1959 je klub dobil ime KD Slovan in hitro napredoval
ter bil večkrat slovenski prvak in se leta 1963 prvič uvrstil v zvezno jugoslovansko ligo
med deset najboljših ekip v Jugoslaviji. Od začetka obstoja je bil KD Slovan znan po
dobrem delu z mladimi in v njegovih vrstah so se oblikovali mnogi danes najuspešnejši
slovenski košarkarji, na primer Rašo Nesterović, Jaka Lakovič, Jaka Blažič, brata Dragić
in drugi.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 143
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 144 — #5 i
i
i
i
i
i
Intervju
letniku, sem ugotovil, da šport in resen študij nista združljiva. Takrat smo
sicer imeli treninge samo dvakrat na teden, a bila so potovanja, zaseden
je bil skoraj vsak vikend. Z Bohtetom sva bila torej klubska soigralca pri
slovenskem ligašu Slovanu. V začetku smo igrali po Sloveniji, proti koncu
moje košarkarske kariere pa je Slovan postajal vse boljši in smo že igrali
zunaj Slovenije. To je bila takrat druga zvezna liga.
Kako se spominjate vaših kolegov, takrat študentov? Bili ste študentski
vrstniki ali skoraj vrstniki s pokojnima Marijo Vencelj in Egonom Zakraj-
škom17. Z njima in drugimi ste tudi študijsko sodelovali. Menda sta z gospo
Vencelj celo »študijsko« tekmovala in vas je včasih celo »premagala«?
Marija Vencelj je bila gotovo boljša od mene pri fiziki in pri matematični
fiziki, pri matematično teoretičnih predmetih sem bil pa jaz mogoče malo
boljši. To pa ni bilo tekmovanje, oba sva bila dobra in sva drug drugega z
zagnanim delom spodbujala.
Ste takoj po diplomi postali asistent?
Po diplomi sem moral v vojsko. Diplomiral sem septembra ali oktobra in
tisto je bilo takrat zame kar stresno. Napovedan je bil namreč diplomski
izpit in bil sem prvi, ki je ta izpit opravljal v taki obliki. Prej pedagoški
matematiki niso imeli diplomskega izpita v taki obliki, ampak so opravljali
tako imenovano »klavzurno nalogo«. Potem mi je pa ob vsej tej negotovosti,
ko nisem niti točno vedel, kako naj bi izpit potekal, na sam predvečer izpita
Ciril Velkovrh, ki je bil takrat verjetno že knjižničar, prišel povedat, da
izpita ne bo, ker so se na seji pedagoško-znanstvenega sveta nekaj sporekli
in potem niso izbrali diplomske izpitne komisije. Velkovrha so izbrali zato,
ker je takrat stanoval na Topniški ulici blizu nas. Izpit je bil potem kak
mesec pozneje. Odpoved oziroma preložitev izpita me je spravila skoraj v
depresijo, izgubil sem motivacijo in tudi na izpitu se potem nisem najbolje
izkazal. Mislim, da je bil izpit potem oktobra 1963. Takoj po diplomi sva
se oba z Vencljevo prijavila za službo na Institut »Jožef Stefan«, saj na
univerzi postopki za izvolitve in zaposlitve nikoli niso stekli tako hitro. Ker
sem vedel, da me čaka vojaški rok, sem takoj po diplomi šel na vojaški urad
in sporočil, da sem diplomiral. Povedali so mi, da je možno, da grem takoj,
in sicer v Ćuprijo k pehoti. To ni bila najprivlačnejša izbira, a ker se mi
je zdelo veliko vredno, da to obveznost opravim čim prej, sem sprejel in
novembra že začel služiti vojaški rok. Ko sem končal vojaški rok, sem bil
pa že imenovan za asistenta in sem se lahko zaposlil na univerzi.
17Egon Zakrajšek (1941–2002), slovenski matematik, računalnikar, profesor na FNT
je bil eden glavnih pionirjev računalništva v Sloveniji ter eden prvih strokovnjakov za
računalnike Zuse Z23 ter IBM 1130. Njegov sin Egon Zakrajšek (1967), znan ekonomist
in svetovalec pri Ameriški centralni banki (FED), je bil večkrat gostujoči profesor v okviru
študija finančne matematike na FMF v zadnjem desetletju.
144 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 145 — #6 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
Kmalu zatem ste začeli podiplomski študij topologije v Zagrebu. Kako in
kdaj ste se sploh odločili za študij topologije, ki je takrat v Ljubljani prak-
tično ni poznal nihče?
Takrat na Univerzi v Ljubljani ni bilo prav veliko matematike. Vidav je bil
velik matematik, a je tako veliko predaval, da ni mogel biti zelo raziskovalno
aktiven. Takrat so sicer že doktorirali tudi Prijatelj, Grasselli in Jamnik.
Vsi seveda pri Vidavu. Vidav praktično ni zmogel voditi še podiplomske
šole. Zato se nas je takrat pet odločilo za podiplomski študij v Zagrebu.
Poleg mene še Marija Vencelj, Gabrijel Tomšič18, Stane Indihar19 in Janez
Garbajs. Zaradi Vidavovega raziskovalnega dela smo najbolj poznali podro-
čje funkcionalne analize in verjetno bi se bil tudi jaz usmeril v funkcionalno
analizo. A prav tisto leto je bil Svetozar Kurepa20, ki je bil glavna hrvaška
avtoriteta funkcionalne analize, v tujini. Tako smo pravzaprav po naklju-
čju vsi obiskovali podiplomski seminar pri Mardešiću21, ki je bil topolog.
Pri Teoriji analitičnih funkcij je Vidav predaval nekaj malega o okolicah in
množicah in tiste vsebine so me že takrat pritegnile. Zato mi je bil potem
tudi Mardešićev topološki seminar všeč. Vsi, razen Janeza, smo potem v
Zagrebu magistrirali iz topologije.
Po magisteriju iz topologije v Zagrebu ste leta 1969 odšli na študij na Uni-
versity of Wisconsin, Madison v ZDA, kjer ste po dveh letih doktorirali z
disertacijo na področju trirazsežnih mnogoterosti. Zakaj prav Madison?
Po magisteriju s področja 3-mnogoterosti v Zagrebu mi je profesor Mardešić
predlagal nadaljevanje študija na tej univerzi, ki je bila znana po intenziv-
nem raziskovalnem delu na tem področju. On se je čutil dolžnega, da je
svojim študentom svetoval in jih usmeril pri nadaljnjem študiju. Menil je
tudi, da je študij v tujini zelo koristen. Mardešić je bil na University of
Wisconsin poznan in mi je tudi napisal priporočilno pismo.
Kakšni so vaši spomini na študij in bivanje v Madisonu? Na vaše takratne
učitelje?
V Madisonu sem bil le dve leti. Na tamkajšnjem doktorskem študiju sem
namreč zaradi prej pridobljenega znanja zlahka opravil doktorske izpite in
se skoraj takoj začel ukvarjati z disertacijo. Na primer izpit iz Teorije ana-
litičnih funkcij je bil zame res lahek. Podobno je bilo s topologijo, ki sem se
je v Zagrebu dobro naučil. Ker sem bil v Madisonu razmeroma kratek čas,
se nikoli nisem počutil, kot da zelo pripadam tej univerzi, čeprav sem seveda
18Gabrijel Tomšič (1937–2016), slovenski matematik, profesor na Fakulteti za elektro-
tehniko UL.
19Stane Indihar (1941–2009), slovenski matematik, profesor na Ekonomsko-poslovni
fakulteti UM.
20Svetozar Kurepa (1929–2010), hrvaški matematik, univerzitetni učitelj.
21Sibe Mardešić (1927–2016), hrvaški matematik, univerzitetni učitelj, član Hrvaške in
Slovenske akademije znanosti in umetnosti.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 145
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 146 — #7 i
i
i
i
i
i
Intervju
član kluba alumnov še danes. Sicer je bila to že takrat zelo velika šola in
mi je bilo tam zelo všeč. Madison je lepo mesto. Razmere na univerzi in na
oddelku so bile za delo zelo dobre. Glavna avtoriteta geometrične topologije
na University of Wisconsin je bil takrat profesor R. H. Bing22, poleg njega
pa sta bila še D. Russell McMillan in Joseph Martin; za algebraično topolo-
gijo pa je bil najpomembnejši Edward Fadell23, z njim pa še Sufian Husseini
in Peter Orlik. Takrat je bil v Madisonu na podoktorskem izpopolnjevanju
tudi James Cannon24, ki je pri seminarju predstavil neki nerešen problem.
Začel sem premišljevati o njem, ga postopoma rešil in iz tega je nastala moja
doktorska disertacija; Cannon pa je naravno postal moj mentor.
Po vrnitvi iz ZDA ste v Ljubljano pripeljali topologijo, da je postala novo
raziskovalno področje in študijski predmet. Zaradi pomembnosti topologije
tudi na vseh drugih področjih matematike ste verjetno na fakulteti imeli
veliko podpore?
Ja, nasprotovanj res ni bilo. Takrat se je dobro vedelo, da je topologija
pomembna veja matematike. Že pred mano sta se za topologijo zanimala
Križanič in tudi Prijatelj. A to je bilo še precej drugače. Spomnim se, ko
je bil nekoč Šemrl25 še moj asistent, mi je povedal, da mu prej, na podlagi
Prijateljevih predavanj ni bilo očitno niti to, da je krožni lok homeomorfen
daljici; homeomorfizem je bil abstraktno definirana vrsta preslikave brez
vsake nazorne vsebine. V Ljubljani smo takrat začeli seminar za topologijo.
Na začetku nas je bilo bolj malo. Hodili so Marko Kranjc26, Janez Rako-
vec27, Peter Petek28 in še kdo. Pa tudi Peter Legiša29, čeprav se je on bolj
ukvarjal s funkcionalno analizo. Pozneje pa tudi že Zlatan Magajna30 in
drugi.
Dve leti po vašem doktoratu na University of Wisconsin ste bili v študijskem
letu 1973/74 na izpopolnjevanju na gotovo eni najprestižnejših, če ne celo
na svetovno najprestižnejši raziskovalni instituciji, to je na Institute for
Advanced Study (IAS) v Princetonu v ZDA. V času vašega bivanja na IAS
22R. H. Bing (1914–1986), ameriški matematik, član American Academy of Arts and
Sciences.
23Edward R. Fadell (1926–2018), ameriški matematik, dolgoletni profesor na University
of Wisconsin. Petindvajset let je bil tudi tenorist v Madison Philharmonic Chorus in pel
nekaj vlog (celo vodilnih) v Madison Opera.
24James Weldon Cannon (1943), ameriški matematik.
25Peter Šemrl (1962), slovenski matematik, učitelj na FMF UL, Zoisov nagrajenec.
26Marko Krajnc (1952), slovenski matematik, profesor na Western Illinois University,
ZDA.
27Janez Rakovec (1949–2008), slovenski matematik, učitelj na FMF UL.
28Peter Petek (1944), slovenski matematik, učitelj na FMF in PeF UL.
29Peter Legiša (1950), slovenski matematik, učitelj na FMF UL, pisec srednješolskih
učbenikov iz matematike.
30Zlatan Magajna (1955), slovenski matematik, didaktik, učitelj na PeF UL.
146 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 147 — #8 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
so bili tam ljudje, kot so Kurt Gödel, André Weil, John Milnor, Marston
Morse, Armand Borel31. Michael Atiyah je odšel tik pred vašim prihodom
na IAS, da ne omenjamo še slavnejših in nekoliko starejših imen, ki so tesno
povezana z IAS, kot so Einstein, von Neumann, Oppenheimer. Kakšni so
vaši spomini na bivanje, na ljudi in na standarde kakovosti v tako elitnem
okolju?
(Nasmeh) Za mnoge teh ljudi jaz nisem vedel. Ja, Milnor je bil tam, pa
Morse, a srečal sem ga le v pogovorih na raznih zabavah. Na seminarjih se
ni več pokazal. Veste, inštitut ima »faculty«, mi bi rekli zbor stalnih pro-
fesorjev, v katerem so samo prvovrstni matematiki. Naziv »profesorji« ne
pomeni, da predavajo, saj tam ni nobenega pouka, ampak so le neformalni
seminarji, ki imajo svoje nosilce. V profesorskem zboru je tudi nekaj pro-
slavljenih starih ljudi (morda ostanejo člani celo do smrti), ki na seminarje
ne prihajajo več redno ali pa sploh ne. Večino znanstvenega osebja intšituta
pa sestavljajo »members«, člani (kot sem bil jaz), ki so tam praviloma eno
akademsko leto. Jaz sem se redno udeleževal topološkega seminarja, ki ga
je vodil Milnor. Sestajal se je enkrat tedensko in vsakič je nekdo poročal o
svojem delu. Milnor je povabil tudi mene, a so bile moje takratne študije
še v delu, nedokončane in sem se poročanju prijazno izognil. Pogosto so
na seminarju poročali tudi zelo ugledni tuji gosti, ki so bili na Institutu le
na kratkem obisku. Nekateri smo hodili tudi na redna predavanja na Uni-
verzi Princeton. Tam sem poslušal teorijo vozlov pri Ralphu Foxu32, ki je
bil eden od stebrov te teorije. Poslušal sem tudi geometrično topologijo, ki
jo je predaval Sylvain Cappell33. To sicer ni tako znano ime, ampak je bil
izjemno dober. Poleg teh dveh predavanj sem na Univerzi Princeton obi-
skoval tudi topološki seminar. To je bil seminar za geometrično topologijo.
Pri tem se mi je zdelo zanimivo, kaj so na Univerzi Princeton uvrščali pod
geometrično topologijo. Pri tem seminarju je bilo namreč zelo veliko teorije
grup, predvsem študij fundamentalnih grup in kombinatorna teorija grup.
Glavni avtoriteti seminarja sta bili veliki imeni v teoriji vozlov Trotter34 in
Fox. Sicer pa sem na IAS pač delal, se pravi bral, premišljeval in pisal; imel
sem svojo pisarno in svojo tajnico (ki pa ni »služila« samo meni, ampak
večjemu številu članov); na razpolago mi je bila zelo popolna knjižnica in
31Kurt Gödel (1906–1978), André Weil (1906–1998), John Milnor (1931), Armand Borel
(1923–2003), Michael Atiyah (1929–2019), Marston Morse (1892–1977), John von Neu-
mann (1903–1957), Robert Oppenheimer (1904–1967), Albert Einstein (1879–1955) go-
tovo spadajo med najprestižnejša imena matematike, fizike in računalništva dvajsetega
stoletja.
32Ralph Fox (1913–1973), ameriški matematik, diferencialni topolog, najbolj znan s
prispevki v teoriji vozlov, dolgoletni profesor na Univerzi Princeton.
33Sylvain Cappell (1946), belgijsko ameriški matematik, doktorat 1969 na Univerzi
Princeton, kjer je obdržal akademsko pozicijo do leta 1974.
34Hale F. Trotter (1931–2022), kanadsko ameriški matematik, doktorat 1956 na Uni-
verzi Princeton, kjer je bil pozneje dolgoletni profesor do svoje upokojitve.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 147
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 148 — #9 i
i
i
i
i
i
Intervju
omenjeni redni akademski dogodki. Najbrž imate prav, da je IAS zelo ali
celo najbolj elitna institucija na svetu. Jaz si sploh ne bi upal kandidirati
za člana, še na misel mi ne bi prišlo, a ko sem odhajal iz Madisona, mi je
profesor Bing predlagal, naj zaprosim za članstvo na IAS, in mi obljubil
»močno« podporo. In najbrž je bilo njegovo priporočilo ključno, da sem bil
sprejet na IAS.
Na ljubljansko univerzo ste pripeljali povsem novi področji študija algebra-
ične in geometrične topologije. Nadaljevali ali celo zaostrili ste standarde
zahtevnosti, natančnosti in doslednosti pri delu in študiju (matematike).
Poleg vašega področja topologije ste poučevali tudi analizo in algebro. Ne-
kateri učitelji še danes znajo povedati, da so na primer pri razumevanju
študentov pri analizi v drugem letniku, lahko – seveda v pozitivnem smislu
– prepoznali, katere študente ste analizo v prvem letniku poučevali vi. Kako
danes gledate na vašo takratno strogost? Ste bili, kot menijo mnogi, eden
zadnjih branikov zares visokih standardov študija pri nas?
Veste, ko sem bil sam študent, nikoli pri nobenem izpitu nisem imel vtisa,
da izpraševalec izpita ne bi jemal resno. Mislim, da sem dovolj dobro poznal
naslednjo, to je svojo generacijo učiteljev, da upravičeno verjamem, da tudi
nihče od nas ni imel neodgovornega odnosa do izpitov (in trdno upam, da to
velja tudi za naše naslednike, to je sedanje učitelje). Toda ljudje smo različni
in tudi pri prizadevanju za isti cilj delamo vsak malo po svoje. Tudi sam sem
pri izpitih vedno ravnal tako, kot se mi je zdelo prav. Študent mora pri izpitu
vendarle pokazati nekaj pravega znanja. Gotovo se s tem strinjamo vsi,
prihaja pa do razlik v oceni, koliko je »nekaj« in kaj je »pravo« znanje. Neki
moj gimnazijski sošolec, ki je študiral na neki tehnični fakulteti, mi je (davno
nekoč) povedal, da so pri njih pri matematiki dobili seznam 28 teoretičnih
vprašanj. Vsak študent je pri ustnem izpitu dobil eno (ali morda več) od teh
vprašanj; odgovor je bilo treba »zdrdrati« in to je bilo dovolj. Meni se je
to zdelo popolnoma nesmiselno. Res da je za študenta tehnike matematika
nekaj drugega kot za študenta matematike, toda kakšen smisel ima naučiti
se na pamet formulacijo kakega izreka, če ga v resnici ne razumeš, če zate
nima vsebine. In to je bilo vedno moje vodilo pri izpitih. Kaže pa, da so
bila moja pričakovanja glede znanja in razumevanja višja kot pri nekaterih
drugih učiteljih. Priznati moram tudi, da se mi je pri nekaterih študentih
v drugem letniku zdelo, da so čez prvi letnik prišli s premalo razumevanja.
Sploh sem to opažal pri predmetu Topologija v drugem letniku. Težavnost
izpita iz tega predmeta sploh ni izvirala iz težavnosti topologije, ampak iz
slabega razumevanja temeljnih principov analize, ki so spadali v prvi letnik.
Mislim, da je povsem podobna opažanja za mano imel tudi mlajši kolega
Sašo Strle35. V naših letih, ko sem jaz študiral, je bilo sito v prvem letniku.
Če si naredil takratno Matematiko 1 in Fiziko 1, je šlo tudi vse ostalo. In
35Sašo Strle (1966), slovenski matematik, učitelj na FMF UL.
148 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 149 — #10 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
pri teh temeljnih predmetih na začetku so bili zelo strogi. In verjetno je
prav, da je sito postavljeno na začetku.
Gospa Marija Jozelj, ki je dolga leta vodila študentsko pisarno, se spominja,
kako je ob robu vaše pregovorne strogosti pri sestavah diplomskih komisij le-
te poskušala pošteno uravnotežiti. Vi ste veljali za zelo strogega, profesorja
Grassellija pa je na primer štela za bolj blagega. Nekoč ste po diplomskem
izpitu, kjer sta bila v komisiji skupaj s profesorjem Grassellijem, gospe Jo-
zljevi omenili, kako zelo natančen, zahteven in korekten da je bil profesor
Grasselli in dodali, da bi vsekakor raje delali diplomo pri sebi kot pri pro-
fesor Grasselliju. Gospo Jozelj je ob tej vaši izjavi pošteno zaskrbelo, da ni
bila pravična, ko je v komisijo dodeljevala profesorja Grassellija z mislijo, da
dodaja »mehkega člana komisije«. Kmalu je profesorju Grasseliju omenila,
da velja za zelo strogega . . . Profesor Grasselli jo je le zaskrbljeno vprašal,
ali velja tudi za pravičnega? Vaš komentar?
A veste, da tega, da bi bil v komisiji s profesorjem Grassellijem, se pa
ne spomnim. Če je gospa Jozelj tako dejala, bo že držalo. Vsekakor pa
je za profesorja Grassellija veljalo, da je bil zahteven in strog, o njegovi
pravičnosti pa seveda nihče ni nikoli podvomil. Morebiti sem celo bolj kot
profesorja Grassellija poznal nekatere njegove študente in ti so ga izjemno
spoštovali. In veste, študentje vedno najbolj cenijo zahtevne in korektne
učitelje. In profesor Grasselli je vsekakor veljal za takega. Nikoli študentje
nimajo v časteh učiteljev, ki so površni, pa čeprav bi lepe ocene dajali tudi
brez ustreznega znanja.
Vedno ste bili simbol samodiscipline in doslednosti. Zdi se, da so vas študen-
tje in sodelavci ali občudovali ali vas niso marali. Zaradi vaših standardov
in doslednosti na primer pri včasih zloglasnem predmetu Algebra 2 so vas
nekateri šteli za nosilca in branika kakovosti študija matematike. Na drugi
strani so bili skorajda isti argumenti »uporabljeni kot dokaz neuporabnosti
in nesmiselne teoretičnosti študija matematike«. Dogajali so se pravi »štu-
dentski upori«, tudi nekateri sodelavci so vas označili za trmastega. Kmalu
po vaši vrnitvi iz Princetona ste prevzeli legendarno Algebro 2. Preneka-
teri študent je prišel do diplome, manjkal pa mu je le še izpit Algebra 2 iz
drugega letnika. Nekdanji študentje se spominjajo, da je izpit pri tem pred-
metu v sedemdesetihih letih prejšnjega stoletja obsegal teoretični del, ki je
bil sestavljen iz 30 vprašanj, na katera je bilo treba v 30 minutah odgovoriti
le z »DA« ali »NE«. Sledilo je 10 nalog, ki so jih študentje reševali 2–4
ure. Pozneje naj bi bil čas reševanja teh nalog celo neomejen in študentje
so naloge reševali tudi po 8 ur. Obenem ste bili profesor, ki se je študen-
tom brezpogojno posvetil. Ko ste med enim izmed vaših številnih gorskih
pohodov ob spustu z Brane36 padli in si hudo poškodovali desno roko, ste se
naučili pisati tudi z levo in to menda lepše, kot piše večina ljudi. Takratni
36Brana, 2253 m, Kamniško-Savinjske Alpe
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 149
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 150 — #11 i
i
i
i
i
i
Intervju
študentje se vas spomnijo, kako ste pozneje na tablo spretno pisali z levo ali
z desno roko, in sicer tako, da ste s telesom čim manj zakrivali napisano. Ste
res študente sprejemali na izpite celo v bolnišnici? Kako bi iz več desetletne
perspektive ocenili in opisali svojo skrb za študente in kakovost njihovega
študija?
Veste, kako je z govoricami. Vsaj nekaj stvari, ki ste jih omenili, zagotovo
ni res. Moja srčna želja je vedno bila, da študentje pri pisnih izpitih niso
časovno omejeni, oziroma da zaradi časovne stiske ne postanejo nervozni.
Študent naj bi na izpitu pokazal, kaj zna, ko pa ne zna več, naj bi nehal.
Zato mora vedno biti neka meja. Nikoli nisem imel izpitov z neomejenim ča-
som, saj to niti ni bilo izvedljivo. Sem pa poskušal študentom dati več časa,
kot je bilo običajno, vsaj dokler sem pisne izpite nadzoroval sam. Pozneje,
ko so izpite nadzorovali asistenti, je bilo težko asistentu reči, naj bo izpit
dolg štiri ure namesto običajnih dveh. To, da so študentje imeli opravljene
vse izpite in prišli do diplome, manjkal jim je pa le še moj predmet, me je
dolgo zelo morilo. Spraševal sem se, kako je mogoče, da je nekdo dovolj do-
ber za vse druge, zame pa ne. Naj vam ob tem povem zgodbo, zaradi katere
mi je takrat zelo odleglo. Profesor Omladič je bil na pogovoru z generalnim
direktorjem Iskre Delte37. Šlo naj bi za iskanje dodatnega financiranja. Med
pogovorom je profesor Omladič direktorja vprašal tudi, ali imajo oni kake
predloge, kaj naj bi naši študentje bolje znali, da bi bili v njihovi firmi bolj
uporabni. Direktor je odgovoril, da se na sam študij tako malo razume, da
nima konkretnih predlogov, da so pa opazili, da imajo zaposlenih kar nekaj
matematikov, ki imajo že vse narejeno, pa diplomo napisano, manjka jim
pa samo še izpit iz Algebre 2. Dodal je, da nima pojma, kaj je to Algebra 2,
ampak da so ugotovili, da tisti, ki nimajo Algebre 2, niso za nobeno rabo in
da bi oni zato odslej jemali le tisti profil z Algebro 2. Meni je ob tej razlagi,
ki mi jo je takrat natančno opisal profesor Omladič, zares odleglo.
Pri Topologiji 2 – to je bil predmet, pri katerem so študentje dobili
izpitne naloge, da so jih reševali doma – sem enkrat res imel študenta, ki
je prišel k meni v bolnišnico. Ni pa to bil izpit, ampak konzultacije. Ležal
sem na travmatološkem oddelku (to je bilo po omenjenem padcu na Brani),
študentova sestra pa je bila, če se prav spomnim, specializantka na tem
oddelku. Vprašala me je, ali bi lahko njen brat prišel na posvet. Seveda
sem privolil in potem je dvakrat ali trikrat prišel na pogovor.
Vsekakor mi delo na fakulteti res nikoli ni bila deveta skrb. Vedno sem
delal zelo prizadevno. Gotovo ne zmeraj prav ali najbolj prav. Pogosto sem
bil tudi sam v dilemi, na primer ali študenta na izpitu oceniti pozitivno
ali ne. Posebej v primerih, ko je opravil že vse druge izpite. Te odločitve
nikoli niso bile lahke. Bolj v začetku svoje kariere sem predaval tudi večjim
skupinam, kot so bili kemiki ali elektrotehniki, in tudi tam sem ugibal, ali
37Šlo je za pogovor med profesorjem Matjažem Omladičem in direktorjem Iskre Delte
Janezom Škrubejem.
150 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 151 — #12 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
sem bil prezahteven. A zdelo se mi je tudi, da predmet nima smisla, če
učitelj pričakuje premalo, ali če je dovolj, da se študentje napiflajo nekaj
formul. Če je kaj pri matematiki pomembno, je to odnos do doslednosti,
ko je s premišljevanjem dosežen uvid resničnosti določenih spoznanj. To
seveda velja tudi takrat, ko na primer študent ne zna sam ponoviti ali celo
sam sestaviti dokaza in se tega od njega niti ne pričakuje. In vsaj nekaj od
teh sposobnosti uvida resničnosti na podlagi premišljevanja se pričakuje tudi
na izpitu. Če se na izpitu le preverja, koliko se je kdo napiflal, je učenje
in izpraševanje zgolj izguba časa. Že pred mnogimi leti sem ob »gonjah
o nizki prehodnosti študentov« razmišljal o tem, da bomo uvedli sistem
ocenjevanja, ko bo vsakdo dobil pozitivno oceno, če se bo le prikazal na
izpitu. Druge ocene pa bodo namenjene rangiranju znanja. To se mi je
vedno zdela katastrofa in popolno razvrednotenje preverjanja znanja. In
razvoj je žal šel v to smer in še ni videti, da bi ta trend pojenjal. Seveda v
taki obliki nihče tega javno ne zagovarja, a mentaliteta je temu vse bližja.
Bili ste poznani, da ste se lahko s študentom, ki ste mu bili mentor, ure
in ure pogovarjali in mu odgovarjali na njegova vprašanja. Negotovosti la-
stnega znanja pa je moral študent diplomant odkriti sam. Diplomsko nalogo
je študent napisal sam in ste jo prvič in zelo natančno prebrali šele, ko je
bila vezana. Tudi pri boljših študentih se je zgodilo, da je bila v vezani di-
plomski nalogi zapisana kaka napaka in ste nanjo opozorili šele na zagovoru.
Dandanes študentje od učiteljev pričakujejo, da jim povedo, kaj je v nalogi
narobe, kaj je še treba storiti ali popraviti. Danes ni nenavadno, ko študent
vpraša, »kaj bi pa še moral storiti, da dobim oceno 10«? Kako pomembna
se vam zdi samostojnost in odgovornost, ki ste jo tako dosledno pričakovali
in vzgajali pri svojih študentih?
Jasno je, da mora študent biti samostojen. Če in kar vas vpraša, mu seveda
skrbno odgovorite. Skupaj s študentom pisati diplomsko nalogo pa nima
nobenega smisla. V takem primeru bi bilo potem seveda smiselno vprašati
se, zakaj taka naloga ne bi zaslužila odlične ocene, saj bi bilo vse odlično
in z učiteljevo pomočjo brez napak. Diplomsko delo je podobno kot pisanje
knjige. Recenzenti pridejo pozneje. Z diplomo študent dobi spričevalo, da je
sposoben samostojnega dela. Ob zaključku študija bi moral biti sposoben
jasno uvideti, kaj razume in česa ne. In če česa ne razume, bi, namesto
da v diplomsko delo zapiše napako, moral znati vprašati za nasvet svojega
mentorja. Natančno branje diplomskega dela je vsaj zame zelo naporno delo.
Poleg pravkar omenjenih načelnih razlogov se mi tudi zaradi tega upira, da
bi pred končnim diplomskim delom prebral še enega ali več osnutkov. Po
drugi strani pa se zavedam, da smo ljudje zmotljivi in da se tudi najboljšemu
študentu ob vsej skrbnosti lahko prikrade v izdelek kaka napaka. Zato
manjših napak ali nepreciznosti nisem zelo »zameril«; marsikaterega svojega
diplomanta sem ocenil z 10, čeprav njegovo delo ni bilo čisto neoporečno.
Naj vam in našim bralcem predstavim še nekaj misli oziroma spominov
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 151
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 152 — #13 i
i
i
i
i
i
Intervju
tistih, ki so vaš učiteljski odnos visoko cenili že kot študentje. Vaš izpit iz
topologije za študente na teoretični smeri, ki ste ga že omenili, so bile naloge,
ki so jih študentje reševali doma sami. Te naloge so zahtevale tudi mesec
dni intenzivnega dela. Nekateri študentje se teh nalog še danes spominjajo
kot najlepših matematičnih izzivov svoje strokovne kariere, katerih rešitve
so reševalcu prinesle veliko veselja in notranjega zadovoljstva, celo več kot
pri marsikaterem kasneje odkritem in objavljenem izvirnem znanstvenem
rezultatu. Med pripravami na ta pogovor mi je eden izmed vaših nekdanjih
študentov takole opisal svoje spomine na vaša predavanja. »Posameznih
predavanj, na primer pri Algebri 2, se spominjam kot pravih doživetij, kot
na kakem koncertu. Uvod in priprava vsega potrebnega v prvi, pa drugi
in tretji temi. Potem pa pot proti glavnemu rezultatu. Motiv, ob katerega
se vključujejo in se z njim prepletajo pripravljene tri teme, vse skupaj pa
kulminira v veličastnem finalu. Rezultat je podčrtan, predavanja je konec.
Vse je bilo popolno, brezhibno. A je v primerjavi s koncertom vendarle
nekaj manjkalo. Šele čez nekaj trenutkov sem dojel, kaj je to bilo. Manjkal
je en iskren, zaslužen aplavz.« Kak vaš komentar?
Joj, kakšna hvala! Mi je prav nerodno. To se sicer strašno lepo sliši, a
tako vseeno ni bilo! Za predavanja sem se vedno potrudil in dobro pripravil
in verjamem, da se tako skrbno pripravi vsak učitelj. Učitelj pač ne more
in ne sme predavanj vzeti – kot se temu reče – »z levo roko«. Mogoče
smo matematiki bili glede tega nekoliko posebni. Tu in tam kdaj slišite,
da je dober znanstvenik slab predavatelj. Najbrž je v nekaterih okoljih
res kdaj veljalo ali še velja, da se »znanstvene kapacitete« dokazujejo s
slabimi predavanji. Na matematiki gotovo ni bilo tako. Imeli smo vzornike v
Plemlju in Vidavu, ki sta imela izjemno visoke standarde tako v raziskovanju
kot v poučevanju. Oba sta predavala na pamet. Jaz sem vedno imel list v
roki. Na matematiki je bila vedno splošna atmosfera taka, da so predavanja
morala biti na visoki ravni. Kdor je moja predavanja opisal tako, kot ste
prej povedali, (smeh) je pa moral biti vsaj malo pesnika.
V letih 1983–85 ste bili predstojnik Odseka za matematiko. Kako naporno
je bilo administrativno vodenje za tako doslednega in natančnega človeka,
kot ste vi?
Veste, jaz na tiste čase nimam slabih spominov. Tudi ne vem, ali sem res
tako natančen in urejen, kot me tukaj slavite, imam pa eno hibo, da zelo
težko urejam stvari, ko je potrebno z ljudmi poslovati v posebnih odnosih.
Ne bom niti poskušal natančno opisati, kaj to pomeni. Mogoče je bilo po-
dobno s profesorjem Vidavom, ki se tudi ni vselej dobro znašel v odnosih z
ljudmi. Sicer se iz tistih časov ne spomnim nobenih posebnih problemov.
Takrat v kolektivu še ni bilo posebnih konfliktov. Seveda ni bilo vedno vsem
vse všeč, a tega, kar sem pozneje slišal o raznih strujah, ki so med seboj tek-
movale in si nasprotovale, in o problemih, ki so danes menda vsakodnevni,
to je bilo takrat nam nepoznano. Srečo sem imel, da so sodelavci dobro
152 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 153 — #14 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
delali. Čeprav sem bil kot predstojnik formalno odgovoren za marsikaj, ni-
sem nikoli nobenega računa niti pogledal in so odnosi temeljili na zaupanju.
Vse finančne posle na oddelku je takrat vodila gospa Ivanka Primc, ki sem
ji popolnoma zaupal. Gospa Marija Jozelj je brezhibno vodila študentsko
pisarno. V takih razmerah je bilo lahko delati.
Čeprav vas imajo številni za formalista, je znano, da ste bili vedno reciva
temu zagovornik vsebine in velik nasprotnik »formalnih govoranc«. Motilo
naj bi vas tudi, da ljudje niso znali s svojimi besedami povedati nekaj stavkov
in so običajno brali napisane in vnaprej pripravljene govore. Tako ste menda
na promociji danes tudi že upokojene profesorice Neže Mramor Kosta38
kot njen mentor prosto govorili o njenem delu, kar je bilo in je tudi še za
današnje čase zelo nenavadno. Takoj na začetku vaše takratne predstavitve
je v sejni sobi na Univerzi zmanjkalo elektrike. Nastala je tema, vi pa ste
nadaljevali s predstavitvijo, kot da se ni nič zgodilo. Elektrika in svetloba
sta se vrnili tik pred vašim zaključkom predstavitve in so tako najbrž vsi z
nemalo začudenja morali opaziti, da ste govorili povsem prosto. Se spomnite
tega nenavadnega dogodka?
Ja, tega se dobro spomnim. Bilo je kmalu zatem, ko smo z gimnazijskimi
sošolci praznovali obletnico mature. Neka sošolka je takrat pripovedovala,
da je bila na eni od teh promocij, in zgražala se je nad tem, da mentorji
tam berejo tiste pripravljene zapise. Zdelo se ji je nezaslišano, da ne more
mentor prosto povedati nekaj stavkov. Ta kritika ni bila povsem upravičena.
Seveda bi vam kot mentor o delu svojega študenta v polurnem pogovoru
lahko dobro opisal, kaj je v disertaciji naredil. Toda za promocijo morate
v vsega nekaj stavkih prikazati vsebino in dosežke disertacije, po možnosti
tako, da bo vsaj nekoliko razumljivo tudi nestrokovnjaku, in to je zelo težka
naloga. Ta prikaz morate napisati in ga že prej oddati, na promociji pa ga
morate podati ustno. In tu je nemogoče improvizirati. Daleč najvarneje
je, da svoj sestavek preberete. Če ga poskušate povedati na pamet, se
vam prav lahko zgodi, da kak stavek izpustite ali ga morda samo začnete
drugače, kot ste bili napisali, in že to je dovolj, da se popolnoma zapletete.
Zaradi sošolkine kritike sem se kljub temu odločil, da bom povedal svojo
predstavitev na pamet. In slučajno je prišlo do zanimivega kontrasta. Tik
pred mano je nekdo predstavljal doktorat s temo iz marksizma ali nekaj
podobnega. Mentor je dolgo bral poročilo in še pri branju se mu je zatikalo,
kot da ne bi znal brati; bila je res prava katastrofa. Imel sem vtis, da teksta,
ki ga je bral, ni bil sam napisal. Poznam primere, ko je mentor zahteval od
kandidata, da si je poročilo oziroma oceno napisal sam, da se mentor ne bi s
tem mučil. V omenjenem primeru je bilo res tako videti in tudi, da mentor
tistega poročila ni prej niti prebral. In za njim sem bil na vrsti jaz, ki sem
govoril prosto. Potem pa še tisto naključje, ko je zmanjkalo elektrike. Ker
je bilo podnevi, ni nastala popolna tema. Bilo je v sejni dvorani Univerze.
38Neža Mramor Kosta (1954), slovenska matematičarka, profesorica na FRI UL.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 153
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 154 — #15 i
i
i
i
i
i
Intervju
Ne spomnim se, kakšna okna so tam in ali so bila zastrta, a nastal je mrak,
da brati res ni bilo mogoče. Spomnim se, da so – ne čisto takoj, a kmalu
zatem – prinesli sveče. Potem ko je čisto na začetku moje predstavitve v
dvorani nastal mrak, jaz pa sem kar naprej nemoteno govoril, so se rektor
in dekani v prvi vrsti radovedno ozrli nazaj, saj jim najbrž ni bilo jasno,
kaj se dogaja. Dobro se spomnim, da je potem, ko sem končal in ko se je
tudi elektrika vrnila, rektor duhovito komentiral (nasmeh), da sumi, da je
profesor Vrabec organiziral ta izpad elektrike, da bi prišlo bolj do izraza, da
govori prosto.
Številni vaši kolegi, ki vas dobro poznajo, vas opisujejo s superlativi, kot
zadržanega, a duhovitega, zanesljivega, empatičnega človeka, ki pri vsaki
stvari pokaže zavzetost in angažiranost. Ne samo kot matematika, opisujejo
vas tudi kot človeka velike širine in radovednosti. Kolegi, ne samo mate-
matiki, vas ne poznajo le kot zavzetega voditelja Topološkega seminarja,
ampak tudi kot velikega ljubitelja gora in animatorja ter koordinatorja To-
pobavškega seminarja. Menda je ime nastalo vsaj deloma tudi na račun vaše
duhovitosti in provokacije, s katero ste hoteli pokazati, da »uradnih poročil«
nihče ne bere? Ste res v eno izmed uradnih letnih IMFM poročil zapisali,
da ste vodja Topobavškega seminarja? Za tiste, ki tega ne vedo, povejmo,
da so to bili in so deloma še vedno dobro organizirani pohodi v hribe. Z
dvema »rednima seminarjema« letno in občasnimi »izrednimi seminarji«.
Teh seminarjev se je udeležilo tudi po trideset udeležencev. To so bili zah-
tevni enodnevni pohodi z več kot 10 urami zahtevne hoje. Udeleženci se
spominjajo, da so vselej poleg vabila na seminar dobili tudi duhovit in šaljiv
opis ture z natančno in skrbno opisano traso. Za vsa leta obstaja pregledna
evidenca vseh pohodov in udeležencev. Prvi Topobavški seminar je bil leta
1994. Je razen zaradi epidemije lansko jesen seminar sploh kdaj odpadel?
Sicer v ožjem krogu, a na Topobavškem seminarju se še vedno dobivate?
Ja, le da tisto ni bilo poročilo za IMFM, ampak poročilo za Univerzo v
Ljubljani. Tam sem napisal, da sem bil vodja »Topološkega seminarja« in
»Topobavškega seminarja« (smeh). Malo je bilo to seveda za hec, malo pa
sem želel pokazati, kako omejen smisel so imela ta poročila. To je potem
šlo skozi roke gospoda Krušiča pri nas, ki me je vprašal, ali resno mislim,
da bi to dal v poročilo. Pa sem mu rekel, naj kar pusti. Sicer so bili začetki
Topobavškega seminarja res približno taki. A če boste tako zapisali, kot ste
rekli, bodo ljudje menili, da tak človek sploh ne obstaja. Meni ob takem slav-
ljenju gredo kar lasje pokonci. Res je, ko sem pisal vabila na tiste pohode,
sem se vselej potrudil in poskušal dobro in tudi šaljivo opisati turo. Začelo
se je pa tako, da sem na svojem topološkem seminarju udeležence povabil,
da bi šli skupaj na kako gorsko turo. Takrat sem izbral Bavški Grintavec,
za katerega je Neža Mramor omenila, da ga je že večkrat opazovala, ni bila
pa še nikoli na vrhu. To je bila takrat dodatna motivacija, da je bil za prvi
vzpon izbran Bavški Grintavec. In ko sem pošiljal elektronska vabila, je bilo
pod »zadeva« treba nekaj napisati. Povezava na topološki seminar in Bavški
154 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 155 — #16 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
Grintavec se je zdela primerna za besedno zvezo »Topobavški seminar« in
to sem takrat zapisal v »zadevo« elektronskega sporočila. Potem se je pa
to ime kar prijelo in obdržalo. Mene je sicer zelo veselilo plezanje. Nikoli
nisem bil v nobeni plezalni ali alpinistični šoli, a rad sem plezal. Seveda je
šlo za nezahtevne plezalne podvige po skalah in nekaj tega je bilo tudi v
topobavških pohodih. Zahtevnejši deli pohodov res mogoče niso bili čisto za
vsakega. Je bilo pa vedno tako, da je bilo mogoče ali počakati ali pa izbrati
paralelno in manj zahtevno pot. Niso bili vsi pohodi zelo dolgi, bilo je pa
daljših pohodov precej. Jaz sem bil vedno precej težak in temu primerno
nikoli zelo hiter in torej tudi naši pohodi niso bili zelo hitri. Bile so pa to
kar resne ture. Sedaj pa že dolgo ni več tako. Jaz ne morem več hoditi tako
kot včasih in tudi drugi so se postarali, tako da imamo sedaj lažje ture za
starostnike (nasmeh). Smo pa res kar precej prehodili.
Vsekakor pa ima Topobavški seminar v zgodovinskem arhivu tudi čisto resne
ture, kot je na primer Škrlatica39?
Ja, to je kar resen pohod. To turo sem po mnogo letih znova prehodil sam.
Sem pa res hodil cel dan, od teme do teme. Žal me je, ko sem bil star
sedemdeset let, zadela srčna aritmija in od takrat pohodi niso šli več kot
včasih. Sicer sem se počasi privadil. Če zelo pospešeno diham, temu se
reče hiperventilacija, še kar zmorem. Grem sicer počasneje, a lahko dolgo
hodim. Poleg tega se mi počasi pojavlja starostna oslabelost mišic, imel
sem operacijo kolka, pa tudi na hrbtenici so mi odkrili hernijo diska, ki
občasno povzroči bolečino v nogi. Pri pohodih si pomagam s palicami in
seveda me dolge ture pošteno utrudijo. Topobavški seminar sedaj vodi in
organizira Neža, čeprav še vedno reče, da sem jaz vodja. A to je zgolj
»častna funkcija«, dejanski vodja je ona.
Rekli ste, da ste bili po mnogo letih znova na Škrlatici. Sem prav razumel,
da ste pohod opravili sami? Kdaj je to bilo? Pred nekaj leti?
Ne, pred nekaj tedni! Kaka dva tedna nazaj. In ja, bil sem sam. Sicer greva
pogosto v hribe z Evo Petkovšek, to je žena Marka Petkovška40. Ona je zelo
navdušena, zmogljiva in sposobna pohodnica. Jaz grem seveda bolj počasi,
pa se nič ne pritožuje. Pred leti smo veliko hodili skupaj v gore, namreč Eva
in Marko Petkovšek in midva z ženo Jano (in da ne bo kake zamere, imel
sem še precej drugih pogostih sopotnikov: svoje sinove, profesorja Antona
Suhadolca, profesorja Jerneja Kozaka41, nekaj svojih gimnazijskih sošolcev
in morda še koga). S precej mlajšima Petkovškoma se je začelo, potem ko me
39Škrlatica, 2740 m, Julijske Alpe, druga najvišja gora v Sloveniji. V planinskih vodni-
kih je na Škrlatico opisanih več poti. Vse imajo oznako »zelo zahtevna označena pot« ali
alpinistični vzpon. Najkrajši navedeni čas vzpona je 6 ur.
40Marko Petkovšek (1955), slovenski matematik, učitelj na FMF UL.
41Jernej Kozak (1946), slovenski matematik, učitelj na FMF UL.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 155
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 156 — #17 i
i
i
i
i
i
Intervju
je nekoč Marko prišel vprašat, kako se pride na Malo Martuljško Ponco42.
Na ta pohod smo potem šli skupaj in od takrat veliko planinarili skupaj.
Z leti (morda bi moral reči desetletji) se je to počasi spremenilo; Marko je
bil pogosto prezaposlen, Jana pa ni bila več za dolge in naporne ture. Še
vedno pa, kot rečeno, precej hodiva skupaj z Evo (a sva seveda tudi midva
zmanjšala dolžino in težavnost tur), na lažje izlete z vzponi za nekaj sto
metrov pa hodim tudi z Jano in prijatelji približno mojih let.
V vaših gorskih dnevnikih je tudi nekaj impresivnih vzponov na zelo visoke
gore v tujini.
Vzponi in pogledi na najvišje gore so nekaj zares impresivnega. To se vas
dotakne. Imel sem srečo, da sem se lahko udeležil nekaj zanimivih gorskih
pohodov, ki jih je organiziral matematik in velik ljubitelj gora Anton Cedil-
nik43. Tako sem bil na tridnevnem pohodu po masivu Monte Rose44, kjer
vrha sicer nisem dosegel, bil sem pa na več kot 4000 metrih višine. Podobno
je bilo s Pik Leninom45, kjer sem odpravi sledil do višine 6150 metrov. Leta
2005 sem pri 64 letih prav tako prišel nad 6000 metrov v odpravi na Acon-
caguo46. Leta 2007 sem se povzpel na vrh Elbrusa47 in leta 2010 še na
Kilimandžaro48. To so bila nepozabna doživetja.
Vsaj tisti, ki so vas imeli za prestrogega oziroma vas niso marali, vas imajo
za »teoretika« in mogoče sploh ne vedo, da ste bili med prvimi, ki ste se pri
nas ukvarjali z računalniki. Leta 1963 ste skupaj z Marijo Vencelj in Egonom
Zakrajškom prejeli Prešernovo nagrado študentom za svoje delo Prispevek k
zbirki osnovnih podprogramov za elektronski računalnik ZUSE Z2349. Po-
42Mala Martuljška Ponca, 2501 m, Julijske Alpe, v planinskih vodičih je pretežno na-
vedena ena sama pot kot »zelo zahtevno brezpotje« s časom 6,5 ure.
43Anton Cedilnik (1949), slovenski matematik, ljubitelj gora, dolgoletni profesor na
Biotehniški fakulteti UL.
44Monte Rosa, 4634 m, druga najvišja gora v (zahodni) Evropi. Njen masiv je med
Švico in Italijo.
45Pik Lenin, 7134 m, leži na meji med Tadžikistanom in Kirgizijo.
46Aconcagua, 6962 m, najvišji vrh Argentine in zahodne poloble. (https://www.
gore-ljudje.si/Tags/odprava-na-aconcaguo)
47Elbrus, 5642 m, najvišja gora v Rusiji (in Evropi). Leži zelo blizu meje z Gruzijo.
(https://www.gore-ljudje.si/Kategorije/Novosti/o-vzponu-na-elbrus)
48Kilimandžaro, 5895 m, najvišja gora v Tanzaniji in v Afriki.
49ZUSE Z23 je bil praktično prvi računalnik pri nas (in v takratni Jugoslaviji). Tehtal je
približno tono. Vseboval je 2700 tranzistorjev in 7700 diod in pri »polni moči« potreboval
4 kW električne energije. Računalnik Zuse Z23 je nemško podjetje Zuse KG prvič izdelalo
leta 1961 in skupno prodalo približno 100 takih računalnikov. Na Lepem potu v Ljubljani
sta ga leta 1963 skupaj postavila Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko Univerze v
Ljubljani (IMFM) in takratni Nuklearni institut Jožef Stefan (NIJS) v sodelovanju z ZP
Iskro (leta 1960 Združeno podjetje Iskra). Šele leta 1968 je v sodelovanju z Univerzo,
NIJS, ZP Iskra in Izvršnim svetom SRS nastal Republiški računski center RRC. Univerza
je dobila prvi računalnik leta 1971, to je bil IBM 1130.
156 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 157 — #18 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
zneje, leta 1964, ste v sodelovanju z Bohtetom, Zakrajškom, Suhadolcem
in Lesjakom50 na IMFM izdelali raziskovalno nalogo Študij numeričnih me-
tod in izdelava osnovnih programov za računalnik Z23. Delo je obsegalo 18
samostojnih podprogramov za računalnik Z23. Podprogrami so služili ra-
čunanju korenov algebraičnih in transcedentnih enačb, reševanju sistemov
linearnih enačb in določanju lastnih vrednosti matrik. Leta 1968 ste skupaj s
Suhadolcem izdelali raziskovalno nalogo Numerično reševanje Fredholmovih
integralskih enačb na računalniku Z23. V delo z računalniki ste se aktivno
vključevali tudi še dve desetletji pozneje, ko ste aktivno sodelovali pri vpe-
ljavah računalniških sistemov za urejanje matematičnega besedila, kot sta
bila »programa« T3 in TeX. Kakšen je vaš pogled na skoraj 60 let razvoja
računalnikov?
Pozneje jaz računalniškega razvoja nisem več spremljal. Na začetku je bilo
to res nekaj izjemnega. Računalnik ZUSE Z23 je bil takrat v pritličju v pro-
storih na Lepem potu. To so bile danes težko razumljive zgodbe. Mogoče
se to najlažje ilustrira s primerjavo računalniškega spomina. Danes so tudi
stvari drugače organizirane in je osnovna spominska enota byte, ki vsebuje
8 bitov. Takratni računalnik Zuse Z23 je bil zasnovan na celicah dolžine 40
bitov, kar je zadostovalo za zapis posameznega števila na dovolj decimalk.
Računalnik je imel »trdi disk« v obliki magnetnega bobna z 8192 = 213
40-bitnimi celicami. »Hitrega« in tako imenovanega »feritnega spomina« je
bilo pa 256 celic. In s tistim smo, kolikor se to danes smešno sliši, počeli
vse. In seveda je takrat računalnik imel le osnovni notranji strojni jezik in
potrebno je bilo oblikovati in izgraditi vse osnovne programe, kot na primer
za integracijo ali interpolacijo. In to smo takrat počeli. Oblikovali smo
algoritme in programe od začetka in do realizacije posameznih numerično
zanimivih matematičnih algoritmov. S tem smo takrat imeli res veliko ve-
selja. Za tiste čase je bil računalnik čaroben pripomoček, ki je temeljil na
principih zelo eksaktnega dela, in za matematika je bilo to zelo privlačno.
Pa tudi nekoliko nevarno, da vas potegne stran od matematike. Nekoliko
pozneje so prišli dostopni osebni računalniki, kot sta bila Sinclairjev Spec-
trum in Commodore 64. Na fakulteti so potem že kupili neki IBM, a takrat
se jaz že nisem več kaj dosti ukvarjal z računalniki.
Na seminarju 19. aprila 2010 Kako smo računali na ZUSE-ju se prof. Rosina
(povzetek še danes dostopen na spletu51) spominja: »Računanje na ZUSE-
ju je bilo pravo doživetje, saj smo lahko ukazovali bit za bitom na komandni
plošči, tipkali na teleprinter kot pravi poštarji in izumljali zanimive bližnjice.
Možgane nam je kuštral Egon Zakrajšek (»Tako se pa to ne dela!«), Janez
Lesjak pa je znal diagonalizirati matrike 100 × 100, če so le elektronke
50Janez Lesjak (1942), leta 1966 diplomiral iz fizike. Poleg Zakrajška največji ekspert
na Z23. Leta 1972 je postal glavni sistemski inženir Republiškega računskega centra.
51https://www.fmf.uni-lj.si/sl/obvestila/obvestilo/24834/
mitja-rosina-kako-smo-racunali-na-zuse-ju/, ogled 14. 01. 2022.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 157
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 158 — #19 i
i
i
i
i
i
Intervju
zdržale neprekinjeno 36 ur. Pripovedi in anekdot pa je vsaj za eno uro.«
Bi nam vi zaupali kak dogodek, povezan s pionirskim delom na področju
računalništva? Kako anekdoto iz tistih časov?
Kaj posebnega se ne spomnim. Vsekakor pa sta bila Egon Zakrajšek in Ja-
nez Lesjak vrhunska eksperta, ki sta se dodobra spoznala tudi na drobovje
računalnika. Računalniške miške seveda takrat še ni bilo in z računalnikom
ste komunicirali zelo direktno. Komandna plošča računalnika je bil nekoliko
nagnjen pult in na njem je bila, poleg številnih drugih stvari, »vzorčna« 40-
bitna celica, predstavljena z zaporedjem 40 pravokotnih, votlih, prosojnih
gumbov. Če je v gumbu gorela lučka, je to pomenilo dvojiško števko 1 v
ustreznem bitu, drugače pa je bila na tistem mestu števka 0. S pritiskom
na gumb si lahko zamenjal vrednosti 0 in 1. Tako je bilo mogoče na pultu
sestaviti poljubno 40-mestno »besedo« iz ničel in enk (ki je lahko predsta-
vljala dvojiško število, ukaz, zaporedje 5 črk ali po želji tudi kaj drugega) in
potem je bilo mogoče to vstaviti na poljubno mesto v spominu; in obratno,
iz spomina je bilo mogoče priklicati na pult poljubno celico, jo popraviti in
vstaviti nazaj. Seveda pa se je to uporabljalo samo za manjše popravke,
normalno se je spomin polnil z branjem naluknjanega traku.
Od anekdot mi pride na misel le zgodba, ki jo je pripovedoval profesor
Sergej Pahor: Prišel je v računalniško sobo in tam zagledal Zakrajška pred
»čarobnim računalniškim zrcalcem«; strmel je v zrcalce in ga spraševal:
»Zrcalce, zrcalce na mizi povej, kdo najpametnejši v deželi je tej!« In zaslišal
se je odgovor: »Najpametnejši je Egon!« Nekoč pozneje se mu je Zakrajšek
oddolžil takole. Tisto leto je hodil poslušat Pahorjeva predavanja iz fizike
za matematike. Nekega dne ga je Pahor našel v kabinetu, ob njem na mizi
pa kupček knjig, ki jih je bil Pahor priporočil za dodatno študijsko gradivo
pri svojem predmetu. In dobil je takole pohvalo od Zakrajška: »Veš, tvoja
predavanja niso pol hudiča vredna; ampak tele knjige so še manj.« (Da ne
bo nesporazuma, vse navedeno so bila samo prijateljska zbadanja.) Ne vem,
če to spada med anekdote, a takrat smo za Zakrajška in Lesjaka tudi rekli,
da »igrata na računalnik štiriročno«. Janez Lesjak je bil poleg Zakrajška
izjemno bister človek, čeprav ni imel niti akademske niti kake druge zelo
bleščeče kariere.
Profesor Zakrajšek je bil vaš študijski kolega. Doktoriral je leta 1978 pri
profesorju Bohtetu z disertacijo O invariantni vložitvi pri reševanju diferen-
cialnih enačb. Takrat so bili – sicer na drugačen način kot danes – biro-
kratski postopki tudi zapleteni in dolgi. Ob doktoratu Zakrajška je menda
prišlo do zanimive »stave«. Zakrajšek, ki je bil pregovorno velik sovražnik
birokracije, je kar gospe Mariji Jozelj naročil, naj poskrbi za vso potrebno
birokracijo za njegovo promocijo. Prof. Pahor, ki je bil ravno takrat v pi-
sarni in tudi prepričan, da bo to dolgo trajalo, je v svoji hudomušnosti
izjavil, da če se to zgodi prej kot v dveh letih, mu bo za promocijo pripravil
slavnostni govor v francoščini. S pomočjo gospe Marije Jozelj je Zakrajšek
promoviral v enem letu. Prof. Pahor je seveda obljubo izpolnil, pripravil
158 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 159 — #20 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
nagovor v francoščini in ga tudi zelo solidno izvedel. Se morebiti spomnite
tega dogodka?
(Nasmeh) Podrobnosti stave se ne spomnim. Spomnim pa se tistega govora,
ki sem ga poslušal. Pahor ni znal francosko. Jaz sem francoščino imel eno
leto v gimnaziji, tako da zven jezika in fonetiko še kar poznam, sicer pa ne
znam francosko. Pahor se je za tisti govor zelo potrudil. Mislim, da mu je
pomagal profesor Prijatelj, ki je dobro znal francosko. Tisto, kar ste omenili,
da se je Zakrajšek zelo izogibal birokracije, je pa res. Spomnim se, kako se
je profesor Bohte pritoževal, da so bili z Zakrajškom vedno problemi, če je
bilo treba napisati kako poročilo.
Pa se vrniva še k za bralce mogoče manj znanim odtenkom vaše osebnosti.
Ste velik ljubitelj gora, klasične glasbe, klasičnih jezikov in najbrž še česa.
Res obvladate tako (staro) grščino kot latinščino? Igrate trobento?
Ne, veste, jaz sem na klasični gimnaziji imel osem let latinščino, grščino pa
pet let, to je od četrte do osme gimnazije. Latinščine smo se res veliko na-
učili, ne vem pa, ali bi smel reči, da sem jo obvladal; vsekakor pa sem je do
danes – žal – ogromno tudi pozabil. Od četrte gimnazije naprej smo brali
latinsko literaturo, tako prozo kot pesmi, nikoli pa se nismo učili pogovar-
janja v latinščini. Latinski jezik ima zares veličastno gramatično strukturo.
Oblikoslovje je pri samostalnikih, pridevnikih, zaimkih in števnikih do neke
mere podobno kot v slovenščini: dve števili (ednina in množina), trije spoli,
šest sklonov, pri samostalnikih pet sklanjatev (s podskupinami) itd. Pri
glagolih ima več časov in naklonov kot slovenščina, bistveno bogatejša pa
je pri stavčni skladnji; tu navajati kake zglede bi bilo preveč komplicirano.
Struktura latinske slovnice je za matematično premišljajočega človeka res
izredno privlačna. Jaz takrat še nisem matematično premišljeval, a če imaš
talent, kot ga potrebuješ za matematiko, ti latinščina najbrž mora ustre-
zati52. Tudi grščina je podobno bogat jezik, toda naše (to je moje in mojih
sošolcev) znanje je bilo mnogo bolj pičlo. Imeli smo profesorja, ki ni kaj
dosti zahteval in zato se seveda nismo veliko naučili. Jaz sem se za lastno
veselje na pamet naučil precejšen začetni del Iliade53 – v resnici neznaten v
primerjavi s celotno dolžino tega epa – čeprav je profesor zahteval samo, da
smo se naučili prvih nekaj verzov; in tisti del v glavnem še vedno znam. Pri
jezikih me je vedno zelo zanimala struktura in povezave, to je etimologija
besed. Na primer za slovensko besedo »hči« in angleško »daughter« sem
sam opazil, kako zanimivo sta povezani. Prvi korak je od slovenščine do
ruščine. Po rusko se »hči« reče » (doč)«. Ti dve besedi se res ne zdita prav
nič podobni ali sorodni. Toda upoštevati moramo, da v jezikih, ki sklanjajo,
52Primerjaj intervju s profesorjem Zupančičem, Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 2, str.
55: »Jaz sem vedno trdil, da je za višjo matematiko latinščina celo boljša priprava kot
matematika.«
53Iliada, Homerjev starogrški ep, sestavljen iz 24 spevov ali 15.693 heksametrov, opisuje
mitološko Trojansko vojno.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 159
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 160 — #21 i
i
i
i
i
i
Intervju
osnova (samostalniške) besede ni toliko razvidna iz prvega sklona, ampak
se »skriva« v drugem in nadaljnjih sklonih. Na primer v slovenščini je v
1. sklonu »drevo«, v 2. sklonu pa »drevesa« in vse izpeljanke so iz 2. in
ne iz 1. sklona, saj imamo na primer »drevesno smolo«, »drevesne vrste«
in ne »drevne smole« ali »drevnih vrst«. Podobno imamo »materin jezik«
po 2. sklonu »matere« in ne »matin jezik« po 1. sklonu »mati«. V slo-
venščini sicer navadno ni velike razlike med 1. in 2. sklonom, v latinščini in
grščini ter tudi ruščini pa so te razlike pogostejše. V slovenščini imamo torej
»hči« v 1. sklonu in »hčere« v 2. sklonu, v ruščini pa » (doč)« v 1. sklonu
in » (dočeri)« v 2. sklonu in očitno sta si druga sklona bolj podobna kot
prva. Osnova v ruščini je torej » (dočer)«, to pa je veliko bližje na primer
nemškemu »Tochter« ali angleškemu »daughter«. To so izjemno zanimive
povezave. Meni prebiranje slovenskega etimološkega slovarja predstavlja
pravo zabavo. Sicer pa mi standardno učenje jezikov nikoli ni posebno le-
žalo. Nemško še kar dobro obvladam, ker smo se tega jezika v gimnaziji res
temeljito naučili. Nekateri sošolci so mi pripovedovali, kako so fascinirali
Nemce s poznavanjem pravil za odvisni govor, ki je sicer gramatično zelo
zahteven. Naš že omenjeni profesor Žitnik nam je napisal »pravilnik« za
odvisni govor v petih točkah, pri čemer so bile pod 2. točko še tri podtočke
a, b, c. Od nas je nepopustljivo zahteval, da smo znali ta pravila na pamet;
in menda jih vsi znamo še danes. Nemci odvisni govor seveda obvladajo,
a »navadni« ljudje ne znajo razložiti pravil zanj; povedati vedo samo, da
je to strašno zapleteno. Mi pa smo znali ta pravila podati tako jasno in
sistematično, da so celo izobraženi Nemci ostrmeli. Te jezikovne strukture
in povezanosti so me vedno zelo zanimale. Učil sem se tudi finščino, ker
imamo prijatelje na Finskem. Dobil sem tudi učbenik v angleščini, a kaj
dosti se vseeno nisem naučil. Enako je bilo tudi s španščino. Veselilo me
je raziskovati strukturo jezika, podobnosti in povezave španščine z drugimi
jeziki. Tako sem se naučil tudi nekaj osnov španščine, a za tekočo uporabo
jezika mora človek tudi veliko vaditi, ponavljati. Ta del učenja jezikov, kot
rečeno, me pa nikoli ni posebej privlačil.
Nikoli pa se nisem učil nobenega glasbenega instrumenta. V svojih zrelih
letih sem se lotil igranja blokflavte skupaj s svojimi sinovi, ki so se spoznali
s tem inštrumentom na začetku glasbene šole. Kupili smo si sopransko,
altovsko in tenorsko blokflavto; manjkala nam je samo basovska, to pa
smo včasih nadomestili s sintesizerjem. Tako smo osnovali interni družinski
ansambel. Igrali smo doma, izključno zase. To ni bilo igranje, s katerim bi
se lahko ponašali ali šli nastopat. Takrat sem imel mogoče okrog petdeset
let in pri taki starosti se ne moreš strenirati za virtuoza. Vseeno pa smo
imeli s tem veliko veselja. Največ smo igrali starejše, lahke, a vseeno lepe
skladbice iz baroka in klasicizma.
Ena izmed anekdot, ki govori o zanimanjih in znanju ljudi, kot ste vi, je tudi
zgodba o »prepiru« med vami in pokojnim profesorjem Prijateljem. Menda
se nista strinjala o spolu samostalnika lema. Moški oziroma ženski spol leme
160 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 161 — #22 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
sta menda različno utemeljevala glede na grški oziroma latinski izvor besede
lema. Koliko resnice je na tej anekdoti?
Ne, to ni res. Dilema, ki ste jo omenili, je obstajala. Naša »lema« izvira iz
starogrške besede (lemma) in ta je v grščini srednjega spola. Nemci se zelo
držijo klasičnih vzorov in tradicije, zato je tudi v nemščini ta beseda sre-
dnjega spola: das Lemma (uporabljajo tudi grško množino: die Lemmata).
To rabo je k nam gotovo prinesel Plemelj. Ker pa se srednji spol nikakor
ni zdel primeren, je naredil »lemo« za samostalnik moškega spola. To rabo
so potem prevzeli tudi njegovi učenci–naši učitelji in za njimi mi, moja in
bližnje generacije; rekli smo na primer »Zornov lema«. Pozneje pa sta temu
zasebno, neformalno ugovarjala slavista France Tomšič54 (oče matematika
Gabrijela Tomšiča) in Lino Legiša55 (oče matematika Petra Legiše). Opo-
zorila sta na to, da imamo v slovenščini dolgo vrsto podobnih izposojenk
iz grščine – dilema, drama, enigma, fantazma, karizma, sintagma . . . – ki
so v grščini vse srednjega spola, a nikomur ne pride na misel, da bi jim v
slovenščini pripisal kak drug spol kot ženski; zakaj bi bilo pri »lemi« dru-
gače? (Posebno bode v oči »dilema«, ki je v resnici sestavljenka iz »leme«
in predpone »di«.) Ta argument me je prepričal in zame je »lema« postala
ženskega spola. Tako sem potem učil svoje učence in prepričeval kolege.
Mislim, da je zdaj to splošno sprejeto (in tako je zapisano tudi v Slovarju
slovenskega knjižnega jezika). Ne vem, da bi profesor Prijatelj kdaj imel kaj
s tem, vsekakor pa jaz nisem nikoli o tem polemiziral z njim.
O vaši ljubezni do klasične glasbe in morebiti še bolj o vaši osebnosti ter
o odnosih, ki jih gojite z vam bližnjimi ljudmi, najbrž veliko povesta »da-
rili«, ki ste ju prejeli za 70. in zaradi epidemije z zamudo tudi za 80. rojstni
dan. In čeprav so rojstnodnevna darila običajno razmeroma intimna za-
deva, najbrž lahko vsebino daril izdava bralcem. Eva Uršič Petkovšek, sicer
hči matematika prof. Stanka Uršiča56, soproga matematika in pravkar upo-
kojenega profesorja na OM FMF Marka Petkovška, akademska pianistka in
organistka ter že več kot dvajset let redna udeleženka Topobavškega semi-
narja, vam je ob obeh okroglih obletnicah priredila orgelski koncert Bachove
glasbe. Ste v življenju dobili veliko tako lepih in posebnih daril?
(Nasmeh) Kje ste pa to izvedeli? (Dolg premolk) Ja, tako posebnega darila
pač povprečen človek ne more podariti. Joj, se bojim, da koga užalim, če kaj
pozabim omeniti. Tudi na fakulteti, ko sem odhajal v pokoj, in tudi kdaj
drugič sem dobil lepa darila. Enkrat sem dobil krplje, drugič dereze in tudi
ta darila so me zelo razveselila. Sicer bi bilo meni ljubše, če ne bi bilo preveč
54France Tomšič (1905–1975), slavist, jezikoslovec, bil je profesor na Filozofski fakulteti
UL in sodelavec Lina Legiša na inštitutu za slovenski jezik na SAZU.
55Lino Legiša (1908–1980), slavist, literarni zgodovinar in sodelavec Franceta Tomšiča
na inštitutu za slovenski jezik na SAZU.
56Stanko Uršič (1917–2000), slovenski matematik, gimnazijski profesor, publicist. V
letih 1960–1979 deloval na Zavodu za šolstvo.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 161
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 162 — #23 i
i
i
i
i
i
Intervju
daril. Posebno, ko si starejši, res ničesar ne potrebuješ. Ob darilih, kot sta
bila Evina koncerta, pa človek nima besed, da bi opisal dobre občutke in
hvaležnost.
Izhajate iz razmeroma velike družine. Bi nam jo lahko na kratko opisali?
V družini nas je bilo šest otrok. Najmlajša sestra je umrla za rakom že
leta 2011. Drugi smo pa še vsi živi in precej stari (nasmeh). Odraščal sem
v zelo skromnih razmerah. A vsaj otroci in vsaj pri hrani pomanjkanja
nismo čutili ali se ga posebej zavedali. Ko je bilo treba kupiti obleko, je bil
vedno problem. Spomnim se, ko sta starša govorila, kaj da bi morali kupiti,
pa da Jože tako zelo potrebuje nove čevlje. Jaz se spomnim, da sem imel
neke stare in zelo ponošene čevlje, a zaradi tega nisem bil nesrečen. Oče je
bil s Krasa in je po prvi svetovni vojni prišel v Jugoslavijo, ker v takratni
Italiji ni mogel dobiti službe. Tu je potem opravljal razna priložnostna dela,
dokler ni pozneje naredil »večerne gimnazije« in dobil pisarniške službe. Na
svojega očeta sem izjemno ponosen. Kaj vse je on prestal, pa tudi cela
družina in mati, ki so tako pristno znali živeti to osnovno človeško poštenost.
Na otroštvo imam lepe spomine. Marsičesa nismo imeli in si nismo mogli
privoščiti, ampak to me nikoli ni motilo. Za tiste čase je bilo kar normalno,
da sem se kot otrok naučil voziti kolo na velikem kolesu za odrasle. Sedaj ne
vidite več, da bi otrok poganjal in stal na pedalih, ker ne doseže do sedeža.
Se s svojimi bratoma in sestrama dobro razumete?
Ja, zelo dobro. Na primer, ko je oče umrl in ni napisal nobene oporoke,
se je pojavilo vprašanje, kaj z njegovim stanovanjem. In ne le, da ni bilo
nobenega prepira med nami, skorajda tudi pogovora ne. Brat, ki je takrat
še edini bil doma, je dobil stanovanje in nam drugim še na misel ni prišlo, da
bi pričakovali kako odškodnino. Res pa je, da smo bili vsi preskrbljeni in ni
bil nihče v kaki finančni stiski. Odnosi, ki jih imam z bratoma in sestrama,
so naravno nadaljevanje vrednot, ki smo jih pridobili v družini.
Tudi vaša brata sta nekoliko posebna človeka. Eden od njiju je zelo zgodaj
odšel po svetu, se s tem tudi izognil služenju vojaškega roka v Jugoslovanski
ljudski armadi, se najprej v Južni Afriki in pozneje v Nemčiji uveljavil kot
ugleden zdravnik in se v Slovenijo vrnil šele po osamosvojitvi.
Mislite na mojega brata Andreja. Mogoče se je res hotel izogniti tudi slu-
ženju vojske, a to ni bila glavna motivacija. Vedno je bil posebnega pusto-
lovskega duha. Jaz bi se težko odločil, da bi se tako izselil. O njegovem
strokovnem uveljavljanju bi težko kaj rekel, saj tega nisem nikoli raziskoval,
sam pa mi o tem tudi ni kaj dosti pravil. Ko se je vrnil v Slovenijo, je delal v
glavnem na urgenci. Slišal sem govorice, da nihče v ljubljanskem Kliničnem
centru na urgenci ni zdržal toliko časa kot on. Kot zdravniku in človeku sem
mu vedno zaupal. Nisem ga dosti spraševal, a ko sem ga kot zdravnika kaj
vprašal, so se mi njegovi odgovori vedno zdeli zelo razumni. Dobil sem ob-
čutek, da se na stvari razume, in predvsem, da se ne dela pametnejšega, kot
162 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 163 — #24 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
v resnici je. Torej, da zna priznati, ko česa ne ve. To pri ljudeh zelo cenim.
Razumem sicer, da včasih ni primerno, da človek razkrije svoje neznanje.
Na primer za učitelja v osnovni šoli ali tudi še v gimnaziji morda ni dobro,
da pripoveduje, česa vse ne ve, saj otroci še ne razumejo vseh razsežnosti
znanja in neznanja. Tudi za zdravnika mogoče ni primerno, če pacientom
pripoveduje, česa vse ne ve. A meni zelo ustreza, če so ljudje sposobni razu-
meti in sprejeti meje svojega razumevanja in védenja. Tudi za zdravnike se
mi zdi popolnoma razumljivo, da marsičesa ne vedo, in se obenem čudim,
kaj vse vedo in na kako neverjetne načine so sposobni človeku pomagati.
Drugi vaš brat je v že zrelih letih iz uglednega jezikoslovca postal franči-
škanski menih. Se z njim kdaj pogovarjata o temeljnih duhovno bivanjskih
vprašanjih?
Včasih beseda nanese tudi na kaj takega. Da bi pa kdaj o teh težkih vpraša-
njih imela kake sistematične pogovore, to pa ne. O tem seveda kdaj premi-
šljujem, a o teh kompleksnih vprašanjih je težko argumentirano govoriti. Z
velikim zanimanjem sem na primer že pred mnogimi leti bral knjigo Smisel
življenja57 Janeza Janžekoviča. Vsebine, kot so na primer predavanja, ki jih
na spletu objavlja Thomistic Institute in ki poskušajo povezati znanost in
temeljna religiozno bivanjska vprašanja, pa me ne pritegnejo; zdi se mi, da
ne izvem nič bistveno novega. Zadržan sem tudi do nekaterih filozofskih do-
kazov pri religioznih vprašanjih. Načelno dajem vse priznanje premislekom,
ki zadevajo stvari in dogodke iz našega izkustvenega sveta in ki se sklicujejo
na vsakdanjo zdravo pamet. Kadar razpravljamo o popolnoma abstraktnih
stvareh, nedostopnih našemu izkustvu, pa bi morali biti dokazi logično neo-
porečni – kot v matematiki – sicer zame nimajo vrednosti. Podal bom zgled.
Eden od »aksiomov« krščanske vere je, da je človeška duša neumrljiva (ali,
če hočete, neminljiva). Spoštovani filozof sv. Tomaž Akvinski je podal takle
dokaz te trditve (povzeto po spominu po omenjeni Janžekovičevi knjigi):
(1) umreti pomeni razpasti na sestavne dele, (2) duša nima sestavnih delov,
(3) torej . . . Pri tem je trditev (1) privzeta kot evidentno dejstvo, trditev
(2) pa je utemeljena z nekaj (prav malo) miselnimi preizkusi, ki v duši ne
odkrijejo nobenih sestavnih delov. Ne bom razpravljal o prepričljivosti tega
»dokaza«.
Vaše besede me vsaj nekoliko spominjajo na odziv profesorja Vidava ob
podobnem vprašanju. Dejal je58, da so ti bivanjski problemi in vprašanja
tako kompleksni, da jih ne zna niti formulirati, kaj šele, da bi nanje znal
odgovoriti.
Ja, vse spoštovanje takemu človeku. Očitno je, da o teh stvareh premišljuje,
a se tudi dobro zaveda, da so mu odgovori nedosegljivi.
57Knjiga Smisel življenja Janeza Janžekoviča je prvič izšla pri Mohorjevi družbi leta
1966, zadnja izdaja 2001.
58Glej intervju Obzornik mat. fiz. 54 (2007) 6, 202–226.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 163
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 164 — #25 i
i
i
i
i
i
Intervju
Kako gledate na človeško nesposobnost, hudobijo? Katero od teh je hujše?
Kam bi vi postavili religiozna pojmovanja zla in kam sodobni odnos do
arhetipičnih in mističnih dilem človeškega bivanja?
Joj, to je pa težko vprašanje. Jaz sem veren človek, katolik. Nisem pa
mistik. Zlo očitno obstaja. Mogoče ga je v posameznih obdobjih, kot so
današnji časi, celo več kot običajno. Nesposobnost je nekaj povsem drugega.
Nesposobnost je primanjkljaj, ki se pogosto kaže v hudi hibi, ko se na primer
nesposoben človek rine nekam, za kar ni sposoben. A hudobija in zlo je
vseeno nekaj povsem drugega kot nesposobnost. Najbrž in na žalost smo
vsaj malo hudobije vsi sposobni. Najhujše oblike zla so pa pretresljive in
težko razumljive.
Kaj pa beseda »dogma« in njen pomen? Kako dogmatičen se vam zdi so-
dobni človek?
V krščanstvu »dogma« pomeni sprejeta ali razodeta resnica, o kateri se ne
sprašujete in je ne dokazujete. Vanjo preprosto verjamete. V današnjem
pogovornem jeziku in v široki uporabi pa pomeni pravilo ali prepričanje,
za katero ni prave osnove in se o njem ne spodobi spraševati. Takega do-
gmatičnega obnašanja je v sodobnem človeku gotovo veliko. Meni se od
modernih oblik dogmatizma zdijo nesprejemljive nekatere sodobne ideolo-
gije, kot na primer »teorija spola«. Ta ideologija ne priznava tako očitnih
in znanstveno nespornih resnic, kot je na primer dejstvo, da obstajata dva
biološko določena spola, in oznanja, da je spol družbeni konstrukt. Pravi
»spol« človeka naj bi bil tisto, kar si izbere, da je. Za spoštljivo sobivanje
so potrebni senzibilnost, spoštovanje sočloveka in spoštovanje resnice. Teh
lastnosti najbrž ni v izobilju pri tistih, ki so grobi in prezirljivi do drugačnih
ali ponižujoči do šibkejših, niti pri tistih, ki dandanes ustvarjajo sodobne
dogme. Marsikje lahko zaradi oporekanja tem sodobnim dogmam celo izgu-
bite službo. Posebej novice iz Amerike so včasih precej žalostne, saj številni
primeri kažejo na odsotnost zdrave pameti in na zanikanje dejstev. Ne vem,
kam se bo ta škodljivi dogmatizem še razvijal. Pri nas sicer še ni tako hudo,
a sodobne ideologije vsekakor s hitrimi koraki prihajajo tudi k nam.
Kaj se v življenju zdi najpomembnejše, ko se človek pri osemdesetih ozira
nazaj na prehojeno življenjsko pot, na izkušnje, na mladostna hrepenenja,
načrte in želje? Ko pogledate nazaj, kako pomembna se vam zdi vaša uči-
teljska vloga tako v poklicnem kot tudi v osebnem in družinskem življenju
v odnosu do vaših otrok? Z gospo Jano imata štiri sinove?
Ja, štiri sinove in sedaj že tudi enajst vnukov in vnukinj. Družina mi seveda
ogromno pomeni. Če bi bil sam, čisto sam, si sploh ne predstavljam, kako
bi to bilo.
Študij in moja poklicna učiteljska pot je tako zelo del mene, da si brez
tega sebe in svojega življenja sploh ne morem predstavljati. Ko je moj oče
v domači Pliskovici na Krasu končal osmi razred, je svoji materi potožil,
164 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“intervju” — 2022/12/11 — 18:50 — page 165 — #26 i
i
i
i
i
i
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem
kako zelo rad bi še naprej hodil v šolo. Materi je moralo biti grozno hudo,
ko mu je morala reči, da saj vidi, da to ni mogoče; živeli so namreč v revnih
razmerah. Blizu takrat sploh ni bilo šole in bi bil najbrž moral v Gorico
ali Sežano. Pa je vseeno šel skozi življenje tudi brez šolanja, ki je bilo meni
omogočeno. Sicer je pozneje sam iz zanimanja bral celo filozofske knjige in
je bil vse prej kot kak neizobražen površnež. Mnogo tega, kar imam sam
in celo tistega, kar so dobili moji otroci, je dediščina mojega očeta. Torej
je očitno mogoče imeti zelo plodno življenje tudi brez visoke izobrazbe. A
meni gotovo veliko pomeni, da sem lahko študiral. Ne spričevala, ki jih
lahko pokažem, ampak vse tisto, kar sem izvedel, se naučil.
Učil sem zelo rad. To je zelo lep poklic. Dolgo je trajalo, da sem se
zavedel, da nisem več prav mlad. Najprej sem bil asistent in svojim študen-
tom tudi po letih skorajda kolega, saj so bili le nekaj let mlajši od mene.
Tudi pozneje, kot učitelj, sem bil v stalnem stiku z mladimi ljudmi in se
sploh nisem zavedal, da se po starosti oddaljujem od njih. Če bi me bil kdo
vprašal po moji starosti, bi mu seveda znal pravilno odgovoriti, toda tisti
moj nezavedni notranji občutek je bil, da sem nekako stalno na istem staro-
stnem nivoju; in to je prijeten občutek. Lep, zelo lep poklic je poučevanje.
In če imate ob tem še srečo, da lahko poučujete nekaj, kar vam je všeč, kot
je bila zame matematika, je to le še toliko lepše. Najbrž ste opazili, da z leti
neprijetne stvari tonejo v pozabo in ostanejo zgolj lepe. Zame to vsekakor
velja in lahko rečem le, da sem imel srečno življenje. Isto sem povedal tudi
svojim kolegom ob upokojitvi in se jim zahvalil, da sem lahko z njimi na
fakulteti tako prijetno preživel tako velik del svojega življenja. Kolegi in
ljudje, s katerimi delate, so pomemben del življenja in seveda tudi sreče, ki
jo v življenju doživite. In res sem imel srečo, da sem deloval v glavnem v
letih, ko na fakulteti nismo imeli prepirov. Ko sem še študiral, sem seveda
tudi jaz občutil tesnobo in imel skrbi pred izpiti. Tudi pozneje, v službenih
letih, so prihajale skrbi in bojazni, pa pritiski od zunaj. Ampak vse to je
sestavni del življenja in celotnega življenjskega paketa. Normalni problemi
in težave pač minejo in jih hitro pozabite.
Kaj bi mogoče še dodali, sporočili učiteljem in vašim sodobnikom? Imate
misel ali nasvet za 30 ali 40 let starega Jožeta Vrabca?
(Smeh) To bi pa moral dolgo premišljevati. Pa ne vem, če bi prišel do česa
pametnega. (Premolk) Človek mora preprosto slediti svojemu upanju, da
si lahko kot poslušalec in opazovalec življenja izoblikuje dober in pozitiven
odnos do sveta, poklica, družine. In se potem v skladu s temi pozitivnimi
načeli sproti odgovorno odločati.
Profesor Vrabec, hvala za pogovor.
Pogovor pripravil Damjan Kobal
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 165
i
i
“Porocilo-OZ” — 2022/12/11 — 18:52 — page 166 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Poročilo o 75. Občnem zboru DMFA Slovenije v Čatežu ob Savi
75. Občni zbor DMFA je potekal 11. novembra 2022 na Čatežu ob Savi.
Uradni začetek ob 15:30 se je po pričakovanju nekoliko zamaknil zaradi ne-
sklepčnosti, v vmesnem času pa smo prisotni praznovali 50-letnico revije
Presek s prižiganjem svečk na torti ter prisluhnili predavanju Vlada Bata-
gelja o 60-letnici računalnika ZUSE in zgodovini teoretičnega računalnǐstva
v Sloveniji.
Ko je predsednica društva Nežka Mramor Kosta ob ponovnem preverja-
nju prisotnosti ugotovila sklepčnost, smo se z minuto molka najprej poklonili
preminulim članom društva v zadnjem obdobju, med katerimi so tudi trije
častni člani in nekdanji predsedniki društva Peter Gosar (1923–2022), Dušan
Modic (1927–2022) in Franc Cvelbar (1932–2021).
Vodenje seje sem nato prevzel podpisani kot delovni predsednik, predse-
dnica društva pa je v prvi točki dnevnega reda poročala o zares bogati aktiv-
nosti društva v zadnjem letu. Pri tem je izpostavila vzpostavitev strežnika
tekmujem.si, organizacijo Evropske fizikalne olimpijade 2022 v Ljubljani,
organizacijo 18 državnih tekmovanj iz znanja, celoletne priprave in odlične
rezultate srednješolcev na mednarodnih olimpijadah, izvedbo raznih promo-
cijskih aktivnosti (prireditev Bistroumi, likovni natečaj ob Mednarodnem
dnevu matematike, svetovni kvantni dan, tabor MARS, razstava Evropske
ženske v matematiki . . . ), založnǐsko dejavnost (Obzornik za matematiko in
fiziko in Presek), delovanje v mednarodnih združenjih IMU, EMS, IUPAP,
EPS in IAU, ter skrb za Plemljevo vilo in drugo dedǐsčino. Ob koncu je
napovedala še nekaj obsežneǰsih projektov za naslednje obdobje, predvsem
organizacijo Evropske matematične olimpijade za dekleta.
Pod točko finančno in poslovno poročilo je tajnik društva Janez Krušič
poročal, da ima DMFA Slovenije trenutno 864 članov (v zadnjem letu 17
novih in 35 prenehanj članstev). Občni zbor je soglasno potrdil sklep o
vǐsini članarine za leto 2023, ki po novem znaša 25 EUR (polna) oziroma
20 EUR (znižana). Tajnik je predstavil tudi finančno poslovanje zadnjega
obdobja, občni zbor pa je soglasno potrdil finančno poročilo za leto 2021 in
se seznanil z nekaterimi stroški v prihodnjem obdobju ter z vǐsino kotizacij
za tekmovanja.
166 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Porocilo-OZ” — 2022/12/11 — 18:52 — page 167 — #2 i
i
i
i
i
i
Poročilo o 75. Občnem zboru DMFA Slovenije na Čatežu ob Savi
V imenu statutarne komisije je Ciril Dominko prisotnim predstavil pre-
dlog sprememb statuta DMFA Slovenije. Nekatere spremembe so bile nujne
zaradi zakonodajnih zahtev: uradno skraǰsano ime je po novem Društvo
DMFA Slovenije (prej DMFA Slovenije), seje Upravnega odbora in Občnega
zbora lahko potekajo na daljavo (o tem presoja Upravni odbor), o nepre-
mičnem premoženju in finančnem načrtu po novem sklepa Občni zbor (prej
Upravni odbor), in še nekaj manǰsih popravkov besedila. Na željo Uprav-
nega odbora pa sta v predlogu novega statuta omenjena tudi nova Pravil-
nik o izdajanju društvenega glasila in Pravilnik o imenovanju elektorjev za
volitve predstavnikov v Državni svet RS, ki ju je predstavila predsednica
društva, Komisija za pedagoško dejavnost pa je bila preimenovana v Ko-
misijo za pedagoško dejavnost in založnǐstvo. Spremembe so bile soglasno
potrjene.
Društvena priznanja so tokrat prejeli Marija Ahčin, Natalija Uršič, Ta-
nja Veber, Dunja Fabjan, Marjeta Kramar Fijavž, Aleš Mohorič in Milena
Strnad. V imenu komisije za priznanja je utemeljitve prebrala Barbara
Rovšek. Več o prejemnikih bo objavljeno v posebnem prispevku. Pri točki
pobude članov je nato Izidor Hafner predlagal, da bi društvo uvedlo nagrade
ali priznanja, poimenovana po Ivanu Vidavu, Josipu Plemlju in Francu Moč-
niku, Mitja Rosina pa je predlagal dvodnevno izvedbo srečanja ob Občnem
zboru.
Pred volitvami za mandatno obdobje 2022–2024 je Občni zbor najprej
podelil razrešnico sedanji predsednici, nato pa je svojo vizijo dela predstavil
kandidat za novega predsednika društva prof. dr. Primož Potočnik. Povedal
je, da želi nadaljevati s popularizacijo in povezovanjem naših strok, inten-
zivirati povezovanje in sodelovanje med raziskovalci, pedagogi, študenti in
dijaki, povečati število vpisov v društvo, iskati stabilne vire financiranja in
skrb posvečati tekočemu delovanju. Ker je bil za vsako od voljenih funkcij
predlagan le en kandidat in drugih kandidatov ni bilo, so bile volitve izve-
dene hkrati za celoten Upravni odbor, Nadzorni odbor in Častno razsodǐsče,
ki so bili tudi v celoti soglasno izvoljeni.
Ob zaključku Občnega zbora se je sodelavcem za minulo delo zahvalila
predsednica Nežka Mramor Kosta, ki je tudi sama prejela šopek zahvale z
njihove strani. Občnemu zboru sta sledili še vabljeni znanstveni predavanji
Andreja Bauerja z naslovom Matematika volilnih sistemov in Saše Prelovšek
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 167
i
i
“Porocilo-OZ” — 2022/12/11 — 18:52 — page 168 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Komelj z naslovom Običajni in neobičajni hadroni. Že pred tem so ves
dan potekale pedagoške delavnice, ki se jih je udeležilo okoli 60 učiteljev,
pripravili pa so jih Matjaž Željko, Barbara Rovšek, Jurij Bajc, Nik Stopar,
Andrej Guštin, Dunja Fabjan, Lucija Željko, Nermin Bajramović, Izidor
Hafner in Blaž Zupan, prav tako je vzporedno potekala tudi 12. konferenca
fizikov v osnovnih raziskavah. Pohvaliti je treba še organizacijski odbor
(Rok Žitko, Marjeta Kramar Fijavž, Aleš Mohorič, Boštjan Kuzman), ki je
na strani DMFA poskrbel za zgledno izvedbo srečanja.
Občni zbor se je zaključil s prijetnim druženjem ob večerji v upanju,
da se člani prihodnje leto zberemo v še večjem številu in posebej slovesno
obeležimo tudi 150. obletnico rojstva našega akad. prof. Josipa Plemlja.
Slika 1. Ob 50-letnici revije Presek so se prižiganju svečke na torti sedanjemu odgovornemu
uredniku Alešu Mohoriču in uredniku za matematiko Boštjanu Kuzmanu pridružili še
Vlado Batagelj, član prvega urednǐskega odbora (1972), ter nekdanja odgovorna urednika
revije Tomaž Pisanski (1974/75) in Zvonko Trontelj (1977/78-1979/80).
Boštjan Kuzman
168 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Kuzman” — 2022/12/11 — 19:18 — page 169 — #1 i
i
i
i
i
i
V spomin Dušanu Modicu (1927–2022)
V spomin Dušanu Modicu (1927–2022)
14. februarja 2022 se je od nas za vedno poslovil Dušan Modic, prof. mate-
matike in fizike iz Novega mesta, verjetno še zadnji ustanovni član DMFA
Slovenije. Na ustanovnem občnem zboru Društva matematikov in fizikov
LR Slovenije leta 1949 v Ljubljani je bil prisoten kot študent. Pozneje je
v Društvu prevzemal številne zadolžitve. Leta 1966 je postal zastopnik za
območje Novega mesta, od leta 1970 do 1973 pa je vodil pedagoško sek-
cijo društva, ki je organizirala številne aktivnosti v zvezi s kakovostjo pouka
in posodabljanjem učnih načrtov v osnovnih šolah in gimnazijah. Za Občni
zbor v Šmarjeških Toplicah 1971 je uredil prvi društveni bilten, katerega tra-
dicija se je obdržala do danes. Leta 1973 je za eno leto postal predsednik,
nato pa od 1974 do 1980 podpredsednik društva. V tem času se je javno
zavzemal za možnost nadaljnjega izobraževanja in poklicnega napredovanja
učiteljev. Njegovi tedanji predlogi o napredovanjih učiteljev v nazive so bili
20 let pozneje realizirani v samostojni Sloveniji. Za dolgoletni doprinos k
delovanju DMFA Slovenije ga je društvo leta 1994 imenovalo tudi za svojega
častnega člana.
Slika 1. Dušan Modic na Bledu ob 70-letnici DMFA Slovenije (2019).
Dušan Modic je bil rojen leta 1927 v Loznici v Črni gori, kjer je kot
profesor kemije služboval njegov oče Stanislav Modic. Pozneje je družina
živela v Mariboru, med drugo svetovno vojno pa so bili izseljeni v Srbijo. Po
koncu vojne je z odliko maturiral na gimnaziji v Celju. Študij matematike
in fizike je začel v Zagrebu in nadaljeval v Ljubljani, kjer je še med študi-
jem poučeval na takratni XII. gimnaziji v Šentvidu in nato na učiteljǐsču
v Celju. Od leta 1952 je poučeval v Novem mestu, kjer si je ustvaril dru-
žino. Zaradi pomanjkanja učiteljev je pogosto poučeval na več šolah hkrati:
na učiteljǐsču, gimnaziji, srednji zdravstveni in srednji ekonomski šoli, na
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 169
i
i
“Kuzman” — 2022/12/11 — 19:18 — page 170 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
različnih tečajih za učitelje in izobraževanju ob delu. Na novomeški gim-
naziji je bil vrsto let tudi pomočnik ravnatelja in v. d. ravnatelja. Številni
dijaki in dijakinje ga imajo v izjemno lepem spominu – nekdanji dijaki 4.
b razreda, ki mu je bil razrednik, se še vedno redno srečujejo in so o njem
spregovorili tudi ob slovesu. Ob velikem številu ur pouka je opravil izjemno
delo tudi pri načrtovanju in opremljanju fizikalnih laboratorijev, za katere je
sam izdeloval tudi eksperimentalne pripomočke, ali pa jih je preko DMFA v
času, ko je bila tovrstna oprema težko dostopna, uvažal tudi iz tujine. Tudi
po upokojitvi konec osemdesetih let je ostal strokovno aktiven in na semi-
narjih za učitelje matematike predstavljal strokovne prispevke. Bil je med
pobudniki postavitve obeležja avtorju matematičnih in fizikalnih učbenikov
Karlu Kuncu v Novem mestu. Dolgoletno delo na področju geometrijskih
konstrukcij je zbral v knjigi Trikotniki, konstrukcije, algebrske rešitve. Še
v visoki starosti se je udeleževal društvenih prireditev in ostal zanimiv in
bister sogovornik. Verjamem, da ga bomo člani še dolgo ohranili v lepem
spominu.
Boštjan Kuzman
Uspešno zasedanje Sveta EMS na Bledu, novi predsednik Jan Solovej
Na Bledu je 25. in 26. junija 2022 potekalo zasedanje Council of European
Mathematical Society, ki tradicionalno poteka vsaki dve leti, na njem pa
se skrbno pregleda različna poročila o delu in financah ter izvoli nove člane
upravnega odbora EMS. Gostiteljica srečanja je bila Univerza na Primor-
skem, ki je odlično poskrbela za gladko izpeljavo. Poleg aktualnih članov
upravnega odbora in nominirancev za funkcije so na zasedanje povabljeni
delegati iz štirih kategorij. Zagotovljenega delegata imajo polni člani EMS,
med katerimi sta tudi DMFA Slovenije (Boštjan Kuzman) in Slovensko dru-
štvo za diskretno in uporabno matematiko (Tomaž Pisanski). Dodatne 4
delegate predlagajo še institucionalni člani, med njimi UP FAMNIT (Klav-
dija Kutnar), 4 delegate pridruženi člani, 32 delegatov pa je izbranih izmed
predlaganih individualnih članov EMS, med njimi tudi Jasna Prezelj.
Srečanje na Bledu se je začelo s kratkim poročilom aktualnega pred-
sednika EMS Volkerja Mehrmanna, ki je povedal, da je EMS v dobrem
finančnem in organizacijskem stanju, nekatere aktivnosti pa so v COVID
obdobju rahlo zastale. Zakladnik Mats Gyllenberg je nato natančno pred-
stavil prihodke in odhodke zadnjega obdobja ter finančni načrt za prihodnji
dve leti. Dobro finančno stanje je delno posledica prenosa kapitala preobli-
kovane založbe EMS, delno pa neizvedenih aktivnosti v času COVID. Želja
upravnega odbora EMS je, da se v naslednjem obdobju presežke porabi z
izdatneǰsim financiranjem znanstvenih aktivnosti.
170 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Kuzman” — 2022/12/11 — 19:18 — page 171 — #3 i
i
i
i
i
i
Uspešno zasedanje Sveta EMS na Bledu, novi predsednik Jan Solovej
Slika 1. Člani delovnega predsedstva Jiri Rakosnik (Češka), Mats Gyllenberg (Švedska),
Barbara Kaltenbacher (Avstrija), Jorge Buescu (Portugalska)z lokalnima organizatorjema
Tomažem Pisanskim in Klavdijo Kutnar ter predsednikom Volkerjem Mehrmanom na
zaslonu (zaradi karantene je na zasedanju sodeloval preko spleta iz hotelske sobe).
Ob pregledu članstva v EMS se je razgrela diskusija o rusko-ukrajinskem
konfliktu. Podpredsednika EMS Betul Tanbay in Jorge Buescu sta poja-
snila, da je Upravni odbor EMS predhodno že suspendiral s strani ruske
vlade financirani Eulerjev inštitut na podlagi zakonov EU, predstavniki ma-
tematičnih društev Ukrajine, Poljske in Litve pa so od Sveta EMS zahtevali
tudi suspenz Moskovskega in St. Petersburškega matematičnega društva,
ki sta formalno nevladni organizaciji. Po dveh dneh prelaganja odločitve je
prevladalo mnenje, da glasovanje o suspenzu ni bilo predvideno v dnevnem
redu in tri društva so bila napotena na predlog sklica izrednega zasedanja
Sveta EMS na daljavo. (Razplet v času oddaje članka še ni znan.)
Sledile so volitve. Seznam predlaganih kandidatov za posamezne funk-
cije je na podlagi prejetih nominacij pripravil Upravni odbor, možno pa je
bilo na licu mesta predlagati še dodatne kandidate (»from the floor«). Za
novega predsednika EMS v obdobju 2023–2026 je bil med tremi odličnimi
kandidati izvoljen Jan Philip Solovej (Kopenhagen). Na mesti podpredse-
dnice in zakladnika sta bila kot edina kandidata izvoljena Beatrice Pelloni
(Edinburgh) in Samuli Siltanen (Helsinki), za novo članica odbora je bila iz-
med štirih predlaganih kandidatov izvoljena še Victoria Gould (York). Pre-
ostali člani Upravnega odbora (tajnik in 4 člani) so bili izvoljeni za mandat
2021–2024, in se bodo zamenjali na naslednjih volitvah čez dve leti.
Prisotni smo podprli večino predlogov za popravke statuta EMS, ki po
novem dopušča tudi spletno ali hibridno izvedbo pomembneǰsih sestankov,
pristojnost za nekatera volilna opravila pa prenaša na poseben nominacij-
ski odbor. Sledila so še številna poročila in diskusije. Med temi izposta-
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 171
i
i
“Kuzman” — 2022/12/11 — 19:18 — page 172 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 2. Novi predsednik EMS Jan Philip Solovej (Danska) med predstavitvijo kandidature.
vimo vzpostavitev Mlade akademije EMS in Tematskih študijskih skupin,
ter načrte za nove aktivnosti v obliki posebnih semestrov, interdisciplinar-
nih študijskih skupin in večjih predstavitvenih dogodkov. Slǐsali smo poro-
čilo o pripravi naslednjega kongresa ECM v Sevilli 2024, poročilo piarovca
EMS Richarda Elwesa, novice založnǐske hǐse EMS Press, poročila komisij za
etiko, za države v razvoju, za izobraževanje, za evropsko solidarnost, za sre-
čanja, ERCOM (evropska mreža raziskovalnih organizacij za matematiko)
in javno zavedanje (Public Awareness). Tomaž Pisanski je kot član Odbora
za publikacije EMS predstavil analizo, ki kaže na velika razhajanja pri razu-
mevanju pojma »matematična revija« in »kakovost« v katalogih SCImago
in zbMath. Marjeta Kramar Fijavž je bila omenjena v poročilu Odbora za
ženske.
Kot predstavnik DMFA Slovenije sem dobil na zasedanju priložnost, da
med čakanjem na rezultat volitev na kratko predstavim delo in življenjsko
pot na Bledu rojenega akad. Josipa Plemlja. Vabilu na ogled Plemljeve
spominske sobe se je odzvalo kar nekaj tujih gostov in skupaj smo opti-
mistično razmǐsljali o možnostih, da bi pridobili mednarodna sredstva za
obnovo Plemljeve vile in financiranje projektov tipa »raziskovanje v paru«
ali »mini delavnice«.
Po dveh napornih dneh se je zasedanje zaključilo v nedeljo okoli 14h
z zahvalo Klavdiji Kutnar in Univerzi na Primorskem za nadvse uspešno
organizacijo. Zahvali se v imenu Odbora za matematiko pri DMFA Slovenije
pridružujem tudi sam, saj so kolegi iz UP z intenzivnimi aktivnostmi v
zadnjih letih uspeli doseči, da postaja Slovenija vse bolj opazen igralec na
zemljevidu evropskih matematičnih raziskovalnih združenj.
Boštjan Kuzman, Odbor za matematiko pri DMFA Slovenije
172 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Toman” — 2022/12/11 — 19:05 — page 173 — #1 i
i
i
i
i
i
Slovenska ekipa prvič na Mednarodni ekonomski olimpijadi
Slovenska ekipa prvič sodelovala in dosegla izjemen uspeh na Mednarodni
ekonomski olimpijadi
Mednarodna ekonomska olimpijada (https://ecolymp.org) je noveǰse tek-
movanje. Njen začetek sega v leto 2018, ko so v Moskvi tekmovale ekipe
iz 13 držav.1 Leto pozneje je olimpijada potekala v Sankt Peterburgu, šte-
vilo sodelujočih držav pa je naraslo na 24. Zaradi epidemije covida-19 se
je leta 2020 olimpijada preselila na splet (država gostiteljica je bila Kaza-
hstan), za medalje so se potegovale ekipe iz 29 držav. Leto pozneje so spet
preko spleta (država gostiteljica je bila Latvija) tekmovale ekipe iz 44 držav.
Epidemija in zaostrene geopolitične razmere so vplivale tudi na olimpijado
v letu 2022, ko je tekmovanje gostila Kitajska. Preko spleta so tekmovale
ekipe iz 40 držav, prvič tudi ekipa iz Slovenije. Društvo matematikov, fizikov
in astronomov (DMFA) Slovenije je pridobilo status pošiljajoče organizacije
za Republiko Slovenijo. Članice in člani slovenske ekipe so bili izbrani na
tekmovanju v znanju ekonomije, ki ga organizira DMFA v sodelovanju z
Ekonomsko fakulteto Univerze v Ljubljani (EF UL).
Tekmovanje v znanju ekonomije je nastalo leta 2022 z reorganizacijo
tekmovanja srednješolcev iz znanja ekonomije – razvoj in delovanje gospo-
darstva, ki je od leta 2000 do 2021 potekalo s sodelovanjem Zveze ekono-
mistov Slovenije, ter tekmovanja v znanju poslovne in finančne matematike
ter statistike, ki ga je od leta 2014 do 2021 organiziral DMFA. Prenovljeno
tekmovanje ima dve skupini, (I) ekonomija ter (II) finančna matematika in
statistika, in ima šolsko in državno raven. V obeh skupinah lahko tekmujejo
dijaki vseh slovenskih srednjih šol. V letu 2022 je na šolski ravni tekmovalo
112 tekmovalcev v I. skupini ter 80 v II. skupini. Na državno tekmovanje se
je uvrstilo 70 tekmovalcev, 47 v I. skupini in 23 v II. skupini. Skupaj je bilo
podeljenih 56 bronastih, 9 srebrnih in 6 zlatih priznanj. Na izbirno tekmo-
vanje za Mednarodno ekonomsko olimpijado se je uvrstilo 8 tekmovalcev iz
I. skupine in 7 iz II. skupine. Priprave na izbirno tekmovanje so potekale
preko spleta, srečanja je vodila doc. dr. Tanja Istenič z EF UL. V sloven-
sko ekipo za Mednarodno ekonomsko olimpijado so se uvrstili Špela Gačnik
z Gimnazije Bežigrad, Jakob Grmek s Škofijske gimnazije Vipava, Manca
Mursa z Gimnazije Bežigrad, Benjamin Nahtigal z Gimnazije Bežigrad in
Luka Ponikvar s Srednje šole za farmacijo, kozmetiko in zdravstvo. Vodji
ekipe na olimpijadi sta bila dr. Tomaž Košir s Fakultete za matematiko in
fiziko Univerze v Ljubljani (FMF UL) in dr. Tanja Istenič z EF UL.
Intenzivne priprave na olimpijado so se začele po koncu spomladanskega
roka mature. Od 4. do 7. julija se je ekipa zbrala v Centru šolskih in obšol-
skih dejavnosti Rak v Rakovem Škocjanu. Izbira lokacije je bila odlična, saj
se je obilica športnih aktivnosti, ki so na voljo v centru, izkazala za učin-
1Izraz država uporabljamo za države in druga ozemlja.
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 173
i
i
“Toman” — 2022/12/11 — 19:05 — page 174 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
kovit način spoznavanja in druženja članic in članov ekipe v prostem času.
Pri pripravah ekipe na olimpijado so sodelovali dr. Tomaž Košir s FMF UL
ter dr. Tanja Istenič, dr. Aleš Toman, dr. Darija Aleksić in dr. Damjana
Kokol Bukovšek z EF UL. Največ časa so namenili reševanju ekonomskih
tekmovalnih nalog iz preteklih olimpijad, poleg tega pa so spoznali glavne
korake pri obravnavi poslovnega primera ter elemente finančne pismenosti.
Slika 1. Del slovenske ekipe na pripravah na Mednarodno ekonomsko olimpijado. Spredaj
od leve tekmovalci Luka, Benjamin, Manca in Jakob, zadaj od leve spremljevalci Aleš,
Damjana, Tanja in Tomaž. Foto: Arhiv tekmovanja.
Čeprav je Mednarodna ekonomska olimpijada potekala na daljavo, sta
vodji ekip Turčije in Švice predlagali, da se evropske ekipe zberejo na enem
kraju in s tem tekmovalcem omogočijo bolj avtentično mednarodno izkušnjo.
Povabilo so sprejele ekipe Turčije, Švice, Slovenije, Severne Makedonije in
Grčije ter se zbrale v kraju Şirince približno 60 km južno od Izmirja na
zahodu Turčije. Poleg članic in članov slovenske ekipe ter obeh vodij je
v Turčijo odpotoval še dr. Aleš Toman v vlogi mednarodnega opazovalca.
Priprave na olimpijado in udeležbo slovenske ekipe in spremljevalcev na
tekmovanju v Turčiji so finančno podprli podjetji GEN-I in Abelium, Javni
štipendijski, razvojni, invalidski in preživninski sklad Republike Slovenije,
Ekonomska fakulteta in Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Lju-
bljani.
Namestitev v nekoliko odmaknjenem umetnostnem centru Tiyatro Medre-
sesi je udeležencem omogočala zbrane misli ob še zadnjih pripravah na tek-
movanje, zaradi slabe internetne povezave pa so tekmovalne ure preživeli v
bližnjem mestu Selçuk.
Olimpijada je bila sestavljena iz treh preizkušenj, ki so bile razvrščene
čez štiri tekmovalne dni. Prvi dan so tekmovalci reševali dvodelni test iz
ekonomije. Prvi del je vseboval 20 vprašanj izbirnega tipa, ki so pokrivala
različna področja ekonomije ter financ, drugi del pa 5 vprašanj odprtega
tipa, od katerih vsak tekmovalec izbere 4, ki so mu vsebinsko najbolj blizu.
174 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“Toman” — 2022/12/11 — 19:05 — page 175 — #3 i
i
i
i
i
i
Slovenska ekipa prvič na Mednarodni ekonomski olimpijadi
Slika 2. Slovenska ekipa na Mednarodni ekonomski olimpijadi. Od leve Luka, Benjamin,
Špela, Manca in Jakob. Foto: Arhiv tekmovanja.
Oba dela skupaj trajata približno 4 ure. Drugi dan so tekmovalci reševali
nalogo iz finančne pismenosti. Ta naloga je v resnici računalnǐska simulacija
naložb življenjskega cikla. Tekmovalci najprej izberejo 1 od 5 možnih oseb
in nato v njenem imenu sprejemajo investicijske odločitve skozi obdobje 30
let po zaključku šolanja. Na voljo imajo obilico dobrin, storitev ter finanč-
nih instrumentov, odločitve pa sprejemajo na osnovi finančnega znanja ter
novic, ki jih prejmejo ob začetku vsakega leta. Za nalogo imajo na voljo 2
uri.
Iz ekonomije in finančne pismenosti tekmovalci tekmujejo individualno.
Tretji in četrti tekmovalni dan sta namenjena reševanju poslovnega primera.
To je ekipna naloga, pri kateri prvi dan (po turškem času je bilo to od 2.59
do 2.59 naslednjega dne) ekipe pripravijo rešitev in jo oddajo v obliki pro-
sojnic, drugi dan pa svoje delo predstavijo in zagovarjajo pred mednarodno
žirijo. Poslovni primer vsako leto pripravi podjetje, ki ga k sodelovanju
povabi organizator olimpijade. Letos so ekipe načrtovale bolj trajnostne
poslovne prakse velikega kitajskega spletnega trgovca JD.com in njegovega
logističnega podjetja JDL. Vsi deli olimpijade so potekali v angleščini.
Slovenska ekipa je dosegla izjemen uspeh. V individualni razvrstitvi
več kot 200 tekmovalcev je Luka Ponikvar osvojil srebrno medaljo, Špela
Gačnik, Jakob Grmek, Manca Mursa in Benjamin Nahtigal pa bronaste
medalje. Špela Gačnik je prejela še pohvalo za dosežek pri nalogi iz finančne
pismenosti. Individualne uspehe dopolnjujeta še izstopajoča ekipna dosežka,
saj se je slovenska ekipa po seštevku točk vseh članic in članov uvrstila na
odlično 6. mesto (takoj za ZDA, Brazilijo, Kanado, Rusijo in Kitajsko), pri
reševanju poslovnega primera pa na še bolǰse 4. mesto (takoj za Brazilijo,
Kanado in Tajsko).
Tomaž Košir in Aleš Toman
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 175
i
i
“kazalo” — 2022/12/11 — 19:13 — page 176 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 69 (2022)
številke 1–4, strani 1–176
Članki — Articles
Ofiurida ali kačjerepnica (Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . 1–14
Nobelova nagrada 2021 za fiziko (Jože Rakovec in Tomaž Prosen) . . . . . . 15–29
Mehka robotika (Lara Erzin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–56
Variacije na Moivreovo temo (Anton Cedilnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89–98
Jožef Stefan je objavljal v angleščini in francoščini (Stanislav Južnič) . . 99–120
Sidrna veriga (Vlado Malačič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129–139
Vesti — News
Osemindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Gregor Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–III
Mednarodni kongres matematike ICM 2022 bo potekal preko spleta
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Vabilo k vložitvi predlogov priznanj DMFA Slovenije 2022
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Vabilo na občni zbor DMFA Slovenije 2022 (Neža Mramor Kosta) . . . . . VII
Vabilo na strokovno srečanje in 75. občni zbor društva
(Neža Mramor Kosta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2020
(Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122–124
Andrej Bauer prejemnik nagrade Levija L. Conanta 2022
(Anja Petković Komel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124–127
V spomin, prof. dr. Peter Gosar, 1923–2022 (Peter Prelovšek) . . . . . . . . . 128–XI
Poročilo o 75. Občnem zboru DMFA Slovenije v Čatežu ob Savi
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166–168
V spomin Dušanu Modicu (1927–2022) (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . 169–170
Uspešno zasedanje Sveta EMS na Bledu, novi predsednik
Jan Solovej (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170–172
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
176 Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4
i
i
“kazalo” — 2022/12/11 — 19:13 — page 177 — #2 i
i
i
i
i
i
Popravek k članku Variacije na Moivrovo temo
Slovenska ekipa prvič sodelovala in dosegla izjemen uspeh na
Mednarodni ekonomski olimpijadi (Tomaž Košir in Aleš Toman) . . . 173–175
Letno kazalo (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176–XV
Popravek k članku Variacije na Moivrovo temo (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . XV
Nove knjige — New books
A. Alarcón, F. Forstnerič in F. J. López, Minimal surfaces from a complex
analytic viewpoint (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–31
Intervju — Interview
Pogovor s profesorjem Antonom Suhadolcem (Damjan Kobal) . . . . . . . . . 57–87
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem (Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . 140–165
Urednǐstvo
Popravek k članku Variacije na Moivrovo temo (Obzornik za matematiko
in fiziko, letnik 69, številka 3, strani 89–98)
Pri pripravi članka za tisk je prǐslo do neljube tehnične napake, zaradi katere sta
formuli za Bn na strani 96 napačno zapisani in zato nerazumljivi. Pravilni formuli
sta
B2n = 1 +
n∑
k=1
[(
n− intk+12
n− k
)
+
(
n− 1 − intk2
n− k
)]
δk,
B2n+1 = 1 +
n∑
k=1
(
n− intk+12
n− k
)
δk.
Poleg tega bi moral biti na tej strani v peti vrstici od spodaj sklic na vir [1] namesto
na [4].
Za nastali napaki se avtorju in bralcem iskreno opravičujemo.
Urednǐstvo
http://www.obzornik.si/
Obzornik mat. fiz. 69 (2022) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2022/12/11 — 19:06 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, DECEMBER 2022
Letnik 69, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Sidrna veriga (Vlado Malačič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129–139
Intervju
Pogovor s profesorjem Jožetom Vrabcem (Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . 140–165
Vesti
Poročilo o 75. Občnem zboru DMFA Slovenije v Čatežu ob Savi
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166–168
V spomin Dušanu Modicu (1927–2022) (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . 169–170
Uspešno zasedanje Sveta EMS na Bledu, novi predsednik
Jan Solovej (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170–172
Slovenska ekipa prvič sodelovala in dosegla izjemen uspeh na
Mednarodni ekonomski olimpijadi (Tomaž Košir in Aleš Toman) . . . 173–175
Letno kazalo (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176–XV
Popravek k članku Variacije na Moivrovo temo (uredništvo) . . . . . . . . . . . XV
CONTENTS
Articles Pages
Anchor chain (Vlado Malačič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129–139
Interview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140–165
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166–XV
Na naslovnici: V poljskem Krakovu stoji na Glavnem trgu kip Adama Mickiewicza.
Kip je obdan z nizom verig, ki visijo med pari stebričkov. Lok verige ima značilno
obliko, več o njej izveste v članku na straneh 129–139. Foto: Aleš Mohorič