ISSN 0351-6652 Letnik 31 (2003/2004) Številka 5 Strani 278-282 Nada Razpet: PRETAKANJE VODE IN BINOMSKI SIMBOLI Ključne besede: matematika, binomski simboli. Elektronska verzija: http://www.presek.si/31/1569-Razpet.pdf © 2004 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo PRETAKANJE VODE IN BINOMSKI SIMBOLI Pretakanje vode iz posode v posodo .je lahko zelo zanimivo. Spomnimo se samo na vodne ure, na terase; po katerih se pretaka voda, in na različne znamenite vodnjake. Tokrat si oglejmo, kakšno zvezo s pretakanjem vode imajo Pascalov trikotnik in binomski simboli. Izberimo posebne posode, ki imajo ravno dno, na katerem sta tik ob steni na nasprotnih straneh dve odprtini. Presek take posode kaže slika. Pretakanje skozi odprtine nadzorujemo s posebnimi magnetnimi ventili. Ti nam omogočajo, da odprtini hkrati odpremo in zapremo ter tako uravnavamo količino vode, ki izteka skozi posamezno oprtino. Posode postavimo v obliki piramide, kot kaže slika (odprtin nismo risali). Najprej odpremo ventila v posodi, ki leži najvišje (ii = 0). Ko voda iz posode izteče, se hkrati odprejo vsi ventili v posodah na nivoju /t = 1, ko so te prazne, se odprejo ventili na nivoju n = 2 in tako naprej. Obravnavajmo primer, ko je pretok vode skozi obe odprtini posamezne posode enak, torej ko skozi vsako odprtino steče polovica vode, ki je v posodi. Matematika 279 + 5 Posoda na nivoju n = 0 naj bo polna vode (1 enota). Ko odpremo odprtini, se skozi vsako iztoči 1/2 količine vode. Ko odpremo odprtine na nivoju n = 1, teče voda v posode ua nivoju n = 2. V prvo posodo teče voda le iz ene odprtine posode nad njo, torej 1/4, v drugo teče voda iz dveh odprtin, torej priteče (1/4) + (1/4), in v zadnjo posodo na tem nivoju spet priteka voda samo iz ene odprtine, torej priteče 1/4 vode. Na nivoju n — 3 teče v prvo posodo voda le iz eue odprtine posode, ki je nad njo. v sosednji dve posodi teče voda iz dveh odprtin in v zadnjo spet iz ene odprtine. Opazimo naslednje: • Vsota števil v vsaki vrstici je 1 (to je ravno količina vode, ki jo pretakamo). • Števila v naslednji vrsti dobimo tako, da vsoto števil, ki sta levo in desno nad iskanim številom, delimo z dve. • V vsaki vrstici damo ulomke na najmanjši skupni imenovalec. Ce bi zapisovali samo števce ulomkov. bi nastal Pa.scalov trikotnik. Zapišimo člene ua n-tem tiivoju ja a © o 2n ' 2" ' 2™ 1' " 2" Vsota teh števil predstavlja skupno količino vode v posodah na n-tem nivoju, zato je ial+iil+11) , , L) _ 1 2" 2" 2" "' 2" 280 Matematika Upoštevali smo, daje ([j) = (") — 1. Enačbo pomnožimo z 2" in dobimo Izračunali smo vsoto binomskih simbolov (?), k ~ 0,1,..., n. Zdaj poglejmo primer, ko na vsakem nivoju skozi levo odprtino izteče d dež p, skozi desno pa delež q vode. Pri tem seveda velja, da je p + q = 1. Poglejmo, kako se voda pretaka po nivojih. n = 0 n = 1 p1 | p? + m n = 3 ]rq | 2p- | 'ipg2 + ?»/"[ Zapišimo rezultate še v tabelo: n = 0 1 n = 1 p q 11 = 2 p2 2 pq q2 n — 3 p3 3p2q 3 pq2 qi n = 4 p4 4p3q 6/)2'/2 4pq3 p4 Opazimo, da koeficienti členov v posameznih vrsticah spet tvorijo Pasca-lov trikotnik, zato lahko skupno količino vode na n-tem nivoju zapišemo kot vsoto naslednjih prispevkov: (Ml) Izberimo za p in q posebni vrednosti a b p=—— ,n q - a + b a + b' kjer sta a in b pozitivni števili in seveda p + q = 1. Splošni člen v enačbi (Ml) je potem /n\ ( a \n h ( b \k _ fn\ an~kbk Enačbo (Ml) pomnožimo na obeh straneh z (a + b)n in dobimo (¡¡)a*+ + —= (a + r- (M2) Vidimo, da smo na fizikalni način izpeljali binomsko formulo, ki pa v resnici velja za poljubni realni števili a in />. Pojasnimo še zapis količine vode z binomskimi koeficienti. Količino vode v fc-ti posodi na n-tem nivoju zapišemo kot f k„k Mislimo si, da na n-tem nivoju gledamo dve posodi (Avto in (fc + l)-vo), iz katerih teče voda v posodo na. (n + l)-vem nivoju ((k + l)-va posoda). V posodo izteče p-1 i delež vode iz leve zgornje posode in g-ti delež vode iz desne posode nad njo, torej L-ti,kP q + L nrfc+lp g Sledi (-1 jjfM-l-A-l_fe+l _ SI , „n-t„Hl I_(- , , On+l,fc+lP 1 — ^n.fcP Q + L^n.fc+lP