370 KB39 KB200820252021Henning, Michael A.Rall, Douglas F.številka:1letnik:20str. 129-142DOI:10.26493/1855-3974.2227.e1aISSN:1855-3966COBISSID_HOST:91621123URN:URN:NBN:SI:doc-7KIOPH38enUniverza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologijeArs mathematica contemporaneacompetition-enclaveless gamdominacijska igradomination gametekmovalna brezenklavna igraThe enclaveless competition game|For a subset ?$S$? of vertices in a graph ?$G$?, a vertex ?$v \in S$? is an enclave of ?$S$? if ?$v$? and all of its neighbors are in ?$S$?, where a neighbor of ?$v$? is a vertex adjacent to ?$v$?. A set ?$S$? is enclaveless if it does not contain any enclaves. The enclaveless number ?$\Psi(G)$? of ?$G$? is the maximum cardinality of an enclaveless set in ?$G$?. As first observed in P. J. Slate, J. Res. Natl. Bur. Stand. 82, 197-202 (1977), if $G$ is a graph with ?$n$? vertices, then ?$\gamma(G) + \Psi(G) = n$? where ?$\gamma(G)$? is the well-studied domination number of ?$G$?. In this paper, we continue the study of the competition-enclaveless game introduced in 2001 by J. B. Philips and P. J. Slater "An introduction to graph competition independence and enclaveless parameters", Graph Theory Notes N. Y. 41, 37-41 (2001) and defined as follows. Two players take turns in constructing a maximal enclaveless set ?$S$?, where one player, Maximizer, tries to maximize ?$|S|$? and one player, Minimizer, tries to minimize ?$|S|$?. The competition-enclaveless game number ?$\Psi_g^+(G)$? of ?$G$? is the number of vertices played when Maximizer starts the game and both players play optimally. We study among other problems the conjecture that if ?$G$? is an isolate-free graph of order ?$n$?, then ?$\Psi_g^+(G) \geq \frac{1}{2} n$?. We prove this conjecture for regular graphs and for claw-free graphsČe je ?$S$? podmnožica vozlišč grafa ?$G$?, potem vozlišču ?$v \in S$? pravimo enklava množice ?$S$?, če je vozlišče ?$v$?, pa tudi vsi njegovi sosedje, v množici ?$S$?, pri čemer je sosed vozlišča v tisto vozlišče, ki je sosedno vozlišču ?$v$?. Množica ?$S$? je brezenklavna, če nima enklav. Brezenklavno število ?$\Psi(G)$? grafa ?$G$? je kardinalnost največje brezenklavne množice v ?$G$?. Kot je prvi opazil Slater leta 1997: če je ?$G$? graf na ?$n$? vozliščih, potem je ?$\gamma(G) + \Psi(G) = n$?, kjer je ?$\gamma(G)$? dobro raziskano dominacijsko število grafa ?$G$?. V članku nadaljujemo raziskavo tekmovalne brezenklavne igre, ki sta jo leta 2001 vpeljala Philips in Slater in je definirana takole: dva igralca izmenično konstruirata maksimalno brezenklavno množico ?$S$?, pri čemer en igralec, povečevalec, poizkuša maksimalizirati ?$|S|$?, drug igralec, pomanjševalec, pa poizkuša minimalizirati ?$|S|$?. Vrednost tekmovalne brezenklavne igre ?$\Psi_g^+(G)$? grafa ?$G$? je število vozlišč, dobljenih v primeru, da povečevalec začne igro in da oba igralca igrata optimalno. Poleg drugih problemov raziskujemo domnevo, da če je ?$G$? graf brez izoliranih vozlišč reda ?$n$?, potem je ?$\Psi_g^+(G) \geq \frac{1}{2} n$?. To domnevo dokažemo za regularne grafe in za brezkrempljaste grafeTEXTznanstveno časopisjejournalsSlovenian National E-content AggregatorNational and University Library of SloveniaUniverza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije