326 KB55 KB200820252020Feng, Yan-QuanHu, KanNedela, RomanŠkoviera, MartinWang, Naerletnik:18številka:2str. 289-307ISSN:1855-3966COBISSID_HOST:41168899URN:URN:NBN:SI:doc-BV48VQGAenUniverza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologijeArs mathematica contemporaneabiciklična grupabicyclic groupgraph embeddingpoševni morfizempravilna risbaregular dessinskew-morphismvložitev grafaComplete regular dessins and skew-morphisms of cyclic groups|A dessin is a 2-cell embedding of a connected ?$2$?-coloured bipartite graph into an orientable closed surface. A dessin is regular if its group of orientation- and colour-preserving automorphisms acts regularly on the edges. In this paper we study regular dessins whose underlying graph is a complete bipartite graph $K_{m,n}$, called $(m,n)$-complete regular dessins. The purpose is to establish a rather surprising correspondence between ?$(m,n)$?-complete regular dessins and pairs of skew-morphisms of cyclic groups. A skew-morphism of a finite group ?$A$? is a bijection ?$\varphi\colon A\to A$? that satisfies the identity ?$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi^{\pi(x)}(y)$? for some function ?$\pi\colon A\to\mathbb{Z}$? and fixes the neutral element of ?$A$?. We show that every ?$(m,n)$?-complete regular dessin ?$\mathcal{D}$? determines a pair of reciprocal skew-morphisms of the cyclic groups ?$\mathbb{Z}_n$? and ?$\mathbb{Z}_m$?. Conversely, ?$\mathcal{D}$? can be reconstructed from such a reciprocal pair. As a consequence, we prove that complete regular dessins, exact bicyclic groups with a distinguished pair of generators, and pairs of reciprocal skew-morphisms of cyclic groups are all in one-to-one correspondence. Finally, we apply the main result to determining all pairs of integers ?$m$? and ?$n$? for which there exists, up to interchange of colours, exactly one ?$(m,n)$?-complete regular dessin. We show that the latter occurs precisely when every group expressible as a product of cyclic groups of order ?$m$? and ?$n$? is abelian, which eventually comes down to the condition ?$\gcd(m,\phi(n))=\gcd(\phi(m),n)=1$?, where ?$\phi$? is Euler's totient functionRisba je 2-celična vložitev povezanega 2-barvnega dvodelnega grafa na orientabilno sklenjeno ploskev. Risba je pravilna, če njena grupa avtomorfizmov, ki ohranjajo orientacijo in barve, deluje pravilno na povezavah. V tem članku preučujemo pravilne risbe, katerih osnovni graf je polni dvodelni graf ?$K_{m,n}$?, imenovane ?$(m,n)$?-polne pravilne risbe. Na ta način vzpostavimo precej presenetljivo korespondenco med ?$(m,n)$?-polnimi pravilnimi risbami in pari poševnih morfizmov cikličnih grup. Poševni morfizem končne grupe ?$A$? je bijekcija ?$\varphi\colon A\to A$?, ki zadošča identiteti ?$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi^{\pi(x)}(y)$? za neko funkcijo ?$\pi\colon A\to\mathbb{Z}$? in fiksira nevtralni element grupe ?$A$?. Dokažemo, da vsaka ?$(m,n)$?-polna pravilna risba ?$\mathcal{D}$? določa par recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup ?$\mathbb{Z}_n$? in ?$\mathbb{Z}_m$?. Velja tudi obratno, ?$\mathcal{D}$? lahko rekonstruiramo iz takšnega recipročnega para. Na podlagi tega dokažemo, da so polne pravilne risbe, eksaktne biciklične grupe z izbranim parom generatorjev, ter pari recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup vsi v povratno enolični korespondenci. Nazadnje pa uporabimo naš glavni rezultat še za določitev vseh parov celih števil ?$m$? in ?$n$?, za katere obstaja, do zamenjave barv natančno, samo en izomorfnostni razred $(m,n)$-polnih regularnih risb. Dokažemo, da se to zgodi natanko takrat, ko je vsaka grupa, izrazljiva kot produkt cikličnih grup reda ?$m$? in ?$n$?, abelska, kar se naposled prevede na pogoj ?$\gcd(m,\phi(n))=\gcd(\phi(m),n)=1$?, kjer je ?$\phi$? Eulerjeva funkcijaTEXTznanstveno časopisjejournalsSlovenian National E-content AggregatorNational and University Library of SloveniaUniverza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije