418 KB51 KB155 KB5 KB200820252023Burgess, AndreaCavenagh, Nicholas J.Pike, David A. Pikeštevilka:2letnik:23P2.05 (20 str.)DOI:10.26493/1855-3974.2692.86dCOBISSID_HOST:151481603ISSN:1855-3966URN:URN:NBN:SI:doc-FZ1D4JM5enUniverza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologijeArs mathematica contemporaneaciklični sistemi ciklovcompletely-reduciblecyclic cycle systemsHeffter arraysHeffterjeva poljaorthogonal cycle decompositionspopolnoma reducibilenpravokotne ciklične dekompozicijesuperenostavensuper-simpleMutually orthogonal cycle systems|An ?$\ell$?-cycle system ?$\mathcal{F}$? of a graph ?$\Gamma$? is a set of ?$\ell$?-cycles which partition the edge set of ?$\Gamma$?. Two such cycle systems ?$\mathcal{F}$? and ?$\mathcal{F}'$? are said to be orthogonal if no two distinct cycles from ?$\mathcal{F} \cup \mathcal{F}'$? share more than one edge. Orthogonal cycle systems naturally arise from face 2-colourable polyehdra and in higher genus from Heffter arrays with certain orderings. A set of pairwise orthogonal ?$\ell$?-cycle systems of ?$\Gamma$? is said to be a set of mutually orthogonal cycle systems of ?$\Gamma$?. Let ?$\mu(\ell, n)$? (respectively, ?$\mu'(\ell, n)$?) be the maximum integer ?$\mu$? such that there exists a set of ?$\mu$? mutually orthogonal (cyclic) v$\ell$?-cycle systems of the complete graph ?$K_n$?. We show that if ?$\ell \ge 4$? is even and v$n \equiv 1 \pmod 2\ell$?, then ?$\mu'(\ell,n)$?, and hence ?$\mu(\ell,n)$?, is bounded below by a constant multiple of ?$n/\ell^2$?. In contrast, we obtain the following upper bounds: ?$\mu(\ell,n) \le n-2$?; ?$\mu(\ell,n) \le (n-2)(n-3)/(2(\ell-3))$? when ?$\ell \ge 4$?; ?$\mu(\ell, n) \le 1$? when ?$\ell > n/\sqrt{2}$?; and ?$\mu'(\ell,n) \le n-3$? when ?$n \ge 4$?. We also obtain computational results for small values of ?$n$? and ?$\ell$??$\ell$?-ciklični sistem ?$\mathcal{F}$? grafa ?$\Gamma$? je množica ?$\ell$?-ciklov, ki razdelijo množico povezav grafa ?$\Gamma$?. Dva takšna ciklična sistema ?$\mathcal{F}$? in ?$\mathcal{F}'$? sta medsebojno pravokotna, če si nobena dva različna cikla iz ?$\mathcal{F} \cup \mathcal{F}'$? ne delita več kot ene povezave. Pravokotni sistemi ciklov nastanejo naravno iz poliedrov z 2-barvnim barvanjem lic, pri ploskvah višjega rodu pa iz Heffterjevih polj, ki zadoščajo določenim pogojem. Množica paroma pravokotnih ?$\ell$?-cikličnih sistemov grafa ?$\Gamma$? je množica medsebojno pravokotnih cikličnih sistemov grafa ?$\Gamma$?. Naj bo ?$\mu(\ell, n)$? (oziroma, ?$\mu'(\ell, n)$?) maksimalno celo število ?$\mu$?, pri katerem obstaja množica ?$\mu$? medsebojno pravokotnih (cikličnih) sistemov ?$\ell$?-ciklov polnega grafa ?$K_n$?. Dokažemo: če je ?$\ell \ge 4$? sod in ?$n \equiv 1 \pmod 2\ell$?, potem je ?$\mu'(\ell,n)$?, in torej ?$\mu(\ell,n)$?, omejen navzdol s konstantnim večkratnikom števila ?$n/\ell^2$?. Dobimo tudi naslednje zgornje meje: ?$\mu(\ell,n) \le n-2$?; ?$\mu(\ell,n) \le (n-2)(n-3)/(2(\ell-3))$?, če je ?$\ell \ge 4$?; ?$\mu(\ell, n) \le 1$?, če je ?$\ell > n/\sqrt{2}$?; in ?$\mu'(\ell,n) \le n-3$?, če je ?$n \ge 4$?. Predstavimo tudi računske rezultate za majhne vrednosti ?$n$? in ?$\ell$?TEXTznanstveno časopisjejournalsSlovenian National E-content AggregatorNational and University Library of SloveniaUniverza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije