310 KB15 KB200820252017Kovič, Jurijštevilka:1letnik:13str. 23-30COBISSID:17897561ISSN:1855-3966URN:URN:NBN:SI:doc-SB2VZORRenUniverza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologijeArs mathematica contemporaneaEulerjeva karakteristikapoliederrotacijska orbitaClassification of convex polyhedra by their rotational orbit Euler characteristic|Let ?$\mathcal P$? be a polyhedron whose boundary consists of flat polygonal faces on some compact surface ?$S(\mathcal P)$? (not necessarily homeomorphic to the sphere ?$S^{2}$)?. Let ?$vo_{R}(\mathcal P), eo_{R}(\mathcal P)$?, ?$ fo_{R}(\mathcal P)$? be the numbers of rotational orbits of vertices, edges and faces, respectively, determined by the group ?$G = G_{R}(P)$? of all the rotations of the Euclidean space ?$E^{3}$? preserving ?$\mathcal P$?. We define the ''rotational orbit Euler characteristic'' of ?$\mathcal P$? as the number ?$Eo_{R}(\mathcal P) = vo_{R}(\mathcal P) - eo_{R}(\mathcal P) + fo_{R}(\mathcal P)$?. Using the Burnside lemma we obtain the lower and the upper bound for ?$Eo_{R}(\mathcal P)$? in terms of the genus of the surface ?$S(P)$?. We prove that ?$Eo_{R} \in \lbrace 2,1,0,-1\rbrace $? for any convex polyhedron ?$\mathcal P$?. In the non-convex case ?$Eo_{R}$? may be arbitrarily large or smallNaj bo ?$\mathcal P$? polieder, katerega površje sestoji iz ploskih poligonskih lic na neki kompaktni ploskvi ?$S(\mathcal P)$? (ne nujno homeomorfni sferi ?$S^{2}$)?. Naj bodo ?$vo_{R}(\mathcal P), eo_{R}(\mathcal P)$?, ?$ fo_{R}(\mathcal P)$? ševila rotacijskih orbit vozlišč, povezav in lic, določena z grupo ?$G = G_{R}(P)$? vseh takšnih rotacij evklidskega prostora ?$E^{3}$?, ki ohranjajo polieder ?$\mathcal P$?. Definiramo ''Eulerjevo karakteristiko rotacijskih orbit'' poliedra ?$\mathcal P$? kot število ?$Eo_{R}(\mathcal P) = vo_{R}(\mathcal P) - eo_{R}(\mathcal P) + fo_{R}(\mathcal P)$?. S pomočjo Burnsidove leme dobimo spodnjo in zgornjo mejo za ?$Eo_{R}(\mathcal P)$?, ki ju izrazimo kot funkcijo reda ploskve ?$S(P)$?. Dokažemo, da je ?$Eo_{R} \in \lbrace 2,1,0,-1\rbrace $? za vsak konveksen polieder ?$\mathcal P$?. V nekonveksnem primeru je ?$Eo_{R}$? lahko poljubno velik ali majhenTEXTznanstveno časopisjejournalsSlovenian National E-content AggregatorNational and University Library of SloveniaUniverza na Primorskem, Fakulteta za naravoslovje, matematiko in informacijske tehnologije