i i \Drinovec-Drnovsek" | 2022/3/21 | 8:47 | page 30 | #1 i i i i i i NOVEKNJIGE A. Alarc on, F. Forstneri c in F. J. L opez, Minimal surfaces from a complex analytic viewpoint, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2021, 430 strani. Teorija minimalnih ploskev je eno klasi c- nih podro cij matematike, ki se ukvarja s studijem ploskev z lokalno najmanj so povr sino. Za cetnik moderne teorije je bil Leonhard Euler, ki je leta 1744 dokazal, da sta edini taki rotacijsko invariantni ploskvi v R 3 ravnina in katenoida, to je ploskev, ki jo dobimo z vrtenjem vija c- nice okoli abscisne osi. V moderni teoriji minimalnih ploskev se uporabljajo metode iz diferencialne ge- ometrije, geometrijske teorije mere, par- cialnih diferencialnih ena cb in komple- ksne analize. Metode kompleksne ana- lize ene spremenljivke so bile s pridom uporabljene ze v klasi cni teoriji pri stu- diju ploskev vR 3 : Weierstrassova repre- zentacijska formula za primeren par me- romorfne in holomorfne funkcije lokalno opi se vse minimalne ploskve. V predstavljeni monograji pa avtorji predstavijo prispevek teorije Oka k stu- diju minimalnih ploskev. Gre za homotopski princip v kompleksni analizi, ki poda re sljivost analiti cnega nelinearnega problema, kadar ni topolo skih ovir. Avtorji so v zadnjih desetih letih uporabili teorijo Oka, konveksno integracijo in metodo sprejev, ki ju je uvedel Mikhail Gromov, ter z njihovo pomo cjo re sili precej odprtih problemov v teoriji minimalnih ploskev. Monograja je namenjena ekspertom s podro cja diferencialne geometrije in kompleksne analize, pa tudi doktorskim studentom in raziskovalcem na sorodnih podro cjih. Napisana je zelo strukturirano, njeni avtorji so znani po odli cni razlagi. Dokazi so ponazorjeni z ilustracijami, ki olaj sajo razumeva- nje tehni cno zelo zapletenih konstrukcij. Knjiga je opremljena s stevilnimi avtorskimi prikazi klasi cnih primerov minimalnih ploskev. Prvi dve poglavji sta uvodnega zna caja. V prvem so predstavljene osnove realnih in kompleksnih mnogoterosti, s posebnim poudarkom na eno- razse znih kompleksnih mnogoterostih { Riemannovih ploskvah, na komple- 30 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Drinovec-Drnovsek" | 2022/3/21 | 8:47 | page 31 | #2 i i i i i i Minimal surfaces from a complex analytic viewpoint ksni aproksimacijski teoriji in teoriji Oka. Drugo poglavje je pregled osnov teorije minimalnih ploskev. Povezava med obema podro cjema je posledica tega, da je realni del holomorfne funkcije harmoni cna funkcija in obratno, vsaka harmoni cna funkcija, ki ima ni celne periode, je realni del holomorfne funkcije. Minimalne ploskve so namre c parametrizirane s konformnimi har- moni cnimi preslikavami. Naj bo A ni celna kvadrika A =f(z 1 ;z 2 ;:::;z n )2C n :z 2 1 +z 2 2 + +z 2 n = 0g: Pravimo, da je holomorfna imerzija f:M!C n iz odprte Riemannove plo- skveM holomorfna ni celna krivulja , ce v vsaki to cki njen odvod le zi v ni celni kvadriki. Realni deli holomorfnih ni celnih krivulj so konformne minimalne imerzije. Avtorji so ugotovili, da je prebodena ni celna kvadrika Anf0g mnogoterost Oka, kar jim je omogo cilo uporabo homotopskega principa. V nadaljevanju avtorji predstavijo rezultate, ki so jih razvili s svojimi sodelavci in studenti v zadnjih desetih letih: v tretjem poglavju so izpeljani aproksimacijski in interpolacijski izreki za konformne minimalne imerzije. V cetrtem poglavju se posvetijo minimalnim ploskvam s kon cno totalno Ga- ussovo ukrivljenostjo. V petem poglavju se osredoto cijo na Gaussovo pre- slikavo minimalne ploskve, ki vsaki to cki na minimalni ploskvi v R 3 priredi normalni vektor. Riemann-Hilbertov robni problem in njegova uporaba pri konstrukciji minimalnih in holomorfnih ni celnih krivulj je osrednja tema sestega po- glavja. Njegova aproksimativna re sitev omogo ca konstrukcije z natan cno kontrolo lege roba. Pravimo, da je ploskev M vR n kompletna, ce je dol zina vsake poti v M, ki zapusti katero koli kompaktno mno zico v M, neskon cna. Tema sedmega poglavja je problem Calabi-Yau v teoriji minimalnih ploskev: to je vpra sanje, katere odprte Riemannove ploskve dolo cajo kompleksno strukturo kompletnih omejenih minimalnih ploskev vR 3 . Kon cna Rieman- nova ploskev je kompaktna Riemannova ploskev z robom, ki je sestavljen iz kon cnega stevila gladkih sklenjenih krivulj. V osmem poglavju avtorji z uporabo Riemann-Hilbertove metode konstruirajo kompletne prave kon- formne minimalne imerzije iz kon cnih Riemannovih ploskev v minimalno konveksne domene vR n . Minimalno konveksne domene so posplo sitev kon- veksnih domen in so denirane s primernimi funkcijami iz crpanja. Delijo si nekatere lastnosti s psevdokonveksnimi domenami v C n . V devetem po- glavju se posvetijo studiju minimalnih ogrinja c z uporabo metod kompleksne in funkcionalne analize. Barbara Drinovec Drnov sek Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 31