i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 1 — #1
i
i
i
i
i
i
SCHNIRELMANNOVIZREK
VINKO MEDIC
ˇ
Solski center Novo mesto
Math. Subj. Class. (2010): 11P32
Lev Schnirelmann
1
(1905–1938) je leta 1930 dokazal, da je vsako naravno ˇ stevilo,
veˇ cje od ena, vsota konˇ cnega ˇ stevila praˇ stevil. To je zelo pomemben izrek in hkrati prvi
odmevnejˇ si rezultat v zvezi z Goldbachovo domnevo. V temˇ clanku bo predstavljen dokaz
z njegovim kriterijem za celoˇ stevilske mnoˇ zice kot baze s konˇ cnim redom.
SCHNIRELMANN’S THEOREM
In 1930 Schnirelmann proved that every integer greater than one is the sum of a ﬁnite
number of primes. This is a great theorem, the ﬁrst signiﬁcant result on the Goldbach
conjecture. InthiscontributionweshallapplySchnirelmann’scriterionforasetofintegers
to be a basis of ﬁnite order.
1. Uvod
Goldbachova domneva je eden najstarejˇ sih problemov v teoriji ˇ stevil
in nasploh v matematiki. Hilbert jo je leta 1900 uvrstil na seznam triin-
dvajsetih najveˇ cjih matematiˇ cnih izzivov dvajsetega stoletja. Goldbachova
domneva je zapisana na osmem mestu, skupaj s sploˇ sno Riemannovo hipo-
tezo, in je eden od redkih problemov s tega seznama, ki ni reˇ sen. Originalna
domneva je bila prviˇ c zapisana v pismu, ki ga je Christian Goldbach (1690–
1764) 7. junija 1742 poslal Eulerju. V njem je trdil, da lahko vsako naravno
ˇ stevilo, veˇ cje od 5, zapiˇ semo kot vsoto treh praˇ stevil. Euler je odgovoril, da
se strinja z domnevo, vendar je ne zna dokazati. Kasneje jo je spremenil v
drugoobliko,kipravi,dalahkovsakosodonaravnoˇ stevilo,veˇ cjeoddve,za-
piˇ semo kot vsoto dveh praˇ stevil (isto praˇ stevilo lahko uporabimo dvakrat).
Primeri: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5 = 3+7, 12 = 5+7,
14 = 3+11 = 7+7, ... Ta oblika je danes znana kot krepka Goldbachova
domneva. Obstaja tudi ˇ sibka oblika Goldbachove domneve, ki pravi, da je
vsako liho naravno ˇ stevilo, veˇ cje od 5, vsota treh praˇ stevil. Obe domnevi
sta do sedaj ostali nereˇ seni,ˇ ceprav je reˇ sitevˇ sibke domneve bliˇ ze kot reˇ sitev
krepke. V tem ˇ clanku bo predstavljen Schnirelmannov pristop k reˇ sevanju
problema.
1
Ruski matematik, Luzinov uˇ cenec
Obzornik mat. ﬁz. 57 (2010) 1 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 2 — #2
i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
2. Schnirelmannova gostota
Naj bo A mnoˇ zica nenegativnih celih ˇ stevil. Za vsako realno ˇ stevilo x
naj pomeni A(x)ˇ stevilo pozitivnih elementov mnoˇ zice A, ki ne presegajo x,
tj.
A(x) =
X
a∈A
1≤a≤x
1.
Funkcijo x 7→ A(x) imenujemo ˇ stevna funkcija mnoˇ zice A. Za x > 0 velja
0≤A(x)≤ [x]≤x, kjer oznaˇ cuje [x] najveˇ cje celo ˇ stevilo, ki ne presega x.
Deﬁnicija 1. Schnirelmannovo gostoto mnoˇ zice A deﬁniramo s predpisom
σ(A) = inf
n∈N
A(n)
n
.
Ker je σ(A)≤
A(n)
n
za vsak n∈N, je 0≤σ(A)≤ 1.
Poglejmo si nekaj primerov mnoˇ zic naravnih ˇ stevil in jim doloˇ cimo ˇ ste-
vno funkcijo ter Schnirelmannovo gostoto.
(a) Za mnoˇ zico A = N vseh naravnih ˇ stevil je A(n) = n za vsak n ∈ N,
njena Schnirelmannova gostota pa je σ(A) = 1. Ker tudi obratno hitro
vidimo, je σ(A) = 1 natanko takrat, ko je A =N.
(b) Za mnoˇ zico B, ki vsebuje vsa naravna ˇ stevila razen enega, npr. B =
N\{m}, je ˇ stevna funkcija B(n) = n za n < m in B(n) = n−1 za
n ≥ m, zato velja σ(B) = inf
n∈N
B(n)
n
=
m−1
m
= 1−
1
m
.
ˇ
Ce je m = 1, je
B(1) = 0 in zato σ(B) = 0.
(c) Za mnoˇ zico C, ki vsebuje vse veˇ ckratnike naravnega ˇ stevila d in ˇ ste-
vilo 1, tj. C = {1}∪{kd;k ∈ N}, smo za primer, ko je d = 1, ˇ ze
ugotovili, da ima mnoˇ zica C gostoto 1.
ˇ
Ce pa d 6= 1, je ˇ stevna funk-
cija C(n) =
  n
d
  +1 za vsak n ∈N, zato velja σ(C) = inf
n∈N
[
n
d
]+1
n
=
1
d
.
Vidimo,dazveˇ canjemrazlikedvaritmetiˇ cnemzaporedjuSchnirelman-
nova gostota pada, vendar ostaja pozitivna.
(d) Za mnoˇ zico D, ki vsebuje potence danega naravnega ˇ stevila k, tj. D =
{1}∪{k
n
;n∈N}, je zak = 1 oˇ citnoσ(D) = 0, saj je vD le enoˇ stevilo.
V primeru, ko je k > 1, pa jeˇ stevna funkcija D(n) = [log
k
n]+1. Tako
je njena gostota σ(D) = inf
n∈N
[log
k
n]+1
n
= 0.
2 Obzornik mat. ﬁz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 3 — #3
i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
(e) V zadnjem primeru si oglejmoˇ se mnoˇ zico P, ki vsebuje 1 in vsa praˇ ste-
vila. Tokrat seˇ stevna funkcijaP(n) za velikaˇ stevilan obnaˇ sa pribliˇ zno
kotizrazc
n
lnn
,priˇ cemerjecpozitivnakonstanta(praˇ stevilskiizrek,glej
[1]), zato je njena gostota σ(P) = inf
n∈N
c
lnn
= 0.
Schnirelmannova gostota je pomembna mera za velikost podmnoˇ zic ne-
negativnih celihˇ stevil. Za nadaljevanje potrebujemo nov pojem baze konˇ c-
nega reda.
Deﬁnicija 2. Podmnoˇ zica A nenegativnih celih ˇ stevil se imenuje baza re-
da h, ˇ ce hA vsebuje vsa nenegativna cela ˇ stevila (tj. ˇ ce lahko vsako nene-
gativno celo ˇ stevilo zapiˇ semo kot vsoto h, ne nujno razliˇ cnih ˇ stevil iz A).
Mnoˇ zici A pravimo baza konˇ cnega reda, ˇ ce je baza reda h za neko ˇ stevilo
h≥ 1.
ˇ
Ce so A
1
, ..., A
h
podmnoˇ zice nenegativnih celih ˇ stevil, je vsota A
1
+
···+A
h
sestavljena iz vseh nenegativnih celih ˇ stevil oblike a
1
+···+a
h
,
kjer je a
i
∈ A
i
za vsak i = 1, ..., h.
ˇ
Ce je A
i
= A za vse i = 1, ..., h, pa
naj bo hA =A+···+A
| {z }
h-krat
.
Po toˇ cki (a) z zaˇ cetka razdelka je podmnoˇ zica A baza reda h natanko
tedaj, ko je σ(hA) = 1. Schnirelmann je priˇ sel do preprostega, vendar
pomembnega odkritja, da je podmnoˇ zica nenegativnih celih ˇ stevil, ki vse-
buje 0 in ima pozitivno gostoto, baza konˇ cnega reda (glej izrek 8 na koncu
tega razdelka). Preden pa to dejstvo dokaˇ zemo, si oglejmo najpomembnejˇ se
lastnosti Schnirelmannove gostote.
Trditev 3. Naj bosta A in B podmnoˇ zici celih ˇ stevil, ki vsebujeta 0.
ˇ
Ce je
n≥ 0 in A(n)+B(n)≥n, je n∈A+B.
Dokaz.
ˇ
Ce je n ∈ A ali n ∈ B, je oˇ citno n ∈ A+B; zato predpostavimo
n 6∈ A∪B. Deﬁnirajmo mnoˇ zici A
0
= {n−a: a ∈ A,1 ≤ a ≤ n−1} in
B
0
={b: b∈B,1≤b≤n−1}. Potemjemoˇ cmnoˇ ziceA
0
enaka|A
0
| =A(n),
ker n6∈A, in moˇ c mnoˇ zice B
0
je |B
0
| =B(n), ker n6∈B. Oˇ citno velja
A
0
∪B
0
⊆ [1,n−1].
Ker je
|A
0
|+|B
0
| =A(n)+B(n)≥n,
1–10 3
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 4 — #4
i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
mora biti
A
0
∩B
0
6=∅.
Torej je n−a =b za neka a∈A in b∈B oziroma n =a+b∈A+B.
Trditev 4. Naj bosta A in B podmnoˇ zici celih ˇ stevil, ki vsebujeta 0.
ˇ
Ce je
σ(A)+σ(B)≥ 1, je n∈A+B za vsako nenegativno celo ˇ stevilo n.
Dokaz.
ˇ
Ce oznaˇ cimo σ(A) =α in σ(B) =β, je za n≥ 0
A(n)+B(n)≥ (α+β)n≥n,
zato iz trditve 3 sledi n∈A+B.
Posledica 5.
ˇ
Ce je A mnoˇ zica celih ˇ stevil, ki vsebuje 0 in za katero je
σ(A)≥ 1/2, je A baza reda 2.
Trditev 6. Naj bosta A in B takˇ sni podmnoˇ zici celih ˇ stevil, ki vsebujeta 0.
Potem je
σ(A+B)≥σ(A)+σ(B)−σ(A)σ(B). (1)
Dokaz. Za utemeljitev te lastnosti ocenimo, koliko naravnih ˇ stevil, ki ne
presegajo n, vsebuje mnoˇ zica A+B. V ta namen razdelimo interval [0,n]
na k+1 delov, pri ˇ cemer je k =A(n). Torej naj bo n≥ 1, a
0
= 0 in
0 =a
0
<a
1
<···<a
k
≤n
k pozitivnih elementov mnoˇ zice A, ki ne presegajo n. Ker je 0 ∈ B, je
a
i
= a
i
+0 ∈ A+B za vse i = 1, ..., k. Sedaj pa poiˇ sˇ cimo na vsakem
intervalu (a
i
,a
i+1
) ˇ stevila, ki pripadajo mnoˇ zici A + B. Tako naj bo za
i = 0, ..., k−1,
1≤b
1
<···<b
r
i
≤a
i+1
−a
i
−1
r
i
= B(a
i+1
− a
i
− 1) pozitivnih elementov mnoˇ zice B, ki so manjˇ si od
a
i+1
−a
i
. Potem je
a
i
<a
i
+b
1
<···<a
i
+b
r
i
<a
i+1
in
a
i
+b
j
∈A+B
4 Obzornik mat. ﬁz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 5 — #5
i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
za vse j = 1, ..., r
i
. Nadalje poglejmo ˇ se ˇ stevila na zadnjem intervalu
(a
k
,n]. Naj bo
1≤b
1
<···<b
r
k
≤n−a
k
r
k
= B(n−a
k
) pozitivnih elementov mnoˇ zice B, ki ne presegajo n−a
k
.
Potem je
a
k
<a
k
+b
1
<···<a
k
+b
r
k
≤n
in
a
k
+b
j
∈A+B
za vse j = 1, ..., r
k
. Vendar ni nujno, da po zgornjem postopku dobimo
vsa ˇ stevila, saj lahko obstajata takˇ sni ˇ stevili a
i
in b
j
, da njuna vsota ni
enaka nobeni vsoti iz naˇ se razdelitve, pa vseeno ne presega ˇ stevila n. Iz
tega razloga je v mnoˇ zici A+B veˇ cˇ stevil, ki ne presegajoˇ stevila n, kot pa
v naˇ si razdelitvi na k+1 delov. Oznaˇ cimo σ(A) =α in σ(B) =β pa imamo
(A+B)(n) ≥ A(n)+
k−1
X
i=0
B(a
i+1
−a
i
−1)+B(n−a
k
)≥
≥ A(n)+β
k−1
X
i=0
(a
i+1
−a
i
−1)+β(n−a
k
) =
= A(n)+β(a
1
−a
0
−1+a
2
−a
1
−1+···+
+a
k
−a
k−1
−1)+β(n−a
k
).
V tej vsoti se velikoˇ clenov odˇ steje. Od preostanka izpostavimoβ in dobimo
(A+B)(n)≥A(n)+β(−a
0
−k+n).
Upoˇ stevamo, da je a
0
= 0 in k =A(n)
(A+B)(n)≥A(n)+βn−βA(n) = (1−β)A(n)+βn.
Ker je A(n)≥αn, velja
(A+B)(n)≥ (1−β)αn+βn = (α+β−αβ)n.
Tako je
(A+B)(n)
n
≥α+β−αβ
in
σ(A+B) = inf
n∈N
(A+B)(n)
n
≥σ(A)+σ(B)−σ(A)σ(B).
1–10 5
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 6 — #6
i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
Neenakost (1) lahko zapiˇ semo tudi kot:
1−σ(A+B)≤ (1−σ(A))(1−σ(B))
in jo posploˇ simo na vsoto poljubnih konˇ cnih podmnoˇ zic naravnih ˇ stevil.
Trditev 7. Naj boh naravnoˇ stevilo inA
1
, ..., A
h
takˇ sne podmnoˇ zice celih
ˇ stevil, da je 0∈A
i
za vsak i = 1, ..., h. Potem je
1−σ(A
1
+···+A
h
)≤
h
Y
i=1
(1−σ(A
i
)). (2)
Formalni dokaz z indukcijo na ˇ stevilo mnoˇ zic prepustimo bralcu. Na
koncu si oglejmo ˇ se najpomembnejˇ so lastnost Schnirelmannove gostote.
Izrek 8. Naj bo A podmnoˇ zica celih ˇ stevil, ki vsebuje 0 in ima pozitivno
Schnirelmannovo gostoto. Potem je A baza konˇ cnega reda.
Dokaz.
ˇ
Ce je σ(A) = α > 0, je 0 ≤ 1−α < 1; zato obstaja tako naravno
ˇ stevilo l≥ 1, da je
0≤ (1−α)
l
≤ 1/2.
Potem je po trditvi 7
1−σ(lA)≤ (1−σ(A))
l
= (1−α)
l
≤ 1/2
in tako
σ(lA)≥ 1/2.
Po posledici 5 je mnoˇ zica lA baza reda 2 in zato A baza konˇ cnega reda 2l.
3. Schnirelmannov izrek
Sedaj se bomo posvetili dokazu Schnirelmannovega izreka. Pokazali
bomo, da ima mnoˇ zica, sestavljena iz 0, 1 in naravnih ˇ stevil, ki jih lahko
predstavimo kot vsoto dveh praˇ stevil, pozitivno Schnirelmannovo gostoto.
Za to pa potrebujemo razliˇ cne ocene za povpreˇ cno ˇ stevilo predstavitev na-
ravnegaˇ stevila kot vsote dveh praˇ stevil. Preden zaˇ cnemo, moramo vpeljati
nekaj novih oznak.
6 Obzornik mat. ﬁz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 7 — #7
i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
Najbof poljubnarealnaalikompleksnafunkcijaing pozitivnafunkcija.
Zapis f   g naj pomeni, da obstaja takˇ sna konstanta c> 0, da velja
|f(x)|≤cg(x)
za vse x iz deﬁnicijskega obmoˇ cja funkcije f. Oznaka f   g pa naj pomeni
isto kot g  f.
Naj r(N) oznaˇ cuje ˇ stevilo predstavitev naravnega ˇ stevila N kot vsote
dveh praˇ stevil, pri ˇ cemer loˇ cimo vrstni red sumandov. Naj bo x ≥ 2 po-
ljubno realno ˇ stevilo. S π(x) oznaˇ cimo ˇ stevilo vseh praˇ stevil, ki ne prese-
gajo x (glej [1]).
ˇ
Ce sta p in q praˇ stevili, ki ne presegata x/2, njuna vsota
p+q ne presega x. Sedaj tvorimo vse moˇ zne vsote s tema dvema praˇ ste-
viloma. Ker je do x/2 natanko π(x/2) praˇ stevil, dobimo natanko π(x/2)
2
urejenih parov vsot manjˇ sih ali enakih x. Vendar to niso vse vsote dveh
praˇ stevil, ki ne presegajo x, saj bi lahko veljalo p+q≤x tudi za praˇ stevili,
ki nista obe manjˇ si od x/2. Torej velja
X
N≤x
r(N)≥π(x/2)
2
.
Uporabimo izrek
ˇ
Cebiˇ seva, (glej [1], str. 173), ki pravi, da je π(x/2)   x/2
logx/2
, pa imamo
X
N≤x
r(N)≥π(x/2)
2
  (x/2)
2
(log(x/2))
2
  x
2
(logx)
2
. (3)
V [2] najdemo izrek (Theorem 7.2 na strani 186), ki pravi, da za vsako
sodo naravno ˇ stevilo N velja
r(N)  N
(logN)
2
Y
p|N
  1+
1
p
  ≤
N
(logN)
2
X
d|N
1
d
. (4)
Taneenakostveljatudizalihanaravnaˇ stevila, sajjelihonaravnoˇ steviloN
vsota dveh praˇ stevil natanko tedaj, ko je N −2 praˇ stevilo. Za takˇ sno liho
naravno ˇ stevilo je torej r(N) = 2. Naj bo x≥ 1 poljubno realno ˇ stevilo. Z
uporabo neenakosti (4) dobimo
X
N≤x
r(N)
2
  X
N≤x
N
2
(logN)
4


X
d|N
1
d


2
.
1–10 7
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 8 — #8
i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
Ker je funkcija
N
2
(logN)
4
naraˇ sˇ cajoˇ ca, jo navzgor ocenimo z najveˇ cjo vredno-
stjo pri x. Vsoto
 
P
d|N
1
d
!
2
pa zapiˇ semo v ekvivalentni obliki


X
d
1
|N
1
d
1




X
d
2
|N
1
d
2


=
X
d
1
|N
X
d
2
|N
1
d
1
d
2
.
Zdaj imamo
X
N≤x
r(N)
2
  x
2
(logx)
4
X
N≤x


X
d|N
1
d


2
=
x
2
(logx)
4
X
N≤x
X
d
1
|N
X
d
2
|N
1
d
1
d
2
.
Zamenjamo vrstni red seˇ stevanja in dobimo
X
N≤x
r(N)
2
  x
2
(logx)
4
X
d
1
,d
2
≤x
1
d
1
d
2
X
N≤x
d
1
|N,d
2
|N
1.
Zadnjavsotajerazliˇ cnaod0samovprimeru,kod
1
ind
2
hkratidelitaN. To
pomeni natanko takrat, ko njun najmanjˇ si skupni veˇ ckratnik [d
1
,d
2
] deliN.
Vsoto ocenimo navzgor, pa dobimo
X
N≤x
r(N)
2
  x
2
(logx)
4
X
d
1
,d
2
≤x
1
d
1
d
2
X
N≤x
[d
1
,d
2
]|N
1≤
x
2
(logx)
4
X
d
1
,d
2
≤x
1
d
1
d
2
x
[d
1
,d
2
]
.
Izpostavimox, upoˇ stevamo oceno [d
1
,d
2
] =
d
1
d
2
(d
1
,d
2
)
≥ (d
1
d
2
)
1/2
za najmanjˇ si
skupni veˇ ckratnik [d
1
,d
2
] in najveˇ cji skupni delitelj (d
1
,d
2
) ˇ stevil d
1
in d
2
ter zopet uvedemo sumacijsko spremenljivko d:
X
N≤x
r(N)
2
  x
3
(logx)
4
X
d
1
,d
2
≤x
1
d
3/2
1
d
3/2
2
=
x
3
(logx)
4


X
d≤x
1
d
3/2


2
.
Zadnja vsota konvergira, ko gre x ˇ cez vse meje, ker je eksponent v imeno-
valcu veˇ cji od ena. Tako dobimo
X
N≤x
r(N)
2
  x
3
(logx)
4
. (5)
8 Obzornik mat. ﬁz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 9 — #9
i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
Po Cauchy-Schwarzevi neenakosti velja


X
N≤x
r(N)


2
≤
X
N≤x
r(N)≥1
1
X
N≤x
r(N)
2
.
Vsota
P
N≤x
r(N)≥1
1 preˇ steje vsa naravnaˇ stevila N, ki ne presegajo x in jih lahko
vsaj na en naˇ cin zapiˇ semo kot vsoto dveh praˇ stevil. Torej je ta vsota enaka
ˇ stevni funkciji A(x) za mnoˇ zico A vseh naravnih ˇ stevil, ki se dajo zapisati
kot vsota dveh praˇ stevil. Tako imamo


X
N≤x
r(N)


2
≤A(x)
X
N≤x
r(N)
2
.
Iz neenakosti izrazimo A(x), tako da je
A(x)≥
 
P
N≤x
r(N)
!
2
P
N≤x
r(N)
2
.
Po deljenju z x dobimo
A(x)
x
≥
1
x
 
P
N≤x
r(N)
!
2
P
N≤x
r(N)
2
.
Upoˇ stevajmo oceni (3) in (5), pa od tod sledi
A(x)
x
  1
x
x
4
(logx)
4
x
3
(logx)
4
  1.
Prepriˇ cajmo se, da ima mnoˇ zica A = {0,1}∪{p+q : p,q praˇ stevili}
pozitivno Schnirelmannovo gostoto. Pravkar smo videli, da obstaja takˇ sno
ˇ steviloc
1
> 0, dajeA(x)≥c
1
xzavsadovoljvelikaˇ stevilax≥x
0
. Kerpa1
pripada mnoˇ zici A, obstaja takˇ sno ˇ stevilo c
2
> 0, da je A(x)≥ c
2
x tudi za
1≤ x≤ x
0
. Torej A(x)≥ cx za vse x≥ 1, pri ˇ cemer je c = min{c
1
,c
2
}. Iz
tega lahko sklepamo, da je Schnirelmannova gostota mnoˇ zice A pozitivna.
1–10 9
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 10 — #10
i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
Izrek 9 (Schnirelmann). Obstaja takˇ sno naravnoˇ stevilo H, da lahko vsa-
ko naravno ˇ stevilo, veˇ cje kot ena, zapiˇ semo kot vsoto kveˇ cjemu H praˇ stevil.
Dokaz. Pokazali smo, da ima mnoˇ zica
A ={0,1}∪{p+q: p,q sta praˇ stevili}
pozitivno Schnirelmannovo gostoto. Zato obstaja po izreku 8 takˇ sno na-
ravno ˇ stevilo h, da je vsako nenegativno celo ˇ stevilo N vsota natanko h
elementov mnoˇ zice A. Naj bo N ≥ 2 oziroma N −2≥ 0. Zapiˇ simo N −2
kotvsotok enicinl parovpraˇ stevilp
i
,q
i
,priˇ cemerveljak+l≤h(k,l≥ 0).
Torej je
N−2 = 1+···+1
| {z }
k
+(p
1
+q
1
)+···+(p
l
+q
l
).
ˇ
Ce je k sodo ˇ stevilo, to je k = 2m, potem po prenosu ˇ stevila 2 na desno
stran dobimo
N = 2+···+2
| {z }
m+1
+(p
1
+q
1
)+···+(p
l
+q
l
).
Vidimo, da je tedaj N vsota m+1+2l praˇ stevil. V primeru, da je k liho
ˇ stevilo k = 2m+1, pa imamo
N = 2+···+2
| {z }
m
+3+(p
1
+q
1
)+···+(p
l
+q
l
).
Torej je tudi v tem primeru N vsota m+1+2l praˇ stevil. Ker ˇ stevili l in
m+l nepresegatah, veljam+1+2l≤ 2h+1.Ugotovilismo, dalahkovsako
naravno ˇ stevilo N > 1 zapiˇ semo kot vsoto kveˇ cjemu 2h+1 = H praˇ stevil.
ˇ
Stevilo H se imenuje Schnirelmannova konstanta in je po Schnirelman-
novih izraˇ cunih znaˇ sala 300000. Kasneje so konstanto z natanˇ cnejˇ simi oce-
nami moˇ cno zmanjˇ sali. Najboljˇ si rezultat doslej je leta 1995 dosegel Olivier
Ramar´ e, ki je pokazal, da je Schnirelmannova konstanta enaka najveˇ c 6.
Torej lahko vsako naravnoˇ stevilo, ki je veˇ cje od 1, zapiˇ semo kot vsoto kve-
ˇ cjemu ˇ sestih praˇ stevil.
LITERATURA
[1] J. Braˇ ciˇ c, Uvod v analitiˇ cno teorijo ˇ stevil, Podiplomski seminar iz matematike 26,
DMFA-zaloˇ zniˇ stvo, Ljubljana, 2003.
[2] M. B. Nathanson, Additive Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 164,
Springer-Verlag, 1996.
[3] Goldbach Conjecture, .
10 Obzornik mat. ﬁz. 57 (2010) 1