IZ TEORIJE ZA PRAKSO 16 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 Potenčne funkcije in kovinska razmerja dr. Marko Razpet Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Izvleček V članku pokažemo, da obstajajo realne potenčne funkcije f, za katere je inverz f -1 enak n-temu odvodu f (n) . Eksponent spremenljivke v funkciji se tedaj izraža s kovinskim razmerjem reda n. Pri tem je n naravno število. Obravnavamo tudi geometrijsko razlago kovinskih razmerij. Ključne besede: potenčna funkcija, inverz, odvod, kovinsko razmerje, verižni ulomek, kovinski pravokotnik Power functions and metallic ratios Abstract In the article we show that there are real power functions / which inverse f -1 equals n-th derivative f (n) . In this case, the exponent of the variable in / is expressed by the metallic ratio of order n. Th e number n is natural. A geometric explanation of metallic ratios is discussed, too. Keywords: power function, inverse, derivative, metallic ratio, continued fraction, metallic rectangle Uvod Za boljše razumevanje prispevka ponovimo najnujnejše o po- tenčnih funkcijah. Realne potenčne funkcije x → f(x) = cx α kjer sta c in α realni števili, so videti preproste, kar pa ni čisto res. Do njih vodi precej dolga pot. Težav ni, če je α = n naravno šte- vilo. Tedaj je pač potenca x n produkt n faktorjev, od katerih je vsak enak x. Pri razširitvi potence na cele negativne eksponente že nastopi težava. Za x ≠ 0 je treba vzeti obratno vrednost ali inverz x -1 , ki obstaja po nekem aksiomu za realna števila, in nato defi niramo x -n = (x -1 ) n za vsako naravno število n. Posebej je x 0 = 1 za x ≠ 0. S tem imamo za vsak x ≠ 0 in vsako celo število m defi nirano potenco x m . Naslednji korak je razširitev potence na racionalne eksponente. V tem primeru je treba najprej za naravno število n vpeljati n-ti koren, to se pravi , za nenega- tivne x. Eksistenca in enoličnost n-tega korena se dokažeta na podlagi aksiomov realnih števil, lahko pa tudi z uporabo izrekov o zveznih funkcijah na intervalu. Nato defi niramo potenco x r za racionalno število r = m/n, kjer je m celo, n pa naravno šte- vilo, s predpisom . Vsako racionalno število r lahko predstavimo v obliki m/n, kjer je m celo in n naravno število. Za potrebe tega prispevka se bomo omejili: za m > 0 oziroma r > 0 na x ≥ 0 in za m < 0 oziroma r < 0 na x > 0. Pri tem je treba tudi preveriti, da je defi nicija potence x r neodvisna od predstavitve eksponenta r z ulomkom m/n. V vsakem primeru je x 0 = 1 za x ≠ 0. Podrobneje o tem na primer v (3) . Za računanje s poten- cami veljajo običajna pravila. Zapomnimo si se zapis za x ≥ 0. Resna težava nastane, ko želimo defi nirati potenco x α za realne eksponente α. To lahko naredimo šele, ko poznamo pojem limite številskega zaporedja. Ker je množica racionalnih števil gosta v množici realnih števil, vzamemo poljubno racionalno zaporedje r 1 , r 2 , r 3 , …, ki konvergira k α, nato pa postavimo za x α limito za- poredja x r 1 x r 2 x r 3 , …, ko n raste prek vseh meja. Če je α > 0, to gre za x ≥ 0, za α < 0 pa za x > 0. Defi nicija ni odvisna od zaporedja r 1 , r 2 , r 3 , …, samo k α mora konvergirati. Drugi način vpeljave potence x α za realne eksponente α in za x > 0 je možen, ko že dobro poznamo število e: in eksponentno funkcijo ki je ena od osnovnih elementarnih funkcij in jo sestavljajo poten- ce z naravnimi eksponenti. Eksponentna funkcija je defi nirana za vse realne x, zavzame pa pozitivne vrednosti. Ima inverzno funk- cijo exp -1 = ln, to je logaritemsko funkcijo z osnovo e. Potem lah- ko defi niramo za vsak realen eksponent n in vsak x > 0 potenco x α = e α ln(x) , IZ TEORIJE ZA PRAKSO 17 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 za α > 0 pa vzamemo 0 α = 0. To lahko naredimo zato, ker α ln(x) → -∞, ko x → 0 +0 in e x → 0, ko x → -∞. Za α < 0 pa α ln(x) → ∞, ko x → 0 +0 zato tedaj x α ne moremo razširiti na x = 0. Odvodi in inverz potenčne funkcije Da bi se izognili vsem neprijetnostim, bomo odslej uporabljali samo potence x α za x ≥ 0 0 in α > 0 ter potence x α za x > 0 in α < 0. Ogledali si bomo potenčne funkcije x → f(x) = cx α , kjer je c pozitivna konstanta. Za α > 0 so te funkcije naraščajoče, za α < 0 pa padajoče. S tem je poskrbljeno, da f : [0, ∞) → [0, ∞) za α > 0 in f : (0, ∞) → (0, ∞) za α < 0. Kakorkoli že, odvode znamo izračunati: V splošnem je n-ti odvod: Navadno defi niramo padajočo faktorielo (α) n s predpisom: Še posebej postavimo: (α) 0 = 1. Zato je n = 0, 1, 2, 3 … Brez težav poiščemo funkciji f inverzno funkcijo. Kot po nava- di zapišemo y = cx α in zamenjamo med seboj x in y, to pomeni x = cy α . Iz te zveze je potem , ker je na splošno za vsak . S tem imamo par inverznih si funkcij iz [0, ∞) na [0, ∞) oziroma iz (0, ∞) na (0, ∞), ki sta defi nirani s predpisoma: Potemtakem je inverz potenčne funkcije tudi potenčna funkcija. Enakost inverza in odvodov Kdaj za dano naravno število n velja enakost f -1 (x) = f (n) (x) za vsak x > 0? Problem je obravnavan na več spletnih mestih. Pripo- mnimo, da koefi cient c(α) n pred potenco x α-n ni vselej pozitiven. Izenačimo inverz f -1 in n-ti odvod funkcije f: Ker mora ta relacija veljati za vsak x > 0, morata veljati enačbi: (1) To pomeni, da α zadošča kvadratni enačbi ki ima rešitvi Rešitvi sta nasprotno predznačeni iracionalni števili, in sicer ve- lja α 1 > 0 in α 2 < 0. Njun produkt je po Vietovih pravilih enak -1, vsota pa n. Druga enačba v sistemu (1) ima za posledico relacijo α 1 – n > 0. Za vsak naraven n je (α 1 ) n pozitivno število, (α 2 ) n pa ne vedno. Vsi faktorji v defi niciji (α 2 ) n so namreč negativni. Zato je (α 2 ) n za sode n pozitivno, za lihe n pa negativno število. Sedaj lahko izrazimo še koefi cient c. Iz prve enačbe v sistemu (1) dobimo Rešitvi sta zato S tem smo našli iskani potenčni funkciji Ne pozabimo: c 2 in f 2 imata smisel za sode n. V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy je pri izbranem n graf dobljene potenčne funkcije simetričen z njenim n-tim odvodom glede na simetralo prvega kvadranta, to je glede na premico y = x (Slike 1, 2, 3). Z uporabo enačb (1) lahko izračunamo, kje se sekata grafa funk- cij f in f (n) . Ker sta si to inverzni funkciji, se sekata na premici y = x. Za α > 0 se sekata v točki (0, 0), za α < 0 pa ne. Se pa sekata v točki (ξ, ξ), kjer je ξ > 0. Pogoj za presek je iz česar dobimo Za sode n sta rešitvi za lihe n pa le Kovinska razmerja in kovinski pravokotniki Števili α 1 in α 2 , ki nastopata v dobljenih potenčnih funkci- jah, srečamo na primer tudi v geometriji in diskretni ma- tematiki. Izražata se kot funkciji naravnega števila n, česar zaradi enostavnih zapisov nismo posebej ozna čevali. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 18 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 Slika 1: Primer n = 1. Grafa funkcije in odvoda . Slika 2: Primer n = 2. Grafi funkcij in drugih odvodov . Sedaj številu α 1 dajmo samostojen pomen. Število α 2 ni posebno zanimivo, ker se tako in tako izraža z α 1 zaradi zveze α 1 + α 2 = n . Število imenujemo kovinsko razmerje reda n (več o tem na primer v [2]). Zanj velja zveza , iz katere sledi . Če drugo zvezo uporabimo Slika 3: Primer n = 3. Grafa funkcije in tretjega odvoda . kar v njej sami, dobimo: Ta postopek lahko nadaljujemo v nedogled. To pomeni, da smo uspeli razviti v neskončni verižni ulomek: Po navadi ga zapišemo v krajši obliki: Pred podpičjem je njegov celi del. Za n = 1, 2, 3 imamo Po vrsti jih imenujemo zlato, srebrno in bronasto razmerje, kar je v skladu z leskom medalje, ki se na športnih tekmovanjih pode- ljujejo za osvojeno prvo, drugo in tretje mesto. Pogosto označujejo zlato razmerje s φ ali τ, za katero velja osnov- na relacija φ 2 = φ + 1. Zlato razmerje je bilo znano že v antičnih časih, le da so ga imenovali skrajno in srednje razmerje. V obdo- bju renesanse so mu rekli božansko razmerje. Zlati pravokotnik je bil za renesančne umetnike najbolj estetski med vsemi pravo- kotniki. Izraz zlato razmerje se je uveljavil šele v 19. stoletju. Več o tem na primer v [1] . IZ TEORIJE ZA PRAKSO 19 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 Zlato razmerje φ = σ 1 najdemo v pravilnem petkotniku, kjer sta diagonala in stranica v zlatem razmerju. Prav tako v pravilnem ikozaedru in dodekaedru. Srebrno razmerje σ 2 je v pravilnem osemkotniku. V njem sta srednje dolga diagonala in stranica v srebrnem razmerju (Slika 4). To lahko hitro preverimo. Slika 4: Pravilni petkotnik in pravilni osemkotnik. Dokazali so, da bronasto razmerje σ 3 ni v nobenem pravilnem večkotniku razmerje med diagonalo in stranico. Bronasto razmerje dobimo v enakostraničnem trikotniku ABC s stranico 2 kot vsoto dolžin treh daljic (Slika 5). Najprej poiščemo sredini stranic AB in AC. To sta točki D in E. Nato poiščemo še sredino F daljice AE. Za dolžine dobimo: S tem imamo: Slika 5: Bronasto razmerje v enakostraničnem trikotniku. Pokažimo, kako lahko geometrijsko razložimo razmerje σ n . Ker je σ n > n ≥ 1, lahko pravokotnik s stranicama σ n in 1 razrežemo na n enotskih kvadratov ter manjši pravokotnik s stranicama σ n – n in 1. Večji in manjši pravokotnik sta si podobna, ker velja zveza Vsak pravokotnik, ki je podoben tema dvema, je kovinski pravo- kotnik reda n. Na sliki 6 so predstavljeni zlati, srebrni in bronasti pravokotnik. σ 1 1 1 σ 2 1 1 1 1 11 111 σ 1 –1 σ 2 –2 σ 3 –3 Ko od kovinskega pravokotnika reda n odstranimo n kvadratov, ostane manjši kovinski pravokotnik reda n. Od tega spet lahko odstranimo n kvadratov in dobimo se manjši kovinski pravoko- tnik reda n. Ta postopek lahko nadaljujemo v nedogled. S tem dobimo neko samopodobno strukturo, ki spominja na fraktale. Uporaba GeoGebre Pri izdelavi slik v prispevku je bila uporabljena GeoGebra. Za ra- čunanje padajoče faktoriele (α) n , ki je GeoGebra ne pozna, je bila uporabljena funkcija Γ (za nenegativne cele n je Γ(n + 1) = n!), s katero izrazimo Funkcijo Γ v GeoGebri prikličemo z ukazom gamma, na primer gamma(5), kar nam da 24. Potenco s pozitivno osnovo in real- nim eksponentom GeoGebra izračuna brez težav. Slika 6: Zlati, srebrni in bronasti pravokotnik. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 20 Matematika v šoli, št. 2., letnik 26, 2020 Zaključek Spoznali smo, da obstajajo realne funkcije f, katerih inverz je enak n-temu odvodu funkcije f. Take funkcije so preproste potenčne funkcije. Spoznali smo, da so eksponenti v njihovih izrazih v tesni povezavi s kovinskimi razmerji. Teže pa je najti nepotenčno funkcijo f, katere inverz je enak njenemu n-temu odvodu. Literatura [1] Merzbach, U. C., Boyer, C. B. (2011). A Histor of Mathematics. New Jersey: John Wiley & Sons, Hoboken. [2] V . M. W . de Spinadel. (1998). From the Golden Mean to Chaos, Buenos Aires: Editorial Nueva Libreria. [3] Vidav, I. (1968). Višja matematika I. Ljubljana: DZS. 20 Iz digitalne bralnice ZRSŠ V digitalni bralnici lahko prelistate najrazli čnejše strokovne publikacije: monografi je in priro čnike, ter druge publikacije, ki so izšle na Zavodu RS za šolstvo in so vam BREZPLA ČNO dosegljive tudi v PDF obliki. Priporo čamo: - Posodobitve pouka v gimnazijski praksi MATEMATIKA in CD - Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi MATEMATIKA in CD - O naravi u čenja - Razvijanje in vrednotenje znanja - Ugotavljanje kompleksnih dosežkov - Izobraževalni listi či Scientix NA-MA - Razsežnost u čnega jezika pri vseh predmetih - U čne težave pri matematiki in slovenš čini – izziv za u čitelje in u čence www.zrss.si/strokovne-resitve/digitalna-bralnica