        P 48 (2020/2021) 1 23 Retrogradno gibanje V K̌̌ Uvod Telesa v našem Osončju, to so planeti, pritlikavi pla- neti, kometi, asteroidi in ostala telesa, se gibljejo okoli Sonca. Če Osončje pogledamo iz smeri nad Sončevim severnim polom, se večina teles giblje v na- sprotni smeri urinih kazalcev, nekatere izjeme pa v smeri, enaki gibanju urinih kazalcev. Za prve od teh pravimo, da je njihovo pravo gibanje progradno, iz- jeme pa se gibljejo retrogradno. Skoraj vsi planeti Osončja (Merkur, Zemlja, Mars, Jupiter, Saturn, Uran, Neptun) se gibljejo okoli svoje osi progradno, izjema je Zemljina dvojčica Venera, ki se okoli svoje osi edina giblje retrogradno. Toda prav vsi planeti se gibljejo progradno po svojih tirnicah okoli Sonca. Predstavljajmo si, da sredi neke jasne noči na ne- bu opazujemo rdeči planet Mars. Ker se tako naša modra Zemlja kot tudi Mars okoli Sonca gibljeta pro- gradno in je kotna hitrost Zemlje okoli Sonca večja od Marsove, gre sklepati, da se Mars na našem nebu glede na zvezde pomika v smeri vzhoda. Pomika se in pomika, vzhodno in še bolj vzhodno, po nekem času pa bo naredil polni obhod, čez nekaj časa še enega, potlej še enega . . . Vse se zdi prav enostavno, a le na prvi pogled. Zmoti nas Marsovo nadvse ču- dno vedenje. Opazimo ga, če pod nebesnim svodom preživimo mnogo dni, veliko enostavneje pa lahko njegovo nenavadno vedenje razberemo s slike 1. Mars se očitno do neke točke giblje povsem obi- čajno v smeri vzhoda, nakar se začne premikati v nasprotno stran – v smer zahoda, čez čas pa si pre- misli in svojo pot kot prej ponovno nadaljuje v smeri vzhoda. Navideznemu gibanju planeta v nasprotni smeri gibanja ostalih teles v Osončju pravimo navidezno retrogradno gibanje. Ker je le-to za nas na tem me- stu veliko zanimiveje od pravega retrogradnega giba- nja, bomo sedaj z besedno zvezo retrogradno giba- nje mislili na navidezno retrogradno gibanje. Za opa- SLIKA 1. Zanimanja vreden posnetek Marsovega vedenja zovalca na Zemlji je retrogradno gibanje predvsem gibanje zunanjih planetov, ki so od Sonca oddaljeni bolj kot Zemlja. Retrogradno gibanje je za astronome sicer zelo za- nimiv pojav. Pred davnimi časi so še verjeli, da je Ze- mlja središče vesolja, v veljavi je bil t. i. geocentrični sistem. Ko so hoteli na podlagi tega modela uteme- ljiti retrogradno gibanje, so s težavo ugotovili, da vsak planet, ki kroži okoli Zemlje, še posebej kroži okoli navidezne točke na svoji orbiti, kot prikazuje slika 2. Kopernik je šele na prehodu iz 15. v 16. stoletje utemeljil svojo heliocentrično teorijo, ki upošteva, da se planeti in ostala telesa gibljejo okoli Sonca in ne Zemlje. Tedaj je bilo potrebno poiskati novo raz- lago za retrogradno gibanje planetov. Kaj se zares zgodi? Odgovor na to vprašanje še najbolje razkriva slika 3, ki prikazuje resnično gibanje Zemlje in Marsa ter navidezno gibanje Marsa na nebesni sferi. Gibanje nekega zunanjega planeta je torej retro- gradno v času, ko ga Zemlja prehiteva, kar pa se do- gaja v času okoli opozicije. Kar hitro pa se pojavi         P 48 (2020/2021) 124 M Z SLIKA 2. Tako so skušali retrogradno gibanje pojasniti z geocentrǐcnim sistemom. Zemlja se giblje po majhni krožnici okoli središča vesolja. Mars kroži okoli navidezne točke, ki pa se premika po rdeči tirnici okoli središča vesolja. vprašanje, koliko časa retrogradno obdobje sploh traja. Vsekakor bi to lahko ugotovili ob nekaj dnev- nem druženju z našim rdečim prijateljem, pa vendar bi bilo verjetno hitreje in morda tudi bolj zanimivo, da bi trajanje retrogradnega gibanja kar izračunali. Poskusimo torej! Čas retrogradnega gibanja Za začetek narišemo dovolj verodostojno skico in skušamo opisati lego Zemlje in Marsa v odvisnosti od časa t. Predpostavimo, da sta orbiti Zemlje in Marsa kro- žni in da ležita v isti ravnini. V to ravnino postavimo pravokotni koordinatni sistem s središčem v Soncu in abscisno osjo skozi zveznico Sonce, Zemlja, Mars v času opozicije Marsa, torej ko ležijo kolinearno. Za planeta Zemljo in Mars napišemo koordinate v odvisnosti od časa. Pri tem upoštevamo, da je kot ϕ “ ω ¨ t. V enačbah je d oddaljenost posameznega planeta od Sonca in ω kotna hitrost posameznega planeta. Za Zemljo pišemo xC “ dC ¨ cos pωCtq , yC “ dC ¨ sin pωCtq , zelo podobno tudi za Mars x♂ “ d♂ ¨ cos pω♂tq , y♂ “ d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ . Opazovali bomo smerni količnik zveznice Zemlja- Mars. Med progradnim gibanjem Marsa se le-ta veča, med retrogradnim pa manjša. Zato s pomočjo že do- bljenih zvez zapišimo izraz za ta smerni količnik k v odvisnosti od časa t. k “ ∆y ∆x “ y♂ ´yC x♂ ´ xC “ d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ ´ dC ¨ sin pωCtq d♂ ¨ cos ` ω♂t ˘ ´ dC ¨ cos pωCtq (1) Spreminjanje kotnega količnika kptq grafično prika- zuje slika 5. Zanimata nas lokalna ekstrema tega količnika; čas med trenutkom enega in drugega je namreč čas re- trogradnega gibanja. Zato moramo k odvajati in odvod izenačiti z 0. Ker nas zanimajo lokalni ekstremi, je dovolj, da ugoto- vimo, kdaj je števec odvoda enak nič. Označimo števec in imenovalec k-ja: a “ d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ ´ dC ¨ sin pωCtq , b “ d♂ ¨ cos pω♂tq ´ dC ¨ cos pωCtq . Zaradi preglednosti najprej odvajamo posebej a in b. Pri tem uporabimo pravili za posredno odvajanje kotnih funkcij sinusa in kosinusa, ki sta tudi posebej navedeni v dodatku. a1 “ ω♂d♂ ¨ cos ` ω♂t ˘ ´ωCdC ¨ cos pωCtq b1 “ ωCdC ¨ sin pωCtq ´ω♂d♂ ¨ sin ` ω♂t ˘ . Po pravilu za odvajanje količnika je števec odvoda enak nič, ko velja a1b ´ ab1 “ 0 a1b “ ab1 (2) V (2) vstavimo izraze za a,a1, b in b1 ter z uporabo zvez med kotnimi funkcijami in adicijskega izreka za kosinus razlike, navedenimi v dodatku, dobimo zvezo cos `` ω♂ ´ωC ˘ t ˘ “ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q . (3)         P 48 (2020/2021) 1 25 S Z7 Z1 Z4 M4 M7 M1 Z5 Z6 Z2 Z3 M5 M3 M2 M6 T2,5 T3,6 T4 T7 T1 nebesna sfera SLIKA 3. Skica, ki nazorno razloži retrogradno gibanje. Z rumenim S je označeno Sonce, najmanjša krožnica je Zemljina tirnica, sledi ji Marsova tirnica. Označenih je sedem zaporednih položajev Zemlje in Marsa, ki so v časovnem razmiku okoli enega meseca. Krožni lok na desni strani predstavlja nebesno sfero (na videz nepremǐcno ozadje daljnih zvezd), na kateri so s Ti označene projekcije zveznice ZiMi v položaju i, ki so pravzaprav tisto, kar vidimo na nebu. Na sferi se tako Mars iz T1 premakne v točko T2,5, potlej v T3,6, sledi položaj opozicije T4, nato pa se Mars zopet premakne v T2,5, nadalje pa spet v T3,6 in potem v T7. Dobimo dve družini rešitev t1 “ arccos ˜ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q ¸ ¨ ¨ 1 ω♂ ´ωC `K ¨ 360˝, t2 “ ´ arccos ˜ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q ¸ ¨ ¨ 1 ω♂ ´ωC `K ¨ 360˝. Čas retrogradnega gibanja izrazimo kot ∆t “ t1 ´ t2 “ 2 ¨ arccos ˜ ω♂d 2 ♂ `ωCd2C dCd♂ ¨ pωC `ω♂q ¸ ¨ 1 ω♂ ´ωC . (4) Na spletu najdemo natančne podatke oziroma te iz- računamo; v enačbo (4) vstavimo dC “ 1 a.e., d♂ .“ 1,524 a.e., ωC .“ 0,986 ˝{dan, ω♂ .“ 0,524 ˝{dan. Dobimo ∆t “ 72,72 dni, kar se lepo sklada s po- datkom 72 dni, ki ga dobimo v viru [1]. Razlog za odstopanje utegnejo biti nekolikšna sploščenost in medsebojna nagnjenost (inklinacija) orbit obeh pla- netov, privzeli smo namreč, da sta orbiti planetov krožni in da krožita v isti ravnini. Zdaj pa bralca vabim, da se preizkusi v spodnjih bolj ali manj trdih astronomskih orehih. Naloge bralcu Koliko časa traja retrogradno gibanje Jupitra? Veš le, da je Jupiter od Sonca oddaljen okoli 5,2 a.e., njegov obhodni čas okoli Sonca pa je 11,86 leta. Čeprav je Merkur notranji planet, lahko tudi pri njem opazimo retrogradno gibanje. Koliko časa traja obdobje retrogradnega Merkurja? Veš le, da je Merkur od Sonca oddaljen približno 0,39 a.e. Čezvesoljska zombi ladja obišče pritlikavi planet Ceres. Zombija Miho zanima, koliko časa na nji- hovi postojanki traja retrogradno gibanje Saturna.         P 48 (2020/2021) 126 ϕ d T pd cosϕ,d sinϕq d sinϕ d cosϕ SLIKA 4. Dovolj verna skica, s katero opišemo koordinate posameznega planeta v odvisnosti od časa. Pomagaj Mihi potešiti njegovo zombi radovednost! Pri tem si lahko pomagaš le s podatkoma, da je Ce- res, ko je glede na Zemljo v (zgornji) konjunkciji, od Zemlje oddaljen približno 3,77 a.e., in da Sa- turn za obhod Sonca potrebuje 10365 dni več kot Ceres. Jupiter je bil v opoziciji 10. junija 2019. Kdaj se je oziroma se bo po tem datumu pričel zopet gi- bati retrogradno? Veš, da je navidezna magnituda Jupitra na Zemlji v času opozicije ´2,7, v času ko- njunkcije pa ´1,85. Izrazi čas retrogradnega gibanja planetov kot funkcijo obhodnih časov dveh planetov. Dodatek V tem razdelku pojasnimo nekaj zvez v povezavi z odvodom in kotnimi funkcijami, ki jih uporabimo v rešitvi. sin2 x ` cos2 x “ 1 cos px ´yq “ cosx ¨ cosy ` sinx ¨ siny sin1 paxq “ a cos paxq cos1 paxq “ ´a sin paxq ` a b ˘1 “ a1b´ab1b2 SLIKA 5. Zgoraj: Spreminjanje smernega kolǐcnika k v času retrogra- dnega gibanja. Spodaj: Vidimo, da se v časovnem intervalu, ki ga prikazuje graf, retrogradno obdobje dogodi trikrat. Grafa odvisnosti smernega kolǐcnika zveznice Zemlja-Mars v od- visnosti od časa kptq. Časovna enota je dan. Če smo prebri- sani, lahko čas retrogradnega gibanja približno odčitamo tudi iz grafov. Literatura [1] Apparent retrograde motion, Wikipedia, do- stopno na en.wikipedia.org/wiki/Apparent_ retrograde_motion, ogled: 13. 3. 2020. [2] Vzvratno gibanje, Wikipedija, dostopno na sl.wikipedia.org/wiki/Vzvratno_gibanje, ogled: 13. 3. 2020. [3] What is retrograde motion, EarthSky, do- stopno na earthsky.org/space/what-is- retrograde-motion, ogled: 21. 3. 2020. ˆ ˆ ˆ