Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 202162 dr. Bojan Čas, univ. dipl. inž. grad. bojan.cas@fgg.uni-lj.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana Znanstveni članek UDK 004.42:624.012.4 Povzetek l V prispevku predstavimo nov matematični model za izračun kritične uklonske sile vitkih okroglih dvocevnih sovprežnih stebrov z betonskim jedrom in upo- števanjem zdrsa med jeklom in betonom. V angleškem govornem področju se tovrstne konstrukcije poimenujejo »concrete filled double-skin tubular columns« in se običajno označijo s kratico CFDST, ki jo uporabimo tudi v tem prispevku. Razviti računski model nam omogoča analizo vpliva različnih osnovnih parametrov na vrednost uklonske sile CFDST-stebrov. Izkaže se, da je uklonska sila tovrstnih stebrov neodvisna od vzdolžne togosti stika med jeklenim in betonskim delom sovprežnega prečnega prereza, medtem ko prečna togost stika podprerezov pomembno vpliva na vrednost kritične uklonske sile. Z naraščanjem vrednosti prečne togosti stika narašča tudi vrednost uklonske sile. Pokaže- mo tudi, da analitična vrednost kritične uklonske sile razvitega računskega modela dobro sovpada z rezultati eksperimentalnih in numeričnih raziskav drugih raziskovalcev, če v računskih postopkih uporabimo kalibrirane vrednosti prečne togosti stika med jeklenima cevema in betonskim jedrom CFDST-stebrov. S parametričnimi študijami pokažemo tudi, da prečna togost stika, kot je bila dosežena v primerih realnih, testom podvrženih CFDST- -stebrov, zavzema številčno relativno nizke vrednosti. Ključne besede: uklon, kompoziti jekla in betona, zdrs, stebri Summary l In this paper, a novel mathematical model for the global buckling be- haviour of slender concrete-filled double-skin tubular columns (CFDST) with finite com- pliance between the steel tubes and a sandwiched concrete core is derived for the first time. The model is capable to investigate the influence of various basic parameters on the critical buckling loads of CFDST columns. It is shown that the elastic buckling load of circular and slender CFDST columns is independent of the contact stiffness in the longitu- dinal direction, but on the other hand, it can strongly depend on the contact stiffness in the circumferential direction. Increasing the contact stiffness in the circumferential direction increases the critical buckling load. It is also shown that the analytical results agree well with the experimental and numerical results when the calibrated values of the circumfe- rential contact stiffness are used in the calculations. Moreover, it is shown that the contact between the steel tubes and a sandwiched concrete core of the tested large sized CFDST columns used for comparison is relatively weak. Key words: buckling, CFDST, slip, column dr. Bojan Čas•UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI BUCKLING CAPACITY OF SLENDER CONCRETE FILLED DOUBLE SKIN STEEL TUBULAR COLUMNS CONSIDERING INTERFACE SLIPS Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 2021 63 UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI•dr. Bojan Čas 1•UVOD Dvocevni okrogli sovprežni stebri z betonskim jedrom (CFDST) se danes pogosto uporablja- jo v najrazličnejših inženirskih konstrukcijah. Tako so vgrajeni kot stebri v konstrukcijah infrastrukturnih objektov kot npr. v obalnih kon- strukcijah, kot stebri premostitvenih objektov cestne in železniške infrastrukture, v konstruk- cijah globokega temeljenja večnadstropnih zgradb, podpornih stebrov vetrnih elektrarn itd. Primerno konstruirani in dimenzionirani CFDST-stebri lahko imajo precej prednosti pred klasičnimi jeklenimi ali armiranobetonskimi stebri, kot so npr. ugodnejše razmerje med težo ter togostjo njihovih prečnih prerezov, večja osna nosilnost, togost, duktilnost, od- pornost proti seizmičnim kot tudi požarnim obremenitvam ter številne druge. Poudariti je treba, da je uporaba CFDST-stebrov tudi ekonomsko precej ugodna, saj jeklene cevi med gradnjo prevzamejo funkcijo opažev, ki kot strošek gradnje tako odpadejo, prav tako pa je tovrstna gradnja hitra. V preteklosti je bilo opravljenega veliko znan- stvenoraziskovalnega dela z namenom bolj- šega razumevanja obnašanja predstavljenih kompozitnih CFDST-stebrov. Obširne eksperi- mentalne raziskave so predstavili Elchalakani, Tao, Han, Yang in Essopjee s sodelavci ([El- chalakani, 2002], [Tao, 2004], [Han, 2004], [Yang, 2012], [Essopjee, 2015]) ter številni drugi. Numerične študije tovrstnih stebrov so predmet znanstvenoraziskovalnega dela avtor- jev Huanga s sodelavci ([Huang, 2010], Hu in Su [Hu, 2011], Pagoulatou s sodelavci [Pagou- latou, 2014], Hassanein in Kharoob [Hassane- in, 2014]). Analitične računske postopke sta predstavila Tan in Zhang [Tan, 2010]. Večina omenjenih študij se je omejila pred- vsem na obnašanje kratkih CFDST-stebrov, pri katerih porušitev stebra običajno nastopi zaradi tlačne porušitve betonskega dela kom- pozitnega prereza, ki ga spremlja tudi lokalna izbočitev ter plastifikacija pločevine jeklenih cevi. Obnašanje kratkih in vitkih CFDST-ste- brov pa se medsebojno precej razlikuje, saj je porušni mehanizem vitkih stebrov običajno po- vezan z njihovo stabilnostjo, ki ga predstavlja njihov globalni uklon. V znanstveni literaturi so poročila o eksperimentalnih preiskavah vitkih CFDST-stebrov precej redka, na primer Tao s sodelavci ([Tao, 2004], Essopjee ter Dundu [Essopjee, 2015], Romero s sodelavci [Ro- mero, 2015]). Podobno ugotavljamo tudi za numerične analize vitkih CFDST-stebrov, ki sta jih obravnavala na primer Hassanein in Kha- roob [Hassanein, 2014]. Glede na dostopno znanstveno literaturo ocenjujemo, da analitični računski model za analizo globalnega uklona vitkih dvocevnih okroglih sovprežnih stebrov z betonskim jedrom (CFDST), ki je predmet pričujočega prispevka, do sedaj še ni bil predstavljen. Glede na navedeno predstavlja bistvo pri- spevka predstavitev novega matematičnega modela s pripadajočo analitično rešitvijo za določitev kritične uklonske sile vitkih dvocev- nih okroglih sovprežnih stebrov z betonskim jedrom (CFDST) ob upoštevanju možnosti razslojevanja okroglih jeklenih cevi in be- tonskega jedra. Vsebina prispevka predstavlja nadaljevanje znanstvenoraziskovalnega dela, ki sta ga Schnabl in Planinc ([Schnabl, 2015], [Schnabl, 2017], [Schnabl, 2019]) predstavila na področju obnašanja vitkih okroglih jeklenih sovprežnih stebrov z betonskim jedrom. V tretjem poglavju z naslovom Rezultati in diskusija predstavimo primerjavo analitičnih rezultatov razvitega matematičnega modela z eksperimentalno pridobljenimi vrednostmi uklonskih obtežb CFDST-stebrov, kot jih v prispevkih navajajo Tao [Tao, 2004] in Essop- jee in Dundu [Essopjee, 2015]. Analitično pridobljene vrednosti uklonskih obtežb vitkih CFDST-stebrov primerjamo tudi z numerični- mi rešitvami avtorjev Hassanein in Kharoob [Hassanein, 2014] ter z rezultati, ki sta jih navedena avtorja izračunala upoštevaje stan- darde ([CEN, 1992] in [AISC, 2010]). Oznake: cr.AN,P P osna obremenitev in analitično določena kritična osna sila , ,so si cA A A površina prečnih prerezov zunanje in notranje jeklene cevi ter betonskega jedra EC4ul.MKE AISC , ,P P P kritična osna sila izračunana z MKE ter skladno s [CEN, 1992] in [AISC, 2010] ,so siD D zunanji premer zunanje in notranje jeklene cev ,X Zp p komponenti strižne napetosti na stiku slojev v smeri X in Z , ,so si cE E E modul elastičnosti materiala zunanje in notranje jeklene cevi ter betonskega jedra ,X ZR R komponenti ravnotežne sile prečnega prereza v smeri X in Z , ,so si cI I I upogibni vztrajnostni momenti zunanje in notranje jeklene cevi ter betonskega jedra X Z u u osni in prečni pomik CFDST-stebra ,X ZK K togost stika v vzdolžni ter prečni smeri CFDST-stebra ,∆ ∆X Z zdrsi v smeri osi X in Z L dolžina CFDST-stebra , , , , , , , , ε ε ε κ κ κ ϕ ϕ ϕ so si c so si c so si c specifična sprememba dolžine materialnega vlakna v smeri osi X, psevdoukrivljenosti ter zasuki zunanje in notranje jeklene cevi ter betonskega jedra , ,so si cY Y YM M M upogibni momenti zunanje in notranje jeklene cevi ter betonskega jedra λ vitkost CFDST-stebra testN eksperimentalna osna nosilnost CFDST-stebra out, in zunanji, notranji Preglednica 1• Pomen oznak. Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 202164 2•OSNOVNE ENAČBE 2.1 Uvod Na sliki 1 je prikazana nedeformirana in de- formirana oblika okroglega jeklenega dvocev- nega sovprežnega stebra z betonskim jedrom (CFDST), na sliki 2 pa njegov karakteristični prečni prerez. Obravnavani steber ima začet- no dolžino L. Sestavljata ga zunanja (so) in notranja (si) jeklena cev z dolžinama Lso in Lsi ter vmesno betonsko jedro (c), ki je dolžine Lc. Zunanja premera votlih jeklenih cevi označimo z Dso in Dsi, debeline sten obeh jeklenih cevi pa s tso in tsi. Zunanja in notranja jeklena cev ter betonsko jedro med njima imajo vzdolž osi stebra konstantne prečne prereze Axso, Axsi in Axc. CFDST-steber obravnavamo v tridimenzionalnem Evklidskem prostoru z desnosučnim kartezijevim koordinatnim sis- temom s prostorskimi koordinatami X, Y, Z in ortnonormiranimi baznimi vektorji EX, EY, EZ. Nedeformirana referenčna os CFDST-stebra, ki jo parametriziramo z materialno koordinato x, je skupna vsem trem slojem prečnega prereza stebra. CFDST-steber je obremenjen s konser- vativno tlačno osno silo P, ki deluje v težišču sovprežnega prečnega prereza. 2.2 Predpostavke matematičnega modela Osnovne predpostavke pri izpeljavi osnovnih enačb predstavljenega matematičnega mo- dela CFDST-stebrov so: 1. materiali jeklenih cevi ter betonskega jedra so homogeni, izotropni ter linearno elastični, 2. obnašanje jeklenih cevi ter betonskega je- dra CFDST-stebrov opišemo z linearizirano Reissnerjevo teorijo ravninskih nosilcev [Reissner, 1972], 3. jeklene cevi in betonsko jedro so zvezno medsebojno povezani na način, da med njimi lahko nastopijo relativni zamiki oziro- ma zdrsi, 4. zdrsi med betonskim jedrom in jeklenimi cevmi so majhni, 5. materialni zakon stika med betonskim jedrom in kovinskimi cevmi je linearno ela- stičen, 6. vpliv strižnih deformacij na mehansko ob- našanje CFDST-stebrov je zanemarjen, 7. zanemarjeni so toplotni vplivi, reološki po- javi, začetne zaostale napetosti, izbočitev prečnih prerezov ter imperfekcije CFDST- stebrov ali obtežbe, 8. porušni mehanizem CFDST-stebrov pred- stavlja njihov globalni uklon. 2.3 Osnovne enačbe tlačno obremenjenih CFDST-stebrov Osnovne matematične enačbe tlačno obre- menjenih CFDST-stebrov s podajno povezavo med jeklenima cevema in betonskim jedrom predstavlja sistem linearnih diferencialno al- gebrajskih enačb prvega reda (1)–(6). V na- daljevanju dodamo oznakam količin indekse (•)i, kjer indeks i=so,si,c označuje, kateremu izmed slojev količina pripada. Na podoben način je treba razumeti tudi oznako (•)`=d(•)/ dx, ki predstavlja odvod količine (•) glede na materialno koordinato x. Sistem osnovnih diferencialno algebrajskih enačb (1)–(6), s katerim opišemo fenomen uklona tlačno obre- menjenih CFDST-stebrov s podajno povezavo slojev, sestavljajo: kinematične (1), ravnotežne (2) ter konstitucijske enačbe (3) in vezne enačbe (4) s pripadajočimi statičnimi oziroma kinematičnimi robnimi pogoji vsakega izmed slojev (5) in (6). Slika 1• Shematski prikaz okroglega jeklenega dvocevnega sovprežnega stebra z betonskim jedrom (CFDST) s podajnim stikom med zunanjo in notranjo jekleno cevjo in betonskim jedrom a) nedeformirana oblika, b) deformirana (izklonjena) oblika. Slika 2• Prečni prerez CFDST-stebra. dr. Bojan Čas•UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 2021 65 Kinematične enačbe (1) Ravnotežne enačbe Konstitucijske enačbe (3) Vezne enačbe (4) Robni pogoji pri x=xso=xc=xsi=0 (5) obstaja analitična rešitev ob upoštevanju v poglavju 2.2 predstavljenih predpostavk. Ob upoštevanju osnov linearne algebre je mogo- če diferencialno algebrajske enačbe (1)–(4) s pripadajočimi robnimi pogoji (5)–(6) zapisati na naslednji način: (7) in (8) kjer A predstavlja matriko realnih koeficientov sistema enačb, ki je dimenzij 18 x 18, Z(x) predstavlja vektor 18 neznanih funkcij ter Z(0) vektor 18 neznanih integracijskih kon- stant. Na podlagi osnovnega izreka o linearnih sistemih enačb [Perko, 2001] je mogoče za sistem linearnih diferencialno algebrajskih enačb prvega reda poiskati enolično rešitev za vse [ ]0,∈x L in 180 ∈Z R s pomočjo naslednjega nastavka: (9) kjer je eAx eksponentna funkcija, ki jo je mogo- če izvrednotiti kot vsoto absolutno konvergen- tne vrste 0 ! ∞ = ∑ k k k x k A . Tako je mogoče točno analitično rešitev (9) zapisati kot: (10) Ker je Z0 v enačbi (10) v splošnem vektor po- ljubnih vrednosti neznanih integracijskih kon- stant, prestavlja Z(x) splošno rešitev sistema enačb (7)–(8). Za izračun partikularne rešitve je treba Z0 izvrednotiti iz enačb oziroma robnih pogojev (5)–(6). Z upoštevanjem enačbe (10) v enačbah pripadajočih robnih pogojev (5)–(6) dobimo naslednji homogeni sistem 18 linearno algebrajskih enačb: (11) za 18 neznanih integracijskih konstant, pri če- mer predstavlja K tangentno togostno matriko sistema linearnih algebrajskih enačb dimenzij 18 x 18. Za sistem enačb (11) obstaja netrivialna rešitev le v primeru neničelne vrednosti deter- minante tangentne togostne matrike K. Torej v primeru uklona CFDST-stebrov kritično uk- lonsko silo Pcr.AN določimo s pomočjo pogoja: (12) Reševanje enačbe (12) predstavlja klasič- ni matematični problem reševanja lastnih vrednosti in lastnih vektorjev. Splošno znano je, da najmanjša lastna vrednost tangentne togostne matrike K, ob iskanju matematične rešitve konkretnega stabilnostnega problema, predstavlja vrednost kritične uklonske sile (2) pri x=xso=xc=xsi=L (6) kjer uij sij (j=1,2,...,6) in predstavljajo vred- nosti posplošenih robnih pomikov in robnih sil zunanje in notranje jeklene cevi ter betonske- ga jedra (i=so,c,si). 2.4 Točna analitična rešitev problema uklona CFDST-stebrov V nadaljevanju predstavimo izpeljavo točne analitične rešitve sistema linearnih diferen- cialno algebrajskih enačb prvega reda (1)– (6), s katerim opišemo problematiko uklona CFDST-stebrov s podajno povezavo jeklenih cevi ter betonskega jedra. V splošnem so di- ferencialno algebrajske enačbe zelo zapletene in so le redko analitično rešljive. Za konkret- ne diferencialno algebrajske enačbe (1)–(6) UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI•dr. Bojan Čas Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 202166 Pcr.AN, pripadajoči lastni vektor pa uklonsko obliko CFDST-stebra s podajno povezavo jekle- nih cevi ter betonskega jedra. V pričujočem prispevku smo kritično uklonsko silo Pcr.AN izvrednotili s pomočjo programske opreme MATHEMATICA [Wolfram S., 2017]. Ma- tematični izraz, ki določa kritično uklonsko silo Pcr.AN, v splošnem podajno povezanega betonskega jedra in kovinskih cevi CFDST-ste- brov, je zelo obsežen ter zapleten in ga zato v pričujočem prispevku ne prikažemo. V nada- ljevanju prikažemo le matematična izraza za kritično uklonsko silo Pcr.AN za primer povsem toge (13) ter povsem podajne (14) povezave med betonskim jedrom in kovinskimi cevmi: (13) (14) V enačbi (14) prestavlja i indeks sloja z naj- manjšo upogibno togostjo, j in k pa indeksa preostalih dveh slojev sovprežnega prečnega prereza. V enačbah (13) in (14) velja tudi ɛ=ɛc=ɛso=ɛsi. 3•REZULTATI IN DISKUSIJA V tem poglavju predstavimo dva nazorna ra- čunska primera. V obsegu prvega računskega primera primerjamo vrednosti uklonski sil, ki jih izračunamo s predstavljenim matematič- nim modelom, in vrednosti uklonskih sil, ki so jih na realnih CFDST-stebrih, v obsegu la- boratorijskih preiskav, izmerili Tao s sodelavci [Tao, 2004] in Essopjee ter Dundu [Essopjee, 2015]. V drugem računskem primeru pred- stavimo primerjavo različnih računskih po- stopkov za določitev uklonskih sil CFDST- -stebrov. Primerjamo analitične vrednosti uklonskih sil CFDST-stebrov, izračunane z raz- vitim matematičnim modelom z vrednostmi uklonskih sil, ki sta jih numerično izvrednotila Hassanein in Kharoob [Hassanein, 2014]. Sočasno izvedemo tudi primerjavo vrednosti kritičnih uklonskih sil CFDST-stebrov, ki sta jih navedena avtorja izračunala upoštevaje stan- darde ([CEN, 1992] in [AISC, 2010]). 3.1 Primerjava analitičnih in eksperimentalnih vrednosti uklonskih sil CFDST-stebrov Z namenom validacije predstavljenega ma- tematičnega modela za izračun kritične uk- lonske sile CFDST-stebrov s podajno povezavo slojev izvedemo primerjavo analitično izraču- nanih vrednosti uklonski sil Pcr.AN ter eksperi- mentalno pridobljenih vrednosti uklonskih sil Ntest, kot jih predstavijo avtorji Tao s sodelavci [Tao, 2004] in Essopjee ter Dundu [Essopjee, 2015]. Eksperimentalno preiskani CFDST- stebri so bili obojestransko vrtljivo podprti, njihove oznake pa povzamemo po avtorjih znanstvenih prispevkov, in sicer: S139.2-2.5, S152.4-2.5, S 165.1-2.5 ter S 193.7-2.5 Essop- jee ter Dundu [Essopjee, 2015] in pcc2-1a in pcc2-1b [Tao, 2004]. Ker analiza rezultatov analitičnih rešitev pokaže, da so vrednosti kritičnih uklonskih sil Pcr.AN odvisne le od prečne togosti stika slojev CFDST-stebrov KZ, izvedemo primerjavo za različne vrednosti prečnih togosti stika [ ]0,∈ ∞ZK , merjenih v kN/cm2. Rezultate primerjav povzemamo v preglednici 2 in na sliki 3. Iz preglednice 1 je razvidno, da ima vrednost prečne togosti stika KZ precejšen vpliv na vred- nost kritične uklonske sile Pcr. Z naraščanjem vrednosti prečne togosti stika KZ jeklenih cevi in betonskega jedra narašča tudi vrednosti uk- lonske sile CFDST-stebra. Analitične vrednosti kritičnih uklonskih sil pri nižjih vrednostih preč- ne togosti stika KZ, ki so manjše kot eksperi- mentalno pridobljene vrednosti, so konserva- tivne in so v preglednici 2 obarvane z modro. Le v primeru preizkušanca z oznako pcc2-1b so analitične vrednosti kritične uklonske sile Pcr, ne glede na vrednost prečne togosti stika KZ, vedno večje kot eksperimentalno določena uklonska sila pcc2-1btest 595kN=N . Na podlagi zahteve po enakosti analitične kritične uklonske sile Pcr.AN in eksperimentalno določene uklonske sile Ntest je mogoče izraču- nati vrednost prečne togosti stika KZ jeklenih cevi in betonskega jedra. Na sliki 3 prikazu- jemo primerjavo normiranih analitičnih vred- nosti kritičnih uklonskih sil _ cr Ecr.AN /=P P P in normiranih eksperimentalnih uklonskih sil _ test test E/=N N P za različne vrednosti preč- ne togosti stika KZ. Pri tem PE predstavlja Eulerjevo uklonsko silo CFDST-stebra s togo povezavo jeklenih cevi in betonskega jedra, to je pri 2kN/cm= ∞ZK . Na podlagi pogoja enakosti _ _ cr test=P N lah- ko izračunamo vrednosti prečne togosti stika KZ, ki so prikazane v preglednici 3. Iz rezultatov na sliki 3 ter iz preglednice 3 je razvidno, da prečna togost stika KZ med jekle- nimi cevmi in betonskim jedrom pomembno vpliva na obnašanje CFDST-stebrov. Navedeno Pcr.AN [kN] oz na ka pr ei zk u- ša nc a λ Ntest [kN] KZ=0 KZ=10-7 KZ=10-6 KZ=10-5 KZ=10-4 KZ=10-3 KZ=∞ S139.2-2.5 63,7 732,1 675,250 675,348 676,234 685,054 769,194 1273,71 1674,28 S152.4-2.5 59,3 949,0 796,253 796,369 797,415 807,837 909,172 1617,52 2314,56 S165.1-2.5 55,5 1036,5 912,118 912,251 913,448 925,400 1042,76 1956,26 3044,65 S193.7-2.5 48,4 1458,7 1276,92 1277,11 1278,79 1295,54 1461,66 2942,89 5792,84 pcc2-1a 58,5 620 599,209 599,240 599,517 602,282 629,514 853,193 1678,46 pcc2-1b 56,5 595 599,209 599,240 599,517 602,282 629,514 853,193 1678,46 Preglednica 2• Primerjava analitičnih (Pcr.AN) in eksperimentalnih (Ntest) vrednosti kritičnih uklonskih sil CFDST-stebrov za različne vrednosti prečnih togosti stika KZ, merjenih v kN/cm2. dr. Bojan Čas•UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 2021 67 je mogoče potrditi tudi s primerjavo vrednosti ukonskih sil realnih CFDST-stebrov, saj eks- perimentalno izmerjene vrednosti uklonskih sil dosegajo le okvirno 25–40 % vrednosti Eulerjevih uklonskih sil CFDST-stebrov s togo povezavo jeklenih cevi in betonskega jedra. 3.2 Primerjava analitičnih, numeričnih in vrednosti uklonskih sil CFDST-stebrov, izračunanih na podlagi standardov V tem poglavju prikažemo primerjavo kritičnih uklonskih sil Pcr.AN CFDST-stebrov, izračunanih s predstavljenim matematičnim modelom, ter uklonskih sil PulMKE, ki sta jih numerično, z uporabo metode končnih elementov, izračuna- la avtorja Hassanein in Kharoob [Hassanein, 2014]. Navedene uklonske sile primerjamo tudi z vrednostmi uklonskih sil CFDST-stebrov, ki so izračunane skladno s standardoma [CEN, 1992] in [AISC, 2010]. Vrednosti uk- lonskih sil za obojestransko vrtljivo podprte CFDST-stebre, pri različnih prečnih togostih stika KZ, so zbrane v preglednici 4. Geometrij- ski in materialni podatki obravnavanih CFDST- stebrov kot tudi računski postopki standardov [CEN, 1992] in [AISC, 2010] so podrobneje predstavljeni v znanstvenem prispevku avtor- jev Hassanein in Kharoob [Hassanein, 2014]. Slika 3• Normirane analitične vrednosti kritičnih uklonskih sil P̅cr in normirane eksperimentalno določene uklonske sile N̅test obravnavanih preizkušancev za različne vrednosti prečne togosti stika KZ. preizkušanec S139.2-2.5 S152.4-2.5 S165.1-2.5 S193.7-2.5 KZ[kN/cm2] 5,92 . 10-5 1,36 . 10-4 9,55 . 10-5 9,85 . 10-5 Preglednica 3• Vrednosti prečnih togosti stika KZ, izračunanih na podlagi pogoja enakosti P̅cr= N̅test za določene eksperimentalno preiskane CFDST-stebre. Pcr.AN [kN] KZ KZ KZ Pul:MKE KZ[kN/cm2] [kN/cm2] [kN/cm2] [kN/cm2] PEC4 PAISC Pcr.AN= Pcr.AN= Pcr.AN= Steber λ [kN] [kN] [kN] 0 10-6 10-5 10-4 Pul:MKE PEC4 PAISC C5 51 9440 10610 10981 12711 12733 12962 14775 NaN NaN NaN C6 62 8431 9503 10122 8621 8652 8936 11512 NaN 2,85 . 10-5 4,95 . 10-5 C7 73 7358 8298 9165 6228 6273 6661 9891 2,70 . 10-5 5,17 . 10-5 7,68 . 10-5 C8 84 6591 7115 8176 4709 4768 5273 8910 3,63 . 10-5 4,82 . 10-5 7,62 . 10-5 C9 94 5803 6055 7178 3686 3759 4392 8039 3,40 . 10-5 3,91 . 10-5 6,72 . 10-5 C10 105 5014 5155 6202 2963 3054 3816 7109 2,78 . 10-5 3,04 . 10-5 5,55 . 10-5 C11 116 4393 4411 5274 2433 2544 3433 6186 2,31 . 10-5 2,33 . 10-5 4,25 . 10-5 C12 127 3951 3902 4419 2033 2166 3169 5354 2,03 . 10-5 1,79 . 10-5 3,00 . 10-5 C13 138 3140 3302 3749 1725 1881 2974 4641 1,19 . 10-5 1,39 . 10-5 2,16 . 10-5 C14 149 2827 2890 3220 1482 1661 2812 4043 1,02 . 10-5 1,09 . 10-5 1,59 . 10-5 C15 160 2455 2548 2796 1287 1491 2659 3533 7,67 . 10-6 8,65 . 10-6 1,20 . 10-5 C16 171 2156 2262 2451 1128 1358 2501 3127 5,93 . 10-6 6,94 . 10-6 9,22 . 10-6 C17 182 1971 2020 2165 997 1253 2336 2776 5,17 . 10-6 5,61 . 10-6 7,20 . 10-6 Mean 1,90 . 10-5 2,38 . 10-5 3,86 . 10-5 COV 0,60 0,67 0,68 Legenda: NaN – vrednost ni definirana, Mean – srednja vrednost, COV – koeficient variacije Preglednica 4• Primerjava analitičnih vrednosti Pcr.AN, numeričnih Pul,MKE in skladno s standardoma [CEN, 1992] PEN4 in [AISC, 2010] PAISC izračunanih vrednosti uklonskih sil CFDST-stebrov pri različnih vrednostih prečne togosti stika KZ [kN/cm2]. UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI•dr. Bojan Čas Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 202168 Kot pričakovano, je iz preglednice 4 razvidno, da se vrednosti uklonski sil zmanjšujejo z na- raščanjem vitkosti CFDST-stebrov ter zmanj- ševanjem prečne togosti stika KZ jeklenih cevi in betonskega jedra. V primeru srednje vitkega stebra C5 opazimo, da so uklonske sile PulMKE, PEN4 in PAISC manjše kot analitič- no izračunana vrednost kritične uklonske sile Pcr.AN ne glede na vrednost prečne togosti stika KZ. Za preostale CFDST stebre, C6–C17, se vrednosti uklonskih sil nahajajo med mejnima vrednostma, ki jih izračunamo za absolutno podajno (KZ=0) in absolutno togo (KZ=∞) prečno togost stika jeklenih cevi in be- tonskega jedra. Na podlagi pogojev enakosti Pcr.AN= PulMKE, Pcr.AN= PEN4 in Pcr.AN= PAISC smo za vse obravnavane CFDST-stebre iz- računali tudi pripadajoče vrednosti prečne togosti stika KZ, ki so prikazane v zadnjih treh stolpcih preglednice 4. Opaziti je zmanj- ševanje vrednosti prečne togosti stika KZ ob naraščanju vitkosti λ obravnavanih CFDST- stebrov. Poleg navedenega smo za vsako izmed računskih metod, ki so obravnavane v znanstvenem prispevku avtorjev Hassanein in Kharoob [Hassanein, 2014], izračunali tudi srednjo vrednost prečnih togosti stika KZ s pripadajočim koeficientom variacije. Te so prikazane v zadnjih dveh vrsticah preglednice 4. 4•SKLEP V prispevku smo predstavili nov matematični model in pripadajočo analitično rešitev za izračun kritične uklonske sile vitkih okroglih dvocevnih sovprežnih stebrov z betonskim jedrom (CFDST) in upoštevanjem zdrsa med jeklom in betonom. Glede na rezultate izvedenih računskih analiz, ki so predstavljene v predhodnih poglavjih, lahko podamo naslednje bistvene zaključke: – analitično določena vrednost kritične uk- lonske sile, Pcr.AN, CFDST-stebrov je neod- visna od vzdolžne togosti stika KX med jeklenim in betonskim delom sovprežnega prečnega prereza, – prečna togost stika KZ med jeklenima ce- vema in betonskim jedrom CFDST-stebrov ima pomemben vpliv na vrednost kritične uklonske sile Pcr.AN, – analitične vrednosti kritične uklonske sile, Pcr.AN, CFDST-stebrov lahko povsem sovpadajo z eksperimentalnimi in nume- ričnimi vrednostmi uklonskih sil, če v iz- računih upoštevamo ustrezno kalibrirano vrednost prečne togosti stika KZ, – na podlagi izvedenih računskih analiz in primerjav različnih računsko in eksperi- mentalno določenih vrednosti uklonskih sil CFDST stebrov ugotavljamo, da imajo stične površine med jeklenimi cevmi in be- tonskim jedrom pomemben vpliv na obna- šanje tlačno obremenjenih CFDST-stebrov, – predstavljeno analitično rešitev je mogo- če uporabiti za verifikacijo drugih razvitih računskih modelov za obravnavo defor- macijsko napetostnega stanja CFDST-ste- brov s podajno povezavo med jeklom in betonom. 5•ZAHVALA 6•LITERATURA Predstavljeni rezultati so pridobljeni v sklopu dela programske skupine Mehanika konstrukcij (P2-0260), ki ju financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije. Za finančno pomoč se jih iskreno zahvaljujemo. AISC, Load and resistance factor design specification for structural steel buildings, American Institute of Steel Construction, Chicago, USA, 2010. CEN, EN 1994-1-1: 1992, Eurocode 4: Design of composite steel and concrete structures, European Committee for Standardization, Brussels, 1992. Elchalakani M., Zhao X.L., Grzebieta R., Tests on concrete filled double-skin (CHS outer and SHS inner) composite short columns under axial compression, Thin Walled Structures, 40, 415–441, 2002. Essopjee Y., Dundu M., Performance of concrete-filled double-skin circular tubes in compression, Composite Structures, 133, 1276–1283, 2015. Han L.H., Tao Z., Huang H., Zhao X.L., Concrete-filled double-skin (SHS outer and CHS inner) steel tubular beam-columns, Thin Walled Structures, 42, 1329–1355, 2004. Hassanein M.F., Kharoob O.F., Analysis of circular concrete-filled double skin tubular slender columns with external stainless steel tubes, Thin Walled Structures, 79, 23–37, 2014. Hu H.T., Su F.C., Nonlinear analysis of short concrete-filled double skin tube columns subjected to axial compressive forces, Marine Structures, 24, 319–337, 2011. Huang H., Han L.H., Tao Z., Zhao X.L., Analytical behaviour of concrete-filled double skin steel tubular (CFDST) stub columns, Journal of Constructional Steel Research, 66, 542–555, 2010. dr. Bojan Čas•UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI Gradbeni vestnik • letnik 70 • april 2021 69 Pagoulatou M., Sheehan T., Dai X.H., Lam D., Finite element analysis on the capacity of circular concrete-filled double-skin steel tubular (CFDST) stub columns, Engineering Structures, 72, 102–112, 2014. Perko L., Differential equations and dynamical systems, (3rd Edition), Springer-Verlag, NY, USA, 2001. Reissner E., On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem, Journal of Applied Mechanics and Physics, 23, 795–804, 1972. Romero M.L., Espinos A., Portoles J.M., Hospitaler A., Ibanez C., Slender double-tube ultra-high strength concrete-filled tubular columns under ambient temperature and fire, Engineering Structures, 99, 536–545, 2015. Schnabl S., Jelenić G., Planinc I., Analytical buckling of slender circular concrete-filled steel tubular columns with compliant interfaces, Journal of Constructional Steel Research, 115, 252–262, 2015. Schnabl S., Planinc I., Buckling of slender concrete-filled steel tubes with compliant interfaces, Latin American Journal of Solids and Structures, 14(10), 1837–1852, 2017. Schnabl S., Planinc I., Circumferential gap and partial debonding effects on buckling loads and modes of slender CFST circular columns, Acta Mechanica, 230, 909–928, 2019. Tan K.H., Zhang Y.F., Compressive stiffness and strength of concrete filled double skin (CHS inner and CHS outer) tubes, International Journal of Mechanics and Materials in Design, 6, 283–291, 2010. Tao Z., Han L.H., Zhao X.L., Behaviour of concrete-filled double-skin (CHS inner and CHS outer) steel tubular stub columns and beam-colu- mns, Journal of Constructional Steel Research, 60, 1129–1158, 2004. Wolfram S., Mathematica, Addison-Wesley Publishing Company, 2017. Yang Y.F., Han L.H., Sun B.H., Experimental behaviour of partially loaded concrete filled double-skin steel tube (CFDST) sections, Journal of Constructional Steel Research, 71, 63–73, 2012. UKLON VITKIH OKROGLIH DVOCEVNIH SOVPREŽNIH STEBROV Z BETONSKIM JEDROM OB UPOŠTEVANJU ZDRSOV MED SLOJI•dr. Bojan Čas