O DEFINICIJI POVRŠINE
BARBARA DRINOVEC DRNOVŠEK
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Math. Subj. Class. (2010): 26B15, 28A75, 51M25
V članku predstavimo primer, s katerim je H. A. Schwarz pokazal, da površine ukri-
vljene ploskve ne moremo definirati kot natančne zgornje meje površin vseh bližnjih po-
ligonalnih ploskev.
ON THE DEFINITION OF SURFACE AREA
We present an example published by H. A. Schwarz which shows that the area of
a surface cannot be defined as the supremum of areas of all approximating polyhedral
surfaces.
Vmatematiki, fiziki in računalnǐstvu pogosto obravnavamo gladke objek-
te, na primer gladke krivulje, ploskve ali telesa. Pri obravnavi geometrijskih
lastnosti se moramo pogosto zateči k aproksimaciji: če želimo oceniti dolžino
gladke krivulje, si lahko izberemo dovolj gosto posejano množico točk na kri-
vulji, izračunamo dolžino prirejene poligonalne krivulje in dobimo ustrezni
približek. S takimi in podobnimi problemi se srečujemo v diskretni diferen-
cialni geometriji in v računalnǐski grafiki.
V članku bomo obravnavali primer, ki ga je leta 1890 objavil H. A.
Schwarz [7] in ki pove, da moramo biti pri aproksimaciji površine, ki jo
dobimo na podoben način, zelo pazljivi.
O definiciji dolžine
Krivuljo v ravnini lahko aproksimiramo s poligonalno krivuljo: na krivulji
si izberemo nekaj točk, ki jih zaporedoma povežemo z daljicami. Dolžina
dobljene poligonalne krivulje aproksimira dolžino dane krivulje. Če dodamo
točko na krivulji in ustrezno daljico zamenjamo z dvema, je dolžina nove
poligonalne krivulje bolǰsi približek za dolžino krivulje. Za poljubni dve taki
poligonalni krivulji dobimo natančneǰso aproksimacijo z unijo izbranih točk.
Ker z dodajanjem novih točk dolžino poligonalne aproksimacije povečamo,
je za definicijo dolžine krivulje smiselno vzeti natančno zgornjo mejo dolžin
opisanih poligonalnih krivulj.
Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 3 81
Barbara Drinovec Drnovšek
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Slika 1. Aproksimacija gladke krivulje s poligonalno.
Prevedimo sedaj zgornji intuitivni zapis v matematični jezik. Naj bo
krivulja K podana parametrično kot množica točk
K = {(x(t), y(t)) : t ∈ [a, b]},
kjer sta x, y : [a, b] → R dani zvezni funkciji. Pravimo, da je krivulja K tir
poti (x, y) : [a, b] → R2. Poligonalna krivulja, ki aproksimira K, je določena
z delitvijo D = {t0, t1, . . . , tn} intervala [a, b], pri čemer velja a = t0 < t1 <
· · · < tn = b in je sestavljena iz daljic od točke (x(tj−1), y(tj−1)) do točke
(x(tj), y(tj)) za j = 1, . . . , n. Dolžina poligonalne poti, ki pripada delitvi
D, je
l(D) =
n
∑
j=1
√
(x(tj)− x(tj−1))2 + (y(tj)− y(tj−1))2.
Doľzino krivulje K pa definiramo s predpisom
l(K) = sup{l(D) : D delitev intervala [a, b]}.
Pravimo, da je krivulja K izmerljiva, če je l(K) < ∞.
Navedimo izrek, ki pokaže, da je zgornja definicija smiselna [1, 8]:
Izrek 1. Naj bo K krivulja, ki je podana parametrično kot tir gladke injek-
tivne poti (x, y) : [a, b] → R2. Potem je K izmerljiva in velja
l(K) =
∫ b
a
√
ẋ2(t) + ẏ2(t) dt.
Doľzina je neodvisna od izbire injektivne gladke parametrizacije.
82 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 3
O definiciji površine
O definiciji površine
Idejo o aproksimaciji gladke krivulje s poligonalnimi posplošimo na ploskve
takole: gladko ukrivljeno ploskev aproksimiramo s poliedrsko, ki je sesta-
vljena iz trikotnikov z oglǐsči na dani ploskvi. Zanima nas, kako dobro se
površina poliedrske aproksimacije približa površini dane ploskve.
Leta 1890 je H. A. Schwarz objavil primer, ki ga bomo spoznali v tem
razdelku. S primerom bomo pokazali, da tudi pri zelo preprostih ukrivljenih
ploskvah zgornja metoda brez kakšnih dodatnih zahtev popolnoma odpove.
Vzemimo pravokotnik s stranicama 1 in 2π ter stranici dolžine 1 zle-
pimo, da dobimo plašč pokončnega krožnega valja s polmerom in vǐsino 1.
Površina plašča valja je 2π. Poliedrsko ploskev, ki aproksimira plašč va-
lja, konstruiramo takole: v pravokotniku stranico dolžine 2π narežemo na n
enakih delov, stranico dolžine 1 pa na m enakih delov ter tako pravokotnik
razdelimo na nm skladnih pravokotnikov. Vsakega od majhnih pravokotni-
kov z diagonalama razdelimo na 4 trikotnike. Za oglǐsča poliedrske ploskve
Σ vzamemo vsa oglǐsča trikotnikov na plašču valja. Trikotniki v Σ pa naj
ustrezajo trikotnikom v opisanem razrezu majhnih pravokotnikov. Poliedr-
ska ploskev je včrtana valju, omejuje jo 4mn trikotnikov. Njeno površino
označimo s P (m,n).
Brez računanja premislimo, da površina poliedrske ploskve Σ s poveče-
vanjem m in n ne konvergira nujno proti površini plašča valja. Pokažimo,
da površina Σ narašča čez vse meje, če m raste precej hitreje kot n. Če
pri danem n povečujemo m, se število trikotnikov povečuje. Polovica vseh
trikotnikov ima eno stranico vzporedno osnovni ploskvi valja. Ploščine teh
trikotnikov so pri danem n navzdol omejene s pozitivnim številom, ki je
neodvisno od m, kajti dolžina stranice, ki je vzporedna osnovni ploskvi va-
lja, se ne spreminja, vǐsina na to stranico pa je navzdol omejena z razdaljo
sredǐsča te stranice do plašča valja. Če pri danem n vzamemo m dovolj
velik, je površina poliedrske ploskve poljubno velika. Torej lahko izberemo
zaporedje mn, da je limn→∞ P (mn, n) = ∞.
Izpeljimo sedaj formulo za izračun P (m,n). Izberimo enega od mn pra-
vokotnikov na plašču valja in njegova oglǐsča označimo z ABCD, presečǐsče
njegovih diagonal pa z X. Naj bo W sredǐsče loka AB na plašču valja, Y
sredǐsče daljice AB in Z sredǐsče daljice AD (glej sliko 2).
81–87 83
Barbara Drinovec Drnovšek
b
b
b
b
b
b
b
b
A B
D C
W
XZ
Y
Slika 2. Element poliedrske aproksimacije.
Izračunajmo najprej ploščino trikotnika AXD. Dolžina stranice AD je
1
m
, vǐsina na AD je daljica ZX, ki je skladna z AW . Pri računanju dolžine
daljice AW prerežemo valj z ravnino skozi A vzporedno z osnovno ploskvijo
valja (glej sliko 3).
b bb
b
1
A B
W
Y
S
Slika 3. Prerez valja.
Kot ∠ASW je π
n
, zato je |AW | = 2 sin π
2n
. Torej je
p△AXD =
1
2
|AD||AW | =
1
m
sin
π
2n
.
Za izračun ploščine trikotnika XAB, izračunajmo najprej dolžino daljice
YW . Če upoštevamo, da je kot ∠ASB enak 2π
n
, dobimo
|YW | = 1− |SY | = 1− cos
π
n
= 2 sin2
π
2n
.
84 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 3
O definiciji površine
Ker sta daljici XW in WY pravokotni, z uporabo Pitagorovega izreka izpe-
ljemo
|XY | =
√
|XW |2 + |WY |2 =
√
1
4m2
+ 4 sin4
π
2n
.
Pri izračunu dolžine daljice AB še enkrat upoštevamo, da je ∠ASB = 2π
n
in dobimo |AB| = 2 sin π
n
(glej sliko 3). Zato je
p△XAB =
1
2
|AB||XY | = sin
π
n
√
1
4m2
+ 4 sin4
π
2n
.
Ker sta trikotnika AXD in BXC ter trikotnika XAB in XCD skladna, je
P (m,n) = 2mn
(
1
m
sin
π
2n
+ sin
π
n
√
1
4m2
+ 4 sin4
π
2n
)
= 2n sin
π
2n
(
1 + cos
π
2n
√
1 + 16m2 sin4
π
2n
)
.
Če vzamemo m = n, dobimo
P (n, n) = 2n sin
π
2n
(
1 + cos
π
2n
√
1 + 16n2 sin4
π
2n
)
n→∞
−→ 2π,
če vzamemo m = n3, pa dobimo
P (n3, n) = 2n sin
π
2n
(
1 + cos
π
2n
√
1 + 16n6 sin4
π
2n
)
n→∞
−→ ∞,
kjer smo pri računanju limit uporabili znano dejstvo limx→0
sinx
x
= 1. Drugi
primer ustreza razmisleku zgoraj. Hitro lahko premislimo, da velja še več:
če vzamemo neomejeni naraščajoči zaporedji naravnih števil mk in nk, za
kateri velja
lim
k→∞
mk
n2k
= λ ∈ [0,∞],
potem je
lim
k→∞
P (mk, nk) = π
(
1 +
√
1 + λ2π4
)
.
Torej lahko v limiti dobimo poljubno število, ki je vsaj 2π. S tem je opis
primera končan.
81–87 85
Barbara Drinovec Drnovšek
Kaj je šlo narobe? Če razmǐsljamo geometrijsko in premǐsljujemo o pri-
meru, ko m narašča precej hitreje od n, opazimo, da poliedrska aproksima-
cija sicer leži v čedalje manǰsi okolici plašča valja, vendar so trikotniki nanj
skoraj pravokotni. Kadar pa m in n rasteta enako hitro, so trikotniki skoraj
tangentni na plašč valja. Pozitivni rezultat za take poliedrske aproksimacije
so avtorji dokazali v [3].
V literaturi se pojavljata dve različici Schwarzevega primera. Opisani
primer je povzet po [4, 6], v članku [9] pa je definirana poliedrska ploskev
z istimi oglǐsči in drugače določenimi trikotniki. V obeh primerih pridemo
do enakega zaključka. V raznih spletnih virih najdemo slike takih ploskev,
ki jih avtorji različno poimenujejo, npr. Schwarzeva lanterna, Schwarzev
škorenj [5, 10, 11, 12].
Zato površine ukrivljenih ploskev vsaj na enostaven način ne moremo de-
finirati podobno kot dolžine krivulj, ampak se zatečemo k definiciji z integra-
lom: naj bo ploskev Π ⊂ R3 podana z regularno parametrizacijo ~r : D → R3,
kjer je D odprta podmnožica v R2 [2]; torej je Π = {~r(u, v) : (u, v) ∈ D}.
Potem je površina ploskve Σ definirana s
P (Σ) =
∫ ∫
D
‖~ru × ~rv‖du dv,
kjer ~ru in ~rv označujeta parcialna odvoda ~r po u in v, ‖ · ‖ pa dolžino
vektorja. Površina ploskve Π ni odvisna od izbire njene regularne parame-
trizacije. Intuitivno od tod lahko razberemo, kaj gre narobe pri poliedrski
aproksimaciji: v integralu računamo s parcialnima odvodoma. Če sta si pa-
rametrizaciji dveh ploskev blizu v odvodih prvega reda, potem se površini
malo razlikujeta, v nasprotnem primeru pa to ni nujno res.
Do podobnega fenomena pride že pri aproksimaciji dolžine, kar pona-
zorimo z naslednjim primerom. Oglejmo si določanje približkov za obseg
enotskega kroga. Za prvo aproksimacijo vzamemo obseg kvadrata, ki je očr-
tan enotskemu krogu. Nato vsako oglǐsče projiciramo vzporedno z ustrezno
diagonalo na enotsko krožnico in za naslednjo aproksimacijo vzamemo obseg
poligonalne krivulje na sliki 4.
Postopek nadaljujemo. Vse poligonalne krivulje imajo obseg 8. Po do-
volj velikem številu korakov poligonalna krivulja leži v poljubno majhni
okolici enotske krožnice. Kaj je narobe?
86 Obzornik mat. fiz. 62 (2015) 3
O definiciji površine
Slika 4. Obseg kroga.
LITERATURA
[1] J. Globevnik in M. Brojan, Analiza 1, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2010.
[2] J. Globevnik in M. Brojan, Analiza 2, dostopno na http://www.fmf.uni-lj.si/
~globevnik/skriptaII.pdf, ogled 23. 1. 2015.
[3] K. Hildebrandt, K. Polthier in M. Wardetzky, On the convergence of metric and
geometric properties of polyhedral surfaces, Geom. Dedicata 123 (2006), 89–112.
[4] T. W. Körner, A companion to analysis, A second first and first second course in
analysis, Graduate Studies in Mathematics 62, American Mathematical Society,
Providence, 2004.
[5] E. Lamb, Counterexamples in Origami, verzija 30. 11. 2013, dostopno na http://
blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/11/30/counterexamples-
in-origami/#respond, ogled 2. 2. 2015.
[6] T. Ramsey, An 1890 Example From H. A. Schwartz of How Not To Define Surface
Area, dostopno na http://www.math.hawaii.edu/~ramsey/SchwartzExample.pdf,
ogled 23. 1. 2015.
[7] H. A. Schwarz, Sur une définition erronée l’aire surface courte, Gesammelte Mathe-
matische Abhandlungen, Berlin, 1890, II, 309–311.
[8] S. Strle, Krivulje v ravnini, dostopno na http://ucilnica1314.fmf.uni-lj.si/
pluginfile.php/16624/mod\_resource/content/0/zapiski-krivulje.pdf, ogled
23. 1. 2015.
[9] F. Zames, Surface area and the cylinder area paradox, College Math. J. 8 (1977),
207–211.
[10] Mathema Home Ausstellung , dostopno na http://www.mathema-ausstellung.de/
de/ausstellung/grenzen/bilder0c37.html?image=0, ogled 2. 2. 2015.
[11] Modell eines Schwarzschen Stiefels, dostopno na http://www.
universitaetssammlungen.de/modell/1859, ogled 2. 2. 2015.
[12] DGGS – Hans Havlicek: Visualisation – Schwarz lanterns, dostopno na http://www.
geometrie.tuwien.ac.at/vis/vis069.html, ogled 2. 2. 2015.
81–87 87