      P 50 (2022/2023) 1 9 Dinamično jadranje J̌ R Uvod Skoraj vsak je že kdaj videl kako ptico, kako se dviga s kroženjem v vzgorniku – torej nad območjem, nad katerim se dviga tudi zrak. En primer je dviganje nad območjem, kjer se nad močno ogretimi tlemi zrak dviga, drugi primer je dviganje navzgor ob pobočju, ob katerem se je veter prisiljen dvigati čez hrib. Še tretji primer so valovanja gor-dol v stabilnem ozra- čju. V vzgornikih se z zrakom dviga navzgor tudi ptica, potem pa poleti čim dlje ter išče novo obmo- čje z vzgorniki. Kaj pa, če vzgornikov ni? Nekatere ptice, npr. albatrosi, znajo izkoristiti tu- di spremembo hitrosti vetra z višino za svoje jadra- nje praktično brez zamahov s krili (nekatere vrste albatrosov imajo celo zelo šibke krilne mišice). Tako jadrajo daleč – tudi več sto kilometrov na dan s pov- prečnimi hitrostmi potovanja blizu 100 km/h (pri če- mer jih zanaša tudi veter). To pomeni, da se gibljejo skoraj brez lastnega pogona (le sem in tja morda ka- kšen zamah s krili). Tak način jadranja imenujemo dinamično jadranje. Tako bi načelno lahko letela tudi jadralna letala (ki pa morajo za zadosten vzgon leteti precej hitreje kot ptice), a po pripovedovanju izkušenega jadralnega pilota se je navdušenje nad to možnostjo izpred ne- kaj desetletij že precej poleglo, saj tako letenje zah- teva hitro menjavanje režima letenja, kar pa je zelo utrudljivo. Zadnje čase pa se s tem veliko ukvar- jajo v zvezi z letenjem majhnih lahkih brezpilotnih letal: namesto povečevanja kapacitet baterij in/ali moči motorja bi morda lahko pomagalo posnemanje tega, kar počnejo albatrosi. Tako se veliko ukvar- jajo z iskanjem najugodnejšega načina letenja glede na vetrovne razmere.2 (npr. Sachs in sod., https: //www.mdpi.com/2226-4310/7/4/47, Alexandre in 2V Preseku sicer ni v navadi, da bi natančno navajali vso v članku upoštevano literaturo. V tem primeru pa smo upora- bili kar precej virov – a samo take, ki so dostopni na svetovnem spletu, zato bomo nekatere spletne naslove navajali sproti. Ker pa je spodobno, da navedemo tudi ime avtorja ali avtorjev, bomo dodali tudi to. sod. https://doi.org/10.1371/journal.pone. 0229746 in še številni drugi). Sliši se nenavadno – kako leteti brez lastnega po- gona? Če ne drugega, ptiča vendar zavira zračni upor in silo upora je pač treba premagovati. Med letom skozi miren zrak je to možno samo pri vsaj delnem spuščanju. Za dviganje pa so potrebni zamahi s krili, ali pa je treba zajemati energijo iz vetra. No, saj po- znamo podobne primere, npr. spuščanje zmaja v ve- tru. Pa tudi jadranje na vodi: kobilica jadrnice je spodaj v mirni vodi, jadro pa je zgoraj, v vetru (in ja- drnica lahko pluje celo nekoliko proti vetru). Ali pa zmajarstvo na vodi (»kajtanje«): jadralec s pomočjo kobilice pod desko uravnava smer, zmaj v zgornjem močnem vetru pa mu zagotavlja hitrost (včasih ga celo rahlo dvigne nad vodo). In tudi na vodi lahko ja- dralec dela obrate in se na koncu vrne tja, od koder je začel. Torej so mogoči preleti brez lastnega pogona na zelo dolge razdalje. Trije primeri za dolge prelete ne- katerih ptic so narisani po podatkih, ki so jih zbrali predvsem japonski raziskovalci in jih objavili na spletu: https://datadryad.org/stash/dataset/ doi:10.5061/dryad.3pb86. Glavni namen razisko- valcev sicer ni bil iskanje dolgih preletov, temveč da bi z majhnimi napravami GPS na hrbtih ptičev pri- dobili podatke o vetrovnih razmerah nad površino oceanov. Pri tem so vseeno zabeležili nekatere eks- tremno dolge prelete. Na slikah 1–3 so primeri nekaterih precej dolgih preletov ptic. Nekaj drugih podatkov podatkov iz sledenja pti- čem: klateški albatros (Albatros Diomedea Exulans) se nad morjem dviga in spušča za kakih 15 do 20 metrov, en cikel opravi v okrog 7 do 10 sekundah, dosega hitrosti okrog 20 m/s (okrog 70 km/h) itd. Leonardo da Vinci in Lord Rayleigh Kar precejkrat omenjajo, da je že Lord Rayleigh spo- mladi 1883 poslal v znanstveni časopis Nature svoje razmišljanje o tem, zakaj ptice lahko letijo tudi brez       P 50 (2022/2023) 110 SLIKA 1. Levo: klateški albatros – Diomedea exulans gnezdi na su- bantarktǐcnih otokih. Foto JJ Harrison CC-BY-SA 3.0 https: //tiny.jjharrison.com.au/t/fCEqOJC1cJUcoIOa. Desno: let enega od klateških albatrosov severno od Île de la Possesion v jugozahodnem Indijskem oceanu med Južno Afriko in Antark- tiko: najprej na severozahod, potem na jugozahod – 1660 km v okrog 47,5 ure (od 10. marca 2007 ob 17:54 do 12. marca ob 17:28). Koordinate x kažejo proti vzhodu, y pa proti severu. SLIKA 2. Levo: Laysanski albatros – Phoebastria immutabilis gnezdi na Havajih in na drugih peščenih otokih severnega Tihega oceana, npr. na Midwayu. Foto DickDaniels, http://theworldbirds. org/CC-BY-SA-30. Desno: let enega od laysanskih albatrosov od havajskega otoka Oahu proti severu – skupaj z manjšimi zavoji – ki na sliki niso opazni – okrog 1400 km v nekaj več kot 46 urah (od 3. februarja 2014 ob 17:14 do 5. februarja ob 15:31). Koordinate x kažejo proti vzhodu, y pa proti severu. zamahov s krili. Manjkrat pa omenjajo, da je glavne vzroke za tako jadranje kar dobro razumel že štiri stoletja prej Leonardo da Vinci. Na Leonarda je opo- zoril npr. Philip Richardson v svoji objavi leta 2018 pri Royal Society, in sicer na kar nekaj Leonardovih skic v Atlantskem kodeksu E in v Kodeksu o letenju SLIKA 3. Levo: sivokljuni viharnik – Calonectris leucomelas gnezdi na Ja- ponskem in na Korejskem polotoku. Foto Steven Pratt, https: //ebird.org/species/strshe. Desno: let enega od sivoklju- nih viharnikov od severozahodne obale največjega japonskega otoka Honšu na sever in potem na jugozahod; dolžina poti je okrog 790 km v približno 40,7 ure (od 29. avgusta 2014 ob 17:43 do 31. avgusta ob 10:18). Koordinate x kažejo proti vzhodu, y pa proti severu. ptic (v Biblioteci Ambrosiani v Milanu, tudi na spletu https://www.codex-atlanticus.it/#/ in v Bibli- oteci Reale v Torinu, tudi na spletu https://airandspace.si.edu/exhibitions/co- dex/codex.cfm#page-78), eno od njih povzemamo na sliki 4. Ob sliki 4 je Leonardo zapisal: Ko se ptica ob po- moči vetra dvigne, ne da bi udarila s krili, in na- redi krožno gibanje ter ko pokaže rep proti izvoru vetra, ga poganjata dve moči (Leonardo misli seveda na sili), od katerih je ena moč (sila) vetra, ki ga udari v vdolbino pod njegovimi krili. Druga je teža ptice, ki se zapleteno spušča. In s to pridobljeno hitrostjo se zgodi, da ko je obrnjen s prsmi proti prihajajočemu vetru, gre ta veter pod ptico kot klin, ki dviguje težo (maso) navzgor. In tako se ptica pri obrnjenem gi- banju (vzpenjanju) dvigne precej višje, kot je bila v začetnem gibanju (spustu). In to je pravi razlog, da se ptice dvignejo, ne da bi zamahnile s krili. Leonardo je bil levičar in je pisal zrcalno, od de- sne proti levi – razen, kadar je pisal, da bi lahko brali drugi (https://www.mos.org/leonardo/activi-       P 50 (2022/2023) 1 11 SLIKA 4. Ena od risb Leonarda da Vincija o jadranju ptic, povzeta iz Richarsonove objave na https://royalsocietypublishing. org/doi/full/10.1098/rsnr.2018.0024. Veter na sliki piha z leve, torej se ptǐc spušča z vetrom v hrbet, dviga pa proti vetru. ties/mirror-writing). Eni pa mislijo, da je s tem načinom pisanja skrival svoja odkritja. Lord Rayleigh pa je dinamično jadranje opisal kot spuščanje navzdol z vetrom in dviganje navzgor pro- ti vetru – torej letenje skozi plasti z različno močnim vetrom. Pri tem je za krožni let poenostavil: namesto zveznega povečevanja hitrosti vetra z višino je pred- postavil spodaj popolno brezvetrje, zgoraj pa ena- komeren veter. Obravnaval je let v krogih: spuščanje navzdol, spodaj let skozi miren zrak, zavoj in dvi- ganje navzgor v smeri proti vetru, prehod v veter in spet spuščanje z vetrom. To je osnovni način dina- mičnega jadranja, ki ga danes na splošno imenujemo Rayleighovo kroženje. Pri tem je za krožni let skozi taki dve plasti, ki se začne v zgornji vetrovni plasti, zapisal: Najprej je potreben obrat v smer vzdolž vetra, nato pa postopno spuščanje navzdol skozi prehodno plast. Pri tem se hitrost sicer povečuje, vendar to za ta opis ni pomembno, saj ptica pridobiva hitrost na račun izgube višine. Ob vstopu v spodnjo mirujočo plast se hitrost ne spremeni, vendar pa je glede na zrak povečana. Ptica se mora zdaj v spodnji plasti toliko obrniti, da je smer njenega gibanja proti vetru, nato pa se vrniti v zgornjo plast in pri vstopu v zgornjo plast se hitrost glede na zrak ponovno, drugič poveča. Ta proces se lahko očitno ponavlja v nedogled; in če so zaporedni prirastki kvadrata relativne hitrosti (op.: glede na zrak) dovolj veliki, da odtehtajo neizogibne izgube, ki se dogajajo ves čas, lahko ptica ohrani svoj nivo letenja in celo poveča razpoložljivo energijo, ne da bi opravila delo. Vredno je omeniti, da so opazili, da ptiči s pridom uporabljajo tudi spremembe hitrosti vetra z višino ob močno vzvalovanem morju: nad vrhovi valov je veter močan, v dolinah med njimi pa šibkejši. Torej načeloma podobne razmere, kot jih je opisal Lord Rayleigh, toda na precej manjših razlikah v višinah. Verjetno je koristno povedati tudi, kako ptiči sploh krmarijo. Že 1893 je angleški ornitolog Hea- dley (https://www.nature.com/articles/- 048293b0) na osnovi opazovanj v reviji Nature na- vedel kar precej načinov. Z dviganjem ali spušča- njem desnih ali levih repnih peres dosežejo nekaj podobnega, kot letala z repnim smernim krmilom. Spuščajo lahko eno ali drugo nogo in dvigajo ali spu- ščajo ter obračajo eno ali drugo krilo, kar je podobno učinkom zakrilc pri letalih, ali pa premikajo peresa na koncih kril – tako se bočno nagibajo levo in desno. Ker pa njihovo telo ni togo, si včasih pomagajo celo z zvijanjem svojega telesa in z obračanjem glave – tega pa toga letala ne zmorejo. Nekateri ptiči so res neverjetni dinamični jadralci, ne da bi znali niti toliko kinematike in dinamike, kot jo bomo mi uporabili v naslednjem opisu dinamič- nega jadranja! Malo dinamike V prvem delu smo jadranje ptic v spreminjajočem se vetru opisali precej na splošno. Sedaj pa vseeno malo več o silah, nato pa še o opravljenem delu in o izgubljeni in pridobljeni energiji. Sile, ki delujejo pri letenju brez zamahov kril (oz. pri jadralnih letalih brez pomoči motorja), so teža Ft , dinamični vzgon Fvzg in zračni upor Fup. Težo vsi po- znamo, vzgon in upor, pa sta sorazmerna s površino kril S in s kvadratom hitrosti glede na zrak VA, a z različnima koeficientoma cL in cD : Fvzg = 1 2cLρSV 2 A in Fup = 1 2cDρSV 2 A (ρ je gostota zraka). V vetru −⇀ U je hitrost −⇀ V A glede na zrak različna od hitrosti −⇀ V glede na tla: −⇀ V A = −⇀ V + −⇀ U . Torej je Fvzg/Fup = cL/cD. Že Ludwig Prandtl je ugotovil, da sta koeficienta med se- boj nekoliko povezana preko t. i. vitkosti kril. Ptice, ki letijo daleč, imajo zelo vitka krila – zelo majhen       P 50 (2022/2023) 112 upor skozi zrak, pa tudi dobra jadralna letala imajo vitka krila (vojaška in akrobatska pa ne). Poleg vit- kosti kril je pri jadranju pomembno tudi, kako daleč (kako dolgo pot s) lahko jadralec (ptič ali jadralno le- talo) z neke višine h preleti skozi miren zrak – tudi to razmerje, t. i. jadralno ali drsno število s/h, do- ločata predvsem dinamični vzgon in zračni upor in zato dokaj dobro velja: s/h = cL/cD. Veliko jadralno število (v žargonu tudi »finesa«) je bistveno za dolge prelete (npr. za albatrose znaša okrog 22, za naj- boljša jadralna letala tudi blizu 50). Povejmo še, da Fvzg/Fup = cL/cD le približno upošteva vse vplive: npr. poleg upora 12cDρSV 2, ki upošteva površino kril S, gibanje zavira še upor drugih delov jadralca, pa turbulenca okrog jadralca in še kaj. Pospešek na jadralca je pri večjih hitrostih in pred- vsem v zavojih lahko tudi dosti, dosti večji od teže: izraža ga razmerje n = F/mg, ki se imenuje fak- tor obtežbe ali faktor obremenitve. Dodatni pospe- šek (navidezna dodatna »teža«) se močno poveča ob ostrih, hitrih zavojih, zato je ocena zan ob take vrste obremenitvi lahko tudi ng = F/m ≈ V2/r . Najboljša jadralna letala lahko glede njihove trdnosti prene- sejo tudi zelo, zelo velike faktorje obremenitev, ki pa jih piloti pač ne zdržijo; vrhunsko trenirani pre- skusni piloti zdržijo faktorje obremenitve nekako do n okrog 8, torej »pospeške 8g« – vse, kar je več, je že zelo nevarno. Ptiči albatrosi pa večinoma krožijo tako, da dosegajo n okrog 3. Nekaj o ravnotežjih sil. Teža vpliva na gibalno ko- ličino (in s tem na hitrost) navzdol, a če ji drži rav- notežje dinamični vzgon Fvzg navzgor, kot pri letu naravnost na sliki 5 zgoraj, bi se ptič nič ne spuščal. Toda pri letu skozi miren zrak pa se mora vseka- kor vsaj toliko spuščati, da je doseženo tudi hori- zontalno ravnotežje na sliki 5 sredina. Sila zračnega upora Fup namreč zavira hitrost v smeri leta in le če je rezultanta teže in dinamičnega vzgona ravno enako velika in nasprotna uporu, se velikost hitrosti ne spreminja. Vzgornik lahko to kompenzira in omo- goča letenje brez izgube višine ali pa celo pridobiva- nje višine – odvisno od vertikalne hitrosti dviganja zraka v vzgorniku. Pri letenju po krogu pa radialni pospešek V2/r omogoča spremembo smeri letenja: zaradi horizontalne komponente pri vzgonu ptič za- vija v smer te komponente (slika 5 spodaj). Navada je, da tudi vsoti horizontalne sile mV2/r in verti- kalne sile Fvzg,v pravijo kar dinamični vzgon. Fvzg mg Fvzg mg Fup mg Fvzg Fvzg,v Fvzg,h =mV 2/r SLIKA 5. Nekaj ravnotežij med silo teže m~g, silo dinamǐcnega vzgona ~Fvzg in silo upora ~Fup. Zgoraj: Let v ravni črti, pogled od spredaj. Sredina: Let v ravni črti, a nekoliko navzdol, pogled od strani. Rezultanta vzgona Fvzg in teže mg drži ravnotežje uporu Fup. Spodaj: Let skozi zavoj, pogled od spredaj. Ob bočnem nagibu horizontalna komponenta vzgona Lvzg,h omogoča zavijanje. Kako pojema hitrost pri dviganju? Spremembe hitrosti in smeri leta opisujejo enačbe, ki upoštevajo delovanje sil. Hitrost zmanjšuje kom- ponenta sile teže v smeri, nasprotni smeri gibanja jadralca: pri vodoravnem letu torej teža ne vpliva na hitrost, pri vzpenjanju pod kotom γ pa je treba pri pojemku hitrosti a = ∆V/∆t upoštevati kom- ponento sile m∆V/∆t = −mg sinγ. Zračni upor je odvisen od kvadrata hitrosti glede na zrak, zato m∆V/δt = 1/2ρScDV2A = −kV2A. Vpliv vetra na hi-       P 50 (2022/2023) 1 13 trost relativno na zrak, ko se jadralec vzpne iz brez- vetrja gor v veter, ki piha s hitrostjo U : ta poveča relativno hitrost glede na vertikalni kot vzpenjanja γ in horizontalni kot Ψ med hitrostjo in smerjo ve- tra – torej za U cosγ cosΨ . Za spremembo hitrosti glede na zrak je torej treba poznati začetno hitrost, dva kota γ in Ψ , kar vse se med letenjem spreminja, ter g in vse parametre upora, zajete v koeficientu k = 1/2ρScD. Da bi opis poenostavili, si zamislimo Rayleighov krog kot na sliki 6. Namesto kota Ψ v tem poglavju uvedemo kot α = Ψ − 90°, ki ga štejemo od horizontalne smeri v levo od smeri x (ki je pravokotna na veter – glej skico). Kot α je tako 0° na dnu spodnjega loka, 90° ob prehodu iz brezvetrja v veter, ter 180° ob vrhu zgornjega loka. Glede kota vzpenjanja pa pri gibanju po krogu tudi ni težav: spodaj in na vrhu vzpenjanja velja γ = 0°, vmes pa kot sinusno narašča do največ- je vrednosti pri vstopu v veter, potem pa proti vrhu spet sinusno upada: γ = γmax sinα. Pri letu po krogu s hitrostjo V opravi jadralec v času ∆t pot ∆s = V∆t, pri čemer je ∆s pot po loku dolžine r∆α, torej ∆t = r∆α/V . Torej lahko spre- membo v času nadomestimo s spremembo vzdolž pomika po delu krožnega loka r∆α/V . Za vpliv zračnega upora to pomeni ∆V = −(ρScD/2m) V2r∆α/V . Po urejanju enačbe (rečemo, da se V »po- krajša«), ostane: ∆V = −(rρScD/2m)V∆α ali ∆V = −k1V∆α. Kdor malo pozna upadanje količin, ki je sorazmerno tem količinam, bo vnaprej zaslutil, da bi se hitrost zmanjševala eksponentno glede na α. Ta eksponentni upad pa lahko dobimo tudi, če enačbo zapišemo s končnimi razlikami med dvema točkama na krožnem loku: V(α+∆α)–V(α) = −k1V(α)∆α in se lotimo računanja tako, da določimo vrednost kon- stantnega parametra k1 in postavimo začetno vre- dnost V(α0) in iz nje izračunamo novo: V(α+∆α) = V(α)− k1V(α)∆α ter tako naprej po korakih ∆α ve- dno znova in znova izračunavamo nove vrednosti hi- trosti pri vedno večjih kotih α. Toda tak povsem eksponentni upad bi dobili sa- mo, če ne bi bilo nobenih drugih vplivov na hitrost! Ob dviganju pa se hitrost ne zmanjšuje samo zaradi zračnega upora, saj se kinetična energija porablja za povečevanje potencialne energije. To pomeni, da moramo vsakič pri vplivu zračnega upora upoštevati hitrost, ki je zmanjšana zaradi obeh vplivov, upora in vpliva sile teže. Komponento sile teže v smeri hi- α = 180° γ = 0° −⇀ U −⇀ V x y −⇀ V α = 0° γ = 0° −⇀ V α = 90° γmax SLIKA 6. Krožni lok pri dviganju iz brezvetrja spodaj v veter zgoraj. Naj jadralec kroži tako, da je smer letenja na dnu spodnjega loka pravokotno v levo od smeri vetra U in od te smeri tudi šte- jemo kot α do projekcije hitrosti na horizontalno ravnino. Kot vzpenjanja γ je spodaj in zgoraj enak nǐc, ob prehodu v veter pa γmax. Ker ptǐci krožijo zelo položno, je ta kot majhen, tam okrog 10°. Risba je torej narisana z močno pretirano strmino kroženja – pravi nagib je v resnici dosti manjši. trosti pri vzpenjanju navzgor opišemo kot mg sinγ in zato m∆V/∆t = −mg sin(γmax sinα), pri čemer γmax predstavlja največjo strmino vzpenjanja (npr. če je ta 10°, je γmax = 0,174). Spet nadomestimo ∆t z r∆α/V in dobimo za vpliv teže V(α+∆α)−V(α) = [−mgr sin(γmax sinα)/V(α)]∆α. Pa še nekaj – saj je za dinamično jadranje vendar bistveno, da se hi- trost glede na zrak poveča ob vstopu v veter. Zato dodamo pri α = 90° še enkratno povečanje hitrosti glede na zrak, in sicer komponento v smeri hitrosti U cosγ. Za vse troje – upor, težo in sunek vetra U – skupaj torej za hitrost glede na zrak: VA(α+∆α)− VA(α) = = [−k1VA(α)−mgr(sin(γmax sinα)/VA(α))]∆α (+U cosγmax, samo, ko je α = 90°).       P 50 (2022/2023) 114 Ker v tej enačbi nastopata tako kot vzpenjanja (in spuščanja) jadralca γ kot tudi kot α, bi bilo seveda treba uporabiti še dve enačbi za ti dve količini ∆γ = . . . in ∆α = . . .. A prepustimo to tistim, ki te enačbe uporabljajo za simuliranje letov pri dinamičnem ja- dranju in za optimiziranje takega načina letanja. Mi pa kar izberimo majhen kot vzpenjanja γ, ki se – tako kot α – tudi sinusno spreminja. Ob prehodu iz spodnjega brezvetrja ptič prileti proti vetru, zato tam torej povečamo hitrost glede na zrak za +U cosγmax. Torej je treba računanja vse tri vplive na hitrost upoštevati hkrati, da po postopnem napredovanju vzdolž loka (po zaporednih ∆α) dobimo potek hitro- sti, kot ga kaže slika 7. Na sliki 7 se jasno vidi, da sila zračnega upora in komponenta sile teže vzdolž hitrosti hitrost glede SLIKA 7. Upadanje hitrosti glede na zrak ob vzpenjanju zaradi teže in zračnega upora ter enkratno povečanje te hitrosti ob prehodu iz spodnjega brezvetrja v zgornjo plast z vetrom. Izberemo kratke odseke poti ∆s = r∆α – vzdolž polovice krožnega loka od spodnjega do zgornjega obrata naj jih bo npr. 180. Nato po zaporednih kratkih odsekih izračunavamo vedno nove vredno- sti hitrosti v naslednji točki pri (α+∆α) iz poznanih vrednosti v prejšnji točki pri α. Za začetno hitrost smo pri tej sliki vzeli 20 m/s ter za r = 20 m, ρ = 1 kg/m3, S = 0,5 m2 in cD = 0,03, ter za k2 = 0,17, g = 9,81 m/s2 in za jadralca maso m = 8,5 kg. V tem primeru smo za hitrost vetra U izbrali 1 m/s. na zrak zmanjšujeta, prehod v veter pa jo hipoma poveča. Vse te vplive za potrebe simuliranja dinamičnega jadranja upoštevajo z enačbo za spremembo hitrosti VA glede na zrak: dVA/dt = −Fup/m− g sinγ − cosγ cosΨ dU/dt. V tej enačbi smo spet pri kotu Ψ = α+90°, dU/dt pa razložimo takole: ko se z vertikalno hitrostjo cosγdz/dt povzpnemo v veter, se hitrost glede na zrak spremeni za cosγ dU/dt, kajti dU/dt = dU/dz · dz/dt. Povejmo samo še to, da seveda katerakoli kom- binacija vhodnih podatkov ne privede do simulacije uspešnega dinamičnega jadranja. Npr. če ob moč- nem zračnem uporu ni dovolj velikega sunka vetra, se hitrost ne bo vzdrževala iz enega cikla v drugega. Ali pa: pri optimizacijah se je pokazalo, da je bolje jadrati z več majhnimi pridobivanji energije iz ve- tra kot pa z manjšim številom večjih pridobivanj te energije. In vse take stvari so se albatrosi, viharniki in drugi uspešni dinamični jadralci očitno zelo uspe- šno »naučili«! Nadomeščanje izgubljene energije Ker sila zračnega upora zavira, je treba za letenje nadomeščati vsaj toliko energije, kot se je porabi za delo proti tej sili. Popolna obravnava tega, kako ptiči pridobivajo energijo v vetru, ki se z višino spre- minja, bi bila z reševanjem gibalnih enačb, ki opi- sujejo spremembe gibalne količine v smeri vzdolž trenutne hitrosti letenja ter v dveh smereh pravo- kotno na to smer: v smeri gor-dol (kot γ glede na horizontalo) in v smeri levo-desno (kot Ψ ). V enač- bah nastopa sicer tudi kot bočnega nagiba, ki pa pri obravnavi točkaste mase seveda ne nastopa. Zato za bočni nagib po navadi vzamejo kar kako konstan- tno vrednost (recimo 60°), ali pa ga določajo ob op- timiziranju letov. S takimi enačbami zajemajo vse vplive vseh sil, izračunavajo trajektorije leta, veli- kost in smer hitrosti v odvisnosti od časa, iz tega pa tudi kinetično in potencialno energijo v vsakem tre- nutku leta. Na ta način so naredili že celo množico izračunov; zadnje čase predvsem z željo najti opti- malni način dinamičnega jadranja – npr. za potrebe brezpilotnih letal. Kakšne so te enačbe in primer si- mulacije Rayleighovega kroženja navzgor v veter in       n a d a lje va n je n a st ra n i 18 P 50 (2022/2023) 1 15 nazaj navzdol v brezvetrje, smo za velikost hitro- sti glede na zrak že opisali, več si lahko ogledamo v povsem prosto dostopnem članku Alexandreja in sod. (2020, https://doi.org/10.1371/journal. pone.0229746), od koder povzemamo sliko krože- nja in nekaj rezultatov (slika 8). Možne so tudi (manj natančne) posredne ocene spreminjanja kinetične in potencialne energije, ki pa seveda tudi upoštevajo, da mora ptič s pomočjo po- večanega vzgona v vetru dobiti vsaj toliko energije, kot je zaradi zračnega upora izgublja. Ko s hitrostjo −⇀ V prileti iz spodnje brezvetrne plasti (v kateri je hi- trost −⇀ V glede na tla seveda enaka hitrosti −⇀ V A glede na miren zrak) navzgor v smeri nasproti vetru −⇀ U , se njegova hitrost −⇀ V A relativno glede na zrak zaradi ve- tra poveča: −⇀ V A = −⇀ V + −⇀ U . Ob tej povečani relativni hitrosti je tudi dinamični vzgon večji, kar ga dviga v višino – in s tem pridobi večjo potencialno energijo, kot bi jo v brezvetrju. Ta mu omogoča, da ob spušča- nju zelo poveča svojo hitrost in kinetično energijo – najmanj za toliko, kolikor je izgublja v spodnji plasti brezvetrja zaradi dela A proti sili upora vzdolž poti −⇀s : A = −⇀ F up · −⇀s . Omenimo dve od takih posrednih ocen, ki sta bili sicer narejeni za radijsko vodene modele letal, ki do- segajo zelo visoke hitrosti in zato za jadranje ptic nista povsem realni, a vseeno marsikaj pojasnita. Prva posredna ocena (povzeta in predelana po Sa- chsu in sod., https://www.mdpi.com/2226-4310/ 7/4/47) skuša oceniti delo proti sili upora Fup skozi spodnjo plast mirnega zraka. Pri tem se izogne ne- poznavanju upora s tem, da privzame, da se upor Fup in dinamični vzgon Fvzg razlikujeta samo po koefici- entih cD in cL, da torej velja Fup = cD/cLFvzg. Za to, kolikšen pa je pri kroženju dinamični vzgon Fvzg, pa še enkrat poglejmo sliko 5 spodaj: −⇀ F vzg = −⇀ F (vzg,v) + −⇀ F (vzg,h) = m −⇀g +mV2−⇀r /r 2. Faktor povečanega po- speška n = Fvzg/mg oz. faktor obtežbe ali faktor obremenitve, je po sliki 5 spodaj, n = √ 1+ ( V2 rg )2 . Pri radijsko vodenih modelih je n zelo velik in enico pod korenom lahko zanemarimo. Pri albatrosih pa je n okrog 3 in zato bi lahko le približno (zelo, zelo pri- bližno!) zanemarili mg v primerjavi z V 2 r , če vseeno uporabimo kar Fvzg ≈ mV̄2 r . Tedaj je sila upora Fup ≈ cD cL Fvzg ≈ mcD cL V̄2 r , ki deluje vzdolž polovice spodnjega SLIKA 8. Sliki sta iz članka Alexandre in sod. 2020. Zgoraj: opti- malna trajektorija Rayleighovega krožnega dinamǐcnega jadra- nja. Spodaj: spremembe spremenljivk in parametrov skozi razne faze leta: LT-spodnji obrat (»lower turn«), C-dviganje (»climb«), UT-zgornji obrat (»upper turn«) in D-spuščanje (»de- scend«). Spredaj, zgornji graf: višina leta h in smerni kot Ψ . Drugi graf: koeficient dinamǐcnega vzgona cL, kot bočnega na- giba Φ in kot vzpenjanja/spuščanja γ. Tretji graf od zgoraj – faktor obremenitve n. Četrti graf – hitrosti glede na zrak VA, glede na tla VG in hitrost vetra Wx (v smeri x na zgornji sliki; naša oznaka je U ), spodnji graf – skupno opravljeno delo proti silam in posebej proti vzgonu Fvzg in uporu Fup.