.
I



BI. Matekova
ARITMETIKA
za nižjo stopnjo srednjih šol.
Po novih učnih načrtih priredil
A n t o n P eterlin,
c. kr. gimnazijski profesor v Ljubljani.
20 slik.
Kot učna knjiga pripuščena z razpisom c. kr. ministrstva za bogočastje in pouk
z dne 3. septembra 1910, štev. 32.459.
Cena vez
V Ljubljani 1910.
Natisnila in založila Ig. pl. Kleinmayr & Fed. Bamberg*

'bO00 5jf^' l 1

Vsebina.
Stran
Uvod.
§ 1. Pojasnila.1
§ 2. Dekadieni številni sestav . . 2
§ 3. Rimske številke.3
§ 4. Avstro-ogrski novci, mere in uteži 4
Računanje s celimi enoimenskimi
in neimenovanimi števili.
§ 5. Seštevanje.7
§ 6. Odštevanje.11
§ 7. Množenje.16
§ 8. Deljenje.21
Računanje z decimalnimi števili.
§ 9. Pojasnila.28
§ 10. Seštevanje decimalnih števil . 30
§ 11. Odštevanje decimalnih števil . 31
§ 12. Množenje decimalnih števil s
celimi števili.32
§ 13. Množenje decimalnih števil z
decimalnimi števili .... 33
§ 14. Deljenje decimalnih števil s
celimi števili . . . . .35
§ 15. Deljenje decimalnih števil z
decimalnimi števili . . . . 37
Računanje z mnogoimenskimi
števili.
§16. Pojasnila.39
§ 17. Seštevanjemnogoimenskihštevil 43
§ 18. Odštevanjemnogoimenskihštevil 45
§ 19. Množenje mnogoimenskih števil 47
§ 20. Deljenje mnogoimenskih števil 48
Predvaje za računanje z navad¬
nimi ulomki.
§ 21. Pojasnila.50
§ 22. Osnovni računi z navadnimi
'domki.52
Stran
O deljivosti celih števil.
§ 23. Pojasnila.58
§ 24. Znamenja deljivosti ... 58
§ 25. Razstavljanje števil na pra¬
faktorje .60
§ 26. Največja skupna mera. . . 62
§ 27. Najmanjšiskupnimnogokratnik 63
Računanje z navadnimi ulomki.
§ 28. Pojasnila.65
§ 29. Razširjevanje in okrajševanje
navadnih ulomkov . . . .66
§ 30. Seštevanje navadnih ulomkov 68
§ 31. Odštevanje navadnih ulomkov 70
§ 32. Množenje ulomka s celim šte¬
vilom .71
§ 33. Deljenje ulomka s celim šte¬
vilom.73
§ 34. Množenje z ulomkom ... 75
§ 35. Deljenje z ulomkom ... 77
§ 36. Pretvarjanj e navadnih ulomkov
v decimalne ulomke . . .80
§ 37. Pretvarjanje decimalnih ulom¬
kov v navadne ulomke . . 81
Sklepni račun.
§ 38. Sorazmerne količine . . . 82
§ 39. Enostavni sklepni račun . . 84
§ 40. Sestavljeni sklepni račun . . 89
§ 41. Odstotni ali procentni račun . 91
§ 42. Enostavni obrestni račun . . 99
Okrajšano računanje.
§ 43. Občna pojasnila o nepopolnih
številih.106
§ 44. Okrajšano seštevanje in odšte¬
vanje.109
§ 45. Okrajšano množenje . . . 112
§ 46. Okrajšano deljenje. . . . 115

IV
Stran
Računanje s celimi občnimi števili.
§ 47. Občna števila.120
§ 48. Seštevanje in odštevanje občnih
števil.124
§ 49. Relativna ali algebrajska števila 126
§ 50. Seštevanje algebrajskih števil 128
§ 51. Odštevanje algebrajskih števil 132
.§ 52. Prištevanje in odštevanje mno-
gočlenskih izrazov. Razreše¬
vanje oklepajev .... 134
■§ 53. Uporaba seštevanja in odšte¬
vanja za razreševanje enačb . 139
Stran
§ 54. Množenje enočlenskih izrazov 142
§ 55. Množenje mnogočlenskih iz¬
razov ..147
§ 56. Kvadrat.154
§ 57. Kvadratni koren .... 157
§ 58. Kub.164
§ 59. Kubični koren.168
§ 60. Deljenje enočlenskih izrazov . 174
§ 61. Deljenje mnogočlenskih izrazov 177
§ 62. Uporaba množenja in deljenja
za razreševanje enačb . . . 181
§ 63. Uporaba vzmnoževanja in ko-
renjenja za razreševanje enačb 183

Uvod.
§ 1. Pojasnila.
Aritmetika je nauk o številih in njih spajanju. Število
zaznamuje določeno množino stvarij iste vrste ; vsako stvar posebej
imenujemo enoto. Kadar pridevamo stvari stvar iste vrste (enoti
enoto) in ponavljamo to pridevanje, tedaj štejemo. Štetje se vrši
najprej v mislih. V govoru je treba posebnih imen, da z njimi iz¬
ražamo števila, ki smo jih dobili pri štetju; za pisavo je treba
posebnih znakov, ki nam prav kratko predočujejo števila. Imena števil
zovemo števnike, pismenim znakom števil pravimo številke. Za
prvih devet števil nam služijo v pismu te-le številke: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9.
Navedene številke se imenujejo arabske, ker so jih Arabci pri¬
nesli v Evropo; izumili pa so jih Indci.
Število, ki naznanja množino in vrsto naštetih stvarij, imenujemo
imenovano število [sedem gramov, pet hiš]; število pa, ki pove
le množino, ne pa vrste naštetih stvarij, je neimenovano šte¬
vilo [sedem, pet].
Vsa neimenovana števila, ki jih dobimo pri štetju, tvorijo na¬
ravno številno vrsto; ta je brezkončna, ker jo vedno lahko
podaljšamo, ako pridenemo zadnjemu številu novo enoto; tako
dobimo novo število.
Naravno številno vrsto si lahko predočimo v napol omejeni
ravni črti, ako načrtamo od njenega krajišča, ki ga zaznamujemo
z ničlo 0, enake, na drugem krajišču z 1, 2, 3, 4, . . . zaznamovane
daljice. Tako opremljeno ravno črto (sl. 1) imenujemo številno črto.
Slika 1.
012845678 9
I-1-1-1-I-1-1-1-1-1-
Števili, ki imata enako množino enot, sta enaki. Enakost števil izražamo
z enačajem [5 = 5]. Vsako število številne vrste je večje kakor
vsako pred njim stoječe in manjše kakor vsako njemu sledeče. Za
izražanje neenakosti nam služijo znamenja večje" [o >> 3]
in „<“ „manjše“ [5 < 8].
Matek-Peterlin, Aritmetika.
Aritmetika
= die
Arithmetik.
Število =
die Zahl.
Enota =
die Einheit.
Števnik =
das Zahl-
wort.
Številka =
die Zifler.
Imenovano
število =
die benannte
Zahl.
Neimeno¬
vano število
= die
unbenannte
Zahl.
Naravna
številna
vrsta = die
natiirliche
Zahlenreihe.
Številna črta
— die
Zahlenlinie.
1

2
Številni
sestav = das
Zahlen-
system.
Desetiški ali
dekadični
številni se¬
stav = das
dekadische
Zahlen-
system.
Dekadične
enote = die
dekadischen
Einheiten.
§ 2. Dekadični številni sestav.
Ker je štetje brezkončno, dobimo, tako postopajoč, neizrečeno
veliko števil. Vendar je mogoče, s primeroma pičlo množico števnikov
in številk izraziti in napisati vsako še tako veliko množino enot.
Način, kako se to zgodi, nam poda trgovec, ki šteje prav veliko
množino vinarjev. Po deset vinarjev naloži v en kupček, po deset
kupčkov postavi v eno vrsto, po deset vrst združi v en oddelek.
Uspeli te razvrstitve je ta, da ima trgovec nekaj polnili oddelkov,
vrst in kupčkov, a ostane mu nekaj posameznih vinarjev, kupčkov
in vrst (vsakih manj kakor deset). Iz števila polnih oddelkov, vrst
in kupčkov, in iz števila posameznih vrst, kupčkov in vinarjev je
mogoče natanko določiti število vinarjev.
Prav tako postopamo pri štetju sploh. Deset prvotnih enot ali
enic združimo v eno enoto višjega reda in jo imenujemo desetico,
deset desetic v eno stotico, deset stotič v eno tisočico itd. To pre¬
gledno razvrstitev po skupinah imenujemo številni sestav ali
sistem, in sicer desetiški ali dekadični sistem, ker je
urejen ta sistem po številu „deset“ [grško „deka“]. Enice, desetice,
stotice, tisočice itd. pa imenujemo dekadične enote.
Deset dekadičnih enot določenega reda tvori tedaj eno dekadično
enoto naslednjega višjega reda.
Da laglje pregledamo dekadične enote, jih razvrstimo v oddelke
in razrede. Vsak oddelek obsega tri dekadične enote, in dva oddelka
skupaj dasta razred. Oddelki in razredi imajo posebna imena, ki
nam jih pove sledeča razpredelnica.
Tisoč milijonov imenujemo milijardo.

3
Število je popolnoma določeno, ako povemo, koliko ima po¬
sameznih dekadičnih enot.
Pri pismenem predočevanju celih števil so se, sledeč indijskemu m ^f° r° d
sistemu, določila dekadičnim enotam posebna mesta, ki jih štejemo nosti številk
od desne proti levi. Na prvo mesto pišemo število enic, na drugo p^itions-
število desetic itd. kakor stoje njihova imena v razpredelnici. Pri pnnzip -
tem napisovanju nam zadostujejo številke 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
in znak 0 (ničla), ki pomeni, da ni nobene enote onega reda, na
katerega mestu stoji znak 0.
Po navedenem načelu ima vsaka številka v dekadičnem številu
dvojno vrednost: vsled svoje podobe številčno vrednost, ki vrednosti
pove množino enot, in vsled svojega mesta v številu mestno vred- der J ! ® ern '
n O St, ki pove red enot. Mestna vred-
nost — der.
Naloge. Stellenwert.
1. Koliko enic je
a) 8 D, 5 D 2 E, 7 D 8 E, 6 D 5 E, 2 D 6 E?
h ) 2 S o D 6 E, 8 S 2 E, 6 S 5 D, 4 T 5 E, 3 T 11)7
2. Katero vrednost imajo posamezne številke v številih: 208,
745, 370, 704, 358, 925?
3. čitaj števila v nalogi 2 !
4. Razstavi a) po mestnih vrednostih, b ) v tisočice in enice:
1357, 7052, 9205, 28004, 60805, 81009, 215316, 207043, 130008.
Navodilo: 73825 = 7 Dt 3 T 8 S 2 D 5 E = 73 T 825 E.
5. Čitaj števila v nalogi 4!
6. Razdeli v razrede in oddelke in čitaj sledeča števila:
3212654, 3418509, 9284073, 51379486, 20416829, 538191378,
3446790814, 8900378, 1050090, 72008106, 6200159140, 482500300,
7102004595120.
7. Čitaj posamezne s črtami zaznamovane dele sledečih števil:
75 103 | 00 | 62, 1 | 356 | 0496, 217 | 31 | 00 | 054 | 6, 6 | 007 | 392 | 4,
50 j 093 | 28, 2193 | 04 | 01, 73 | 01 | 2350 | 7.
§ 3. Rimske številke.
Tudi Rimljani so imeli dekadični številni sestav in so šteli
ravno tako kakor mi; pisali pa so števila s posebnimi znaki, ki se
še dandanes pogosto rabijo za vrstilne števnike in letnice.
Pomenilo jim je: I — 1, V == 5, X = 10, L = 50, C = 100,
D = 500, M = 1000.
Rimske
številke
= die
romischen
Zahlzeichen.
1 *

4
Novci
= Miinzen,
Metrski
sistem =das
metrische
System.
S temi sedmimi znaki so pisali števila na ta način , da so
stavili znake drugega poleg drugega, in sicer vselej višjega pred
nižjega; da pa ni bilo treba zaporedoma staviti štirih enakih znakov,
so postavili nižji znak pred višjega, kar je pomenilo, da je treba
odšteti od vrednosti višjega znaka vrednost nižjega. N. pr.:
III = 3 , VII = 7, XVI = 16, LXXV = 75, IV = 4, IX = 9,
XL = 40, XC = 90, CM == 900, MCM = 1900.
Naloge.
1. Zapiši z rimskimi številkami:
a) 52, 63, 29, 84, 97; c) 930, 969, 1077, 1243, 1344;
b) 174, 365, 419, 640; d) 1492, 1648, 1799, 1878, 1910.
2. ) čitaj sledeča števila:
a) XXV, LVIII, XLIV, LXI;
b) XCVI, CXI, C1X, CXLIX;
c) CCCLXX, CDXLIV, CMXIX;
d) MDCCXI, MDCCCLXXXIX, MCDIX.
3. ) Cesar Franc Jožef I. je bil rojen XVIII. avgusta leta
MDCCCXXX. in je nastopil vlado II. decembra leta MDCCCXLVIII.
§ 4. Avstro-ogrski novci, mere in uteži.
1ŠT ovci.
Po zakonu z dne 2. avgusta 1892. leta je obveljala kronska vred¬
nost. Enota tem novcem je krona (K) po 100 vinarjev ali beličev (h).
Na podlagi te enote imamo sledeče novce:
a) Zlate novce: stokronske, dvajsetkronske in desetkronske.
b) Srebrne novce: petkronske in enokronske.
c) Nikljeve novce: dvajsetvinarske in desetvinarske.
d) Bronaste novce: dvovinarske in enovinarske.
E. iNZCere.
Dekadičnemu številnemu sistemu odgovarja popolnoma metrski
sistem mer in uteži. Osnovna enota metrskemu sistemu je meter {m),
t. j. dolgost neke palice, ki se hrani na zvezdami v Parizu in je
približno dvajsetmilijonski del zemeljskega poldnevnika.

5
Imena višjih enot tvorimo, da stavimo pred ime osnovne enote
grške števnike, in sicer:
„deka“ za desetkratno osnovno enoto,
„hekto“ za stokratno osnovno enoto,
„kilo“ za tisočkratno osnovno enoto,
„miria“ za desettisočkratno osnovno enoto.
Imena nižjih enot pa tvorimo tako, da postavimo pred ime
osnovne enote latinske števnike, in sicer:
„deci“ za deseti del osnovne enote,
„ centi" za stoti del osnovne enote,
„mili“ za tisoči del osnovne enote.
1. Dolgostne mere.
Osnovna enota je meter (m). Po navedenem načinu dobimo
sledeče višje in nižje enote:
1 kilometer (km) = 1000 m,
1 miriameter (mm) = 10000 m — 10 km,
1 decimeter (dm) = deseti del metra,
1 centimeter (cm) — stoti del metra,
1 milimeter (mm) = tisoči del metra.
Tedaj je
1 zn = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 cm — 10 mm.
2. Ploskovne mere.
Enota ploskovne mere je kvadrat, ki mu je dolgostna enota stra¬
nica. Osnovna enota ploskovne mere se imenuje kvadratni meter (zn 2 )
in je kvadrat, ki ima 1 m dolgo stranico. V kvadratni meter polo¬
žimo ob eni stranici deset kvadratov s stranico 1 dm; kvadrat, ki
ima 1 dm dolgo stranico, imenujemo kvadratni decimeter (dm 2 ). Da
izpolnimo ves kvadratni meter, moramo položiti deset takih vrst,
drugo poleg druge. Kvadratni meter je tedaj enak 100 kvadratnim
decimetrom. Ravno tako dobimo, da je 1 dm 3 enak 100 cm 2 itd.
Vobče velja tedaj:
1 m 2 = 100 d m 2 = 10.000 cm 2 = 1,000.000 mm 2
1 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 2
1 cm 2 = 100 mm 2 .
Dolgostne
mere = die
Langen-
mafte.
Ploskovne
mere = die
Flachen-
mafie.

6
Telesne
mere — die
Korpermafle.
Uteži
= die
Gevvichte.
Zemljišča merimo z ari (a) in s hektari (ha).
la =100 m 2
\ ha = 100 a — 10.000 m 2
1 km 2 = 100 ha = 10.000 a = 1,000.000 m 2
1 gm 2 = 100 km 2 = 10.000 ha = 1,000.000 a.
3. Telesne mere.
Enota telesne mere je kocka, ki ji je dolgostna enota rob.
Osnovna enota telesne mere se imenuje kubični meter (m 2 ) in je
kocka, ki ima 1 m dolg rob. V kubičnem metru položimo na eno
ploskev, ki meri 100 dm 2 , 100 kock z robom 1 dm, t. j. 100 ku¬
bičnih decimetrov (dm 2 ) ; da izpolnimo ves kubični meter, moramo
položiti deset takih plasti po 100 dm 2 drugo vrh druge. Kubični
meter je tedaj enak 100 dm 2 lOkrat = 1000 dm 2 . Ravno tako do¬
bimo, da je 1 dm 2 enak 1000 cm 2 itd.
Vobče velja tedaj:
1 m 2 = 1000 dm 2 = 1,000.000 cm 2 = 1.000,000.000 mm 2
1 dm 3 = 1.000 cm 2 = 1,000.000 mm 2
1 cm 2 = 1.000 mm 2 .
Enota votle mere za tekočine, žito in podobne stvari je liter (1),
ki drži istotoliko kakor votel kubični decimeter.
1 1 = 10 decilitrov (dl) = 100 centilitrov (el)
1 dl = 10 cl
100 1 — 1 hektoliter (hi).
C. TTteži.
Osnovna enota je gram (g), t. j. teža kubičnega centimetra čiste
vode, ki ima po stodelnem toplomeru štiri stopinje toplote (4° C).
1 g =10 decigramov (dg)
1 dg =10 centigramov (cg)
1 cg =10 miligramov (mg)
10 g =1 dekagram (dkg)
1000 g = 1 kilogram (kg)
100 kg — 1 metrski stot jili cent (q)
10 q = 1000 kg = 1 tona (t).
Naloge.
1. Izrazi v vseh nižjih enotah: a) 1 um, b) 1 km 2 , c) 1 ha, d) 1 m 2 ,
e) 1 hi, f) 1 t; g) 1 kg.
2. Katero težo ima 17,1 hi, 1 m 2 čiste vode pri 4° C?

7
Računanje s celimi enoimenskimi in neimenovanimi števili.
§ 5. Seštevanje.
A. Naloga. Učenec dobi od očeta 5 svinčnikov, od matere pa 7;
koliko svinčnikov dobi od obeh V
Slika 2 .
5 7
12
Črta nam predočuj (sl. 2) svinčnik. Narišimo 5 črt in poleg teh
še 7 ! Preštejmo vse črte ! Naštejemo jih 12. „Učenec je dobil 12 svinč¬
nikov. “
Pismeno izrazimo rešitev naloge tako-le :
5 svinčnikov -j- 7 svinčnikov = 12 svinčnikov.
Ker nam črte lahko predočujejo tudi K, m, 1, kg itd., pišemo tudi:
5K-j-7 K = 12K; hm-^-7 m =12 m itd.
Ako se pa ne oziramo na vrsto enot, pišemo:
5 + 7 = 12.
Ta način spajanja dveh ali več istoimenskih ali neimenovanih
števil v eno število se imenuje seštevanje.
Dve ali več določenih števil sešteti se pravi, poiskati novo
število, ki ima toliko enot, kolikor jih imajo določena števila skupaj.
Števila, ki se seštevajo, se imenujejo seštevanci ali sumandi;
število pa, ki ga iščeš, se imenuje vsota.
Vsota dveh ali več števil je tedaj ono število, ki ima toliko
enot, kolikor jih imajo vsi sumandi kupaj.
Znak seštevanja je ravni križ „+“, ki ga čitamo „več“ ali „plus“
in ki ga stavimo med sumande.
Ker dobimo isto število črt, ako jih štejemo od leve proti desni
ali pa od desne proti levi, sklepamo, da je
5 + 7 = 7 + 5 „
ui ker to velja tudi v slučaju, ko imamo več sumandov, smemo reči:
Vsota se ne izpremeni, ako zamenjaš sumande med seboj.
Seštevanje
= das
Addieren.
Seštevanec
= der
Summand.
Vsota =
die Summe.
Zakon o
zamenjavi
sumandov =
das Kom-
mutations-
gesetz der
Addition.

8
Računanje
na pamet =
d as Kopf-
rechnen.
B. Računanje na pamet.
Ker si vsako dekadično število lahko mislimo kot vsoto, ki ima
števila posameznih dekadičnih enot za sumande, n. pr.
7536 = lT-\-bS-\-3D-\-&E,
porabimo zakon o zamenjavi sumandov, da pripravneje seštejemo
mnogoštevilčna števila.
Vsoto 57 -j- 30 n. pr. izračunamo, ako razstavimo sumande v
posamezne dekadične enote in po zamenjavi sumandov seštejemo
istoimenska števila.
57 —j— 30 = 5 X> —j— 7 _£7 —J— 3 = 5 77 + 3 77 + 7 7? =877 + 77? = 87.
Ravno tako izračunamo n. pr.
57 + 32 = 5 77+ 7£ 7 +377+ 2.E = 577+3T7+7.E , + 27i’ =
= 877 + 9^ = 89
in govorimo, prištevajoč posamezne dekadične enote drugega sumanda,
tako-le: 57 in 30 je 87 in 2 je 89.
Vsoto 456 + 123 izračunaš govoreč: 456 in 100 je 556 in 20
je 576 in 3 je 579.
Naloge.
1. Določi sledeče vsote:
a) 7 + 9; 8 + 6; 0 + 7; 5 + 0; 8 + 9; 6 + 7.
b) 9 K + 5 K; \2 kg7 kg; 3^+9 E; 8 S + 7 8; 15 T + 9 T.
c) 143 dm + 8 dm; 74 a+ 7 a; 59 dm 3 + 8 dm 3 ; 46 S + 9 S.
d) 25 + 12; 38 h + 15 h; 43 m + 17 m; 61 ha + 23 ha.
e) 1587+227; Ubdkg-{- 18 dkg; 174 7'+ 15T; 2 9 5 77 + 267).
f) 6+9 + 8; 13, cm + 7 cm + 21 cm ; 8D + 1777 + 15 77;
43 K + 17 K + 11 K.
g) 50 + 30 ; 400 + 500 ; 3000 + 8000 ; 600 + 700 + 900 ;
150 + 220.
2. Seštej števila a) vodoravnih, b) navpičnih, c) poševnih vrst v
naslednjih „ magičnih kvadratih “:
I. 1 14 15 4 II. 2 16 9 7
12 7 6 9 13 3 6 12
8 11 10 5 8 10 15 1
13 2 3 16 11 5 4 14

9
3. Določi številčno vsoto, t. j. vsoto številk sledečih števil: 125,
742, 9758, 53644, 4879251.
4. Določi na pamet sledeče vsote:
a) 64 + 30; 79 + 60; 82 + 40; 67 -j- 70; 73 + 80; 52 + 40.
b ) 60 -j- 28; 10 + 79; 90 + 38; 50 + 76; 80 + 62; 40 + 97.
c) 67 + 32; 45 + 38; 65 + 93; 89 + 96; 53 + 77; 92 + 89.
+ 145 + 20; 378 + 40; 540 + 55; 820 + 67; 490 + 85.
e) 723 + 38; 662 + 32; 654 + 175; 273 + 348; 812 + 497.
C. Pismeno seštevanje.
Mnogoštevilčne sumande seštevamo navadno pismeno. Ker mo¬
remo sešteti le istoimenska števila, razstavimo sumande v posamezne
dekadične enote in jih, začenši pri enicah, seštejemo.
Vsoto 456 + 123 izračunamo na sledeči način:
456 =± 4 S 5 D 6 E
123 = 1 S 2 D 3 E
Vsota = h S 1 D 9 E = 579.
Ako je vsota dekadičnih enot določenega reda večja kakor deset,
izločimo iz nje enote višjega reda in jih prištejemo vsoti teh deka-
Sumandov pa ni treba razstavljati pismeno v dekadične enote;
navadno storimo to le v mislih in seštejemo, začenši pri enicah, enote
istega reda; to nam je posebno lahko mogoče takrat, kadar napišemo
sumande tako, da stoje enice pod enicami, desetice pod deseticami itd.
V tem slučaju govorimo pri gorenjem računu: 9, 12, 16, 24, 2;
8, 17, 24, 26, 2; 7, 10, 17 , 1; 8, 16, 21, 27 ; in napišemo
številke, ki so debeleje tiskane, po redu na mesto enic, desetic,
stotič itd.

10
Naloge.
5. 58 + 403 -f 6712 -f 29048 + 777 + 6849.
6. 34506 + 980 + 7205 + 630076 -f 58743.
7. 567806 -f 1234006 + 9087 -f 36054 + 860095.
9. Seštej sledeča števila a) po vodoravnih, b) po navpičnih
17409 + 5604 + 30714 + 91
6742 + 12688 + 9450 + 7122
125780 + 81566 + 987 + 7145
55719 + 7846 + 49538 + 71599
10. Za neko kupčijo da A 2684 K, B 3698 K, C 2485 K in
D 3157 K; koliko denarja je v kupčiji?
11. Hišni gospodar dobi na leto najemnine: 384 K, 532 K,
768 K, 852 K in 960 K; koliko skupaj ?
12. Nekdo je dolžen A-u 3825 K, B-u 4786 K, C-u 3942 K,
D-u 987 K in E-a 5139 K; koliko dolguje vsem?
13. Trgovec kupi blago za 35 (125) K in ima pri prodaji 12 (31) K
dobička; za koliko je prodal blago?
Ako je prodajna cena večja ko kupna, pravimo, da ima trgovec
dobiček. Vedno pa velja:
Kupna cena + dobiček = prodajni ceni.
14. Nekdo proda blago za 56 (218) K in ima 12 (27) K izgube;
za koliko je kupil blago?
Ako je prodajna cena manjša ko kupna, pravimo, da ima tr¬
govec izgubo. Velja pa:
Prodajna cena + izguba = kupni ceni.
15. Posestnik kupi njivo za 975 (481) K in jo proda sosedu z
140 (65) K dobička; koliko mu je plačal sosed za njivo?
16. Trgovec kupi za 2568 (756) K blaga; za koliko mora pro¬
dati blago, da bo imel 809 (72) K dobička?
17. Blago samo (čista teža, netto) tehta 3842 kg, zaboji sami
(tara) 135 kg; koliko tehta blago z zaboji vred (kosmata teža, brutto) ?

11
Ako imenujemo težo blaga čisto težo (netto), težo posode ali
zabojev, ki je v njih blago, tara, in težo blaga in zabojev kosmato
težo (brutto), tedaj smemo reči:
netto -J- tara = brutto.
18. Kranjska dežela meri 9988 km 2 , Koroška 10373 km 2 , Šta¬
jerska 22454 km* in Primorska 7988 Am 2 ; koliko kvadratnih kilo¬
metrov merijo vse skupaj ?
19. Leta 1900. je imela Štajerska 1356058, Kranjska 508348,
Primorska 755183 in Koroška 367344 prebivalcev; koliko prebi¬
valcev so imele vse skupaj ?
20. Koliko dnij preteče v navadnem letu a) od 1. januarja do
20. aprila, b) od 8. februarja do 27. avgusta, c) od 13. maja do
18. novembra?
21. Cesar Jožef II. se je porodil leta 1741. in je učakal 49 let;
katerega leta je umrl ?
22. Cesar Franc I. se je porodil leta 1768., 24 let star je postal
vladar in je vladal 43 let. Katerega leta je začel vladati, kdaj je
umrl, in koliko let je doživel ?
23. Voznik naloži štiri zaboje; prvi tehta 132 kg, drugi je za
17 kg težji od prvega, tretji za 24 kg težji od drugega in četrti za
19 kg težji od tretjega. Koliko tehtajo vsi zaboji skupaj?
24. Cesta pelje od kraja A črez B, C, D do E; od A do B je
23 km, od B do C 25 km, od C do D 19 km in od D do E 13 km.
Kako daleč je a) od A do D, b) od B do E, c) od A do E? (Na-
črtaj primerno sliko!)
§ 6. Odštevanje.
A. Naloga. Učenec ima 15 K in kupi knjigo za 8 K; koliko
kron mu ostane ?
Število kron, ki mu ostanejo, dobimo, ako jemljemo od 15 K
posamezne krone in pri tem nazaj štejemo; ko jih vzamemo osem,
pridemo do števila 7 K. Do istega rezultata ali zneska pridemo
tudi, ako polagamo k 8 K posamezne krone in pri tem naprej šte¬
jemo; ko pridemo s štetjem do 15 K, vidimo, da smo pridali 7 K.
V obeh slučajih imamo 8 K -}- 7 K = 15 K. Rešitev naloge se glasi:
»Učencu ostane 7 K“, in pišemo:
15 K — 8 K = 7 K.

12 —
Odštevanje
= das Sub-
trahieren.
Zmanjše-
vanec = der
Minuend.
Odštevanee
= der Sub-
trahend.
Ostanek =
der Rest.
Razlika =
der Unter-
schied.
Preizkus =
die Probe.
Na isti način bi tudi dobili:
15 kg — 8 kg — 7 kg ali 15 1 — 8 7=7/ itd.
Ako se ne oziramo na vrsto enot, pišemo:
15 — 8 = 7.
Ta način spajanja dveh istoimenskih ali neimenovanih števil se
imenuje odštevanje.
Odštevati se pravi, iz vsote dveh števil in iz enega sumanda
poiskati drugega.
Določena vsota, ki se mora zmanjšati, se imenuje zmanj¬
ševan e c ali minuend; določeni sumand, ki ga odštevamo , se
zove odštevanee ali subtrahend; sumandu, ki ga iščemo, se
pravi ostanek, razlika ali diferenca.
Razlika dveh števil je tedaj ono število, ki ga moramo prišteti
subtrahendu, da dobimo minuend.
Znak odštevanja je vodoravna črta „ — ki jo čitamo „manj“
ali „ minus “.
Iz navedenega sledi, da napraviš preizkus, ako prišteješ
subtrahendu razliko; tako nastala vsota mora biti enaka minuendu.
Rešitev teh in enakih nalog je pa le tedaj mogoča, če so šte¬
vila istoimenska ali neimenovana, in ako je minuend večji kot
subtrahend.
Naloge.
1. Odštevaj, dokler je mogoče, od 100 vedno po 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 enot!
2. Določi razlike: 3 — 3; 8 m — 8 m; 9 kg — 9 kg; 15 — 0i
12 K — 0, 25 q — 0.
Katero pravilo izvajaš iz teh primerov?
3. Določi sledeče razlike:
a) 9 — 7; 17 — 8; 26K — 9 K; 42 kg — 5 kg; 8 J) — 5/7;
12 T — 9 T
b) 80 — 50; 90 — 60; 140 — 80; 900 — 400; 1300 — 700;
6000 — 4000.
4. Kaj pomenijo sledeči izrazi in kolika je njihova vrednost:
a) 6 + 9 — 5; 35 — 7 + 5; 28 + 4 — 8; 78 + 6—5 — 4;
46 — 8 + 5 — 6.
b) 52 m — 9 m + 7 m; 19 K + 7 K — 8 K; 25 m 2 — 9 m 2 +
-j- 4 m 2 .

13 —
c) 43 a — 8 a — 7 a; 134 l — 7 1 + 15 1 — 9 1; 47 K -j-
+ 12 K - 6 K.
Ali smeš nakazane račune v poljubnem redu izvršiti ?
5. Trgovec ima 153 kg sladkorja in ga odproda najprej 5 kg,
potem po vrsti 8 kg, 30 kg in 60 kg; koliko kilogramov sladkorja
mu ostane?
6. Nekdo je sedaj 35 (44) let star; koliko je bil star pred
H (9) leti ?
7. Neko blago tehta brutto 72 (91) kg, tara znaša 7 (5) kg;
koliko je netto ?
8. Iz dveh med seboj 25 km oddaljenih krajev odideta potnika
drug proti drugemu; ko se srečata, je prehodil prvi 9 km; koliko
kilometrov je prehodil drugi?
9. Imamo 3 palice; prva meri 53 cm, druga je 8 cm krajša ko
prva, tretja je 6 cm krajša kakor prvi dve skupaj. Kolika je dolžina
vseh treh palic skupaj ?
B. Računanje na pamet.
Ustmeno ali na pamet odštevamo, zmanjšujoč minuend za po¬
samezne subtrahendove dekadične enote, in sicer začenši pri enotah
najvišjega reda. N. pr.:
a) T8 — 30 = 7 D 8 E — 3 D = 4 D 8 E = 48.
h) 65 - 24 = 6 D 5 E — 2 D 4, E = 4 D 5 E — 4 E —
~ 4 /J 1 E = 41 ali krajše: 65 — 20 — 4 = 45 — 4 = 41 in
govorimo: 65 manj 20 je 45, manj 4 je 41.
c) 124 — 75 = 124 — 70 — 5 = 54 — 5 = 49, in govo¬
rimo: 124 manj 70 je 54, manj 5 je 49.
Naloge.
10. Odštevaj, dokler je mogoče:
a) od 573 po 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
b) od 97 po 13, 15, 16, 17, 19.
c) od 438 po 23, 47, 52, 63, 75, 82.
cl) od 986 po 123, 173, 248, 316.
11. Oče je star 45 let, sin pa 18; kolika je razlika njunih sta¬
rosti, kolika bo razlika črez 5 let, in kolika je bila pred 7 leti ?

14
Kdaj se ne
izpremeni
razlika
»dveh števil.
12. Iz vode molita dva kola; prvega je nad vodo 128 cm,
drugega pa 82 cm; koliko je prvi višji od drugega? Ali bi se ta
razlika izpremenila, ako voda n. pr. za 15 cm upade ali pa za 18 cm
narase ? Koliko centimetrov vsakega kola bi bilo v teli slučajih
nad vodo?
Razlika dveh števil se ne izpremeni, ako prišteješ minuendu
in subtrahendu isto število, ali ako odšteješ od obeh isto število.
13. Določi s pomočjo navedene lastnosti sledeče razlike:
a) 48 — 29; 73 — 48; 95 — 45; 218 — 99; 546 — 97.
b) 462 — 202; 736 — 406; 7534 — 998; 4758 — 3008.
Navodilo: 73 — 19 == 74 — 20 = 54; 273 — 83 = 270 —
— 80 = 190.
14. Odštevaj, dokler je mogoče, od 745 po 19, 28, 39, 99,
97, 95!
C. Pismeno odštevanje.
Ako sta minuend in subtrahend mnogoštevilčni števili, odšte¬
vamo navadno pismeno. Števili razstavimo v dekadične enote in
določimo,- koliko enot moramo prišteti subtrahendovim enotam, da
dobimo število minuendovih enot dotičnega reda. N. pr.:
867 = 8 S 6 D 7 E 4 E in 3 E je 7 E
324 = 3 S 2 D 4 E 2 D in 4 D je 6 D
Razlika = 5 S 4 D 3 E ±= 543. 3 8 in 5 N je 8 N.
V nalogi 739 — 375 je pa število subtrahendovih desetic večje
nego ono minuendovih. Da moremo izvršiti odštevanje, porabimo
pravilo, da se razlika me izpremeni, ako prištejemo minuendu in
subtrahendu isto število. V navedeni nalogi prištejemo minuendu
10 desetic, subtrahendu pa 1 stotico = 10 deseticam. Račun iz¬
vršimo tako-le:
739 = 7 S 3 D 9 E 5 E in 4 K 1 je 9 E
375 = 3 S 7 D 5 E 7 D in 6 D je 13 D
Razlika = 3 S 6 D 4 E = 364. 4 S in 3 S je 7 S.
Tudi pri odštevanju ni treba razstavljati števil na posamezne
dekadične enote. Subtrahend napišemo pod minuend tako, da stoje
enice pod enicami, desetice pod deseticami itd. in določimo, začenši

15
pri enicah, koliko enot moramo prišteti subtrahendu, da dobimo
število minuendovih enot istega reda. Prej navedeno razliko določimo
pismeno tako-le:
739
in govorimo: 5 in 4 je 9; 7 in 6 je 13, 1;
O I O
- 1 in 3 je 4 in 3 je 7.
364 J J
Številke, ki so debeleje tiskane, napišemo po vrsti na mesto
enic, desetic, stotič itd.
Naloge.
15. Določi sledeče razlike in napravi preizkus:
a) 4677 — 2316; 6694 — 3452; 1834 — 1508; 4066 — 2385.
b) 4312 D — 2756 D; 9743 kg — 4879 kg; 10840 K — 9564 K.
c) 84691 m — 80079 m; 25368 /— 9483 1; 27001 g — 18746 g.
16. Za koliko je vsota 25936 -j- 57108 večja od vsote 13527 -j-
+ 49874?
17. Za koliko je razlika 81352 — 62586 manjša od razlike
72542 — 53079?
18. Odštej:
a) 4203 + 19270 -f 42813 pd 71935;
b) 2074 -j- 5396 -f 10078 -f- 433 od 24815.
19. Od kosa platna, ki je 52 m dolg, se odstriže 35 m; koliko
metrov meri ostanek ?
20. Nekdo kupi blago za 350 K in ga proda za 408 K; koliko
ima dobička?
Prodajna cena — kupna cena = dobičku (glej nal. 13., § 5.).
21. Nekdo prejme v prvem poluletju 3752 K, izda pa 3485 K,
v drugem poluletju prejme 4126 K in izda 3159 K; koliko si pri¬
hrani vse leto? (Reši nalogo na dva načina!)
22. A je dolžen 5356 K in plača sčasoma 1028 K, 2175 K in
946 K;' koliko ostane še dolžen? (Na dva načina.)
23. Trgovec izda 3857 K, 2511 K in 4096 K; prejme pa 4862 K,
3749 K in 3511 K; za koliko je več prejel nego izdal?
24. Trgovec kupi blago za 5798 (995) K in ga proda za
5921 (1202) K; koliko je imel dobička?
25. Posestnik proda gozd za 3748 K in ima 985 K dobička;
koliko je dal za gozd?

16
Množenje
= das Multi-
plizieren.
26. Posestnik proda njivo, ki jo je kupil za 1257 K, z izgubo
371 K; za koliko je prodal njivo ?
27. Nekdo se je porodil 1793. leta in je umrl 1871. leta; ko¬
liko časa je živel?
28. Nekdo je bil 1849. leta 24 let star; koliko je bil star
leta 1877.?
29. A je umrl leta 1864. in je doživel 77 let; kdaj se je
porodil ?
30. Oče zapusti starejšemu sinu 6840 K, mlajšemu pa za 1580 K
manj; koliko zapusti obema ?
31. Kosmata teža blaga znaša 2788 kg, tara 139 kg; koliko
je netto ?
32. Blago tehta brutto 7210 kg, netto 6875 kg; koliko je tara?
7. Množenje.
A. Naloga. V vrtu imamo drevesa v 4 vrstah, v vsaki vrsti jih
je 5; koliko dreves je v vrtu?
5 dreves pomnoženo s 4 ali pa 5 dreves naj se množi s 4, ali
4 krat 5 dreves je 20 dreves.
Vsak krog v sliki 3 nam predočuje drevo; lahko bi pa pred¬
stavljal K, h, kg, 1 ali enoto sploh. Rešitev naloge bi se potem
glasila:
5 K . 4 == 20 K ; 5 h . 4 = 20 b; 5 kg . 4 =; 20; 5 . 4 = 20.
Seštevanje enakih sumandov imenujemo množenje.
Množiti število s številom se pravi, prvo število postaviti toliko¬
krat za sumand, kakor to kaže drugo število.

17
Število, ki ga množimo, se imenuje množene c " ali multi-
plikand; število, ki ž njim množimo, se zove množitelj ali multi-
plikator, in število, ki ga iščemo, imenujemo zmnožek ali produkt.
Produkt dveli števil je ono število, ki ga dobimo, ako .postavimo
prvo število tolikokrat za sumand, kakor kaže drugo število.
Znak množenja je poševni križ „X“ ali pika čitamo ga
„pomnoženo“, „naj se množi 11 ali pa „krat“.
Multiplikand je imenovano ali neimenovano število; multiplikator
je vedno neimenovano število. Produkt je pa z multiplikandom
istega imena.
Ker dobimo, kakor nam tudi slika pove, isto število enot, najsi
vzamemo 4 vrste po 5 enot, ali pa 5 vrst po 4 enote, zato smemo
reči:
Produkt neimenovanih števil se ne izpremeni, ako zamenjamo
multiplikand in multiplikator med seboj.
Multiplikand in multiplikator imata vsled tega skupno ime:
produktova činitelja ali faktorja.
Ako je pa multiplikand imenovano število, zamenjamo samo
številne vrednosti, ime pa ostane v multiplikandu, kakor nam'po¬
kažejo prejšnji primeri:
5 K . 4 = 4 K . 5; 5 h . 4 = 4 h . 5; 5 kg. 4 = 4 kg.. 5.
Po navedenem pojasnilu nima množenje z 1 ali 0 (ničlo) pra¬
vega pomena. Vendar damo tudi takim produktom določen pomen
in pravimo: enkratno število je enako. številu samemu, ničkratno
število je enako ničli. N. pr.:
4.1=4 4.0 = 0
Zakon o zamenjavi faktorjev ostane tudi v tem slučaju veljaven.
4.1 = 1.4= 1 —j— 1 —1 —j— 1 = 4
4.0 = 0.4 = 0 —j— 0 —j— 0 —j— 0 == 0
Produkt treh ali več števil je ono število, ki ga dobiš, ako
pomnožiš produkt prvih dveh števil s tretjim številom, najdeni pro¬
dukt s četrtim itd.
Naloge.
1. Napiši sledeče izraze kot vsote in jih izračunaj: 7.3; 12.7;
46.0; 127.4; 1570 m . 5; 7542 7.2; 63 D . 4; 85 S . 3.
2. Pomnoži 20, 50, 300, 800, 7000 z 2, 4, 5, 7, 8! Navodilo:
20.4 = 2 D . 4 = 8 D = 80.
Matek-Peterlin, Aritmetika.
Množenec =
der Multi¬
plikand.
Množitelj =
der Multi¬
plikator.
Zmnožek =
das Produkt.
Zakon o
zamenjavi
faktorjev =
das Kom-
mutations-
gesetz der
Multiplika-
tion.
Činitelj =
der Faktor.
Produkt treh
ali več
faktorjev.
2

— 18
Množenje s
produktom
dveh števil.
Množenje z
dekadienimi
enotami.
3. Povej produkt dveh a) v isti vodoravni, b) v isti navpični
vrsti stoječih števil tako, da števil samih ne imenuješ:
3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 5, Navodilo:
8, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 9, s 3 pomnožiš vsako število prve
5, 3, 4, 9, 2, 8, 6, 3, vrste in govoriš:
9, 8, 6, 7, 5, 3, 4, 2. 15, 21, 27, 24, 18, 12, 15.
4. Povej za 2, oziroma 3, 4, enote a) povečane, b) zmanjšane
produkte, ki jih določiš na isti način, kakor v prejšnji nalogi. N. pr.:
Za 4 enote povečani prej izračunani produkti so: 19, 25, 31, 28,
22, 16, 19.
B. Računanje na pamet.
V nekaterih slučajih določimo produkt mnogoštevilčnih faktorjev
na pamet. N. pr.:
a) Produkt 47 X 8 izračunamo tako, da razstavimo multipli-
kand 47 v dekadične enote in množimo le-te z multiplikatorjem.
4 D . 8 = 32 D = 320; 7 E . 8 = 56 E = 56; 320 -f 56 = 376
in govorimo: 8 krat 40 je 320, 8 krat 7 je 56, 320 in 56 je 376.
b) Produkt 37 . 24 izračunamo tako, da združimo po 4 sumande
v eno skupino; ker je 24 = 4.6, dobimo 6 skupin po 4 sumande.
37 . 4 = 148, 148 . 6 = 888. Ker je 24 = 3.8, računamo tudi
tako-le: 37 . 3 = 111, 111.8 = 888.
c) Produkt 76 . 10, ali 76 . 100, ali 76 . 1000 določimo, upo¬
rabljajoč dejstvo, da je \0 E = 1 D , 100 E = 1 S, 1000 E — 1 T,
tako-le: 76 E . 10 = 76 . 10 E == 76 B = 760; 76 .£.100 =
= 76 . 100 E = 76 S = 7600 ; 76 E . 1000 = 76 . 1000 E —
— 76 T — 76000.
Naloge.
5. Izračunaj na pamet sledeče produkte:
a) 53 .6; 72 . 5; 28 .9; 65 . 7; 44 .8; 38 . 4; 77 . 3.
b) 133.4; 234.3; 119.5; 439.2; 2075.4.
c) 13 . 14; 12 . 16; 24 . 25; 36 . 15; 17 . 28; 23 . 21.
d) 42.48; 35 . 27; 25 . 12; 25 . 28; 25 . 36; 25 . 52.
e) 53 . 10; 215 . 100; 48 . 1000; 56 . 100; 827 . 10; 243 . 100.
6. Uradnik ima na mesec 283 K plače; koliko prejme v 3, 7,
9, 10 mesecih?

19
7. Kapital da na leto 148 K obrestij; koliko v 3, 5, 9, 15 letih?
8. Lokomotiva preteče v 1 uri 56 km; koliko v 3, 7, 12 urah?
9. Voznik naloži 8 vreč po 148 kg, G vreč po 123 kg in 9 vreč
po 136 kg; koliko kilogramov je naložil?
10. Nekdo kupi 7 (,24) kg blaga po 78 (52) h in proda kilogram
po 85 (59) h; koliko ima dobička? (2 načina.)
11. Trgovec kupi 8 q blaga za 136 K; kolik je dobiček, ako
prodaja metrski stot po 21 K?
12. Nekdo kupi 18 kg blaga po 92 h in prodaja kilogram po
87 h; koliko ima izgube? (2 načina.)
13. Zvok preleti v 1 sekundi 333 m; koliko v 5, 8, 15, 20 se¬
kundah ?
14. Kupec je kupil 7 (12) m blaga za 120 (200) K in prodaja
meter po 16 (15) K; koliko ima izgube?
C. Pismeno množenje.
1. Multipli kator je en o števil če n. Produkt 457.8 iz¬
računaš, da razstaviš multiplikand v dekadične enote 1 E 5 D 4 S
in postaviš le-te 8krat za sumand, 7i?.8-|-5Z).8-j-4č>'.8 —
56 —]— 40 Z) —]— 32 ^ = 6 .ST —j— 5 —j— 36 /S = 3656. Pismeno iz¬
računaš produkt
457 ■ 8 i n govoriš : 8 krat 7 je 56, 5; 8 krat 5 je 40 in 5
3656 je 45, 4; 8 krat 4 je 32 in 4 je 36.
Debeleje tiskane številke napišeš v produktu na njim določena mesta.
2. Multipli k at or je mnogoštevilčen. V produktu
529 . 347 moraš postaviti multiplikand 347krat tedaj SOOkrat,
40krat in še 7krat za sumand. Da najdeš zahtevano število, izra¬
čunaš te produkte, ki se imenujejo delski produkti in jih sešteješ.
300 krat 529
40 krat 529
7 krat 529
a) 529 ■ 347
158700
21160
3703
183563
b) 529 ■ 347 c) 529 . 347
1587.. 3703
2116. 2116.
3703 1587. .
183563 183563
Ako izpustiš v računu pod a) v delskih produktih ničle, dobiš
račun pod b ), ki pokaže, da ima zadnja številka vsakega delskega
produkta mestno vrednost tiste multiplikatorjeve številke, ki je tvo¬
rila dotični delski produkt. Samo ob sebi se razume, da pri izraču-
nanju delskih produktov nisi navezan na noben red; vendar je
2 *
Delski
produkt =
das Teil-
produkt.

— 20 .
Preizkus =
die Probe.
umestno, da začneš ali z najvišjimi multiplikatorjevimi enotami in
pišeš vsak delslci produkt za eno mesto proti desni, kakor v računih
pod a) in b) ali pa z najnižjimi multiplikatorjevimi enotami in pišeš
vsak delski produkt za eno mesto proti levi, kakor v računu pod c).
Ako se nahaja ničla v multiplikatorju, ne napišeš dotičnega
delskega produkta, ker je njegova vrednost = 0; zato pa napišeš
prihodnji delski produkt za dve mesti dalje.
Ako je naj višja ali naj nižja multiplikatorjeva številka 1, po¬
rabiš multiplikand za delski produkt in računaš, n. pr.:
a) 2547 . 153
12735
7641
b) 5026 . 341
20104
15078
389691 1713866
Da se prepričaš, si li prav množil, zamenjaš faktorja in množiš
še enkrat; ako najdeš drugič isti produkt kakor prvič, si produkt
prav določil.
Naloge.
15. Pomnoži a) 754, b) 1273, e) 4876, d) 13754, e) 52408 z
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9!
16. Pomnoži vsako sledečih števil: 891, 708, 1654, 4327, 12804,
36057 z a) 48, b) 63, c) 56, d) 72, e) 35, /) 80, g) 700, h) 150,
i) 240, in porabi pravilo o množenju s produktom!
17. Pomnoži vsako sledečih števil: 258, 849, 5296, 6513, 79107,
27548, z a) 132, b) 261, c) 308, d) 2071, e) 8005, /) 10406, g) 50031.
18. Povečaj produkt 6513 . 9374 za produkt 8037 . 1085 !
19. Kolika je razlika produktov 1098 . 5284 in 2051 . 2574?
20. Trgovec kupi 315 (842) kg blaga po 284 (305) h; koliko
plača za blago ?
21. Delavec zasluži 256 (472) h na dan; koliko zasluži v 35
(81) dneh?
22. Koliko prebivalcev ima Nižje Avstrijsko, ki meri 19824 Aro 2 ,
ako prebiva povprečno na 1 km 2 156 ljudi?
23. Blago tehta brutto 7210 kg, tara je 245 kg; koliko se skupi
za blago, ako se prodaja 1 kg netto po 248 h ?
24. Pri zdravem odraslem človeku udari žila 76 krat v 1 minuti;
kolikokrat udari žila a) v 1 uri, b) v 1 dnevu, c) v 1 letu ?
25. Nekdo kupi 258 kg blaga za 23456 b in ga proda kilogram
po 87 h; koliko ima izgube?

21
26. Nekdo kupi 17 ha njiv po 1910 K, 4 ha travnikov po
1166 K in 22 ha gozda po 590 K; koliko mora za vse plačati?
27. A kupi 46 hi vina po 70 K in 65 hi po 56 K; oboje vino
zmeša in prodaja hektoliter te zmesi po 66 K; koliko ima dobička?
28. Nekdo ima 50000 K premoženja; koliko mu ostane, ako
kupi 67 ha travnikov po 315 K, 133 ha pašnikov po 25 K in 17 ha
njiv po 1031 K?
29. Dva vlaka zapustita v istem času postajo; prvi prevozi vsako
minuto 835 m, drugi vozi v nasprotno smer in prevozi vsako minuto
750 m. Koliko metrov sta med seboj oddaljena a) črez 42 minut,
h) črez 1 uro, c) črez 2 uri 37 minut?
30. Kako se glasi rešitev prejšnje naloge, ako vozita vlaka v
isto smer, t. j. drug za drugim ?
§ 8. Deljenje.
A. Naloga a) Učitelj ima 20 zvezkov; koliko učencev bo ob¬
daroval, ako da vsakemu 5 zvezkov?
Število obdarovanih učencev je toliko, kolikorkrat se nahaja
5 zvezkov v 20 zvezkih. 5 zvezkov se pa nahaja v 20 zvezkih
štirikrat, — 5 zvezkov . 4 = 20 zvezkov -— in razrešitev naloge
se glasi: „Učitelj bo obdaroval 4 učence." Račun napišeš:
20 zvezkih : 5 zvezkov = 4 krat.
Tako spajanje števil se imenuje merjenje, ker preiskuješ,
kolikokrat se nahaja število v drugem istoimenskem številu.
b) Učitelj ima 20 zvezkov in jih razdeli med 4 učence; koliko
zvezkov dobi vsak?
Vsak učenec dobi četrti del od 20 zvezkov, t. j. 5 zvezkov;
ker je 5 zvezkov . 4 = 20 zvezkom. Pišeš pa:
20 zvezkov : 4 = 5 zvezkov.
Tako spajanje števil se imenuje pravo deljen je ali deljenje
v ožjem pomenu besede, ker preiskuješ, kolik je en del, ako razdeliš
število na več enakih delov.
Ker iščeš v obeh računih, v merjenju in pravem deljenju,
iz produkta dveh faktorjev in enega teh faktorjev
drugega, se imenujeta oba računa skupno deljenje v širšem
pomenu besede.
Določeni produkt se imenuje deljene c ali dividend; določeni
faktor je deli tel j ali divi zor, neznani faktor pa, ki ga iščeš, se
imenuje količnik ali kvocient.
Merjenje ==
das Messen.
Pravo de¬
ljenje = das
Teilen.
Deljenje v
širšem po¬
menu besede
= das
Dividieren.
Deljenec =
der Dividend.
Delitelj =
der Divisor.
Količnik =
der Quotient.
\

22
Delitveni
ostanek =
d er Div ir
sionsrest.
Kvocient dveh števil je tedaj ono število, ki ž njim pomnožiš
divi/.or, da dobiš dividend.
Znak deljenja je dvopičje „ : “, ki se čita „deljeno z (s)“ ali
„naj se deli z (s)“; pred znak deljenja pišeš dividend, divizor pa
stoji za njim.
Pri merjenju morata biti dividend in divizor istoimenski ali
pa neimenovani števili; kvocient je vedno neimenovano število; pri
pravem deljenju je divizor vedno neimenovano število, dividend in
kvocient sta ali istoimenski ali pa neimenovani števili.
c) Ako ima učitelj 23 zvezkov in hoče dati vsakemu učencu 5. zvez¬
kov, obdaruje 4 učence, 3 zvezki mu pa ostanejo, ker 23 zvez¬
kov = 5 zvezkov . 4 -[- 3 zvezki. Račun napišeš :
23 zvezkov : 5 zvezki = 4
3 zvezki.
V tem primeru imenujemo 4 nepopoln kvocient, 3 (zvezki) pa
delitveni ostanek.
Delitveni ostanek je vsekdar manjši nego divizor.
Iz navedenih pojasnil sledi, da vedno velja:
Dividend — divizor X kvocient -j- ostanek.
Ker je 1 . 5 = 5, 1 . 7 = 7, 1.12 = 12 itd.
sledi, da je 5:5 = 1, 7:7 = 1, 12:12= 1 itd.
oziroma 5:1 = 5, 7:1 = 7, 12 : 1 = 12 itd.
Vsako število deljeno samo s seboj da 1 za kvocient.
Število deljeno z 1 da samo sebe za kvocient.
Ker je 0.5 = 0, 0.7 = 0, 0.12 = 0 itd.
sledi, da je 0:5 = 0, 0:7 = 0, 0:12 = 0 itd.
Ničla, deljena s poljubnim številom, da 0 za kvocient.
Naloge.
1. Kolikokrat je
a) 2 v 4, 16, 8, 18, 0, 15, 17, 9, 11?
b) 3 v 9, 21, 27, 0, 15, 3, 22, 14, 28, 10?
c) 4 v 20, 0, 36, 4, 16, 15, 24, 26, 35, 3?
d) 5 v 20, 3, 35, 40, 0, 37, 30, 43, 55, 49?
e) 6 v 12, 42, 0, 36, 24, 35, 15, 54, 30, 48?
7 v 35, 7, 42, 19, 28, 49, 56, 60, 77, 63?
g) 8 v 56, 32, 5, 72, 8, 0, 48, 75, 88, 36?
h) 9 v 45, 72, 0, 27, 63, 81, 30, 56, 7, 86?

23
2. Koliko je
a) polovica od 8, 16, 14, 10, O, 18, 7, 15, 9, 17?
b) tretji del od 12, 27, 18, 6, 15, 21, 10, 25, 7, 28?
c) četrti del od 16, 8, 20, 28, O, 36, 25, 10, 37, 9?
d) peti del od 15, 30, 45, 5, 20, 10, 12, 27, 6, 44?
e) šesti del od 30, 12, 6, O, 42, 54, 3, 39, 47, 50?
f) sedmi del od 21, 56, 14, 42, O, 63, 17, 57, 30, 10?
g) osmi del od 16, 40, O, 56, 72, 48, 15, 51, 60, 70?
h) deveti del od 18, 72, 36, 0, 25, 52, 80, 45, 35, 63?
3. Določi z odštevanjem, kolikokrat se nahaja:
a) 61 v 305; b) 68 v 204; c) 91 kg v 273 kg; d) 14 D v 28 D;
e) 27 Sv 81 S; /) 75 T v 243 T; g) 135 D v 405 D.
4 Razdeli naslednja števila: 24 h, 36 kg, 48 m, 60 m\ 72 cm 3 ,
42 D, 64 S, a) na 2 enaka dela, b) na 3, c) na 4 enake dele,
d) na 6, e) na 12 enakih delov.
5. 7 svinčnikov velja 42 h; koliko 1 svinčnik?
6. 9 m blaga velja 72 K; koliko velja Im?
7. Za 8 K dobiš 48 knjižic; koliko knjižic'dobiš za 1 K?
8. Pešec prebodi 5 km v 55 minutah ; v koliko minutah pre¬
hodi 1 km?
9. Koliko zvezkov po 8 h dobiš za 56 h?
10. Sel prehodi na uro 7 km; v katerem času prehodi 63 km?
11. 7 kg blaga velja 35 K; koliko kilogramov dobiš za 45 K?
12. Studenec da v 6 sekundah 48 1 vode; v katerem času da
studenec 72/ vode?
13. Delavec zasluži v 6 dneh 42 K; koliko v 4 dneh?
14. Konj preteče prvo uro 12 km, drugo 10 km, tretjo 8 km
in četrto uro 6 km; koliko kilometrov preteče povprečno v eni uri?
15. Nekdo izda v sedmih dneh zaporedoma 3 K, 12 K, 5 K, 11 K,
10 K, 6 K in 9 K; koliko izda povprečno na dan?
16. Nekdo kupi 3 kg blaga za 11 K, potem 2 kg za 7 K in
slednjič 3 kg za 14 K; koliko stane povprečno 1 kg?
17. Trgovec zmeša 3 kg čaja po 8 K z 6 kg po 11 K; koliko
je vreden 1 kg zmesi?
18. Določi kvocienta 91 : 7, 156 : 4! Ker je 91 = 70 -f- 21 =
= 7 D -j- 21 E, razdeliš število desetic na 7 delov in ravno tako
število enic: 7 D : 7 = 1 D, 21^:7 = 3 E; 91:7 = 13

24
Kako deliš
število s
produktom.
Preizkus: 7 . 13 = 91. Ravno tako izračunaš drugi kvocient: 156 =
= 120 + 66 = 12 D + 36 E; 12 D : 4 = 3 D, 36 E : 4 =
= 9 E; 156 : 4 = 39. Preizkus: 4 . 39 = 156.
19. Določi na isti način sledeče kvociente:
a) 52 : 4; 72 : 6; 98 : 7; 115 : 5; 136 : 8; 248 : 8;
b) 448 : 7; 912:8; 615 : 5; 585 : 9; 468 : 9; 264 : 6.
B. Računanje na pamet.
Kvocient, čigar divizor jo dvoštevilčno število, moreš določiti
v nekaterih slučajih na pamet. N. pr. a) Kvocient 75 : 15 določiš,
da razdeliš 75 najprej na 3 enake dele in potem še vsak del v 5
enakih delov. Na ta način dobiš 15 enakih delov, in računaš
75 : 3 = 25, 25 : 5 = 5; 75 : 15'= 5. Preizkus: 15 . 5 = 75.
Število deliš s produktom dveh števil, ako ga deliš najprej ^
enim faktorjem, dobljeni kvocient pa deliš še z drugim faktorjem.
h ) Ako je divizor dekadična enota, razstaviš dividend v dotične
dekadično enote in enice in deliš vsak del posebej. 4726 : 100 do¬
ločiš, ako razstaviš dividend v stotice in enice in ker da 1 S: 100 =
= 1 E najdeš 47 S: 100 = 47 E , 26 je pa delitveni ostanek.
4726 : 100 = 47 in ostanek 26. Preizkus: 100 . 47 + 26 = 4726.
20. Izračunaj sledeče kvociente:
a) 156 : 12; 266 : 14; 300 : 15; 288 : 24; 306 : 18; 476 : 28.
b ) 135:45; 630:42; 952:56; 280:35; 792:72; 648:81.
c) 630 : 10; 1200 : 100; 5760 : 10; 12000 : 1000; 87500 : 100.
d) 52 : 10; 615 : 10, 521 : 100; 2843 : 100; 3546 : 1000.
21. Določi na dva načina sledeče kvociente:
a) 160 : 80; 150 : 30; 240 : 60; 3600 : 900; 7500 : 500.
b ) 4200 : 700; 28000 : 4000; 54000 : 9000; 14400 : 3600.
22. Nekdo kupi 8 hi vina za 672 K; koliko velja 1 hiP
23. Nekdo izda na dan 7 K; koliko dnij ho izhajal s 336 K?
24. Sel prehodi vsako uro 8 km, v katerem času prehodi 112 km?
25. Okoli ribnika, ki meri 180 m v obsegu, se nasadijo drevesa
tako, da je drevo od drevesa oddaljeno po 4 m; koliko je dreves?
26. Nekdo dobi za mesec junij 240 K; koliko pride povprečno
na dan?
27. Koliko kilometrov mora prehoditi popotnik vsak dan, ako
hoče prehoditi v 12 dneh 420 km?

28. Izmed dveh studencev daje prvi 56 1 vode v 4 minutah,
drugi 84 1 v 7 minutah; kateri je izdatnejši?
29. Nekdo kupi 9 ha travnikov za 3780 K; koliko velja 1 ha ?
30. Uradnik ima 3720 K letne plače; koliko dobiva na mesec?
31. Med koliko dečkov se mora razdeliti 665 orehov tako, da
dobi vsak po 35 orehov?
32. 24 m blaga velja 168 K; koliko blaga dobiš za 91, 175, 252 K?
33. Iz neke cevi priteče v 36 minutah 108 1 vode; v katerem
času priteče iz iste cevi 126, 324, 540 1 vode?
34. Trgovec zmeša 1 kg riža za 64 h, 1 kg za 56 h, in 1 kg
za 66 h; koliko kilogramov tehta zmešani riž? Koliko velja vsa zmes?
Koliko je vreden 1 kg zmešanega riža?
35. Krčmar zmeša 4 lil vina po 56 K, 5 hi po 36 K in 7 hi
po 52 K; koliko velja 1 lil zmešanega vina?
36. Nekdo prilije 21 1 kisa po 36 h 6 7 vode; koliko je vreden
1 1 z vodo zmešanega kisa?
37. Nekdo kupi 5 m blaga po 6 K, 7 m po 9 K in 9 m po 13 K.
Koliko velja povprečno 1 m blaga ?
C. Pismeno deljenje.
1. Divi z or je enoštevilčno število.
Naloga. Določi kvocienta a) 846 : 2, 3941 : 7.
a) Kakor pri množenju razstaviš tudi pri deljenju mnogoštevilčno
število v dekadične enote in jih deliš z divizorjem, začenši pri enotah
najvišjega reda. Ker je 846 = 8 S 4 D 6 E, deliš 8 S : 2 — 4 S,
4 D : 2 = 2 D in 6 E : 2 = 3 E. Kvocient ima 4 S ‘ID 3 E. Račun
napišeš tako-le:
846 : 2 — 423.
h) Pri določevanju kvocienta 3941 : 7 ne moreš deliti 3 T s 7,
zaradi tega vzameš 39 S in jih deliš s 7; 39 S: 7 da 5 S in 4 S
za ostanek. Ostanek 4 S združiš s 4 deseticami in deliš 44 D : 7,
kar da za kvocient 6 D in 2 D za ostanek. Novi ostanek 2 D združiš z
1 enico in deliš 21 E : 7, kar da 3 E. Račun napišeš:
3941 : 7 = 563
in govoriš: 39 : 7 = 5 ostane 4; 44 : 7 = 0, 2; 21:7 = 3, ali
pa 7 v 39 je Škrat ostane 4, v 44 je 6krat ostane 2, v 21 je Škrat.
Dividende 39, 44, 21 imenujemo delske dividende. Prvi delski
dividend ima isto mestno vrednost kakor prva kvocientova številka.
Delski divi¬
dend =
der Teil-
dividend.

26
Kdaj ne
izpremeni
kvocient
dveh števil
svoje
vrednosti.
Naloge.
38. Izračunaj sledeče kvociente:
a) 56712 : 4
76092 : 6
647105 : 5
901026 : 2
b) 964845 : 9
810544 : 8
613725 : 5
148209 : 3
c) 398024 : 8
132076 : 7
835245 : 9
123456 : 6
39. Izračunaj naslednje kvociente uvažujoč, da je divizor pro¬
dukt dveh števil:
a) 61776:24 5) 266413:49 c) 265320 : 72
83376 : 18 366336 : 54 343616 : 64
108815:35 440664:56 338256:81
40. V mlinu se namelje v 15 dneh 36300 kg moke; koliko v
1 dnevu?
41. 2976 K se naj razdeli med več oseb tako, da dobi vsaka
oseba 24 K ; koliko je oseb ?
42. Na 56 ha se je pridelalo 105224 kg pšenice; koliko po¬
vprečno na 1 Aa?
2. Divizor je mnogoštevilčno število.
Pri deljenju z mnogoštevilčnim divizorjem nam dobro služi
sledeče pravilo, ki ga tudi drugod pogosto rabimo :
Kvocient ne izpremeni svoje vrednosti, ako pomnožiš ali deliš
dividend in divizor z istim številom.
Da uvidimo resničnost tega pravila, določimo sledeče kvociente:
12 : 4, 24 : 8, 36 : 12, 48 : 16, 60 : 20 itd. Vsak teh kvocientov
ima vrednost 3. Iz prvega dividenda in divizorja pa dobimo divi¬
dende in divizorje ostalih kvocientov, ako prvi dividend in divizor
množimo z 2, 3, 4, 5 itd. Iz poznejših dividendov in divizorjev do¬
bimo pa prvi dividend in divizor, ako delimo poznejše z 2, 3,
4, 5 itd.
Naloga. Določi kvocienta a) 3096 : 43, b ) 99246 : 417.
a) V kvocientu 3096 : 43 ne moremo razdeliti niti 3 T niti
30 S na 43 enakih delov; vzeti moramo 309 D in jih delimo s 43.
309 D : 43 je pa približno toliko kot 300 D : 40 = 30 B : 4 = 7 D.
V prejšnjih računih smo določili vsako številko popolnoma zanesljivo,
pri deljenju je pa treba poizkusiti, ako je kvocientova številka za¬
nesljivo prava ali ne. Kvocientova številka je prava, ako je produkt
7 D . 43 manjši kakor 309 D. Ker je delski dividend 309 D —

27
= 7 D . 43 -[- 8 Z>, imamo v kvocientu 7 Zt Prihodnjo številko v
kvocientu dobimo, ako združimo ostanek 8 D z dividendovimi 6 eni-
cami ter delimo to vsoto s 43. 8 D -]- 6 E — 86 E. 86 E : 43 je
približno 80 E : 40 = 8 i? : 4 = 2. Ker je delski dividend 86 E =
= 2 E . 43, imamo v kvocientu 2 E. Kvocient 3096 : 43 ima
7 D 2 E — 72. Račun napišemo tako-le:
3096 : 43 — 72 ali krajše 3096 : 43 = 72
301 86
86 0
86
0
in govorimo: 43 v 309 ali približno 4 v 30 je 7krat; 7 krat 3 je 21
in 8 je 29, 2, 7 krat 4 je 28 in 2 je 30 in 0 je 30. 6 pripišemo,
43 v 86 ali približno 4 v 8 je 2krat; 2 krat 3 je 6 in 0 je 6,
2 krat 4 je 8 in 0 je 8.
b) 99246 : 417 = 238
1584
3336
0
Delske produkte iz divizorja in posameznih kvocientovih številk
odštevamo že med množenjem in računamo tako-le: 417 v 992 ali
4 v 9 je 2krat; 2 krat 7 je 14 in 8 je 22, 2, 2 krat 1 je 2 in 2
je 4 in 5 je 9, O, 2 krat 4 je 8 in 1 je 9. Ostanku 158 pripišemo 4,
naslednjo dividendovo številko. 417 v 1584 ali 4 v 15 je 3krat.
3 krat 7 je 21 in 3 je 24, 2, 3 krat 1 je 3 in 2 je 5 in 3 je 8, O,
3 krat 4 je 12 in 3 je 15. Ostanku 333 pripišemo 6. 417 v 3336
ali približno 4 v 33 je 8krat. 8 krat 7 je 56 in O je 56, 5, 8 krat 1
je 8 in 5 je 13 in O je 13, 1, 8 krat 4 je 32 in 1 je 33 in O je 33.
Ako se nahajajo na desni v divizorju ničle, si nekoliko pri¬
krajšamo delitev, da odrežemo ničle v divizorju, v dividendu pa
toliko številk na desni, kolikor je ničel v divizorju. Kar ostane od
dividenda pa delimo z divizorjem. Če dobimo pri tej delitvi ostanek,
mu pripišemo odrezane dividendove številke in to je potem delitveni
ostanek. N. pr.:
a) 3763215 : 768,00 = 49 b) 71456,080 : 693,000 — 103
6912 2156
015 ostanek. 77080 ostanek.

28
Naloge.
43. Izračunaj sledeče kvociente in napravi preizkus :
a) 28507:53 b) 12059 : 29 ■ c) 205379 : 59
56682:47 30051:58 117649:49
194322 : 83 54999 : 97 592704 : 84
44. Določi ravno tako :
a) 795180 : 914
448772 : 603
295070 : 725
102555 : 387
b) 1204700:8605
1158052 : 4907
1522756 : 1234
2621440 : 4096
c) 7941570 : 41563
7315080 : 21096
12812904 : 54756
374535812 : 53186
45. Izračunaj naslednje kvociente na krajši način :
a) 6720:240 b ) 156400:4600 c) 3208825:8000
14820 : 570 387600 : 6800 1765876 : 7560
57834:680 1062674:7700 2584104:1100
46. Neka železnica je imela meseca julija 72757 K dohodkov;
koliko povprečno na dan ?
47. Na neki železnici se je vozilo 1907. leta 1,250.855 oseb;
koliko povprečno na dan ?
48. Pri skupni kupčiji znaša dobiček 2814 K; koliko sodeležnikov
je pri kupčiji, ako pride na vsakega 469 K dobička?
49. A kupi 215 a gozda za 7525 K in ga proda črez nekaj časa
za 8385 K; po čem je kupil ar, in koliko je imel dobička pri
vsakem aru ?
50. Trgovec kupi 243 m sukna za 209952 b in ga proda za
226962 h; koliko dobička ima pri lm?
51. Veletržec skupi na leto 227760 K; koliko povprečno a) na
mesec, b) na teden, c) na dan?
52. 13 hi vina velja 468 K; koliko plačaš za 18, 53, 169 lil?
53. 37 q nekega blaga velja 2516 K; koliko velja 14, 58, 87 g?
54. Primorsko meri 7988 km 2 in je imelo 1900. leta 755183
prebivalcev; koliko prebivalcev je povprečno na 1 km 2 ?
Računanje z decimalnimi števili.
§ 9. Pojasnila.
V dekadičnem številnem sistemu združimo deset enot istega reda
v eno enoto višjega reda. Deseti del vsake enote tvori nasprotno eno
enoto nižjega reda. Deseti del tisočice je stotica, deseti del desetice
je enica. Vrsto dekadičnih enot pa lahko razširimo, ako vpeljemo

29
v računstvo enote, ki so nižjega reda kakor enice. V ta namen raz¬
delimo enico na deset enakih delov, vzamemo en tak del za enoto
nižjega reda in ga imenujemo desetino (d). Desetino razdelimo
ravno tako na deset enakih delov, vzamemo en tak del za enoto
naslednjega nižjega reda in ga imenujemo, ker tvori sto takih delov
eno enico, stotino (s). Na ta način dobimo enote nižjih redov, ki
jih po vrsti imenujemo desetine (d), stotine (s), tisočine (t), deset-
tisoeine (dt), stotisočine (st) itd.
Navedene enote nižjih redov imenujemo skupno deseti n ske
ali decimalne enote. Števila, ki imajo decimalne enote, imenujemo
d e s e t i n s k a ali decimalna števila.
Ker je tvorbeni zakon decimalnih enot isti ko dekadičnih enot
višjih redov in ker so decimalna števila na isti način iz decimalnih
enot sestavljena, kakor dosedanja števila iz dekadičnih enot višjih
redov, uporabljamo tudi pri njih napisovanju indijski pozicijski sistem
in pišemo na prvo mesto za enicami desetine, na drugo stotine, na
tretje tisočine itd. Mesto enic pa označimo na ta način, da po¬
stavimo za enicami na desni zgoraj piko, ki se zove de se tinska
ali decimalna pika.
Številke, stoječe na levi pred decimalno piko, imenujemo ce¬
lote, številke, stoječe na desni za decimalno piko, pa desetinke
ali decimalke.
Decimalno število, imajoče TSoE2d4:s8t, napišemo 705'248.
Ako pa decimalno število nima celot, n. pr. 5 d 8 t, napišemo pred
decimalno piko ničlo, tedaj 0 • 508.
Decimalno število čitamo tako, da izgovorimo najprej celote in
potem vsako posamezno decimalko (z njeno mestno vrednostjo ali
pa brez mestne vrednosti) ali pa, da izgovorimo najprej celote in
potem število vseh decimalnih enot najnižje mestne vrednosti. N. pr.
47'5809 čitamo:
47 celot 5 d 8 s (W 9 dt
ali krajše 47 celot 5, 8, 0, 9
ali pa 47 celot 5809 dt.
Decimalna števila 3 7, 3'70, 3'700, 3'7000 itd. so med seboj
enaka, ker ima vsako 3 E in 7 d; ničle na desni ne izpremene
vrednosti decimalnega števila. Zato smemo reči:
Vrednost decimalnega števila se ne izpremeni, ako mu pripišeš
na desni eno ali več ničel za decimalke.
Desetina =
das Zehntel.
Stotina
= das
Hundertel.
Tisočina =
= das
Tausendtel.
Desetinske
enote = die
dezimalen
Einheiten.
Dese tinsko
število =
die Dezimal-
zahl.
Desetinska
pika = der
Dezimal-
punkt.
Celote = die
Ganzen.
Desetinke
= die
Dezimalen.

30
Kako
seštevaš
decimalna
števila.
Tudi celo število smemo vzeti in napisati za decimalno število,
imajoče za decimalno piko same ničle, ki ne izpremene vrednosti
decimalnega števila.
Naloge.
1. Napiši decimalno število, ki ima naslednje enote: ») 3 E Id
5 s 2 t; b) 4 D 5 d 2 t; c) 13 celot 4 t 2 dt; d) 5 d 4 s 2 dt;
e) 25 celot 4 t 2 st; f)3dSS2s3Ei dt; g) 2 T b E Is;
h) 42 celot 35 s; i) 8 Z* 65 t; k) 546 st; 1) 7521 s; m) 2745 d.
2. čitaj sledeča števila na 3 načine: 4'275, 30 • 0426, 0'1043,
3-14159, 0-30103, 0'00402, 51-30006.
3. Koliko stotin je a) 5 d 2 s; b) 3 E 2d4s; c) 2D5E4:d
6 s; d) 3 E 7 d; e) 9 D 4 s; f) 3 S 2 E 5 s?
4. Koliko tisočin je a) 3 d 5 s 7 t; b) 6 s ‘2 t; c) 2 E 1 t; d) h D
1 d 3 t; e) 1 T 2 E 5 t; f) 3 S 5 s?
5. Čitaj posamezne oddelke z njihovo mestno vrednostjo v naslednjih
številih: 1 - 5 | 32, 6 10• 007 | 392 | 4, 5 -0 | 093 | 28, 2• 913 | 04 1011 5,
73|012|35|07,3-05|76|21,50 1| 204, 7'0341506 | 2, 70| 21 • 5 143 |.16.
6. Prestavi v številu 246 "375 decimalno piko za eno, oziroma
dve, tri mesta a) proti desni, b) proti levi, določi mestno vrednost
posameznih številk in jo primex-jaj z mestno vrednostjo iste številke
v prvotnem številu! Katero pravilo izvajaš iz tega?
§ 10. Seštevanje decimalnih števil.
Naloga. Trije zaboji tehtajo posamič 75 • 3 kg, 26 • 25 kg in 40-478
kg; koliko tehtajo vsi skupaj ? Teža vseh zabojev je enaka vsoti tež
posameznih zabojev,, torej 75 3 kg - j- 26 • 25 kg - j- 40 • 478 kg. Vsota
decimalnih števil mora imeti po pojmu seštevanja toliko enot, kolikor
jih imajo vsi sumandi skupaj. Vsoto torej najdemo, ako seštejemo
enote istega reda, začenši pri enotah najnižjega reda in pišemo, da
lažje seštevamo, sumande drugega pod drugega tako, da stoje deci¬
malne pike druga pod drugo. Pismeno računaš
75"3 kg in govoriš: 8; 7, 12, 1; 5, 7, 10, 1;
26'25 kg decimalna pika; 7, 12, 1; 5, 7, 14.
40-478 kg
142-028 kg

31
Naloge.
1. Izračunaj naslednje vsote:
a) 81 ‘ 23 —J— 5 • 077 -j- 0'9146 -j- 16'4 -f 96 ‘3764;
b) 1-704 -f 15-69 -j- 0-4157 -f 0‘06841 -f 9 - 6519 ;
c) 169-217 -f- 70-4138 + 5249-61 -j- 8‘045 -j- 58• 2697 ;
d) 753-3 -f 6-257 + 0'394 -f 18'05 -f 29-146 -f 78‘593;
e) 0-3176 -f 4-703-f 187-6 + 239‘038 -f 158• 74 -f 66• 859.
2. Posestnik ima 127'43a njiv, 358■ 76a travnikov in 1507 - 5a
gozda; koliko meri njegovo posestvo?
3. Trgovec kupi blago za 257'36 K in ima pri prodaji 46 • 54 K
dobička; za koliko je prodal blago?
4. Voznik naloži 4 zaboje, ki tehtajo posamič 2'36 q, 0'92 q,
2‘08 q in 1 • 87 q; kolika je teža vseh zabojev?
5. Trgovec proda blago za 1047 75 K in ima 105'5 K izgube;
koliko je dal za blago?
6. Netto (čista teža) blagu je 257'34 kg, tara znaša 13 06 kg;
koliko je brutto (kosmata teža)?
7 Ob cesti leže kraji A, B, C in D. Od A do B je 3‘752 km,
od B do C 12 "35 km in od C do D 7'509 km. Koliko kilometrov
je a) od A do C, b) od B do D in c) od A do D 1 } (Slika!)
8. Ena palica meri 1’572 m, druga je za 0"783 m daljša od
prve in tretja je za 0'276 m daljša od druge; kolika je dolžina
druge in tretje palice, in .kolika je dolžina vseh treh palic skupaj?
§ 11. Odštevanje decimalnih števil.
Naloga. Kosmata teža blagu je 130'72 kg, tara pa 12'485 kg;
kolika je čista teža? čista teža je enaka razliki med kosmato težo
in taro. Razliko dveh decimalnih števil, t. j. število, ki ga moraš
prišteti subtrahendu, da dobiš minuend, poiščeš, ako določiš, koliko
enot je treba prišteti subtrahendovim enotam, da dobiš število minu-
endovih enot istega reda. Da lažje odštevaš, podpišeš subtrahend
pod minuend tako, da stoji subtrahendova decimalna pika pod ono
v minuendu, in začneš — kakor pri odštevanju celih števil — odštevati
pri enotah najnižjega reda. Ako nimaš v minuendu enot istega reda
kakor so v subtrahendu, napišeš ali si pa misliš napisano na onem
mestu ničlo. Račun napišeš:
Brutto 130-72 kg in govoriš: 5 in 5 je 10, 1; 9 in 3 je 12, 1;
tara 12'485 kg 5 in 2 je 7; decimalna pika; 2 in 8 je 10, 1;
Netto 118'235 kg 2 in 1 je 3; 1.
Kako
odštevaš
decimalna
števila.

32
Kako
množiš
decimalno
število
s celim
številom.
Naloge.
1. Izračunaj sledeče razlike in napravi preizkus:
a) 0-958 — 0'65, b) 25■ 3682 — 21 • 58, c) 127-0807 — 69'78654
1-206 — 0-382, 57-8276 — 40-2345, 45 • 2 —34-7054
15 — 7-3829; 802-5601 — 692-89; 100 — 98-7642.
2. Za koliko je vsota 5*37 — (— 6'493 -j- 0'825 večja od 10-652?
3. Za koliko je 61'43 večji od 23'958 in za koliko manjši
od 70?
4. Za koliko je vsota števil 40'39 in 12 5 večja od njiju razlike?
5. Kolikokrat moreš od števila 994'734 zaporedoma odšteti
število 165-789?
6. A prejme v teku enega leta 1528'4 K, 4739'26 K in
1835-76 K; izda pa 1738‘42 K, 2806-35 K in 1948 6 K. Za
koliko je več prejel nego izdal?
7. Trgovec kupi blago za 493-72 K in ga proda za 517'38 K;
koliko ima dobička?
8. Trgovec proda blago za 723 "12 K in ima 78'64 K dobička;
koliko je dal za blago?
9. Nekdo kupi blago za 26'14 K in ga proda za 24'96 K;
koliko ima izgube?
10. Nekdo kupi za 182 • 23 K blaga in ima pri prodaji 16'48 K
izgube; za koliko je prodal blago?
11. Brutto blagu je 32 - 593 kg, netto pa 29 • 87 kg; koliko je tare ?
12. A ima na mesec 193'48 K plače, B za 49'26 K manj,
C za 103'78 K manj ko A in B skupaj; koliko plače dobivajo na
mesec vsi trije skupaj?
§ 12. Množenje decimalnih števil s celimi števili.
Naloga. 1 m blaga velja 8'56 K; koliko velja 23 m ? 23 m
velja 23 krat 8'56 K. Da izračunaš produkt 8'56 K. 23, izraziš
decimalno število v enotah najnižjega reda (856 s) ter množiš dobljeno
imenovano celo število z multiplikatorjem. Produkt pa, ki je istega
imena (s) kakor multiplikand, napišeš v obliki decimalnega števila.
856 s . 23 = 19688 s = 196'88. 23 m blaga velja 196'88 K.
Decimalno število množiš s celim številom ravno tako, kakor
če bi bil multiplikand celo število; v produktu pa. odrežeš toliko
decimalk, kolikor jih ima multiplikand.

33
8-56 K . 23
1712
2568
196-88 K.
Ako je multiplikator 10, 100, 1000 . . se poviša mestna vred¬
nost vsake multiplikandove številke za 1, 2, 3 . . . mesta. Ker se
to doseže s tem, da pomaknemo decimalno piko za 1, 2, 3 . . . mesta
proti desni in ker moremo smatrati vsako celo število tudi za de¬
cimalno število, ki ima za decimalke same ničle, smemo reči:
Število množiš z 10, 100, 1000 _, ako prestaviš decimalno
piko za 1, 2, 3 . ... mesta proti desni.
Naloge.
1. Pomnoži a) 12'5; b) 4’19; c)0"385; o?) 17'483; e) 0'06085
z vsemi enoštevilčnimi števili.
2. Pomnoži vsako izmed sledečih števil 1 - 37, 40- 52, 0'793,
25-0508, 0-40205, z a) 24; b ) 36; c) 35; d) 56; e) 72; /) 63;
g) 10; h) 100; i) 1000; k) 10000; 1) 70; m) 600; n) 4000.
3. Pomnoži vsako izmed sledečih števil 3-21, 0 - 518, 40'052,
0-03912, 0-47712 z a) 87; b) 328; c) 609; d) 2835.
4. 1 kg kave velja 3'56 K; koliko velja 7, 26, 54 kg kave?
5.17 pšenice tehta 0'78 kg; koliko tehta 1, 8, 24, 37 hi?
6. Delavec zasluži na dan 3'76 K; koliko v 6, 28, 42 dneh?
7. Desetkronski zlat tehta 3 '3875 ^ koliko tehta 8, 36, 215
desetkronskih zlatov ?
8. Zemljepisna milja meri 7-42044 km; koliko kilometrov meri
9, 15, 120, 5400 zemljepisnih milj?
13. Množenje decimalnih števil z decimalnimi števili.
Naloga. 1 m blaga stane 5'36 K; koliko stane 0’ 75 m? 0'75 m
velja 0"75 krat 5'36 Ii. Produkt 5 - 36 K. 0" 75 pa nima po se¬
danjem pojmu o množenju • pravega pomena; kajti 5'36 K petin-
sedemdesetstotinokrat postaviti za sumand je brez zmisla. Prvotno
pojasnilo o množenju je treba torej razširiti in ga izraziti tako, da
bo veljavno v vsakem slučaju.
Da določimo v navedeni nalogi ceno 0'75 m, izračunamo naj¬
prej ceno ene stotine metra, t. j. 1 cm, ki je enaka stotini cene 1 m
in vzamemo to ceno 75krat. Z decimalnim številom 0'75 množimo
3
Kako množiš
število z
dekadičnimi
enotami
višjih redov.
Občno
pojasnilo o
množenju.
Matek-Peterlin, Aritmetika.

34
tedaj, ako delimo multiplikand s 100 in ta kvocient množimo s 75.
Na isti način smo pa tudi postopali, hoteč dobiti multiplikator O - 75.
Prvotno enoto smo razdelili na 100 enakih delov in smo vzeli 75
takih delov. Enako, kakor v tem slučaju, sklepamo tudi v vsakem
drugem in izvajamo iz takih primerov to-le občno pojasnilo o
množenju:
Število množiti s številom se pravi, določiti produkt iz multi-
plikanda na isti način, kakor nastane multiplikator iz prvotne enoie.
To pojasnilo velja tudi za množenje s celimi števili. Ker je
n. pr. v produktu 8 . 5 nastal multiplikator na ta način, da smo po¬
stavili prvotno enoto petkrat za sumand, določimo produkt s tem,
da postavimo tudi multiplikand 8 petkrat za sumand, kar se popol¬
noma strinja s prvotnim pojasnilom 0 množenju.
Kako deliš Vsako množenje z decimalnim številom zahteva deljenje z 10,
dekadišnimi 100, 1000 . . . Ker je deseti del vsake dekadične enote naslednja
višjih mžja dekadična enota, in ravno tako stoti del druga nižja, tisoči
del tretja nižja itd. in ker se ta izprememba mestnih vrednosti po¬
sameznih številk doseže s prestavljanjem decimalne pike za eno, dve
tri . . . mesta proti levi, smemo reči:
Število deliš z 10, 100, 1000..., ako pomakneš decimalno
piko za 1, 2, 3_mesta proti levi.
Razrešitev navedene naloge se glasi: 1 m velja 5'36 K, 0 01 m
velja 0'0536 K, 0'75 m pa velja 0'0536 K . 75; pišemo
a) 0-0536 K . 75 b) 536 . 75 c) 5-36 K . 0'75
3752
2680
3752 3752
2680 2680
4-0200 K 40200 4-0200 K.
Kako množiš Ako primerjamo račun pod a) z onim pod b ), uvidimo, da se
število z razlikujeta samo po decimalni piki in da moremo napisati omenjeni
decimalnim. ra g un tudi tako, kakor je pod c).
Decimalno število množiš z decimalnim številom prav tako
kakor celo število s celim, le v produktu postaviš (odrežeš) toliko
decimalk, kolikor jih je v obeh faktorjih skupaj.
Naloge.
1. Vsako izmed naslednjih števil 5"42, 36 - 05, 0'4872, 375 - 4
pomnoži z a)0'l; b) 0• 01; c) 0’001; (7) 0-0001.

35
2. Vsako izmed sledečih števil 378, 142'5, 0’914, 7'054, O - 084
pomnoži z a) 0'7; b ) 0'08; c) O'005; d) 2 ‘7; e) O'63; f) O‘042;
g) 3-145; A) 0-287; i) O'051.
3. Za koliko je produkt 513"266. 9'96 večji od produkta
357-492 . 10-08?
4. 1 m sukna velja 7 • 28 K; koliko velja 12 "5, 32'75, 53 ‘25 m?
5.1/ namiznega olja velja 1'44 K; koliko velja 7'5, 18'5,
26-25 H
6. 1 ilm 3 živega srebra tehta 13'596 kg; koliko tehta 0"45,
1 • 25, 6'85 dm i živega srebra?
7. Nemška marka velja 1178 K; koliko velja 32 • 5, 82 • 5 marke?
8. V 1 kg morske vode je 0"0294 kg soli; koliko soli je v
30'25 kg, v 127'5 kg morske vode?
9. Nekdo kupi 12"76 kg kave po 3'25 K, 16'5 kg soli po
0 22 K, 13'85 kg riža po 0‘6 Iv in 24'75 kg fižola po 0 - 36 K;
koliko mora plačati za vse blago?
10. Trgovec kupi 72-8 kg blaga po 6'32 Iv; za koliko bo prodal
blago, da bo imel pri kilogramu 0'23 K dobička?
11. Trgovec kupi 216 "25 bi vina po 42'6 K; koliko skupi za
vino, ako znašajo vozni stroški pri hektolitru 0‘08 K in ako hoče
imeti pri hektolitru 5-16 K dobička?
12. A dobi 3 zaboje blaga, ki tehtajo 316'258 kg, 493'72 kg
in 384'916 kg; tare je 15'254 kg, 17'37 kg in 16'67 kg. Koliko
mora plačati za vse blago, ako se računa kilogram čiste teže po 4'65 K?
§ 14. Deljenje decimalnih števil s celimi števili.
Naloga. 36 med seboj enako težkih krogel tehta 461-7 kg;
koliko tehta 1 krogla? Ena krogla tehta 36 del od 461-7 kg.
Kvocient decimalnega in celega števila 461'7 kg: 36 skušamo do¬
ločiti na isti način, kakor smo izračunali kvocient dveh celih števil.
Deljenje celot se vrši po označenem načinu (§ 8.), ostanek celot pa
pretvorimo v enote nižjega reda, t. j. v desetine, mu prištejemo divi-
dendove desetine in delimo to vsoto z divizorjem. Ker ima kvo-
cientova številka mestno vrednost desetin, jo ločimo z decimalno
piko od enic. Delitveni ostanek pretvorimo v enote nižjega reda, t. j.
v stotine, in računamo kakor prej. Ker smemo decimalnemu številu
na desni pripisati ničle, moremo, ako dobimo delitvene ostanke,
v kvocientu določiti toliko decimalk, kolikor jih hočemo. Ker ima
prva kvocientova številka isto mestno vrednost kakor prvi delski
Kako deliš
decimalno
število s
celim
številom.
3 *

36
dividend, tedaj more imeti tudi nižjo mestno vrednost kakor so
enice; v tem slučaju izpolnimo mesto enic in decimalk pred prvo
veljavno številko v kvocientu z ničlami.
Rešitev navedene naloge se glasi
a) 461-7 kg : 36
101
297
90
180
0
Ravno tako izračunamo n. pr.
b) 0-8211 : 23 = 0'0357
131
161
0
12 - 825 kg
c) 136-78 : 26 = 5'2607
67
158
200
18
Glede preizkusa velja tudi tu pravilo, da je
dividend = divizor X kvocient -j- ostanek.
Delitveni ostanek je pa izražen v enotah onega reda kakor
zadnja kvocientova številka. Tako ima n. pr. delitveni ostanek v
računu pod c) 18 desettisočin ( dt ), in preizkus se napravi tako-le:
5-2607 ■ 26
105214
315642
136-7782
0-0018
136-7800
Decimalno število deliš s celim številom prav tako kakor se
delijo cela števila. Decimalno piko pa postaviš v kvocientu, preden
začneš deliti dividendove desetine.
Naloge.
1. Deli vsako izmed sledečih števil 507'24, 0'91836, 0 - 081,
2-4552 a) s 3; b) s 4; c) s 5; d) s 6; e) z 8; /) z 9.
2. Izračunaj sledeče kvociente in naredi preizkus :
a) 139-5:31 b) 130-83:21 c) 0'479 : 85
136-62:23 5’93523 : 18 72-36 : 12
13-824:24 3‘484 : 26 0’3861 : 45

37
3. Izračunaj ravno tako:
a) 9864-8:418 b) 12*24 : 816 c) 0■ 740993 : 341
4865-88:462 21*2176 : 596 14757■9225 : 3415
4. Določi kvocient na 5 decimalk in napravi preizkus:
a) 4-5:23. b) 906'2:469 c) 768:2267
214:317 279-28:353 ’ 825-77:45276
5. -A prejme na leto 3912‘6 K; koliko povprečno a) na mesec,
b) na dan?
6. 125 kg se kupi za 55 K in se proda za 62'5 K; kolik je
dobiček pri 1 kg‘>. (2 načina.)
7. Iz neke cevi priteče v 11 urah 336'6 1 vode; koliko vode
priteče iz cevi a) v 1 uri, b ) v 2, 10, 16, 45 minutah?
8. 29 hi vina velja 1064'3 K; koliko velja 56, 71 hll
§ 15. Deljenje decimalnih števil z decimalnimi števili.
Naloga. b'i?,2kg blaga velja 33'95 K; koliko velja 1 kgl
1 kg velja 5'432. del od 33‘95 K. Kvocient 33'95 K : 5'432 iz¬
računaš po navodilih § 14., in sicer: uporabljajoč pravilo, da kvocient
ne izpremeni svoje vrednosti, ako množiš ali deliš dividend in divizor
z istim številom (§ 8), pretvori decimalno število, ki moraš ž njim
deliti, v celo število
33-95 K : 5-432 = 33950 K : 5432 = 6'25 K
13580
27160
0
V navedeni nalogi pretvoriš divizor v celo število, da pomnožiš
dividend in divizor s 1000. Kvocientove številke pa tudi najdeš, ako
deliš dividend z divizorjem, ne oziraje se na decimalne pike. Mestno
vrednost prve kvocientove številke pa določiš, ako po¬
množiš, oziroma deliš dividend in divizor s tolikim številom, da pride
prva divizorjeva (veljavna) številka na mesto enic; s številom divizor-
jevih enic deliš dividend; mestna vrednost prvega delskega dividenda
je mestna vrednost prve kvocientove (veljavne) številke, ker deljenje
z enicami ne izpremeni mestne vrednosti. V navedenem primeru
Kako deliš
decimalno
število z
decimalnim.
Kako določiš
mestno
vrednost
prve
kvocientove
številke.

38
računaš 33'95 K : 5'432 = 33 '. . . : 5*. . . = 6 E. Ravno tako
n. pr. 0'075 : 0'00025 = 750 : 2 ■ 5 == 3 S, ali 0• 275 : 532• 74 -
= 0-00275 : 5'3274 = 5 dt.
Decimalno število deliš z decimalnim številom prav tako kakor
deliš celo število s celim številom; treba je le določiti na prej ome¬
njeni način mestno vrednost prve kvocientove (veljavne) številke.
Naloge.
1. Izračunaj naslednje kvociente in napravi preizkus:
b) 3'484: 2'6
22-383 : 0'027
530-955 : 0-057
12-24 : 81 6
24-0484 : 0-472
270-2146 : 8-69
c) 540-9835 : 0-02447
9-226932 : 0'7358
5409-835 : 489-8
20-1142 : 1-234
200-0376 : 158-76
0-2171078 : 0'01057
2. Izračunaj v naslednjih kvocientih po 4 decimalke ih napravi
preizkus:
s) 825: 794-5; h) 23-7:48'3; c) 1:3'156.
3. Nekdo kupi 28'5 kg blaga za 52'44 K, drugokrat 36‘5 kg
za 64'24 K, tretjikrat 55'8 kg za 106 "02 K; kdaj je kupil naj¬
bolj po ceni?
4. Koliko metrov sukna dobiš za 1440 K, ako plačaš meter
po 7■5 K ?
5. 57 - 05 (520 - 88) K se razdeli med več oseb tako, da dobi
vsaka oseba 8’15 (30'64) K; koliko je oseb?
6. 120‘8 kg blaga velja 222'7 K; po čem se mora prodajati
kilogram, da bo 24'94 K dobička?
7. 15"64 cm 3 zlata tehta 301 07 g; koliko telita 1 cm 3 zlata?
8. Nekdo kupi 3 '1 kg blaga za 7'77 K in ima pri kilogramu
0• 11 K dobička; po čem je prodal 1 kg blaga?
9. Trgovec kupi 34'5 kg blaga za 74'52 K in ga proda za
78'66 K; koliko dobička je imel pri 1 kg? (2 načina.)
10. Nekdo zmeša 23"8 1 kisa po 0'22 K z 9'45 1 vode; koliko
je vreden 1 1 zmesi?
11. Nekdo kupi 5'22 kg blaga za 28'54 K, 12 • 63 kg za 43 • 76 K
in 17’055 kg za 50'24 K; koliko stane povprečno 1 kg? (2 dec.).
Koliko kilogramov dobi za 1 K? (3 dec.).

39
12. Vinotržec kupi 12'75 hi vina po 36'24 K, 8'56 hi po
32'25 K in 20'45 hi po 30'72 K; po čem bo prodajal povprečno
hektoliter vina, ako plača 18'50 K voznine in hoče imeti 120 K
dobička?
Računanje z mnogoimenskimi števili.
S 16. Pojasnila.
A. Imenovano število, ki ima le enote enega imena, se imenuje
enoimensko število. N. pr. 18 m, 2'36 hi itd. Imenovano število pa,
ki ima enote raznih imen iste vrste, se zove mnogoimensko šte¬
vilo. N. pr. 18 m 5 dm 2 cm, o hi 38 1 itd.
Poleg enot, ki so navedene v § 4., imajo mnogoimenska števila
še druge merske enote. Izmed teh omenimo le sledeče:
1. Časovne mere.
časovna enota je dan, t. j. čas, ki se v njem zavrti zemlja
enkrat okoli svoje osi. 1 dan ima 24 ur (24*), 1 ura ima 60 (ča¬
sovnih) minut (60'), 1 minuta ima 60 (časovnih) sekund (60").
7 dnij = 1 teden, 30 dnij = 1 mesec, 12 mesecev = 1 leto. V ra¬
čunih (posebno v obrestnih) šteje vsak mesec 30 dnij, leto pa
360 dnij.
2. Skupinske mere.
12 kosov (ali komadov) se imenuje dvanajsterica ali ducat.
15 kosov = 1 stava, 60 kosov = 1 kopa, 12 ducatov = 1 groš.
1 bala papirja = 10 rižem, 1 rizma = 10 knjig, 1 knjiga =
= 10 leg, 1 lega =10 pol.
3. Ločne in kotne mere.
Loke merimo z ločnimi stopinjami (°), ločnimi minutami (') in
ločnimi sekundami (")• Ločna stopinja je 360-ti del krogovega oboda,
ločna minuta je 60-ti del ločne stopinje, ločna sekunda pa 60-ti del
ločne minute.
Kote merimo s kotnimi stopinjami (°), kotnimi minutami (') in
kotnimi sekundami ("). Kotna stopinja je 360-ti del polnega kota,
kotna minuta je 60-ti del kotne stopinje, kotna sekunda pa 60-ti del
kotne minute.
B. Drobljenje in debeljenje.
Naloga, a) Koliko minut je 8 ur? Tu sklepaš: 1 ura ima 60',
8 ur ima 8krat 60', t. j. 480'.-
Enoimensko
število = die
einnamige
Zahl.
Mnogo¬
imensko
število = die
mehrnamige
Zahl.
Časovne
mere = die
Zeitmafie.
Skupinske
mere == die
Zahlmafie.
Ločne mere
= die
Bogenmafle.
Kotne mere
= die
Winkel-
mafie.

40
Drobljenje
= das
Resolvieren.
Pretvornik
= die Ver-
wandlungs-
zahl.
Debeljenje
= das
Reduzieren.
b) Koliko centimetrov je 15 /n? 1 m ima 100 cm, 15 m ima
15 krat 100 cm t. j. 1500 cm.
Pretvarjanje enot višjega imena v enote nižjega imena se imenuje
drobljenje. Drobljenje izvršiš z množenjem na podlagi števila, ki
pove, koliko enot nižjega imena tvori eno enoto višjega imena. To
število je v nalogi pod a) 60, v nalogi pod b) 100 in se imenuje
pretvorno število ali pretvornik.
Naloga, c) Koliko let je 138 mesecev? Tu sklepaš: 12 mesecev
tvori 1 leto; kolikorkrat se nahaja 12 mesecev v 138 mesecih, toliko¬
krat se nahaja 1 leto v tem številu. Ker je 138 mes.: 12 mes. = 11 • 5
je 138 mesecev = 11'5 leta,
d) Koliko kvadratnih metrov je 3728 dm 2 ? 100 dm 2 — 1 m 2 ,
kolikorkrat imaš po 100 dm 2 , tolikokrat imaš 1 m 2 . Ker je
3728 dm 2 : 100 dm 2 = 37 ■ 28, je 3728 dm 2 == 37 • 28 m 2 .
Pretvarjanje enot nižjega imena v enote višjega imena se
imenuje debeljenje.
Naloge.
1. Pretvori
a) 9 m, 13'5 m, 0'584 m na dm, cm, mm;
b) 6 km, 5'32 km, 0'4285 km na m, dm;
c) 12 m 2 , 4'58 m 2 , 0'4587 m 2 , 0'876542 m- na dm 2 , cm 2 , mm 2 ;
d) 5 d m«, 12'784 dm s , 0'035792405 n? 8 na cm 3 , mm 3 ',
e) 15 kg, 12'5 kg, 0'4875 kg na dkg, g;
f) 2'548 q, 0'0352 q, 12'004 q na kg, dkg.
2. Koliko h je 12 K, 7'25 K, 13'6 K, 43'05 K?
3. Koliko dnij je 3'5 1eta, 22'35 leta, 18'3 meseca?
4. Koliko ur je 9 dnij, 4'5 dneva, 5 mesecev, 1'8 meseca?
5. Koliko sekund ima a) navadno leto s 365 dnevi, b ) solnčno
leto s 365'24222 dneva?
6. Koliko minut je 5°, 3'6°, 0'65°, 52'7°?
7. Izrazi
a) 800 h, 940 h, 1080 h, 1625 h v K;
b) 30 dm, 215 dm, 400 cm, 781 cm, 2000 mm, 13725 mm v m;
c) 800 dm 2 , 1257 dm 2 , 14570 cm 2 , 419768 mm 2 v in 1 ;
d) 1500 cm 3 , 7624 cm 3 , 157209 mm 3 v dm 3 ',
e) 300 m 2 , 750 m 2 , 1472 m 2 , 123'8 m 2 v a;
f) 600 dkg, Ib'3 dkg, 1275 g, 1032'8 g v kg;
g) 90 mesecev, 126 mesecev, 144 dnij, 270 dnij v letih;
h) 390', 828", 249-6', 2856'6” v stopinjah.

41
G. Pretvarjanje mnogoimenskega števila v enoimensko.
Naloga, a) Koliko centimetrov je 8 m 3 dm 5 cm 2 mm?
Enote višjih imen zdrobiš, enote nižjih imen zdebeliš v centimetre.
8 m 3 dm 5 cm 2 mm — 800 cm -|- 30 cm -j- 5 cm —|— 0'2 cm =
= 835'2 cm.
Kako
pretvoriš
mnogo-
imensko
število v eno¬
imensko.
b) Koliko sekund je l k 32' 42”? Najprej zdrobiš ure v mi¬
nute: 60'. 7 = 420', 7" 32'42” = 420'+ 32'42” = 452'42”;
452' zdrobiš v sekunde: 60”. 452 = 27120”. Končno dobiš, da je
7" 32' 42” = 27162”.
c) Koliko ur je 7" 32' 42”? Najprej zdebeliš sekunde v minute:
42” : 60” =0'7, 42” = 0'7'; 7" 32' 42” = 732*7'; 32'7' zdebeliš
v ure in dobiš, ker je 32'7': 60'= 0’545, da je 32'7'= 0'545\
Končno je 7" 32' 42” = 7'545".
Z drobljenjem začneš pri enotah najvišjega imena, z debeljenjem
pa pri enotah najnižjega imena, in prišteješ število tako dobljenih
enot številu istoimenskih enot, ki se nahajajo v mnogoimenskem številu.
Naloge.
8. Pretvori naslednja mnogoimenska števila v enoimenska naj¬
višjega, oziroma najnižjega imena:
a) 807 K 25 h, 8 K 15 h, 23 K 4 h, 540 K 60 h, 6420 K 7 h;
b) 12 q 38 kg, 6 q 10 kg, 584 q 3 kg, 4 kg 72 dkg, 50 kg
20 dkg;
c) 301 kg 9 dkg, 5 kg 14 dkg 8 g, 17 kg 6 dkg 5 g, 70 kg
40 dkg 3 g;
d) 6 km 258 m, 13 km 77 m, 125 km 40 m, 88 km 9 m,
7 km 500 m;
e) 4 m 8 dm 5 cm 7 mm, 16 m 3 cm 8 mm, 21 m 7 dm
5 mm, 33 m 17 cm;
f) 50 m 628 mm, 4 n? 8 cm, 13 m 52 mm, 5 km 7 dm;
g) 20 ha 56 a, 8 As 7 a, 15 ha 60 a, 2 a 36 m 2 , 70 a 80 m 2 ,
12 a 5 m 3 ;
h) 8 m 2 15 dm 2 , 7 m 2 6 c/m 2 , 3 dm 3 32 cm 2 , 9 cm 2 8 mm 2 ,
3 dm 2 5 mm 2 ;
i) 3 ha 18 a 24 m 2 , 45 ha dal m 2 , 66 m 2 7 c/m 2 13 cm 2 ,
3 m 2 5 dm 2 7 cm 2 9 mm 2 ;
Ar) 13 hi 76 1, 58 A/ 4 4 62 hi 90 /, 3 7 25 cl, 8 1 4 cl, 17 A/
2 1 3 dl.

42
9. Koliko dni j je a) 7 mesecev 24 dnij, b) 3 leta 8 mesecev
15 dnij ?
10. Koliko sekund je a) 51 minut 13 sekund, -6) 18 ui' 35 minut
40 sekund, c) 2 uri 5 minut 18 sekund?
11. Koliko sekund je 18° 12' 45", 145° 4", 52' 36"?
12. Koliko ur je a) 2 h 25' 30", b ) 5" 41' 24" (3 dec.), c) 8* 25'
43" (3 dec.)?
13. Koliko stopinj je a) 45° 36', b) 215° 17' (3 dec.), c) 168°
55' 48", d) 80» 27' 18" (3 dec.), e) 57» 17' 46" (3 dec.)?
14. Koliko minut je a) 5 h 7' 12", b) 36° 28' 42", c) 13 ;‘ 12'
52" (3 dec.), d) 154« 12' 32” (2 dec.)?
D. Pretvarjanje enoimenskega števila v mnogoimensko.
Naloga, a) Pretvori 38547 cm 2 v mnogoimensko število! Ker
tvori 100 cm 2 1 dm 2 , je v 38547 cm 2 toliko dm 2 , kolikor stotič ima
število 38547; 385147 cm 2 = 385 dm 2 47 cm 2 . Ravno tako najdeš,
da je 3 | 85 dm 2 = 3 m 2 85 dm 2 in končno 3 | 85 | 47 cm 2 = 3 m 2
85 dm 2 47 cm 2 .
b) Pretvori 48756" v mnogoimensko število!
Število sekund zdebelimo v minute z merjenjem s 60".
4875,6" :6,0" = 812; 48756” = 812' 36".
36
812' zdebelimo ravno tako v stopinje z merjenjem s 60'.
81,2' : 6,0' = 13; 812' = 13» 32’.
32
Torej je 48756" = 13» 32’ 36".
c) Pretvori 34'753° v mnogoimensko število!
Število razstaviš v celote in decimalke, 34'753° = 34° -)- 0 • 753»
in zdrobiš 0 • 753° v minute, 60'. 0'753 = 45'180’= 45' -j- 0'18';
0'18' zdrobiš v sekunde in najdeš 60".0 - 18 = 10’80".
Torej je 34’753» = 34» 45' 10'8".
Naloge.
15. Pretvori naslednja enoimenska števila v mnogoimenska:
a) 1254 b, 82360 h, 5209 h, 13'9K, 70■54 K, 8'06K;
b) 728 dm, 630 cm, 9481 cm, 5094 mm, 386 mm, 9006 mm;
c) 1407 mm, 9002 m, 13076 m, 36892 m, 9‘587 m, 14'36m;
d) 8'im, 50 ■ 008 m, 37 • 056 m, 4 • 738 km, 25 ’ 036 km, 9'5 km;
e) 235 m\ 608 m 2 , 10508 m 2 , 503 a, 4020 a, 902071 mm 2 ;

43
/) 8'63 a, 12 ‘5 a, 41'06 a, 3'2534 /23, 8'072 ha, 12'5836 m 2 ;
g) 0-547 0-0204 ha, 0-058429 m\ 0'001008 m 2 ;
h) 2143 dm 3 , 8051276 cm 3 , 35006 dm 3 , 157934620 mm 3 ]
i) 635/, 2140/, 20108 cl, 5'279 m 3 , 13 • 059 dm 3 , 0 • 742005 dm 3 ]
k) 3-005072 i?23, 6-58 /2/, 18-3 hi, 29'07 hi, 4271 -2 c7/,-
/) 1649 kg, 28050 kg, 36007 kg, 4185 g, 7032 g-, 14005 g-,
5841 dlcg;
m) 5841 dkg, 7802 dkg, 65 ‘84 q, 27'3 q, 1'06 q, 3‘564 kg;
n) 28-037 .kg, 0'107 kg, 10‘4 kg, 36 51 kg, 9'013 kg.
16. Pretvori ravno tako v mnogoimenska števila:
s) 142 mesecev, 253 dnij, 1856 dnij, 28155 ur, 103235 ur;
b) 568324 minut, 1902142 sekund, 2000000 sekund;
c) 3 ’ 25leta, 9 • 625 leta, 7 1 5 meseca, 3" 1465ur, 365" 24222dneva;
d) 2765', 92065”, 116510”, 23-572°, 0'635 0 , 615‘42'.
17. Od enega ščipa do drugega preteče 2551443 sekund, koliko
je to dnij, ur, minut in sekund ?
§ 17. Seštevanje mnogoimenskih števil.
Mnogoimenska števila seštevamo, ako seštejemo enote istega
imena, začenši pri enotah najnižjega imena; dobljeno vsoto zdebelimo
takoj in napišemo v vsoto le enote dotičnega imena, zdebeljene enote
pa prištejemo enotam višjega imena. Mnogoimenska števila, ki odgo¬
varjajo dekadičnemu številnemu sistemu, pa seštevamo tudi tako,
da jih pretvorimo v enoimenska in slednja seštejemo. N. pr.:
a) Trije koti merijo posamič 38° 45' 34", 52° 37' 48” in 76°
53' 16”; koliko merijo vsi skupaj?
38° 45' 34” 16” -j- 48” + 34" = 98” = 1' 38”
52° 37' 48" 1' + 53' + 37' + 45' = 136' == 2° 16'
76° 53' 16" 2° -f 76° + 52° + 38° = 168°
168° 16' 38" Vsi koti merijo 168° 16' 38".
b ) A pi-idela 36 hi 28 / pšenice, 41 hi 50 / rži, 28 hi 7 1 ječ¬
mena in 59 hi 16/ ovsa; koliko žita je pridelal?
165 hi 11 165-01 hi 16501/
A je pridelal 165 hi 1 / žita.
Kako
seštevaš
mnogo¬
imenska
števila.

44
c) A se je porodil dne 20. septembra leta 1800. in je učakal
78 let 6 mesecev in 23 dnij; kdaj je umrl?
Do njegovega rojstva je preteklo po našem štetju časa 1799
let 8 mesecev 19 dnij. Zakaj? Temu času prišteješ dobo, ki jo je
preživel, in najdeš Čas, ki je pretekel do njegove smrti. V nalogah
te vrste debelimo najprej mesece na leta, da vemo, koliko dnij ima
po koledarju mesec, ki vanj zdebelimo dneve. Razrešitev naloge na¬
pišemo tako-le:
čas do njegovega rojstva 1799 let 8 mesecev 19 dnij.
Doba, ki jo je učakal, 78 let 6 mesecev 23 dnij.
čas do njegove smrti 1877 let 14 mesecev 42 dnij.
Do njegove smrti je preteklo 1878 let 2 mes. 42 dnij, in ker
pride pri debeljenju dnij na vrsto tretji mesec, ki ima 31 dnij,
tedaj je preteklo do njegove smrti 1878 let 3 meseci 11 dnij. Umrl
je 12. aprila 1879.
Naloge.
1. Izračunaj vsoto naslednjih števil (na več načinov):
a) 15 m 8 dm 4 cm 9 mm h) 25 a 46 m 2 25 dm 2
2. Izračunaj vsoto naslednjih števil:
a) 13 m 5 cm -J- 156 cm —|— 2'5 dm -|- 0 • 43 -j- 5 m 6 dm
3 cm;
b) 6 q 53 kg -)- 19 ’.62 q kg Q q 72 kg;
c) 12 kg 25 dkg 8 g -j- 3 kg 9 dkg -)- 543 d kg -j- 2 kg 3 g;
d) 46° 36’ 48" -f 52» 58' 22" -f- 17° 25' 37";
e) 23° 15' 8" -j- 54-72° -f 8321' -f 92455".
3. V Peterburgu kaže ura 52' 4" več kakor na Dunaju; koliko
je ura v Peterburgu, ako je na Dunaju a) 3" 15' 12" ; b) ll /! 37' 56”
dopoldne; c) poldne; d) 9'" 17' 14"?
12 m 9 dm 7 cm 3 mm
8 m - dm 5 cm 6 mm
24 m 7 dm - cm 5 mm
17 a 39 m 2 56 dm 2
62 a — m 2 80 (//n 2
2 a 58 m 2
c) 5 m 1 218 dm 3 270 cm 8
15 m 3 96 dm 3 * 836 cm 8
4 m s — dm 8 53 cm 8
29 m 8 814 dm 8
\

45
4. Od ene polne lune do druge (sinodski mesec) preteče 29 duij
12'* 44' 3"; ako je polna luna a) dne IS. maja 5' 1 27' 28" zvečer;
b) dne 30. septembra 2 h 37' 56" zjutraj; c) dne 9. februarja
11" 56' 23" opoldne (navadnega, oziroma prestopnega leta), kdaj
bo prihodnja polna luna?
5. Cesar Franc Jožef I. se je porodil dne 18. avgusta leta
1830. in je bil 18 let 3 mesece 14 dnij star, ko je začel vladati;
kdaj se je to zgodilo?
6. Slovenski pesnik in pisatelj V. Vodnik se je porodil dne 3. febru¬
arja leta 1758. in je doživel 60 let 11 mesecev 5 dnij; kdaj je umrl?
7. Zemljepisna širina Trsta je 45° 35' 8", Dunaj leži 2° 34' 27"
severnejše od Trsta, Praga pa 1° 52' 54” severnejše od Dunaja;
kolika je zemljepisna širina Dunaja in Prage?
8. A je bil pred 3 leti 2 mesecema 25 dnevi toliko star, kakor
njegova brata B in C skupaj; če je bil tačas B star 14 let 2 me¬
seca 10 dnij in C 12 let 10 mesecev 25 dnij, koliko je A sedaj star?
9. Nekdo plača svoj dolg v štirih obrokih; prvi obrok znaša
1574 K 42 h, vsak sledeči je za 369 K 18 h večji od prejšnjega.
Koliko je znašal ves dolg?
§ 18. Odštevanje mnogoimenskih števil.
Razliko dveh mnogoimenskih števil, t. j. ono število, ki ga moramo
prišteti subtrahendu, da dobimo minuend, poiščemo, določivši, koliko
enot je treba prišteti subtrahendovim enotam, da dobimo število
minuendovih enot istega imena. Tudi odštevati začnemo pri enotah
najnižjega imena. Ako je v minuendu manj enot določenega imena
kakor v subtrahendu, dodamo minuendovim enotam toliko enot, ko¬
likor jih tvori enoto višjega imena; da se pa razlika ne izpremeni,
prištejemo eno enoto subtrahendovim enotam naslednjega višjega
imena.
Razliko mnogoimenskih števil, ki odgovarjajo dekadičnemu šte¬
vilnemu sistemu, tudi določimo, ako pretvorimo mnogoimenska števila v
enoimenska in potem izračunamo razliko teh enoimenskih števil. N.pr.:
a) Dva kota merita posamič 75° 24' 35" in 42° 58' 23"; kolika,
je njihova razlika?
75° 24' 35” 23" in 12" je 35";
42° 58' 23" 58' in 26' je 84', 1;
32° 26' 12" 1° in 42° je 43° in 32° je 75°.
Kako
odštevaš?
mnogo¬
imenska
števila.

46
b) Brutto nekega blaga znaša 43 q 60 kg 18 dkg, tara pa
2 q 7 kg 45 dkg; koliko je netto?
43 q 60 kg 18 dkg ali 43‘6018 q ali 4360'18 kg ali 436018 dkg
2 q 7 kg 45 dkg 2'0745 q 207'45 kg 20745 dkg
41 q 52 kg 73 dkg 41 'b'2Tdq 41 52'73 kg 415273 dkg
c) Nekdo- se je porodil dne 27. oktobra leta 1856. in je umrl
dne 3. avgusta leta 1892.; katero starost je dosegel?
Do njegove smrti je preteklo 1891 let 7 mesecev 2 dni;
do njegovega rojstva pa 1855 let 9 mesecev 26 dnij.
Njegova starost je enaka razliki 35 let 9 mesecev 7 dnij.
Drobeč mesece v dneve, se moramo ozirati na število dnij, ki
jih ima dotični mesec po koledarju; v naši nalogi zdrobimo mesec
julij in ta ima 31 dnij.
Naloge.
1. Izračunaj naslednje razlike in napravi preizkus:
a) 8 m 5 dm 9 cm 7 mm — 2 zn 6 dm 4 cm 2 mm;
b ) 56 zn 2 28 dm 2 70 cm 2 — 31 m 2 58 dm 2 14 cm 2 ',
c) 8 ha 33 a 45 m 2 — 4 ha 48 a 70 m 2 \
d) 74 zn 3 215 dm' 1 445 cm 3 — 49 zn 3 940 dm z 512 cm 3 ;
e) 12 kg 57 dkg 4 g — 3 kg 68 dkg 6 g;
f) 41 q 52 kg — 11 q 66 kg;
.g) 5 g 8 dg 5 cg 4 mg —.2 g 4 dg 8 cg 4 mg.
2. Izračunaj ravno tako :
a) 58° 23’ 14” — 24° 36'48"; c) 90» — 73» 26’ 51";
b) 123° 42' 21” — 87° 54' 32”; d) 180» — 41» 56' 8";
e) 26 dnij 18" 5' 37" — 18 dnij 20" 12' 24";
/) 21" 52' 4" — 8" 15' 32".
3. V sodu imamo 35 hi vina; ako napolnimo iz njega dva soda,
držeča posamič 3 hi 25 1 in 8 hi 92 /, koliko vina še ostane v sodu?
4. Trgovec kupi blago za 942 K 96 h (215 K 46 h) in ga
proda za 1002 K 10 h (231 K 20 h); koliko ima dobička?
5. Nekdo ima 758 K 72 h in izda najprej 63 K 56 h, potem
143 K 85 h in slednjič 288 K 94 h; koliko mu ostane?
6. Ura, ki je za 5'46” prehitra, kaže a) 12" 2'35"; b) 7" 56' 12";
c) 9" 2’ 40''; koliko je pravi čas?

47
7. Dunaj ima 48° 12' 35”, Berolin 52° 30' 17”, Pariz 48° 50' 13”
in Peterburg 59° 56' 30” severne širine; kolika je razlika širin dveh
in dveh izmed imenovanih mest?
8. Slovenski pesnik Prešeren se je porodil dne 3. decembra leta
1800. in je umrl dne 8. februarja leta 1849.; katero starost je učakal ?
9. Nemški pesnik Goethe je umrl dne 18. marca leta 1832.,
star 82 let 7 mesecev; kdaj se je porodil?
10. Izračunaj, koliko si danes star.
11. Kadar kaže ura v Gradcu 4 k 52' 18”, kaže ura v Parizu
3 h 59' 50”; koliko je ura v Parizu, kadar kaže ura v Gradcu
8" 23' 48"?
12. Vsota treh kotov je 180°. Dva izmed njih merita posamič
65° 16' 37" in 71° 40' 12"; koliko meri tretji kot?
§ 19. Množenje mnogoimenskih števil.
Mnogoimensko število množimo, ako množimo, začenši pri enotah
najnižjega imena, enote vsakega imena za-se, iz vsakega produkta pa
izločimo enote višjega imena in jih prištejemo produktu enot tega
imena. Mnogoimenska števila, ki odgovarjajo dekadičnemu številnemu
sistemu, pa lahko pretvorimo v enoimenska, le-te pomnožimo, a
produkt pretvorimo zopet v mnogoimensko število. Zadnji način je
umesten posebno takrat, kadar je multiplikator mnogoštevilČno ali
pa decimalno število. N. pr.:
a) 35° 27' 56” ■ 7 56" . 7 je 392" je 6' 32”;
248» 15' 32" 27' . 7 je 189' in 6' je 195' je 3» 15';
35° . 7 je 245° in 3° je 248°.
h) 3 kg 15 dkg 4 g . 8
25 kg 23 dkg 2 g
Naloge.
ali: 3 • 154 kg . 8
25-232 kg
25 kg 23 dkg 2 g
ali pa: 3154 g . 8
25232 g
25 kg 23 dkg 2 g
1. Izračunaj na več načinov sledeče produkte:
a) 5 m 4 dm 8 cm .11;
b) 19 m 8 dm 7 cm . 37;
c) 9 m' 1 17 dm 2 53 cm 2 . 8;
d) 13 a 45 m 2 25 dm 2 . 12'4;
e) 9 dm* 215cm 8 10mm 3 . 79;
/) 5 m s 207 dm 3 18 cm 3 . 7;
g) 15 q 46 kg . 40;
h) 43 kg 62 dkg 5 g . 2'08;
i ) 17° 26' 25" . 24;
k) 9" 24' 32" . 35.
Kako
mn >žiš
mnogo¬
imensko
število.

48
2. Za izdajo neke knjige so j)orabili 3 bale 8 rižem 5 knjig
7 pol papirja; koliko papirja se porabi za osemkratno izdajo iste
knjige ?
3. ) Dvajsetkronski zlat tehta 6 g 7 dg 7 cg 5 ; koliko tehta
8, 42, 136 dvajsetkronskih zlatov?
4. 1 kg blaga velja 2 K 65 h; koliko velja a) 15 kg; b) 38 kg;
c) 6 q 89 kg; d) 7 kg 40 dkg ?
5. V neki shrambi je 12 zabojev po 37 kg 16 dkg in 8 zabojev
po 46 kg 25 dkg; koliko tehtajo vsi zaboji?
6. A izda na dan 3 K 25 h, B pa 4 K 12 h; koliko izda B
v 1 letu več nego Al
7. Dve telesi se začneta pomikati istodobno od istega mesta;
prvo telo preteče vsako minuto 38 m 2 dm 5 cm, drugo telo pa
32 zn 1'8 dm. Koliko sta telesi oddaljeni po 56 minutah, ako se
pomikata a) v isto, b) v nasprotno smer?
8. Trgovec dobi 24 q riža po 42 Ii' 60 h, 18 q kave po
287 K 45 h in 250 1 olja po 1 K 82 h; koliko mu je plačati za
vse blago?
9. Kolo se zavrti vsako sekundo Škrat; kolikokrat se zavrti
a) v 1 minuti 10 sekundah; b) v 4 minutah 8 sekundah?
10. Vlak prevozi vsako sekundo 15 zn 6 dm; koliko prevozi
a) v 45 minutah 23 sekundah; h) v 2 urah 14 minutah 26 sekundah?
11. Žitar kupi 58 lil pšenice za 751 K 68 h in odproda 17 hi
po 14 K 24 h, 23 hi po 14 K 68 h, ostanek pa po 14 K 12 h;
koliko ima dobička?
12. Lunin mesec ima 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sekunde; ko¬
liko znaša 12 luninih mesecev? Za koliko je lunino leto krajše nego
solnčno leto, ki ima 365 dnij 5 ur 48 minut 48 sekund?
§ 20. Deljenje mnogoimenskih števil.
Kako deliš a. Mnogoimensko število delimo z neimenovanim številom (pravo
imensko deljenje), ako delimo, začenši pri enotah naj višjega imena, enote
Imenovanem vsakega imena za-se. Morebitne delitvene ostanke zdrobimo v enote
številom, nižjega imena, jim prištejemo istoimenske enote, ki se nahajajo v
dividendu, in delimo to vsoto z divizorjem. Isti kvocient pa tudi
dobimo, ako pretvorimo mnogoimensko število v enoimensko, to pa
delimo, ter pretvorimo enoimenski kvocient v mnogoimensko število.

49
Zadnji način deljenja je umesten takrat, kadar je divizor mnogo¬
številno ali pa decimalno število. N. pr.:
88° 4' 32” : 7 = 12» 34' 56"
4° = 240'
4'
244': 7 = 34'
6' = 360"
32"
392" : 7 = 56"
0
ali pa: 88» 4' 32” = 5284' 32" = 317072"
317072": 7 == 45296" = 754' 56" = 12» 34' 56".
B. Mnogoimensko število merimo z mnogoimenskim, ako pre¬
tvorimo obe števili v enoimenski števili istega imena in jima dolo¬
čimo kvocient. N. pr.:
19° 53' 48": 8» 17' 25" = 71628": 29845" = 2'4.
119380
Naloge.
0
1. Izračunaj naslednje kvociente in napravi preizkus:
a) 37 m 5 dm 2 cm : 16;
b) 4 m 3 dm 1 cm 9 mm : 3 ■ 5;
c) 71 m 2 42 dm 2 10 cm 2 : 35;
d) 5 a 83 n? 2 51 dm* : 4‘3;
e) 22 m 3 213 dm 3 215 cm s : 9;
/) 16 dm 3 7 8 cm 3 : 12'5;
g) 47 kg 12 dkg 4 g: 15;
b) 14 q 89 kg 80 dkg : 7 * 8;
i) 615» 16' 16" : 8;
k) 160» 55' : 12;
7) 900» : 7;
m) 1980»: 13.
2. Izračunaj naslednje kvociente:
a) 6 m 1 dm 7 cm 4 mm : 1 m 3 dm 7 cm 2 mm;
b) 345 km 660 m : 9 km 876 m;
c) 2 a 56 m 2 99 dm 2 32 cm 2 : 21 m 2 41 J/n 2 61 en/ 2 ;
Matek-Peterlin, Aritmetika.
Kako meriš
mnogo¬
imensko
število z
mnogo¬
imenskim.
4

50
d) 91 dm 3 206 cm 3 : 5 dm 3 67 cm 8 ;
e) 308 q 4 kg : 9 q 6 Trg-;
/J 7 # : 1 g 25 Ag;
g) 78» 48' 25" : 3» 25' 35";
h) 144» 2' : 6» 5".
3. 8 m blaga velja 78 K 8 h; koliko velja 1 m?
4. Voznik prepelje 19 q 32 kg blaga za 7 K; koliko blaga
prepelje za 1 K?
5. 24 hi ječmena telita 15 q 39 kg 60 dkg; koliko telita 43 hi,
125 1 ječmena?
6. 15 delavcev zasluži v 8 dneh 427 K 20 h; koliko zasluži
1 delavec na dan ?
7. Trgovec dobi 3 sode olja: prvi sod drži 3 hi 15 1, drugi
2 hi Ib 1, tretji 3 hi 8 L. Po čem mu pride 1 1 olja, ako plača za
vse olje 269 K 40 li ?
8. Na trgu se je prodalo: 54 hi ječmena po 18 K 50 h, 63 hi
po 18 K 20 h, 80 hi po 19 K 12 h in 53 hi po 19 K 60 h; kolika
je srednja cena 1 hi7
9. Krčmar kupi 18 hi vina po 60 K 80 h, 13 hi po 52 K 56 h
in 14 hi po 38 K 88 h; koliko velja povprečno 1 A/?
10. 3 m 5 dm 6 cm blaga velja 22 K 25 h; koliko velja lm?
11. Za 3 K 75 h dobiš 16 ,g 71 cg nekega blaga; koliko blaga
dobiš za 1 K ?
12. Pešec prehodi 25 km 25 m v 5 urah 25 minutah; koliko
metrov prehodi a) v 1 minuti; A) v 1 uri?
13. 3 dm 3 750 cm 3 svinca tehta 42 kg 525 g ; koliko tehta
1 dm 8 svinca?
14. 3 dm 8 25 cm 3 srebra tehta 31 kg 739 .g; koliko kubičnih
centimetrov srebra tehta 1 kg!
Predvaje za računanje z navadnimi ulomki.
§ 21. Pojasnila.
Naloga. Mati ima 3 kolače, ki jih hoče razdeliti med svoje
štiri otroke tako, da dobe vsi enak delež; koliko da vsakemu otroku?
Mati razdeli vsak kolač na štiri enake dele in da od vsakega ko¬
lača en del vsakemu otroku. Tak del se imenuje „četrtina“ kolača

51
in se napiše v znakih „i“ kolača. Ker dobi vsak otrok od vsakega
kolača eno četrtino, dobi od treh kolačev trikrat po eno četrtino, t. j.
tri četrtine kolača ali v znakih napisano: „§“ kolača.
Število „f“, ki ga na ta način dobimo, imenujemo ulomek ali
ulomljeno število, da ga ločimo od celih števil, ki izražajo
množino celih, t. j. nerazdelj enih enot.
Ulomek ali ulomljeno število je tedaj vsako število, ki postane
na ta način, da razdelimo enoto na več enakih delov ter vzamemo
nekaj takih delov.
Vsak ulomek napišemo z dvema številoma. Eno (4) nam pove, na
koliko enakih delov smo enoto razdelili; ono imenuje dele (četrtine),
zaradi tega se zove imenovalec, pišemo ga pod vodoravno
(ulomkovo) črto. Drugo število pa pove, koliko enakih delov smo
vzeli, ono šteje dele (3), zaradi tega se zove števec, pišemo ga nad
ulomkovo črto.
Te ulomke imenujemo navadne ulomke, da jih ločimo od
decimalnih ulomkov, kakor se decimalna števila tudi imenujejo,
ker postanejo iz enote na isti način, kakor navadni ulomki (§ 9.).
Za decimalno število ali decimalni ulomek razdelimo enoto na 10,
100, 1000 . . ., za navadni ulomek pa na poljubno število enakih
delov in vzamemo nekaj takih delov.
Vsoto celega števila in ulomka imenujemo mešano število.
N. pr. 2 -j- f ali krajše pisano 2f.
Ulomek „f“ kolača vzamemo lahko za celo imenovano število (3),
čigar ime je „četrtina kolača" in si ga predočimo na sledeči način:
Slika 4.
Z ulomki računamo torej ravno tako, kakor s celimi imeno¬
vanimi števili. Drobimo in debelimo jih kakor istovrstna razno-
imenska števila.
Ulomek =
der Bruch.
Imenovalec
= der
Nenner.
Ulomkova
črta = der
Bruchstrich.
Števec =
der Zahler.
Navadni
ulomek =
der gemeine
Bruch.
Decimalni
ulomek =
der Dezimal-
bruch.
Mešano
število = die
gemischte
Zalil.
4 *

52
§ 22. Osnovni računi z navadnimi ulomki.
A. Ulomki z imenovalci 2, 4, 8. Pretvornik je 2, oziroma 4, 8 .
Primerjaj pri naslednjih vajah slike!
Slika 5.
h
4
J
Z
/
z
■i
•i
+ i
1. Kako nastanejo ulomki A A f, f, |?
3. Pretvori
a) 1, 2,/5, 7, 11, 15 celot na polovice, četrtine, osmine;
h) 1 |, 3 A, 7 A, ll-§, 19| na polovice;
c) lf, 2|, 2|, 5|, 15-| na četrtine;
d) lf, 2 a, A f, 2A, 5f, A 31 na osmine.
4. Koliko celot se nahaja v
5

53
6. Pretvori na istoimenska števila, t. j. ulomke z istim imeno¬
valcem: a) i, i; /j) a, f; c) 4 c/) 4 f; e) 4 f; /)
£) h
1 X*
4’ 8 5
3. A
4’ 8*
3 6.
2’ 4
1, 1
- H, 9|
- 2 b H
2 _ _
4
1 A
4’ 8
8 1
4’ 1
A
8’ 4
A 1 _
8 ’ 1
1 31
4’ 8
1 25
8 1 8
A*
8 *
A 9
8» ^
2f, 10 -
A*
8 »
A) 1,
7. 7 osmin in 5 osmin je 12 osmin ali 1 celota 4 osmine, oziroma
1 celota in 1 polovica. V znakih 4 -j- f — ^ = lf = 14. Izračunaj
ravno tako:
»'lili lil 118 .1 _J_ B 3.1.5 1 1 5.
a ) 2 1 2 ' 4 “ 4> 4 I 4’ 8 [ 8' 8 ~ 8’ 8 “ 81
M i-L» 8 15 8 16 S I 7. 51 1_1 31517.
U ) 2 l 2’ 2 ~ 2’ 4 I 4’ 8 I 8’ 8 I 8 ’ 8 “ 8 I 8’
c) 3| + 44, 2 | + f, 3f + 6 |, 5f + f, 7 f + 5|, f + 2| + 3|.
8 . Da izračunaš vsoto \ -j- f, pretvoriš prvi sumand na četrtine
in mu prišteješ drugega. V znakih 4 _|_ 4 . _ .4 _|_ 4 = 4 . = 14
Izračunaj ravno tako:
®) i ~i b \ + i' 1 + f 1 \ ~i t> f + i \ + f + li
b) 24 + 3|, 54 + 4 , 24 + 64 5f + 4 84 + 24 74 + 4 .
9. 3 četrtine manj 1 četrtina sta 2 četrtini ali 1 polovica.
4 Izračunaj:
a) f-
b) 1 -
c) 4|
d) 3|
10. Petkrat 3 osmine je 15 osmin ali 1 celota in 7 osmin.
V znakih |-5 = u* = 1 |. Devetkrat 2 celoti in 1 četrtino je:
devetkrat 2 celoti je 18 celot in devetkrat 1 četrtino je: 9 četrtin,
t. j. 2 celoti in 1 četrtina; devetkrat 24 je 20 celot in 1 četrtina.
V znakih 24-9 = 18 -f- f = 18 -j- 24 = 204 Ravno tako iz¬
računaj :
a) |.3, 4.6, 4 . 5 , 4 . 12, 4-3, 4 . 6 , 12, f - 16;
b) 24 • 5, 34 - 2 , 54 • 3, 24 ■ 7, 54 • 5, 3§ • 4, V • 12, 5f • 24.
11. 3 četrtine deljene s 3 dajo 1 četrtino. V znakih 4:3 = 4
Kvocient 13~ : 5 izračunaš, ako deliš — kakor mnogoimensko šte¬
vilo — najprej celote, delitveni ostanek pa pretvoriš na četrtine, mu
prišteješ dividendove četrtine in deliš to vsoto s 5. 13 : 5 je 2 in
.ostane 3, t. j. 12 četrtin in 3 četrtine je 15 četrtin. 15 četrtin : 5 da
3 četrtine. V znakih 13|: 5 = 24 . Izračunaj ravno tako:
o'| 5. . R z • 7 1 5 ■ Q 2_1 * 7 3_5 • r, 63 . n .
b) 14 : 3 , 74 : 5 , 84 : 5, 54 : 7 , 3| : 9, 6| : 7;
c) 224 ; 5, 1574 : 7, 774 : 3 , iQ4f : 9, 634 : 5, 70J- ; 3.
44 6
^8? u
31 71 — 4A «1
^ 8 ’ 1 2 8 5 4
-b 3
7f 1 24 -
- & b 9f
li 8| -
- 84 , 44
64;
■24.

54
12. Ako razdelimo polovico na 4 enake dele, dobimo dele, ki
jih potrebujemo 8 za celo enoto; imenujejo se osmine. V znakih
~ : 4 = -|. Izračunaj:
a) 1: 2, f : 2, f : 4, f : 2, y : 2;
b) 61:2, 281:4, 71:2, 151:4, 9^:2;
c) 15 : 2, 21 : 4, 35 : 8, 42 : 4, 60 : 8.
13. Produkt 20 • | določiš na isti način iz multiplikanda, kakor
je nastal multiplikator iz enote; 20 razdeliš na štiri dele, en del je 5,
produkt, imajoč 3 take dele, je 15. V znakih 20 • §- = 5-3 = 15.
Izračunaj:
a) 4 • 1, 36 • 1, 24 - f, 16 - ± 32 • f, 40 • 1;
h\ 1 1 3.1 1.1 91 . 3 R3 . 1. 91.11-
U ) 2 2’ 4 2’ 2 4 v ^2 4’ ^4 2’ ^2 A 4’
c) 5 ■ 1, 7 • f, 6 • i 12 • f, 10 • f, 20 - |.
14. 3 četrtine se nahajajo v 15 četrtinah Škrat. V znakih
‘j 5 : f = 5. Raznoimenska števila pretvorimo pri merjenju v isto¬
imenska. N. pr. 71:11 = ^ : | = S T ° : f = 30 četrtin : 5 četrtinam =
== 30 : 5 — 6. Izračunaj ravno tako:
11
11
1 8•
B. Ulomki z imenovalci 3, 6, 9, 12. Pretvornik je 3, oziroma
6, 9, 12, 2, 3, 4.
Slika 6.
d
P
d
.i
9 ?
1 —I- - -1- I---+-
pA_(Ah -t-P
-t--f-1-
-1 -+-
j?
i-1-
i
-i-1
H-1-1-!-1
15. Kako nastanejo ulomki i
1 JL JL 2. 5. J- 5 7 5 7 1 1 f J
6' 9’ 12’ 8’ 6’ 9’ 9’ 9’ 12’ 12’ 12 1

55
16. Izrazi
a '31 e - ! e - ’ t 2 ' 12 - Ta> T 2 leta v mesecih,
*) b || || I- A Al A- t! ure v minutah;
c ) l> fi i> |. b f- 1> li b I pravega kota (= 90°) v stopinjah;
d ) b h b b A A> A> t! dneva v urah.
17. Pretvori
a) 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 10 , 11 celot na tretjine, šestine, devetine,
dvanajstine;
18. Koliko celot se nahaja v
ri \ XI it! 7.2 96 1_2 0 2.5. 4.1 5.9 8.0 9 0 „
/ 1 21 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12 •
19. Pretvori
3 ) t> l> V*. I’ V’ A A na tretjine;
b) A tI’ fi ff na šestine;
c ) I’ V> V’ A’ A ff na polovice;
d) A ff’ ff’ ff na četrtine.
20. Pretvori v istoimenska števila, t. j. ulomke z istim imeno-

— 56 —
C. Ulomki z imenovalcem 5, 10. Pretvornik je 5, oziroma 10, 2.
Slika 7.
V
| -
Z
JL
i o’
_7_ J) O
1 O ’ 1 O •

57
c ) f- h b t- to- To- To- ure v minutah;
d) j, f, f, tV, to> To- To- pravega kota (90°) v stopinjah.
31. Pretvori
a) 1, 2, 5, 7, 9, 11, 13 celot na petine, desetine;
b) 1|, 2f, 8f, 4£, 9| na petine;
c) 2y^-, 3 y(J, £*X(T- it- t- " 2 . t- desetine.
32. Koliko celot se nahaja v
33. Pretvori na petine: T \, T % |f, ff, ff,
34. Pretvori v istoimenska števila: a) —■; b) §, ~ ; c) 1 ^ ;
r A 1 2 _3_. i 3
2’ 5’ 10’ / 2’ 5*
Q ^ o~\ i I _2 3. I 4 3_I_1 _7_I _9 11 I 13.
<*} 5 | 5 ’ 5 ~ 5 ’ 10 I 10’ 10 I 10’ 10 \ 1 O ’
b) 2f + 4i 8| + li 5| + 2|, 2 r 3 g- + 5 t V, 13A + 6^,
1 T V + Vo¬
lil

58
Deljiv =
teilbar.
Mnogo¬
kratnik =
d as Viel-
fache.
Mera =
das Mafi.
Znamenja
deljivosti
z 2, 5 in 10.
0 deljivosti celili števil.
§ 23. Pojasnila.
Ako delimo celo število s celim številom in dobimo za kvocient
celo število brez delitvenega ostanka, pravimo, da je prvo število
deljivo z drugim. N. pr. 24 je deljivo z 8, ker je 24:8 = 3;
24 pa ni deljivo z 9, ker da 24 : 9 = 2 in delitveni ostanek 6.
Število, ki je deljivo z drugim številom, je mnogokratnik
drugega števila; število pa, ki je ž njim deljivo, je mera prvega
števila, 24 je mnogokratnik števila 8, 8 je pa mera števila 24.
Naloge.
1. Določi, ali je v naslednjih dvojicah števil prvo deljivo z dru¬
gim: a) 56, 4; b ) 65, 13; c) 84, 21; d) 555, 37; e) 56, 9; /) 65, 14;
g) 84, 17; h) 678, 37.
2. Povej nekatere mere vsakega sledečega števila: 48, 50, 90,
100 , 120 !
3. Povej nekatere mnogokratnike sledečim številom: 2, 3, 4, 6,
7, 11, 12, 15, 25, 30!
4. Zakaj je 0 deljivo z vsakim številom ?
5. Določi, ali so dekadične enote 10, 100, 1000 deljive z 2, 3,
4, 5, 8, 9, 10, 20, 25, 100, 125. Kolik je vsakkratni ostanek?
§ 24. Znamenja deljivosti.
Je-li kako določeno število deljivo s kakim drugim številom,
razsodimo s tem, da delimo prvo število z drugim. V nekaterih slu¬
čajih pa spoznamo iz posebnih zunanjih znamenj, da je določeno
število deljivo s kakim drugim številom.
O deljivosti števil hitro razsodimo v teh-le slučajih:
1. Vsako število je deljivo z 1 in samo s seboj.
2. Vsako mnogoštevilčno število lahko razstavimo v desetice
in enice. N. pr. 5726 je 572 D in 6 E. Ako delimo eno desetico,

59
t. j. 10 enic, z 2, 5 ali 10, ne dobimo delitvenega ostanka; ravno
tako ga tudi ne dobimo, ako delimo poljubno število desetic z 2,
5 ali 10. Delitveni ostanek pri deljenju dekadičnega števila z 2, 5 ali
10 je tedaj odvisen le od števila enic; ako je število enic deljivo
z 2, o ali 10, je tudi mnogoštevilčno število deljivo z 2, 5 ali 10.
Iz tega izvajamo:
Število je deljivo z 2, ako so njegove enice deljive z 2,
ako ima torej na mestu enic eno izmed številk 2, 4, 6, 8 ali ničlo.
Z 2 deljiva števila se imenujejo soda števila; vsa ostala števila,
ki niso z 2 deljiva, se imenujejo liha števila.
Število je deljivo s 5, ako so njegove enice deljive s 5,
ako ima tedaj na mestu enic številko 5 ali ničlo.
Število je deljivo z 10, ako ima na mestu enic ničlo.
3. Vsako mnogoštevilčno število lahko razstavimo v stotice in
enice. N. pr. 5726 je 57 S in 26 E. Ako delimo eno stotico, t. j.
100 E, s 4, 25 ali 100, ne dobimo delitvenega ostanka; ravno tako
ga ne dobimo, ako delimo poljubno število stotič s 4, 25 ali 100.
Delitveni ostanek je tedaj odvisen le od dvoštevilčnega konca mnogo-
številčnega števila; ako je ta deljiv s 4, 25 ali 100, je tudi mnogo-
številčno število deljivo s 4, 25 ali 100. Iz tega sledi:
število je deljivo s 4, ako je njegov dvoštevilčni konec deljiv s 4.
Število je deljivo s 25, ako je njegov dvoštevilčni konec deljiv
s 25.
Število je deljivo s 100, ako ima na mestu desetic in enic ničli.
4. Vsako mnogoštevilčno število lahko razstavimo v tisočice in
enice. N. pr. 5726 je 5 T 726 E. Ako delimo eno tisočico, t. j. 1000 E,
z 8, 125 ali 1000, ne dobimo delitvenega ostanka in ravno tako ga
ne dobimo, ako delimo poljubno število tisočic. Delitveni ostanek je
tedaj odvisen le od troštevilčnega konca nmegoštevilčnega števila.
Ako je ta deljiv z 8, 125, 1000, je tudi mnogoštevilčno število de¬
ljivo z 8, 125, 1000. Iz tega sledi:
Število je deljivo z 8, ako je njegov troštevilčni konec deljiv z 8.
Število je deljivo s 125, ako je njegov troštevilčni konec deljiv
s 125.
Število je deljivo s 1000, ako ima na zadnjih treh mestih (na
desni) ničle.
Sodo število
= die gerade
Zahl.
Liho število
= die un-
gerade Zahl.
Znamenja
deljivosti s 4,
25 in 100.
Znamenja
deljivosti z 8,
125 in 1000.

60
Znamenja
deljivosti
s '6 in 9.
Številčna
vsota = die
Ziffern-
summe.
Sestavljeno
število'= die
zusammen-
gesetzte
Zahl.
Praštevilo
= die
Primzahl.
5. Ako delimo katerokoli dekadično enoto s 3 ali z 9, dobimo
vedno delitveni ostanek 1. Mnogoštevilčno število da tedaj toliko¬
krat delitveni ostanek 1, kolikor ima posameznih dekadičnih enot.
Tako da n. pr. število 5726 pri deljenju 5 tisočic ostanek 5, pri
deljenju 7 stotič ostanek 7, pri 2 deseticah ostanek 2 in pri 6 enicah
ostanek 6. Ako je vsota teh ostankov 5 —|— 7 —j— 2 —j— 6 deljiva s 3,
oziroma z 9, je tudi mnogoštevilčno število deljivo s 3, oziroma z 9.
Vsota delitvenih ostankov 5 —j— 7 —j— 2 —|— 6 ima za sumande številke,
ki ž njimi pišemo število, in se imenuje številčna vsota.
Število je deljivo s 3, ako je njegova številčna vsota deljiva s 3.
Število je deljivo z 9, ako je njegova številčna vsota deljiva z 9.
6. Ali je določeno število deljivo s 7, oziroma 11, ali s kakim
drugim številom, določiš v vsakem posebnem slučaju z deljenjem.
Naloge.
1. Povej, s katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25, 125
so deljiva sledeča števila:
a) 225, 250, 273, 312, 375, 396, 428, 500;
b) 657, 1125, 1840, 3375, 3450, 3942, 5715;
c) 3875, 5625, 7131, 23584, 30456, 32625.
2. Določi, katera izmed števil 2443, 7397, 12155, 1871 1, 21602,
64834 so deljiva s 7, katera zli, katera s 13!
3. Letnice, ki so s 4, ne pa s 100 deljive, značijo prestopna
leta. Letnice, ki so s 400 deljive, značijo tudi prestopna leta. a) Do¬
loči naslednjih 12 prestopnih let! b ) Koliko dnij je preteklo od dne
10. oktobra 1871. leta do dne 9. maja 1909. leta?
4. Izpremeni v številu 754621 število enic tako, da bo novo
število deljivo a) z 2; b) s 3; c) s 4; d) z 8; e) z 9; /) s 25; g) s 125.
s 25. Razstavljanje števil na prafaktorje.
Število, ki je deljivo ne le z 1 in samo s seboj, temveč tudi
z drugimi števili, napišemo lahko v obliki produkta, čigar faktorji
so manjši kakor je število samo. Število je torej sestavljeno iz drugih
manjših števil, in se imenuje sestavljeno število. N. pr. 12 = 3.4,
35 = 5 . 7, 48 = 6 . 8.
Število pa, ki je deljivo le z 1 in samo s seboj, se ne more
sestaviti na ta način in se imenuje enostavno število ali pra¬
število. N. pr. 2, 3, 5, 7, 11, 13, itd.

61
Vsako sestavljeno število moremo razstaviti na dva faktorja,
izmed katerih je včasih le eden praštevilo, včasih sta oba, včasih
ni nobeden. Ako ravnamo z vsakim izmed dobljenih faktorjev, ki ni
praštevilo, ravno tako kakor s prvotnim sestavljenim številom,
najdemo končno praštevila, ki med seboj pomnožena dajo dotično
sestavljeno število za produkt. Ti faktorji se imenujejo enostavni
faktorji ali prafaktorji.
Vsako sestavljeno število se da torej razstaviti na prafaktorje,
t. j. napisati v obliki produkta, čigar faktorji so praštevila.
Faktorje, oziroma prafaktorje manjših števil poiščeš s pomočjo
poštevanke. N. pr. 72 = 8.9 = 2.2.2.3.d; 140 =14.10 =
= 2.7.2.5 = 2.2.5. 7.
Večja števila razstaviš na prafaktorje s tem, da deliš določeno
število z najmanjšim praštevilom (izvzemši 1), ki je ž njim deljivo;
dobljeni kvocient deliš zopet z najmanjšim praštevilom, ki je ž njim
deljivo, in tako postopaš dalje, dokler ne prideš do kvocienta 1.
Divizorji vseh teh delitev so prafaktorji dotičnega števila. N. pr.
Naloge.
1. Določi vsa praštevila do 100.
2. Kazstavi sledeča števila na prafaktorje:
a) 8, 10, 14, 21, 25, 27, 51, 54, 80, 81, 84;
b) 16, 18, 20, 36, 40, 42, 44, 56, 60, 63, 88; .
c) 24, 28, 30, 45, 48, 68, 70, 75, 90, 91, 92;
d) 32, 49, 50, 76, 78, 95, 96, 98, 100, 108.
3. Poišči naslednjim številom prafaktorje:
a) 120, 144, 160, 180, 250, 300, 320, 360;
b) 156, 168, 432, 576, 625, 648, 680, 729;
c) 924, 930, 936, 990, 1050, 1540, 1750, 2079;
d) 1860, 2310, 6424, 13860, 14300, 76500, 554400.
Prafaktor
= d er
Primfaktor.

62
Skupna
mera = da s
gemeinsame
Mafl.
Največja
skupna mera
= das gioflte
gemeinsame
Mali.
Relativna
praštevila =
relative
Primzahlen.
§ 26. Naj večja skupna mera.
Število 30 ima sledeče mere: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; število
45 pa: 8 , 5, 9, 15, 45. Števila 3, 5 in 15 so mere obeli števil in
se imenujejo skupne mere števil 30 in 45.
Skupna mera dveh ali več števil je tisto število, ki so ž njim
deljiva določena števila.
Število 15, ki je največje, se imenuje največja skupna
mera števil 30 in 45. V znakih napišemo tako-le:
M (30, 45) = 15
(čitaj: največja skupna mera števil 30 in 45 je 15.)
Največja skupna mera dveh ali več števil je tisto največje šte¬
vilo, ki so ž njim deljiva določena števila.
V naj večji skupni meri dveh ali več števil se morajo nahajati
le tisti prakfatorji, ki so skupni vsem določenim številom. Ako raz¬
staviš določena števila na prafaktorje ter poiščeš in pomnožiš vse
skupne prafaktorje, najdeš največjo skupno mero dotičnih števil.
Glede na obliko računa primerjaj naslednji nalogi!
a) M (30, 45) = ? b) M (504, 840, 924) = ?
M (504, 840, 924) = 2 . 2 . 3 . 7 = 84.
Števila, ki nimajo razen 1 nobene skupne mere, se imenujejo
medsebojna ali relativna praštevila.
Naloge.
1. Poišči na pamet največjo skupno mero naslednjih števil:

63
2. Poišči:
s) M (192, 224)
M (220, 484)
M (660, 1155)
3. Izračunaj:
a) M (500, 575, 825)
M (294, 336, 504)
M (378, 882, 1386)
M (740, 925, 2035)
M (2100, 2772, 3528)
c) M (468, 624)
M (576, 1080)
M (954, 2295)
b) M (4464, 2604, 8184)
M (2592, 4464, 17424)
M (144, 204, 432, 576)
M (312, 468, 1092, 4680)
M (336, 1152, 2016, 2928)
b) M (3120, 5100)
M (6624, 4464)
M (784, 1680)
4. Določi, ali so naslednji podatki resnični:
a) M (1494, 2075) -f M (328, 369) = M (1240, 1612);
b) M (2448, 2976) — M (972, 1116) = M (1140, 1212).
§ 27. Najmanjši skupni mnogokratnik.
Mnogokratniki števila 2 so: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 . . .
in mnogokratniki števila 3 so: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...
Števila 6, 12, 18 . . . so mnogokratniki obeli števil in se imenujejo
skupni mnogokratniki števil 2 in 3.
Skupni mnogokratnik dveh ali več števil je tisto število, ki je
deljivo z vsemi dotičnimi števili.
Vrsta skupnih mnogokratnikov je brezkončna. Prvi mnogokratnik
je najmanjši, vsak izmed ostalih je pa njegov mnogokratnik.
Najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil je tisto
najmanjše število, ki je deljivo z vsemi dotičnimi števili.
Najmanjši skupni mnogokratnik števil 2 in 3 je 6, kar na¬
pišemo v znakih: mn (ž> 3) = 6
(čitaj: najmanjši skupni mnogokratnik števil 2 in 3 je 6.)
V najmanjšem skupnem mnogokratniku dveh ali več števil se
mora nahajati vsak prafaktor določenih števil, in sicer tolikokrat,
kolikorkrat se nahaja v tistem izmed določenih števil, ki je v njem
največkrat.
Najmanjši skupni mnogokratnik dveh relativnih praštevil je
tedaj njihov produkt. N. pr. mn (5, 7) = 35.
Najmanjši skupni mnogokratnik dveh števil, ki imata skupno
mero, dobiš, ako pomnožiš skupne prafaktorje z neskupnimi, t. j. z
Skupni
mnogo¬
kratnik =
das gemein-
same Viel-
fache.
Najmanjši
skupni
mnogo¬
kratnik =
das kleinste
gemeinsame
Vielfache.
Kako najdeš
določenim
številom
najmanjši
skupni
mnogo¬
kratnik.

64
.onimi, ki se nahajajo v enem številu, v drugem pa ne in ki si jih
dobil, ako deliš število z največjo skupno mero. N. pr. M (24, 36) =
= 12; mn (24 . 36) = 12 . (24 : 12) (36 : 12) = 12 . 2 . 3 = 72.
Ker je 12 . 3 = 36, si lahko prihraniš deljenje večjega števila s
skupno mero in računaš:
m (24.36) = 36 . (24 : 12) = 36 . 2 — 72.
Najmanjši skupni mnogokratnik več števil dobiš, ako razstaviš
vsa določena števila na prafaktorje, ter zbereš in pomnožiš vse raz¬
lične prafaktorje, vsakega tolikokrat, kolikorkrat si ga našel v tistem
številu, ki se v njem nahaja največkrat. Ni se pa ozirati na število,
ki je mera drugega danega števila, ker mnogokratnik števila je tudi
mnogokratnik njegove mere. Zato lahko izpustiš pri določevanju
najmanjšega skupnega mnogokratnika vsa ona števila, ki so mere
drugih danih števil. Ako moraš n. pr. določiti mu (12, 16, 18, 24,
32, 40, 56, 72) lahko takoj izpustiš števila 12, 16, 18, 24, ker so
mere števila 72, oziroma 32, ostala števila pa razstaviš na prafaktorje.
32 == 2 . 2.2.2 . 2, 40 = 2 . 2 . 2 . 5,
56 = 2 . 2 . 2 . 7, 72 = 2.2.2.3.3.
Najmanjši skupni mnogokratnik mora imeti faktor 2 petkrat,
faktor 3 dvakrat, faktor 5 in faktor 7 po enkrat. Dobiš tedaj
•»
mn (12, 16, 18, 24, 32, 40, 56, 72) = 2.2.2.2.2.3.3.5.7 = 10080
Naloge.
1. Poišči na pamet najmanjši skupni mnogokratnik sledečih števil:
2. Izračunaj:
a) mn (4, 5, 6, 8, 9, 10) e) mn (16, 20, 35, 42, 50, 56)
b) mn (6, 8, 9, 20, 22, 33) f) mn (20, 21, 30, 63, 72, 54)
c) mn (8, 12, 18, 28, 40, 45) g) mn (25, 15, 24, 80, 14, 42)
d) mn (10, 18, 24, 30, 36, 48) h) mn (26, 42, 60, 65, 77, 91)

65
3. Izračunaj:
a) mn (324, 432, 504) c) mn (1290, 1720, 1935)
b) mn (112, 204, 312) d) mn (3498, 4664, 5247)
4. Poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil v nalogi 1, § 26.
in v nalogi 2, § 25.!
Računanje z navadnimi ulomki.
§ 28. Pojasnila.
V § 21. navedena pojasnila pojmov „ ulomek, imenovalec, števec
in mešano število" izpopolnimo še s sledečimi pojasnili.
Ulomek, čigar vrednost je manjša od celote, se imenuje pravi
ulomek; števec pravega ulomka je manjši od imenovalca. N. pr.
f, itd. Ulomek, čigar vrednost je večja od celote, je nepravi
ulomek, števec nepravih ulomkov je večji od imenovalca. N. pr.
f, l ~, f§ itd. Ako je ulomkov števec mnogokratnik ulomkovega
imenovalca, ima dotično število le ulomkovo obliko, je pa pravzaprav
celo število; take ulomke imenujemo navidezne ulomke. N. pr.
1=1, V = 3, = 5 itd.
Naloge.
1. Pretvori celo število 9 v navidezni ulomek z imenovalcem
12! Tu sklepaš: Vsaka cela enota ima 12 dvanajstin; 9 enot ima
9krat 12 dvanajstin, t. j. 108 dvanajstin. V znakih
o — loj
v — 12 ■
2. Pretvori mešano število 71 v nepravi ulomek! 7 celot je
7krat 9 devetin, t. j. 63 devetin in 5 devetin je 68 devetin. V znakih
7J5 _ 6_8
' 9 - 9 ‘
3. Pretvori nepravi ulomek v mešano število! Kolikorkrat
se nahaja 15 petnajstin v 137 petnajstinah, tolikokrat imaš v številu
eno celoto. V 137 petnajstinah je 15 petnajstin 9krat in ostaneta
2 petnajstim. V znakih
137 - Q 2
15 - 57 1 5'
4. Pretvori 2, 3, 5, 8, 12, 15, 20, 25 a) v petine, b ) v sedmine,
c) v devetine, d) v dvanajstine, e) v petnajstine, f) v petindvajsetine.
Matek-Peterlin, Aritmetika. 5
Pravi
ulomek =
der echte
Bruch.
Nepravi
ulomek =
der unechte
Bruch.
Navidezni
ulomek =
der un-
eigentliche
Bruch.

66
Oblične
izpremembe
ulomkov =
Formver-
anderungen
der Briiche.
Razširje- -.
vanje ulom¬
kov = das
Erweitern
der Briiche.
Okrajše-
vanje ulom¬
kov = das
Abkiirzen
der Briiche.
5. Pretvori v neprave ulomke:
a) H, 2f, 4f, 6f, 7 t V 3*, 8 T \;
h\ 7 3 115. Q_7_ 4._8_ 7_9_ j 97 O_1_?_ •
1 8’ A 1 9’ ^13’ *2 1’ '64’ lu 10’ ^lOO’
c) 25ff, 222|i 713ff, 731f|, 164^;
d) 14fff, 105fii, 72653711f.
6. Pretvori v mešana, oziroma cela števila:
„1 2JI S_5 4 2 7 2 8_9 6.5. 7 7 6.3. 5 5 9..S •
"/ 2’ 8 7 7 ’ 5’ 6’ 18’ 12’ 25’ 24’ 19’
7)1 Al 1.9 9.1 1_00 UJ 1_49 1_3_3 1_69 8 1. •
u ) 36’ 17’ 60’ 14’ 33’ 37’ 10’ 11’ 18’ 19’
8_61 4_7_3 40 5 7 8.6..1 1_16_1 2JI_4_5 6 22 3 5 !)
■) '2 3 ’ 43’ 99 ’ 128’ 126’ 826’ 4870 •
§ 29. Razširjevanje in okrajševanje navadnih ulomkov.
V § 22. smo spoznali, da je ! = f = f = f — To — Tž- I z
prvega ulomka dobiš poznejše, ako pomnožiš števec in imenovalec
prvega ulomka z 2, oziroma s 3, 4, 5, 6; ta izprememba ulomkove
oblike pa ne izpremeni ulomkove vrednosti. Da velja to za vsak
ulomek, uvidiš na sledeči način: Ako pomnožiš števec z 2, 3, 5 . . .,
se pravi, da vzameš vsak ulomkov del dvakrat, trikrat, petkrat . . .;
ako pa pomnožiš ulomkov imenovalec z 2, 3, 5 . . ., pomeni to, da
razdeliš celoto na dvakrat, trikrat, petkrat . . . toliko med seboj
enakih delov, kakor pri prvotnem ulomku. Ti deli so tedaj le polo¬
vice, tretjine, petine . . . delov prvotnega ulomka. Ako pomnožiš števec
in imenovalec z 2, 3, 5 . . ., je to isto, kakor če vzameš dvakrat
polovico, trikrat tretjino, petkrat petino vsakega prvotnega dela. To
pa je v vsakem slučaju cel prvotni del; posamezni deli tedaj ne iz-
premene svoje vrednosti; zato je tudi ne izpremeni cel ulomek.
Obratno pa dobiš iz poznejših ulomkov prvi ulomek, če deliš števec
in imenovalec z istim številom. Iz navedenega sledi:
Ulomkova vrednost se ne izpremeni, ako pomnožiš, oziroma
deliš števec in imenovalec z enim in istim številom.
Ako pomnožimo ulomku števec in imenovalec z enim in istim
številom, pravimo, da razširimo ulomek, ako pa delimo, pravimo,
da okrajšamo ulomek.
Izmed dveh ulomkov z enakima imenovalcema je tisti večji, ki
ima večji števec. Da moreš primerjati ulomke glede njih vrednosti,
jih moraš pretvoriti na skupni imenovalec.

67
Naloge.
1. Razširi ulomek f na imenovalec 20! Novi imenovalec 20 dobiš
iz starega imenovalca 5 s tem, da pomnožiš slednjega s 4, ker je
20 = 5 . 4. Da ulomek ne izpremeni svoje vrednosti, ga moraš raz¬
širiti z razširiteljem 4.
V znakih
JL 2
20 *
2. Pretvori ulomke f, §-, f, ~ na najmanjši skupni imenovalec! —
Najmanjši skupni imenovalec navedenih ulomkov je najmanjši skupni
mnogokratnik vseh imenovalcev.
mn (3, 4, 6, 8) = 24.
Ker je 24 = 3.8; 24 = 4.6; 24 = 6.4; 24 = 8.3;
8_
tedaj je f = |f;
6
JL — iJL •
4 24 5
4
A — 2.0. *
6 24 ’
3. Okrajšaj ulomke: |§-§, ! — Ulomek okrajšaš s tem,
da deliš števec in imenovalec z njih skupno mero. Opetujoč okrajše-
vanje, izraziš ulomek z najmanjšima številoma, t. j. s številoma, ki
sta relativni praštevili. Račun napišeš tako-le:
8 fi 10 2 9 8 8
X 9 2 _1_ j2 4 __ . 1GJ) 16. JU _8_ . JL7.2 8 _19_2_ JU 2 4_ _J_ _8_
24 0 SO S’ 540 5 4 2 7 ’ 97 20 1 0 80 1 3 5 — “ 4 5'
Pri računanju z ulomki ne pozabi nikdar načela:
Okrajšaj vsak ulomek tako, da sta števec in imenovalec rela¬
tivni praštevili!
4. Razširi sledeče ulomke:
a) i, f, f, -jo na imenovalec 20;
b) b f, $, 1, H na imenovalec 24;
c ) b i’ f’ f’ T 4 > ff Iia imenovalec 42;
d) b b b I’ f’ To’ A’ U na imenovalec 60.
5. Pretvori sledeče ulomke na najmanjši skupni imenovalec:
Razširitelj
= der Er-
weiterungs-
faktor.
5 *

68
6. Uredi sledeče ulomke po njih vrednosti, začenši z najmanjšim:
8. Izrazi naslednje količine v enotah višjega imena in okrajšaj
dobljeni ulomek:
a) 24 h, 36 h, 60 h, 75 h, 80 h;
b ) 324 m, 750 m, 375 m, 540 m, 875 m;
c) 8 mes., 10 mes., 30 mes., 33 mes., 40 mes.;
d) 6 min., 15 min., 24 min., 56 min., 72 min.;
e) 16 ur, 20 ur, 30 ur, 64 ur, 84 ur.
Kako
seštevaš
ulomke.
§ 30. Seštevanje navadnih ulomkov.
Ker je 5 trinajstin -j- 7 trinajstin = 12 trinajstin, ali v znakih
_5_I_7_ - ±2
v . 1 3 I 1 3 13
smemo reci:
Ulomke enakih imenovalcev seštevaš, ako sešteješ števce,
skupni imenovalec pa pridržiš.
Ako imajo ulomki različne imenovalce, treba jih je pretvoriti
na skupni imenovalec in potem sešteti. N. pr.:
Kako
seštevaš
mešana
števila.
3. I JS I _7 _l ± _ 5 ± I 6.0. I 6.3. I 3.2. - 2_0_9 - 065
4 1 6 T 8 I 9 7 2 I 72 T 72 \ 7 2 7 2 ^7 2*
Ako so sumandi mešana števila, računaš kakor z mnogoimen-
skimi števili in sešteješ ulomke za-se in cela števila za-se; vsoto
ulomkov pa pretvoriš v mešano število in prišteješ celote vsoti celih
števil. N. pr.:
131 05 137 11 5 1 18 1 020 I 92i I 1 10 769. _
J 4l J 6n°8T^ i 12 ‘24 T*!! T S 2« T hi 1 24
= 7 V = 9f
Naloge.
Seštej:
1 oV _5_I_7_ L U. _3_ L _9_ L
1 • a > 12 1 2 ~ 12) u ) 20 ~ 2 O ~ 2 O •
2- *) U + U + II ; *) M + H + A-

69
3.
4.
5.
6 .
7.
8 .
9.
10 .
11 .
12 .
a) 1 T 2 T -j- 2y T -j- 3 t 8 t ;
a -f- 2| 2f;
a) f + I
a)
a)
a)
a)
a)
f+ 1 +
2 3 « + tV “
i-
_7_
1 5
—j— 1.1 *
~ 2 1 ’
2 1
2 8
TO “
12 _ •
96 ?
!| H~ 5 a 7 o -T 8 tV + 5 tV ;
8^-
U 8
6H + 4f + 3|;
*)
*)
b)
b)
b)
b)
b)
¥» + + 5 t V
8|f + m + 4* + 14-2*8-
f T tV TI + ?•
jž I 2_ I _4_l_ _7_
3 ~r 9 I 1 5 I 2 0'
_9_I_2_I _6_ I_7_
20 “I 21 I 35 I 30*
45 I 55 I 2.6. I 4.9.
60 ~T” 66 1~ 39 I 56*
12| +
243U
15- 7 -
i,; l8
H + 2 t % + 4 t V + 8£.
25f'V + 32 T \+15yV + 6i§.
+ 16 + 4 t % + 30| + 7£.
+ 316** + 268ff + 523^ + 104 -f 98 T V
13- a) fr T TSz ; *) ttV + tVf;
^ 9 7 I 15 1. I 2.(5 JL
V 16 8 ~t - 2 5 2 ’ “i 315 T 195'
Navodilo: 84 = 2.2 . 3 . 7, 132 = 2.2.3.11, mn (84, 132) =
= 2.2.3.7.11. Ako pustiš mnogokratnik razstavljen na pra¬
faktorje, določiš hitreje razširitelje ulomkov. Primerjajoč stari in
novi imenovalec, vidiš takoj, da je razširitelj prvega ulomka 11,
drugega pa 7. Ko določiš tsoto števcev, okrajšaš ulomek in šele
potem zmnožiš faktorje v imenovalcu. Ta način računa je pri¬
poročljiv posebno takrat, če so imenovalci večja števila.
14. Kolika je vsota petim številom, ako je prvo 731-j-| in vsako
naslednje za 27f večje od prejšnjega?
J 2 O
K,
Hf
K,
12*
K
kg,
15. Nekdo mora plačati 37£ K, 15 T 7 p K, 22
in 18| K; koliko skupaj ?
16. Trgovec dobi 6 sodov sladkorja, ki tehtajo posamič 145
146£ kg, 146f lil\ kg, 148y 9 y kg, 150-g kg; koliko tehtajo vsi
sodi skupaj ?
17. Trikotnikove stranice merijo 225* m, 173£ m in 205f m;
kolik mu je obseg?
18. Nekdo prehodi v petih dneh zaporedoma 35f km, 38y 6 g km,
42 \ km, 40f km in 36 T y 8 y km; koliko znaša vsa pot?
19. Izmed treh bratov je najmlajši 7f leta star, drugi za 8f leta
starejši ko ta in tretji za 3* leta starejši od drugega; koliko let
štejejo vsi skupaj?
20. Tri cevi polnijo vodnjak; prva ga napolni sama v 3 (8) urah,
druga sama v 4 (12) urah in tretja sama v 6 (15) urah. Koliki del
vodnjaka napolnijo vse tri cevi v 1 uri? (Prva cev napolni v 1 uri
* vodnjaka. Koliko druga, koliko tretja v 1 uri?)

70
Kako
odštevaš
ulomke.
Kako
odštevaš
mešana
števila.
§ 31. Odštevanje navadnih ulomkov.
Ker da 7 dvanajstin — 5 dvanajstin 2 dvanajstini ali v znakih
_7__5_ _ _2_ _ 1
y. 12 12 12 6
smemo reci:
Razliko dveh ulomkov z enakimi imenovalci izračunaš, ako
odšteješ od minuendovega števca subtrahendov števec in postaviš
to razliko za števec ulomku, ki ima skupni imenovalec za imeno¬
valec.
Ako imajo ulomki različne imenovalce, pretvoriš jih najprej na
skupni imenovalec in potem določiš razliko. N. pr.:
4.0,
4 5
JL.6
4 5
Ako sta minuend in subtrahend mešani števili (mnogoimenski
števili), izračunaš najprej razliko ulomkov in potem razliko celih števil.
Če je minuendov ulomek manjši od subtrahendovega, prišteješ minu-
endovemu ulomku eno celoto ter jo spojiš z (razširjenim) ulomkom,
prišteješ pa subtrahendovim celotam eno celoto, da se ne izpremeni
razlika. N. pr.:
8ff =
176»
1 '36
a) 17f-8f = 17f|
b) 34 — 19* = 34* - 20* = 14*.
032 - Q31 .
* 36 - °36 ’
Naloge.
1. Izračunaj sledeče razlike:
o\ ji _ 2 ±8 _ _8_ *9_7_ 2 3 _ 1__7 .
9 91 15 15’ 24 2 4 ’ 3 6 36’
*) u-
0 ) ! -
d ) 8f -
«) Vt
f) 9f-
g) 5 —
h) 6| -
1) 4| -
k) III
2 2 _ 7 _
9’ 20
_7 _9_
8’ 16
JL 2.3.
5’ 2 4
_5_ 1.3.
12 ’ 18
A !1
8’ 3 6
_3_ 5_.3
10 ’ 6 0
1.3. •
2 5 ’
_ 3, 12* — 9, 88f — 59, 304| — 158;
' 2*, 9* - 2* 127* - 78*, 318* - 209*;
- 7f, 6* - 4* 12* - 9*, 29* - 9*;
2f, 37 - 18* 215 - 196*, 811 - 644*;
- 4f, 8* - 3*, 42* - 16*, 72* - 25*;
- lf, 8* - 5*, 941 ~ 57*, 613f - 475ff;
89 KI 2 5 _ O 4_9_ Q_l_7_ _ 911.1
T9"5’ ° 16 8 * 2 6 4 ’ U 1 9 8 ^234*

71
2. Izračunaj sledeče izraze:
a ) I + i I! c ) It i + t i
jso 6 i! _ :i _ a . f l\ H _ 2_3_ .
SO 'J 16 ) / 60 ^ 20 )
e) H - T 2 - V + Vo - 21 + 4+
/) 17+ + 8f - ioi — 4f + H — 7!f.
3. Za koliko je vsota 31+ 7+ + 4^ večja od vsote 11+ 2§ + +?
4. Za koliko je vsota 37-f + 13-+ večja od razlike 67f— 19|?
5. Za koliko postane ulomek f- (+) večji ali manjši, ako
a) prišteješ števcu in imenovalcu 1,
b) odšteješ od števca in imenovalca 1?
6. Telo telita v zraku 16f kg, pod vodo pa 14§ kg; koliko svoje
teže navidezno izgubi telo v vodi?
7. V trikotniku merita dva kota a) 64 T 7 + in 731°, b) 85°43f'
in 59° 36+-'; koliko meri tretji kot?
8. Nekdo prejme 73+ K, 19f K in 28+ K, izda pa 27+ K,
23J K in 31+K; za koliko je več prejel nego izdal?
9. Trije zaboji tehtajo z blagom vred 5161 kg, 437+ kg in
335f kg; prazni zaboji pa tehtajo 19f kg, 171 kg in 12f kg. Koliko
tehta blago samo a) v vsakem zaboju, b) v vseh zabojih skupaj?
10. Od 538+ K dolga se odplača po malem 86^ K, lOf K,
118+K, 58fl K in 64f K; kolik je ostali dolg?
11. Iz soda, ki drži 32+ hi vina, se napolnijo trije manjši sodi,
ki drže 7i hi, 6f hi in 6+ hi; koliko vina še ostane v velikem sodu?
12. Ob neki cesti so zaporedoma kraji A, B, C in D; od A
do B je 19f km, od B do D 524 km, od C do Z* 35+ km. a) Kako
daleč je od A do D; b) od A do C; c) kako daleč ima popotnik
še do D, ako je od A odšel in je že prehodil 47f km ?
13. Neka cev napolni prazni vodnjak v 5 (8) urah, druga cev
pa izprazni polnega v 9 (12) urah; koliki del vodnjaka je napolnjen
v 1 uri, ako voda po prvi cevi priteka, po drugi pa odteka, in če
je bil vodnjak v začetku prazen?
§ 32. Množenje ulomka s celim številom.
Ker je 3 petine X 4 = 12 petinam ali v znakih
t*4
12
5 2f
velja:
Ulomek množiš s celim številom, ako pomnožiš števec s celim
številom, imenovalec pa pridržiš neizpremenjen.
Kako
množiš
ulomek
s celim
številom.

72
Kako
množiš
mešano
število
s celim
številom.
Večkrat si prikrajšaš račun, ako množenje števca s celim številom
samo nakažeš in okrajšaš ulomek v tej obliki. N. pr.:
6
«) A * 12
b) * • 8 =
7-12
1 8
7 - 2
3
1J - 4.2.-
3 ^3 ’
9 • 8
3 2
- 9 - O I
-
C ) T
s . 17
7 1 1
9.
4
17
15 17 i_5
17 - l
1 5.
V nalogi pod c) sklepaš lahko tako-le: yV množena s 17 da
* = 1 (celoto), pa da 15krat toliko kakor torej 15 celot.
Iz navedenega izvajaš:
Ulomek, pomnožen s svojim imenovalcem, da števec za produkt.
Mešano število (= mnogoimensko število) množiš s celim številom,
ako pomnožiš celote in ulomek s celim številom in sešteješ oba pro¬
dukta, ali pa, ako pretvoriš mešano število v nepravi ulomek in
potem izvršiš množenje. N. pr.:
5§ • 4 = 20 -J- f = 20 -)- 2f = 22f, ali pa:
52.4=17 . 4 = = 22-
^3 ^ 3 * 3 ""8
Naloge.
1. Izračunaj sledeče produkte:
4. Stranica enakostraničnega trikotnika meri 47§ dm; kolik
je obseg?
5. 1 hi vina velja 36f K; koliko velja 9, 12, 15 hi vina?

73
6. Uradnik ima na dan 8|- K plače; koliko na mesec, koliko
na leto?
7. 1 q blaga velja 25J K; koliko velja 32, 56, 113 ql
8. Kolik je obseg kolesu, ki ima 48 zobcev, ki so po 4f cm
med seboj oddaljeni?
9. Gospodar izda meseca avgusta na dan po 6f K, meseca
septembra po 6 T 7 ^ K in meseca oktobra po 8|- K; koliko je izdal
v vseli treh mesecih?
10. Neka cev napolni vodnjak v 6 urah, druga cev v 8 urah in
tretja cev v 10 urah; koliki del vodnjaka napolnijo vse tri cevi
a) v 1 uri, h) v 3 (5) urah?
11. V vodnjak priteka voda po neki cevi, po drugi pa odteka;
prva cev napolni prazni vodnjak v 9 urah, druga pa izprazni pol¬
nega v 12 urah. Koliki del vodnjaka je napolnjen, ako sta obe cevi
odprti 5 ur, in če je bil vodujak v začetku prazen?
§ 33. Deljenje ulomka s celim številom.
Kvocient 3 petine : 7 izračunaš s tem, da razdeliš vsako petino
na 7 enakih delov; ker se nahaja v celoti 5krat po 7, t. j. 35 takih
delov, se imenujejo ti deli petintridesetine. Sedmi del ene petine je
ena petintridesetina, sedmi, del 3 petin so pa 3 petintridesetine.
V znakih
1-7
_3_
3 5
3
5 7 *
Kako deliš
ulomek
s celim
številom.
Ulomek deliš s celim številom, ako pomnožiš imenovalec s
celim številom, števec pa pridržiš neizpremenjen.
Večkrat si prikrajšaš račun na ta način, da samo nakažeš mno¬
ženje imenovalca s celim številom in okrajšaš ulomek v tej obliki.
N. pr.: 4
o\ H • 19 — lt 4 4 .
9 • e-12 9.3 275
Mešano število deliš s celim številom, ako deliš najprej divi-
dendove celote s celim številom, morebitni delitveni ostanek združiš
z dividendovim ulomkom v nepravi ulomek, le-tega deliš s celim šte¬
vilom in sešteješ oba kvocienta. N. pr.:
Kako deliš
mešano
število
s celim
številom.
246§: 7 = 35 ¥ 8 r , kajti 246 : 7 da 35 in ostanek 1, 1|: 7 = f : 7 =

74
Naloge.
1. Izračunaj sledeče kvociente in napravi preizkus:
a) H : 9 *) A = 12 c) ff :.8 d) 7* : 25 e) 16* : 18
iff : 11 U '■ I 5 H': 35 48— : 12 ' 12f : 3
Tor • ® tI • 20 tVš : 13 2f : 13 17* : 4
/) 1396* : 4 g) 59 t V : 8 A) 9| : 16 i) 342 X B T : 23
2785* : 9 105if : 35 58f : 15 584ff : 60
7694f : 24 408ff : 48 307f : 25 785** : 75.
2. Deli 3 t \ + 7i| - 5 T V s 13.
3. Delavec zasluži na mesec 152* K; koliko na dan?
4. 42 m sukna velja 453f K; koliko lm?
5. 1 hi vina velja a) 47f K, b) 28 X o K, c) 32f K; koliko velja
v vsakem slučaju 25 1!
6. Vinotržec proda 8f hi, 6* hi in 8 T \ hi vina in skupi zanj
806f K; koliko velja 1 hi!
7. Lokomotiva preteče v 4 urah 121f km; koliko a) v 1 uri,
h) v 1 minuti?
8. Ob cesti, ki je 588£ m dolga, stoji na vsaki strani 107 dreves;
kako daleč je drevo od drevesa?
9. Nekdo zmeša 24 hi pšenice po 14f K in 26 hi po 15i K;
koliko je vreden 1 hi zmešane pšenice?
10. Krčmar kupi 72 hi vina po 46f K in proda vse vino tako,
da ima SSO^ K dobička; a) za koliko je prodal vino, b) koliko
dobička je imel pri 1 hi!
11. 1343 t 7 q K je treba razdeliti med 4 osebe tako, da dobi
A 3, B 4, C 5 in D 6 enakih delov; koliko dobi vsaka oseba?
(V koliko enakih delov razdeliš celo vsoto?)
12. 9 (13) m blaga velja 38 x (54f) K; koliko 24 (35) m!
13. Kos platna meri 40 m in velja 64-f K; koliko je treba plačati
za 18 m!
14. Nekdo zasluži v 6 dneh 10 X K; koliko v 35 dneh?
15. Neka družina porabi na teden 43|K; koliko v 52 dneh?
16. Ako razdeliš neko vsoto denarja med 36 revežev, dobi vsak
3f K; koliko bi dobil vsak, če bi razdelil isti denar med 45 revežev?
(Koliko je denarja, ki ga razdeliš?)

75
17. Dva trgovca kupita skupaj 2385 kg olja; A ga vzame
1842 kg in plača zanj 2947^ K; koliko olja ostane B- u, in koliko
mora B zanj plačati?
18. Voz sena velja 85|- K in tehta z vozom vred 1380 kg;
koliko velja 1 q sena, če tehta prazni voz 280 kg‘i
§ 34. Množenje z ulomkom.
Produkt -I • Čigar multiplikator je ulomek, izračunaš po občnem Kako množiš
pojasnilu o množenju (§ 13.). Multiplikator ~ nastane iz enote, ako ulomkom,
razdeliš enoto na 7 enakih delov in vzameš 5 takih delov. Na isti
način najdeš produkt iz multiplikanda. Multiplikand -| razdeliš na
7 enakih delov in vzameš 5 takih delov. Ker je en del enak g-f?,
bo 5 delov • 5 = ft-f ali v znakih
2 - 5
i) • 7
10
2 1 '
Iz tega izvajaš:
Ulomek množiš z ulomkom, ako pomnožiš števec s števcem in
imenovalec z imenovalcem ter postaviš prvi produkt za števec,
drugega pa za imenovalec.
Navedeno pravilo porabiš lahko tudi v slučaju, da je en faktor
celo število; treba je le napisati celo število v obliki ulomka z ime¬
novalcem 1. N. pr.:
o"! 4.7 _ 4.7 _ 4-7 _ 2 8 _ K 3 •
u ) r, ‘ - 5 1 - o ■ 1 - 5 '— 0 s 1
h) 8.2 - 8.2 8^2 -. 1_6 - KI
° 3 - 1 S - 1-3 3 - J 3'
Ako sta multiplikand in multiplikator mešani števili, pretvoriš Kak n ...
ju v neprava ulomka ter izvršiš množenje po pravilih o ulomkih. N. pi\: mešana šte-
r „ vila.
H
4i
2_1
5
2 1- 2 5
5 • 6
- i • r.
1 • G
3_5
2 171 -
Kvocienta 4:9 ne moremo izraziti s celimi števili, ker nimamo
celega števila, ki bi dalo z 9 pomnoženo za produkt 4. Kvociente te
vrste izrazimo z ulomki 4:9 = -f. Naj je ta kvocient izračunan v
zmislu pravega deljenja ali v zmislu merjenja, vsakokrat nam po¬
kaže preizkus, da je prav določen; saj je -f • 9 =4 in ravno tako
9 • -f = 4. Ker moreš določiti na ta način vsak kvocient brez delit¬
venega ostanka, je pravilo, da je
dividend = kvocient X divizor
obče veljavno.
Vsak kvocient smeš tedaj smatrati za ulomek in vsak ulomek
za kvocient.

76
Naloge.
2. Izračunaj ravno tako:
4. Pomnoži -j- — 8| s 5-f -f- •§■ — 4-|f.
5. Za koliko je produkt ulomkov f in f manjši nego vsak
faktor ?
6. Za koliko je produkt ulomkov f, f in f manjši od njih
vsote ?
7. Izračunaj produkte naslednjih ulomkov, ki so po svoji vred¬
nosti dekadične enote:
8. Izračunaj sledeče produkte:
a) 2 d . 3 d, b) 3 d . 2 s, c) 8 T . 3 d,
7 D . 3 d, 4 Z). 2 s, 6 S . 2 d,
2 s . 4 s; 2 D . 3 t; 3 Dt. 4 st.
9. 1680 (3851) K je treba razdeliti med tri osebe tako, da
dobi A f ( T 8 9 g-), B f (i), C pa ostanek; koliko dobi vsaka oseba?

77
10. A ima 45| 'K, B 2^krat toliko kakor A, C l^-krat toliko
kakor B in D fkrat toliko kakor C; a) koliko denarja ima vsak,
b ) koliko vsi skupaj ?
11. Z blagom napolnjen zaboj tehta 328f kg, zaboj sam 24f kg;
koliko je vredno blago, ako se računa kilogram po 4~ K ?
12. Trgovec skupi na dan povprečno 34|£ K; a) koliko v 1 me¬
secu, b) v 8~ meseca, c) v f leta ?
13. Krčmar zmeša 7 ^ hi vina po 32f-K, 6£/j/ po 37£ K in
9 hi po 29- K; koliko je vredno zmešano vino?
14. Dve cevi polnita vodnjak; prva napolni v 1 uri druga
pa ^ praznega vodnjaka. Koliki del vodnjaka se napolni, ako je
prva cev odprta 3£ ure, druga pa 2-f ure ?
§ 35. Deljenje z ulomkom.
Kvocient £• : f določimo v zmislu merjenja. Ulomke pretvorimo
na osemindvajsetine in dobimo, da je £ : f — 3 . 7 osemindvajsetim
: 4 . 5 osemindvajsetin = 3 . 7 : 4 . 5 = |^-| (§ 34.) = f-. J-. De¬
ljenje se je izpremenilo v množenje; multiplikand je prejšnji dividend,
multiplikator je pa ulomek, ki nastane, ako zameniš v prejšnjem
divizorju števec in imenovalec med seboj. Multiplikator, pravimo, ima
obratno ali reci p rok n o vrednost prejšnjega divizorja. Tako
so reciprokne vrednosti števil £, £, 7 = £ po redu f, f = 4, -f.
Ker je | • | = 1, £ • 4 = 1, 7 • \ = 1, velja:
Vsako število, pomnoženo s svojo reciprokno vrednostjo, da za
produkt 1.
Število deliš z ulomkom, ako pomnožiš dividend z divizorjevo
reciprokno vrednostjo.
Mešana števila pretvoriš pred delitvijo v neprave ulomke. N. pr.:
o i_ • 1 i Z • Z Z . Z — i_4 — i J5
^3 1 l 2 3*2 3 3 9 X 9*
Naloge.
1. Izračunaj sledeče kvociente in napravi preizkus:
Kako deliš
z ulomkom.
Reciprokna
vrednost =
der reziproke
Wert.
Kako deliš
mešano
število
z mešanim
številom.

78
2. Izračunaj ravno tako:
6. _ 7 _ (|) hi vina velja 36f (310 K; koliko 1 hi?
7. Nekdo potrebuje na dan lf K; koliko dnij bo izhajal s 45 K?
8. Glava sladkorja tehta 9! kg in velja llf K; po čem je 1 kg?
9. Koliko velja 1 hi vina, ako kupiš 12£ hi za 537-| K?
10. Trgovec ima pri prodaji nekega blaga 25f (12-|f) K dobička,
in sicer pri vsakem kilogramu ~o (A) K; koliko kilogramov je prodal?
11. Sel prehodi v 1 uri 4~| km; v koliko urah prehodi 225 km?
12. 33£ (229fj K se razdeli med več oseb tako, da dobi vsaka
P° 1A (AVo) K; koliko je oseb?
13. Ako velja 3 \q nekega blaga 29f K, koliko je treba pla¬
čati za 5f q?
14. Bala bombaža tehta 150 kg in velja 392+ K; koliko velja
1 q bombaža, ako znaša tara 9f kg?
15. Vinotržec kupi 15 \ hi vina po 50§ K in proda to vino z
dobičkom 102| K; po čem je prodal hektoliter?
16. Od neke vsote dobi A |, B 0 C ! in D ostanek, če je A
dobil 528 K, koliko je dobil vsak izmed ostalih? (Kolika je bila
vsota, ki se je razdelila?)

79
17. Krčmar kupi 15f hi vina po 40| K in 8f hi po 33— K;
koliko ga stane povprečno 1 hi 7
18. Vodnjak drži 3472f hi in se da napolniti po neki cevi v
5f ure. Koliko hektolitrov vode da cev v 1 uri? Koliko hektolitrov
še manjka, da ni vodnjak poln, ako je cev odprta 3|- ure ?
19. Petero kotov meri posamič 65° 27§', 148° 51 t 4 j', 92° 32f',
185° 29f' in 47° 38 T V; kolika je njih vsota?
20. Trgovec proda tri vreče riža za 32f K, 41-|f K in 28f K.
Pri prvi vreči ima 3-| K dobička, pri drugi 3 T 7 „ K in pri tretji 2f K.
Za koliko je kupil ves riž? (2 načina.)
21. Za 1 K dobiš f m; koliko za ~ K?
22. Ako velja | m nekega blaga 3| K; koliko velja 8| ml
23. Trgovec proda na dan povprečno 47 \ kg skladkorja; koliko
dnij bo izhajal z 807-| kg7
24. Kaj je bolje kupiti 8 T 9 o kg nekega blaga za 16i K ali pa
lOf kg istega blaga za 22 T 7 ?r K?
25. Rokodelec je bil 14§ leta star, ko se je začel učiti roko¬
delstva; po 4i leta je postal pomagač in 8 t 7 š leta pozneje mojster.
Koliko let je doživel, ako je bil 35f§ leta mojster?
26. A ima na mesec 265f K plače in izda na dan povprečno
6y K; koliko si prihrani v 1 letu ?
27. Nekdo kupi za 51-§f K sladkorja in kave, in sicer vsakega
za. polovico denarja; koliko dobi sladkorja in koliko kave, ako
velja kilogram sladkorja || K in kilogram kave K?
28. 847|- K je treba razdeliti med tri osebe tako, da dobi A 3 dele,
B 4 istolike dele in C pet takih delov; koliko dobi vsaka oseba?
29. Nekdo da izkopati 8 m globok vodnjak, ter plača za prvi
meter 3f K in za vsak naslednji meter f K več ko za prejšnjega;
koliko mora plačati za izkopavanje vodnjaka?
30. Posestnik kupi 8i ha njiv po 1722f K, 3f ha travnikov
po 1097^ K in 17^ ha gozda po 874 K; koliko mu je plačati?
31. Posoda drži 4f 1; kolikokrat se da napolniti iz soda, ki
drži 6 hi 15i /?
32. Nekdo kupi 45| m blaga po 8f K; po čem mora prodajati
meter, da bo imel 54f K dobička?
33. Trgovec ima 1126 T 7 „ kg kave; koliko mu je še ostane, ako
je odproda 252| kg, 87§ kg, 148 kg in 320f kg7

80
Kako
pretvoriš
navaden
ulomek v
decimalnega.
Končen
decimalni
ulomek =
endlicher
Dezimal-
bruch.
Brezkončen
decimalni
ulomek =
unendlicher
Dezimal-
bruch.
34. Vodnjak drži 5823| hi in se da napolniti po neki cevi v
5 urah, po drugi pa izprazniti v 6 urah. Ko je vodnjak napolnjen
do polovice, se odpreta obe cevi; v koliko urah bo zdaj vodnjak
poln ? (Koliko vode priteče, koliko odteče v 1 uri ? Koliko hektolitrov
vode ostane v vodnjaku v 1 uri?)
35. 2952 K je treba razdeliti med štiri osebe tako, da dobi
A ± B T S 5 -, C 3 ?g- in D ostanek; koliko dobi vsaka oseba?
36. Ena cev napolni vodnjak v 3, druga v 4 urah; v koliko
urah bo vodnjak poln, ako ste odprti obe cevi?
37. Za koliko se izpremeni ulomek §-|, a) ako prišteješ števcu
in imenovalcu 8 , b) ako odšteješ od števca in imenovalca 8 ?
38. Krčmar kupi 5f hi vina po 40§ K in 2± hi po 54f K,
zmeša oboje in prodaja liter po 64 h. Koliko ima dobička?
39. Trgovec dobi 3 zaboje blaga, ki tehtajo posamič 97f kg,
115f kg in 118-| kg; tare je 15-| kg, 17 j- kg in 13| kg. Po čem je
plačal kilogram, ako velja vse blago 2139| K?
40. Neka cev napolni vodnjak v 15 urah, druga v 12 urah,
tretja pa ga izprazni v 10 urah; v koliko urah bo prazen vodnjak
napolnjen, ako se odpro vse tri cevi?
§ 36. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalne ulomke.
Da pretvorimo navadni ulomek -§- v decimalnega, ga smatramo
(§ 34.) za kvocient 3:8 = 3‘ooo : 8 = 0'375 in dobimo, da je
| = 0-375.
Navaden ulomek pretvoriš v decimalnega s tem, da deliš števec
z imenovalcem in izračunaš kvocient v obliki decimalnega ulomka.
Navadni ulomek § lahko pretvorimo v njemu popolnoma enako¬
vreden decimalni ulomek 0’375, ker pri deljenju 3'ooo : 8 ne do¬
bimo delitvenega ostanka (končen decimalni ulomek). Če pa
deleč števec z imenovalcem ne pridemo do ostanka 0 , je izračunani
decimalni ulomek le približno enakovreden decimalnemu ulomku, in
to tem približneje, čim več decimalk izračunamo (brezkončen
decimalni ulomek). N. pr.:
ytt = 47o : 111 = 0-4234 ... ali i-f = 15o: 22 = 0■ 6818 . . .
260 ““ 180
380 40
470 180
26

81
Ker je vsak ostanek manjši od divizorja, se morajo ponavljati
po nekoliko delitvah ostanki in istotako tudi številke v kvocientu.
Decimalni ulomek, ki se v njem ponavlja ena ali več številk v istem
redu, se imenuje povraten ali periodičen decimalni ulomek,
vrsta povračajočih se številk se zove povračaj ali perioda.
V ulomku 0‘4234 ... je perioda 423, v ulomku 0’6818 ... pa 81.
Periodo zapišemo navadno le enkrat, a zaznamujemo nje prvo in
zadnjo številko tako, da postavimo piko nad vsako. N. pr.:
tVt = 0’423, || = 0-681.
Decimalen ulomek, ki se v njem ponavljajo vse decimalke, se
imenuje čisto periodičen decimalni ulomek, n. pr. 0 P 423; deci¬
malen ulomek pa, ki ima pred periodo decimalke, ki se ne ponav¬
ljajo, se zove nečisto periodičen decimalni ulomek, n. pr. 0‘ 681.
Naloge.
1. Pretvori sledeče navadne ulomke v decimalne :
3 4 _9_ £1_ 1 1 11 1 _1_ 6__7 8_2_3 7 .
a ) 4 ’ 5’ 16’ 25» 32» 125’ 250’ 64’ 6250’
h \ 2 £ 7 _9_ 40 5.3^ £ 0_ 8_ +++ •
u ) 3’ 7’ 9’ 11’ 33’ 37’ 81’ 101’ 241’
§ 37. Pretvarjanje decimalnih ulomkov v navadne ulomke.
Končen decimalni ulomek pretvoriš v navadnega, ako izraziš
njegovo vrednost v enotah najnižjega reda in napišeš to vrednost v
25
obliki navadnega ulomka. N. pr. O - 375 = 375 t = + 7 + = j§ = f.
Ako hočeš pretvoriti periodičen decimalni ulomek, n. pr. O‘681
v navadnega, pomnoži ga z 10, 100, 1000 . . . tako, da pride deci¬
malna pika prvič za periodo, drugič pred periodo in odštej drugo
vrednost od prve. Ker odpadejo z odštevanjem vse decimalke, dobiš
razliko popolnoma natančno. Sklepaš pa tako-le:
lOOOkratni ulomek = 681'8181 . . .
tokratni ulomek = 6-8181.. . .
990kratni ulomek = 675,
9 5
enkratni ulomek = = it-
Matek-Peterlin, Aritmetika. 6
Periodičen
decimalni
ulomek =
periodischer
Dezimal-
bruch.
Perioda =
die Periode.
Cisto
periodičen
decimalni
ulomek =
rein
periodischer
Dezimal-
bruch.
Nečisto
periodičen
decimalni
ulomek =
gemischt-
periodischer
Dezimal-
bruch.

82
Pri pretvarjanju čisto periodičnega decimalnega ulomka, n. pr.
0‘423 odpade drugo množenje in sklepaš tako-le:
lOOOkratni ulomek = 423‘423423 . . .
lkratni ulomek = 0'423423 .. .
999kratni ulomek = 423,
9
enkratni ulomek =
Naloge.
1. Pretvori sledeče decimalne ulomke v navadne:
a) 0‘25, 0‘275, 1 016, 0‘064, 3‘1625, 1‘0496;
b) 0‘5, 0‘72, 0‘504, 3 936, 2'0234, 1 4113;
c) 0-83, 0-48, 0-426, 0-306, 0-5727, 3-2027.
2. Izračunaj:
a) 5" 3 -f- 2" 27,
9-63 — 2-05,
8-037 — 5 18;
(Pretvori periodične
račune s temi!)
b) 6-4.5-27,
2-13.0-6,
0-8 . 0-48;
decimalne ulomke
Sklepni računi.
c) 1-074 : 2-15,
2-4 : 115,
1 -06 : 0-426.
v navadne in izvrši
§ 38. Sorazmerne količine.
Odvisne
količine =
abhangige
Groben.
Premo
sorazmerne
količine =
gerade pro-
portionale
Groben.
Ako stane 6 m blaga 24 K, stane 12 m 48 K, 18 m 72 K,
3 m stanejo 12 K, 2 m staneta 8 K, 1 m stane 4 K. Tu imamo dve
vrsti količin: množino blaga in vrednost njegovo; vsaka izprememba
ene količine povzroči izpremembo druge količine. O takih količinah
pravimo, da so med seboj odvisne.
Medsebojna odvisnost količin more biti raznovrstna. O dveh
količinah, ki sta med seboj tako odvisni, da pripada dvojni, trojni,
četverni prvi količini tudi dvojna, trojna, četverna druga količina in
ravno tako polovici, tretjini, četrtini prve količine tudi polovica,
tretjina, četrtina druge količine, pravimo, da sta premo ali direktno
sorazmerni. Premo sorazmerne količine so tedaj: množina blaga
in njegova vrednost, število delavcev in njih zaslužek, število delavcev
in delo, ki ga store, glavnica in obresti, čas in obresti, kvadratova
stranica in njegov obseg, krogov polumer in njegov obod, lok in
obsrediščni kot v enakih krogih.

83
Samo ob sebi je umevno in za pravilnost računa potrebno, da
ostanejo vse druge okoliščine neizpremenjene, t. j. da velja en meter
ravno toliko kakor drugi, da zasluži in stori en delavec ravno toliko
kakor drugi v istem času itd.
Ako kupiš večjo množino blaga skupaj, se računa blago časih
ceneje, kakor če kupiš malo blaga. N. pr.: Žemlja velja 4 h, 3 žemlje
pa 10 h. Tu pripada trojni prvi količini pač večja druga količina, a ne
natanko trojna. Tudi te količine so med seboj odvisne, vendar niso
premo sorazmerne. Take količine so tudi: kvadratova stranica in
njegova ploščina, kockin rob in njena prostornina, tetiva in k njej
spadajoči lok, oziroma obsrediščni kot v enakih krogih, starost in
visokost, oziroma debelost drevesnih debel.
Ako pokosi 6 koscev travnik v 12 urah, pokosi isti travnik
12 koscev v 6, 18 koscev v 4 urah; 3 kosci ga pokose v 24 in
2 kosca ga pokosita v 36 urah. Tudi v tem slučaju imamo dve
vrsti količin, število koscev in število ur, ki sta med seboj odvisni.
Vendar pripada dvojni, trojni prvi količini le polovica, tretjina druge
količine, polovici, tretjini prve količine pa dvojna, trojna druga ko¬
ličina. O dveh tako med seboj odvisnih količinah pravimo, da sta
obratno ali inverzno sorazmerni. Obratno sorazmerne količine
so: število delavcev in za isto delo porabljeni čas; dolžina in število
korakov, ki jih napravimo, da prehodimo isto pot; dnevni izdatek
in število dnij, ki izhajamo z istim imetkom; število dnij in oseb,
ki izhajajo z istim živežem; enotna cena in število enot, ki jih ku¬
pimo z istim denarjem; dva faktorja, ki tvorita isti produkt;imeno¬
valec in ulomkova vrednost pri istem števcu itd.
Tudi v teh slučajih je za pravilnost računa potrebno, da ostanejo vse
druge okoliščine neizpremenjene, t. j. da napravi n. pr. vsak delavec v
istem času enako delo, da so koraki, dnevni izdatki itd. med seboj enaki.
Nekatere količine so sicer tudi med seboj tako odvisne, da
pripada večji prvi količini manjša druga količina in nasprotno; ne
pripada pa dvojni prvi količini ravno polovica druge količine. O takih
količinah ne moremo reči, da so obratno sorazmerne. Količine te
vrste so: tetiva in nje središčna razdalja v enakih krogih; kateta
in njej priležni kot pri isti hipotenuzi itd.
V sklepnih računih se pečamo le s premo in obratno soraz¬
mernimi količinami. Sorazmernost dveh količin pa spoznamo, ako
poizkusimo, če res pripada dvojni, trojni prvi količini tudi dvojna,
trojna druga količina, oziroma le polovica, tretjina druge količine.
6 *
Obratno
sorazmerne
količine =
umgekehrt
propor-
tionale
GroBen.

84
Enostavni
sklepni
račun — die
einfache
Schlufi-
rechnung.
Pogojni
stavek == der
Redingungs-
satz.
Vprašalni
stavek = der
Fragesatz.
§ 39. Enostavni sklepni račun.
Naloga, a) Ako velja 6 m blaga 24 K, koliko velja 7 m istega
blaga? Da razrešiš nalogo, sklepaš tako-le: 6 m velja 24 K, 1 m je
šestina od 6 m, velja tudi šestino od 24 K, t. j. 4 K; Im je 7krat
1 m, 7 m velja 7krat toliko kakor 1 m, t. j. 7 krat 4 K = 28 K.
b) Ako pokosi 10 koscev travnik v 12 urah, koliko koscev po¬
kosi isti travnik v 5 urah? Tu sklepaš: 12 ur rabi 10 koscev.
1 uro, t. j. dvanajstino od 12 ur, rabi 12krat 10 koscev, t. j. 120;
5 ur, t. j. 5krat 1 uro, rabi le petina od 120 koscev, t. j. 24 koscev.
Ta način razreševanja nalog imenujemo enostavni sklepni
račun. Ker izračunamo v teh nalogah iz treh določenih količin
(ti m, 24 K, 7 m — 10 koscev, 12 ur, 5 ur) neznano četrto količino,
imenujemo te naloge tudi enostavne regeldetrijske naloge
(regeldetrija, regula de tribus).
Vsaka regeldetrijska naloga je sestavljena iz dveh stavkov, iz
pogojnega in vprašalnega stavka, ali se vsaj da razstaviti na
taka dva stavka. V pogojnem stavku sta določeni obe odvisni koli¬
čini, ki pripadata druga drugi (6 m in 24 K, 10 koscev in 12 ur);
v vprašalnem stavku je določena le ena količina, drugo njej pri¬
padajočo količino je treba poiskati (7 m in jv K, 5 ur in jv koscev).
Neznano količino zaznamujemo s črko x.
Regeldetrijske naloge razrešujemo vobče tako, da napišemo
pod kratki podatek pogojnega stavka istotaki podatek vprašalnega
stavka, in sicer istovrstne količine drugo pod drugo, ter sklepamo od
one količine pogojnega stavka, ki pod njo stoji znana količina vpra¬
šalnega stavka, na enoto, od nje pa na znano količino v vprašalnem
stavku, sproti določujoč drugo količino, ki pripada izpremenjeni prvi
količini.
Prejšnji nalogi napišemo in razrešimo tako-le:
a) Pogojni stavek: 6 m 24 K
Vprašalni stavek : 7 m x K
7 m
24 K
7 = 28 K.
b) Pogojni stavek:
Vprašalni stavek:
10 koscev
x koscev
10 koscev . 12
12 ur
5 ur
= 24 koscev 5 ur.
5

85
V posebnih slučajih skrajšamo račun v toliko, da ne sklepamo
na enoto, ampak takoj na zahtevano količino v vprašalnem stavku,
ali pa kvečjemu na kako skupno mero znanih istovrstnih količin.
c) 7 kg blaga stane 5 K; koliko stane 21 kg istega blaga?
Pogojni stavek: 7 kg 5 K
Vprašalni stavek : 21 kg x K
21 kg 5 K - 3 = 15 K.
Ker je 21 kg Škrat 7 kg, stane 21 kg 3krat 5 K, t. j. 15 K.
d) 32 delavcev napravi neko delo v 7 dneh; koliko dni rabi
za isto delo 8 delavcev?
Pogojni stavek: 32 delavcev 7 dnij
Vprašalni stavek: 8 delavcev x dnij
8 delavcev 7 dnij • 4 = 28 dnij.
Ker je 8 delavcev le četrtina od 32 delavcev, rabi 8 delavcev za
isto delo štirikrat 7 dnij, t. j. 28 dnij.
e) Ako razdeliš neko vsoto denarja med 36 revežev, dobi vsak
1 K 50 h; med koliko revežev moraš razdeliti isto vsoto, da dobi
vsak 2 K 25 h?
Pogojni stavek: 36 revežev 150 h
Vprašalni stavek: x revežev 225 h
72 revežev 75 h
24 revežev 225 h
Tu sklepaš na 75 h = M (150 h, 225 h). Ker je 75 h le polovica
od 150 h, razdeliš isto vsoto med dvakrat toliko revežev, t. j. 72;
ako pa dobi vsak 225 h, t. j. 3krat 75 h, razdeliš isto vsoto le
med tretjino revežev, t. j. 24.
/) Koliko stane 42 1 vina, ako stane 20 1 istega vina 9 K?
Ker je 42 / = 20 / . 2 -j- 2 1, sklepaš:
40 1 stane 9 K • 2 == 18 K
2 1 staneta 9 K : 10 = 0 • 9 K
42 1 stane 18 • 9 If
Ta način sklepnega računa se uporabi le pri premo sorazmernih
količinah in tudi tu le tedaj uspešno, ako se da razdeliti znana
količina vprašalnega stavka v take sumande, da jim je lahko do¬
ločiti pripadajoče neznane količine („Welsche Praktik").

86
Naloge.
1. 5 m blaga velja 16 K; koliko 3 ml
2. 6 1 vina velja 3 K; koliko litrov ga dobiš za 5 K ?
3. 17 delavcev dovrši neko delo v 3 dneh; v koliko dneh dovrši
isto delo 6 delavcev ?
4. 7 oseb izhaja z nekim živežem 12 dnij; koliko oseb izhaja
z istim živežem 21 dnij ?
5. Popotnik prehodi v 4 urah 19 km; koliko v 7 urah?
6. 9 delavcev zasluži na dan 27 K; koliko .delavcev zasluži na
dan 60 K?
7. Pisar prepiše rokopis v 54 dneva, ako dela na dan po 12 ur;
koliko dnij potrebuje za isto delo, ako dela na dan 11 ur?
8.12 koscev pokosi travnik v 5 dneh; koliko koscev pokosi isti
travnik v 6 dneh ?
9. 30 m sukna tehta 7f kg; koliko metrov tehta 67|- k gl
10. Voznik dobi 174 K, da pelje 58 q blaga iz kraja A v kraj
B; koliko blaga bo peljal isto pot za 216 K?
11. Da prehodiš gotovo pot, napraviš 3600 korakov, 75 cm
dolgih; koliko 60 cm dolgih korakov napraviš na isti poti?
12. 5 m blaga stane 21 K; koliko stane 31 m istega blaga?
13. Iz neke cevi priteče v 11 minutah 308 / vode; v koliko
minutah priteče iz iste cevi 980 / vode ?
14. Sel potuje 8-| dneva ter prehodi na dan 43^ km; koliko kilo¬
metrov mora na dan prehoditi, če hoče napraviti isto pot v 7 dneh?
15. 71 q blaga velja 18f K; a) koliko velja 3f ql b ) koliko
metrskih stotov dobiš za 38f K ?
16. Za obleko je treba 3 m 3 dm sukna, ki je 140 cm široko;
koliko metrov sukna potrebuješ za isto obleko, ako je sukno 120 cm
široko ?
17. Koliko steklenic vina po 1'2 K dobiš za 50 steklenic po
1-44 K?
18. Na obsegu nekega kolesa je 308 (60) zobcev, ki so po
25 (84) mm oddaljeni drug od drugega; koliko zobcev bi bilo na
istem kolesu, ako bi bili po 28 (104) mm narazen ?
19. Na njivi, ki meri 6f ha, pridelaš 684 hi žita; kolik je pri¬
delek na drugi enako dobri njivi, ki meri 134 hal
20. Trgovec zasluži pri prodaji 45 kg blaga 3f K; koliko pri
374 kg?

87
21. Enakomerno napeta cesta se vzdigne na 20J km za 494 m;
za koliko se vzdigne na 2f- km ?
22. Kolo se zavrti v 27 minutah 2295krat; a) kolikokrat se
zavrti kolo v 10 minutah? b ) v koliko minutah se zavrti 3655krat?
23. Za 17 K kupiš 14f kg blaga; koliko ga dobiš a) za 68 K,
b) za 8 K 50 h?
24. 18 delavcev dovrši neko delo v 7 dneh; v katerem času
dovrši isto delo a) 6 delavcev, b) 54 delavcev?
25. 9 kg riža velja 5‘40 K; koliko velja a) 72 kg, b) 3 kg?
26. 6 oseb izhaja z nekim živežem 135 dnij; koliko časa izhaja
z istim živežem a) 54 oseb, b ) 3 osebe?
27. 25 m platna tehta 3 kg\ koliko metrov platna tehta a) 12 kg,
b ) 60 dkg?
28. Popotnik prehodi 7 km v 1 uri 25 minutah; koliko kilo¬
metrov prehodi a) v 17 minutah, h) v 4 urah 15 minutah?
29. Za 20 K dobiš 7 m 6 dm blaga; koliko blaga dobiš za 65 K?
30. Za določeno plačilo pelje voznik 39 q blaga 17f km daleč;
kako daleč pelje za isto plačilo 6 \ q?
31. Travnik meri lOjt a; koliko je vreden, ako se računa ar po
25 K?
32. Voznik pelje tovor 195 km daleč za 113 K 20 h; a) koliko
znaša voznina za 48f km ? b) kako daleč pelje voznik isti tovor za
14 K 15 h?
33. Sprednje kolo na vozu se zavrti 70krat v istem času, ko
se zavrti zadnje 65krat; kolikokrat se zavrti zadnje kolo, med tem
ko se zavrti sprednje 840krat?
34. Mlin zmelje v 8 urah 75 hi rži; a) koliko v 4 urah, b) v
koliko urah zmelje 225 hi?
35. 8 delavcev zasluži na teden 272 K; koliko zasluži v istem
času 20 delavcev ?
36. 54 zidarjev sezida neki zid v 16 dneh; a) koliko dnij
potrebuje za isto delo 72 zidarjev? b) koliko zidarjev sezida isti
zid v 24 dneh?
37. Za 24 q blaga znaša voznina 15'12 K; kolika je voznina
za 36 ql
38. Za neko knjigo je treba 24 p61 papirja, ako se natisne na
vsako stran 50 vrst; a) koliko pol je treba, ako se natisne na
vsako stran 40 vrst? b ) koliko vrst mora biti na vsaki strani, da
obsega knjiga 25 p61 ?

88 —
39. 14 kg blaga velja 18 K 60 h; koliko 35 kg?
40. porabi v 30 dneh 85 K 60 h; koliko v 18 dneh?
41. Nekdo dovrši neko delo v 32 dneh, ako dela 9 ur na dan;
koliko ur mora delati na dan, da dovrši isto delo v 24 dneh?
42. A izda na dan 4 K 80 h in izhaja z določenim denarjem
51 dnij; kako dolgo izhaja z istim denarjem, ako izda na dan
3 K 60 h ?
43. Ako se razdeli določena vsota denarja med 54 oseb, dobi
vsaka 720 K; koliko dobi vsaka oseba, ako se razdeli ista vsota
med 48 oseb?
44. Iz neke preje natke tkalec 84 m platna, ki je 77 cm široko;
koliko metrov bi natkal iz iste preje, če bi bilo platno 66 cm široko?
45. Njiva 12 ha da na leto 1260 K haska; kolika bi morala
biti njiva, da bi dala na leto 900 K haska ?
46. Neki rokopis ima 144 stranij in stran po 32 vrst; koliko
istotako dolgih vrst mora biti na strani, da bo imel rokopis 24
stranij manj ?
47. A zasluži v 4 dneh toliko, kolikor 5 v 5 dneh; če zasluži
A v 15 dneh 48f K; koliko zasluži B v istem času?
48. 32 delavcev izkoplje neko jamo v 25 dneh; črez 7 dni se
odpusti 8 delavcev; koliko dnij bodo morali delati ostali delavci ?
49. 30 delavcev dodela neko cesto v 12 tednih; od začetka je
delalo 45 delavcev 6 tednov. Koliko delavcev je treba najeti, da
dodelajo ostali del ceste v 4f tedna?
50. Na ladji je 36 mornarjev, ki imajo živeža za 60 dnij; 12 dnij
potem, ko so se odpeljali, je utonilo vsled viharja 20 mož; kako
dolgo izhajajo ostali mornarji z živežem, kar ga je ostalo?
51. Iz neke cevi priteče v 4^ minute 98i 1 vode; koliko litrov
priteče iz iste cevi v 45'2 minute?
52. Koliko hektolitrov rži dobiš za 36f- hi pšenice, ako dobiš
za 3 hi pšenice 4f hi rži?
53. Trdnjava ima 6800 mož posadke in živeža za 6f- meseca;
koliko mož mora oditi, da bodo ostali izhajali z živežem 8^ meseca?
54. Koliko pot preteče lokomotiva v 4 urah 24 minutah, ako
preteče v 2 urah 16 minutah 69 km 21 b ml
55. Konjar ima za 28 konj krme za 5f meseca; črez lf meseca
pa odproda 12 konj ; koliko časa bo imel dovolj krme za ostale
konje ?

89
§ 40. Sestavljeni sklepni račun.
Naloga. 15 delavcev dovrši neko delo v 12 dneh, ako delajo
10 ur na dan; v koliko dneh dovrši isto delo 20 delavcev, ako
delajo 9 ur na dan ?
Pogojni stavek: 15 delavcev 12 dnij 10 ur
Sestavljeni
sklepni
račun = die
zusammen-
gesetzte
Schlufl-
rechnung.
Vprašalni stavek: 20 delavcev x dnij 9 ur
Ako dovrši 15 delavcev gotovo delo pri lOurnem dnevnem delu
v 12 dneh, dovrši isto delo 1 delavec, ako dela 10 ur na dan,
v 1 Škrat 12 dneh, in ako dela samo 1 uro na dan v 10 . 15 . 12
dneh, ako dela 9 ur na dan, dovrši isto delo že v devetini časa, t. j.
10 . 15 . 12
9
dneva; 20 delavcev pa dovrši pod enakimi pogoji isto
delo v dvajsetini onega časa, t. j.
10 . 15 . 12
9 . 20
dneva = 10 dneh.
V tej nalogi imamo trojne med seboj odvisne količine: število
delavcev, število dnij in število ur dnevnega dela. Vsaka je ali
premo ali obratno sorazmerna drugim količinam. V pogojnem stavku
so določene vse količine, v vprašalnem stavku pa je ena količina
neznana in to moreš, kakor je razvidno, določiti. Način razreševanja
nalog te vrste imenujemo sestavljeni sklepni račun, naloge
pa sestavljene regeldetrijske naloge.
Pri razreševanju naloge sklepaš zaporedoma pri vsaki količini
pogojnega stavka najprej na enoto in od te na ono množino, ki se
nahaja v vprašalnem stavku; med sklepanjem nakažeš vsako mno¬
ženje , oziroma deljenje. Ker ima nakazani rezultat obliko ulomlje-
nega števila, ga okrajšaj, deleč s skupno mero en faktor v števcu
in en faktor v imenovalcu. Račun tudi skrajšaš tako, da ne pišeš
posebej sklepov na enoto in množino, ampak množiš, oziroma deliš
količino pogojnega stavka, ki pripada neznani količini vprašalnega
stavka. Navedeno nalogo razrešiš tako-le:
2 5
12 dnij .IS . 10
10 dnij. x
20 . 0
g

90
Naloge.
1. 9 delavcev zasluži v 7 dneh 234 K; koliko zaslifži 14 delavcev
vil dneh ?
2. V koliko dneh zasluži 18 delavcev 529'2' K, ako zasluži 7
delavcev v 8 dneh 117’6 K?
3. 11 delavcev zasluži v 8 dneh 374 K; koliko delavcev zasluži
v 7 dneh 357 K ?
4. 12 delavcev dovrši neko delo v 15 dneh, ako delajo 8 ur
na dan; koliko ur na dan mora delati 16 delavcev, da dovrše isto
delo v 10 dneh?
5. 6 delavcev nakoplje v 5-| dneva 165 zn 3 peska; koliko kubič¬
nih metrov peska nakoplje 7 delavcev v 10| dneva?
6. Iz 16 % prediva se napravi 70 m platna, ki je 78 cm široko;
koliko metrov 117 cm širokega platna se napravi iz 36% prediva?
7. Voznik pelje 6| q za 11*7 K 15 km daleč; koliko metrskih
stotov bo peljal za 22 K 12 km daleč?
8. Z nekim živežem izhaja 4800 mož 6 tednov, če dobi vsak
mož | kg živeža na dan ; koliko živeža mora dobiti vsak mož na
dan, da izhaja z istim živežem 5040 mož 8 tednov ?
9. Parni stroj vzdigne vsakih 6 minut 15 hi vode 180 m visoko;
v koliko minutah vzdigne isti stroj 20 hi vode 120 m visoko? *
10. Da gori 35 svetilnic 105 ur, je treba 250 % olja; koliko
olja je treba, da gori 50 takih svetilnic 245 ur ?
11. Nekdo prehodi v 11 dneh 407 km, ako hodi 8 ur na dan;
koliko kilometrov prehodi v 12 dneh, ako hodi le 7 ur na dan?
12. 16 delavcev napravi 150 m dolg nasip v 15 dneh ; koliko
delavcev napravi v 24 dneh 180 zn dolg nasip?
13. 8 konj pozoblje v 15 dneh 10 hi ovsa; koliko dnij izhaja
12 konj s 13 hi ovsa ?
14. Na 90 m dolgo in 70 m široko njivo se poseje 2| hi pše¬
nice; koliko hektolitrov pšenice se poseje na 120 m dolgo in 35 m
široko njivo?
15. Knjiga ima 480 strani, ako je na vsaki strani 45 vrstic
s 50 črkami; koliko vrstic s 60 črkami mora biti na vsaki strani,
da bo imela knjiga le 375 strani?
16. 7 delavcev zasluži v 12 dneh 189 K, ako delajo po 9 ur
na dan; koliko zasluži 8 delavcev v 10 dneh, če delajo po 10 ur
na dan ?

91
17. 11 delavcev zasluži v 6 dneh pri 8urnem dnevnem delu
132 K; koliko delavcev zasluži pri 9urnem dnevnega delu v 5 dneh
180 K?
18. 6 delavcev napravi v 8 dneh 120 m dolg jarek, ako delajo
po 9 ur na dan; koliko delavcev napravi 420 m dolg jarek v 14
dneh, ako delajo po 12 ur na dan?
19. 20 delavcev izkoplje 30 m dolg prekop v 15 dneh, če delajo
po 12 ur na dan; koliko delavcev bi moralo delati po 10 ur na dan,
da izkopljejo 24 m dolg prekop v 16 dneh?
20. Mlin na 3 kolesa zmelje v 22 urah 24 lil žita, če se zavrte
kolesa vsako minuto 126krat; koliko koles je treba, da zmeljejo
v 42 urah 72 hi žita, če se zavrte kolesa vsako minuto 99krat?
21. Travnik, ki je 512 m dolg in 72 m širok, da 10 voz sena
po 9 q; koliko voz sena po 10 q bo dal 384 m dolg in 192 m širok
travnik ?
22. 12 delavcev izkoplje v 7 dneh 140 m dolg, - m širok in
J. m globok jarek, ako delajo po 8 ur na dan; v koliko dneh
izkoplje 10 delavcev 225 m dolg, f m širok in 1{ m globok jarek,
ako delajo po 9 ur na dan?
23. 8 zidarjev sezida v 15 dneh 65 m dolg zid; koliko zidarjev
sezida 91 m dolg zid v 9 dneh? (Kateri pomen ima rezultat?)
24. 12 delavcev zasluži v 7 dneh 168 K, ako delajo po 10 ur
na dan; koliko delavcev zasluži 153 K v 10 dneh, ako delajo po
9 ur na dan?
25. 5 delavcev napravi v 12 dneh 140 m dolg in 2-| m širok
nasip ; koliko delavcev napravi v 15 dneh 224 m dolg in 3^ m
širok nasip ?
§ 41. Odstotni ali procentni račun.
Naloga. Trgovec kupi blago za 275 K in ga proda z 8 od¬
stotnim dobičkom; kolik je dobiček ? — Dobiček je Sodstoten
pomeni, da ima trgovec pri vsakih 100 K kupne cene 8 K dobička,
pri 200, 300, 50, 25 K kupne cene ima 16, 24, 4, 2 K dobička.
Pri 275 K = 200 K + 50 K 25 K kupne cene ima tedaj 16 K —}—
-)- 4 K -|- 2 K = 22 K dobička.
Dobiček in kupna cena sta premo sorazmerni količini. Koliko
enot prve količine, ki se imenuje odstotni ali procentni delež,
pripada 100 enotam druge količine, ki se zove osnovna vrednost,
pove odstotek ali procent (pro centum = za sto). Ravno tako
Odstotni
račun = die
Prozent-
rechnung.
Odstotni
delež = der
Prozent-
anteil.
Osnovna
vrednost =
der Grund-
wert.
Odstotek =
das Prozent.

92
Odtisoček =
<las Promille.
pomeni odtisoček ali promille, koliko enot prve količine pripada
1000 enotam druge količine. Znak za odstotek j e za odtisoček „%<,“•
V odstotkih izražamo sledeče količine:
1. Dobiček ali izgubo, ki jo ima trgovec pri prodaji blaga.
7 % dobička (izgube) pomeni: pri vsakih 100 K kupne cene ima
trgovec 7 K dobička (izgube).
2. Dohodnino, t. j. davek, ki ga plačamo od letnih dohodkov.
3°/o na dohodnina pomeni: od vsakih 100 K dohodkov plačamo
3 K davka.
3. Popust, ki se dovoli plačniku. 5°/ 0 -ni popust pomeni: pri
vsakih 100 K se popusti 5 K; za vsakih 100 K se plača samo 95 K.
4. Odbitek ali skonto, t. j. popust, ki se dovoli trgovcu, ako
takoj plača kupljeno blago (gotovo plačilo), ki bi ga moral plačati
šele v gotovem poznejšem roku. 2°/o-m skonto pomeni: pri vsakih
100 K kupne cene se popustita 2 K.
5. Eabat, t. j. nagrado, ki jo dovoli prodajalec kupcu, ali pa
tovarnar, založnik knjig prodajalcu svojih izdelkov. 10°/ 0 -ni rabat
pomeni: pri vsakih 100 K prodajne cene dovoli tovarnar prodajalcu
10 K nagrade.
6. Taro, t. j. težo posode, ki se v njej nahaja blago. 6 % tare
pomeni: od vsakih 100 kg kosmate teže (brutto) odpade na posodo
G kg, na blago (čista teža, netto) pa 94 kg.
7. Opravnino ali provizijo, t. j. odškodnino, ki jo prejme
opravnik ali mešetar za posredovanje pri nakupu ali prodaji blaga.
3% 0 -na opravnina pomeni: od vsakih 1000 K kupne cene dobi oprav¬
nik 3 K. Trgovec, ki zanj kupi opravnik blago, plača kupno ceno in
opravnino; trgovec, ki je dal prodati blago, plača opravnino iz
prodajne cene.
8. Zavarovalnino. Društva, ki zavarujejo blago, poslopja, hišno
opravo, poljske pridelke itd. proti različnim nezgodam, se imenujejo
zavarovalna društva. Ako nastane kaka škoda na zavarovani stvari,
jo 'plača društvo. V to svrho se mora plačevati društvu vsako leto
neka vsota denarja. Ta vsota se zove zavarovalnina. 3°/ 00 - na zavaro¬
valnina pomeni: za vsakih 1000 K, ki jih mora plačati društvo za
napravljeno škodo posestniku zavarovanih stvarij, se plača na leto
3 K zavarovalnine.
9. čistino kovinskih zmesi ali zlitin. Ker sta zlato in srebro
prav mehki kovini, se zlivata pri taljenju navadno z bakrom, da
postaneta nekoliko trši in za vsakdanjo rabo pripravnejši. Tako

93
dobimo kovinske zmesi ali zlitine. Zlitina ima 750 tisočin čistine
pomeni: v 1000 delih {kg, g) zlitine je 750 delov {kg, g) čistega
zlata (srebra), ostalo, t. j. 250 delov {kg, g), je primešani baker.
10. Množino vinskega cveta ali alkohola v špiritu. 85%-ni
špirit pomeni: v 100 delih (7) špirita je 85 delov (7) čistega vinskega
cveta ali alkohola, 15 delov (7) pa je vode.
11. Strmec. Cesta ima 4°/ 0 -ni strmec pomeni: na vsakih 100 m
dolžine se vzdigne cesta za 4 m.
12. Poravnavo pri konkurzih. 75%-na poravnava pomeni: Za
vsakih 100 K terjatve dobi upnik samo 75 K.
V vsakem odstotnem ali procentnem računu imamo tri količine,
osnovno vrednost, odstotek in odstotni delež; dve izmed njih sta
znani, neznano tretjo pa moramo določiti.
Naloge odstotnega računa razrešimo tako, da določimo najprej
l°/ 0 -ni delež in od tega sklepamo na zahtevano količino; razrešimo
jih pa tudi lahko kot regeldetrijske naloge po sklepnem računu.
A. Izraeunanje odstotnega deleža.
Iz pojasnila o odstotku sledi, da je 1%-ni (čitaj: enodstotni ali
enprocentni) delež enak stotini osnovne vrednosti, 2%, 3°.' 0 , 7% . .-ni
delež ■ enak 2, 3, 7 . . . stotinam osnovne vrednosti.
Naloge.
1. Koliko je a) 1 %; b) 2%; c ) 4%; d) 6% od 100, 300,
800, 1200, 8500, 210, 560, 318, 427 K, 527 kg, 425 m, 75‘6 n? 2 ,.
2-73 hi, 53-8 a?
2. Koliko je a) f%; b) f%; c) f% od 100, 400, 1500,
256 K, 724 K, 2156 m, 516 m 3 '}
3. Koliko je a) 1|%; h ) H°/o 5 c) 7f% od 300, 215,
711 K, 2163 kg, 4752 /n 2 , 82-53 A7?
4. Koliko je a) 1 % 0 ; b ) 3 °/ 00 ; c) i% 0 ; d) 2i% 0 od 3000,
18600, 2544 K, 7836 kg, 873 m, 56‘7 km, 8’ 37 m 3 ?
5. Trgovec kupi blago za 880 K in ga proda s 15% dobičku;
a) koliko znaša dobiček, b ) za koliko je prodal blago?
6. Trgovec mora prodati blago, ki ga je kupil za 532 K, s
4%-no izgubo; a) kolika je izguba, b) za koliko je prodal blago?
7. Uradnik ima na leto 4658 K dohodka; koliko znaša 4T%-na
dohodnina ?
8. Hiša je vredna 156400 K in nese 3^%; koliko kron je to?

94
9. V nekem konkurzu se je dosegla 55°/ 0 -na poravnava; koliko
-dobi upnik, ki je imel terjati 7548 K?
10. Na 35600 K cenjena hiša se zavaruje proti ognju; koliko
znaša 3-|°/ 00 -na zavarovalnina ?
11. Delavcu, ki zasluži na dan 2 K 40 h, se zviša dnina za
15 %; koliko zasluži potem na dan ?
12. Trgovec dovoli 6°/ 0 -ni popust ali rabat pri računu, ki se
glasi na 276‘5 K; a) koliko znaša popust, b) koliko plača kupec?
13. Koliko litrov a) čistega alkohola, b) vode je v 173'6 1
92°/ 0 -nega špirita?
14. Posestvo se je prodalo za 214560 K, koliko znaša 1 ~°/ 0 -na
opravnina ?
15. Trgovec dobi iz tovarne za 1856 K blaga; aj.koliko znaša
2%-ni skonto, b) koliko plača trgovec tovarnarju?
16. Blago tehta brutto 1756 kg; kolika je 4'2%-na tara in
koliko tehta blago netto?
17. Pri nekem blagu, ki ima 470 kg kosmate teže, znaša tara
4 %; koliko velja blago, ako se plača 1 kg netto 70 h?
18. Opravnik kupi za 3054 K blaga; a) koliko znaša opravnina
po 2 °/o i h) koliko mora plačati trgovec, ki je zanj kupil opravnik
blago ?
19. Opravnik proda peko blago za 2085 K in si zaračuna 1}%
opravnine; a) kolika je opravnina, b) koliko dobi trgovec, ki je zanj
prodal opravnik blago ?
20. Trgovec kupi 28 q blaga po 52‘46 K in ima pri prodaji
7°/o dobička; kolik je dobiček?
21. Trgovec kupi blago za 375 K, vozni stroški znašajo lf %;
a ) koliko ga stane blago ? b ) kolik je dobiček, ako proda blago z
12°/ 0 -nim dobičkom?
22. Goveje meso izgubi pri kuhanju 15% svoje teže; koliko
izgubi 5-| kg sirovega mesa brez kosti pri kuhanju in koliko tehta
skuhano meso?
23. Enakomerno napeta 9765 m dolga cesta ima 4'5% strmca;
za koliko metrov se vzdigne cesta?
24. Koliko kilogramov čiste kovine je v 512 kg zlitine, ki ima
835 tisočin čistine?
25. Koliko gramov čistega zlata je v 25 ‘345 .g zlitine, ki ima
■.900 tisočin čistine?

95
26. Iz 1 kg srebrne zlitine, ki ima 835 tisočin čistine, se na-
kuje 200 enokronskih novcev; a) koliko gramov tehta 1 enokronski
novec, b) koliko gramov čistega srebra in koliko gramov bakra je
v njem ?
27. Dvajsetkronski zlatnik tehta 6'775 g in ima 900 tisočin
čistine; koliko miligramov čistega zlata je v njem?
28. Iz \° kg zlate zlitine, ki ima 900 tisočin čistine, se nakuje
328 desetkronskih zlatnikov. Koliko gramov tehta desetkronski
zlatnik in koliko miligramov čistega zlata je v njem?
B. Izračunanje osnovne vrednosti.
Naloga. Kolika je kupna cena blagu, ako znaša 9°/ 0 -ni dobiček
23'4 K? Tu sklepaš: 1%-ni dobiček znaša devetino od 9%-nega,
t. j. 23’4 K : 9 = 2-6 K. Ker je 1 % toliko kakor 1 stotina osnovne
vrednosti, je osnovna vrednost lOOkratni 1%-ni delež 2‘6 K . 100 =
= 260 K. Blago se je kupilo za 260 K.
Naloge.
29. Kolika je osnovna vrednost, če znaša 3 (5)%-ni delež a) 45;
b) 72; c) 123-6 K; d) 43*5 q; e) 72'42 ml
30. Od katere vrednosti je 504 K a) 3%; b ) 3-|%; c) 4%;
«0 41%; e) 5i%; f) 7%; g) 8%; h) 10^%-ni delež?
31. Trgovec proda blago s 7%-nim dobičkom; za koliko je kupil
blago, ako znaša dobiček 105 K?
32. Trgovec proda blago z 8%-no izgubo; za koliko je kupil
blago, ako znaša izguba 125’6 K?
33. Nekdo plača 85'4 K dohodnine; koliki so njegovi dohodki,
ako se računa dohodnina po 3-|%?
34. Hiša nese 2745 K čistega dohodka; koliko je hiša vredna,
ako znašajo dohodki 3f% njene vrednosti?
35. Upnik dobi pri 65%-ni poravnavi za svojo terjatev 741 K;
kolika je bila terjatev?
36. Nekdo zavaruje svojo hišno opravo proti ognju po 1'6 °/ 00
in plača na leto 4-48 K zavarovalnine; koliko je vredna hišna oprava?
37. 2%-ni skonto znaša 73‘5 K; kolika je bila kupna cena in
koliko se je plačalo za blago?
38. Opravnik proda posestvo in dobi 213*6 K opravnine, ki
se računa po 1|%; za koliko se je prodalo posestvo?

96
39. V 36%-nem žganju je 15 1 čistega alkohola; koliko litrov
je vsega žganja?
40. Iz pese se dobi 5% neprečiščenega sladorja; koliko kilo¬
gramov pese je treba za 4720 kg neprečiščenega sladorja?
41. Koliko je vredno blago, pri katerem znašajo po 5 ~°/ 0 ra¬
čunani postranski stroški 73 K 26 h?
42. Pri prodaji nekega blaga znaša po 7f-°/ 0 računani dobiček
261'44 K; za koliko se je kupilo blago?
43. Na učnem zavodu je imelo 45 dijakov, t. j. 12 °/ 0 , nepovoljni
uspeh; koliko dijakov je na zavodu ?
44. Gozdarju se je posušilo 135 sadik, t. j. 9%; koliko sadik
je vsadil?
45. V nekem mestu je umrlo v gotovem času 550 ljudi, t. j.
H% vsega prebivalstva; koliko prebivalcev je imelo mesto?
46. Cesta, ki ima 3|- 0 / 0 -ni strmec, se vzdigne za 215 m; kako
dolg je klanec?
47. Koliko telita zlata zlitina, ki ima 875 tisočin čistine, ako
je v njej 27'51 g čistega zlata?
48. Koliko enokronskih novcev se nakuje iz 16’7 kg čistega
srebra, ako se nakuje iz 1 kg srbrne zlitine, ki ima 835 tisočin
čistine, 200 enokronskih novcev?
C. Izračunanje odstotka.
Naloga. Trgovec kupi blago za 325 K in ga proda za 351 K;
koliko odstotkov znaša dobiček? Trgovec ima 26 K dobička. Kolikor-
krat je 26 K več kakor 1 °/ 0 od 325 K, toliko odstotkov bo znašal
dobiček; 1 °/ 0 od 325 K znaša 3'25 K in ker je 26 K :-3‘25 K = 8,
tedaj je 26 K 8 % °d 325 K. Dobiček znaša 8 °/ 0 .
49. Koliko odstotkov je a) i; h) £; c) J; d) i; e) ! -O 2 V
števila?
50. Koliko odstotkov je a) 2 od 40; b) 5 od 25; c) 14 od 70;
d) 8 od 125; e) 5± od 35; /) 22± od 720; g) 35 K od 500 K;
h ) 39 m od 1300 m; 1 ) 17 kg od 680 kg\ k) 23 m 2 od 184 m 2 ?
51. Iz 150 kg apnenca se dobi 84 kg živega .apna; koliko je
to v odstotkih?
52. A ima na leto 3400 K dohodka in plača 612 K za stano¬
vanje; koliko odstotkov dohodka velja stanovanje?
53. Blago tehta brutto 1042 kg, netto pa 945'615 kg; koliko
odstotkov znaša tara?

97
54. 875 kg kave tehta po žganju 791 kg; koliko odstotkov izgubi
kava pri žganju?
55. Blago se kupi za 48 K in pride s postranskimi stroški na
49'68 K; koliko odstotkov kupne cene znašajo stroški?
56. A kupi 920 kg blaga za 782 K in prodaja metrski stot
po 81'6 (92’65) K; koliko odstotkov dobička ali izgube ima pri
prodaji ?
57. Hiša se je kupila za 116100 K in donaša na leto 5031 K
čistega dohodka; koliko odstotkov nese hiša?
58. Koliko odstotkov znaša popust, ako se popusti pri 542 K
24-39 K?
59. Pri nekem konkurzu dobi upnik za 2715 K terjatve samo
1276-05 K; kolikoodstotna je bila poravnava?
60. V 62-5 1 žganja je 20 1 čistega alkohola; koliko odstotkov
je to ?
61. Nekdo kupi za 514 K blaga. Voznina znaša 7 "71 K; koliko
odstotkov kupne cene je to?
62. Trgovec kupi 250 kg blaga po 2‘72 K in ga proda za
714 K; koliko odstotkov dobička ima pri prodaji ?
63. Nekdo proda 15 m sukna po 13'6 K; koliko odstotkov
znaša izguba, ako je kupil blago za 212*5 K?
64. Račun, ki se glasi na 852’5 K, se poravna z 818'4 K;
koliko odstotkov znaša popust?
65. 40 1 85%-nega alkohola se prilije 5 1 vode; koliko odstotkov
čistega alkohola ima zmes? Koliko litrov čistega alkohola je v 40 1
85%- ne g a alkohola?
66. Petkronski srebrni novci se kujejo iz zlitine, ki ima v 12 kg
10 - 02 kg čistega srebra; koliko tisočin čistine ima zlitina?
67. Zlatar zlije 2 * 4 kg zlata, ki ima 940 tisočin čistine in
3’6 kg zlata, ki ima 850 tisočin čistine. Koliko kilogramov čistega
zlata je v novi zlitini ? Koliko tisočin čistine ima zlitina ?
D. Razreševanje nalog, ki se v njih nahaja poleg od¬
stotka, le vsota ali razlika med osnovno vrednostjo in od¬
stotnim deležem.
Naloga, a) Trgovec proda blago za 901 K in ima 6 % dobička;
za koliko je kupil blago? Kolik je dobiček? 6%-ni dobiček pomeni,
Matek-Peterlin,, Aritmetika. 7

98
da ima trgovec pri 100 K kupne cene 6 K dobička, t. j. kar je kupil
za 100 K, proda za 106 K. Razrešitev naloge napišeš:
Pogojni stavek: 106 K prodajne cene 100 K kupne cene
Vprašalni stavek: 901 K prodajne cene x K kupne cene
x = K • 901 == 90100 K : 106 = 850 K.
Dobiček, ki je enak razliki med prodajno in kupno ceno, t. j.
51 K, računaš tudi neposredno tako-le:
Pogojni stavek: 106 K prodajne cene 6 K dobička
Vprašalni stavek : 901 K prodajne cene x K dobička
n TT
x = —— • 901 = 5406 K : 106 = 51 K.
106
b) Nekdo plača za davek, od katerega se mu je popustilo 15°/ 0 ,
164 K 73 h; koliko je znašal davek? Kolik je bil popust? Za 100 K
prvotnega davka plača 85 K.
Pogojni stavek:
Vprašalni stavek:
x =
100 K davka 85 K
x I£ davka 164‘73 K
100 K
85
164'73 == 193-8 K.
Prvotni davek je znašal 193 K 80 h.
Pri 85 K plačanega davka je 15 K popusta.
Pogojni stavek: 85 K plačanega davka 15 K popusta
Vprašalni stavek: 164'73 K plačanega davka xK popusta
x = ir ’. K • 164-73 = 29-07 K.
Popust je znašal 29'07 K.
Naloge.
68. Nekdo je. plačal za davek s 4°/o~ no priklado vred 468 K;
koliko je pravega davka?
69. Blago se je prodalo s 3%-m) izgubo za 582 K; kolika je
kupna cena ?
70. Blago velja z 2%-no opravnino vred 3207 K 90 h; kolika
je kupna cena?

99
71. Kolik je 15%-ni dobiček pri blagu, ki se je prodalo za
1840 K?
72. Trgovec proda blago za 782 K in ima pri tem 8% izgube;
koliko znaša izguba in koliko kupna cena?
73. Nekdo je plačal za davek, od katerega se mu je 4% po¬
pustilo, 398 K 40 h; koliko znaša popust?
74. Opravnik si zaračuna za prodano blago 2 °/ 0 opravnine in
pošlje po odbitku te opravnine trgovcu, za katerega je prodal blago,
2793 K; kolika je opravnina?
75. A ima 1677 K dohodka po odbitku 2|% dohodnine; koliko
znaša ta davek ?
76. Uradnik dobi s 15°/ 0 -no priklado 3680 K plače na leto;
koliko znaša priklada?
77. Ako se proda kilogram nekega blaga za 81 h, znaša iz¬
guba 10 %; kako drago bi se moral kilogram prodati, da bi bilo
7f % dobička ? (Izračunaj najprej kupno ceno za 1 kg !)
78. Blago tehta netto 394'2 kg; koliko tehta brutto, ako znaša
tara 2f % ?
79. Kupec plača za blago po odbitku 4f % popusta 128'7 K;
koliko je znašal račun?
80. Mesto ima 73878 prebivalcev; koliko jih je imelo pred 5 leti,
ako se je pomnožilo prebivalstvo v tem času za 5 °/ 0 ?
§ 42. Enostavni obrestni račun.
Naloga. Posestnik si izposodi pri posojilnici 1560 K in se zaveže,
da ji bo plačal za vsakih izposojenih 100 K na leto 5 K odškodnine;
koliko odškodnino plača v 4 letih ?
Ker uporabimo v praktičnem življenju naloge te vrste prav
pogostoma, zaznamujemo količine, ki se v njih nahajajo, s posebnimi
imeni. Izposojeni denar (1560 K) se zove glavnica ali kapital;
odškodnina ali plačilo, ki ga mora plačati dolžnik (posestnik, ki si
izposodi denar) upniku (posojilnica, ki posodi denar) za to, da sme
rabiti njegov denar, se imenuje obrest, tudi obresti. Obresti se
računajo po odstotkih ali procentih (%), to so obresti od 100 K
kapitala v enem letu. Leto štejemo v teh računih po 360 dnij,
mesec pa po 30 dnij.
Kapital, odstotek, čas in obresti so med seboj odvisne količine.
Ako ostanejo ostale količine neizpremenjene, pripadajo dvojnemu
kapitalu, oziroma dvojnemu odstotku ali času, tudi dvojne obresti;
7 *
Glavnica =
das Kapital
Obrest =
der Zins.

— 100
obresti so tedaj premo sorazmerne kapitalu, času in odstotku. Ako
pa ostanejo obresti neizpremenjene, pripada dvojnemu času, oziroma
dvojnemu odstotku, le polovica kapitala, dvojnemu odstotku pri istem
kapitalu le polovica časa; kapital in čas, kapital in odstotek, čas
in odstotek so tedaj obratno sorazmerne količine. To odvisnost po¬
rabiš pri razreševanju naslednjih regeldetrijskih nalog, uvažujoč, da
ostanejo količine, ki jih naloga ne omenja, v dotični nalogi neiz¬
premenjene.
Naloge.
1. 350 K kapitala nese na leto 21 K obrestij; koliko obrestij
dobiš a) od 1050 K, b ) od 70 K kapitala?
2. 1280 K kapitala da na leto 44 Iv 80 h obrestij; a) kateri
kapital da na leto 126 K obrestij, b ) koliko obrestij da 1642 K
kapitala v istem času ?
3. Kapital da po 5 % 52'5 K obrestij; a) koliko obrestij da
po 3 %, b) po koliko odstotkov da isti kapital 42 K obrestij ?
4. Neki kapital da na leto 78 K obrestij; koliko obrestij da
kapital a) v 3 mesecih, h) v 4 mesecih, c) v 30 mesecih?
5. 480 K kapitala nese v 3 letih določene obresti; a) kateri
kapital nese v 4 letih iste obresti, b ) v koliko letih nese 256 K
kapitala iste obresti?
6. Neki kapital da v 4 letih 8 mesecih 256 K 80 h obrestij;
a) koliko obrestij dobiš v 7 mesecih, b ) v katerem času dobiš
2568 K obrestij ?
7. 1240 K kapitala da v 2 letih 4 mesecih določene obresti;
kateri kapital da iste obresti a) v 7 mesecih, b) v 9 letih 4 mesecih,
c) v katerem času da kapital 1120 K iste obresti ?
8. 930 K kapitala da v 5 letih 8 mesecih določene obresti;
a) kateri kapital da iste obresti v 7 letih 9 mesecih, b ) v katerem
času da kapital 1581 K iste obresti?
9. Kapital 672 (650) K da po 5 (3^) % določene obresti;
a) kateri kapital da ravno tolike obresti po 4 (3j) °/ 0 , b) po koliko
odstotkov da 560 (364) K iste obresti?
10. Kapital nese v 3 letih 4 mesecih (9| leta) po 3 (4-|) %
določene obresti; a) v katerem času nese iste obresti po 4 (3j) %,
b ) po koliko odstotkov nese iste obresti v 2 letih (5|- leta)?
11. 3600 K kapitala da v 4~ leta 972 K obrestij; koliko obrestij
nese 5650 K kapitala v leta?

101
12. Kateri kapital da po 6 % v 4 letih iste obresti, ki jih da
4560 K kapitala po 5 °/o v 2-| leta?
13. Koliko obrestij nese neki kapital po 3f °/o v 2£ leta, ako
da isti kapital po 4 % v 2i leta 300 K obrestij ?
14. Koliko časa moraš izposoditi 1863 K kapitala po 5 °/o, da
dobiš toliko obrestij, kolikor jih da 3450 K po 41 % v 9 mesecih?
15. Po koliko odstotkov nese neki kapital v 5 letih 1533 K
obrestij, ako da isti kapital po 5 % v 4 letih 876 K obrestij?
Naloge, v katerih so izmed količin: kapital, odstotek, čas in
obresti, tri določene, neznano četrto je pa treba določiti, so naloge
obrestnega računa. V nalogah enostavnega obrestnega računa se ne
porabijo obresti nikdar v povečanje glavnice; glavnica ostane vedno
neizpremenjena.
A. Izračunanje obrestij.
Naloga, a) Koliko obrestij da 1560 K kapitala po 5 °/ 0 v 4 letih ?
Tu sklepaš: 1560 K da po 1 °/ 0 vi letu 15'6 K obrestij, po 5%
v 1 letu 5 krat 15'6 K, t. j. 78 K, v 4 letih pa štirikrat 78 K,
t. j. 312 K.
b) Koliko obrestij da 2750 K kapitala po 4% v 8 mesecih?
2750 K da po 1 % v 1 letu 27'5 K, po 4 % 27'5 K . 4 = 110 K;
v 1 mesecu dvanajstino od 110 K, t. j. K in v 8 mesecih
8 krat K = 880 K : 12 — 73'3333 ... K. Ker tisočin krone
ne moreš izplačati, določiš obresti tako natanko, kakor je mogoče
in pustiš v številu samo prvi dve decimalki, vse druge pa izpustiš ali
odrežeš. Ako je prva odrezana, t. j. tretja decimalka, 5 ali večja
kakor 5, takrat prišteješ zadnji napisani (drugi) decimalki enoto,
ako je pa prva odrezana decimalka manjša kakor 5, ostane zadnja
napisana (druga) decimalka neizpremenjena. Tako okrajšaš, kakor
pravimo, decimalno število na dve decimalki. 2750 K da po 4%
v 8 mesecih 73'33 K obrestij.
c) Koliko obrestij da 3050 K kapitala po 3^ % v 50 dneh?
3050 K da v 1 letu po 1 % 30'5 K obrestij, po 3~ % 30'5 K . 3-|,
, 7 30'5K.3| , ,30'5 K. 3i
v 1 dnevu ———-, v 50 dneh --- 2 • 50 = 14'826 K =
360 3b0
= 14'83 K.
d) Koliko obrestij da 860 K kapitala po 6 °/o v 2 letih in
7 mesecih ? 860 K da v 1 letu po 1 °/ 0 8 1 6 K obrestij; po 6 %

102
8'6 K . 6 = 51'6 K; v 2 letih 103 - 2 K; v 1 mesecu dvanajstino
od 51’6 K, t. j. 4'3 K, v 7 mesecih 7 krat 4'3 K = 30'1 K. 860 K
da po 6 °/o v 2 letih in 7 mesecih 103‘2 K -J- 30'1 K = 133'3 K
obrestij.
Naloge.
16. Koliko obrestij da na leto:
a) 575 K kapitala po 4 °/ 0 ; c) 708 K kapitala po 4A °/ 0 ;
A) 1560 K kapitala po 6%; d) 1848‘84 K kapitala po 5f- °/ 0 ?
17. Koliko obrestij nese:
a) 562 K kapitala po 5 °/ 0 v 3 letih;
b) 298 K kapitala po 3f °/o v 4 letih;
c) 914 K kapitala po 3| °/o v leta?
18. Koliko obrestij dobiš:
a) od 753 K kapitala po 5 °/o v 4 mesecih;
/6) od 740 K kapitala po 4-| °/o v 3 mesecih;
c) od 2985 K kapitala po 3f % v meseca?
19. Koliko obrestij nese:
a) 1350 K kapitala po 6 °/ 0 v 72 dneh;
b) 4065 K kapitala po 4 °/o v 240 dneh;
c) 2104 K kapitala po 5| °/ 0 v 182 dneh?
20. Koliko obrestij da:
a) 760 K kapitala po 5-| °/o v 2 letih 3 mesecih 6 dneh;
b) 125 K kapitala po 6 % v 1 letu 4 mesecih 18 dneh;
c) 5934 K kapitala po 6f % T 3 letih 6 mesecih 15 dneh?
21. Nekdo si izposodi 2453 K; koliko mora vrniti črez 3 leta
5 mesecev, ako se računa 4-| °/„ obrestij ?
22. Dolg, ki znaša sedaj 856 K, se plača še-le črez 5 let
8 mesecev; koliko je treba plačati, ako se računa 5f % obrestij ?
23. Kapital 7200 K je naložen 3 leta po 4 °/ 0 . črez 3 leta se
nalože kapital in obresti po 4-| °/ 0 ; kolika je vrednost kapitala in
obrestij po nadaljnih 8 letih ?
24. Koliko obresti da a) 2754 K po 3-f °/ 0 od 1. maja do
17. avgusta, b) 824 K po 4| °/ 0 od 2. februarja do 15. aprila,
c) 512'76 K po 6 % od 12. novembra do 15. aprila naslednjega leta,
d) 750'6 K po 5i % od 17. avgusta do 20. marca naslednjega leta?

103
B. Izračunanje kapitala.
Naloga. Kateri kapital da v 5 letih po 4 % 256’2 K obrestij ?
Najprej določiš obresti enega leta po 1 % in ker je 1 % toliko
kakor ena stotina kapitala, sklepaš, da mora biti kapital enak sto¬
kratnemu 1%-nemu deležu, ali drugače izraženo: 100%-ni delež
mora biti enak kapitalu. V navedeni nalogi sklepaš tako-le: eno¬
letne obresti znašajo petino od 256'2 K, t. j. 51'24 K, enoprocentni
delež je enak četrtini od 51'24 K, t. j. 12 ’ 81 K, 100%-ni delež ali
kapital je 100 krat 12’ 81 K, t. j. 1281 K.
Naloge.
25. Kateri kapital da a) po 3 % 51 K; b ) po 3f % 35 K; c) po
4 % 50 K; d) po 4-| % 126 K; e) po 5|- % 84 K letnih obrestij ?
26. Kateri kapital da a) po 3 A % v 4 letih; b) po 4f % v
5 letih; c) po 54 % v 2 letih; d) po 4-4 % v 6 \ leta; e) po 3f %
v 9| leta 210 K obrestij ?
27. Kateri kapital nese a) po 5f % na mesec 326 K 60 h;
b) po 6 % v 8 mesecih 288 K; c) po 4 % v 9 mesecih 108 K
obrestij ?
28. Kateri kapital nese a) po 5 % v 75 dneh 42‘5 K; b) po
6 % v 50 dneh 11'25 K; c) po 44 % v 51 dneh 17 K 34 h obrestij?
29. Kateri kapital da a) po 6 % vi letu 5 mesecih 255 K ;
b) po 4f % v 3 letih 5 mesecih 779 K; c) po 3J °/o v 2 letih 7
mesecih 465 K obrestij ?
30. Nekdo živi od 4-| (4)%-nih obrestij svojega kapitala in izda
povprečno na dan 8'5 (7'25) K; kolik je kapital?
31. Kateri kapital da po 5 % v 3|- leta ravno toliko obrestij,
kakor 2156 K po 4% v 2 letih 8 mesecih? (2 načina.)
C. Izračunanje časa (dobe).
Naloga. V katerem času da 425 K kapitala po 4 % 85 K
obrestij? V 1 letu da 425 K kapitala po 4 % 17 K obrestij. Kapital
mora biti toliko let naložen, kolikorkrat se nahajajo enoletne obresti
v določenih obrestih. 85 K : 17 K = 5. Ker so določene obresti
petkrat večje kakor enoletne, mora biti kapital 425 K 5 let naložen,
da da po 4 % 85 K obrestij.

104
Naloge.
32. V katerem Času da 240 K kapitala a) po 3 % 28 K 80 h;
b) po 3| % 48 K; c) po 4| % 30'24 K; d) po 5% 96 K; e) po
% 33 K obrestij?
33. V katerem času da a) 45 K; b) 150 K; c) 225 K; d) 270 K;
e) 675 K kapitala po 4 °/ 0 36 K obrestij?
34. Nekdo plača 2760 It dolga in 483 K obrestij; koliko- časa
je bil dolžan, ako se računajo obresti po 5 % ?
35. Koliko časa mora biti 100 K kapitala a) po 3 %; b ) po
3 j % ; c) po 4 %; d) po 4f °/ 0 ; e) po 5 °/ 0 naloženih, da znašajo
obresti toliko kakor kapital? (Ali je rezultat isti, če znaša kapital
200, 300, 1000. . K? Kaj izvajaš iz tega?)
36. Kapital 2580 (10920) K je narasel s 3-i (5)°/ 0 -nimi obrestmi
na 2795 (11620• 7) K; koliko časa je bil naložen?
37. Kdaj se je izposodil kapital 2400 K po 4-| %, ako se plača
1. decembra v poravnavo dolga in obrestij 2415 K?
D. Izračunanje odstotka.
Naloga. 350 K kapitala da v 3 letih 42 K obrestij; po koliko
odstotkov je naložen kapital? Kolikorkrat se nahajajo l°/ 0 -ne obresti
istega kapitala za isto dobo v določenih obrestih, po toliko odstotkov
je naložen kapital. 350 K da v 3 letih po 1 % 3’5 K. 3 = 10• 5 K
obrestij. 42 K : 10’5 K = 4. Kapital je naložen po 4 %■
Naloge.
38. 960 K kapitala da a) v 5 letih 144 K; b) v 4 letih 115 2 K;
c) v 4 letih 172'8 obrestij; po koliko odstotkov je naložen kapital?
39. 720 K kapitala da a) v 3 letih 108 K; b) v 2-§ leta 63 K;
c) v 1 letu 3 mesecih 48 K; d) v 6 letih 3 mesecih 135 K; e) v
7 letih 6 mesecih 243 K obrestij; po koliko odstotkov je naložen
kapital ?
40. Po koliko odstotkov je naložen kapital 1092 (4080) K, ako
nese v 4-| (3~) leta 196'56 (571'2) K obrestij?
41. Po koliko odstotkov da 1800 K kapitala v 9 mesecih
121 K 50 h obrestij?
42. Nekdo kupi hišo za 16680 K; koliko odstotkov nese hiša,
ako da v 3 mesecih 187 K 65 h najemnine?
43. Po koliko odstotkov je naložen kapital 696 (5832) K, da
nese v 3 mesecih 20 dneh 9 K 57 h (89 K 10 h) obrestij?

105
E. Izračunanje diskonta.
Naloga. Nekdo mora plačati črez 3 leta 812 K; koliko mora
plačati v poravnavo dolga danes, ako se računajo 4%-ne obresti?
Plačal bo na vsak način manj kakor 812 K, in sicer toliko, da na-
rase izplačana vsota s triletnimi obrestmi po 4 °/ 0 na 812 K. Ker
narase 100 K s 4 °/o-niim obrestmi v 3 letih na 112 K, najdeš po
sklepnem računu vsoto, ki jo mora plačati, tako-le:
Pogojni stavek: 100 K je vredno črez 3 leta 112 Iv
Vprašalni stavek : je vredno črez 3 leta 812 K
x — 1( K .’ K . 812 = 81200 K : 112 = 725 K.
11Z
Dolžnik plača namesto 812 K črez 3 leta, takoj samo 725 K; upnik
mu dovoli 87 K popusta ali diskonta. Diskont je popust, ki ga
dovoli upnik dolžniku, ako plača slednji svoj dolg pred dogovorjenim
rokom. Tako izračunani diskont se imenuje strogi diskont, kise
razlikuje od trgovskega diskonta. V navedeni nalogi je trgovski
diskont enak triletnim obrestim po 4 0 / 0 °d 812 K, t. j. 87'44 K, do-
čim je strogi diskont enak triletnim obrestim po 4°/o od 725 K, t. j.
87 K. Ako imenujemo vrednost, ki jo ima dolg na koncu dobe,
končno vrednost in ono, ki jo ima v začetku, začetno vred¬
nost, lahko rečemo, strogi diskont je enak obrestim začetne vred¬
nosti, trgovski diskont pa obrestim končne vrednosti. Iz navedenega
sledi, da je trgovski diskont vedno večji nego strogi. Vendar ta
razlika ni velika, ako je kapital majhen in doba kratka; trgovski
diskont se pa računa ravno v teh slučajih.
Strogi diskont izračunaš neodvisno od začetne vrednosti tako-le:
Pogojni stavek: 112 K končne vrednosti 12 K diskonta.
Vprašalni stavek : 812 K končne vrednosti x K diskonta.
12 K
x = ——. 812 = 9744 K : 112 = 87 K.
Naloge.
44. Nekdo mora plačati 750 K črez 6 mesecev; koliko znaša
diskont po 4 %, ako plača takoj? (Obojni diskont.)
45. A dobi črez 4| leta za izposojeni kapital z obrestmi vred
1288'56 K; kolik je bil kapital, ako se računajo obresti po 4 °/ 0 ?
Diskont =
der Diskont.
Strogi dis¬
kont = der
strenge
Diskont.
Trgovski
diskont =
der kauf-
mannische
Diskont.
Končna
vrednost =
der End-
wert.
Začetna
vrednost =
der Anfange-
wert.

106
Popolno
število = die
voli stan di ge
Zahl.
Nepopolno
število = die
unvollstan-
dige Zahl.
Kako zazna¬
mujemo
nepopolna
števila.
46. 253'33 K se mora plačati črez 8 mesecev; koliko je treba
plačati sedaj, ako se računajo obresti po 4 % V
47. Koliko kapitala moraš naložiti po 6 °/ 0 , da bo njegova vred¬
nost z obrestmi vred črez 2 leti 8 mesecev 2157'95 K?
48. Nekdo podeduje 1200 K, ki se mu izplačajo šele črez
5 let. Koliko je dediščina sedaj vredna, ako se računajo obresti
po 4| o/ 0 ?
49. Nekdo plača a) 712 - 5 K dolga, ki zapade 15. decembra,
pri 6%-nem diskontu že 1. oktobra; h ) 2165'2 K dolga, ki zapade
20. avgusta, pri 5|%-nem diskontu že 5. maja; c) 43850 K dolga, ki
zapade 2. novembra, pri 4°/ 0 -nem diskontu že 21. februarja; kolik je v
vsakem slučaju diskont in kolika je plačana vsota? (Obojni diskont.)
50. Nekdo kupi posestvo in plača 3600 K takoj, 3000 K črez
9 mesecev in 2400 K črez poldrugo leto. Koliko je vredno posestvo,
ako se računajo obresti po 4| % ?
Okrajšano računanje.
§ 43. Občna pojasnila o nepopolnih številih.
Da izmeriš določeno daljico, n. pr. svinčnikovo dolžino, z merilom,
ki je razdeljeno v milimetre, položiš svinčnik tako na merilo, da se
ujema eno svinčnikovo krajišče s točko na merilu, ki je zaznamovana
z 0, in določiš, s katero zarezo na merilu se ujema drugo svinčni-
kovo krajišče. Ako se ujema drugo krajišče natanko z zarezo, ki je
zaznamovana, n. pr. s 165, tedaj praviš: svinčnik je dolg 165 mm
ali 1'65 dm. Vsako celo ali decimalno število, ki mu moreš natanko
določiti množino enot ali vrednost, se imenuje popolno število.
Ali le redkokrat se dogodi, da se ujema drugo krajišče s kako
zarezo na merilu ; navadno pade med dve zarezi, n. pr. med 177. in
178. zarezo. Ako je krajišče bliže 177. zarezi, pravimo: svinčnik je
približno 177 mm ali 1 • 77 dm dolg; ako je pa bliže 178. zarezi:
svinčnik je približno 178 mm ali 1'78 dm dolg. Vsako celo ali
decimalno število, ki mu moreš le približno določiti množino enot
ali vrednost, se imenuje nepopolno število.
Nepopolno število, ki je določeno vsaj na desetine, zaznamujemo
tako, da mu pridenemo na desni za decimalkami dve piki; nepopolno
število pa, ki mu niso niti celote natančno določene, zaznamujemo
tako, da mu izpolnimo mesta, kamor ne moremo postaviti zanesljivih

107
številk, z zmanjšanimi ničlami. N. pr.: Svinčnik je približno 1 '77 dm
dolg napišeš v znakih 1 ‘77. . dm. Posestnik ima okoli 735 tisoč kron
premoženja v znakih 735 ooo K.
Števila, ki nam jih podaja štetje, so navadno popolna; števila
pa, ki nam jih podaja merjenje, so navadno nepopolna. Računski števila,
zneski so včasih popolna, včasih nepopolna števila. Tako so n. pr.
zneski pri deljenju, pri pretvarjanju navadnih ulomkov v decimalne
itd. prav pogostoma nepopolna števila. Včasih je treba pretvoriti
tudi popolne računske zneske v nepopolna števila, da dobe dotični
zneski uporaben pomen. N. pr.: Ako velja 1 kg nekega blaga 1 -21
(1-23, 1-25) K, velja 6'34 kg 7’6714 (7'7982, 7'925) K. Ker
v prometu ne moremo izplačati vinarskih desetin in stotin, je treba
pretvoriti navedene zneske v 7'67.. (7'80. ., 7‘93. .) K.
Popolnim številom smemo pripisati ničle za decimalke (ali si
misliti pripisane); nasprotno smemo izpustiti ničle, ki tvorijo zadnje ™m\ in
decimalke. N. pr.: 3 ■ 5 = 3 • 5000, 6 • 800 = 6 ■ 8. Nepopolnim številom 'levili™ 1
pa ne smemo ničel niti pripisati niti izpustiti; pripisati jih ne smemo,
ker namesto ničel bi utegnile stati kake druge številke, izpustiti
jih ne smemo, ker napisana ničla pomeni, da ni enot dotičnega reda ;
ako pa ni nobene številke na onem mestu, tedaj ne vemo, ali je
bilo kaj enot onega reda ali ne. Zato moramo smatrati števili
0'8900.. in 0"89.. za različni; kajti v prvem številu sta tretja
in četrta decimalka znani, v drugem pa neznani.
Ako izpustimo zadnje številke (decimalke) kateregakoli števila, okl ^A k ° mo
pravimo, da okrajšamo dotično število. Ako pustimo v številu samo število,
prvo, ali prvi dve ali prve štiri decimalke ali samo celote, pravimo,
da smo število okrajšali na eno, dve, štiri decimalke, na celote. N. pr.:
53'24371 tako okrajšano da 53'2.., 53'24.., 53'2437.., 53 - ...
Tako smo v zgoraj navedeni nalogi okrajšali zneske 7‘6714 (7'7982,
7 ’ 925) K na dve decimalki v 7 • 67 . . (7 • 80. ., 7 • 93. .) K. Pogrešek,
ki smo ga napravili v prvem slučaju, znaša 0'0014 K = 0 14 h,
t. j. manj ko polovica (0"5) enega vinarja ali manj ko polovica
zadnje decimalne enote nepopolnega števila 7-67.. K. V drugem
slučaju je nepopolno število nekoliko preveliko; toda pogrešek, ki se
nahaja v njem, je manjši ko polovica (0 • 5) enega vinarja ali manjši
ko polovica zadnje decimalne enote nepopolnega števila 7'80.. K.
če bi pa okrajšanemu številu ne bili povečali zadnje številke za
enoto, hi znašal pogrešek več ko pol vinarja ali več ko polovico
zadnje decimalne enote nepopolnega števila 7-79.. K. V tretjem

108
Kako
spoznamo
natančnejše
število.
slučaju znaša pogrešek ravno pol vinarja ali polovico zadnje deci¬
malne enote nepopolnega števila 7'93.. K. Kakor v navedenih pri¬
merih postopamo tudi, kakor smo videli, pri merjenju in v vsakem
drugem slučaju, kadar je treba okrajšati kako število:
Zadnjo številko okrajšanega števila povečaš za enoto, ako je
prva številka, ki jo izpustiš 5 ali pa večja od 5; v vsakem drugem
slučaju pustiš zadnjo številko okrajšanega števila neizpremenjeno.
Nepopolna števila so včasih nekoliko premajhna, včasih nekoliko
prevelika; toda v vsakem slučaju znaša pogrešek manj ko polovico
ali ravno polovico zadnje decimalne enote dotičnega števila.
Pri vsakem izmed števil 500-07..»? in 49-83..»? znaša po¬
grešek kvečemu pol centimetra, t. j. približno 100000 del prve
daljice in 10000 del druge daljice. Prva daljica ima z ozirom na
svojo velikost manjši pogrešek kakor druga: prvo število, pravimo,
je natančnejše kakor drugo.
Izmed dveh nepopolnih števil je ono natančnejše, ki ima
večjo množino enot, ako ga izrazimo v enotah najnižjega reda. Tako
so števila 12• 7. ., 1 ■ 27. ., 0'127.. enako natančna, ker ima vsako
127 enot najnižjega reda; število 3’1416.. je natančnejše kakor
0’01456, ker ima prvo 31416, drugo pa le 1456 enot najnižjega reda,
Ker moremo izraziti popolna cela in decimalna števila, kakor
tudi periodične decimalne ulomke v enotah kateregakoli reda, in je
množina teh enot tako velika, kakor hočemo, sklepamo, da so po¬
polna števila in periodični decimalni ulomki natančnejši kakor vsako
nepopolno število. Tako sta ulomka O - 5 in 0’3 natančnejša kakor
1-75328.., ker napisana v obliki 0'500000 in 0'333333, ima prvi
500000, drugi 333333, nepopolni pa samo 175328 enot.
Naloge.
1. Okrajšaj sledeča decimalna števila na 3 decimalke:
a) 5-4322, 0'0716, 6'0465, 3'45152, 2‘9997;
b) 3-6, 0-25, 0-723, 2• 5716, 7 • 9.
2. Okrajšaj na 2 decimalki:
a) 3-14159, 73-567, 8'7954, 10-805, 2'9953;
b) 5-3, 21-07, 0-245, 4'5964, 0’707. .
3. Pretvori v decimalne ulomke in jih okrajšaj na 4 decimalke:
a) tV; b ) st i c ) ral <0 rosi e ) ST7-

109
4. Nemška marka velja 1' 17563 K; koliko plačaš za 1 marko,
za 10, 20, 50, 100 mark?
5. Francoski frank velja 0'95226 K; koliko plačaš za 1 frank,
za 10, 20, 70, 100 frankov?
6. Amerikanski dolar velja 4‘9351 K; koliko plačaš za 1 dolar,
za 10, 100 dolarjev?
7. Uredi sledeča števila po njih natančnosti: 8'3.., 17'456.,,
8-12.., 174-52.., 82-4, 0'75.., 0'73.., 10• 7823. 8*756. .,
0-0092..!
§ 44. Okrajšano seštevanje in odštevanje.
Pri okrajšanem računanju je treba gledati na to, da se opusti
vse nepotrebno računanje in da se določi znesek tako natanko, kakor
je nalogi primerno, ali pa tako natanko, kakor je sploh mogoče.
A. Popolna števila.
Naloga. Nekdo kupi četverno blago, ki ima posamič sledeče
natanko izračunane vrednosti 12-3564 K, 6*72612 K, 10'5352 K
in 3'47602 K; koliko plača za blago?
Vrednost vsega blaga je 33 ‘09374 K. Tisočine in manjši deli
krone se ne morejo izplačati, zato so zadnje tri decimalke brez po¬
mena in nepotrebno izračunane. Da opustiš nepotrebno računanje,
okrajšaš sumande na eno decimalko več, kakor jih v rezultatu po¬
trebuješ in okrajšaš šele rezultat na potrebno število decimalk. Ako pa
okrajšaš že sumande na potrebno število decimalk, se lahko dogodi, da
je rezultat zaradi popravkov napačen, kakor kaže izračunana naloga.
Kakor se razvidi iz navedenega primera, ni zadnja številka pri
okrajšanih računih vedno zanesljiva; zato velja vobče pravilo:
Vsoto ali razliko popolnih števil zanesljivo določiš na zahtevano
število decimalk, ako okrajšaš dana'popolna števila na eno decimalko
več, kakor je zahtevano, izvršiš na teh okrajšanih številih predpisane
računske načine, odrežeš v rezultatu zadnjo številko in popraviš, ako
potrebno, zadnjo napisano številko.
Kako določiš
vsoto
popolnih
števil tako
natanko,
kakor se
zahteva..

110
Kako določiš
vsoto ali
razliko
nepopolnih
števil tako
n:, tanko,
kakor je
mogoče.
B. Nepopolna števila.
Naloga, a) Določi vsoto sledečih števil: 6'3847.. —f- 3*25 —j—
—{— 0• 3 —j— 7'214. . tako natanko, kakor je mogoče!
Vsota nepopolnih števil gotovo ne more imeti več zanesljivih
decimalk, kakor nepopolni sumand, ki jih ima najmanj. Četrti sumand
ima samo tri zanesljive decimalke, tedaj jih tudi vsota ne more več
imeti. Ravno tako ne more imeti razlika b) 5'3482.. — 2'76..
več zanesljivih decimalk, kakor jih ima ono nepopolno število, ki jih
ima manj, t. j. 2'73. .'tedaj ne več, kakor dve. Iz navedenega izvajaš:
Vsoto ali razliko nepopolnih števil določiš tako natanko, kakor je
mogoče, ako okrajšaš vsa dana števila na enako število decimalk,
ravnajoč se po tistem nepopolnem številu, ki ima najmanj decimalk,
izvršiš na teh okrajšanih številih zahtevane računske načine, odrežeš
v rezultatu zadnjo številko in popraviš, ako potrebno, zadnjo napisano
številko.
Gorenji nalogi izračunaš tako-le:

111
3. Določi vsoto in razliko sledečih števil na 3 decimalke:
a) 56-08725
39-67538
b) 17-08
9-45729
c) 15 - 257
5 ‘ 6
4. Pretvori v decimalne ulomke in izračunaj na 3 decimalke:
®) i m + + T2 m “h + Ts m >
b) f % + + kg + 1 %' + II % + H k S-
Določi vsoto navadnih ulomkov, jo pretvori v decimalni ulomek
in tega okrajšaj na 3 decimalke! (Preizkus.)
5. Določi na 2 decimalki in napravi preizkus:
a) 8f m — 2 t 9 t m; b) 12| K — 5+ K;
c ) +V hl — hi; d) 18 T \ q — 5 & q.
6. Izračunaj tako natanko, kakor je mogoče:
a) 2 • 573.. + 0•3428.. + 7•58.. + 6•498..;
b) 2-5 + 7-042.. + 12-498 + 5-41.
c) 8-3 + 0-49 -|-5-812.. + 4’3;
d) 5-834. .+ 12-7 + 0-34. . + 9-35 + 7'05421.
7. Pretvori v decimalne ulomke in izračunaj tako natanko, kakor
je mogoče:
a) 5-38..+ 7|+12|i+ 201+5|f;
b) 2f + 6+ + 9+ + 6+ + 7-267. .;
c) 6f + 13 y + 8-125 + 5-8214. . + 2+;
d) 2-574. . m + 34 m + 7 y m + 6• 2840. . m;
e) 12+%+ 27+% + 5+%+ 6-273. .kg;
f) 153-54. .m 2 + 28-ff-i?? 2 + 2+Vm 2 + 45 ‘0793 m 2 .
8. Izračunaj sledeče razlike tako natanko, kakor je mogoče in
napravi preizkus:
a) 75-045.. — 23’47..;
c) 135-3 — 79-482..;
e) 35‘328..%— 26-37%;
g) 10’570.. km — 2'lbkm;
9. Azija meri 44285ooo km ! ,
b) 12-10.. - 8f;
d) 123f— 102-75. .;
/) 47-57 ..hl — 291 hl;
h) 245 52.. K— 14+K.
Amerika 38720ooo km*. Afrika
30016ooo km*, Evropa 9897ooo km 2 in Avstralija 8955ooo km*;
a) koliko milijonov kvadratnih kilometrov meri vsak svetovni del;
h) koliko milijonov kvadratnih kilometrov merijo vsi skupaj?

112
Okrajšano
množenje
= die
abgekurzte
Multiplika-
tion.
§ 45. Okrajšano množenje.
A. Popolna števila.
Naloga. Koliko velja 6'7249 q blaga, ako velja 1 q istega blaga
17'58 K? Vrednost vsega blaga izračunaš na 6 decimalk; ker pa
moreš izplačati le kronske stotine, določiš tedaj 4 decimalke preveč.
Da se izogneš nepotrebnemu računanju, računaš tako, da določiš v
delskih produktih samo dve decimalki. Ker je pa zadnja številka
vsakega okrajšanega računa nezanesljiva, določi v delskih produktih
in tudi v njih vsoti eno številko več, kakor jih potrebuješ in od¬
režeš v rezultatu zadnjo številko.
Popolno, oziroma okrajšano množenje izvršiš tako-le:
a) 17-58 K . 6'7249 b) 17'580 K . 6.7249
Prvi delski produkt 17'58 . 6 ima dve decimalki, vsak prihodnji
ima eno decimalko več. Ako določiš delske produkte na tri deci¬
malke, moraš okrajšati tretji in vsak sledeči delski produkt na tri
decimalke in vpoštevaš seveda vpliv, ki ga ima prva odrezana šte¬
vilka na zadnjo napisano. Tretji delski produkt se glasi
17-58.0-02 = 0-3516.
Ker potrebuješ samo 3 decimalke, odrežeš četrto in vzameš od nje
popravek; isti produkt pa tudi dobiš, ako odrežeš multiplikandu
zadnjo številko (8), vzameš popravek od produkta 2 . 8 in ga pri-
šteješ produktu 2 . 5. Pišeš tedaj
17-5,8.0-02 = 0-352
in govoriš: 2 krat 8 je 16, popravek 2; 2 krat 5 je 10 in 2 je 12, 1;
2 krat 7 je 14 in 1 je 15, 1; 2 krat 1 je 2 in 1 je 3.
četrti delski produkt 17'58.0'004 ima 5 decimalk; ker po¬
trebuješ samo 3, odrežeš multiplikandu zadnji dve številki in pišeš:
17 - |58.0-004 = 0-070
in govoriš: 4 krat 5 je 20, popravek 2; 4 krat 7 je 28 in 2 je 30, 3;
4 krat 1 je 4 in 3 je 7.

113
Peti delski produkt 17'58.0'0009 ima 6 decimalk; multipli-
kandu odrežeš zadnje tri številke in pišeš
1|7 • 58 . 0-0009 = 0-015
govoreč: 9 krat 7 je 63, popravek 6; 9 krat 1 je 9 in 6 je 15.
Da veš, od katere multiplikandove številke moraš vzeti popravek,
postopaj tako-le: Napiši multiplikatorjeve enice pod ono multiplikan-
dovo številko, ki ima isto mestno vrednost kakor zadnja številka v
zahtevanem produktu, vse druge multiplikatorjeve številke pa v
obratnem redu. S tem dosežeš, da ima produkt mestnih vrednosti
dveh številk, ki stojita druga pod drugo, vedno mestno vrednost
zadnje produktove številke. (Prepričaj se!) Delski produkt katerekoli
multiplikatorjeve številke določiš s tem, da vzameš od produkta
multiplikandove številke, ki stoji na desni, le popravek, pomnožiš
pa nad njo stoječo in vsp na levi stoječe multiplikandove številke
ter pišeš posamezne delske produkte drugega pod drugega.
Primerjaj še sledeče naloge: Določi b ) 2‘8537 . 0-5724 na tri
decimalke; in c) 13 • 589.4 • 5316 na eno decimalko.
b) 2-8537 . 0-5724 c) 1 3 589 . 4-5316
42750 61354
B. Nepopolna števila.
Naloga, d) Krogov premer meri 2-734.. m; kolik je krogov
obod? Krogov obod je 3‘14159. .kratili premer. Ker sta v produktu
2 "734. . m . 3"14159. . faktorja nepopolni števili, ne moreš določiti
produkta na toliko zanesljivih decimalk, kolikor jih hočeš, ampak
samo na toliko, kolikor jih ima prvi delski produkt 2'734 . 3". Ker
ima delski produkt samo tri zanesljive decimalke, izračunaš produkt
na tri decimalke. Račun izvršiš tako-le:
2-734. . m . 3-14159. .
951413
8202
273
109
3
_ 1 _
8"58[8 = 8'59. . m.
Kako določiš
produkt dveh
števil tako
natanko,
kakor se
zahteva.
Kako določiš
produkt
nepopolnih
števil tako
natanko,
kakor je
mogoče.
Matek - Peterlin, Aritmetika.
8

114
e) Kolika je ploščina 43'56 ..m dolgega in 12'7.. m širokega
pravokotnika? — Mersko število pravokotnikove ploščine je enako
produktu merskih števil njegove dolžine in širine.
I. 43-56... 12-7.. II. 12-7. .. 43-56. .
' ? ? 7 21 6534
4356 508
871 38
305 6
? _1 _
55i3. . = 55 o m 2
V računu pod I. ima prvi delski produkt .43'56.. . 10. eno
decimalko ih na eno decimalko bi bil določen ves produkt. Iz računa
pa razvidiš, da ne moreš določiti četrtega delskega produkta, ker ne
poznaš števila multiplikatorjevih stotin. Zadnje številke v produktu
ne morejo biti zanesljive, če pa zamenjaš faktorje (glej račun II.!),
ima prvi delski produkt 12 • 7... 40 zanesljive le celote in ves pro¬
dukt bo določen le na celote; ker pa ima multiplikator več znanih
veljavnih številk kakor multiplikand, moreš zanesljivo določiti po¬
trebne delske produkte in vsled tega tudi ves produkt. Iz navede¬
nega izvajaš:
Na okrajšani način moraš množiti, ako je le en faktor nepopolno
število. Za multiplikator vzameš vselej natančnejši faktor, t. j. onega,
ki ima več znanih veljavnih številk in podpišeš prvo njegovo veljavno
številko pod zadnjo multiplikandovo, vse druge pa v obratnem redu.
Mestna vrednost multiplikandove številke, ki stoji nad multiplikator-
jevimi enicami, je mestna vrednost zadnje produktove številke. Delske
produkte določiš na okrajšani način. V končnem produktu odrežeš
zadnjo številko, ker ni zanesljiva, in popraviš z njenim popravkom
zadnjo v produktu puščeno številko.
Naloge.
1. Izračunaj naslednje produkte na dve decimalki:
a) 9-4167 . 1-235; b) 8’35 . 12•764;
c) 98-7 . 5-8142; d) 0'82 . 6‘7.
. 2. Izračunaj naslednje produkte na celote:
a) 16-7598 . 25'843; b) 0-7624 . 512-4;
c) 59-48.3-875..; <7) 30-103.69-876.

115
3. Pretvori v naslednjih produktih faktorje v decimalna števila
in določi produkt na tri decimalke:
a) i ■ fVi b )
5 . . 2 ,-
7 3 ’ «) TTf
_ 2 _ •
1 1 ’
d)
1 7
_ 2_
1 5 *
Za preizkus izračunaj produkt navadnih ulomkov in ga pretvori
v decimalni ulomek!
4. Določi naslednje produkte na štiri decimalke in napravi pre¬
izkus s tem, da pretvoriš faktorje v navadne ulomke in njihov pro¬
dukt zopet v decimalni ulomek:
8) 0-125.0-45; b) 0'38 . 0/037; c) 0-063 . 2'407.
5. Izračunaj naslednje produkte tako natanko, kakor je mogoče:
a) 6-539.. X 8-42;
b) 479-326.. X 854;
c) 4-756 X 9-327..;
d ) 965 X 79-463..;
e) 67-56.. X 39-257. .;
/) 84-356. . X 7-824..;
g) 4-256.. X 4-256. .;
h) 15-2346.. X 15-2346.. X 15-2346...
6. Koliko stane 4'53 m blaga po 13'76 K?
7. Koliko velja 8'2375 ha travnika po 572-46 K?
8. Srednja lunina razdalja od naše zemlje je 60 ■ 2778krat večja
kakor zemeljski polumer; koliko tisoč kilometrov je to, ako meri
zemeljski polumer 6378 kml
9. 1 cm 3 živega srebra tehta 13 • 596 .. g; koliko tehta a) 4 • 36 cm 3 ;
b ) 8'785.. cm 3 ; c) 73 "6 ..cm 3 živega srebra?
10. Trgovec mora plačati 218'42 marke nemškega denarja;
koliko kron je to, ako se računa marka po 1’17563 K?
11. Koliko kron je vredno- 357'92 franka, ako se računa frank
po 0’95226 K ?
12. Koliko kron je vredno 57'85 dolarja, ako se računa dolar
po 4-9351 K?
§ 46. Okrajšano deljenje.
A. Popolna števila.
Okrajšano
Naloga, a) 23'47 m blaga velja 369’5 K; koliko velja 1 m? deljenje
Cena enega metra je enaka vrednosti vseh metrov, deljeni s številom abgekurzte
_ , Division.
8 *

— 116
Kako določiš
kvocient
tako
natanko,
kakor se
zahteva.
metrov. V kvocientu 369 • 5 K : 23'47 določiš najprej mestno vred¬
nost prve njegove številke (§ 15.) in deliš kakor celo število s celim
Račun izvršiš tako-le:
Ker imata v kvocientu le prvi dve decimalki tako vrednost, da
jili vpoštevamo v prometu, je določevanje nadaljnjih decimalk ne¬
potrebno. Pa tudi izračunanje kvocienta na dve decimalki moreš,
kakor je razvidno iz računa pod II., nekoliko skrajšati. Kako pa
skrajšaš račun? V računu I. določiš drugo kvocientovo številko, ako
deliš 13480 z 2347; ako pa deliš dividend in divizor z 10, se kvo¬
cient ne izpremeni in druga številka je nepopolni kvocient 1348 : 234[7.
Namesto da pripišeš delitvenemu ostanku ničlo, odrežeš divizorju
zadnjo številko, ki jo pa moraš vpoštevati pri množenju divizorja z
drugo kvocientovo številko v toliko, da vzameš od njenega produkta
popravek. Govoriš tedaj tako-le: 5 krat 7 je 35, popravek 4; 5 krat 4
je 20 in 4 je 24 in 4 je 28, 2; 5 krat 3 je 15 in 2 je 17 in 7
je 24, 2; 5 krat 2 je 10 in 2 je 12 in 1 je 13. Tretjo številko najdeš,
ako deliš 17450 : 2347 ali pa 174 : 23(47. Ostanku ne pripišeš ničle,
temveč odrežeš divizorju predzadnjo številko, ki jo še toliko vpoštevaš,
da vzameš od njenega produkta popravek. Govoriš tedaj: 7 krat 4
je 28, popravek 3; 7 krat 3 je 21 in 3 je 24 in 0 je 24, 2; 7 krat 2
je 14 in 2 je 16 in 1 je 17. Sledečo številko v kvocientu najdeš,
ako deliš 10210 : 2347 ali pa 10 : 2(347 in govoriš: 4 krat 3 je 12,
popravek 1; 4 krat 2 je 8 in 1 je 9 in 1 je 10.
Ker najdeš prvo kvocientovo številko s tem, da deliš dividend
s celim divizorjem, za vsako naslednjo številko pa odrežeš divizorju
po eno številko, zato ima na okrajšani način izračunani kvocient
toliko veljavnih številk, kolikor jih ima prvotni divizor; ako je divizor
popolno število, mu lahko pripišeš ničle in določiš v kvocientu toliko
veljavnih številk, kolikor jih hočeš.
Ako se zahteva v kvocientu določeno število decimalk, določiš
najprej število kvocientovih veljavnih številk; ako je teh manj, kakor
jih ima divizor, okrajšaš divizor na enako število veljavnih številk;

117 —
ako jih je pa več, moraš po prvi kvocientovi številki na navadni
način izračunati še toliko številk, kolikor jih ima divizor premalo,
ostale pa izračunaš na okrajšani način.
Ker zadnja kvocientova številka ni zanesljiva, izračunaš eno
številko več, kakor jih potrebuješ; zato pa v rezultatu zadnjo od¬
režeš in vzameš od nje popravek. Primerjaj sledeči nalogi!
Izračunaj kvocient 52'714: 0"8376 b) na tri decimalke, c) na
celote.
Prva kvocientova številka ima mestno vrednost desetic- Kvocient
bo imel pred decimalno piko 2 številki in v nalogi b) 4 decimalke,
tedaj 6 veljavnih številk. Ker ima divizor samo 4 številke, izračunaš
po prvi kvocientovi številki še 2 na navadni, ostale pa na okrajšani
način.
b) 52-714 : P-8 .3.7,6 = 62'934(5 c) 52-714 r P-8 ,3,7,6 = 62-9
24580 = 62-935.. 245 = 63-..
78280 78
2896 3
383
48
6
V nalogi c) sta zahtevani le 2 kvocientovi številki, ki morata
biti zanesljivi; zato izračunaš 3 številke. V ta namen okrajšaš divizor
na 3 številke in vzameš od produkta prve odrezane številke popravek.
Ker tudi v dividendu ne potrebuješ več številk, nego jih ima prvi
delski dividend, zato okrajšaš tudi dividend na toliko številk in
vzameš od prve odrezane popravek.
B. Deljenje nepopolnih števil.
Naloga. Krogov obod meri 153’76. . dm; kolik mu je premer?
Krogov premer je enak obodu, deljenemu s 3-14159. .. Ker sta divi¬
dend in divizor nepopolni števili, ne moreš kvocienta tako natanko
izračunati kakor hočeš, ampak samo tako natanko, kakor je mogoče.
Račun izvršiš tako-le:
153"76. . dm : 3 "i1i4lLiS9 • • — 48 • 9[4. . dm — 48 ’ 9. . dm
2810
297
14
2
Kako določiš
kvocient
nepopolnih
števil tako
natanko,
kakor je
mogoče.

118
Ko si določil mestno vrednost prve kvocientove številke (§ 15.)i
deliš kakor celo število s celim številom. 15376 pa ne moreš deliti
s 314159, in ker nepopolnemu dividendu ne smeš pripisati ničel,
moraš divizor toliko okrajšati, da je deljenje mogoče. Divizorju od¬
režeš tedaj 2 številki in deliš 15376 : 3141(59 na okrajšani način.
Tako okrajšani divizor ima eno številko manj kakor dividend, in to
zaraditega, ker je prva dividendova številka manjša kakor prva divi-
zorjeva; v nasprotnem slučaju imata dividend in divizor enako
število veljavnih številk. Natančnejši divizor okrajšaš z ozirom na
manj natančen dividend.
h) Pravokotnikova ploščina je 35•7285. . m * 1 ; kolika mu je
dolžina, ako meri njegova širina 2'87.. ml Mersko število pravo-
kotnikove dolžine je enako kvocientu merskega števila ploščine in
širine. Račun izvršiš tako-le:
35-7,285.. = 12 4. . = 12-..
70
13
2
Ko si določil mestno vrednost prve kvocientove številke, deliš
tako kakor celo število s celim. Prvemu delitvenemu ostanku pa ne
smeš pripisati številke 2, ker ne veš, katera številka bi bila tretja
v ostanku, če bi imel divizor 4 zanesljive številke. Zato pustiš
v natančnejšem dividendu le toliko številk kakor jih ima prvi delski
dividend, vse druge pa odrežeš in vzameš od prve odrezane le po¬
pravek; kvocient določiš na okrajšani način in mu odrežeš zadnjo
številko, ker ni zanesljiva.
Iz navedenega izvajaš:
Nepopolno število deliš z nepopolnim številom, ako določiš naj¬
prej mestno vrednost prve kvocientove številke, okrajšaš natančnejše
število tako, da ima, če je prva dividendova številka večja od divi-
zorjeve, toliko veljavnih številk kakor manj natančno število — sicer
mora imeti dividend eno številko več nego divizor — izračunaš
kvocient na okrajšani način in mu odrežeš zadnjo številko, ker
je nezanesljiva.
Naloge.
1. Izračunaj na 2 decimalki in napx - avi preizkus:
a) 95-402 : 7'0294; b) 286'45 : 3-7928;
c) 765-4321 : 32'198; d) 1234•56 : 85’73;

119
e) 0-07531 : 0'004682; f) 0-5683 : 0-09256;
g) 74-69432.8'5769; h) 9■47658 : 0 ■ 754653...
2. Izračunaj na celote in napravi preizkus :
a) 38-293:0- 0476 ; b) 0 • 9258 : 0 • 00372 ;
c) 472-8 : 0-5281; d) 27563:4-7628.
3. Pretvori v naslednjih nalogah navadne ulomke v decimalne
in določi kvociente na 3 decimalke:
a)
5. • 2. •
8 ' 3 >
b)
• 3 .
' 5 1
c)
10 • _ 3 _ •
11 ■ 185
d)
51 ■ 1
H • 9'
Napravi preizkus tako, da pretvoriš kvocient navadnih ulomkov
v decimalni ulomek!
4. Izračunaj tako natanko,
a) 64-82. .: 75-64. .;
c) 3-7182..: 765-8..;
e) 65-87..: 125'89 ;
g ) 104-03 : 713-56. .;
kakor je mogoče:
b) 476-32..: 29-58..;
d) 801-945..: 96-8..;
f) 76-40..: 43 - 52 ;
h) 283-92 : 684-91. ..
5. Izračunaj tako natanko, kakor je mogoče :
a) 253oo: 43 o;
c) 8-3 : 2-574..;
e) f : 942. .;
. 2-345 X 0-9237..
g) - ttt - ;
b) 1785ooo : 426oo;
d) 16-257. .: 0-943;
/) 0-578.. : T \;
0-5217. ._X »‘S
9-41 X 2-718. .
6. 47"865 q blaga velja 357'14 K; koliko velja 1 g?
7. 1 dm 3 živega srebra tehta 13 • 596. . koliko dm s pro¬
stornine ima 1 kg živega srebra ?
8. Kranjska meri 9988-3 km 3 in ima 508348 prebivalcev;
koliko prebivalcev je povprečno na 1 7rm 2 ?
9. Koliko mark dobiš za 100 K, ako je marka vredna
1-17563 K?
10. Koliko frankov dobiš za 500 K, ako velja frank 0'95226 K?
11. Koliko dolarjev dobiš za 1000 K, ako velja dolar 4‘9351 K?
12. Zemlja napravi v 365"24 dneva svojo 963466ooo km dolgo
pot okoli solnca; koliko pot napravi v 1 dnevu?

120
Posebno
število = die
besondere
Zahl.
Posebna
aritmetika
= die
besondere
Arithmetik.
Kako
zaznamuješ
nedoločeno
množino
enot.
Občno
število = die
allgemeine
Zahl.
Občna arit¬
metika = dre
allgemeine
Arithmetik.
Računanje s celimi občnimi števili.
§ 47. Občna števila.
Števila, ki izražajo določeno množino enot, se imenujejo po¬
sebna števila. Nauk o računanju s posebnimi števili se zove
posebna aritmetika.
S posebnimi števili smo računali do sedaj.
Dogodi se pa že v navadnem življenju prav pogostoma, da
moraš računati z nedoločenimi množinami enot. N. pr.: Posestnik
proda 6 košev jabolk, 4 koše hrušk in 3 koše orehov; njegov sosed
pa proda 3 koše jabolk, 8 košev hrušk in 1 koš orehov. Dasiravno
ne veš niti števila jabolk niti hrušk niti orehov, vendar sklepaš, da
je prodal sosed le polovico toliko jabolk, dvakrat toliko hrušk in
le tretjino toliko orehov kakor prvi posestnik. To sklepanje je
seveda popolnoma utemeljeno le v tem slučaju, ako so koši med
seboj enaki in sadovi povprečno iste debelosti. Oba posestnika sta
prodala 9 košev jabolk, 12 košev hrušk in 4 koše orehov; prvi je
prodal 3 koše jabolk in 2 koša orehov več (kakor drugi) in 4 koše
hrušk manj kakor drugi. Z nedoločeno množino jabolk, hrušk,
orehov, ki se nahajajo v enem košu, računaš tedaj ravno tako, kakor
s posebnimi števili. Da predočiš in zaznamuješ nedoločeno množino
enot, rabiš, kakor v navedenem primeru, celo besedo „koš“, ki
jo pa lahko skrajšaš na prvo črko „k“ in pišeš: 9 k jabolk, 12 k
hrušk in 4 k orehov. Ta način skrajšanega zaznamovanja nedoločene
množine enot nas privede do tega, da si predočujemo nedoločene
množine enot sploh z malimi črkami latinske abecede. Tako pomeni
črka s neko množino enot, črka h vobče neko drugo množino enot itd.
Različne črke zaznamujejo v enem in istem računu vobče različne,
lahko pa tudi zaznamujejo enake množine enot; nasprotno pa zazna¬
mujemo različne množine enot vselej z različnimi črkami. Ako se
ponavlja kaka črka v istem računu, pomeni vsakikrat isto množino
enot. Vsaka črka pomeni skozi ves račun istotoliko enot, kakor jih
je zaznamovala v začetku računa. V različnih računih utegnejo iste
črke zaznamovati ali različno ali pa tudi isto množino enot.
Števila, ki izražajo nedoločeno množino enot, se imenujejo
občna števila. Nauk o računanju z občnimi števili se zove občna
aritmetika. Znaki za osnovne računske načine so pri občnih šte¬
vilih isti kakor pri posebnih. Tako pomeni a -j -h vsoto, a — b razliko,

121
a X b ali a . b produkt in a : h ali ~ kvocient občnih števil a in h.
Znak množenja se navadno izpusti, namesto a X b ali a . b pišemo a b.
Ako spojimo (združimo) občna ali posebna števila med seboj
z računskimi znaki, dobimo številne izraze. Številni izraz, ki ima
le posebna števila, lahko izračunaš. N. pr. 5 X 3 — 8 = 15 — 8 = 7.
Ako ima številni izraz občna števila, ga ne moreš vedno izračunati
in krajše napisati. Izfaz a — b pomeni razliko števil a in b; a — b
je sicer eno samo število, ki ga pa ne moreš krajše napisati.
Razliko a — b zaznamuješ kot eno samo število, ako jo okleneš
z oklepajem in pišeš: (a — b). Številni izraz okleneš z oklepajem
vselej, če je treba nakazati, da moraš ž njim izvršiti kak računski način.
Oklepaji so raznovrstni: okrogli (), oglati [] in zaviti {}. Kadar
je treba okleniti oklepaj, rabimo različne oklepaje. Znak množenja
smeš izpustiti tudi takrat, ako je faktor številni izraz, ki je oklenjeu
z oklepajem. N. pr.: 5 (7 - 3) = 5 . (7 — 3) = 5.4 = 20.
40 — <17 -f 2 [20 — (18 — 5)]; = 40 — <17 -f 2 [20 — 13]} =
= 40 — <17 -f 2 . 7} = 40 — {17 + 14} = 40 — 31 = 9.
Oklepaje odpraviš iz številnega izraza, ki ima samo posebna
števila, ako zaporedoma izvršiš v oklepajih nakazane račune, začenši
pri najožjem oklepaju.
Da se raba oklepajev nekoliko utesni, velja sledeče:
1. Ako je treba prišteti ali odšteti zaporedoma več števil, se
oklepaji izpuste. N. pr.: [(a 4- b) — c] 4- d = s -I - b — c 4- d;
{[(5 + 7) - 4] -f 12} — 9 = 5 -f 7 — 4 -j- 12 — 9 = 11.
2. Ako je treba množiti ali deliti zaporedoma z več števili, se
oklepaji izpuste. N. pr.:
(s : b) . c = a : b . c; (15 : 3) . 4 = 15:3.4 = 5.4 =20.
3. Ako je treba izvršiti v številnem izrazu najprej množenje,
oziroma deljenje, in šele potem seštevanje, oziroma odštevanje, se
tudi oklepaji izpuste. N. pr.: 5.4 — 2.7 = (5.4) — (2.7) =
= 20 — 14 = 6; 18 : 3 -f- 3.4 = (18 : 3) -f (3.4) = 6 -f 12 = 18.
4. Ulomkovih števcev in imenovalcev, ki so številni izrazi, ne
oklepamo z oklepaji; vendar moramo računati ž njimi, kakor da so
oklenjeni. N. pr,:
5 4- 3 9 4-7
7 X \ ' 10 --f” • 3 = f • 1° — V • 3 = 16 — 12 = 4.
Številni izraz
= der
Zahlen-
ausdruck.
Okrogli
(oglati,
zaviti)
oklepaj =
die runde
(eckige, ge-
schlungene)
Klammer.
Kdaj smeš
izpustiti
oklepaje.

122
Zamenjati
= sub-
stituieren.
Kadar postavimo v številne izraze namesto občnih števil posebna
števila ter izvršimo s temi števili nakazane računske načine, tedaj
pravimo, da zamenjamo. N. pr. za a — 2, h = 3 in c = 4
dobi številni izraz '
a + b — c
a
2
. b to-le vrednost:
3 — 4
4 • 3 = l • 3 =
= H-
Naloge.
1. Določi pomen in vrednost naslednjih
a) 15+ (8 + 3); h) (15+ 8)+ 3;
d) 15 + (8 - 3);
g) 15 — (8 + 3);
k) 15 - (8 - 3);
e) (15 + 8)-3;
h) (15- 8) + 3;
1) (15 - 8)- 3;
številnih izrazov:
c) 15 + 8 + 3;
/) 15 + 8 — 3;
i) 15 — 8 + 3;
m) 15 — 8 — 3.
Kdaj smeš izpustiti oklepaj?
2. Izračunaj naslednje številne izraze:
a) 70 — [30 + (15 — 6)]; b) (70 — 30) + (15 — 6);
c) 70 — (30 + 15) — 6; d) 70 — [30 — (15 — 6)];
e) (70 — 30) - (15 — 6); /') 70 - (30 — 15) — 6 ;
g) 80 -{40 + [32 -(15 -7)]};
h) 80 — 40 + [32 — (15 — 7)];
i) 80 —[(40 + 32) - (15 — 7)];
k) 80 — (40 + 32) — (1 5 — 7).
3. Določi pomen in vrednost
a) 50 + 5 . 4 + 3 ; h) 50 —
d) 50 + 5 <4 + 3); e) 50 —
g) (50 + 5) . 4 + 3 ; A) (50 -
k) (50 + 5) (4 + 3)", 7) (50 —
4. Določi ravno tako:
a) (3.4). 5; b) 3
d) (24 : 2) . 3; e) 24
g) (15- 6): 2; h) 15
sledečih številnih izrazov :

123
5. Izračunaj:
a) 45:9 + 2 . 7 ;
c) 63 : 7 — 36 : 12;
e) 8 (4+ 1) — 7 (8 — 3);
g) (18: 3). 5 — 2(12:4);
b) 7 . 5 — 24 : 3;
d) 3 (7 — 5) + 2 (5 — 3);
f) 15 : (9 — 6 ) + 5 (8 — 7 );
h) (45 + 11) : 7 - (21 — 3) : 9.
i) (12 : 3 + 72 : 9) : (19 — 17);
6. Izračunaj sledeče izraze:
a) 105 — 8 . 7 + 92 : (3 . 6 + 5);
b) 196 : [5 + 2 . 3 — 4 (2 . 8 - 5.3)];
c) (5 + 2 . 11 — 3) : [6 . (8 : 4) - (17 — 15) (23 - 20)];
d) [2 (3 + 4) - 3 . 3 + 5 : (2 + 3)] . (4 + 12 : 2);
e) (4 + 9 (8 — 2) [20 — (8 — 4)] + 11 . 12} : 1000.
7. Določi pomen naslednjih občnih izrazov in njih vrednost, če
zamenjaš za a = 21, b = 7, c = 2 :
a) a —[- h, b) a ~j— (b —|— c), c) ab —j— c, (7) a : b —j— c,
a — b, a + (b — c), a b — c, a : b — c,
a . b, a — (h + c), (a + b) c, (a + b) : c,
a : b; a — (b — e); (a — b) c; (a — b) : c.
8. Določi pomen naslednjih številnih izrazov in njih vrednost
za x = 30, y = 6, z — 3, u = 1:
9. V mnogokotniku, ki ima n stranic, moreš načrtati iz vsa¬
kega oglišča (n — 3) diagonale, ki razdele mnogokotnik v (n — 2)
(n — 3) . n
trikotnika; vseh diagonal je Koliko diagonal moreš
načrtati iz vsakega oglišča, koliko trikotnikov nastane in koliko je
vseh diagonal v mnogokotniku, ki ima 4, 5, 6, 7, . . . . 25 stranici*

124
Kako
seštevaš
občna
števila.
Kako
odštevaš
občna
števila.
Kdaj moreš
vsoto ali raz¬
liko občnih
števil krajše
izraziti.
Glavna koli¬
čina = die
Hauptgrofie.
Koeficient
= der
Koeffizient.
Kako
seštevaš
istoimenske
izraze.
Kako
odštevaš
istoimenske
izraze.
§ 48. Seštevanje in odštevanje občnih števil. •
Vsoto dveh ali več občnih števil moreš izraziti le na ta način,
da napišeš vse sumande in postaviš med nje znak seštevanja
Vsoto števil a, b, c in d napišeš tako-le: a -\- b -\- c -\- d. Tako
kakor izračunaš vsoto posebnih števil, n. pr. 5 —j— 7 —|— 9 — 21, ne
moreš izračunati vsote občnih števil. Ako hočeš izraziti, da je
a -|- b -j- c -]- d izračunana vsota občnih števil a, b, c in d, jo
okleneš z oklepajem in pišeš: » -j— —|— c —|— c? = (a —J— & —J— c —]— c?)
Takisto izraziš razliko, ki jo dobiš, ako odšteješ od občnega
števila a občno število b, s tem, da napišeš števili a in b, in po¬
staviš med nji znak odštevanja —•, pišeš torej: a — b. Hoteč iz¬
raziti, da je a— b izračunana razlika, jo okleneš z oklepajem in
pišeš a — b = (a — b).
V posebnih slučajih moreš vendarle krajše napisati ali skrčiti
vsoto, oziroma razliko občnih števil, in sicer:
1. Ako so vsi sumandi med seboj enaki, napišeš sumand samo
enkrat, predenj pa postaviš število, ki pove, koliko enakih sumandov
se nahaja v vsoti. N. pr.: a -(- a -{- a -|- a -j- a = 5 a; xy -j- xy -j-
-)- xy — 3 xy. Številni izraz 5 a (3 xy) je tedaj krajše napisana
vsota, ki obstoji iz 5 (3) med seboj enakih sumandov a (Ay).
Občno število a (xy), ki stoji večkrat za sumand, se imenuje glavna
količina, število 5 (3) pa, ki pove, koliko je enakih sumandov, se
imenuje koeficient krajše napisane vsote. Koeficient 1 se ne piše;
torej pomeni a toliko kakor 1 a.
Krajše napisane vsote, ki imajo isto glavno količino, n. pr. 7 x
in 5 x, se imenujejo istoimenske.
2. Ako so sumandi istoimenski, n. pr. 5 a -|- 6 a -|- 7 a = 18 a,
5 bx -j- 6 bx 7 bx — 18 bx. Ker so sumandi krajše napisanih
vsot med seboj enaki in jih ima prva 5, druga 6 in tretja 7, jih
imajo vse skupaj 18; vsoto 18 enakih sumandov a (bx) pa krajše
napišeš 18 a (18 bx).
Istoimenske izraze sešteješ, ako postaviš vsoto koeficientov
pred skupno glavno količino.
3. Ako sta minuend in subtrahend istoimenska. Odštevanje je
seveda le mogoče, ako ima minuend več sumandov kakor subtrahend.
N. pr.: 21 a — 14 a = 7 a, 21 ux — 14 ux = 7 ux. Od 21 minuen-
dovih sumandov odšteješ 14 subtrahendovih in ostane jih še 7. Vsoto
7 enakih sumandov a (ux) napišeš krajše 7 a (7 ax).

125
Številni izraz odšteješ od istoimenskega, ako postaviš razliko
koeficientov pred skupno glavno količino.
Kakor si predočiš na številni črti posebna števila, tako si tudi
predočuješ z daljicami občna števila.
a -
Slika 8.
&
O*
J
3
CC / £
Tako predstavlja (slika 8.) daljica OA toliko enot, kolikor jih ima
občno število a, ali krajše: OA je slika občnega števila a. AB je
slika števila h. Daljica OB je slika vsote a -J- b. Da dobiš sliko
razlike a — b, načrtaš, ker je odštevanje nasprotno seštevanju, da¬
ljico AC, ki je slika števila b, od krajišča A v nasprotno smer in
dobiš daljico OC, ki je slika razlike a — b.
Ker je pa daljica OB, ako jo obrnemo (BO), slika vsote b a,
velja , , , ,
a -j- b = b -j- a.
Vrednost vsote se ne izpremeni, ako zamenjaš sumande med
seboj (§ 5).
Pri vsakem računu je važno in tudi umestno, da se prepričaš,
si li prav izračunal znesek ali ne. Pri računih z občnimi števili na¬
praviš preizkus najenostavneje, ako zamenjaš v danih številnih iz¬
razih in v izračunanem znesku občna števila s posebnimi. Ako do¬
biš v obeh slučajih isto vrednost, tedaj smeš vobče reči, da si prav
izračunal znesek. V nalogi 8 r — 3 x -j- x = 6 x zamenjaš n. pr.
x — 2 in dobiš 8x ,— 3 jt—(— = 8.2 — 3.2-f-2 = 16 — 6 —j— 2 = 12,
6 x — 6.2 = 12. Ker imata oba izraza isto vrednost 12, je na¬
loga prav razrešena.
Naloge.
1. Štej od števila n a) naprej, b) nazaj!
2. Nekdo je sedaj x let star; a) koliko bo star črez 5, 9, 12,
20 let; b) koliko je bil star pred 3, 6, 11, 15 leti?
3. Trgovec kupi blago za a K in ima pri prodaji 15 K dobička
(izgube); za koliko je prodal blago?
Kako pred¬
očiš vsoto
in razliko
občnih števil.
Kako
napraviš
preizkus
v računih
z občnimi
števili.

126
4. Blago tehta netto p kg, tara znaša 8 kg; koliko tehta blago
brutto ?
5. Toplomer je kazal zvečer t°, opoldne 12 (8)° več, zjutraj
pa 5 (3)° manj kakor zvečer; koliko je kazal toplomer opoldne in
koliko zjutraj ?
6. Nekdo ima a K in prejme 25 K, izda pa 18 K; koliko znaša
njegov imetek?
7. Skrči sledeče izraze in napravi preizkus:
7 = 4.
§ 49. Relativna ali algebrajska števila.
Naloga. Toplomer je kazal opoldne 5° C, zjutraj pa 12° manj
kakor opoldne; koliko je kazal toplomer zjutraj ?
Temperaturo teles merimo s toplomeri ali termometri in jo iz¬
razimo v stopinjah (°). Razdelbo v stopinje dobimo na sledeči način:
Toplomer vtaknemo v vodo, ki v njej plavajo koščki ledu, živo srebro
seže do stalne točke, ki jo imenujemo ledišče; drugič postavimo toplomer
v vodne pare, ki se vzdigujejo iz vrele vode, živo srebro se vzdigne
do druge stalne točke, ki jo imenujemo vrelišče. Razdaljo med
lediščem in vreliščem razdelimo po Celsiju v 100 enakih delov.

127 —
Ledišče zaznamujemo z O in pravimo, ako sega živo srebro do 0, da
imamo temperaturo 0°. Nadaljnje zareze so zaznamovane z 1, 2, 3,. .
99, 100 in pomenijo, da je temperatura 2°, 7°, 50°, 100°, ako seže
živo srebro do 2., 7., 50., 100. zareze. Da izrazimo temperaturo tudi
takrat, ako ne seže živo srebro do ledišča, so zarezani ravno toliki
deli, kakor nad lediščem, tudi pod lediščem in so zaznamovani z
1, 2, 3 . . . itd. Da določimo temperaturo, ne zadostuje, ako povemo
koliko je stopinj; povedati moramo tudi, ali so stopinje „nad ničlo"
ali „pod ničlo". Krajše zaznamujemo stopinje „nad ničlo" z znakom
in one „pod ničlo" z znakom „ 11 in govorimo o -|- 10° (plus
10 stopinj), t. j. 10° „nad ničlo", — 10° (minus 10 stopinj), t. j. 10°
„pod ničlo". V koliko je utemeljena uporaba znakov -j- in —, raz-
vidimo iz sledečega. Ako je prvotno kazal toplomer 0° in se zviša
temperatura za 10°, imamo (0 -j- 10)°, ako pa pade za 10°, imamo
(0 — 10)°. Ako izpustimo v teh izrazih ničlo, dobimo prej navedene
določbe temperature -|- 10° in •— 10“.
Po teh pojasnilih moreš čitati na toplomeru razrešitev dane na¬
loge. Od pete zareze nad ničlo se pomakneš za 12° navzdol in prideš
tako do sedme zareze pod ničlo. Toplomer je kazal zjutraj — 7° C.
Določil si tedaj razliko 5° —12°, ki je v njej subtrahend večji
kakor minuend. Take razlike se nahajajo prav pogostoma.
Da bo vselej mogoče odšteti večje število od manjšega, je treba
izpopolniti številno vrsto ravno tako kakor toplomerovo razdelbo števil -
(skalo). Številno črto podaljšaš črez točko, ki je zaznamovana z 0
(ničlo) in narišeš v nasprotno smer enake daljice ter zaznamuješ
njih krajišča z — 1, — 2, — 3. .., dočim zaznamuješ prej z 1, 2, 3. . .
zaznamovane točke z -f- 1, —2,- —j— 3, -j- 4. . ..
Slika 9.
Premikanje v pozitivno smer.
m - - ->•
-3 -i ■/ O +1 tl + 3 +1/
< -1-1-1— : -1-1—-—t—•—I-1-I->
<-
Premikanje v negativno smer.
Predznak =
das Vor-
zeichen.
Pozitivno
v ,. e t _ število = die
Števila s predznakom-j-(plus) imenujemo pozitivna, šte- positive
vila s predznakom — (minus) pa negativna števila. Vsako pozi- Negativno
tivno število smatraš za vsoto pozitivnih in vsako negativno za vsoto število = die
° negative
Zahl.

128
Relativno
ali algebraj-
sko število =
die relative
oder alge-
braische
Zahl.
Absolutno
število = die
absolute
Zahl.
Absolutna
vrednost =
der absolute
Wert.
Nasprotna
števila =
entgegen-
gesetzte
Zahlen.
Nasprotne
količine =
entgegen-
gesetzte
Groflen.
negativnih enot. Pozitivna in negativna števila imajo skupno ime:
relativna ali algebrajska števila. Števila, ki nimajo predznaka,
se zovejo absolutna. Do sedaj smo računali samo z absolutnimi
števili.
Pri vsakem algebrajskem številu je treba razločevati predznak
in njegovo absolutno vrednost, t. j. množino enot. Predznak
pove kakšne so enote, ali so pozitivne ali negativne; absolutna vred¬
nost pa, koliko enot je v številu.
Dve števili, ki imate isto absolutno vrednost, pa različna pred¬
znaka, imenujemo nasprotni števili. N. pr.: -j- 5 in —5, -|-3 a
in — 3 a.
Na toplomeru spoznaš, da je temperatura tem višja, čim višje
stoji živo srebro; ravno tako je tudi algebrajsko število tem večje,
čim bolj stoji v številni vrsti proti desni, in tem manjše, čim bolj
stoji proti levi. Vsako pozitivno število je večje kakor 0, vsako nega¬
tivno je manjše kakor 0. Od dveh negativnih je ono večje, ki ima
manjšo absolutno vrednost, -j- a >• 0, — b ■< 0, 5 ■< — 3.
Algebrajska števila se dado uporabiti tudi pri drugih količinah
vsakdanjega življenja. Take količine so n. pr. gotovina in dolg, do¬
hodki in stroški, dobiček in izguba, korakanje naprej in nazaj. O teh
količinah je znano, da uničuje vsako enoto ene količine (gotovina,
dohodki, dobiček, korak naprej) enota nasprotne količine (dolg,
stroški, izguba, korak nazaj).
Tudi v vedah uporabljamo algebrajska števila. Tako govorimo
o letih pred Kristusom in po Kristusu, o severni in južni širini, o
vzhodni in zapadni dolžini, o pozitivni in negativni elektriki, o pozi¬
tivnih in negativnih kotih in daljicah itd.
Kako
seštevaš
algebrajska
števila.
§ 50. Seštevanje algebrajskih števil.
Algebrajska števila spajamo ravno tako kakor absolutna; v
računih jih pa navadno oklepamo z oklepajem, da lažje razlikujemo
predznake od računskih znakov. N. pr.: (-|- 5) -(- (— 3) pomeni
vsoto algebrajskih števil -j- 5 in — 3.
Vsota algebrajskih števil izraža toliko pozitivnih in negativnih
enot, kolikor jih je v vseh sumandih skupaj. Kačunajoč vsoto dveh
algebrajskih števil, razlikujemo dva slučaja, in sicer:
1. Sumanda imata ista predznaka, (-j- 8) -j- (-j- 5) = —j— 13.
8 pozitivnih in 5 pozitivnih enot da 13 pozitivnih enot; 8 K gotovine

129
in 5 K gotovine je 13 K gotovine. (— 8) -j- (— 5) = — 13.
8 negativnih enot in 5 negativnih enot da 13 negativnih enot,. 8 K
dolga in 5 K dolga je 13 K dolga.
Dvoje algebrajskih števil z istim predznakom sešteješ ako
sešteješ absolutni vrednosti in postaviš pred to vsoto skupni pred¬
znak.
2. Sumanda imata različna predznaka. (-(- 8) -j- ( — 5) = —(— 3.
Ker uniči vsaka negativna enota eno pozitivno, ostanejo za vsoto 3
pozitivne; 8 K gotovine in 5 K dolga je toliko kakor 3 K gotovine.
( — 8) -f- (-|- 5) = — 3. Ker uniči vsaka pozitivna enota eno nega¬
tivno, ostanejo za vsoto le 3 negativne; 8 K dolga in 5 K gotovine
je toliko kakor 3 K dolga.
Dvoje algebrajskih števil z različnim predznakom sešteješ, ako
odšteješ manjšo absolutno vrednost od večje in postaviš pred to
razliko predznak večje absolutne vrednosti.
Dve nasprotni števili se uničujeta.
Kakor posebna algebrajska števila, seštevamo tudi občna alge-
brajska števila, ako so istoimenska. N. pr.:
(+ 7 a) -j- (+ 9 a) == -f 16 a
(— 7 a) -|- (— 9a) = — 16a
(-j- 7 a) -f- (— 9 a) == — 2 a
(— 7 a) -f- (-f- 9 a) = -j- 2 a.
Ako je treba sešteti tri, štiri ali več istoimenskih algebrajskih
števil, je umestno, da sešteješ najprej vse pozitivne sumande, potem
vse negativne in spojiš dobljeni vsoti v novo celoto. N. pr.:
(+ 8 ) + (- 4) + (- 5) 4- (+ 12) 4- (- 6) =
= (+20) + (- 15) = —j— 5;
(+ 5 x) -[- (— 7 jr) 4" (— 9 x ) “f" (H - 8 jc) -(- ( 12 jr) =
= (4- 13 jr) 4- (— 28 'jt) = — 15 x.
Ako so sumandi raznoimenski, jih napišeš drugega poleg drugega
z njihovimi predznaki vred; pri tem odpadejo oklepaji in znaki se¬
števanja. N. pr.:
(-j- 2 a) -j- ( — 4 b) 4- (-j- 3 c) -)- (— 5 c7) = 2 a — 4 h -|- 3 c — od.
V vsoti algebrajskih števil se sme predznak -j- pri prvem su-
mandu izpuščati; predznak — se ne sme nikdar izpustiti.
Matek-Peterlin, Aritmetika. 9

130
Algebra] ska
vsota = die
algebraische
Summe.
Člen =
das Glied.
Mnogočlenik
= das
Polynom.
Vsaka vsota algebrajskih števil, n. pr.:
(-f a) -f- (— 2 b) + (-f 3c) + (— 4 d) — a — 2 b -f- 3c — id,
se imenuje algebrajska vsota. Ako imenujemo posamezne
sumande člene, imenujemo algebrajsko vsoto tudi mnogo-
členski izraz, mnogočlenik ali polinom. Številni izraz, ki
ima dva člena, se imenuje d v o členi k ali binom, n. pr.: a-j-b,
jr — y } 4a — 3 b; ako ima tri člene, se imenuje tročlenik ali
trinom, n. pr.: a b — c, 3r — 4y-\-5z. Izraz, ki ima samo
en člen, se imenuje enočlenik ali monom, n. pr.: a, Ib, xy,
V algebrajski vsoti ali mnogočleniku
a — 2 b -|- 3 c — 4: d
smeš smatrati znake -j- in — ali za predznake dotičnih členov ali
pa za znake računskih načinov; spajanje pozitivnih, oziroma nega¬
tivnih števil z določenim šteyilom se namreč popolnoma ujema s
prištevanjem, oziroma odštevanjem absolutnih števil od dotičnega
števila.
Naloge.
1. Izračunaj sledeče vsote:
a) (-)- 16) -j- ( 11)
(_ 15) _|_ (_ 25)
(+ 33) + (+ 8)
(+ 68) + (- 79)
c) (- 14f) + (-
b) (+ |) + (-|)
(- !) + (-*)
( — 11 ) + (+ Te)
(+ f) + (+f)
- H)
(+ ibf) + (H - 9f)
(- 26|) + (+ 17*)
(+ 30f) + (- 19f).
2 ;
2 ;
5;
3.

131
3. Izračunaj sledeče vsote:
a) (— 31) -f- (— 12) -j- (-j- 47);
b) ("j - 13) -j- (— 27) -j- ( 14) -)- (-j- 20);
c) (-0-35) + (-5-2) + (+7-1) + (—1-9);
4) ( — 1) + (— I) + (+1) + ( f) + (+1);
^ (+ H) + (+ H) + (- i!) + (- H) + (8f).
4. Izračunaj in izvrši preizkus:
a) (-|- 45 a) -j- (— 37 a) -j- (— 6 a), pr.: a = 2;
b) (— 25 a) -|- (-)- 38 a) -j- (— 16 a) -|- (-|~ 7 a), pr.: a == 3;
c) (-{- 9 b) -j- (— 2 c) -|- (+ 6 c) -|- (— 14 b), pr.: b — c = 2;
d) (-j- 0'7 a) -(- (— 0'24 a) -j— (—■ 0'9 a) -j— (-|— 1 ■ 75 a),
pr.: a = 100.
5. Skrči sledeče algebrajske vsote in izvrši preizkus:
a) 6a — 4a — 5 a -j- 7 a — 8 a -)- a, pr.: a=6;
b ) — 9 a 5 a — 3 a 4 a — 6 a -|- 2 a, pr.: a = 7 ;
c) 3a — lb-\-6a-^4:b — 12 a -f- 8 b — 2 a -j- 7 b,
0
pr.: a = 3, b = 5;
d) 11 m -j- 16 n — im -J- 7 n — 5 m — 8 n -)- 8 m -j- n,
pr.: m — n = 3;
e) — 4 a — 5 y -j- 6 z -j- 9 a -f- 10 y — 7 z — 3 a -j- 2 y — z,
pr.: x — y — z — 5.
6. Toplomer je kazal zjutraj — 12° C, dopoldne se je zvišala
temperatura za 15° C; koliko je kazal toplomer opoldne?
7. Rimski cesar Augustus je začel vladati 31. leta pred Kristuso¬
vim rojstvom in je vladal 45 let, do svoje smrti; kdaj je umrl?
8. Najjužnejša točka Afrike ima 34°51' južne širine, 72° 11' se¬
verno od nje leži najsevernejša točka, rtič Blanko; katero zemlje¬
pisno širino ima rtič Blanko?
9. Gladina Kaspijskega morja je 26 m nižja kakor normalna
morska gladina. Katero nadmorsko višino ima mesto Tiflis, ki leži
479 m nad gladino Kaspijskega morja?
10. Gladina Mrtvega morja je 394 m nižja kakor normalna
morska gladina. Koliko metrov pod normalno morsko gladino leži
dno, če je Mrtvo morje 399 m globoko?
9 *

132
Kako
odštevaš
algebrajska
števila.
§ 51. Odštevanje algebrajskih števil.
Razlika dveh algebrajskih števil je ono algebrajsko število, ki
ga moraš prišteti subtrahendu, da dobiš minuend.
Razliko (-J- 8) — (-|- 3) najdeš, ako odšteješ od 8 pozitivnih
enot 3 pozitivne, in dobiš 5 pozitivnih enot; isto število pa tudi
najdeš, ako prišteješ 8 pozitivnim enotam 3 negativne, ki uničijo
3 pozitivne. 8 K gotovine manj 3 K gotovine ostane 5 K gotovine;
isto pa tudi dobiš, ako prišteješ 8 K gotovine 3 K dolga. Izpre-
memba v imetku je ista, ako zmanjšaš gotovino za 3 K, ali pa ako
povečaš dolg za 3 K.
(-j- 8) — (-j- 3) = (-j- 8) -f- ( — 3) = —j— 5,
preizkus: (-j- 3) -j- (-j- 5) = -j- 8.
Razliko (-j- 8) — (— 3) najdeš' na isti način, ako namreč pri¬
šteješ 8 pozitivnim enotam 3 pozitivne, ki uničijo 3 negativne; 8 K
gotovine manj 3 K dolga je isto, kakor če prišteješ 8 K gotovine
3 K gotovine, ki uničijo 3 K dolga. Izprememba v imetku je ista,
ako zmanjšaš dolg za 3 K, ali pa ako povečaš gotovino za 3 K.
H - S)*— (— 3) = (-f- 8) -|- (-[- 3) = -J- 11, ,
preizkus: (— 3) -j- (-j- 11) = —j— 8.
Algebrajsko število odšteješ, ako prišteješ neizpremenjenemu
minuendu subtrahend z nasprotnim predznakom.
Kakor posebna algebrajska števila, tako odštevamo tudi občna
algebrajska števila. N. pr.:
( — 8 a) — (-)- 5 a) = (— 8 a) -j- (— 5 a) = — 13 a,
preizkus: (-)- 5 a) -j- (-— 13 a) = — 8 a;
■ (— 8 a) — (— 5 a) = (— 8 a) -j- (-|- 5 a) = — 3 a,
preizkus: ( — 5 a) -j- ( — 3 a) = — 8 a.
Naloge.
1. Izračunaj naslednje razlike in izvrši preizkus:
a) (-j- 25) (-j- 16)
(- 50) - (- 25)
(_ 31) _ (+ 58)
(+ 107) — (- 93)
b) (-■ |) - (+ f)
(- Ta) - (~ D
(+ I) - (- I)
(+ t)-(+f)

133
C ) (— 8 |) (-(- 6 f)
(+5|)-(+8|)
(- 12f) — (— 14 f)
(+ 7 t\) ( ®tV)*
2. Izračunaj naslednje razlike in napravi dvojni preizkus:
a) (-j- 17 a) — (— 15 a),
b) (— 23 b ) - (— 16 5),
c) (— 24 je) — (-J- 18je),
d) (— 27 z) — (+ 18z),
e) (-j- 56 x) — (-(- 67 je),
f) (- 21 y) - (- 87 ),
g) (+ 15 u) — (— 12 iz),
h) (— 21/«) — (-f- 14 /m),
3. Izračunaj naslednje izraze:
a) (— 65) - (+ 78) — (- 34);
b) (+8-2) - (- 7-5) - (+ 9-6) - (- 10-3);
c) (— 132) + (- 205) — (+ 85) -f (+ 105) — (— 72);
d) [( 231) — (-j- 265)] — [(-f- 85) -j- (— 176)];
e) (+ 108||) - [(- 712*) + (+ 805- (+ 104f)].
4. Izračunaj naslednje izraze in izvrši preizkus:
a) (-}- 52 a) — (— 36 a) — (-(- 48 a), pr.: a = i;
b ) ( — 12 a) — (-(- 13 b ) — (— 15 c), pr.: a = b = c = 2;
c) (+ 8 jr) -f (— 9 7 ) — (-f 6 z), pr.: * = y = z = 5;
d) (— 16 a) — (-j- 15 a) — (— 25 a) — (-)- 28 a), pr.: a = 0 • 2;
e) (— 2 m) -j- (-[- 3 n) -j- (— 4 m) — ( — In) — ( — 5 m ),
pr.: m — n = 1 ;
/) [(— 7 a) — (4- 13 a)] — [(— 24 a) + (— 19 a)], pr.: a = 5 ;
g) [(+ 18 je) —(+ 19 *)] + [(— 26 x) — (+ 14 je)], pr.: * = 6 .
5. Toplomer je kazal zjutraj — 9°( — 15°), opoldne 6 °(— 2 °),
zvečer pa — 3°( — 8 °); za koliko se je dopoldne segrelo, za koliko
'se je popoldne ohladilo? Kolika je celodnevna toplotna razlika?
6 . Celina Evrope leži med 12 ° zapadne in 63° vzhodne dolžine
(računano od Pariza); koliko stopinj se razprostira v dolžino?

134
7. Rimski cesar Augustus je umrl 14. leta po Kristusovem rojstvu •-
v starosti 77 let; kdaj je bil rojen?
8. Tališče svinca je 332°C, tališče živega srebra je 371°C nižje;
pri kateri temperaturi se strdi živi srebro?
9. Gladina Kaspijskega morja je 26 m, dno pa 772 m pod
normalno morsko gladino; kako globoko je Kaspijsko morje?
§ 52. Prištevanje in odštevanje mnogočlenskih izrazov.
Razreševanje oklepajev.
Pravilo, kako prišteješ ali odšteješ številu vsoto ali razliko,
najdeš najlažje s pomočjo številne črte.
Slika 10.
CX. + '0'
CL + ■& + C
Kako
prišteješ
vsoto.
Kako
prišteješ
vsoti število.
V sliki 10. je daljica OC slika vsot s —[— (i> —j— c), (s —j— ,?>) —j— c
in a -f - b c. Ti številni izrazi morajo biti med seboj enaki, ker
jih predočuje ena in ista daljica.
a,-\- (b-\- c) — (a -f- b) -}- c = a -f- b -f c. I
Številu prišteješ vsoto, ako mu prišteješ njene sumande drugega
za drugim. N. pr.:
5 a (2 a -j- 3 A) = (5 a —j— 2 s) —j— 3 = 7 a -|- 2 b.
Obratno pa je
(a -j- b) -|- c = a -j- (b -[- c). II
Vsoti prišteješ število, ako ga prišteješ samo enemu sumandu.
N. pr.:
(3 a + 5 b) -f 4 b = 3 a -f (5 b -f 4 b) = 3 a -f 9 h.
Navedeni pravili imenujemo zakona o združevanju sumandov
(§ 5.). Primerjaj: 73 -f 25 = 73 -j- (20 -j- 5) = (73 -f- 20) -f 5 =
= 93 + 5 == 98; 93 -f- 5 = (90 -f- 3) -f 5 = 90 -f 8 = 98.
Oba zakona sta prav pogostoma spojena v enem in istem ra¬
čunu. N. pr.:
(4 a —J— 7 /6 —j— 2 c) —j— (3 a —j— 3 —j— c) = (4 a -j- 3 a) -j- (7 b -f-
-f 3 b) -f (2 c -j- c) = 7 a -f 10 b -f 3 c.

135
Slika 11.
c7. -t (&'c)
()¥•
A
H-
cu
6
CL + &-
V sliki 11. naj bo O A = a, AB — b, BC = c, AC — h — c.
Daljica OC je torej slika vsote a -j- (b — c) in razlike (a -[- b) — c.
Ta dva številna izraza morata biti enaka, ker ju predočuje ena in
ista daljica.
a -j- (b — c) = (a -j- b) — c. III
Številu prišteješ razliko, ako mu prišteješ minuend in odšteješ
od te vsote subtrahend. N. pr.:
17 a + (6 a — 5 b) — (17 a -)- 6 a) — 5 b — 23 a — 5 b;
283 + 96 = 283 + (100 — 4) = 383 — 4 == 379.
Obratno pa je
(a —|— b) — c — a —j- (b — c). IV
Število odšteješ od vsote, ako ga odšteješ le od enega sumanda,
N. pr.:
(18 -}- 15 j) — 7 x = (18 jr — 7 jr) -j- 15 y = 11 jr —j— 15 y;
47 — 30 .= (40 + 7) — 30 = (40 — 30) + 7 = 10 -f 7 = 17.
Slika 12.
c?.
-V----—v-
OC -(4>t c) /ic
V sliki 12. naj bo O A = a, AB = b, BC = c, AC = b -j- c.
Daljica OC je slika razlike a — (b -j- c) in tudi razlike (a — b) — c.
Ta dva številna izraza sta med seboj enaka.
a — (b -(- c) — (a — b ) — c. V
Vsoto odšteješ od števila, ako odšteješ od dotičnega števila
vsotine sumande drugega za drugim. N. pr.:
43 jr— (23 -ar— (— 5jt) = (43jt— 23 Jr) — 5 j: = 20 j: — 5x = I5x’,
87 — 24 = 87 — (20 + 4) = (87 — 20) — 4 = 67 — 4 = 63.
Kako
prišteješ
razliko.
Kako
odšteješ
od vsote
število.
Kako
odšteješ
vsoto.

136
Kako
odšteješ
od števila
več števil.
Kako
odšteješ
razliko.
Razreše¬
vanje
oklepajev =
das Auf-
losen der
Klammern.
Obratno pa velja tudi:
(s — b) — c = a — (b -j- c). VI
Od določenega števila odšteješ zaporedoma dve ali več števil,
ako odšteješ od prvega števila vsoto zadnjih števil. N. pr. :
(61 28 x) — 12 je = 61 x — (28-ar —(— 12 x) = 61 x— 40 jr = 21 x;
132 — 57 — 13 = 132 — (57 + 13) = 132 — 70 = 62.
Slika 13.
cc
. _ --g i ■&-*.
oc - ( 6- - c)
V sliki 13. naj bo O A = a, OB = b, BO = c, CA = b — c.
Daljica OC je slika razlike a — (b — c) in tudi vsote (a — b) -f- c.
Ta dva izraza sta torej med seboj enaka.
a —- {b — c) = (a — b) -f c. VII
Od števila odšteješ razliko, ako odšteješ od števila miuuend
in prišteješ tej razliki subtrahend. N. pr.:
27 j o — (18 p — 4 q) — (27 p — 18/j) -f- 4 q = 9p -f- 4 g;
827 — 195 = 827 — (200 — 5) = (827 — 200) + 5 =
= 627 -f 5 = 632.
Ako primerjaš dobljene rezultate:
a -j— (b -j— c) a —j— b —|— c
a -j - (b — c) = a -|- b — c
a — (b - j- c) — a — b — c
a — (b — c) = a — A -f- c
in vpoštevaš, da vzameš lahko računske znake za predznake, dobiš
sledeče za razreševanje oklepajev praktično' uporabljivo pravilo:
Oklepaj in pred njim stoječi znak prištevanja + smeš izpustiti,
pri čemer ostanejo polinomovim členom njih predznaki nespreme¬
njeni; stoji pa pred oklepajem znak odštevanja —, tedaj moraš iz-
premeniti polinomovim členom predznake, izpustivši oklepaj in pred
njim stoječi znak odštevanja.
Pred prvim polinomovim členom, ki nima predznaka, si moraš
misliti predznak -j- (plus).

137
Več vrst oklepajev razrešiš, začenši razreševanje ali pri najožjih
ali pri najširših. V zadnjem slučaju moraš vzeti vsak polinom, ki je
oklenjen z ožjim oklepajem, za en člen ali monom in pred njim
stoječi znak za predznak.
Ko si razrešil oklepaje, moraš skrčiti istoimenske izraze ali člene.
Da veš, katere člene si že skrčil, je umestno skrčene člene pod¬
črtati. N. pr.:
9 a — {5 b 4- [8 c -f (11 a — 13 b) — (7 a — 9 c)] — 6 c> =
9a — (5 A + [8 c -j- 11 a — 13 h — 7 s + 9 c] - 6 c> =
9 a — {5 b 8 c -)- lla — 13 b — 7a 9 c — 6 c) =
9a —- b b — 8c — lla-)-13i-j-7a — 9 c -|- 6 c =
= 5 a -j- 8 b — lic.
ali pa:
9 a — {5 b + [8 c -f- (11 a — 13 b) — (7 a — 9 c)] — 6 c> =
9a — b b — [8c-)-(lla — 13 b) — (7 a — 9 c)] —{— 6 c =
9a — b b — 8 c — (lla — 13 h)-j-(7 a — 9 c) -j- 6 c =
9 a — 5 b — 8 c — hs|13()-f 7a—9c-|-6c =
= 5 a -j- 8 A — lic.
Naloge.
1. Izračunaj naslednje vsote
vilo (I — VII) in izvrši preizkus
a) 2 a —j— (3 a -j— 5 h) j
b) 5 a -)- (3 a — 4 b );
c) 9 a — (4 a —j— 3 D);
d) 7 b -\- (2 a -j- 6 b);
e) 8 h -j- (5 a — 3 h);
/) 17 h — (3 a -f 8 b);
2. Izračunaj naslednje vsote i
I—VII; /3 ) pravilo za razreševanje
a) (8 m -j- 3 n) -j- (5 m -f- 4n);
b) (9 x + 8 j) -f- (6 x — 7 7);
c) (3 a — 6 b) -|- (4 b — a);
d) (17 a-f 13b) — (12 a-f 4b);
razlike, navedi uporabljeno pra-
a = 3, b — b:
g) (4 a -)- 7 b) -)- 3 b;
h) (7 a -j- 9 h) — 5 a;
i) 19 a — (15 a — 4 h);
k) (5 a -|- 4 b) -f 8 a;
1) (11 a -j- 15 b) — 9 b;
m) 13 b — (14 a — 22 b).
razlike uporabljajoč a) pravila
oklepajev:
e) (24 —(— 8 jt) — (17 — 5x);
f) (25 m — 9) — (14 m 6);
g) (36 x — 7 j) — (19 jr-j- 67);
h) (a — 2 b) — (2 a — b).
Kako
razrešiš
več vrst
oklepajev.

138
3. Razreši oklepaje in napravi preizkus:
3 ) (2 3 -j - 3 h) -j— (7 a -j— 4 b') —f— (o a -j- 8 h), pr.: a = 2, b = 3 j
A) (26 -j- 7 a) — (13 —(— 5 a.) —f- (7 —j— a) — (9 -j- 2a), pr.: a = 8 ;
c) (18/2/ -j- 14/2) — 7 n) — (2 m -)- 5 n) — (16/22 — 15/2),
pr.: m = n\
d) (28 a — Ib) — (9 a -f 5 b) — (4 a — 6 b) — (2 a -f b\
pr.: a = 2 , b — 1 ;
e) (6 s -j- 5 — (— 7 a — 7)) — (8 a — 9 b), pr.: a = b = 3 ;
/) (4 jr — 3 7) — (2 — 5 7 ) — (jr — 4 7) — (27—*)-}-
+ (— 5 Jr + (> 7), pr.: jr = 7;
g) (3/22 — 2 n) — (11 m -j- 7 n ) -f- (— 4 /22 — 5 /2) — (/22 —
— 9 h) — (2/22 — 6/2), pr.: /22 = n .
4. Seštej naslednja števila:
a) 7 a -j- 5 b — 3 c b)bx—2y-\-Sz c) — ‘d p 2 q — 7 z*
8a — 6 >6 —j— 9 c 4 jt-(- 77 — 3z 9 p — 8 q — r
— 5 a -j- 4 5 — 3c — 8 jt — 57 — 6 z — 6 // —[— 7 ^ —|— 8 r*.
5. Odštej v naslednjih nalogah spodnji izraz od zgornjega:
a) 1 7 a —j— 15 A — 3c h)4jr — 127 -|- 15 z
12a — 10h — 2c 9 jt — 12 7 —j— 8 z
6) 14/22 — 15/2 —j— 8 p
— 30 m -(- 29 n — 36 p.
6 . Razreši oklepaje in napravi preizkus:
a) 6 jt -)- [3 jr -J- (2 jr -f- 8 7 )], pr.: jr — 5, 7 = 1 ;
b) [(3 a —j— 2 i>) —|— (2 a —|— h)] -j- 5 a, pr.: a = b;
c) (20 a -j- 32 h) — [(14 a -j- 18 h) — (9 a -j- 7 h)], pr.: a = 2,
b = 3;
d) [(16/22 — 5/2) — (7 m -j- 9 / 2 )] — (2 m -f- 4 / 2 ), pr.: m = n;
e) [(14 jr -j- 177 ) — (5jt+ 87 )] — [(23 jr -j- II 7 ) — (16jt +
+ 9 . 7 )], pr.: jt = 1, 7 == 2 ;
f) (3 Jr -f 7 ) — [(— 2 jt -|- 7 ) -j- (3 jt — 5 7 ) — (4 jr — 6 7 )],
pr.: jr = 5, 7 = 4;

139
g) [(1 7 722 5 72) (9 722 ■—-72)] [2 722 (3 722 72) -|- (4 72 - 0 722)], pl'.! 722 — 72;
h) 45 — [18 — (jr — 2)] — [15 — (5 — 4 jr) + (7 - 8 *)],
pr.: x — 5.
7. V naslednjih nalogah razreši oklepaje in napravi preizkus
za jr = 5 , y — 3:
a) 9 x — 87 — (2 x — 7 jr) —j- (11 a; — 4 7);
b) 9 a: — 87 — [2 a; — (7 7 -f- 11 x) — 4 7 ];
c) 9 x — (8 7 — 2 x — [7 7 -j- (11 x — 4 7 )]);
d) 9 x — {8 7 — [2 a; — (7 7 11 a?)] — 4 7) ;
e) 9 a; — (87 — [2 x — (7 7 —j— 11 a?) — 4 7 ]).
8 . Razreši oklepaje na oba načina:
a) 7 a — (9 a — [(5 a — 4 5) — (2 a — 3 5)]};
b) 6 722 - (5 - (- 8 722 — 7) - [(4 722 — 2) -j- (- 6 722 -j- 5)] -
— (3 722 — 8)>;
c) (8 x + 6 7 ) — (— (2 at — 4 7 ) -f- [(3 7 — 5 x) — (4 a; —
— 3 7 )] — (9 x — 7 7 )};
C?) [(4 722 —j— 2 72) - (5 722 - 8 />)] - {(3 722 - 2 /?) - [(4 722 -
— 2 72) — (3 722 — 4/2)]};
e) (2 a; — 5 7 ) — {(— 5 * 7 7 ) -f [(9 x — 6 7 ) — (5 a; —
— 4 7 )]>-
§ 53. Uporaba seštevanja in odštevanja za razreševanje
enačb.
Ako povemo ali napišemo, da imata dva številna izraza enaki
vrednosti, pravimo, da ju izenačimo, da stvorimo enačbo. N. pr.: Enačba
= die
3 = E, 3 —j— 5 = 8, 47-]~5j r — 97 , 2 X — 7 = X — 2. Gleichung.
Enačba je torej izenačenje dveh številnih izrazov, ki imata ali
naj imata enaki vrednosti.
Izenačena izraza se imenujeta enačbena dela. Taka enačba, Enačbena
ki se v njej nahajajo občna števila in ki ima to svojstvo, da dobita TeibTder
enačbena dela vselej med seboj enaki vrednosti, ako zamenjaš za
občno število katero koli občno ali posebno število, se imenuje enačba
identična enačba. N. pr.: a = a, 47-]-57 = 97. Spozna se Mratische
mnogokrat že po vnanji obliki; kajti včasih se ujemata enačbena Gle,ohun s-

140
Dolocilna
enačba =
die Be-
stimmungs-
gleichung.
Enačbeni
koren = die
Wurzel der
Gleichung.
Oblika
razrešene
enačbe.
Preizkus =
die Probe.
dela popolnoma v vseli členih, včasih pa je en del le neka pretvorba
drugega dela, t. j. v enem delu je računski način nakazan, v drugem
pa izvršen. Enačbe, ki smo se ž njimi do sedaj pečali, so bile
identične.
Ako pa zamenjamo v enačbi 2 x — T — x — 2 občno število
x z 1, 2, 3, 4. . . itd., vidimo, da nimata enačbena dela vsakikrat
enakih vrednostij, ampak samo takrat, ako je x = 5. Tej enačbi
ne zadostuje vsako, ampak le neko določeno število. Enačbe te
vrste imenujemo določilne enačbe in število, ki zadostuje enačbi
(tvori enačbena dela enaka), se imenuje enačbeni koren. Enačbi
določiti koren, se pravi enačbo razrešiti. V enačbi 2 x — 7 =
= x — 2 se imenuje x neznanka, 5 pa enačbeni koren.
Določeno enačbo z eno neznanko razrešiš, ako pretvoriš enačbo
tako, da stoji v enem enačbenem delu neznanka sama s koeficientom
-j- 1, v drugem delu pa stoje znana števila.
Preizkus, ali si prav razrešil enačbo ali ne, napraviš, ako za-
meniš v prvotni enačbi neznanko z najdenim korenom in izračunaš
vrednosti prvega in drugega dela. če se te vrednosti ujemata, si
enačbo prav razrešil. N. pr.:
I. 2*—7 = 2.5 — 7 = 3, H. .r—2 = 5 — 2.== 3.
Uporabljajoč pravila o seštevanju in odštevanju, lahko razrešiš
nekatere enačbe, ki imajo posebno obliko, in sicer:
1. Enačba 5 -f- x = 8 izrazi isto, kar naloga: „Katero število
moraš k 5 prišteti, da dobiš 8?“ Ker poznaš vsoto (8) in en sumand
(5), najdeš drugi sumand, ako odšteješ od znane vsote znani sumand
x = 8 — 5 = 8. Preizkus se glasi: 5 —|— 3 = 8.
2. Enačba x — 5 = 8 izrazi isto, kar naloga: „Od katerega
števila moraš 5 odšteti, da dobiš 8?“ Ker poznaš subtrahend in
razliko, dobiš minuend, ako prišteješ subtrahendu razliko. x = 5 -|~
-j- 8 = 13. Preizkus: 13 — 5 = 8.
3. Enačba 12 — x=7 zahteva: „Katero število moraš odšteti
od 12, da dobiš 7 ?“ Ker je minuend enak vsoti iz subtrahenda in
razlike, dobiš najprej 12 = x -j- 7; ker poznaš vsoto (12) in en
sumand (7), dobiš neznani sumand, ako odšteješ 7 od 12. 12 — 7 =
= x, x = 5. Preizkus 12 — 5 = 7.
Ako primerjaš dane enačbe in njih razrešitev
1. 5 + x=8 2. x — 5 = 8 3. 12 —x=7
x = 8 — 5 x=5-j-8 12 = x -{- 7
12 — 1 = x

141
tedaj spoznaš, da smeš izpremeniti enačbi obliko, ne izpremeniš pa
s tem njenega korena. Enačbi si izpremenil obliko, da si prestavil i^^senov
člen iz enega dela v drugega in mu izpremenil predznak. Iz tega = <ias Trans-
izvajaš praktično uporabljivo pravilo: derGiieder.
Vsak člen odpraviš iz enega enačbenega dela, ako ga prestaviš
v drugi del z nasprotnim predznakom.
Ako se nahajajo v enačbi oklepaji, razrešiš najprej oklepaje,
skrčiš istoimenske izraze in šele potem prestaviš člene z neznanko v
en enačbeni del, znane člene pa v drugega. N. pr.:
8 — (4 -j- 5 x) = (5 — 6 x) — (4 — 2x)
8 — 4 — 5x = 5 — 6x — 4 -j- 2 a:
4 — 5x = 1 — 4*
3 = x.
Preizkus: I. del = 8 — (4 -j- 5 . 3) = 8 — 19= — 11,
II. del = (5 — 6.3) — (4 — 2.3) = — 13 — (— 2) =
= — 13 + 2 = — 11.
Naloge.
1. Razreši naslednje
in odštevanju, in napravi
a) a; —j— 20 = 31;
d) 41 — x — 17;
g) x — 12 = — 20;
k) x -(- 5=0;
2. Razreši naslednje
znanko izraz v oklepaju:
a) 6 -j— (x -j— 7) =
c) 15 — (a; —j— 4) =
enačbe, uporabljajoč
preizkus:
b) 25 -j- x = 40;
e) a? —j— 5 = 3;
h) 17 — x — 23;
/) x — 8 = 0;
enačbe tako, da
15; b) 8
10; d) 17
pravila o seštevanju
c) x — 5 = 6;!
/) 7 -j- x — 4;
i) — 6 -j- x = 0;
ni) 14 — x = 0.
smatraš najprej za ne-
+ (5 — *) = 10 ;
— (X — 3) = 14.
3. Razreši naslednje enačbe:
a)3*-f-5 = 4*-(-l; b) 4 — 1 x — \0 — 8x;
c) 6x — 9 = 9 -)- bx; d) 25 — lx = 22 — 6x.
4. Razreši oklepaje in določi koren sledečim enačbam:
a) 12 -j— (4 —j— x) =. 32; h) 17 —f- ( x — 5) = 20;
c) 16 — (4 -j- x) = 9; d) 15 — (x — 9) = 11;

142
e) 12 -f (4a; -f 1) = 10 -f (3® -j- 5);
/) 15 — (3® — 5) = 18 — (4® — 5);
g) (3 ® — 5) — (4® — 2) — 7 = 0;
h) 20 — (5 — x) — 6x -j- (20 — 4x).
5. Kolik je kot, čigar a) suplementarni, h) komplementarni kot
meri 65 °?
6. Za koliko moraš podaljšati 15 cm dolgo daljico, da bo merila
23 cm ?
7. Daljica, ki si jo a) podaljšal, b) skrajšal za 7 cm, meri 25 cm;
kolika ji je bila prvotna dolžina?
8. Trikotnikov obseg meri 42 cm; ako merita dve stranici po¬
samič 13 cm in 14 cm, kolika je tretja stranica?
9. Obseg enakokrakega trikotnika meri 36 cim; kolika je osnov¬
nica, ako meri krak 13 dm ?
10. Dva kota v trikotniku merita posamič 75° in 42°; koliko
meri tretji kot?
§ 54. Množenje enočlenskih izrazov.
Število množiti s številom se pravi, določiti produkt iz multi-
plikanda na isti način, kakor nastane multiplikator iz prvotne (abso¬
lutne) enote (§ 13.).
Kak °. Občno število a pomnožiš z občnim številom b, ako nakažeš
množiš A
občna njiju množenje a . b. Znak množenja se pri občnih številih navadno
izpušča; zato napišeš faktor poleg faktorja: a b. Številni izraz ahc
pomeni tedaj produkt občnih števil a, b in c, ki ga dobiš, ako
množiš a z h in dobljeni produkt a b s c.
Kdaj moreš Kakor nekatere vsote, tako moreš napisati nekatere produkte
produkt
občnih števil v krajši obliki, in sicer:
izraziti. 1. Ako so vsi faktorji med seboj enaki, napišeš faktor samo
enkrat, na desni zgoraj pa število, ki pove, koliko enakih faktorjev
se nahaja v produktu. N. pr.:
a.a = a 2 ; a.a.a = a 3 ; x . x . x . x . x — x s .
vzmnož = Produkt enakih faktorjev se imenuje vzmnož ali potenca;
die Potenz. .. . .
število, ki stoji večkrat kot taktor, se imenuje osnovno število
ali potenčna podloga, in število, ki pove, koliko enakih faktorjev
Potenčni se nahaja v potenci, se zove potenčni eksponent. Tako je x 6
eksponent = • . . . . . . „ ,
der Potenz- — citaj: x na peto (potenco) — potenca, t. j. produkt, ki ima 5 tak-
exponent. (. or j ev x . x j e podloga, 5 pa potenčni eksponent.

143
2. Ako so faktorji potence iste podloge, napišeš podlogo samo
enkrat, za eksponent ji pa postaviš vsoto eksponentov vseh faktor¬
jev. N. pr.: a 8 . a 7 = a 12 . Multiplikand ima 5 faktorjev a, multipli-
kator pa 7 faktorjev a; produkt mora imeti 5 —j— 7 = 12 faktorjev a.
Produkt 12 faktorjev a pa krajše napišeš v obliki potence: a 12 .
Ravno tako najdeš a 4 . a = a 8 . Iz navedenega izvajaš pravilo:
Potence iste podloge množiš med seboj, ako pridržiš skupno
podlogo, za eksponent ji pa postaviš vsoto eksponentov vseh fak¬
torjev.
Ako se nahaja podloga sama kot faktor, ravnaš z njo istotako
kakor da ima eksponent 1; a 1 pomeni torej toliko, kakor a, t. j.
prva potenca vsakega števila je enaka dotičnemu številu.
Kakor si predočiš števila, bodisi posebna, bodisi občna, z da¬
ljicami, tako si moreš predočiti produkt dveh posebnih ali dveh
občnih števil s ploskvijo.
Pravokotnik ABCD (sl. 14.)
je 5 cm dolg in 3 cm širok.
K vsakemu centimetru stranice
AB narišeš ploskovno enoto,
t. j. kvadrat s stranico 1 cm.
V eni vrsti dobiš toliko plos¬
kovnih enot, kolikor centi¬
metrov meri stranica AB. Poleg
prve vrste narišeš drugo in
tretjo, vobče, ker je vsaka vrsta
1 cm široka, toliko vrst, kolikor centimetrov meri stranica BC.
V pravokotniku ABGD imaš
5 cm' 1 .3=15 cm 2 .
Pravokotnik s stranicama 5 cm in 3 cm predočuje produkt
5 . 3 = 15.
V pravokotniku s stranicama a cm in h cm dobiš v eni vrsti
a ploskovnih enot, vrst je pa b; vseh ploskovnih enot imaš tedaj a . b.
Pravokotnik s stranicama a in b predočuje produkt a . b.
Ako pa narišeš k vsakemu centimetru stranice AD ploskovno
enoto, dobiš v eni vrsti 3 cm 2 in ker je 5 vrst, ima pravokotnik ABCD
Slika 14.
Kako
množiš
potence iste
podloge.
fr' ‘
3 cm 2 .5 = 15 cm 2 .

144
Kvadrat =
das Quadrat.
Kub =
der Kubus.
V pravokotniku s stranicama a in b pa dobiš na isti način
h . a ploskovnih enot. Ker moraš dobiti v enem in istem pravokot¬
niku vsakikrat isto število ploskovnih enot, ako jih šteješ na ta ali
oni način, velja
5 cm 2 .3 = 3 cm 2 . 5, ali a . b — b . a.
Produktova vrednost se ne izpremeni, ako zamenjaš faktorja
med seboj. (Zakon o zamenjavi faktorjev.)
Produkt treh števil abc nam predočuje kvader, t. j. pravokotna
čveterostranična prizma z robovi a, b in c.
Druga potenca (n. pr. a 2 ) se imenuje vsled tega, ker nam jo
predočuje kvadrat (s stranico a), tudi kvadrat (a 2 čitaj: a na
kvadrat); tretja potenca (n. pr. h 8 ) se pa imenuje, ker nam jo pred¬
očuje kocka (kubus) [lat. cubus, grški uv/Sog] z robom b, kub
dotične podloge (6 8 čitaj: b na kub).
Po zakonu o zamenjavi faktorjev in po pojmu o množenju dobiš:
a.l = l.a = 1 in a.0 = 0.a = 0.
Ako je en faktor 1, je produkt enak drugemu faktorju. Ako je
en faktor = 0, je tudi produkt = 0.
Ako so faktorji algebrajska števila, moraš paziti pri določevanju
produkta na predznak in absolutno vrednost. Ker so pozitivna šte¬
vila istega pomena kakor absolutna, množiš torej algebrajsko število
-|- a (oziroma — 3 ) s pozitivnim številom -j- b na ta način, da
postaviš neizpremenjeui multiplikand -j- a (oziroma — a) tolikokrat
kot sumand kakor kaže multiplikator -j- h, v znakih:
(-[- 3) . (-j- b) = (-|- s) -f- (-j- s) -)- (-j- a) — |— .... b krat = -j- a b.
( — a) . (-|- b) =•( — a) —j— (— s) -j- (— a) -f- - bkrat = — a b.
Da je v prvem slučaju produkt pozitiven, v drugem pa negativen,
je jasno. Algebrajsko število -j- a (oziroma — a) množiš z nega¬
tivnim številom — b, ako izvajaš produkt iz multiplikanda na isti
način kakor nastane multiplikator iz prvotne (absolutne) enote. Ker
dobiš — b, ako vzameš prvotno enoto (-}- 1) nasprotno ter postaviš
to nasprotno enoto ( — 1) h krat za sumand, določiš torej produkt
s tem, da postaviš nasprotni multiplikand (t. j. — a, oziroma a)
h krat za sumand, v znakih:
(—j— 3) . (— h) ( — 3) —j— ( — 3) —j— ( — 3) -j— .... h krat — *—— ab r
(— 3) . (— b) = (—J— 3) -j— (-j— 3) —j— ("-J - 3) —{— .... h krat = —|— ab.

145
Ako primerjaš faktorje in produkt, najdeš za porabno računanje
to-le pravilo:
Absolutna vrednost produkta dveh algebrajskih števil je enaka
produktu absolutnih vrednostij faktorjev in ima pozitivni predznak,
ako sta faktorja enako zaznamovana, negativnega pa, ako sta fak¬
torja različno zaznamovana.
Produktu več algebrajskih števil določiš predznak in absolutno
vrednost, ako opetovano porabiš navedeno pravilo. Glede predznaka
končnega produkta najdeš na ta način sledeče pravilo:
Produkt algebrajskih števil je pozitiven (negativen), ako je
število negativnih faktorjev sodo (liho).
Uporabljajoč zakon o zamenjavi faktorjev, določiš produkt dveh
ali več produktov, ako pomnožiš koeficiente med seboj, postaviš njih
produkt za koeficient, urediš občna števila po abecednem redu in
napišeš produkte enakih faktorjev v obliki potenc. N. pr.:
oab.4ac.2bd=6.4.2.a.a.b.b.c.d = 40 a 2 h 2 cd;
— 7 a z x . — 3 b2 x 3 . — 2 a bx = — 42 a 3 b 3 x 3 .
Naloge.
1. Določi pomen sledečih izrazov in jih izračunaj:
a) 2 5 ; b) 3 4 ; c) 11«; d)(i)*; «)(|) 2 ; f) 0'3«; g) 2'1«; h) (lf) 3 .
2. Določi pomen sledečih izrazov in izračunaj njih vrednost:
a) 4 x, x 4 , za: x — f; d) 2 c, c 2 , za: c = 0'01;
b ) 5 a, a 6 , za: a = 2; e) 3 a 2 , 2 a«, za: a = 5;
c) 3 y, y 3 , za: y = 8; f) 2 b\ 4 h 2 , za: b = 3.
3. Izračunaj sledeče produkte, uporabljajoč pojem o potenci:
a) a«. a 2 ; b) x* . a: 3 ; c) y 3 . y; d) a 2 . a« . a 6 ; e) d 2 . d 1 . d;
f ) 2 5 . 2 4 . 2; g) 5 2 . o 4 . 5«; h) (a 3 ) 2 ; i) (y 5 ) 3 ; k) (2 2 ) 8 ; I) (2 a) 2 ;
m) (3 a 2 h) 2 ; ri) (— 5 m 2 / 2 8 ) 2 ; o) (— 7 x 2 y z 3 ) 2 .
4. Izračunaj vrednost sledečih polinomov:
a) a« — 3 a 2 -j- 5 a — 7, za: a = 3 ;
b ) x 4 — 5 a; 3 —{— 7 a; 2 — a? -f- 5, za: x = 2 ;
c) a« — 3 a 2 h -j- 3 a h 2 — h«, za: a = 4, h = 3 ;
• (/) a; 4 — 4 x s y -j- 6 x 2 y 2 — 4 x y 3 -j- y\ za: a; = 3, y — 2;
e) 5 a: 5 — 7 a; 4 y — 12 a;« y 3 — 5 x 2 y« -j- 2 x y l — za: x —
= 2, y = 5.
Matek-Peterlin, Aritmetika. 10

146
5. Izračunaj naslednje produkte:
a) 3 a . 4;
c) 5 ah . 2 Ay;
e) 6 mn . 2 a bc . 3 xy ;
g-) 4 a . 3 a . 2 a;
i) 3 a 2 A . 6 aA 3 . 5 a 3 A a ;
1 ) 9 a 2 A' . 3 A 2 7 . 4 a bx . 2 aA 2 ;
A) 7 a . 5 i;
c/) 3 ac . 4 M;
/) 7 »2A . 6 ay . 5 bz ;
A) 5 a 2 . 7 a 3 . 8 a 4 ;
k) 2 a 2 Ac 3 . 7 aA 4 . 4 A 2 c 2 ;
m) 5 a 2 /w . 6 An 2 a . 8 n?y s . 4 aA 2 ».
6 . Izračunaj naslednje algebrajske produkte:
a) (+9) (+7); A) (-18) (-5);
C) (- 17) (+ 8 ); d) (+43) (- 6 );
e) (— 4 a) (— 5 A); /) (— 6 ax) (+ 4 Aa) ;
g) (+ 9 mxy i ) . (— 2 mx ); h) (+ 7 n 2 /?) (+ 9 n 3 +);
7) (— 3 a j) (+ 2 a) (— 3 3 Aa) ; k) (— 4 ax) (— 2 Ay) (— 5 ab );
L) (— a 8 Aa 2 ) (— 7 aAj) (+ 4 by ); tu) (+ 2 «?a) (— 3 nxy) (+ 7m 3 Ay 2 ).
7. Izračunaj vrednost sledečih polinomov:
a) a 2 — 5 a + 7, za: a = — 4;
A) 2 a 3 — 3 a 2 + 5 a + 7, za : a = — 3 ;
c) 3 j 4 — 7 j 3 + 5 j 2 + 2 7 + 4, za: y — — 2;
c/) a 4 — 3 a 3 A + 4 a 2 A 2 + 5 aA 3 + 2 A 4 , za : a = A = —
8 . Skrči sledeče izraze:
a) 5 aA + 7 aA;
c) 15 a 2 — 4 a 2 ;
e) 7 mn — mn ;
g) 5 a 2 — 3 a 2 + 7 a 2 ;
i) 14 a 3 7 — a 3 7 — 5 a 3 7 ;
A) 8 3a — 2 3a ;
d) 6 7 3 — 5 j 3 ;
/) 13 A'7 2 — 8a7 2 ;
h) 8 j 3 + 97 3 — 12 j 3 ;
k) 22 a 2 7 3 + 5 a 2 / 3 — 26 a 2 / 3 .
9. Izračunaj sledeče izraze in napravi preizkus:
a) (3 a 2 -j— 5 a — 7) —j— (2 a 2 — 4 a —j— 3) — (4 a 2 —|— a — 9),
pr.: a = 2;
A) (6 a 2 + 3 a — 5) — (4 a 2 — 3 a + 7) — (a 2 + 5 a — 2),
pr. : a = — 2 ;
c) (3 a 2 + 5 aA — 7 A 2 ) — (2a 2 — 3 aA + A 2 ) + (a 2 + 2 aA + A 2 ),
pr.: a = A;
tf) (7 3 + 3 7 2 — 3y + 4) — ( 7 3 + 47— 7) + (2 7 2 — 5j— 1),
pr.: 7 = — 4.

147 —
10. Izračunaj naslednje izraze:
a) 2 a‘ , -xy . 3 b 2 z -j- 5 abz . abxy — a 3 * 2 . xyz ;
h) 8 a 2 * . 3 * 2 x — 5 a* 3 . 7 a;r -(- 4 a 2 jr . 6 * 3 ;
c) (— 5 a 2 *) (+ 6 a* 2 ) — (— 4 a 2 * 3 ) (— 7 a*) -j- (— 2 a 3 *) (+ 3 * 2 ) ;
<f) (-|- 4mnx) (— 5 mn i x) — (— 8fflV')(— 2 .m 2 ) —- (-j- 3 n 3 x)
(— 7 ni i x).
11. Razreši oklepaje, začenši pri najožjih:
a) [(+ 7-51) — (— 2 • 49)] . [(- 6-03) -f (- 13'97)];
b) [(+ 2f) - (- 8i)]. [(- 5f) - (- 2f)]. [(+ 4i) - (- 6f)];
c) [(— 6 ax) — (+ 7 s«)] . [(+ 2 a y) — (— 8 aj)] . [(— 5 xy) -j-
~4~ (— 7 xy) ;
d) [(+ 5 by) -J- (— 9*7.) — (+ 7 b yj\ . [(— 4 te) — (— 6te) -j-
+ (+ 8 te)].
§ 55. Množenje mnogočlenskih izrazov.
Pri računanju z mnogoČleniki je jako umestno in včasih celo
potrebno, da so členi urejeni, in sicer, ako imajo različna občna
števila, po abecednem redu; ako so potence iste podloge, pa tako,
da rasejo potenčni eksponenti (po rastočih potencah) ali da se manj¬
šajo (po padajočih potencah). Tako je n. pr. innogočlenik
3 a f) * — 4 c —j— 2 c/
urejen po abecednem redu, mnogočlenik
6x i — &x s -\-ox i — 3x-\-l
po padajočih potencah z ozirom na podlogo x in mnogočlenik
a 8 — 2a 2 * — 5 a* 2 -|- 4 * 3
po padajočih potencah z ozirom na podlogo a in po rastočih potencah
z ozirom na podlogo b.
Ker so dekadične enote potence podloge 10, moreš napisati
vsako dekadično število v obliki polinoma, ki je urejen po potencah
od 10. N. pr.: .,
2387 .= 2 . 1000 -j- 3 . 100 + 8 . 10 + 7
= 2 . 10 3 -f 3 . 10 2 4- 8 . 10 +'7.
Kako se
urejajo
mnogo¬
Členiki.
Kako
napišeš
dekadično
število
v obliki
polinoma.
10 *

148
Kako
množiš
polinom z
monomom
Po pojmu o množenju z algebrajskimi števili je n. pr.:
(a —j— b — c) . 3 (a -j— b — c) “j— (a —j— b — c) —j— (a -j— b — c) =
= 3 a -j- 3 b —-3 c
(a -j- b —c) (— 3) = (— a — b -J- c) . 3 — — 3a — 3 b 2> c,
in ravno tako:
(a -j- b -j- c) . d — ad -j- bel -J- cd
(a -j- b — c) . d = a d bd —■ cd.
Polinom pomnožiš z monomom, ako pomnožiš vsak polinomov
člen z monomom ter algebrajsko sešteješ delske produkte.
Do navedenega pravila prideš tudi geometrijskim potem.
Slika 15.
Pravokotnik ADEH (slika 15.), ki ima osnovnico a -j- b -j- c in
višino d, je slika produkta (a -j- b -\- c) . d. Isti pravokotnik je pa
sestavljen iz treh pravokotnikov, ki nam predočujejo produkte ad,
bd in cd. Velja torej
(a -j- b -j- c) . d = ad -J- bd -j- cd.
Ako pa položiš pravokotnik CDEF — cd, ko si ga zavrtel okoli
stranice CF, na pravokotnik ACFH = ad -j- bd, ostane za razliko
(a d -)- bd) — cd pravokotnik AIKH. Isti pravokotnik pa ima
osnovnico a -J- b — c in višino d, predočuje nam torej produkt
(a b — c) . d; velja torej
(a -f- b — c) . d = ad -j- bd —■ cd.

149
Po navedenem pravilu najdeš z ozirom na zakon o zamenjavi
faktorjev, da je tudi
d (a —|— b — c) == (a -)- b — c) . d = ad bd — cd.
Ako je treba množiti polinom a -\- b c s polinomom m -j- n,
si misliš prvi polinom izražen z nekim številom x ter množiš po
prejšnjem pravilu
(a -j- b -)- c) (m '-[- 12 ) = x (m -j- n) = xm -j- xn.
če postaviš v izračunanem izrazu namesto x to, kar x pomeni,
ter izvršiš nakazane računske načine, najdeš
(a -j- fe.-J- c) (m -|- n) =t (a -j- b -f- c) m -j- (a -j- b -j- c) n —
a m -j- hm -j- cm -J- an -(- bn -p cn.
Polinom pomnožiš z polinomom, ako pomnožiš vsak multi-
plikandov člen z vsakim multiplikatorjevim členom ter algebrajsko
sešteješ delske produkte.
Do navedenega pravila prideš tudi geometrijskim potem.
Slika 16.
3 C
OL f & * jC
Pravokotnik ABCD (slika 16.), ki ima osnovnico a -j- b -j- c in
višino m -\- n, je slika produkta (a -|- b -j- c) {m -j- n). Isti pravo¬
kotnik je pa enak vsoti šestih pravokotnikov, ki so slike produktov
a m, bm, cm, a n, bn in cn. Zato velja
(a -)- b -j- c) (m —j— zj) = a m -f- bm -j- cm -J- a n -)- bn -|- cn.
Kako
množiš
polinom s
polinomom.

150
V končnem produktu skrčiš istoimenske izraze. Da to laže iz¬
vršiš, urediš pred množenjem oba polinoma na isti način ter pišeš
med množenjem istoimenske izraze drugega pod drugega. N. pr.:
{x 3 — 3x 2 -j- 5x — 7) (2o? 3 -f 4x -j- 6)
2 x 5 — 6 x 2 -)- 10 x 3 — 14 a; 2
-j- 4 x i — 12 £C 3 —|— 20 x 2 — 28 a;
-f 6 x* — 18 -f 30 x — 42
Kako
napraviš
preizkus.
2 a ; 6 —2 x*-j- 4x 3 —12cr a -f- 2x —42
Preizkus, ali si prav množil ali ne, napraviš, ako zamenjaš
faktorja in jih iznova pomnožiš med seboj; ako je drugič dobljeni
produkt enak prejšnjemu, smeš biti vobče prepričan, da je produkt
prav določen. Hitreje napraviš preizkus, ako zamenjaš v faktorjih
za občna števila posebne vrednosti, skrčiš člene in šele potem iz¬
vršiš množenje. Kavno tako zamenjaš v dobljenem produktu za občna
števila iste vrednosti kakor v faktorjih; ako najdeš isti rezultat kakor
prej, si prav računal. — Ako zameniš v gorenji nalogi x — 1, dobiš
(1 — 3 + 5 — 7) (2 + 4 + 6 ) = (— 4) . (+ 1 2) = — 48
2 — 2 -f 4 — 12 + 2 — 42 = — 48.
Važni so naslednji produkti:
(a -)- h) 2 = (a -[- b) (a -(- b) — a 3 -|- ab -\- ab -j- b 2 = a 2 -[- 2 ab -f- h 2 ,
(a — b) 2 = (a — b) (a — b) = a 2 — a b — ab b 2 = a 2 ■— 2 ab -j- b' 2 ,
(a -j- b) (a — b) = a 2 -j- ab — ab — b 2 = a 2 — b 2 ,
ki jih geometrijskim
potem tako-le dokažeš:
Kvadrat A B CD
(slika 17.), ki ima stra¬
nico a -(- b, je slika
krajše napisanega pro¬
dukta (a -j- b) 2 ; isti
kvadrat pa je enak
vsoti kvadratov, ozir.
pravokotnikov, ki so
slike produktov a 2 , ab,
ab in b 2 . Velja torej
(a -j- b) 2 = a 2 -j-
-f 2ab -f b 2 .
Slika 17.

151
Kvadrat Al H G
(slika 18.), ki ima stra¬
nico a — b, predočuje
krajše napisani pro¬
dukt (a — b ) 2 ; isti
kvadrat pa dobiš, ako
odšteješ od šestero-
kotnika ABCEFG, ki
je enak vsoti kvadra¬
tov ABCD — a 2 in
DEFG — b 2 , pravo¬
kotnika IB C K = ah
in KEFH = ah. Zato
velja
Slika 18.
a 2 -|- b 2 — 2 a b = a 2 — 2 ab -|- b 2 .'
Pravokotnik AEFH
(slika 19.) s stranicama
s -j- A in a — b je
slika produkta (a -j- b)
(a — b). Ako preneseš
pravokotnik BEFG =
= (a — b) . b v lego
pravokotnika GGIK =
= (a — b) . b, do¬
biš namesto pravo¬
kotnika AEFII njemu
enak šesterokotnik
ABCIKH, ki je tudi
enak razliki kvadratov ABCD — a 2 in HKID — b 2 . Tedaj je
(a -| - b) (a — b) = a 2 — b 2 .
Kvadrat binoma je enak algebrajski vsoti kvadrata prvega
člena, dvojnega produkta obeh členov in kvadrata drugega člena.
Vsota dveh števil, pomnožena z njiju razliko, da razliko kva¬
dratov dotičnih števil.
/
Nasprotno smeš reči:
Razlika kvadratov dveh števil je enaka produktu iz vsote in
razlike dotičnih dveh števil.
N. pr.: 57 2 — 47 2 = (57 -f 47) (57 — 47) = 104 . 10 = 1040.
Slika 19.
6- s<X- &

152
Naloge.
1. Uredi po rastočih (padajočih) potencah sledeče polinome:
a) 5 a — 6 a 2 -j- 9 a 3 — 2 -]- 6 a 4 ;
b) — 3x 3 -f 2a: 2 -f- 7 a: 6 -f- 4a; -f- 10;
c) 2 a: 2 / — 5 7 3 -J- x 3 -|- 2 a? 2 7-
2. Napiši sledeča dekadična števila v obliki polinomov:
a) 543; b ) 705; c) 2374; </) 7050; e) 25439; /) 9200G.
3. Določi s pomočjo potenc števila 10 sledeče produkte:
a) D .D; b) S. D; c) S. T; d) T. D; e) Dt. D; f) T. T;
g) Dt. St.
4. Izračunaj sledeče produkte in napravi preizkus:
a) (2 a -j- 5 b) . 4, pr.:
b) (bx — 3 j) . — 2, pr.:
c) (3 a 2 — 5 a -f- 4) . — 2 a, pr.:
d ) by(3y t — 2y— 4), pr.:
e) 4a; 27 (3 a? 2 — 4 a: 7 -j- 5 jr 2 ), pr.:
/) — 5 a 2 h 3 (a 2 — 2 a b — b 2), pr.
a =
7 =
x ==
3 =
2, h =
3, 7 —
- 2 ;
- i;
7>'
b.
3;
8 ;
5. Razreši oklepaje in naredi preizkus:
a) (a -j- 7Z>) 3 a -j- (9 a — bb) Ga, pr .: a — b;
b) 3« (2a: — 57) -(- 4a: (6a; — 77), pr.: x = y;
c) 7 a (6a — 5 b) — 8 b (3 a -j- 4 b), pr.: a = h;
d) 4 a: 2 (a: — 2) — 5 a; (a: 2 — 7), pr.: ,x = 3;
e) (5 x — 7 7) 6 x — (3 x -j- 6 7) 5 7 -j- (6 x — 8 7) 4 a;,
pr.: x — 2, 7 = 3;
/) 9 a (4 a — 6 Z>) -j- 7 a (5 a — 8 Z)) — 3 a (7 a — 9 h),
pr.: a = Z>;
g) (4 a 2 — 3 ab -f 6 h 2 ) 5 a 2 Z> 2 — 2 aZ> 2 (3 a 3 — 5 a 2 b -f- 7 ah 2 ),
pr.: a = Z).
6. Izračunaj najkrajšim potem:
a) (a + 4) 2 ;
c) (2 a: — 3) a ;
e) (x + 5) (a? — 5);
g) ( 5 7+ 7) (57— 7);
i) 42 2 — 22 2 ;
Z) 135 2 — 35 2 ;
b) {x — 5) 2 ;
d) (3*+ 27) 2 ;
/*) (2 a —j— 3) (2 a — 3);
A) (3/J + 4 g) (3/3 — 4 g);
k) 63 2 — 37 2 ;
m) 157* — 143 2 .

153
7. Izračunaj sledeče produkte in napravi preizkus:
a) (4 x 5 y) (8 x — 4 y), pr.: x = y;
h) (3 a; — 4 y) (y + 9 *), pr.: x = 3, y = 2;
c) (3 n? — 8) (2 m — 7), pr. \ m — 5;
d) O 3 + 2 -f 3 y 2 ) (3* — 2 y\ pr.: x — y;
e) (3 a 2 — 2 aA — A 2 ) (7 a -|- 5 5), pr.: a = b;
f) (4 — 3 a; -j- 6 x 2 ) (2 — 6 a; — 7 a; 2 ), pr.: x — — 1;
g) (m 2 -j- 2/n — 3) (m 2 — 2 m -|- 3), pr.: m = — 5;
A) (8 a 3 — 9 a -j- 12) ( 7 — 6 a -J- 5 a 2 ), pr.: a = 3 ;
i) (2 a/ 2 — 3 xy -j- 4 y 2 ) (3 a: 2 — 2xy — y 2 ), pr.: x — y;
k) (5 ad — 4 x 3 y -|- 3 a; 3 y 2 —■ 2 x y 3 -f- y i ) (3x 2 — 2 xy -j- y 2 '),
pr.: a; — y;
/) (8 a; 3 —J— 1 — 6 a: 2 — 2 x) (8 a: -j- 2 a: 3 — 4 — 3 a; 2 ),
pr.: x — 1;
m) (5 a 3 A 2 — 6 ab 3 — 4 a 3 b -|- 7 A 4 -j- 3 a 1 ) (4 A 4 — 5 aA 3 —
— 2 a 2 A 2 -j - a *)> P r -: a = A.
8. Izračunaj naslednje produkte in napravi preizkus na naj-
prikladnejši način:
a) (2 a — A) (5 a — 4 A) (a -j- b) ;
A) (6 /w 2 — 5) (8 u/ 2 -f- 4) (3 m 2 — 9);
c) (2x — 3) (3 x — 4) (4 x — 5) (5 a; -f- 6);
d ) (4 a: 2 — 4 a;y — y 2 ) (x 2 — 2 xy -j- 2 y 2 ) (2 a: 2 -j- 2 a:y -\- 3 y2 ) ;
e) (3 y 2 — 4yz -j- 2 z 2 ) (5 y 2 — 7 y z — 6 z 2 ) (y 2 — 2 y z -j- 5 z 2 ).
9. Določi pomen sledečih izrazov in jih izračunaj:
a) (4 —j— 2 as) (5 —j— 3 a;) — (4 — 3 a:) (5 — 2 x), pr.: x — 2 ;
A) (x — 3) (5*4-6) — (— 10 ar + 7) (2 — *) (a; -f 8),
pr.: x — 1;
c) (3 / 22 2 — 8 m — 5) (7 m 2 -j- 5 m — 6) — (6 m 2 -)- 4/22 — 3)
(3 m 2 — 9 722 -j- 7), pr.: m = — 1;
d) ( x 2 — 4 x -j- 4) (a; 2 -|- 4 a; -j- 4) — (x -\- \) {x — 2) (x -j- 4)
(x — 5), pr.: x — 3;
e) [(a —- 3) (5 a —|— 6) -— (10 a -j~ 7) (2 — a)] (a -j— 8),
pr.: a = — 1;
f) [3 x (2 x — y) — 2 y (x + 3 y)] (x -f- 2 y\ pr.: x — 2, y — 1.

154
Kvadrovati
quadrieren.
Kako
kvadruješ
dvoštevilčno
celo število.
Kako
kvadruješ
decimalno
število.
§ 56. Kvadrat.
Število povišati na kvadrat ali kvadrovati se pravi, število po¬
staviti dvakrat za faktor, t. j. število množiti samo s seboj. N. pr.:
37 2 = 37.37 = 1369.
Kvadrati enoštevilčnih števil so po vrsti: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
64, 81.
Število tedaj kvadruješ, ako pomnožiš število s številom samim;
vendar se hočemo seznaniti s posebnim načinom kvadrovanja mnogo-
številčnih števil, ki se razlikuje samo po obliki od navadnega mno¬
ženja, ki nam pa pokaže pot, po kateri razrešimo nasprotno nalogo,
da namreč poiščemo število, ki da, samo s seboj pomnoženo, za
produkt določeno število-
Dvoštevilčno dekadično celo število, n. pr. 78, kvadruješ, ko si ga
napisal v obliki binoma 70 -j- 8, po obrazcu
(a -|- h) 2 — a 2 -(- 2 ah -)- h 2
in najdeš
(70 -j- 8) 2 = 70 2 —[— 2 . 70 . 8 —j— 8 2 = 49 . 100 -f- 2 . 7 . 8 . 10 +
+ 64 =' 4900 + 1120 + 64 = 6084.
Kvadrat dvoštevilčnega celega števila ima tri sestavine:
1. kvadrat prve številke z mestno vrednostjo stotič,
2. dvojni produkt obeh številk z. mestno vrednostjo desetic in
3. kvadrat druge številke z mestno vrednostjo eni c.
Kvadratove sestavine pišeš zaporedoma drugo pod drugo tako,
da pomakneš vsako naslednjo za eno mesto proti desni ter jih potem
sešteješ.
78 2 _
7 2 49
2.7.8 112
8 2 64
6084
Kvadrat dvoštevilčnega števila pa lahko
takoj napišeš, ako začneš kvadrovanje pri
enicah in računaš: 8 2 je 64, 6; 7 krat 8 je
56, 2 krat 56 je 112 in 6 je 1 18 , 11; 7 2 je
49 in 11 je 60 ter napišeš v kvadratu le
debeleje tiskane številke.
Decimalno število kvadruješ na isti način, kakor celo število.
Med kvadrovanjem se ne brigaš za decimalno piko. V kvadratu pa
odrežeš dvakrat toliko decimalk, kolikor jih je v podlogi; kajti
produkt mora imeti toliko decimalk, kolikor jih imata oba faktorja
skupaj. N. pr.: 7 ■ 8 2 = 60'84.

155
Navaden ulomek kvadruješ, ako postaviš kvadrat števca za
števec in kvadrat imenovalca za imenovalec. N. pr.:
ii
Vi 5/ 1 5 • 1 5
1 12
lš 2
Ili
2 2 5'
Mešano število pretvori, preden ga kvadruješ, v nepravi ulomek
in kvadruj le-tega. N. pr.:
(2f
S\2
(V ) 2
1 7 2
7 2
2_8 9 - Kil
4 9 ^4 9*
Naloge.
1. Napiši neposredno kvadrate sledečih števil:
a) 14, 31, 48, 65, 79, 82, 87, 95;
b) 1-3, 2'9, 0'37, 0-64, 0-039, 0-083;
c) 160 = 16 . 10, 390, 470, 5900, 7200, 8500;
d)
_5_ 2JJ 4.9. jJ 5_ O _8_ 014 Al. 1_
12’ 41’ 52’ 71’ ^15’ °25’ *13‘
2. Izračunaj na dva načina [a 2 — b 2 — (a -j- b)(a — h)]:
a) 27 2 — 17 2 ; b) 53 2 — 23 2 ; c) 73 2 — 27 2 ; d) 58 2 — 42 2 ;
e) 72 2 — 45 2 ; /) 38 2 — 12 2 .
Kvadrovanje tro- in mnogoštevilčnih števil si nekoliko skrajšaš,
ako uporabiš sledečo pretvorbo binomovega kvadrata.
(a -j - b) 2 = a 2 -j- 2 a b -j- b 2 = a 2 -j- (2 a -f- b) b.
(70 + 8) 2 = 7O 2 —2.70.8 —j— 8 2 = 70 2 + (2 . 70 + 8) 8 =
— 4900 -j- (140 + 8) 8 = 4900 -f 148.8 = 4900 + 1184 = 6084.
Dvojni produkt obeh številk in kvadrat druge številke spojiš v
eno sestavino, ki jo dobiš, ako prišteješ dvojnim deseticam enice,
pomnožiš to vsoto z enicami in pišeš produkt za dve mesti proti
78 2 desni. Praktično izvedeš to okrajšavo
7 2 49 kvadrovanja, ako pripišeš dvojnemu šte-
148 • 8 1184 vilu desetic število enic in tako dobljeno
6084 'število pomnožiš s številom enic.
Troštevilčno število, n. pr. 379, kvadruješ, ko si ga razstavil v
desetice in enice (370 -j- 9), ravno tako kakor dvoštevilčno . število.
(370 -|- 9) 2 = 370 2 + 2 . 370.9 + 9 2 = 37 2 . 100 +(2 . 370 + 9) . 9.
Kvadrat števila 37 seveda lahko takoj napišeš ali ga pa izvršiš
po prej navedenem pravilu. Pišeš tedaj:
379 2 ali pa: 379 2 = 1369
749.9 6741
3 2
67 . 7
749 . 9
9
469
6741
143641
Kako
kvadruješ
navaden
ulomek in
mešano
število.
Kako
kvadruješ
mnogo-
številčna
števila.
143641

156
Kako
kvadruješ
nepopolno
število.
Na isti način razstaviš vsako mnogoštevilčno število in ga kvadruješ.
N. pr.:
53553124
Mnogoštevilčna števila kvadruješ tako-le:
1. Od prve številke (na levi) dobiš kvadrat.
2. Od druge in vsake naslednje številke dobiš sestavino, ako
pripišeš dvojnemu pred dotično številko stoječemu številu to številko
in tako dobljeno število pomnožiš z dotično številko.
3. Sestavine, ki jih tako dobiš, pišeš zaporedoma drugo pod
drugo, vsako naslednjo pa pomakneš za dve mesti proti desni in
jih sešteješ.
Ako se nahaja v številu, ki ga kvadruješ, kaka ničla, prideneš
sestavini pred ničlo stoječe številke dve ničli, ker je k ničli spada¬
joča sestavina = 0. N. pr.:
5•702 2 = 324900
11402.2 22804
32-512804
Nepopolno število kvadruješ, ako ga pomnožiš na okrajšani način
s samim seboj.
Periodičen ulomek pretvori, preden ga kvadruješ, v navadnega,
in kvadruj le-tega, ali ga pa pomnoži na okrajšani način s samim
seboj.
Naloge.
3. Izračunaj kvadrate naslednjih števil:
a) 316, 528, 706, 925, 596, 804, 697;
h) 1235, 3456, 6708, 9008, 7549, 8395;
c) 7-35, 9-804, 58 - 26, 0'4078, 0'0796;
, 1 ] _7_9_ 25.7 10 9 Q_8_ 1 0_7_ •
113' 315' 4 8 9’ 90 7’ u 15’ 25 ’
e) 8-732.., 14-96.., 19 853. ., 0'463.., 0-06892..;
f) 5-3, 0-54, 0-254, 3‘0522, 2'7, 0'Ši.

157
4. Izračunaj na dva načina:
a) 217 2 — 183 2 ; b) 357 2 — 307 2 ; c) 756 2 — 656 2 ;
d) 269 2 — 231 2 ; ej 628 2 — 372 2 ; /) 5971 2 — 40291
§ 57. Kvadratni koren.
Danemu številu določiti drugi ali kvadratni koren ali
dano število koreniti z 2 se pravi, poiskati število, čigar kvadrat
je enak danemu številu. Dano število se imenuje radikand, šte¬
vilo, ki ga iščeš, se zove drugi ali kvadratni koren. N. pr.:
Drugi ali kvadratni koren števila 81 je 9, v znakih “|/8 L = 9 (čitaj:
drugi ali kvadratni koren iz 81 je 9), ker je 9 2 = 81. Korensko
znamenje "j/ je nastalo iz prve črke latinske besede „radix“ (= ko¬
ren, korenina).
Naloga. Koliko je Vo, Vf, Vi, j/9, Vl6, -j/25, y§6, 1/49,
V64, y'8i, V100?
Pravilo, ki po njem izračunaš mnogoštevilčnemu številu kvadratni
koren, najdeš iz načina kvadrovanja dekadičnih števil.
Naloga. Kvadruj število 87 in koreni dobljeni kvadrat z 2!
87 2 _
8 2 64
167 . 7 1169
7569
V75|69 = 87;
64
116|9 : 167
1169
0
} 75|69 — 87
1169 : 167
0
Ako kvadruješ dekadično število, da prva njegova številka v kva¬
dratu eno ali pa dve številki, vsaka naslednja številka pa da v kvadratu
dve nadaljnji številki, ker pomakneš njeno sestavino za dve mesti
proti desni. Ako razdeliš kvadrat od desne proti levi na oddelke po
dve številki — zadnji oddelek na levi ima lahko tudi eno samo
številko — dobiš toliko oddelkov, kolikor ima število, ki si ga kva-
droval, številk. V navedeni nalogi ima kvadrat 7569 dva oddelka po
dve številki, koren ima dve številki. V 75 stoticah se nahaja kvadrat
korenovih desetic; njih število najdeš, ako poiščeš največje število,
čigar kvadrat je manjši od 75. To število je 8, ker 9 2 = 81 je
večje kakor 75. Od prvega oddelka odšteješ kvadrat korenovih de¬
setic (64) in pripišeš ostanku drugi radikandov oddelek. V deseticah
Kvadratni
koren =
die Quadrat-
wurzel.
Koreniti =
radizieren.
Radikand =
der
Radikand.
Kako
koreniš celo
število z 2.

158
Preizkus pri
korenjenju.
tako dobljenega števila (1169) se nahaja produkt iz dvojnih kore-
novih desetic in enic. Korenove enice najdeš torej, ako deliš število
ostankovih desetic (116) z dvojnim številom korenovih desetic (16).
Kvocient je 7. Potem določiš sestavino druge korenove številke (167 . 7)
in jo odšteješ od prejšnjega ostanka. Ker zdaj ne dobiš ostanka je
V7569 = 87.
Preizkus, da si kvadratni koren prav izračunal, napraviš, ako
kvadruješ dobljeni koren; korenov kvadrat mora biti enak radikandu.
Dobiš pa pri korenjenju ostanek, mora biti vsota korenovega kvadrata
in ostanka enaka radikandu. N. pr.:
y2i30 = 46 Preizkus: 46 2 = 2116
530 : 86 14
14 ostanek. 2130.
Naloge.
1. Kvadruj sledeča števila in koreni dobljeni kvadrat z 2:
a) 23, 52; h) 18, 85; c) 39, 62; d) 48, 69; e) 36, 97.
2 .
izkus:
Poišči naslednjim številom kvadratne korene in napravi pre-
a) 1444;
d) 5041;
g) HOO;
k) 6890;
b) 2025;
e) 6241;
h) 1300;
1) 5930;
c) 3025;
/) 7744;
i) 4100;
m) 9414.
3. Določi pomen in vrednost naslednjih izrazov:
a) yi¥+ W; b) p'l2 2 -f V35 2 ; c) V27 2 + 36 2 ;
d) V55 s -f-IŠ 5 6* ; e) y G5'-' - j 72h /) J 37 1 12";
g) YŠV — VlT*; h) 1/6 5* — 56*; i) l/89" — 80 2 .
Dekadičnemu številu, ki ima več kakor štiri številke, določiš
kvadratni koren, ako računaš na isti način, kakor koreniš tro- ali
štirištevilčno število, kar razvidiš iz naslednjega primera.
Naloga. Kvadruj število 678 in koreni dobljeni kvadrat z 2:
678 8 _
6 2 36
127 . 7 889
1348.8 10784
)/45|96|84 = 678
99[6 : 127
1078(4 : 1348
0
459684

159
Radikand ima tri oddelke po dve številki, zato iina koren tri
številke. Število korenovih desetic najdeš, ako določiš kvadratni
koren 4596 stoticam; po prejšnjem načinu korenjenja štirištevilčnega
števila dobiš 67 desetic. Ostanku (107) pripišeš naslednji oddelek,
deliš število desetic tako dobljenega števila (1078) z dvojnim številom
korenovih desetic (134) in najdeš korenove enice (8). Zdaj izračunaš
kvadratovo sestavino tretje korenove številke (1348.8) in jo odšteješ
od popolnega ostanka.
Ravno-tako računaš, ako ima radikand še več številk.
Kvadratni koren dekadičnega števila najdeš po tem-le pravilu:
1 . Razdeli določeno število od desne proti levi na oddelke po
dve številki; prvi oddelek na levi utegne imeti tudi le eno številko.
2. Prvo korenovo številko najdeš, ako poiščeš največje število,
čigar kvadrat se nahaja v prvem oddelku. Kvadrat prve korenove
številke odšteješ od prvega oddelka in ostanku pripišeš naslednji
oddelek.
3 . Ako odrežeš tako dobljenemu številu zadnjo številko (na
desni) in deliš ostalo število z dvojnim že znanim korenom, dobiš
drugo korenovo številko Potem izračunaš kvadratovo sestavino
druge korenove številke in jo odšteješ od popolnega ostanka. No¬
vemu ostanku pripišeš prihodnji oddelek.
4. Naslednje korenove številke izračunaš istotako, kakor si
našel drugo številko.
5. Ko si vzel vse radikandove oddelke v račun, najdeš ostanek
= 0, ako je radikand popoln kvadrat.
Naloge.
4. Kvadruj sledeča števila in koreni dobljeni kvadrat z 2:
a) 212; b) 335; c) 526; d) 673; e) 1857; f) 2949.
5. Koreni sledeča števila z 2 in napravi preizkus:
a) 11664; b) 43681; c) 60516;
d) 139876; e) 321489; /) 463761;
g) 5499025; h) 7480225; /) 18671041.

160
Ker kvadruješ decimalno število prav tako kakor celo število,
koreniš tudi decimalno število z 2 na isti način kakor celo število.
Ker je
87 2 = 7569, 8'7 2 = 75-69, 0'87 2 = 0-7569
in 0 - 08 7 2 = 0 - 00 7 5 6 9,
je obratno tudi
1/75)69 = 87, V75-69 = 8'7, l/0 ■ 75|69 = 0’87
in V0-00|75|69 == 0'087.
Kolikor oddelkov po dve številki ima radikand pred decimalno
piko, toliko številk pred decimalno piko ima koren; za vsak oddelek
po dve decimalki v radikandu dobi pa koren eno decimalko.
Decimalno število moraš torej razdeliti na oddelke po dve šte¬
vilki od decimalne pike na levo in na desno ; kadar manjka katere
številke v zadnjem oddelku (na desni), jo nadomestiš, alco je radi¬
kand popolno število, z ničlo. Nadaljnji račun izvršiš prav tako,
kakor da je radikand celo število; samo to si dobro zapomni, da
postaviš v korenu decimalno piko, preden vzameš prvi oddelek deci¬
malk v račun.
Ako radikand ni popoln kvadrat, ne moreš določiti kvadratnega
število, ki ni korena popolnoma natanko, temveč le približno na toliko decimalk,
kvadrat, z 2 . kolikor jili potrebuješ. N. pr. število 7 ni popoln kvadrat nobenega
dekadičnega števila: kajti število 7 je večje kakor kvadrat od 2 in
manjše kakor kvadrat od 3. Kvadratni koren števila 7 se da torej
določiti le približno. Ker je radikand popolno število, mu smeš pri¬
pisati toliko oddelkov po dve ničli za decimalke, kolikor jih hočeš
(§ 43.), in dobiš v korenu poljubno število decimalk. Navadno si samo
misliš te oddelke pripisane in pripisuješ le ostankom po dve ničli.
Kako
koreniš
decimalna
števila z 2.

161
N. pr.: a ) V7 — V7 r 00[00|00|00. = 2-645751..
1645999
Ker se ujemajo prve številke v zadnjih divizorjih, moreš določiti
nekatere korenove številke z okrajšanim deljenjem (§ 46.) in računaš
tako-le:
b) Yl = 2-645751..
30.0 : 46
240.0 : 524
3040,0: 5285
3975 : 5 ,2i9i0
272
7
2
Ako računaš na navadni način, moraš deliti 39750 s 5290; ker
pa ostanku ne pripišeš nobene ničle, moraš odrezati, da ostane kvo¬
cient isti, divizorju zadnjo številko, vzameš pa od njenega produkta
z novo korenovo številko popravek in deliš dalje na okrajšani način,
Ako je prva korenova številka večja kakor 4, ima okrajšani
divizor ravno toliko številk kakor že znani koren; zato dobiš z okraj¬
šanim deljenjem ravno toliko številk, kolikor si jih dobil na navadni
način, sicer pa eno manj.
Ako je radikand nepopolno število, ne smeš pripisati ostankom
ničel, temveč moraš določiti nadaljnje korenove številke na okrajšani
način; ako je pa radikand periodičen ulomek, moraš pripisovati
ostankom namesto ničel številke, kakor se nahajajo po vrsti v periodi.
Primerjaj sledeče naloge:
c) Določi y12 na 4 decimalke!
Vi 2 = 3-4641
30,0 : 64
440,0: 686
284 : 6,9,2
7
0
Ker bo imel koren 5 številk in je prva manjša
kakor 5, dobiš z okrajšanim deljenjem eno številko
manj, nego jih dobiš na navadni način; na navadni
način določiš torej 3, na okrajšani način pa 2
korenovi številki.
Matek-Peterlin, Aritmetika.
Kako
koreniš na
okrajšani
način z 2.
Koliko
številk
določiš na
okrajšani
način.
Kako
koreniš
nepopolne
in periodične
decimalne
ulomke z 2.
11

162
d) Določi 1/27• 34. . tako natanko, kakor je mogoče!
V27"-34.'.' = 5-229. .
23(4 : 102 Ker je radikand nepopolno število, do-
30 : l|0i4 ločiš na navadni način 2 številki, ostale pa
9 na okrajšani način.
0
e) Določi V5 - 235 na 4 decimalke!
V5'23|52|35 = 2'2880. .
12(3 : 42 Koren bo imel 5 številk, in ker je
395i2 : 448 prva manjša kakor 5, določiš 3 na na-
368 : 4(5(6 vadni, 2 pa na okrajšani način.
3
Ako si določil kvadratni koren na okrajšani način, napraviš
preizkus s tem, da množiš na okrajšani način nepopolni kvadratni
koren ž njim samim in določiš v produktu, ki mora biti enak radi-
kandu, toliko decimalk, kolikor jih je zanesljivih (§ 56.).
Naloge.
7. Koreni sledeča števila z 2 in napravi preizkus:.
a) 18-49; b) 0’3025; c) 0 0961;
d) 4-7524; e) 51'9841; /) 0-544644;
g) 0-000784; h) 0’00692224; i) 0'00077284.
8. Izračunaj na 5 decimalk in napravi preizkus:
a) )/2; b) 4/3; c) V39;
d) V70; e) V6-37; f) VO'352.
9. Izračunaj na 3 decimalke in napravi preizkus:
») V 59 + T; b) 4/3 • 9 2 + 2 • 3 2 ; c) 4/0 54 T '+ 3^8 T -f 1 r 52/
10. Izračunaj tako natanko, kakor je mogoče:
a) 4/3; 1416..; b) 4/15-6477, v; c) yo*6678..;
d) 4/423-86.'.; e) 4/52 T 27T7; /) 4/0‘05929...

— 163
Navaden ulomek koreniš z 2, ako postaviš kvadratni koren števca
za števec in kvadratni koren imenovalca za imenovalec. N. pr.:
T/16
I 25
f, preizkus: (f)* = f • f = if.
Ako pa imenovalec ni popoln kvadrat, razširiš ulomek toliko, da
postane imenovalec popoln kvadrat, ki mu lahko določiš kvadratni
koren. Ko si določil števcu razširjenega ulomka kvadratni koren na
potrebno število decimalk, deliš števčev koren z imenovalčevim ko¬
renom. N. pr.:
4-58258
7
0 ’ 65465 ..
Navaden ulomek pa tudi koreniš z 2, ako ga pretvoriš v deci¬
malnega in določiš temu kvadratni koren. N. pr.:
Vf = Vo ' 42857 i = 0 - 654654 . ..
Naloge.
11. Izračunaj na dva načina in naredi preizkus:
»)' VS; *) Vit; c) yšx ; d ) ysf| ; e)
12. Izračunaj na dva načina na 4 decimalke:
a) Vf; b) Vil; c) Vf; d) Vfi; e) VI|; /) y§f
Določevanje kvadratnega korena občnih števil omejimo le ua
nekatere slučaje, ki se prav pogostoma nahajajo, in sicer:
1. Potenco koreniš z 2, ako deliš potenčni eksponent z 2.
j/a 2 = a, (a) 2 = a . a = a 2 ; V a ° = (a s ) 2 = a 3 . a 3 = a°.
2. Produkt koreniš z 2, ako koreniš vsak faktor z 2.
V® 2 V = Va 2 . V& 2 = ah, (ah) 2 = ah . ab = a 2 h 2 ;
V90: 2 = V 9 • V^ 2 — 3*, (3x) 2 = 3x . %x — 9x 2 .
3. Kvadratni koren odpraviš iz ulomkovega imenovalca, ako po¬
množiš števec in imenovalec z dotičnim korenom.
a a . V5 a V 5 a V 5
V5 ~ V 5 • V 5 ~~ (VbT ~ 5
Kako
koreniš
navaden
ulomek z 2
Kako
koreniš
občna
števila z 2
11 *

164
Kubovati =
kubieren.
Kub =
der Kubus.
Kako
kubuješ
binom.
Naloge.
13. Izračunaj in napravi preizkus:
a) b) Va 8 ; c) l/4y 4 ; d) ]/25a 2 b 2 ; e).yi6a 4 b 2 ; /) y49 x i y ,i .
14. Izračunaj po primeru j/« 2 b = ayi) koeficiente na 4 deci¬
malke:
a) "j/3a 2 ; b ) y2a: 2 ; c) y5y 2 ; c?) y8b 4 = y2 . 4 . b 4 ;
e) y 12a‘’; /j y'hOx i .
15. Odpravi koren iz imenovalca sledečih ulomkov:
3
V3
c)
2yy
c /)
3c
21/5 ’
§ 58. Kub.
Število povišati na kub ali kubovati se pravi, postaviti število
trikrat za faktor. N. pr.:
373 = 37 . 37 . 37 = 50653.
Kubi enoštevilčnih števil so po vrsti: 1, 8, 27, 64, 125, 216,
343, 512, 729.
Število kubuješ, ako pomnožiš kvadrat števila s številom samim;
vendar se hočemo seznaniti s posebnim načinom kubovanja mnogo-
številčnih števil, ki se razlikuje samo po obliki od navadnega mno¬
ženja, a nam pokaže pot, kako naj razrešimo nasprotno nalogo, da
namreč poiščemo število, ki da, postavljeno trikrat kot faktor, za
produkt določeno število.
Po pojmu o kubu velja:
(a -j— b ) 3 = (a -j- b ) 2 . (a —|— b ) = (a" -j— 2 a b —(— b‘) (a —j- b) —
= a 3 + 3 a2 b -j- 3 ab 2 + b 3 .
Tako izračunani izraz binomovega kuba dokažeš tudi geome¬
trijskim potem.

165
Ker je kockin rob
(slika 20.) enak a b,
je njena prostornina
(a -|- b) 3 . Kocka z robom
a -|- b nam predočuje
krajše napisani produkt
(a -f- b) 3 . Na robeh, ki
se stikajo v točki A, od¬
režeš daljico a in naj¬
deš točke J, K in L.
Ako položiš skozi točke
J, K in L ravnine, ki
stoje pravokotno na do-
tičnib robeh, razpade
kocka na 8 delov, ki
so po svoji obliki kvadri,
oziroma kocke. Štirji deli, ki se nahajajo pod ravnino LMNP, imajo
višino a, osnovne ploskve pa a‘, ab, ab, b 1 , njih prostornina je tedaj
a 2 , a, ab .a, ab . a, b 2 a; štirji deli so nad ravnino LMNP in imajo
višino b, osnovne ploskve so jim a 2 , ah, ab, b\ njih prostornina je
tedaj arh, ah . b, a b . b, b 2 . b. Ker je kockina prostornina enaka
vsoti prostornin vseh kvadrov, oziroma kock, velja
(a -j- b) 3 — (a 3 -)- a 2 b -|- a‘b -f- ab 2 ) -)- (a 2 b -j- a b 2 -j- ab 2 -f- h 3 ) —
— a 3 -j- 3 a 2 b -j- 3 ab 2 -j- b 3 .
Dvoštevilčno dekadično celo število, n. pr. 27, kubuješ, ko si ga
napisal v obliki binoma 20 -f- 7, po obrazcu
(a -J- b) 8 = a 8 -j- 3 a 2 b -j- 3 ab 2 -j- b',
in najdeš
(20 -j- 7) 3 = 20 3 -|- 3 . 20 2 . 7 + 3 . 20 . 7 2 -j- 7 3 = 2 3 . 10 3 -f-
-f 3 . 2 2 . 7 . 10 2 + 3 . 2 . 7 2 . 10 -f- 7 3 = 8000 -f 8400 -f- 2940 +
-f 343 = 19683.
Kub dvoštevilčnega celega števila ima štiri sestavine:
1. kub prve številke z mestno vrednostjo tisočic,
2. trojni kvadrat prve številke, pomnožen z drugo številko, z
mestno vrednostjo stotič,
Slika 20.
Kako
kubuješ
dvoštevilčno
celo število.

166
3. trojna prva številka, pomnožena s kvadratom druge številke,
z mestno vrednostjo desetic, in
4. kub druge številke z mestno vrednostjo eni c.
Kubove sestavine pišeš zaporedoma drugo pod drugo tako, da
pomakneš vsako naslednjo za eno mesto proti desni ter jih sešteješ.
27 s
2 3 8
3 . 2 2 . 7 84
3 . 2 . T 294
7” 343
19683
Kako
kubjiješ
mnogo¬
številen o
celo šte vilo.
Troštevilčno število, n. pr. 275, kubuješ, ko si ga napisal v
obliki binoma 270 -f- 5, po obrazcu za (a -}- b) s in najdeš
( 270 -j- 5) 3 = 270 3 -j- 3 . 270*. 5 -f- 3 . 2 7 0 . 5 2 + 5* =
= 27 3 . lO 3 -f 3 . 27 2 . 5 . 10 2 + 3 . 27 . 5 2 . 10 -j- 5 3 .
Prvo sestavino 27 3 določiš po prej navedenem načinu in pomniš, da
ima ta sestavina mestno vrednost tisočic. Račun izvršiš tako-le:
275 8
2 3
3 . 2 2 . 7
3 . 2 . 7 2
7 3
3 . 27 2 . 5
3 . 27 . 5 2
5 3
8
84
294
343
10935
2025
125
20796875
Mnogoštevilčno dekadično število kubuješ po tem-le pravilu:
1. Od prve številke dobiš kub.
2. Od druge in vsake naslednje številke dobiš tri sestavine, in
sicer: a) trojni kvadrat pred dotično številko stoječega števila po¬
množen z dotično številko; b) trojno pred dotično številko stoječe
število pomnoženo s kvadratom dotične številke; c) kub dotične
številke.
3. Navedene sestavine pišeš zaporedoma drugo pod drugo,
vsako naslednjo pomakneš za eno mesto proti desni ter jih sešteješ.

167
Ako se nahaja v dekadičnem številu kaka ničla, prideneš zadnji
sestavini pred ničlo stoječe številke tri ničle, ker je vsaka k ničli .
spadajoča sestavina = 0. N. pr.:
702 3
73
3 . 70'. 2
3 . 70 . 2 2
2 3
343000
29400
840
8
345948408
Decimalno število kubuješ prav tako kakor celo število. Med
kubovanjem se ne brigaš za decimalno piko; v kubu pa odrežeš
trikrat toliko decimalk, kakor jili je v podlogi.
Nepopolno število kubuješ, ako ga postaviš trikrat za faktor ter
izvršiš množenje na,okrajšani način.
Navaden ulomek kubuješ, ako postaviš števcev kub za števec in
imenovalcev kub za imenovalec. N. pr.:
Kako
kubuješ
decimalno
število.
Kako
kubuješ
nepopolno
število.
Kako
kubuješ
navaden
ulomek.
Mešano število pretvori,
in kubuj le-tega. N. pr.:
A £ — — — _64_
5 * 5 5 3 1 2 5*
preden ga kubuješ, v nepravi ulomek
Kako
kubuješ
mešano
število.
(H) s = (|) 3 =
J3
3 3
3_4_3
2 7
1 911
I Z 2 7..
Naloge.
1. Izračunaj kube naslednjih števil:
a) 12, 18, 26, 39, 45, 54, 67, 89, 93;
b) 134, 157, 308, 426, 509, 871, 909;
c) 1234, 2703, 4006, 5060, 6765;
d) 1-85, 0-734, 62-8, 30‘9, 6'59, 0 - 246 ;
_ 8 _ J-®. 3.2 O ? A 3_ Q_5_ .
1 11’ 28’ 39’ a 15’ *19’ U 11 !
f) 2-47.., 3-18.., 9-856.., 1-584.., 0-892.., 0-1467...
2. Pretvori naslednje navadne ulomke v decimalne in obratno,
kubuj jih v obeh oblikah in pretvori kub navadnega ulomka v deci¬
malni ulomek:
a) 11;
d) 3-75;
g) 0-45;
*) 1 ;
e) 0'675;
h) 0*76;
c) 2 f;
/) 2 - 6 ;
i) 0-587.

168
Kubični
koren =
die Kubik-
wurzel.
Korenski
eksponent =
d er Wurzel-
exponent.
Kako
koreniš celo
število s 3.
§ 59. Kubični koren.
Danemu številu določiti tretji ali kubični koren ali dano
število koreniti s 3 se pravi poiskati število, čigar kub je enak
danemu številu. N. pr.: Tretji ali kubični koren števila 216 je 6,
8 -
v znakih p216 = 6 (čitaj: tretji ali kubični koren števila 216 je 6),
ker je 6 3 = 216. Število 3 v korenskem znaku “j/ se imenuje
korenski eksponent.
Naloga. Koliko je J/O, pT, ~}/ 8 , 1 27. j' 6 1. j/l 25. j 216.
^3 43, V'5T2, “j/ 1 729, J/TOOO?
Pravilo, ki po njem izračunaš mnogoštevilčnemu številu kubični
koren, najdeš iz načina kubovanja dekadičnih števil.
Naloga. Kubuj število 47 in koreni dobljeni kub s 3!
47 8
4 8 64
3 . 4 2 . 7 336
3 . 4 . V 588
7 8 343
103823
p / 103|823 == 47
64
398(23 : 48
336 : 3 . 4 2 . 7
588 : 3 . 4 . 7 2
343 : 7 8
0
Ako kubuješ dekadično število, da prva številka osnovnega števila
v kubu eno, dve ali pa tri številke, vsaka naslednja številka pa da v
kubu tri nadaljnje številke, ker pomakneš vsako njeno sestavino za eno
mesto proti desni. Ako razdeliš kub (radikand) od desne proti levi na
oddelke po tri številke — zadnji oddelek (na levi) ima lahko tudi
samo dve ali eno številko — dobiš toliko oddelkov, kolikor številk
ima koren. V navedeni nalogi ima kub 103823 dva oddelka po tri
številke, koren ima dve številki.
V 103 tisočicah se nahaja kub korenovih desetic; njih število
dobiš, ako poiščeš največje število, čigar kub se nahaja v 103. To
število je 4, ker 5 S = 125 je večje kakor 103. Od prvega oddelka
odšteješ kub korenovih desetic (64) in pripišeš ostanku drugi radi-
kandov oddelek. V tako nastalem številu 39823 se nahajajo vse tri
sestavine druge korenove številke. Ker prva sestavina, kakor se raz¬
vidi iz kubovanja, nič ne vpliva na zadnji dve številki, mora biti

169
prva sestavina druge številke manjša kakor 398, t. j. število stotič v
številu 39823. Število korenovih euic najdeš torej, ako deliš število
o Stankovih stotič (398) s trojnim kvadratom števila korenovih desetic
(48); enic je kvečjemu 398 : 48 = 8 . Ker pa dajo sestavine druge
številke ( 8 )
3 . 4 2 . 8 384
3 . 4 . 8 2 768
8 3 _ 512
46592
za vsoto, ki je večja kakor ostanek 39823, uvidiš, da ne more biti
8 enic, ampak kvečjemu 7. Ako vzameš 7 za drugo korenovo šte¬
vilko, je vsota njenih sestavin enaka ostanku; torej je 7 druga
korenova številka.
Preizkus, da si kubični koren prav izračunal, napraviš, ako ku¬
bu ješ koren; korenov kub mora biti enak radikandu. Dobiš li pri
korenjenju ostanek, mora biti vsota korenovega kuba in ostanka
enaka radikandu. N. pr.:
68921
79
69000
Naloge.
1 . Kubuj sledeča števila in koreni dobljeni kub s 3:
a) 18; b) 29; c) 42; d) 67; e) 78; /) 95.
2. Poišči naslednjim številom kubične korene in napravi preizkus:
a) 2197;
d) 91225;
g) 405226:
b) 17576;
e) 157464;
b) 551368;
c) 79509;
/) 195112;
i) 658533.
Dekadičnemu številu, ki ima več kakor šest številk, določiš
kubični koren, ako računaš na isti način kakor pri korenjenju šest-
številčnega števila, kar razvidiš iz naslednjega primera.

170
Naloga. Kubuj število 345 in koreni dobljeni kub s 3!
Radikand ima tri oddelke, zato ima koren tri številke. Število
korenovih desetic najdeš, ako določiš kubični koren 41063 tisočicam;
po prejšnjem načinu korenjenja dobiš 34 desetic. Ostanku pripišeš
naslednji oddelek, deliš število stotič (17596) s trojnim kvadratom
števila korenovih desetic (3468) in najdeš število korenovih enie (5).
Zdaj izračunaš vse tri kubove sestavine tretje korenove številke in
odšteješ njih vsoto od popolnega ostanka.
Ravno tako računaš, če ima radikand še več oddelkov po tri
številke.
Kubični koren dekadičnega števila najdeš torej po tem-le pravilu:
1. Razdeli določeno število od desne proti levi na oddelke po tri
številke; prvi oddelek na levi utegne imeti tudi manj številk.
2. Prvo korenovo številko najdeš, ako poiščeš največje število,
čigar kub se nahaja v prvem oddelku. Kub prve korenove številke
odšteješ od prvega oddelka in pripišeš ostanku naslednji oddelek.
3. Ako odrežeš tako dobljenemu številu zadnji dve številki (na
desni) in deliš ostalo število s trojnim kvadratom že znanega korena,
dobiš drugo korenovo številko. Potem izračunaš vse tri kubove
sestavine druge korenove številke ter odšteješ njih vsoto od popol¬
nega ostanka.
4. Naslednje korenove številke izračunaš na isti način kakor
si našel drugo številko.
5. Ko si vzel vse radikandove oddelke v račun, najdeš ostanek
= 0, ako je radikand popoln kub.

171
Naloge.
3. Kubu j sledeča števila in koreni dobljeni kub s 3:
a) 123; b) 246; c) 579; d) 288; e) 2738; f) 3054.
4. Koreni sledeča števila s 3 in naredi preizkus:
a) 2146689; b) 3176523; c) 12812904;
d) 24137569; e) 2000380; /) 67419143;
g) 131872229; h) 481890304; i) 707347971.
Ker kubuješ decimalno število prav tako kakor celo število, zato
tudi koreniš decimalno število s 3 na isti način kakor celo število.
Ker je
27 3 = 19683, 2 ■ 7 3 = 19'683,
0-27 3 = 0-019683, 0’027 3 = 0'000019683,
je obratno tudi
l 191683 = 27,
J/O" 019]683 = 0-27,
j/19- 683 = 2-7,
jVo(X)|019|683 = 0-027.
Kolikor oddelkov po tri številke ima radikaud pred decimalno piko,
toliko številk pred decimalno piko ima kubični koren; za vsak
oddelek po tri decimalke v radikaudu dobi pa koren eno deci¬
malko.
Decimalno število moraš torej razdeliti na oddelke po tri številke
od decimalne pike na desno in na levo; kadar manjka katera šte¬
vilka v zadnjem oddelku (na desni), nadomestiš jo, ako je radikand
popolno število, z ničlo. Nadaljnji račun izvršiš prav tako, kakor da
je radikand celo število; samo to si dobro zapomni, da postaviš v
korenu decimalno piko, preden vzameš prvi oddelek decimalk
v račun.
Ako ni radikand popoln kub, ne moreš določiti kubičnega korena
popolnoma natanko, ampak le približno na toliko decimalk, kolikor jih
potrebuješ. Radikandu, ki je popolno število (§ 43.), smeš namreč
pripisati toliko oddelkov po tri ničle za decimalke, kolikor jih hočeš
in zato dobiš v korenu poljubno število decimalk. Navadno si samo
misliš te oddelke pripisane in pripisuješ ostankom po tri ničle. Ker
postaja takšen račun vedno bolj težaven in dolgočasen, smeš ga okrajšati
tako-le: Ko si določil na navadni način nekaj veljavnih številk ku¬
bičnega korena, deliš zadnji, ostanek s trojnim kvadratom že znanega
Kako
koreniš
decimalno
število s 3.
Kako
koreniš
število, ki ni
popoln
kub, s 3.

172
Kako
koreniš
nepopolno
število s 3.
Kako
koreniš
periodičen
ulomek s 3.
korena na okrajšani način in najdeš, tako postopajoč, še nekatere
zanesljive korenove številke; vobče eno manj nego si jih določil na
navadni način. N. pr.:
t10 = 2-1544
20(00 : 12
- 12 3 . 2 2 . 1
6 3 . 2 . I 2
1 l 3
7390(00 : 1323
6615 3 . 21 2 . 5
157.5 3 . 21 . 5 2
125 5"
61(625 : 1(3(8675
6
1
Ako moraš določiti n. pr. y 2 na 4 decimalke, določiš, ker bo
imel koren 5 veljavnih številk, 3 na navadni način, 2 pa z okraj¬
šanim deljenjem.
Ako je treba nepopolnemu številu, n. pr. 3 1 142 .., določiti kubični
koren tako natanko, kakor mogoče, moreš na navadni način najti le
dve korenovi številki; z okrajšanim deljenjem pa določiš še eno
korenovo številko.
Ako je radikand periodičen ulomek, pripišeš ostankom namesto
ničel številke, kakor se nahajajo po vrsti v periodi.
Naloge.
5. Koreni sledeča števila s 3 in napravi preizkus:
a) 157-464; b ) 2048-383; c) 20346'417;
d) 41-063625; e) 469-097433; f) 0'571787;
g) 0-079507; h) 0'009393931; I) 0-000066923416.
6. Izračunaj na štiri decimalke in napravi preizkus (§ 58.):
a) j/cT; b ) > / 83; c) 112'S;
8 8 _ 8 ,_
d) 1/9-7; e) V0'23; f) VO’124.
7. Izračunaj tako natanko, kakor je mogoče:
a) ^3-14159277; b) ^8762'753...; c) y0'0097684 77

173
Navaden ulomek koreniš s 3, ako postaviš kubični koren števca
za števec in kubični koren imenovalca za imenovalec. N. pr.:
n _
y_«-
r 1 2;
y 125
preizkus: (f) s
_ 8 __
12 5 *
Ako pa imenovalec ni popoln kub, razširiš ulomek toliko, da
postane imenovalec popoln kub, ki mu lahko določiš kubični koren.
Ko si določil števcu razširjenega ulomka kubični koren na potrebno
število decimalk, deliš števčev kubični koren z imenovalčevim ko¬
renom. N. pr.:
j/18
3
2-6207. .
3
= 0-8735. .
Navaden ulomek pa tudi koreniš, ako ga pretvoriš v decimalnega
in določiš le-temu kubični koren. N. pr.:
V§ =V0-6 — V0-666|666. . 0-8735. .
1546[66 : 192
1344 3 . 8 2 . 7
1176 3 . 8 . 7 2
343 73
Naloge.
81i63 : 2i2i707
13
2
8. Izračunaj na dva načina in napravi preizkus:
») Vif
b) V
_ 34 _ 3 _.
4 0 9 6 ’
13 31 -
3 3 7 5 ’
d) y'-
9 2 6 1 .
15625 ’
f) fio&i g) f41063|; h) f903^ 7 .
9. Izračunaj na dva načina na 3 decimalke:
*> Vf; b) y'l|; c) VS; d) y3|; e) f9^
Določevanje kubičnega korena občnih števil omejimo le na ne¬
katere slučaje, ki se prav pogostoma nahajajo, in sicer:
1. Potenco koreniš s 3, ako deliš potenčni eksponent s 3. -
3-
ya 3 = a, (a) 3 = a . a . a — a 3 ;
pa« = a 2 , (a 2 ) 8 = a 2 , a 2 , a 2 = a®.
Kako
koreniš
navaden
ulomek s

174
Kako deliš
občna
števila.
Kdaj moreš
kvocient
občnih števil
krajše
izraziti.
2. Produkt koreniš s 3, ako koreniš vsak faktor s 3.
J ,v k h* = \ a K }>)“ — a .h, (ab) 8 = a h . ah . ab = a SR
y 64 y 3 = V 64 = 4 y, (dj)« = 47.47.47 = 6473.
Naloge.
10. Izračunaj in napravi preizkus:
a) pa>2; h) c) jW ; d) ^27^6»;
e) pTŠ = ^8 . 2; /) ^54; 5) h) -fsi aTh
§ 60. Deljenje enočlenskih izrazov.
Število deliti s številom se pravi, iz produkta dveh faktorjev in
enega teh faktorjev poiskati drugega.
Občno število a deliš z občnim številom b, ako nakažeš njiju
deljenje: a : b ali: Kvocient (a : b) ali * je tedaj ono število, ki
ž njim pomnožiš divizor, da dobiš dividend. V znakih (§ 54 .)
b . (a : b) = (a : b) . b = a ali b ■ * = * • b == a.
Ker velja
a . b = ab, a . 1 = a, a.0 = 0
sledi po pojmu o deljenju veljavnost naslednjih enačb:
ab \ a — h, a : 1 = a, a : a = 1, 0 : a = 0, 0 : 0 = a.
Povej pravila, ki jih izražajo navedene enačbe! (§ 8.) Kaj po¬
meni a? Je-li pomen izraza 0 : 0, oziroma § določen?
Tudi kvocient dveh občnih števil moreš v nekaterih slučajih
krajše izraziti, in sicer:
1. Ako se nahajajo v dividendu vsi divizorjevi faktorji, izpustiš
v dividendu vse divizorjeve faktorje in kar ostane, je kvocient. N. pr.:
V izrazu 12*72 : 372 moreš napisati dividend v obliki ( 4 *) . (872)
in dobiš po pojmu o deljenju \ab : a — h\.
12*72 : 872 = 4 * . 372 : 37Z = 4 *; 372. 4 * = 12*72.
2. Ako sta dividend in divizor potence iste podloge, izpustiš v
dividendu toliko faktorjev, kolikor jih ima divizor, ostali faktorji
tvorijo kvocient. N. pr.: a 8 : a 5 = a 3 . V dividendu, ki ima 8 faktorjev a,
izpustiš 5 faktorjev, produkt ostalih treh faktorjev a pa napišeš v
obliki potence a 8 .

175
3. Ako imata dividend in divizor le nekatere skupne faktorje,
deliš dividend in divizor s skupnimi faktorji, ker s tem ne izpremeniš
kvocientove vrednosti (§ 8.). N. pr.: V izrazu 28a%c : < l\abx i imata
dividend in divizor skupne faktorje 7a bx; ako deliš oba s temi
faktorji, najdeš
28a *bx : 21 a bx 2 = 4a : 3x = — .
3x
Kakor so dekadične enote višjih redov potence števila 10 (§ 55.),
tako so tudi dekadične enote nižjih redov, kakor so enice, reciprokne
vrednosti potenc števila 10. N. pr.:
11 11.11
d = To = 101 ’ 100 10 2 ’ 1000 = To. M '
1-732 = 1 + lu +
10 2
6,9,8
0'69897 _ io + T0i + T0Š
10 8 ’
, 9
10 ' + 10 5 '
D . t
d: t —
s ;
10 8
S]
T.
Kako
napišeš
dekadične
enote nižjih
redov.
Vsako decimalno število tedaj lahko napišeš v obliki polinoma,
ki je urejen po potencah števila 10. N. pr.:
7,3,2
Pišoč dekadične enote v tej obliki, določiš produkt ali kvocient
dveh dekadičnih enot na sledeči način. N. pr.:
Ako sta dividend in divizor algebrajski števili, moraš pri dolo¬
čevanju kvocienta gledati na predznak in na absolutno vrednost. Ker
mora kvocient, pomnožen z divizorjem, dati v vsakem slučaju divi¬
dend za produkt, morata torej kvocient in divizor (faktorja) imeti
enaka predznaka, če je dividend pozitiven; različna predznaka pa,
če je dividend negativen. Torej je:
Kako deliš
algebrajska
števila.
(-|- a) : (-j- b ) — -f-
b'
(+ a ) • ( ^ i
(- a) : (+ *) = - p
(— a) : ( b) = + ^ •

176
Kvocient dveh algebrajskih števil je pozitiven, ako sta dividend
in divizor enako zaznamovana, negativen pa, ako sta dividend in
divizor različno zaznamovana. Kvocientovo absolutno vrednost pa
najdeš, ako deliš dividendovo absolutno vrednost z divizorjevo ab¬
solutno vrednostjo.
Naloge.
1. Izračunaj in napravi preizkus:
a) 36 xy: 4x; b) Sbabcd : 5 bd\ c) x 5 : * 2 ;
d) 8j 7 : 47 3 ; e) 12m 2 « : 6mn; /) 6a 3 # 4 : 3a 2 #;
g) 54* 3 y 3 : 6 xy z ', h) 39 x 2 y: 26 xy 2 \ i) 24 a 2 bx : 36s b 2 y..
2. Izračunaj s pomočjo potenc števila 10:
a ) S. d\ b) Dt. s\ c) S. dt; d) S . s;
e) 3 . st- f) d .s- g) D: S\ h) S: Dt\
i) E : d; k) d: t\ 1) dt : s\ m) st: m.
3. Izračunaj naslednje algebrajske kvociente:
a) (+ 3840) : (— 30); b) (— 2568) : (+ 12);
c) (— 106-33) : 4-9; d) (— 42-435) : (— 34- 5);
e) (+ 27a 5 ) : (- 3a 3 ); f) (— 51 a by 2 ) : (+ 3 67);
g-) (— 30 x 2 y) : (— 5 x i y)\ h) (-f- 48a 3 b 4 c): (— 16a 2 b 2 c).
4. Določi pomen in vrednost sledečih izrazov:
a) (35m 3 n 2 : 7m 2 ) : mn; b) (35m s n 2 ) : (Im 2 , mn);
c) (9a 6 b 4 : 6a 2 b) : 3ah 2 ; d) 90a 6 A 4 : (6a 2 b . 3ah 2 );
e) (4a 2 z . 10a 3 z 4) : 5a 3 z 3 ; /) 4a 2 z . (10a 3 z 4 : 5a 3 z 3 );
g) (42* 3 j 6 : 7* 2 _p) . 3*7 3 ; h ) 42a; 3 j 6 : (7x 2 7 . 3*p 3 );
i) [24a B b 3 x : 3a 2 b 2 ] -j- [35 a 6 b 2 x 2 : 5 a 2 hx\\
k) [32.r° : (4* 2 : 2«)] — [(32a: 6 : 4x 2 ) : 2x\.
[Kateri oklepaji so v gorenjih nalogah nepotrebni?]
5. Razreši oklepaje v naslednjih nalogah:
a) [(— 49-15) — (+ 13-85)] : [(— 10‘35) — (— 3• 35)];
b ) K- 15) (- 3) - (- 8) (+ 5)] : [- 20 + (+ 3)];
c) [(- 12) (+ 3) — (- 15) (- 2)] : [— 14 + (— 8)];
d) [(- 31) (- 2f) - (- 51) : (+ T V)] : [(- 4*) (- f) - 3];
e) [(- 80a 3 h 2 ) — (+ 48a 3 b 2 )] : [(-f 72a b 2 ) -f (— 40 ai*)];
/) [(— 138* 2 ,y 4 ) -f (+ 51 * 2 y 4 )] : [(— 58 x 2 y 2 ) — (— 29**7»)].

177
6 . Izračunaj z ozirom na § 55. sledeče kvociente:
a) (a 2 — A 2 ) : (a + A); A) (a 2 — h 2 ) : (a — A);
c) (^ 2 — 4) : (ar -|- 2); d) ( 7 2 — 9) : (7 — 3);
e) (4a : 2 — 49) : (2ar + 7); /) (25a 2 — 9A 2 ) : (5a — 3*);
g) (64/>* — 81 g 2 ) : (8jo — 9 g);
A) (16 a 2 A 2 — 9 ar*) : (4aA — 3ar 2 ).
7 . Z oklepaji oklenjene izraze smatraj za monome in izračunaj:
a) 3(a -j- b)x : (a -f- A); A) 6 (a — A ) 3 : 2(a — A) 2 ;
c) 15a 2 (ar — 7 ) : 5a(ar — 7 ); d) 12(a-j— Z») (x — 7 ): 2(ar — 7 );.
e) 21 (a -)- 2 A ) 8 (ar -j- 7 ) : 7 (a -j- 2 A) 2 ;
/) 25(r -j- 2 7) 6 : 5(ar -|- 27 )®.
8 . ) Toplomer je kazal nekega dne zjutraj — 15° (— 9°) C,
opoldne —j- 1° (-|— 4°) C in zvečer — 4° (— 1 °) C; kolika je bila po¬
vprečna dnevna temperatura?
§ 61. Deljenje mnogočlenskih izrazov.
Ker je (a -)- A • — c)d — ac/ —|— Ac/ — cd, mora biti po pojmu
o deljenju tudi nasprotno
ad bd cd
(ad 4- bd — cd) : d = a 4- A — c = ,—- - 7 -
' 7 1 d 1 d d
Polinom deliš z monomom, ako deliš vsak polinomov člen z
monomom in algebrajsko sešteješ delske kvociente.
Enačbo
ad -)- bd — cd = (a -)- A —- c) . d — d(a -j- A — c)
porabiš tudi v to, da izpostaviš polinomu skupni faktor. Ako
imajo vsi polinomovi členi skupen faktor, napišeš lalrko polinom v
obliki produkta iz skupnega faktorja in kvocienta, ki ga najdeš, ako
deliš polinom s skupnim faktorjem. N. pr.:
15a s ar -j- lOaV — 35aar 3 = 5aar(3a 2 -j- 2aar — lx‘).
Naloge.
1. Izračunaj naslednje kvociente in napravi preizkus:
a) (I2x -j- 4) : 4; A) (15ar — 257 ) : 5;
c) (8 a — lab) : -j- a; d) (ax — bx) : — ar;
e) (12a -j- 16A — 20c) : 4; /) (ar 3 — 2ar 2 + 3 ar) : ar;
Matek-Peterlin, Aritmetika. 12
Kako deliš
polinom
z monomom.
Izpostaviti
skupni faktor
= den ge-
meinsamen
Faktor
heraus-
heben.

178
Kako deliš
polinom s
polinomom.
g) (18 7* - 24+ 30 7 2) : - 6 y*\
h) (42 a 3 b — 35a 2 b 2 -|-21ab 3 ) :— lab',
i ) (5 a 3 — 35a 4 — 15a 6 -(- 10a 6 ) : — 5a 3 , pr.: a = — 2;
k) (35a 4 y 3 — 28a 3 y 4 — 14a 2 y 5 -|- 21ay«J : 7ay 3 , pr.: a — y\
l) (108a* 4 — 72a 2 * 3 — 36a 3 * 2 -J- 60a 4 ,r) : — 12a*, pr.: a = x.
2. Izpostavi naslednjim izrazom skupen faktor:
a) 9a -(- 18 b; b) 18a b — 27ac;
c) 9* 2 — 24 xy; d) 5(a — b)x — 2(a — b)y;
e) 2a 4 — 4a 3 -j- 6a 2 ; f) 6*“z 2 — 15*V -|- 25*z 4 ;
g) 18 x 3 y — 27 x 2 y‘ -j- 45 xy 3 \
h) 12a(£ — jr) —}— 16/)(a: — 7) — 28c(a: — 7).
Da najdeš pravilo, kako deliš polinom s polinomom, pomnoži
n. pr. 2:r 2 —j— 3a; — 4 s 3x — 5 ter skušaj najti iz produkta
6x 3 — x 2 — 21x -j- 20 in faktorja 2x 2 -)- 3x — 4 drugi faktor
3a; —-5 ali deliti (6af‘ — x 2 — 27a; -)- 20) z (2x- —|— 3a? — 4). Prvi
dividendov člen (6^ 3 ) je produkt prvega divizorjevega člena (2# 2 )
in prvega kvocientovega člena (3x). Prvi kvocientov člen je tedaj
6x s : 2x l — 3x. Če pomnožiš ves divizor s prvim kvocientovim
členom ( 3x ) ter odšteješ ta produkt od dividenda, najdeš prvi divi¬
dendov ostanek —10 x l — 15.r -f- 20, ki se v njem nahaja delski
produkt divizorja in drugega kvocientovega člena. Ker je prvi Člen
urejenega dividendovega ostanka (— ldx‘) produkt prvega divizor¬
jevega člena (2cc 2 ) in drugega kvocientovega člena (— 5), je torej
drugi kvocientov člen — 10 a: 2 : 2 a: 2 = — 5. če pomnožiš ves divizor
z drugim kvocientovim členom in odšteješ dobljeni produkt od prvega
dividendovega ostanka, najdeš drugi dividendov ostanek = 0. Ako
je pa ta ostanek od ničle različen, dobiš naslednje kvocientove
člene na isti način, kakor si dobil drugega. Račun napišeš tako-le:
(6a; s — x 2 — 27a? —j— 20) : (2x 2 -|- 3x — 4) == 3x — 5
6x s -j- 9x‘ — \2x
+
— lOa; 2 — 15x + 20
— 10:r 2 — 15* -f 20
+ _ +
0

— 179 —
Iz navedenega posnameš za delitev polinoma s polinomom to-le
pravilo:
1. Uredi, preden začneš deliti, na isti način dividend in divizor.
2 . Prvi kvocientov člen najdeš, ako deliš prvi dividendov člen
s prvim divizorjevim členom. Potem pomnožiš ves divizor s prvim
kvocientovim členom ter odšteješ ta delski produkt od dividenda.
3 . Prvi člen urejenega dividendovega ostanka deliš s prvim
divizorjevim členom in dobiš drugi kvocientov člen. Potem pomnožiš
ves divizor z drugim kvocientovim členom in odšteješ ta delski
produkt od dividendovega ostanka.
4. Naslednje kvocientove člene izračunaš iz naslednjih dividen-
dovih ostankov prav tako, kakor si našel drugi kvocientov člen.
Samo ob sebi se razume, da zapišeš v dividendove ostanke samo
toliko členov, kolikor jih ravno potrebuješ. Ako prideš pri deljenju
do ostanka, čigar prvi člen ni deljiv s prvim divizorjevim členom,
pretrgaš delitev. V tem slučaju dobiš delitveni ostanek in nepopoln
kvocient.
Deljenje si prav izvršil, ako je produkt divizorja in popolnega
kvocienta enak dividendu; produkt divizorja in nepopolnega kvocienta
je pa za delitveni ostanek manjši od dividenda. Hitreje napraviš
preizkus, ako zamenjaš v dividendu in divizorju za občna števila
posebne vrednosti, skrčiš člene in še-le potem izvršiš deljenje; ravno
tako zamenjaš v kvocientu za občna števila iste vrednosti in ako je
rezultat isti, kakor prej, si prav računal. Ako zamenjaš v gorenji
nalogi za x = 1, dobiš
I (6 — 1 — 27'+ 20) : (2 + 3 — 4) = — 2 : -f 1 = — 2,
II 3 — 5 = — 2.
Naloge.
3. Izračunaj naslednje kvociente in napravi dvojni preizkus:
a) (a 2 -f- 2 ah -)- tf) : (a -)- h),
b) (a 2 — 2 ah -f tf) : (a — b),
c) (* 2 — 7x -j- 12) : (x — 3),
d) (/ -j- 2y — 15) : (y — 3),
e) (25* 2 -j- 30* -|- 9) : (5* — 3),
/) (16 a 2 — 40 a* -j- 25* 2 ) : (4a — 5*),
g) (24* 4 — 38 a 2 * —j— 15 a 2 ) : (4* 2 — 3 a),
pr.: a = 5, b = 2;
pr.: a = 4, b — 3;
pr.: * — 4;
pr.: y = — 7;
pr.: x = 2;
pr.: a = *;
pr.: a = 3, * = 2;
12 *
Kako
napraviš
preizkus.

180
4. Izračunaj sledeče kvociente in napravi preizkus:
a) (Qx s — Ibx 2 12x — 3) : (x 2 — 2x -j- 1), pr.: x = 3;
A ) (6-|-2a — 23a 3 -|-49a 3 —30a 4 ) : (2 -J-4a— 5a 2 ), pr.: a —2;
c) (2x 6 -)- 6x i — 41 £C a —j— 47x 2 — 21 a; —j— 22) : ( x 2 5x — 11),
pr.: x = — 1;
d) (12a?* -j- x 3 y — x 2 y 2 -j- 14arp 3 — 48j 4 ) : (4x 2 — xy -|- 8y2 ),
pr.: x = y;
e) (2 a 4 — 3 a 2 A 2 + 3aV -f b 4 — h‘c 2 — 2 c 4 ) :.(2a 2 — A 2 — c 2 );
f) ( 7 6_2^_ 774 + 207 3 -21/-18^4-27):(/-2y-3),
pr.: 7=1.
5. Izračunaj ravno tako:
a) (5aA — 6 b 2 -j- 6a 8 ) : (2a -j- 3 A), pr.: a = A;
A) (97 — 467 2 + 5 — 327 4 ) : (— 37 -f — 1), pr.: 7 = — 1;
c) (26/n 2 — 15/n 3 —j— 4 —j— 4/n 4 — 15/n) : (1 — 3 m -j- 4/n 2 ),
pr.: m = 3;
</) (3 a 2 — 2 a -j- 5 a 3 -j- 24) : (a -j- 2), pr.: a = 5;
e) (8* 5 72 — 11 £t7 s 7—j— 1 Oa? 7 — l2x 3 y i -\-17x i y 3 ): (2*7 — 3 y' -j- 5a; 2 ),
pr.: x = 7;
/) (6 a 2 -j- a 6 — 5 a 4 — 1) : (2a — a' ! -(- 1 — a 3 ), pr.: a = — 2.
6. Izračunaj sledeče kvociente in napravi preizkus a) z množe¬
njem, /3) z zamenjanjem, 7) da urediš polinome drugače, kakor so
zdaj urejeni:
a) (81 a 4 — 16A 4 ) : (3a — 2A), pr.: a = A;
A) (a 4 -|- 4 A 4 ) : (a 2 — 2 aA -j- 2 A 2 ), pr.: a = 3, A = 2;
c) (8x 6 -(- 27) : (4a? 4 — 6x‘ -j- 9), pr.: x — — 2;
d) (1 —j— 2a; 2 — lx i — 16a? e ): (1 —j— 2a? —j— 3£C 2 -j - 4/r 3 ), pr.: = — 1;
e) (2a; 4 -j- 7bx 3 -j- AV -j- 2A 3 # -f- 24A 4 ) : (2x 2 — 3bx -j- 4A a ),
pr.: x = A;
f) (24 A 4 — 38 aA 3 -j- 31 a 2 A 2 — 13a s A-|- 2 a 4 ): (4 A 2 — 3aA-|- 2 a 2 ),
pr.: a == A;
g) (25 -)- 5la 2 — 6 a 4 — 49 a 6 ): (5 — 3 a -j- 6 a 2 — 7a 3 ), pr.: a = — 1;
h) (32a l0 /n 6 — 243ic 10 ) : (2a 2 zn — 3x 2 ), pr.: a = x, m — 1;

181
i) (1 — 64a 6 ) : (1 — 2a + 4a 2 — 8a 3 -j- 16a 3 — 32a B ),
pr. ; a = — i;
k) [(6 — 40® + 86» 2 — 60® 3 ) : (3 — 5®)]: (1 — 3®), pr.: x = — 1;
l) [(24— 98® 3 -j- 85® 2 + 64® — 80) : (4® — 5)] : (3® — 4),
pr.: x — 2.
§ 62. Uporaba množenja in deljenja za razreševanje
enačb.
. Enačba 1 x = 21 izrazi isto, kar naloga: „Katero število moraš
množiti s 7, da dobiš 21?“ Ker poznaš produkt in en faktor, dobiš
drugi faktor, ako deliš produkt z znanim faktorjem, x = 21 : 7 = 3.
Preizkus se glasi: 7.3 = 21.
oc
2. Enačba — = 4 izrazi nalogo: „Katero število moraš deliti s 5,
da dobiš 4?“ Ker poznaš divizor in kvocient, najdeš dividend, ako
pomnožiš kvocient z divizorjem (§8). x = 4 . 5 = 20. Preizkus:
2 -° = 4.
5
Iz navedenega izvajaš praktično uporabljivo pravilo:
Enačben koren se ne izpremeni, ako množiš ali pa deliš oba
enačbena dela z istim številom.
Naloge.
1. Razreši naslednje enačbe in napravi preizkus:
a) 7® = 63; b)56y=8; c)9z = — 12;
d) 5®+ 14 = 49; e) 27— 11= 23; /)13 — 4z = .5;
g) 6® — 9 = 9 — 3.r; h) 44 —-7=37+4; 1) 3.7 — 4z = 12 — 7 z.
2. Razreši oklepaje in določi koren sledečim enačbam:
a) 12 (x — 1) = 3 (oc + 8);
b) 4(2y — 1) = 5(7+ 1);
c) 7(2 z + 1) = 4 (4 z + 1);
d) 3{x — 3) + 12 = 33 — l{x — 10);
e) 7 — 3 (27 — 1) — 5 (37 — 2) = 0;
/) 6 (z — 2) — 2 (3 z + 1) = 1 — 4 (2 z + 3).
Kako dobiš
neznanko s
koeficientom
i.
Kako
odpraviš
ulomke iz
enačbe.

182
3. Odpravi iz naslednjih enačb najprej ulomke s tem, da po¬
množiš oba enačbena dela z najmanjšim skupnim imenovalcem, raz¬
reši enačbe in napravi preizkus:
a)
= t
’ 4 6
3 x .
-g~ + 4 = 7 ;
c) z
o z
= 2 ;
v* /y>
N »C | w I
2+3+4
+ 18
13;
_ 7.
~ 5’
,, x , x
d) 2 + 3 - ° ;
3 z . 5 z j 2
fl- + -«- = 4 i + T'
e) ¥+¥ = 19;
4. Rombov obseg meri 56 cm; koliko meri njegova stranica?
5. Obseg enakokrakega trikotnika meri 42 cm, . osnovnica pa
12 cm; koliko meri krak?
6. Obseg enakokrakega trapeza meri 46 m, vzporednici pa 15 m
in 7 m; koliko meri krak?
7. Kot pri vrhu enakokrakega trikotnika meri 36°; koliko meri
kot na osnovnici?
8. Paralelogramova ploščina p = o . v; kolika je osnovnica o
(višina v) ? (p = 108 cm\ v — 9 cm.)
O • V
9. Trikotnikova ploščina p = ■ kolika je osnovnica o (vi-
A
šina v)? (p — 135 dm 2 , v = 30 dm.)
10. Krogov obseg o = 2r/r; kolik je polumer r? (o = 131 cm.)
11. Višina enakostraničnega trikotnika v = ~j/3; kolika je
A
stranica a? (§ 57.) (v = 6 cm.)
a I b
12. Trapecova ploščina p = —— . v; kolika je višina v
A
(vzporednica a, oziroma vzporednica b)? (p — 105 cm'\ v = 7 cm,
a = 16 cm.)
13. Kvadrova prostornina k = a . b . c; kolik je rob a (ozi¬
roma b, c)? {k = 504 cm 8 , a = 7 cm, c = 9 cm.)

183
§ 63. Uporaba vzmnoževanja in korenjenja za razreše¬
vanje enačb.
1. Enačba x‘ — 25 izrazi isto, kar naloga: „Poišči število, čigar ^
kvadrat je 25“. To število je kvadratni koren števila 25 (§ 57.). neznanke.
x = "j/25 = 5, ker je 5 2 = 25.
2. Enačba / s = 64 izrazi: »Katero število moraš kubovati, da
dobiš 64“, ali: „Poišči število, čigar kub je 64.“ To število je kubični
S.-
koren števila 64. y 64 = 4, ker je 4 S = 64.
3. Enačba Yx = 7 izrazi isto, kar naloga: „Katero število moraš o ^°._
koreniti z 2, da dobiš 7 ?“ Ker je radikand enak kvadratu kvadrat- koren
. .- iz enačbe.
nega korena, je x = 7 2 = 49. Preizkus y49 = 7.
4. Kaj izrazi enačba j/j =8? y = 8 3 = 512.
Enačben koren se ne izpremeni, ako vzmnožiš ali pa koreniš
oba enačbena dela z istim številom.
Naloge.
1. Razreši naslednje enačbe in napravi preizkus:
a) x‘ = 49; h) 3 f — 27; c) 2z 2 — 12 = 60;
d) x 3 = 343; e) 2y s = 250; /) 5z 3 + 7 = 47;
g) V* = 11; h) 3 Vr = 24; i) 5VŽ — 3 = 17;
k) \/x = 5; 1 ) 3 \/y = 21; ni) 2j/z — 5=9.
2. Razreši sledeče enačbe, da smatraš najprej za neznanko izraz
v oklepaju:
a) (x l) 2 = 25; b) 2 (y — 3) 2 = 18;
c) 3 (z — l) 2 -f 8 = 20; d) (x — 2) 8 = 27;
e)3(7+l)s = 375; /) 2 (z — 4)» + 5 = 21;
g) V( x + 9 ) = 5 ;
h) 31 !7 . 2 ) = 12 ;
/) 2y(2y — 4) = 8.
3. Kvadratova ploščina p = a 2 ; kolika je stranica a? (Izrazi v tej
in naslednjih nalogah rezultat z besedami!) (p = 3969 cm\)
4. Kockina površina p = 6 a 2 ; kolik je rob a? (p = 150 cm\)
5. Krogova ploščina p = r 2 + kolik je polurnem? (p = 78 • 54 cm 2 .)

184
6. Kroglina površina p — 4 /- 2 /r; kolik je polumer /•? (p =
= 66'48 c/22 2 .)
7. V pravokotnem trikotniku velja a 2 -j- b 2 = c'; izrazi vsako
izmed trikotnikovih stranic z ostalima!
(a = 8 cm, b — 15 c/22; a = 12 <7/22, c == 13 dm; b = 12 m,
c = 20 /22.)
8. V enakostraničnem trikotniku velja = v 2 -)- ; kolika
je višina v (stranica s)? (s — 8 c/22; v = 12 (7/22.)
■S 2 r-
9. Ploščina enakostraničnega trikotnika /2 = j \ 3; kolika je
stranica s? (§57.) {p = 9 <7«2®.)
10. Kockina prostornina k = a B ; kolik je rob a? (£ = 50653 c/22 3 .)
11. Kroglina prostornina k = f r 3 /;;; kolik je polumer r?
(£ = 1372-8 / 7 / 22 3 .)
12. Površina enakostraničnega valja p '= 6 r 2 /r; kolik je polu¬
mer r? (72 = 29 • 1 dni\)
13. Prostornina enakostraničnega valja k = 2 r 3 /;-; kolik je
polumer r? (k = 46'796 c?«/ 3 .)
14. Površina enakostraničnega stožca p = 3 r n ; kolik je polu¬
mer r? (/2 = 199'43 (/m 2 .)
r 3 ?rl/3
15. Prostornina enakostraničnega stožca k =-—; kolik je
O
polumer r? (7r = 60 c/22 3 .)

NARODNA IN UNIUERZITETNA
KNJIŽNICA
00000048 "