UDK/UDC 539.4:691.54 ISSN 1580-2949 Izvirni znanstveni članek/Original scientific article MTAEC9, 41(4)179(2007) IZRAČUN PARAMETROV WEIBULLOVE PORAZDELITVE ZA OCENO UPOGIBNE TRDNOSTI VALOVITIH STREŠNIH PLOŠČ COMPUTATION OF THE PARAMETERS OF THE WEIBULL DISTRIBUTION FOR ESTIMATING THE BENDING STRENGTH OF CORRUGATED ROOFING SHEETS Milan Ambrožič1, Krunoslav Vidovič2 'Institut "ložef Stefan", lamova 39, 1000 Ljubljana, Slovenija 2Esal, d. o. o. Anhovo, Vojkova 9, 5210 Deskle, Slovenija milan.ambrozicŽijs.si Prejem rokopisa – received: 2006-11-20; sprejem za objavo - accepted for publication: 2007-02-21 V članku je opisana uporaba Weibullove porazdelitve pri vrednotenju večkratnih meritev nekaterih mehanskih veličin valovitih strešnih plošč iz vlaknocementa, ki so bile izdelane v redni proizvodnji podjetja Esal, d. o. o. Anhovo. Tu se omejimo na zlomno silo pri prečni upogibni obremenitvi plošče in zlomni moment pri vzdolžni upogibni obremenitvi. V vsakem primeru smo izračunali oba Weibullova parametra, od katerih je pomemben predvsem Weibullov modul, ki podaja širino porazdelitvene funkcije merjene veličine. Ključne besede: vlaknocementi, valovite strešne plošče, mehanske lastnosti, Weibullova statistika In this paper the application of the Weibull distribution for the evaluation of repeated measurements of some mechanical quantities on corrugated roofing sheets made from fibre-cement composites in the serial production of the company Esal d.o.o. Anhovo is described. The focus is on the breaking force in the transversal bending, loading and breaking moment during the longitudinal bending loading of the plate. For all cases the two Weibull parameters were calculated; especially important is the Weibull modulus, which gives the width of the distribution function of the measured quantity. Key words: fibre-cement composites, corrugated roofing sheets, mechanical properties, Weibull statistics 1 UVOD Vlaknocementi (VC) so kompoziti iz cementa in ojačitvenih vlaken, ki povečajo natezno in upogibno trdnost materiala; znano je namreč, da sam hidratizirani cement zdrži veliko večje tlačne obremenitve kot natezne. Zaradi nevarnosti za zdravje so azbestna vlakna v VC nadomestili z drugimi: z naravnimi (npr. lesno celulozo iz drevesnih vrst, ki so razširjene na področju uporabe vlaknocementnih izdelkov) in sintetičnimi (steklenimi, ogljikovimi, polivinilalkoholnimi itd.).16 Od sintetičnih organskih vlaken so med najustreznejšimi tista iz polivinil alkohola (PVA). V podjetju Esal, d. o. o., v Anhovem, ki je mešana družba Salonita Anhovo in Eternita iz Švice, uporabljajo PVA-vlakna za izdelavo vlaknocementov za valovitne strešne plošče. Glede na število celih valov v plošči, 5 ali 8, označujemo plošče na kratko V5 ali V8. Pri razvoju novih VC gradbenih elementov in tudi med velikoserijsko proizvodnjo je treba s standardnimi preizkusi preveriti različne mehanske lastnosti materiala in izdelkov, tudi glede na namenskost in na klimatske razmere okolja, kjer naj bi izdelke vgrajevali79. Veliko je proizvodnih parametrov, s katerimi lahko izboljšamo kakovost vlaknocementnih izdelkov51013. Kar se tiče samih ojačitvenih vlaken v cementni matrici, so pomembni vrsta, volumenski delež, dolžina in poravna- nost vlaken5. Pri izbiri vrste vlaken je treba med drugim upoštevati njihov elastični modul, natezno trdnost in površinske lastnosti, ki omogočajo dober spoj med vlakni in cementno matrico. Poleg optimalnih mehanskih lastnosti izdelkov je treba gledati tudi na proizvodne stroške, saj so sintetična vlakna relativno draga. Tako je najugodnejši volumenski delež PVA-vlaken nekaj odstotkov. Izmerjene vrednosti značilnih mehanskih lastnosti končnih izdelkov, npr. zlomne sile, navadno ustrezajo Weibullovi porazdelitvi, posebno pri krhkih materialih, kot sta keramika in cement1419. Weibullovo porazdelitev so uspešno uporabili na številnih področjih, npr. v strojništvu, gradbeništvu, pri inženirski keramiki in biokeramiki2024. Navadno se uporablja 2-parametrična Weibullova porazdelitev, ki bo podrobneje opisana v nadaljevanju, v nekaterih primerih pa je ustreznejša uporaba 3-parametrične Weibullove porazdelitve. Pri vsaki seriji izdelanih plošč izmerimo v Esal-u nekatere mehanske lastnosti na nekaj vzorčnih ploščah, to je navadno od 12 do 15 preizkusnih plošč na teden. Tako se je nabralo že veliko število meritev in v tem prispevku bomo spoznali, da se dajo izmerjene mehanske količine na ploščah dobro opisati z 2-parametrično Weibullovo porazdelitvijo. Opisana bo koristnost uporabe Weibullove porazdelitve pri napovedi mehanskih Materiali in tehnologije / Materials and technology 41 (2007) 4, 179-184 179 M. AMBROŽIČ, K. VIDOVIČ: IZRAČUN PARAMETROV WEIBULLOVE PORAZDELITVE ... lastnosti izdelkov v velikoserijski proizvodnji. Za inženirja in za uporabnika vlaknocementnih izdelkov so Weibullovi diagrami nazoren prikaz statistične porazdelitve vrednosti merjene veličine in s tem mehanske zanesljivosti vlaknocementnih izdelkov. 2 SESTAVA IN DIMENZIJE VALOVITIH STREŠNIH PLOŠČ V5 O sestavi in izdelavi vlaknocementnih izdelkov po Hatzschekovemu postopku je v tej reviji že bil objavljen prispevek11.Tu omenimo le, da so vhodne surovine za izdelavo strešnih plošč portlandski cement, voda, polnila in vlakna. Poleg ojačitvenih PVA-vlaken se uporabljajo tudi celulozna vlakna, med drugim zaradi olajšanja proizvodnega postopka. Skupni masni delež celuloznih in PVA-vlaken v navadni redni proizvodnji strešnih plošč je 6,1 % glede na trdne sestavine (brez vode in zraka); od tega je 1/3 masnega deleža PVA-vlaken in 2/3 celuloznih vlaken. Pri opisu dimenzij se omejimo na plošče V5, ki jih v Esalu izdelajo več kot plošč V8. Geometrijo plošč V5 določajo parametri: širina W = 920 mm, dolžina L = 1250 mm, valovna dolžina profila X = lil mm, višina profila (dvojna amplituda vala) H = 51 mm, debelina T č 6 mm. 3 MERJENJE MEHANSKIH LASTNOSTI PREIZKUSNIH PLOŠČ Neposredno pred mehanskimi preskusi se plošče namakajo 24 h v vodi. S tem simuliramo slabše vremenske razmere; po namakanju se namreč poslabšajo mehanske lastnosti plošč. Izmerili smo različne mehanske lastnosti plošč V5, od katerih v tem prispevku opišemo le zlomno silo pri prečni upogibni obremenitvi (glede na valove plošč, slika la) in zlomni moment pri vzdolžni obremenitvi (slika lb). Za merjenje zlomne sile smo uporabljali laboratorijsko merilno napravo BP-10, Walter+Bai AG, Švica, ki ima merilno območje od 2 kN do 10 kN. Glede eksperimentalnih pogojev, kot so geometrijski parametri, smo upoštevali standarda EN 49425 in DIN 274/126. Razdalje na sliki la so podane v milimetrih. Naprava neposredno izmeri silo FT pri prečnem (transverzalnem) zlomu, medtem ko zlomni moment ML pri vzdolžnem (longitudinalnem) zlomu izračunamo iz zlomne sile FL in geometrijskih parametrov: MT =-±LL (1) L 4L kjer je Ls razmik med sredinama podpor, L pa dolžina plošče. Enota za moment je sicer N m, vendar pa računamo zlomni moment na dolžinsko enoto plošče; da poudarimo to renormalizacijo zlomnega momenta, bomo zanj pisali enoto N m/m. Relativne napake pri meritvah so približno 0,5 % za silo in 0,1 % ali manj za Slika 1: Geometrija pri prečni (a) in vzdolžni (b) upogibni obremenitvi plošče V5 glede na evropska standarda EN 494 in DIN 274/1 Figure 1: Geometry for transversal (a) and longitudinal (b) bending loading of the plate V5, in agreement with the European standards EN 494 and DIN 274/1 dolžinske dimenzije. Zato lahko iz enačbe (1) ocenimo še relativno napako za zlomni moment, to je 0,7 %. Omenimo še, da lahko pri obeh načinih upogibne obremenitve izračunamo tudi druge veličine, npr. efektivno upogibno trdnost materiala. Zaradi valovite geometrije plošč je treba upogibne trdnosti računati numerično, in merilna naprava je povezana z računalnikom, ki ima ustrezni računalniški program. 4 STATISTIČNA OBDELAVA PODATKOV Velikokrat se pri statistični obravnavi izmerjenih ali izračunanih podatkov zadovoljimo z izračunom povprečne vrednosti in standardne deviacije veličine, ki pa nam ne povesta vse informacije o statistični porazdelitvi vrednosti merjene veličine. Zato je priporočljivo najprej ugotoviti (če je to mogoče!), za katero statistično porazdelitveno funkcijo v danem primeru sploh gre, potem pa najti proste parametre te funkcije. Čeprav se verjetno v večini primerov pri statistični obravnavi za večje množine podatkov uporabi Gaussova porazdelitev, je za nekatere mehanske lastnosti konstrukcijskih materialov (kovine, keramika, cement in beton) ustreznejša Weibullova porazdelitev. 180 Materiali in tehnologije / Materials and technology 41 (2007) 4, 179-184 M. AMBROZIC, K. VIDOVIC: IZRAČUN PARAMETROV WEIBULLOVE PORAZDELITVE ... Označimo merjeno veličino z x. Njeno porazdelitev lahko opišemo s katerokoli od naslednjih dveh funkcij. Prva je navadna porazdelitvena funkcija ali verjetnostna gostota p(x), tako da pomeni njen določeni integral P(a < x < b) = b p(x)dx (2a) verjetnost, da bo izmerjena vrednost veličine x ležala med vrednostima a vab. Druga funkcija je kumulativna porazdelitvena funkcija P(x) = jp(x')dx' (2b) ki pomeni verjetnost, da bo izmerjena vrednost dane veličine ležala med teoretično najmanjšo možno vrednostjo xmin in variabilno vrednostjo x. Tako sta 2-parametrični Weibullovi porazdelitveni funkciji naslednji: / \ m-l f / \ m \ p(x) m exp x P(x) = 1 - exp x (3a) (3b) Weibullova parametra sta Weibullov modul m in umeritveni parameter x0 (angleško scale parameter). Parameter x0 v literaturi imenujejo tudi karakteristični parameter: če je merjena veličina x na primer sila F, potem ta parameter označimo z F0 in ga imenujemo karakteristična sila. Weibullov modul je brezdimenzijski in je za značilne krhke snovi veliko večji od 1, karakteristični parameter pa ima dimenzijo spremenljivke x. Oba parametra določata širino krivulje p(x): čim večji je m in čim manjši x0, tem ožja je krivulja, hkrati x0 podaja tudi pričakovano vrednost spremenljivke x (enačbi 5). Čeprav funkciji p(x) in P(x) dajeta ekvivalentno informacijo o statistični porazdelitvi, je za relativno majhno število izmerjenih vrednosti spremenljivke x primernejša direktna uporaba funkcije P(x). Funkcijo P(x) bomo na kratko imenovali Weibullova funkcija. Njeni mejni vrednosti sta P(0) = 0 in P(c°) = 1, pri čemer je teoretično najmanjša možna vrednost veličine x kar enaka nič. Omenimo še, da dobimo 3-parametrično Weibullovo statistiko iz 2-parametrične tako, da dodamo še parameter premika xmn in v desnih straneh enačb (3) naredimo transformacijo x -» x - xČ; to pomeni, da je teoretično najmanjša možna vrednost veličine x enaka xmin namesto nič. Sliki 2 prikazujeta 2-parametrično Weibullovo funkcijo za m = 10 v naravni skali in v skali, kjer je graf lineariziran. Sliki ponazorita tudi geometrijski pomen obeh parametrov: Weibullov modul m je smerni koeficient premice v lineariziranem grafu, pri x = xo pa je verjetnost P enaka 1 - lie č 63,2 %, temu pa ustreza točka (0, 0) v lineariziranem grafu (krožca na obeh slikah). Slika 2: Graf funkcije P(xIxq) za m = 10; a) naravni spremenljivki, b) linearizirani graf s prirejenima spremenljivkama. Območje neodvisne spremenljivke v grafu (b) ustreza intervalu x/xq od l/e do e, v mejnih točkah pa je verjetnost P praktično 0 in 1. Figure 2: Diagram of the function P(x/xq) for m = 10; a) natural variables, b) linear diagram with transformed variables. The range of the independent variable in diagram (b) corresponds to the interval x/xq from l/e from e, while the probability P is practically 0 and 1, respectively, for these limit points. Pri danem statističnem vzorcu imamo N izmerjenih ali izračunanih vrednosti spremenljivke x, ki jih označimo z xiu Cilj je najti Weibullova parametra, ki najbolj ustrezata statističnemu vzorcu16'2732. Vrednosti xi najprej uredimo po velikosti od najmanjše do največje. Nato vsakemu (i-temu po vrsti) izmerku priredimo še ocenjeno verjetnost Pf, za kar obstaja več načinov, največkrat pa se uporablja preprosta enačba: n i- 0,3 N + 0,4 (4) Tako dobimo N urejenih parov (x„ Pi)» ki jim priredimo Weibullovo funkcijo, tako da se jim najbolj prilega. Pri tem si pomagamo z linearizacijo enačbe (3b), kot prikazuje slika 2b. Povleči moramo premico, ki se najbolj prilega množici točk v transfomikanem kordi-natnem sistemu. Namesto prikaza na sliki 2b raje uporabljamo posebne Weibullove diagrame z originalnima spremenljivkama in nelinearno skalo, kot je prikazano na sliki 3.16 Ko sta Weibullova parametra znana, lahko izračunamo različne statistične veličine, kot sta pričakovana vrednost in standardna deviacija ox veličine x: 1 =x„ r i+ m r i+- m r2 i+ m (5a) (5b) kjer je T gama funkcija. Ker sklepamo o statistični verjetnosti iz omejenega števila podatkov, sta izračunana parametra m in x0 pravzaprav le oceni in ne natančni teoretični vrednosti, pa čeprav bi bila sama porazdelitev res natančno Materiali in tehnologije / Materials and technology 41 (2007) 4, 179-184 181 M. AMBROZIC, K. VIDOVIC: IZRAČUN PARAMETROV WEIBULLOVE PORAZDELITVE ... Weibullova.27 Zato navadno podajamo interval 90 % zaupanja (na kratko 90 % IZ); npr. če je za parameter m ta interval enak 90 % IZ = 8-12, to pomeni, da lahko pričakujemo z verjetnostjo 90 %, daje prava vrednost m res med 8 in 12. 5 REZULTATI IN RAZPRAVA Kot zgled vzemimo izmerjene vrednosti FT in ML za nebarvane plošče V5 z zgoraj navedenimi merami iz redne proizvodnje v letih 2003 in 2004, kar nam da okrog 400 meritev za obe leti skupaj za vsako mehansko veličino. Vrednosti smo ovrednotili z Weibullovo statistiko, kjer je spremeljivka x sila FT ali moment ML. Rezultate za N = 50, 100, 200 in 400 podatkov za obe veličini prikazujeta tabeli 1 in 2; pri tem za prve tri vrednosti N vzamemo po vrsti podatke iz leta 2003, za N = 400 pa podatke obeh let. Po standardu EN 494 naj bi se sicer sila FT preračunala na 1 m širine plošče, vendar je zaradi nazornosti v tabeli 1 prikazana izmerjena sila za dejansko širino 920 mm; preračun za širino 1 m bi nam dal nekaj večje vrednosti, kot so v tabeli. Weibullov modul m je v vseh primerih reda velikosti 10, kar je značilno za krhke konstrukcijske materiale, kot so keramika in cementni kompoziti. Korelacijski koeficient p v zadnjem stolpcu tabele pove, kako dobro se Weibullova funkcija prilega eksperimentalnim podatkom; pri tem p = 1 pomeni popolno ujemanje. Zaradi večje nazornosti je v tabeli zapisan v odstotkih. Ugotavljamo, da je p v vseh primerih nad 96 %, torej Weibullova porazdelitev zelo dobro opisuje podatke. Poleg ocenjenih vrednosti Weibullovega modula m in parametra FT0 ali Mlo, ki ustreza parametru x0 v enačbah (3), prikazujeta tabeli tudi ustrezne 90-odstotne intervale zaupanja. Intervali zaupanja za m so za N = 50 dokaj široki, ker je to še vedno premajhen vzorec za zares zanesljivo statistiko. Z naraščajočim N se vsi intervali zaupanja postopoma ožajo, in za m je 90 % IZ okrog desetine ocenjene vrednosti m šele pri N = 400. Za preizkus smo z uporabo naključnega generiranja števil izvedli tudi numerično simulacijo Weibullove porazdelitve za dan par parametrov m in x0 in izračunane „naključne” vrednosti xi statistično obdelali podobno, kot da bi bili eksperimentalni izmerki. Ugotovili smo podobno ožanje 90 % IZ za m in x0 kot pri obdelavi pravih eksperimentalnih podatkov. V tabelah sta podane tudi ocene za pričakovano vrednost (PV) in standardno deviacijo (SD) veličin, izračunane iz enačb (5); te vrednosti so blizu vrednostim, dobljenimi s standardnimi statističnimi obrazci, npr.: - 1 N Nt? Tako kot za oba Weibullova parametra lahko izračunamo tudi 90%IZ za PV in SD zlomne sile in momenta, vendar jih tu ne navajamo. Sliki 3 prikazujeta prilagoditev Weibullovih diagramov v nelinearni skali eksperimentalnim podatkom (N = 50) za zlomno silo in moment pri obeh načinih obremenitve. Narejeni sta bili s komercialnim programom za Weibullovo porazdelitev Reliasoft’s Weibull ++.16 Čim večja je strmina premice, tem ožja je statistična porazdelitev in manjša je verjetnost, da bodo v vsakdanji rabi izdelki odpovedali pri relativno majhnih mehanskih obremenitvah. Pri znanih Weibullovih parametrih lahko s preureditvijo enačbe (3b) izračunamo, kolikšna je pri podani verjetnosti, npr. P = 10 %, mejna vrednost veličine (sile ali momenta), tako da pričakujemo z verjetnostjo P, da bo meritev količine dala vrednost, manjšo od mejne vrednosti. Nekaj zgledov je prikazanih v tabeli 3 za Weibullova parametra, ki ustrezata tabelama 1 in 2 pri N = 400. Tabelo 3 je treba pravilno razumeti: na primer, podatek za mejno silo 3518 N pri verjetnosti 0,1 % Tabela 1: Parametri Weibullove porazdelitve za prečno zlomno silo Ft Table 1: Weibull parameters for the transversal breaking force Ft N m Fto/N PV, SD/N p/% ocena 90 % IZ ocena 90 % IZ oft 50 11,63 9,86-13,72 6625 6475-6778 6341 661 97,0 100 12,71 11,40-14,16 6452 6355-6551 6196 594 97,5 200 11,70 10,83-12,65 6167 6093-6242 5904 612 96,7 400 12,29 11,63-12,98 6172 6124-6219 5919 586 98,3 Tabela 2: Parametri Weibullove statistike za vzdolžni zlomni moment Ml Table 2: Weibull parameters for the longitudinal breaking moment Ml N m Mlo/ (N-m/m) PV, SD/(N-m/m) p/% ocena 90 % IZ ocena 90 % IZ Oml 50 10,74 8,90-12,95 99,81 97,57-102,10 95,23 10,71 99,0 100 11,32 9,93-12,89 98,52 97,01-100,05 94,20 10,08 98,6 200 11,04 10,11-12,06 96,54 95,44-97,65 92,22 10,10 98,6 400 11,21 10,57-11,88 97,75 96,96-98,55 93,43 10,09 98,7 182 Materiali in tehnologije / Materials and technology 41 (2007) 4, 179-184 M. AMBROŽIČ, K. VIDOVIČ: IZRAČUN PARAMETROV WEIBULLOVE PORAZDELITVE ... a) Zlomna sila 30,00 lj S ) I 50,00 J / * / 5,00 • 1,00 ¦ FT /N Zlomni moment 39,00 30,00 10,00 5,00 b) - 100,00 ML /(Nm/m) Slika 3: Weibullova grafa P(FT) (a) in P(ML) (b) za N = 50 meritev Figure 3: Weibull diagrams P(FT) (a) and P(ML) (b) for N = 50 measurements pomeni, da pričakujemo, da bo počila komaj ena od tisoč plošč pri prečni sili manj kot 3518 N. Tabela 3: Mejne vrednosti zlomne sile in zlomnega momenta pri dani verjetnosti Table 3: Limiting values of the breaking force and breaking moment for a given probability P/(% Ft /N ML/(N-m/m) 10 5139 79,97 1 4245 64,85 0,1 3518 52,79 6 SKLEP Dvoparametrična Weibullova funkcija dobro opisuje porazdelitev zlomnih sil in momentov pri prečni in vzdolžni upogibni obremenitvi valovitih strešnih plošč V5 iz vlaknocementa. Vizualizacija podatkov z grafi (sliki 3) daje nazoren prikaz ujemanja med meritvami in Weibullovo porazdelitvijo. Čim večja je strmina premice, kar pomeni večji Weibullov modul m, tem večja je mehanska zanesljivost izdelkov, tj. manjša je verjetnost (pri istem parametru x0), da se bodo plošče zlomile pri majhnih obremenitvah. To je posledica dejstva, da pomeni večji Weibullov modul manjše nihanje zlomnih obremenitev – manjšo standardno deviacijo. Ugotovitev ponazorimo z nekaj številkami. Vzemimo zaokroženo vrednost karakteristične zlomne sile F0 = 6000 N, Weibullov modul pa naj bo 10 ali 15. Vrednost m ne vpliva bistveno na povprečno zlomno silo : ta je enaka 5708 N pri m = 10 in 5794 N pri m = 15. Močno pa se spremeni verjetnostna porazdelitev za manjše sile. Za zgled vzemimo mejno silo 4000 N: pri m = 10 je verjetnost, da se izdelek zlomi pri manjši sili od dane vrednosti 4000 N, enaka 1,72 %, pri m = 15 pa je ta verjetnost samo še 0,23 %. Pri oceni statističnih parametrov se moramo zavedati, da se lahko ta ocena zelo odmika od dejanske vrednosti parametrov. Iz tabel 1 in 2 je razvidno, da je za 400 podatkov pričakovani interval (z 90-odstotnim zaupanjem) za resnično vrednost Weibullovega modula širok okrog 10 % izračunane vrednosti tega parametra, medtem ko je izračun drugega parametra Weibullove porazdelitve (FT0 ali ML0) zanesljivejši. 7 LITERATURA 1 J. B. Studinka, Asbestos substitution in the fibre cement industry. The International Journal of Cement Composites and Lightweight Concrete, 11 (1989), 73–78 2 H. Savastano, P. G. Warden, R. S. P. Coutts, Potential of alternative fibre cements as building materials for developing areas, Cem. Concr. Compos., 25 (2003), 585–592 3 R. S. P. Coutts, A review of Australian research into natural fibre cement composites, Cem. Concr. Compos., 27 (2005), 518–526 4 V. Agopyan, H. Savastano, V. M. John, M. A. Cincotto, Developments on vegetable fibre-cement based materials in Sao Paolo, Brasil: an overview, Cem. Concr. Compos. 27 (2005), 527–536 5 Y. P. Ma, B. R. Zhu, M. H. Tan, Properties of ceramic fiber reinforced cement composites, Cem. Conc. Res., 32 (2005), 296–300 6 A. Peled, B. Mobasher, Pultruded fabric-cement composites, ACI Mater. J., 102 (2005), 15–23 7 S. A. S. Akers, J. B. Studinka, Ageing behaviour of cellulose fibre cement composites in natural weathering and accelerated tests, The International Journal of Cement Composites and Lightweight Concrete, 11 (1989), 93–97 8 S. A. S. Akers, Micromechanical studies of fresh and weathered fibre cement composites, The International Journal of Cement Composites and Lightweight Concrete, 11 (1989), 117–131 9 P. Purnell, J. Beddows, Durability and simulated ageing of new matrix glass fibre reinforced concrete, Cem. Concr. Compos., 27 (2005), 875–884 10 K. Vidovič, B. Lovreček, M. Hraste, Influence of surface charge on sedimentation and filtration behaviour of fibrous material, Chem. Biochem. Eng. Q, 10 (1996), 33–38 11 K. Vidovič, Vlaknocement – Lastnosti materiala in tehnologija proizvodnje, Mater. tehnol. 38 (2004), 197–203 12 C. Negro, A. Blanco, I. S. Pio, J. Tijero, Methodology for flocculant selection in fibre-cement manufacture, Cem. Concr. Compos., 28 (2006), 90–96 13 Beaudoin JJ. Handbook of Fiber-Reinforced Concrete – Principles, Properties, Developments and Applications. Noyes Publications, New Jersey, US, 1990 14 Weibull W. A statistical representation of fatigue failure in solids. Transactions of the Royal Institute of Technology 1949, No. 27, Stockholm 15 Weibull W. A statistical distribution function of wide applicability. J Appl Mech. 18(1951), 293–297 4000,00 :>000,0U 50,00 1,00 Č00,00 Materiali in tehnologije / Materials and technology 41 (2007) 4, 179–184 183 M. AMBROŽIČ, K. VIDOVIČ: IZRAČUN PARAMETROV WEIBULLOVE PORAZDELITVE ... ReliaSoft’s Weibull ++, Life Data Analysis Reference. ReliaSoft Publishing, 1992 Kosmač T, Oblak C, Jevnikar P, Funduk N, Marion L. The effect of surface grinding and sandblasting on flexural strength and reliability of Y-TZP zirconia ceramic. Dental Mater. 15 (1999), 426–433 Setien VJ, Armstrong SR, Wefel JS. Interfacial fracture tougness between resin-modified glass ionomer and dentin using three different surface treatment. Dent Mater. 21 (2005) 6, 498–504 Lewis G, van Hooy-Corstjens CSJ, Bhattaram A, Koole LH. Influence of the radiopacifier in an acrylic bone cement on its mechanical, thermal, and physical propertires: Barium sulfate-containing cement versus iodine-containing cement. J. Biomed Mater Res B; 73B (2005) 1, 77–87 Anton N, Ruiz-Prieto JM, Velasco F, Torralba JM. Mechanical properties and wear behaviour of ceramic matrix composites based on clinker portland doped with magnesia. J Mater Processing Tech; 78 (1998), 12–17 Toutanji HA. Evaluation of the tensile strength of cement-based advanced composite wrapped specimens. Comp Sci Tech; 59 (1999) 15, 2261–2268 Caliskan S. Aggregate/mortar interface: influence of silica fume at the micro- and macro-level. Cem Concr Compos; 25 (2003) 4–5, 557–564 Li QS, Fang JQ, Liu DK, Tang J. Failure probability prediction of concrete components. Cem Concr Res; 33 (2003) 10, 1631–1636 Huang JS, Cheng CK. Fracture toughness variability of foamed alumina cements. Cem Concr Res; 34 (2004) 5, 883–888 EN 494, Fibre-cement profiled sheets and fittings for roofing – Product specification and test methods. December 2004 DIN 274/1, Asbestzement-Wellplatten – Masse, Anforderungen, Prufungen. April 1972 Quinn G. Flexure strength of advanced structural ceramics: A round robin. J. Am Ceram Soc; 73 (1990) 8, 2374–2384 Ritter JE, Bandyopadhyyay N, Jakus K. Statistical reproducibility of dynamic and static fatigue experiments. Ceram Bullet; 60 (1981), 798–806 Johnson LG. The median ranks of sample values in their population with an application to certain fatigue studies. Industrial Mathematics 1951; 2 Lloyd DK, Lipow M. Reliability: Management, Methods and Mathematics. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,1962 Li GQ, Cao H, Li QS, Huo D. Theory and its Application of Structural Dynamic Reliability. Earthquake Press, Beijing 1993 Wu D, Zhou J, Li Y. Unbiased estimation of Weibull parameters with the linear regression method. J Eur Ceram Soc; 26 (2006), 1099–1105 184 Materiali in tehnologije / Materials and technology 41 (2007) 4, 179–184