i
i
“580-Legisa-naslov” — 2009/6/10 — 8:31 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 10 (1982/1983)
Številka 1
Strani 7–11
Peter Legiša:
VERIŽNI ULOMKI
Ključne besede: matematika, algebra, aritmetika, verižni ulomki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/10/580-Legisa.pdf
c© 1982 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
VERIZNI ULOMKI
Navadni veriž"i ulome k je izraz oblike
kj e r so a o ' . . . , an cela š t e vi l a in velja : a o ~ O,
a l> O. a2 > O, .. . , an > O. š t e vi l a a l • .. . , a n SO to rej na-
ra vna šte vi la , a o pa je l ahko tudi O. Vsak t ak ul omek l ahko
simboli čno zapišemo takole :
I z r a č u n a jm o nekaj verižnih ulomkov:
[1 • 1 , 1,IJ = 1 + 1 = 1 +
+ ..L-- 1 + t
1 + -+
2
1 + "3
5
"3
1
"2
[0 . 1 , 2 , 2J
1 + ..:.1 _
2 +
1
---2
1 + "5
5
"7
Pogle jmo si narobe, kako lahko zapišemo ulomek 33/1 7 v obliki
ve r ižnega ulo mka:
33/17 = 1 + 16/1 7 1 + _l_ I +
1 7 1 + 1
1 6 1 6
Tu je torej a o = 1, a l
33/ 17 = [1, 1 , 16J
16 . Tako j e
Ul ome k 33/17 l ahko zapišemo t udi male nkos t dr ugače :
33/1 7 = 1 + = [1 . 1 ,1 5 ,1J1 + _1 _
15 + 1.
1
Vidi mo , da velj a s plo šn o pra vilo: č e je v ve ri žnem ul om ku
la o .a l . . .. , a n š te vi l o a n > l . je
7
Ce pa je zadnji č l e n v ve r i žnem u t omx u " J I::
Vsak ve r i žni ulo mek i ma t ore j i s t o vre dnos t kot verižni ul ome k
z eni m čle no m v e č a l i manj . Pri me r:
[3 , 1 , 1,1J = [3, 1 , 2J
Pokaž imo zdaj, da lahko vsak ulomek p / q zapišemo v obliki veriž -
nega ulomka . Ce je p ~ q , delim o p s q :
p = a oq + 1"1 (O ~ 1"1 < q ) oziroma p / q
Ce j e p < q , postavi mo seveda a o = O.
Del i mo zdaj q z 1"1 :
q = a 11" 1 + 1"2 (O ~ 1"2 < 1"1 ) oziro ma
q/ l"l = a l + 1"2 / 1"1 = a l + 1"1 71"2
1
ao +~
Delim o 1"1 Z 1"2 in t ako dalje . Ke r se ostanki 1"1,1"2'" nenehno
manjšajo , s e t a proc e s prej a li sl e j k on č a . Ce do br o pogled amo ,
vi di mo, da j e to prav zaprav Evklidov algoritem za števili p in
q . Den i mo t or e j , da j e l"n za dnji od nič r a z l ič e n ostane k:
l"n_1 /l" n
Vidimo , da je
p / q = a o + -=----:------
"'+ _l_
an
Ta za pi s j e očitno enoli čen, r azen morda na repu ulomka, kje r
imamo, kot vemo, dve možnosti .
Ogle jmo si zdaj naslednjo re s n ič n o zgodbico , ki j o vem iz pr ve
ro ke. Amer iš ki mat ematik je od sv ojega s i na zve del, da j e pri
baseballu imel r e l a t i vni de le ž zade t kov 0.846. Očetu je bilo
jasno, da t o ne pome ni, da j e s i n zadel 846 žog od 1000 , pa č
pa , da j e to dec i malni prib liže k za neki ulomek p /q, kje r s ta
8
p in q dve ne preveli ki ce l i števil i . Razvil j e 0. 846 v verižni
ulome k:
+ _1 _
5 + L
z
1 + Z
1 1
1 1
1 3
zelo dober pr i bl i že k za 0. 846. Rečemo lahko tudi narobe:
0. 846 je zelo dober približek za 11/13 . Dejans ko je 11/13
0.8462 ... Matemat ik je tvegal in vprašal sina, ali to pomeni,
da je zadel enajst žog od trin ajstih . Odgovor je bil rritrdilen.
Dbstajajo problemi pra kti čne na r ave , pri kat e r i h so verižni u-
lomki prav uporabni. Denimo, da je treba izdelati zobniški me-
hanizem iz dveh zob atih koles, tako da bo prenos čim bliže raz-
merju p l q , kjer sta p in q dve vel i k i števil i. število zob na
zobnikih je omejeno . Pomagamo si tako, da razvijemo p / q v veri 2-
ni ulomek in poiščemo primeren približek. Za razmerje 988/517
bi na r e dil i takole:
1 +
= 1 + ---,------
988 /517 1. 91. .. + 1/ 1. 10 .. = 1
[ 1 , 1 , 1O,4 ,5 ,2J
+ -1.1 _
1 + ..=.1-,-- _
1 0 • 2 4
86/45.
10 + 1
~
Ena mo ž nos t zap rib 1i že kje tal e: [1, 1 , lOJ = 21/ 11. Takobi
vzel i zobnik z 10 in zob nik z 21 zobmi. Poglejmo si natančnost
približka:
988/517 = 1.911 ..
21/11 = 1.909 . ..
Druga možnost je seveda vzeti približek \ 1 , 1, 10 , 4 1
Pr imerjajmo:
988/517 = 1.9110 ..
86/45 = 1.9111..
Ta pribl ižek je seveda boljši od prejšnjega.
9
o ta ki upor abi ver iž ni h ulomkov je obš irn eje pi s a l že znani
znans tvenik Christian Huygens, ki je pr i konstruk ciji planeta-
rija mor a l upoš tevati raz merja me d obho dni mi doba mi raz lič n i h
. pl ane t ov . Knj iga Descriptio automati planeta r ii ( v pre vodu:
Opi s mehanizma planetarija ), v kateri je pokazal, da na m veri ž-
ni ul om ki dajejo na j bol j še take pr i bližke, je i zšla let a 1703
na Nizozemske m.
Ne koli ko t e ž ji pro ble m j e iska nj e prib l ižkov za š t evi lo Il . Ve mo,
da je Il = 3.141592654 ... Pos kusimo ga razviti v verižni ulome k :
Il = 3 + 0 .141 59 ... = 3 + 1/7.062 .. .
Vidi mo, da j e 3 1/7 = 3 . 1428 . . kar dobe r prib liž ek za Il .
Goto vo je Il < 3 1/7 . Ke r je Il = 3 + 10/70 .6 .. , j e Il > 3 + 10/7 1.
Tor e j j e
3.lJl. < Il < 3-1.
71 7
Do te oce ne j e pr iš e l že gršk i ma te ma tik Arh i med, ko j e posk u-
ša l čim n atan č n ej e i zrač unati Il . V nj egovi h ča sih de c i ma ln i za-
pi s še ni bil v rab i, upor ablj a l i so l e ulomke . Zat o je la hko
za pi sa l l e oceno tak e oblik e, kot je zgoraj .
Nada l j uj mo z r ač u nan je m:
Il = 3 + -..1.. _
7 + ..:.1_ -.,._
1 5. 9 9 oo
I z t e ga zap isa je oč i t no, da j e 3 +
približek za Il . Dejansko se
355/ 113 3.1415 92920 .. ~ 3.14 1593
uj ema s Il na 7 mes t .
7 + L
1 6
355/ 113 zelo dober
+ _.~1-;;-;;_
1. 0 0 3 ..
Pr i naši na ta nč nos t i začetn ega prib ližka (1 0 me s t ) i n rač u na nj u
na 10 me st ver ižn ega ulomka skoraj ne mor emo na daljevat i , saj
so i z r a ču n an i čle ni zmeraj manj za nesljivi. Zapišimo še
Il = 3 + -=.1_ ---:- _
7 + ..:.1 ..,-__
15
Ker Il n i rac io na l no šte vi lo, ga pra vzaprav ne more mo zapisa ti
kot končen nava den verižni ulome k. Pomagamo si l ah ko ta kole:
10
Na 12 dec imalk je
3 . 141 59 26 5358' < JI < 3 . 141 5926 535 9
3.1 4159265 35 8 = [3 ,7 , 15.1 , 292 . 1. 1,1 , 1 •. ..J
3 .1 4 1592653 59 = [ 3 , 7 ,1 5 .1 . 292 ,1,1,1,2 ...J
Zato smo bolj al i man j up ra v ič eni za pi sati, da j e
JI = [3.7.15 , 1.292.1 , 1.1 • . oo]
(Izka že se namre č : č e se verižn a ulomka števil a i n b ujemata
v prv ih n č l e ni h. se veri žni ul ome k vs akega št e vi la c med a in
b ujema z omen j eni ma ve ri žni ma ulomkom a na pr vih n mest ih) . Ce
bi vzel i še več de cimal k. bi seveda dobil i še daljši razvoj za
JI . Angleški matem atik J ohn Walli s je v knjigi Tra ctatu8 de al -
geb ra . ki j e izš la le t a 1685, vzel š tev ilo IT na 35 decimalnih
mest in iz r a č un al
JI = [3 ,7 , 15 , 1 , 292 • 1 , 1 . 1 . 2 • 1 .3, 1 , 14 ,2 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 ,2 , 1 ,84,2 ; 1 ,1 ,
15 , 3 • 13 , 1 , 3 ,4 , 2 , 6 •6, ' 1• .J.
Le t a 1770 je nemški matemati k Lambert objav il ponovljen i zra-
č u n, ki pa j e od 26. člena nap r e j imel d rugačne vrednost i. Vse-
kakor v dobljenem ve ri žnem ulomku ni mogo če opaziti kake pra-
viln osti . Svojevrstna kontr ola Wa l l i s ave ga izračuna so odlični
pribli žki za JI . ki so jih konec osemnajstega stoletja našli ja -
pons ki matemat i ki :
541935 1 428224 59 33 49 304
17250 33 136 30812 1570 117
saj jih lah ko dobi mo i z Wall i sovega r az voj a . Ver jetno so Japon-
c i do njih prišli s pomočjo neč esa takega kot ve rižni ulomki .
Danes bi s pomočjo računalni ka in primernega programa lahko na -
pravili še mno go daljši razvoj. Vloženi t r ud bi bi l seveda ne-
pr imerno manjš i od t ruda ne kdanjih matemati kov .
Pe t er Le gi š a
11