Matematika v šoli Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana 2017, letnik 23 IZ TEORIJE ZA PRAKSO: Pomen formativnega spremljanja pri učenju in poučevanju m atematike IZ RAZREDA: Uvajanje formativnega spremljanja pri vsebini krog in krožnica MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO: Zakaj piškoti Leibniz? NOVICE: Predstavitev nove knjige: Iteracije in fraktali 2017, letnik 23 VSEBINA mag. Mateja Sirnik Uvodnik IZ TEORIJE ZA PRAKSO mag. Mateja Sirnik in mag. Mojca Suban Pomen formativnega spremljanja pri učenju in poučevanju matematike......................2 Vesna Vršič Primeri prilagoditev in opor pri reševanju matematičnih problemskih nalog na razredni stopnji.................................................................. 11 dr. Darja Antolin Drešar Spodbujanje starševske vpletenosti v otrokovo matematično izobraževanje........ 18 mag. Alenka Zupančič Danko Specifične učne težave pri matematiki - oblike, značilnosti in prepoznavanje.......23 IZ RAZREDA Štefka Smej Uvajanje formativnega spremljanja pri vsebini krog in krožnica........................................30 Maja Bencek Konstruktivistični pristop pri pouku matematike.............................................................................39 dr. Mojca Tomažin Analiza uporabe e-učnih gradiv pri matematiki na podlagi vprašalnika......................46 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Suzana Harej Zakaj piškoti Leibniz?.................................................................................................................................................52 dr. Stanislav Južnič Srednjeevropski matematiki pred četrt tisočletja ............................................................................. 54 NOVICE dr. Dominik Benkovič Predstavitev nove knjige: Iteracije in fraktali........................................................................................61 dr. Borut Jurčič Zlobec Raziskovalne naloge iz matematike na Srečanju mladih raziskovalcev Slovenije 2016.............................................................................62 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Spoštovani bralci revije Matematika v šoli! Pred nami je prenovljena pomladanska številka revije Matematika v šoli, spremembe prinaša po obliki in strukturi. Nov večji format prinaša prispevke v barvah, ki so razdeljeni na naslednje rubrike: Iz teorije za prakso, Iz razreda, Matematika skozi zgodovino, Novosti. Zakaj tako? Le učenje in poučevanje brez prepada med teorijo in prakso nam prinaša kakovostne učne dosežke in zadovoljstvo na obeh straneh. Revije bodo še naprej tematsko obarvane. Pretekle številke revije Matematika v šoli so imele rdečo nit učne težave naših učencev in kako jih premagovati. V tej številki je nekaj člankov še posvečenih premagovanju učnih težav, kot splošno temo za v prihodnje pa smo si izbrali Formativno spremljanje naših učencev. Rezultati mednarodnih raziskav so nam jasno sporočili, da je znanje naših učencev na zelo zadovoljivem nivoju, kot problem pa se nam kaže nizka motivacija za učenje. Vedno znova se nam zastavlja vprašanje, kaj je vzrok za to. Učitelji, ki že drugo leto uvajajo elemente formativnega spremljanja v svoje pedagoško delo, sporočajo, da se večata pripravljenost učencev za delo in želja po uspehu. S skupnim načrtovanjem ciljev in kriterijev učenja, aktivnim zbiranjem dokazov o lastnem učenju, povratnimi informacijami, ki usmerjajo učence pri učenju, samovrednotenju in vrstniškem vrednotenju sledimo formativnemu spremljanju napredka naših učencev, s tem pa se odmikamo od tradicionalnega frontalnega pouka. Učenci postajajo odgovorni za svoje znanje, samostojno delajo in se učijo, učitelj pa jim ob tem pomaga. Ali lahko rečemo, da je Formativno spremljanje - most do vsakega učenca, tudi tistega z učnim težavami? Da. Novost je rubrika Matematika skozi zgodovino, v kateri bomo poskušali osvetliti matematiko skozi zgodovino in objaviti prispevke, ki nas usmerjajo k vpeljavi zgodovinskega vidika tudi v sam pouk matematike. Naj omenimo, da je bilo lani 300 let od smrti nemškega filozofa, matematika, zgodovinarja in politika Gottfrieda Wilhelma Leibniza. In na koncu se bomo vprašali: Ali je kaj trden matematični most? Če bodo vsi učenci prišli tako daleč, kot smo si skupaj zastavili cilje učenja, bomo rekli, kakor skala kost. Vsi bralci ste vabljeni k soustvarjanju revije in pisanju člankov. Mateja SIRNIK, odgovorna urednica ISSN 1318-010X matematika v šoli letnik XXIII, številka 1, 2017 Izdajatelj in založnik: Zavod RS za šolstvo Predstavnik: dr. Vinko Logaj Odgovorna urednica: mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo Uredniški odbor: dr. Darja Antolin Drešar, Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Jerneja Bone, Zavod RS za šolstvo, mag. Melita Gorše Pihler, Zavod RS za šolstvo, dr. Marjan Jerman, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko, Silva Kmetič, Sabina Kumer, Šolski center Krško - Sevnica, dr. Zlatan Magajna, Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, dr. Sandra Mršnik, Zavod RS za šolstvo, mag. Sonja Rajh, Zavod RS za šolstvo, Simona Vreš, Gimnazija Ravne na Koroškem, dr. Amalija Žakelj, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta, Dr. Lucija Željko, Osnovna šola Sostro, dr. Herremans Adriaan, Universiteit Antwerpen, Belgija, dr. Jasmina Milinkovič, Pedagoška fakulteta Beograd, Srbija, dr. Evgenia Sendova, Institute of Matematics and Informatics at the Bulgarian academy of Sciences, Bolgarija. Jezikovni pregled: Katja Križnik Jeraj Prevod povzetkov v angleščino: Ensitra prevajanje, Brigita Vogrinec, s. p. Urednica založbe: Andreja Nagode Oblikovanje: Simon Kajtna Računalniški prelom in tisk: Design Demšar, d. o. o., Present, d. o. o. Naklada: 520 izvodov Prispevke pošljite na naslov: Zavod RS za šolstvo, OE Kranj (za revijo Matematika v šoli), Stritarjeva 8, 4000 Kranj, e-naslov: mateja.sirnik@zrss.si Naročila: Zavod RS za šolstvo - založba, Poljanska cesta 28, 1000 Ljubljana, faks: 01/30 05 199, e-naslov: zalozba@zrss.si Letna naročnina (2 številki): 22,00 EUR za šole in ustanove, 16,50 € za fizične osebe. Cena posamezne številke v prosti prodaji je 13,00 EUR. Revija Matematika v šoli je vpisana v razvid medijev, ki ga vodi Ministrstvo za kulturo, pod zaporedno številko 568. Revija je indeksirana in vključena v mednarodne baze podatkov: MathEduc - Mathematics Education Database, Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik (ZDM), Co-operative Online Bibliographic System and Services (COBISS) © Zavod Republike Slovenije za šolstvo, 2017 Vse pravice pridržane. Brez založnikovega pisnega dovoljenja ni dovoljeno nobenega dela te revije na kakršenkoli način reproducirati, kopirati ali kako drugače razširjati. Ta prepoved se nanaša tako na mehanske oblike reprodukcije (fotokopiranje) kot na elektronske (snemanje ali prepisovanje na kakršenkoli pomnilniški medij). Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. 1 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Pomen formativnega spremljanja pri učenju in poučevanju matematike mag. Mateja Sirnik in mag. Mojca Suban Zavod Republike Slovenije za šolstvo Povzetek V prispevku obravnavamo formativno spremljanje pri matematiki in predstavimo razvojno delo na tem področju. Ukvarjamo se z vprašanji, kako lahko vplivamo na procese učenja in poučevanja matematike ter kako jih lahko usmerjamo na produktiven način. Osrednjo vlogo v takem procesu učenja odigra spremljanje znanja v formativni funkciji, ki vpliva na odločitve učitelja in učenca v zvezi z nadaljnjim učenjem. Učenci naj bi prevzemali aktivnejšo vlogo pri regulaciji lastnega učenja in večjo odgovornost za učne dosežke. Skozi primere prikažemo nekatere strategije elementov formativnega spremljanja pri pouku matematike. Ključne besede: formativno spremljanje, matematika, povratna informacija, predznanje, cilji, kriteriji uspešnosti, dokazi o učenju, samovrednotenje Importance of Formative Assessment in Learning and Teaching Mathematics Abstract This paper discusses formative assessment in Mathematics and presents how this field is being developed. It deals with questions of how we can influence the processes of learning and teaching Mathematics and how we can guide them productively. The central role in this process is held by the formative function of knowledge assessment, which influences the decisions made by the teacher and student regarding further learning. Students take on a more active role in regulating their own learning and greater responsibility for their attainment. Examples are used to demonstrate the key strategies of the elements of formative assessment in Mathematics lessons. Keywords: formative assessment, Mathematics, feedback, prior knowledge, objectives, success criteria, evidence of learning, self-assessment Uvod V literaturi je mogoče najti različne opredelitve pojma formativno spremljanje/preverjanje (formative assessment1). Paul Black in Dylan Wiliam (1998a) ga opredeljujeta kot »vse tiste dejavnosti učiteljev in/ali učencev, s katerimi zagotavljajo povratne informacije, s pomočjo katerih prihaja do modifikacije poučevanja in učenja, v katerega so vpeti«. V OECD-ejevem pregledu prakse formativnega preverjanja v osmih izobraževalnih sistemih (Avstralija-Queensland, Kanada, Danska, Anglija, Finska, Italija, Nova Zelandija in Škotska) »se formativno preverjanje nanaša na pogosto, interaktivno vrednotenje napredka pri učencih in njihovega razumevanja z namenom, da se ugotovijo njihove potrebe in se temu primerno prilagodi učenje« (Looney, 2005 v Wiliam, 2013). Od domačih avtorjev navedimo opredelitev Maretič-Požarni-kove (2000), ki sprotno ali formativno preverjanje (spremljanje) opredeli kot proces, ki poteka kontinuirano, med samim učnim procesom, z namenom zbrati in dajati povratne informacije za čim učinkovitejše krmarjenje (usmerjanje) pouka in učenja. Komljančeva (2008) opredeljuje formativno spremljanje tudi kot opazovanje, vodenje učenca k napredku, servisiranje učitelja in učenca za odpravljanje šibkosti v znanju. Wiliam (2013) zaokroži dosedanje definicije in jih nadgradi v naslednjo opredelitev: »Preverjanje deluje formativno, če učitelji, učenci in njihovi vrstniki pridobivajo dokaze o napredku učencev, ki jih interpretirajo in uporabijo za odločitve o naslednjih korakih v procesu poučevanja. Tako postanejo odločitve boljše ali bolje podprte, 1 Slovenski prevod termina formative assessment v formativno spremljanje/preverjanje temelji na tem, da ima preverjanje kot sestavni del učenja vpliv na nadaljnje učenje in poučevanje ter v tej vlogi nosi formativno funkcijo, ki je ocenjevanje (angl. grading) nima. 2 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI kot bi bile odločitve brez teh dokazov.« Pri tem opozarja, da ni vsaka formativna uporaba informacij enako učinkovita in da so najboljša preverjanja tista, ki omogočajo vpogled v učne težave ter nakažejo možnost izboljšave. Dylan Wiliam izpostavlja 5 ključnih strategij, s katerimi lahko vplivamo na kakovost učenja in poučevanja ter posledično na učne dosežke (Slika 1). V nadaljevanju se bomo bolj podrobno posvetili posameznim strategijam oziroma elementom, ozaveš-čali njihov pomen in jih ilustrirali s primeri. Slika 1: Pet ključnih strategij za izboljšanje kakovosti učenja in poučevanja (Wiliam, 2013) V središče procesa formativnega spremljanja je postavljen učenec in nanj osredinjena vprašanja: • kje je učenec v svojem učenju/kaj zna/katera znanja obvladuje, • kam želi priti/kaj se želi naučiti/kaj želi znati, • kako bo do tja prišel/kako se bo naučil? Vloga učitelja se ob tem iz tradicionalne vloge prenašalca znanja spreminja v smeri moderatorja in usmerjevalca učnega procesa. Preverjanje predznanja Pri načrtovanju učnega procesa naj bi izhajali iz predznanja učencev. Za učenje matematike je pomembna strukturiranost znanja učencev: odnosi med usvojenimi pojmi, lastnostmi, torej obstoječa kognitivna struktura. Skozi dejavnosti preverjanja predznanja učencev prihaja do aktiviranja predznanja in ugotavljanja napačnih pojmovnih predstav. Z dejavnostmi aktiviranja predznanja omogočimo navezovanje novih vsebin na obstoječe pojmovne strukture, hkrati pa ugotavljamo nepopolne in napačne pojmovne predstave. Ko jih prepoznamo, lahko poskrbimo za njihovo preoblikovanje. Učitelj pridobi informacije o tem, kaj učenci že znajo, kakšne predstave že imajo, kako poglobljeno nekaj znajo in zmorejo kakor tudi njihov odnos in stališča. Ugotovljeno predznanje omogoči osredinjenje na učenje oziroma načrtovanje učenja in poučevanja. Učitelj odkriva razkorak med obstoječo in pričakovano ravnjo učnih dosežkov. Gre za kognitivno pripravo na učenje, miselno čustveno vzbujanje pozornosti in aktivacijo učencev. Pomen predznanja se odraža tudi v izjavi psihologa D. Ausbella: »Če bi moral skrčiti vso pedagoško psihologijo na eno samo načelo, bi rekel: najvažnejši posamezen dejavnik, ki vpliva na učenje, je to, kar učenec že zna... Ugotovi to in ga poučuj s tem v skladu.« (Požarnik, 2000) Številne raziskave potrjujejo pomen predznanja. Korelacijski koeficienti med predznanjem in poznejšim znanjem se gibljejo okrog 0,70, med sposobnostmi in znanjem pa so redko čez 0,50 (Požarnik, 2000). Tako vidimo, kako pomembno vlogo ima sistematično preverjanje obsega in strukture predznanja učencev. Vlogo predznanja pri učenju so proučevali tudi v raziskavi TIMSS 2011 (Japelj Pavešic, 2012). V vprašalniku so učitelji ocenili, v kolikšni meri njihovo poučevanje omejuje pomanjkanje matematičnega predznanja in spretnosti učencev. Izbirali so med odgovori: • poučevanje ni omejeno, • poučevanje je deloma omejeno, • poučevanje je zelo omejeno, Dobili so rezultate, ki so prikazani v preglednici 1. Izkazalo se je, da je ena pomembnejših omejitev pri poučevanju matematičnih vsebin predznanje. S tem se kaže, kako pomembno Preglednica 1: Dosežki glede na odgovore, koliko je poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja matematičnega predznanja v 4. razredu Odstotki učencev, za katere so učitelji sporočili, da je njihovo poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja predznanja in spretnosti učencev Poučevanje ni omejeno Poučevanje je deloma omejeno Poučevanje je zelo omejeno Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Slovenija 33 527 57 509 11 494 Mednarodno povprečje 27 506 61 489 12 467 3 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Preglednica 2: Dosežki glede na odgovore, koliko je poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja matematičnega predznanja v 8. razredu Odstotki učencev, za katere so učitelji sporočili, da je njihovo poučevanje omejeno zaradi pomanjkanja predznanja in spretnosti učencev Poučevanje ni omejeno Poučevanje je deloma omejeno Poučevanje je zelo omejeno Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Odstotek učencev Povprečni dosežek Slovenija 14 538 66 507 19 476 Mednarodno povprečje 15 490 57 471 28 443 je sistematično preverjanje predznanja pri pouku matematike. Opozoriti je treba, da ti deleži ne govorijo o tem, kolikšni so v resnici primanjkljaji v predznanju učencev, pač pa o tem, kako problem občutijo učitelji. Pri tem gre za osebna mnenja učiteljev. Pri naših spremljavah pouka se je že večkrat pokazalo, da so bila pričakovanja učitelja glede predznanja učencev večja kot se je pokazalo pri sistematičnem preverjanju predznanja. Zato je pomembno načrtno preverjanje predznanja, ki ga ustrezno do- kumentiramo. Poglejmo si nekaj načinov, s katerimi lahko preverjamo predznanje. Pred vsebino ploščina in obseg trikotnika in štirikotnika v 7. razredu je učitelj preverjal predznanje razumevanja pojma ploščina in pojma obseg z odprtimi vprašanji na učnem listu (Slika 2). S takimi dejavnostmi ugotovimo, na kateri konceptualni in proceduralni stopnji je učenec. Seveda pa se samo ob enkratnem pos- Obseg Kaj se spomnim o obsegu lika? Ploščina Kaj se spomnim o ploščini lika? Kaj imata skupnega obseg in ploščina? V čem se razlikujeta obseg in ploščina V OTNi^n/ m- - TojtVi, fir^tfMr Slika 2: Izdelek učenca pri preverjanju predznanja 4 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI kusu takega preverjanja predznanja v veliko primerih pokažejo težave pri pisnem sporočanju učencev. V preverjanje predznanja lahko vključimo tudi samovrednotenje lastnega znanja. Primer takega gradiva vidimo na sliki 3 (Kme-tič, 2016). Kako dobro (po)znam ploščino in obseg lika? Pobrskaj po svojem spominu Pojem Dobro Sem že slišal(a) Nimam pojma Zapiši definicijo ali opiši z besedami, s sliko, primerom Obseg lika Ploščina lika v _J Slika 3: Preverjanje predznanja z elementi samovrednotenja Tudi vprašanja izbirnega tipa (Slika 4) so lahko eden od pristopov preverjanja znanja. Nadgradimo jih z utemeljevanjem izbranih odgovorov (Kmetič, 2016). Ploščino danega lika lahko izračunam na enega od naslednjih načinov. Obkroži pravilni odgovor. 6 cm 10 cm a) 10 cm + 6 cm b) 2 ■ (10 cm + 6 cm) c) 2 ■ 10 cm + 2 ■ 6 cm č) 10 cm + 6 cm + 10 cm + 6 cm d) 10 cm ■ 6 cm e) 10 cm ■ 6 cm ■ 10 cm ■ 6 cm Pojasni svojo izbiro. J Slika 4: Naloga izbirnega tipa z dodanim utemeljevanjem Zastavi se nam vprašanje, kakšna so kakovostna vprašanja, s katerimi dobimo povratno informacijo o znanju učencev in kako zastavljanje vprašanj izpeljati pri pouku. Pri tem poskusimo oza-veščati naslednja načela za oblikovanje vprašanj: oblikujemo odprta vprašanja, načrtujemo čas za razmišljanje, posvetovanje in odgovor ter vprašanja, ki odpirajo razpravo v razredu, ne prekinjamo učencev pri sporočanju, sprejemamo delne/ napačne odgovore, spodbujamo kritično mišljenje (kako, zakaj, razloži, pod kakšnimi pogoji, primerjaj ...), vztrajamo pri daljših odgovorih, spodbujamo vprašanja učencev, ki vodijo k novim vprašanjem, omogočamo vključevanje vseh učencev, povratna informacija je takšna, da spodbuja nova vprašanja. Nepravilni rezultati oziroma odgovori pri takem načinu učenja spremenijo svoj pomen, dobijo formativno podobo in so osnova za nadaljnje učenje. Sooblikovanje ciljev učenja in kriterijev uspešnosti Kako uspešen je lahko učenec pri učenju, če ne razume, kaj je cilj njegovega učenja? Z načrtnim in sistematičnim vključevanjem učencev v sooblikovanje ciljev in kriterijev uspešnosti lahko dvome o tem zmanjšamo. Učno ciljno načrtovanje pouka temelji na učnih ciljih, ki so zapisani v učnih načrtih. Pogosto so zapisani v strokovnem jeziku, ki je učencem nerazumljiv. Z namenom ozaveščanja pri učencih, kaj in kako se učijo, jih moramo preoblikovati, dopolniti in se z njimi pogovoriti, tako da so jim razumljivi ter da skozi njih vidijo smisel učenja. Cilji učenja učencem (Holcar, 2016): • pomagajo odgovoriti na vprašanje, kam grem in kaj se pričakuje, da bom znal, • naredijo učenje bolj transparentno, • spodbujajo učence k razmišljanju o učenju, prevzemanju odgovornosti za lastno učenje. Učitelj naj zagotovi, da so (Holcar, 2016): • cilji jasni, dosegljivi, realistični, časovno opredeljeni in povezani z dolgoročnimi cilji/večjo sliko učenja, • cilji zapisani v jeziku, da jih učenci razumejo, • cilji zapisani na vidnem mestu, da jih učenci lahko kadarkoli preberejo (v zvezku, na učnem listu, na plakatu v razredu ...), • povezave med učnimi cilji ter učnimi dejavnostmi vidne. Kriteriji uspešnosti naj bodo oblikovani tako, da z njimi lahko ovrednotimo kakovost zbranih dokazov o učenju. Kriteriji uspešnosti (Holcar, 2016): • odgovorijo na vprašanje, kako vem, da sem dosegel učni cilj oziroma da sem uspešen, so osnova za spremljanje napredka, so osnova za podajanje kakovostne povratne informacije, so osnova za načrtovanje dejavnosti pri pouku, so osnova za samovrednotenje, vrstniško vrednotenje, so učencu v pomoč pri oblikovanju lastnih ciljev. Kaj kažejo raziskave o udeleženosti učencev pri načrtovanju ciljev in kriterijev? Če učitelj načrtuje kriterije uspešnosti, še preden bo natančneje načrtoval dejavnosti za poučevanje in učenje v razredu, se čas načrtovanja dejavnosti skrajša za 50 % (Bostner in ostali, 2015, v Clarke, 2005). Učenci se najbolje učijo takrat, ko razumejo, kaj se učijo, in ko vedo, kaj se od njih pričakuje (Bostner in ostali, 2015, v Black, 2007). Jasni kriteriji vrednotenja lahko izboljšujejo učenje zaradi boljše narave pogovorov - usmerjenost v vsebino in evalviranje sta večja (Bostner in ostali, 2015, v Coohen idr. 2002). Velikokrat se sprašujemo, v kolikšni meri so učenci res lahko soudeleženi pri načrtovanju ciljev učenja. Zagotovo je precej učnih situacij, kjer lahko po analogiji predhodnega učenja učence že vnaprej pripeljemo do tega, kaj bo cilj nadaljnjega učenja. 5 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 S prej predstavljenimi dejavnostmi smo preverili razumevanje pojmov ploščina lika in obseg lika, učence pa želimo pripeljati do dolgoročnega cilja Znam izračunati ploščino poljubnega lika. To lahko naredimo s primernimi vprašanji, kot so na primer: • S katerimi geometrijskimi liki smo se letos ukvarjali pri matematiki? • Katerim geometrijskim likom znaš izračunati ploščino? • Kaj bi se lahko še naučil? V ta namen lahko uporabimo strategijo VŽN (Kaj že vem? Kaj se želim naučiti? Kaj sem se naučil?). Za cilj Izračunam ploščino poljubnih trikotnikov in štirikotni-kov lahko sooblikujemo kriterije uspešnosti, kot so prikazani v preglednici 3. Glede na naravo matematičnih vsebin se o ciljih učenja večkrat pogovarjamo z učenci šele po izvedeni učni situaciji preiskovanja, ko odkrijemo novo matematično zakonitost ali pravilo. Na primer: pri Pitagorovem izreku, trikotniški neenakosti najprej učitelj zastavi preiskovanje, tako da učenci samostojno odkrijejo zvezo med trikotnikovimi stranicami, potem pa poskušajo uzavestiti, kaj so se s tem naučili in na kakšne načine lahko to matematično znanje uporabijo. Zbiranje dokazov o učenju Kako dokazujem, da sem cilj dosegel? Kaj so dokazi o učenju? Dokazi so vsa gradiva in informacije, ki izkazujejo, kje na poti do učnega cilja je v nekem trenutku učenec. Ustrezno načrtovane dejavnosti pri pouku matematike, ki izhajajo iz učnih ciljev, naj omogočajo zbiranje različnih dokazov o učenju učencev in razumevanju učnih vsebin. Na podlagi zbranih dokazov učitelj dobi vpogled v razumevanje in napredek učencev ter prilagaja nadaljnje učenje in usmerja učenčeve procese učenja. Dokaze o učenju učenci zbirajo v vseh fazah učnega procesa. Dokazi o učenju so že dejavnosti preverjanja predznanja, aktivnega usvajanja novih vsebin, utrjevanja, raziskovanja, pri čemer je treba poudariti, da temeljijo na ciljih učenja, standardih znanja in znanih kriterijih uspešnosti. Naloga učitelja je zagotoviti raznolike dokaze, s katerimi lahko kakovostno ugotavlja, kje na poti učenja so učenci. Pri matematiki morajo dokazi vključevati dejavnosti, s katerimi učenec izkaže razumevanje novih matematičnih pojmov, kar pomeni, da mora biti učenje naravnano tako, da so učenci aktivni izgrajevalci lastnega znanja. Npr. raziskovanje formule za ploščino paralelograma naj bo na- Katere geometrijske like poznam? Kaj jim znam izračunati? Dejavnost: izdelamo pojmovno shemo geometrijskih likov Kaj se želim naučiti? Izračunati ploščino poljubnega lika. Kaj sem se naučil? Zbiram dokaze o lastnem učenju. Kaj znam: • Razumem in razložim formule za ploščino trikotnika in različnih štirikotnikov. • Z različnimi strategijami izračunam ploščino trikotnika, štirikotnikov. • Uporabim znanje o ploščini v problemskih nalogah. Česa se še nisem naučil? Izračunati ploščino poljubnega večkotnika in ploščino kroga. Omenjeno metodo lahko nadgradimo tudi z vprašanjem: Kako sem se učil? Kako sem prišel do formul za ploščino trikotnika, različnih štirikotnikov? Preglednica 3: Kriteriji uspešnosti za cilj: Izračunam ploščino poljubnih trikotnikov in štirikotnikov. Kriteriji uspešnosti POJMI • Poznam in razumem formule za ploščino različnih likov (kvadrat, pravokotnik, paralelogram, romb, trapez, deltoid, trikotnik, pravokotni trikotnik ...). POSTOPKI • Ocenim ploščino. • Glede na podatke izberem ustrezno strategijo: zmerim potrebne podatke, lik preoblikujem v ploščinsko enak lik, ki mu znam izračunati ploščino, uporabim ustrezno formulo, izračunam ploščino, primerjam izračunano ploščino z oceno, zapišem rezultat v ustrezni ploščinski enoti. KOMUNIKACIJA/SPOROČANJE/UTEMELJEVANJE • Pisno in ustno predstavim pojme, postopke v povezavi s ploščino. • Pravilno uporabljam matematično terminologijo in simboliko (pisno in ustno): risanje skic, zapisi formul, številski izrazi, besedni zapisi. • Smiselno in logično utemeljujem situacije, kjer uporabljam pridobljeno znanje. PROBLEMSKA ZNANJA • Uporabljam pojem ploščina v problemskih nalogah. • Raziskujem in samostojno oblikujem vzorce, kjer uporabljam pojme: geometrijski liki, ploščina, obseg. 6 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI črtovano tako, da bodo učenci samostojno prišli do formule. To od učitelja zahteva, da predhodno načrtuje aktivnost vodenega ali samostojnega raziskovanja, med poukom pa učence opazuje, spremlja in usmerja na poti učenja. V nadaljevanju lahko razumevanje formule za ploščino parale-lograma preverimo z naslednjima nalogama: Primer 1: Ploščina paralelograma je 6 cm2. a) Kaj lahko poveš o dolžini stranice paralelograma in višini na stranico? Zapiši nekaj možnosti: dolžina stranice višina na stranico Kaj je? Naštej različne strategije: PLOŠČINA PARALELOGRAMA Primer: Primeri iz vsakdanjega življenja - uporaba v življenju. Povratna informacija Zelo pomemben dejavnik v procesu učenja je povratna informacija učencu o njegovem napredku. Povratna informacija, ki jo učenec dobi, naj pri njem sproži kognitiven in ne čustven odziv (Wiliam, 2011). Učenca naj usmerja k nadaljnjemu učenju in izboljšanju dosežkov ter spodbuja njegove miselne procese. Kakovostna povratna informacija izhaja iz ciljev in kriterijev uspešnosti, je konkretna in pravočasna. Tega učinka ne dosežemo z ocenami, točkami in splošnimi komentarji, kot na primer »Zelo si se potrudil«. Učenec potrebuje kvalitativno povratno informacijo, ki mu sporoča, kaj že zna, kaj in kako je treba še izboljšati ter ga spodbuja k nadaljnjemu učenju. Učenci v naših šolah pogosto dobijo povratno informacijo v obliki številčne ocene kot na sliki 6. Tovrstna informacija ne vsebuje usmeritev, kako dosežek izboljšati, in bolj kot napredek pri učenju spodbuja tekmovalnost. b) Nariši enega od paralelogramov iz zgornje preglednice. Koliko rešitev ima naloga? Primer 2: a) Najmanj koliko podatkov potrebuješ, da narišeš poljuben paralelogram? Naštej vsaj tri različne primere. b) Najmanj koliko podatkov potrebuješ, da izračunaš ploščino poljubnega paralelograma? Naštej različne primere. Dokazi o učenju in napredku učencev so lahko tudi izvedene načrtovane učne dejavnosti za odkrivanje novih matematičnih pojmov in postopkov ter povezav med njimi, rešene naloge, izdelki, različni grafični organizatorji, predstavitve problemskih nalog, plakati, portfolio učenca, seminarske naloge, digitalne predstavitve, refleksije učencev, ugotovitve učitelja pri opazovanju učencev, pogovor z učenci, pogovor učencev ... Z naslednjo grafično predstavitvijo (Bačnik, Bone, 2016) na sliki 5 lahko učenci v fazi ponavljanja in utrjevanja izkažejo razumevanje pojma ploščina paralelograma na različnih področjih spremljanja. Slika 6: Povratna informacija v obliki številčne ocene Pogosto je opaziti, da učenec v takem primeru ob prejemu ocenjenega pisnega izdelka najprej pogleda svojo oceno, nato pa oceno, ki jo je prejel njegov sošolec, in ne tega, kje so njegova področja za izboljšanje. Pri učencih s šibkim matematičnim znanjem tovrstna ocena lahko povzroči le začetno izboljšanje, ki ni trajno, ter izgubo motivacije, učenci z višjimi dosežki pa zadržijo visok nivo zanimanja ne glede na tip povratne informacije. To je pokazala izraelska študija, ki je raziskovala vpliv različnega tipa povratne informacije na motivacijo in dosežke učencev, kar prikazuje preglednica 4 (Emerson, 2014). Preglednica 4: Vpliv tipa povratne informacije na učenje Skupina Učinek na učenje Motivacija Samo komentar Se izboljša in izboljšanje je po zaporedju nalog trajno. Vpliv sposobnosti: • Učenci z višjimi dosežki zadržijo visok nivo zanimanja ne glede na tip povratne informacije. • Učenci z nižjimi dosežki, ki dobijo oceno, hitro izgubijo interes. Ocena in komentar Konstantno slabšanje. Samo ocena Začetno izboljšanje, ki ni trajno. Zanimivo je tudi, da je hkratna uporaba ocene in komentarja neučinkovita, saj se učenci osredotočijo zgolj na oceno in ne Slika 5: Primer grafičnega organizatorja 7 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 preberejo komentarja, ki bi jim pomagal pri nadaljnjem učenju (Hodgen, Wiliam, 2006). Učinkovita povratna informacija je pozitivno naravnana, objektivna, konkretna, konstruktivna in presega okvir dobro/slabo. Učinkovito jo je podati v obliki »sendviča«: pozitivna opažanja, možna področja izboljšanja, pozitivna usmeritev za nadaljnje delo. Na sliki 7 je primer pisne informacije učencu, ki je reševal nalogo z načrtovanjem trikotnika. Učitelj je učencu sporočil, kateri deli konstrukcije so pravilni, kako naj konstrukcijo dopolni in na kaj naj bo v prihodnje bolj pozoren. Tovrstna povratna informacija je bistvena nadgradnja povratne informacije v obliki popravnega znaka za »manjkajoče«. Načrtaj trikotnik ABC: c = 4,6 cm v = 3,5 cm c b = 4 cm Naartal si trikotnik, ki ustreza podatkom. Vendar razmisli, ali je bil postopek, s katerim si prišel do toSke C, korekten. Razmisli še, ali je to edina rešitev naloge. Pomožnel rte riši manj vidne, skice pa vej in pregledne. Ofi. s O Xr / Slika 7: Primer pisne povratne informacije učencu Glede na kakovost povratne informacije Nyquist (Wiliam, 2013) razlikuje naslednje različne vrste formativnega preverjanja: • skromna povratna informacija (samo informacija o ocenah), • samo povratna informacija (poleg ocene še cilji, ki naj bi jih učenci dosegli, ali pravilni odgovori na vprašanja), • skromno formativno preverjanje (pravilni rezultati skupaj z razlago), • srednje dobro formativno preverjanje (pravilni rezultati skupaj z razlago in nekaj specifičnimi napotki za izboljšanje rezultatov), • učinkovito formativno preverjanje (pravilni rezultati skupaj z razlago in napotki za specifične dejavnosti za izboljšanje rezultatov). Po prejemu povratne informacije je treba pozornost nameniti tudi odzivu učenca. Na primer predvideti je treba čas za sprejemanje povratne informacije, preveriti je treba, ali je učenec povratno informacijo razumel, in sooblikovati njegovo nadaljnjo učno pot. Učinkovitost povratne informacije je odvisna tudi od njenega izvora - če je izvor zaupanja vreden (npr. učitelj), se njena učinkovitost poveča. Vir učenja in povratnih informacij lahko predstavljajo učenci drug drugemu. Sovrstniki predstavljajo močno potencialno polje za vzajemno učenje in sodelovalno delo. Vloga vrstniške povratne informacije je spodbujati učenje in izboljšati učne dosežke. Učenci lahko drug drugemu podajajo povratno informacijo o izdelku ali nalogi, lahko pa opišejo matematični pojem ali postopek s svojimi besedami in tako prispevajo k boljšemu razumevanju pri sošolcu. Ko učenci dobijo priložnost, da razložijo določen matematični pojem ali koncept svojemu sošolcu, na ta način pravzaprav preverijo globino in obseg svojega znanja in razumevanja tega pojma ter se urijo v ubesedovanju lastnih pojmovnih shem. V razredu lahko učitelj organizira delo tako, da spodbuja vrst-niško povratno informacijo s podporo različnih tehnik: dve zvezdi in ena želja, vprašanja skupine ob zaključku učne ure, preveri pri treh pred menoj, naključni poročevalec, klasifikacija napak ... Samovrednotenje Učenčevo znanje in napredek ugotavlja ter spremlja učitelj, nujno pa je, da so v vrednotenje vključeni tudi učenec in njegovi vrstniki. Samovrednotenje učencu omogoči vpogled v lastno znanje in podpre prepoznavanje močnih ter šibkih področij. Ob tem učenec krepi odgovornost za lastno znanje in jo prevzema nase (Suban, 2013). Učenec razvija sposobnost nadziranja in usmerjanja procesa lastnega učenja. Učenec v tej fazi išče odgovore na nekatera ključna vprašanja: Kaj znam in razumem? Kaj sem se naučil? Kaj znam zelo dobro? Česa še ne razumem? Kaj mi ni najbolje uspelo? Zakaj mi ni uspelo? Kako se bom naučil tisto, česar še ne znam? Kdo mi bo pomagal? Eden od pristopov je, da učenec ob koncu obravnave učnega sklopa izpolni preglednico, kjer ovrednoti stopnjo svojega znanja. Primer za cilj Učenec/učenka določi delitelje števila je naveden v nadaljevanju na sliki 8 (Suban, 2013). Na sliki 9 pa je primer samovrednotenja v obliki dela delovnega lista z nalogami (Sene-kovič, 2013). Opis učnega Naloga Moje vrednotenje Znam Delno znam Ne znam Učenci/učenke določijo delitelje števila. Zapiši, kdaj je število b delitelj števila a. Zapiši delitelje števila 24. v Na paradi je sodelovalo več dečkov in več deklic. Vsak otrok je nosil enako število balonov. Skupno število balonov je bilo 30. Razišči, koliko dečkov in koliko deklic bi lahko sodelovalo na paradi. J Slika 8: Primer samovrednotenja usvojenosti cilja iz učnega načrta Samovrednotenje lahko poteka tudi ob podpori različnih vprašalnikov, ki jih pripravi učitelj. Če so izdelani v elektronski obliki, je poleg funkcije samovrednotenja to še povratna informacija učitelju o znanju vsakega učenca, ki je hitro dosegljiva in učitelju omogoča, da načrtuje nadaljnje učenje in poučevanje v skladu s pridobljenimi ugotovitvami. V naslednjem primeru je učitelj z elektronskim vprašalnikom preverjal, kakšne so učne navade učencev pri matematiki. V 8 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Delovni listi z nalogami Ime in priimek: Datum: Legenda: Znam brez pomoči pomeni, da učenec samostojno reši nalogo brez dodatne pomoči. Znam s pomočjo pomeni, da učenec nalogo reši samostojno, vendar z uporabo ponujene pomoči (zgledi, primeri, naloge v gradivih, starši...), Ne znam s pomoči o pomeni, da učenec naloge kljub ponujeni pomoči ne reši. Reši narobe - po preverjanju označi polie. če je rešitev bila narobe, čeprav je izbral ZNAM. Znam Ne znam Rešil narobe Oceni zanesljivost svojega znanja v naslednjih situacijah Brez pomoči S pomočjo S pomočjo 1. Izračunaj vsoto vseh celih enomestnih negativnih števil. (Učbenik, str. 40, 41, zgled: 1., naloge: II. -1, 2, 3) 1. 2. Utemelji, zakaj je vsota vseh celih števil med nasprotnima številoma enaka nič. ¡^(Učbenik, str. 40, 41, zgled: 1., naloge: II. -1, 2, 3; str. 28, zgledi 1., 2., 3., 4.) 2. Slika 9: Primer samovrednotenja usvojenosti učnega cilja skozi delovni list konkretnem vprašanju na sliki 10 ga je zanimalo, katere vire uporabljajo učenci pri svojem učenju. Tako je dobil boljši vpogled v njihove učne navade in to uporabil za načrtovanje učnih dejavnosti, učenci pa je ob tem uzaveščajo lastne učne navade. Iz katerih virov se ponavadi učiš in utrjuješ matematično učno snov? Nikoli Včasih Pogosto Vedno Iz matematičnega zvezka O O O O Iz matematičnega učbenika O O O O Iz matematičnega delovnega zvezka O O O O Iz matematičnih učnih listov O O O O Iz svetovnega sveta podatkov (Interneta) O O O O Iz različnih matematičnih zbirk nalog O O O O Slika 10: Vprašanje v elektronskem vprašalniku o učnih navadah učencev (Redenšek, 2015) Preprost način za spodbuditev samoreflektivnih in samoregula-cijskih procesov je metoda nedokončanih povedi. Učenec lahko razmišlja o svojem učenju ob na primer naslednjih iztočnicah: • Najlažji del mi je bil ... • Dokazal sem ... • Pred tem nisem vedel ... • Moj najljubši del je bil ... • Ponosen sem na ... • Nisem pričakoval . • Pomembno pri tem učenju se mi zdi . V naslednjem primeru na sliki 11 se koraka preverjanja predznanja in samovrednotenja prepletata na istem učnem listu. Prvi stolpec izpolni učenec pred obravnavo učne vsebine in tako pre- Pred obravnavo DA/NE Trditev Po obravnavi DA/NE Moje opombe Vsota kvadratov števil 11 in 15 je (11 + 15)2. (a + h)2 = a2 + h2 V Če je a2 = 2, je 3a2 = 24. J Slika 11: Preverjanje predznanja in samovrednotenje na istem učnem listu veri svoje predznanje. Listek lahko prepogne tako, da odgovore v prvem stolpcu skrije. Ob koncu obravnave se učenec ponovno opredeli do istih trditev, pregleda svoje odgovore in ugotavlja napredek v svojem znanju. V stolpcu Moje opombe lahko utemelji svoje odgovore, zapiše svoje ugotovitve in načrtuje naslednji korak v učenju. Med raziskavami, ki proučujejo vpliv samovrednotenja na matematično znanje učencev, omenimo raziskavo, ki sta jo izvedla Fontana in Fernandes na Portugalskem (Wiliam, 2011). V raziskavi sta sodelovali eksperimentalna skupina 354 učencev in 25 učiteljev ter kontrolna skupina 313 učencev in 20 učiteljev. V eksperimentalni skupini so učenci v času 20 tednov načrtno razvijali veščine samovrednotenja pod vodstvom učiteljev. Ti so se za uvajanje strategij formativnega spremljanja kontinuirano usposabljali. Ob začetku in koncu raziskave je vseh 667 učencev pisalo standardiziran matematični test. Ob tem so se dosežki učencev v kontrolni skupini izboljšali za 7,8 točk, dosežki učencev v eksperimentalni skupini pa za 15 točk. Drugače povedano, učenci eksperimentalne skupine so v 20 tednih izboljšali svoje dosežke toliko, kot bi jih sicer v 38 tednih učenja. 9 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Razvojna naloga Formativno spremljanje na Zavodu RS za šolstvo Elementi formativnega spremljanja se v različnih projektih in nalogah v slovenskem šolskem prostoru pojavljajo od leta 2000. V zadnjem letu na Zavodu RS za šolstvo poteka razvojna naloga Formativno spremljanje/preverjanje na vseh predmetnih področjih, v katero so vključeni tudi učitelji praktiki. Pri matematiki je vključenih 12 učiteljev iz osnovnih in srednjih šol, ki preizkušajo in razvijajo elemente formativnega spremljanja pri svojem pouku in reflektirajo svoje delo. Pedagoške svetovalke jim zagotav- ljamo strokovno podporo na rednih strokovnih srečanjih in na spremljavah pouka na šolah. Za končne evalvacije je še prezgodaj, vmesne povratne informacije učiteljev razvojnikov pa so v večini spodbudne. Učitelji poročajo o tem, da so učenci pozitivno sprejeli spremembe pri pou-ku in da vse bolj prevzemajo odgovornost pri učenju. Eden od učiteljev je zapisal: »Mislim, da je ključna sprememba to, da sproti sledimo kriterijem kakovosti - tako jaz, kot dijaki. Opažam, da bolj pogosto opozarjam na posamezne kriterije (pri pregledu domače naloge, med reševanjem na tablo in samostojnim reševanjem ...). Veliko več se tudi pogovarjamo in s tem izboljšujemo vzdušje, razumevanje in odnose.« Zaključek Formativno spremljanje je celovit proces, ki vključuje preverjanje predznanja, sonačrtovanje ciljev in kriterijev uspešnosti, zbiranje dokazov o učenju, podajanje povratne informacije in samovrednotenje in se izvaja v vseh fazah pouka. Osnovni namen dejavnosti učitelja in učencev pri formativnem spremljanju je usmerjen v ugotavljanje znanja za izboljšanje učenja in poučevanja. Pri tem je pomemben dejavnik formativna vloga povratne informacije o znanju učenca, kar pomeni, da povratna informacija vpliva na nadaljnje učenje in poučevanje. Wiliam (2013) navaja, da izsledki raziskav na tem področju kažejo, da se z dnevno uporabo praks formativnega spremljanja izboljšajo dosežki učencev, v nekaterih primerih se poveča hitrost učenja celo do 70-80 %, tudi če gre za merjenja z zunanjimi standardiziranimi testi. Ta vidik tako odpira mnoge možnosti in priložnosti za izboljšanje učenja in poučevanja ter učnih dosežkov učencev. Razvojno delo z učitelji se v letošnjem letu nadaljuje, pri čemer se predvideva, da se bo mreža sodelujočih učiteljev še razširila. Tudi mi pričakujemo pozitiven napredek tako pri učnih dosežkih učencev kot pri motivaciji za učenje matematike, pri učiteljih pa pripravljenost, da nadaljujejo s poučevanjem, ki je smiselno povezano z učenjem učencev. ■ Viri Bačnik, A., Bone, J. idr. (2016). Izobraževalni lističi Scientix NA-MA. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Emerson, N. (2014). Using assessment for learning strategies in the mathematics classroom. KUPM 2014. Čatež. Hodgen, J., Wiliam, D. (2006). Mathematics inside the black box: Assessment for learning in the mathematics classroom. London: School of Education, King's College. Holcar Brunauer, A. idr. (2016). Formativno spremljanje v podporo učenju.Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Japelj Pavešic, B. (2012). Znanje matematike in naravoslovje med osnovnošolci v Sloveniji in po svetu. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Kmetič. S. (2016). Interno gradivo razvojne naloge Formativno spremljanje. Lipnik, R. (2016). Interno gradivo razvojne naloge Formativno spremljanje. Looney, J. (2005). Formative assessment: Improving learning in secondary classrooms. Paris: Organisation of Economic Cooperation and Development. Redenšek, P. (2015). Interno gradivo projekta EUfolio. Schoenfeld, H. (2015). Summative and formative assessments in mathematics spporting the goals of the common core standards. Theory into practice. 54: 3, 183-194 Senekovič, J. (2013). Seštevanje in odštevanje racionalnih števil, 8. razred. V Suban, M., Kmetič, S. (ur.), Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi. Matematika. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Suban, M. (2013). Vrednotenje in samovrednotenje znanja pri matematiki. V Suban, M., Kmetič, S. (ur.), Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi. Matematika. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Vzgoja in izobraževanje. (2014) l. 45, št. 5-6. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. (dostopno na http://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/viz-5-5-2014/). Wiliam, D. (2011). Embedded formative assessment. Bloomington: Solution Tree Press. Wiliam, D. (2013). Vloga formativnega vrednotenja v učinkovitih učnih okoljih. V Dumont, H., Istance, D., Benavides, F (ur.), O naravi učenja, uporaba raziskav za navdih prakse. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 10 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Primeri prilagoditev in opor pri matematičnih problemskih na razredni stopnji Vesna Vršič Zavod RS za šolstvo Povzetek Reševanje matematičnih problemov predstavlja najvišjo taksonomsko raven znanja pri matematiki. Opredeljujemo ga kot sposobnost uporabe obstoječih znanj v novih situacijah, uporabo kombinacij več pravil in pojmov, sposobnost uporabe konceptualnega in proceduralnega znanja. V prispevku problemske naloge razumemo kot besedilne naloge, situacije, vzete iz vsakdanjega življenja, in didaktično usmerjene naloge iz matematičnih okoliščin, ki so za učence nove in je za njihovo reševanje treba poiskati nove poti. Pri pouku je zelo pomembno, da učence sistematično in postopoma vpeljujemo v reševanje problemskih nalog, da omogočimo učencem, da si pridobijo čim več izkušenj z reševanjem različnih problemskih nalog, da omogočimo reševanje problemskih nalog na različne načine in da učencem pri reševanju pomagamo z različnimi prilagoditvami in oporami. Ključne besede: problemske naloge, dobra poučevalna praksa, prilagoditve oblik dela in gradiv, opore reševanju nalog Examples of Adjustments and Support in Solving Mathematical Problems at the Primary Level Abstract The solving of mathematical problems presents the highest taxonomic level of mathematical knowledge. It is defined as the ability to use existing knowledge in new situations; to use combinations of several rules and concepts; and the ability to use conceptual and procedural knowledge. The paper views mathematical problems as word problems, situations taken from everyday life, and didactically-oriented tasks with mathematical circumstances, which are new to the students and for which they must find new ways to solve. During lessons, it is very important that students are systematically and gradually introduced to problem solving; that we enable students to gain as much experience as possible with solving various mathematical problems; that we enable the solving of problems in different ways; and that we help students to solve them by providing various adjustments and support. Keywords: mathematical problems, good teaching practice, adjustments to work methods and materials, support Uvod Različni strokovnjaki v našem šolskem sistemu s področja poučevanja matematike si prizadevajo, da bi z različnimi pristopi čim bolj spodbudili miselne aktivnosti učencev pri pouku in jih tako pripeljali do razumevanja matematičnih pojmov in konceptov, ustreznega obvladovanja postopkov in algoritmov ter uporabe znanja v novih situacijah. S tem bi dvignili raven znanja naših učence in tudi raven matematične pismenosti. V učnem načrtu za matematiko iz leta 2011 je po celotni vertikali osnovne šole zasnovan sklop Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami, ki z didaktično opredeljenimi cilji poskuša postopoma in sistematično vpeljati učence v uporabo znanja ob reševanju problemov. Operativni cilji sklopa se nanašajo na razvijanje občutljivosti oziroma zaznavo »problema« v matematičnih situacijah ali okoliščinah, na uporabo različnih rep-rezentacij (konkretnih, grafičnih, didaktičnih ...) za namene predstavljanja problemske situacije in spoznavanja problema z različnih zornih kotov, na razvijanje in iskanja ustreznih strategij reševanja problema ter na razvijanje kognitivnih in meta-kognitivnih zmožnosti. Tudi pri matematiki moramo razvijati bralne veščine, tako 11 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 tehniko branja kot razumevanje prebranega, ki so pogoj za učenčevo razumevanje besedila oz. konteksta in informacij. Cilje omenjenega sklopa naj bi učitelji uresničevali ob različnih vsebinah iz geometrije in merjenja, aritmetike in algebre ter drugih vsebin. Kako razumemo pojem »matematični problem« Poznamo veliko razlag pojma »matematični problem«. Mnogi avtorji ga interpretirajo kot situacijo, ki je za posameznega učenca nova in neznana ter je na doslej znani način ne more rešiti, saj je za njegovo rešitev treba poiskati nove poti in uporabljati drugačne miselne koncepte. Take naloge najpogosteje v učencu spodbudijo občutek nelagodja, saj si ne zna razložiti nekaterih dejstev, v začetku ne uvidi poti do rešitve, se ne spomni, da bi podobno nalogo že kdaj reševal. Če faza frustracije traja predolgo in učenec ni zmožen poiskati pretekle izkušnje, ki bi mu pomagala pri reševanju, ali ne najde orodij oz. ideje za rešitev problema, potem naloga zanj predstavlja »nerešljivi problem«. Magaj-na Z. (2003, str. 130) pravi, da pri pouku matematike pogosto uporabljamo izraz »problem« kot sopomenko za težko nalogo ali tudi za besedilno nalogo. Na razredni stopnji se učenci pri matematiki najprej srečajo z reševanjem besedilnih nalog, ki so po mnenju Frobisherja (Vršič, 2010, str. 49) primeri šolskih nalog, vzeti iz konteksta okolja in ciljno usmerjeni ali kot jim pravijo nekateri »oblečeni računi«. Take naloge se v učbeniških gradivih pojavljajo ob zaključku posameznih sklopov. Namenjene so poglabljanju in uporabi znanja iz vsebin, ki so jih obravnavali. Najpogosteje so to vsebine iz aritmetike in so povezane z uporabo računskih operacij seštevanja in odštevanja ter množenja in deljenja. Cotič M. (1999, str. 7) pri definiciji matematičnega problema navaja tri njihove komponente: • začetno stanje ali situacija, v kateri je dana vsebina problema z ustreznimi podatki in informacijami, • cilj, ki ga mora reševalec problema doseči, • pot od začetnega stanja do cilja, ki jo mora reševalec poiskati, da reši problem. Tako loči probleme z zaprto potjo in zaprtim ciljem, z odprto potjo in zaprtim ciljem ter odprto potjo in odprtim ciljem. Problemske naloge s preveč podatki, s premalo podatki, z več rešitvami, ki jih prištevamo k problemom z odprto potjo in zaprtim ciljem ter problemi iz logike, učence spodbujajo k divergentnemu mišljenju, jim omogočajo pridobivanje izkušenj ob uporabi različnih pristopov, jih vpeljujejo v različne strategije reševanja in jim omogočajo izgrajevanje lastnih konceptov reševanja. Ker so v učbeniških gradivih take naloge redko zastopane, jih morajo učitelji poiskati v dodatnih strokovnih gradivih. Še redkeje so v učbeniških gradivih učiteljem in učencem na voljo odprte problemske naloge, kjer cilj problema ni očiten in je treba situacijo raziskati. Pri odprtih problemih je treba učence navajati, da razmišljajo v različnih možnih smereh. Zavedajo se naj, da so tudi pri matematiki lahko ustvarjalni in da ni vedno samo ene pravilne poti reševanja ali celo samo ene pravilne rešitve. Nekateri strokovnjaki take naloge poimenujejo tudi raziskovalne. Pri reševanju odprtih problemov so učencem še posebej v pomoč njihove izkušnje z reševanjem, fleksibilnost in fluentnost pri iskanju rešitev in to, da niso usmerjeni zgolj v rezultat oziroma rešitev naloge, temveč so v enaki meri pozorni tudi na pot reševanja. Različni pristopi in dobra poučevalna praksa Reševanje problemov zahteva višje miselne procese od razumevanja besedila (konteksta), analize in sinteze podatkov, uporabe matematičnih orodij in veščin pri reševanju, do vrednotenja smiselnosti poti reševanja in rešitve. Problemsko znanje pri matematiki opredeljujemo kot sposobnost uporabe obstoječih znanj v novih situacijah, uporabo kombinacij več pravil in pojmov pri soočenju z novo situacijo, sposobnost uporabe konceptualnega in proceduralnega znanja. S problemskim znanjem povezujemo tudi pojma odkrivanje in raziskovanje (Žakelj, 2004). Pri reševanju problemov mora učenec povezovati različna znanja, spretnosti in načine mišljenja. Da bo učenec razumel zapisano problemsko situacijo, mora razumeti prebrano, imeti širok besedni zaklad, razumeti matematično strokovno terminologijo in poznati učinkovite bralne strategije, ki mu bodo pomagale pri analitičnem razmišljanju, primerjanju in povezovanju podatkov, pri ločevanju bistvenih podatkov od manj bistvenih, postavljanju smiselnih vprašanj (pod-vprašanj), razdelitvi naloge na manjše korake itd. Učitelji se morajo zavedati kompleksnosti znanja, ki jih od učencev zahteva reševanje matematičnih problemov, in tako skrbno in sistematično načrtovati pouk, ki bo učence uvajal v reševanje matematičnih problemskih nalog. V didaktiki poznamo različne pristope: • Učitelj kot »model reševalca«, ki učencem predstavi svoje reševanje Učitelj učencem predstavi svojo miselno pot reševanja problemske naloge tako, da ob reševanju glasno opisuje, razlaga, kaže svoj način razmišljanja. Tako učitelj demonstrira svoj model reševanja problemske naloge. K predstavitvi svojega načina reševanja naloge spodbuja tudi učence in tako lahko tudi učenci postanejo modeli. • Vodeni pristop k reševanju Vodeni pristop reševanja učitelji uporabljajo, ko imajo učenci še malo izkušenj z reševanjem problemskih nalog. Velik poudarek je na razvijanju strategije reševanja. V začetku je učencem v pomoč, če jih učitelji vodijo skozi reševanje po ustaljenem zaporedju korakov, da si lahko zapomnijo posamezne korake in izoblikujejo strategijo reševanja problemskih nalog. Pri tem lahko učitelji uporabljajo različne modele. V učbeniških gradivih (npr. Cotič, 2015, str. 24) lahko zasledimo zapis korakov reševanja: Potek reševanja problema: • Preberi nalogo. • Podčrtaj podatke. • Naredi načrt reševanja. • Napiši račune. • Zapiši odgovor. • Preglej svojo rešitev. 12 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Kavkler M. (2015, str. 70) predstavlja zapis korakov ob slikovni podpori: 1. Preberem nalogo in razmislim, kaj želi od mene. 8 2. Obkrožim števila, ki so pomembna. Odšli 3. Podčrtam ključne besede in premislim njihov pomen. Koliko jih 4. Podčrtam vprašanje. 111 III 5. Naredim načrt reševanja (narišem skico). 6. Napišem račune in jih izračunam. 7. Ponovno preberem vprašanje. M/ -OiipA^Clt'. 8. Zapišem odgovor. 9. Preverim smiselnost rešitve. Te korake lahko imajo učenci zapisane na plakatu in obešene v razredu na vidnem mestu ali pa si jih zapišejo na kartončke (opora) in jih zalepijo na prvo stran zvezka ali ob rob mizice. Učitelji lahko učence navajajo na uporabo akronimov kot npr. PIPS (Kavkler, 2007, str. 102): Pomembno je, da s temi modeli učencem pomagamo (Kavkler, 2009), da bodo znali pristopiti k samostojnemu reševanju in usvojitvi preprostih strategij reševanja po modelu. Pri izbiri modelov strategij reše- vanja mora učitelj paziti, da bodo učencu pomagali in ga smiselno usmerjali pri reševanju, zato naj bodo splošni. V razvojnem projektu NAMARS smo s petimi učitelji razrednega pouka v letih od 2010 do 2013 vpeljevali pristop k reševanju matematičnih problemov na razredni stopnji in korake reševanja zasnovali iz posameznih faz problemskega pouka. a) Razumevanje problemske naloge Učitelji so preverjali, kako učenci razumejo besedilo oziroma kontekst naloge, zato so jim zastavljali tudi vprašanja, ki so se navezovala na besedilo naloge npr. Kje so se igrali učenci?. Ob vprašanju, kaj se je zgodilo/kaj se dogaja (prinesel, zgubil ...), so učenci poskušali izpostaviti ključno besedo, ki jih je usmerila v iskanje ustreznega matematičnega orodja oz. računske operacije. Ob izpostavljeni ključni besedi so si učenci postavljali vprašanje, npr. ali jih bo imel (sedaj) več ali manj, in tako utrjevali in poglabljali razumevanje računskih operacij seštevanje in odštevanje. Nekateri so si iz tako pridobljenih ključnih besed ustvarili plakat, ki jim je pri samostojnem reševanju pomagal, da so se spomnili lastne izkušnje reševanja problemske naloge. b) Predstavitev problemske naloge z različnimi reprezentacijami Učitelji so navajali učence, da razumevanje problemske naloge prikažejo s konkretnimi materiali, z risanjem ali oblikovanjem skice, iz katere so izpisali tudi podatke iz naloge. Tako oblikovano predstavitev vsebine problemske naloge so obnovili s svojimi besedami. Učence se je spodbujalo, da so ob problemski nalogi zastavljali tudi vprašanja, pozneje tudi podvprašanja. Za oblikovanje podvprašanj so primerne kompleksne problemske naloge, katerih struktura besedila je že bolj zapletena in od učencev zahteva, da nalogo razdelijo na posamezne korake. c) Reševanje Učitelji so vodili učence do »praga rešitve« potem pa jih pustili, da so sami izpeljali postopek reševanja in predstavili rešitev problemske naloge. Vloga učitelja je bila, da učence usmeri v razmišljanje, da sproti preverjajo postopek reševanja in smiselnost rešitev. č) Vrednotenje in refleksija Učenci so se v tej fazi skušali zavedati lastnih strategij reševanja problemskih nalog, se zavedati svojih močnih in šibkih področij. Učencem smo tako želeli približati sistematičen pristop k reševanju problemskih nalog in ustvariti možnosti za razvoj lastnih strategij. Omenjeni pristop je lahko eden izmed načinov dobre poučevalne prakse, ki je namenjen vsem učencem, hkrati pa omogoča učencem, ki potrebujejo več časa in podpore pri reševanju problemskih nalog, da strategijo nadgradimo in vanjo vnesejo različne prilagoditve in opore1. Preberi besedilo in poišči vse pomembne podatke v besedilu problema. Ilustriraj besedilni problem (nariši sliko, grafični prikaz). Pretvori besede v račun, ga izračunaj in napiši odgovor. Sistematično preglej celoten potek reševanja besedilnega problema. 1 Spoznanja učiteljev s tega projekta in njihovi primeri šolske prakse so bili predstavljeni na matematični konferenci KUPM 2012 (Maribor, 23. in 24. avgust 2012), na strokovnem posvetu o bralni pismenosti (Rogla, 2012), na seminarju Pristopi k reševanju matematičnih problemov na razredni stopnji, različnih delovnih srečanjih z učitelji in objavljeni v zbornikih (Fleksibilni predmetnik - priložnost za izboljšanje kakovosti vzgojno-izobraževalnega dela, http://www.zrss.si/zalozba/knjigarnica/podrobno?publikacija=528, 1. mednarodna Konferenca o učenju in poučevanju matematike - KUPM 2012, http://www.zrss.si/zalozba/digitalna-bralnica/podrobno?publikacija=9, Opolnomočenje učencev z izboljšanjem bralne pismenosti in dostopa do znanja, http://www.zrss.si/zalozba/digitalna-bralnica/podrobno?publikacija=50, ) ter v reviji Razredni pouk, letnik 16, številka 2-3/2014. 13 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Učenci z učnimi težavami pri reševanju matematičnih problemov Učne težave na področju matematike se najpogosteje pri učencih kažejo kot počasnejše usvajanje matematičnih vsebin, slabše razvite številske predstave, nerazumevanje matematičnih pojmov in konceptov, težave s pomnjenjem izvajanja postopkov in strategij, organizacijske težave itd. Pri tem izstopata področje aritmetike in reševanje matematičnih (besedilnih) problemov. Učenci s specifičnimi učnimi težavami imajo težave pri reševanju matematičnih problemov (Kavkler, 2007, str. 101) zaradi: • kompleksnosti jezika, nepoznavanja besednjaka, nepoznavanja vsebine problema, nerazumevanja matematične terminologije, • težave pri uporabi reprezentacij (konkretnih, slikovnih, didaktičnih ...) za predstavitev problema, • nerazvitosti številskih predstav, • neobvladovanja aritmetičnih veščin (razumevanje algoritmov), • bralnih težav (nerazumevanje prebranega), • pomanjkljivo razvitih kognitivnih in metakognitivnih strategij, • manjše kapacitete delovnega spomina in priklica podatkov iz dolgotrajnega spomina, • kompleksnosti problema itd. Na začetku šolanja ima precej učencev težave pri reševanju matematičnih problemov, tudi tisti, ki nimajo težav na aritmetičnem področju in tudi ne s percepcijo ali pomnjenjem. Kot ovira se v mnogih primerih pojavi slabo usvojena tehnika branj a, nerazumevanje prebranega, skromen besedni zaklad, nepoznavanje matematičnega izrazoslovja in simbolike ter osebne značilnosti učencev, kot so nesistematič-nost pri delu, manjša vztrajnost, nepozornost, anksioznost itd. Pri mnogih učencih se pojavi odpor do reševanja problemskih (besedilnih) nalog, saj jim učna neuspešnost znižuje motivacijo, zaznavajo sebe kot neučinkovite in manj zmožne pri reševanju takih nalog. Pogosto se taki učenci sploh ne lotijo reševanja. Strokovnjaki in tudi izkušnje iz prakse kažejo, da večini učencem pri učenju zadostuje dobra poučevalna praksa (Magajna, L., 2008), nekateri učenci pa potrebujejo pri delu dodatne prilagoditve in opore. Kako lahko učitelji organizirajo delo v razredu in prilagajajo pristop reševanja zmožnostim učencev: a) Z učenci, ki imajo težave, dlje časa uporabljajo vodeni pristop Ko so ostali učenci v razredu že zmožni samostojno reševati problemske naloge, učitelj lahko učence s težavami na tem področju zbere v manjšo skupino in jih še naprej vodi pri reševanju. Pri tem jim prilagaja tempo dela, izbira najbolj primerne didaktične pripomočke za predstavitev problema, omogoča tiho in glasno branje besedila in razgovor o prebranem, jih vodi pri oblikovanju skice itd. b) Učence navajajo na sodelovalno delo (v dvojicah ali manjših skupinah) Pristop je zlasti primeren, če imajo učenci težave pri branju in razumevanju prebranega ter še ne obvladajo strategije reševanja. Učitelj delo organizira tako, da učenca najprej drug drugemu prebereta problemsko nalogo, zastavljata vprašanja o prebranem, skupaj narišeta skico in vanjo izpišeta podatke, nato si predstavita strategijo reševanja. Nato vsak samostojno reši problemsko nalogo. Ob koncu reševanja primerjata rezultate naloge in pot reševanja ter skušata razložiti, zakaj sta tako reševala. Priporočljivo je, da oblikujemo dvojice učencev z različnimi zmožnostmi in predznanjem. c) Učenci sodelujejo v manjših skupinah Člani skupine lahko rešujejo enako problemsko nalogo ali pa različne glede na zahtevnost ali vsebino. Če učenci rešujejo enako problemsko nalogo, je smiselno, da naloga omogoča, da se jo reši po različni poti (odprti, kompleksni problem) ali da ima naloga (raziskovalni problem) več rešitev. Namen takega pristopa je, da si učenci med seboj predstavijo različne ideje reševanja, postavijo si različna vprašanja (ali podvprašanja), poiščejo manjkajoče podatke ... Tako bodo manj zmožni učenci ob pomoči sošolcev izpeljali nalogo na »že znan« način, poiskali manj rešitev, poiskali odgovore na vprašanja manjše zahtevnosti, hkrati pa bodo seznanjeni in imeli uvid v reševanje problemskih nalog zmožnejših učencev. Vsak član skupine naj ob koncu predstaviti delo in dobljene rezultate, kaj so delali in kaj so odkrili. Pri refleksiji je zelo pomembno, da učenci osmišljajo lastno delo. č) Samostojno individualno reševanje Tudi od učencev z učnimi težavami pričakujemo, da bodo znali samostojno rešiti problemske naloge, torej opravljajo enako dejavnost kot njihovi sošolci (Kavkler, 2008), vendar bodo pri delu potrebovali prilagoditev problemske naloge. S pomočjo prilagoditev lahko učenci »dokažejo« usvojenost znanja, vendar na drugačen način. Kako lahko prilagajamo gradiva za reševanje problemskih nalog? a) V zapisu besedila naloge poudarimo ključne podatke in ključne besede. Primer naloge: Skupina 20 učencev je za skupinsko vstopnico v Tehniški muzej plačala 48 evrov. Če bi učenci kupili posamezne vstopnice, bi vsak učenec plačal za vstopnico 3 evre. Koliko evrov so učenci privarčevali z nakupom skupinske vstopnice? b) V problemski nalogi z več podatki vsak nov »sklop« podatkov zapišemo v novo vrstico. Primer naloge: Kolesarska proga je dolga 915 km. Kolesarji jo v celoti želijo prevoziti v štirih dneh. • Prvi dan so prevozili 218 km, • drugi dan 32 km manj kot prvi dan, • tretji dan 35 km več kot drugi dan. Koliko km proge morajo prevoziti četrti dan? c) Ob nalogi pripravi slovarček manj znanih besed ali matematične terminologije. 14 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Primer naloge: Za koliko se razlika števil 785 in 437 razlikuje od razlike števil 877 in 348? pni l ITRSM= S-FKl FMTF 00000000 b) Koliko steklenic bodo še napolnili s preostalo količino soka? c) Koliko steklenic bo ostalo praznih? d) K problemski nalogi z veliko podatki pripravimo preglednico, kamor učenec izpišejo dane podatke iz naloge. Primer naloge: Likovni krožek obiskuje 11 učencev 1. razreda, 8 učencev 2. razreda in 9 učencev 3. razreda. Pravljični krožek obiskuje 14 učencev 1. razreda, 11 učencev 2. razreda in nekaj učencev 3. razreda. Pravljični krožek obiskuje 5 učencev več kot likovni krožek. Koliko učencev 3. razreda obiskuje pravljični krožek? DOPOLNI PREGLEDNICO: Likovni krožek obiskuje: č) Pripravimo skico, ki jo morajo učenci dopolniti glede na dane podatke (pripravljeno že ob zapisu naloge ali na samostojnem učnem listu). Primer naloge: Iz stiskalnice so dobili 15 litrov sadnega soka. Pripravili so štirinajst steklenic po liter in osem steklenic po pol litra. Napolnili so že 10 steklenic po en liter in 5 steklenic po pol litra. a) Pobarvaj steklenice napolnjene s sokom. 1.RAZRED 2. RAZRED 3. RAZRED ŠTEVILO UČENCEV Pravljični krožek obiskuje: 1.RAZRED 2. RAZRED 3. RAZRED ŠTEVILO UČENCEV e) H kompleksni nalogi pripravimo podvprašanja (zapisana že ob nalogi ali na dodatnem učnem listu, vprašanja so lahko zapisana tudi na posameznih trakovih). Primer naloge: Mihaela bere za domače branje knjigo Anastazija Krupnik, ki ima 144 strani. Knjigo želi prebrati v desetih dneh. Prvi dan je prebrala 12 strani v knjigi, drugi dan tri strani več kot prvi dan, v naslednjih treh dneh pa je prebrala polovico vseh strani v knjigi. Koliko strani mora še prebrati v preostalih dneh, če želi knjigo prebrati do konca? Naslednja vprašanja naj te vodijo pri reševanju problemske naloge: • Koliko strani v knjigi je prebrala drugi dan? • Koliko je polovica Vseh strani v knjigi? • V kolikih dneh je prebrala polovico vseh strani v knjigi? • Koliko strani v knjigi ji je preostalo še do konca? 15 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 f) Kompleksno nalogo strukturiramo na več delov. Primer naloge: Marija in njena sestra Lucija se odpravita od doma istočasno in se peljeta s kolesi do šole, ki je oddaljena 6 km. 1. Marija vozi svoje kolo tako, da prevozi 3 km v 17 minutah in vozi s stalno hitrostjo. Koliko časa bo potrebovala Marija, da pride do šole? 2. Lucija vozi kolo tako, da prevozi 1 km v 6 minutah in vozi s stalno hitrostjo. Koliko časa bo potrebovala Lucija, da pride do šole? 3. Katera prispe v šolo prej? g) Skrajšamo vsebino zapisa naloge. Primer naloge: Revija PIL je mesečnik za mlade od 9. do 12. leta. Na leto izide 14 številk, od tega sta dve obsežnejši in dve tematski. Cena ene številke Pila v prosti prodaji je 3,49 €. Cena za individualne naročnike je 3,16 €, za naročnike v šoli pa 2,95 €. Naročnina se poravna v dveh obrokih. Naročnina za tujino se poravna vnaprej in znaša 122 €. Razišči, katera oblika naročnine bi bila cenovno najbolj ugodna. Primer prilagojene naloge: Na leto izide 14 številk revije Pil. Cena ene številke Pila v prosti prodaji je 3,49 €. Cena za individualne naročnike je 3,16 €, za naročnike v šoli pa 2,95 €. Razišči, katera oblika naročnine bi bila cenovno najbolj ugodna. Že pri vodenem delu moramo učence navajati, da uporabljajo različne opore, ki jim pomagajo pri razmišljanju in reševan- ju. Opore so lahko: kartončki z zapisom korakov reševanja ali zapis akronima, barvni kartončki za izpis podatkov, konkretni material (gumbi, krožci, palčke, vrvice ...), modeli (likov, teles, desetiške enote, deli celote, denar, ura ...), podlage z različnimi preglednicami, didaktični material (številski trak, stotični kvadrat ...), podlage s preglednicami za pisni algoritem. i 1- fe 7 ko rs "it ao V Slika 1: Prazen stotični kvadrat, namenjen podpori pri izvajanju postopka seštevanja in odštevanja Opore so učinkovite, če učence podpirajo pri razmišljanju, nikakor pa ne smejo ponujati že »gotovih« rezultatov, zato mora učitelj strokovno presodili, kdaj številski trak, stotični kvadrat, tabela s poštevanko res spodbuja učence k razmišljanju ali jim zgolj ponuja lažjo pot oziroma že gotove rezultate. Na različnih izobraževanjih učitelje spodbujamo, da učence pri usvajanju računskih operacij navajajo na uporabo »praznega« številskega traku ali številske osi, prav tako tudi stotičnega kvadrata, kjer jim zapis ponuja le vizualno podporo, s katero si pomagajo pri predstavljivosti. Tako oblikovana gradiva so lahko prelepljena s folijo in tako pripravljena omogočajo, da jih bodo lahko učenci večkrat uporabljali. Pri delu v praksi je bilo ugotovljeno, da znajo učenci bolj ceniti in smiselno uporabljati opore, ki jih sami izdelajo. Zato priporočamo, da učitelji namenijo čas npr. pri dopolnilnem pouku, dodatni strokovni ali skupinski pomoči temu, da si učenci izdelajo opore, ki jih bodo uporabljali pri delu. 16 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Zaključek Reševanje problemskih nalog predstavlja najvišjo taksonomska raven znanja pri matematiki, ki od reševalca zahteva uporabo različnih vrst znanja, razvitost zahtevnejših miselnih sposobnosti, poznavanje in uporabo različnih strategij ter razumevanje matematičnih pojmov in konceptov. V tako zahtevno delo pa lahko uvedemo učence le postopno in sistematično. Učitelji naj bi učencem omogočili, da si pridobijo čim več izkušenj z reševanjem problemskih nalog, zato je pomembno, da so v pouk vključene čim bolj pogosto kot izhodišče za obravnavo nove učne vsebine ali ponovitev predznanja ali poglabljanje znanja in izhajajo iz vseh vsebinskih sklopov. Problemske naloge naj pri pouku ne bi bile načrtovane kot popestritev pouka ali kot naloge, namenjene zmožnejšim učencem, ali za domače delo. Učitelji, ki so sodelovali v projektu, so ugotovili, da so problemske naloge zmožni rešiti tudi učenci, ki imajo težave pri matematiki, če so bili deležni sistematičnega vodenja pri delu ter se jim je omogočal drugačen pristop k reševanju problemskih nalog. ■ Viri Cotič, M. (1999). Matematični problemi v osnovni šoli: Teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Cotič, M. et. al. (2015). Svet matematičnih čudes 5, učbenik za matematiko v 5. razredu osnovne šole. 2. izdaja. Ljubljana: DZS. Kavkler, M. et. al. (2007). Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji - skriti zakladi, Ljubljana: Društvo Bravo. Kavkler, M. et. al. (2008). Razvoj inkluzivne vzgoje in izobraževanja - izbrana poglavja v pomoč šolskim timom. Priročnik za učitelje. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Kavkler, M. (2009). Modeli in strategije za obravnavo učencev z učnimi težavami - vpliv na spremembe v poučevalni praksi. Sodobna pedagogika, letnik 60 (126), številka 1, str. 362-375. Kavkler, M. (2015). Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Društvo Bravo. Magajna, L., idr. (2008). Učne težave v osnovni šoli: koncept dela. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Magajna, Z. (2003). Problemi, problemsko znanje in problemski pristop pri pouku matematike. Matematika v šoli, letnik X, številka 3-4, str. 129-138. Vršič, V. (2010 ). Matematični problemi - izziv za učitelje in učence. Razredni pouk, letnik 11, številka 3, str. 47-51. Žakelj, A. (2004). Uporaba Gagnejeve taksonomije pri pouku matematike, Matematika v šoli, številka 11, str. 64-83. Žakelj, A., idr. (2011). Učni načrt. Matematika, [elektronski vir]. Ljub- ljana: Zavod RS za šolstvo. IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Spodbujanje starševske vpletenosti v otrokovo matematično izobraževanje dr. Darja Antolin Drešar Pedagoška fakulteta, Univerza v Mariboru Povzetek Prispevek izpostavlja pomen vključevanja staršev v otrokovo matematično izobraževanje in predstavlja, kakšno je priznavanje pomembnosti vloge staršev v otrokovem izobraževanju in njeno spodbujanje v različnih državah po svetu. Predstavljnih je tudi nekaj primerov t. i. matematičnih programov za starše, ki so v tujini zaživeli kot pomembna podpora staršem, da bi lahko učinkovito spodbujali otrokov razvoj na matematičnem področju. Ključne besede: učenje in poučevanje matematike, vloga staršev, matematični programi za starše Encouraging Parent Involvement in Child's Mathematical Education Abstract This paper highlights the importance of parents being involved in their child's mathematical education and shows how the importance of the role of parents in a child's education is acknowledged and encouraged in various countries around the world. It also presents a few examples of the so-called mathematical programmes for parents, which are becoming popular abroad as an important form of support for parents in effectively promoting the child's development in mathematics. Keywords: learning and teaching Mathematics, role of parents, mathematical programmes for parents Uvod Pozornost in skrb strokovnjakov ter mnogih vlad po svetu na področju vzgoje in izobraževanja sta že več desetletij usmerjeni v spodbujanje vpletenosti staršev v otrokovo izobraževanje z namenom izboljšanja celostnega in učnega napredka otrok. Starši so namreč otrokovi prvi učitelji in družinsko okolje, v katerem otrok odrašča, je otrokovo prvo učno okolje. Desforges in Abouchaar (2003) izpostavljata, da imajo starši in njihovo ravnanje izjemen vpliv na otrokovo učenje, ki je lahko celo večji od vpliva vrtca ali šole. Raziskovalki Handerson in Mapp (2002) po pregledu osemdesetih raziskav iz obdobja od 1993 do 2002 obenem poudarjata, da dosega otrok, kadar so starši vključeni v njegovo izobraževanje, (učno) več, in to ne glede na socialno-ekonoms-ki status, etnično ali rasno pripadnost ali stopnjo izobrazbe staršev. Na področju raziskovanja starševske vpletenosti v otrokovo izobraževanje je v zadnjih desetletjih vedno večje pozornosti deležno proučevanje vloge staršev pri razvoju otroka na matematičnem področju. Kljub temu da lahko otroci nekatere matematične koncepte osvojijo sami (Ginsburg, Cannon, Eisenband in Pappas, 2006), je namreč vloga odraslega, še posebej staršev, ki so otrokovi prvi učitelji in organizatorji otrokovega domačega učnega okolja, izredno pomembna. Z omogočanjem zgodnjih matematičnih izkušenj lahko starši vplivajo na otrokov razvoj matematičnih kompetenc (npr. Shaver in Walls 1998; Epstein in Sanders, 2000; Gadeyne, Ghesquiere in Onghena, 2004), zaznamujejo pa lahko tudi otrokov odnos do matematike (npr. Pederson, Elmore in Bleyer, 1986; Onslow, 1992; Aunola, Nurmi, Lerkkanen in Puttonen, 2003). Spodbujanje starševske vpletenosti po svetu in pri nas Priznavanje pomembnosti vloge staršev v otrokovem izobraževanju in njeno spodbujanje na nacionalni ravni so številne države vključile v svojo zakonodajo. V nadaljevanju predstavljamo urejenost vključevanja staršev v otrokovo izobraževanje v nekaterih državah. V Združenih državah Amerike so se na podlagi številnih raziskav, ki so pokazale, kako pomembno sodelovanje staršev vpliva na otrokovo uspešnost, spodbujanja starševske vpletenosti na sistematičen način lotili z zakonom No Child Left Behind Act [NCLB] (2002), ki je nadgradnja zakonskega določila The Elementary and Secondary Act iz leta 1965. Kljub kritikam zakona (npr. da preveč poudarja zunanja preverjanja znanja učencev in tako omogoča javno ocenjevanje in rangiranje 18 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI šol (npr. Mathis, 2009; Forte, 2010)), dokument NCLB (2002) usmerja delovanje šol z namenom izboljšanja uspešnosti učencev, pri čemer je vključevanje staršev v otrokovo izobraževanje opredeljeno kot integralni del tega procesa. Jasno vizijo vključevanja staršev v otrokovo izobraževanje je zaznati tudi pri snovalcih šolske politike v Kanadi. Medtem ko so v Združenih državah zahteve za spodbujanje starševskega vključevanja zajete v nacionalnem dokumentu, ki ureja osnovnošolsko izobraževanje (NCLB, 2002), je v Kanadi, natančneje v provinci Ontario, od leta 2005 politika spodbujanja starševskega vključevanja opredeljena v samostojnem dokumentu, imenovanem Ontario Parental Involvement Policy (Ontario Ministry of Education, 2005). V omenjenem dokumentu je starševsko vključevanje opredeljeno kot »dobro starševstvo, pomoč pri domačih nalogah, sodelovanje v šolskih svetih in odborih ter provincialnih komitejih, komuniciranje in srečevanje z učitelji in prostovoljstvo v učilnici ali na šolskih izletih« (Ontario Ministry of Education, 2005, str. 3). Pri oblikovanju tega dokumenta so posredno sodelovali tudi starši, saj je bil zasnovan na podlagi predhodno izvedenega projekta Parent Voice in Education Project (PVEP), katerega namen je bil zbrati in predstaviti pobude in predloge staršev glede načrtovanja spodbujanja starševskega vključevanja v izobraževanje. Poročilo ob zaključku projekta Parent Voice in Education Project Report (2005) je opozorilo na tri ključna področja delovanja: okrepiti glas staršev znotraj izobraževalnega sistema, pripraviti prijaznejše in in-kluzivnejše okolje za starše ter prepoznati razlike med raznovrstnimi skupnostmi, ki živijo na območju Ontaria. S sprejetjem omenjenega dokumneta so vsa ta področja še posebej izpostavljena, država pa za izvajanje dejavnosti spodbujanja starševskega vključevanja podobno kot v Združenih državah Amerike namenja zajeten del davkoplačevalskega denarja (od leta 2006 do 2010 so spodbujanju starševskega vključevanja namenili več kot 25 milijonov kanadskih dolarjev). Še več, Kanada že vse od leta 2006 financira izvajanje programa Parents Reaching Out Grants, preko katerega z donacijami pomaga šolam in drugim organizacijam pri pripravi in izvedbi programov izboljšanja vključevanja staršev, denarna sredstva pa namenja tudi izvajanju nacionalnega projekta Parenting and Family Literacy Cent- res, katerega namen je v okviru šolskih programov pomagati staršem pripraviti otroke na vstop v šolo in spodbujati družine, da bodo del zgodnjega učenja svojih otrok (Parents in Partnership: A Parent Engagement Policy for Ontario Schools, str. 13-15). Že zastavljene in izvajane smernice spodbujanja starševskega vključevanja v izobraževanje so leta 2010 nadgradili z dokumentom A Parent Engagement Policy for Ontario Schools, kjer so poleg vizije starševskega vključevanja izpostavljene štiri strategije za uspeh spodbujanja starševskega vključevanja, vključeni pa so tudi akcijski načrti za šole, odbore in ministrstvo ter zgledi dobre prakse iz vse province. V primerjavi z ZDA in Kanado, kjer pojem vključevanje staršev v izobraževanje pomeni (tudi) odgovornost staršev, za večino evropskih držav (npr. Francijo, Španijo, Češko, vključno s Slovenijo) velja, da vključevanje staršev razumejo (zgolj) kot pravico. V zadnjem času je v evropskih državah zaznati tendenco po vključevanju staršev na področju izobraževanja, ki se odraža predvsem s sprejetjem zakonskih določil, ki staršem omogočajo, da jih njihovi predstavniki zastopajo v ključnih odborih, v katerih se oblikuje šolska politika, tako na lokalni kot na državni ravni (tak primer so recimo Francija, Danska, Nemčija, Norveška, Irska, Poljska, Španija, Portugalska, Nizozemska, Slovenija). Anglija je strategijo za zagotavljanje vključevanja staršev v otrokovo izobraževanje prvič opredelila v Beli knjigi leta 1997. Strategija zajema tri elemente: zagotavljanje informacij staršem, dajanje glasu staršem in spodbujanje starševskega partnerstva s šolami. Uresničevanje strategije že vrsto let poteka skozi različne dejavnosti, kot so povečevanje vloge staršev, ki so člani šolske uprave, omogočanje sodelovanja v inšpekcijskih postopkih, zagotavljanje letnih poročil, postavljanje zahtev za oblikovanje sporazumov med šolo in starši ter zagotavljanje večje informiranosti o kurikulumu in uspehih šole (Desforges in Abouchaar, 2003, str. 7). Slovenija glede spodbujanja starševske vključenosti v otrokovo izobraževanje, vsaj kar se tiče priprave načrtov in ukrepov za njihovo izvajanje na državni ravni, precej zaostaja. Opredelitev sodelovanja med šolo in starši sicer zasledimo v nekaterih nacionalnih dokumentih, ki se nanašajo na vzgojo in izobraževanje. Vidik sodelovanja šole s starši je izpostavljen v Beli knjigi o vzgoji in izobraževanju v Republiki Sloveniji (2011, str. 116), kjer v okviru načela sodelovanja strokovnih delavcev šole s starši piše: »Za doseganje optimalnega razvoja učencev je nujno sodelovanje strokovnih delavcev šole s starši učencev. S starši je treba doseči soglasje o temeljnih ciljih vzgoj-no-izobraževalnega dela in dogovor, da si bodo za dosego teh ciljev prizadevali vsi. Učitelji staršem sproti posredujejo povratno informacijo (na govorilnih urah, roditeljskih sestankih) o učenčevem znanju, vedenju, odnosu do šole, spoštovanju pravil, sodelovanju v oddelčni in šolski skupnosti ipd. Starši učiteljem sproti posredujejo informacije, ki bi lahko vplivale na učenčevo delovanje v šoli. Učitelji in šole pri prizadevanjih za uspešnost učenčevega dela potrebujejo podporo staršev. Pri sodelovanju strokovnih delavcev šole in staršev je treba zagotoviti varovanje zasebnosti obojih in jasno začrtati meje strokovnih odločitev učitelja, na katere starši nimajo pravice vplivati.« Nekoliko večji poudarek na dejanskem vključevanju staršev v otrokovo izobraževanje, ne zgolj na sodelovanju šole s starši, zaznamo pri načrtovanju vzgoje in izobraževanja otrok s posebnimi potrebami. V Beli knjigi (2011, str. 300) je namreč načelo vključevanja staršev v proces vzgoje in izobraževanja opredeljeno kot eno izmed enajstih načel, na katerih temeljita vzgoja in izobraževanje otrok s posebnimi potrebami. Premik k večjemu izpostavljanju pomena sodelovanja staršev zasledimo tudi v dokumentih, ki opredeljujejo splošna izhodišča in strategije za izobraževanje otrok tujcev v Sloveniji (npr. Strategija vključevanja otrok, učencev in dijakov migrantov v sistemu vzgoje in izobraževanja v Republiki Sloveniji (2007); Smernice za vključevanje otrok tujcev v vrtcih in šolah (2009)). Slovenska šolska zakonodaja z Zakonom o osnovni šoli (Ur. l. RS, št. 81/2006, 31. člen) in Zakonom o vrtcih (Ur. l. RS, št. 12/1996, 12. člen) določa, da morajo šole z letnim delovnim načrtom določiti oblike sodelovanja s starši, programi za predšolske otroke, ki jih izvajajo javni vrtci, pa morajo med drugim obsegati tudi načine in oblike sodelovanja s starši. V slovenskem prostoru trenutno ni zaslediti teženj, da bi se šolska politika usmerjala v pripravo načrtov in ukrepov za izboljšanje prakse vključevanja staršev v otro- 19 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 kovo izobraževanje na državni ravni. Razvoj partnerskih odnosov med družino in šolo, vzpostavljanje vezi zaupanja in prizadevanje za skupno sodelovanje, ki bi pripomoglo k učnemu napredku učencev, tako ostajajo na ravni posameznih šol, med temi pa se omenjenih dejavnosti nekatere lotevajo bolj, nekatere pa manj zavzeto. Matematični programi za starše Zavedanje pomembnosti starševske vpletenosti za razvoj otrokovih matematičnih kompetenc in oblikovanje pozitivnega odnosa do matematike samo po sebi še ni dovolj. V nekaterih državah po svetu so zato na podlagi preliminarnih raziskav, ki kažejo, da mnogi starši potrebujejo podporo, da bi lahko učinkovito spodbujali otrokov razvoj na matematičnem področju, že pred desetletji začeli z oblikovanjem in izvajanjem t. i. matematičnih programov za starše. V nadaljevanju predstavljamo nekaj najbolj uveljavljenih tujih matematičnih programov za starše. V zgodnjih osemdesetih letih dvajsetega stoletja so na kalifornijski univerzi Berkley osnovali program Family math (Družinska matematika), ki se je hitro razširil po mnogih drugih državah. S programom Family math, katerega izvajanje je potekalo v obliki obšolske dejavnosti, so želeli izboljšati enake možnosti pri matematiki učencev iz vrst manjšin s povečanjem sodelovanja staršev pri njihovem učenju matematike (Kreinberg, 1989). Omenjeni projekt so v Kanadi, in sicer na University of Western Ontario, nadgradili v projekt, imenovan Esso family Math Project. Projekt se izvaja v lokalnih skupnostih z namenom spodbujanja zavzetosti staršev za matematični razvoj njihovih otrok in oblikovanje pozitivnega odnosa staršev in otrok do matematike. V okviru projekta se izvajata dva programa: eden za družine s predšolskimi otroki in s prvošolci in eden za družine z otroki razredne stopnje (2.-5. razred). S skrbno pripravljenimi matematičnimi aktivnostmi in igrami, ki omogočajo razvoj matematičnih spretnosti in spodbujajo razumevanje matematičnih konceptov, želijo staršem in otrokom pomagati pri učenju matematike in jim jo približati kot prijetno izkušnjo. Starši in otroci se udeležijo šestih srečanj, ki potekajo v poznih po- poldanskih urah in se začnejo s skupnim obrokom. Srečanja vodijo učitelj in pet do šest usposobljenih prostovoljcev. Evalva-cija programa nakazuje izjemno pozitiven odziv staršev (npr. Onslow, Edmunds, Adams, Waters in Chapple, 2002; Penn in Ramsay, 2013). Leta 1999 so na Univerzi v Arizoni pripravili projekt Math and Parent Partnerships in the Southwest (MAPPS), ki se osredotoča na spodbujanje starševske vpletenosti v matematično izobraževanje otrok. Projekt so začeli najprej izvajati v Arizoni, kasneje pa tudi v državah Nova Mehika in Kalifornija. Na vseh šolskih območjih, razen enega, kjer je bil projekt MAPPS vpeljan, prevladuje špansko govoreča populacija učencev (Civil, Bernier in Quintos, 2003, str. 5). Projekt MAPPS temelji na treh principih (Family involvement in mathematics, str. 5): • Standardi NCTM, ki poudarjajo oza-veščanje staršev o temeljnih spremembah pri poučevanju in učenju matematike; • socialni konstruktivizem, ki poudarja aktivno vlogo učenca pri izgradnji znanja; • učenje preko dialoga, pri katerem znanje gradimo preko odnosa ljudi, ki tvorijo učno skupnost. Namen projekta MAPPS je izboljšati matematično učno uspešnost otrok z izboljšanjem matematičnih spretnosti staršev in ustvariti možnosti, da se bodo starši in otroci skupaj učili matematiko. V okviru projekta potekajo tri vrste izobraževanj: »delavnice matematičnega ozaveščanja«, »delavnice vodenja« in mini tečaji »matematika za starše«. V delavnicah matematičnega ozaveščanja starši sodelujejo s svojimi otroki pri reševanju različnih matematičnih problemov. Delavnice trajajo dve uri in pokrivajo različne matematične vsebine za otroke od predšolskega obdobja do konca osnovne šole. Delavnice preko vzpostavljanja dialoga med starši in otroki udeležencem kažejo, kako pomembno se je pogovarjati o matematiki. Del delavnic je zasnovan tako, da so prisotni samo starši, saj se tako lahko preizkusijo tudi v vlogi odraslega učenca, obenem pa je priložnost za pogovor in analiziranje razmišljanja njihovih otrok. Delavnice staršem ravno tako pomagajo prepoznavati povezave med matematičnimi dejavnostmi in vsakdanjim življenjem. V okviru projekta MAPPS se izvajajo tudi delavnice, katerih namen je usposabljati starše in učitelje za vodenje »delavnic matematičnega ozaveščanja«. Udeleženci razvijajo spretnosti vodenja, spoznavajo namen in vsebine delavnic, uporabo materialov, vodenje diskusije ipd. Za bodoče voditelje delavnic so v okviru projekta MAPPS organizirani tudi t. i. minitečaji: »matematika za starše«. Na teh tečajih starši pridobijo znanje o določenih matematičnih temah, kot so npr. algebra, cela števila, deli celote, geometrija in obdelava podatkov. Glavne značilnosti teh izobraževanj so: delo v skupinah, uporaba materialov, izmenjava idej, spodbujanje različnih načinov prestavitve problema in iskanja različnih načinov reševanja, predvsem pa poudarek na razvijanju konceptualnega znanja (Civil, Bernier, Quintos, 2003, str. 5-7). V Veliki Britaniji so potrebo po matematičnem programu za starše prepoznali že leta 1985, ko so na Univerzi North London pripravili projekt IMPACT (Inventing Math for Parents and Children and Teachers). Projekt, katerega namen je bil spodbuditi vključevanje staršev v otrokovo matematično izobraževanje, je bil uspešno vpeljan v več kot 10.000 šol v Veliki Britaniji, pa tudi v številne šole drugod po svetu (npr. v Avstraliji, Kanadi, Združenih državah Amerike in nekaterih evropskih državah). V okviru projekta so pripravili nabor matematičnih aktivnosti (za vsak teden po eno), ki so zasnovane tako, da učenci in starši doma skupaj iščejo podatke, rešujejo preproste matematične probleme, se igrajo matematične igre, ocenjujejo določene količine ipd. Izide skupnega dela s starši nato učenci prinesejo v šolo, kar služi kot izhodišče za nadaljnje delo v razredu, starši pa vsakokrat prejmejo tudi povratno informacijo. Ene-buske (1998) ugotavlja, da so se starši sčasoma začeli zavedati, da je njihova vključenost v otrokovo matematično izobraževanje pomembna, spremenil pa se je tudi pogled učiteljev, ki so v starših prepoznavali zaveznike pri poučevanju matematike. Nadalje Enebuske izpostavlja, da je povezovanje matematičnih aktivnosti v šoli s tistimi, ki jih učenci izvajajo skupaj s starši doma, izredno pomembno, saj učenci na ta način uzaveščajo, da je matematika vsepovsod (prav tam). V Veliki Britaniji so leta 2001 oblikovali še en projekt, in sicer The Ocean Mathematics Project, katerega glavni cilj je 20 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI bil izboljšati matematične učne dosežke učencev na enem od najbolj prikrajšanih območij v državi. Uspešnost teh učencev pri matematiki so želeli izboljšati s spremembo odnosa in delovanja šol, staršev in otrok, še posebej z vključevanjem staršev v matematično izobraževanje otrok (Ber-nie in Lall, 2008, str. 22). Gre za dobrodelni projekt, ki je bil od leta 2001 do 2011 vpeljan že v 274 šol (Ocean Maths, b. l). Cilji projekta so se osredotočali na naslednja področja (prav tam, str. 4): • izboljšati zaupanje staršev in njihovo sodelovanje v procesu otrokovega izobraževanja; lastno učenje staršev in njihovo sodelovanje v delovanju šole; • izboljšati odnos učencev do matematike, njihov pristop k reševanju domačih nalog in samozaupanje v lastne učne sposobnosti; • izboljšati delovanje šole na področju učenja in poučevanja matematike, odnos zaposlenih do matematike in izmenjavo primerov dobre prakse ter evalviranje in poročanje o napredku učencev pri matematiki. Tudi pri tem projektu so oblikovali poseben nabor domačih nalog, ki so namenjene skupnemu delu otrok in staršev v domačem okolju, v okviru projekta pa potekajo tudi delavnice po šolah, kjer starši skupaj z otroki preživljajo čas ob zabavnih matematičnih aktivnostih (Ocean Maths, b. l.). Evalvacijska poročila projekta poročajo o številnih pozitivnih vplivih projekta na vse udeležence, in sicer pri učencih v izboljšanju učnih dosežkov (Bastiani, 2004), pri starših pa v razvoju matematičnega razumevanja in povečanju starševske vpletenosti v otrokovo izobraževanje in v delovanje šole (Bernie in Lall, 2008). O podobnih projektih spodbujanja starševske vpletenosti na področju matematike, ki bi bili pripravljeni in izvedeni na državni ravni, v slovenskem prostoru žal ne moremo govoriti. Kljub temu pa je treba izpostaviti program, imenovan Didaktični petkotnik, ki je bil osnovan na Pedagoški fakulteti Univerze v Mariboru z namenom, da bi povezal pet ključnih udeležencev vzgojno-izobraževalnega procesa: učitelje, učence, starše, študente in didaktike, in sicer na področju matematičnega izobraževanja (Lipovec in Bezgov-šek, 2006). Po principu dela z matematično sposobnejšimi učenci in kognitiv-no-konstruktivističnem modelu so bile v okviru programa pripravljene aktivnosti za matematično sposobnejše otroke na razredni stopnji. Izvajanje programa se je začelo v šolskem letu 2005/2006, in sicer na različnih osnovnih šolah po Sloveniji v obliki matematičnih krožkov, ki so jih z matematično sposobnejšimi otroki enkrat tedensko pri uri interesne dejavnosti izvajali študenti razrednega pouka. Učenci so bili spodbujeni, da aktivnosti in matematične probleme, s katerimi so se seznanili pri krožku, doma delijo s svojimi starši in skupaj z njimi razmislijo o problemu in strategijah reševanja, nato pa se na naslednjem srečanju v šoli s študentom - izvajalcem pogovorijo o ustreznih načinih reševanja in problem rešijo (Lipovec in Bezgovšek, 2006). Evalvacije delovanja Didaktičnega petkotnika kažejo pozitiven vpliv na znanje šolske matematike (Šadl, 2011). Zaključek Kot že omenjeno, v slovenskem prostoru načrtnega spodbujanja starševskega vključevanja na področju matematike vsaj na nacionalni ravni žal ni zaznati. V upanju, da se bo po zgledu tujih raziskovalcev v prihodnosti tudi v Sloveniji kmalu osnoval kakšen večji projekt povezovanja staršev in otrok ob matematičnih aktivnostih, želimo s prispevkom ozavestiti vzgojitelje, učitelje, vodstvene in druge pedagoške delavce o pomenu vloge staršev pri otrokovem matematičnem razvoju, o možnih oblikah vključevanja in jih spodbuditi, da po svojih močeh tudi sami (še naprej) prispevajo k informiranju staršev o pomembnosti njihove vloge, predvsem pri oblikovanju otrokovega pozitivnega odnosa do matematike. Eden izmed glavnih napotkov, ki bi jih pedagoški delavci morali posredovati strašem v povezavi z njihovo vlogo pri oblikovanju otrokovega odnosa do matematike je, da naj pred otrokom ne poudarjajo svojih negativnih izkušenj z matematiko ali celo svojega sovražnega odnosa do učenja matematike. Prenašanje lastnih strahov in stališč o neuporabnosti, nepomembnosti matematike na otroka zagotovo ne bo pripomoglo k krepitvi njegovega pozitivnega odnosa do matematike. Ne glede na morebitne neprijetne predhodne matematične izkušnje pa lahko starši otroku približajo ljubezen do matematike preko skupnega igranja raznih družabnih iger in aktivnosti, povezanih z matematiko. Družinski večeri, preživeti ob igranju strateških iger (kot so recimo Kače in lestve, Blokus, Mancala, Mlin ...), so namreč lahko pomembni za doživljanje matematike kot zabavne in prijetne tako za otroke kot starše. S tega stališča pedagoškim delavcem priporočamo, da staršem posredujejo ideje o možnih matematičnih igrah, ki jih lahko igrajo skupaj s svojimi otroki. Staršem bodo v korist informacije, ki jih dobijo preko pogovora, morda preko letaka, še najbolj praktična pa je izvedba matematične delavnice za otroke in starše, kjer lahko starši igre preizkusijo in dobijo konkretne napotke iz prve roke. V prepričanju, da je vloga pedagoških delavcev pri ozaveščanju staršev o njihovem vplivu na otrokov matematični razvoj nezanemarljiva, in v upanju, da se vzgojitelji, učitelji in drugi pedagoški delavci tega zavedajo, si želimo, da bi s posvečanjem večje pozornosti tudi temu vidiku matematičnega izobraževanja s časom tudi v slovenskem prostoru začeli zaznavati premike na področju spodbujanja starševske vpletenosti v otrokovo matematično izobraževanje in opažati prve pozitivne vplive. ■ 21 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Literatura Aunola, K., Nurmi, J. E., Lerkkanen, M. K. in Puttonen, H. (2003). The roles of achievement-related behaviours and parental beliefs in children's mathematical performance. Educational Psychology, 23(4), 403-421. Bela knjiga o vzgoji in izobraževanju v Republiki Sloveniji. (2011). Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport. Bernie, J. in Lall, M. (2008). Building bridges between home and school mathematics: A review of the Ocean Mathematics Project, Institute of Education. Pridobljeno iz http://eprints.ioe.ac.uk/4003/1/Building_Bridges.pdf. Civil, M., Bernier, E. in Quintos, B. (2003). Parental involvement in mathematics: A focus on parents' voices. Paper presented at the annual meeting of AERA, Chicago, IL. Pridobljeno iz http://mapps.math.arizona.edu/papers/AERA_2003_Parental.pdf. Desforges, C. in Abouchaar, A. (2003). The impact of parental involvement, parental support and family education on pupil achievement and adjustment: A literature review. Nottingham, UK: Queen's Printer. Ehnebuske, J. M. (1998). In the Comfort of Their Own Homes: Engaging Families in Mathematics. Teaching Children Mathematics 4(6), 338-343. Epstein, J. L. in Sanders, M. G. (2000). Connecting home, school, and community: New directions for social research. V M. T. Hallinan (Ur.), Handbook of the sociology of education (str. 285-306). New York, NY: Kluwer Academic/Plenum Publishers. Family involvement in mathematics. (2003). FINE Forum 6, Cambridge, MA: Harvard Family Research Project. Pridobljeno iz http:// www.hfrp.org/publications-resources/browse-our-publications/family-involvement-in-mathematics Forte, J. (2010). Examining the Assumptions Underlying the NCLB Federal Accountability Policy on School Improvement. Educational psychologist, 45 (2), 76-88. Gadeyne, E., Ghesquiere, P. in Onghena, P. (2004). Longitudinal relations between parenting and child adjustment in young children. Journal of Clinical Child & Adolescent Psychology, 33, 347-358. Ginsburg, H. P., Cannon, J., Eisenband, J. G. in Pappas, S. (2006). Mathematical thinking and learning. V K. McCartney in D. Phillips (Ur.), Handbook of early child development (str. 208-229). Oxford: Blackwell. Henderson, A. T. in Mapp, K. L. (2002). A new wave of evidence: The impact of school, family, and community connections on student achievement. Annual synthesis 2002. National Center for Family & Community Connections with Schools. Pridobljeno iz http://www. sedl.org/connections/research-syntheses.html. Kreinberg, N. (1989). The practice of equity. Peabody Journal of Education, 66, 127-146. Lipovec, A. in Bezgovšek, H. (2006). The didactic Pentagon: students-teachers-parents-preservice teachers-teacher educators. Department of mathematics report series, 14, 85-88. Mathis, W. (2009). NCLB's ultimate restructuring alternatives: Do they improve the quality of education? Boulder, CO, and Temper, AZ: Education and the Public Interest Center & Education Policy Research Unit. Pridobljeno iz http://epicpolicy.org/publication/nclb-ultimate-restructuring. No Child Left Behind (NCLB) Act of 2001, Pub. L. No. 107-110, § 115, Stat. 1425 (2002). Pridobljeno iz www.ed.gov/nclb. Ocean Maths. (b. l). Pridobljeno iz http://www.ocean-maths.org.uk/about/overview. Onslow, B. (1992). Improving the Attitude of Students and Parents through Family Involvement in Mathematics. Mathematics Education Research Journal, 4 (3), 24-31. Onslow, B., Edmunds, G., Adams, L., Waters, J. in Chapple, N. (2002). Children and their parents: Learning math together and having fun, Child and Family, 2008, 6-14. Ontario Ministry of Education. (2005). Ontario Parent Involvement Policy. Pridobljeno iz: http://www.edu.gov.on.ca/eng/document/ nr/05.12/developing.pdf. Parents in Partnership: A Parent Engagement Policy for Ontario Schools. (2010). Pridobljeno iz http://www.edu.gov.on.ca/eng/parents/ involvement/PE_Policy2010.pdf. Parent Voice in Education Project Report. (2005). Pridobljeno iz http://www.edu.gov.on.ca/eng/document/reports/parentvoice.pdf. Pederson, K., Elmore, P. in Bleyer, D. (1986). Parent attitudes and student career interests in junior high school. Journal for Research in Mathematics Education, 17, 45-59. Penn, A. in Ramsay, S. (2013). Learning math and loving it. Education Letter, 25-28. Pridobljeno iz http://www.educ.queensu.ca/edu-cation-letter. Shaver, A. V. in Walls, R. T. (1998). Effect of Title I parent involvement on student reading and mathematics achievement. Journal of Research and Development in Education, 31, 90-97. Smernice za vključevanje otrok tujcev v vrtcih in šolah. (2009). Pridobljeno iz http://www.mizks.gov.si/fileadmin/mizks.gov.si/pageup-loads/podrocje/os/devetletka/program_drugo/Smernice_izobr_otrok_tujcev_v_vrtcih_in_solah.pdf. Strategija vključevanja otrok, učencev in dijakov migrantov v sistem vzgoje in izobraževanja v Republiki Sloveniji. (2007). Pridobljeno iz www.mizs.gov.si/fileadmin/.../Strategija_vkljucevanje_migrantov.doc. Šadl, V. (2011). Vpliv interesne dejavnosti na znanje šolske matematike. Diplomsko delo, Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta. Zakon o osnovni šoli. Uradni list RS, št. 81/2006. Pridobljeno iz http://www.uradni-list.si/_pdf/2006/Ur/u2006081.pdf#!/u2006081-pdf. Zakon o vrtcih. Uradni list RS, št. 12/1996. Pridobljeno iz http://www.uradni-list.si/_pdf/1996/Ur/u1996012.pdfWu1996012-pdf 22 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI SPECIFIČNE UČNE TEŽAVE PRI MATEMATIKI -oblike, značilnosti in prepoznavanje mag. Alenka Zupančič Danko Svetovalni center Maribor Povzetek V prispevku so predstavljena nekatera teoretična izhodišča o specifičnih učnih težavah pri matematiki. Opišemo delitev na splošne in specifične učne težave pri matematiki. Predstavljene so nekatere razvojne značilnosti, kot je občutek za števila. Opisani so nekateri primeri različnih težav pri diskalkuliji in specifičnih aritmetičnih težavah. Osnovni namen našega prispevka je osvetliti problematiko primanjkljajev pri tej skupini učencev. Ključne besede: učne težave pri matematiki, diskalkulija, specifične aritmetične učne težave. SPECIFIC LEARNING DISABILITIES IN MATHEMATICS -Types, Characteristics and Identification Abstract The article presents a few theoretical starting points for dealing with specific learning disabilities in Mathematics. It describes the distinction between general and specific learning disabilities in Mathematics. It presents a few developmental characteristics such as the number sense. It also describes a few examples of different problems in the case of dyscalculia and specific arithmetic learning difficulties. The main purpose of this article is to highlight the issue of disabilities in this group of students. Keywords: learning disabilities in Mathematics, dyscalculia, specific arithmetic learning difficulties. 1 Uvod V prispevku predstavljamo nekatere značilnosti otrok s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki, razliko med splošnimi in specifičnimi težavami ter nekatere primere, ki se pojavljajo pri posameznih oblikah specifičnih učnih težav pri matematiki. Značilnosti vseh skupin otrok s specifičnimi učnimi težavami, ki veljajo tudi za specifične učne težave pri matematiki, so: • da je kljub skupnim značilnostim to vedno individualna težava; • da je to raznolika skupina otrok z različnimi kognitivnimi, socialnimi, emocionalnimi in drugimi značilnostmi; • da gre za težave z nevrološko osnovo; • da se po težavnosti razprostirajo na kontinuumu od blagih do težkih; • da gre za pomembno večje težave, kot jih imajo vrstniki; • da so težave nepričakovane, lahko bi rekli, da so glede na ostale dosežke presenečenje; • da srečamo od enostavnih (na enem področju matematike) do kompleksnih oblik (komorbidnost z drugimi oblikami učnih in drugih težav je pogosta - z motnjami branja in pisanja, z ADHD sindromom, z neverbalnimi specifičnimi učnimi težavami, z ank-sioznostjo...); • ter da poznamo kratkotrajne do vse življenjske vplive težav (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Od naštetih značilnosti je odvisna odpornost - rezilientnost - otroka na težave - torej njegova reakcija na težave, vpliv težav na učni uspeh in na otrokovo psiho-socialno področje, potreba po pomoči in podpori ter zmožnost uspešnega obvladovanja težav. V prispevku se bomo osredotočili le na oblike in značilnosti težav ter iz tega izhajajoče nekatere oblike pomoči. Način predstavitve temelji na profesionalni izkušnji, da učitelj matematike otroka s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki lahko zelo dobro razume in nato tudi podpre, ko se seznani z »dogajanjem« med reševanjem matematičnih nalog in razume načine otrokovega razmišljanja ter njegove strategije. Izkušnje kažejo, da imajo poti reševanja matematičnih nalog te skupine otrok pogosto logično razlago, ki jo pogojuje otrokov primanjkljaj in se ne ujema z matematično ali drugo naravno pravilno razlago. 2 Opredelitev pojma »specifične učne težave pri matematiki« Pri opredelitvi pojma »specifične učne težave pri matematiki« izhajamo iz Kon- 23 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 cepta dela učne težave v osnovni šoli (2008), ki ga je sprejel Strokovni svet RS za splošno izobraževanje oktobra 2007 in je osnova za pripravo in izvajanje Izvirnih delovnih projektov pomoči (IDPP). Izvirni delovni projekt pomoči je dokument, ki vsebuje dogovorjeno zaporedje nalog in odločitev v procesu pomoči vsakemu učencu z učnimi težavami ter zapis o vseh udeleženih v projektu, o njihovih prispevkih in učenčevih uspehih (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Specifične učne težave pri matematiki se tako kot vse specifične učne težave razprostirajo na kontinuumu od lažjih, zmernih do težjih in težkih. Izvirni delovni projekt pomoči pa je dokument, ki ga šola pripravi na prvih treh korakih pomoči in je namenjen vsem otrokom s specifičnimi učnimi težavami, ne glede na mesto kontinuuma. Po devetih letih uresničevanja Koncepta dela učne težave v osnovni šoli predvidevamo, da vsi učitelji poznajo vseh pet korakov pomoči, zato se ne bomo ustavljali ob podrobnejših razlagah posameznih korakov ter razlikovanju med lažjimi in težjimi oblikami specifičnih učnih težav, temveč se bomo osredotočili na predstavitev posameznih oblik in njihovih značilnosti ter le omenili nekatere ukrepe pomoči, ki pa se lahko uporabijo na vseh petih korakih. 2.1 Učne težave pri matematiki: splošne in specifične Pri opredelitvi pojma »specifične učne težave pri matematiki« želimo najprej osvetliti razliko med splošnimi učnimi težavami in specifičnimi učnimi težavami pri matematiki. Od tega, ali gre za splošne ali specifične težave, so odvisne oblike pomoči, prav tako sta odziv otrok in vpliv učnih težav na psihosocialno področje za posamezno obliko specifična. Učenec s splošnimi učnimi težavami pri matematiki: • ima lahko mejne ali podpovprečne intelektualne sposobnosti (sodi v skupino otrok, ki počasneje usvajajo znanje); • ima lahko težave z usvajanjem pojmov, simbolov, veščin, strategij reševanja problemov; • pogosto izhaja iz manj spodbudnega okolja (slabo predznanje, manj spod- bud in pomoči doma ...) - vzrok težav so okoljski faktorji; • slabše obvladuje jezik (jezikovne težave, drugo jezično okolje ...); • je manj zbran, spregleda detajle, nenatančno prebere navodila ... (Vipavc, Kavkler, 2015). Za učenca s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki je značilno: • neskladje med učenčevimi povprečnimi ali nadpovprečnimi intelektualnimi sposobnostmi in dobro splošno šolsko uspešnostjo pri ostalih predmetih na eni ter izrazitimi težavami pri matematiki na drugi strani; • izrazitost učnih težav pri matematiki (nižji rezultati na matematičnih testih v primerjavi z njegovimi vrstniki ali dvoletni zaostanek za vrstniki pri obvladovanju matematičnih znanj); • vztrajnost učnih težav (izrazite, dolgotrajne kljub prilagoditvam, vloženemu trudu ter času in pomoči); • nepričakovanost težav (Magajna, Veli-konja, 2011). 2.2 Specifične učne težave pri matematiki Specifične učne težave pri matematiki delimo v dve skupini: DISKALKULIJO in SPECIFIČNE ARITMETIČNE UČNE TEŽAVE, tako kot jih deli Koncept dela učne težave v osnovni šoli (2008). Pri obeh skupinah ugotavljamo, da: • gre za primanjkljaje aritmetičnih sposobnosti in spretnosti; • gre za težave na področju veščin računanja ter skupek težav pri učenju matematike in reševanju računskih nalog; • težave niso posledica motnje v duševnem razvoju ali neustreznega poučevanja; • gre za težave obvladovanja OSNOVNIH aritmetičnih sposobnosti in spretnosti, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje ter manj za težave pri bolj abstraktnih spretnostih in sposobnostih iz algebre, tri-gonometrije in geometrije (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). V teoriji najdemo različne delitve specifičnih učnih težav pri matematiki. Nekateri avtorji diskalkulijo in specifične teža- ve pri matematiki enačijo (Adler 2008, po Vipavc, 2015). Ob tem ne smemo pozabiti, da imajo lahko specifične težave pri matematiki tudi otroci s povprečnimi sposobnostmi, ki na vseh področjih dosegajo v glavnem povprečne učne dosežke, a matematika pri njih še odstopa. Še enkrat želimo poudariti, da specifične težave opredeljuje predvsem razlika med dosežki pri matematiki in dosežki na drugih področjih ter da gre za specifične - posebne - težave na nivojih, kjer otroci s splošnimi učnimi težavami in nizkimi učnimi dosežki praviloma nimajo težav. 3 Pogostost, značilnosti in prepoznavanje specifičnih učnih težav pri matematiki V literaturi tako kot pri vseh oblikah specifičnih učnih težav najdemo različne podatke o pogostosti pojavnosti specifičnih učnih težav pri matematiki: gibljejo se od 1 do 10 %, najpogosteje med 3 do 6 %, razlike so najpogosteje pogojene s kriteriji ocenjevanja (Vipavc in Kavkler, 2015). Pri številu 20 učencev v razredu lahko v povprečju pričakujemo enega otroka s temi težavami na razred. Za specifične učne težave pri matematiki je enako kot za vse specifične učne težave značilen specifičen način kognitivnega funkcioniranja. Nanj moramo biti posebej pozorni, ko pri učencu razvijamo načine pomoči, kompenzatorne in meta-kognitivne strategije reševanja težav in ko gradimo na preprečevanju sekundarnih posledic (slabi splošni ali le šolski samo-podobi, izgubi motivacije za učenje .) in na močnih področjih. 3.1 Specifične razvojne značilnosti učencev s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki Specifične razvojne značilnosti učencev s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki so navedene v kriterijih za opredelitev primanjkljajev na posameznih področjih učenja, in sicer pri opisu primanjkljajev na področju matematične pismenosti (Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A., 2014). 24 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Pri otroku tako ugotavljamo težave pri razvoju • občutka za števila, • točnosti matematičnega rezoniranja, • avtomatizacije aritmetičnih dejstev ter • sposobnosti hitrega in tekočega računanja oz. točnosti izvajanja in/ali avtomatizacije aritmetičnih postopkov. a) Občutek za števila Občutek za števila ima nevrološko osnovo in je sposobnost hitro razumeti, oceniti in uporabiti številčno kvantiteto (Dehae-ne, 2001). Občutek za števila predstavlja sposobnost: • prepoznavanja pomena in razumevanja števil, odnosov med njimi (npr. k 195 je treba prišteti 5, da dobimo 200) in njihove raznolike uporabe; • fleksibilne uporabe števil v vseh štirih aritmetičnih operacijah; • uporabe in razumevanja števil v strategijah štetja in računanja (npr. kako pisno seštejemo 447 + 320); • razvoja strategij za reševanje kompleksnih matematičnih problemov; • merjenja, prepoznavanja odnosa del -celota (dneva) (Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A., 2014). Za ilustracijo: v primerjavi z vrstnikom s težavami otrok brez težav »ve«, • da 5 pomeni pet hiš, pet žog, pet različnih predmetov ., • kako se 5 razlikuje od 4, • kaj je večje - 4 ali 5, • kako si predstavljamo količine, velikosti, • kaj pomeni povezava numeričnega pomena številke s simbolom 5 ipd. Pri reševanju matematičnih nalog mora otrok nujno prepoznati in hitro procesirati številske velikostne odnose, zapisane v simbolnem jeziku. Tudi otroci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki to naredijo, ne gre za celovit razpad sistema (kot pri akalkuliji), vendar porabijo več časa, da pridejo do odgovora, uporabijo druge strategije (npr. 8 + 8 - en otrok si zapomni rezultat, drugi uporabi strategijo seštevanja) in naredijo več napak kot vrstniki (Hinton in Fischer, 2013). Ko je prizadeto področje, ki reprezentira kvantiteto, v zgodnjem obdobju šolanja opažamo še: • zaostanek pri štetju, • težave pri prepoznavanju skupin prstov (štejejo prste na roki), • zaostanek pri uporabi strategije štetja pri dodajanju, • težave pri primerjanju manjših količin (npr. 7 in 9), • težave pri zapomnitvi matematičnih dejstev (npr. 2 + 3, 2 • 3 ...), • težave pri avtomatiziranem procesiranju simbolov števil - če slišimo ali preberemo 7, se hitro zgodi dostop do občutka za kvantiteto - pri teh otrocih gre to počasneje in z več napora, • težave pri miselni predstavitvi številskega traku in • težave pri razdruževanju števil (npr. 10 = 4 + 6). b) Matematično rezoniranje Matematično rezoniranje omogoča eval-vacijo matematične naloge ali problema, izbiro strategije reševanja naloge ali problema (npr. kako sešteti 8 + 8), oblikovanje logičnih sklepov, opis rešitev in prepoznavanje rabe teh rešitev, refleksijo rešitev in ugotovitev smiselnosti teh rešitev (npr. 195 + 5 ne more biti 205). Je argument, s katerim utemeljujemo procese, postopke in domneve z namenom oblikovanja močnih konceptualnih osnov in povezav, ki omogočajo otroku procesiranje novih informacij (Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A., 2014). Pri predstavitvi primerov bomo videli, da otroci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki zaradi šibkega matematičnega rezoniran-ja ne uvidijo napačnih rešitev, ki so za zunanjega opazovalca celo absurdne. c) Avtomatizacija aritmetičnih dejstev in sposobnost hitrega in tekočega računanja Težave v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in težave v sposobnosti hitrega in tekočega računanja predstavljamo pri podrobnejšem opisu diskalkulije in podskupin specifičnih aritmetičnih učnih težav. 3.2 Diskalkulija Diskalkulija pomeni zmerne in težje učne težave pri matematiki na vseh področjih od občutka za števila, priklica dejstev in postopkov do matematičnega rezoniranja (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). V praksi opažamo potrditev teoretičnih spoznanj, da so za učence z diskalkulijo značilna nihanja v izkazanem znanju. To dejstvo bega tako učitelje kot starše, pri otroku pa povzroča dodatno stisko. Učenec z diskalkulijo se lahko v določenem trenutku uspešno spoprime z določeno nalogo, le trenutek kasneje ali naslednji dan pa bo pri enaki nalogi popolnoma odpovedal. Lahko tudi hitro reši katero izmed zahtevnejših nalog, a se ustavi pri enostavnem primeru, kot je 4 + 5, kjer si mora pomagati z računanjem na prste. V določenem trenutku pravilno reši naloge, takoj zatem se neke naloge sploh ne zna lotiti (Adler 2008, po Vipavc, 2015). Vprašamo se, kam je vso že osvojeno znanje izginilo in ali je bil ves trud zaman? Čez nekaj časa lahko učenec znanje spet prikliče. Menimo, da je nihanje v izkazovanju znanja dodatna ovira pri diagnosticiranju v razredu pri pouku matematike, saj lahko učenec trenutno snov zadovoljivo obvlada, veliko bolj enostavnih temeljev pa ne. Za otroke s splošnimi učnimi težavami pri matematiki na drugi strani je značilno, da naloge rešujejo dokaj suvereno do določenega težavnostnega nivoja, nato pa odpovedo. Diskalkulija je lahko: • pridobljena; ta je posledica določene oblike možganske okvare - osebe s pridobljeno diskalkulijo imajo težave z dojemanjem števil in aritmetičnih operacij. Večkrat jo srečamo pri otroci s posledicami cerebralne paralize, kjer včasih govorimo o »slepi pegi« za matematiko; • razvojna; ta je povezana z vsemi elementi matematičnega znanja; s slabšim konceptualnim, proceduralnim in deklarativnim znanjem (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Matematični dosežki so glede na otrokovo starost, inteligentnost in potek izobraževanja pomembno nižji, kot bi jih pričakovali. Za ilustracijo: 195 + 5 ali 8 - 2 še v višjih razredih (7. razred) računajo pisno. Diskalkulija; občutek za števila, številska zaporedja (slika 1): 16-letna dijakinja z razvojno diskalkulijo je prva tri števila pravilno prebrala ter nadaljevala niz, kot je zapisano; pri ponovnem branju je vseh pet števil prebrala pravilno, kot so zapisana, vendar napake ni zaznala. Ko smo preverjali razumevanje mestnih vredno- 25 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Slika 1: Diskalkulija, občutek za števila sti, je za določanje enic, desetic in stotic potrebovala več časa, opazna je bila negotovost, vendar se ni zmotila. Pri višjih vrednostih je negotovost še narasla, vendar tudi tu ni bilo napak. Težava je v tem, da tudi po določitvi mestnih vrednosti in po ponovnem branju sama ni ugotovila napake v zapisanem zaporedju. Pri matematiki z veliko truda in časa dosega oceno 3 (dobro), pri ostalih predmetih dosega prav dobre in odlične ocene brez večjega truda (zaradi matematike ji tudi zmanjka časa za ostale predmete). Diskalkulija - računanje v obsegu do 1000 (slika 2): Pri učenki je bila diagnos-ticirana diskalkulija v 7. razredu, potem ko je na razliko med matematiko in ostalimi predmeti postala pozorna učiteljica matematike. Iz preizkusa, ki ga je reševala skoraj 20 minut, je razvidno, da so za učenko napor že osnovne računske operacije. Namesto hitrega avtomatiziranega priklica uporablja strategije na nižjem nivoju (računanje na prste oz. preštevanje do 20 in pisno računanje do 10, 20, 100 in 1000 - z rdečo obkrožena števila) ter podporne strategije (pisanje večkratnikov pri poštevanki, ki jih nato prešteva - z rdečo obkrožena primera pri 9 • 4 = 36). Učenka je poštevanko utrjevala več let, a neuspešno. Otroci z diskalkulijo uporabljajo omejeno število strategij in jih ne spreminjajo. Med osnovno šolo pričakujemo omejeno stopnjo razvoja in sprememb. OSNOVNA PRVA OBLIKA POMOČI V ŠOLI: podaljšan čas in možnost uporabe žepnega računala. S tema prilagoditvama je učenka pri matematiki dosegla pozitivno ali celo dobro oceno, pri ostalih predmetih je dosegala prav dobre in tudi odlične ocene. 3.3 Specifične aritmetične učne težave Specifične aritmetične težave so v nasprotju z diskalkulijo razporejajo na celotnem kontinuumu od lažjih do težjih. Glede na povezanost s kognitivnimi in nevrološkimi primanjkljaji jih delimo na tri podskupine: • I. Specifične aritmetične težave, ki so povezane s slabšim semantičnim spominom: ti učenci imajo težave s priklicem aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina (npr. poštevanke; seštevanja in odštevanja z enomestni-mi števili). • II. Specifične aritmetične težave, ki so povezane z aritmetičnimi proceduralnimi težavami: ti učenci imajo težave v obvladovanju matematičnih postopkov: jih ne avtomatizirajo, so počasni, manj točni oz. uporabljajo manj razvite ali nepopolne aritmetične postopke. • III. Specifične aritmetične težave, ki so povezane z vizualno-prostorskimi težavami: ti učenci neustrezno uporabljajo vizualno prostorske spretnosti za predstavljanje in razlago aritmetičnih informacij. Vizualno-prostorske težave vplivajo na reševanje nalog pri aritmetiki in pri geometriji (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008). Vrsto težav ob reševanju matematičnih nalog ugotovimo z analizo napak in pos- Slika 2: Diskalkulija; občutek za števila, težave s priklicem deklarativnih znanj, slabše proceduralno in konceptualno znanje. 26 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI lušanjem razlag načinov reševanja. Opazovati je treba proces reševanja in uporabljene strategije, ne le rezultat. V nadaljevanju predstavljamo nekaj primerov. Opisani primeri potrebujejo še podrobno analizo vzrokov, interpretacije ter načrt za odpravljanje težav, ki nastanejo v okviru timske diagnostike (psiholog, specialni pedagog) in povezave z izvajalci pomoči (učitelj predmeta matematike, specialni pedagog). V prispevku smo samo nakazali nekaj smeri pomoči. I. Specifične aritmetične težave, ki so povezane s slabšim semantičnim spominom Pri teh učencih je otežen priklic osnovnih deklarativnih znanj oziroma aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina. Za ilustracijo predstavljamo dva niza številskih izrazov v obsegu do 1000 (slika 3), ki sta ju reševala enako stara dijaka (1. letnik). Stolpec na levi strani je reševala dijakinja s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki, ki obiskuje štiriletni program in dosega dobro oceno pri matematiki; stol- p* ■ 'i 7+Í-..S lí+í-Ji, 9*7- r*s= 4b s+s + T (-* j H-7- jfr ---^ v ^ „ _ Hñ pec na desni je reševal dijak triletnega poklicnega programa, ki pri vseh predmetih dosega v povprečju dobre ocene. Največje razlike vidimo v: • času reševanja: dijakinja s težavami 8 minut, dijak brez težav 4 minute; • strategijah računanja: dijakinja namesto hitrega avtomatiziranega priklica uporablja nižje strategije pisnega seštevanja, v katerih pa je zanesljiva; • zanesljivosti: dijakinja brez opore s prsti dobi seštevek 12 + 8 je 30, šele opora s prsti ji da zanesljivejšo informacijo, v katero desetico seže rezultat. Hkrati je verjetnost napak pri razvojno manj zreli strategiji preštevanja večja; • računanju na pamet: pri dijakinji skoraj ni možna manipulacija s števili s pomočjo miselne vizualizacije - vizualne predstave informacij. Nasprotno dijak uporablja to strategijo pri skoraj vseh primerih, tudi pri izrazih s prehodom in primerih dopolnjevanja. n 6 + 10 13 #1 Ti B-l eo 50 * 16 ■ 43 H 81- 2 p-3-t-fli ► 4" T = JL •Ar AL. t -2£L ■ 1Ù-40 ; M < SOIS i Î6 - ^fcj® t Í * 4=Jé_ 520 + iOCi Ï X 1Î : Jt ;S« 4 «t» "¿i? îïî - TM 4Ü2 740 + 2ÉQ- 1WD 2i«(4« B) rt « Ji (H : 6J-5V? -AaSL «.El TU OSNOVNA PRVA OBLIKA POMOČI V ŠOLI: podaljšan čas in možnost uporabe žepnega računala. II. Specifične aritmetične težave, ki so povezane z aritmetičnimi proceduralnimi težavami Ti učenci uporabljajo manj razvite ali nepopolne aritmetične postopke (npr. težave imajo s sposojanjem in prenašanjem desetic pri pisnem odštevanju) (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008, str. 45); Primer 1: 63•9 = 602 Razlaga: Učenec razloži postopek računanja: »3 • 9 = 27, 2 napišemo, 7 štejemo dalje; 6 • 9 je 54, prištejemo 7 (se zmoti v seštevanju) in dobimo 60, pripišemo k 2 = 602«. Gre za primer, ki je le sestavni del daljše naloge in jo je učenec dobil v 7. razredu. Učenec zna določiti in pokaže ustrezno razumevanje mestne vrednosti pri tromestnih in dvomestnih številih. Pri računanju število glasno izgovori, nato ravna tako, kot je razložil. Pri sestavljenih nalogah ima še vedno tudi težave z obračanjem dvomestnih števil, pri preverjanju zapisa, branja in razvrščanja števil te težave niso opazne, saj se jih zaveda in je zavestno pozoren na ustrezne mestne vrednosti in pravilen zapis števil. Primer 2 (učenčev zapis pisnega seštevanja): 4 8 + 11 6 1 5 4 Razlaga: Učenec pravilno sešteje enice (8 + 6 = 14) in zapiše 4. Pripiše 1 (število desetic) k deseticam v drugem šestevan-cu (11). Nato pa sešteje 11 + 4. Učenec vidi 11 kot število 11, ki je nastalo z dodajanjem števke, ne zaveda pa se, da mora števili (1 in 1) sešteti. Primer 3: 11213 • 15 520353 Slika 3: Priklic osnovnih deklarativnih znanj - podčrtani so primeri, kjer je dijakinja uporabila nižje strategije: računanje na prste in pisno računanje (glej pomožne račune). Razlaga: Učenec izmenjaje množi enice in desetice in tudi sproti sešteva števila: 27 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 »1 • 3 je 3; 3 • 5 je 15, 5 napišemo, 1 dalje; 1 • 2 je 2 + 1 (ki smo jo šteli dalje) je 3; 5 • 2 je 10, 0 napišemo, 1 dalje; 1 • 1 je 1 + 1 (ki smo jo šteli dalje) je 2; in 5 • 1 je 5. Dobili smo otrokovo razlago postopka. Primer kaže le težavo, ne kaže pa nam poti iz nje in ne razkriva vzrokov. Da gre za specifične aritmične težave, nam kažejo informacije, da ne gre za otroka, ki počasneje usvaja znanja zaradi mejnih ali podpovprečnih intelektualnih sposobnosti (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrin-čič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008); da so težave pri tem otroku nepričakovane glede na njegove ostale učne dosežke, in da jih ne srečamo pri vrstnikih, ki so bili deležni enakega sistema poučevanja. Za učinkovito pomoč potrebujemo timsko diagnostike (psiholog, specialni pedagog), načrt pomoči in povezavo z izvajalci pomoči (učitelj, specialni pedagog). III.Specifične aritmetične težave, ki so povezane z vizualno-prostorskimi težavami Ti učenci neustrezno uporabljajo vizual-no-prostorske spretnosti za predstavljanje in razlago aritmetičnih informacij. Težave imajo pri smereh računanja, pri točnem podpisovanje števk, pri postavljanju decimalnih vejic, pojavljajo se napačni zapisi v večmestnem številu, preskakovanje vrst ali kolon, imajo slabo orientacijo na listu in tabli (težave so prepisi, še posebej prepisi s table), imajo slabe predstave o prostoru, dolžini ... Ti otroci imajo predvsem v nižjih razredih več težav v osvajanju orientacije na številski lestvici (levo desno, navzgor navzdol), saj ta spretnost vključuje tudi prostorsko orientacijo. Primer 4: Učenec odšteva večje minus manjše: 2 - 14 = 12 Primer 5 (učenčev zapis pisnega seštevanja): 6 5 2 + 5 1 5 1 4 11 1 7 Učenec sešteva 652 in 554 in pozna postopek, a ga začne na napačni strani. Najprej sešteje stotici, napiše 11 in šteje 1 naprej, nato sešteje 5 in 5 ter ponovno šteje 1 naprej in na koncu sešteje enici 4 in 2, prišteje še 1 in dobi 7. Ponovno poudarjamo, da gre za otroka s specifičnimi aritmetičnimi težavami in da mora ugotovljenim težavam slediti diagnostika in načrt za odpravljanje težav. OSNOVNA PRVA OBLIKA POMOČI: grafična opora. Vsako oporo, pripomoček, strategijo ali opomnik moramo učenca najprej naučiti uporabljati, nato naj ga uporablja v vseh fazah pouka. Uporabljamo jo v primerih, ko so specifične aritmetične težave, povezane z vi-zualno-prostorskimi težavami, pretežno izolirane. Kajti sicer je bolj smiselna pomoč uporaba računala. PISNO SEfiT£VANJC H_ UJ ^ TU Jjcm >'30 »JjTitutl SUŠE Slika 4: Primer grafične opore pri težavah z napačno smerjo pisnega seštevanja. Primer 6: 2 3 4 +3 51 8 9 5 9 2 9 Učenec napačno podpiše števili, ker predvideva, da se morajo pri seštevanju prostorsko ujemati na levi strani. Napako lahko popravi, če ga spomnimo na koncept mestne vrednosti, ni pa nujno, da mu to znanje omogoči dovolj hiter in samostojen uvid napake. Napaka ni dosledna; isti učenec je ne ponavlja, ampak se pojavlja občasno (podobno kot obračanje dvomestnih števil v nižjih razredih). Zaključek Timothy Gowers je v knjigi Matematika - zelo kratek uvod (2011) zapisal misel, da matematika, za razliko od večine ostalih ved, ves čas gradi sama na sebi, zato omogoča napredovanje zgolj na podlagi razumevanja predhodne snovi, ki se dejansko tudi ne sme pozabiti. Pri specifičnih učnih težavah pri matematiki smo pogosto v situaciji, ko učenec sicer pokaže določeno stopnjo razumevanja, a ne ve oziroma ni prepričan, kaj vidi, česa se spomni, kje je in kam naj gre! Zato potrebuje pomoč. Pri vsakodnevnem praktičnem delu skušamo učencem s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki najprej na njim razumljiv način pokazati in razložiti, kaj je njihova težava in kaj se dogaja, nato pa jih skušamo opremiti z uporabnimi načini obvladovanja v prispevku predstavljenih težav. Pri tem so timska diagnostika, načrt pomoči ter podpora v šoli in doma bistvenega pomena in bi jim morali nameniti samostojen prispevek. Pri oblikovanju načrta pomoči izhajamo iz definicije, da je kvantitativna (računska) pismenost opredeljena kot sposobnost reševanja aritmetičnih problemov, ki jih zahteva vsakodnevno življenje. Te probleme naj učenci rešujejo drugače, naj imajo več časa, z oporami in pomočjo učitelja in drugih. Pomembno je, da se jih ne ustrašijo in da specifična učna težava pri matematiki ne postane psihosocialni problem. ■ 28 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Viri in literatura Gowers, T. (2011): Matematika - zelo kratek uvod. Ljubljana: Krtina. Hinton, C., Fischer K. W. (2013): Učenje iz razvojne in biološke perspektive. V O naravi učenja: uporaba raziskav za navdih prakse. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Kalan, M. (2015): Obravnava otroka z diskalkulijo v Svetovalnem centru za otroke, mladostnike in starše v Ljubljani. V Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami. Magajna, L., Čačinovič Vogrinčič, G., Kavkler, M., Pečjak, S., Bregar-Golobič, K. (2008): Učne težave v osnovni šoli: koncept dela. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Magajna, L., Velikonja, M. (2011): Učenci z učnimi težavami. Prepoznavanje in diagnostično ocenjevanje. Ljubljana: Pedagoška fakulteta. Magajna, L., Kavkler, M., Košak Babuder, M., Zupančič Danko, A., Seršen Fras, A. (2014): VII. Otroci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja. V N. Vovk Ornik (ur.) Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebam. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Ivačič, A., Jokan, N., Podlogar, P., Simončič, A., Tašner, M., Marija Kavkler, M., Milena Košak Babuder, M. (2014): Pomoč in podpora učitelju za delo z učenci z diskalkulijo: priročnik z osnovnimi podatki, načinom prepoznavanja in nekaterimi strategijami za pomoč: naloga pri predmetu Poglobljena diagnostična ocena in oskrba oseb s PPPU. Ljubljana: Pedagoška fakulteta. pdf (30. 4. 2016). Vipavc, J., Kavkler, M. (2015): Konceptualne osnove obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki. V Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami. Vipavc, J. (2015): Težave pri učenju matematike. V Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev. Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami. spletna stran http://www.aboutdyscalculia.org/symptoms.html (1. 4. 2015). spletna stran http://www.unicog.org/publications/Dehaene_PrecisNumberSense.pdf (30. 4. 2016). 29 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Uvajanje formativnega spremljanja pri vsebini krog in krožnica Štefka Smej Osnovna šola Cerkvenjak, Vitomarci Povzetek V prispevku je predstavljeno formativno spremljanje in ocenjevanje učenčevega napredka kot eden izmed načinov dela, ki uspešno sledi smernicam sodobnega pouka in vodi učence na poti optimalnega razvijanja spretnosti in sposobnosti skladno z njihovimi zmožnostmi. V prvem delu so predstavljene predvsem prednosti tega načina dela z željo, da bi učitelji uvideli praktično vrednost, ki bi jih spodbudila k načrtnemu in sistematičnemu vnašanju strategij formativnega spremljanja v lastno poučevalno prakso. Posebej so izpostavljene prednosti sodelovanja učencev pri načrtovanju ciljev ter kriterijev uspešnosti in njihovega samovrednotenja ter samoregulacije učenja. Vpeljava omenjenih strategij v prakso z opisom težav, ki se lahko ob tem pojavijo, je ponazorjena na primeru obravnave vsebinskega sklopa obseg in ploščina kroga v osmem razredu. Ključne besede: formativno spremljanje, načrtovanje ciljev in kriterijev uspešnosti, samoocenjevanje Introducing Formative Assessment for the Topic of Circle and Circumference Abstract This paper presents the formative assessment and evaluation of a student's progress as a work method that successfully follows the guidelines for contemporary instruction and guides students on the path to optimally developing their skills and abilities, in accordance with their capabilities. The first part primarily presents the advantages of this work method with the desire to make the teachers see its practical value, which would encourage them to deliberately and systematically introduce formative assessment strategies into their own teaching practice. It points out the advantages of students participating in the planning of objectives and success criteria, and of their self-assessment and self-regulation of learning. The introduction of the above-mentioned strategies into practice and a description of problems that may arise in the process is illustrated on the example of discussing the topic of the length of circumference and area of the circle and circumference in the eighth grade. Keywords: formative assessment, planning of objectives and success criteria, self-evaluation Uvod V današnji hitro spreminjajoči se družbi se spreminjajo številni družbeno-eko-nomski in družinski dejavniki, ki večajo število različnih potreb učencev v posameznem razredu. Vizija sodobne šole tako temelji na razmišljanju o prihodnosti učenja in poučevanja raznolike populacije učencev ter načrtovanju sprememb. V viziji šole 21. stoletja je tudi zapisano, da je za izzive, ki jih prinaša raznolikost otrok v šolah, treba najti rešitve (Berry, idr., 2010). Eden od korakov na poti k tej rešitvi je formativno spremljanje učencev, ki učiteljem pomaga pri izpolnjevanju temeljnega poslanstva, vsakega učenca vzgojiti v samostojnega in odgovornega posameznika, sposobnega samostojnega in kritičnega mišljenja, da bo lahko uspešno funkcioniral na vseh področjih družbenega delovanja. Če želimo povečati kakovost in trajnost pridobljenega znanja in doseči, da bodo vsi učenci optimalno razvili svoje spretnosti in sposobnosti skladno s svojimi zmožnostmi, moramo poučevanje prilagoditi njihovim individualnim potrebam. V ta namen moramo učitelji zelo dobro poznati svoje učence. V vseh fazah učnega procesa moramo sistematično zbirati, urejati in uporabljati informacije o njihovem predznanju, delu, napredku in dosežkih. Zbrane podatke, ob upoštevanju njihovih močnih in šibkih področjih, moramo uporabiti pri načrtovanju in izvajanju učnega procesa, ki ga individualiziramo in prilagajamo posameznikom in skupinam učencev. To nam omogoča, da učencem nudimo takojšnjo in kakovostno povratno informacijo, ki jih usmerja pri nadaljnjem delu. Pri takšnem načinu dela učenci ne zaznavajo učitelja samo kot posredovalca znanja in ocenjevalca, ampak tudi kot organizatorja raziskovanja. Ob upoštevanju sodobnih raziskav o delovanju možganov in posledično sodobnih pristopov k poučevanju, učitelji, kot pravi Rutar (2005; pov. po 30 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Škerjanc, 2011), svojo pozornost usmerjamo na načine, po katerih pridejo učenci do vsebin in veščin. Torej ni več pomembna samo vsebina, kaj učenci znajo, ampak pot, kako so do te vsebine prišli. Učenci morajo biti v proces učenja vključeni čim bolj aktivno, saj se po besedah Barice Marentič Požarnik (2000) kakovostnejše in trajnejše znanje doseže z aktivnejšimi oblikami dela, ki učence sistematično spodbujajo in usmerjajo k raziskovanju, razmišljanju in odkrivanju novega. Poleg tega aktivna udeležba v procesu učenja in sprotna povratna informacija povečujeta učenčevo notranjo motivacijo in lastno odgovornost za uspeh. Kakovostne povratne informacije lahko učitelji učencu zagotovimo, če sproti celostno spremljamo njegov napredek. Spremljati moramo, kje v procesu učenja je učenec, kam gre ter kaj mora storiti, da bo do tja prišel. Spremljanje napredka učenca le po rezultatih pisnega in ustnega ocenjevanja znanja še zdaleč ni dovolj. Potrebo po formativnem spremljanju napredkov učencev je mogoče zaslediti že v Pravilniku o preverjanju in ocenjevanju znanja ter napredovanju učencev v osnovni šoli (2013), ki učitelja pri preverjanju in ocenjevanju znanja zavezuje k upoštevanju naslednjih načel: • spoštuje osebno integriteto učencev in različnost med njimi; • daje učencem, učiteljem in staršem povratne informacije o učenčevem individualnem napredovanju; • omogoča učencu kritični premislek in vpogled v usvojeno znanje; • prispeva k demokratizaciji odnosov med učenci in učitelji. Opredelitve formativnega spremljanja Zaradi hitrega tehnološkega napredka, novih spoznanj o delovanju možganov in učenju ter drugačne vzgoje in vrednot številni tuji in domači strokovnjaki s področja pedagoške psihologije, pedagogike, didaktike in sorodnih ved proučujejo formativno spremljanje kot alternativo tradicionalnim didaktičnim modelom, ki naj bi povečali trajnost in uporabnost znanja. V literaturi zasledimo številne opredelitve formativnega spremljanja. Dodge (2009) formativno spremljanje opredeli kot proces stalnega spremljanja, opazovanja, pregledovanja in vrednotenja, ki ga izva- jamo z namenom, da učitelj prilagaja svoje poučevanje in daje učencem povratne informacije o njihovem učenju. Ta proces naj bi temeljil na zbiranju dokazov, s katerimi preverjamo razumevanje učencev, in jasnih kriterijih za vrednotenje učnih dosežkov. Tudi Marentič Požarnik (2000) pri formativnem spremljanju poudari kontinuirano izvajanje med učnim procesom, z namenom zbiranja informacij za čim učinkovitejše usmerjanje pouka in učenja. Nekateri avtorji pa pri opredelitvi formativnega spremljanja poudarjajo predvsem njegov namen, in sicer ugotavljanje učenčevega razumevanja učnih vsebin ter analiziranja in odpravljanja vzrokov, zaradi katerih učenec te vsebine ne razume ali slabo razume. Sama formativno spremljanje, izhajajoč iz teoretičnih opredelitev in izvajanja v praksi, opišem kot sodobni didaktični koncept, ki od učitelja zahteva bolj poglobljeno spremljanje učnega funkcioniranja slehernega učenca, dajanje kakovostnih povratnih informacij in načrtovanje pouka, v katerem osrednjo vlogo prevzema učenec z namenom, da vsak učenec glede na svoje realne zmožnosti doseže optimalne učne dosežke. V svoji opredelitvi poudarjam besedo bolj, s katero izražam večjo mero spremljanja. Učitelji smo spremljali učno funkcioniranje in dosežke učencev že pred načrtnim uvajanjem formativnega spremljanja, le da so bili ti podatki takrat manj uporabljeni za namene individualnega prilagajanja učnega procesa učencem glede na njihova močna in šibka področja ter njihove trenutne sposobnosti. Učenci pri tradicionalnem pouku niso prevzemali tolikšne aktivne vloge, pri kateri bi poleg usvojenega znanja bil poudarek na razvijanju sposobnosti kritičnega samoocenjevanja lastnih spretnosti in sposobnosti, razumevanja namenov učenja in kriterijev ocenjevanja, postavljanja realnih ciljev ter načrtovanja dejavnosti za njihovo doseganje. Učitelj je bil posredovalec znanja, ki je razložil snov, učenci so si snov zapisali, jo vadili in si jo zapomnili. Prednosti formativnega spremljanja Formativno spremljanje se je kot dopolnitev in obogatitev tradicionalnih načinov poučevanja začelo uvajati v prakso zaradi prednosti, ki so jih izpostavljali njegovi za- govorniki na teoretični ravni. Poučevanje po izključno tradicionalnem, frontalnem načinu učiteljem več ne zadošča za doseganje ciljev izobraževanja, ki so se zaradi številnih, predvsem družbenih sprememb korenito spremenili. Zagotovo pa kljub sodobnim didaktičnim metodam dela ne gre v celoti opustiti frontalnega pouka. Ob strokovni presoji, ki mora izhajati izključno iz potreb učencev, učitelji v dobri poučevalni praksi posamezne elemente tradicionalnega načina poučevanja še naprej uporabljamo. Številne od izpostavljenih teoretičnih prednosti formativnega spremljanja se po dalj časa trajajočem in doslednem izvajanju njegovih posameznih korakov pokažejo tudi v praksi. Pozitivni učinek je po mojih izkušnjah v prvi vrsti pogojen s spreminjanjem tradicionalnega in dokaj močno zakoreninjenega načina poučevanja, značilnega za behavio-ristični in kognitivni pristop, kjer z željo, da imamo vse pod nadzorom, osrednjo vlogo prevzemamo učitelji. Osrednja vloga mora biti sedaj prepuščena učencem, učitelji prevzamemo vlogo organizatorja pouka in motivatorja. Takšna oblika pouka je učinkovita šele takrat, ko so učenci usposobljeni za čim bolj učinkovito samostojno in sodelovalno učenje. Tukaj v procesu formativnega spremljanja vidim potrebo po tesnem sodelovanju vseh strokovnih delavcev, ki delajo z učenci v osnovni šoli. Učenje učenja oz. seznanjanje učencev z ustreznimi strategijami in tehnikami učenja ter navajanje na njihovo uporabo je proces, ki mu morajo slediti vsi učitelji že od prvega razreda. Ada Holcar Brunauer (2014) navaja, da je bilo formativno spremljanje razvito z namenom, da bi motiviralo učence, spodbujalo razumevanje ciljev in kriterijev uspešnosti, pomagalo pri napredovanju, učencem omogočalo možnosti za samo-ocenjevanje, učitelje spodbujalo k spremljanju širokega nabora dosežkov in uporabi testov zgolj kot enega izmed pristopov k ocenjevanju z namenom izboljšanja učenja. Prednost spremljanja učenca skozi celoten proces pridobivanja znanja in napredovanja pred spremljanjem le preko rezultatov preverjanja in ocenjevanja znanja poudarja tudi Čadež (2010, pov. po Vižintin, 2014). Isti avtor (prav tam) kot prednost izpostavlja še spremembe v komunikaciji oz. odnosu med učencem, učitelji in starši. Slednji naj bi ob takem načinu dela poznali tudi pot do cilja in ne le rezultate, kar od njih zahteva prevzemanje svojega dela odgovornosti in ko- 31 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 munikacijo z učiteljem pri načrtovanju dela v okviru svojih kompetenc. Forma-tivno spremljanje od marsikaterega učitelja zahteva z vsebinskega vidika drugačno sodelovanje s starši. Starši v okviru svojih kompetenc lahko sodelujejo pri načrtovanju dela, saj svoje otroke poznajo še z drugega zornega kota. Kljub prednostim, ki jih prinaša omenjena nova dimenzija sodelovanja s starši, ugotavljam, da moramo učitelji v tem sodelovalnem odnosu posebno pozornost namenjati ohranjanju meje med starševsko in našo kompeten-co. Strinjam pa se, da morajo biti starši seznanjeni s procesom učenja, saj bodo le tako lahko prevzeli vlogo nadzora in spodbujanja v domačem okolju. Kot prednost formativnega spremljanja se izpostavlja tudi učenčevo prevzemanje dela odgovornosti za doseganje ciljev. Učenci aktivno sodelujejo pri postavljanju lastnih ciljev in načrtovanju dejavnosti. Po tem, ko učenci razumejo namene učenja in kriterije za uspeh, si lahko ob učiteljevem vodenju zastavijo dosegljive cilje in načrtujejo dejavnosti za njihovo doseganje. Pri tem bodo uspešni, če bodo poznali svoja močna in šibka področja funkcioniranja ter sposobnosti. Za to potrebujejo sprotne kakovostne povratne informacije, ki jih vodijo pri kritičnem vrednotenju dosežkov, načrtovanju nadaljnjega dela, jih spodbujajo in pohvalijo, ko dosežejo zastavljene cilje. Doživljanje uspeha ob doseganju zastavljenih ciljev in pohvala učinkovito kot elementa notranje in zunanje motivacije motivirata učence za nadaljnje delo, kar je še ena prednost formativnega spremljanja. Nedeljko (2010) vrednost formativnega spremljanja vidi še v pomoči učitelju pri reševanju vzgojnih težav posameznikov. Podobno opažam tudi sama, saj enosmerno komunikacijo med učiteljem in učenem zamenjuje dvosmerna. Ker večino interakcije med učiteljem in učencem poteka v individualnem kontaktu, se med njima povečuje stopnja zaupanja, kar je ključnega pomena pri reševanju vzgojnih težav. Načrtovanje ter samovrednotenje in samoregulacija v procesu FS Wiliam (2013, str. 123) navaja naslednjih pet ključnih strategij formativnega spremljanja: 1. razjasnitev soudeleženosti pri določanju in razumevanju namenov učenja in kriterijev za uspeh; 2. priprava takšnih dejavnosti v razredu, s katerimi je mogoče pridobiti dokaze o učenju; 3. zagotavljanje povratnih informacij, ki učence premikajo naprej; 4. aktiviranje učencev, da postanejo drug drugemu vir poučevanja; 5. aktiviranje učencev za samoobvladovanje njihovega učenja. Čeprav so pozitivni učinki formativne-ga spremljanja vidni šele po doslednem izvajanju vseh petih korakov skozi daljše časovno obdobje, se v nadaljevanju prispevka osredotočim le na prvi in peti korak. Pri uvajanju formativnega spremljanja v lastno poučevalno prakso sem najprej največ pozornosti namenila dejavnostim, s katerimi sem želela doseči, da bodo učenci razumeli namene učenja in kriterije uspešnosti, si zastavili dosegljive cilje ter po končanih dejavnostih, obravnavi določenega vsebinskega sklopa čim bolj realno ovrednotili lastne dosežke in načine učenja. Osnova vsebinskega in metodičnega načrtovanja VIZ procesa obravnave posameznega vsebinskega sklopa je preverjanje predznanja učencev. To diagnostično preverjanje se izvede z namenom ugotavljanja učenčevih predznanj, ki jih morajo imeti, da lahko na njih gradijo nova znanja in z namenom ugotavljanja količine novega znanja, kar določa hitrost in globino obravnave novih vsebin. Pri preverjanju predznanja moramo preveriti tako količino podatkov, pojmov, definicij ..., ki jih ima učenec že v spominu, kot tudi globino razumevanja in odnose med njimi. Izvedemo ga lahko na različne načine, kot so npr. prvi korak bralno-učne strategije VŽN, delovni listi, nedokončane povedi. Še posebej učinkovito je preverjanje predznanja z nalogami, ki izhajajo iz učenčevega vsakdanjega življenja, saj le-te učence same po sebi dodatno motivirajo za delo in tako dobimo realno sliko o njihovem predznanju. Marentič Požarnik (2000) poudarja še pomen omogočanja in spodbujanja učnega transfera, ki ga ima za posledico preverjanje predznanja. Po preverjanju predznanja v procesu for-mativnega spremljanja sledi skupno načrtovanje ciljev in kriterijev uspešnosti. Strokovnjaki predmetne skupine za matematiko ZRSŠ za fazo predstavitve in so- oblikovanja učnih ciljev pravijo, da mora učitelj zagotoviti, da bodo učenci vedeli, kaj morajo znati, razumeti in narediti. Predlagajo, da naj to stori tako, da: • jih seznani s splošnimi in bolj specifičnimi učnimi cilji; • zapiše cilje jasno in jedrnato, v učencem razumljivem jeziku; • učne cilje zapiše v prvi osebi ednine; • razdeli učno vsebino na posamezne korake (etapne cilje); • učence seznani z učnimi cilji na začetku učnega sklopa; • učne cilje objavi vidno učencem; • si morajo učenci učne cilje zapisati v zvezek, na delovni list; • naredi povezave med učnimi cilji ter učnimi dejavnostmi vidne; • omogoči učencem dovolj časa in priložnosti, da razmišljajo in se pogovarjajo o učnih ciljih ter jih morebiti ustrezno dopolnijo; • pričakuje od učencev, da bodo svoj napredek spremljali v povezavi z učnimi cilji. Ne samo vključenost učencev v oblikovanje kriterijev uspešnosti, ampak tudi njihova vključenost v postavljanje ciljev povečuje njihovo motivacijo za delo in stopnjo prevzemanja odgovornosti. Ker so cilji predpisani z učnim načrtom, moramo biti pri zagotavljanju teh priložnosti učitelji precej iznajdljivi. Pripraviti moramo takšne dejavnosti, s katerimi vodimo učence pri postavljanju ciljev, ki so čim bolj identični ciljem v učnem načrtu. Sama pri tem izhajam iz učenčevih interesov in njihovih močnih področij, na katere vsebinsko navežem motivacijske naloge, ob reševanju katerih si učenci postavljajo cilje. Tako zastavljene učenčeve cilje nato dopolnim s cilji iz učnega načrta in dejavnostmi za preverjanje njihovega razumevanja. Za uspešno sodelovanje učencev pri določanju kriterijev uspešnosti morajo učenci dobro razumeti cilje in imeti razvite spretnosti realnega samovrednotenja in samoocenjevanja. Te spretnosti učenci postopno razvijajo predvsem ob povratnih informacijah o njihovem funkcioniranju in dosežkih. To je še en dokaz več, da lahko pozitivne učinke formativnega spremljanja pričakujemo šele po doslednem izvajanju vseh korakov skozi daljše časovno obdobje. V procesu formativnega spremljanja vse od tretjega koraka dalje, predvsem pa v 32 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI zadnjem koraku, učitelji učence spodbujamo k refleksiji. Spodbujamo njihovo razmišljanje o tem, kaj in kako delajo ter kako so se ob tem počutili. V zaključni fazi spodbujamo primerjavo med tem, kaj so želeli narediti in doseči glede na zastavljene kriterije, in tem, kaj so naredili in dosegli ter kako ocenjujejo svoje dosežke. Na tak način spoznavajo razliko med procesom in dosežkom, svoja močna in šibka področja ter skupaj z učiteljem načrtujejo izboljšave nadaljnjega dela. Samoocenjevanje daje učencem občutek večje pomembnosti v učnem procesu, kar povečuje njihovo odgovornost, samostojnost, spodbuja višje miselne procese in jih usposablja za vseživljenjsko učenje z nenehnim samonadzorom. Nekateri avtorji kot največji učinek, ki ga ima sa-moocenjevanje, navajajo izboljšanje sa-mopodobe, ki se kaže predvsem v učenčevih zmožnostih izražanja o področjih primanjkljajev, ne da bi se bali neuspeha. V fazi samovrednotenja in samoocenje-vanja moramo učitelji posebno pozornost nameniti tudi učenčevemu besednjaku. Pogosto je ta preskromen in zato moramo učence opremiti z besedami, ki jim bodo omogočile izražanje razmišljanj in kakovostnih opisovanj občutij, pristopov, procesov ter rezultatov. Primer FS pri vsebinskem sklopu krog in krožnica v 8. razredu Kot sem že omenila, sem se načrtnega uvajanja formativnega spremljanja pri svojem poučevanju lotila s prvim in zadnji korakom. Morda se sliši nenavadno, da sem za prvim korakom izbrala zadnjega, a imam kot pedagoginja s sa-movrednotenjem in samoocenjevanjem učencev precej izkušenj. Kmalu sem spoznala, da učenci za razvoj spretnosti realnega samoocenjevanja potrebujejo čas in gledano z vidika strategij formativnega spremljanja, kakovostne sprotne povratne informacije o njihovem delu in dosežkih. Najprej sem iz učnega načrta izpisala cilje o krogu in krožnici (priloga 1). To je bilo moje izhodišče za vsebinsko načrtovanje preverjanja predznanja učencev. Izpis učitelju pregledno prikaže, katera znanja o krogu in krožnici naj bi učenci v nižjih razredih že usvojili, in ga vodi pri vsebinskem načrtovanju. S pomočjo izpisanih ciljev sem pripravila kratko preverjanje predznanja, s katerim sem želela ugotoviti, kako dobro učenci poznajo pojma krog in krožnica, kar naj bi spoznali že v nižjih razredih, ter ali zna- Priloga 1: Izpis ciljev o krogu in krožnici jo izračunati obseg in ploščino kroga. Za preverjanje sem uporabila strategijo samostojnega reševanja nalog na delovnem listu (str. 34). 1. Vzgojno-izobraževalno obdobje • izdelajo modele teles in likov ter jih opišejo • rišejo prostoročno črte in like, • uporabljajo geometrijsko orodje (šablono) pri risanju ravnih črt in likov • prepoznajo, opišejo in poimenujejo geometrijska telesa in geometrijske like 2. Vzgojno-izobraževalno obdobje • rišejo krožnice in kroge z geometrijskim orodjem (šestilom) • v različnih situacijah prepoznajo pojme: polmer in premer krožnice/kroga, sekanta • mimobežnica, tetiva, tangenta • uporabljajo geometrijsko orodje (šestilo) pri risanju krožnice in kroga z danim • polmerom ter premerom • opredelijo obseg in ploščino lika • razlikujejo med obsegom in ploščino lika • poznajo in narišejo krožni izsek, krožni lok, središčni kot • narišejo tetivo z dano dolžino ter razlikujejo med tetivo in sekanto • narišejo v dani razdalji od središča kroga premico in jo poimenujejo (sekanta, • tangenta, mimobežnica) • narišejo tangento v dani točki krožnice 3. Vzgojno-izobraževalno obdobje • trikotniku očrtajo in včrtajo krog • razumejo pomen števila n • izračunajo obseg in ploščino kroga z uporabo obrazcev • izračunajo dolžino krožnega loka in ploščino krožnega izseka z uporabo obrazcev • razumejo in uporabljajo dolžino krožnega loka kot del dolžine krožnice ter ploščino • krožnega izseka kot del ploščine kroga • rešijo besedilne naloge v povezavi s krogom (z računalom in brez njega) 33 DELOVNI LIST ZA PREVERJANJE PREDZNANJA Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Kaj je krog? Kaj je krožnica? (Zapiši definicijo ali opiši z besedami, s sliko, primerom ...) (Zapiši definicijo ali opiši z besedami, s sliko, primerom ...) Kako izračunamo obseg likov? Kako bi izmeril obseg kroga? Od česa je odvisen obseg kroga? * Ali morda poznaš obrazec, po katerem izračunamo obseg kroga? Z besedami opiši, kako bi določil ploščino krogov na sliki? *Ali morda poznaš obrazec, po katerem izračunamo ploščino kroga? V čem sta si krog in krožnica podobna? V čem se krog in krožnica razlikujeta? 34 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI 1. V mreži sta narisana krog in krožnica. Mreža predstavlja ploščice bazenskega dna. a) Koliko ploščic bo moral keramičar rezati? b) Iz koliko ploščic bo morala mama počistiti barvo za Juretom, ker se je igral in na dno bazena, ko v njem ni bilo vode, narisal krožnico? t A N \ ( \ \ ) \ \ f r 2. Na okrogli gredi premera 30 m posejemo trato. Koliko semena potrebujemo, če za kvadratni meter površine povprečno potrebujemo 5 dag semena? 3. Jureta zanima, kolikokrat se njegovo sprednje kolo na kolesu zavrti na poti do njegove babice, ki je od doma oddaljena 3,2 km? Premer prednjega kolesa meri 55 cm. KAJ BI SE O KROGU IN KRO2NICI ŠE 2ELEL NAUČITI? KAJ ME ZANIMA? 35 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Analiza preverjanja predznanja, ki me je vodila pri načrtovanju obsega in globine vsebin, je pokazala, da učenci ločijo krog in krožnico na konkretnih primerih, večina od njih pa ima težave pri opisovanju pojma krog in krožnica v matematičnem jeziku. Prav tako sem ugotovila, da naloge učencev niso dovolj motivirale za reševanje, saj so bili pri delu premalo vztrajni. Naloge so bile zastavljene strogo matematično in niso vključevale reševanja problemov iz njihovega vsakdanjega življenja. Omenjeno pomanjkljivost sem odpravila že pri naslednji dejavnosti, skupno načrtovanje ciljev, za kar sem pripravila nekaj motivacijskih nalog (str. 35). Želja rešiti probleme iz vsakdanjega življenja je učence vodila do spoznanja, da potrebujejo nova znanja. Razmišljanje o postopkih reševanja teh nalog pa jih je vodilo pri postavljanju konkretnih ciljev, ki so jih zapisovali v pripravljeno tabelo. Sledila je primerjava ciljev s cilji, zapisanimi v učnem načrtu, in njihovo dopolnjevanje. Cilje iz učnega načrta sem projicirala na tablo in z vprašanji preverjala njihovo razumevanje. Vprašanja so bila oblikovana tako, da so od učencev zahtevala razlago oz. uporabo na konkretnih primerih. Iz učnega načrta smo dopisali samo en cilj, učenci razumejo pomen števila n. Ker učenci prvič spoznajo število n šele pri obravnavi obsega in ploščine kroga, nisem pričakovala, da bi si zastavljali omenjeni cilj. Ugotavljam, da bi bilo smiselno ta cilj dodati šele po tem, ko bi spoznali število n, torej najhitreje po prvi uri obravnave snovi o obsegu in ploščini kroga. V predstavljenem primeru (priloga 2) je učenka s sivo barvo zastavljene individualne cilje in kriterije po frontalnem pogovoru dopolnila s cilji in kriteriji, ki jih je zapisala z rdečo barvo. Bistveno več časa kot za postavljanje ciljev je bilo potrebnega za postavljanje kriterijev uspešnosti. Prvo splošno pojasnilo v tabeli pripravljene tristopenjske lestvice uspešnosti nekaterim učencem ni zadostovalo. V drugo sem pojasnjevanje dopolnila s konkretnimi tipi čim bolj življenjskih nalog. Ocenjujem, da je bilo več časa potrebnega zaradi pomanjkanja izkušenj učencev s takšnim načinom dela in delno s pomanjkanjem povratnih informacij, na podlagi katerih razvijajo spretnosti samoocenjevanja, ki je neločlji- 36 Kaj se nauiiliV au Kako dobre se to lahko naučim? ucn« »m « ranili".1 nriovoljins z Mn D «id dabfc zd lASTtfoST} KMf* Dlfl^A (iPSfA of>i hn s ^^ šiffi^ . Vgfrfppp. llJ LASTNOSTI f. fcr-j.Vi cjftitJ*) s Pvz/O m* h 3 ■^liJ.jA wk° izfiteVMtf assff jtftc^m fataii^, v nptVrh ^lUm^tn -»osaiajrc m asuhci^ii laiti jiakjo i fl&SŽlPO ^ \ RAZvmvi •mt-tž^fp m ttrs arfiti l&Wt)}E uMOf£ 2 Gsitfirt Vplcžim jiiiff^a ScitOfJ/f i JSJlflti:!/ j: illjj^i s jlVJlPl 3fjščh / vftpntnzven /fZjKt) Priloga 2: Primer izpolnjene tabele načrtovanja ciljev in kriterijev 1. Kaj sem se naučil? Napiši vsaj tri trditve, s katerimi boš opisal, katere k atematične snovi oz. postopke si se naučil. 2. Kje sem najbolj napredoval? 3. Kaj mi še ne gre tako dobro in zakaj? Kaj? Razlog oz. zakaj? 4. Kaj še lahko izboljšam? 6. Pri kateri snovi oz. nalogah sem najbolj užival? Priloga 3: Samoevalvacijski vprašalnik Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Priloga 4: Primer rešenih nalog z delovnega lista za preverjanje znanja s povratno informacijo 37 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 vo povezano s postavljanjem lastnih ciljev in kriterijev uspešnosti. Sledila je triurna obravnava snovi o obsegu in ploščini kroga. Prvo uro so učenci v skupinah s pomočjo učbenika in delovnega zvezka ponovili osnovne pojme o krogu in krožnici, raziskali povezavo med premerom kroga in obsegom ter rešili nekaj nalog o obsegu kroga. Glede na sposobnosti učencev sem oblikovala heterogene skupine. Drugo uro je delo potekalo podobno, le da so učenci spoznali postopek računanja ploščine kroga. Tretja ura je bila namenjena utrjevanju. Učenci so naloge različnih zahtevnosti reševali v dvojicah. Obravnava se je za- ključila s samostojnim reševanjem nalog na delovnem listu z namenom preverjanja znanja. Po končanem reševanju so ovrednotili svoje znanje tako, da so izpolnili zadnji stolpec v tabeli Načrtovanje (Priloga 2). Sledilo je vodeno ustno reševanje nalog na delovnem listu v frontalni obliki. Omenjena dejavnost ni bila namenjena popravljanju nalog na delovnem listu, ampak pridobivanju takojšnje povratne informacije. Še isto uro so učenci izpolnili samoevalvacijski vprašalnik (Priloga 3). Tudi pri pisanju refleksije je bilo opaziti pomanjkanje vztrajnosti učencev. Ker so učenci v fazi pridobivanja znanja prejemali sprotne povratne informacije o načinu dela, napredku in morebitnih težavah ter skupaj z učiteljem iskali rešitve za njihovo odpravo, pri izpolnjevanju vprašalnika z vsebinskega vidika niso imeli večjih težav. Delovne liste, namenjene preverjanju znanja, sem pobrala, vrednotila naloge in ob njih zapisala povratne informacije (priloga 4). Tako so imeli učenci naslednjo uro priložnost primerjati lastno vrednotenje z vrednotenjem učitelja. Učenci so te povratne informacije z zanimanjem brali, o njih razmišljali ter razpravljali s sošolci. Iz analize rešitev nalog na delovnih listih sem med drugim ugotovila, da je večina učencev v matematičnem jeziku pravilno opisala pojma krog in krožnica. Zaključek Sistematično uvajanje formativnega spremljanja napredka in znanja učencev od učiteljev zahteva vztrajnost in tudi pogum. Ker gre za precej drugačen način dela, na katerega se morajo navaditi tako učitelji kot učenci, so rezultati vidni šele po daljšem časovnem obdobju. Učenci se morajo navaditi samostojnega učenja in raziskovanja, učitelj vloge usmerjevalca, ki mu več ne zagotavlja nadzora nad vsemi učenci, ampak se mora sprijazniti z dejstvom, da ne more imeti pod kontrolo vseh aktivnosti in učencev. Za izvajanje formativnega spremljanja učiteljem ni treba v celoti spremeniti dosedanjega načina dela. Takšno razmišljanje lahko vodi v nezadovoljstvo učiteljev in jih demotivira za vnašanje sprememb. Pri svojem delu naj učitelji izhajajo iz individualnih potreb učencev in te naj jih vodijo pri izvajanju vzgojno-izobraževalnega procesa. Tisti, ki bodo poučevanje prilagodili potrebam učencev, bodo kmalu spoznali, da so v svoje poučevanje vnesli strategije formativnega spremljanja. ■ Viri Berry, B., Barnett, J., Kamm, C., Vilson, J. (2010). Teaching 2030: What We Must Do for Our Students and Our Public Schools. Pridobljeno 11. 10. 2016, s http:/www.teaching2030.org. Holcar Brunauer, A., (2014). Formativno spremljanje znanja. Pridobljeno 9. 10. 2016, iz http://www.zrss.si/pdf/250414102957_4_ gradivo_-_ada_holcar_brunauer.pdf Marentič - Požarnik, B. (2000a). Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. Nedeljko, N. (2010). Od klasičnega preverjanja do formativnega spremljanja z akcijskim raziskovanjem v izobraževanju. V N. Komljanc (ur.), Zbornik 3. mednarodnega posveta v Celju (str. 143-149). Ljubljana: Zavoda Republike Slovenije za šolstvo. Pravilnik o preverjanju in ocenjevanju znanja v osnovni šoli. Pridobljeno 11. 10. 2016, s https://www.uradni-list.si/1/content?id=113609. Predmetna skupina za matematiko. (2015). Prvo študijsko srečanje za matematiko, šolsko leto 2015/16. Pridobljeno 10. 10. 2016, s https://skupnost.sio.si/pluginfile.php/508372/mod_ page/content/11/0%20elementih%20formativnega%20spremljanja%20na%20studijskih%20sre%C4%8Danjih.pdf Škerjanec, P. (2011). Tradicionalni - sodobni modeli učenja in poučevanja družboslovja. Diplomsko delo, Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za družbene vede. Vižintin, S. (2014). Formativno spremljanje pri pouku matematike. Diplomsko delo, Koper: Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta. William, D. (2013). Vloga formativnega vrednotenja v učinkovitih učnih okoljih. V S. Sentočnik (ur.), O naravi učenja. Ljubljana: ZRSŠ. 38 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Konstruktivistični pristop pri pouku matematike Maja Bencek Osnovna šola Gorišnica Povzetek Na področju vzgoje in izobraževanja se vse bolj uveljavlja konstruktivistični pristop, ki poudarja pomen lastne aktivnosti v procesu izgradnje znanja. Prispevek predstavlja uresničevanje tovrstnega pristopa k učenju pri pouku matematike v osnovni šoli. Namen raziskave je bil ugotoviti možnosti ter pogostost izvajanja omenjenega učnega pristopa z vidika uporabe posameznih učnih metod, didaktičnih sredstev in ovir, ki kakorkoli otežujejo takšen način dela. Zanimalo me je tudi stališče učiteljev do danega učnega pristopa. Raziskavo sem izvedla na slučajnostnem vzorcu učiteljev, ki v šolskem letu 2015/2016 poučujejo matematiko na razredni stopnji osnovne šole. Rezultati so pokazali, da so možnosti za izvajanje konstruktivističnega pristopa pri pouku matematike zagotovljene, kar dodatno potrjujejo tudi pozitivna stališča učiteljev do tega pristopa. Ključne besede: konstruktivizem, konstruktivistični učni pristop, aktivno učenje, matematika Constructivist Approach to Mathematics Lessons Abstract In the field of education, the constructivist approach is gaining ground; it emphasises the importance of one's own activity in the process of knowledge building. This paper presents the carrying out of such an approach to learning in Mathematics lessons in primary school. The purpose of the research was to determine the possibilities for and frequency of carrying out the above-mentioned teaching approach from the aspect of using individual teaching methods and didactic resources, and the barriers that hinder this work method in any way. I was also interested in the attitude of teachers towards this teaching approach. A survey was conducted on a random sample of teachers, who were teaching Mathematics at the primary level in the 2015/2016 school year. The results have shown that the possibilities for carrying out a constructivist approach in Mathematics lessons are provided, which has been additionally confirmed by the positive attitudes of teachers towards this approach. Keywords: constructivism, constructivist teaching approach, active learning, Mathematics Uvod Zahteve kurikularne prenove težijo k pridobivanju trajnega, prožnega znanja, ki ga bo moč uporabiti v drugačnih in novih življenjskih situacijah. Učenci naj, s pomočjo dobre motivacije, skozi raziskovanje in samostojno odkrivanje oblikujejo pojme, ki temeljijo na ustvarjalnem mišljenju, kritični presoji in razvijanju njihovih spretnosti. Pouk naj bi izgubil svoj tradicionalni značaj in se usmeril v razvijanje miselnih struktur. Tak proces naj bi krepil in oblikoval učenčevo samozavest, notranjo motivacijo in veselje do nadaljnjega, tudi samoiniciativnega učenja. Za pomembno spremembo načina dela učiteljev in poseganje v globoko ukoreninjen vzorec podajanja velike količine podatkov pa sta potrebna aktivno ozaveščanje in usmerjen napor. Preseči moramo prepričanje, da smo postorili že vse in da na tem področju ni več prostora za izboljšave. Konstruktivizem predstavlja enega izmed raziskovalnih in miselnih modelov, ki ga v številnih mednarodnih okoljih že s pridom, čeprav ne brez težav, vpenjajo v šolski vsakdanjik. Svojo osnovo gradi na predpostavki, da znanja ne moremo preprosto »podati« drugim oziroma ga od drugih sprejemati, ampak da si ga mora vsakdo »skovati« z lastno miselno aktivnostjo ob izpopolnjevanju ali spreminjanju obstoječih idej o svetu, v procesu produktivne interakcije dialoga s soljudmi. (Marentič Požarnik, 2004, str. 7) Čeprav lahko konstruktivizem uporabimo na več predmetnih področjih, se je pri nas uveljavil zlasti v pouku začetnega naravoslovja in matematike. Učni proces se odvija na obstoječih idejah in predhodnih izkušnjah učencev ter, s primernimi nalogami in pravilno zastavljenimi vprašanji, pomaga prekonstruirati napačno pojmovanje in razumevanje. Učenci znanje izgrajujejo preko samostojnega reševanja kompleksnih problemov, smiselnega dialoga in uporabe znanja v življenjskih situacijah. Učitelj ustvarja sproščeno razredno vzdušje, tako da opogumlja otroke, da se svobodno izražajo, predstavljajo svoje ideje in o njih razpravljajo. Daje jim sprotno povratno informacijo in jih vključuje v oblikovanje kriterijev kakovostnega znanja. 39 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Konstruktivistične teorije znanja Na področju vzgoje in izobraževanja konstruktivizem govori o tem, da je znanje človekov konstrukt, ki se oblikuje skozi določeno dejavnost. Tako ne more biti samo odsev materialne stvarnosti, ampak dobi pečat vsakega posameznika ter časa in prostora, kjer se nahaja (Plut-Pregelj, 2004b). Znanje je živa tvorba, ki se nenehno spreminja, nadgrajuje in vrednoti. Kljub skupni osnovi pa se pojavljajo pomembne razlike, ki se kažejo v odgovorih na vprašanja: • Kako znanje nastaja? • Ali je nastajanje znanja predvsem individualni ali socialni proces? • Kako učenčeva izkušnja in dejavnost vplivata na učenje in znanje z razumevanjem? • Kakšno vlogo imajo različne ravni človekovega bivanja pri nastajanju znanja? • Kakšno vlogo ima znanje in komu služi? Okoli različnih odgovorov na zgornja vprašanja so se oblikovali različni konstruktivizmi (kognitivni, radikalni, sociohistorični, socialni, socialnopragmatistični, emancipatorični itd.), ki imajo različne poglede na nastajanje znanja in seveda različne posledice. Prav vsi pa se ukvarjajo z vprašanjem, kako voditi učenca do znanja z razumevanjem, in pri tem poudarjajo pomen učenčeve dejavnosti (Kramar, 1999). Kljub dejstvu, da se različne konstruktivistične smeri na določenih področjih razhajajo, pa obstajajo določene skupne značilnosti vsem konstruktivističnim paradigmam, ki se skozi učno prakso izražajo v naslednjih komponentah: a) na učenca usmerjen pouk, b) kompleksno izzivalno učno okolje in izvirne naloge, c) socialna pogajanja in deljena odgovornost kot del učenja, č) raznovrstna predstavitev učne vsebine, d) razumevanje, da je znanje skonstruirano. (Woolfolk 2002.) a) Na učenca usmerjen pouk V nasprotju s tradicionalnim pristopom postavlja konstruktivi-stična smer v ospredje učenca in njegovo aktivno vlogo v vseh fazah vzgojno-izobraževalnega procesa. (Kruder, 1997) b) Kompleksno, izzivalno učno okolje in izvirne naloge Konstruktivistični pristop ne postavlja učencev pred poenostavljene probleme, temveč takšne, ki so kompleksni, slabo strukturi-rani, s kakršnimi se soočamo v vsakdanjem življenju. (Woolfolk, 2002) c) Socialna pogajanja in deljena odgovornost Konstruktivistično učenje postavlja v središče socialna pogajanja, interakcije med osebami vzgojno-izobraževalnega procesa in sodelovanje. č) Raznovrstna predstavitev učne vsebine Konstruktivistični pristop predvideva predstavitev učne vsebine učencem z več vidikov, pri čemer naj bi se uporabljali različni modeli, analogije, perspektive in metafore. (Prav tam) d) Razumevanje procesa konstruiranja znanja Konstruktivistični pristopi k učenju pripisujejo pomembno vlogo tudi znanju o lastnih miselnih procesih in načinu učenja (me-takogniciji). Ena njegovih jedrnih značilnosti je med drugim tudi diagnosticiranje lastnega učenja in učnih rezultatov ter ponovni razmislek o procesu učenja. (Šteh, 2003) Konstruktivizem v matematiki Pri otrocih se že zelo zgodaj pojavi potreba po učenju matematike, saj skozi njo komunicirajo in jim predstavlja pomembno sredstvo v vsakdanjem življenju. Dolgo časa se je matematika izražala zgolj skozi računstvo, danes pa pomeni veliko več in presega meje štirih računskih operacij (Hodnik Čadež, 2004a). Konstruktivizem spodbuja imaginacijo in ustvarjalnost ter sis-tematičnost pri reševanju problemov, odkrivanje novih relacij ter krepi učenčevo samozavest. Učenci pridobijo boljšo prostorsko predstavljivost, sposobnost abstrakcije in posploševanja, so usmerjeni k jasnosti, ekonomičnosti in racionalnosti reševanja. Postajajo vztrajnejši in so sposobni reorganizacije mišljenja, kadar je to potrebno (Prav tam). Pri obravnavi matematičnih pojmov v glavnem lahko izbiramo med dvema alternativnima pristopoma: behaviorističnim in kognitivnim (Hodnik Čadež, 2004b). Behavioristični vidik lahko razložimo kot programirano učenje, ki poteka počasi in zanesljivo skozi verigo povezav, v obliki vprašanje - odgovor. Kognitivni pristop na drugi strani pa temelji na tem, da učenca postavimo v okolje, ki spodbuja učenje, v katerem učenec lahko odkriva in v katerem lahko s svojim prizadevanjem zgradi razumevanje matematičnega pojma. Kognitivni pristop se od be-haviorističnega razlikuje tudi v tem, da bolj upošteva učenčevo predznanje določenega pojma (Prav tam). Učenje z razumevanjem ali polnopomensko učenje pomeni sposobnost povezav med obstoječim znanjem in novimi informacijami. Če so le-te sorodne s predhodno miselno shemo, je njihova obdelava in nadgradnja lažja ter redkeje blokira reševanje problemov (Žakelj, 2004b). Problemske situacije ustvarjamo z aktivnimi oblikami učenja. Aktivno učenje temelji na logičnem sklepanju in empiričnem preverjanju in ga opredeljujeta dve ravni: raven dialoga in raven izkušenj (Žakelj, 2004a). Raven izkušenj vključuje: • opazovanje, ki se nanaša na neko dejavnost, povezano z obravnavano temo (npr. opazovanje geometrijskega modela, slike zaporedja ipd.); • aktivnost, ki vključuje katerokoli dejavnost, pri kateri učenec oz. dijak samostojno opravi ali naredi neko nalogo. Raven dialoga vključuje: • dialog s samim s seboj: učenec razloži, napiše, kaj misli o temi ali problemu; • dialog z drugimi: učenec o temi ali problemu razpravlja v skupini, vsak prispeva svoj delež. Učitelj spodbuja razvoj aktivnega odnosa do učenja. Tako jih notranje motivira, doseže trajnejšo zapomnitev znanja in vzbudi zanimanje za matematiko. Preko aktivnosti učenci lažje dojamejo abstrakt, ki ga kasneje, zaradi dobrega razumevanja, primerno posplošijo in postavijo v vsakdanjo situacijo. Zelo pomembno je, da učitelj že od samega začetka uporablja in ponuja večjo množico predstavitev, ki zajemajo različna čutila. 40 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Lahko ostane samo na konkretnem nivoju, ali pa ga predstavi še grafično, s simbolom in ga na koncu posploši, uvaja vizuali-zacijo, predpostavljanje, domnevanje, odkrivanje, sintetiziranje, modeliranje in preverjanje. Že zelo zgodaj pričnejo učenci z modeliranjem (liki in telesa), uporabljajo računalnik, link kocke in geo plošče, skratka množico pripomočkov, ki jim lajšajo razumevanje novih in zanje še zapletenih pojmov. Pri pouku izvajajo meritve tudi izven učilnice, eksperimentirajo, zbirajo podatke in samostojno rešujejo odprte probleme. Dobljene rezultate znajo predstaviti s pomočjo diagramov, tabel in slik, samostojno iščejo vire ter ocenjujejo in vrednotijo svoje delo. Učiteljeva vloga je pasivna. Učence nadzoruje, jih vodi, jim svetuje ter spodbuja ustvarjalnost in ustvarjalno mišljenje. Situacije, ki so za učenca nove in niso vnaprej pričakovane, spodbujajo razvoj matematičnega razmišljanja: ustvarjalno, kritično, analitično in sistemsko mišljenje. Zaradi svoje raznolikosti in nepredvidljivosti omogočajo: • izgrajevanje pojmovnih predstav, • povezovanje in uporabo znanja, • uvid v osmišljanje matematičnih vsebin, • motivirajo zlasti nadarjene učence, • razvijanje matematičnega in ustvarjalnega razmišljanja, • nudijo priložnost matematiziranja, reflektiranja matematičnih znanj in modeliranja. (Žakelj, 2004a) Če želimo, da bodo učenci znanje usvojili in ga razumeli, je potrebno nenehno preverjanje poznavanja in razumevanja vsebin, ki smo jih obravnavali. Zato pred vsakim učnim sklopom premišljeno načrtujemo preverjanje poznavanja, razumevanja in obvladovanja tistih vsebin, ki se pomembno navezujejo na novo temo. Učenec naj bi imel priložnost, da se s posameznimi pojmi srečuje večkrat, v različnih situacijah, saj mu to omogoča lažjo zapomnitev in dopolnjevanje njegovih predstav. Da bi se učenci zares učili z razumevanjem, mora učitelj upoštevati tudi razlike med njimi, tako interesne kot intelektualne. Delo ustrezno diferencira in pripravi dodatne naloge za sposobnejše. Najprej ugotovi poglobljenost znanja, nato pa prepusti učencu lasten tempo. Seveda jih ob tem primerno spodbuja in motivira ter daje sprotne kakovostne povratne informacije. Če naj bodo učenci aktivni pri konstrukciji znanja, morajo imeti dovolj časa. Le tako bodo lahko samostojno razmišljali, iskali različne poti, odkrivali, eksperimentirali, razvijali lastne pristope reševanja, diskutirali o rešitvah z drugimi (Žakelj, 2004b). Uresničevanje konstruktivističnega pristopa pri pouku matematike na razredni stopnji S pomočjo anketnega vprašalnika sem izvedla krajšo raziskavo med učitelji razrednega pouka v slovenskem prostoru. Namen raziskave je bil ugotoviti: • Poznavanje teorije in bistva konstruktivizma s strani učiteljev, ki poučujejo na razredni stopnji. • Možnosti za izvajanje tega pristopa pri pouku matematike v osnovni šoli z vidika uporabe učnih metod, didaktičnih sredstev in ovir, ki otežujejo izvajanje takšnega načina poučevanja. • Pogostost podajanja učne snovi na konstruktivistični način pri pouku matematike na razredni stopnji. • Način izvajanja takšne oblike pouka. Raziskavo sem izvedla na slučajnostnem vzorcu učiteljev, ki so v šolskem letu 2015/2016 poučevali razredni pouk na osnovni šoli. Vanjo je bilo vključenih 40 učiteljev različnih šol po Sloveniji. Raziskava je pokazala, da učitelji zavzemajo pozitivno stališče do konstruktivističnega pristopa. To se izraža v dobljenih podatkih, ki kažejo, da naj bi kar 80 % učiteljev poznalo teorijo in 51 % učiteljev uresničevalo načela tovrstnega učnega pristopa. Učitelji menijo, da uporaba učnih pripomočkov omogoča učencem aktivno pridobivanje matematičnega znanja in da učenci uspešno konstruirajo nove pojme ob vodenem delu s konkretnim materialom. V praksi nekoliko manj uporabljajo samostojno raziskovanje s konkretnim materialom ter delo v dvojicah. Menijo, da učencem na tej razvojni stopnji priprava referatov ne omogoča aktivnega pridobivanja znanja. Kot ovire pri izvajanju konstruktivističnega pristopa pri matematiki na razredni stopnji so učitelji izpostavili naravo predmeta, omejeno količino učnih pripomočkov (konkretnega materiala za vse učence), časovno stisko, slabo opremljenost šol, pomanjkanje literature s konkretnimi primeri za delo v praksi. Menijo tudi, da uporabe pristopa ne omejuje nedisciplina ali ne-motiviranost učencev. Več kot polovica (51 %) učiteljev trdi, da njihovi učenci pri pouku pogosto razvijajo pojme z lastno aktivnostjo, 42 % učiteljev le včasih prilagodi uro tako, da ne temelji na frontalnem podajanju učne snovi in eden izmed vprašanih zmeraj pripravi situacije tako, da učenci sami gradijo in oblikujejo svoje znanje. Uresničevanje konstruktivističnega pristopa je nadalje razvidno tudi iz pogostosti uporabe posameznih učnih sredstev, ki nudijo take ali drugačne možnosti za aktivno učno delo učencev. Najpogosteje uporabljeni učni pripomočki so geometrijski modeli teles in likov, link kocke in številske karte, trakovi, paličice, krožci ter plastelin in glina. Rezultati raziskave kažejo, da se konstruktivistični pristop pri pouku matematike v osnovni šoli že uresničuje v določeni meri. Kljub temu pa bi se dalo še marsikaj postoriti, da bi bilo izvajanje na učenčevi aktivnosti temelječega pristopa k učenju lažje ter s tem pogostejše in kakovostnejše. K temu bi lahko v veliki meri pripomogli z odpravljanjem ovir, ki tako ali drugače otežujejo izvajanje konstruktivističnega pristopa. Za takšen pouk so učenci bolj motivirani, preko lastnega aktivnega dela pa se dokopljejo do kakovostnejšega in trajnejšega znanja. To posledično vodi v boljši učni uspeh učencev ter hkrati v večje zadovoljstvo tako otrok kot tudi njihovih staršev in učiteljev. Konstruktivizem v praksi V nadaljevanju prispevka bomo predstavili nekatere dejavnosti iz geometrije (v 3. in 4. razredu OŠ), ki so bile izpeljane v praksi in spodbujajo lastno aktivnost učencev, razvijajo ustvarjalnost, iščejo različne poti do rešitev in razumevanje matematičnih pojmov. 41 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Ef Dejavnost: RAZVRŠČANJE GEOMETRIJSKIH OBLIK Učenci prejmejo škatlo s kartončki (modeli likov, črt in teles) in razvrstijo predmete po principu »Kaj spada skupaj?«. Ko nalogo opravijo, opišejo skupne lastnosti modelov in poimenujejo skupino elementov (liki, črte, telesa). Glejte sliko 1. Ef Slika1: Razvrščanje likov, črt in teles. Učenci so brez težav razvrščali predmete in poimenovali nastale skupine. Dejavnost: KOLIKO JE DELOV Cilj: Z ravnimi črtami »razdeliti« lik v treh potezah in šteti nastale dele. Navodilo za delo: S tremi slamicami »razdeli« trikotnike, kvadrate in kroge. Koliko delov lahko nastane? Razišči, kdaj jih je največ in kdaj najmanj. Namen dejavnosti je bil, da čim bolj ustvarjalno in logično poiščejo rešitev. Najprej so učenci like »razdelili« z določenim številom potez in šteli nastale dele, kar je ponazorjeno na sliki 2. Uporabljali so različne barve črt, si med seboj pomagali in primerjali ugotovljeno. V razredu je vladalo sproščeno vzdušje in otroci so pokazali ogromno mero interesa in ustvarjalnosti. Vsako nalogo smo preverili še frontalno na tabli. Brez zadržkov so posamezniki prihajali pred razred in ostalim sošolcem razložili svoj način »razdelitve« lika. Spodbujata se ustvarjalnost in logično mišljenje. Dejavnost: TANGRAM Ef Cilj: Izdelati, prepoznati in poimenovati »oblike«, narejene s pomočjo tangrama. Navodilo za delo: Razreži tangram na tri trikotnike, kot je prikazano na sliki. Ponovno sestavi velik kvadrat. Ugotovi, katere oblike je moč narediti iz dveh majhnih trikotnikov. Katere oblike je možno narediti iz vseh treh trikotnikov? Učenci so razrezali kvadrat na tri trikotnike, jih ponovno sestavili v kvadrat in dodali svoje ideje za sestavljanje ter poimenovali novo nastali lik. Vsako novo »obliko« so poimenovali in na kratko opisali njene lastnosti. S tem niso imeli težav, kar pomeni, da je bila snov dobro utrjena. Dejavnost: KRIžI IN KVADRATI _ Bf Slika 2: »Razdelitev« lika Cilji: Raziskati, kako lahko sestavimo kvadrate in kako so si četrtine kvadrata med seboj »sorodne«. Navodilo za delo: Z eno barvo pobarvaj križ vsakega kvadrata. Izreži manjše kvadrate in jih prilepi na nov list tako, da dobiš večji kvadrat. Izreži večje kvadrate in si jih oglej. Pobarvaj majhne kvadrate na vogalih lista. Nato kvadrate prereži po prekinjeni črti, da dobiš manjše. Skupaj jih zloži tako, da bodo pobarvani kvadrati tvorili novega v sredini. 42 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Slika 3: Rezanje in ponovno sestavljanje kvadratov Učenci so najprej pobarvali manjše kvadrate, jih nato izrezali in z njimi oblikovali nove like, ki so jih tudi opisali. Urili so samostojno in hkrati skupinsko delo, saj so svoje zamisli delili s sošolci. Učna metoda, ki je prevladovala, je metoda praktičnih del, podprta z razgovorom, demonstracijo in razlago, ki je potrebna za reševanje nalog. Učne oblike so bile frontalna, individualna in skupinska. Slika 4: Novonastali kvadrati Učenci so zelo hitro oblikovali nove like, »orientirali« so se s pomočjo barve in obračali kvadratke tako dolgo, dokler niso sestavili želenega lika-kvadrata (slika 4 desno). Ugotovili so, da iz manjših kvadratkov lahko sestavijo večjega, saj se razmerje med dolžinami stranic ne poruši. Gf Dejavnost: KVADRATI IZ KVADRATOV / \ \ / Cilji: Nadaljevanje ravninskih vzorcev. Navodilo za delo: Nadaljuj vzorec in ga razširjaj. Če izrežemo dovolj kvadratov, lahko z njimi oblikujemo čisto nove, inovativ-ne vzorce. Kvadrate izdelujemo iz kolaž papirja, tekstila, voščilnic ... Učenci so na učnem listu reševali nalogo, ki se imenuje »Kvadrati iz kvadratov«. Nadaljevali so vzorec in ga razširjali ter pri tem pazili na skladne dolžine in ohranjali velikost kotov. Razvijali so logično mišljenje in natančnost. Za večjo preglednost so uporabljali različne barve (glejte sliko 4 levo in sliko 5) in poročali o svojih ugotovitvah. Slika 5: Nadaljevanje vzorca Naloga je bila za nekatere učence precej zahtevna. Nekateri učenci so liste vrteli in si pomagali z različnimi barvami ob dodajanju novih kvadratov. Ugotovili so, da se stranice očrtanega kvadrata sorazmerno povečajo in da je treba ohranjati prave kote. Dejavnost: ŠTIRIKOTNIKI Ef Cilji: Oblikovati vzorec iz različnih štirikotnikov. Navodilo za delo: Dan je štirikotnik (pravo kotnik). V smeri urnega kazalca od vsakega oglišča štirikotnika odmeri 2 cm in na stranicah določi točke. Označene točke poveži tako, da bodo oglišča novega štirikotnika. Nadaljuj postopek. Enak postopek ponovi pri naslednji vaji s kvadratom. Razišči, kaj se dogaja s koti štirikotnika. 43 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Sliki 6 in 7: »Vrtenje« kvadrata Sliki 8 in 9: Zapolnitev vzorca z barvami Učenci so nadaljevali vzorec s povezovanjem označenih točk. V smeri urnega kazalca so določali nove točke, potrebne za izris novega lika. Najprej so »vrteli« kvadrate, nato pravokotnike. Dobljeni vzorec so po želji zapolnili z barvami. Naloge smo skupaj preverjali in individualno sem odpravljala težave z vsakim posameznikom. Prevladovala je metoda praktičnih del, saj dodatna razlaga skoraj ni bila potrebna. (Webber H., Berryl J, 1992) Zaključek Menim, da je učni načrt matematike v OŠ v osnovi zasnovan konstruktivistično. V ospredje je postavljeno učenje, ki naj bi temeljilo na učenčevem lastnem izkustvu in na njegovi aktivnosti, izraža pa se v učnih ciljih, vsebinah, dejavnostih ter učnih pripomočkih, ki takšno učenje omogočajo. S splošnimi cilji pouka matematike je opredeljen namen poučevanja matematike. Cilji veljajo za vsakega učenca v okviru njegovih zmožnosti, glede na njegovo starost. Učenci naj spoznajo, da z matematičnim znanjem lahko mnoge pojave in stvari opišejo ter jih numerično ali grafično tudi predstavijo. Matematiko naj uporabljajo kot sredstvo komunikacije, hkrati pa osvojene pojme in znanja kot orodje v vsakdanjem življenju. Splošni cilji, zapisani v učnem načrtu, postavljajo v ospredje sistematično in ustvarjalno delo. Učitelje opozarjajo, naj učence spodbujajo, da sami iščejo poti do rešitve, ne pa da slepo sledijo določenemu vzorcu. Cilj je torej pokazati matematiko kot proces, kot ustvarjalno dejavnost, v katero so učenci in učenke ustvarjalno udeleženi. Probleme naj rešujejo sistematično, kar ni v nasprotju z razvijanjem domišljije, intuitivnosti in ustvarjalnosti misli. Takšen način vsebuje elemente načrtovanja poteka reševanja in kritično vrednotenje poti do rešitve ter oceno veljavnosti rezultata. ■ 44 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Literatura Bela, M. (2007). Konstruktivistični pristop k pouku matematike na primeru raziskujmo oblike. Diplomsko delo, Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Oddelek za razredni pouk. Hodnik Čadež, T. (2004a). Vloga konstruktivizma pri oblikovanju pojmov na razredni stopnji. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktiv-izem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 321). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Hodnik Čadež, T. (2004b). Učenje matematike z razumevanjem. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 321). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Piciga, D. (1995). Od razvojne psihologije k drugačnemu učenju in poučevanju. Nova Gorica: Educa. Plut-Pregelj (2004a). Konstruktivistične teorije znanja. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 37). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Plut-Pregelj (2004b). Konstruktivizem: neenotnost teorij in znanja. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 22-23). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Plut-Pregelj (2004c). Med psihološkim, kognitivnim in socialnim konstruktivizmom. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 23-26). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Šteh, B. (2003). Koncept aktivnega in konstruktivističnega učenja. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 103-104). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Žakelj, A. (2004a). Vloga problemskih situacij pri pouku matematike. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 309). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Žakelj, A. (2004b). Izgrajevanje pojmovnih predstav pri matematiki. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 311). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Žakelj, A. (2004c). Osmišljanje matematičnih vsebin. V B. Maretič Požarnik (ur.), Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. (str. 315). Ljubljana: Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete in Slovensko društvo pedagogov. Webber H., Berryl J. (1992). Let's Investigate Shapes 2, Sholactic ' .o>' ■f ^ f # -f / ■f „«P > çftV . v v d* a* A">V V V v Grien berger Kircher Paolo Casati Clavius Aristotel Paul Hansiz Kartezijanci Boškovic Newton Kircherjev učenec Francesco Lana Terzi iz Brescije Pariški kartezijanec Noël Regnault Ernst Vols Prikriti kartezijanec Honorât Fabri Kopernikanec avguštinec Eusebius Amort Slika 6: Zagovorniki poglavitnih matematikov med jezuiti avstrijske in češke province, razporejeni po desetletjih rojstev. 59 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 Zaključek Matematika ima več plasti in njena zgodovina prav tako. Temeljne ideje novoveške matematike so se morda res kovale v Parizu in Londonu, kljub temu pa tudi prispevek naših srednjeevropskih krajev ni bil zanemarljiv. Predvsem pa je bila od sprejemanja novih matematičnih idej odvisna njihova veljava, tako da so stotine srednjeevropskih matematikov vključno s slovenskimi pogosto igrale odločilno vlogo pri uveljavljanju novih matematičnih prijemov. Jurij Vega je bil najboljši med njimi, kljub temu pa le eden izmed množice tisočerih jezuitskih dijakov, ki so svoje šolsko matematično znanje uveljavili po vsem svetu. Seveda Vega v svojih matematičnih učbenikih domala nikoli ni pozabil narisati Boškoviceve krivulje odvisnosti sile teže od razdalje med delcema, ki jo je spoznal že v ljubljanskih šolskih klopeh pri nekdanjih jezuitih. Pri občudovanju profesorja matematike Boškovica je vztrajal še dolgo po Boškovicevi smrti, kot so počeli domala vsi matematiki in fiziki v srednji Evropi z izjemo praškega matematika-astronoma Josepha Steplinga (* 1716; t 1778) in dunajskega dvornega astronoma slovaškega rodu Maksimilijana Hella. ■ Literatura Boškovic, R. (1741). De Natura et usu infinitorum & infinite parvorum. Dissertatio habita in Collegio Romano Societatis Jesu. Romae: Komarek. Markovic, Ž., Boškovic, R. (1968). Zagreb: Izdavački zavod Jugoslavenske akademije, 1. del, str. 69, 93, 95, 167, 259; R. Boškovic, Trogo-nometriae sphericae constructio. Romae: Komarek, 1737; R. Boškovic, Elementorum (Universae) Matheseos. Romae: Generoso Salomoni, 1752, 1754, 3. del, str. 297-468. Martinovic, I. (2015). The Concept of the Infiniti mysteria in Boškovics Geometrical Investigations, Prilozi za istraživanje hrvatske filozofske baštine, letnik 41/81, številka 1, str. 85, 87. Vols, E. (1714). Institutionum mathematicarum libri tres, Dunaj: Ioannis Scalpro Iacobi, 1. del, str. 10, 138; 3. del, str. 337. 60 Matematika v šoli, št. 1., letnik 23, 2017 RAČUNSKE NALOGE O KROGU IN KROŽNICI Predstavitev nove knjige: Iteracije in fraktali Gustavo N. Rubiano O. in Borut Jurčič Zlobec Zveza za tehnično kulturo Slovenije Ljubljana, 2016 210 strani Cena: 25,00 EUR •■■ž*r »T vr «i ■Ki BP^V l.^ . v r* * ^ / v * * J* i "i » - . = ê l^f 'jI V. mmr tW - d V založništvu Zveze za tehnično kulturo Slovenije je izšla matematična monografija z naslovom Iteracije in fraktali [s sistemom Mathe-matica], katere avtorja sta Gustavo N. Rubiano O. in Borut Jurčič Zlobec. Delo obravnava zelo privlačno strukturo, ki se imenuje fraktal. Fraktal je sebi podobna množica, katere posamezni sestavni deli so podobni celoti. Sebipodobnost omogoča, da z dokaj enostavnim opisom sestavljamo vedno bolj zapletene strukture. Omenjeno lastnost s pridom uporablja narava, kjer lahko najdemo veliko sebi podobnih struktur (snežinka, vrtnina rimski brokoli, drevesni sistem vej, listi praproti, vaskularni sistem pljuč). V matematiki se fraktali pojavijo zelo pozno. Prvič so nanje naleteli proti koncu 19. stoletja, ko so konstruirali zvezne, a nikjer odvedljive funkcije. Matematična definicija fraktala je bila postavljena leta 1975 in razcvet sodobne frak-talne geometrije je dejansko omogočilo šele računalništvo. Osnovni postopek, s pomočjo katerega avtorja konstruirata in predstavljata fraktale, je iteracija. Sama vizualizacija fraktalov je opravljena s programskim orodjem Mathematica. Knjiga je napisana zelo skrbno, postopno in matematično korektno ter vsebuje veliko vsebin, ki so še posebej zanimive za mlade raziskovalce v srednji šoli in njihove mentorje. Zato odločitev za njeno predstavitev v reviji Matematika v šoli. Vsebina. Uvodoma avtorja opišeta frak-tal in predstavita klasične primere frak-talov: Cantorjevo množico, Kochovo snežinko, trikotnik Sierpinskega. Vpeljana je fraktalna dimenzija, ki omogoča « » •JK 'K ■ je 1 JH^J V ■ .ilÉk ™ «j &vv*ai W8fc K. V 1 ji r SJtV. ' _ » r» _ ' «I çï ■ ' t v- .9 AKiViHK*' * * ÍL«/*. _ i« ITERACIJE IN FRAKTALI i'. mtT M i Vi UAlHBMAT.il Á'j GUSTAVO N. RU'BIANO O. IN BORUT JURČIČ ZLOBEC matematično definicijo fraktala. Drugo poglavje obravnava iteracije, s pomočjo katerih so v množici kompleksnih števil (ravnini) konstruirani različni fraktali. Pri tem je uporabljena znana Newtono-va tangentna metoda. V tretjem poglavju preko dinamike razvoja populacij spoznamo osnove dinamičnega procesa, ki se lahko vede predvidljivo ali kaotično. Ker naravna rast (eksponentna funkcija) seveda ne more trajati v nedogled, se v praksi za modeliranje omejene rasti populacij uporablja logistična enačba. Preko modificirane logistične enačbe pridemo do Mandelbrotove množice, za katero se je ustvarilo mnenje, da je najbolj zapleten fraktalni objekt v ravnini. V četrtem poglavju je natančno opisana anatomija te množice in v petem poglavju so predstavljene Juliajeve množice. Posebej velja izpostaviti, da omenjeni poglavji krasijo galerije čudovitih slik. Omenimo, da avtorja vse fraktalne objekte prikažeta v črno-beli tehniki. Pri tem je posebej razvidna bogata struktura Juliajevih množic. Morda v delu pogrešamo kakšno barvno sliko. Sledita poglavji, kjer sta predstavljena še dva druga pristopa k fraktalni geometriji: Lindenmayerjevi sistemi in iterativni funkcijski sistemi afinih preslikav. Lindenmayerjevi sistemi, poimenovani po biologu, ki jih je prvi uporabil za modeliranje rastlin, so del računalniške grafike in omogočajo lepe konstrukcije fraktalov iz narave (predvsem drevesa in praproti). Tukaj na primer spoznamo krivulji (zmajeva in Gosperjeva krivulja) s fraktalno dimenzijo 2, čudni krivulji, ki zapolnita prostor v ravnini. Zaključno osmo poglavje je namenjeno filotaksi. Filotaksa nam na primer pojasnjuje razporeditve listov pri rastlinah, razporeditve cvetov (popkov, semen) pri socvetjih in razporeditve lusk pri storžih. Zakaj pri filotaksi naletimo na Fibona-ccijevo in Lucasovo zaporedje? Zakaj se cvetovi (semena) v socvetjih razporejajo v obliki različnih spiral? Kje se pri vsem tem skrivajo verižni ulomki in znamenito razmerje zlatega reza? Se narava podreja nekakšnemu mističnemu načelu, da se stvari tako čudovito matematično ujemajo? Avtorja utemeljita, da resnična lepota razmerja zlatega reza v naravi nastopi iz praktičnih razlogov. Uporabnost z vidika učitelja matematike. Kot strokovno literaturo dano delo priporočam v branje učiteljem matematike v srednji šoli in tudi v višjih razredih osnovne šole. Pri tem bi posebej izpostavil tri vidike uporabe. Avtorja k predstavitvi vsebine pristopita na raziskovalen način, ker imata v mislih mlade raziskovalce in njihove mentorje, za katere je knjiga lahko uporaben vir pri izbiri tem za raziskovalne naloge. Zato za razumevanje večine tematike zadošča že srednješolska matematika. Skoraj vse slike in fraktali v knjigi so opremljeni s programsko kodo, ki je zapisana s programom Mathematica, da lahko bralec tudi sam preiskuje in ustvarja nove fraktale. V knjigi so tudi vsebine, primerne za raziskovalne naloge v osnovni šoli. Določene zanimive lastnosti so lahko tematika ali iztočnica za matematične krožke in matematične delavnice. Poleg samih fraktalnih struktur izpostavimo še 61 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 tematiko zlatega reza, verižnih ulomkov in Evklidovega algoritma, modulsko po-števanko, tri vrzeli in Fibonaccijevo zaporedje ter Fordove krožnice. Zelo zanimivi so Fareyevi nizi ulomkov, ki imajo lepo geometrijsko konstrukcijo in kopico nenavadnih lastnosti. Tako osmislijo seštevanje ulomkov, kjer iz ulomkov f in j dobimo ulomek ^j. Omenimo, da Fareyev niz F(n), kjer je n naravno število, tvorijo okrajšani ulomki z intervala [0,1], katerih imenovalec ne presega n. Na primer niz F(4) sestavljajo števila 0,|,f,§, 1. Računalniško podkovani učitelji se lahko pri krožkih in delavnicah lotijo tudi vizu-alizacije fraktalov, še posebej fraktalnih krivulj z uporabo t. i. želvje grafike. Zadnji vidik je vključevanje fraktalnih struktur in drugih primerov iz knjige pri pouku matematike kot motivacijskih primerov, zanimivosti ali primerov uporabe pri utrjevanju snovi. Skratka za popestritev raznih matematičnih vsebin pri pouku. Fraktali se lahko naravno vključijo k vsebinam, ki obravnavajo vzorce in zaporedja. Začetne konstrukcije fraktalov, kot sta Kochova snežinka ali trikotnik Sierpinskega, se lahko predstavijo pri vsebinah o geometrijskih likih, tematiki preštevanja objektov, računanju ploščin, ugotavljanju potenčnih povezav. V srednji šoli jih lahko naravno uporabimo pri obravnavi geometrijske vrste. Sama ite-racija je kot zanimiv primer lahko uporabljena pri obravnavi odvoda in enačbe tangente. Zanimivost. Ste vedeli, da je zaporedje 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... (rekurzivno podano kot a = a, = 1 in a = a , + a „ za 0 1 n n - 1 n - 2 n > 2) z imenom Fibonaccijevo zaporedje poimenoval francoski matematik Lucas v 19. stoletju? Če v rekurziji za Fibonaccijevo zaporedje spremenimo začetno vrednost a0 = 2, dobimo Lucasovo zaporedje 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ... Analiza pri štetju parov spiral pri borovih storžih je pokazala, da so v 95 % v Fibonaccijevem zaporedju, v 4 % v Lucasovem zaporedju in 1 % je neopredeljenih. Ne samo matematika, tudi narava očitno pozna statistične stopnje značilnosti! ■ Dominik Benkovič, Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Raziskovalne naloge iz matematike na Srečanju mladih raziskovalcev Slovenije 2016 Borut Jurčič Zlobec Fakulteta za elektrotehniko Univerze v Ljubljani Uvod V letu 2016 je potekalo že 50. državno srečanje mladih raziskovalcev v Murski Soboti. Na končnem izboru za srebrna in zlata priznanja je bilo pred komisijo predstavljenih 10 raziskovalnih nalog. Komisijo so sestavljali Polona Repolusk, Mateja Grašič, Dominik Benkovič in Borut Jurčič Zlobec. Komisija je izbrala šest nalog za srebrno priznanje, štiri naloge pa so dobile zlato priznanje. Odločili smo se, da bomo vsako leto objavili recenzijo zanimivih nalog. Po eni strani, da povemo širši javnosti, kaj delajo naši mladi raziskovalci, po drugi pa, da spodbudimo druge, da bi jim sledili. Morda jim bomo s tem dali kakšno idejo ali pa jih spodbudili, da še oni zapišejo svoje misli, ki so se jim ob tem porodile. Seveda imajo tu mentorji pomembno vlogo in enako velja seveda tudi zanje. Predstavljene so bile štiri naloge iz teorije števil, tri geometrijske, dve iz diskretne matematike, ena iz kombinatorike. Poleg zmagovitih nalog omenimo tudi nalogo, ki ni dosegla najvišjega priznanja, ki pa bi ga lahko, če bi mentor skrbneje usmerjal učence k matematičnemu razmišljanju. Kako lahko raziskovalne naloge še izboljšamo Tu bomo omenili nalogo z naslovom Oddaljenosti in krivulje v ravnini. Naloga govori o geometrijskem mestu točk, katerih vsota ali razlika razdalj od dveh danih točk je konstantna. V nalogi so problem posplošili tudi za primere, ko je eno od točk nadomestila premica oziroma krož-nica. Pri tem so naleteli na krivulje drugega reda, elipso, hiperbolo in parabolo. Naloga je bila skrbno narejena. Učenci so pokazali, da obvladajo programsko orodje Geogebra. Motilo je edino to, da niso opazili, da je mogoče en problem prevesti na drugega tako, da ni treba vedno znova ponavljati celotnega izračuna. Na primer, geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od krožnice in točke lahko prevedemo na geometrijsko mesto točk, katerih razlika razdalj od dane točke in središča krožnice je enaka polmeru krožnice, če točka leži zunaj krožnice, in katerih vsota razdalj je enaka polmeru krožnice, ko se točka nahaja znotraj krožnice. Podobno bi lahko pojem razlike razdalj od točke in premice prevedli na enako oddaljenost od točke in primerno izbrane njej vzporedne premice. Naloge, ki so dosegle zlata priznanja Najvišja priznanja so dosegle štiri raziskovalne naloge, dve osnovnošolski in dve srednješolski. 1. Paposova veriga v arbelosu Avtorica: Tijana Gajanovic Mentor: Vesna Harej Šola: OŠ Dravlje, Ljubljana 62 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 2. Magični kvadrati Avtorica: Ida Vavpetič Mentor: Igor Prešern Šola: OŠ Riharda Jakopiča, Ljubljana 3. Origamika Avtorji: Sara Maraž, Tjaš Božič, Miha Torkar Mentor: Alojz Grahor Šola: Škofijska gimnazija Vipava 4. Večkotniška Mersenova števila Avtor: Tim Salecl Žižek Mentor: Andreja Hočevar Šola: Gimnazija Poljane, Ljubljana Kratek pregled nalog, ki so dosegla zlata priznanja Paposova veriga v arbelosu V raziskovalni nalogi se je avtorica ukvarjala z geometrijskim likom, ki se imenuje arbelos, kar po grško pomeni čevljarski nož. Ta lik sta poznala že grška matematika Arhimed in Papos Aleksandrijski. Arbelos je lik, omejen s tremi polkrožni-mi loki, tako da je premer največjega enak vsoti premerov manjših dveh polkrožnih lokov. Avtorica je pregledala več zanimivih krožnic, ki so včrtane v arbelos. Med drugim je govorila o Arhimedovih dvojčkih, Paposovi verigi, Apolonijevi, Bankoffovi in Schochovi krožnici. Konstrukcije je narisala s programskim orodjem Geogebra. Slika 1: Zgoraj je prikazana Paposova veriga, spodaj pa Arhimedova dvojčka Zanimivo je, da je polmer Arhimedovih dvojčkov enak ab/(a + b), kjer sta a in b polmera manjših krožnic arbelosa. Slika 1 na levi prikazuje Paposovo verigo in inverzijo verige preko primerno izbrane krožnice. Naloga je opremljena z mnogo lepo izdelanimi risbami s pomočjo programskega orodja Geogebra. Magični kvadrati V povzetku naloge je med drugim zapisano: V nalogi sem raziskovala magične kvadrate. Ogledala sem si zgodovino magičnih kvadratov in znana odkritja na tem področju. Raziskala sem osnovne lastnosti magičnega kvadrata in števil, ki jih vsebuje. Posvetila sem se lastnostim, ki so mi omogočile lažje štetje magičnih kvadratov. Izvedela sem, s kakšnimi posebnimi magičnimi kvadrati se matematiki ukvarjajo in kakšne probleme so si zastavili. Zelo me je zanimal magični kvadrat iz popolnih kvadratov. (Vavpetič I., 2016) Avtorica je v svoji nalogi uporabljala programsko orodje Mathematica. Med drugim je s pomočjo tega orodja iskala magične kvadrate reda 3 x 3. Ugotavljala je naraščanje števila le-teh v odvisnosti od njihovega sredinskega števila. V nalogi je avtorica pokazala, da obvlada programsko orodje Mathematica. Njen jezik je matematično korekten in tekoč. Naloga je lep izdelek. Origamika Nalogo predstavimo kar z njenim povzetkom. Origami je japonska umetnost zgibanja papirja. Posebna oblika origamija je matematični origami, pri katerem prepogibamo list papirja (model ravnine) in proučujemo matematične lastnosti objektov v ravnini, Slika 2: Trisekcija kota 63 IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017 ki pri tem nastanejo (točke, premice). Ka-zuo Haga je matematični origami poimenoval origamics, v nalogi pa predlagamo pojem origamika. Dokazano je, da je matematični origami močnejše orodje, kot sta neoznačeno ravnilo in šestilo. Tako je bil na primer s prepogibanjem papirja rešen problem podvojitve kocke in problem razdelitve kota na tretjine, saj je s prepogibanjem papirja mogoče rešiti kubično enačbo. Cilj raziskovalne naloge je postaviti in dokazati čim več matematičnih hipotez (matematičnih izzivov), ki izvirajo iz prepogibanja lika enakostraničnega trikotnika. V nalogi je raziskanih in dokazanih preko trideset matematičnih izzivov. (Maraž, S., Božič, T., Torkar, M., 2016) Med drugim so avtorji tudi pokazali, da obvladajo programsko orodje Geogebra. Naloga si zasluži vse priznanje. Kot zanimivost bomo razložili konstrukcijo trisekcije kota s pomočjo origamike. S šestilom in neoznačenim ravnilom takšna konstrukcija ni mogoča. Na kratko opišimo konstrukcijo, ki je prikazana na sliki 2. Kraka kota sta označena s polnima črnima črtama. Papir prepognemo tako, da dobimo dve vzporednici z osjo x. Nastala vzporedna pasova morata imeti enako širino. Na osi y je označeno presečišče z gornjo vzporednico osi x z modro barvo, medtem ko je koordinatno izhodišče označeno z rdečo barvo. Nato prepognemo papir po poševni modri črti tako, da se modra in rdeča točka na osi y pokrijeta s točkama enake barve na poševni rdeči črti, ki predstavlja položaj osi y po pregibu. Rdeča točka na poševni rdeči črti leži na presečišču le-te s spodnjo vzporednico osi x, medtem ko leži modra točka na poševnem kraku kota. Tretja (zelena) točka je presečišče pregiba (poševna modra črta) s spodnjo vzporednico, torej s tisto, ki je bliže osi x. Naredimo še dva pregiba, kjer črti pregiba vsebujeta koordinatno izhodišče in eno od dveh točk (zeleno oziroma rdečo). Slika 3: Na sliki so prikazana trikotniška števila (vir Wikipedija). Mersennova in večkotniška števila Formula za n-to s-kotniško število. P(n,s)=w2(s-2)2-n(s-4) Mersennova števila so števila oblike M(n) = 2m - 1. Mersennova praštevila pa so praštevila oblike P = 2p - 1, v tem primeru je tudi p praštevilo. Na primer število 15 je večkotniško število za (s = 3, n = 5) in Mersennovo število za (m = 4). Avtor je opazoval rešitve enačbe 2771 _ J _ n2(s-2)-7t(s-4) 2 za naravna števila m, n in s. V literaturi je našel Ramanujan-Nagello-vo enačbo, to je enačbo oblike x2 + D = ABy, kjer so A, B, D znana cela števila, medtem ko sta x, y neznanki. Za enačbo se ve, da je število celoštevilčnih parov njenih rešitev (x, y) končno. Ugotovil je, da je tudi njegova enačba nm -i n2(s-2)-n(s-4) 2m — 1 =--—--- tega tipa za x = 2(s - 2)n - s + 4 y = m + 3 D = -s2 + 16s - 31 A = s - 2 B = 2 V nadaljevanju je avtor dokazal zanimive izreke, kot je na primer, da obstajata le dve trikotniški Mersennovi števili in da kvadratna Mersennova števila ne obstajajo. Naloga je tudi oblikovno lep izdelek. Narejena je s pomočjo orodja LaTeX, ki je namenjeno urejanju matematičnih besedil. Zaključek Vsakoletna objava recenzije zanimivih nalog ima dva namena: prvič, da povemo širši javnosti, kaj delajo naši mladi raziskovalci, in drugič, da spodbudimo druge, da bi jim sledili. Morda bo kdo našel spodbudo oziroma idejo za svojo raziskovalno nalogo. Seveda imajo tu mentorji pomembno vlogo in enako velja tudi zanje. ■ Viri in literatura Maraž, S., Božič, T., Torkar, M. (2016). Origamika. Raziskovalna naloga iz matematike. Vavpetič, I. (2016). Magični kvadrati. Raziskovalna naloga iz matematike. 64 2017, Volume 23 CONTENTS Mateja Sirnik Editorial FROM THE THEORY FOR PRACTICE Mateja Sirnik in Mojca Suban Importance of Formative Assessment in Learning and Teaching Mathematics......................................................................................................................................2 Vesna Vršič Examples of Adjustments and Support in Solving Mathematical Problems at the Primary Level...........................................................................................................................11 Darja Antolin Drešar Encouraging Parent Involvement in Child's Mathematical Education............................18 Alenka Zupančič Danko Specific Learning Disabilities in Mathematics - Types, Characteristics and Identification..........................................................................................................................................................23 FROM THE CLASSROOM Štefka Smej Introducing Formative Assessment for the Topic of Circle and Circumference.......................................................................................................................................................30 Maja Bencek Constructivist Approach to Mathematics Lessons...........................................................................39 Mojca Tomažin Analysis of the Use of e-Learning Materials in Mathematics Based on a Questionnaire.......................................................................................................................................................46 MATHEMATICS THROUGH HISTORY Suzana Harej Why Leibniz Biscuits?.................................................................................................................................................52 Stanislav Južnič Central European Mathematicians a Quarter of a Millennium Ago...................................54 NEWS Dominik BenkoviC Presentation of New Book: Iterations and Fractals..........................................................................61 Borut Jurčič Zlobec Research Papers in Mathematics at the 2016 Meeting of Early-Stage Researchers of Slovenia......................................................................................................62 >41 IZ ZALOŽBE ZAVODA RS ZA ŠOLSTVO VTL TAČKE V ŠOLI ■ iKHfmMrt 4 "225TSTL "LT50V. | V45-0V. | 20,00 V T 4^120 ^ i2,25€l Dopolnitn svojo strokovno knjižnico z ugodnim nakupom. Izbor 1177 zzinižanih pubrlikaciL najdete na spletn1 strani www.zrss.V/zalovbaLakcija. lMWW.AMIJlSO« DAME!A HTlAll»W>tL Taksonomija za učenje, poučevanje in vrednotenje znanja Fkv-dj JJ'J BkiKiKju-j laiannariiiu chibl uhnutml- uJjbv G) | Zavod Republike I Slovenije I za šolstvo Naročanje: P Zavod RS za šolstvo, Poljanska c. 28, 1000 Ljubljana T 01 300 51 00 F 01 300 51 99 E zalozba@zrss.si S www.zrss.si akcija arhiv revij facebook ZRSS ISSN 131A-01DX twitter ZRSS ^ i i ji _j ji u ujiljiju_i 9771318010005