16 Povzetek Leta 2014 je vesoljska sonda Rosetta na Zemljo poslala slike nenavadnega nebesnega telesa, kometa 67P , ki še najbolj spominja na sprimek dveh kep. Rosetta je na komet spustila tudi pristajalni modul Philae, ki se je po prostem padu zaradi majhne gravitacije od površine ko- meta večkrat odbil, preden se je pritrdil na podlago. Ali se gravitacijsko polje takega nebesnega telesa razlikuje od gravitacijskega polja Zemlje le po jakosti? Ali se težni pospešek spreminja s kvadratom razdalje? Z računalniško simulacijo na poenostavljenem modelu kometa smo ugotavljali lastnosti težnosti in prišli do zanimivih zaključkov. Ključne besede: sonda Rosetta, komet 67P , gravitacijsko polje nebesnih teles On the Gravity of Irregular Bodies Abstract In 2014, the Rosetta space probe sent images of an unusual celestial body to Earth, the 67P comet, which resembles a conglomerate of two lumps. Rosetta also lowered the Philae lander onto the comet, which bounced off its surface several times after a free fall, before finally atta- ching itself to the ground. Does the gravitational field of such a celestial body differ from the gravitational field of Earth in anything other than magnitude? Does the gravitational accele- ration change with the square of the distance? Using a computer simulation on a simplified model of the comet, we determined the properties of gravity and reached a few fascinating conclusions. Keywords: Rosetta probe, 67P comet, gravitational field of celestial bodies O gravitaciji teles nepravilnih oblik Peter Jevšenak Šolski center Velenje, Gimnazija Velenje Uvod Spomladi leta 2014, po desetih letih potovanja po Sonč- nem sistemu, je vesoljska sonda Rosetta dosegla svoj cilj – komet 67P/Churyumov-Gerasimenko (v nadaljevanju komet). Svet so obšle slike oddaljenega in nenavadnega sveta. Komet ima obliko dveh sprijetih oblastih kep. V e- čja kepa meri v premeru dobre štiri kilometre (slika 1). Novembra 2014 se je z Rosette odcepil modul Philae in pristal na površju kometa. Pristanek ni potekal gladko, ampak se je Philae od površja večkrat odbil, preden se je končno zasidral v podlago. V okolici tako majhnega nebesnega telesa vladajo popolnoma drugačne razme- re, kot smo jih vajeni na Zemlji, govorimo lahko o mi- krogravitaciji. Po podatkih Evropske vesoljske agencije (ESA) se je Philae odbil od površja s hitrostjo počasne hoje, skoraj eno uro pa je trajalo, da se je ponovno do- taknil tal [1] [5]. Na Zemlji bi se to zgodilo v manj kot sekundi. T o je izzvalo začudenje in padla je odločitev, da z analizo gibanja modula Philae pridemo do težnega pospeška na mestu pristanka na kometu. Ker pa komet nima krogelne oblike kot večja nebesna telesa (zvezde, planeti, večje lune), težni pospešek verjetno odstopa od zakona 1/r 2 . V dostopni literaturi ni enostavno poiskati informacij o gravitaciji teles nepravilnih oblik ali o tele- sih, ki nimajo krogelne oblike. Poglavja o gravitaciji se začno z Newtonovim gravitacijskim zakonom, kot pri- mer pa je predstavljeno Zemljino težnostno polje. Pripi- sano je, da zaključki veljajo samo za telo okrogle oblike, kjer se gostota telesa spreminja izotropno z oddaljeno- stjo od središča. Ker se drugačna telesa ne omenjajo, smo se sami lotili izdelave računalniškega programa – simu- lacije gravitacijskega pospeška v izbrani točki v okolici poenostavljenega modela kometa. Fizika v šoli 17 Strokovni prispevki Sliki 1a in 1b: Komet po obliki v določeni perspek- tivi spominja na raco; zgor- nja manjša obla (glava) je prek vratu spojena s spodnjo večjo oblo (trupom) [4]. Geometrijski model kometa Naš cilj je bil napisati program, ki bi na zaslonu narisal obris kometa v stranskem risu, nato pa bi izbrali poljub- no točko na kometu ali v bližnji okolici in kot rezultat dobili težni pospešek v izbrani točki tako po velikosti kot po smeri. V ta namen smo morali kompleksno obliko ko- meta poenostaviti in ga spraviti v matematično obvlad- ljivejšo obliko. Zamislili smo si ga takole (slika 2 in 3): Manjša obla – zgornji element: valj premera 2,3 km in višine 1,1 km Vrat – element v sredini: valj premera 1,6 km in višine 0,5 km V ečja obla – spodnji element: kvader dimenzij 1 km x 1,6 km x 3,0 km, vrinjen med dve polovi- ci valja premera 3,0 km in višine 1,6 km Skrajni desni rob vratu je nad središčem spodnjega ele- menta. Zgornji in spodnji valj sta nameščena central- no drug nad drugim. T ežišče kometa je po preračunu glede na znana težišča izbranih teles na stranskem risu 0,2 km levo in 0,43 km višje od središča spodnjega ele- menta. Vrat in zgornjo oblo smo malo prestavili glede na original, tako da smo dobili v tlorisu ravnino simetrije, če ga prerežemo po sredini. T o ravnino potem v stran- skem risu vidimo na zaslonu in težni pospešek se računa v točkah te ravnine. Mere so izbrane tako, da se volumna modela in izvirnika čim bolj ujemata. Slika 3: Leseni model kometa v merilu 1 : 20 000. Gravitacijsko polje kometa Z besedo komet mislimo na model kometa iz slike 3. Program je računal z naslednjimi podatki: masa je 1,0 · 10 13 kg, volumen (modela) je 21,7 km 3 ter gostota 463 kg/m 3 [2]. K odločitvi, da računamo težni pospešek samo v točkah simetrijske ravnine, sta prispevala pred- vsem dva dejavnika. Prvi je ta, da vektor težnega pospeš- ka v izbrani točki te ravnine tudi leži v tej ravnini in ga lahko prikažemo dvodimenzionalno. Drugi pa je dej- stvo, da se je modul Philae gibal približno po simetrijski ravnini, ko je pristajal na temenu zgornje oble kometa. Programirali smo v računalniškem jeziku C++, ker je zelo primeren za reševanje matematičnih problemov. Ker pa ne vključuje grafike, smo si pomagali s knjižnica- mi SFML, ki služijo kot zvokovna in grafična razširitev jezika C++. Program deluje tako, da preučevano telo razreže na manjše dele, ki jih potem upošteva kot toč- kasta telesa, nato pa izračuna prispevek vsake take točke k težnemu pospešku v izbrani točki simetrijske ravnine po enačbi . Pospešek razstavi na pravokotni komponenti (po z-osi oz. v smeri pravokotno na središč- Slika 2: Tloris in stranski ris modela kometa. 18 ni prerez stranskega risa se zaradi simetrije komponente izničijo) in prispevke vseh točk sešteva po komponentah. Na koncu iz komponent izračuna velikost in smer in to se grafično prikaže na zaslonu. Program najprej določi položaj in maso vseh kosov. V na- šem primeru smo komet razdelili na 500.000 kosov, kar zadošča za natančnost približno 1 %. Nato se na zaslonu odpre grafično okno z obrisom kometa v stranskem risu kot na sliki 4. Izberemo poljubno točko grafičnega okna, znotraj, zunaj, na površini kometa, nakar se po konča- nem izračunu za lažjo orientacijo izriše zveznica med izbrano točko in težiščem kometa, hkrati pa se iz izbrane točke z rumeno barvo nariše še vektor težnega pospeška. Dolžina črte predstavlja relativno velikost, lega v ravni- ni pa smer težnega pospeška. Številčna vrednost težnega pospeška v izbrani točki se izpiše v sosednjem oknu, ki se odpre vzporedno h grafičnemu. Ko izberemo naslednjo točko, se stara slika ohrani in doda se težni pospešek v novi točki. T ako lahko spremljamo, kako se z razdaljo oziroma s premiki spreminja težni pospešek. Slika 4: Težni pospešek v izbranih točkah na površini kometa; številčne vrednosti so prepisane iz vzporedno odprtega okna in jih je treba pomnožiti s faktorjem 10 –4 m/s 2 . Točka v sredini, ki leži na sečišču črt, je težišče kometa. S slike 4 razberemo, da se težni pospešek spreminja, ko se premikamo po površju kometa. Rumene črte, ki pred- stavljajo velikost in smer pospeška, pa jasno nakazujejo, da težni pospešek ne kaže vedno proti težišču. Za Zemljo velja, da je težišče tudi gravitacijsko središče, točka, kjer je težni pospešek enak nič. Na kometu pa tež- ni pospešek v težišču znaša 1,34 · 10 –4 m/s 2 . Če izberemo v nadaljevanju točko ob koncu rumene črte, ki predsta- vlja vektor težnega pospeška v težišču, pridemo na pod- ročje, kjer zabeležimo nenaden upad jakosti gravitacije, tudi za dva velikostna reda. T ukaj lahko iščemo gravita- cijsko središče kometa – točko G. T o področje zavzema kvader, ki predstavlja centralni del spodnje oble kometa. T a je razdeljen po vsaki dimenziji na 50 delov, kar pome- ni 125.000 kosov dimenzij 20 m x 32 m x 60 m. Program vsak kvader upošteva kot točkasto telo z maso, zbrano v središču. Natančno lego točke G bi s poskušanjem našli le, če bi točka G sovpadala s središčem enega od kvadrov, kar pa je skrajno neverjetno. Poleg tega še velja, da pre- mik za eno slikovno piko na grafičnem zaslonu pomeni premik za 6 m v merilu kometa. Če bi hoteli natančneje locirati gravitacijsko središče, bi morali spremeniti meri- lo na zaslonu in še precej bolj na drobno razdeliti telo. Vseeno pa lahko ocenimo, da sta točki G in T na kometu oddaljeni približno 330 m. Slika 6: Področje okrog sredine spodnje ploskve je območ- je največjega težnega pospeška na kometu. Prikazane so tudi spremembe v smeri težnega pospeška pri približevanju spodnji ploskvi. Slika 5: Točka G – gravitacijsko središče kometa; točka T – težišče. Fizika v šoli 19 Strokovni prispevki Največja težnost kometa je po sliki 6 na sredi spodnje ploskve, g max = 4,16 · 10 –4 m/s 2 . Pospešek na tem delu kaže izrazito proti središču spodnjega elementa in ne proti težišču kometa. Če bi v sistemu dveh teles spustili (v primerjavi s kometom majhno) telo, da prosto pada iz točke v vogalu slike 6 desno spodaj, se to telo ne bi gibalo po premici. V bližini površja se smer težnega pospeška vse bolj odmika od težišča in telo bi blago zavilo levo. Analizo smeri pospeška, ko se približujemo »vratu« ko- meta, kaže slika 7. Slika 7: Smeri težnega pospeška pri približevanju proti »vratu« kometa. S slike 7 razberemo, da oddaljeno telo pada proti teži- šču, bližje kometu pa posamezne masne gmote lokalno preglasijo celoto. T ako bi telo začelo rahlo zavijati proti valju, ki predstavlja zgornjo oblo, nato pa bi pot nadalje- valo v nasprotni smeri, ko bi se dovolj približalo spodnje- mu elementu. T očen potek tira ni bil cilj naše raziskave. Preverjanje veljavnosti zakona 1/r 2 v okolici kometa Iz Newtonovega gravitacijskega zakona sledi, da težni pospešek pada s kvadratom razdalje od točkastega ma- snega telesa. Za takšno odvisnost od razdalje se je uvelja- vil izraz »zakon 1/r 2 «. Sonda Rosetta je novembra 2014 izvedla poseben manever, da se je približala težišču ko- meta 67P na 22,5 kilometra. V ustreznem trenutku se je od Rosette odcepil pristajalni modul Philae in se pričel spuščati na komet. Spust je potekal balistično – brez po- gona in vodenja, samo padajoče v šibki gravitaciji kome- ta. Ob pristanku naj bi posebne noge s svedri in harpune poskrbele za pritrditev modula na površino, vendar pri- trditev ni uspela. Philae se je prvič dotaknil površine na temenu zgornje oble, potem pa se je odbijal v smeri, kot približno kaže tir na sliki 8. Slika 8: Področje preverjanja veljavnosti zakona 1/r 2 : tir je samo približen in ni v merilu. Program za izračun težnega pospeška smo prilagodili tako, da v poljubni smeri iz težišča navzven po izbranih korakih računa težni pospešek. Smer v programu smo nastavili navpično navzgor (razdalja od težišča do zgor- nje ploskve je 1970 m), ker tako na površini pridemo pri- bližno na mesto gibanja modula Philae. Za analizo nje- govega gibanja – tako padanja proti kometu kot odbojev – moramo vedeti, kako se težni pospešek spreminja z razdaljo. T ežni pospešek smo računali v 20-metrskih korakih, zanimale so nas vrednosti od površja naprej. Izračunane podatke iz programa smo vnesli v program LoggerPro in nastal je graf 1. LoggerPro omogoča pri- lagajanje funkcij skozi vstavljene točke. Izbrali smo pri- lagoditveno funkcijo Ax –2 in jo uporabili enkrat na vseh točkah od površja do oddaljenosti 1 km (na razdaljah od težišča med 1970 m in 3000 m), drugič pa samo na točkah do oddaljenosti 220 m od površja (maksimalna višina po odboju) – sivo področje. Vidimo, da obeh krivulj skoraj ne ločimo in da se krivulji na grafu 1 dobro prilegata točkam. Koeficient A v pri- lagoditveni krivulji je konstantni del enačbe . S podatki g 0 = 2,13 · 10 –4 m/s 2 in R = 1970 m dobimo za g 0 R 2 vrednost 827 m 3 /s 2 . Prilagoditev za vse točke je pokazala vrednost za A 831 m 3 /s 2 , za bližnje točke pa 836 m 3 /s 2 . Kaže, da zakon 1/r 2 v tej smeri dobro velja tudi blizu površine. V eljavnost zakona 1/r 2 smo preverili v različnih smereh. Rezultati v smeri diagonale (podobno kot na sliki 7) so prikazani na grafu 2. T očke prikazujejo težni pospešek 20 Graf 1: Preverjanje veljavnosti zakona 1/r 2 – smer navpično navzgor. Graf 2: Preverjanje veljavnosti zakona 1/r 2 – smer diagonala. Fizika v šoli 21 Strokovni prispevki (g) od površine naprej, polna črta pa je prilagoditvena funkcija Ax –2 . Površina je v tej smeri oddaljena od težišča za R = 523 m. V preučevani razdalji več kot kilometer od površja točke niti približno ne sledijo prilagoditveni krivulji in lahko rečemo, da tu zakon 1/r 2 ne velja. Zaključek Z raziskavo smo spoznali, da težišče telesa v gravita- cijskem polju blizu telesa ni tako pomembno, kot smo sprva mislili. V bližini kometa ima na telo največji vpliv lokalno dominantna masa ob tiru. Posledica tega je spre- minjanje smeri težnega pospeška in posledično telo ne pada po premici. T očko, kjer je težni pospešek enak nič, smo poimenovali gravitacijsko središče. V modelu kome- ta 67P jo najdemo približno na zveznici med težiščem celotnega kometa in težiščem spodnjega elementa (večje oble). Zanimiva je tudi ugotovitev, da na izbočenih delih kometa razmeroma dobro velja zakon 1/r 2 za težni po- spešek že od površine naprej, čeprav komet niti približno nima oblike krogle. Za večja vbočena področja (okrog vratu kometa) pa zakon ne velja. Ker smo potrdili veljavnost zakona 1/r 2 , smo lahko z analizo gibanja odbojev modula Philae (znana višina in čas) izračunali realni težni pospešek na mestu pristanka, g 0 = 1,17 · 10 –4 m/s 2 . S tem podatkom smo lahko izra- čunali maso kometa, ki je 1,00 · 10 13 kg. Naš izračun se sklada z vrednostjo mase, ki jo navaja ESA. T a članek je izvleček iz raziskovalne naloge Mikrogravi- tacija kometov [3], ki je bila v šolskem letu 2015/16 izde- lana na Gimnaziji V elenje. Na 50. Srečanju mladih razi- skovalcev v Murski Soboti je bila razglašena za najboljšo nalogo s področja fizike ali astronomije. V nalogi lahko najdemo še podrobno analizo gibanja modula Philae med spustom na komet in odbojev od površine. Viri in literatura [1] Arhiv člankov za misijo Rosetta na spletni strani ESA http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Rosetta/%28archive%29/0 (10. 5. 2016). [2] Getting to know Rosetta‘s comet http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Rosetta/Getting_to_know_Rosetta_s_comet (28. 4. 2016). [3] Jevšenak, L. (2016). Mikrogravitacija kometov. Raziskovalna naloga. Velenje: Šolski center Velenje. [4] Rosetta‘s target http://sci.esa.int/rosetta/14615-comet-67p/ (28. 4. 2016). [5] The Rosetta lander http://www.esa.int/Our_Activities/Space_Science/Rosetta/The_Rosetta_lander (27. 4. 2016).