IZ TEORIJE ZA PRAKSO 2 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Razvijanje algoritmičnega mišljenja preko pisnega deljenja Developing Algorithmic Thinking Through Long Division dr. Jasmina Ferme, 1, 2 dr. Barbara Arcet, 1, 2, 3 dr. Alenka Lipovec 1, 2 Pedagoška fakulteta 1 , Fakulteta za naravoslovje in matematiko 2 , Ekonomska fakulteta 3 Univerze v Mariboru Izvleček Pisno deljenje odpira vrata v svet algoritmičnega in računalniškega mišljenja – dveh ključnih veščin za reše- vanje kompleksnih izzivov. Učenci se skozi ta proces učijo razčlenjevati naloge na obvladljive dele, prepoznati bistvene informacije, oblikovati natančne korake in popravljati morebitne napake. To niso le matematične spretnosti, temveč življenjske veščine, ki jih pripravljajo na tehnološko usmerjeno prihodnost. Raziskave po- udarjajo, da algoritem dolgega načina deljenja omogoča večjo natančnost, sistematičnost ter preglednost ko- rakov pa tudi posplošljivost, zato naj bo prednostna metoda poučevanja. Kratki način pa je odlična izbira za hitrejše reševanje enostavnejših nalog ali izzive za naprednejše učence. Učitelji naj učencem predstavijo tudi alternativne pristope, kot je nizozemska metoda, ki spodbuja razumevanje mestne vrednosti in prilagodljivo reševanje. Pri učenju in poučevanju je pomembno, da učenci usvojijo različne metode pisnega deljenja in po- znajo ter razumejo smisel izvedbe vsakega koraka v postopku pisnega deljenja, saj tako razvijajo tudi temelje za računalniško mišljenje. S temi spretnostmi bodo ne le uspešnejši pri matematiki, temveč tudi bolje pripra- vljeni na reševanje problemov v realnem svetu. Ključne besede: pisno deljenje, tradicionalni algoritmi, algoritmično mišljenje Abstract Long division opens the door to the world of algorithmic and computational thinking - two critical skills for solving complex challenges. This process teaches students to break tasks into manageable chunks, identify essential information, formulate precise steps and correct mistakes. These are not only mathematical skills but also life skills that prepare them for a technology-driven future. According to research, the long-division algo- rithm improves precision, systematicity, transparency of steps, and generalisability and should, therefore, be the preferred teaching method. On the other hand, the short method is ideal for completing easy tasks fast or challenging more advanced learners. Teachers should also introduce students to alternative approaches, such as the Dutch method, which promotes an understanding of place value and adaptability in problem-solving. Students must learn the different methods of long division and grasp the meaning of how to carry out each step in the long division process to create the foundations for computational thinking. These skills will make them more successful in mathematics and better prepare them for real-world situations. Keywords: long division, traditional algorithms, algorithmic thinking Uvod Glede na učni načrt za matematiko v osnovni šoli je obvladova- nje pisnega deljenja z enomestnim oziroma dvomestnim delite- ljem minimalni standard znanja učencev 4. oziroma 5. razreda. Učenci druge triade morajo tako poznati in obvladovati algori- tem pisnega deljenja, čeprav se zdi, da ga v vsakdanjiku kasneje samostojno vedno redkeje izvajajo. Razlog za slednje predsta- vljajo pametni telefoni in druga tehnologija, ki nam skoraj na vsakem koraku omogoča rabo računala. S tega vidika bi lahko rekli, da smisel obvladovanja pisnega deljenja bledi, a treba se je zavedati, da imata poznavanje in obvladovanje omenjenega algo- ritma tudi druge funkcije. Postopek pisnega deljenja je kompleksen, saj poleg pisnega de- ljenja samega, torej poznavanja postopka, zahteva tudi znanje številnih drugih matematičnih konceptov, na primer deljenje z ostankom, obvladovanje algoritmov pisnega odštevanja in pisne- ga množenja ter s tem avtomatizacijo poštevanke. Razumevanje in učinkovito izvajanje postopka pisnega deljenja dodatno zahte- va tudi obvladovanje koncepta mestne vrednosti ter sposobnost ocenjevanja pri računanju. Tako lahko rečemo, da preko pouče- vanja pisnega deljenja razvijamo in utrjujemo tudi številne druge matematične koncepte. Poznavanje in obvladovanje algoritma pisnega deljenja ima apli- kativno vrednost pri kasnejši obravnavi drugih matematičnih IZ TEORIJE ZA PRAKSO 3 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 vsebin in konceptov, kot sta na primer krajšanje ulomkov (reci- mo pri krajšanju ulomka 165 9 s številom 3 velikokrat mentalno izvedemo algoritem pisnega deljenja z enomestnim deliteljem) ali pretvorba ulomka v decimalno številko. Pomembna vloga pi- snega deljenja se pokaže tudi pri deljenju polinomov, ki predsta- vlja posplošitev algoritma z vidika elementov, ki nastopijo v vlogi deljenca in delitelja. Pri pisnem deljenju gre za izvedbo postopka, sestavljenega iz več zaporednih korakov, ki jih po potrebi večkrat ponovimo. Gre to- rej za izvedbo algoritma, kar implicira, da z izvajanjem pisnega deljenja razvijamo in krepimo algoritmično mišljenje, eno izmed nepogrešljivih sposobnosti današnjega časa. Poučevanju pisnega deljenja v funkciji razvijanja algoritmičnega mišljenja se posve- timo v tem prispevku. Algoritem in algoritmično mišljenje Algoritem je natančno določen nabor navodil, ki se izvajajo v končnem številu korakov za reševanje določenega problema (Baaquie in Kwek, 2023). Lahko bi torej rekli, da je algoritem navodilo za reševanje dane naloge oziroma problema. Z drugimi besedami, gre za zaporedje ukazov ali korakov, ki nas vodijo do rešitve problema. Z algoritmi se zelo pogosto srečujemo v vsakdanjiku, že od zgo- dnjega otroštva, četudi se njihove prisotnosti ne zavedamo. Na primer zavezovanje vezalk, vožnja avtomobila, sledenje receptu pri kuhanju, umivanje zob, uporaba pomivalnega ali pralnega stroja, uporaba samopostrežne blagajne ali bankomata, sestavlja- nje pohištva … vse to so primeri, pri katerih z izvedbo določene- ga, nam znanega ali podanega postopka opravimo dano nalogo. Med osnovnošolskim matematičnim izobraževanjem izvajamo številne postopke, za katere vemo, da nas bodo privedli do reši- tve naloge; sledimo postopkom oziroma izvajamo algoritme: ri- šemo krožnico z danim polmerom, pri čemer sledimo znanemu postopku konstrukcije; pri preverjanju, ali je dano število deljivo z 9, seštejemo vse števke števila in določimo, ali je ta vsota de- ljiva z 9; pri izračunu ploščine likov ali prostornine teles upora- bimo znane obrazce, s pomočjo Eratostenovega sita določamo praštevila, algoritmom sledimo pri konstrukciji vzporednice ali pravokotnice na dano premico skozi določeno točko itd. Tudi v srednješolski matematiki se sledenje algoritmom ne konča, na primer uporaba Evklidovega in Hornerjevega algoritma, reševa- nje kvadratne enačbe ali iskanje enačbe tangente na graf funkcije skozi dano točko. S pojmom algoritem je tesno povezan izraz algoritmično mišlje- nje. Kot navajata Sadykova in Il’bahtin (2020), je algoritem glav- no orodje obdelave podatkov in hkrati tudi končni rezultat algo- ritmičnega mišljenja. Sadykova in Il’bahtin (2020) po pregledu številnih definicij algoritmičnega mišljenja navajata, da večina raziskovalcev algoritmično razmišljanje opredeljuje kot sistem diskretnih dejanj, ki jih imenujeta načini oz. poti razmišljanja. Omenjeni načini razmišljanja predstavljajo sistem, sestavljen iz dveh tipov komponent: 1) vmesne naloge in končna naloga ozi- roma cilj; 2) razumevanje operacij, ki naj bi vodile do zaporedja in izvedbe teh nalog. Pri algoritmičnem mišljenju gre torej za sis- tem miselnih metod oziroma načinov razmišljanja, ki ga potre- bujemo za to, da lahko ustvarimo zaporedje oziroma vrstni red, po katerem bomo pridobivali vmesne rezultate za rešitev dane naloge, načrtovali strukturo dejanj in izvajanje te, vse to pa nas bo vodilo do rešitve dane naloge. Lehmann (2024) navaja naslednje kognitivne spretnosti, ki so združene v algoritmičnem mišljenju: dekompozicija, abstrakci- ja, ustvarjanje algoritma (algoritmizacija) in odpravljanje napak algoritma. Omenjene kognitivne spretnosti natančneje opišemo v nadaljevanju. Dekompozicija je proces razčlenitve problema ali naloge na manj- še, obvladljive enote – podprobleme, ki so funkcionalni elementi celotnega sistema (Shute idr., 2017). Ti podproblemi omogočajo obravnavo in reševanje posameznih delov neodvisno, s čimer se kompleksni problemi poenostavijo, nove situacije pa postanejo razumljivejše. Na primer, nalogo določanja prostornine sesta- vljenega telesa razbijemo na izračune prostornin posameznih teles, katerih formule že poznamo. Abstrakcija je proces ustvarjanja modela problema ali sistema z izpostavitvijo bistvenih komponent ter opustitvijo nepomemb- nih podrobnosti (Shute idr., 2017). Tako se oblikuje poenosta- vljena predstavitev, ki omogoča razumevanje delovanja sistema in reševanje povezanih problemov. Ključni cilj abstrakcije je zmanjšanje kompleksnosti, pri čemer se ohrani vse, kar je po- trebno za analizo in rešitev problema. Na primer, pri reševanju problemov največjega pretoka modeliramo sistem kot graf, ki vključuje vozlišča in povezave med njimi, pomembne za tok vode, medtem ko neupoštevane podrobnosti, kot so pešpoti, ne vplivajo na rešitev. Algoritmizacija zajema oblikovanje natančnega zaporedja kora- kov, ki vodijo do rešitve določenega problema (Lehmann, 2024). Proces vključuje identifikacijo vhodnih podatkov, določitev pri- čakovanih izhodov in zasnovo ključnih korakov, ki povezujejo eno z drugim. Pri tem so ključni algoritmični koncepti, kot so ponavljanje (zanke), uporaba vmesnih rezultatov in spremen- ljivk, ki omogočajo učinkovito izvedbo zapletenih nalog. Algo- ritmizacija tako omogoča prehod od abstraktnega modela do praktične rešitve, ki jo je mogoče implementirati in preveriti v različnih situacijah. Odpravljanje napak ali razhroščevanje je postopek sistematične- ga testiranja in prilagajanja algoritma, da bi zagotovili njegovo pravilnost in učinkovitost (Shute idr., 2017). To vključuje testi- ranje algoritma z različnimi vhodnimi podatki, vključno s stan- dardnimi in robnimi primeri, da se preveri njegovo delovanje v vseh scenarijih. Ob odkritju napak sledi iterativno prilagajanje algoritma, dokler ne doseže želenega delovanja. Poleg tega pro- ces vključuje razmislek o možnih izboljšavah, kar pripomore k večji zanesljivosti in optimizaciji algoritma. Tako odpravljanje napak ni zgolj zagotavljanje pravilnosti, temveč tudi priložnost za izboljšanje kakovosti rešitve. Algoritmično mišljenje, dekompozicija in abstrakcija pa so po- leg prepoznave vzorcev tudi sestavni del računalniškega mišlje- nja (Li idr., 2020). Vloga računalniškega mišljenja je ključna v sodobnih poklicih, kot so programiranje, podatkovna analiza in umetna inteligenca, kar narekuje njegovo vključevanje v iz- obraževanje že na osnovno- in srednješolski ravni. Razvoj algo- ritmičnega mišljenja je še posebej pomemben v matematiki, saj podpira logično in ustvarjalno reševanje problemov ter spodbuja IZ TEORIJE ZA PRAKSO 4 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 prilagodljivost – lastnosti, ki so zelo cenjene na trgu dela. Na- kazuje se tudi, da integracija računalniškega in algoritmičnega mišljenja v matematično izobraževanje izboljšuje razumevanje (Kovalchuk idr., 2020; Stephens in Kadijevich, 2020). Pri poučevanju in učenju matematike je pomembno, da učenci razumejo in uporabljajo pisne algoritme, kot je deljenje, saj te metode pomembno prispevajo k razvoju algoritmičnega razmi- šljanja. Čeprav se deljenje v sodobni praksi, vključno z računal- niškimi procesorji, uporablja manj pogosto, ostaja ta operacija nepogrešljiva na področjih, kot so grafični prikazi in umetna in- teligenca (Zhang, 2020). Prav zato pisni algoritem deljenja pred- stavlja odlično izhodišče za poglobljen vpogled v uporabnost algoritmičnega mišljenja v učnem procesu. Kako pisno delimo? Učenci med izobraževanjem spoznajo različne strategije oziro- ma načine računanja. Ti se med drugim ločijo tudi po tem, kako operiramo s števili: ali pri tem konstantno upoštevamo koncept mestne vrednosti ali ne (Hickendorff idr., 2018, 2019). V prvem primeru gre za to, da pri računanju vseskozi neposre- dno upoštevamo dejstvo, da je naš številski sistem mestni oziro- ma pozicijski. Na vsakem koraku računanja torej ne uporabimo le izbrane števke števila, temveč vseskozi upoštevamo tudi njeno pozicijo oziroma mesto v številu. Tako neprenehoma operiramo s številom, ki ga števka skupaj z njeno pozicijo v številu predsta- vlja. Na primer, če imamo število 83 in ga obravnavamo na opi- sani način, v procesu računanja ne uporabimo le števila 8, tem- več število 80. Pri seštevanju števil 83 in 12 tako v posameznem koraku seštevanja ne seštejemo števil 8 in 1 (kot posameznih števk števil), temveč 80 + 10. Takšen način računanja običajno izvajamo, ko računamo ustno. V nasprotnem primeru v nekaterih korakih računanja operira- mo le s posameznimi števkami števila, brez upoštevanja njihovih pozicij v številu in s tem zavedanja, katero število pravzaprav po- samezna števka v številu predstavlja. Na primer, pri seštevanju števil 83 in 12 lahko tako v nekem koraku seštevanja seštejemo števili 8 in 1 (in pri tem ni nujno, da se zavedamo, da gre dejan- sko za vsoto 80 + 10) ter rezultat, število 9 (lahko brez vedenja, da gre za število 90), zapišemo na ustrezno mesto števila, ki bo predstavljalo vsoto danih dveh števil. Omenjeni način računanja se kaže pri izvedbi tradicionalnih pisnih algoritmov seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, ki jih poučujemo v Sloveniji. V posameznih fazah izvedbe posameznega algoritma namreč ope- riramo le s posameznimi števkami danih števil, pri čemer pa je razvijanje številskih predstav potisnjeno v ozadje. Na Nizozemskem so tradicionalni algoritem za operacijo de- ljenja opustili kmalu po letu 2000 v korist nove standardizirane strategije: pristopa, ki temelji na celotnih številih (Hickendorff idr., 2018, 2019). Zapis lahko opazujemo na sliki 1. Na podlagi Slike 1 podrobneje razložimo postopek deljenja 544 s 34 z uporabo metode postopnega odštevanja večkratnikov delitelja. Najprej se od celotnega števila 544 odšteje desetkra- tni delitelj (10 ∙ 34 = 340). Tako se izračuna prvi delni ostanek 204 (544 – 340 = 204). Nato se od 204 odšteje trikratnik delitelja (3 ∙ 34 = 102) in dobi delni ostanek 102 (204 – 102 = 102) Po- stopek se ponovi. Od 102 se ponovno odšteje trikratni delitelj (3 ∙ 34 = 102). Tokrat ostane 0, kar pome- ni, da smo zaključili deljenje brez ostan- ka. Na koncu seštejemo, kolikokrat je bil delitelj 34 odštet od deljenca 544. Prvič je bil odštet desetkrat, nato trikrat in še en- krat trikrat. Skupaj torej šestnajstkrat, zato je količnik 16. Ta postopek poudarja postopno odštevanje več- kratnikov delitelja, kar omogoča učencem, da razumejo logiko deljenja in prilagodljivo poiščejo delne količnike. Hkrati metoda krepi zavedanje mestne vrednosti. Osnovna razlika med algorit- mom, ki ga uporabljamo v Sloveniji, in tistim, ki ga uporabljajo na Nizozemskem, je v tem, ali se vrednost mesta števk v številu upošteva ali ignorira. Temeljna ideja slovenskega algoritma pisnega deljenja je izvaja- nje zaporednih deljenj delov deljenca (delnih deljencev) z delite- ljem. Na vsakem koraku postopka tako izvedemo deljenje delne- ga deljenca z deliteljem, rezultat tega je delni količnik. Produkt med delnim količnikom in deliteljem poimenujemo vmesni pro- dukt, razlika med omenjenima vrednostnima je vmesni ostanek. Vmesni ostanek skupaj z delom danega deljenca tvori nov delni deljenec. Vrednosti delnega deljenca, delnega količnika, vmesne- ga produkta ter vmesnega ostanka se tako v zaporednih korakih izvedbe algoritma pisnega deljenja spreminjajo. Slika 2: Terminologija pisnega deljenja. V primeru pisnega deljenja z enomestnim deliteljem deljenje delnega deljenca z deliteljem sovpada z deljenjem z ostankom (v okviru poštevanke). V tem primeru je določitev vmesnega ko- ličnika ter vmesnega ostanka direktna (določitev vmesnega pro- dukta lahko celo opustimo). Nasprotno velja, če je delitelj dvo- mestno ali večmestno število. Takrat namreč določitev delnega količnika ter vmesnega ostanka običajno ni enostavna, ampak zahteva izvedbo dodatnih aktivnosti. V nadaljevanju prispevka te (skupaj s celotnim algoritmom pisnega deljenja) natančneje opisujemo. Omejimo se na primer pisnega deljenja z dvome- stnim deliteljem. Postopek izvedbe algoritma pisnega deljenja z dvomestnim deliteljem Postopek izvedbe algoritma pisnega deljenja pričnemo pri najve- čji oz. največjih desetiških enotah deljenca. Ponavljamo izvaja- nje naslednjih korakov: določimo delni deljenec; določimo delni količnik; določimo vmesni ostanek. Postopek zaključimo, ko je Slika 1: Kako zapisujejo algoritem deljenja na Nizozemskem (vir: Fagginger Auer idr., 2018). IZ TEORIJE ZA PRAKSO 5 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 delni deljenec manjši od delitelja. V nadaljevanju natančneje opišemo navedene tri ponavljajoče se korake v izvedbi algoritma pisnega deljenja. 1. Določitev delnega deljenca Prvodoločeni delni deljenec je število, ki ga tvorijo števke, pred- stavljajoče največje desetiške enote deljenca. To število mora biti večje od delitelja ter manjše od njegovega desetkratnika (zato da bo količnik, dobljen pri deljenju delnega deljenca z deliteljem, enomestno število), kar od učencev zahteva znanje, vezano na primerjanje števil po velikosti. V naslednjih ponovitvah tega ko- raka algoritma pisnega deljenja delni deljenec določimo tako, da vmesnemu ostanku pripišemo naslednjo, še neuporabljeno štev- ko deljenca. Če takšne števke ni več na voljo, se postopek zaključi. 2. Določitev delnega količnika Delni količnik je število, ki ustreza vrednosti količnika v enakosti osnovnega izreka o deljenju. To je torej največji mogoči količnik; takšen, da se produkt tega z deliteljem najbolj približa delnemu deljencu, a ga ne preseže. Določitev delnega količnika ni vedno enostavna naloga (Fuson, 2023), kar izvira iz dejstva, da običaj- no nimamo memoriziranih vrednosti produktov dvomestnega števila (delitelja) s poljubnimi enomestnimi naravnimi števili. Zato določitev količnika in morebitnega ostanka pri omenjenem deljenju običajno ne poteka direktno, temveč zahteva izvedbo dodatnih postopkov, ki pa jih izvedemo z manj ali več doda- tnimi zapisi ter na različne načine. Na način določitve delnega količnika vpliva tudi to, koliko pri pridobitvi delnega količnika uporabljamo ocenjevanja le-tega (torej ocenjevanja rezultata pri deljenju delnega deljenca z deliteljem). Običajno manjša priso- tnost ocenjevanja pri določanju delnega količnika sovpada z več računanja slednjega. Pri računanju gre pravzaprav za računanje produktov med naravnimi števili in deliteljem. Računanje pro- duktov delitelja z naravnimi števili lahko poteka direktno z mno- ženjem, lahko pa uporabljamo tudi druge strategije, na primer seštevanje ter kombinacijo seštevanja/odštevanja in množenja (Hickendorff idr., 2019), kar lahko vključuje tudi rabo zakona o razčlenjevanju pri računanju. 3. Določitev vmesnega ostanka Ko določimo ustrezni delni količnik, sledi določitev vmesnega ostanka. Načini njegove določitve se ločijo po tem, ali pred do- ločitvijo vmesnega ostanka določimo vmesni produkt, ali ne. S tega vidika ločimo dolg in kratek način pisnega deljenja. V krat- kem načinu deljenja vmesnega produkta ne izračunamo, preden se lotimo določanja vmesnega ostanka; vrednost oziroma veli- kost vmesnega produkta tako ni znana; znane bodo le števke, ki v tem produktu nastopijo. Pri tem načinu izračunamo razliko med delnim deljencem in vmesnim produktom s pomočjo algoritma pisnega odštevanja. Sočasno oziroma izmenično z izvajanjem tega algoritma poteka tudi izvedba algoritma pisnega množenja (za določitev števk vmesnega produkta). Gre torej za izmenjujo- ča se množenje in odštevanje, ki ju izvajamo v posameznih ko- rakih pisnih algoritmov množenja in odštevanja pri obravnavi posameznih števk števil. Kratki način pisnega deljenja (v fazi določitve vmesnega ostanka) ponazarjamo še na primeru deljenja števila 5316 s številom 78 (Slika 3). Ko število 531 delimo s številom 78, dobimo 6. Vmesni ostanek pridobimo z izmeničnim množenjem in odštevanjem s pomočjo algoritmov pisnega množenja (delnega količnika 6 in delitelja 78) in odštevanja (vmesnega produkta od delnega de- ljenca 531). Najprej obravnavamo enice: število 6 pomnožimo s številom 8 (enice delitelja), rezultat je 48. Sedaj izvedemo odšte- vanje enic: od enic delnega deljenca (531) odštejemo enice pri- dobljenega produkta, število 8 (desetice števila 48 si zabeležimo, ker jim bomo uporabili pri obravnavi desetic števil). Ker odšte- vanje 1 – 8 ni izvedljivo v okviru naravnih števil, lahko z uporabo zakona o ohranitvi razlike ta izraz nadomestimo z izrazom 11 – 8, pri čemer pripišemo 1 k deseticam produkta med delnim ko- ličnikom in deseticami delitelja (ko bomo množili 6 in 7, bomo temu produktu poleg števila 4 prišteli še 1). Rezultat odštevanja, število 3, podpišemo pod enice obravnavanega delnega deljenca. Postopek ponovimo še pri deseticah števil. Slika 3: Kratki način in dolgi način pisnega deljenja. Pri dolgem načinu pisnega deljenja določanje ostanka pri delje- nju delnega deljenca z deliteljem poteka v dveh fazah. Najprej izračunamo produkt med deliteljem in delnim količnikom, nato pa izvedemo še odštevanje omenjenega produkta od delnega deljenca. Za razliko od kratkega načina pisnega deljenja ome- njena množenje in odštevanje nista izvedena nujno s pomočjo tradicionalnih algoritmov. Pri tem načinu izvedbe algoritma nekoliko bolj poudarimo velikost obravnavanih števil. Pri od- števanju delnega deljenca in vmesnega produkta sta ti vredno- sti zapisani, iz česar je jasno razvidna njuna vrednost (in ne le vrednosti števk). Glede na to, kako pridobimo omenjeni vmesni produkt in izračunamo razliko, če ter kam posamezne izračune napišemo, ločimo več variacij: vmesne produkte lahko na primer določimo in zapišemo v sklopu enega matematičnega izraza ali kot posamezne dodatne izračune (stranske račune). V nekaterih primerih so vmesni produkti ter vmesni ostanki določeni men- talno, izračuni zanje niso zapisani, izraz deljenja pa predvsem vmesnih produktov ne vključuje. Iz samega zapisa izraza delje- nja v takšnih primerih pravzaprav ni mogoče določiti, ali gre za dolgo deljenje (kjer so nekateri izračuni izvedeni mentalno) ali prej opisano kratko deljenje. Iz opisa postopka izvedbe algoritma pisnega deljenja pri deljenju z dvomestnim ali večmestnim deli- teljem izhaja, da so osnovni koraki algoritma sicer določeni, ne- kateri vmesni koraki pa so lahko izvedeni na različne načine (na primer določitev vmesnega ostanka). Slednje implicira raznoli- kost algoritmov pisnega deljenja tako z vidika uporabe strategij računanja kot z vidika različnosti zapisovanja izrazov. Izvedba algoritma pisnega deljenja ter njeno razumevanje nista enostavna. To izhaja predvsem iz dejstev, da algoritem pisnega deljenja vključuje tudi izvedbo drugih računskih operacij, pred- videva ocenjevanje pri računanju ter se v primerjavi z drugimi algoritmi pisnega računanja prične pri najvišjih desetiških eno- tah. Razumevanje ter izvedba omenjenih elementov pisnega de- ljenja sta v tesni povezavi s konceptom mestne vrednosti, enim izmed zahtevnejših konceptov matematike za učence. V ečina na- pak, ki se zgodijo pri izvedbi algoritma pisnega deljenja, je posle- IZ TEORIJE ZA PRAKSO 6 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 dica slabega razumevanja tega algoritma (kar se kaže na primer v izpuščanju vrednosti 0 v rezultatu – bodisi kot vmesne ali zadnje števke števila) ter slabega obvladovanja drugih operacij, ki jih ta algoritem zahteva (Sturm, 2016). Kot smo omenili, je števi- lo produktov, ki jih določimo z namenom določitve ustreznega delnega količnika odvisno tudi od vloge ocenjevanja delnega ko- ličnika. Slednje pri učencih in dijakih velikokrat povzroča teža- ve. Raziskave namreč kažejo, da imajo učenci glede na osnovne računske operacije največ težav ravno pri ocenjevanju rezultata pri deljenju (Rubenstein, 1985). Kratki ali dolgi način? Vprašanje, ki ga obravnavamo v tem prispevku – ali je primer- nejši kratki ali dolgi način deljenja, ni novo. John (1930) je ugo- tovila, da učenci, ki uporabljajo dolgi način, pri matematičnih problemih dosegajo večjo natančnost in hitrost. Olander in Sharp (1932) sta poročala, da dolgi način omogoča do štirikrat več točnih količnikov, kar potrjuje tudi Grossnickle (1936), ki opozarja na ključno vlogo učiteljev pri izbiri metode poučevanja. Tudi Bathelt idr. (1986) so ugotovili, da kratki način pri nemških četrtošolcih povzroča več napak, zlasti pri zahtevnejših primerih deljenja. Schulz in Leuders (2018) pa opozarjata, da poučevanje krajših algoritmov negativno vpliva na razvoj alternativnih stra- tegij in razumevanje številskih odnosov, kar omejuje prilagodlji- vost učencev pri reševanju nalog. Novejše raziskave predvsem sledijo pristopom, ki poudarjajo, da učenci potrebujejo pozna- vanje več strategij zato, da se lahko odločajo za najučinkovitejšo. Če npr. delimo 12012 z 12 je strategija dekompozicije 12012 : 12 = (12000 + 12) : 12 = 1000 + 1 učinkovitejša kot tradicionalni algoritem pisnega deljenja, kar pa ne velja za 5316 : 68. A tudi novejše raziskave kažejo, da algoritmi, ki temeljijo na števkah, pogosto vodijo do večjega števila napak, in poudarjajo pred- nosti algoritmov, kot je nizozemski, ki ne temeljijo na števkah (Hickendorff idr., 2018, 2019). Težave z večmestnim deljenjem niso omejene le na učence, temveč se z njimi pogosto srečujejo tudi učitelji razrednega pouka. Raziskave iz različnih držav ka- žejo, da številni učitelji pri reševanju zahtevnejših nalog deljenja izkazujejo pomanjkanje samozavesti in omejen nabor strategij. Kljub temu pa učitelji, katerih izobraževanje je poudarjalo ra- zumevanje številskih odnosov, izstopajo z večjo prilagodljivostjo in uspešnostjo pri poučevanju deljenja (Fernández Verdú idr., 2014; Kaasila idr., 2010; Ortiz-Laso in Diego-Mantecón, 2020). Raziskave o deljenju v slovenskem šolskem prostoru so redke in temeljijo na majhnih vzorcih učencev, kar otežuje splošne za- ključke o rabi dolgega in kratkega načina. Jamšek (2011) je na vzorcu petošolcev analizirala oba načina, vendar ni mogla potr- diti hipoteze, da manj uspešni učenci pogosteje uporabljajo daljši način. Polutnik (2017) je v raziskavi s 17 petošolci ugotovil, da se večina učencev (14) raje odloča za daljši način deljenja, pri katerem naredijo polovico manj napak kot pri krajšem. Skvarča (2019) je na podlagi pregleda učnih gradiv za 4. razred ugotovila, da ta pri obravnavi pisnega deljenja z enomestnim deliteljem pri- kazujejo kratki način deljenja, nekatera oba načina, nobeno od pregledanih gradiv pa ne obravnava zgolj dolgega načina delje- nja. V omenjeno obravnavo so bila zajeta naslednja gradiva: Igra števil in oblik (Centa idr., 2006), Matematika 4 (Hodnik Čadež in Uran, 2016), Radovednih 5, Matematika 4 (natančnejši podatki niso navedeni), Svet matematičnih čudes 4 (Cotič idr., 2007) ter Igraje v matematiko 4 (Hernja in Vesenjak, 2002). Pri deljenju z dvomestnim deliteljem sta v dveh pregledanih gradivih za 5. razred (Kopasić, 2022; Bajramović idr., 2014) predstavljena oba načina deljenja. Zaključek Ugotovitve raziskav kažejo, da je dolgi način deljenja primernejši za poučevanje kot standardna metoda, saj zagotavlja večjo natančnost in prilagodljivost, medtem ko kratki način deljenja lahko služi kot učinkovita bližnjica za obetavnejše učence ali enostavnejše primere. Menimo, da primarno poučevanje dolgega načina deljenja v primerjavi s kratkim načinom tudi dandanes nudi nekaj prednosti, izpostavljamo tri. Prva je večja natančnost. Ta metoda deljenja sistematično razbije proces na manjše korake, ki omogočajo boljši fokus in temeljito preverjanje morebitnih napak. To je še posebej pomembno pri deljenju z večmestnimi števili, kjer je kratko deljenje pogosto napornejše zaradi manjšega števila korakov in slabše preglednosti. Druga pomembna prednost dolgega načina je njegova izobraževalna vrednost. Ta metoda učence bolje pripravi na razumevanje kompleksnejših matematičnih konceptov, kot so deljenje polinomov, deljenje v drugih številskih sestavih in druge algebraične razlage deljenja. Dolgi način zahteva in spodbuja globlje razumevanje aritmetičnih princi- pov, saj morajo učenci razumeti pomen vsakega koraka v procesu, kar povečuje njihovo matematično razu- mevanje in logično razmišljanje. Tretja prednost je visoka vizualna preglednost. Vsi koraki postopka so jasno zapisani, kar učencem omogoča, da lažje sledijo celotnemu procesu deljenja in razumejo, kako posamezne števke vplivajo na končni rezultat. Pomembno je poudariti, da je ključnega pomena, da učenci spoznajo več načinov/algoritmov deljenja, saj jim to omogoča prilagodljivo in učinkovito reševanje nalog. S tem pridobijo sposobnost izbire metode, ki je zanje in za dani račun najprimernejša, kar prispeva k boljšemu razumevanju in uspešnosti pri matematičnih izzivih. Literatura Al Fedaghi, S. in Alkhaldi, A. A. (2019). Thinking for computational thinking. International Journal of Advanced Computer Science and Applications (IJACSA), 10(2). https://doi.org/10.14569/IJACSA.2019.0100277 Baaquie, B. E. in Kwek, LC. (2023). Classical Gates and Algorithms. V Quantum Computers. Theory and Algorithms (str. 37–69). Springer, Singapore. https://doi.org/10.1007/978-981-19-7517-2_3 IZ TEORIJE ZA PRAKSO 7 Matematika v šoli, št. 2, letnik 30, 2024 Bajramović, N., Repnik, A., Kociper, M., Cigula, S., Slana Mesarič, M., Antolin Drešar, D., Ferk, E. in Visočnik, D. (2014). Matematika 5: i-učbenik za matematiko v 5. razredu osnovne šole. Zavod Republike Slovenije za šolstvo. http://eucbeniki.sio.si/mat5/index.html Bathelt, I. Post, S. in Padberg, F. (1986). Über typische Schülerfehler bei der schriftlichen Division natürlicher Zahlen. Der Mathemati- kunterricht, 32(3), 29–44. https://pub.uni-bielefeld.de/record/1775208 Centa, N., Frigelj, J., Kožuh V . in Rakun Beber, M. (2006). Igra števil in oblik 4. Učbenik za matematiko v 4. razredu osnovne šole (2. izdaja). Založba Rokus Klett d. o. o. Cotič, M., Felda, D., Bremec, B., Pisk, M. in Benčina Smotlak, N. (2007). Svet matematičnih čudes 4, Kako poučevati matematiko v 4. razredu devetletne osnovne šole. Priročnik. DZS, d. d. Fagginger Auer, M. F., Hickendorff, M. in van Putten C. M. (2018) Training Can Increase Students’ Choices for Written Solution Strategies and Performance in Solving Multi-Digit Division Problems. Frontiers in Psychology, 9, 1644. https://doi.org/10.3389/ fpsyg.2018.01644 Fernández V erdú, C., Callejo de la V ega, M.L.in T orres, M. M. (2014) Conocimiento de los estudiantes para maestro cuando interpretan re- spuestas de estudiantes de primaria a problemas de división-medida. [Pre-service teachers’ knowledge when they interpret primary school students’ answers to quotitive division problems]. Enseñanza de las ciencias, 32(3), 407–424. http://dx.doi.org/10.5565/rev/ensciencias Fuson, K. C. (2003). Developing mathematical power in whole number operations. V J. Kilpatrick, W . G. Martin in D. Schifter (Ur.), A re- search companion to principles and standards for school mathematics (str. 68–94). Reston, V A: National Council of T eachers of Mathematics. Grossnickle, F. E. (1936). The Incidence of Error in Division with a One Figure Divisor when Short and Long Forms of Division are Used. The Journal of Educational Research, 29(7), 509–511. Hernja, S. in Vesenjak, P . (2002). Igraje v matematiko 4. Učbenik za pouk matematike v 4. razredu devetletne osnovne šole. Pikal, d. o. o., založništvo. Hickendorff M, Torbeyns J, Verschaffel L. (2018). Grade-related differences in strategy use in multidigit division in two instructional settings. British Journal of Developmental Psychology, 36(2),169–187. https://doi.org/10.1111/bjdp Hickendorff, M.; Torbeyns, J.; Verschaffel, L. (2019). Multi-digit addition, subtraction, multiplication, and division strategies. V Fritz, A., Haase, V .G., Räsänen, P ., (Ur.), International Handbook of Mathematical Learning Difficulties: From the Laboratory to the Classroom (str. 543–560). Springer: Cham, Switzerland. Hodnik Čadež, T . in Uran, T . (2016). Matematika 4. 3.del. Matematika za četrti razred osnovne šole. Ljubljana: Modrijan založba, d. o. o. Jamšek, S. (2011). Strategije reševanja nalog pisnega deljenja v 5. razredu osnovne šole. Diplomsko delo. Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. John, L. (1930). The Effect of Using the Long-Division Form in Teaching Division by One-Digit Numbers, The Elementary School Jour - nal, 30(9), 675–692. https://www.jstor.org/stable/995877 Kaasila, R., Pehkonen, E. in Hellinen, A. (2010) Finnish pre-service teachers’ and upper secondary students’ understanding of division and reasoning strategies used. Educational Studies in Mathematics, 73, 247–261. https://doi.org/10.1007/s10649-009-9213-1 Kopasić, M. (2022). Radovednih pet, Matematika 5, 3. del, samostojni delovni zvezek. Založba Rokus Klett, d. o. o. Kovalchuk, M., Voievoda, A., Prozor. E. (2020). Algorithmic Thinking as the Meaningful Component of Cognitive Competencies of the Future Engineer. Universal Journal of Educational Research, 8(11B), 6248–6255. https://doi.org/10.13189/ujer.2020.082263 Li, Y., Schoenfeld, A. H., diSessa, A. A., Graesser, A. C., Benson, L. C., English, L. D., in Duschl, R. A. (2020). Computational thinking is more about thinking than computing. Journal for STEM Education Research, 3, 1–18. https://doi.org/10.1007/s41979-020-00030-2 Lehmann, T.H. (2024). How current perspectives on algorithmic thinking can be applied to students’ engagement in algorithmatizing tasks. Mathematics educational Research Journal, 36, 609–643. https://doi.org/10.1007/s13394-023-00462-0 Olander, H. T., Preston Sharp, E. (1932). Long division versus short division. The Journal of Educational Research, 26(1), 6–11. https:// www.jstor.org/stable/27525562 Ortiz-Laso, Z., in Diego-Mantecón, J. M. (2020). Strategies of Pre-Service Early Childhood Teachers for Solving Multi-Digit Division Problems. Sustainability, 12(23), 10217. https://doi.org/10.3390/su122310217 Polutnik, T. (2017). Pisno deljenje z dvomestnim deliteljem. Magistrsko delo. Pedagoška fakulteta, Univerza v Mariboru. Rubenstein, R. N. (1985). Computational estimation and related mathematical skills. Journal for Research in Mathematics Educa- tion,16(2), 106–119. Sadykova, O. V ., Il’bahtin, G. G. (2020). The Definition of Algorithmic Thinking. V Proceedings of the International Session on Factors of Regional Extensive Development (FRED 2019), (str. 419–422). https://doi.org/10.2991/fred-19.2020.85 Schulz, A. in Leuders, T. (2018). Learning trajectories towards strategy proficiency in multi-digit division - a latent transition analysis of strategy and error profiles. Learning and. Individual Differences, 66, 54–69. https://doi.org/10.1016/j.lindif.2018.04.014 Shute, V. J., Sun, C., in Asbell-Clarke, J. (2017). Demystifying computational thinking. Educational Research Review, 22, 142–158. https://doi.org/10.1016/j.edurev.2017.09.003 Skvarča, T. (2019). Neformalno znanje o pisnem deljenju pri učencih tretjega in četrtega razreda osnovne šole. Magistrsko delo. Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. Stephens, M., in Kadijevich, D. M. (2020). Computational/algorithmic thinking. V Lerman, S. (Ur.) Encyclopedia of mathematics educa- tion (str. 117–123). Springer, Cham. https://doi.org/110.1007/978-3-030-15789-0_100044 Sturm, S. (2016). The Great Divide: A Study That Examines the Understanding of Long Division Across Multiple Generations (Doktorska disertacija), State University of New Y ork at Fredonia. https://soar.suny.edu/handle/20.500.12648/258 Zhang, X. D. (2020). A matrix algebra approach to artificial intelligence. Springer. https://doi.org/10.1007/978-981-15-2770-8