i
i
“2-1-Malesic-naslov” — 2009/6/10 — 10:44 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 2 (1974/1975)
Številka 1
Strani 24–25
Jože Malešič:
O FORMULI ZA VSOTO PRVIH n NARAVNIH ŠTE-
VIL
Ključne besede: matematika, aritmetika, geometrija, vsota naravnih
števil, vsota kvadratov naravnih števil, volumen piramide.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-1-Malesic.pdf
c© 1973 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
o FORMULI ZA VSOTO PRVIH n NARAVNIH ŠTEVIL
Al i se da izračunati vsota prvih n "n a r avn i h števil, ne d a b i
s e šte vali vsa ta š t e v i l a ? Pred to nalogo je b i l postavljen znani
ma t ema t i k K. F . Gaus s še v š o l a r ski h letih; učitelj j e naročil u-
čencem , naj seštejejo vsa šte vila od 1 do 100. Gauss je izraču­
nal na pamet : 5050. Sk l e p a l je takole:
(1 +100) + (2 +99) + (3 +98) +
101 + 101 + 101 +
1+2+3+
....
+49+50+51+52+
v
50-krat
+98+9 9+100 =
+ (49+52) + (50+51)
+ 101 + 101
/
= 50 . 101 = 5050
Zdaj lahko izračunamo vsoto od 1 do n, če je n sodo število:
1+2+3+ • • • + ;n + (;n+l) + + n =
(l+n) + (2+n-l) + • • + (;n+;n+l)
(n+l) + (n+l) + (n+l) + + (n+l)
tn(n+l)
Če je število n liho, ne moremo sklepati na ta način, kajti
;n ni celo število - rezultat pa je vseeno prav ilen , t.j ., za
v s ako naravno število n velja formula:
1+2+3+ • + n = ; n(n+l)
Sami poskusite doka z a ti , d a formula velja tudi za l ihe n !
Na vod i l o : najprej s eštej te vsa števila do n-l, ki je sodo števi-
lo, nato vsoti prištej te n .
Zgornjo formulo bomo izpeljali še enkrat na geometrijski način.
I z kvadratov s stranico 1 cm sestavimo stopnišče iz n stopnic (na
slikijen=5) :
V prvi stopnici je en kvadrat, v drugi sta dva, v peti jih je
pet, v n-ti pa n kvadratov . Zato je vsota 1+2+3+ .• • + nenaka
ploščini stopničastega lika (v cm2). Te ploščine pa ni težko naj-
ti: lik je sestavljen iz polovice kvadrata s stranico n cm - to
da tn 2 cm2 - in iz n polovičk - to da ni cm2 , vsega skupaj je
; n 2 + ;n = ;n(n+l) cm2
24
in tako smo pri naši formuli
1+2+3+ • +n = !n(n+1)
Zdaj pa nekoliko težja naloga: poiščite formulo, po kateri bi
izračunali vsoto kvadratov prvih n naravnih števil, 12+2 2+ ..+n 2 !
Navodilo: idejo vam da naša geometrijska izpeljava formule za
1+2+3+ ... n. Namesto stopnišča vzemite telo, sestavljeno iz kock-
najbolj je podobno četrtini azteške piramide:
~
I
Sestavljeno je iz (navadne) piramide, označene s črtkanimi
črtami, iz polovic kock in iz kock, ki jim je izrezana piramida
(ena taka kocka je na sliki).
Rabili boste formulo za prostornino (navadne) piramide:
v = t O.v
kjer je v višina piramide, O ploščina osnovne ploskve, V pa pro-
stornina. Prav vam bo tudi prišla naša izpeljana formula za vso-
to prvih n naravnih števil.
Rezultat preskusite za n 1,2,3!
Dobili boste :
Jože Malešič
25