Let. 27, št. 2, str. 127–158, December 2023 Sprejeto 22. 8. 2023 Pregledano 22. 10. 2023 Izdano 22. 12. 2023 Kljucne besede verjetnost, interpretacije verjetnosti, spoznavna teorija, filozofija znanosti, filozofija statistike O INTERPRETACIJAH VERJETNOSTI BORUT TRPIN Unvierza v Mariboru, Filozofska fakulteta, Maribor, Slovenija borut.trpin1@um.si DOPISNI AVTOR borut.trpin1@um.si Izvlecek O verjetnosti pogosto govorimo v povsem vsakdanjem kontekstu in jo intuitivno razumemo. Težava nastane, ko skušamo natancneje definirati, kaj verjetnost je. Neenotnost se odraža v velikem številu razlicnih teoreticnih interpretacij verjetnosti. Za boljše razumevanje pluralnosti pristopov je v prvem delu prispevka podan kratek zgodovinski pregled razvoja interpretacij verjetnosti in verjetnostnega racuna. V drugem delu so predstavljene in kriticno ovrednotene razlicne kljucne interpretacije: klasicna, logicna, subjektivna, frekventisticna in propenzitetna. Prispevek se zakljuci s kratko analizo, kako so interpretacije verjetnosti vpete v širši filozofski kontekst in izpostavi eno izmed odprtih vprašanj na tem podrocju: vprašanje nenatancne verjetnosti. https://doi.org/10.18690/analiza.27.2.127-158.2023 CC-BY, besedilo © Trpin, 2023 To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva 4.0 Mednarodna. Uporabnikom je dovoljeno tako nekomercialno kot tudi komercialno reproduciranje, distribuiranje, dajanje v najem, javna priobcitev in predelava avtorskega dela, pod pogojem, da navedejo avtorja izvirnega dela. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0 Vol. 27, no. 2, pp. 127–158, December 2023 ON THE INTERPRETATIONS OF PROBABILITY BORUT TRPIN University of Maribor, Faculty of Arts, Maribor, Slovenia borut.trpin1@um.si CORRESPONDING AUTHOR borut.trpin1@um.si Abstract We often talk about probability in a completely everyday context and understand it intuitively. The problem arises when we try to define more precisely what probability is. The heterogeneity is reflected in the large number of different theoretical interpretations of probability. For a better understanding of the plurality of approaches, the first part of the paper provides a brief historical overview of the development of interpretations of probability and probability calculus. In the second part, various key interpretations are presented and critically evaluated: classical, logical, subjective, frequentist, and the propensity interpretation. The paper concludes with a brief analysis of how interpretations of probability are embedded in a broader philosophical context and highlights one of the open issues in this field: imprecise probabilities. Accepted 22. 8. 2023 Revised 22. 10. 2023 Published 22. 12. 2023 Keywords probability, interpretations of probability, epistemology, philosophy of science, philosophy of statistics https://doi.org/10.18690/analiza.27.2.127-158.2023 CC-BY, text © Trpin, 2023 This work is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License. This license allows reusers to distribute, remix, adapt, and build upon the material in any medium or format, so long as attribution is given to the creator. The license allows for commercial use. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0 B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti Uvod Verjetnost je en izmed kljucnih pojmov v statistiki, pogosto pa ta pojem nastopi tudi v vsakdanjih pogovorih. Bralec teh vrstic je morda celo pomislil: »Ta prispevek bo verjetno zanimiv, saj me tema zelo zanima.« Kaj tocno pa naj bi verjetnost sploh bila? Podobno kot Avguštin v znanem odgovoru na vprašanje, kaj je cas, lahko recemo: »Ko me nihce ne vpraša, kaj je verjetnost, verjetno še najbolje vem, kaj je.« Vseeno pa je problem z verjetnostjo nekoliko drugacne narave kot problem casa. Verjetnost je namrec (za vecino) teoreticen pojem, ki opiše naravo dogodkov in naše dojemanje sveta, ne pa neka fizicna kolicina. Enotne definicije verjetnosti prav zaradi njene teoreticne narave in mnogih nasprotujocih interpretacij nimamo. Najširša teoreticna definicija verjetnosti, pod katero bi lahko zajeli najvec nasprotujocih pogledov, bi bila tako sledeca: (Def1) Verjetnost je stopnja možnosti, da se zgodi nek dogodek. Definicija je zelo široka in posledicno informativno šibka, zato velja opozoriti na nekaj pomanjkljivosti. Prvi ugovor lahko izpostavimo zoper prvi del definicije: ali je verjetnost res številcna opredelitev? Kot bomo videli kasneje, je v zadnjih desetletjih v porastu zanimanje za t.i. nenatancno verjetnost, ki ni podana z diskretnimi števili, temvec z intervalom števil (za pregled zgodovine nenatancne verjetnosti glej Coolen et al., 2010). Ugovor lahko podamo tudi zoper drugi del definicije, kjer je sporen predvsem pojem »stopnja možnosti«. Zdi se, da je definicija na tem mestu krožna. Kaj naj bi pojem »stopnja možnosti« namrec sploh pomenil? V anglešcini se uporablja pojem likelihood, ki pomembno nastopa tudi v t.i. likelihood principle, principu stopnje možnosti, da so neki podatki resnicni, ce je neka hipoteza resnicna. Ta plodovit princip nas na tem mestu ne bo zanimal. Velja pa opozoriti na krožnost definicije verjetnosti, ki operira s pojmom stopnje možnosti [likelihood], saj sta si oba pojma zelo sorodna. Stopnja možnosti je sicer nekoliko bolj specificna kot verjetnost, vseeno pa se krožnosti v polni meri zavemo, ko definicijo karikiramo na sledec nacin: (Def 1*) Verjetnost je opredelitev verjetnosti, da se zgodi nek dogodek. Na ravni najširše definicije verjetnosti do takih težav sicer prihaja predvsem zato, ker skušamo zajeti cimvec znacilnosti nasprotujocih tolmacenj verjetnosti. Razlicnih tolmacenj pa je kar nekaj. V okvirnem vrstnem redu njihovega nastanka naštejmo le glavne, ki se jim bom posvetil v nadaljevanju. Za vse od naštetih je sicer znacilno, da verjetnost razumejo kvantitativno – kot številcno opredeljivo: 1. klasicno in logicno razumevanje verjetnosti, 2. Bayesovsko (subjektivno in objektivno) razumevanje verjetnosti, 3. frekventisticno (statisticno) razumevanje verjetnosti, 4. verjetnost kot fizikalna lastnost (propenziteta). Vprašanje pluralizma, tj. ali lahko razlicne interpretacije služijo v razlicnih kontekstih, zaenkrat pušcam na strani. Epistemološke interpretacije (klasicna, logicna, Bayesova), ki verjetnost opredeljujejo preko naše vednosti, lahko plodovito uporabljamo za razlage, kjer je v ospredju posameznikovo mišljenje. Pri tem se lahko naslonimo na Laplacovo zgodnjo (in nemara nekoliko prekomerno) izjavo: »Teorija verjetnosti je v koncnem smislu zgolj omejitev zdravega razuma z racunanjem« (Laplace, [1814] 1952, 196). Podobno velja za frekventisticno interpretacijo in verjetnost kot propenziteto, ki ju lahko plodovito uporabljamo v razlagah, kjer imamo opravka z opazljivimi dogodki. Ce smo prej govorili o epistemoloških interpretacijah, so v teh primerih v rabi razlicna imena: znanstvena, aleatorna interpretacija, tudi Popprova oznaka objektivna interpretacija (Gillies, 2000, 20). Seveda je na tem podrocju veliko nestrinjanja: nekateri so mnenja, da je vsaka verjetnost v nekem smislu epistemološka, spet drugi svarijo pred težavami epistemoloških interpretacij (npr. Popper, 1998, 26). Poleg tega je lahko sporno tudi to, da klasicno in logicno interpretacijo postavljamo v isto skupino z Bayesovo, saj sta prvi dve bistveno bolj pozunanjeni in ju zato lahko uvršcamo tudi med objektivne interpretacije. Med epistemološke ju uvršcamo le zaradi osnovnega izhodišca, tj. da nimamo vednosti, kaj se bo zgodilo. Za zacetek poudarimo samo glavne razlike. Za klasicno interpretacijo verjetnosti (kjer sta bila za razvoj glavna Bernoulli ([1713] 2006) in Laplace ([1814] 1952)) je znacilno, da verjetnost dogodka opredeli kot razmerje med številom pojavitev želenega izida in številom vseh izidov, pri cemer so vsi izidi enakovredni. Veliko vlogo pri klasicnem razumevanju igra matematicna kombinatorika, zato jo lahko imenujemo tudi kombinatoricna verjetnost. Logicna verjetnost pomeni direktno, a mnogo B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti kompleksnejšo izpeljavo klasicne interpretacije, verjetnost pa razume kot logicno razmerje. Frekventisticno razumevanje verjetnosti je v nekem smislu nadgradnja teh dveh razumevanj, s pomembno razliko, da k verjetnosti ne pristopa z vnaprejšnjim izracunom, temvec preko statisticnega razmerja relativnega pojavljanja (empiricno) opazovanega dogodka. To razumevanje verjetnosti je eno izmed najbolj razširjenih v znanosti, saj je matematicno zelo izpopolnjeno, omogoca pa tudi dobre napovedi. Propenzitetna verjetnost pa temelji na tem, kot je razvidno že iz imena, da verjetnost ni le teoreticen princip, temvec opredeljuje nagnjenost (propenziteto) dejanskih situacij, v katerih izvajamo verjetnostni poskus, k dolocenim izidom. S tem skuša odpraviti nekaj pomanjkljivosti frekventisticnih interpretacij (npr. težave pri poskusih s samo enim izidom). Ravno obratno pa je bayesovsko razumevanje verjetnosti. Ne zanima jih pogostost izidov, temvec stopnja posameznikovega prepricanja, da se bo nek dogodek zgodil. Temelji torej na obratu od zunanjega opazovanja verjetnosti k pripisovanju verjetnosti še neopaženih dogodkov. Ideja t.i. obratne verjetnosti je stara (glej Dale, 1995), ime pa je dobila po Thomasu Bayesu. Bayes, angleški duhovnik, statistik in filozof, je v 18. stoletju v svojih posthumno izdanih spisih ustvaril eno kljucnih matematicnih enacb te interpretacije, Bayesov teorem (Bayes, 1763). Enega vplivnejših vzponov je ta interpretacija sicer dosegla šele v zadnjih desetletjih. Za razliko od ostalih se torej Bayesovci (kot se oz. so pripadniki te šole vcasih imenovani) ukvarjajo s stopnjo prepricanja, bistveno vecjega pomena pa je zanje tudi pogojna verjetnost. Osnovni pojmi Pred nadaljevanjem moramo pojasniti tri kljucne pojme, ki nastopajo v skoraj vseh razpravah o verjetnosti in sem jih tudi v tej razpravi že uporabil: verjetnostni poskus, dogodek in izid. Za primer vzemimo verjetnost lihega števila pri metu obicajne igralne kocke. Ko govorim o (verjetnostnem) poskusu, se s tem ne nanašam nujno na znanstveni poskus. Oznaka verjetnostni poskus oznacuje zgolj poskus, v katerem je rezultat odvisen od nakljucja, pri cemer pa poskus ni nujno tudi fizicno izveden. V primeru kocke je verjetnostni poskus sam met. Verjetnostni dogodek sestavlja množica elementarnih izidov in predstavlja osnovo verjetnostnega racuna. V našem primeru dolocamo verjetnost dogodka padec lihega števila. Ta dogodek pa je sestavljen iz treh elementarnih izidov: padca števila 1, 3 ali 5. Dogodek je lahko tudi enak izidu, ce npr. govorimo o padcu tocno dolocenega števila. V posebnih primerih, ko je množica izidov dogodka prazna, govorimo o nemogocem dogodku, npr. padec negativnega števila. Podobno o univerzalnem dogodku govorimo, ko je dogodek enak množici vseh izidov verjetnostnega poskusa, npr. padec poljubnega števila pri metu kocke. Kratka zgodovina verjetnosti Ljudje1 imamo z verjetnostjo opravka že od nekdaj, saj zaradi omejenih kognitivnih sposobnosti in/ali nejasnih okolišcin skoraj nikoli nismo povsem prepricani o svojem ravnanju in mišljenju. To pa še ne pomeni, da vedenje zahteva razmislek o verjetnosti. Skozi zgodovino se je namrec pokazalo, da so vprašanja o verjetnosti najveckrat vzniknila šele ob igrah na sreco in ne ob vsakdanjih dejavnostih. Kockanje in druge igre na sreco so sicer ena izmed najstarejših cloveških razvedril. Arheološki viri kažejo, da so se igre na sreco pojavljale že v pradavnini (David, 1998). Kljub temu do pravega razvoja teorij(e) verjetnosti ni prišlo ravno hitro. Gillies (2000, 22-23), denimo, opozarja, da so bili anticni Grki odlicni matematiki in kot razloge, zakaj niso razvili vsaj zametkov verjetnostnega racuna, navaja, da so se ukvarjali predvsem z geometrijo, ne pa toliko z aritmetiko in algebro, ki sta kljucni za razvoj verjetnostnega racuna. Poleg tega navaja tudi bolj preprost razlog: verjetnostni racun se je najprej zacel razvijati ob racunanju izidov kockanja (v 17. stoletju), Grki pa so igre na sreco igrali z astralagusom. Namesto kocke so uporabljali manjšo kost iz ovcje pete, ki je bila na štirih straneh ravna, na dveh pa zaobljena. Stranice o oznacevali s števili (1, 6, 3 in 4), najboljši rezultat pa je bil, ce si v štirih metih dobil štiri razlicne rezultate. Poleg tega razlicni astralagusi med seboj niso bili povsem enaki, racunanje verjetnosti, da pade dolocen rezultat pa je bilo tako zelo komplicirano. Ne glede na to ali je razvoj moderne igralne kocke imel vpliv na razvoj verjetnostnega racuna, ostaja dejstvo, da so se prvi poskusi matematicne opredelitve verjetnosti zaceli šele v pozni renesansi, seveda ob obravnavi kockanja (npr. Blaise Pascal okrog leta 1660). Verjetnost je imela takrat sicer povsem drugacen pomen: opredeljevala je, do katere stopnje so neka mnenja sprejemljiva, kot taka pa je bila del nižjih znanosti 1 Intuitivno se zdi, da so verjetnostne ocene pomembne tudi za ostale živali. Za primer študije, ki gibanje živali razloži z njihovimi verjetnostnimi ocenami, glej Pérez-Escudero in de Polavieja (2011). B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti (alkemije, medicine). Višje znanosti (npr. astronomija, mehanika) verjetnosti niso potrebovale, saj so se utemeljevale na (raz)vidnih dokazih (Hacking, 1984, 39-49). Na kratko poglejmo nekaj kljucnih mejnikov na poti razvoja verjetnostnega racuna, ki so pomembno vplivali na razvoj razlicnih še vedno aktualnih interpretacij verjetnosti. 4 Blaise Pascal in Pierre de Fermat Blaise Pascal se je v zgodovino filozofije odmevno zapisal (tudi) s svojo posthumno izdano zamislijo o stavi glede obstoja Boga (Pascal, [1669] 1986). Ideja je preprosta: ce Bog obstaja, je razumno, da vanj verjamemo, saj nam to omogoca neskoncno posmrtno korist (oz. neskoncno trpljenje, ce vanj ne verjamemo). V primeru, da Bog ne obstaja in vanj vseeno verjamemo, je naša izguba koncna (manj ugodja, ...), ce pa vanj ne verjamemo pa je korist koncna (vec ugodja). Oba dogodka (da Bog obstaja oz. ne) sta zanj enakovredna. V prvem dogodku sta možna izida neskoncna korist in neskoncno trpljenje. V drugem dogodku pa koncno trpljenje in koncna korist. Ce verjamemo v obstoj Boga, sta tako možna izida le neskoncna korist in koncno trpljenje, sicer pa neskoncno trpljenje in koncno ugodje. Ker neskoncnost prevlada nad koncnostjo, je zato najbolj razumno, da verjamemo v obstoj Boga. Zanimivo je, da je Pascalova filozofska ideja povezana s stavami in se jo da dobro orisati prav z verjetnostnim besednjakom (dogodki in izidi). Tudi njegov glavni doprinos k verjetnostnemu racunu je namrec prav tako povezan s stavami, razvil pa ga je v korespondenci z matematikom Pierrom de Fermatom. Posvetila sta se problemu, kako razdeliti denar, ce dva kockarja prekineta igro pred koncem. K razpravi sta pristopila z druge smeri kot njuni predhodniki. Ugotovila sta, da ni kljucno, kakšno je bilo razmerje predhodnih iger, temvec zamišljanje možnih nadaljevanj igre, na podlagi katerega lahko izracunamo stopnjo pricakovanja (verjetnosti), da zmaga oseba A oz. B. 5 Pierre-Simon Laplace V nadaljnjih dveh stoletjih po Pascalovi in Fermatovi verjetnostni obravnavi iger na sreco se je verjetnostni racun pomembno izpopolnil (pomembni so bili npr. Huygens, Bernoulli, Leibniz, Hume). Proti koncu 18. stoletja je Thomas Bayes razvil tudi še danes odmeven Bayesov teorem, ki se mu bomo posvetili spodaj, šele Pierre­Simon Laplace pa ga je približno dvajset let po njegovi smrti dokoncno uveljavil. Laplace je v filozofiji znan po miselnem eksperimentu o vsevednem demonu (t.i. Laplacov demon2), ki nastopa prav v razpravi o verjetnostih. Ker nas na tem mestu vprašanje determinizma ne zanima (ceprav je vprašanje v globoki povezavi z naravo verjetnosti kot take), se raje posvetimo Laplacovemu doprinosu k razvoju verjetnostnega racuna. Laplace je zanimiva figura, saj je v svojem delu izpopolnil ideje Thomasa Bayesa, hkrati pa zakolicil klasicno interpretacijo verjetnosti, v kateri lahko zaznamo odmev Pascalovih, Huygensovih, Bernoullijevih, Leibnizovih in celo Bayesovih idej. Laplace se namrec izrazi na sledec nacin: Teorija slucaja sestoji iz omejevanja dogodkov iste vrste na doloceno število enakovrednih izidov, ki so taki, da lahko o njihovem obstoju enakomerno dvomimo, in v dolocanju števila izidov, ki potrjujejo dogodek, katerega verjetnost skušamo potrditi. Razmerje tega števila in števila vseh možnih izidov je mera verjetnosti, ki je tako samo ulomek, cigar števec je število ugodnih izidov, imenovalec pa število vseh možnih izidov. (Laplace, [1814] 1952, 6-7) Zaenkrat samo izpostavimo, kako se v zgornjem navedku vidi vpliv predhodnih teorij. Pomembna je omemba enakovrednosti izidov, saj je prav enakovrednost kljucnega pomena za racunsko dolocanje verjetnosti v klasicnih pristopih. Izidi morajo biti enakovredni, drugace jih ne moremo vkljuciti v racun, kar velja že od Pascalovega casa dalje. Druga stvar, na katero velja opozoriti v tem kratkem pregledu zgodovine verjetnostnega racuna, je omemba dvoma oz. prepricanja, saj se na tem primeru vidi tudi povezava z Bayesovo interpretacijo, ki v ospredje dolocanja verjetnosti postavlja stopnjo prepricanja. Laplace sicer ni subjektivist, vidi pa se, da je pojem stopnje prepricanja za njegovo razumevanje verjetnosti še vedno igral pomembno vlogo. Thomas Bayes Kdo je torej Thomas Bayes, po katerem se imenuje pomembna šola verjetnosti, in kakšen je njegov doprinos k razumevanju verjetnosti? Gre za anglešega duhovnika, je bil dejaven v 18. stoletju, o njegovem življenju pa ni veliko znanega. Objavil je vsaj dve knjigi, eno o teoloških vprašanjih (Bayes, 1731), drugo pa v obrambo Newtonovi mehaniki (Bayes, 1736), obe pod psevdonimom John Noon. Nobeno izmed teh del 2 Laplace ([1814] 1952) sicer nikjer v svoji razpravi ni eksplicitno omenil demona. B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti sicer ni imelo zgodovinsko pomembnega vpliva, se pa je Bayes v zgodovino vpisal s svojim doprinosom k razumevanju verjetnosti. Z verjetnostjo se je zacel ukvarjati šele proti koncu svojega življenja, njegov najslavnejši prispevek (Bayes, 1763) pa je bil objavljen posmrtno. Skoraj samoumevno se nam zdi, da je v tem spisu Bayes razvil eno izmed kljucnih orodij subjektivne interpretacije, t.i. Bayesov teorem, o katerem vec kasneje. Pa je temu res tako? Pogled v njegov spis namrec kaže nekoliko drugacno sliko. Thomas Bayes v svojem delu teorema namrec ni predstavil niti v diskretni obliki P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B), niti v integralni obliki, ceprav je rešil poseben primer slednjega (Fienberg, 2006, 3). Prvo obliko Bayesovega teorema, kot ga poznamo danes, je tako razvil šele Pierre-Simon Laplace, zato se poraja vprašanje kako bayesovski je Thomas Bayes sploh bil? Bi Thomasa Bayesa danes sploh uvrstili med Bayesovce? Na to vprašanje sicer ni enoznacnega odgovora, zagotovo pa so posledice Bayesove prvotne analize bistveno bolj omejene od današnjih. Njegov pristop je sicer subjektiven, saj temelji na stopnjah prepricanj, vendar pa so njegovi rezultati odvisni od opazljivih posledic. S tem je Bayes v temeljnem neskladju s principom obratne verjetnosti (dolocanje verjetnosti še neopaženim spremenljivkam) (Fienberg, 2006, 4), ki je najbolj znacilna prav za subjektivne interpretacije verjetnosti. Thomas Bayes je torej bayesovskemu gibanju dal predvsem ime, kljucen za uveljavitev pa je bil predvsem Pierre-Simon Laplace. Laplace je sicer osrednja figura tudi v klasicni interpretaciji verjetnosti. Prav iz njegove »dvojne« vloge lahko že slutimo, da je bila razcepljenost interpretacij verjetnosti na zgodnejših stopnjah razvoja manj izrazita. Do pravih razhajanj je tako prišlo predvsem z razvojem teorij verjetnosti ob vedno širši uporabi verjetnostnega racuna. 6 Andrej Nikolajevic Kolmogorov Na tem mestu izpustimo nekaj pomembnih imen v razvoju verjetnostnega racuna v 19. in 20. stoletju in preskocimo k ruskemu matematiku Andreju Nikolajevicu Kolmogorovemu. Prav njegovo delo namrec predstavlja skupno izhodišce za veliko vecino modernih razprav o verjetnosti, ne glede na to kateri interpretaciji verjetnosti sledijo. Kolmogorov (1933) je razvil aksiome verjetnostnega racuna, ki so še vedno v veljavi. Njegove Temelje verjetnostnega racuna [Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung] zato uvršcajo med matematicne klasike. Poglejmo torej, kateri so osnovni aksiomi verjetnostnega racuna, kot jih je uveljavil Kolmogorov. Prav ti aksiomi so namrec predpostavljeni v tako rekoc vsaki moderni razpravi o verjetnosti. Aksiomi so samo trije, in sicer sledeci: Imamo množico vseh dogodkov ., glede na katero definiramo s-algebro S. Verjetnostna funkcija je potem funkcija P z definicijskim obmocjem S, ki zadošca naslednjim aksiomom: 1. Verjetnost dogodka A je nenegativno število: P(A) .R, P(A) = 0 .A .S (prvi aksiom). 2. Verjetnost množice vseh dogodkov . je 1: P(.) = 1 (drugi aksiom). 3. Ce so dogodki A1, A2, ... paroma nezdružljivi, potem je verjetnost unije dogodkov enaka vsoti verjetnosti posamicnih dogodkov: n P(A1 .A2 .... .An)=.i=1 Ai (tretji aksiom). Iz teh treh aksiomov sledijo nekatere pomembne posledice. Poglejmo nekaj kljucnih: Ce je dogodek A del dogodka B, je verjetnost dogodka A manjša oz. kvecjemu enaka verjetnosti dogodka B: A .B .P(A) = P(B) (monotonost). Ta posledica se nam zdi samoumevna. Zamislimo si met obicajne igralne kocke. Verjetnost, da pade liho število, je vecja kot verjetnost, da pade število 3, ker je dogodek, v katerem pade število 3 podmnožica dogodka, v katerem pade liho število. Privošcimo si krajšo digresijo, iz katere bo razvidno, da ta posledica v vsakdanjem mišljenju ni vedno tako zelo samoumevna. Na to sta opozorila Kahnemann in Tversky z eksperimentom, pri katerem sta udeležencem predstavila naslednjo situacijo: Linda ima 31 let, je samska, poštena in zelo bistra. Diplomirala je iz filozofije. Kot študentka se je globoko zanimala za vprašanja diskriminacije in družbene nepravicnosti, sodelovala pa je tudi v proti-jedrskih demonstracijah. (Kahneman in Tversky, 1982, 92) Udeleženci so nato izmed nekaj ponujenih možnosti morali izbrati (oz. rangirati možnosti) najverjetnejši poklic, ki ga opravlja Linda. Prava naloga je bila sicer skrita, saj je bilo kljucno vprašanje, katera izmed sledecih možnosti je bolj verjetna: B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti 1. Linda je bancna blagajnicarka. 2. Linda je bancna blagajnicarka in aktivna v feministicnem gibanju. Po pricakovanju se je vecina udeležencev odlocila za drugo, bolj intuitivno možnost, ki pa je napacna ravno zaradi zgoraj omenjene posledice. Verjetnostni dogodek, v katerem je Linda blagajnicarka in aktivna v feministicnem gibanju, je le manjši del dogodka z množico izidov (primerov), v katerih je Linda bancna blagajnicarka. Posledicno je verjetnost prve možnosti višja. Vrnimo se k posledicam aksiomov Kolmogorova. Verjetnost prazne množice dogodkov je 0: P(Ř) = 0 (verjetnost prazne množice) Verjetnost dogodka je realno število na intervalu [0, 1] (kar sledi iz monotonosti): 0 = P(A) = 1. (številcna omejenost) Ta posledica je pomemben razlog, zakaj v kvantni mehaniki posegajo po ne­kolmogorovskem verjetnostnem racunu. Kvantna mehanika, ki je sicer kraljica med vsakdanjemu razumu tujimi znanostmi, npr. pozna tudi negativno verjetnost. Kaj tocno naj bi negativna verjetnost bila, na tem mestu ni pomembno. Poglejmo si raje naslednje lastnosti, ki sledijo iz aksiomov Kolmogorova: P(A .B) = P(A) + P(B) - P(A n B) (pravilo seštevanja) Pravilo seštevanja je pomembno, saj z njim lahko seštejemo, kakšna je verjetnost, da se bo zgodil dogodek A ali B. Ce sta dogodka neodvisna, zadnji del P (A n B) odpade, ker gre v tem primeru za prazno množico (neodvisna dogodka se ne zgodita hkrati), prazna množica pa ima nicelno verjetnost. Zadnja pomembna posledica ima opravka z nasprotnim dogodkom: P(¬A) = 1 - P(A) (verjetnost nasprotnega dogodka) Verjetnost nasprotnega dogodka (da se dogodek A ne zgodi) na podlagi zgornjih aksiomov in te izpeljane lastnosti tako z lahkoto izracunamo: ce je verjetnost dogodka A, denimo 70%, je verjetnost, da se A ne bo zgodil 30% (100% -70%). Ker aksiomi Kolmogorova še vedno tvorijo trdo jedro verjetnostnega racuna, s tem tudi zakljucujem kratek pregled nekaterih kljucnih mejnikov na zgodovinski poti njegove uveljavitve. Vprašanje o razumevanju verjetnosti se s tem seveda ni koncalo, temvec se je šele dobro zacelo. Formalno-matematicno imamo v zgornjih aksiomih trden temelj, ki pa vseeno omogoca kar nekaj konkurencnih interpretacij verjetnosti. 7 Razlicne interpretacije verjetnosti Kratek pregled zgodovine verjetnostnega racuna nam je omogocil, da se lahko koncno posvetimo glavni temi pricujocega prispevka: razlicnim interpretacijam verjetnosti. Kaj sploh pomeni, da imamo opravka z neko doloceno interpretacijo verjetnosti? Interpretacija pomeni nacin, kako si razlagamo, kaj naj bi verjetnost bila. Natancneje receno: ko interpretiramo, osnovnim terminom v aksiomih in teoremih formalnega sistema pripisujemo znane pomene. Verjetnost pa ni posamezen formalni sistem, temvec »kvecjemu zbir takih sistemov« (Hájek, 2012). Boljša oznaka za razlicne interpretacije, bi bila analiza razlicnih konceptov verjetnosti. Ce skušamo nenatancna pojmovanja verjetnosti, ki jih poznamo v vsakdanjem življenju, prirediti v primerne za filozofsko in znanstveno teorijo, pa bi bilo morda še bolje govoriti o eksplikaciji v Carnapovem smislu (ibid.). V skladu s splošno razširjenostjo pojma interpretacija, bom ta pojem kljub njegovi nekoliko zavajajoci naravi tako kot poprej uporabljal tudi v nadaljevanju. 8 Razkol na etimološki ravni Morda se na tem mestu komu še vedno zdi, da je razprava o razlicnih interpretacijah verjetnosti nepotrebna, saj naj bi imeli razlicni ljudje ob vsaki omembi verjetnosti v mislih nekaj podobnega. Taki trditvi se moramo zoperstaviti, saj se zanimivo razhajanje v interpretacijah verjetnosti pokaže že na jezikovni ravni. Vzemimo za primer kar slovenski jezik, kjer samostalnik verjetnost izhaja iz glagola verjeti. Takšna je vsaj najverjetnejša razlaga, saj imata obe besedi enak koren. Pri tem je zanimivo predvsem to, da je kljucen predmet verjetja3 subjektivno prepricanje. 3 Etimološko »verjeti« dobesedno pomeni »vero vzeti«, vzeti za resnicno. Podobno je tvorjena nemška beseda »Wahr-nehmen«, katere pomen je sicer povsem drugacen, in sicer zaznava. B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti Slovenski izraz »verjetnost« nas torej napeljuje k subjektivni (Bayesovi) interpretaciji verjetnosti. Je pa to le slovenska plat zgodbe. Ce skocimo v jezike, ki se pri besedi »verjetnost« etimološko opirajo na latinšcino, naletimo (vsaj na prvi pogled) na povsem drugacno razumevanje. Anglešcina, denimo, uporablja besedo probability, ki izvira iz latinskega glagola probare – testirati, preizkusiti oz. kot se vcasih izrazimo v pogovornem jeziku: probati. Etimologija angleške probability tako opisuje povsem drugacno interpretacijo verjetnosti, kot je naša. Zdi se, kot da bi angleški pojem opisoval nekaj podobnega frekventisticni interpretaciji. Probabiliteta (etimološko) tako opredeljuje, kako pogosto se naj bi nek dogodek pojavljal v mnogih ponovljenih poskusih. Problem sicer ni tako enostaven, kot se morda zdi iz tega hitrega vzporejanja razlicnega izvora pojma verjetnosti v slovenšcini in latinšcini. Podrobnejši pregled etimološkega izvora (in dejanske rabe) nas namrec napelje k pogojnemu latinskemu glagolu probus, ki izvira iz protoindoevropejskih pro (»spredaj, v ospredju«) in -bew, -buh (»biti«). Oznacuje torej nekaj kar je spredaj, boljše od ostalega. Taka je bila tudi raba do sredine 17. stoletja, ko je latinski pridevnik probabilis oznaceval mnenje oz. dejanje, ki je hvalevredno (Jeffrey, 1992, 55). Pojem verjetnosti je bil torej dejansko bližje subjektivni interpretaciji verjetnosti, saj je opredeljeval stopnjo prepricanja (kredence), kar se lepo odseva tudi v slovenskem izrazu verjet-nosti. Ne glede na to, katera razlaga je pravilna, nas lahko razlika med verjetnostjo in probabiliteto opomni na (vsaj) dve razlicni interpretaciji: verjetnost kot stopnja prepricanja in probabiliteta kot razmerje med ugodnimi in neugodnimi izidi poskusa. Klasicna interpretacija Klasicna interpretacija verjetnosti svoje ime dolguje svoji starosti. Kot sem omenil zgoraj, jo je utemeljil Pierre-Simon Laplace v zgodnjem 19. stoletju, njeni prvi zagovorniki pa so še starejši (npr. Pascal in Fermat). Kljub temu se ta interpretacija ne imenuje klasicna zgolj zaradi starosti, temvec tudi zaradi hitre sprejemljivosti. Ta interpretacija namrec dobro zajame vsakdanje kvazi-logicno razumevanje verjetnosti. Poglejmo primer: kakšna je verjetnost, da bo ob metu kovanca pristala cifra? Verjetnost je polovicna. Zakaj? Možna sta dva izida, en izmed njiju je cifra; verjetnost je torej 1 proti 2 oz. ˝. Prav to je znacilnost klasicne interpretacije: za dolocanje verjetnosti nekega dogodka ne potrebujemo gore podatkov. Zadošca, da premislimo, kakšni so možni izidi in jih primerjamo s številom za obravnavan dogodek ugodnih izidov. Verjetnost se med vse možne izide nekega dogodka enakomerno porazdeli, tako da je dolocanje razmerja med ugodnimi izidi in vsemi izidi zelo enostavno. Tak izracun je povsem smiseln za klasicne igre na sreco, kot je zgoraj omenjen met kovanca (ce izkljucimo možnost, da kovanec pristane na rob). To sicer ne cudi prevec, saj se je verjetnostni racun najprej razvijal ob klasicnih igrah na sreco, kamor zagotovo spadajo tudi igre z igralno kocko. Seveda pa ima klasicna interpretacija kar nekaj pomanjkljivosti. Spomnimo na že omenjeno Laplacovo opredelitev: »Teorija slucaja sestoji iz omejevanja dogodkov iste vrste na doloceno število enakovrednih izidov, ki so taki, da lahko o njihovem obstoju enakomerno dvomimo, in v dolocanju števila izidov, ki potrjujejo dogodek, katerega verjetnost skušamo potrditi.« (Laplace, [1814] 1952, 6) Pri tem so težava predvsem enakovredni izidi. Ce imamo opravka z obicajno šeststrano in neobteženo igralno kocko, ob kateri se je klasicna interpretacija razvila, so naceloma vsi izidi (padec števila 1-6) res enakovredni. Kaj pa se zgodi z verjetnostjo ob metu goljufive kocke? Izidi v tem primeru niso enakovredni, s klasicno interpretacijo pa jih težko izracunamo. Laplace je sicer predvidel tudi to možnost, vendar je pri tem avtomaticno prestopil izven svoje opredelitve. Možnost omenja v sedmem poglavju Filozofskega eseja, ki ima naslov »O neznanih ne-enakostih, ki lahko obstajajo med možnosti, ki naj bi bile enakovredne« ([1814] 1952, 56), kasneje v matematicnih raziskavah verjetnosti pa tako možnost pri goljufivem kovancu opredeli kot 1+a za grb in 1-a za cifro (gl. Todhunter 1865:470, 598; cit. po Gillies, 2000, 18), pri cemer je a lahko neznana. S tem je sicer v neskladju s trditvijo, da je verjetnost le epistemološka mera za cloveško nevednost, kaj se bo zgodilo v prihodnje. Klasicna interpretacija je zaradi te (in drugih) pomanjkljivosti pocasi zamrla, ceprav še vedno (obicajno implicitno) nastopa v mnogih matematicnih ugankah (Hájek, 2012, 3.1). Zanimivo je, da je tej interpretaciji sledil tudi matematik Markov leta 1912, ko je razvil strukturo markovskih verig, ki imajo še danes pomembno mesto v verjetnostnem racunu. Logicna interpretacija Prav to pomanjkljivost naj bi odpravila logicna interpretacija, ki predstavlja smiselno nadaljevanje in poglobitev klasicne interpretacije. Verjetnost lahko dolocimo a priori s preucevanjem vzorcnega prostora, dodani pa sta dve pomembni posplošitvi: 1. možnosti so lahko neenakovredno obtežene, B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti 2. verjetnost lahko izracunamo ne glede na simetricno (ne)uravnoteženost podatkov. Logicna interpretacija je ime dobila po svojem pristopu: podobno kot klasicna interpretacija v naprej predvidi možne izide, ki pa jih ne obravnava kot enakovredne, temvec verjetnost doloci kot logicno razmerje med njimi. S tem posplošuje deduktivno logiko in deduktivno implikacijo, saj uvede stopnjo implikacije. V deduktivni logiki sklep sledi ali pa ne, v induktivni logiki (kombinirani z logicno interpretacijo verjetnosti) pa sledi z višjo ali nižjo stopnjo. Prav zaradi tega logicno interpretacijo pogosto zamenjujejo s teorijo induktivne logike, kar pa ni povsem upraviceno. Logicna interpretacija dejansko ustreza tudi »obicajni« deduktivni logiki, ki v tem sistemu predstavlja mejne primere, ko je verjetnost propozicij enaka stopnji 1 oz. 0. Znani zagovorniki logicne interpretacije so npr. Keynes (1921), oce keynesijanske ekonomske teorije, zgodnji Popper (kasnejši zagovornik propenzitete), predvsem pa Carnap (1950). Carnap je k logicni interpretaciji pristopil zelo sistematicno v svojem (do bralca zahtevnem) delu Logicne osnove verjetnosti. Prav Carnap nam bo služil kot izhodišce v razpravi o prednostih in slabostih te interpretacije. Kako torej Carnap pristopi k verjetnosti? Svoje razumevanje verjetnosti razvije na preprostem formalnem jeziku, v katerem imamo samo eno lastnost F in tri propozicije a, b in c. Pri tem razlikuje med opisi stanj in opisi struktur. Opis stanja nam za vsako propozicijo pove, ali je resnicna ali ne, opis strukture pa je bolj formalen opis logicnih razmerij. Na primeru zgornjega jezika imamo tako samo 4 opise struktur: 1. VsejeF. 2. En F , dva ¬F. 3. Dva F , en ¬F. 4. Vse je ¬F. Opisov stanj pa je vec: Iz tega primera je razvidnih vec stvari. Teža logicne strukture (ki je enakomerno porazdeljena) vpliva tudi na verjetnost stanja. Homogeni stanji (Fa .Fb .Fc in ¬Fa . ¬Fb . ¬Fc) imata bistveno vecjo verjetnost kot ostala stanja, saj sta edina primerka svoje strukture, za Carnapa pa je logicna struktura kljucna. To pa v koncni fazi vpliva tudi na izracun verjetnosti dogodkov. Opis stanja Opis strukture Teža strukture Verjetnost stanja Fa .Fb .Fc Vse je F. 1/4 1/4 Fa .¬Fb .¬Fc En F , dva ¬F. 1/4 1/12 Opis stanja Opis strukture Teža strukture Verjetnost stanja ¬Fa .Fb .¬Fc 1/12 ¬Fa .¬Fb .Fc 1/12 Fa .Fb .¬Fc Dva F , en ¬F. 1/4 1/12 Fa .¬Fb .Fc 1/12 ¬Fa .¬Fb .Fc 1/12 ¬Fa .¬Fb . ¬Fc Vse je ¬F. 1/4 1/4 Pustimo tehnicne podrobnosti ob strani in si poglejmo le, kje ticijo glavne nevarnosti Carnapove logicne interpretacije. Služila naj bi kot formalno orodje za induktivno logiko, pomemben ugovor (Hájek, 2012, 3.2) pa je v tem, da induktivna logika ne more potekati neodvisno od pomena predikatov. Carnap, kot se vidi iz zgornjega primera, pristopa povsem sintakticno, pomen pa pušca na strani. Carnapovi nasledniki (ibid.) so sicer skušali razviti boljše in obsežnejše formalne jezike, s katerimi bi bolje zajeli dejansko argumentiranje, pri tem pa so bili bolj ali manj neuspešni. Logicna interpretacija je tako formalno zanimiva, a kolikor pridobimo s formalno natancnostjo logicne analize, toliko tudi izgubimo z oddaljevanjem od dejanskosti. Prav to pa naj nam služi kot popotnica v subjektivno interpretacijo verjetnosti, ki naj bi služila približevanju verjetnosti dejanskim posameznikom. Subjektivna verjetnost Subjektivno interpretacijo verjetnosti najbolje opredeljuje njeno izhodišce: Verjetnost so stopnje prepricanj. S tem se subjektivna interpretacija bistveno razlikuje od klasicne, logicne pa tudi ostalih interpretacij, ki se jim bom posvetili v nadaljevanju, saj stopnjo verjetnosti bistveno poveže s posameznikom. Zagovorniki te interpretacije, ki je glavni zagon dobila v dvajsetem stoletju, so znani tudi kot Bayesovci po Thomasu Bayesu (ki sem ga omenil zgoraj), ceprav poimenovanje ni povsem upraviceno, saj sta za to interpretacijo zgodovinsko odgovorna predvsem angleški filozof Frank Ramsey in italijanski statistik Bruno de Finetti, ki sta na B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti podlagi Bayesovih in Laplacovih zgodovinskih doprinosov do te interpretacije neodvisno prišla hkrati proti koncu dvajsetih let prejšnega stoletja (za zgodovinski pregled njunega neodvisnega in hkratnega razvoja subjektivne interpretacije glej Gillies, 2000, 50-87). Pri tej interpretaciji, ki seveda ni enotna glede podrobnosti, ima lahko vsak posameznik razlicne stopnje prepricanj o istih stvareh, kljucno pa je, da vedno ostane koherenten, saj je le tako lahko racionalen. Predpostavimo, da dve osebi spremljata met kovanca, za katerega nista prepricani, ali je pošten. Nadalje predpostavimo, da lahko kovanec pristane zgolj na grb ali cifro (ne pa, npr. na rob). Preden se met kovanca zacne, lahko oseba 1 grbu pripiše 50% verjetnost, zaradi koherentnosti pa mora natanko isto verjetnost pripisati tudi cifri. Oseba 2 lahko grbu pripiše 99% verjetnost, a le ce cifri hkrati pripiše 1% verjetnost, saj je sicer verjetnostno nekoherentna. Z nekaj dodatnimi predpostavkami lahko dokažemo tudi, da bosta verjetnostno koherentni osebi ob racionalnem posodabljanju prepricanj v skladu z verjetnostnim racunom ter ob enaki evidenci (dokazilih oz. podatkih) konvergirali k enakim verjetnostim za iste dogodke. Ravno zato mora tudi slediti aksiomom verjetnostnega racuna, kot jih je razvil Kolmogorov (1933), ceprav psihološke raziskave (npr. Kahneman in Tversky, 1982) kažejo, da ljudje tem pravilom ne sledimo.4 Poleg tega za subjektivno interpretacijo veliko vlogo igrajo tudi pogojne verjetnosti (verjetnost, da se zgodi nek dogodek A ob uresnicenem dogodku B), saj naj bi preko njih spreminjali svoj sistem prepricanj. Prav v povezavi s pogojno verjetnostjo sta pomembna tudi koncepta predhodne in naknadne verjetnosti. Predhodno sem npr. s stopnjo 0, 5 preprican, da bo kovanec padel na grb. Hkrati sem s stopnjo 0, 8 pogojno preprican, da bo v primeru goljufivega kovanca padel grb. Ko enkrat ugotovim, da je kovanec goljufiv, se moja predhodna verjetnost, da pade grb, spremeni in dvigne na naknadno stopnjo 0,8. Poraja se še vprašanje, kako sploh lahko dolocimo kolikšna je naša stopnja verjetnosti. Ramsey (1926 [1931]), kot zgodnji zagovornik te interpretacije, je predvidel vec možnosti. Prva, nekoliko znanstvenofantasticna, je, da imeli nekakšen »psihogalvanometer oz. nek tak instrument« (161), s katerim bi dolocili dejansko 4 Omeniti velja vplivno strujo bayesovske psihologije mišljenja in bayesovske kognitivne znanosti, ki s številnimi študijami argumentira, da smo ljudje odlicni intuitivni bayesovski misleci (glej npr. Oaksford in Chater, 2007). stopnjo prepricanja pri posamezniku. Druga možnost je, da stopnjo prepricanj dolocimo z introspekcijo, kar pa povzroci težavo, saj introspekcija ni pretirano zanesljiva. Ramsey zato to možnost zavrne in predlaga princip stav. Posameznikova stopnja prepricanja o neki stvari je natanko taka, kolikor bi bil pripravljen staviti nanjo: Vse naše življenje je v nekem smislu stava. Ko gremo na postajo, stavimo, da vlak res pelje. Ce naša stopnja prepricanja, da se bo to zgodilo, ne bi bila zadostno visoka, bi stavo raje opustili in ostali doma. (Ramsey, 1926 [1931], 183) Poglejmo tri glavne »stebre« (principe) subjektivne interpretacije verjetnosti: 1. argument varljivih stav, 2. glavni princip in 3. Bayesovo pogojevanje (Hartmann in Sprenger, 2010, 614). Vsi trije stebri skupaj omogocijo natancno analizo racionalnih prepricanj in racionalnosti po principu koherentnosti, ki jo zagotavljajo aksiomi verjetnostnega racuna. Argument varljivih stav (619), bolj znan pod imenom »Dutch book«, govori o tem, da je v vsakem primeru racionalno, da sprejmemo verjetnostne aksiome. V nasprotnem primeru lahko zapademo v sistem varljivih stav, ki nujno vodijo v izgubo, ne glede na razplet stave. Poglejmo samo primer, kaj se zgodi, ce skupna verjetnost nasprotnih propozicij presega vsoto 1 oz. 100%. Pri tekmi tenisa s samo enim zmagovalcem bi tako lahko v nasprotju z aksiomi lahko verjeli, da je možnost zmage osebe A 50%, možnost zmage osebe B pa 70%. Zato bi bili pripravljeni vplacati za stavo, ki prinaša 10€ dobicka, natanko 5€ v primeru zmage osebe A in 7€ za osebo B. Torej bi skupno vplacali 12€, ne glede na izid pa dobili zgolj 10€ (2€ izgube). Upoštevanje aksiomov je na take sisteme stav odporno (za dokaze glej npr. Kemeny 1955, Skyrms 1980), zato je racionalno, da jih sprejmemo. Argument varljivih stav s tem »vzpostavlja logiko delnih prepricanj« (Hartmann in Sprenger, 2010, 613). B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti Argument sicer govori zgolj o sistemih prepricanj, ne pa tudi o racionalnosti posameznih prepricanj. Tu nastopi Lewis (1980), ki je postavil drugi steber bayesovske epistemologije, t.i. glavni princip. Ce epistemološki agent pozna objektivno verjetnost p neke propozicije A in nima nobene mocnejše informacije, potem mora biti stopnja njegovega racionalnega prepricanja natanko p. Lewis s tem sicer spada med objektivne Bayesovce, o cemer vec spodaj. Doloceni (subjektivni) Bayesovci se z glavnim principom namrec ne strinjajo. Glavni princip in argument varljivih stav skupaj gradita mocan okvir racionalnosti delnih prepricanj v staticnem smislu – prepricanja, ki jih ima nek racionalni akter v nekem specificnem trenutku (Hartmann in Sprenger, 2010, 614). Tretji steber predstavlja Bayesovo pogojevanje, ki v imenu nakazuje pogojno verjetnost. Bayesovo pogojevanje opiše dinamiko racionalnih prepricanj (H), ki se ob stiku z novimi informacijami (E) spremenijo na podlagi pogojne verjetnosti: Pnova(H) = Pstara (H | E). Ce trenutno verjamem, da je verjetnost mokre ceste, H, v primeru dežja, E, enaka 0,95, tj. Pstara(H | E) = 0,95, ter nato opazim, da dežuje (E), Bayesovo pogojevanje pomeni, da moram posodobiti svoje prepricanje glede mokre ceste na 0,95, ne glede na moje prejšnje prepricanje o tem, kako mokra je cesta.5 Vsi ti trije principi so kljucni za razumevanje zagovornikov in nasprotnikov bayesovske subjektivne interpretacije verjetnosti. Pred pregledom možnih ocitkov in odzivov si poglejmo še pomembno razhajanje znotraj samega bayesovskega tabora med subjektivnimi in objektivnimi Bayesovci. Subjektivni in objektivni Bayesovci Med zagovorniki bayesovske subjektivne interpretacije verjetnosti obstaja kar nekaj razhajanj. Najpogosteje je sporno dolocanje predhodnih verjetnosti. Ce razumemo verjetnosti kot stopnje posameznikovih prepricanj (natancneje, prepricanj ob casu t), potem se poraja vprašanje, kako pride to tega, da izoblikujemo neko prepricanje v ravno doloceni stopnji. Vprašanje ni zanemarljivo, saj je prav predhodna verjetnost (predhodna stopnja prepricanja, ki jo imamo pred seznanitvijo z novimi 5 Izjema pri tem so ekstremne verjetnosti (tj. verjetnosti 0 in 1), ki sta v bayesovski epistemologiji dogmaticni, tj. nespremenljivi, zato ju vecina avtorjev dovoljuje zgolj za logicna protislovja oz. tavtologije. informacijami) en izmed kljucnih konceptov subjektivne interpretacije verjetnosti. Na tem mestu pa se tabor Bayesovcev razdeli v dve skupini: - prvo skupino sestavljajo subjektivni Bayesovci, - v drugi pa so objektivni Bayesovci. Glavna razlika med obema skupinama je v odgovoru na vprašanje, kako racionalno dolociti predhodno verjetnost še neopaženemu izidu. Skrajni subjektivni Bayesovci trdijo, da je edino pravilo, da sledimo koherentnosti in upoštevamo verjetnostna pravila, skrajni objektivni Bayesovci pa pri tej dilemi popolnoma sovpadajo z logicno interpretacijo in predhodno verjetnost v celoti dolocijo a priori glede na simetrije možnih izidov. Razliko lahko jasneje vidimo na primeru. Denimo, da iz vrece slepo izbiramo frnikole. Edina informacija, ki jo imamo, je, da so v vreci vse frnikole rdece, vse crne ali pa mešane crne in rdece; drugih barv frnikol v vreci ni. Kakšna je torej predhodna verjetnost, da so v vreci vse frnikole rdece? Subjektivni Bayesovci bi trdili, da je verjetnost lahko kjerkoli na intervalu [0, 1] (Jeffrey bi sicer odpisal skrajni stopnji 0 in 1, cit. po Hájek). Pomembno je le, da se ohrani aksiome verjetnostnega racuna in koherentnost. Denimo, da je moja subjektivna verjetnost, da so vse frnikole rdece natanko 0, 2 (ostali dve možnosti pa morata po drugem aksiomu skupaj znašati natanko 0,8). Predhodno verjetnost lahko dolocim skoraj povsem poljubno, na dolocitev pa vplivajo npr. osebni razvoj, svobodna izbira in socializacija. Na drugi strani se objektivni Bayesovci s tem ne bi strinjali, saj je osebno dolocanje predhodne verjetnosti lahko povsem arbitrarno in posledicno neracionalno. Zato sprejemajo stališce, da moramo pri predhodni verjetnosti slediti logicni simetriji, ce nimamo mocnejših informacij proti takemu dolocanju. V primeru frnikol je racionalno postavljena predhodna verjetnost, da so vse frnikole rdece, lahko zgolj 1/3 (enako velja za ostali možnosti). Taka je simetrija možnosti (treh), nimamo pa tudi nobenega mocnejšega razloga, da bi predhodno verjetnost dolocili drugace. Kljub temu do popolnega stapljanja z logicno interpretacijo ne pride, saj objektivni Bayesovci ohranijo interpretacijo verjetnosti kot stopnje prepricanj in ostala formalna orodja subjektivne interpretacije, npr. Bayesov teorem in pogojevanje. B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti Ceprav se nam zdi stališce objektivnih Bayesovcev na prvi pogled bolj sprejemljivo kot subjektivno pa je njihovo razumevanje tudi povod za razlicne paradokse. To je nekako razumljivo, saj skušajo združiti dve razlicni interpretaciji verjetnosti: subjektivno in objektivno (logicno), ki imata obe zelo razlicen izvor. Nekateri (npr. Hájek) so celo mnenja, da pri objektivnih in subjektivnih interpretacijah verjetnosti ne govorimo o isti stvari, le poimenovanje (verjetnost) je zavajajoce enako. Kritike subjektivne interpretacije Subjektivna interpretacija verjetnosti je vsaj v okviru formalne epistemologije sicer ena izmed trenutno še vedno najpopularnejših interpretacij, saj omogoca to, cesar druge ne: operiranje s posameznikovimi prepricanji. Vendarle pa je že med samimi pristaši (sploh pa nasprotniki) te interpretacije je znanih kar nekaj dilem. Poglejmo samo nekaj primerov: 1. težave s pogojno verjetnostjo, 2. distribucija verjetnosti ob popolni ignoranci, 3. popolna racionalnost akterjev, 4. težave ob uporabi za analizo hipotez in podatkov. O pogojni verjetnosti je bilo prelitega kar nekaj crnila (med slavnejšimi je npr. Lewis, 1976). Pogojna verjetnost P (A|B) predstavlja številcno verjetnost, da se zgodi nek dogodek (A) ob pogoju, da je nek drug dogodek (B) uresnicen. Osnovna težava je v tem, da je sam matematicni koncept že povod za težave. Kolmogorov, utemeljitelj sodobnega verjetnostnega racuna, je pogojno verjetnost opredelil na sledec nacin: P (A|B) = P (A .B)/P(B); P (B) > 0. Verjetnost pogoja (B) mora nujno biti pozitivna. Kaj pa se zgodi v primeru, ko velja P (B) = 0? Hájek (2003, 285) opozarja, da ti primeri niso zanemarljivi ali nemogoci, predstavljajo pa hud izziv taki opredelitvi pogojne verjetnosti. Vzemimo za primer mokre ceste in dež. Kakšna je verjetnost, da bo cesta mokra, v kolikor nekega dne popoldne dežuje? Predpostavimo, da je ta verjetnost enaka x, P(M|D) = x, kjer je x lahko npr. 0,95. Podobno se lahko vprašamo, kakšna je verjetnost mokre ceste, ce dežuje med tretjo in cetrto uro popoldne, in domnevamo, da se pogojna verjetnost ne spremeni (pretirano). Ce pa se vprašamo, kakšna je verjetnost, da je cesta mokra, v kolikor dežuje ob nekem specificnem trenutku, pridemo v težave. Verjetnost dežja ob nekem specificnem trenutku namrec gre proti 0, vseeno pa imamo intuitivno obcutek, da tudi v primeru takega dogodka z nicelno verjetnostjo, pogojna verjetnost P(M|Dt), kjer Dt predstavlja dež v nekem trenutku, vseeno ne odstopa (pretirano) od P(M|D). Hájekov (2003) predlog je, da se zato odpovemo Kolmogorovi opredelitvi, kjer pogojno verjetnost opredeljujejo nepogojne verjetnosti, in za prvotno vzamemo pogojno verjetnost. Rešitev predstavlja samo eno izmed možnosti soocanja s tem problemom (za kritiko Hájekove rešitve in pregled možnih rešitev, glej Easwaran, 2008). Druga težava subjektivne interpretacije je povezana s prvo. Kaj se zgodi z distribucijo verjetnosti, ce o necem nimamo nikakršnega prepricanja? Standardna rešitev bi bila, da takemu prepricanju dolocimo stopnjo verjetnosti 0. S tem pa zaidemo v nevarno pocetje: razlika je namrec med prepricanjem v negacijo in ne­prepricanjem oz. s formalnim zapisom: B(¬A) . ¬B(A), kjer je B v funkciji prepricanja. Prepricanju ne, B(¬A), lahko dolocimo stopnjo verjetnost 0, ne­prepricanju, ¬B(A), pa ne. Tudi za to dilemo še ni dokoncnega odgovora. Težava subjektivne interpretacije je tudi v tem, da operira s popolnoma racionalnimi akterji. Komu naj bi tovrstna formalizacija potem sploh služila? Taki akterji namrec ne obstajajo, saj ljudje ob razmišljanju o verjetnosti delamo kar nekaj napak (kot sta pokazala npr. Kahneman in Tversky). Subjektivna interpretacija sicer omogoca rešitev mnogih statisticnih težav, ki izven nje niso rešljive oz. dajo slabše rezultate, zato je tudi dosegla visoko število zagovornikov. Kljub temu pa te interpretacije ne moremo (vsaj ne neposredno) uporabiti za analizo vsakdanjega mišljenja (nekaj poskusov tovrstnih analiz npr. v zborniku Chater in Oaksford, 2008). Bayesovci sicer pogosto zagovarjajo, da je njihovo delo predvsem normativne narave, ostaja pa tudi to vprašanje še naprej odprto. Zanimiva težava se pojavi tudi v filozofiji znanosti, kjer je subjektivna interpretacija verjetnosti pridobila veliko privržencev, saj omogoca dobro formalizacijo dinamike sprejemanja in zavracanja znanstvenih hipotez (H) ob novih podatkih (E). V najbolj enostavni verziji je potek sledec: najprej dolocimo predhodno verjetnost hipoteze: P0(H) in verjetnost hipoteze ob nekih podatkih E: P0(H|E). Nato pridobimo podatke E in posodobimo verjetnost hipoteze: P1(H) = P0(H|E). Pri dolocanju B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti P0(H|E) si lahko pomagamo z Bayesovim teoremom: P0(H|E) = P0(E|H)/P0(H), P0(E) > 0. V kolikor je P1(H)>P0(H), sledi, da so podatki E hipotezo potrdili, ceravno je niso dokazali. Težava pri tem postopku pa je, da moramo hipotezam dolocati verjetnost, preden imamo zanje kakršnekoli podatke. Frekventisticna interpretacija Frekventisticna interpretacija predstavlja povsem drugacen (objektiven), po številu zagovornikov pa zelo pomemben pristop k razumevanju verjetnosti. V formalni epistemologiji ima sicer manj zagovornikov kot subjektivna interpretacija, saj je frekventizem za reševanje filozofskih dilem nekoliko manj uporaben (toliko bolj pa za statisticno obdelavo podatkov). Zgodovinsko gledano se je sicer razvil v sredini 19. stoletja kot kritika britanskega empiricizma zoper interpretacijo verjetnosti kontinentalnega »racionalizma« (Laplace). Za razpravo o verjetnosti tako ni kljucno razumsko a priori preucevanje možnosti. Kljucni so empiricni podatki. Zakaj torej gre? Frekventisticna interpretacija razume verjetnostni racun kot posebno matematicno znanost, ki ima (podobno kot mehanika) za svoj predmet opazljive pojave (Gillies, 2000, 88). Osrednje mesto imajo torej opazljivi pojavi, kot nakazuje že ime predvsem pogostost (frekvenca) posameznega pojava. Interpretacija je povsem naravna za vse, ki pogosto igrajo igre na sreco: verjetnost, da ob metu obicajne igralne kocke vržem šestico, je v tesni zvezi z relativno pogostostjo tega izida ob visokem številu metov (približno 1/6). Frekventisti to naravno dojemanje tesne zveze med verjetnostjo in relativno pogostostjo enostavno nadomestijo z njuno enakostjo: (def-frek) Verjetnost atributa A v koncnem referencnem razredu B je relativna pogostost dejanskega pojavljanja A znotraj B. Sama opredelitev zaradi tehnicnih izrazov morda izgubi nekaj jasnosti, vendar opiše samo bistvo (in nakaže glavno težavo frekventizma): verjetnost nekega dogodka je enaka razmerju med dejanskim pojavljanjem tega dogodka in vsemi dogodki (v nekem okviru). Iz opredelitve se sicer vidi sorodstvo s klasicno in logicno interpretacijo. Vse tri verjetnost opredeljujejo kot relativno razmerje med ugodnimi in vsemi izidi, pri cemer pa klasicna in logicna interpretacija v zakup vzameta vse možne izide, frekventizem pa samo dejanske (Hájek, 2012, 3.4). Razliko pokažimo na primeru. Kakšna je verjetnost, da ob metu (poštene) igralne kocke pade število šest? Klasicna in logicna interpretacija bi brez težav odgovorili, da je verjetnost 1/6; možnih izidov je 6, ugoden pa je samo eden. Frekventisti postopajo drugace. Kocko nekaj casa (recimo tisockrat) vržejo, zabeležijo število šestic in ga delijo z vsemi meti. Vecje kot je število metov, bližje naj bi bili številu 1/6; ce je število metov neskoncno, pa verjetnost konvergira k 1/6. Ta trditev je sicer iz frekventisticnega stališca sporna, saj sem število 1/6 dolocil brez dejanskih metov kocke. Možno je, da bi frekventist po tisoc metih prišel do verjetnosti 0,5, da pade število 6, ceprav tega ne pricakujemo. Vedno vecje kot je število metov, bližje naj bi namrec bili številu 1/6 – tako tudi znan zakon velikih števil, po katerem empiricna verjetnost ob velikem številu poskusov konvergira k teoreticni verjetnosti. Težava je tudi v tem, iz kje izhaja pricakovanje verjetnosti 1/6; pri tem ocitno sledimo klasicni interpretaciji. Prav zaradi te težave so se doloceni frekventisti poslužili neskoncnega števila ponovitev poskusa, s cimer bi lahko prišli do želenega rezultata. Za mnoge frekventiste je tak pristop sporen: ko govorimo o neskoncnem številu ponovitev poskusa, se moramo štetju dejanskih pojavitev odpovedati, saj je pri neskoncnem številu ponovitev to nemogoce. Zato se na tem mestu locijo v dve skupini: 1. koncni frekventizem, 2. neskoncni frekventizem. Obe skupini imata dolocene prednosti, predvsem pa kar nekaj nerazrešenih težav. Koncni frekventizem Koncni frekventizem predstavlja pomembno razumevanje verjetnosti v znanosti. Vecina statisticnega dela v znanosti namrec poteka (ob mnogih formalnostih statistike) prav preko iskanja relativne pogostosti primerov, ko je hipoteza uresnicena. Nekoliko poenostavljeno receno; ce je hipoteza dovolj pogosto potrjena glede na število vseh ponovitev, potem je z dovolj visoko verjetnostjo resnicna. Ceprav je v znanosti (s pomocjo statistike) tak pristop povsem smiseln in omogoca dobro sklepanje, pa je na filozofski ravni kot interpretacija verjetnosti vprašljiv. Težava koncnega frekventizma je že v samem izhodišcu, saj je interpretacija verjetnosti operativna (Hájek, 2012). Kaj se zgodi, ko povsem pošten kovanec vržem desetkrat in devetkrat pade grb? Ali to pomeni, da je verjetnost grba 0,9? B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti Frekventisticna interpretacija nas sili v tak odgovor, saj verjetnost in dejansko pojavljanje tesno povezuje. Podobno pride koncni frekventizem do težave, ko ima opravka z dolocanjem verjetnosti pred samim poskusom (cemur frekventisticna interpretacija v osnovi ni bila namenjena): kovanec verjetnosti, da pade grb, pred prvim metom sploh nima, kar je vsekakor nenavadno (ne moremo npr. trditi, da kovanec nima obsega, ker ga nismo izmerili). Hájek (2012, 3.5) opozarja, da je še vecji problem v primerih, ko imamo samo eno ponovitev, saj potem nujno govorimo o verjetnosti 1 oz. 0. To pomeni, da imamo v neponovljivih dogodkih (kot so npr. volitve) zelo jasno stopnjo verjetnosti: neponovljiv dogodek je bodisi gotov ali pa povsem neverjeten. Frekventizem (ki ni nastal kot odgovor na filozofska vprašanja o naravi verjetnosti, temvec kot znanstveno orodje) omogoca samo ti dve možnosti, saj je v osnovi namenjen vecjim referencnim razredom (preprosto receno, za vecje število ponovitev). Tudi vecje število ponovitev verjetnostnega poskusa pa ni nujno razlog za uspeh frekventizma: pošten kovanec lahko tisockrat vržemo in vedno pade grb. Tak izid je sicer redek, ni pa nemogoc, koncni frekventist pa bi v tem primeru moral zopet sprejeti, da je verjetnost grba enaka 1. Kot možen odgovor na to zagato, se je že v 19. stoletju razvil neskoncni frekventizem. Neskoncni frekventizem Neskoncni oz. hipoteticni frekventizem ima že dolgo zgodovino. Osnovno izhodišce je, da bi lahko pravilno verjetnost (relativno frekvenco) dolocili šele po neskoncnem številu ponovitev poskusa. Ker bi v primeru meta kovanca težko našli koga, ki bi bil pripravljen kovanec metati v nedogled (kar je že samo po sebi absurdno), se privrženci neskoncnega frekventizma poslužujejo protidejstvenih miselnih poskusov (od tod tudi ime hipoteticni frekventizem). To pa seveda sproža kar nekaj ugovorov. Neskoncni frekventisti zacnejo na koncnem primeru in ga nato hipoteticno nadaljujejo. Ideja je sicer na prvi pogled razumljiva: kovanec vržemo tisockrat, opazujemo, kolikokrat pade grb in (predvidoma) opazimo, da relativna pogostost konvergira k 1/2. Ce poskus nato hipoteticno ponavljamo v neskoncnost, naj bi prišli do verjetnost 1/2. Pa je temu res tako? Ce opazujemo relativno pogostost padcev grba, dobimo npr. naslednjo vrsto: 1/1 (prvi met), 1/2 (drugi met), 1/3 (tretji met), 2/4, 3/5, 4/6, 5/7, 5/8, ... Vrsta naj bi naceloma konvergirala k 1/2, ce pa jo samo nekoliko preuredimo, lahko konvergira k poljubnemu številu na intervalu [0, 1] (Hájek, 2012). Pomislimo le na relativno pogostost sodih števil v množici naravnih števil. Vrsto obicajno uredimo narašcujoce: 1, 2, 3, 4, 5, ..., pri cemer relativna pogostost konvergira k 1/2. Kaj pa ce naravna števila uredimo tako, da so pred vsakim sodim številom vedno tri liha? Ker je množica naravnih števil Nneskoncna, je to mogoce, npr.: 1, 3, 5, 2, 7, 9, 11, 4, 13, 15, 17, 6, ..., pri cemer bi relativna pogostost sodih števil konvergirala k 1/4. Podobno nam relativna pogostost niti v neskoncnem frekventizmu ne poda nujno prave verjetnosti. Neskoncni frekventisti bi temu morda ugovarjali, da je potrebno upoštevati casovno zaporedje. A tudi to ni nujno rešitev: kovanec lahko mecemo v nedogled in v veliki vecini metov pade grb, ceprav kovanec ni goljufiv. Pricakovanje, da se mora razmerje slej ko prej spremeniti, je tipicen primer kockarjeve zmote.6 Ugovor zoper neskoncni frekventizem je sicer še vec (kar nekaj jih je v Hájek, 2009), vendar naj v tem kratkem pregledu zadošcata ta dva. Nasprotno je koncni frekventizem izredno priljubljen, saj predstavlja osnovo velikega dela statistike. 17 Propenziteta Nekatere zagate frekventizma ucinkovito reši interpretacija verjetnosti kot propenzitete (nagnjenosti). K verjetnosti tako kot frekventizem pristopa empiricno, hkrati pa ne vzpostavlja identitete med relativno pogostostjo in verjetnostjo, temvec verjetnost razume kot fizikalno lastnost. S tem predstavlja najbolj objektivno interpretacijo verjetnosti (najbolj je osredotocena na objekt). Med znanimi zagovorniki in pionirji najdemo Karla Popperja, ki je tekom svojega filozofskega razvoja zagovarjal vec razlicnih interpretacij od logicne prek frekventisticne do koncne propenzitete, ki jo je tudi poimenoval. V propenziteto so ga iz frekventizma vodili predvsem enkratni dogodki, s katerimi ima frekventizem hude težave. V kvantni mehaniki pa so prav enkratni dogodki pogosti; kako lahko trdimo, da je verjetnost razpada radijevega atoma v 1600 letih 1/2? Poskusa namrec ne moremo izvesti oz. ponavljati. 6 O kockarjevi zmoti govorimo, ko neodvisne dogodke razumemo kot odvisne. Kockar, denimo, po desetih zaporednih stavah na liho število izgubi, zato pricakuje, da mu mora v naslednjem poskusu uspeti. Ker pa so posamezni meti poštene kocke medsebojno neodvisni, je kockar v zmoti. Verjetnost, da v neskoncnost padajo soda števila, je popolnoma enaka verjetnosti, da v neskoncnost padajo liha števila oz. katerikoli drugi specificni razporedi rezultatov. B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti Preden dokoncno prestopimo v propenzitetno interpretacijo velja opozoriti, da s to oznako oznacujem zelo raznolike (in pogosto neskladne) interpretacije. To je sicer znacilno tudi za prej obravnavane interpretacije, vendar je pri propenziteti morda še bolj izrazito, saj nima kanonicne oblike, po kateri bi se zgledovala vsaj vecina avtorjev (Gillies, 2000, 113). Childers (2013, 34) npr. trdi, da je vec razlicic propenzitetne interpretacije kot samih zagovornikov, s cimer želi izpostaviti, da vsak avtor zagovarja svojo interpretacijo, ki pa jo vmes še dograjuje in spreminja (to velja tudi za Popperja, ki ni le menjal razlicne interpretacije, temvec je razvil tudi vsaj dve razlicici propenzitetne interpretacije). Kaj je torej tisto najožje jedro propenzitetnih interpretacij, ki jih loci od ostalih? Verjetnost dolocajo prek propenzitete (nagnjenosti), da se zgodi nek dogodek. Propenziteto pa razlagajo kot dispozicijo zmožnost, da se nekaj zgodi, ce so uresniceni doloceni pogoji. Padec grba pri metu kovanca ima tako verjetnost 1/2, tudi ce kovanca nikoli dejansko ne vržemo. Podobno za sol velja, da ima dispozicijo, da se stopi v vodi, ceprav ne bi nikoli prišla v stik z njo. Opozoriti moramo, da se propenziteto obicajno ne doloca predmetom samim, temvec poskusu. Na tak nacin upoštevamo vsa relevantna dejstva o predmetu in okolju, v katerem se poskus odvija. Najvecja prednost propenzitete naj bi bila, da je ucinkovita v enkratnih poskusih, npr. v primeru razpada radioaktivnega atoma. Vecja težava je v tem, kako lahko znanstveno dolocimo propenziteto v takih primerih. Ce vzamemo za primer razpad radioaktivnega atoma, lahko postopamo sorodno frekventistom, s to razliko, da poskusa ne ponavljamo z istim atomom (ker je to nemogoce), temvec ponavljamo enako zasnovan poskus in ugotovimo, kam limitirajo naši podatki. Vendar pa se nam intuitivno zdi, da lahko o verjetnosti govorimo tudi v primerih, ko gre za fundamentalno neponovljive poskuse. David Lewis (cit. po Childers, 2013, 36) npr. poda hipoteticen primer: znanstveniki odkrijejo neznan radioaktivni element Neznanijum346, ki je zelo redek, saj je v celotnem vesolju samo nekaj atomov tega elementa. Pricakujemo, da tudi za ta element velja, da ima neko doloceno verjetnost razpada v nekem casu. Ne smemo pa zato zapasti v problematicno frekventisticno vedenje – verjetnost namrec ni lastnost kolektiva, temvec posameznika, možnost razkroja pa posamezna možnost nekega elementa (ibid.). S tem smo dobili zelo sprejemljivo razlago verjetnosti in dobro osnovo za teoreticno definicijo verjetnosti. Prav to je tudi ena mocnejših tock propenzitete: omogoca dobro razlago verjetnosti prek teoreticnega pojma propenzitete. Pojem propenzitete tako teoreticno omeji verjetnost, ki pa je za znanost v tej obliki razmeroma neuporabna (ceprav odlicno služi v filozofiji znanosti). Znanost namrec teži k posploševanju in iskanju skupnih lastnosti, opredelitev verjetnosti kot individualne lastnosti pa omogoca le na prvi pogled sprejemljivo razlago. Druga težava (oz. za nekatere avtorje prednost) propenzitet je v tem, da implicirajo nedeterminizem: ce živimo v deterministicnem vesolju, potem je dejanska propenziteta (in verjetnost, ki je definirana preko nje) vedno 0 ali 1. Propenziteto tako pozdravljajo zagovorniki nedeterminizma (med katerimi je bil tudi Karl Popper), kar je po svoje razumljivo, saj najmocnejši fizikalni ugovori zoper determinizem izvirajo ravno iz kvantne mehanike, ki je bila povod za nastanek propenzitetne interpretacije. 18 Sklep S propenzitetno interpretacijo zakljucujem kratek pregled razlicnih tolmacenj verjetnosti. Pregled nam je pokazal, da imajo vse glavne interpretacije dolocene prednosti in pomanjkljivosti. Predvsem je potrebno opozoriti, da je teorija verjetnosti še vedno zelo živo podrocje. Matematicno gledano sicer takih težav ni, saj je verjetnostni racun na osnovi aksiomov Kolmogorova dobro sprejet. Filozof Robert Stalnaker je zato konec šestdesetih upal, da bi mu lahko verjetnostni racun pomagal pri razreševanju filozofsko-logicnih težav s pogojnimi stavki oz. z njegovimi besedami: »[V]erjetnost bi lahko bila dober vir vpogleda v formalno strukturo pogojnih stavkov« (1970). Kot je na tem mestu morda že jasno, se njegovi upi niso potrdili – matematicna uveljavljenost verjetnostnega racuna žal ne zadošca za filozofsko sprejemljivost. Stalnaker je, kot je pozneje pokazal Lewis (1976), s tem prišel do trivialnih rezultatov. Naj ta primer služi zgolj za ilustracijo, kako je verjetnost zelo zanimiv in obetaven teoreticen pojem, ki ga uporabljamo tudi v vsakdanjem jeziku, hkrati pa še vedno tako neznan, da ga je treba previdno obravnavati. Prav zato morda vse opisane interpretacije sploh ne obravnavajo enakega vprašanja. Zelo verjetno je, da subjektivna in objektivna verjetnost opredeljujeta dva locena (a mestoma soodvisna) pojma; prvi opredeljuje kredence (stopnje verjetja), drugi pa npr. propenzitete (dispozicijske nagnjenosti dolocene). Zdi se, da subjektivne in B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti objektivne verjetnosti ne smemo na silo povezovati, saj bi s takšnim ravnanjem nujno reducirali dolocene pomembne vidike ene ali pa druge. Hkrati smo v zanimivi zadregi: ali ni izpostavljanje razlike med subjektivno in objektivno interpretacijo verjetnosti sumljivo podobno dualizmu duha in materije Descartovega kova? Podobno kot sem prej izpostavil indeterminizem, ki je implicitno prisoten v propenzitetni interpretaciji, je tako razvidno, da odlocitev, katero (oz. katere) interpretacije verjetnosti sprejemamo, vedno vpeto v širši kontekst osnovnih filozofskih stališc, ki jih sprejemamo. In ker je teorija verjetnosti bistveno povezana z znanstvenim raziskovanjem, ima privrženost doloceni interpretaciji verjetnosti vedno tudi (ne)slutene filozofske posledice, ki lahko vplivajo tudi na nacin interpretiranja znanstvenih podatkov. Kakšni pa so obeti za razvoj teorij interpretacij v prihodnje? Na kratko izpostavimo samo eno izmed odprtih tem v subjektivni interpretaciji: nenatancno verjetnost. Z nenatancnimi verjetnostmi opisujemo pristop k verjetnostnemu racunu, kjer verjetnost ni dolocena z natancno številcno vrednostjo, temvec s številcnim intervalom. Na tak nacin dobimo na prvi pogled bolj »cloveško« obliko (sicer) strogo racionalnega bayesovskega pristopa k verjetnosti. Dobro namrec delujejo tudi pri racunanju z epistemološko negotovostjo, ki je pri ljudeh pogosta. Natancna verjetnost ima veliko težav, ko z njo opredeljujemo stanja, o katerih nimamo nikakršnih podatkov. Ce pri tem uporabimo obicajen statisticni pristop in enakomerno porazdelimo verjetnost tudi za ta stanja, s tem implicitno dodamo nove podatke (pricakovanje, kakšna naj bi bila verjetnost dogodkov, ki jih sicer povsem ignoriramo). Tej težavi (in nekaterim drugim paradoksom) naj bi se izognili prav z uporabo nenatancnih verjetnosti (oz. množici verjetnosti na nekem intervalu). Tudi ta pristop sicer omogoca kar nekaj ugovorov, npr. kako dolociti zgornjo in spodnjo mejo nenatancne verjetnosti, hkrati pa odpira tudi formalne težave (npr. dilatacijo – prehod iz natancne v nenatancno verjetnost). Naj ta primer služi zgolj v ilustracijo, da so interpretacije verjetnosti še vedno v razvoju. Verjetnost nam sicer služi predvsem kot vodilo ob soocanju z (vsakdanjimi) nejasnostmi. Ker pa je sama teorija verjetnosti še zelo nejasna, naj ta sklep velja tudi kot poziv k iskanju novih odgovorov na mnoga odprta vprašanja, ki sem jih nakazal v prispevku. Literatura Bayes, T. (1731). Divine Benevolence; or, An Attempt to Prove That the Principal End of the Divine Providence and Government Is the Happiness of His Creatures. London: Printed for John Noon. Bayes, T. (1736). An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and Defence of the Mathematicans Against the Objections of the Author of the Analyst, So Far As They Are Designed to Affect Their General Methods of Reasoning. London: Printed for John Noon. Bayes, T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions: (Str. 371–418). Bernoulli, J. ([1713] 2006). The Art of Conjecturing: Together with ‘Letter to a Friend on Sets in Court Tennis’. Baltimore: Johns Hopkins University Press. Carnap, R. (1950). Logical Foundations of Probability. Chicago: University of Chicago Press. Carnap, R. (1956). The methodological character of theoretical concepts. V H. Feigl, in M. Scriven (Ur.) Minnesota Studies in the Philosophy of Science I: (Str. 37–76). Minnesota: University of Minnesota Press. Chater, N. in Oaksford, M. (Ur.) (2008). The Probabilistic Mind: Prospects for Bayesian Cognitive Science. Oxford University Press. Childers, T. (2013). Philosophy and Probability. Oxford: Oxford University Press. Coolen, F. P., Troffaes, M. C. in Augustin, T. (2010). Imprecise probability. V M. Lovric (Ur.) International Encyclopedia of Statistical Science. New York: Springer. Dale, A. I. (1995). A History of Inverse Probability: From Thomas Bayes to Karl Pearson: Št. 16 Studies in the History of Mathematics and the Physical Sciences. New York: Springer. David, F. N. (1998). Games, Gods and Gambling: The Origins and History of Probability and Statistical Ideas from the Earliest Times to the Newtonian Era. London: Dover. Easwaran, K. K. (2008). The Foundations of Conditional Probability. Doktorat: University of California, Berkeley. Fienberg, S. E. (2006). When did Bayesian inference become "Bayesian"? Bayesian Analysis: 1 (1): 1– 41. Gillies, D. (2000). Philosophical Theories of Probability. London: Routledge. Hacking, I. (1984).The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference. Cambridge: Cambridge University Press. Hájek, A. (2003). What conditional probability could not be. Synthese: 137 (3): 273–323. Hájek, A. (2009). Fifteen arguments against hypothetical frequentism. Erkenntnis: 70 (2): 211–235. Hájek, A. (2012). Interpretations of probability. V E. N. Zalta (Ur.) The Stanford Encyclopedia of Philosophy. URL: http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/probability-interpret/. Hartmann, S. in Sprenger, J. (2010). Bayesian epistemology. V S. Bernecker, in D. Pritchard (Ur.) Routledge Companion to Epistemology: (Str. 609–620). London: Routledge. Jeffrey, R. (1992). Probability and the Art of Judgement. Cambridge: Cambridge University Press. Kahneman, D. in Tversky, A. (1982). Judgments of and by representativeness. V D. Kahneman, P. Slovic, in A. Tversky (Ur.) Judgement under Uncertainty: Heuristics and Biases. Cambridge: Cambridge University Press. Kemeny, J. G. (1955). Fair bets and inductive probabilities. Journal of Symbolic Logic: str. 263–273. Keynes, J. (1921). A Treatise on Probability. London: Macmillan and Co. Kolmogorov, A. N. (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer. Laplace, P.-S. M. ([1814] 1952). Essai Philosophique sur les Probabilités. New York: Dover Publications, Inc. Lewis, D. (1976). Probabilities of conditionals and conditional probabilities. The Philosophical Review: 85 (3): 297–315. Lewis, D. (1980). A subjectivist’s guide to objective chance. V R. Jeffrey (Ur.) Studies in Inductive Logic and Probability, Vol. II: (Str. 263–293). University of California Press. Oaksford, M. in Chater, N. (2007). Bayesian Rationality: The Probabilistic Approach to Human Reasoning. Oxford University Press. Pascal, B. ([1669] 1986). Misli. Celje: Mohorjeva družba. B. Trpin: O interpretacijah verjetnosti Pérez-Escudero, A. in de Polavieja, G. G. (2011). Collective animal behavior from bayesian estimation and probability matching. Computational Biology. Popper, K. R. (1998). Logika znanstvenega odkritja. Ljubljana: Studia humanitatis. Ramsey, F. P. (1926 [1931]). Truth and probability. V E. Kyburg, in H. E. Smokler (Ur.) Studies in Subjective Probability. London: Wiley, 1964. Skyrms, B. (1980). Causal Necessity. New Haven: Yale University Press. Stalnaker, R. (1970). Probability and conditionals. Philosophy of Science: 37: 64–80.