IZ RAZREDA 47 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Različni primeri dejavnosti pri pouku matematike Jožica Okorn Osnovna šola Vrhovci, Ljubljana Izvleček V prispevku predstavim moj pogled na poučevanje in nekaj primerov dejavnosti, ki jih naredijo učenci pri pouku. Pomembno se mi zdi, da učenci sami zbirajo podatke ter obdelujejo, predstavljajo realne podatke in rešitve. Pri tem poskušam razmišljati, kako vzporedno poučevati aritmetiko in geometrijo. Ključne besede: obdelava podatkov, preiskovanje, verjetnost Miscellaneous Mathematics Activities Abstract This paper outlines the author‘s perspective on teaching and provides several class activities. The article as - serts that it is essential for students to gather, analyse and present factual data and solutions on their own. The author goes on to consider teaching arithmetic and geometry simultaneously. Keywords: data collection, data processing, statistics. Uvod Ker poučujem matematiko, vam bom predstavila, kako se s po- stopnim doseganjem standardov znanja približujemo srednje- šolskemu nivoju obravnave podatkov − statistiki. Izhodišče je učni načrt. Predstavila vam bom standarde, ki nas usmerjajo k razvoju razumevanja podatkov, sistematičnega zbiranja, njihove analize in interpretacije. To dosežemo s tem, da učenci postopno osvajajo znanje aritmetike, algebre, geometrije. Vsa področja se prepletajo in dopolnjujejo. Vse tri veje matematike se povezujejo s cilji ostalih predmetov, ki se jih učenci učijo v šoli. Ta med- predmetna povezanost osmišlja naučeno. Lahko smo genialni na nekem področju, vendar če ne znamo teh sposobnosti prenesti na ostala področja življenja, imamo velik problem. V bistvu je jasno, da se pri tehniki, glasbi, likovni umetnosti, geografiji … učimo matematike in obratno. Tudi naloge v Nacionalnem preverjanju znanja so mi zelo pri srcu. O smislu in pomenu Nacionalnega preverjanja znanja se vijejo razprave in krešejo mnenja. Vendar o nalogah samih ni dvoma, kakovostne so, lepo sestavljene, upoštevajo didaktična načela, njihova težavnost se stopnjuje na pravi način. Preverjajo široko paleto standardov znanja. Tudi o primernosti in namenih učbenikov in delovnih zvezkov imamo različna mnenja. Sama se nagibam k uporabi manj obsež- nih gradiv, da z učenci lahko naredim kakšno uporabno razis- kavo, poskus, ki ga kasneje analiziramo, povezujemo znanja z več področij, se ukvarjamo s primerjavo izkušenj iz življenja … Zopet poudarjam, da so učna gradiva dobra, odlična, vendar marsikdaj preobsežno zastavljena. V praksi ponujenega ne mo- remo v celoti izkoristiti. Vsaj pri poučevanju matematike je tako. V drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju so zapisani nasle- dnji standardi znanja, ki jih lahko povezujemo z obdelavo po- datkov: • zbere, uredi in prikaže podatke v preglednici in s prikazi ter analizira podatke in rezultate (preiskava), • razišče kombinatorično situacijo in prikaže vse možne izide, • pri reševanju (besedilnih) problemov uporablja različne bral- ne strategije ter kritično razmišlja o potrebnih in zadostnih podatkih, • reši matematične probleme in probleme iz vsakdanjega živ- ljenja. Primer naloge V razredu izvedemo hitro anketo. Učenci uživajo, če lahko pove- do, kaj imajo radi. Radi prispevajo svoj delež k raziskavam. Radi so soudeleženi. Dobro je, da učenci rišejo prikaze različnih oblik in barv. Prikaze opremijo z legendo (Slika 1). Na podlagi ustvar- jenega jim zastavimo različna vprašanja, od zelo preprostih do težjih. V šestih razredih opažam, da učenci dobro berejo podatke z grafov in diagramov. Težje pa jim gre od rok risanje na podlagi izvedenih anket. S prostoročnim risanjem razvijajo občutek za IZ RAZREDA 48 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 vzporednost, pravokotnost, za oblike in razporejanje podatkov. Nič hudega, če za nalogo porabimo več časa. Naša strpnost se obrestuje v naslednjih letih. S takimi nalogami vzgajamo natanč- nost, strpnost do sebe, voljo do dela. Primera preiskovalnih nalog v 6. razredu Met vorteksa Pri pouku matematike sem se odločila, da bomo z učenci za- dnjo uro v tednu namenili obravnavi in analizi konkretne meri- tve. Učitelj športne vzgoje je z dečki opravil meritve dolžin meta vorteksa. Fantje so metali vorteks z mesta in z zaletom. Z učenci smo skupaj v zvezek prostoročno zapisali uvod, sami so narisali tabelo za prepis podatkov. S to nalogo so utrjevali risanje vzpo- rednic in pravokotnic, vadili natančnost pri prepisu podatkov, opazovali razlike v dolžinah metov, že analizirali, zakaj je tako. V uvodu so narisali sliko (Slika 2). S pomočjo učiteljic za sloven- ščino in angleščino so opisali nalogo. Prvič sem jim predstavila izračun povprečne vrednosti. Nato smo še načrtovali in analizi- rali prikaze (Slika 3 in 4). S tako nalogo zajamemo veliko ciljev, ki jih uresničujemo pri po- uku matematike, na primer: • sistematično zapišejo, štejejo in meritve ter jih smiselno vpi- šejo v preglednico, • razporedijo izide meritev v smiselne skupine, • opredelijo in utemeljijo kriterij urejanja podatkov, • poznajo prednosti (linearno) urejenih podatkov pri delu s po- datki, • razporejajo podatke po enem ali dveh kriterijih (tudi številč- nih), • dane (zbrane) podatke smiselno uredijo v preglednico, • iz prikaza preberejo podatke in jih interpretirajo, • izberejo primeren prikaz za predstavitev podatkov, • berejo odnose med podatki, • rešijo problem, ki zahteva zbiranje in urejanje podatkov, nji- hovo predstavitev ter branje in interpretacijo, • razvijajo kritičen odnos do interpretacije rezultatov. Medpredmetno povezovanje vzpodbuja razmišljanje, povezova- nje podatkov, naučeno uporabljamo na več področjih. Razvija- mo socialnost, različne talente. Pouk postane zanimiv. Vsi, učen- ci in jaz, se vsako tako uro čudimo, kako hitro nam je minil čas. Pripomba, ki jo je zadnjo uro izrekla učenka, da je matematika postala zabavna, me je razveselila. Suhoparnost in enoličnost Slika 2: Met vorteksa. (Uršula Maček) Slika 3: Izdelek učenca, 1. del. Slika 1: Primer diagrama v 6. razredu. število otrok smo preobrazili v razgibanost in zanimivost. Učitelji, ki sodeluje- mo, pomagamo drug drugemu. Vsi sodelujoči delamo za vse in imamo z enako količino vnesenega truda več rezultatov. IZ RAZREDA 49 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Učenje osnov potenciranja z eksperimentom in kombinatoričnim drevesom V tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju so zapisani naslednji standardi znanja, ki so eksplicitno vezani na obdelavo podatkov: • pozna in uporablja načine zbiranja, strukturiranja in predsta- vljanja podatkov, • načrtuje in izvede statistično raziskavo, rezultate kritično ana- lizira in jih predstavi na najustreznejši način, • se kritično opredeli do interpretiranih podatkov, Slika 4: Izdelek učenca, 2. del. Slika 5: Uvod v eksperiment. Slika 6: Kombinatorično drevo Slika 7: Zapis ugotovitev. (Jerneja Hribar) IZ RAZREDA 50 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 • pozna in uporablja aritmetično sredino, modus in mediano, • reši kombinatorični problem in prikaže rešitev, • uporablja računalniške preglednice. V 7. razredu učenci računajo z aritmetično sredino, znajo nari- sati tudi krožne prikaze, v nalogah uporabijo znanje o odstotkih. Predhodnica teh znanj je geometrija, ki v sedmem razredu dobi nov, velik zamah. V 8. razredu je statistika vtkana v naloge čez celo leto. Pri po- glavjih o funkcijah, odvisnostih in sorazmerjih, risanje grafov in interpretacija je na visokem nivoju. Velik preskok naredijo pri sklepanju zaporedij n-tih členov zaporedja. V 9. razredu pa je statistiki namenjeno celo poglavje. Od aritmetične sredine se pomaknemo še k modusu, mediani, verjetnosti. Če bi imeli več časa, bi obravnavali kvartile, razpršenosti. Žal, zares žal, za to področje zmanjka časa. Pa tako zanimive raziskave bi lahko obravnavali! Primeri nalog v 9. razredu kažejo velik preskok na intelektualni razvojni stopnji mladine v najstniških letih. Izračun povprečne uspešnosti pri različnih matematičnih vsebinah V zadnjih letih z učenci beležim njihovo lastno uspešnost pri tedenskih preverjanjih, izdelavi in predstavitvi domačih nalog. V tedenska preverjanja vključim tudi dodatno nalogo. Skrbim, da so zastopane naloge na različnih taksonomskih stopnjah. Še kakšna dejavnost se prikrade v delo in njihovo uspešnost bele- žimo z odstotki. Na ta način učence seznanim z obliko deležev v odstotkih že v 6. razredu, v želji, da pridobijo občutek, o čem odstotki govorijo. Ko imajo učenci šest takih zabeležk uspešnosti (v odstotkih), naredi vsak zase izračun na list papirja. Zgodi se, da imajo dejavnejši otroci več zabeležk uspešnosti. Za nagrado si lahko odvzamejo iz preračunavanja najslabši dosežek ali celo dva. Iz zabeležk preračunajo povprečje uspešnosti. Skupaj z učenci se dogovorimo o načinu pridobivanja ocen. S tem osvojimo več ciljev: večina učencev je motivirana za spro- tno delo, ko predstavljajo rezultate domače naloge, vadijo nasto- panje v živo, učne ure so razgibane, učenci dobijo sprotne po- vratne informacije o znanju … Predvsem pa utrjujemo izračun aritmetičnih sredin. Ob zaključku šolskega leta, pred zadnjim ocenjevanjem, si učenci izračunajo povprečje dosežkov. Nato izračunajo, koliko odstot- kov morajo doseči v zadnjem ocenjevanju, da oceno ohranijo oz. da jo izboljšajo. Čeprav ocena ni izračun aritmetične sredine, jim na ta način približam praktično uporabo tega znanja v življenju. Vsako leto se to preračunavanje prelevi v akcijo medsebojne pomoči. Boljši in sposobnejši učenci pomagajo šibkejšim. Cilj je dosežen in učenci vnaprej vedo, koliko dela morajo v zadnje ocenjevanje vložiti. Naj zapišem še anekdoto iz lanskega leta. Učim posebno dekle, lani je obiskovala 7. razred. Je ljub, vendar izredno hiperaktiven otrok z motnjo pozornosti. Na začetku leta je bila nad učenjem navdušena. To se je poznalo tudi pri pridobivanju odličnih ocen. Na pomlad ji je motivacija padla. Z nivoja odličnih ocen je padla na dobro, potem pa, v zadnjem mesecu celo na nezadostno zna- nje. Ko je prišla k meni na zadnje ustno ocenjevanje, mi je rekla: »Učiteljica, nič ne znam. Sem si pa preračunala, da če dobim 21 %, imam na koncu povprečje 76 %, to je pa dovolj za zaklju- čeno 4.« No, zbrala je 26 % in zaključna ocena je bila 77 %, kar je prav dobro. Menim, da sva v tem poglavju življenja obe dosegli svoj uspeh. Slika 8: Preračunavanje svoje povprečne uspešnosti. Primer preiskovalne naloge v 9. razredu Učenci imajo v 9. razredu osvojenega veliko znanja. Zato se z njimi lahko lotimo tudi obširnejše obravnave dogodkov. Naloge lahko izvajamo v več zaporednih urah pouka ali pa na dnevu dejavnosti. IZ RAZREDA 51 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Za izdelavo naloge, ki jo predstavljam, potrebujemo do dvanajst igralnih kock. Kocke lahko meče posameznik ali pa več otrok, ki delujejo v skupini. Cilj je utrditi poznavanje izračuna verjetnosti metov, mediane, modusa. Izide lahko predstavimo z različnimi prikazi. Izvedemo deset serij po dvanajst metov. Na ta način pridobimo veliko število podatkov. Z njihovo analizo se približamo izraču- Slika 9: Met kock, analiza podatkov, Jerneja Hribar. nom verjetnosti rezultatov. V preglednico beležimo število pik, ki so na zgornji vidni ploskvi kocke. Možnosti za analizo imamo zares veliko. V 9. razredu se osredotočamo na verjetnost in srednje vrednosti metov, v 8. razredu lahko navežemo rezultate na izdelavo grafov pri premem in obratnem sorazmerju. IZ RAZREDA 52 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Zaključek V osnovni šoli so učni načrti pri posameznih predmetih postavljeni na podlagi dognanj o razvojnih, social- nih, umskih sposobnosti učenca. Za to so priporočila v učnih načrtih postavljena tako, da se učenec pri vseh predmetih razvija na vseh področjih, ki jih bo kot človek potreboval. Žal učitelji velikokrat opažamo, da smo kot družba, učni sistem in vsi sistemi, ki naj bi učni proces podpirali, zašli. Pri prilagajanju podajanja vsebin učencem novih, sodobnih generacij, nas vodijo tudi strah, nezaupanje v stroko. Kot bi klonili pod pritiski družbe. Poplava učbenikov, delovnih zvezkov, digitalnih pripomočkov je za pouk dobrodošla. Slaba plat te medalje je, da delovni zvezki, učbeniki, družbena mnenja, krojijo pouk. Ne govorim, da je ponujeno slabo, vendar nas je ujelo v kalup nefleksibilnosti. Učni načrti jasno povedo, katera področja, katero vedenje je potrebno pri določenih letih osvojiti, da bo učenec lahko napredoval. Omogočajo nam tudi, da smo fleksibilni in da določeno snov obdelamo čez aktivnosti, ki jih učitelji, kot strokovnjaki, izberemo. Vendar, če se zapletemo v nakup preobsežnih gradiv, smo pod pritiskom pričakovanj staršev, da gradiva, ki so jih po naših priporočilih kupili, tudi uporabimo. Torej nimamo časa, da bi z otroki naredili kakšno preiskavo in jo z njimi analizirali, obdelali, »razsekljali«, jo sestavili na drugačen način, se spraševali, iskali odgovore … Temu je treba nameniti čas, ki si ga, če smo sužnji obsežnosti gradiv, ne moremo privoščiti! Meni osebno pa se zdi to dobro in dobrodošlo. Učni načrti so ustrezni, vendar jih je treba prevetriti, nujno je treba pregledati, kako se med seboj dopolnjujejo pri posameznih predmetih. Medpredmetno povezovanje bo moralo biti ključnega pomena. Ponovno je treba osmisliti smisel učenja in poučevanja. Naj zaključim s citatom velikega človeka Nikole Tesla: »Ko odraščamo, se naš razum krepi in postajamo še bolj sistematični in ustvarjalni. Vendar so ti prvi impulzi na prvi pogled neproduktivni, najpomembnejši trenutki, in lahko močno oblikujejo naše usode.« Viri Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt, program osnovna šola, Matematika. Ljubljana: ZRSŠ. https://www.gov.si/assets/ministrstva/MIZS/ Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf