i
i
“1478-Juvan-OPriblizkih” — 2010/8/25 — 8:15 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 29 (2001/2002)
Številka 3
Strani 152–153
Martin Juvan:
O PRIBLIŽKIH ZA ŠTEVILO π
Ključne besede: matematika, iracionalna števila, približki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/29/1478-Juvan.pdf
c© 2001 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Mat ematika I
o PRIBLIŽKIH ZA ŠTEVILO Jr
V prvi številki tekočega let nika P reseka je Peter Pet ek zastavil zanimivo
nagr adno nalogo o iskanju najboljšega približka za število tt ob om ejitvi,
da je približek izr ažen le z nar avnimi št evili, sešte vanjem, množenjem in
največ dvem a kvadratnima korenoma. P riznat i mor am , da sprva nisem
opaz il, kako premišljeno so izbrane om ejitve. Naj vam pojasnim, zakaj
t rdim, da so omejitve izbran e pr emišljeno .
Od št ir ih osnovnih računskih operacij sta dovo ljeni le dve. Deljenj a
in od št evanja ne sme mo uporabi ti . Zakaj ne smemo upor abit i deljenja, ni
težko ugotoviti . Če bi dovolili deljenje, bi lahko nared ili vsa poz it ivna ra-
cionalna št evila (ulomke) , z nji mi pa se lahko poljubno prib ližamo številu
tt . Najbo lj znana tovrstna približka za 7f sta ulomka 272 in ~~~. Prvi je
od 7f večji za dobro tisočino in četrt , drugi pa za nekaj manj kot 3. 10- 7 .
Dobre približke za 7f z (relativno) majhnimi imenovalci dobi mo s pomočjo
vexi žnia ulomkov. P oleg že omenjenih dveh sta taka še npr. 1~3~31~8 in
3g
1i5638i . Drugi je od 7f večj i za manj kot 3 · 10- 11 . Več o verižnih ulomkih
in sorodnih t em ah iz t eor ije šte vil lahko pr eb eret e v knjigi J . Grasselli,
Diofantski približki , ki je pr ed leti izšla v zbirki Knj ižni ca Sigma.
Nekoliko tež je se je prepričati, da nam tudi odštevanje (skupaj z enim
kvadratnim koren om ) omogoča dobiti poljubno dob re približke za tt . Velja
namreč naslednj a t rd it ev , ki jo navaj am brez dokaza.
Za vsako iracion alno števi lo a je množica števil {na - LnaJ i n E IN}
"gosta" v int ervalu [O, 1]. Pri t em LnaJ označuj e celi del izraza na.
Trdit ev torej pr avi , da lahko za vsako št evilo x E [O, 1] in vsako še tako
majhno šte vilo E > O najdemo tako nar avn o število n , da se števi lo
na - LnaJ po absolut ni vr ednosti razlikuje od x za manj kot E . Ker je
v2 iracionalno število, iz trditve sledi, da že množica šte vil {mV2 - n I
m , n E IN} vsebuje po ljubno dobre približke za tt . Če m in n izbiramo med
šte vili do 1000 , sta najboljša 10V2 - 11, ki je od tt večji za približno 5.4 ·
. 10-4 , in 418V2 - 588, ki je od 7f manj ši za okoli 3.2· 10- 4 . Seveda lahko
namesto v2 vzamemo kvadrat ni koren kateregakoli dr ugega naravnega
šte vila , ki ni popolni kvadrat .
Ostane še om ejitev o uporabi največ dveh kvad rat nih korenov. Če
bi sm eli up or abi ti neomejeno mnogo kvadratnih korenov, bi zope t lahko
dobili po ljub no natančen pr ib ližek za tt . To vid imo na primer t akole :
I Matematika
Začnemo z intervalom od števila a ~ 1 do malo večjega števila a + 6 .
Če vsa števi la z intervala kvadriramo, dob imo interval od a2 do (a +
+ 6 ) 2 . Nov i interval je vsaj še enkrat daljši od začetnega , saj je (a +
+ 6 )2 - a2 = 2a6 + 6 2 > 2 6 . Če kvadriranje ponavljamo, po nekaj
korakih dobimo interval z do lžino vsaj 1. Tak interval pa vseb uje neko
naravno število. Če t o število sedaj korenimo tolikokrat, kolikor krat smo
kvadrirali začetni interval, dobimo število, ki je od a večj e kvečjemu za
6 . Preprost približek opis ane oblike, ki ga dobimo z zaporedno uporabo
treh kvadratnih kore nov , je osm i koren iz 9489 . Od Jr je večji za manj kot
2 . 10- 5 in je tako kar precej natančnej ši od najboljšega približka, ki ga
lahko dobimo z uporabo le dveh kvadratnih korenov. Zanimivo je tudi ,
kako lahko le z nekaj kvadratnimi koreni dob imo zelo natančne pr ibli žke
za Jr . Tako se 1024 . koren (t ega dobimo z lO zaporednimi kvadratnimi
kor eni) iz celega dela števila Jrl024 od Jr razlikuje za manj kot 10- 5 12 , kar
je res zelo zelo malo. Naj še omenim, da je število, ki nastopa po d koreni,
Jr 1024 , ogromno, saj ima kar 510 deseti ških št evk.
In zakaj st a bila v nalogi dovo ljena ravno dva kvadratna korena? Če
dovolimo le enega , je naloga pr ela hka in zato ne preveč zanimiva. Če
pa dopustimo tri korene (ali morda celo kakšnega več) , pa je različnih
oblik izrazov, ki jih lahko sestavimo iz nji h , že kar preveč za "udobno"
reševanje. Omejitev na dva korena je torej ravno pravšnj a , da je naloga
za nimiva, a ne pretežka .
Ena od možnosti , ki bi jo morda tudi lahko dopustili v nalogi , bi
bi la upor aba višjih korenov, na primer kubičnih, četrtih it d . Naj samo
omenim, da je najboljši približek za Jr , ki ga lahko dobimo z uporabo enega
kubičnega korena, kar tret ji koren iz 31 (t a je od Jr manjš i za dobri dve
desettisočini) . Seveda pa bi bilo to še vedno samo iskanje približka, saj
števila Jr ni moč izrazit i s končnim številom osnovnih računskih op eracij
in korenov nad naravnimi šte vili. Celo več , število Jr je transcendentno,
kar pomeni , da ni ničla nobenega polinoma , katerega koeficienti so cela
(ali pa racion alna] števila . Dokaz tega dejstva je leta 1882 naše l nemški
matematik Lindem ann (in dokaz ni prav preprost) .
Gotovo ste med branjem ugotovili, da številskih primerov, ki sem jih
navede l, nisem i zračunal s svinčnikom in papirjem, pa t udi ne z navadnim
računalom. Up orabil sem osebni računalnik, pri računanju pa sem si
pomagal s programskim paketom Mathematica, ki je med matematiki kar
priljubljen, po leg numeričnega računanja pa zmore še marsikaj drugega.
Martin Juvan