Leto 1579 zapisano kot CIJI:::>LXXIX Vhod v rimskem Koloseju številka 44, zapisana kot XLIIII Znamenita ura Big Ben v Londonu Detajl s stropa cerkve z letnico 1606 zapisano kot MCCCCCCVI Ure z rimskimi številkami I PRESEK list za mlade matematike, fizike , astronome in računalnikarje 28. letnik, leto 2000/2001, štev ilka 1 , strani 1-64 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NOVICE NALOGE REŠITVE NALOG ZANIM IVOSTI, R AZVEDRILO TEKMOVANJA NA OVITKU Geomet rijsk i razrezi (Marija Vencelj ) 6-9 O najmanjšem številu s predpisanim št ev ilom delit eljev (Jo že Grasselli) 34-41 Polprevodniška slikovna naprava (J anez Strnad) 10-17 Kj e vidimo več , na Zem lji ali na Luni? (Marijan P rosen ) 26-28 Stavek se predstavi (Tim Vidmar, Andrej Likar ) 29-3 1 Sp rem enlj ivo število parametrov (Martin J uvan) . . . . . 42-47 Bravo, slovenske mlad e matematičarke in mat em ati ki ! (Iz ur edništ va) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 Matematični plakat (Pe ter Legiša) 28 Ša hovski konj na po lji h kocke (Marija Vencelj ) . . . . . . . . . . . 2 Matematična kr ižanka - P itagor ov izrek (Dragoljub M . Miloševi č , prev . Marija Vencelj) 3 Labirint i na poliedrih (Izidor Hafn er ) 4-5 Zanimiva nap aka - namig st r. 17, reš. st r. 28 (To maž Pisan ski ) 5 Številska izpolnj evan ka s sime t rijo - Re šitev iz XXVII , P -6, st r . 322 (Marija Vencelj ) 31 Elipsa , parabola in pr avokotni t ange nti - Rešitev iz XXVII , P- 6 , str. 322 (Marko Razpet ) 52-54 Trinaj st deliteljev - Rešit ev iz XXVII , P- 6 , str. 322 (Marija Ven celj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Rimske št ev ilke (Mojca in Matija Lokar) 18-25 Križanka "Vrst e ugank" (Marko Bokalič) 32-33 Računanje in nogom et (J anez St rn ad) 48-51 36. tekmovanje za Zla to Vegov o pr izn anje (A leksand er Potočnik) 55-56 20 . dr žavno tekmovanje iz fizike za osn ovnošolce (Nada Razp et ) 56-59 44 . matematično t ekmovanje srednješolcev Slovenije (Ma tjaž Željko ) 59-61 38 . fizika lno tekmovanje srednješolcev Slovenije (C iril Dom in ko) 62-64 CC D posnetek spira ine ga la ksije M8 1 (posnel Bojan Dinti- njana) . Glej tudi članek Po lprevodniška slikovn a nap rava na str. 10 1 Slike k članku Ri mske št evilke na st r. 18 II , IV Za vsakogar nekaj I ŠAHOVSKI KONJ NA POLJIH KOCKE Z nalogo, kako vodit i šahovskega konj a po poljih običajne šahovnice, da bo na vsako od njen ih 64 polj 'stopil' natanko enkrat , so se v zgodovini razvedrilne matem atike veliko ukvarj ali . Za sp remembo si oglejmo nekoliko drugačno nalogo. Na mesto šahov- ske deske imejm o kocko dimenzije 4 x 4 x 4, ki jo sestavlja 64 enako velikih kock. Kocke pomen ijo posamezna polja , na katerih se konjiček lahko ustavi . Poenostavlj eno lahko vzamemo, da skozi vsako po lje potekajo tri paroma pravokotne ravnine , vzpo redne mejnim ploskvam velike kocke.' Iz posameznega polja lahko preide konj v drugo polje po pravilu gibanja šahovs kega konj a in sicer po katerikoli od pripadajočih t reh ravnin . Ni t ežko videt i, da imamo iz 8 vogalnih po lj po 6 izhodov, iz 24 robnih polj , ki niso vogalna , po 8, iz nerobnih polj na stranicah kocke po 10 in iz 8 povsem notranjih kock po 12 možnih izhodov . Poiskati vse možne poti , pri katerih bi konj prešel vsa ko polje kocke natanko enkrat , je torej zagotovo za nimiva in zahte vna naloga. Zato vzemimo nalogo bolj za zabavo, kot zares , in si pot do vsaj ene rešit ve oljašajmo s ponarodelo pesmi co pesnika Sorškega polja . (Ker je naš problem tridimenzionalen , papi r pa premore le dve dimenziji , smo kocko 4 x 4 x 4 ' razrezali' na 4 plasti s po 16 kockami , ki jih predst avljaj o kvadrati na naslednji skici.) 1. plast 2. plast so i ves pri mov šel va co mel vat. do za je span ljub noč 3. plast joj ljub če l ček za jl' če čno ca o ma jo Nnš ka t. mo več nar ši je ru a ko Naš mo ž ni nll od ček šel je vsa ujel ko 4. plast no nil ne je bo Zbo be je zvo več la va le zdra dan Ile Marija Vencelj I Za vsakogar nekaj MATEMATIČNAKRIŽANKA - PITAGOROV IZREK VODORAVNO: 6 7 1 8 2 9 I I 4 5 3 2. Površina kvadra z robovi 12, 13 in 30.14. 3. Ploščina pravokotnega trikot- nika s hipotenuzo 40 in ostrim kotom 22°30' (vzemite, da je v2 = 1.41) . Ploščina trikot- nika s spodnje slike . c 34 ~20 ~ Ji D B 4. Stranica enakostraničnega trikotnika s ploščino 25V3. Telesna dia- gonala kvadra z robovi 3, 4 in 12. 5. Višina pravokotnega trikotnika s katetama 60 in 80. 1. Višina enakokrakega trikotni- ka z osnovnico 14 in krakom 25. NAVPIČNO: 1. Ploščina kvadrata nad eno kateto pravokotnega trikotnika s hipote- nuzo 91 in drugo kateto 90. 2. Višin a enakokrakega trapeza s pravokotnima diagonalama in s ploš- čino 4. 6. Obseg kvadrata zdiagonalo 7V2. Ploščina trapeza z diagonalama 25 in 26 t er višino 24. 7. Stranica romba z diagon alama 80 in 18. Ploščina pravokotnika z obsegom 118 in produktom diagonal 2845. 8. Kvadrat višine pravokotnega trikotnika, če sta pravokotni projekciji katet na hipotenuzo enaki 3 in 311. 9. Dol žina t etive kro žnic e s premerom 10, če je središčna razdalja te- tive 4. Dragoljub M . Milo šeoič, prev. Marija Vencelj Za vsakogar nekaj I LABIRINTI NA POLIEDRIH Dana je mreža geometrijskega te lesa, katerega mejne ploskve so še dodatno razdeljene na manj še dele. Povezati moramo črno in sivo točko na telesu . Pri tem lahko iz enega dela preidemo na sosednji del , če med njima ni pregrade, ki je na sliki označena z deb elo črto . Predstavljamo vam primer labirinta na mreži dodekaedra in njegovo rešitev: Za vsakogar nekaj Sami pa rešite naslednje štiri labirinte (na tetraedru, oktaedru, kocki in še enega na dodekaedru) . • • Izidor Hafner ZANIMIVA NAPAKA V prispevku Obdobje zanimivih datumov, Presek 27 (1999-2000), na str. 354-355 , je prišlo do zanimive napake. Bralce vabimo, da jo poiščejo . (Namig na str. 17.) I I I I I I j....-Y f----- ~ J.....- v J.....- v LJ f----- ~J.....- I II 1 Mat ematika I GEOMETRIJSKI RAZREZI Geometrijski razrezi sodijo med naloge rekreativne geometrije . Navadno je podan ravninsk i lik ali skupina likov, ki jih moramo razrezat i na manjše like tako, da lah ko natanko iz vseh dobljenih kosov br ez pr ekrivanja sest avimo drug pr edpisan lik ali skup ino likov. Za rezultiraj oči lik oziroma like je praviloma podana le oblika, saj je njihova ploščina določena z izhodnimi liki. Število razrezov prvotnih likov je lah ko z zahtevami naloge natanko določeno , navzgor omejeno ali poljubno. Rezi so lahko bodisi sa mo ravni bod isi poljubnih obl ik. Najpreprostejši primer je, če naloga dovoljuj e en sam ravni prerez . V manj zaht evnih revijah so naloge rekr eat ivne matemat ike večinoma oblikovane tako, da vnaprej zagotavlja jo, da rešit ev obst aj a. S takim pr ivzetkom je reševanje seveda lažje, pri nese pa tudi manj zadovoljs tva. Ta splošna ugotovitev velja t udi za geomet rijske razreze. Te vrs te nalog ne zaht evajo veliko geomet rijskega znanja; denimo to liko, da zmore mo pr everiti, ali iz dan ega lika sp loh lah ko nar edimo iskan ega. Ne glede na to, ali sestavljalcu naloge verjam emo, da je naloga rešljiva , ali ne, je tak pr everek lah ko koristen. Pogosto nam pokaže pot do rešitve naloge. Po dru gi strani se na rešit ve, dobljene 'na oko' , ne smemo zanesti. Lah ko, da smo sestavili nekaj , kar je le blizu iskanemu liku. Ena od različic sicer zelo znan ega 'prot islovnega ' primera , dobljenega 'na oko' , je na sliki 1. Pravokotni t rikotnik s katetam a 5 in 13 enot smo razrezali na štiri kose, jih nekoliko drugače zložili in spet dobil i pr avokotni t rikot nik s katetam a 5 in 13, v katerem manjka ena kvad ratna enota. Le od kod se je luknja vzela? I I I I I I J....Y f- L..--V J.....- f----- J.....- v 1 1--- Y I? I I I I I I I I Slika 1. Matematika Področje geometrijskih ra zrezov ima dolgo zgodovino. Tako npr. ra zni razrezi kvadrata, t aki, da lahko iz doblj enih kosov sestavimo dva nova kvadrata, daj ejo št eviln e dokaze Pitagorovega izreka. Kako transformirati kvadrat v pravilni petkotnik in pravilni šest kot- nik , je bilo znano na začetku 19. sto letja. Že v stolet ju prej pa je francoski matematik Montuca (1747- 1799) precej te meljito opisal t ransformacije pravokotnika v kvadrat . Na te m področju so razi skovali še Američan Sam Loyd (1844-1911 ) , Anglež Du- deney (1847-1930) in Avs t ralec Lindgren. Nekaj njihovih rezultatov si bomo ogledali v te m sestavku. 1. Najenostavnejši primer je pretvorba pravokotnika 4 x 1 (s stranicama 4 enote in 1 enota) v kvadrat . Gr e z enim samim ravnim prerezorn pravokotnika (slika 2). 11 _ 4 2 Slika 2. Če razmerje stranic pr avokotnika ni natanko 4 : 1, z enim samim ravnim pr erezorn nal oge očitno ne moremo rešiti. 2. Nekatere dru ge pravokotnike lahko z enim samim prerezorn razbi- jemo na dva dela in iz njiju sestavimo kvadrat , če se odpovemo zahtevi, da je rez raven. Če ima npr. pr avokotnik stra nici v razmerju (n + 1)2 : n2, kjer je n naravno število, lahko up orabimo stopnično tehniko. Če vzamemo, da meri ta st ranici (n + 1)2 in n 2 enot, mora imeti končni kvadrat stranico dolžine n(n + 1) enot . Ker je n(n+l )=(n+l)2-(n+l) in n(n+l ) =n2+n , moramo daljšo st rani co pravokotnika skra jšati za n + 1 in kr aj šo povečati za n . To dosežemo t ako, da pravokotnik prerežemo z rezom iz n stopnic z dimenzijama n + 1 in n in dobljena kosa vzdolž reza medsebojno zamaknemo za eno stopnico. Na sliki 3 je prikazan primer za n = 4, to je, preoblikovanje pr avokotnika 25 x 16 v kvadrat 20 x 20. Podobno potekajo pr etvobe 9 x 4 -+ 6 x 6, 16 x 9 -+ 12 x 12, 36 x 25 -+ 30 x 30 itd . Is Matematika I Hi 20 Slika 3. Za n = 1 je razmerj e (n + 1)2 : n 2 enako 4. To je največj e možno razmerje te oblike. Stopnici sta široki 2 enoti in visoki 1 enoto. Gre torej za primer ravnega reza na sliki 2. Če n narašča, se število sto pnic veča, velikost stopnic pa se glede na velikost pr avokotnikovih st ranic manj ša. Tudi razmerj e (n + 1)2 : n2 se z naraščajočim n manjša in se približuje 1, ko gre n v neskončno . V mejn em primeru je začetni pravokotnik kvadrat , višina stopnice je enaka O, ustrezni rez pa kar diagonala kvadrata (slika 4) . Slika 4. 3. Z razrezi na tri ali več kosov lahko res1mo nalogo, če sta stra nici pr avokotnika v ra zmerju , ki je večje kot 4, ali če je razmerje manj še od 4 in različno od (n~2l)2, kjer je n E lN. Če je razme rje stranic pr avokotnika x : y =1 (n~l)2 , n E lN, in je ~ < 4, lahko rešimo nalogo z razrezom pr avokotnika na t ri kose, kot kaže slika 5.1 S slike je očitno, da je razre z dober , če je kvadratova stranica a večja od polovice daljše izmed pravokotnikovih stra nic. Ta pogoj je vedno izpo lnjen , sa j je a = vxy > J4x 2 = 2x . 1 Dolžin o kvad rat ove st ranice a = vxy lahko natančno kon struiramo s šes t ilo m in ravnilom iz pravokotnikovi h stranic x in y z upor a bo viši nskega a li Evklidovega izreka v pravokotnem trikotn iku . I Mat ematika cl cl y a a = JXfj Slika 5. Seved a lahko rešimo nal ogo tudi z razrezom na več kosov. Slika 6 pri- kazuj e dve različni pr etvorbi pr avoko tnika 5 x 2 v kvadr at V'1O x V'1O z razrezom na,;:Si JW d VTO {2Y10 5 VTO Slika 6. Nalog e za ~ > 4 z razrezom pr avokotnika le na tri kose ne mo- remo rešiti . Potrebnih je več kosov . Odvisnost njihovega števila od razmerja dolžin pravokotnikovih stranic lahko ugotovite s pomočjo slike 7. x --- a = JXfj Slika 7. Marija Vencelj Fizika I POLPREVODNIŠKA SLIKOVNA NAPRAVA V zadnj i številki prejšnjega let nika P reseka smo okvirno pojasnili de- lovan je nekaterih po lprevodniških elementov. Polprevodniška slikovna naprava ne bo tako močno vp livala na naše življenje, kot je tranzistor. Vsee no pa je dovo lj značilna za po lprevodniško elektroniko in prinaša dovolj novosti, da j i je vredno naklon iti poseben zapis. Začnimo s preprosto prispodobo. Mislimo si, da bi radi ugotovili, koliko vode dobijo pri namakanju s škropljenjem de li po lja . Po po lju razpostavimo mrežo enakih posod in za določen čas vključimo škropljenje. Nato poženemo tekoče trakove, ki po mikajo posode. Trakovi se ubr ano gib ljejo od nas (in se vračajo v smeri proti nam). Na nj ih so posode ur ejene v vrste (slika 1) . Na oddaljenem robu prevzame posode tekoči trak , ki se pomika z des ne na levo. Na levem robu tega traku je tehtnica, s katero stehtamo posodo za posodo. Potem ko zapored st ehtamo posode s traku , ki potuje proti levi , se trakovi z vrstami posod pomaknejo za en korak , da vrhnj i t rak proti levi prevzame posode iz naslednje vrste . Postopek pona- vljamo, dok ler ne stehtamo vseh posod. Začetno lego posode določimo po tem, kdaj posoda pride na vrsto za tehtanje. Nazadnje se posode vrnejo v svoje začetne lege, spet za določen čas vklj učimo škropljenj e in postopek po novimo. 0) a) o O CD O O O O O O d) _ '1 o CD O O O O O 4 4 (j 5 b) O O O O O O O O O e) O O O O O O c • O O O O O 10 O CD r) O O O O O O 2 2 2 Slika 1. Zaporedni koraki od a) do f) v prispodobi s posodami z vodo na tekočih trakovih: 1 posoda z vodo ustreza slikovnemu element u , 2 tekoči trakovi v smeri od nas , kanali, 3 vodoravni tekoči trak, register , 4 zapora, 5 vrat a , fi prehodna vrata , 7 t eh tanje vode, ojačevalnik za m erjenje naboja. Prispodobo st a uporabila J er ame Kristian in Mo riey Blouke let a 1982 v članku v reviji Scientific Amer ican. Fizika 111 Zdaj preidimo k silicijevi ploščici in jo osvet limo . Vodi v zraku ust reza svetloba in njenim kapljicam obroki energije, fotoni. Fotoni povzročij o , da se v ploš čic i sprostijo nosilci nab oj a enega znaka. Nj ihovo število ali njihov naboj ustreza masi vode v posodi . Z zbranim nab ojem ravnam o podobno, kot smo ravnali v pri spodobi z vodo v posodah . Posodi v začetni legi ustreza slikovni element, pixel. Slikovne elemente določajo elekt rode, vrata, ki po ploščici pot ekajo od leve proti desni. V' tej smeri so slikovni element i urej eni v vrste. V smeri od nas slikovni element i sestavljajo stolpce, kanale. Kan al od levega in desnega soseda loči zapora, ki preprečuje , da bi naboj odtekel levo ali desno. Nabo je vrst korak za korakom pomaknemo v bolj oddaljeno vrsto , kar smo v pri sp odobi dosegli s tekočimi t rakovi, ki so se gibali od nas. Nato v vrhnji vrsti pomaknemo nab oje proti levi in jih na levem robu v ojačevalniku drugega za drugim izmerimo. Vrsta, ki ustreza tekočemu t raku proti levi, register, je že zuna j slikovnega dela ploščice za izolirnim delom ali prehodnimi vrati . napetost 2 ; , ; '~r-l~ !~ '!'; ' ~ 1 1 , , cas _______________ 116 2/6 316 4/6 516 perioda čas Slika 2. Skupine elekt ro nov po silicijev i ploščici pomi kamo s sklop itvijo nabojev tako , da ur avn avamo zunanje električne napetost i vrat prot i osnovi ploščice . Leva risba kaže časovno odvisnost napetost i na t re h skupinah vrat 1, 2, 3 proti osnovi plošč ice . Desna risba kaže shematično razp oreditev vr at na ploščici, pl as t silicije veg a dioksida kot izola torja i, tanko območje n in osnovo p. Vrisan je še kr aj evn i po te k poten cialne energije elektrona s potenc ia ln im i j amami j , v ka terih se zbe rejo prevodniški elektroni . Od zgoraj navzdolsi sled ijo t renutk i v časovnih razmikih po šestinah pe riode . Fizika I Potem ko drugega za drugim izmerimo naboj e v registru, vrst e nabojev pom akn emo za en korak, da register prevzame naboje iz naslednje vr st e. Postopek ponavlj amo, dokler ne izmerimo vseh nabojev . Iz kat ereg a slikovnega elementa izvira kak naboj , določimo po te m , kd aj pride na vrsto pri merj enju. P otem ko poskrbimo, da v ploščici ni več nabojev, vse skupaj začnemo znova. Za določen čas vključimo osvetlitev in t ako dalj e. Nabo j iz slikovnega eleme nta v sosednj i eleme nt pom aknemo v želeni smeri s postopkom, ki mu pr avimo sklopitev nabojev . Zato polprevo- dniško slikovn o napravo imenujemo naprava na sklopite v nabojev, charge- coupled device, CCD. Pred en se lotimo sklopitve, povejmo nekaj o nabo ju, ki ga sprosti svetloba . Osnova silicijeve ploščice je polprevodnik p , v katerem so vr zeli večinski nosilci nab oj a. Nad njo je območje n, ki skupaj z osnovo sestavlja diodo. Svet loba v območju n izbij e elektron iz valenčnega pasu in nastaneta prevodniški elekt ron in vrzel. Vrzel odt ava na območje a) b) 3 c) T 1 1 II II I I • •• ••• ••• •• • •• •• •• I I I I I I • •• ••• ••• •• • •• •• •• G II I I II • •• • •• ••• •• • •• •• •• 1+- 1-+1 d) e) 2 4 2 4 2 f) H 1: 1 1=1 ••• •• • •• •• •• ·11:11 :11 ••• •• • •• •• •• II: II: I I ••• •• • •• •• •• Slika 3. Slikovni element in eleme nt registra imata po tri dele , t ak o da je bil a prispodoba na sliki 1 preveč poenostavljena: 1 slikovni element , 2 kan al i, 3 register , 4 za pora, 5 vr ata, 6 preh odna vra ta, 7 ojačevalnik za merj enj e naboja. Svet lo so nakazan i de li sli kovnih eleme ntov z nizko potencialno ene rgijo , to je poten cialne jame, osenčeno pa de li z visoko potencialno energijo , t o je ograde . Prevodniški elekt ron i se zbe rejo v potencialnih jam ah , ki s časom spreminjajo svojo lego. I Fizika (§3 2Q 2 :; c) d) 2 :l G fi 2 2 (§ 3Q 3 1 e) f ) 4 5 G G (§, IQ 1 2 p in ne sodeluje pri poj avih , ki nas zanimajo in v katerih izkoristi mo le prevod niške elekt rone. Pomembno je, da par ne nastan e blizu površine, ker bi se lah ko elekt roni vezali nanjo. Kjer je svetlobn i tok gostejš i in pade na površinsko enoto več fotonov, se nabere več elekt ronov. Od daleč spominja po jav na fotoefek t , pri katerem kr atkovalovna svet loba izbija prevodniške elekt rone iz kovine. "Fotoefekt" v polp revodni ku ima svoje posebnosti , denimo to, da je za sprost itev elekt rona potrebna v povprečju manjša energija kot pri fotoefektu v kovini . a) b) O b Slika 4. Pomikanje skupin elekt ro nov v slikovnih element ih kanalov in registra s sklop itvijo nab ojev pon azor im o s prispodobo . Oj nica premika bate v povezanih va ljih , t ako da se tekočina pomika proti desni , če kolo na ojn ici vrtimo kot desni vijak. Od risb e do risb e zasučemo kolo za 60°, to je za šestino periode. Tekočina v valj ih se pomika proti desni , ko kolo vrtimo tak o , kot se vrti desn i vijak. Vrtenju kolesa ustreza nihajoča napet ost in nj en nihajni čas seže navzd ol do stomilijon ine sekunde. Risbi f) sled i zop et a l . P risp od obo je uporabil G ilbert Am elio v članku v Scient ific Amer ica n let a 1974. Fizika I Elekt ron, ki se sprosti v območju n, se ujam e v bližnjo potencialno jamo. To je območje z nizko potencialno energ ijo , ki ga ustvarimo z napetostjo na vratih , to je na elekt rodah, proti osnov i ploščice. Elektron ima negativni naboj , tako da je pot encialn a energija nizka na območju , na kat erem je nap etost proti osnov i ploščice pozitivn a. Vsak slikovni element je v sme ri pomikan ja naboja z elekt ro dami, ki smo jih imenovali vrata, razdeljen na tri dele. V dveh je potencialna energ ija elekt rona visoka in t i delujeta kot ograji, v tretj em pa je nizka , in ta deluj e kot potencialn a jam a (slika 2) . V te m pogledu je bila pri spodoba s posodami nekoliko preveč poenostavljena (slika 3) . Z ur avnavanj em nap etosti na elekt rodah pomikamo zbrane elekt rone v korakih v želeni smeri. To je triie ztii način delovanja naprave. Tudi pri t em prid e pr av pr isp odoba. Mislimo na trojice povezan ih batov v večji skupini, ki jih poganj amo s kolesom na ojnici (slika 4) . Izdelava slikovnih nap rav je dokaj zaplete na. Polprevodniku v talini dodaj o primes trivalentnega eleme nt a in vzgojij o velike kristale silicija s premerom več kot deset cent imetrov. Iz t ega območja p z zmern im električnim uporom izrežejo tanko ploščico , iz katere izdelajo več slikovnih naprav. Najprej naredij o ograd e kan alov, tako da v 5 p,m širokih vzporednih območj ih v silicijevo kristalno mr ežo vgradij o atome t rivalent nega bor a. (1 p,m je milij oni na metra ali tisočina milimet ra. ) Ploščico pr ej prevlečejo s plastj o za svet lobo občutlj ive snovi in jo osve- t lijo skozi "masko", t ako da ta območja niso osvet ljena, območja med njimi pa so. Na območj ih med ogradami svetloba polimer izira snov, da se pozneje v to pilu ne razt opi. Na območjih ograd pa se neosvetlj ena snov v topilu raztopi. Na teh območjih dosežejo, da se v silicijevo kri st aln o mrežo vgradijo atomi bora , in območja še prevlečejo z 1 usu. deb elo plastjo silicijevega dioksida. Post opek s snovjo , ki je občutljiva za svetlobo, in to pilom, jedkanje, pri katerem na določenih območj ih odstranijo silicijev dioksid , in druge postopke večkrat ponovijo. V enem od njih naredijo kan ale s tem, da na območj ih med ogradami v silicijevo kri st alno mrežo vgradijo atome petvalentnega fosfora. Njihova gostot a pr eseže gostot o prvotne trivalentne primesi in nastane 0,2 do 0,3 p,m deb elo območje n. Na površini ploščice ustvarijo 0,12 p,m deb elo plast silicijevega dioks ida kot izolacijsko podlago za elekt rode. Elektrode položijo drugo za drugo v t reh med seboj izolir anih, po 0,5 p,m debelih plasteh iz polikristalnega silicija. Tega sestavlj aj o drobn i kristal čki, I Fizika usmerjeni v vse mogoče smeri (medtem ko je ploščica iz enega samega velikega kristala). V polikristalni silicij vgradijo precej atomov fosfora, tako da dobro prevaja. Nazadnje naparijo na nekatere dele ploščice plasti aluminija, ki delujejo kot elektrode. Prej na določenih delih odjedkajo silicijev dioksid , da aluminij dobi stik s polikristalnimi elek- trodami. Na aluminijeve elektrode priključijo zunanje vodnike. Opisane slikovne naprave imajo pr ed sorodnimi napravami več pred- nosti. V fotopomnoževalki, ki izkorišča fotoefekt na tanki kovinski katodi v vakuumu, je treba v povprečju pet ali več fotonov, da se sprosti en elektron, v slikovni napravi pa pet fotonov sprosti celo štiri elektrone. V fotografski plošči in očesu zaznamo kvečjemu vsak deseti foton (slika 5). 0,90,8 . . . . . . i . . . . 0,7 . ~ . ·········l ", _ ,. 0,5 0,60,40,3 O, 1 1--_-'--_--'-_--l.._----'---:....----'L...-_-'--_-'-_~_ _+ 0,2 10 - . 100 % Slika 5. Kvantni izkoristek slikovne naprave in fotopomnoževalke v odvisnosti od valovne dolžine svetlobe . Kvantni izkoristek je razmerje med številom izbitih eletronov in številom fotonov v vpadni svetlobi z določeno valovno dolžino. Kvantni izkoristek 10 % pomeni, da v povprečju vsak deseti foton izbije elekt ron . Kvantni izkoristek očesa in tudi fotografske plošče ocenimo posredno. Na navpično os je nanesen kvantni izkoristek v odstotkih, na vodoravno pa valovna dolžina vmikrometrih, 1 J.lm = = 1000 nm. Fizika I Slikovna naprava je potemt akem veliko bolj občut lj iva od vseh drugih mer iln ikov. Rezult a t , ki ga da slikovna naprava , je sorazm eren z gos toto svetlobnega toka , kar za fotogr afsko ploščo ne velja. S slikovno napravo je mogoče na sliki hk rat i zaz nati močan in veliko šibkejši izvir. Vrhu tega je mogoče podatke iz slikovne naprave neposredno voditi na računalnik, j ih obdelati, shranit i in zop et priklicati . Ne gre pozabito še na eno pomem bno prednost pred fotogr afsko ploščo . Astronomi so kdaj po noči opazovanj pri razvij anju neprijetno presenečeni ugotovili, da iz t ega ali onega razloga slike na ploščah niso bile upor abne. Pri slikovni napravi pa lahko sproti presodijo, ali so pod atki uporabn i in ustrezno ukr ep aj o. Slika 6. P olprevodniška slikovna naprava družbe za kamere in merilnike Fai rchi ld iz le t a 1973 S 100 kr a t 100 slikovni mi elem ent i. Nap ravo z velikostjo 3 mm krat 4 mm so izdelali v raz iskova lne na mene za t elev izijsko slikovno kamero. Mimogred e omen imo še lastnosti sla b ih d eset let ml aj še naprave dr užb e Texas In st rument s z 800 kr at 800 slikovnih elementov : slikov ni element je kvadrat s st ran ico 15 J1.m, slikovni del naprave kvadrat s st ran ico 12, 2 m m in nap rava v ce lot i kvad rat s stran ico 17,8 m m . V taki napravi se naboj iz na jbolj oddaljen ega slikov nega elementa pomakne 4800-krat, v obeh pravokotnih smere h po 3 ·800 . Da ne b i izgu bili več kot desetine sproščenih elektro nov, pri vsa ki premest itvi ne smemo izgubiti več kot d va ele ktrona na sto tisoč . Fizika V slikovn i napravi moti termično gibanje, za radi kat erega se po na- ključju kdaj nabere več elek tronov, kdaj manj . Ta vpliv zmanjšajo t ako, da napravo hladijo , če je potrebno, električno ali celo s tekočim zrakom. Silicij slabo prepušča vijolično in ultravijolično svetlobo. Če želijo zaznat i tudi to svetlobo, osnovo silicijevega kr istala stanjšajo in napravo osvetlijo od spodaj, ne od zgoraj . Slikovna naprava pa za fotografsko ploščo zaostaja v dveh pogledih. Fotografske plošče so lahko več desetkrat večje. Poleg tega so zrnca v njih, ki počrnijo, veliko manjša kot slikovni elementi in jih veliko več pride na kvadratni centimeter. Polprevodniško napravo sta si let a 1969 zamislila George Smith in Willard Boy le v laboratoriji h ameriške družbe Bell in za to leta 1999 dobila nagrado ameriškega inšti tut a elektriških in elektronskih inženirj ev . Sprva sta želela izde lati elek tronsko vzporednico magnetnega pomnilnika za računalnik. Kmalu pa so ugot ovili, da se naprava veliko bo lje izkaže pri sprejemanju slik in jo danes uporabljajo le v ta namen. Leta 1973 so izdela li prvo napravo z deset tisoč slikov nimi elementi (slika 6). Istega leta so v ameriškem vesoljskem uradu NASA in v nekaterih računalniških družbah pomislili na prednosti naprave v astronomiji. V naslednjih leti h so postopno izdelali vse večje naprave. Današnje navadno sestavlja po 2048 krat 2084 slikovnih elementov, le izjemoma več. Največ jih upora- bljajo v astronomiji, v kateri omogočijo, da z manjšimi astronomskimi daljnogledi dobijo slike, kot jih je bilo s fotografskimi ploščami mogoče dobiti le z največjimi, ali z enakimi daljnogled i slike v veliko krajšem času . Potrebna pa je zahtevna računalniška oprema, strojna in programska (slika na naslovni strani) . Polprevodniške slikovne naprave uporabljajo za opazovanje vesoljskih teles na umetnih satelitih, na primer na vesoljskem daljnogledu Hubble. Uporabljajo jih t udi v televizijskih snemalnih kame- rah in v digitalnih fot ografskih aparatih, ki že te kmujejo s fotografskimi aparati na film . Janez Strnad ZANIMIVA N APAKA - N amig V prispevku trdimo, da je bil zadnji popolnoma lihi datum 31.11.1999 in da bo naslednji datum s to last nost jo 1.1.3111. (Rešit ev na str. 28). Zan im ivosti - Razvedrilo I RIMSKE ŠTEVILKE Verjetno ste se že vsi srečali z rimskimi št evilkami. Čeprav v Evropi že vsaj pol tisočletja za zapis šte vil v glavnem uporabljamo arabske šte vke, r imske št evke srečamo še danes . Tako so z nj imi označeni t arok i, pogosto j ih vidimo na številčnicah ur , kralji so običajno "oštevi lčeni" z rimski mi šte vilkami (Ludvik XIV) , prav tako In t el označuje različice svoj ega pro- cesorja Pentium z rimskimi št evilkami. Tudi večina filmov ima let nico nast anka zapisano z nj imi. Oglejmo si torej nekaj znanih in morda manj znanih dejstev o rimskih šte vilkah . Najbo lj pogosto za zapis števil uporabljamo 7 znakov: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 S pomočjo kombiniranja t eh znakov pridemo do zapisa drugih št evil. V najbolj enostavni obliki jih le nizamo drugega ob drugega in seštevamo njihove vrednosti. Tako velja: II 2 VI II 8 XXX 30 CCXXII 222 P ri tem mor amo na vsakem koraku zapi sa vedno up or abi ti največjo mo žno vr ednost. Tako 15 predstavimo z XV in ne na primer z VVV ali XlI I II . Iz t ega sledi, da gredo v za pisu z leve na desno rimske št evke vedno od največje proti najmanjši . P retvarjanje rimskih št evil v nam bolj običajni zapis je enos t avno. Vsak simbo l nadomestimo z njegovo vrednostjo in vr ed nosti seštejemo: XXVI : CVI: CCLXVII : MMMCCLXXXI : 10 + 10 + 5 + 1 = 26 100 + 5 + 1 = 106 100 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 267 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100 + 50 + + 10 + 10 + 10 + 1 = 3281 Zanimivosti - Razvedrilo Kljub pravilu, da m oramo vedno uporabiti največj i m ožni simbol, b i b il zapis določenih št evi l še vedno lahko precej dolg. Tako bi z uporabo t ega pravi la število 499 zapisali kot CCCCLXXXXVIIII. Zato so Rimlj ani uporablj ali še eno pravilo: črka z m anjšo vrednostjo, zapisana levo od večje, pomeni , da od večj e vrednost i manjšo vrednost odštejemo. Tako 9 po rimsko zapišemo kot I X, kar je 10 minus 1, in ne kot VII II; 29 zap išemo kot XX IX in 44 kot XLI V. Mislili bi si, da bi število 499 lahko zapisali kot ID, a ga ne smemo. P ri zapisu z odštevanjem se moramo namreč držati še t reh pravil: Za odštevanje lahko uporabljamo le I , X in C. V, L in D na t a način ne moremo uporab it i, kot seveda tudi M ne , saj je to znak z naj večjo vr ednostjo . Tako števila 45 ni dovoljeno zapisati kot VL; pravilno 45 zapišemo kot XLV. Levo lahko postavimo le eno manjše število; tako 19 zapišemo z XIX, 18 pa ne moremo kot XIIX. Pravilo je logično , saj bi si zapis XIIX lahko razlagali bodisi kot 10 - 2 + 10 bodisi kot 11 + 9. Število , ki ga odštejemo, ne sme biti manjše kot desetina vrednosti števila, ki ga zmanjšuj emo: tako I lahko postavimo levo pred V in X, ne moremo pa ga postaviti levo od L, C, D in M. Zato je 499 CDXCIX in ne ID. 4 2 6 8 Zanimivo je , če pogledamo, koliko znakov potrebujemo za zapis števi - la z r imskimi številkami. Za 1,2,3 ,4,5,6 , . . . potrebujemo 1,2,3 ,2,1,2 ,3, 4 ,2 ,1,2,3,4, .. . znakov. Če vse skupaj narišemo, dobimo zanimive grafi- kone (slika 1). 5 4 3 2 1 5 10 15 20 50 100 150 200 12 10 8 6 4 2 500 1000 1500 2000 Slika 1. Šte vilo rimskih št evk v zapisu števil. Zanimivosti ~ Razvedrilo I Vendar vseh pravil za za pis rimskih števil niso vedno upošt evali . Tako je npr. na znamenitem rimskem Ko losej u vhod številka 29 označen kot XXVIIII, vhod 54 pa kot LIIII , zanimivo paje, da so pri oznakah vhodov od 40 do 49 uporabili zapis XL. Tako je vhod številka 44 označen z XLIIII. Kaže torej, da so pravila, kdaj uporabljati odštevanje in kdaj ne, prepuščena t renutnemu "navdihu" uporabnika . Na neki rimski cerkvi je vidna označba MCCCCCCVI za 1606 in ne MDCVI , kot bi pričakovali . V Vatikanskem muzeju so tako imenovane Borg ijske sobane označene z rimskimi številkami. Toda za sobo številka 39 pri de soba XXXX , potem XXXX I in tako naprej . Prav tako je na številčnicah ur 4 pravilom a zapisana kot 1111 in ne kot IV , a na znamenit em Big Benu v Londo nu je označba IV. Zapisana je z malimi črkami , torej kot i v (za natančne - uporabljena je gotica) . Tudi x pogosto srečamo v "mali" različici - ne pa ostalih črk. L, D in Mso vedno zapisane kot velike črke. V srednjeveški h te kstih so rimska števila pogosto zapisovali z malimi črkami. Pri t em se namesto v pogosto po javi u , zadnj i i pa je zamenjan z j. Tako je npr. 18 zapisano kot xu i i j . Po leg up orabe malih črk za 1 , V in X pa srečamo še drugačne zapise. Tako je D včasih predstavljen kot 1, ki mu sled i obrnjeni C: 8 . Torej bo zapis za 500 (D) t udi 18 . P rav tako je Mpogosto predstavljen kot C, ki mu sledi 1 in ob rnjeni C - CI 8. Tak zapis izhaj a iz tega, ker je bilo tisoč prvotno predstavljeno z grško črko fi ( 1 obstaja neskončno naravnih šte vil, ki imaj o m delit eljev; najmanjše med šte vili, ki premo rejo natanko m delit eljev , označimo z A (m) . Št evilo m si mislimo zapisano v obliki (9) . Če je s = 1, je m = gI ; ker je gI praštevi lo , im a enačba (10) le rešitev al = gI - 1. Vse rešitve enačbe d(x) = gI so tako x = pQ1 - r, kjer je P prašt evilo; najmanjše št evilo med temi x je 2q1 - l in velja A( gI ) = 2Q, - 1 ; g je praštevilo . (11) Maternatika Če je s = 2, je TIl = q:q: ali pa TIl = q1 q2 pri praštevilih q1 , q2 in q1 > qz- Za TIl = q1q1 dobimo iz (10), da je al = qi -1 ali pa al = q1 -1, az = q1 - 1. Enačba (5) ima tedaj rešit ve '1i - 1 '1, - 1 '1, - 1 ( )P1 ,P1 P2 ; P1 , P2 sta različni pr ašt evil i. 12 Za TIl = q1q2, q: > q2 , je v (10) ali al = q1q2 - 1 ali pa al = q1 - 1, a2 = qz - 1. To daje za enačbo (5) rešitve Najmanjši med št evili (12) sta 2'1i - 1 in 2'1 ' - 1 ·3'1, - 1. Ker je q1 2 2, je in št ev ilo na koncu je najmanjše med št evili (12) . Zato je (14) je in tako A(q1q2) = 2'1, - 1.3'12- 1 . Ko prime rjamo (14) in (15), vidimo , da je (15) (16) Na po dalgi ob razcev (11) in (16) je sestavljena preglednica A(2) = 2 A(3) = 22 = 4 A(4) = A(2 · 2) = 3·2 = 6 A(5) = 24 = 16 A(6) = A(3 . 2) = 22 ·3= 12 A(7) = 2G = 64 A(9) = A(3 . 3) = 22 . 32 = 36 A(10) = A(5 . 2) = 24 . 3 = 48 (17) Najmanjše od št evi l v množicah (7) je 23 · 3 in zato A(8) = A(2 . 2 . 2) = 23 ·3 = 24 . (18) Matematika I Dodajmo še dva zgleda. Po kratk em računu najdemo A (16) = A (2 . 2 . 2 . 2) = 23 . 3 . 5 = 120 , po nekoliko daljšem pa (19) A(60) = A(5 . 3 . 2 . 2) = 24 . 32 · 5 · 7 = 5 040 . (20) Najma njše nar avno število s 16 delit elji je torej 120, s 60 delit elji 5 040. 4. Zaznamujmo s p~ = 2,p; = 3,p~ = 5 , p~ = 7, , p~, . . . zapore- dn a pr aštevila . S šte vilom m = qI q2 . . . qs, kjer so qI , q2, , qs praš tevila in je qI ::::: q2 ::::: . . . ::::: qs, je določeno število Iz (21) na jd emo (21) B (2) = 2 B(3) = 22 = 4 B (4) = B (2 . 2) = 2 . 3 = 6 B (5) = 24 = 16 B(6) = B(3 . 2) = 22 ·3= 12 B(7) = 26 = 64 B(9) = B (3 . 3) = 22 . 32 = 36 B (lO) = B (5 . 2) = 24 . 3 = 48 Dobili smo enake rezu ltate kot v (17); za m = 2,3 , 4, 5,6,7, 9, 10 je to rej B(m) = A(m) . V splošnem pa št evili B(m) in A(m) nista enaki. Po (18) je A(8) = = 24, toda B (8) = B(2 . 2 . 2) = 2 . 3 . 5 = 30. Število B(m) ima m deliteljev; to pove opr edelitev (21). Ker je A(m) najma njše nar avno število z m delite lji, je zmeraj B (m) ::::: A(m) . (22) Ni težko pokazati, da obstaja neskončno t akih m , za katere v (22) velja enačaj . Za vsako praštevilo q je zaradi (21) in (11) B(q) = A(q) ; q je praštevilo. Pri prašt evilih qI, qz , kjer je qi ::::: qz , je po (21) in (16) (23) B(qIq2) = A(qIq2) , kjer sta qI , q2 praštevili in qI ::::: qz . (24) Mat ematika Ker je praštevil neskončno , imamo v (23) in (24) neskončno naravnih števil, ko v (22) velja enačaj . Niso pa s te m op isani vsi takšni m . Naravno število, pri kat erem v (22) velja neenačaj in je to rej B (m ) večji od A(m), se imenuje izj emno. Da je t udi izjemnih števil neskončno , kažejo naslednji primeri . Iz ocene 3 . 5 . 7 . 11 = 1155 > 33 . 5 . 7 = 945 dobimo pri praš t evilu q po (21) B (q · 2 . 2 . 2 . 2) = 2q- 1 · 3 · 5·7 ·11 > 2q- 1 . 33 . 5 . 7 . (25) Števili na obeh straneh neenačaja imata enako mnogo delit eljev, namreč 16q. Ker je A (q . 2 . 2 . 2 . 2) najmanj še nar avn o število s 16q delitelj i, iz (25) izh aj a B(q · 2 . 2 . 2 . 2) > A (q . 2 . 2 . 2 . 2); q prašt evilo. (26) Na j bo q izbrano praštevilo in P~ najmanj še prašte vilo z lastnostjo (27) Ker je praštevil neskončno , je med njimi neskončno takih , ki so večja od 2q . P ri vsakem danem q zato obstaja p~ . Po (21) upošt evaj e (27) izračunamo B ( t) - 2q- 1 . 3q- 1 . . Iq -l . Iq - l > 2q-1 . 3q-1 . . Iq - l. 2q( q - l )q - . . . P t -l Pt . . . P t -l . Število je na kon cu enako 2q2- 1 . 3q-1 . . Iq-l. . . P t - l in ima qt deliteljev tako kot B (qt ). Zato je B (qt ) > A (qt ) , kje r je P~ > 2q in sta P~ , q prašt evili. (28) Tako v (26) kakor v (28) je zajetih neskončno izjemnih naravnih števil m , ko v (22) velja neenačaj . Seveda so še izjemna števila drugačnih ob lik. 5. Rekli smo, da je A(m ) najmanjše naravn o št evilo z m delit elj i. Zato je d(A (m )) = m . Matematika I Naravno število m, pri katerem je izpolnjena enakost A(d(m)) = m, (29) se imenuje minimalno. Ker pomeni d(m ) število deliteljev za m, lahko (29) preberemo: Naravno število m je minimalno, če ni manjšega naravnega števila s toliko de litelji, kot j ih ima m . Za praštevilo q je d(2q - 1 ) = q; po (11) je potem A (d(2q - 1 ) ) = A(q) = 2q - 1 . Pogoj (29) je izpolnjen in število 2q - 1 , kjer je q praštevilo, je minimalno. Pri praštevilu q ~ 3 iz (2) in (15) najdemo A(d(2q - 1 ·3)) = A(q· 2) = 2q - 1 ·3 in število 2q - 1 . 3 ; q liho praštevilo, (30) (31) (32) je minimalno . Minim alnih števil obli ka (30) je neskončno, prav tako minimalnih števil ob like (32); niso pa s tem izčrpana vsa minimalna števila. Navedirno še dve neskončni množici, katerih vsaka vsebuje le končno mnogo minimalnih števil. Produkt vseh naravnih števil od 1 do n se imenuje n fakulteta in se označuje n!; za naraven n je torej n ! = 1 ·2·3· . . . . (n - 1) . n . Ugotovili so: Število n! je minimalno za n = 1,2,3,4,5,6,7, pri n > 7 pa število n! ni minimalno. Zaznamujmo z v(n) naj manjši skupni večkratnik števil 1,2 , . . . , n. Dognano je: v(n) je minimalno število za n = 1,2,3,4,5,6,8,9 ,10 ,11 ,12, 16,27,28; za vsak drugačen n pa v(n) ni minimalno število. 6. Do lžni smo še odgovor na vprašanje, zastavljeno na začetku. Ker je 81 = 3 . 3 . 3 . 3, v enačbi (1) velja s = 4; iz rešitev te enačbe najdemo A(81) = A(3 . 3 . 3 . 3) = 22 .32 . 52 . 72 = 44100. Najmanjše naravno število z 81 delitelji je tako 44100; vsako od njega manjše naravno število I Mat ematika ima torej manj ali več deliteljev kot 81. Število 25200 = 24 . 32 . 52 . 7 je manjše od 44 100 in prem ore 5 . 3 . 3 . 2 = 90 deliteljev. Čeprav je 44 100 najmanjše naravno št evilo z 81 delitelji, obstaja vsaj eno od njega manjše naravno število, ki ima več kot 81 deliteljev. N aloge 1. Med št evili m = q1q2q3, kjer so q1, qz, q3 pr ašt evila in qi 2:: qz 2:: as , je izjemno le število 2 . 2 . 2 = 8. Razen za q1 = qz = q3 = 2 velja zme raj B (q1q2q3) = A (q1q2q3). P rever i t o t rditev. 2. Izpelji , da je A (16) = 120, A(60) = 5 040. 3. Pokaži, da je A(26 ) = 23 . 33 . 5 . 7. 4. S. Ramanujan (1887- 1920) imenuje nar avno število m > 1 zelo se- stavljeno, če je d(n ) < d(m ) za vsak naraven n < m. To pomen i, da je zelo sestavljeno število m najmanj še naravno število z d(m ) delit elji. Ker je tako A(d(m)) = m , je zelo sestavljen o šte vilo obe nem minimalno št evilo . Minimalno število pa ni zme raj zelo sestavljeno ; po (30) je 24 = 16 minimalno št evilo, ni pa zelo sestavljeno, saj je 12 < 16, toda d (12) = d(2 2 ·3) = 6 > 5 = d (24 ) = d (16) . Poišči še kak šno minimalno število, ki ni zelo sestavljeno . 5. Pri pr aštevilu q je po (30) število 2'1- 1 minimalno. Ker za q 2:: 5 drži ocena 2'1- 1 = 2";1 . 2 "; ' > 2 ";' . 4 > 2 ";1 . 3- , velja in vidimo, da minimalno št evilo 2'1 - 1 ni zelo sestavljeno . P rašt evil q 2:: 5 je neskončno ; med neskončno mnogo minima lnimi št evili 2'1- 1 , q 2:: 5 pa nobeno ni zelo sestavljeno . Na podoben način ugotovi: Če j e q p raštev ilo , q 2: 11 , minima lno število 2'1- 1 . 3 n i ze lo sestav lj en o . 6. Sestavi preglednica števil d(m ) za m od 2 do 200; iz nje vidiš: Vsa zelo sest avljena šte vila do 200 so 2, 4,6 , 12, 24,36,48,60,120 ,1 80. (Čeprav je 2 praštevilo , je t ud i zelo sestavljeno št evi lo.) 7. Ali je minimalno št evi lo A(100) = 24 . 34 . 5 . 7 zelo sestavljeno (glej np r. št evilo 14400)7 J ože Grass elli Računalništvo I SPREMENLJIVO ŠTEVILO PARAMETROV Praktično vsi programski jeziki poznajo podprograme, ki sprejmejo spre- menljivo število par ametrov. Predvsem podprogrami za br anj e in izpiso- vanje imaj o zelo pogosto tako obliko, na primer read in wri te v pascalu ali pa scanf in printf v C-ju. Veliko jezikov pozna tudi konstrukte, ki pr ogra- merju omogočajo, da sa m napiše podprogram e, ki sp rejmejo spremenljivo število parametrov. V C-ju, na primer , take fun kcije sprogramiramo s pomočjo ukazov iz standardne knjižni ce stdarg .h . V tem prispevku si bomo ogled ali, kakšne možnosti za sestavljanje ukazov s spremenljivim številom par ametrov nam nudi MSWLogo, različica loga, prilagojena za okolja W ind ows (glej http : / /vl ado. fmf .uni- l j . si / educa/ logo). Logo pozna veliko vgraj enih ukazov , ki jih lahko pokli čemo z različ­ nim številom param et rov. Med pomemb nejšimi takimi ukazi so ukazi za izpisovanje PRINT, SHOW in TYPE te r ukazi za sestavljanje besed oziroma seznamov WoRD, LI ST in SENTENCE. Vsak ukaz v logu ima določeno pri- vzet o število paramet rov, to je t isto št evilo parametrov, s katerim lahko pokli č erno ukaz, ne da bi klic morali obdati z oklepaji . Na primer , pr avkar našteti ukazi za izpisovanj e pri vzeto sprejmejo en sa m param et er. Tako s klicem PRINT "Presek izpišemo besedo Pres ek. Če pa poskusimo na enak način izpisati več besed , na primer PRINT "list "za "ml ade "matematike "fiz i ke " . .. , se izpiše le beseda list , tolmač pa nam sporoči , da ne ve, kaj storit i z ostalimi besedami. Seveda, pri zgorn jem klicu ukaz PRI NT vzame le en param eter. Če ga želimo up orabi ti z več param etri , moramo to logu poseb ej povedati. To storimo tako, da klic ukaza skupaj z vsemi param etri obdamo z okroglimi oklepaji. Na primer , z zapisom (PRINT "l ist "za "mlade "matemat i ke "f i z i ke " .. . ) dosežemo , da ukaz PRINT kot parametre pr ejme vseh šest besed in jih tudi izpiše. V logu za sestavljanje lastnih ukazov uporab ljamo vgra je ni ukaz TD. Splošna oblika tega ukaza v MSWLogu je :x1 . . . :xn [ :y1 pv 1J . . . [ : ym pvm] '----v-----' ''- ---".-- ----'' TD im e obvezni parametri neo bvezni parame tri in nj ih ove pri vzete vr ednosti [ : z ] '-v-" dodatn i p ararnet.ri pš p ~ pr ivzeto š t evilo parametrov I Računalništvo Obvez ne parametre mor amo navesti pri vsakem klicu ukaza. Št evi lo obve - znih paramet rov je to rej najmanjše št evilo parametrov, s katerimi lah ko pokličemo ukaz. Neobveznih parametrov pri klicu ni nuj no navesti. Če jih (neka j) izpusti mo, bo ukaz namesto nji h uporabil privzete vrednosti. Del z dodatnimi parametri nam omogoča, da ukaz pokličemo s poljubno veliko parametri. Zadnji del ukaza TO je število, ki določi privze to število parametrov za ukaz. Če tega števila ne navedemo, je pr ivzeto število parametrov enako številu obvezn ih parametrov. Poglejmo nekaj primerov. Najprej si bomo ogledali ukaz, ki nariše zaporedje dotikajočih se krogov (glej spodnjo sliko) . Ukaz bo imel dva obvezna parametra, število krogov il in po lmer krogov r . Da bo pr i upor abi več svobode, bomo dodali še neobvezni parameter zasuk, s katerim določimo, za koliko je premica skoz i središči t renutnega in naslednjega kroga zas ukana glede na zveznico središč prejšnjega in trenutnega kroga (glej des ni del zgornje slike). Privze ta vrednost za zasuk bo O stopinj; tedaj vsa središča krogov ležijo na skup ni premici. Ukaz izgleda takole: TO krogi :n :r [:zasuk O] LOCALMAKE "pero PENDOWNP REPEAT :n [ PENDOWN CIRCLE : r RT : zasuk PENUP FD 2 * : r ] IF :pero [PENDOWN] END Zapomnimo si stanj e peresa . Spustimo pero in narišemo krog . Opravimo zasuk . Pomik v sredi š č e naslednjega kroga . Pero vrnem o v začetno stanj e. Levi del zgornje slike narišemo na sre dino zas lona z ukazi CS RT 45 PU BK 200 PD krogi 5 50 , sr ednji de l pa dobimo s klicem es (krogi 5 50 36) . Računalništvo I Drugi primer bo bolj računski . Sestavili borno ukaz, ki bo kot obvezni par am et er dobil na ravno število n > O, vrn il pa bo niz, ki bo predstavljal šestna jst iški zapis šte vila n. Šcstnajst iškemu zapisu pravimo tudi lwksa- decimalni zapis. P ri njem poleg običajnih števk 0,1 , . .. , 9 kot št evke uporabljamo še črke A (= 10) , B (=11), C (= 12), D (= 13) , E (= 14) in F (= 15) . Ta ko je 7DO šestnajstiški zapis števila 2000, saj je 7 .162 + 13 ·16 + 0 · 1 = 1792 + 208 + 0 = 2000 . Ukaz bo imel še neobvezni parameter d . Ta določi , koliko znakov ima beseda , ki jo vrne ukaz. Njegova privzeta vrednost bo ravno šte vilo števk, ki j ih potrebuj emo za šest najstiški zapis števila n. To vrednost dobimo tako, da celemu delu šestna jstiškega logaritma števila n prišt ejemo 1. Ker logo ne pozna logaritmov z osnovo 16, si bomo pri računanju pomagali z deseti škirn logarit mom. V MSWLogu ga vrne funkcija LOG10. Če bo vrednost parametra d večja od števila pot rebnih števk, bomo rezultat na začetku z ničlami dop olnili do želene dolžine. Če pa bo vrednost paramet ra d manjša od števila števk, bo v rezultatu ma njkalo nekaj vodilnih števk. Tule je koda ukaza : TO sestnajst :n [ :d 1 + INT « LOG10 :n) / (LOG10 16) )] Vrne besedo, ki predstavlja zadnj ih d števk šestnajstiškega zapisa števila n . Če je zapis krajši, je dopolnjen z ničlami . LOCALMAKE "stevke [O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F] LOCALMAKE "beseda " REPEAT :d [ MAKE "bes eda WORD (ITEM ci + REMAINDER :n 16) :stevke) :beseda MAKE "n I NT :n / 16 ] OUTPUT :bes eda END Klic sestnaj st 2000 tako vr ne besedo 700, klica ( s e s t na j st 2000 5) in (sestnajst 2000 2) pa besed i 00700 oziroma DO . Kot vid imo pri gor- njem ukazu , lahko za pri vzete vrednosti neobveznih paramet rov določimo po ljub ne izraze. V njih lahko uporablj am o vrednosti obveznih parame- trov , pa tudi vrednosti predtem že nave denih neobveznih parametrov. Kot naslednji pri mer si oglejmo ukaz, s katerim bomo lahko narisali krožne kolobarje , kot so prikaza ni na naslednji sliki . I Računalništvo Ukaz bo ime l tri parametre, enega obveznega in dva neobvezna. Dodatno bomo še določili, da bo privzeto število parametrov enako 2. P rv i para- meter bo po lmer zunanjega kroga, drugi parame ter bo po lme r notranjega kroga, tretji parameter pa barva v obliki RGB (sez nam treh števil med O in 255) , s katero bo obarvan kolobar. Privzeta vrednos t za po lmer notranjega kroga bo po lovica po lrnera zunanjega kroga, privzeta barva pa bo kar barva peresa ob klicu . TO kolobar :r l [ : r2 :rl / 2J t .barva PENCOLORJ 2 ; Zapomnimo si s t an j e peresa t er barvi pe r esa in zapolnj evanja. LOCALMAKE "pero PENDOWNP LOCALMAKE "b_pe ro PENCOLOR LOCALMAKE "b_poln FLOODCOLOR ; Nastavimo izbrano bar vo peresa in barvo zapolnj evanja . SETPENCOLOR :barva SETFLOODCOLOR :barva ; Spus t i mo pero in narišemo oba kroga. PD CI RCLE :r l CIRCLE :r 2 ; Premi k na sredi no med oba kroga, pobarvamo in se vr nemo . PU FD (: r l + :r2) / 2 FILL BK ( :r l + :r2) / 2 ; Vzpostavimo začetno s t an je peresa in obeh barv . IF :pero [PENDOWNJ SETPENCOLOR :b _pe ro SETFLOODCOLOR :b_poln END P rv i kolob ar lah ko dobimo s klicem (kol obar 100). Klic moramo obdati z oklepaji, sicer tolmač javi, da manjka paramet er. Drug i kolobar narišemo s klicem kolobar 100 90. J e precej tanjši od prvega, saj je polmer not ranjega kroga kar l~) polmer a zunanjega kroga, pri prvem kolobarju pa je bil ta polmer ~ zunanjega. Računalništvo I Zadnji kolob ar je debelejši in je dobljen s klicem (kol obar 100 25 [195 195 195]). Seznam [195 195 195] v zapisu RGB določa bled odtenek sivine (pri- bližno 20% črne barve; črno bar vo dobimo z [O O O] , belo pa z [255 255 255]). Na zadnje si oglejmo še ukaz, ki bo sprejel t udi do dat ne paramet re. Ukaz bo vzel zaporedje dveh ali več točk (vsaka točka bo po dan a kot par , torej seznam, števil) in narisal lomljeno črto , sest avljeno iz dalji c, pri čemer bo prva dalj ica potekala od pr ve do druge točke , druga od druge do tretj e točke, itn. Premik v prvo točko. Daljica do druge točke . Zanka po dodatnih točkah. TO lomljenka :tcl :tc2 [ :tc] ; Zapomnimo si začetni položaj LOCALMAKE "zacpol POS LOCALMAKE "per o PENDOWNP PU SETPOS :tcl PD SETPDS :t c2 REPEAT COUNT : t c [ SETPOS ITEM REPCOUNT :tc ] PU SETPOS :zacpol IF :pero [PENDOWN] END in stanj e peresa. Vrnemo se na zač etni položa j. Vzpos tavimo začetno s t anje peres a . Ukaz ima dva obvezna paramet ra, neobvezn ih paramet rov nima , dopušča pa dodat ne parametre. Ko ukaz pokličemo, moramo navest i vsaj dva paramet ra. Tolmač poskrbi, da se dodat ni parametri zdru žijo v seznam in t a seznam je začetna vrednost spremenljivke te . Če ukaz pokličemo le z dve ma točkama, bo te prazen seznam . LOGO Ukaz lah ko uporabimo za izp isovanje z "velikimi" črkami . Na primer , zgorn ji nap is prikažemo na sredini zas lona z nasledn jim za poredje m klicev: (LomLj enka [-330 120] [-330 -120] [-210 -120]) Clomljenka [-150 -1 20] [-30 -120] [-30 120] [-150 120] [-150 -1 20]) Clomljenka [90 O] [150 O] [150 -120] [30 - 120] [30 120] [150 120]) (Loml.j enka [2 10 -1 20] [330 -120] [330 120] [210 120] [210 -1 20]) Računalništvo V primerih smo up orabili t ud i nekaj manj zna nih logovih ukazov, ki j ih nism o poseb ej razložili. Kratke razlage nj ihovega delovanja so zbrane v naslednjem seznamu: LO CALMAKE je ukaz, ki ust vari lokalno spreme nlj ivko in ji hkrati še priredi začetno vrednost . Uporabljamo ga kot kr aj ši zapis kombinacije ukazov LOCAL in MAKE. PENDOWNP je ukaz, ki vrne true , če je pero spuščeno (pri premikanju želva pušča sled), in false sicer . V primerih smo z njegovo uporabo poskrbeli , da je bilo stanje peresa po koncu klica ukaza enako kot pred klicem . I NT je ukaz, ki vrn e celi del števila ("odreže decim alke" ). Tako klic I NT 3 . 5 vrne 3 , klic I NT -3 .5 pa - 3 . REMAI NDER je ukaz, ki vzame dve celi števili in vrne ostanek pri celo- števi lskem de ljenju pr vega števila z drugim. Pred znak ostanka je enak pred znaku prvega števila (to za nas sicer ni bilo pomembno, saj smo ukaz uporabljali le za poz it ivn a števila ). V nekaterih drugih jezikih se enakovredna op eracija imenuje mod. FLOODCOLOR je ukaz, ki vrne trenutno veljavno barvo zapolnjevanja. To barvo lahko spremenimo z ukazom SETFLOODCOLOR. Zapolnjevanj e ("bar- vanje") opravimo z ukazom FILL. Novejše izvedbe MSWLoga poznajo dve različi ci ukaza FILL. Obe začneta bar vati na mestu , kjer se nahaj a želva. Pri klicu FILL, t a je enakovreden klicu (FI LL "f alse) , se barva "razlije" le po strnjenem območj u, ki je obarvano enako kot pika, na kater i se je barvanje začelo . Pri klicu (FI LL "true) pa se barvanj e širi to liko časa, dokler ga ne zaustavijo pike , obarvane s trenutno barvo peresa. Na primer , zaporedje ukazov CS SETPC [O O OJ CIRCLE 100 SETPC [255 O oJ FILL nari še črn krog in ga obarva, zaporedje CS SETPC [O O OJ CIRCLE 100 SETPC [255 O OJ (FILL "true ) pa t udi nariše krog, nato pa obarva ves zas lon in ne samo kroga . Seveda, krog je narisan s črno barvo, pr ed klicem ukaza FILL pa sm o barvo peresa spremenili na rdeče , t ako da črno nari san krog bar vanja ne ust avi. REPCOUNT je ukaz, ki nam znotraj za nke REPEAT pove, v kateri ponov it vi zanke smo. Ta ukaz nam nadomešča šte vec, ki ga običajno uporabljamo pri za nkah fo r v drugih programskih jezikih. Mimogrede , tudi MSW Logo po zna ukaz FOR. Martin Juvan Zanimivosti - Razvedrilo I RAČUNANJE IN NOGOMET Po nastopu Slovenija na zaključnem turnirju EURO 2000 bo t udi kak bralec Preseka morda mislil, da je "nogomet najpomembnejša postranska stvar na svetu". Tako lahko nogomet uporabimo kot pretvezo za nekaj računov . Na zaključnem tekmovanju, na katerem so pravila "določala vse od opreme do igralnega sistema in po ložaja kamer na štadionu", je bilo 16 moštev razvrščenih na 4 skupine s po štirimi moštvi in vsako je igralo z vsakim po eno tekmo . Moštvo je za dobljeno tekmo dobilo 3 točke, za neodločeno 1 točko in za izgubljeno Otočk. Vprašajmo se p o številu različnih mogočih izidov , če imamo vsa moštva za enakovredna in se ne zanimamo za številske izide t ekem . Vpra- šanje utegne biti za prave ljubitelje nogometa preveč neživljenjsko, a mladim matematikom ponuja nekaj zanim ivosti iz kombinatorike . Najprej se loti mo ene skupine z ti = 4 člani. Na tekmovanju, na kat er em igra vsak par le enkrat, je te kem toliko kot parov: ~ n (n- 1 ) = 6. Tekme ločimo na odločene in neodločene. Različne možnosti opredelimo s številom odločenih t ekem z. Po vrsti imamo z = O (O odločen ih tekem, 6 - z = 6 neodločenih), z = 1, (1 odločena tekma, 5 neodločenih), .. . , z = 6 (6 odločenih, Oneodločenih) . Skupno število točk je 3z+2(6-z) = = 12 + z, t or ej po vrsti 12, 13, . . . , 18. S tablico ponazorimo, kako so igr ala moštva, a ne navedemo njihovih Imen: * (AD) (BD) (CD)* * (AB ) (AC) (BC) * (BA) (CA) (CB) (DA) (DB) (DC ) (BA) = O, če je (AB) = 3, in (BA) = 1, če je (AB) = 1. Zat o je dovo lj, če si zapomnimo podat ke iz des nega zgornjega de la tablice ((AB) (AC) (AD) (BC) (BD) (CD)). Pri z = Oje šest neodločenih tekem in je (111111) ed ina možnost . Pri z = 1 je šest možnosti (311111), (131111) , (113111), (1113 11), (111131), (111113) in še šest možnosti, v kater ih trojko zamenjarno z O, (011111) . . . , t or ej skupaj 12 možnosti. Pri z = 2 se število možnosti tako poveča, da j ih ne navedemo, ampak raj e o njih sklepamo. Podobno kot prej, začnemo s (331111) in nato obe trojki razvrstimo na druga mesta. Zanimivosti - Razvedrilo Šest različnih reči lahko razvrstimo na 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6! različnih načinov . Prvo reč namreč lahko postavimo na eno od 6 mest; ost ane pet reči , od katerih lahko prvo post avim o na eno od 5 mest ; ost anejo št iri reči ... Št evila neodvisnih možnosti po osnovnem izreku kombinatorike množimo. Tako smo spoz na li p ermu tacije brez pon avljanja. V našem primeru pa sta dve reči (3 in 3) med sebo j nerazločljivi in prav tako štiri reči (1111). S tem, da pr vi dve reči premeščamo med seboj in šti ri druge reči med seboj, ne dobimo novih možnosti . Tako je možnosti 6!/(4!2!) = = 15. To so permutacije sponavljanjem . Nato eno od trojk zamenjamo z O, kar da (031111) , in dobimo 6!/(1!l!4!) = 30 možnosti. Nazadnje še preostalo trojko 3 zamenjamo z Oin za (001111) dobimo še 15 možnosti. Tako imamo v celot i 15 + 30+ + 15 = 60 možnosti. Pri z = 3 začnemo s (333111), ko je 6!/(3!3!) = 20 možnosti. Eno trojko zamenjamo z Oin dobimo (330111), kar da 6!/ (2!3!) = 60 možnosti . Prav toliko možnosti je za (003111) in to liko kot na začetku za (000111). Skupaj je to rej 20 + 60 + 60 + 20 = 160 možnosti. Smo že pri z = 4. Začnemo s (333311) , ko je 6!/(2!4!) = 15 možnosti. Zamenjamo eno od trojk z O, kar da (033311) , in imamo 6!/ (1!2!3!) = 60 možnost i. Zamenj amo še eno od t rojk z O, kar da (003311), in imamo 6!/(2!2!2!) = 90 možnosti. Tako nadaljujemo in pridemo še do (000311) s 60 in do (000011) s 15 možnostmi. Skupaj je to rej 15 + 60 + 90 + 60 + + 15 = 240 možnosti . Pri z = 5 začnemo s (333331), ko je 6!/ (1!5!) = 6 možnos ti. Zame- njamo eno trojko z O, kar da (033331), in imamo 6!/ (1!1!4!) = 30 možnosti. Zamenj amo še eno trojko z O, kar da (003331) , in imamo 6!/(1!2!3!) = 60 možnosti. Zamenj am o še eno trojko z O, dobimo (000331) in imamo prav tako 60 možnosti. Zam enjamo še eno t rojko z O, dobimo (000031) in imamo 30 možnosti. Zamenj amo še zadnjo t rojko, dobimo (000001) in imamo, kot na začetku , 6 možnosti . Vseh možnosti je 6 + 30 + 60 + 60 + + 30 + 6 = 192. Preost ane le še z = 6, ko začnemo s (333333) z eno možnostj o. Sledijo (033333) s 6 , (003333) s 15 in (000333) z 20 možnostmi. Zaradi (000033) , (000003) in (000000) dobimo še enkrat pr vi dve števili in je vseh možnosti 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64. Naštete možnosti se izključujejo , zato jih seštejemo: 1 + 12 + 60 + + 160 + 240 + 192 + 64 = 729. Rezult at preskusimo. Vsaka od šest ih tekem ima za dano moštvo t ri mogoče izide : zmago, neodločeno ali poraz . Tekem je 6, zato je vseh možnosti v skupini 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 36 = 729. Nazadnje smo izračunali variacije s ponavljanjem. Zanimivosti - Razvedrilo I Skup ine so neod visne druga od druge in vsako možnost iz kake sku- pine lahko sestavimo z vsako možnostjo iz drugih skupin. Zato števila pomnožimo in pri št irih skupinah dobimo 729 ·729 ·729 ·729 = 36.4 = 324 , približno 2,8243 . 1011 možnosti . Skupina A: 5 odločenih , skupna vsota točk 17 ·1 ·2 ·3 ·4 L Portugalska 1· * 3 3 3 9 Romunija 2· O * 3 1 4 Anglija 3· O O * 3 3 Nemčija 4· O 1 O * 1 Skupina B: 5 odločenih, skupna vsota točk 17 ·1 ·2 ·3 ·4 L Italij a 1· * 3 3 3 9 Turčija 2· O * 3 1 4 B elgija 3· O O * 3 3 Švedska 4· O 1 O * 1 Skupina C: 4 odločene , skupna vsota točk 16 ·1 ·2 ·3 ·4 L Španija 1· * 3 O 3 6 Jugoslavija 2· O * 3 1 4 Norveška 3· 3 O * 1 4 Slovenija 4· O 1 1 * 2 Skupina D: 6 odločenih , skupna vsota točk 18 ·1 ·2 ·3 ·4 L Nizozemska 1· * 3 3 3 9 Francija 2· O * 3 3 6 Češka 3· O O * 3 3 Dan ska 4· O O O * O Po t em ko so moštva v skup inah igrala vsako z vsakim , sta se v nadaljnje tekmovanje uvrstil i po dve najboljši moštvi iz vsake skupine. Ta moštva so igrala na izločanj e , se pravi, da je po vsaki tekmi šlo v naslednji krog le mošt vo, ki je zmagalo. Neodločenega izida ni bilo več . V I Zanimivosti - Razvedrilo vsaki od osmih tekem osmine finala sta bili dve možnosti , skupaj 28 = 64 možnosti , pri št irih te kmah četrt finala je bilo 24 = 16 možnosti , v dveh tekmah polfinala še 22 = 4 možnosti in v finalu še 2. Pri t ekmovanju na izločanje jih je bilo to rej vsega 215 = 32768. Ob te m se zavemo , da je bilo izbiranj e moštev v drugem delu tekmovanja pri igranju na izločanj e pr ecej učinkovitej še kot pri igranju v skupinah. Tak način so najbrž izbrali , da bi bilo tekmovanje čim bo lj privlačno , ob tem pa časovno omejeno . Nazadnje zmnožimo možnosti iz ob eh delov tekmovanj a in dobimo 324. 215 , to je približno 9,2547 . 1015 , možnost i. Kdo bi si mislil, da bi bilo toliko možnosti , če bila moštva enakovredna! S podobnim prijemo m, ki ga spoz najo dij aki pri matem atiki v sred- nji šoli, se, na primer , srečajo pri fiziki št udentje drugega letnika fizike, ko v okviru kvantne statist ične mehanike razvrščaj o delce v mn ožici na enodelčna stanja . Iz previdnosti dodaj mo še misel o zakonih nar ave in pravilih pri špo rtu, ki bi ju rad tu in t am kdo vzporejal. O pr avilih pri šport u se navadno dogovorij o v okviru mednarodne zveze tako, da dogaj anje opa- zovalce čim bolj pritegne, da je pr eprosto določiti vrstni red , in podobno. Pri nogometu je bil pr ed časom v veljavi dogovor , da do bi zmagovalec 2 točki in ne treh. Z novim dogovorom so najbrž dali vedet i, da velja le zmaga in je neodločen izid pr avzaprav izhod v sili. Zakoni narave so nekaj čisto drugega. Raziskovalec po svoji presoji res vpelje kako količino in jo izmeri , a pri zakonih , ki navadno povzem aj o zveze med količinami, ima zadnjo besedo preskus. Če se nap oved zakona ne ujema z merj enji , je t reba zakon zavreči ali pr edelati. Velja sa mo zakon , ki se sklada z opazovanji in merjenji. Nekateri sociologi, ki so z družboslovnega vidika razglabljali o fiziki , so mn enja , da fiziki ustvarjajo zakone podobno kot mednarodna zveza pr avila za šport . Toda glede tega se močno mot ijo. O tem nas pre- pričajo med drugim fiziki , ki so jih izidi poskusov pr ipravili do tega , da so spremenili svoje začetno stališče . Rob er t Andr ews Millikan je podprl z merj enji Einsteinovo enačbo za kineti čno energ ijo elekt ronov pri fotoefektu na kovini , čeprav na začetku zanjo ne bi dal počenega groša . Max Planck je nazadnje privzel, da črno telo s sevanj em izmenjuje energijo le v obrokih , čeprav je to nasprotovalo tedanjemu mnenju. Zato ne gre iskati podobnosti med zakoni fizike in pravili pri špo rt u, čeprav z zgledi iz šport a poskušamo pritegni ti zanimanje učencev in dij akov za fiziko. Janez Strn ad x Rešitve nalog I ELIPSA, PARABOLA IN PRAVOKOTNI TANGENTI - Rešitev iz XXVII, P-6, str. 322 1. Očitno se pari tangent na elipso x 2ja2 +y2jb2 = 1 iz točk E(a ,b), F( -a, b), G( - a, - b) in H(a , -b) sekajo pod pravim kotom (slika) . V teh točkah je ena tangenta na elipso vzporedna z osjo x in ima smerni koeficient k = O, druga pa je vzporedna z osjo y. To so ravno tangente vtemenih A, B, Cin D elipse. y = - k- 1:r + '171 Poiščimo še preostale točke z zahtevano lastnostjo . Naj bo smerui koeficient k ene od tangent iz take točke na elipso poljuben, toda različen od O. Naj bo premica y = kx + ti ena tangenta na elipso. Druga tangenta, pravokotna na prvo, ima potem enačbo y = = -k-lX + m. Za obe premici zapišimo tangentna pogoja: Rešitve nalog Koordinati presečišča T( x, y) ob eh t angent dobimo iz enačbe kx + + n = - k - lX + m. Po kr aj šem računu sledi k(m - n) x = k2 + 1 ' Z up ošt evanj em t angent nih po goj ev dobimo Iskan e točke ležijo na kro žnici s središčem v središču elipse in s polmerom r = va2 + b2 . Za toliko so oddaljene od središča elipse tudi točke E, F , Gin H. Iskano geomet rijsko mesto je torej krožnica x 2+ y2 = a2+b2. Iz vseh njenih točk vidimo elipso pod pravim kotom. Zato pravimo, da je dobljena kro žnica ortooptična krivulja elipse. Poišči še ortooptično krivuljo hiperbole x2/a2 - y2/b 2 = 1. Razlikuj primere a > b, a < b in a = b. 2. Naj bo pr emica y = kx + n ena od tangent na parabolo iz iskane točke . Tange nt ni pogoj za parabolo je 2kn = P, iz česar vidimo, da k ne more biti O. Druga t angenta, pravokotna na prvo, ima enačbo y = -k-lX + m pri t ange nt nem pogoju - 2k - l m = p. Koordinati presečišča T( x, y) obeh t angent sta k(m - n) x = k2 + 1 ' Iz tangentnih pogojev dobimo p x = - - 2 ' y= p(k2 - 1) 2k Ko k preteče vsa od nič različna realna šte vila, y dvakrat preteče vso realno os. To pa pom eni , da iz vsake točke na vodnici par abole izhaj ata pravokotno sekajoči se t ange nt i parabole. Torej je vodnica parabole njena ortooptična kri vulja. Iz točk vodnice vidimo parabolo pod pravim kot om. P a od nikj er drugje. y :1: = - ~ F y = kx + TI, Rešitve nalog I x Marko Razpet TRINAJST DELITELJEV - Rešitev IZ XXVII, P -6, st r. 322 1. Narav nih šte vil, ki imaj o natanko po t rinajst pozitivnih delit eljev, je neskončno mnogo. 2. Na jmanjše med njimi je število 4096, Kakšen pr emislek vodi do zgornjih odgovorov, pa še mars ikaj več, bost e izvedeli v članku J ožeta Grassellija O najmanjšem šte vilu s pr edp i- sa nim številom delit eljev , ki ga najdete na st rani 34. Marija Vencelj I Tekmovanja 36. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE Najboljši sedmošolci in osmošolci s področnih t ekmovanj so se v soboto, 20. maj a 2000, pomerili v sedmih regijah na državnem t ekmovanju za zlato Vegovo priznanje. Nanj se po veljavnem pravilniku uvrst i do 0,5% vseh sedmošolcev s posameznega področja in do 1% vseh osmošolcev s posameznega področj a. REGIJA 7. razred 8. razred Ljubljana 71 99 Kranj 26 33 Maribor 53 68 Celje 26 39 Koper 20 22 Nova Gorica 11 18 Novo mesto 19 27 SKUPAJ 226 306 Zlato Vegovo priznanj e so prejeli sedmošolci , ki so osvojili najmanj 13 od 25 mo žnih točk, in osmošolci , ki so osvojili najmanj 14 od 25 mo žnih točk. Nagrade najuspešn ejšim tekmovalcem: 7. razred I. nagrada Pascal Vehovec, OŠ Livada, Velenj e; Tj aša Jerak , OŠ Mengeš; Gregor Klančnik , OŠ Naklo; Vera Kabanova, OŠ Valentina Vodnika , Ljubljana. II. nagrada Gr egor Donaj, OŠ Gorišni ca; Sandra Koprivnik, OŠ Jurija Dalmatina, Krško; Tadeja Kadunc, OŠ Louisa Adamiča, Grosuplje. III. nagrada Nuša Lazar, OŠ Dušana Bordona, Kope r; Mak Grgič , OŠ Maksa Pečarj a, Ljubljana Črnuče. Tekmovanja I 8. razred 1. nagrada Klemen Žiberna, OŠ Bratov Polančičev,Maribor; Tina Strgar, OŠ Brežice; Domen Stadler, OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka; Nik Stopar, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina; Kris Stopar, OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina; Peter Nose, OŠ Dr. Vita Kraigherja, Ljubljana; Luka Roškar, OŠ Gorišnica; Mitja Trampuš, OŠ Majde Vrhovnik, Ljubljana; Anja Vrečko, OŠ Pohor- skega odreda, Slovenska Bistrica; Mihael Gojkošek, OŠ Rače. II. nagrada Katja Borovnik, OŠ Fram; Mateja Božič, OŠ Livade, Izola; Blaž Cugmas, OŠ Ob Dravinji, Slovenske Konjice; Urša Prah, OŠ Šmarje pri Jelšah; Maja Ratej, OŠ Šmarje pri Jelšah; Mojca Lorber, OŠ Šmartno pri Slovenj Gradcu. III. nagrada Janoš Vidali, OŠ Janka Premrla Vojka, Koper; Žiga Lenarčič, OŠ Log- Dragomer, Brezovica; Tadej Kastelic, OŠ Louisa Adamiča, Grosuplje. Aleksander Potočnik 20. DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE Letošnja tekmovanja iz fizike za osnovnošolce so bila nekaj posebnega. Za predtekmovanja je bil določen nenavaden datum, 1. april. Osnovnošolci se niso dali zmesti in na predtekmovanjih je sodelovalo 381 ekip učencev iz sedmih razredov in 412 ekip iz osmih razredov, kar pomeni, da nam je kljub dnevu lažnivcev vsaj 1586 učencev verjelo in prišlo reševat naloge. Predtekmovanja so organizirali in vodili: Dušanka Colner v Gornjem Gradu, Maja Gregorič v Dravogradu, DMFA Koper v Hrpeljah, Zlatko Bradač in Mirko Cvahte v Mariboru, Vesna Harej v Ljubljani, Branko Beznec v Gornji Radgoni, Milojka Frank v Novi Gorici, Klavdija Štrucelj v Brežicah in Majda Jeraj v Škofji Loki. Ob tej priliki omenimo, da je bilo prvo republiško tekmovanje iz fizike za osnovnošolce na Pedagoški fakulteti v Mariboru 1981. leta. Tedaj je sodelovalo 16 ekip iz sedmih razredov in 22 ekip iz osmih razredov. Posebne zasluge za uvedbo teh tekmovanj imata gotovo profesorja Mirko Cvahte in Zlatko Bradač, ki sta, kot ste prebrali v prejšnjih vrsticah, še I Tekmovanja vedno aktivna, in profesor Franc P levnik s Pedagoške fakultete v Lju- bljani . Tekmovanj ne bi bilo brez zvest ih in požrtvovalnih sodelavcev, ki v poročilih niso omenjeni z imeni in pri imki. To so profesorji fizike, ki poučuj ej o po šolah , ravn atelji in vodstveni delavci, ki pomagaj o pri organi zaciji regijskih tekmovanj , profesorji in študentje fizike na Fakultet i za matematiko in fiziko ter na obeh pedagoških fakultetah, člani društva in , ne nazadnje, tudi starši, ki velikokrat spremljajo svoje ot roke na tek- movanj a sama. Posebna zahvala velja tudi vsem sponzorjem tekmovanj. Letos je bila prvič uvedena razvrstitev posamezn ikov in ne parov, kot je bilo to v navadi na dosedanjih tekmovanjih. Tekmovalcu k številu točk , ki jih zbe re pri reševanju računskih nalog, pri štejemo še točke , ki jih je prejel v paru pri eksperimentalnem delu. Državno t ekmovanje je bilo 6. maja 2000 na Pedagoški fakultet i v Ljubljani. Ude ležilo se ga je 40 ekip iz sedmih razr edov in 40 ekip iz osmih razredov. Najbolje uvrščeni tekmovalci so tudi letos preživeli nekaj dni na poletni šoli mladih fizikov na Bledu, ki jo organizira DMFA Slovenije pod pokroviteljstvom in v sod elovanju z Ministrstvom za šolstvo in šport Republike Slovenije. Na državnem tekmovanju so Zlata Stefanova pr iznanj a prejeli: Šola 7. razred OŠ Venclja Perka, Domža le OŠ Ledina, Ljubljana OŠ Pet ra Kavčiča, Škofja Loka OŠ Livad a , Velenj e OŠ Prule, Ljubljana OŠ Polhov Gr ad ec OŠ Maksa Pečarja, Ljubljan a OŠ Venclja Perka, Domžale OŠ Livad a , Velenj e OŠ Mak sa Pečarj a, Ljubljan a OŠ Nove Fužine, Ljubljana OŠ Maksa Pečarj a, Ljub ljana OŠ Ledina, Ljubljana OŠ Gori šni ca OŠ Prof. dr. Josipa Plemlj a , Bled II . OŠ , Celje OŠ Karla Destovnika Kajuha , Ljubljana OŠ Loka , Črnomelj OŠ Ton et a Čufarja, Ljubljana Učenec(ka) Aleš Brolih del Bello Matej Červek Rok Hari Pascal Vehovec J ur e Senegačnik Matevž Bokal Julij Šelb Miha Ernstschneider Ma ša Lončarič Andraž Piletič Vasja P rogar Domen Rozm an Igor Valantič Gregor Donaj Kristjan Anderl e Aleks Tovornik Marko Gavrilovič Sašo Skube Nina Bizjak Šola OŠ Poljčane OŠ Gornja Radgon a OŠ Franca Lešni ka - Vuka, Orehova vas OŠ Črna na Koroškem OŠ Bibe Roeck , Šoštanj OŠ Bist r ica , Tr ž i č OŠ Bratov Polančičev, Mar ibor OŠ Loka, Črnomelj OŠ Dobrovlje OŠ Dravlje, Ljublj ana OŠ Srečka Kosovela , Sežan a OŠ Boštanj OŠ Franca Lešnika - Vuka, Or ehova vas 1. OŠ Slovenj Gr ad ec OŠ Riharda Jakopiča, Lj ubljan a OŠ Bojana Ilicha , Maribor OŠ Primoža Tr ubarja, Laško OŠ Bistrica , Tržič OŠ Prof. dr. Josipa Pl emlja , Bled OŠ Dravlje, Ljubljana OŠ Maksa Pečarja, Ljubljan a OŠ Gornja Radgona III. OŠ Murs ka Sob ota 8. razred OŠ Cvet ka Golarja, Škofja Loka OŠ Dr . Vita Kr aigherj a , Ljublja na OŠ Po ljane, Ljub lja na OŠ Frana Erjavca, Nova Gorica OŠ Šmartno, Šmartno pri Liti ji OŠ Vransko OŠ Prežihovega Voranca , Ljubljana OŠ Danila Lokarja , Ajdovščina OŠ Miroslava Vi lharja, Postojna I. OŠ, Celje OŠ Frana Erjavca , Nova Gorica OŠ Šmartno, Šmartno pri Liti j i OŠ Cvetka Golarja, Škofja Loka OŠ Dr. Vita Kraigherja , Ljub ljana OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka OŠ Božidarja Jakca , Ljubljana OŠ Grm, Novo mesto OŠ Lava , Celje Tekmovanja I Učenec (ka) Matin Kidrič Alja Beznec Sašo Grozdanov Matic Pajnik Mitja Meh Aljaž Cotelj Žarko P inter Urška Weiss Tom Vodopivec Miha Škof Enej Ilievski Matic Suhadolčan Matjaž Škorjanc Andrej Perkuš Marko Mak uc Andrej Soršak Ana Dergan Urban Zaletel Nina Kneževič Sar a Kelbič Jure Medve šek Matej Holc Dušan Kozic Domen St ad ler Pet er Nose Simo n Jesenko T ina Lozar Simon Čopar Matic Goropevšek Lan Žagar Nik Stopar Tomo Mezgec Jern ej Krempus Špela Anzeljc Dunja Gorišek Nejc Berčič J aka Pet elin Borut Br atuž Urban Medič Nastasja Su hadolnik Gr egor Srdič Tekmovanja Šola OŠ Tabor II , Maribor 1. OŠ Slovenj Gradec OŠ Dobrepolje, Videm-Dobrepolje OŠ Venclja Perka, Domžale OŠ Prežihovega Voranca, Ljublj ana OŠ Miroslava Vilharja, Postojna 1. OŠ Slovenj Gradec OŠ Stražišče , Kranj OŠ Maksa Pečarja, Ljubljana DaŠ 1 Lendava OŠ Dobrepolj e, Videm-Dobrepolj e OŠ Poljane, Ljubljana 1. OŠ Slovenj Gradec OŠ Tonet a Okrogarj a , Zagorje OŠ Franceta Prešerna, Maribor OŠ Venclja Perka, Dom žale OŠ Venclja Perka, Dom žale OŠ Gorišnica OŠ Šempete r v Savinjski dolini OŠ Šma rt no, Šma rt no pod Šma rno goro OŠ Grm, Novo mesto OŠ Danila Lokarja, Ajdovščina OŠ Venclja Perka , Domžale Učenec(ka) Milan Grkovski Miha Glavan Peter Jakopič Klemen Pirnat Klemen Blokar T ibor Doles Nejc Gašp er Gregor Posnj ak Iztok Urbančič Miha Malek Andrej Žnidaršič Ana Titan Jan ez Klančnik Sašo Ostrožnik Domen Zafred Jure Baloh Jure Jeretina Luka Roškar Tadej Kotnik Gregor Tr aven Andreja Mamilovič Kris Stopar Martin St rojnik Vsem iskren o čestitamo. Osmošolcem, ki so zd aj že sr ednješolci, želimo veliko uspehov tudi n a srednješolskih t ekmovanjih, let ošnje osmo- šo lce pa pričakujemo na naslednjem tekmovanju za osnovnošolce iz fizike. N ada Razpet 44 . MATEMATIČNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE V sobotnem dop oldnevu 13. m aj a 2000 se je 161 dij ak ov iz 42 gim nazij in sre dnj ih šol v prostorih Gimnazije Novo mesto spopadlo z na logami na 44. matematičnem t ekmova nju sre dnješolcev Slovenije , popoldan pa so se bodisi odpravili na izlet v Kostanjevico, na spreh od po Novem m estu bodisi pa se prepustili divjini Afrike v za nim ivem potopisnem pred avanju . Za uspešno reševanje nalog je državna t ekmovaln a komisija podelila naslednje nagrade in pohval e: Tekmovanja I 1. letnik Prva nagrada J anez Šter , Gimnaz ija Želimlje; Žiga Novšak, 1. gimnazija v Celju. Druga nagrada Ivo List , Gimnaz ija Bežigrad , Lju bljan a ; Gregor Novak, Gimnaz ija Celje- Center; Rafael Hofman, II. gimnaz ija Maribor; Matej J an , Tehniški šolski cent er Nova Gor ica . Tretja nagrada Rok Berlot , II. gimnaz ija Maribo r; T ine Porenta , Gimnazija Škofja Loka ; Gašper Žerovnik, Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a; J akob Fišer, ŠC Nova Gor ica; Zora Golob , Gimnaz ija Bežigrad , Ljubljana ; Miha Halzer , Gim- nazija in ekonomska srednja šola , Tr bov lje. Pohvala Mitj a Pi šlar , Gimnazija Koper ; Andrej Po ljanec, Gimnazija Poljane, Lju- bljana; Igor Cesarec, Gimnazija Celje- Cent er ; Vanja Kovač , Škofijska gimnaz ija Vipava; Vesna Žveglič , 1. gimnazija v Celju; P rim ož Brkič, Gimnaz ija Novo mesto ; Andreja Malus, ŠC Brežice - Gimnaz ija; Matija Rojnik, Gimnazija Celje- Center ; Uroš Kuzman , ŠC Velenje - Splošna in strokovna gimnazija; Tj aša Rotar , Gimnazija Jes enice; Matj až Žganec, II. gimnazija Maribor ; Katarina Bolko, SŠ Vena Pilona , Ajdovščina; Si- mon Kolar , Gimnazija Murs ka Sobota; Bine Šebez, ŠC Slovenj Gradec - Gimnaz ija; Uroš Jelovšek , 1. gimnaz ija v Celju; Maja Milavec, SŠ Postojna. 2. letnik Tretja nagrada Klemen Šivic, Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a; Tone Gradišek, Gimnazija Bežigrad , Lju bljan a; Jure Klanj šček , ŠC Nova Gorica ; Matija Perne, Gim- nazija Škofja Loka; Bor Har ej, Škofijska gimnaz ija Vipava; Aleksandra Franc, 1. gimnaz ija v Celju; Gabrijela Hladnik, Gimnazija Vič , Ljub ljana. Pohvala Erik Št ru mbelj, Gimnazija Kočevje; Benj amin Lipovšek, ŠC Brežice - Gimnaz ija; David Danev , ŠC Velenje - Splošna in st rokovna gimnaz ija; Anita J amnikar , ŠC Slovenj Gradec - Gimnazija; Vesna Rost ohar , II. gim- nazija Maribor; Sanj a Bukovec, Gimnazija Novo mest o; T ina Murn, Gim- naz ija Škofja Loka ; J ernej Urankar , Gimna zija Kr anj ; Maša Farkaš, Gim- nazija Bežigrad, Ljubljana ; Aleš Frece, ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnazija Lava; Jugoslav Njenjic, ŠC Celje - Splošna in strokovna gim- nazija Lava . I Tekm ovanja 3. letnik Prva nagrada Mojca Mikl avec, Škofijska klasična gimnazija, Ljubljan a . Druga nagrada Andrej Košmrlj , Gimnaz ija Bežigrad , Ljubljana. Tretja nagrada Sergej Omladič , Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Fr anj a Pajk, Gimnazija Škofja Loka. Pohvala Eva Berd aj s, Gimn azija Bežigrad , Ljubljan a ; J an ez Kr ajnc, ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnazija Lava ; Andrej Muhič, Gimnazija Novo mest o; Matija Pretnar, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Miha Papler , Gimnazija Kr anj ; T ina Šantl - Temk iv, Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a ; Dani el Šimic, Gimnaz ija Kop er . 4. letnik Prva nagrada Irena Majcen , Gimnaz ija Bežigrad , Ljubljan a; Barbara Grobelnik, ŠC Celje - Splošna in st rokov na gimnazija Lava. Druga nagrada Sašo Jelenčič , Gimnaz ija Bežigrad , Ljubljan a. Tretja nagrada Iztok Grilc , Gimnazija in ekonomska srednja šola , Trb ovlje; Matj až Urlep, ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnaz ija Lava . Pohvala Blaž Likozar, Gimnazija Kranj ; Jure Željko, II. gimnaz ija Maribor; Katja Balažic, Škofijs ka klasična gimnazija, Ljublj an a; J aka Hajnšek , ŠC Celje - Splošna in st rokovna gimnaz ija Lava ; Jure St rle, Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a; Žiga Virk, Gimnazija Vič , Ljublj an a; Dragan Zdovc, Gimnaz ija Franca Miklošiča, Ljutomer. Po določilih Pravilnika o tekmovanju srednješolcev v znanj u matema- tike je državna tekmovalna komisija na podl agi rezultatov dveh izbirnih testov in državnega te kmovanja izbrala ekipo , ki je zastopala Slovenijo na Mednarodni matematični olimpiadi v Južni Koreji . V ekipo so se uvrstili: Aleksandra Franc, Sašo Jelenčič , Irena Maj cen , Moj ca Mikl avec, Klemen Šivic in Matj až Urle p. Matjaž Željko Tekmovanja I 38. FIZIKALNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV SLOVENIJE Tekmova nje je tudi letos potekalo v t reh stopnjah: regijsko, državno in izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo. Na prvih dveh stopnjah so bili tekmovalci razdeljeni v št iri skupine, ki so se razlikovale po snovi. Prve stopnje - r egijskega t ekmovanja - se je ud eležilo okrog 1000 dijakov iz 55 sre dnjih šol. Tekmovanje je pot ekalo 25. marca 2000 na osmih srednjih šolah po vsej Sloveniji. Organizirale so ga naslednj e srednje šole: Škofijska klasična gimnaz ija Ljubljana , Gimnazija Vič Ljub ljan a , Srednja elektro-računalniška šola Maribor , Gimnazija Celje - Center , Gimn azija Kranj , Šolski cente r Nova Gorica , Gimnaz ija Piran in Šolski cente r Novo mesto. Tekmovalne komisije, sestavljene iz profesorjev fizike s sodeluj očih šol, so popravile izdelke in predložile tekmovalce za dr žavno tekmovanje iz posam ezne regije. Državno tekmovanje je bilo 15. ap rila 2000. Po predlogu regijskih komisij se ga je v sku pini A udeležilo 37 tekmovalcev , v skupini B 40, v skupini C 25 in v skupini D 23, skupaj 125 tekmovalcev iz 35 srednjih šol. Soorgan izator državnega tekmovanja je bil Šolski cent er Rudolfa Ma- ist ra Kamnik - gimnazija. Poleg izvedbe tekmovanj a so pripravili za mentorje in tekmovalce t udi ogled mesta Kamnik in Kam niške Bist rice. Tekmovanje je izvedla tekmovalna komisija DMFA Slovenije, st roške tekmovanja pa st a kri la Ministrstvo za šolstvo in šport ter soorganizator državnega tekmovanja . Pri izvedbi tekmovanja in ocenitv i izdelkov so pomagali študent i FMF , Oddelka za fiziko. Na razglasitvi rezult atov je komisija podelila 7 pr vih nagrad , 12 drugih , 8 t retjih in 27 pohval. Podeljene nagrad e in pohvale: Skupina A I. n agrada Ni bila podeljena . II. na grada Anton Potočnik , ŠC Celje - splošna in st rokovna gimnaz ija Lava ; Rafael Hofman , II. gimnazija, Maribor ; Gorazd Gotovac, Gimnaz ija Bežigrad , Ljubljana . III. nagrada Gašp er Žerovnik , Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Tadej Pajnhart-J arc , Gimnazija Bežigrad, Ljub ljana. I Tekmovanja Pohvala Miha Halzer , Gimnazija in ekonomska SŠ Trbovlje; Ivo List , Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Tadej Borovšak , Gimnaz ija Celje - Center ; Danij el Gra h , Gimnazija Murska Sobota; Tine Porenta , Gimnaz ija Škofja Loka ; Aleš Zorec, ŠC Ptuj - gimnazija; Mitj a Pi šiar, Gimnazija Kop er ; Vanja Kovač , Škofijska gimnazija Vipava; Žiga Novšak, 1. gimnazija v Celju. Skupina B 1. nagrada Matija Perne, Gimnaz ija Škofja Loka; Uroš Jurgl ič , SŠ J osipa Jurčiča Ivančna Gorica; Tilen Kusterle, Gimnazija Kranj. II. nagrada Marko Žagar , Gimnaz ija Tolmin; Matj až Božič , Gimnaz ija Kop er ; Gr e- gor Bregar , Gimnazija Šentvid , Ljub ljana; Anton Grad išek, Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a; Lovro Kuščer , Gimnazija Brežice. III. nagrada Bor Har ej , Škofijska gimnazija Vip ava ; J ernej Ura nkar , Gimnaz ija Kranj . Pohvala J an ez Kr ajnc, ŠC Celje - splošna in st rokovna gimnaz ija Lava; Martin Pregl, ŠC Rudolfa Maistra Kamnik - gimnazija; Andraž Sto žer, II . gim- nazija , Maribor; Vid Novak, Gimnazij a Bežigrad, Ljubljan a; Aleš Frece, ŠC Celje - splošna in strokovna gimnazija Lava ; Boris Cergol, Gimna- zija Bežigrad , Ljubljan a; Andrej Šuc , Gimnaz ija P iran; Andraž Kapus, Gimnaz ija Novo mesto; Sebastj an Rupnik, Šolski cente r Nova Gorica. Skupina C 1. nagrada Mitja Centrih , ŠC Celje - splošna in strokovna gimnaz ija Lava ; Mojca Mi- klavec, Škofijska klasična gimnazija Ljubljana; Andraž Hubad, Gimnazij a Bežigrad , Ljubljan a. II. nagrada Andrej Muhič , Gimnaz ija Novo mesto; Rok Slokar , Gimnazij a Kop er. III. nagrada Martin Gorj an , Gimnazija Tolmin. Pohvala Aleš Česen , Gimnazija Kranj; Mar tin Lukan , Tehniški šolski cente r Nova Gorica ; Mitj a Gombo c, Gimnazija Murska Sobota; Mat ic Smo lej , Gim- nazija J esenice; Nejc Bernot , Gimnazija Šentvid , Ljubljana ; J ur ij Dreo, Gimnazija Brežice. Tekmovanja I Sk u p in a D I. n a grada Andrej Košmrlj , Gimnazija Bežigrad, Ljub lja na. II. nagrada Izt ok Pižorn, 1. gimnazija v Celju; Matej Kanduč , Srednj a vzgojiteljska šola in gimnazij a Ljubljana. III. nagrada Gr egor Tavčar , Gimnazija Bežigrad, Ljubljana; Igor Veselič, Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; Nejc Košnik, Gimn azija in ekonomska SŠ Trbovlje. P ohvala Irena Maj cen , Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; J ernej Bod laj , Srednja vzgo jiteljska šola in gimnazija Ljubljan a; Dragan Simeonov, Gimnazija Bežigrad, Ljubljana . Izbirn o t ekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 5. maja 2000 na Fakulteti za matematiko in fiziko , Od delek za fiziko. Udeležilo se ga je devet najboljših te km ovalcev iz skupine D in trije najboljši iz skupine C z dr žavnega te kmovanja. Na letošnjo 31. mednarodno fizikalno olimpiado, ki je potekala med 8. in 16. julijem v mestu Leicest er v Veliki Br it aniji , so se uvrst ili: Andrej Košmrlj , Gregor Tavčar , Igor Veselič , vsi iz Gim- nazije Bežigrad , Ljubljana, Matej Kanduč , Srednja vzgojit eljska šola in gimnazija Ljubljana t er Iztok Pižorn, 1. gimnazija v Celju . Ciril Dominko P RESEK lis t za m lade m a t ema t ike , fiz ike, astroname in računalnikarje 28. le tnik, šolsko leto 2000/2001 , številka 1 , strani 1 - 64 UREDN IŠK I ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jez ikovni preg led), Vilko Do majnko, Dar jo Feld a (tekmovanja) , Bojan Golli , Marjan Hribar , Boštj an Jaklič (tehnični ur ednik) , Martin Juvan (glavni ur ednik, računalništvo) , Sandi Klavžar, Boris Lavrič , Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar , Franci Oblak , P et er Petek, Primo ž Potočnik (novice) , Marij an Prosen (astronomija) , Marij a Vencelj (mate mat ika , od- govo rn a ur ednica ) . Dopi si in naročnine: DMFA - založni štvo, Presek , Jadranska c. 19, 1001 Ljublja- na , p .p . 2964 , tel. (Ol) 4232-46 0, št. ŽR 50106-678-47233 . Naročnina za šo lsko leto 2000 / 2001 je za posamezne naročnike 2 .4 00 SIT, za sku pinska naročila šol 2 .000 SIT, posamezna št evilka 480 SI T , za t uj ino 25 EU R , devizna nakazila SK B banka d .d . Ljubljana , va l-27621-42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljana . List sofina nci rata MZT in MŠŠ Založilo DMFA - za ložništvo Ofset t isk DELO - Tiskarna, Ljubljana © 2000 Društvo mate mat ikov , fizikov in as t ronomov Sloven ije - 1430 Poštnina plačana pri pošti 1102 Lju blj ana Računala ~TEXAS INSTRUMENTS http://www.ti.com/calc sončne celice + ba terije Lastnosti : • a lgebrski vnos podatkov • la h ko be rljiv dvovrstični zaslo n za hkratni p rikaz vnesenega izraza in rezu ltata • pregled nad večjim številom nazad nje izved eni h izraču nov • prep rosti postop ki za po navljan j e in popravljanje vnosov • računanje z ulo mk i • pet spo m inov • trigonometrične fu nkcije, kom b inacije, perm utacije , odstotki itd . • pretvarjanje med po larn imi in kartezični mi koordi natami • eno- in dvo d imenzio na lna statist ika z r: dostopo m do vse h vnesenih podatkov ( • ge neri ra nje n aklju čn i h števil med O in 1 • ge nerira nje n a klju čnih celih števil (simu - liram o lah ko met kocke al i kovanca) • čvrst po krov • pregledna t ipkovnica • baterijsko /sol arno na Že p n i računali TI-3QX 11 6 in TI -3QX liS us trezata didaktičnirn zahtevam za pouk matematike v osnovnih in srednjih šolah. Primerni sta tako za samostojno delo učencev in dijakov kot za vodeno učenje računskih postopkov z računali v razredu . Delo z njima je učinkovito, saj omogočata nazorno vnašanje izrazov, preverjanje vnosa na dvovrstičnem zaslonu, preprosto pa je tudi ponavljanje in popravljanje izračunov. TI-30X 118 / TI-30X liS baterijsko napajanje '~ M E D 1 S Medis, d.o.o. , Brnčičeva 1, Ljubljana tel .: 01 589 69 01 , faks: 0 1 589 69 90 pC.biro @medis.si, www.medis.si