Matjaž Vesel Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta.. Filozofija matematike Nikolaja Kuzanskega Napis, ki naj bi po izročilu stal nad vhodom Platonove Akademije: »Me- deis ageometretos eisito« (Naj ne vstopi nihče, ki ni geometer),1 zgovorno priča o teži, ki j o j e filozofija že v času svojega rojstva pripisovala matema- tiki. Toda matematika oziroma matem, k i je po A. Badiouju2 eden izmed štirih pogojev za filozofijo (ostali trije so še pesnitev, politična invencija in ljubezen), v zgodovini filozofije ni vedno imela enoznačne vloge. Medtem ko pitagorejci v matematiki in njenih počelih vidijo tudi počela vsega biva- jočega,3 j o filozof Platon in antifilozof Lacan umeščata med pripomočke miš- ljenja, a s to razliko, d a j e »za Platona matematika propedevtika, medtem koje za Lacana matem normativen«,4 pri Aristotelu5 nastopa kot model zna- nosti, Hegel pa j o zavrača in ji očita zamejenost v števno velikost, vendar obenem opozarja, da na svojem lastnem terenu naleti »na pojmovno raz- merje, na neskončnost, ki uhaja njeni določitvi«.6 V 15. stoletju je matematiko v smeri, ki jo nakazuje Hegel, že tematizi- ral nek drug Nemec, ki pa ga Hegel ni poznal. Ta Heglov »predhodnik« je seveda Nikolaj Kuzanski. V prologu enega od svojih dvanajstih matematič- nih spisov De mathematica perfectione zatrjuje, da nas matematika oziroma matematične entitete vodijo do božanskega in večnega, kije popolnoma ab- solutno: »Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta divina et aeterna.«7 V zagovoru svoje učene nevednosti8 pa poudarja, d a j e mogoče vse videti v 1 Cf. Valentin Kalan, »Povabilo na srečanje v Platonovi Akademiji«, v Platon, Država, prev. J. Košar, Mihelač, Ljubljana 1995, str. 414. 2 Cf. Alain Badiou, »Manifest za filozofijo«, prev. J. Sumič-Riha, Filozofski vestnik 1 (1992), str. 154. 3 Cf. Aristotel, Metafizika I, 5 985b 23 - 986a 3. 4 Cf. Alain Badiou, »Lacan in Platon: Alije matem ideja?«, prev. M. Peršak in A. Zupan- čič, Problemi-Eseji 2-3 (1994), str. 162. Glede Lacanovega razumevanja matematike cf. JelicaSumič-Riha, »Ali matem misli?«, Problemih (1995),str. 61-80. 5 Cf. Robin Smith, »Logic«, v j . Barnes (ur.), The Cambridge Companion to Aristotel, Cam- bridge University Press, Cambridge 1995, str. 47. 6 Cf. Mladen Dolar, Heglova Fenomenologi]a duha 1, Društvo za teoretsko psihoanalizo, Ljubljana 1990, str. 72-75. 7 De mathematica perfectione, prol. 8 Cf. Apotogia doctae ignorantiae, v Nikolaus von Kues, Philosophisch-theologische Schriften, ur. L. Gabriel, prev. in koment. D. Dupre, W. Dupre, 1. zv., Herder, Dunaj 1989, str. 536. Filozofski vestnik, XVIII (3/1997), str. 85-100. 85 Matjaž Vesel najbolj enostavni enosti (Bog/neskončno kot neskončno), če gremo »pre- ko«, »čez« matematično znanost. Matematikaje torej po Kuzanskem že »na svojem lastnem terenu«, že po svoji lastni logiki napotena na mišljenje ne- skončnosti, toda hkrati neskončno kot neskončno uhaja določitvi matemati- ke kot take. I. Vozel učene nevednosti, sovpadanja nasprotij in »preseganja« Problem, ki ga skuša Kuzanski rešiti s pomočjo mathematica, j e tradi- cionalna težava mišljenja neskončnega kot neskončnega, k i je radikalno lo- čeno od končnega. »Med neskončnim in končnim ni nobenega (so) razmer- ja«,9 se glasi temeljna teza, če ne že kar aksiom,10 Kuzančevega mišljenja. Kuzanski j e prepričan, d a j e ta aksiom nekaj, kar j e očitno samo po sebi, oziroma nekaj, o čemer nihče ne dvomi.11 Toda ta aksiom, ki mu lahko sle- dimo skozi celotni Kuzančev opus in ki se pojavlja v dveh temeljnih formu- lacijah, enkrat kot disproporcionalnost neskončnega in končnega, drugič kot disproporcionalnost končnega in neskončnega, implicira nepri jeten sklep, da nam je neskončno kot neskončno nedostopno oziroma neznano.12 Če j e to tako, in če upoštevamo, da po Kuzanskem končni razum ne odpove samo pri dojemanju neskončnega, temveč ne more doseči niti na- tančne resnice končnih stvari,13 se zdi, da se mora projekt Nikolaja Kuzan- skega končati, še preden seje sploh začel oziroma, d a j e lahko njegovo edi- no plauzibilno stališče skepticizem. Toda ravno v točki (navideznega) pora- za najde Kuzanski rešitev. Pretres zmožnosti človeške vednosti sicer poka- že, da je vednost zgolj ne-vednost, in da vedeti, scire, pomeni ne-vedeti, igno- rare. Toda ta vednost ni čista nevednost, ampak je, zaznamovana z izkušnjo lastne nemoči, učena nevednost. Človeško stremljenje za vednostjo naleti na svojo mejo, k i je ne more prekoračiti, kar pa še ne pomeni, d a j e zaradi tega mišljenje treba zavreči. Mišljenje mora biti zavezano izkušnji svoje lastne 9 De docta ignorantia liber primus. Die belehrte Unwissenheit Buch I, prev. in ur., napisal predgovor ter opombe P. Wilpert, 3. pregledano izdajo oskrbel H. G. Senger, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1979,1, III. 10 Cf. Johannes Hirschberger, »Das Prinzip der Inkommensurabilität bei Nikolaus von Kues«, MFCG 11 (1975), str. 40: »Wir können ruhig von einem Axiom des Cusanus sprechen.« 11 Cf. De docta ignorantia liber secundus. Die belehrte Unwissenheit Buch II, ur., prev., napisal predgovor, opombe in register P. Wilpert, 2. izboljšano izdajo oskrbel H. G. Senger, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1979, II, II. 12 Cf. D. ign. I, I. 13 Cf.ibid. I, III. 86 Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta ... nevednosti, k i j e ne more odpraviti, lahko pa preko nje, dojete kot učene, preko navideznega poraza, nekako vseeno doseže vednost. Mišljenje si na ta način ne objavi smrtne obsodbe, temveč si zada še težjo nalogo, misliti na način »nepojmovnosti«, misliti z zavestjo zaprečenosti s svojo lastno ne- možnostjo. Samo učena nevednost predstavlja tisto Arhimedovo točko, ki omogoči, da končno uzre neskončno kot neskončno. Poraz mišljenja je v resnici zmaga mišljenja - toda to mišljenje je tako po svoji »vsebini«, kot po manifestaciji te vsebine, po »formi«, radikalno drugačno od tradicionalne- ga mišljenja sholastike. V svojem slavnem pismu kardinalu Julijanu Cesariniju, v katerem zgoš- čeno podaja summo svojega filozofskega projekta, pojasnjuje Kuzanski, da je na potovanju po morju iz Konstantinopla v Firence končno prišel do ti- stega, kar je že »dolgo želel doseči na različnih poteh filozofskih naukov.« Dosegel je to, da zajame nedojemljivo na način nedojemljivosti v učeni ne- vednosti, s preseganjem neminljivih resnic, ki j i h j e mogoče spoznati na člo- veški način.14 Obenem pa nakazuje, kaj je zanj temeljna naloga filozofske- ga mišljenja: človeški duh mora poskusiti misliti tiste »globine«, da se tako dvigne do enostavnosti, kjer sovpadejo nasprotja.15 Kaj izpostavi Kuzanski kot tisto novo, česar ni mogel doseči s pomočjo različnih sholastičnih šol? Najprej je tu koncept »učene nevednosti«, v kate- ri j e mogoče na način nedojemljivosti, incompreliensibiliter, zajeti nedojem- ljive stvari, incomprehensibilia. Nedojemljivo, nam neznano (Bog/neskonč- no kot neskončno), j e torej mogoče zajeti v učeni nevednosti, kar se zgodi s preseganjem, per transcensum, tudi tistih resnic, ki so neminljive, in ki j ih človek more vedeti. Tre^i element, ki ga v tem pismu izpostavi Kuzanski, p a j e sovpadanje nasprotij. Temeljna naloga človeškega duha je , da se dvig- ne do tiste enostavnosti, kjer sovpadejo nasprotja, ki so značilnost sfere konč- nega. Ti trije elementi, docta ignorantia, coincidentia oppositorum in transcen- sus, so med seboj tako zavozlani, da v primeru opustitve enega izgubimo tudi druga dva. Kot pravi Jacobi: »Docta ignorantia, coincidentia oppositorum in transcensus preko sfere razuma so trije medsebojno razsvetljujoči se izra- zi za metodološko temeljno misel Nikolaja Kuzanskega.«16 Trditev, da nas 14 Cf. »Epistola auctoris ad dominum Iulianum cardinalem« v De docta ignorantia, liber tertius, lat. tekst ur. R. Klibansky, ur., prev., napisal uvod, opombe in register H. G. Senger, dodatek o zgodovini izročila Docta ugnorantiaR. Klibansky, Felix Meiner Verlag, Ham- burg 1977. 15 Cf. ibid. 1 6 Klaus Jakobi, Die Methode der cusanischen Philosophie, Karl Alber Verlag, München 1969, str. 12. Ta medsebojna z(a)vezanost »učene nevednosti«, »sovpadanja naspro- tij« in »prehoda« izstopi tudi v zadnjem odstavku četrtega poglavja prve knjige De docta ignorantia. 87 Matjaž Vesel »matematične entitete vodijo do popolnoma absolutnega, k i j e božansko in večno«, moramo torej brati v horizontu teh treh »medsebojno razsvet- ljujočih se izrazov.« Na Kuzančevo nezadovoljstvo z »različnimi potmi naukov« se navezu- je tudi nezadovoljstvo s sholastičnim jezikom, ki posreduje in obenem po- gojuje mišljenje. Kuzanski nenehno poudarja, d a j e treba, če želimo dojeti resnico, ki j o hoče izreči, »iti čez«, »preseči« besede in govorico. Kdor ho- če dojeti pomen, sensus, pravi, mora um dvigniti nad dobesedni pomen be- sed.17Jezik, še posebej sholastični jezik, j e neustrezen medij za posredova- nje »umskih skrivnosti«, s katerimi se mora soočiti misel. Bolj kot dobesed- nos t j e zato pomemben namen, intenca, k i j e »za« besedami. Racionalni jezik sholastične logike ima sicer svojo (omejeno) vrednost v sferi končne- ga, odpove pa v sferi neskončnega. Ce ga apliciramo na neskončno kot ne- skončno, Boga s tem podvržemo pravilom razuma, ki so zanj neprimerna. Zato um(stvenost) zavrača terminologijo, ki izhaja iz pravil razumskega di- skuza,18 kar pomeni, d a j e nujno napraviti prehod od branja, ki ga oprav- ljamo s telesnimi očmi, k uvidu, ki nam ga omogoča »oko duha«: »Nujno je tudi, d a j e tisti, ki želi iz tega ubrati sad, bolj pozoren na namen kot na besede. Kajti te teološke stvari bo bolje videti z očesom duha, ko t j ih je mo- goče izraziti z besedami.«19 Kaj preostane Kuzanskemu, če »ne sme vztrajati pri besedah«?20 Eno od možnih načinov boljše predstavitve svojega mišljenja vidi v izumljanju novih besed, novih leksičnih stvaritev (non aliud, possest, posse fieri itd.), ki često zaznamujejo odločilne momente njegove misli, hkrati pa dajejo nje- govemu stilu zagoneten značaj. Hkrati pa svoj diskurz opre na pretežno vi- zualno paradigmo, ki jo vzpostavljajo aenigma, speculain exempla. Kritiko sho- lastičnegajezika običajno dopolni z namigom na aenigma kot najmočnejšo raven izražanja — z opozorilom, d a j e treba tudi te »vodeče primere«, kot jih imenuje sam, razumeti transcendenter?1 tako kot je treba preseči dobe- sednost besed. Mnoštvo njegovih »enigem«, ki naj bi omogočale predstaviti tisto, kar je neizrazljivo v polju danegajezika pojmov, lahko na grobo kla- sificiramo v tri tipe.22 Tu so najprej enigme, v katerih j e ročno delo primer 17 Cf. D. ign. I, II. 18 Cf. Deconiecturis. Mutmassungen, ur., prev. ter napisal uvod in opombe W. Happ, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1988,1, VIII. 19 Complementum theologicuml (PT, 3. zv., str. 650). 20 Trialogus de possest. Dreigeschprech über das Können-Ist, ur., prev. in napisala opombe R. Steiger, z uvodom L. und. R. Steiger, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1991, II, 1. 21 D. ign. I, II. 22 Cf. Michael Stadler, Rekonstruktion einer Philosophie der Ungegenständigkeit. Zur Struktur des Cusanischen Denkens, Wilhelm Fink Verlag, München 1983, str. 16. 88 Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta ... ustvarjalne produktivnosti človeškega duha, nato take, ki temeljijo na optič- nih fenomenih, kot j e na primer lom luči v barvni spekter, in končno so tu tudi enigme, ki sodijo v sfero matematike. II. Matematika Kuzančevo navdušenje za matematiko sodi v širši sklop splošne rene- sanse matematike, do katere je prišlo v 15. stol. v Italiji.23 Toda Kuzanskega matematika ni zanimala sama po sebi, temveč je v njej videl predvsem znan- stveno prakso, ki razkriva, če jo premislimo do njenih mejnih vrednosti, paradigmo postopka mišljenja sovpadanja nasprotij, s tem pa tudi neskončne- ga kot neskončnega. Matematika, ko t jo je sam razumel in prakticiral v leta 1450 začeti seriji razprav,24 v katerih poskuša razrešiti nekatere probleme, za katere s e j e sodilo, da so za klasično geometrijo nerazrešljivi, potrebuje predvsem novo izhodišče. V De matematicis complementis, svojem najpo- membnejšem matematičnemu delu, obravnava aporije razuma, do katerih pride, ker je razum zavezan načelu neprotislovnosti, ki pogojuje vse opera- cije evklidske geometrije. Problem kvadrature kroga, eden odvečnih proble- mov matematike,.po Kuzanskem ne more biti rešen v okvirih evklidske geo- metrije, saj njegova rešitev zahteva zanikanje načela neprotislovnosti in do- stop do koncepta sovpadanja nasprotij. Zaradi tega skuša vzpostaviti neev- klidsko geometrijo (meta-geometrijo), ki ne funkcionira na ravni razuma in ni omejena s principom neprotislovnosti, ampak deluje na ravni uma, kjer j o regulira načelo sovpadanja nasprotij. Toda nič manjše kot v matematiki niso aporije razuma v filozofiji. Ra- zum niti v filozofiji niti v matematiki ne sprejema sovpadanja nasprotij, zato razrešiti prve lahko pomaga razrešiti druge. Matematika nam torej omogo- ča, če j o dvignemo na raven uma, misliti sovpadanje nasprotij, k i je za Ku- zanskega neodpravljivi pogoj mišljenja neskončnega. V Complementum theo- logicum,25 delu, k i j e nastalo kot dopolnilo k De mathematicis complementis, tako pravi, da si bo prizadeval, »napraviti like te knjige teološke, tako da bomo, z božjo pomočjo, lahko s pogledom duha videli, kako resnično, ki 2 3 Več o tem Paul Lawrence Rose, The Italian Renaissance of Mathematics, Droz, Ženeva 1975. 2 4 Cf. Nikolaus von Cues, Die Mathematischen Schriften, prev. J. Hoffmann, uvod in opom- be napisal J. E. Hoffmann, Felix Meiner Verlag, Hamburg 1952. 25 Comp, theol. I (PT, 3. zv„ str. 650). 89 Matjaž Vesel ga iščemo v vseh stvareh, ki jih je moč spoznati, sije v matematičnem zrcalu, ne samo na način oddaljene podobnosti, temveč v bleščeči bližini.« Po tej matematični poti seje Kuzanski odpravil že v svojem prvem »kri- tičnem« delu De doda ignorantia. Svojo izbiro matematike utemeljuje na pod- lagi tradicionalne teze, da so vidne stvari podobe nevidnih in d a j e mogoče tako, izhajajoč iz kreatur, spoznati tudi kreatoija »kot v zrcalu in enigmi«. Kar Kuzanskega razlikuje od tradicije, j e metoda, ki j o predlaga za razisko- vanje stvarstva kot dostopa do stvarnika: namesto analoškega načina razi- skovanja analogía entis predlaga simbolično raziskovanje. Razlog, ki zahte- va simbolično raziskovanje, je dejstvo, da so vse stvari med seboj v nekem primerjalnem razmerju - iz vseh stvari namreč nastane en univerzum in vse stvari so v tem enem maksimumu to eno - , ki pa nam j e skrito in nedo- jemljivo. Čeprav se zdi, da se vsaka podoba približuje podobnosti eksem- plarja, ni, z izjemo maksimalne podobe, k i j e eksemplar v enosti narave, nobena podoba tako podobna eksemplarju, da ne bi mogla biti neskončno podobnejša ali neskončno bolj enaka eksemplarju. Izhodiščna točka raziskovanja j e torej postavljena v končni svet podob, v svet vidnega, preko katerega moramo z transumptiva proportione, tj. simbo- lice, priti do sveta nevidnega. V tem ogromnem univerzumu vidnega j e tre- ba izolirati izhodišče za postopen prehod do nevidnega (prehod od visus oculis do visus mentis), ki mora izpolnjevati kriterij nedvoumnosti oziroma gotovosti. Pot do neznanega vodi samo prek znanega in predpostavljenega. Med vsemi entitetami vidnega sveta najbolje izpolnjujejo ta kriterij gotovo- sti matematične entitete. Izbor mathematicalia kot izhodišča za raziskovanje neznanegaje utemeljen v njihovi relativni »trdnosti in gotovosti«, matema- tične entitete so med vsemi predmeti vidnega univerzuma najbolj stabilne in za nas najbolj gotove, obenem pa na matematiko stavi tudi filozofska tra- dicija. Prelom s tradicijo: matematične entitete kot bivajoče v razumu Preden se Kuzanski prepusti špekulacijam, ki naj bi ga privedle na sled maximum unum, zagotavlja, da ni nihče od starih, k i j e veljal za velikega, težavnih stvari reševal drugače kot s pomočjo »matematičnih podobnosti«. V tem kontekstu omenja Boetijevo trditev, da ne more nihče, ki je popolno- ma nevešč v matematiki, doseči vednosti v božanskih stvareh.26 Poleg Boeti- ja se sklicuje še na Pitagoro, platonike (Avguštin in Boetij) in celo Aristote- 2 6 D. ign. I, XI. 90 Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta ... la. Že na prvi pogled je očitno, da se navezuje na heterogene »šole« (ob bok platonistični liniji postavi Aristotela), ob natančnejšem branju nekate- rih njegovih drugih del pa izstopi tudi dejstvo, da se Kuzanski, kljub svojim ekspicitnim sklicevanjem na te »avtoritete«, od njih razlikuje v enem od bistvenih elementov filozofije matematike, to je glede ontološkega statusa matematičnih entitet. Za Pitagoro, k i j e za Kuzanskega »prvi filozof dejansko in po imenu«, oziroma za t. i. pitagorejce, ima matematika, kot poroča Aristotel v Metafi- ziki,27 metafizične posledice. Števila so za njih inteligibilno jedro material- nega sveta, harmonija vesolja pa je utemeljena v razmerjih med števili, ki so kot počela resničnosti božanske narave. Števila za pitagorejce torej niso predvsem števniki, kot j ih pretežno pojmujemo danes, niso sredstvo štetja realnosti, temveč sama realnost. Geometrične oblike in matematične for- mule so manifestacije Boga, ki jih je v svetu treba razumeti kot vzorce in kot sorazmerja, ki so za stvarmi. Rečeno na kratko: števila so bivajoče.28 Kakšno je bilo Platonovo stališče glede ontološkega statusa matematič- nih entitet, j e še vedno stvar razprave, ki pa tu za nas niti ni relevantna. Ku- zanski, k i j e seveda poznal vlogo, ki jo matematiki pripisuje Platon v Državi, kjer j e matematika razumljena kot prvi del znanstvenega spoznanja, kot preddverje dialektike,29 obenem pa ima nalogo vzgojiti bodoče čuvaje ideal- ne države,30 se v svoji kritiki Platona (in pitagorejcev) v De beryllo sklicuje predvsem na njegovo sedmo pismo.31 Platon tu s primerom kroga pona- zarja, na kakšne načine je mogoče obravnavati neko posamezno bivajoče: »Za vsako posamezno bivajoče izmed vseh stvari obstajajo trije momen- ti, skozi ka te re n a m n u j n o nas tane vedenje , med tem ko j e četrti mo- m e n t znanost sama - na pe to mesto j e gotovo treba postaviti tisto, kar j e prav tako spozna tno kakor tudi resnično biva-: (342b) e n o j e ime (ono- ma), d r u g o j e sodba (pojem, definicija, propozicija) (logos), t retje po- 2 7 Aristotel, Metafizika!, 5 985b 23 -986a 3: »Ukvarjali so se z matematiko in jo prvi razvili; in ker so bili v nji vzgojeni, so imeli matematična počela (archäs) za počela vsega bivajočega ... razen tega so v številih videli lastnosti in načela harmonije - ker pa se j im j e zdelo vse drugo po vsej svoji naravi posneto po številih, števila pa so prvo v vsej naravi, so menili, da so prvine števil prvine vseh stvari in da je celotno vesolje harmo- nija in število.« Prevod odlomka navajamo po Karl Vorländer, Zgodovina filozofije I, poslovenil P. Simoniti, Slovenska matica, Ljubljana 1977, str. 36. Cf. Harold P. Nebelsick, Circles of God. Theology and Science from Greeks to Copernicus, Scottish Academic Press, Edinburgh 1985, str. 14. 2 9 Matematika j e metaxu, med-dveije, na pol poti med doxo in resnično episteme. Cf. Platon, Država, prev. J. Košar, Mihelač, Ljubljana 1995, str. 203-205. 30 Ibid., str. 213-225. V. Kalan zgoščeno opiše razpravo v vlogi matematike v »Povabilu na srečanje v Platonovi Akademiji«, v ibid., str. 424. 31 Cf. »Platonovo sedmo pismo«, prev. V. Kalan, Anthropos 1-4 (1975), str. 98-100. 91 Matjaž Vesel doba (model) (eidolon), četrto pa znanje (episteme). Kdor hoče razume- ti, kar zdaj razlagamo, torej vzemi en p r imer ter o vsej stvari takole raz- misli: K r o g j e nekaj izrečenega, čemur j e ime ravno to, kar smo pravkar izgo- vorili, Drugo pa glede kroga, kar se sestoji iz imen in glagolov, j e defi- nicija (sodba): tisto, česar skrajnosti so glede na s redino vsepovsod ena- ko oddal jene, to bodi določitev tistega, č e m u r j e ime ravno okroglo ali zaobl jeno ali krog. (342c) Tret je j e tisto, kar j e začr tano in nar i sano pa spet izbrisano, j e tisto, kar j e izoblikovano s šesti lom in kar p r o p a d e . Kroga samega, zaradi katerega j e vse to, pa ne dolet i ničesar od tega, saj j e nekaj drugega, kakor vse to troje (doslej našte to) . Na če t r tem me- stu so znanost , u m in resnična sodba o teh stvareh; vse to pa j e spet t reba postaviti kot eno, ki ne obstaja niti v glasovih (en phonais) niti v telesnih shemah, temveč v mišl jenju, s č imer j e oči tno, d a j e to neka j drugega kakor narava (phjsis) kroga samega ali pa tudi trije momen t i , ki so bili zgoraj našteti (342d). Kaj očita Kuzanski Platonu, v čem je bil ta po Kuzanskem v zmoti? Plato- nova zmota je po Kuzanskem v tem, da kljub ugotovitvi, d a j e mogoče krog obravnavati, kotje imenovan, definiran, narisan ali pojmovan v duhu, iz tega ni mogoče priti do narave kroga. To naj bi po Platonu veljalo za vse matema- tične entitete. Kuzanski opozarja na svojo četrto tezo iz istega dela,32 ki govo- ri o tem, d a j e človek drugi Bog, in d a j e človek, tako ko t j e Bog kreator real- nih bivajočih stvari, entia realia, in naravnih oblik, kreator bivajočega v razu- mu, entia rationalia, in umetnih oblik. Iz tega sledi, da so matematične entite- te, ki so proizvodi našega duha, resničneje v našem duhu kot pa v zunajmen- talni stvarnosti.33 To velja za vse matematične entitete (krog, trikotnik, naše / matematično število ipd.), pravzaprav za vse, kar ima svoj »začetek v koncep- tu duha« in kar je »brez (lastne) narave«.34 Platonova pomanjkljivost je bila torej v tem, d a j e menil, da so matematične entitete, ki so ločene od čutnih predmetov, zgolj relativno resničnejše v duhu kot v čutnih stvareh in zaradi tega trdil, da imajo poleg te, še neko resničnejšo bit, k i je nad umom.3 5 Kuzanski razume matematične entitete kot čiste proizvode človeškega duha, ki imajo svojo najresničnejšo bit v človeškem razumu. Njegovo stališče glede ontološkega statusa matematičnih entitet, ki izstopi ob kritiki Platona, je jasno:36 matematične entitete ne obstajajo zunaj duha, temveč so razvite v 32 Cf. De berjlloVl (PT, 3. zv„ str. 8). 33 Cf. De ber. XXXII (PT, 3. zv„ str. 66). 34 Cf.ibid.(str. 68). 35 Cf.tbid. 3 6 S Platonom se sicer strinja, da so matematične entitete neodvisne od čutnega sveta, da imajo matematične entitete drugačne lastnosti kot naravne oblike, da so nepomešane z materijo, da v sebi ne vsebujejo nasprotij in so neminljive, ker niso podložne nobenim spremembam. 92 Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta ... kreativni dejavnosti človeškega duha. Matematika ne naleti na svoj predmet kot na že obstoječ, ampak sama obstaja v tem, da konstruira matematične entitete. Matematik ne izhaja iz opazovanja, ki se omejuje na čutno zaznavne predmete, niti ne iz opazovanju nadčutne realnosti, ampak uporablja svoj lastni duh kot instrument fabrikacije matematičnih entitet. Ta duhovna de- javnost ni, kot misli Platon videnje nadčutne realnosti, temveč konstruiranje. Matematični predmeti so proizvodi našega duha in ne obstajajo neodvisno od duha: naš duh »fabricira« matematične objekte, tako geometrične kot arit- metične. Število j e »bivajoče v razumu«, in je »izdelano« z našim primerjal- nim razlikovanjem.37 Matematična dejavnost se odvija skozi konstruktivno de- lovanje našega duha.38 Na podlagi tega temeljnega spoznanja o naravi matematičnih entitet kritizira Kuzanski tudi pitagorejce. Števila in ostala mathematicalia, ki izha- jajo iz človeškega duha in bivajo na način kot j ih zasnujemo, ne morejo biti počela substanc ali počela čutnih stvari, temveč so lahko samo počela enti- tet, ki bivajo v razumu. V delu Idiota de mente Kuzanski pitagorejce nekako rešuje pred svojo kritiko, tako da napravi distinkcijo med matematičnimi števili, števili, ki so produkt našega duha (števila, s katerimi štejemo) in sub- stancialnimi števili (števila, kijih štejemo).39 Po Kuzanskem pitagorejci niso govorili o matematičnem številu, ki izhaja iz našega duha, temveč so simbo- lično govorih o številu, ki izhaja iz božjega duha (substancialno število), ka- terega podoba je matematično število. Matematično število kot proizvod na- šega duha ne more biti počelo stvari.40 Kuzančevo stališče glede ontološke- ga statusa matematičnih števil j e torej v temelju različno od pitagorejskega. Števila so proizvodi našega duha in kot taka ne morejo biti substance in po- čela čutnega sveta. Pri Kuzanskem torej ne gre za matematični substanciali- zem, kar v posledici pomeni, d a j e bistvo stvarnosti moči človeškega spoz- navanja skrito in ga ni mogoče doseči niti s pomočjo matematike. Matema- tika ni nič več, kot pravi Certeau, »razodene oblik ali resnic, ki organizira- jo univerzum. Ni epifanična. Ravno tako kot slikarstvo j e 'konstrukcija' duha.«41 Racionalnost matematike je tako znak in odslikava racionalnosti duha, kateri ta posreduje svoje produkte. Ti produkti niso samostojno obstoječe 37 Cf. D. ign. I, V. 38 Cf. De ber. XXXII (PT, 3. zv„ str. 66). 3 9 O razliki med substancionalnim in matematičnim številom cf. Theo van Veithoven, Gottesschau und menschliche Kreativität. Studien zur Erkenntnislehre des Nikolaus von Kues, J. Brill, Leiden 1977, str. 166-194. 40 Cf. De mente VI (PT, 3. zv.,str. 522). 4 1 Michel de Certeau, »Nikolaj Kuzanski: Skrivnost pogleda«, prev. M. Vesel, Filozofski vestnih 1 (1996), str. 157. 93 Matjaž Vesel bivajoče stvari, so brez lastne narave: natura carent. Matematične entitete niso niti bistva niti lastnosti, temveč notionalia,42 kar pomeni, da so zgolj bi- vajoče v razumu, entia rationis.43 Matematične entitete torej niso nekaj naj- denega niti nekaj imaginarnega, temveč bivajoče, ki izhaja iz duha in ob- stoji v njem. Razmerje Kuzanskega do pitagorejcev in Platonaje tako v grobem raz- vidno. Veliko težje je dobiti pravi odgovor na vprašanje, v kakšnem razmerju je Kuzančeva filozofija matematike z Aristotelovim razumevanjem matema- tike. Problem ni zgolj v tem, da tudi glede Aristotelovega stališča o ontološ- kem statusu matematičnih entitet ni dosežen nikakršen konsenz, težava je predvsem v tem, da Kuzanski Aristotela v zvezi z matematiko, razen na de- klarativni ravni, nikoli ne omenja, tako da ne moremo vedeti, kako g a j e v tem pogledu razumel. Če sprejmemo prevladujočo teorijo o abstrakcioni- stični naravi Aristotelove filozofije matematike,44 ki Aristotelovo teorijo ma- tematike razume kot teorijo abstrakcije matematičnih entitet iz čutnega sve- ta, potem se Kuzanski in Aristotel ujemata v tem, da ontološki status mate- matičnih entitet postavita v soodvisnost z dejavnostjo človeškega duha ozi- roma mišljenja. Bistvena razlika med njima pa je v tem, da pri Kuzanskem človeški duh v matematičnem spoznavanju ne napreduje z abstrahiranjem, ampak s konstruiranjem. Matematične entitete pri Kuzanskem niso abstra- hirane iz nematematične realnosti, temveč j ih oblikuje duh, ne da bi pri tem za izhodišče jemal materialne stvari. Matematik razvija svoj lastni svet, ki ni potencialno prisoten in prikrit v materialnem svetu kot njegov še nelo- čen aspekt in tako že obstoječ, temveč j e v svoj obstoj izpeljan iz ustvarjalne duhovne dejavnosti. Premik, ki ga Kuzanski napravi z ozirom na Aristotela, j e v tem, da za izhodišče ne jemlje čutno zaznavne stvarnosti, k i j e v procesu abstrakcije privzdignjena do racionalnosti matematične znanosti, temveč mu j e izho- dišče produktivnost duha, ki se izraža z v njem odkritimi spoznavnimi sreds- tvi. Jedro duhovne dejavnosti ni abstrakcija, temveč eksplikacija, razvitje: matematični liki niso izpeljani z vedno večjo abstrakcijo, iz tridimenzional- nih teles v površino, črto in točko, temveč v obratni smeri z eksplikacijo, skozi razvitje vse obsegajoče točke v črto, površino in telo. 42 Cf. De passest 43. 43 Cf.ibid. 44 c f - Julia Annas, »Die Gegenstände der Mathematik bei Aristoteles«, vA. Gräser (ur.), Mathematics and Metaphysics in Aristotle/Mathematik und Metaphysik bei Aristoteles, Paul Haupt, Bern/Stuttgart 1987, str. 131-148. 94 Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta ... Complicatio in explicado matematičnih entitet Po Kuzanskem nastane mnoštvo matematičnih entitet z eksplikacijo: v geometriji z eksplikacijo točke, v aritmetiki pa z eksplikacijo enosti. Kljub temu da ima znotraj matematike število določeno prednost pred geome- tričnim likom,45 obravnava Kuzanski velikost in mnoštvo, točko in enost, kot dve enakovredni kategoriji: enost je počelo mnoštva, točka počelo veliko- sti. Iz n june complicatio nastane explicatio matematičnih števil in geometrič- nih likov. To j e mogoče zaradi tega, ker je človeški duh assimilatio točke in enosti. Človeška razumna dušaje vis complicativa vseh »pojmovnih 'zavitij'«46 V sebi vsebuje tako complicatio mnoštva (enost) kot velikosti (točke), brez katerih ne bi bilo mogoče nobeno razlikovanje. S tem ko se »priliči« eno- sti, razvija iz sebe pojmovno število mnoštva, s tem ko se priliči točki, razvi- je iz sebe pojmovne črte, ploskve in telesa.47 Moč, ki je zgoščena v točki (in v enosti), se razvije, eksplicira tako, da nastane razvrstitev točk v like, ki ne vsebujejo nič takega, kar ni bilo že prej vsebovano v točki. Enost in točka vsebujeta v sebi vse, kar j e mogoče v kvantitativnih razmerjih.48 Shema com- plicatio-explicatio omogoča Küzanskemu misliti dvoje: najprej mu omogoča zvesti različne oblike kvantitete na en princip, kar pomeni, da v neskončno- sti sovpadejo, obenem pa lahko tudi misli, kako ima matematično bivajoče svoj izvir v duhu. Eksplikacija ni kak objektivni, izven duha odvijajoči se pro- ces, temveč dejavnost, ki se izvaja v duhu in z duhom. Posledica takega pojmovanja razvoja mnoštva matematičnih entitet iz enosti (oziroma točke) je, d a j e enost, iz katere se eksplicirajo števila, ozi- roma mnoštvo, v skladu z neoplatonistično tradicijo, po kateri je enost pred mnoštvom in drugega reda kot mnoštvo, tudi pred mnoštvom števil in dru- gega reda kot to mnoštvo števil. Enostje počelo števila: »Est [unitas] princi- pium omnis numeri.«49 To pa pomeni, da unitas ni število, s katerim se za- čenja niz števil, kajti ta pripada redu različnega: »Non potest autem unitas numerus esse.«50 Kot počelo števila enost ni število.51 Toda na drugi strani unitas kot počelo vsebuje vsako število, ne sicer na način števila, temveč na način »zavitja«: »Et quia monas est omnis numerus, non tamen numerali- 45 Cf. Deber. XVII (PT, 3. zv., str. 26): »Unum sen monas est simplicius puncto.« 46 Cf De lud. gl. II (PT, 3. zv., str. 320). 47 Cf. ibid. (str. 322). 48 Cf. DementeXVII (PT, 3. zv., str. 26). 49 D. ign. I, V. Cf. tudi Depossest 46. 50 D. ign. I, V. 51 Kuzanski se s takim razumevanjem enosti navezuje na pitagorejsko izročilo. Cf. Niko- laus Stuloff, »Mathematische Tradition in Byzanz und ihre Fortleben bei Nikolaus von Kues«, MFCG 4 (1964), str. 420-435. 95 Matjaž Vesel ter, sed complicite, ideo non est aliquis numerus.«52 Iz polnosti enosti se razvijejo števila, ki so nižja izoblikovanost tistega, kar j e vsebovano že v eno- sti.53 S tem sestopom v število se enost pomeša z drugostjo. Unitasje torej v nekem paradoksnem položaju: ni število, j e pa iz nje generiran niz števil. S tem pridobi ambivalenten status, kot nekaj, kar je hkrati število, j e celo vsa števila, in kot taka začenja niz števil, vendar pa je to na na- čin, ki ni numeričnen. Unitasje vsa števila (v sebi vsebuje vsa števila), čeprav sama ni nobeno od števil. Je hkrati »zunaj« niza števil in obenem »znotraj«, saj je vsa števila, ki se morejo pojaviti v nizu. Mnoštvo števil ni namreč nič drugega kot eksplikacija, pomnožitev enosti. Certeaujev povzetek te ambiva- lentnosti enosti v kontekstu De icona dei si zasluži, da ga navedemo v celoti: »Razmerje enega do drugega, kot se pojavi v vaji oziroma v diskurzivni konstrukciji razprave De icona, ima obliko - elementarno - dualnega razmerja: prvi in drugi igralec, avtor in naslovnik, tj. ena in dva. Načelo- maje mogoče ta model razširiti na celoten niz števil: 3, 4, 5, 6 itd. Tekst napreduje proti tej generalizaciji, toda pojavi se preliminarna težava. V svoji binarni obliki postavlja dvoumnost izraza »eno(st)« problem pi- sanja. Dejansko označuje v Kuzančevih tekstih izraz »eno(st)« ali eno- to, ki pripada seriji števil in kateri sledijo 2, 3, 4 itd., ali drugače, poče- lo, ki genenerira niz, in ki zato »predhodi številu«; enako je s točko ali pogledom, generativnim središčem oboda [De docta ignorantia I, VII]. Nikolaj Kuzanski za razlikovanje teh dveh pozicij nima dveh različnih znakov, brez dvoma zato, ker v petnajstem stoletju ni imel na razpolago primernega algebrajskega zapisa, in ker mu je manjkala teorija ničle; nič zgolj evocira s svojim konceptom »kvazi-nič« ali točko »skoraj-nič«. ... Dvoumnost izraza, nevarno sovpadanje dveh funkcij, vzpodbudi Ku- zanskega k drzni špekulaciji. Da bi zapisal »eno«-počelo, bi potreboval neke vrste nič-izraz, indeks-simbol, ki bi označeval neko absolutno »de- lokalizacijo« reference. Jezik ima svojo lastno logiko.«54 Funkcija, ki jo imajo pri Kuzanskem55 enost, točka ali pogled, je torej natančno tista funkcija, ki j o Lacan pripisuje označevalcu S1:56 enosti, ki se 52 Apol. (PT, 1. zv., str. 554). 53 Ibid. Cf. tudi D. ign. II, III. 5 4 Michel de Certeau, »The Gaze. Nicholas of Cusa«, Diacritics, 13 (1987), str. 28- 29. Glede težav ob uvedbi ničle v matematiko cf. Brian Rotman, Signifying Nothing. The Semiotics of Zero, Macmillan, London 1987. 5 5 Kuzanski pravzaprav samo ponavlja težave, ki stajih zenico imela že Platon in Aristo- tel. Platon ni ločeval izrazov za za eno in enoto, poleg tega pa sta oba imela enak problem s statusom enice. Oba 1 včasih razumeta kot del niza naravnih števil, včasih pa niz začenjata z 2, 3, 4 itd. Cf. Julia Annas, »Introduction«, v Aristotle's Metaphysics. Books M andN, prevedla, napisala uvod in opombe J. Annas, Clarendon Press, Oxford 1988. 5 6 Cf. Mladen Dolar, »In Parmenidem parvi commentarii«, Razpol 9 (1996), str. 73: »Funkcija označevalca vznikne prav skozi možnost 'unarne poteze', ki j o v Lacanovi 96 Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta ... j e ne drži noben označenec, nobeno število, ki ni število, je prav zato mo- goče pripisati vse predikacije, vsa števila.57 Gotovost matematike Vrnimo se sedaj k dejstvu, da so matematične entitete zgolj ens ratio- nis. Cista racionalnost matematike je na podlagi tega dejstva mogoča samo tam, kjer so geometrični liki določeni zgolj v konstrukciji duha in ne obsta- ja jo v materialnem svetu. Svoj pravi ratio imajo matematične entitete zgolj v duhu, v zunajmentalnem svetu so že obeležene z drugostjo.58 Zgolj v duhu, kot entia rationis, dosežejo matematične entitete svojo čisto racionalnost in kot take so exempta in resnica matematičnih entitet, ki obstajajo v material- nem svetu. Tako ima matematično spoznanje tudi popolnoma drugačen status kot spoznavanje realnega, materialnega sveta. Medtem ko je to še najbolje oz- načeno kot asimilacija našega racionalnega spoznanja materialnemu svetu, ki pa se zgodi zgolj delno, saj razum ne dojema sveta, kot je ta na sebi, am- pak kot ga more, je matematično spoznanje omejeno samo na »duhovno stvarnost«, ki ima zgolj posredno zvezo z materialnim svetom. Znotraj spoz- nanja realnega sveta so razmerja ravno obratna kot pri matematičnem spoz- nanju. Resnična stvarnost ni v pojmih, kij ih razvija razum, temveč v danih stvareh, za katere j e določeni pojem znak. Čutno zaznavne stvari so tako resničnejše v čutnem svetu kot v našem duhu in imajo svojo bit resničnejše v zunajmentalni stvarnosti, kot jo imajo v duhu, kjer so »brez naravne re- snice.«59 Matematika ni assimilatio stvarnemu svetu, saj se ne ukvarja z preu- čevanjem končnega sveta, ampak se prvotno ukvarja s produkcijo človeške- algebri zabeleži zapis S^ 'prvega' označevalca kot Enega, ki se ga ne drži noben označenec - in prav zato mu j e mogoče pripisati vse predikate, se pravi nanj pripeti S2, ki kot 'drugi označevalec' ravno skrajšuje in zgošča celotno označevalno verigo, ki j o j e mogoče vselej podaljševati v nedogled.« 5 7 Od t u j e mogoče lepa navezati na Kuzančevo theologia circuratis. Bog, kije neimenljiv, ki mu ne moremo pripisati nobenega predikata, in ki ga ne more zajeti niti katafatič- na niti apofatična teologija, nastopi v theologia circularis natanko kot tisto, čemur ne moremo pripisati nobenega označevalca, obenem pa ga afirmirajo vsi označevalci, vsa imena. Cf. Michel de Certeau, »The Gaze. Nicholas of Cusa.«, op. cit., str. 29-30.' Glede problematike božjih imen glej tudi odličen članek Ernesta Laclaua, »O božjih imenih«, Filozofski vestnik 1 (1997), prev.J. Šumič-Riha, str. 121-133. 58 Cf. De coni. I, XI. 59 Deber. XXXII (PT, 3. zv„ str. 70). 97 Matjaž Vesel ga duha. Natanko ta lastnost paji , po Kuzanskem, tudi zagotavlja n jeno go- tovost. V enajstem poglavju De docta ignorantia pripiše Kuzanski gotovost ma- tematike abstraktni naravi njenih entitet: medtem ko so čutne stvari, ki so- dijo v polje vidnega sveta, zaradi potencialnosti materije v stanju nenehne spremenljivosti in nestabilnosti, so entitete, ki so bolj abstraktne od teh, sta- novitne, nespremenljive in za nas najbolj gotove. To je tudi razlog, da so matematične entitete izhodišče raziskovanja neznanega in negotovega. Toda pri Kuzanskem, kot opozarjata Senger60 in Velthoven,61 tisto, kar j e nespre- menljivo, ni nujno tudi za nas ustrezno spoznatno. Po Kuzanskem so nes- premenljiva bistva (kajstva) stvari in Bog, pa kljub temu o bistvih in Bogu ne moremo imeti adekvatnega spoznanja. Boljšo utemeljitev gotovosti matematike razvije Kuzanski v De possest, kjer gotovost matematike utemeljuje v dejstvu, da ima matematika svoj iz- vir v isti duhovni dejavnosti, s katero tudi spoznavamo matematične entite- te, to je v razumu. Razumu je v pravem pomenu razvidno samo tisto, kar je sam proizvedel.62 Tako kot Bog natančno pozna realne stvari z božjo na- tančnostjo, iz katere izhajajo, ljudje poznamo matematične entitete, ki so »bivajoče v razumu«, z natančnostjo razuma, katerega proizvodi so.63 V ob- močju človeškega spoznanjaje matematika tista, ki omogoča spoznanje Boga zaradi paralele, ki obstaja med kreativno dejavnostjo duha v proizvajanju matematičnih entitet in božjo kreativnostjo realnega sveta. Tako kot Bog natančno pozna realni svet zaradi tega, ker je njegov kreator, človeški ra- zum natančno pozna matematične entitete (in zgolj te), ki so proizvodi nje- gove dejavnosti. To seveda pomeni, d a j e človeškemu razumu realni svet (božje delo) nedostopen - kar lahko spoznamo o realnem s v e t u j e zgolj coniectura, približek - in je njegova gotovost omejena zgolj na matematiko: »Če smo stvar pravilno obravnavali, nimamo v naši znanosti razen mate- matike nič gotovega in ta je enigma za iov ' na Boga.«64 6 0 Hans Gerhard Senger, Die Philosophie des Nikolaus von Kues vor dem Jahre 1440. Unter- suchungen zur Entxuicklung einer Philosophie in derFrüzeit des Nikolaus (1430-1440), Asc- hendorff, Münster 1971, str. 176. 6 1 Theo van Veithoven, op. cit., str. 163. 62 Cf. tudi De coni. I, XI. 63 Cf. De possest, 44. 64 Cf ibid. 98 Mathematica nos ducunt ad penitus absoluta ... Matematika in neskončno kot neskončno Ko je tako utemeljen izbor matematičnih entitet in njihova gotovost, j e končno treba videti, na kakšen način jih je mogoče uporabiti na poti pre- hoda od končnega k neskončnemu. Enostavni maksimum (neskončno kot neskončno) j e popolnoma transcendenten in tako izven domene stvari, ki j ih lahko dojamemo ali spoznamo, zato ga moramo spoznavati simbolič- no. To pomeni, da moramo »enostavno podobnost« geometrije z neskonč- nim preseči, in sicer tako, da končne matematične like najprej obravnava- mo skupaj z njihovimi lastnostmi in medsebojnimi razmerji, jih nato ustrez- no prenesemo na neskončno, v zadnji fazi pa razmerja neskončnih likov prenesemo na enostavno neskončno, k i je brez vsake »likovnosti«: »Ker so vse matematične entitete končne in si jih drugače tudi ni mo- goče zamišljati, je treba, če želimo uporabiti končne stvari kot primer dviga do enostavnega maksimuma, najprej obravnavati končne mate- matične like skupaj z njihovimi lastnostmi in razmerji, in ta [razmerja] nato ustrezno prenesti na takšne neskončne like, nato pa kot tretje, v nadaljnjem dvigu, ta razmerja neskončnih likov prenesti na enostavno neskončno, kije popolnoma brez vsakega lika.«65 Do neskončnega kot neskončnega pridemo z infinitizacijo končnega in prehodom prek »likovnega« in vidnega. Pot oziroma metoda prehoda od končnega k neskončnemu se sestoji torej iz dveh prehodov, Kuzanski jih imenuje prenos, transumptia koraku od končnega matematičnega k neskonč- nim likom sledi korak k absolutno neskončnemu. Matematika nas torej pri- pelje vse do praga »videnja duha«, obenem pa nas notranja, imanentna, tendenca matematike vodi preko tega praga. Matematika ima prag, kjer do- seže mejo svojih zmogljivosti, vendar po svoji imanentni naravnanosti na- potuje prek sebe na neskončno, ki je nedostopno za sleherno spoznanje in se jo lahko »dotakne« le učena nevednost. Mišljenje, ki izhaja iz matemati- ke, mora na svoji poti skozi kvalitativne spremembe.66 Prvi prehod se izvrši, ko j e kak določen geometrični lik mišljen vse do svoje mejne vrednosti: v krog vrisan mnogokotnik ima toliko večjo površi- no in se toliko bolj bliža površini kroga, kolikor bolj se povečuje število ko- tov. Ce izpeljemo to operacijo do mejne vrednosti, potem vidimo, da bi, če bi bilo mogoče število kotov povečevati v neskončnost, mnogokotnik sovpa- del z krogom, tako da bi bil ta neskončen mnogokotnik in obenem tudi ne- mnogokotnik. ( , / Če geometrične like infinitiziramo, v neskončnosti sovpa- 65 D. ign. I, XII. 66 Cf. D. ign. I, XII. Isto v Compl. theol. III (PT, 3. zv., str. 661-2). 67 Cf. Compl. theol. V (PT, 3. zv., str. 666). 99 Matjaž Vesel dejo. Podobno se zgodi z kotom med dvema črtama, ko ga privedemo do njegove mejne vrednosti. Takrat postane največji možni kot in hkrati tudi najmanjši možni kot in kot tak neskončni kot sovpade z črto, z ne-kotom.68 V Complementum theologicum opisuje Kuzanski neskončni krog kot izvir vseh likov, tudi trikotnih, četverokotnih, peterokotnih itd.69 Ta neskončni krog pa zopet sovpade z neskončno ravno črto.70 Ta neskončni lik, do katerega pridemo z dvigom do mejne vrednosti, vsebuje v sebi vse ostale like in j e izvir vseh ostalih likov, ki so v svojo končnost in različnost proizvedeni z eks- plikacijo. Razpustitev likov v neskončnosti omogoča videti, d a j e neskončni lik complicatio vseh oblik. Kuzanski se zaveda, da s tem že prehaja iz območja matematike. Po- dročje neskončnega geometričnega lika pripada področju trans-matematič- nega, ki g a j e mogoče doseči samo z prehodom ali skokom71 iz matemati- ke. S preseganjem končnih likov, s katerimi se ukvarja matematika, zapusti- mo področje kvantitativnega in dosežemo ne-kvantitativno področje, kjer vladajo drugi zakoni.72 Neskončnih likov si ni mogoče več predstavljati kvan- titativno in kot taki niso nič več matematični, kajti vse matematično j e konč- no.73 Lik, ki nastane s preseganjem matematičnih likov torej ni več mate- matičen, ampak, kot pravi Kuzanski, teološki. V matematiki neskončna črta ne more obstajati, ta neskončna črtaje samo transmatematična miselna kon- strukcija, s pomočjo katere si lahko predstavljamo absolut.74 Drugi korak nas še bolj kot prvi oddalji od matematičnega, kajti zato, da bi lahko z »očmi duha« gledali troeno neskončno, moramo odpraviti tudi teološki lik, do katerega smo se dvignili.75 Na tej stopnji j e preseženo vsako »videnje očesa«. Sovpadanje likov v neskončnem liku dostavi samo model zmožnosti misliti, kako je absolut v sebi »zavijajoči« vir mnoštva. Ni- kakor pa ne moremo neskončnega lika identificirati z enostavnim neskonč- nim, na katerega napotuje. Matematika se na neskončno ne naslavlja nepo- sredno, pač pa je v njej virtualna težnja v smeri neskončnega. 68 Cf. De ber. VIII (PT, 3. zv., str. 10). 69 Cf. Compl. theol. V (PT, 3. zv., str. 666). 70 Ibid. Ill (PT, 3. zv. str. 658). 7 1 Kuzanski uporablja za to operacijo različne izraze: transumptio, transsumere, transump- tive, transferre, translative, transcendenter. 72 D. ign. I, XIV. 73 Cf. D. ign. I, XII. 74 Cf. Apot. (PT, 1. zv., str. 582). 75 Compl. theol III (PT, 3. zv., str. 662-664). 100