t r^p,xy za prehod iz x, y —> r, sin ip cos ip, F = F — F xy rr p

---sin ip- dr r dip ur cos ip — u sin ip . (2.46) Če izenačimo (2.41) in (2.46) imamo: cos p du^ dr + sin p 1 du -- cp "r r dp r + ■ sin p cos p d% 1 dur % + "P.--1---7--- ar r op r = 0 (2.47) Zgornja enačba je izpolnjena za vsak

u (9u č>u , . au = —dx H--dy + -—dz. (3.oj dx dy dz Premik točke B dobimo z integracijo leve in desne strani v enačbi (3.6) vzdolž povezave med izhodiščno točko A in končno B : B B r i A P , OU , Clu , du = u B — u j4 = f — dx H--dy H--dz J J dx dy d z A A y y (3.7) Zapisano po posameznih komponentah i = x,y, z : + ut A (3.8) J {dx dy dz Pri integriranju upoštevamo, da so deformacije vzdolž povezave med začetno točko A in končno B konstantne (predpostavka (3.5)), zato lahko integral (3.8) enostavno zapišemo kot: „ duT duT duT ux B = xB-xA + —— yB-yA + —— zB-zA + ux A , ox Oy oz du du du u B =— xB-xA +—— yB-yA +— zB-zA +u A , (3.9) dx dy dz „ du7 du7 du7 . Uz B = — xB-xA + — yB-yA + — ZB - ZA +UZ A . ox oy oz A Nadaljna obravnava tenzorja deformacij se bo nanašala na deformacije v ravnini, zato izraz (3.9) zapišemo brez upoštevanja tretje koordinatne komponente: t-. 9ut duT . B = —^ xB - xA + —^ yB-yA +ux A , dx du„, dy du„, (3.10) uv B = xB~xA + VB~ V A +uy a ox oy Če upoštevamo zveze med parcialnimi odvodi vektorja premikov u x, y in elementi tenzorja majhnih deformacij in majhnih zasukov (enačba (2.16)), lahko zapišemo: ux B = £xx XB~XA + £xy+UJ Vb - VA + Ux A , Uy B = exy — tO Xß — XA + £yy yB — yA + Uy A . (3.11) Z upoštevanjem zveze (2.26) lahko zapišemo vektor potencialnega premika u točke B , ki je z matriko gradienta v izhodiščni točki A v naslednji zvezi (Ašanin 1986, Shames in Cozzarelli 1997; Vaniček et al. 2001; Vaniček et al. 2008; Berber 2006; Berber et al. 2006): ux B u.. B = G Xß Xji VB-VA u B = GA-rAB+c, + ux A u„, A (3.12) (3.13) kjer je: GA = dux dux dx dy duy duy £xx £xy £xy - 10 z dx dy premikov v točki A rAB — rB ~rA ~ XB XA ~yy = e + (jJ - matrika gradienta vektorskega polja razlika krajevnih vektorjev točk A in B ux A a uy A b VB~VA\ - konstantni vektor ali togi premik telesa v točki A . c Matrika gradienta vektorskega polja premikov Ga se nanaša na obravnavano začetno točko A. Vektor c podaja premik točke A in je konstanten, ne glede na to, katero sosednjo točko B točki A obravnavamo. Torej je za opis deformacij v izhodiščni točki A nepomemben. Vidimo, da enačba (3.12) oziroma (3.13) predstavlja zapis dveh ravnin, ki se prilagajata komponentam vektorja potencialnega premika u B točke B. Zapišemo ju lahko za vsako povezavo med točko A in sosednjimi točkami Bk . Torej imamo: za VA; = 0,1... m — 1 - število bližnjih (sosednjih) točk za izbrano točko A (k — 0 se nanaša na točko, v kateri računamo deformacije, oznako Bk v indeksu poenostavimo s k), lahko zapišemo: Izrazi (3.12) - (3.14) predstavljajo spremembo vektorskega polja premikov vzdolž povezave med A in izbrano sosednjo točko B glede na izhodiščno točko A . Ob predpostavki o homogenih deformacijah se vektorsko polje premikov med dvema točkama linearno spreminja. Tu je pomembno poudariti, da taka zveza velja samo za povezave med bližnjimi točkami geodetske mreže, ki ležijo na območjih predpostavljenih homogenih deformacij (območjih približno enakih deformacij). To je razumljivo, saj je težko govoriti o korelaciji med deformacijami med oddaljenimi točkami. Tudi v teoriji mehanike trdnih teles namreč pri izpeljavi tenzorja deformacij govorimo o deformacijah v okolici masnega delca telesa, tako da obravnavamo vpliv delca, ki je diferencialno blizu obravnavanega delca. Če sistem (3.14) zapišemo v matrični obliki, dobimo: xk — XA + Vk ~yA — uy Bk ■ dy 'v (3.14) (3.15) k = 0,1... m — 1 . Sistem (3.15) predstavlja sistem dveh linearnih enačb za neznanke du„ du. X ^X dx dy du du b , _ , _ . Ce sistem (3.15) zapišemo za vse k = 0,1... m — l v matrični obliki, imamo dx ' dy (Cai in Grafarend 2007a, 2007b, Ašanin 1986): 1 Xy X 1 X<2 Vi~ VA 0 o V2~VA 0 o o o o o 1 X-y X 1 X<2 Xjy 1 Xk-XA yk-yA o o o o o Vi-VA o ž/2 - Va o 1 xk~xA Vk~ V A a du„ dx du„ dy b du„ dx du„, dy % C) uy b _T* _ -L _T-1 vec G^ = FtPfF FtPf • . Izraz (3.18) predstavlja zvezo med potencialnimi spremembami položajev točk v geodetski mreži in deformacijami v posamezni točki A geodetske mreže. Z upoštevanjem (3.2) lahko izrazimo u^ kot rešitev Gauss-Markovega modela izravnave posrednih opazovanj po metodi najmanjših kvadratov. Tako dobimo zvezo med elementi matrike gradienta vektorskega polja premikov in vrednostmi opazovanj (izraženo v vektorju f) v geodetski mreži: a L) L) 0 L) L) A vec G*a = FtPfF 1FtPf- BtPB 1 BTPf. (3.19) Enačbi (3.18) in (3.19) predstavljata dva različna pristopa pri določanju deformacij v točkah geodetske mreže. V splošnem ima obravnava deformacij preko vektorskega polja premikov nekaj prednosti (Chrzanowski et al. 1983): (i) Uporabimo lahko vsa opazovanja v geodetski mreži v posamezni terminski izmeri. Edini pogoj je, da za izračun koordinatnih neznank v obeh izmerah zagotovimo redukcijo na skupni (enotni) geodetski datum. (ii) Druga prednost je ta, da lahko v primeru izravnave po metodi najmanjših kvadratov izvedemo ustrezne statistične teste za iskanje grobo pogrešenih opazovanj v mreži ter določitev kakovosti izvedenih geodetskih opazovanj. (iii) V primeru obravnave deformacij neposredno preko sprememb geodetskih opazovanj v mreži potrebujemo popolnoma isto geometrijo (število in tip opazovanj ter povezave med točkami) geodetske mreže v obeh časovnih trenutkih ali epohah. (iv) Na osnovi premikov dobimo preglednejšo sliko deformacij obravnavanega objekta. Kot smo že omenili je sistem enačb (3.14) do (3.16) smiselno zapisati samo za bližnje točke mreže, to so točke, ki se nahajajo na območju približno enakih deformacij. V geodetski mreži lahko kot bližnje oziroma sosednje točke obravnavamo tiste, ki so z opazovanji povezane z obravnavano točko A. Ker so te točke različno oddaljene od točke A, imajo deformacije v teh točkah različen vpliv na deformacijsko stanje v obravnavani točki A. Matrika F podaja samo matematično povezavo med deformacijskimi parametri in premiki točk. Zato je smiselna uvedba utežne diagonalne matrike P^ . Z ustreznimi vrednostmi uteži podamo vpliv deformacije sosednje točke na deformacijo v obravnavani točki v odvisnosti od razdalje med točkama. Večja razdalja med točkama pomeni manjši vpliv na vrednosti deformacij v obravnavani točki A , zato posamezno utež definiramo z obratno vrednostjo kvadrata razdalje dAB med sosednjima točkama. S tem še dodatno zmanjšamo vpliv oddaljenih točk. Imenovalec povečamo za konstanto ena, da se izognemo ničli v imenovalcu za izhodiščno točko A (dAA = 0): pAB=—±—. (3.20) 1 + dAB Primernost izraza (3.20) za utež posamezne deformacije v točki Bk smo preverili z uporabo postopkov optimizacije geodetskih mrež drugega reda (Stopar 2001) na primeru izbrane geodetske mreže, ki jo bomo obravnavali v nadaljevanju. Tu gre v osnovi za določitev optimalnih uteži meritev v izbrani obliki geodetske mreže glede na želeno natančnost koordinat točk mreže, kot jo podaja matrika kriterija (Baarda 1981). Z upoštevanjem želene natančnosti elementov matrike gradienta Ga oziroma pripadajočega vektorja vec Ga in zveze (3.17) ter upoštevanjem vseh možnih povezav med vsemi točkami mreže (matriko F sestavimo v posamezni točki A za vse točke mreže iz primera (Slika 6-1)) lahko optimiziramo uteži Pab ter iščemo funkcijsko odvisnost od razdalje med točkami (Marjetič et al. 2010). 0.00003 0.00002 0.00001 0.00000 y = 5.1945x-1956 O optimizirane uteži Power (optimizirane uteži) 0 500 1000 1500 2000 d[m] 2500 Slika 3-1: Funkcijska zveza uteži p in razdalje med točkama. Figure 3-1: Functional relationship between weight p and distance between points. Na podlagi računskih rezultatov optimizacije lahko iz grafa (Slika 3-1) vidimo, da uteži padajo približno s kvadratom razdalje med točkama. Izraz za interpolirani trend se ne ujema v celoti z izbranim izrazom (3.20), kar zadeva konstant v izrazu. Razlog je tudi v tem, da je interpolacija funkcije trenda zaradi oblike izbrane mreže izvedena le za razdalje večje od 350 m (najmanjša razdalja v mreži), kar lahko vpliva na funkcijo trenda. Pripadajoča matrika uteži P^ ima naslednjo obliko: PA,I 0 - 0" 0 PAI P^ = P A,k (3.21) Pa,k 1 Pri računanju deformacijskih parametrov preko matrike gradienta vektorskega polja premikov Ga se lahko pojavijo trije osnovni problemi (Vaniček et al. 2001): • prvi primer: Singularnost sistema normalnih enačb oz. singularnost matrike N pomeni, da imamo neskončno mnogo rešitev za Ga. • drugi primer: Skušamo računati matriko gradienta Ga iz množice točk, ki ležijo na isti premici. To pomeni, da tem točkam ne moremo prilagoditi ravnine iz enačbe (3.14) in s tem tudi ne definirati komponent matrike gradienta v smeri posameznih koordinatnih osi. • tretji primer: Točka v mreži je določena s samo eno povezavo (slepa točka). V tem primeru lahko tvorimo samo dve enačbi (3.14), za koordinatno komponento x in y posebej, kar pomeni, da je sistem (3.16) poddoločen in ne moremo določiti matrike Ga. 3.2.1 Parametri deformacij v geodetski mreži Z določitvijo matrike Ga (enačba (3.18) ali (3.19)) lahko določimo vrednosti deformacijskih parametrov za izbrano točko A xA,yA . Z upoštevanjem zveze (2.26) in (2.28) razcepimo matriko Ga na simetrični del - tenzor majhnih deformacij (e) in nesimetrični del - tenzor majhnih rotacij (w). Iz vrednosti deformacijske matrike Ga najprej določimo posamezne elemente tenzorja deformacij in tenzorja majhnih zasukov (Shames in Cozzarelli 1997, Stanek in Turk 1998): Ga = dux dux dx dy £xx £xy ^z du„, du„, £ — Lü £ v v xy z yy dx dy A =e+w. (3.22) A Ker deformacijo v točki opišemo z maksimalnimi vrednostmi, se osredotočimo samo na glavne normalne in glavne strižne deformacije v izbrani točki A, ki predstavljajo lastne vrednosti tenzorja deformacij (izrazi (2.60) do (2.63)): • maksimalna vrednost glavne normalne deformacije ali spremembe merila: A _ £xx £yy , /1 "Gl, 2 — ~ ± — e - p + e \l a xx yy 1 xy ' xy (3.23) v smeri: ar = — arctan 1 2 2e. xy £xx £yy (3.24) maksimalna vrednost glavne strižne deformacije: A — I 1 . 2 2 Tl,2 exx eyy exy , (3.25) v smeri: = — arctan ^ 2 2e. xy (3.26) Obravnavamo samo maksimalno vrednost strižne deformacije, ker se obe ekstremni vrednosti razlikujeta samo po predznaku. diferencialna rotacija v točki: 1 i0A = ~ A 2 duy dux dx dy (3.27) Diferencialna rotacija v obravnavani točki A je sestavljena iz rotacije celotne mreže in prave diferencialne rotacije v tej točki: coA — u0 + 6Ua , (3.28) kjer je povprečna diferencialna rotacija mreže izražena kot aritmetična sredina vseh diferencialnih rotacij točk v geodetski mreži: m u)0 = ^-, (3.29) m kjer je: m - št. točk v mreži. Vsi trije deformacijski parametri so datumsko neodvisni (Shames in Cozzarelli 1997, Vaniček et al. 2001) oziroma neodvisni od izbire koordinatnega sistema in podajajo deformacijske lastnosti deformabilnega telesa v točki. 3.3 Robustnost geodetske mreže Zanima nas, kolikšen vpliv ima sprememba posameznega opazovanja na deformacije v posamezni točki geodetske mreže. Tovrstna analiza je predvsem primerna v situacijah, ko ugotavljamo kakovost geometrije geodetske mreže. Predvsem nas v tem primeru zanima vpliv maksimalnih vrednosti neodkritih grobih pogreškov v geodetskih mrežah na položajne koordinate točk, iz katerih nato napačno sklepamo na deformacije v geodetski mreži. V smislu analize vpliva posameznega opazovanja na računane koordinatne neznanke izračunamo za posamezno točko mreže toliko pripadajočih neničelnih matrik gradienta Gj x, y (enačba (2.28)), kot je opazovanj v mreži. Iz komponent matrike gradienta in pripadajočih deformacijskih parametrov nato ugotavljamo največje potencialne vrednosti deformacij, povzročenih s strani neodkritega grobega pogreška, ki bi povzročil največ škode. Tradicionalno kakovost geodetskih mrež določamo samo v smislu statističnega testiranja, kjer testiramo mrežo na prisotnost grobih pogreškov v opazovanjih, testiranju a-posteriori vrednosti referenčne variance, primerjavi velikosti absolutnih in relativnih elips pogreškov (Slika 6-1) ter a-posteriori testiranju popravkov opazovanj. Vsi testi izhajajo iz izravnave po metodi najmanjših kvadratov na podlagi Gauss-Markovega matematičnega modela geodetske mreže (3.1) in temeljijo na ničelni hipotezi, da so popravki opazovanj v normalno porazdeljeni: H0: vektor popravkov opazovanj v je porazdeljen normalno z n —» to pomeni, da v opazovanjih ni prisotnih grobih pogreškov. Nasproti imamo alternativno hipotezo: H1: vsaj eno opazovanje je grobo pogrešeno. V primeru, da je v opazovanjih prisotno grobo pogrešeno opazovanje, opazovanja ne bodo zadovoljila ničelne hipoteze, zato jo je potrebno zavrniti. To storimo z različnimi metodami1 statističnega testiranja. Ob izbranem tveganju a0 (verjetnost, da zavrnemo ničelno hipotezo, ko je ta pravilna) poiščemo verjetno grobo pogrešena opazovanja. Ta opazovanja lahko nato ponovno izmerimo, preprosto odstranimo iz množice opazovanj ali jim dodelimo manjše uteži ter mrežo ponovno preračunamo. Problem se pojavi takrat, ko s statističnim testiranjem ne odkrijemo grobih pogreškov, za kar v osnovi obstajata dva razloga: • prvi je ta, da opazovanje nima neodvisne kontrole na podlagi ostalih opazovanj - enolična določitev (primer: neka točka v mreži je določena samo z enega stojišča, slepi poligon ...) in • drugi, da test ne prepozna opazovanje kot verjetno grobo pogrešeno. Sedaj je vprašanje, v kolikšni meri neodkrito grobo pogrešeno opazovanje vpliva na vrednosti iskanih neznank v mreži. Če je ta vpliv majhen, potem lahko rečemo, da je mreža neobčutljiva ali robustna, sicer je mreža občutljiva. Občutljivost geodetskih mrež predstavlja eno od mer kakovosti geodetske mreže. Nanaša se na sposobnost odzivanja na grobe pogreške v meritvah v geodetski mreži. 1 Najbolj znana metoda iskanja grobo pogrešenih opazovanj je Baardova metoda Data Snooping. Pri Baardovi metodi odkrivanja grobih pogreškov (ang. Data Snooping) v opazovanjih lahko izračunamo maksimalno vrednost neodkritega grobega pogreška (Berber 2006): ^U,» = y]\> Oo,A) -jf= , (3-30) yri kjer so: C; j - a-priori standardna deviacija «-tega opazovanja (i = 1 ...n), ^ £ 0,1 - število nadštevilnosti «-tega opazovanja, ki predstavlja ustrezni diagonalni člen matrike nadštevilnosti R = I - B BTPB + HHT 1 BTP (Mozetič 2005) in predstavlja stopnjo vpliva posameznega opazovanja na računane neznanke v geodetski mreži, Aq cüq,/3q - parameter necentralnosti testne statistike alternativne hipoteze, ki je neposredno odvisen od vrednosti ai0 in ß0 . Predstavlja premik pričakovane vrednosti testne statistike tako, da testna statistika vzorca, ki vsebuje grobo pogrešeno opazovanje, preseže kritično vrednost z verjetnostjo jakosti testa 1 — ß0 . V primeru najpogosteje izbrane vrednosti za Q'o = 5% in ß0 = 10% znaša vrednost a0,/30 =3.24 (Grigillo in Stopar 2003). Baarda je vrednost <5/max j predpostavil kot mero notranje zanesljivosti geodetske mreže. Iz izraza (3.30) sledi, da z manjšanjem tveganja a in večanjem stopnje jakosti testa 1 — ß izračunamo večjo vrednost parametra necentralnosti, kar pomeni, da je možna večja maksimalna vrednost neodkritega grobega pogreška. To hkrati pomeni, da je potrebno geometrijo mreže bolj skrbno projektirati, zagotoviti večjo natančnost meritev z večjo stopnjo nadštevilnosti, kar posledično vodi v obsežnejše meritve in večje stroške. Vpliv vrednosti maksimalnih neodkritih grobih pogreškov v posameznih opazovanjih na izračun vrednosti neznank lahko izračunamo z znano rešitvijo vektorja neznank A posredne izravnave po metodi najmanjših kvadratov. Tu obravnavamo samo spremembo vrednosti neznank <5x oziroma t i. potencialne deformacije zaradi verjetno neodkritega grobega pogreška v izravnavi. <5x= BrPB 1 BrP(51, (3.31) kjer je: P - matrika uteži opazovanj dimenzije n x n in (5x - vektor možnih premikov zaradi morebitnih maksimalnih vrednosti neodkritih grobih pogreškov v opazovanjih dimenzije 2m x 1 (Berber 2006). Problem rešitev za ocenjene vrednosti neznank (vektor A) po metodi najmanjših kvadratov tako kot za vektor možnih premikov zaradi maksimalnih vrednosti verjetno neodkritih grobih pogreškov (vektor 6x) je v tem, da je rešitev datumsko pogojena oz. datumsko odvisna. To pomeni, da je poleg same geometrije mreže in natančnosti opazovanj odvisna tudi od izbire koordinatnega sistema, to je izbire datumskih vezi v izravnavi (danih količin, močno uteženih danih količin, danega ali uteženega azimuta, kriterij minimalnega števila vezi med neznankami, pogoja generalizirane inverzije matrike normalnih enačb itd.). To seveda nima nobene povezave z deformacijami v geodetski mreži (Vaniček et al. 2001). Za pravilno interpretacijo izračunanih možnih premikov bi morali le-ti biti datumsko neodvisni, torej odvisni samo od geometrije mreže in opravljenih geodetskih opazovanj v mreži. Zato je bolje, da obravnavamo deformacije. Datumsko neodvisnost deformacij zagotovimo z uporabo tenzorja deformacij. Napetost se namreč izraža preko diferencialnih deformacij in je datumsko neodvisna količina (Vaniček et al. 2001). 3.3.1 Analiza robustnosti na podlagi izračunanih mer deformacij v geodetski mreži Z upoštevanjem enačbe (3.19) lahko zapišemo spremembo matrike gradienta Ga v točki A kot linearno funkcijo vektorja sprememb vseh opazovanj v geodetski mreži 51: Svec GA = FtPfF FtPf • BTPB BTP«51 = lA ■ 61. (3.32) Pri analizi robustnosti geodetske mreže deformacijsko matriko gradienta Ga iz enačbe (3.32) zapišemo v odvisnosti od vektorja maksimalnih vrednosti neodkritih grobih pogreškov v posameznih opazovanjih <51max,: Svec = ■ (51 i i = 1... n. kjer je ob upoštevanju enačbe (3.30): <51max i = [O ... č/max i ••• O] - zapis maksimalne vrednosti neodkritega grobega pogreška na i-tem mestu v ničelnem vektorju dimenzije n x 1. Na podlagi izračunane matrike gradienta vektorskega polja premikov iz enačbe (3.33), lahko za vsako opazovanje v mreži izračunamo pripadajoči meri deformacij oz. deformacijska parametra £ , 7 in rotacijo uj (enačbe (3.23) - (3.27)). Torej imamo za vsako točko n pripadajočih trojic vrednosti parametrov, ki so izračunane na podlagi vrednosti verjetno maksimalnega neodkritega grobega pogreška v posameznem opazovanju. Pri geodetski mreži ne ugotavljamo robustnosti geodetske mreže v splošnem, ampak robustnost v merilu, robustnost v lokalni konfiguraciji in robustnost v lokalni rotaciji mreže. Robustnost mreže na podlagi izračunanih vrednosti deformacijskih parametrov ugotavljamo na način iskanja "najšibkejše" merske povezave v geodetski mreži. To je tista povezava, ki povzroči največjo absolutno vrednost posameznega deformacijskega parametra v množici 3 xn vrednosti izračunanih deformacijskih parametrov za posamezno točko. Iz tega sledi, da je: geodetska mreža toliko robustna, kot je robustna njena najšibkejša povezava. Iz enačbe (3.30) je razvidno, da izbira vrednosti a0 in ß0 , iz katere računamo vrednost parametra necentralnosti A0 , ne vpliva na rezultat iskanja bolj oziroma manj robustnega dela geodetske mreže. Vrednost parametra A0 deluje kot multiplikacijska konstanta in ne vpliva na relativna razmerja med vrednostmi deformacijskih parametrov. Vpliv vrednosti a0 in /90 je pomemben v primeru, ko hočemo postaviti statistično mejo, ki določa, ali je geodetska mreža še robustna ali ne. (3.33) 4 STATISTIČNE LASTNOSTI TENZORJA DEFORMACIJ IN ROTACIJ V GEODETSKI MREŽI Statistične lastnosti tenzorja deformacij lahko predstavimo s porazdelitvijo verjetnosti posameznih parametrov deformacij kot slučajnih spremenljivk. Porazdelitve verjetnosti so določene na podlagi poznanih funkcijskih povezav s slučajnimi spremenljivkami z znano porazdelitvijo verjetnosti. Ker so funkcijske zveze med spremembami opazovanj ali premiki točk in parametri glavnih deformacij in rotacij nelinearne (enačbe (3.18) do (3.27)), je analitična izpeljava porazdelitvenih funkcij težavna, kar je razvidno iz različnih del (Soler in Van Gelder 1991, 2006, Xu in Grafarend 1996, Cai et al. 2005). Zato je primernejša empirična določitev verjetnostne porazdelitve posameznega deformacijskega parametra, ki jo bomo v nadaljevanju obravnavali. Ker je tenzor deformacij v funkcijski zvezi z vrednostmi premikov točk mreže, je v funkcijski zvezi tudi z razlikami opazovanj med dvema terminskima izmerama v mreži (enačbi (3.18) in (3.19)). Zato lahko empirično določimo verjetnostno porazdelitev parametrov deformacij s spreminjanjem vrednosti opazovanj znotraj lastnega intervala zaupanja ali t.i. simulacijami vrednosti merskih opazovanj v geodetski mreži Empirična določitev poteka s simulacijami posameznih nizov merskih vrednosti v geodetski mreži z uporabo simulacijske metode Monte Carlo (Rubinstein 1986, Savšek-Safic 2002). Posamezen niz simuliranih opazovanj izravnamo po metodi najmanjših kvadratov in izračunamo vektor popravkov približnih vrednosti neznank, to je približnih koordinat točk mreže. Popravke približnih koordinat točk obravnavamo kot premike točk med dvema navideznima terminskima izmerama: • 1. terminska izmera - približne koordinate točk, • 2. terminska izmera - popravljene približne koordinate točk za posamezen niz simuliranih vrednosti opazovanj v geodetski mreži. Red velikosti umetno generiranih premikov je v neposredni povezavi z a-priori podano natančnostjo opazovanj v numeričnem postopku simulacij z metodo Monte Carlo. A-priori podana natančnost opazovanj kotov in dolžin v geodetski mreži je odvisna od natančnosti merskega instrumentarija in merske metode, ki sta predvidena v obravnavani geodetski mreži. Za vsako posamezno simulacijo "umetno" generiranih premikov v mreži opredelimo deformacijo s tremi vrednostmi parametrov deformacij v posamezni točki (normalno deformacijo, strižno deformacijo in rotacijo). Tako lahko določimo, kako mreža reagira na vsako spremembo opazovanja znotraj njegovega intervala zaupanja. Lahko rečemo, da določamo odzivnost geodetske mreže na slučajne spremembe v opazovanih količinah znotraj intervala zaupanja, ki so v neposredni povezavi z natančnostjo uporabljenega merskega instrumentarija in merske metode. S tem empirično določimo slučajno komponento oziroma verjetnostno porazdelitev obravnavanega deformacijskega parametra kot slučajne spremenljivke. 4.1 Porazdelitveni zakoni in momenti porazdelitve deformacij in rotacij Statistične lastnosti slučajnih spremenljivk, v obravnavanem primeru deformacijskih parametrov, predstavimo s porazdelitvenimi zakoni, ki jih zapišemo s funkcijami porazdelitve verjetnosti (Turk 2010). V primerih, da nimamo dovolj podatkov za določitev porazdelitvenega zakona v celoti, si pomagamo z določenimi lastnostmi porazdelitvenega zakona. Te lastnosti imenujemo momenti porazdelitve. Porazdelitvene lastnosti slučajne spremenljivke lahko opišemo z momenti in centralnimi momenti različnih redov, med katerimi sta najpogosteje v uporabi dva: • moment 1. reda - pričakovana ali srednja vrednost, • centralni moment 2. reda - varianca in pripadajoča standardna deviacija. Momente porazdelitev ocenjujemo iz vzorca vrednosti slučajne spremenljivke. Število sim simuliranih nizov opazovanj v geodetski mreži predstavlja velikost vzorca izračunanih vrednosti deformacijskih parametrov s pripadajočimi smermi (za glavne normalne in strižne deformacije - enačba (3.24) in (3.26)). Te smeri predstavljajo smeri lastnih vrednosti deformacijskega tenzorja v obravnavani točki geodetske mreže. Upoštevati moramo dejstvo, da se deformabilno telo različno odziva na vplive (sile) različnih velikosti in iz različnih smeri oziroma se različno deformira v različnih smereh. Zato je pomembno obravnavati statistične lastnosti vsakega deformacijskega parametra v posamezni točki v odvisnosti od smeri. Vsesplošna obravnava, izvedena s strani nekaterih avtorjev (Michel in Person 2003), brez upoštevanja smeri, ni primerna, razen seveda za rotacijo v točki. Za določeno točko celoten vzorec velikosti sim posameznega deformacijskega parametra razdelimo na posamezne podvzorce, ki pripadajo posameznim obravnavanim smerem. Z numeričnega stališča razdelimo polni krog na posamezne kotne intervale ali sektorje. Za vsak sektor z velikostjo vzorca simsec pripadajočih vrednosti simuliranih deformacijskih parametrov lahko izračunamo oba momenta porazdelitve verjetnosti: srednjo vrednost in standardno deviacijo vzorca: (4.1) kjer je: simsec - vrednost velikosti vzorca za izbrani sektor sec (^^ = ) in 'sec 'sec sec s - standarna deviacija vzorca za posamezen parameter. Za posamezno točko lahko iz slučajnega vzorca obeh deformacijskih parametrov (normalne in strižne deformacije) v posameznem sektorju ob izbrani stopnji zaupanja l — a določimo interval zaupanja za izbrani parameter. S stopnjo zaupanja določimo meje, za katere velja, da z verjetnostjo 1 — a vključujejo izbrani deformacijski parameter. Meje intervala zaupanja za posamezen deformacijski parameter v izbrani točki mreže določimo z znano srednjo vrednostjo in standardno deviacijo: ^sec £sec KVsec ' Sgec ; (4-2) 7det =7 ± KV1 • s"! I sec I sec sec sec ; wdet =Č3±KV ■&,, u! oJ 7 kjer je: KV - kritična vrednost ob izbrani stopnji tveganja a . Vrednost KV je odvisna od verjetnostne porazdelitve slučajne spremenljivke in stopnje tveganja a. . Vrednosti mej in velikosti intervalov zaupanja deformacijskih parametrov pa so odvisne od: • smeri, v katerih deformacijske parametre obravnavamo - od obravnavanega kotnega intervala (sektorja), • velikosti slučajnih pogreškov v opazovanjih, ki so pogojeni z natančnostjo uporabljenega geodetskega instrumentarija in merske metode in • lokalne geometrije geodetske mreže, kjer se nahaja obravnavana točka (geometrična porazdelitev točk in merskih povezav ter vrsta merskih povezav). Če upoštevamo, da so intervali zaupanja različni v različnih smereh za posamezen deformacijski parameter, je primerneje obravnavati območja zaupanja deformacijskega parametra ob izbrani stopnji tveganja a . Velikost in oblika območja zaupanja za posamezen deformacijski parameter v izbrani točki predstavlja stopnjo zaznavnosti deformacij, ki se pojavijo v geodetski mreži. Predstavlja torej občutljivost geodetske mreže na deformacije v posameznih točkah mreže. Velja torej, da večja kot je stopnja zaznavnosti deformacij v posamezni točki, manjše vrednosti deformacij je mreža v tej točki sposobna zaznati. V fazi projektiranja geodetske mreže želimo vzpostaviti tako geometrijo oziroma geometrično razporeditev točk in merskih povezav, da bo stopnja zaznavnosti deformacij čim višja. To pomeni, da želimo doseči mrežo, kjer bodo območja zaupanja deformacijskih parametrov čim manjša in homogena v vseh smereh na vseh točkah. Ob izbrani stopnji tveganja lahko določimo kritične vrednosti intervalov zaupanja (enačbe (4.2)) v posameznem sektorju na podlagi znane funkcije porazdelitve verjetnosti deformacijskega parametra. Če bi šlo v tem primeru za standardne porazdelitvene funkcije (normalna porazdelitev, studentova, porazdelitev x itd.), potem bi kritične vrednosti enostavno določili numerično z inverznimi funkcijami porazdelitvenim funkcijam. Vendar v obravnavanem primeru verjetno ne gre za verjetnostno porazdelitev, ki bi jo lahko ocenili iz same oblike matematičnega modela, ki povezuje deformacijske parametre z opazovanji in koordinatnimi neznankami. Kot je bilo že obravnavano v Savšek-Safic et al. (2006) in Savšek-Safic (2002), slučajna spremenljivka, ki je v nelinearni povezavi z normalno porazdeljenimi slučajnimi spremenljivkami, ni normalno porazdeljena. V obravnavanem primeru imamo opravka z normalno porazdeljenimi vrednostmi geodetskih opazovanj. Tudi koordinatne neznanke, ki so v funkcijski povezavi z opazovanji, imajo zaradi lineariziranega matematičnega modela izravnave po metodi najmanjših kvadratov normalno porazdelitev. Deformacijski parametri (glavne normalne in glavne strižne deformacije) pa s koordinatami točk oziroma njihovimi koordinatnimi razlikami niso v linearni povezavi (poglavje 2.6). Zaradi nelinearnih povezav je analitična določitev porazdelitvene funkcije zelo kompleksna (Xu in Grafarend 1996). Torej obstajata najmanj dva razloga, zakaj se lotiti empirične določitve porazdelitvene funkcije: • V primeru empiričnega določanja verjetnostne porazdelitve s simulacijami vrednosti slučajne spremenljivke ni potrebno uvajati linearizacije matematičnega modela, ki povezuje slučajno spremenljivko s slučajnimi spremenljivkami z znanimi porazdelitvami. V že obravnavanih analitičnih rešitvah pa je glavni pristop ravno linearizacija (uporabljeni so lahko tudi odvodi drugih redov v t.i. Hessejevi matriki (Xu in Grafarend 1996)). Z linearizacijo modela avtomatično izgubimo določeno količino informacij o porazdelitvenih lastnostih slučajne spremenljivke. • Simulacije so dandanes z uporabo zmogljivih računalnikov možne in tudi časovno obvladljive operacije. Če povzamemo, pričakujemo, da je porazdelitev verjetnosti deformacijskih parametrov odvisna od obravnavane smeri. Zato bo porazdelitev verjetnosti deformacijskih parametrov obravnavana glede na posamezno smer (po posameznih kotnih sektorjih) v posamezni točki geodetske mreže. Praktični primer obravnave porazdelitve verjetnosti deformacijskih parametrov bo prikazan na primeru geodetske mreže v poglavju 6.2. 4.2 Statistična značilnost deformacij in rotacij Z znanimi intervali oziroma območji zaupanja v vsaki točki geodetske mreže lahko določimo statistično značilnost deformacij in rotacij, ko se ta dejansko zgodi v mreži oziroma na objektu, ki ga ta geodetska mreža predstavlja. Statistična značilnost se določi na osnovi statističnega testiranja. Kot ničelno hipotezo postavimo trditev, da ni deformacij e in rotacije v izbrani točki geodetske mreže: H0 : ni deformacije in rotacije v točki: £i,ji,LOi = 0 , nasproti alternativne hipoteze: H^ : mreža se je v točki i deformirala in rotirala: £i,ji,0Ji ^ 0. Statistično testiranje izvedemo ob poznani porazdelitvi verjetnosti slučajnih spremenljivk, v tem primeru parametrov deformacij in rotacije. V tem primeru izračunana vrednost parametra predstavlja testno statistiko. Če se vrednost parametra nahaja izven mej območja zaupanja, to je v kritičnem območju, potem zavrnemo ničelno hipotezo ob izbrani stopnji tveganja a/2 . Pravimo, da obstaja deformacija oz. rotacija v točki oziroma je ta deformacija oz. rotacija statistično značilna. Praktična določitev statističnih lastnosti tenzorja deformacij in rotacij bo predstavljena v poglavju 6.2. 5 PROBLEM GEODETSKEGA DATUMA PRI DOLOČITVI STATISTIČNO ZNAČILNIH DEFORMACIJ V GEODETSKI MREŽI 5.1 Izhodišče problema V geodetski mreži imamo končno število opazovanj na končnem številu geodetskih točk, ki bolj ali manj ustrezno predstavljajo objekt, ki se morda deformira. Taka diskretizacija obravnavanega objekta zahteva, da za vektorsko polje premikov na celotnem območju uvedemo določene predpostavke. Predpostavimo linearno spreminjanje vektorskega polja premikov in s tem homogene deformacije v smeri povezav med posameznimi točkami geodetske mreže, kot je bilo predstavljeno v poglavju 3.2. Deformacije v geodetskem smislu v splošnem obravnavamo preko premikov posameznih točk objekta, ki so povezane v geodetsko mrežo preko opazovanj (dolžin, kotov). Klasična terestrična geodetska opazovanja ne podajajo informacij o geodetskem datumu (razen opazovanih dolžin, ki podajajo merilo mreže, poglavje 5.2 in 5.3). Z rešitvijo matematičnega modela (3.1) geodetske mreže po metodi najmanjših kvadratov izračunamo splošno rešitev za vektor neznanih koordinatnih komponent točk mreže v posameznem časovnem trenutku t. Za izračun rešitve (vektor neznank) v splošnem uporabimo generalizirano inverzijo (Rao in Mitra 1971) matrike normalnih enačb N (enačba (5.27)), ki ni enolična. A4= BtPB ~ BtP14 = N BtP14 = N~t, (5.1) kjer je Dt vektor koordinatnih neznank ali popravkov približnih vrednosti koordinatnih neznank v epohi t (xt = + ). Pogost primer je, ko v postopku izravnave nobena datumska količina ne nastopa kot dana. Tedaj imamo opravka s prosto mrežo, kjer rešitev sistema enačb za koordinatne neznanke točk ni enolična. Sistem normalnih enačb je v tem primeru singularen, zato rešitev koordinatnih neznank zahteva uporabo zgoraj omenjene generalizirane inverzije matrike N (enačba (5.1)). V tem primeru obstaja neskončno mnogo rešitev, ki zadovoljijo pogoju, da je vsota kvadratov popravkov opazovanj minimalna. Neenoličnost rešitve za koordinatne komponente povzroči hkrati neenoličnost rešitve za iskane premike in deformacije točk v geodetski mreži. Izračun premikov točk in deformacij v geodetski mreži temelji na izračunu razlik koordinat točk med dvema izmerama - epohama. Potrebujemo torej koordinate točk, ki jih izračunamo na podlagi izravnave opazovanj v geodetski mreži po metodi najmanših kvadratov. Če predpostavimo, da so opazovanja med posameznimi izmerami med seboj neodvisna, lahko vektorsko polje premikov predstavimo z razliko rešitev za koordinatne komponente točk mreže xx in X2 med dvema epohama t1 in t2: u = x2 — x1. (5-2) Rešitev (5.1) in s tem tudi (5.2) je datumsko pogojena, to pomeni, da vsebuje tudi vse informacije o datumu geodetske mreže v posamezni terminski izmeri in jo v začetni fazi lahko imenujmo samo vektor koordinatnih sprememb. Da lahko spremembe koordinat definirajo vektorsko polje premikov, je potrebno nujno zagotoviti dvoje (Xu et al. 2000): i. Zagotoviti moramo enotni geodetski datum v obeh časovno ločenih izmerah. Enotni in pravilno/smiselno definirani geodetski datum zagotavlja, da lahko premike točk izrazimo s spremembami koordinat točk mreže. ii. Za določitev deformacij (komponent tenzorja deformacij) in rotacij telesa moramo poznati vektorsko polje premikov v vsaki točki obravnavanega deformabilnega telesa ali objekta. Če ne upoštevamo glavnih predpostavk (i) in (ii), uporabljenih pri definiciji premika, imamo opravka z realno situacijo, ko: • sta bila v obeh časovnih trenutkih t1 in t2 uporabljena različna koordinatna sistema, • lahko rešitev vsebuje mnogo poljubnih konstant, ki podajajo rotacijo, translacijo in spremembo merila geodetske mreže. Enak koordinatni sistem v dveh ločenih izmerah bi teoretično lahko zagotovili, če bi imeli enako geometrijo mreže, enak tip in število opazovanj, enak instrumentarij, enake vremenske pogoje, enake vrednosti danih količin ter način obdelave opazovanj (Sterle 2007). Vse to doseči pa je praktično nemogoče. Zato je primernejša obravnava pod predpostavko, da imamo v različnih izmerah opravka z različnimi geodetskimi datumi ali koordinatnimi sistemi. Problem nekontinuiranega podajanja premikov točk, iz katerih računamo deformacije telesa, lahko bistveno omilimo z že omenjenimi predpostavkami o homogenih deformacijah (poglavje 3.2) in s pravilno izbiro položajev in gostote točk na objektu. Iz vseh omenjenih razlogov vektorja u ne moremo obravnavati kot vektorja premika točk ampak samo kot koordinatno spremembo, ali drugače kot nek morebitni premik točk. Če deformacijsko analizo izvajamo na osnovi rezultatov izravnave prostih mrež, taka obravnava ni korektna in lahko povzroči zavajajoče informacije o deformacijah obravnavanega objekta. Izravnava proste mreže namreč poteka po metodi najmanjših kvadratov na posredni način z uporabo samo notranjih opazovanj (kotov in dolžin), približnih koordinat točk v geodetski mreži in brez zunanjih informacij o koordinatnem sistemu geodetske mreže. V tem primeru govorimo o definiranju datuma z notranjimi vezmi. Namesto koordinat točke mreže, azimuta, razdalje ali zenitne razdalje v mreži, se notranje vezi nanašajo na neke navidezne datumske količine v mreži. Notranje vezi zahtevajo izpolnitev nekaterih pogojev za izračun neznank v prosti mreži, kot so opisani v nadaljevanju (poglavje 5.2.2). Definiranje datuma v prosti mreži pomeni, da mora poleg vsote kvadratov popravkov opazovanj tudi vsota kvadratov popravkov neznank biti minimalna. Raziskave so pokazale (Xu et al. 2000, Proszynski 2003), da je z obravnavo samo prostih mrež, to je brez navezave na zunanji referenčni koordinatni sistem, nemogoče določiti absolutne premike točk v geodetski mreži. Način definicije datuma, kot ga zagotavlja izravnava v prosti mreži, ne more zagotoviti enotnega in fizično predstavljivega izhodišča za orientacijo geodetske mreže v posamezni terminski izmeri. Zato tudi ne more zagotoviti smeri dejanskega premika točk in njegove natančnosti in tudi ne vrednosti deformacij v posamezni točki, ki jih računamo iz tenzorja deformacij. Podane so bile različne rešitve (Xu et al. 2000), ki pa vse po vrsti zahtevajo, da je vsota kvadratov popravkov koordinatnih neznank po posameznih koordinatnih oseh enaka nič ali za celo množico točk ali pa za neko podmnožico točk v mreži, kar pa je lahko daleč od realnosti. V raziskavi (Xu et al. 2000) je bila izvedena tudi empirična analiza morebitne neodvisnosti izračunanih sprememb položajev točk v geodetski mreži od definicije geodetskega datuma. Zaključki te analize so pokazali, da relativne spremembe položajev točk niso datumsko neodvisne količine. Zato jih ne moremo enolično določiti v geodetski mreži brez definiranega geodetskega datuma, torej v prosti mreži. Če geodetska mreža nima definiranega datuma, v smislu določenega zunanjega koordinatnega sistema, potem izračunani vektorji premikov točk niso enolično določeni, ker: • ne moremo z gotovostjo trditi, da se domnevno stabilne točke niso premaknile in • tehnike generalizirane inverzije vsebujejo nekatere dodatne pogoje. V nadaljevanju bomo najprej razložili pojme geodetskega datuma in transformacije S. Nato bomo skušali raziskati vpliv različno definiranih geodetskih datumov mreže v posameznih terminskih izmerah na izračunane vrednosti deformacijskih parametrov v točkah geodetske mreže. Preko možnih invariant tenzorja deformacij bomo ugotovili, ali je bil pri izračunu koordinatnih neznank v posamezni terminski izmeri zares uporabljen enotni in enolično definiran koordinatni sistem. Cilj bo tudi dokazati, da definicija geodetskega datuma, kot ga zagotavlja prosta mreža, ni primerna tako za obravnavo premikov kot deformacij točk v geodetski mreži. Na podlagi ugotovitev o primernosti definiranega geodetskega datuma v posamezni terminski izmeri bomo lahko v nadaljevanju sklepali na pravilnost in statistično značilnost izračunanih deformacij v posamezni točki geodetske mreže. 5.2 Geodetski datum Geodetski datum geodetske mreže je definiran kot najmanjše število parametrov, potrebnih za določitev koordinat novih točk v geodetski mreži glede na predhodno definiran koordinatni sistem. Problem datuma geodetske mreže izhaja iz tega, da običajna geodetska opazovanja, t.i. notranja opazovanja, omogočajo kvečjemu določitev samo relativnih položajev točk mreže. V geodetski mreži namreč opazujemo horizontalne kote (smeri), dolžine, višinske razlike ter relativne položaje (GNSS), ki so notranja opazovanja. Na drugi strani pa zunanja opazovanja predstavljajo količine, ki so določene glede na predhodno definiran koordinatni sistem (astronomske koordinate točk (<£>, A, H), elipsoidne koordinate (ip , A ; h), kartezične koordinate v globalnem koordinatnem sistemu (X, Y, Z)) in nimajo neposrednega vpliva na notranjo geometrijo geodetske mreže oz. na relativne položaje točk v geodetski mreži. Ta dejstva govorijo o tem, da samo iz klasičnih geodetskih opazovanj, brez dodatnih informacij o geodetskem datumu, ne moremo izračunati koordinat v predhodno definiranem koordinatnem sistemu. Problem definiranja geodetskega datuma geodetske mreže nastopa v različnih primerih, predvsem pa pri vzpostavitvi geodetskih mrež za najnatančnejše naloge, npr. geodetske mreže za potrebe deformacijske analize. Z navezavo take mreže na državni koordinatni sistem bi bili primorani privzeti dane koordinate točk v državnem koordinatnem sistemu. Te bi po kakovosti določitve zaostajale za koordinatami točk, določenimi v okviru natančnosti meritev lokalne geodetske mreže. Meritve v deformacijskih mrežah opravljamo z najsodobnejšim instrumentarijem in metodami izmere, ki zagotavljajo veliko nadštevilnih opazovanj in jih obdelujemo s postopki, ki omogočajo obravnavo vseh vplivov na opazovanja. Zato koordinat točk v okviru deformacijske analize ne računamo v geodetskem datumu državnega koordinatnega sistema, ampak definiramo geodetski datum lokalnega koordinatnega sistema, v katerem nato spremljamo spremembe lege točk v mreži. Zato je pri vzpostavitvi lokalne geodetske mreže za deformacijsko analizo potrebno pred prvo določitvijo koordinat točk v mreži definirati geodetski datum. Ta določitev se v osnovi ne razlikuje od določitve datuma v večjih geodetskih mrežah, ki omogočajo določitev koordinat točk v državnih in globalnih koordinatnih sistemih. Pri določanju geodetskega datuma geodetske mreže velja nekaj splošnih pravil. Če v geodetski mreži geodetski datum ni ali ni v celoti določen, ga je potrebno določiti z ustreznimi datumskimi parametri. Notranja in morebitna zunanja opazovanja lahko določajo nekatere datumske parametre, preostali nedoločeni datumski parametri pa se v geodetski mreži kažejo kot nepopolnost ali defekt geodetskega datuma (d je število preostalih nedoločenih datumskih parametrov). Če sedaj zagotovimo natanko toliko danih datumskih količin, kot je število preostalih potrebnih datumskih parametrov, govorimo o enolično določenem geodetskem datumu. V tem primeru z izbiro danih količin oz. vezi med danimi količinami in parametri za definiranje geodetskega datuma ne posegamo v notranjo geometrijo geodetske mreže, kar je tudi edina sprejemljiva možnost za korektno obravnavo geodetskih mrež. Opozorimo tudi na pojav predoločenosti geodetskega datuma. Geodetski datum je v tem primeru definiran z več količinami, kot je to nujno potrebno. Zato je izračun koordinat točk v geodetski mreži obremenjen z nepravilnostmi datumskih parametrov, kot jih definirajo koordinate danih točk, kar ni dobro, saj se nepravilnosti datumskih parametrov prenesejo na izračunane koordinate novih točk. Ocenjevanje notranje natančnosti geodetske mreže je zato lahko težavno. Dejstvo je tudi, da je geodetski datum lahko podvržen spremembam, zato se lahko skozi čas spreminja. S časom se namreč razvijajo merske metode in instrumentarij, ki je vse natančnejši. Tako v geodetsko mrežo vključujemo kvalitetnejša opazovanja in s ponovnimi izravnavami mreže izboljšujemo kakovost koordinat točk, ki definirajo geodetski datum geodetske mreže oz. ga definiramo na novo. S tem se spreminjajo koordinate točk v geodetski mreži, ki jih lahko med sabo analitično primerjamo, če poznamo zveze med koordinatami točk, določenimi glede na različno definirane geodetske datume. Najbolj pogosta sprememba geodetskega datuma v času je sprememba položajev točk, ki definirajo geodetski datum. Število potrebnih datumskih parametrov je torej odvisno od vrste opravljenih opazovanj in od razsežnosti prostora, v katerem določamo koordinate točk. Na primeru lokalnih geodetskih mrež za deformacijsko analizo nas zanimajo horizontalne koordinate točk (x , y), zato je število potrebnih datumskih parametrov, ki jih moramo določiti ali privzeti iz danih količin, največ štiri (Preglednica 5-1). Parametri, ki jih je potrebno definirati za zagotovitev geodetskega datuma so zasuk ali rotacija, premik ali translacija in merilo. V osnovi geodetski datum zagotovijo zunanja opazovanja (zunanje količine), lahko pa posamezne datumske parametre definirajo tudi geodetska opazovanja (notranje količine, notranja opazovanja) v geodetski mreži. Merjene dolžine v geodetski mreži določajo merilo mreže, morebitna opazovanja azimuta zagotavljajo orientacijo mreže, merjeni koordinati ene od točk v geodetski mreži zagotavljata poznavanje premika (translacije) geodetske mreže glede na izhodišče koordinatnega sistema. Preglednica 5-1: Datumski parametri pri različnih tipih geodetskih mrež. Table 5-1: Datum parameters for different types of geodetic network. tip mreže datumski parametri defekt datuma - d višinska mreža 1 translacija (v smeri osi z - tz) 1 ravninska mreža 2 translaciji (v smeri osi x - tx in osi y - ty) 1 rotacija (okrog osi z - u>z) 1 merilo (s) 4 prostorska geodetska mreža 3 translacije (v smeri osi x - tx, y - ty in z - tz) 3 rotacije (okrog osi x - uix , y - in z - ujz ) 1 merilo (s) 7 5.2.1 Definiranje geodetskega datuma z minimalnim številom zunanjih opazovanj Čeprav lahko datumske parametre geodetskih mrež zagotovijo zunanja opazovanja, je določanje datumskih parametrov na tak način precej neekonomično (astronomska opazovanja so npr. zelo draga) ali pa so ta slabo določena (absolutne koordinate v primeru opazovanj GNSS, astronomsko določene koordinate). Ena od možnosti za zagotovitev geodetskega datuma geodetske mreže je vzpostavitev določenih zahtev (vezi), ki jih mora mreža izpolnjevati. Datumski parametri so teoretično lahko podani z danimi količinami (danimi koordinatami točk v mreži - danimi zunanjimi opazovanji) ali z dodelitvijo velikih vrednosti uteži posameznim koordinatam točk, ki nastopajo v izravnavi kot opazovanja (Chen et al. 1990). Datum mora biti definiran tako, da datumski parametri ne vplivajo na notranjo geometrijo geodetske mreže. Zato ne smemo definirati več datumskih parametrov, kot jih potrebujemo za zagotovitev geodetskega datuma geodetske mreže. Tak način definiranja geodetskega datuma imenujemo definiranje geodetskega datuma z minimalnim številom vezi med datumskimi parametri. V primeru ravninske geodetske mreže moramo definirati največ štiri datumske parametre (Preglednica 5-1). Datum lahko definiramo s štirimi koordinatami dveh točk. Če v mreži opazujemo dolžine, moramo definirati tri datumske parametre (merilo določajo merjene dolžine). Datum definiramo z dvema danima koordinatama ene točke in enim azimutom. Ker v praksi le redkokdaj opazujemo azimut, privzamemo v tem primeru za dano eno točko z dvema koordinatama in eno dano koordinato druge točke. Za definiranje datuma v ravnini imamo naslednje vezne enačbe (Kuang 1996, Marjetič in Stopar 2007): 6xl = 0 , 8yl = 0 - zagotovimo, da ni premika točke , v 2 = bT2<5p12 = 0 - zagotovimo, da ni spremembe smeri med in T2, b , = \ -b2 b2 = A y_ °12 Ar° 12 °12 A y_ 0 Ax° '12 12 °12 °12 (5.3) v^ = b^<5p12 = 0 - zagotovimo, da ni spremembe dolžine ali merila med in T2, ka, — /l /2 /l /2 — A4 A y\ D12 12 D12 Ax 12 12 A ž/i 2 °12 (5.4) kjer je: T (x1, y1), T2 (x2, y2 ) - točki geodetske mreže, ■ T - - - .T <$p12 = 6x1 6yl 6x 2 öy2 , Ax02 = x2 — x0 , Ay02 = y0 — y0 - razlike približnih koordinat, 502 = yj( Ax02 )2 + ( Ay02 )2 - približna dolžina med Tl in T2. Vezne enačbe lahko zapišemo v matrični obliki: dta=o (5.5) 2 2 2 2 Ü Ü Ü Ü Ü 0 0 o o kjer je: Dt 0 1 o o o o h —br, —h h datumska matrika dimenzije 4 x 2m A - rešitev sistema enačb (3.1). Imamo več možnosti pri definiranju geodetskega datuma: Če bi v mreži opazovali en azimut, bi odstranili 3. vrstico, če bi opazovali dolžino, pa 4. vrstico datumske matrike D. Če bi v mreži izbrali eno točko za dano točko, bi odstranili 1. in 2. vrstico v datumski matriki D. Če bi v mreži izbrali eno koordinato točke za dano (npr. koordinato x), bi odstranili 1. vrstico v datumski matriki D. 5.2.2 Definiranje geodetskega datuma z notranjimi opazovanji (notranjimi vezmi) Definiranje geodetskega datuma z notranjimi opazovanji predstavlja naslednjo možnost definiranja geodetskega datuma z minimalnim številom vezi, ki temeljijo na vrednostih nekaterih ali vseh koordinatah točk geodetske mreže, vključenih v izravnavo. Tu govorimo o izravnavi proste mreže. Prosta mreža je tista, v kateri koordinat nobene točke ne privzamemo kot dane. Namesto koordinat točke mreže, kakšnega azimuta ali kakšne razdalje se notranje vezi nanašajo na neko navidezno točko, na nek navidezni azimut, neko navidezno dolžino v mreži. V ravnini in prostoru zahtevajo notranje vezi izpolnitev naslednjih pogojev za prosto mrežo: • koordinate težišča mreže (srednja vrednost približnih koordinat točk v mreži) se po izravnavi ne smejo spremeniti, • mreža se glede na težišče v povprečju ne sme zasukati, • velikost geodetske mreže (povprečna razdalja med težiščem in posameznimi točkami mreže) mora ostati nespremenjena. S tem zagotovimo merilo mreže. Matematično iz enačb transformacije sestavimo vezne enačbe, ki zagotavljajo izpolnitev notranjih vezi. Vezne enačbe zagotavljajo, da je vsota kvadratov razlik med približnimi in ocenjenimi vrednostmi koordinatnih neznank najmanjša možna: AT A= min. (5.6) Izpeljavo veznih enačb izravnave z notranjimi vezmi med neznankami izvedemo za ravninsko geodetsko mrežo. Tako imamo štiri datumske parametre, ki jih moramo določiti (Preglednica 5-1). Dane imamo približne koordinate točk: 0 0. 1 Vi, xi , i = 1 ... m. Izravnane ali ocenjene koordinate lahko povežemo s približnimi koordinatami s Helmertovo transformacijo, kjer imamo naslednje transformacijske parametre: • kot zasuka uj , • merilo mreže s premika mreže v smeri obeh koordinatnih osi tx in t : xi + Sxi tX = Vi +SVi = v + s- Vi cos uj — sin Lü sin uj cos lü tx in 01 xi 0 Vi . (5.7) Glede na zgoraj naštete vezi, ki jih morajo izpolniti neznanke oziroma koordinate točk v mreži, lahko pričakujemo, da se bo mreža zasukala za majhen kot Suj ter spremenilo merilo mreže za majhno vrednost Ss. Diferencialni spremembi zasuka in merila sta s prvotnima vrednostima zasuka in merila povezani z izrazoma: Suj = u) — uP in Ss = s — s° . (5.8) Določiti želimo torej štiri parametre za definiranje geodetskega datuma ravninske geodetske mreže (č txl lü in s). Zato enačbo (5.8) lineariziramo v okolici približnih vrednosti s° = 1 in uj° = 0 , tako da velja: s = 1 + č.s, UJ = Suj . (5.9) Če to upoštevamo, velja: x® + 6x% = tx + 1 + Ss ■ cos Suj ■ x° — sin Soj ■ , (5.10) Vi + i = ty + 1 + • sin Suj ■ xi + cos Suj ■ yi . Če predpostavimo, daje Suj majhen kot (sin&) « Sco in cos Sco « 1) in zanemarimo člene, v katerih nastopajo produkti popravkov približnih vrednosti neznanih transformacijskih parametrov, lahko enačbo (5.10) zapišemo kot: 8xl = tx — Suj ■ yl + 8s ■ xl, 6yi = t + Su- x? + 6s ■ y-.' (5.11) oziroma v matrični obliki: 6xi 1 0 r = • \ tx \ 6Vi 0 i vi (5.12) c 0 Vidimo, da je popravek koordinate y sestavljen iz premika tv , člena ocoz ■ xi , ki vsebuje zasuk mreže in Ss • y, ki vsebuje spremembo merila mreže. Zahtevi, da se naj mreža v povprečju ne premakne, je enakovredna zahtevi, da naj bo vsota popravkov približnih vrednosti koordinat vseh točk enaka 0: X>i = o, = o (5.13) i=l i=l Zahtevo, naj se mreža v povprečju ne zasuka, lahko zapišemo kot: m Yj y^Sxi — x^Syi = 0. Zahtevo, naj se velikost mreže v povprečju ne spremeni, lahko zapišemo kot: m Y\ x°l8xl + y°l6yl = 0 . (5.14) (5.15) Enačbe od (5.12) do (5.15) lahko zapišemo v matrični obliki ali v obliki t.i. veznih enačb: (5.16) hta=o kjer je h = 1 0 1 0 .. 1 0 0 1 0 1 .. 0 1 0 0 0 0 0 0 ~Vi Xy V 2 x2 ■ ~Vm Xm 0 0 0 0 0 0 Xy Vi x2 ž/2 ■■ Xm V m (5.17) T Matrika H predstavlja matriko Helmertove transformacije. Numerično primernejša je normirana oblika datumske matrike H, kjer vsako vrstico matrike HT delimo s pripadajočo normo te vrstice, pred tem pa koordinatne komponente reduciramo na težišče mreže. Prvi dve vrstici v matriki HT podajata zahtevo, da se mreža ne premakne, tretja vrstica zahtevo, da se mreža ne zasuka in četrta, da merilo mreže ostane nespremenjeno. Če smo v mreži že opazovali katero od količin, izbrišemo ustrezno vrstico v matriki HT. Če je datum mreže zagotovljen na podlagi zunanjih opazovanj oz. zunanjih vezi, matrike H ni potrebno sestavljati. Med matriko H in matriko koeficientov enačb popravkov B obstaja pomembna zveza: BH = 0. (5.18) Ker sta prostora, ki ga napenjajo vrstice matrike B in pripadajoče matrike normalnih enačb T N = B PB enaka, lahko zapišemo tudi zvezo: NH = 0. (5.19) Iz enačbe (5.19) izhaja, da stolpci matrike H predstavljajo lastne vektorje matrike N za lastno vrednost A = 0 (Van Mierlo 1980). 5.2.3 Izravnava geodetske mreže po metodi najmanjših kvadratov z upoštevanjem notranjih vezi za določitev geodetskega datuma Izravnava opazovanj v geodetski mreži po metodi najmanjših kvadratov z minimalnim številom notranjih vezi za definiranje geodetskega datuma mreže poteka po postopku izravnave funkcijsko odvisnih neznank: v + BA= f = d -1, HTA= O (5.20) V okviru izravnave po metodi najmanjših kvadratov moramo izpolniti zahtevo, da je vTPv = min. Tako dobimo rešitev za vektor popravkov približnih vrednosti neznank A z: A= N + HHT 1 - HHT BTPf. (5.21) s pripadajočo matriko kofaktorjev in referenčno varianco a-posteriori: Qaa =((N + HHt )-1 - HHT )-\ vTPv -1 (5.22) n - (2m - d) kjer je: 2m — d = rang B = rang N - razlika med številom koordinatnih neznank 2m in defektom datuma d v mreži. Z datumsko matriko (D ali H) prevedemo singularni sistem v regularnega, ki ga lahko rešimo. 5.3 Transformacija S Opazovanja v geodetski mreži ne podajajo vseh potrebnih informacij o koordinatnem sistemu oziroma geodetskem datumu mreže, v katerem so predstavljeni položaji točk. Za definiranje koordinatnega sistema je potrebno imeti na voljo določeno število datumskih parametrov, ki jih zagotovimo z vključitvijo ustreznega števila danih količin v izravnavo. Rešitev problema izravnave opazovanj v geodetski mreži po metodi najmanjših kvadratov, na osnovi minimalnega števila znanih datumskih parametrov, vodi v reševanje regularnega sistema normalnih enačb. Če ne zagotovimo potrebnega števila datumskih parametrov za definiranje geodetskega datuma, pride do singularnosti sistema normalnih enačb. Tak primer se pojavi v primeru proste mreže, kjer ne privzamemo nobene koordinate točke kot dane. Iskanje rešitve izravnave proste mreže oz. singularnega sistema normalnih enačb lahko izvedemo na dva načina: • Prvi način je določitev minimalnega števila zunanjih vezi (glej enačbo (5.5) ali (5.16)) oz. definiranje potrebnega števila datumskih parametrov za definicijo koordinatnega sistema. Ko definiramo potrebno število datumskih parametrov, imamo opravka z regularnim sistemom normalnih enačb, ki omogoča pridobitev enolične rešitve za neznanke. • Drugi način je rešitev singularnega sistema normalnih enačb. Ta rešitev ni enolično določena in zagotavlja pridobitev pristranske ocene neznank. Nato pa to rešitev preračunamo v enolično s transformacijo S. 5.3.1 Izravnava proste mreže in transformacija S Zapišemo lahko sistem lineariziranih enačb opazovanj (enačba (3.1)), pri čemer predpostavimo, da smo predhodno odstranili orientacijske neznanke na vseh stojiščih. Če ne obravnavamo nobene točke kot dane, potem govorimo o izravnavi proste mreže in predstavlja enačba (3.1) singularni sistem n enačb opazovanj v geodetski mreži. Rešitev dobimo z rešitvijo sistema normalnih enačb (izrazi (3.1) in (3.2)): NA= t A=N~1t, (5.23) kjer je: tm — rtpb (5.24) t = BTPf. Tako matrika koeficientov neznank B, kot matrika normalnih enačb N sta singularni in imata defekt ranga enak defektu datuma (d) geodetske mreže (manjkajoče število potrebnih datumskih parametrov). Ker imata matriki B in N isto bazo prostora, veljajo za njiju enake lastnosti. Ker je N singularna, velja, da det(N) = 0. To pomeni, da inverzna matrika N-1 ne izpolni pogoja za navadno inverzijo matrike: NN-1 = I. (5.25) Matrika N izpolnjuje pogoje generalizirane inverzije, ki jo označimo z N~ (Rao in Mitra 1971): NN"N = N. (5.26) Zato lahko zapišemo splošno rešitev za A A= N~t. (5.27) Dejstvo je, da ni enolično določena oziroma obstaja neskončno mnogo matrik N, ki izpolnjujejo pogoj (5.26). Tako dobimo neskončno mnogo rešitev za Ax . Da bi transformirali neenolično in pristransko rešitev za A v enolično in nepristransko rešitev, je potrebno poiskati primeren operator S, ki bo izpolnil naslednji pogoj (Van Mierlo 1980): S = SN~N = SB~B. (5.28) Operator S transformira pristransko rešitev v koordinatno definirano rešitev z izbranima premikoma, orientacijo in merilom in ga imenujemo matrika transformacije S. Ena od možnosti je tudi uporaba psevdoinverzije za iskanje enolične rešitve: Apra=N+t. (5.29) N+ v enačbi (5.29) predstavlja Moore-Penroseovo psevdoinverzijo, ki določi tisto rešitev normalnih enačb, ki minimizira evklidsko oz. drugo normo vektorja A—>A A= min. (Rao in Mitra 1971). Enačba (5.29) predstavlja rešitev proste mreže Apm, ki jo lahko izračunamo tudi iz neenolično definirane pristranske rešitve (5.27) z uporabo ustrezne transformacijske matrike Spm , ki je podana z izrazom (Van Mierlo 1980): Spm = B+B) , , (5.30) Apra= SpraA= B BA= B I. Z upoštevanjem lastnosti psevdoinverzije lahko dokažemo, da je matrika Spm idempotentna: spmspm = B+BB+B = B+B = S pm. (5.31) Matrika Spm izpolnjuje pogoj operatorja, ki preslika pristransko neenolično rešitev v koordinatno definirano rešitev (pogoj (5.28)): Spm = SpmB B oziroma Spm = SpmN N. (5.32) Dokaz: SproB"B = B+BB B = B+B = Spm Iskanje enolične rešitve psevdoinverzije preko matrike Spm ni najbolj praktično. Cilj je pokazati, da je možno transformirati pristransko rešitev v nepristransko z uporabo matrike Spm . To lahko razložimo na geometrijski način. Če predstavlja H nulti prostor matrike N, je nulti prostor d dimenzionalen (d je defekt datuma). Ker je N = BTPB, obstajata zvezi (5.18) in (5.19). Matrika H vsebuje podatke o premiku, zasuku in merilu mreže. Torej je matrika Spm linearni operator oz. ortogonalni projektor, ki projicira vektor A iz nultega prostora matrike B v prostor, ki ga napenjajo stolpci matrike B (Van Mierlo 1980, Teunissen 2003). Ker je prostor, ki ga napenjajo stolpci matrike I B+B enak kot nulti prostor matrike B, oziroma ker sta prostora, ki ga napenjajo stolpci matrike H in HH+ enaka, sta potemtakem enaka tudi prostora I — B+B in HH+. Zato lahko zapišemo transformacijsko matriko Spm kot: Spm — I — HH+. (5.33) Enačba (5.33) predstavlja enega od načinov za izračun matrike S pm ■ Za matriko H dimenzije d x 2m velja H+ = HTH HT. Če je H H regularna, kar se zgodi v primeru enolično določenega in predoločenega geodetskega datuma, potem velja H+ = HtH Ht . Sedaj lahko Spm zapišemo kot: Spm =I-H HtH Ht =I-H HtH Ht (5 34) Matrika Spm je singularna in ima enak defekt ranga kot matrika N ali B (ki je enak defektu datuma geodetske mreže). Matrika Spm torej predstavlja matriko transformacije S, ki transformira pristransko, neenolično rešitev A v enolično rešitev, za katero velja, da je ATA=min.To pomeni, da z Spm dobimo tak rezultat, kot če bi izravnavah prosto mrežo. Spm transformira rešitev v poljubnem enolično določenem datumu v rešitev proste mreže, kar je identično rešitvi, ko vse točke določajo datum. Vendar pa nas ne zanima samo, kako iz poljubne rešitve, izračunane v enolično določenem geodetskem datumu, preidemo v rešitev izravnave proste mreže, ampak tudi, kako transformiramo rešitve za A iz enega v drugi enolično določen datum: Agdt= Sgdz^gdj , (5-35) kjer je: Agdi - vektor popravkov približnih vrednosti koordinatnih neznank v datumu gdi, Sgdi - matrika transformacije S, ki projicira poljubno rešitev v rešitev v datumu gdi, Agdj - vektor popravkov približnih vrednosti koordinatnih neznank v datumu gdj. Opomba: indeksa gdi in gdj se nanašata izključno na enolično definirane geodetske datume geodetskih mrež. Matriko S^ dobimo z naslednjo enačbo: Sgdl = I - H HtE^H HTEgdl, (5.36) kjer je: Sgdi - matrika transformacije S dimenzij 2m x 2m (singularna, kvadratna, idempotentna, z defektom ranga d, enakem defektu datuma geodetske mreže), Egdi - matrika dimenzij 2m x 2m, katere izvendiagonalni elementi so enaki 0, na diagonali pa so vrednosti 1 samo na tistih mestih, ki pripadajo posamezni koordinatni komponenti, ki predstavlja dano količino za definiranje geodetskega datuma gdi. Matriko Egrfi lahko obravnavamo kot neke vrste utežno matriko in izraz (5.35) uteženo transformacijo S (Chen et al. 1990). Zanima nas tudi ocena natančnosti transformiranih koordinat. Iz zakona o prenosu varianc in kovarianc lahko matriko kofaktorjev in pripadajočo kovariančno variančno matriko za transformirane koordinate zapišemo: Qgdi _ Q f^gdj qT a a — agdi waa agdii /r ^ J- T I5'37) ^gdi _ o c-L ^AA — **gdi ^AA **gdi' Vemo, da velja enačba transformacije S (5.35) in da je transformacijska matrika singulama z defektom ranga enakim defektu datuma mreže. Ker je matrika S singularna, ne moremo izraziti vektorja neznank A kot = SgdiA.gdi, ampak si pomagamo s psevcloinverzijo. Obe strani enačbe (5.35) pomnožimo z leve z matriko : ^gdi ^gdi= ^tdfigdi ^gdj ■ (5.38) Ker je S+di = S9*} in S^diSgdi = Spm imamo: A _ O-!- C /V _ Qgdi _ Q _ A / r QQ\ gdi ^^gdi gdi gdi ^^gdj pm *~^gdi pm ^^gdj ^^pm t \ • / kjer je: Spmm - matrika dimenzije 2m x 2m, enaka kot Spm s stolpci enakimi 0 na mestih, ki pripadajo datumu gdi. Vidimo, da ne glede na to, katero rešitev vzamemo, če jo pomnožimo s psevdoinverzijo matrike S v obravnavanem datumu, dobimo rešitev izravnave proste mreže oz. primer, ko vse točke definirajo datum (Egdi = I - rešitev z definiranjem notranjih vezi za odpravo defekta datuma). Predstavimo lahko shemo transformacij rešitev iz enega v drugi geodetski datum geodetske mreže (Slika 5-1). yiii. p/I/' Slika 5-1: Shematski prikaz transformacije S. Figure5-1: Scheme representation of S transformation. i 2m Na zgornji sliki (Slika 5-1) vrednost | | predstavlja možno število enoličnih določitev geodetskega datuma. 5.4 Metode izbire skupnega geodetskega datuma mreže dveh terminskih izmer Izbira primernega geodetskega datuma za oceno pravih vrednosti premikov in deformacij je bila predmet mnogih raziskav v zgodovini tega področja. Predvsem se tu osredotočimo na rezultate raziskave v okviru 6. Komisije FIG iz leta 1978, kjer so se različni raziskovalni centri po svetu vključili v proces poenotenja metod in postopkov deformacijske analize (Poglavje 1.3). Predstavili in kasneje uporabili bomo postopek razvit na univerzi v Delftu (Nizozemska) in pristop k določanju območij domnevno stabilnih točk, ki je bil razvit na univerzi New Brunswick (Fredericton, Kanada). 5.4.1 Testiranje homogenosti natančnosti dveh terminskih izmer Vektor premikov, kot že večkrat omenjeno, računamo iz primerjave izravnanih koordinatnih komponent v dveh terminskih izmerah x1 in x2 : u = x2 - xx = x° +A2 - x? +A1 , (5.40) s pripadajočo matriko kofaktorjev: Quu=Qa1A1+QA2A2 (5.41) Obe izmeri sta med seboj primerljivi, če obstaja homogenost natančnosti obeh terminskih izmer. To skladnost preverimo s statističnim testom, kjer imamo ničelno hipotezo: H0 : homogenost natančnosti opazovanj v dveh izmerah: E <7q 2 oziroma 1 = , ce a02 > (5.42) a0,2 °~0,1 Ogi in Fj(Xjl_ni2i zavrnemo ničelno hipotezo in trdimo, da je mreža spremenila svojo obliko v času med obema terminskima izmerama. To pomeni, da so se spremenile koordinate točk v mreži med obema terminskima izmerama. Možno pa je, da so se spremenile samo koordinate točk dela mreže. Z nadaljnjimi testiranji poskušamo določiti tisti del mreže, ki je spremenil svojo obliko. Vektor u in njemu pripadajočo matriko kofaktorjev koordinatnih razlik Qu razdelimo na dva dela: (i) del, ki ni spremenil svoje oblike - F in (ii) del, ki je spremenil svojo obliko - B (Van Mierlo 1978, Zemljak 2006, Heck et al. 1982, Ambrožič 2001): d Qu = qff qfb Q bf Q bb (5.46) Naj bo: pff pfb Q ff Q fb .pbf Pbb Q bf Q bb, = Kvadratno formo v števcu testne statistike T2 (enačba (5.45)) razcepimo na dva statistično neodvisna dela (Ambrožič 2001): utQ> = «1Pu«: T T — u Puu = uFPffup _rp _ UB^BBUB■ (5.47) (5.48) kjer je: ur = UR + PRRPrfU P, ff P ff ■BFuF m ' PFSPRRPrf (5.49) Matrike QFF = QFF = PFF, kot tudi QFF , so regularne, matrika QFF pa mora biti singularna. Le v tem primeru je vektor koordinatnih razlik neodvisen od izbire koordinatnega sistema. Tako kvadratne forme, ki se nanaša na del mreže, ki ni spremenil svoje oblike, ne moremo izračunati po enačbi (5.48). Regularno matriko Qff transformiramo v singularno z minimalno sledjo in defektom geodetskega datuma mreže d z uporabo transformacije S (Van Mierlo 1978, Marjetič in Stopar 2007): Qff Q fb Q bf Q bb Qu = s ff qff qfb qbf qbb ST -ff — (5.50) F b Spp = I — H HTEjyH HTEjy - transformacijska matrika SFF , , kjer je IFF enotska matrika, H - datumska matrika minimalnega števila notranjih vezi (poglavje 5.2.2). E FF = IFF 0 0 0 Prav tako moramo pretvoriti tudi vektor koordinatnih razlik u: - fl Up Üp u = SFF — UB UB. (5.51) Statistično analizo spremembe oblike dela geodetske mreže, za katerega predpostavimo, da ni spremenil svoje oblike, naredimo s testiranjem naslednje ničelne hipoteze: H o : del mreže, katerega točke so vključene v vektor uF , ni spremenil svoje oblike, nasproti alternativne hipoteze: H : del mreže, katerega točke so vključene v vektor Uf , je svojo obliko spremenil. Tvorimo testno statistiko -T !f° o (5.52) kjer je: fF — 2mF — d (2mF se nanaša na obravnavo v ravnini), m,F - število točk dela mreže, ki ni spremenil svoje oblike, d - defekt geodetskega datuma mreže. Testna statistika T3 se porazdeljuje po centralni porazdelitvi F s fF prostostnimi stopnjami. Ce je T?J < ničelne hipoteze ne moremo zavrniti in trdimo, da se koordinate točk dela mreže niso statistično značilno spremenile. Ce je >-F}^ ooi-«/2 > zavrnemo ničelno hipotezo in trdimo, da je del mreže spremenil svojo obliko v času med obema terminskima izmerama. To pomeni, da so se spremenile koordinate vsaj ene točke, ki nastopa v vektorju Uf . Testiranje ponavljamo z izločanjem točk iz vektorja Uf tako dolgo, dokler ničelne hipoteze ne moremo zavrniti. Testno statistiko za testiranje oblike dela mreže lahko sestavimo le za najmanj toliko točk, da je fF> 0. Postopek izločanja točk je naslednji: V prvi iteraciji izločamo po eno točko iz vektorja u^ , ki vsebuje vse točke v relativni mreži in izračunamo pripadajočo testno statistiko T . Če geodetska mreža vsebuje m točk, izračunamo m testnih statistik T3 v prvi iteraciji. Najmanjša izračunana testna statistika T3 za posamezno izločeno točko nam pove, da je bil test za testiranje H0 najboljši in kvadratna forma üpC^pü^ v tej iteraciji najmanjša. To pomeni, da se je pripadajoča izločena točka statistično značilno premaknila in jo izločimo iz vektorja uF in matrike QFF . Naslednjo iteracijo naredimo brez izločene točke v prvi iteraciji in še brez ene točke. Ponovno poiščemo najmanjšo testno statistiko T3 in označimo pripadajočo točko kot točko, ki se je statistično značilno premaknila. Postopek iterativno ponavljamo toliko časa, da ničelne hipoteze ne moremo zavrniti. Takrat trdimo, da se točke, ki so ostale v vektorju uF , niso statistično značilno premaknile, izločene točke pa so se statistično značilno premaknile. S točkami, ki ostanejo v vektorju uF (se niso statistično značilno premaknile), definiramo matriko E transformacije S. Z določeno matriko S transformiramo vektor koordinatnih sprememb u med dvema terminskima izmerama v datumsko pogojeno rešitev. Ta rešitev naj bi podajala realno oceno vektorja koordinatnih sprememb, ki jih uporabimo pri izračunu deformacijskih parametrov in premikov točk geodetske mreže. 5.4.3 Iskanje primernega datuma z uporabo robustnih statističnih metod V primeru iskanja optimalnega geodetskega datuma z metodami robustne statistike (Chen et al. 1990) obravnavamo funkcionalni model transformacije S. Imamo vektor premikov točk u in pripadajočo matriko kofaktorjev Quu kot razliko rezultatov izravnave (proste mreže) dveh terminskih izmer. S transformacijo S lahko rešitev transformiramo v poljubni geodetski datum gdj (enačba (5.35) in (5.36)). Funkcionalni model transformacije S (enačba (5.36)) je torej: ^gdj ^gdj^gdi Qgdj _ e (\gaia uu — ^gdj^uu^gdji I-HHTEgdjR HE -i Ti Jgdj u gdi' (5.53) kjer indeks gdi in gdj označuje geodetski datum. Če ponovno zapišemo Gauss-Markov funkcionalni model (3.1) geodetskih mrež, imamo (Teunissen 2003): v + B A= f = d — 1. (5.54) V teoriji izravnave po metodi najmanjših kvadratov iščemo take rešitve, ki izpolnjujejo pogoj minimalne vsote kvadratov popravkov opazovanj. Te rešitve dobimo v primeru, ko izpolnimo pogoj ortogonalnosti med vektorjem popravkov opazovanj in prostorom matrike B (Teunissen 2003), pri čemer upoštevamo različen vpliv opazovanj, ki ga podajamo z matriko uteži P : BtPv = 0, BtP f - b A = 0. (5.55) iz katerega izhajajo normalne enačbe: BtPBA= BTPf (5.56) Iz (5.55) in (5.56) izhajajo rešitve izravnave po metodi najmanjših kvadratov (na tem mestu jih posebej označujemo z strešico): A= BtPB BTPf = N_1t, (5.57) 1 = d - BÄ , rr* 1 rr* rr* 1 rr* v = f - BA= f - B BtPB B Pf = I - B BtPB BtP f Primerjava modela (5.53) in (5.54) kaže na to, da funkcionalni model transformacije S (5.53) dejansko predstavlja Gauss-Markov model, ki povezuje" opazovanja" ugdi, popravke" ugdj ter neznanke vektorja transformacijskih parametrov ts (glej enačbe (5.12) do (5.16)): u gdj ■ Hts = ugdi (5.58) kjer je rešitev za ts: ts = HTEH HTEuS(, (5.59) Matrika transformacije S in matrika H HTEH HTE predstavljata ortogonalna projektorja, ki projicirata vektor opazovanj ugdi na dve ortogonalni komponenti: tS in ugdj . Če bi reševali model (5.58), bi iskali rešitev za tS pod pogoji metode najmanjših kvadratov, tokrat minimuma vsote kvadratov elementov vektorja ugdj s predhodno nastavljeno matriko uteži E. Model transformacije S podaja torej tisto rešitev, ki minimizira evklidsko normo vektorja koordinatnih komponent točk mreže (enačba (5.6)). Matrika H je datumska matrika notranjih vezi, ki vključuje vse točke geodetske mreže ali drugače: matrika, ki zagotavlja, da vse točke geodetske mreže definirajo datum (primer: prosta mreža). To pomeni, da je matrika E kot matrika uteži tista, ki določa, katerim točkam dodati večji oziroma manjši vpliv pri definiranju datuma. Želimo torej nastaviti tako matriko uteži E, ki bo preko matrike S definirala optimalni geodetski datum oziroma na koncu zagotavljala optimalno rešitev za vektor ugdj . V matematičnem smislu primerno definiran geodetski datum predstavlja pogoj za uspešno reševanje modela (5.58), ki predstavlja parametrični model (tudi vsak model izravnave predstavlja parametrični model). Parametrični modeli imajo v splošnem nekaj prednosti in slabosti (Hampel et al. 1986): • pojav grobih pogreškov vpliva na računane parametre, • model je samo idealizirana aproksimacija realnosti, ki pa je seveda na ta način matematično veliko lažje obvladljiva, • parametričnemu modelu pripada dokaj enostaven stohastični model, • lahko, da je parametrični model napačno izbran, • parametrični modeli ločujejo informacije iz opazovanj na strogo strukturne in strogo slučajne spremenljivke. Pri definiranju geodetskega datuma v funkcionalnem modelu (5.58) se lahko pojavi problem točk, ki so se premaknile. Te točke predstavljajo v modelu transformacije S neke vrste grobo pogrešena opazovanja (enačba (5.53)). Ta problem lahko rešimo z robustnimi statističnimi metodami, ki v splošnem minimizirajo vpliv grobo pogrešenih opazovanj v modelu. Optimalni geodetski datum lahko določimo z uporabo metode največjega verjetja (ang. MLE - Maximum Likelihood Estimation) ali ocene M, ki omogoča določitev najverjetnejše vrednosti za iskan parameter. V splošnem uporaba ocene M za rešitev obravnavanega funkcionalnega modela zahteva določitev minimuma funkcije odstopanj (Jager et al. 2005, Valero in Moreno 2005) ali popravkov ugdj . V obravnavanem primeru transformacije S iščemo minimum funkcije (Jager et al. 2005, Chen et al. 1990, Hampel et al. 1986): p ugdj = min. (5.60) Za ekstrem (minimum) funkcije p ugdj velja, da je prvi odvod te funkcije po ugdj enak 0. Prvi odvod definira vplivno funkcijo (Hampel et al. 1986), ki je oblike (Jager et al. 2005, Valero in Moreno 2005): augdj Ker je ugdj odvisen od tS , za določitev minimuma uporabimo pravilo posrednega odvajanja odvisne funkcije (Jager et al. 2005) in imamo: dP * __d_^ k <9^4 ts dukgt - O, Z^ P ugdj tS - z^ a k dtp V 9 3 k dukgd] dtp rtuk = '^f = (5-62) k dtp u ot„ u Ugdj je k-ti element vektorja ugdj , k = 1...2m (št. koord. komponent), hk je k-ta vrstica matrike H , ki je dimenzije 2m x d (d - defekt datuma), P = tx,ty,a,ds - indeks, ki predstavlja transformacijske parametre med dvema koordinatnima sistemoma (geodetskima datumoma). Iz (5.62) izhaja pogoj ortogonalnosti (5.55) za določitev optimalne rešitve modela transformacije S: HT ug 4> ul ip u 2 m ■gdj H tj) u ugdj 0 l Lgdj i> uldj 0 2 gdj 0 Im 2 m gdj .2 m = HTEu = 0 . (5.63) Za določitev minimuma funkcije p (enačba (5.60)) lahko uporabimo kot oceno M normo oziroma prvo normo vektorja ugdj (Chen et al. 1990, Jager et al. 2005): P ugdj = ||usdj|li = mm-> E/5 ugdj = ERd,I = T\uU - h''tc k k k = mm. (5.64) Če izberemo za oceno M normo L1, potem je vplivna funkcija teoretično definirana z (Jager et al. 2005): ^ U9dj = +1, p u" > 0 -X P Ugdj <° '3di , k ^ ugdj = 1 (5.65) Iz (5.63) in upoštevanjem izraza (5.65) za vplivno funkcijo v primeru uporabe norme L1 kot ocene M , določimo obliko diagonalne utežne matrike E: E = diag ly/jf 'gdj (5.66) i u 2 U 0 k Za določitev rešitve ali določitev minimuma izraza (5.64) uporabimo iterativni postopek prilagajanja uteži v diagonalni matriki E, ki jo na začetku izberemo kot enotsko matriko. Ei = I , za it= 1, 2mx2m /i i (5.67) E? =diag . kjer je: it je število ponovitve ali iteracije, u^ je k-ti element vektorja ur gdj po it -ti iteraciji za referenčne točke r . Postopek ponavljamo toliko časa, dokler razlika med dvema iteracijama za vektor ugdj ni manjša od izbranega kriterija prekinitve iteracijskega postopka (npr. polovica povprečne natančnosti premikov). Po končanem iteracijskem postopku izračunamo vrednost vektorja premikov referenčnih točk r in pripadajočo matriko kofaktorjev: it _ oii r,qdj r r.ndii T (5-68) Qit _ QÜ f-V QÜ r7gdj r ^tr^gdi r ■ Verjetno mirovanje referenčnih točk nato ocenjujemo na podlagi znanih intervalov zaupanja za posamezno točko ob izbrani stopnji tveganja. Če je izračunani premik referenčne točke (enačba (5.68)) zunaj intervala zaupanja, potem to točko označimo kot verjetno nestabilno. Problem nepoznavanja ali neprimerne izbire geodetskega datuma lahko torej rešujemo z minimizacijo prve norme vektorja premikov referenčnih točk (Chen et al. 1990). Ta način zagotavlja geodetski datum, ki je robusten (odporen) na (referenčne) točke, ki se verjetno niso premaknile. Tako omogoča z uporabo transformacije S rešitev proste mreže na optimalno izbran geodetski datum določitev realnih premikov vseh točk geodetske mreže. 5.5 Odvisnost deformacij od relativne spremembe geodetskega datuma med dvema terminskima izmerama Neizpolnjevanje zahtev (i) in (ii) iz poglavja 5.1 lahko privede do napačnih oziroma popačenih vrednosti tenzorja deformacij, ki povzročijo zavajajoče končne sklepe o deformacijskem stanju obravnavanega objekta. V nadaljevanju se bomo osredotočili predvsem na zahtevo prvega pogoja, saj je le-tega bistveno težje popolnoma izpolniti. Če upoštevamo dejstvo, da imamo v dveh terminskih izmerah različno definirane koordinatne sisteme (geodetske datume - gdi in gd2) lahko (5.2) zapišemo kot: kjer se indeksa 1 in 2 nanašata na epohi ti in t2 , oznaki I in II pa na različna tipa generalizirane inverzije v epohi ti in t2 . V (5.69) obravnavamo vektor ü kot razliko koordinat točk mreže z: • različnima premikoma izhodišča koordinatnega sistema (ti in t2), • različnima vrednostima rotacije (rotacijski matriki Ri in R2), • različnima meriloma mreže (skalarja si in s2). Enačba (5.69) je splošna in poleg različnega koordinatnega izhodišča (ti in t2), merila (si in s2) ter orientacije (Ri in R2) upošteva tudi različno natančnost opazovanj (Pi in P2), različno geometrijo mreže (Bi in B2) ter možnost uporabe različnih tipov generalizirane inverzije matrike normalnih enačb (N-® in N-^11-1). u = x Ü = [t2 + s2r2 N2"(n>B2TP2f2 + x°|-[t1 + Slr, Nf^B^Pifi + xi° , (5.69) ü = t2 - tx + s2R2N2~(II)B2TP2f2 - ^N^B/P^ + s - s^x? . u = Če v geodetski mreži v različnih epohah predpostavimo enako izhodišče koordinatnega sistema (ti = 12), enako rotacijo (Ri = R2 ), enake izhodiščne vrednosti približnih koordinat točk mreže (x2 = ) ter če so v mreži opazovane dolžine (merilo mreže znano: s1 = s2 = 1), potem je koordinatna razlika definirana kot: ü = N2-WB2TP2f2 -NfWßTPifi■ (5.70) Iz zgornjega izhaja preprosta ugotovitev, da razlik koordinat točk med dvema izmerama ne moremo preprosto enačiti z realnimi premiki teh točk, ker nimamo opravka z dvema identičnima koordinatnima sistemoma v obeh izmerah. Izračunan premik zahteva natančno poznavanje koordinatnega sistema oziroma korektno določitev geodetskega datuma za posamezno terminsko izmero. Kljub vsem predpostavkam v (5.70) vektor koordinatnih sprememb ü še vedno ne moremo obravnavati kot vektor premikov točk mreže. Problem ostaja v tipu generalizirane inverzije, ki je lahko za različni epohi različen. Problem lahko v praksi rešimo na dva načina (Xu et al. 2000): • prva možnost je izbira ustrezne množice potrebnih datumskih količin v mreži za definiranje geodetskega datuma mreže ali • optimalna izbira enotnega tipa generalizirane inverzije za matriko normalnih enačb, s čimer dobimo spremembe koordinat, ki lahko predstavljajo premike točk geodetske mreže: Ü = N2-B2TP2f2 - N1_B1TP1f1 = u . (5.71) Najbolj splošno uveljavljen način definiranja geodetskega datuma je z uporabo notranjih vezi v prosti mreži na celotni mreži ali pa samo njenem delu. V matematičnem smislu gre za minimizacijo evklidske norme vektorja koordinatnih neznank ||A||2 =AtA= min. (5.6). Ta pristop zahteva, da je vsota popravkov koordinatnih neznank (za vse točke ali samo izbrano podmnožico točk) po posameznih koordinatnih komponentah enaka nič. To seveda nima osnove v realnosti. Vendar vsi načini privedejo do rešitve, ki pa je lahko samo ena v množici in ni nujno, da ta rešitev predstavlja realne vrednosti premikov točk. Vse te rešitve so ekvivalentne pogoju datumske vezne enačbe: HtA=0. (5.72) Rešitev (5.71) s svojimi predpostavkami ni v ničemer boljša ali slabša od katerekoli druge rešitve (5.69), saj ne vsebuje več informacij o deformacijah objekta, predstavljenega z geodetsko mrežo. Z raziskavami je zgolj na empiričen način pokazano (Xu et al. 2000), da je edini pravilen pristop pri obravnavi deformacij na podlagi rezultatov sprememb koordinat točk geodetske mreže pravilno izbran, enoličen in identičen geodetski datum v obeh epohah, ki jih primerjamo med sabo. Definicija geodetskega datuma posamezne terminske izmere naj torej poteka klasično z izravnavo vpete mreže, ki ga definirajo stabilne točke ali pa naknadno z uporabo transformacije S iz proste mreže izračunanih koordinatnih komponent na izbran geodetski datum (Marjetič in Stopar 2007). Pri definiciji geodetskega datuma je potrebno paziti, da je datum geodetske mreže določen enolično. Potrebne datumske parametre definiramo s toliko datumskimi količinami, kot je defekt datuma. V nasprotnem primeru, to je v primeru predoločenega datuma, posegamo v notranjo geometrijo mreže. Z definicijo datuma npr. z več danimi količinami, kot je defekt datuma, pridobimo rešitev, ki minimizira drugo normo za vektor neznank, ki pripada koordinatnim komponentam danih točk (Caspary 1988): ||Afc|2=A*Afc=min., (5.73) kjer je: k - število danih koordinatnih komponent točk v mreži. To pomeni, da izračunamo tudi spremembe koordinat točk, ki jih obravnavamo kot točke, ki se verjetno niso premaknile, kar seveda ni v redu. V primeru predoločenega datuma transformacija S namreč ni več linearna (Marjetič in Stopar 2007). Za pravilno obravnavo premikov in deformacij je torej potreben pravilen enolično definiran in identičen geodetski datum v obeh epohah. Pri tem se najprej zastavlja vprašanje, kako zagotoviti pravilno definiran geodetski datum. Kako ugotoviti, katere količine so tiste, ki lahko zagotavljajo primerno koordinatno osnovo za korektno deformacijsko analizo? Nekaj klasičnih metod smo opisali že v poglavjih 5.4.2 in 5.4.3. Na drugi strani pa je problem tudi v relativni razliki v definiciji geodetskega datuma med dvema izmerama. Vpliv spremembe geodetskega datuma Agd = gd2 — gdi med dvema terminskima izmerama za obravnavano geodetsko mrežo lahko ugotovimo na dva načina. Prvi je, da s spreminjanjem vrednosti datumskih parametrov (zasuka in merila) računamo vrednosti deformacijskih parametrov v geodetski mreži. To storimo posredno preko matrike gradienta vektorskega polja premikov G v posamezni točki. Simulirano funkcijsko odvisnost posameznega deformacijskega parametra v izbrani točki (za izbrano obliko geodetske mreže) lahko direktno grafično predstavimo. Poleg grafične empirične predstavitve funkcijske odvisnosti deformacijskih parametrov bomo funkcijsko odvisnost tudi analitično izpeljali. Analizo vpliva spremembe datumskih parametrov ločimo za spremembo merila in rotacije geodetske mreže, kot bo pokazano v nadaljevanju. Translacije ne obravnavamo, ker nima nobenega vpliva na deformacije v posamezni točki mreže. 5.5.1 Analiza vpliva spremembe datumskih količin na deformacije Raziskava vpliva geodetskega datuma na premike in parametre deformacij in rotacij temelji na simulaciji različnih geodetskih datumov v dveh terminskih izmerah in na analitični določitvi funkcijskih zvez med datumskimi parametri in vrednostmi deformacij in zasukov v mreži. Predpostavimo, da imamo v časovnem trenutku t1 opravka z rešitvijo geodetske mreže xx. V časovnem trenutku t2 pa imamo isto geodetsko mrežo, v kateri je v časovnem intervalu At = t2 — ti prišlo do deformacij, ki imajo za posledico premik točk mreže u. Ker nas zanima samo vpliv relativne spremembe geodetske datuma (Agd) glede na izmero v ^ s koordinatno rešitvijo x1, lahko na osnovi izrazov (5.69) zapišemo: Ü = - Xl = [t + sRx,y, xy Xl + u ] - Xl. (5.74) Sprememba geodetskega datuma A gd se izraža v podobnostni transformaciji koordinatnega vektorj a x1 za: • translacijo t, • spremembo merila s = 1 + ds ter • rotacijo uj iz koordinatnega sistema xy (za x1 v epohi \) v koordinatni sistem xxyx (za X2 v epohi t2). Poenostavimo zapis koordinatnega vektorja = x' in x1 = x. Imamo (glej poglavje 2.5) x = t + sRz i y i jZŽ/x, x' = tx + s x + ux cos uj — y + uy sin uj , (5.75) y' = t + s x + ux sin uj + y + uy cos uj . Zapišemo lahko vektor premikov ü po posameznih koordinatnih komponentah: ü < = x'— x = t + s x + u cos uj — y + u sin uj\ — x, (5-76) Uy< = y'~ y = ty + s\ x + ux sinw + y + uy cosuj \ — y. Tenzor majhnih deformacij in tenzor majhnih zasukov se z upoštevanjem (2.19) v "novem" koordinatnem sistemu x' y' zapiše kot: e' = e i i e i. xx x y e i i £ i i y'x' y y düx< dx' düx, ^ düy, {dü„, dü„, dy' dx' dy' dx' dü„,, dy' (oJ = dü„, düu düy, düx, dx' dy' dy' dx' 0 (5.77) ü Parcialni odvodi v (5.77) se računajo s pomočjo pravil za transformacijo gradienta vektorskega polja (glej poglavje 2.5). Za izračun posamezne komponente tenzorja majhnih deformacij in tenzorja majhnih zasukov uporabimo verižno pravilo: dü%i dü%< dx dü%< dy dx3' dx dxj' dy dx}'' (5.78) i, j = x, y. Za izračun parcialnega odvoda potrebujemo Jacobijevo matriko transformacije iz (5.75): ^x' y\xy dx' dx' dx dy 9y' dy' dx dy = s du.. du„ cos lo 1 + — sin tu —- cos lo —- — sin lo 1 + e, JjJJ r\ ox oy du . duT sin lo 1 + e: + cos u —- sin lo —- + cos lo 1 + e, XX A A ox oy yy yy (5.79) JT, , x y ,xy dx dx dx' dy' dy_ dy_ dx' dy' (5.80) 1 dur du 1 + e 1 +e---—- ^ 1 ^ 1 n o dy dx Qu Qu sin co —- + cos lo 1 + e — cos lo —- + sin lo 1 + e dy yy dy yy du„ du„ -i , y -i , y — sm lo 1 + — cos lo- cos lo 1 + — sin lo- ox ox 1 s Elemente tenzorja majhnih deformacij in tenzorja majhnih zasukov (5.77) izrazimo s komponentami tenzorja majhnih deformacij terminske izmere t1: • za normalno deformacijo, du„ s, lo = 1 + "v v s,lo = 1 + — 1 + e cos lo--— sin lo dy duT du ) 1 + e 1 + e---—- Oy Ox i , , duv - 1 + £xx cos w + a dx yy smo; duT du 1 + e 1 + e---—- dy dx (5.81) za strižno deformacijo, £x — +1.69" 2500 2000 1500 1000 500 30 ppm _r_ 500 1000 1500 x[m] 2500 2000 1500 £ 1000 500 30 ppm 500 1000 1500 x[m] 0 0 0 0 Slika 6-11: Glavne normalne (levo) in strižne (desno) deformacije v točkah mreže. Figure 6-11: Principal normal (left) and shear (right) strains in network points. Iz konkretnega primera lahko hitro ocenimo (Slika 6-11), da približno enake velikosti premikov točk povzročijo znatno večje deformacije v točkah s slabše definirano geometrijo mreže (območje proti točki 12). Izračun deformacij lahko prikažemo tudi na realnem primeru izravnave dveh terminskih izmer. V obeh terminskih izmerah simuliramo opazovanja dolžin in horizontalnih kotov s predpostavljeno a-priori standardno cleviaeijo za dolžine Og ci0i = 1 mm in za smeri ®o smer = (predpostavimo, cla smo uporabili najnatančnejše instrumente za merjenje kotov in dolžin). Nato obe terminski izmeri izravnamo kot prosti mreži, kar pomeni, da upoštevamo pogoje za definiranje geodetskega datuma z notranjimi vezmi (Poglavje 5.2.2). Z izravnavo proste mreže v obeh terminskih izmerah z istimi približnimi koordinatami točk in enakim tipom generalizirane inverzije v enačbi (5.71) zagotovimo približno enak, skupen geodetski datum. Ker so deformacijske količine neodvisne od izbire skupnega geodetskega datuma, dobimo realne vrednosti deformacijskih parametrov. Iz izrisa deformacij v mreži (Slika 6-11) lahko ocenimo statistično značilnost deformacij. Deformacije, ki ob izbranem tveganju öl = 5% segajo izven izračunanih 95% območij zaupanja (Poglavje 6.2) za posamezno točko, označimo kot statistično značilne. Premiki točk so ocenjeni s pomočjo transformacije S vektorja koordinatnih razlik izravnave prostih mrež na geodetski datum točk, za katere ne moremo trditi, da so se premaknile. Te točke določimo s postopki testiranja skladnosti oblike mrež v dveh epohah (Poglavje 5.4.2). Rezultate prikazujemo v preglednici (Preglednica 6-9). Preglednica 6-9: Parametri deformacij in rotacij iz izravnave simuliranih opazovanj dveh terminskih izmer. Table 6-9: Strains and rotations from the least squares adjustment of two epochs. T [ppm] cr„ [ppm] [ppm] C,. °2 [ppm] n 7i [ppm] % [ppm] ah n [ppm] (T, , ^i [ppm] £ [ppm] °XX [ppm] £yy [ppm] 0\ "99 [ppm] F xy [ppm] (Jr [ppm] 1 53.07 4.80 -1.63 5.14 45 27.35 3.62 135 20.78 3.41 53.07 4.66 -1.63 4.98 -0.12 3.41 2 25.54 12.91 6.95 12.88 31 9.30 6.23 149 18.15 11.29 24.40 15.99 8.09 15.94 4.47 11.29 3 28.10 3.59 -2.38 3.65 174 15.24 2.21 6 22.58 2.86 9.86 4.24 15.86 3.85 14.94 2.86 4 29.61 13.02 -2.29 12.84 5 15.95 7.87 175 8.55 10.26 16.53 15.09 10.80 13.91 15.69 10.26 5 23.22 11.48 0.00 10.85 31 11.61 7.48 149 13.58 8.29 21.80 12.10 1.41 11.34 5.55 8.29 6 1.72 9.84 -2.46 8.79 45 2.09 9.18 135 -0.67 1.62 1.72 2.64 -2.46 1.87 -0.01 1.62 7 8.44 15.98 1.02 11.99 43 3.71 8.71 137 0.30 11.12 8.43 17.85 1.03 13.26 0.29 11.12 8 24.30 19.70 9.36 16.45 74 7.47 6.97 106 7.22 16.76 20.87 28.68 12.79 17.34 -6.28 16.76 9 168.15 68.00 7.75 31.74 42 80.20 35.65 138 23.68 39.30 167.65 71.38 8.25 32.91 8.96 39.30 10 238.66 73.20 16.49 27.84 43 111.09 36.32 137 37.28 41.81 238.31 78.37 16.84 29.14 8.84 41.81 11 92.00 41.96 -15.33 31.82 13 53.66 24.43 167 -34.68 28.10 61.52 50.75 15.15 24.16 48.39 28.10 12 106.32 4.25 -30.36 3.38 15 68.34 2.71 165 -19.13 2.79 72.64 4.64 3.33 2.84 58.90 2.79 U) =1.68" Ocenjene so tudi natančnosti deformacijskih parametrov na osnovi zakona o prenosu varianc in kovarianc v izravnavi po metodi najmanjših kvadratov. Primerjava rezultatov izračuna "pravih" vrednosti deformacij in deformacij na podlagi simuliranih opazovanj (Preglednica 6-8 in Preglednica 6-9) kažejo manjša odstopanja. Ta so posledica vpliva spremembe opazovanj znotraj lastnega intervala zaupanja pri simulaciji meritev. 6.3 Analiza vpliva relativne spremembe geodetskega datuma med dvema izmerama 6.3.1 Vpliv razlike v rotaciji geodetske mreže Iz simulacij posameznih rotacij mreže v drugi časovni epohi in analitičnih zvez (5.81) lahko grafično predstavimo odvisnost vrednosti elementov tenzorja malih deformacij od spremembe vrednosti rotacije koordinatnega sistema. Vidimo lahko (Slika 6-12 in Slika 6-13), da se analitično določena (enačbe (5.81)) funkcijska odvisnost (rdeče) popolnoma ujema s empirično določitvijo (zeleno) na intervalu [—7r,+7r]. Poleg tega lahko vidimo, cla se empirično določena normalna deformacij a Exx iz tenzorja velikih deformacij (Poglavje 2.2.1) pričakovano ujema z normalno deformacijo exx iz tenzorja malih deformacij clo določenega kota rotacije (Slika 6-12). 3.5 2.5 E 2 1.5 0.5 "Tv 1 i 1 1 1 \ empirično £ / \ r *x f - \ empirično in analitično e / \ XX f —TT +7T rotacija Slika 6-12: Funkcijska odvisnost normalne deformacije Exx in exx ocl spremembe rotacije na intervalu [—7r,+ 7r] na točki 5. Figure 6-12: Relationship of normal strain Exx and exx with respect to rotation on interval [ — n , +7r] at point 5. Pri strižni deformaciji £xy na prvi pogled ne moremo ugotoviti ujemanja tenzorja malih in velikih deformacij (Slika 6-13). Slika 6-13: Funkcijska odvisnost strižne deformacije Exy in £xy ocl spremembe rotacije na intervalu [—7r,+ 7r] na točki 5. Figure 6-13: Relationship of shear strain EXy and sXy with respect to rotation on interval [—7r , +tt] at point 5. Vrednost strižne deformacije ne presega 20 ppm. Lahko trdimo, da vrednost strižne deformacije v primerjavi z normalno kljub rotaciji ostaja skoraj nespremenjena, zlasti pri manjših vrednostih rotacije geodetske mreže. V realnosti ne moremo pričakovati rotacij clo velikosti 7r. Glede na to, cla v geodetski mreži ni pričakovati spremembe rotacije mreže za več kot nekaj kotnih minut, je primernejša obravnava na manjšem intervalu, npr. [—600" ,+600"]. Grafa (Slika 6-14 in Slika 6-15) kažeta, cla je na intervalu rotacije [—600" ,+600"] obravnava tenzorja malih deformacij dovolj korektna. Razlika med tenzorjem malih in velikih deformacij je praktično zanemarljiva v primeru strižne deformacije, medtem ko ta razlika pri normalni deformaciji znaša okoli 4 ppm na točki 5. Podobna situacija je tudi na vseh preostalih točkah mreže, zato jih v nalogi ne podajamo. Imamo torej specifično obliko krivulje funkcijske odvisnosti normalne deformacije (velja za normalne deformacije po posameznih oseh kot tudi glavne normalne deformacije) od kota spremembe rotacije geodetske mreže med dvema izmerama. Oblika funkcijske krivulje omogoča določitev lokalnega ekstrema funkcije. Definiran je z izenačitvijo prvega odvoda funkcije z vrednostjo nič. rotacija ["] Slika 6-14: Funkcijska odvisnost normalne deformacije Exx in exx ocl spremembe rotacije na intervalu [-600" ,+600"] na točki 5. Figure 6-14: Relationship of normal strain Exx and £" with respect to rotation on interval [ —600 " , +600 "] at point 5. Slika 6-15: Funkcijska odvisnost strižne deformacije Exy in e ocl spremembe rotacije na intervalu [-600" ,+600"] na točki 5. Figure6-15: Relationship of shear strain EXy and £Xy with respect to rotation on interval [—600" ,+600"] at point 5. Imamo primer, da na točki obstaja neka realna deformacija. Tedaj je ob predpostavki enakega geodetskega datuma v obeh izmerah, položaj lokalnega minimuma , na abscisni osi definiran z izrazom (izhajamo iz izrazov (5.81)): ačf? = arctan du, _dy_ 1 + e, vv = arctan 9uv dx 1 + £:r (6.2) Iz (6.2) je razvidno, da se lokalni minimum pojavi vedno pri istem kotu rotacije. Položaj minimuma je neodvisen od merila mreže. V točkah, v katerih ni deformacije, je lokalni minimum pri vrednosti nič (= 0). 6.3.2 Vpliv razlike v merilu geodetske mreže med epohama Na enak način kot vpliv razlike rotacije mreže analiziramo vpliv relativne spremembe dolžinskega merila med dvema terminskima izmerama. Empirično s spreminjanjem merila mreže ali pa na podlagi analitično izpeljanih izrazov (5.81) na nekem izbranem intervalu računamo deformacijske parametre v točkah geodetske mreže, ki jih lahko grafično predstavimo. ■\V5i__i_i_i_i_i_i_i_i_i_J_r -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 s [ppm] Slika 6-16: Funkcijska odvisnost normalne in strižne deformacije ter rotacije od spremembe dolžinskega merila med dvema izmerama na točki 5. Figure 6-16: Relationship of normal and shear strain and rotation with respect to the change of scale between two survey epochs at point 5. Iz grafa (Slika 6-16) je razvidno, da so deformacijski parametri v linearni funkcijski zvezi s spremembo merila (na tem intervalu spremembe s). Tako kot v primeru analize vpliva rotacije vrednost strižne deformacije sxy ostaja konstantna ne glede na spremembo merila. Iz analize vplivov spremembe rotacije in merila geodetske mreže na računane deformacijske parametre v geodetski mreži lahko zaključimo: • Relativna sprememba rotacije in merila med terminskima izmerama praktično nima vpliva na vrednost strižne deformacije sxy v točki. • Diferencialna rotacija v točki je pričakovano v linearni funkcijski zvezi z relativno spremembo rotacije mreže in je neodvisna od spremembe merila. • Relativna sprememba rotacije vpliva na vrednosti normalnih deformacij v posameznih koordinatnih oseh. Oblika funkcijske zveze omogoča določitev lokalnega ekstrema. • Vpliv spremembe merila na normalne deformacije je linearen. S povečevanjem relativne razlike dolžinskega merila med dvema izmerama se povečujejo vrednosti normalnih deformacij, kar je pričakovano glede na definicijo normalnih deformacij. Predpostavljamo, da poznavanje funkcijskih odvisnosti deformacijskih parametrov od relativnih sprememb datumskih količin med dvema izmerama ponuja možnost določitve in upoštevanja spremembe datuma za določitev realnih deformacij in premikov točk v geodetski mreži. To bomo raziskali v nadaljevanju. 6.3.3 Možnost določitve relativne spremembe geodetskega datuma med dvema izmerama Opravka imamo s primerom, da se je v znanem časovnem obdobju med dvema izmerama v mreži zgodila deformacija obravnavanega objekta. Na podlagi geodetskih opazovanj v mreži točk, ki diskretizirajo objekt, z izravnavo po metodi najmanjših kvadratov izračunamo koordinate točk v posamezni izmeri. Izpostavili smo problem neenotnosti geodetskega datuma v dveh ločenih izmerah (poglavje 5.1), ki je pogoj za oceno realnih deformacij objekta. Če nimamo enakega geodetskega datuma v obeh izmerah, s koordinatnimi razlikami definirane deformacije in premiki točk ne odražajo realnih deformacij in premikov. Izjema je le vrednost strižne deformacije £xy, ki je praktično konstanta neodvisno od rotacije in merila mreže (poglavje 6.3.1). Torej je nujno upoštevanje dejstva, da so deformacije količine, odvisne od geodetskega datuma. V praksi je skoraj nemogoče zagotoviti v dveh terminskih izmerah enak koordinatni sistem mreže. Razlogov je več: • dane točke, ki definirajo koordinatni sistem, so se morda med obema epohama premaknile, • pogrešek meritev orientacijske smeri povzroči rotacijo celotne mreže, • merilo dolžin ni enako v obeh izmerah (nepoznavanje merske frekvence elektrooptičnega razdaljemera). Analitično in empirično smo določili funkcijske povezave med relativno spremembo datumskih količin (orientacije in merila mreže) ter vrednostmi deformacijskih parametrov v posamezni točki mreže (poglavji 5.5.1 in 6.3). S temi zvezami skušamo določiti relativno spremembo datuma med dvema izmerama in jo nato upoštevati. V izbranem realnem primeru dveh terminskih izmer predpostavljamo relativno spremembo datuma druge izmere glede na prvo. Z analitičnimi izrazi (5.81), lahko pa tudi s simulacijami različnih vrednosti spremembe posameznega datumskega parametra (merila in orientacije), določimo funkcijsko krivuljo izbranega deformacijskega parametra. Predvidevamo, da bo mogoče zaznati premik krivulje glede na izhodiščno (tisto, ki ni podvržena vplivu spremembe datumskih parametrov) za vrednosti spremembe datumskega parametra, ki je skrit v koordinatni rešitvi druge izmere glede na prvo. Z znanimi relativnimi spremembami datumskih parametrov lahko nato popravimo koordinate točk druge izmere z uporabo štiriparametrične transformacije. S tem obe terminski izmeri datumsko uskladimo in nato računamo realne vrednosti deformacij. Ob izbiri primernega enolično določenega datuma lahko računamo realne vrednosti premikov točk. Uporabimo znane metode testiranja skladnosti oblike mreže ali robustne metode (poglavji 5.4.1 in 5.4.2) Pri določitvi relativne spremembe rotacije bomo uporabili le lastnosti normalnih deformacij. Strižne deformacije so skoraj konstantne na nekem manjšem omejenem intervalu, ki je velikostnega reda skrajnih sprememb rotacije v geodetskih nalogah (npr. [—600",+600"]). Ce obstaja relativna sprememba rotacije mreže A u med dvema izmerama, predvidevamo, da bo prišlo do vzporednega premika sinusoidne funkcijske krivulje normalne deformacije na abscisi za vrednost Aoj (Slika 6-17). Za določitev Acj nas v prvi fazi zanima položaj funkcijske krivulje, ki je podvržena vplivu spremembe rotacije (modra krivulja, Slika 6-17). To krivuljo lahko določimo na dva načina. Prvi način je empiričen. Simuliramo različne vrednosti spremembe rotacije druge izmere glede na prvo in računamo vrednosti normalnih deformacij v posamezni točki mreže. Analitični izrazi (5.81) nam namigujejo obliko zapisa regresijske krivulje za deformacijske parametre tipa f u = a sin cj + b cos u + c. Koeficiente krivulj na posamezni točki mreže določimo z metodo najmanjših kvadratov. Iz znane regresijske krivulje, ki je podvržena vplivu spremembe rotacije, enostavno določimo položaj lokalnega minimuma (Slika 6-17). Drugi način je analitičen. Predhodno smo izpeljali analitične izraze (5.81), ki povezujejo deformacijske parametre s spremembami datumskih parametrov med dvema obravnavanima epohama. S temi izrazi imamo definirano obliko modre krivulje (Slika 6-17) in tudi položaj lokalnega minimuma. Slika 6-17: Horizontalni premik krivulje funkcijske odvisnosti normalne deformacije od relativne spremembe rotacije med dvema izmerama. Figure 6-17: Horizontal shift of curve of normal strain due to unbalanced rotation between two epochs in geodetic network. Kako sedaj določiti iskani premik Aoj ? Ker prave vrednosti normalne deformacije ne poznamo, ne poznamo minimuma realne krivulje (rdeča). Kljub nepoznavanju prave krivulje (rdeče) za normalno deformacijo, lahko problem rešimo na iterativen način z naslednjim algoritmom: KORAK 1: Iz izrazov (6.2) določimo vrednosti minimuma za normalni deformaciji v obeh koordinatnih smereh (za modro krivuljo, Slika 6-17). V izračunu minimuma vzamemo vrednosti normalnih deformacij in parcialnih odvodov (iz matrike gradienta vektorskega polja premikov G) v izhodišču, to je pri (simulirani) spremembi rotacije mreže uj — 0. Te vrednosti vsebujejo še nedefiniran vpliv spremembe rotacije mreže. Na ta način dobimo za vsako točko mreže odmik minimuma Aiu^ od ordinatne osi. AciA?n = arctan du„ dy 1 + e. i-i Aco£" mm = arctan du„, dx yy (6.3) u>=0 i-l ;—0 kjer je: i - iteracija, mm A ufvv- mm položaj minimuma krivulje odvisnosti normalne deformacije od relativne spremembe rotacije mreže na abscisni osi (rotacija) v trenutni iteraciji, i-l e'l 1 - vrednost normalne deformacije pri vrednosti lo = 0 v predhodni iteraciji, "yy dux \i i dUy N , dV . U! = 0 dx - vrednost parcialnega odvoda pri vrednosti uj = 0 v predhodni oj=0 iteraciji. i XX 1 KORAK 2: Izračunamo povprečen odmik minimuma Acj^ od izhodišča za vse točke in za normalni deformaciji po obeh koordinatnih oseh (sxx in £yy). Ao;^ predstavlja približek relativne spremembe rotacije mreže med obema izmerama. KORAK 3: Ker iščemo spremembe rotacije druge terminske izmere glede na prvo, zasukamo nazaj (uporabimo štiriparametrično transformacijo) izračunane koordinate točk druge izmere. S koordinatami točk druge izmere, ki so proste spremembe rotacije Acj^ , izračunamo spremembe koordinat med obema izmerama, iz njih ponovno deformacijske parametre in celoten postopek ponovimo. Iteracijski postopek ustavimo, ko vrednost Ao;^ konvergira k določeni vrednosti. Rezultat tega postopka so položaji točk v obeh terminskih izmerah, med katerimi ni rotacije mreže zaradi napačne definicije geodetskega datuma. Za izbrano testno geodetsko mrežo predpostavimo drugo terminsko izmero z izbranimi premiki točk (vektor u, Preglednica 6-7). Drugi izmeri vsilimo npr. spremembo geodetskega datuma za vrednost relativne spremembe rotacije A lo = +60 " in relativno spremembo merila As = —30 ppm. Rezultati iterativnega postopka kažejo na hitro konvergenco, saj je po drugi iteraciji razlika med korakoma praktično zanemarljiva (Preglednica 6-11). Odstopanje minimuma dejanske (modre) in realne (rdeče) krivulje je enako za vse točke in za obe normalni deformaciji. V vrednosti izračunane relativne razlike v orientaciji mrež med izmerama se pojavi tudi dodatek spremembe rotacije velikosti lo (lo = —1.68"). Ta vrednost predstavlja povprečno rotacijo mreže zaradi premikov točk mreže. Seveda je v realnosti ne poznamo. Jo pa lahko ocenimo iz postopkov izravnave proste mreže z istimi približnimi koordinatami točk v obeh izmerah (Preglednica 6-7) ter pomočjo definicije datuma geodetske mreže s testiranjem skladnosti oblike v dveh izmerah (poglavje 5.4.2) ali uporabo robustnih metod (poglavje 5.4.3). V obravnavanem primeru "prava" vrednost povprečne rotacije mreže zaradi premikov znaša približno 1.69" (izračunano iz "pravih" vrednosti deformacij v mreži - Preglednica 6-8). Z odsekom "realne" krivulje na ordinatni osi bi lahko določili pravo vrednost deformacijskega parametra oziroma deformacije v točki, ki je prosta vpliva relativne spremembe orientacije mreže med dvema epohama. Preglednica 6-10: Sprememba geodetskega datuma druge izmere glede na prvo izmero. Table 6-10: Change in geodetic datum between the first and second epoch. epoha 1 x1 epoha 2 x2 (Aw = +60", As = —30 ppm) T x [m] y [m] 1 +As -RAw • xx+u x [m] y [m] 1 330.0025 644.3416 329.8396 644.5123 2 681.7145 209.2384 681.4144 209.3199 3 1288.8192 100.4551 1288.4693 100.3633 4 1360.0170 635.9645 1359.8207 635.8359 5 856.9534 661.3471 856.7796 661.3640 6 1050.1843 1045.9561 1050.1165 1045.9053 7 649.1559 1268.9611 649.1651 1269.0202 8 995.9023 1508.8545 995.9708 1508.8056 9 748.7054 1861.7658 748.8840 1861.7782 10 870.1663 2045.8437 870.3948 2045.8152 11 832.4740 2439.1110 832.8180 2439.0817 12 578.2152 2681.0670 578.6372 2681.1043 Preglednica 6-11: Rezultati iterativnega postopka. Table 6-11: Results of iterations. Ac mm Auj + uj ["] A ufm min auj + uj ["] T iteracij a 1 iteracija 2 iteracija 3 razlika 1 - 3 iteracij a 1 iteracija 2 iteracij a 3 razlika 1 - 3 1 -2.59 -2.59 -61.68 -3.04 -3.04 -61.68 2 -2.70 -2.70 -61.68 -1.73 -1.73 -61.68 3 -6.10 -6.10 -61.68 -0.34 -0.34 -61.68 4 -3.52 -3.52 -61.68 2.83 2.83 -61.68 5 -2.45 -2.45 -61.68 -0.31 -0.31 -61.68 6 1.70 1.70 -61.68 1.71 1.71 -61.68 7 1.49 1.49 -61.68 1.23 1.23 -61.68 8 1.46 1.46 -61.68 -0.93 -0.93 -61.68 9 -5.30 -5.30 -61.68 -0.63 -0.63 -61.68 10 -8.29 -8.29 -61.68 -3.50 -3.50 -61.68 11 -1.38 -1.38 -61.68 20.09 20.09 -61.68 12 -6.69 -6.69 -61.68 18.99 18.99 -61.68 Do sedaj smo obravnavali samo spremembo rotacije geodetske mreže. Če nas zanima relativna sprememba dolžinskega merila med dvema terminskima izmerama v povezavi z lastnostmi tenzorja deformacij in pripadajočimi deformacijskimi parametri, ne moremo dobiti rešitve. Povezave deformacijskih parametrov s spremembami merila geodetske mreže so linearne. S tem nimamo karakteristične ali oporne točke preko katere bi lahko, tako kot v primeru sprememb rotacij, iskali prave položaje krivulje funkcijske odvisnosti. Problem je tudi v tem, da so vrednosti sprememb dolžinskega merila oziroma normalne deformacije v posameznih točkah v primerjavi s spremembami merila zaradi napačne definicije geodetskega datuma precej večje. Kljub temu je, v primerjavi z relativno spremembo rotacije mreže, problem iskanja relativne spremembe dolžinskega merila manjši. Lahko ga rešimo tako, da med seboj primerjamo vse merjene dolžine v obeh obravnavanih izmerah in dobimo oceno faktorja povečave dolžin med obema izmerama. Ali pa z rešitvijo predoločenega sistema za parametre štiriparametrične transformacije ocenimo vrednost spremembe dolžinskega merila. Zaključimo s tem, da je nepoznavanje orientacije ali rotacije mreže veliko bolj problematično kot sprememba dolžinskega merila. 6.4 Primeri različnih definicij geodetskega datuma in vplivi na računane premike in deformacije v točkah Imamo dve terminski izmeri dolžin in horizontalnih smeri v obravnavani geodetski mreži (Slika 6-1). Predpostavimo, da se je v času med obema izmerama zgodil že obravnavani premik izbranih točk mreže (Preglednica 6-7). Za obe izmeri umetno generiramo opazovanja dolžin (a0dol=lmm) in horizontalnih smeri (o"osmer =1")j ki jih izravnamo po metodi najmanjših kvadratov. Deformacijsko analizo izvajamo na podlagi izračunanih sprememb koordinat točk med obema terminskima izmerama. Ker želimo preveriti vpliv definicije geodetskega datuma na računane premike in deformacije, obravnavamo različne načine izračuna koordinat točk v posamezni terminski izmeri. Koordinate točk izračunamo z: • izravnavo proste mreže z enakimi približnimi koordinatami točk za obe terminski izmeri, • izravnavo proste mreže za obe terminski izmeri z enakimi približnimi koordinatami točk in izvedbo deformacijske analize po postopku Delft in uporabo robustnih metod za definiranje geodetskega datuma referenčnih točk, • izravnavo vpete geodetske mreže v obeh terminskih izmerah. 6.4.1 Izravnava proste mreže z enakimi približnimi koordinatami točk Najprej izvedemo izravnavo proste mreže. Za obe izmeri najprej izvedemo test homogenosti natančnosti (poglavje 5.4.1) ob izbranem tveganju a = 5%. Ker testna statistika Tt ni v kritičnem območju (izraz (5.43)), ničelne domneve ne moremo zavrniti: Tx = 0.9058 € 0.6147, 1.6269 Ne moremo trditi, da sta izmeri različne natančnosti, zato ju lahko primerjamo med seboj. Izračunamo skupno a-posteriori referenčno varianco obeh terminskih izmer ob prostostnih stopnjah ^ = f2 = 65 (za obravnavano geodetsko mrežo): ct01 = 0.3388 , Fj, ^ ±_aj2 = 2.60, lahko trdimo, da je mreža spremenila obliko med izmerama. S testno statistiko Ts s postopnim izločanjem točk lociramo tisti del mreže, kjer sprememba oblike ni statistično značilna. Postopek izločanja točk in pripadajoče vrednosti testne statistike Ts ter kritične vrednosti so podane v preglednici (Preglednica 6-14). Iz rezultatov lahko vidimo, da postopek poleg točk, ki so se dejansko premaknile, izloči tudi nekaj točk, ki se niso premaknile. Da postopek izloči točko 12 kot točko, ki se je statistično značilno premaknila, je predvsem posledica položaja te točke v mreži. Kot je bilo že na različne načine ugotovljeno, točka leži na območju s slabo geometrijo mreže. Že rezultati analize robustnosti mreže na tem delu so pokazali, da majhna sprememba geodetskega opazovanja rezultira dokaj veliko računsko spremembo položaja točke in deformacij. Bolj nenavaden je rezultat izločitve točke 4 in 5, ki jih postopek izloči kot zadnji dve. Verjetno je tu razlog izločitve predvsem numerične narave. Vrednost testne statistike je blizu meje kritične vrednosti zavrnitve. Preglednica 6-14: Rezultati postopka določanja premikajočih točk. Table 6-14: Results of detecting moving points. izločena T T - F/^a-n/2 fF 9 127.0656 1.5865 19 12 103.5757 1.6228 17 1 84.9098 1.6664 15 10 62.9296 1.7202 13 2 42.8769 1.7886 11 3 7.6042 1.8799 9 11 4.0790 2.0096 7 4 2.8064 2.2141 5 5 1.6202 2.6049 3 Rezultati postopka testiranja skladnosti oblike mreže med dvema izmerama določijo točke 6, 7 in 8 kot točke, za katere ne moremo trditi, da so se statistično značilno premaknile. Te točke lahko definirajo geodetski datum, zato lahko nastavimo ustrezno matriko E transformacije S. Transformiramo vektor koordinatnih sprememb med dvema terminskima izmerama (Preglednica 6-12) v datumsko pogojeno rešitev. Preglednica 6-15: Ocenjene vrednosti premikov točk v geodetski mreži. Table 6-15: Estimated values of point displacements in geodetic network. T Ux [m] aux [m] uy [m] auy [m] 1 -0.0306 0.0024 0.0105 0.0028 2 -0.0208 0.0021 -0.0030 0.0041 3 -0.0162 0.0025 -0.0104 0.0046 4 -0.0024 0.0020 0.0120 0.0028 5 0.0028 0.0010 0.0062 0.0024 6 -0.0007 0.0007 0.0020 0.0011 7 0.0017 0.0010 0.0005 0.0004 8 -0.0009 0.0005 -0.0025 0.0012 9 -0.0225 0.0012 0.0078 0.0028 10 0.0169 0.0014 0.0067 0.0036 11 0.0075 0.0025 0.0164 0.0055 12 -0.0045 0.0036 -0.0050 0.0065 Rešitev (Preglednica 6-15) naj bi podajala realno oceno vektorja premikov točk mreže, ki jih uporabimo pri izračunu deformacij in rotacij v točkah geodetske mreže. Matriko E transformacije S, ki jo izračunamo s postopkom Delft, lahko nadgradimo z uporabo robustnih statističnih metod (poglavje 5.4.3). S postopkom iterativnega prilagajanja uteži določimo v matriki E različne uteži in s tem različne vplive posamezne točke, za katere ne moremo trditi, da so se statistično značilno premaknile (to ugotovimo s postopkom Delft). Te točke obravnavamo kot referenčne točke. Ponovno uporabimo transformacijo S za izračun vektorja premikov točk. Iz premikov točk mreže (Preglednica 6-16) izračunamo ponovno deformacije in rotacije v točkah mreže. Glede na to, da s transformacijo S vektorja koordinatnih sprememb izravnave proste mreže ohranjamo identični geodetski datum v obeh izmerah ni pričakovati spremembe vrednosti deformacij. Preglednica 6-16: Diagonalni elementi matrike E in ocenjene vrednosti premikov. Table 6-16: Diagonal elements of matrix E and estimated point displacements. T E xx e yy ux [m] aux [m] uy [m] % [m] 1 0 0 -0.0302 0.0029 0.0101 0.0027 2 0 0 -0.0207 0.0024 -0.0035 0.0041 3 0 0 -0.0161 0.0023 -0.0112 0.0048 4 0 0 -0.0020 0.0018 0.0111 0.0030 5 0 0 0.0032 0.0011 0.0056 0.0025 6 4834 774 -0.0001 0.0002 0.0013 0.0013 7 443 8505 0.0024 0.0015 0.0000 0.0001 8 3933 312 -0.0001 0.0002 -0.0032 0.0014 9 0 0 -0.0215 0.0015 0.0072 0.0030 10 0 0 0.0180 0.0015 0.0061 0.0037 11 0 0 0.0088 0.0026 0.0158 0.0057 12 0 0 -0.0031 0.0037 -0.0055 0.0066 Preglednica 6-17: Deformacije in rotacije iz ocenjenih premikov po postopku iterativnega prilagajanja uteži v matriki E v transformaciji S. Table 6-17: Strains and rotations from the estimated displacements as the result of iterative reweight S-transformation. T [ppm] CT. =1 [ppm] e2 [ppm] 0". [ppm] a-. n 7i [ppm] % [ppm] a7l n "i [ppm] (T, , [ppm] £ [ppm] <7- [ppm] £yy [ppm] 0"_ "99 [ppm] p xy [ppm] [ppm] 1 60.36 9.09 3.30 9.72 43 28.53 6.27 137 21.34 7.02 60.26 9.58 3.41 10.25 2.42 7.02 2 36.52 12.86 17.07 12.86 9 9.72 4.17 171 18.05 12.16 29.90 17.23 23.69 17.17 9.21 12.16 3 43.36 7.62 1.52 8.13 157 20.92 4.85 23 15.91 6.21 7.48 9.19 37.39 8.36 14.63 6.21 4 35.52 20.37 -14.77 21.16 166 25.14 14.87 14 -4.51 14.50 -1.40 21.32 22.15 19.66 22.22 14.50 5 23.08 14.50 1.31 13.97 18 10.89 8.37 162 11.07 11.52 18.73 16.81 5.66 15.75 8.71 11.52 6 -8.97 3.03 -12.73 2.72 49 1.88 0.49 131 -2.34 2.84 -8.99 4.63 -12.72 3.29 -0.25 2.84 7 3.27 40.24 -4.62 33.78 54 3.94 35.00 126 1.05 12.46 3.07 20.00 -4.42 14.86 -1.23 12.46 8 21.69 24.53 -1.99 20.61 79 11.84 14.19 101 8.56 17.66 14.35 30.22 5.35 18.27 -10.95 17.66 9 167.82 72.05 3.27 33.38 43 82.27 38.86 137 23.15 40.53 167.54 73.62 3.56 33.94 6.87 40.53 10 238.17 71.16 15.20 26.97 43 111.48 35.51 137 39.00 40.43 237.86 75.80 15.51 28.18 8.23 40.43 11 106.58 41.32 -15.96 30.29 14 61.27 23.81 166 -37.87 27.30 74.83 49.30 15.78 23.47 53.69 27.30 12 119.19 8.95 -31.61 7.47 17 75.40 5.64 163 -22.83 5.61 85.21 9.75 2.37 7.07 63.00 5.61 UJ =+1.21" Deformacije se bistveno ne spremenijo, so pa spremembe pri rotacijah v točkah. Tako srednja vrednost rotacije znaša +1.21", kar predstavlja boljšo oceno rotacije mreže med dvema izmerama, ki je posledica premikov točk. Če v izračunu deformacij in rotacij uporabimo vektor ocenjenih premikov točk izračunanih s postopkom Delft, znaša povprečna vrednost rotacije mreže +1.11", kar je nekoliko slabši rezultat. Torej s postopkom iterativnega prilagajanja uteži matrike E transformacije S dobimo nekoliko boljše rezultate pri rotaciji mreže. 6.4.3 Primer napačne definicije geodetskega datuma Na koncu poglejmo še primer napačne definicije geodetskega datuma v drugi terminski izmeri. Geodetsko mrežo vpnemo na dve točki (točko 2 in točko 5) oziroma na štiri koordinatne komponente teh dveh točk. Po izravnavi vpete geodetske mreže so popravki približnih koordinat točke 2 in 5 enaki nič. Ker pa se je točka 2 premaknila, to pomeni, da se razlika med koordinatami točk 2 in 5 in dejanskim položajem teh dveh točk prenese na celotno mrežo. Glede na pravi premik točke 2 (Preglednica 6-7) lahko pričakujemo rotacijo in spremembo merila celotne mreže. Preden izračunamo vrednosti premikov in deformacij lahko predvidevamo, da bo predvsem večji vpliv napake v merilu geodetske mreže. Z vpetjem mreže na dve točki (4 koordinatne komponente teh dveh točk) avtomatično zanemarimo dejstvo, da je z merjenimi dolžinami merilo mreže že definirano. Preglednica 6-18: Izračunane koord. spremembe iz rezultatov izravnave vpete mreže na točki 2 in 5. Table 6-18: Estimated coordinate changes as the result of network adjustments with fixed points 2 and 5. epoha 1 vektor premikov epoha 2 T x [m] y [m] Ux [m] aux H uy [m] auy H x [m] y [m] 1 330.0300 644.3347 -0.0142 0.0013 -0.0155 0.0014 330.0157 644.3192 2 681.7345 209.2384 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 681.7345 209.2384 3 1288.8439 100.4613 -0.0125 0.0021 0.0198 0.0015 1288.8314 100.4811 4 1360.0273 635.9604 -0.0219 0.0019 0.0261 0.0014 1360.0053 635.9865 5 856.9534 661.3471 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 856.9534 661.3471 6 1050.1886 1045.9623 -0.0252 0.0012 -0.0103 0.0017 1050.1634 1045.9520 7 649.1561 1268.9686 -0.0173 0.0018 -0.0351 0.0022 649.1388 1268.9335 8 995.9075 1508.8646 -0.0414 0.0023 -0.0332 0.0032 995.8662 1508.8314 9 748.7318 1861.7688 -0.0679 0.0032 -0.0449 0.0047 748.6639 1861.7239 10 870.1560 2045.8491 -0.0398 0.0038 -0.0477 0.0056 870.1161 2045.8014 11 832.4729 2439.1082 -0.0631 0.0052 -0.0534 0.0080 832.4098 2439.0549 12 578.2222 2681.0897 -0.0756 0.0064 -0.0931 0.0093 578.1467 2680.9967 Preglednica 6-19: Deformacije in rotacije iz rezultatov izravnave vpete mreže na točki 2 in 5. Table 6-19: Strains and rotations from the result of network adjustment with fixed points 2 and 5. T [ppm] [ppm] e2 [ppm] ČT-[ppm] (X n 7i [ppm] <7„ /i [ppm] o>„ n n <4 [ppm] O" , [ppm] S [ppm] 0"- [ppm] £ yy [ppm] 0~r "99 [ppm] £ xy [ppm] ~xy [ppm] 1 25.16 48.32 -31.90 49.25 43 28.53 48.28 137 -17.81 7.02 25.06 9.58 -31.80 10.25 2.42 7.02 2 1.32 15.43 -18.13 15.42 9 9.72 9.48 171 -21.10 12.16 -5.30 17.23 -11.51 17.17 9.21 12.16 3 8.16 8.82 -33.69 9.43 157 20.92 6.69 23 -23.24 6.21 -27.72 9.19 2.19 8.36 14.63 6.21 4 0.32 17.83 -49.97 18.49 166 25.14 10.94 14 -43.66 14.50 -36.60 21.32 -13.05 19.66 22.22 14.50 5 -12.12 12.78 -33.90 12.41 18 10.89 5.10 162 -28.08 11.52 -16.48 16.81 -29.54 15.75 8.71 11.52 6 -44.17 2.88 -47.94 2.80 49 1.88 0.12 131 -41.49 2.84 -44.19 4.63 -47.92 3.29 -0.25 2.84 7 -31.93 12.90 -39.82 12.15 54 3.94 1.37 126 -38.10 12.46 -32.13 20.00 -39.62 14.86 -1.23 12.46 8 -13.51 20.40 -37.19 17.94 79 11.84 7.57 101 -30.59 17.66 -20.85 30.22 -29.85 18.27 -10.95 17.66 9 132.62 96.92 -31.93 50.07 43 82.27 65.63 137 -16.00 40.53 132.33 73.62 -31.64 33.94 6.87 40.53 10 202.96 83.91 -20.00 32.35 43 111.48 49.08 137 -0.15 40.43 202.66 75.80 -19.69 28.18 8.23 40.43 11 71.37 46.80 -51.17 34.28 14 61.27 30.62 166 -77.02 27.30 39.62 49.30 -19.42 23.47 53.69 27.30 12 83.99 10.59 -66.81 9.12 17 75.40 7.30 163 -61.98 5.93 50.01 10.53 -32.83 8.15 63.00 5.93 UJ =-6.86" Rezultat napačne definicije geodetskega datuma so torej močno popačene vrednosti premikov točk mreže in vrednosti glavnih normalnih deformacij v točkah geodetske mreže (Preglednica 6-19 in Slika 6-18). Največji vpliv ima napačno definirano merilo. Vpliv spremembe rotacije je skoraj zanemarljiv za tako vrednost rotacije. Vrednosti strižnih deformacij ne glede na spremembo merila in rotacije mreže ostajajo nespremenjene, kar smo pokazali in dokazali že v predhodnih poglavjih (poglavje 5.5). Zaključimo lahko, da je za pravilen izračun deformacij, rotacij ter premikov nujno pravilno definirati geodetski datum mreže. Napake v definiciji geodetskega datuma v posamezni terminski izmeri in tudi razlike med izmerama vodijo v napačne izračune deformacij in s tem v popačeno sliko deformacijskega stanja obravnavanega objekta. _I_I_I___i_i_i_i O 500 1.000 1.500 O 500 1.000 1 500 x[m] x[m] Slika 6-18: Premiki (zeleno), glavne normalne (rdeče) in strižne (modro) deformacije v geodetski mreži vpeti na točki 2 in 5. Figure 6-18: Displacements (green), principal normal (red) and shear (blue) strains in geodetic network fixed to points 2 and 5. 7 ZAKLJUČEK Deformacije v geodetski mreži smo obravnavali kot mehanske deformacije objekta, ki ga diskretizira geodetska mreža. Parametre deformacij in rotacij smo računali iz tenzorja deformacij in tenzorja rotacij, ki je v funkcijski zvezi z vektorskim poljem premikov točk. Zaradi specifične predstavitve objekta s točkami geodetske mreže smo deformacije in rotacije v točkah geodetske mreže obravnavali pod predpostavko, da so deformacije med točkami mreže homogene. To je edini sprejemljiv način, saj imamo opravka z diskretnimi podatki o vektorskem polju premikov območja (merskega objekta), pokritega s točkami geodetske mreže. Deformacije in rotacije v točki geodetske mreže določimo iz znanih sprememb položajev sosednjih točk, ki so z obravnavano povezane z opazovanji. Ker obravnava vpliva deformacij med dvema sosednjima točkama ni vezana na predpostavko o diferencialni bližini dveh točk, smo pri izračunu uvedli utežno matriko, s katero smo poudarili vpliv deformacij točk, ki so bližje obravnavani točki. Za uspešno deformacijsko analizo oziroma določitev statistične značilnosti deformacij in rotacij je potrebno določiti verjetnostno porazdelitev parametrov deformacij in rotacij kot slučajnih spremenljivk. S tem vprašanjem so se ukvarjali že mnogi znanstveniki, ki so skušali analitično izpeljati porazdelitvene lastnosti deformacij in rotacij. Kljub temu smo mi izbrali empirični pristop. Empirično smo določili porazdelitveno funkcijo za glavno normalno in glavno strižno deformacijo ter rotacijo v obravnavani točki geodetske mreže z uporabo simulacij opazovanj v mreži po metodi Monte Carlo. Ugotovili smo naslednje.: • Porazdelitev verjetnosti parametrov deformacij (glavne normalne in glavne strižne deformacije) je odvisna od obravnavane smeri v točki. • Porazdelitev verjetnosti parametrov deformacij je odvisna od lokalne geometrije (povezav in vrste opazovanj) geodetske mreže v delu, kjer se točka nahaja. • Porazdelitvi verjetnosti glavne normalne deformacije ali deformacije merila ter glavne strižne deformacije nista normalni in tudi ne simetrični. • Parameter rotacije je normalno porazdeljen neodvisno od položaja točke v mreži. Z empirično določenimi statističnimi lastnostmi parametrov deformacij v posamezni točki lahko v konkretnem primeru obravnave dveh terminskih izmer geodetske mreže ugotavljamo statistično značilnost deformacij. Empirično določena verjetnostna porazdelitev v točki, ki je odvisna od obravnavane smeri, nam omogoča določitev območij zaupanja. Velikost in oblika območij zaupanja, za predpostavljeno natančnost meritev, je odvisna od lokacije točke v geodetski mreži in lokalne geometrije (povezav in vrste opazovanj) geodetske mreže in nam podaja stopnjo zaznavnosti deformacij mreže v izbrani točki. Večja kot so območja zaupanja bolj je mreža občutljiva za deformacije in s tem manj primerna za ugotavljanje manjših vrednosti deformacij in rotacij. Poleg statističnih lastnosti deformacij in rotacij v geodetski mreži nas je zanimal tudi vpliv geodetskega datuma na računane deformacije in rotacije. Deformacijsko stanje obravnavanega telesa (objekta, ki ga diskretizira geodetska mreža) je neodvisno od izbire koordinatnega sistema, v katerem to stanje predstavljamo. Kljub temu izbira geodetskega datuma v dveh primerjanih terminskih izmerah ni poljubna. Geodetski datum mora biti definiran z datumskimi parametri, ki ostajajo nespremenjeni v nekem obravnavanem časovnem intervalu med dvema izmerama. Glavni razlog je ta, da spremembe koordinatnega sistema med dvema epohama vplivajo na vrednosti deformacij in rotacij v točkah geodetske mreže. Izpeljali smo analitične izraze vpliva spremembe geodetskega datuma med dvema izmerama na vrednosti deformacij in rotacij v točkah geodetske mreže. S tem smo dokazali, da deformacije in rotacije niso datumsko neodvisne količine. Prišli smo do pomembnega zaključka, da ima relativna sprememba rotacije vpliv na vrednosti normalnih deformacij ter zanemarljiv vpliv na vrednost strižne deformacije v točki. Vpliv spremembe merila na normalne deformacije je linearen. Glavni problem je v spremembi rotacije koordinatnega sistema med dvema izmerama, ki ima največji vpliv na normalne deformacije in seveda rotacije v točkah mreže. Po drugi strani pa te spremembe geodetskega datuma praktično nimajo vpliva na vrednosti strižnih deformacij. Na koncu smo na primeru različnih definicij geodetskega datuma pokazali dejanski vpliv na računane deformacije in premike točk. Rezultati kažejo na to, da v primeru poljubnega identičnega datuma (primer izravnave proste mreže) v obeh primerjanih terminskih izmerah ni vpliva na računane deformacije. Vendar ne moremo izračunati pravih rotacij v točkah. Posledično zaradi napačne rotacije tudi ne moremo izračunati pravih premikov točk mreže. Praktično smo preverili, da problem razlike v definiciji geodetskega datuma med dvema izmerama skoraj v celoti predstavlja problem razlike rotacije geodetske mreže. Razlika v merilu po našem mnenju ni tako problematična, saj jo lahko dokaj enostavno ocenimo iz primerjave merjenih dolžin med dvema izmerama. 8 POVZETEK Namen doktorske naloge je bil predstaviti deformacije obravnavanega objekta na drugačen način. Za razliko od splošno uveljavljenih metod deformacijske analize smo deformacije predstavili v smislu mehanskih deformacij in rotacij fizičnega objekta, ki ga diskretizira geodetska mreža. Deformacije niso predstavljene samo z geometrijskimi premiki točk mreže, ampak skušamo določiti mehanske deformacije v posamezni točki deformabilnega objekta. Mehanske deformacije numerično predstavimo z dvema parametroma: normalno deformacijo in strižno deformacijo. Poleg tega obravnavamo tudi rotacijo v točki. Iz teorije mehanike trdnih teles (Shames in Cozzarelli 1997, Stanek in Turk 1998, Srpčič 2003 ...) in na osnovi že opravljenih raziskav predvsem tujih avtorjev (Berber et al. 2003 in 2006, Vaniček 1972, Vaniček et al. 2001 in 2007, Ašanin 1986 ...) smo najprej predstavili način izračuna deformacij v posamezni točki geodetske mreže. Deformacije v diskretnih točkah geodetske mreže so funkcije vektorskega polja premikov na območju, ki ga pokriva geodetska mreža. Deformacijske parametre računamo iz matrike gradienta vektorskega polja premikov G (enačba (2.26)), ki ima lastnosti tenzorja (poglavje 2.3). Ker imamo v geodetski mreži specifičen primer, je potrebno pri izračunu matrike gradienta upoštevati določene predpostavke. Točke z izračunanimi spremembami koordinat kot potencialnimi premiki diskretno opisujejo vektorsko polje premikov. Zato za območja med točkami vpeljemo predpostavko homogenih deformacij. To pomeni, da predpostavimo linearno spreminjanje vektorskega polja premikov na povezavah med točkami. Na ta način lahko v neki izbrani točki računamo deformacije iz znanih premikov okoliških točk mreže. Nastavimo linearni model, ki povezuje izračunane spremembe koordinat z elementi matrike gradienta G (izrazi (3.14)). V primeru predoločenosti uporabimo za določitev matrike G izravnavo po metodi najmanjših kvadratov. Za razliko od nam znane literature spremembam koordinat sosednjih točk ne damo enakega vpliva na računane vrednosti elementov matrike G. Vpeljemo utežno matriko PF, kjer poudarimo vpliv oddaljenosti od točke, v kateri računamo deformacije (poglavje 3.2). Utež koordinatne spremembe v posamezni točki je obratno-sorazmerna kvadratu razdalje od točke, v kateri računamo deformacije. Smiselnost izraza za uteži smo preverili s postopki optimizacije geometrije geodetskih mrež 2. reda. Predpostavimo, da so se točke med dvema epohama premaknile ali drugače, da se je obravnavani objekt deformiral. Način izračuna velikosti deformacij poznamo. Nimamo pa še načina, kako te vrednosti statistično ovrednotiti in jih definirati kot statistično značilne oziroma neznačilne. Statistična ocena značilnosti velikosti deformacij je izvedena s statističnim testiranjem ob izbrani stopnji tveganja a. . Statistično testiranje lahko opravimo na podlagi znane verjetnostne porazdelitve testne statistike, s katero določimo meje intervala zaupanja (ob stopnji tveganja a). Kot se je izkazalo tudi v predhodnih raziskavah (Savšek-Safic 2002), smo upravičeno dvomili v normalnost verjetnostne porazdelitve deformacijskih parametrov. Ker matematične povezave deformacijskih parametrov z vektorskim poljem premikov niso linearne, verjetnostna porazdelitev ni normalna. Dela mnogih avtorjev (Cai et al. 2005, Cai in Grafarend 2007, Xu in Grafarend 1996 ter Soler in Gelder 1991) so se omejila na iskanje porazdelitvenih lastnosti deformacij, računanih iz tenzorja deformacij ali matrike gradienta vektorskega polja. V nalogi pa smo namesto analitičnega pristopa izbrali empiričen način določitve verjetnostne porazdelitve deformacijskih parametrov. S simulacijami po postopku Monte Carlo smo umetno generirali različne nize opazovanj v mreži, jih izravnali in z rezultati izravnave proste mreže računali vrednosti deformacij na vseh točkah mreže v posamezni simulaciji. Na ta način dobimo vzorec vrednosti deformacij za posamezno točko mreže. Glede na to, da so deformacije v točki vektorske količine, ki jim pripada določena smer, smo verjetnostno porazdelitev deformacij obravnavali v ravnini. V posamezni smeri smo empirično določali porazdelitveno funkcijo deformacije. S statističnimi testiranji se je izkazalo, da verjetnostna porazdelitev deformacijskih parametrov v večini smeri ni normalna. Z znanimi porazdelitvami glede na smer lahko določimo orientacijsko pogojene intervale zaupanja za posamezni deformacijski parameter v izbrani točki. Pojem intervala zaupanja tako razširimo na dve dimenziji. Govorimo o območjih zaupanja, katerih velikost in oblika (Slika 6-6) je pogojena z natančnostjo in vrsto meritev v geodetski mreži. Velikost območij zaupanja je odvisna tudi od kakovosti geometrije geodetske mreže. Iz rezultatov izračuna lahko ugotovimo, da slabša geometrija mreže povzroči večja območja zaupanja z veliko bolj nepravilno obliko. Z empirično določitvijo območij zaupanja za izbrano geodetsko mrežo in izbran instrumentarij (ki ga uporabljamo pri izmeri) dobimo tako uporabno orodje za določitev statistično značilnih deformacij točk kot tudi mero kakovosti geometrije geodetske mreže. Izračun deformacij v izbrani geodetski mreži je bil izveden ob vnaprej izbranih premikih točk geodetske mreže. Iz izrisov izračunanih deformacij in območij zaupanja smo lahko hitro ugotovili, na katerih točkah je prišlo do statistično značilnih deformacij. Z znanimi statističnimi lastnosti deformacij oziroma bolj splošno tenzorja deformacij je bil namen raziskati naslednjo lastnost deformacij. Deformacije opisujejo stanje obravnavanega objekta. Deformacijsko stanje je brez večjih matematičnih dokazov neodvisno od izbire geodetskega datuma ali koordinatnega sistema, v katerem to stanje opisujemo. Ta neodvisnost je bila tudi dokazana (poglavje 2.5). Geodetski datum v geodetski mreži definirajo datumske količine, ki definirajo izhodišče, orientacijo in merilo koordinatnega sistema. Izbira geodetskega datuma v mreži v epohah, ki ju primerjamo ni poljubna. Za definiranje geodetskega datuma moramo izbrati take datumske količine, ki se v časovnem intervalu med dvema izmerama niso spremenile. Imamo več metod, ki smo jih tudi detajlno opisali (poglavje 5.2). Te načine definicije datuma uporabljajo tudi klasične metode deformacijske analize. Kljub datumski invariantnosti tenzorja deformacij obstaja problem. V geodetskih nalogah deformacijske analize primerjamo rezultate izravnave dveh terminskih izmer. V vsaki epohi prevzamemo nek geodetski datum. V primeru, da geodetska datuma med izmerama nista usklajena, primerjava koordinat točk ne odraža realnega stanja deformacij. Deformacijski parametri so odvisni od relativne spremembe koordinatnega sistema, v katerem računamo koordinate točk mreže v dveh različnih epohah. To je bilo empirično dokazano (Xu et al. 2000). Za razliko od empiričnega pristopa smo datumsko odvisnost deformacijskih parametrov analitično izpeljali. Matematične povezave (enačbe (5.81)) kažejo na to, da so deformacije odvisne od spremembe dolžinskega merila in orientacije mreže, popolnoma neodvisne pa so od translacije ali položaja izhodišča koordinatnega sistema, kar je tudi pričakovano. V konkretnem primeru obravnavane geodetske mreže smo grafično predstavili datumsko odvisnost deformacij (normalnih, strižnih) in rotacij (Slika 6-14 do Slika 6-16) od spremembe rotacije in merila med dvema epohama. Prišli smo do naslednjih zaključkov.: • Sprememba rotacije in merila med terminskima izmerama ima zanemarljiv vpliv na vrednost strižne deformacije v točki. • Diferencialna rotacija v točki je v linearni funkcijski zvezi z relativno spremembo rotacije mreže in je neodvisna od spremembe merila. • Relativna sprememba rotacije vpliva na vrednosti normalnih deformacij v posameznih koordinatnih oseh. Oblika funkcijske zveze je sinusoidna in omogoča določitev lokalnega ekstrema. • Vpliv spremembe merila na normalne deformacije je linearen. S povečevanjem relativne razlike dolžinskega merila med dvema izmerama se povečujejo vrednosti normalnih deformacij, kar je pričakovano glede na definicijo normalnih deformacij. Te ugotovitve omogočajo boljšo predstavo o vplivu spremembe datuma geodetske mreže med dvema izmerama. Predvsem je zanimiva ugotovitev glede vpliva rotacije. Funkcijska odvisnost računanih glavnih normalnih deformacij od spremembe rotacije ima izrazito sinusoidno obliko. Ta oblika funkcijske krivulje nam omogoča določitev lokalnega ekstrema funkcije. Izraz za položaj lokalnega minimuma (enačba (6.2)) omogoča eno od možnosti določitve spremembe rotacije mreže med dvema izmerama. Uporabili smo iterativni postopek določevanja položaja minimuma funkcijske krivulje in računali nove približke deformacijskih parametrov (za normalno in strižno deformacijo, enačbe (6.3)). Razlika položajev minimuma funkcijske krivulje med začetnim (dejanskim) stanjem in po ustavitvi iterativnega postopka na osi spremembe orientacije mreže rezultira spremembo rotacije koordinatnega sistema med dvema izmerama. Izveden je bil izračun na primeru mreže in z izbrano relativno spremembo datuma med dvema izmerama. Rezultati kažejo, da predstavlja razlika v rotaciji vsoto spremembe rotacije mreže in rotacije zaradi samih premikov točk. Na koncu smo na primeru različnih definicij geodetskega datuma pokazali dejanski vpliv na računane deformacije in premike točk geodetske mreže. Rezultati kažejo na to, da v primeru poljubnega identičnega datuma (primer izravnave proste mreže) v obeh primerjanih terminskih izmerah ni vpliva na računane deformacije. Vendar ne moremo izračunati pravih rotacij v točkah. Posledično zaradi napačne rotacije tudi ne moremo izračunati pravih premikov točk mreže. Zaključimo lahko, da problem razlike v definiciji geodetskega datuma med dvema izmerama skoraj v celoti predstavlja problem razlike orientacije geodetske mreže. Razlika v merilu po našem mnenju ni tako problematična, saj jo lahko dokaj enostavno ocenimo iz primerjave merjenih dolžin med dvema izmerama. 9 SUMMARY The aim of this dissertation was to present the deformation of the object in different way. In contrast to the generally accepted methods of deformation analysis, we represented the deformations in terms of mechanical strains and rotations of a physical object, which is discretized by the points of geodetic network. Deformations are presented not only by the geometric displacements of points, but also with the mechanical strains in each point of the deformable object. Mechanical strains are numerically represented by two parameters: the normal strain and the shear strain. In addition, the rotation in point is also discussed. From the theory of mechanics of solids (Shames and Cozzarelli 1997, Stanek & Turk 1998, Srpčič 2003...) and based on research already carried out mainly by foreign authors (Berber et al. 2003 and 2006, Vaniček 1972, Vaniček et al. 2001 and 2007, Ašanin 1986 ...), we first introduced the method for estimating strains and rotations in each point of the geodetic network. Strains in the points of a geodetic network are the functions of vector field of displacements. Strain parameters are computed from the displacement gradient matrix G (Equation (2.26)), which has tensor properties (Section 2.3). Since we are dealing with a specific case in the geodetic network, it is necessary to take into account some assumption for the computation of displacement gradient matrix. Points with the computed changes in coordinates as the potential displacements discretely define vector field of displacements. Therefore, for the areas between points, the assumption of homogeneous strains is introduced. This means that we assume a vector field of displacements linearly changing on the connections between two points. In this way, strains and rotations at the particular point can be computed from the known displacements of the surrounding points. We set the linear model, which connects the computed changes of coordinates with the elements of the displacement gradient matrix G (Equation (3.14)). In the overdetermined case the method of least squares adjustment is used to compute the solution for G. Unlike the known literature we assumed that the changes of the coordinates of neighbouring points do not have the same impact on the computed values of displacement gradient matrix G. Thus, we introduced a weight matrix p , which gives the proper treatment of the deformation influence of distant points (Section 3.2). The weights in p can be defined as inverse square of distance between two points, in order to further reduce the impact of strains and rotations occurred at distant points. The appropriatness of the equation for the weights was checked by the procedures of geometry optimization of geodetic networks of second order. Let us assume that the points between the two epochs have moved or the observed object has deformed. The method for computing strains is known. We do not know how these values can be statistically evaluated and consequently treated as statistically significant or insignificant. The statistical estimator for the significance level of strains and rotations is carried out at the chosen level of risk a . Statistical testing can be done on the basis of a known probability distribution of test statistics, which determine the limits of the confidence interval. As it was also shown in the previous studies (Savšek-Safic 2002), we reasonably doubted in the normality of the probability distribution of strain parameters. Since the mathematical relations of strain parameters with the vector field of displacements are not linear, the probability distribution is not normal. Works of many authors (Cai et al. 2005, Cai and Grafarend 2007, Xu and Grafarend 1996 and Soler and Gelder 1991) are dealing with the analytical derivation of the probability distributions of strains, computed from the strain tensor or displacement gradient matrix. In our work, we decide to choose an empirical approach to determine the probability distribution of strain parameters. Using simulations by the method of Monte Carlo, we artificially generated different sets of observations in the network. Each set of observations was adjusted by the least squares method in free network. These results were then used to compute the strains and rotations at each point in the geodetic network in each simulation. In this way we got a sample of deformations for each point in the network. Taking into account that the strains in points are vector quantities, with a certain direction, we considered a probability distribution of the strain parameters in the plane. We defined the empirical distribution function of strain parameter for each direction. The statistical tests proved that the probability distribution of the principal strain parameters in most directions is not normal. With the known probability distributions for each direction in a certain point the direction oriented confidence intervals can be determined. The concept of confidence interval can be extended to two dimensions. We are talking about confidence areas, the size and shape (Figure 6-6) of which are conditional on the accuracy and type of geodetic measurements in the network. The size of the confidence areas also depends on the quality of the geometry of the geodetic network. From the computational results we can conclude that the weaker geometry of the network causes larger confidence areas with irregular shape. The empirical determination of confidence intervals of strains for the selected geodetic network and selected measuring equipment can be treated as a useful tool for determining statistically significant strains in points as well as the rate of the quality of the geodetic network geometry. Computation of strains in the selected network was carried out at preselected displacements of points. From the graphical representation of the computed principal strains, vectors and appertaining confidence areas the statistically significant strains can be easily determined. With the known statistical properties of strains or more generally of strain tensors the purpose was to explore the next strain property. Since the strains describe the deformation state of the observed object, they are invariant to the choice of geodetic datum or coordinate system, where the deformation state is described. This invariance was mathematically derived in Section 2.5. Geodetic datum in the geodetic network is defined by the datum parameters, which define the origin, the orientation and the scale of the coordinate system. The choice of the geodetic datum in two compared surveying epochs is not arbitrary. The definition of the geodetic datum has to be done with such datum parameters that do not change in time interval between two epochs. There are several methods for datum definition available, explained in Section 5.2 and applied in classical methods of deformation analysis. Despite the datum invariance of strain tensor, there is a problem. In the geodetic deformation analysis the results of network adjustments of two surveying epochs are compared. In each epoch some geodetic datum is used. In case that the datums of two epochs are not identical, the comparison of the coordinates of points does not reflect the real deformation state of the object. Strain parameters and rotations are dependent on the relative changes of the coordinate system, where coordinates of points of the network are computed in two different epochs. This has been empirically demonstrated (Xu et al. 2000). Unlike the empirical approach we analytically derived the datum dependence of strain parameters and rotations. Mathematical relationships (Equations (5.81) to (5.83)) show that the strains and rotations are dependent on scale change and change in rotation of the network and completely independent of the translation or position of the origin of the coordinate system. From the analysis of the influence of rotation and scale difference on strains and rotation parameters, the following can be concluded: • Change of rotation influences the values of normal strains. The shape of the curve is sinusoidal and allows us to determine the local minimum. • As expected, the rotation at point is in linear relationship with the change of rotation and is indenpendent of scale change. • The change in rotation and the scale of the whole network between two epochs has practically no impact on the value of shear strain at particular point. • The impact of the scale changes of the whole network on the normal strain is linear. By increasing the scale change between two epochs, the normal strain values increase. These findings provide a better picture of the influence of the change of the geodetic datum between two surveying epochs. In particular, it is interesting to observe the impact of rotation. Functional relationship of computed principal normal strains from the change of rotation has a sinusoidal shape. This shape of functional curve allows us to determine the local extreme. The equation for the position of the local minimum (Equation (6.2)) provides us an option of computing the change in network rotation between two epochs. We used an iterative process to determine the position of the minimum of functional curve. In each iteration we were computing a new approximate values of strain parameters (for normal and shear strain, Equation (6.3)). The difference in position of minimum between the initial curve (actual situation) and at the end of an iterative process results in a change of rotation of the coordinate system between two surveying epochs. The computation was carried out in the case of the selected network and the chosen relative change in geodetic datum between two epochs. The results show that a difference in the rotation represents the sum of the network rotation and rotation caused by the point displacements. Finally, we showed the real impact of the different definitions of geodetic datum on the computed strains and rotations and displacements in the geodetic network. The results show that in the case of arbitrary but identical geodetic datum (adjustment of free network) there is no influence on computed strains in either of the compared epochs. But we cannot compute the true rotations in points. Consequently we cannot compute the real displacements of points. We can conclude that the problem of differences in the definition of geodetic datum between two epochs is almost entirely the problem of rotation change of geodetic network. In our opinion the difference in scale is not so problematic, since it can be quite easily estimated by comparing the measured length between the two epochs. LITERATURA • Ambrožič, T. 2001. Deformacijska analiza po postopku Hannover. Geodetski vestnik 45,1-2: 48-53. • Ašanin, S. 1986. Prilog obradi i analizi geodetskih merenja za odredjivanje pomeranja i deformacija objekta i tla. Doktorska disertacija. Beograd, Univerzitet u Beogradu, Gradjevinski fakultet, Institut za geodeziju. • Baarda, W. 1981. S-transformations and Criterion matrices. Delft, Netherlands Geodetic Commission, Publications on Geodesy 5, 1: 168 str. • Berber, M. 2006. Robustness Analysis of Geodetic Networks. Technical Report No 242. Fredericton, NB, Canada, University of New Brunswick, Department of Geodesy and Geomatics Engineering: 138 str. • Berber, M., Dare, P. J., Vaniček, P., Craymer, M. R., 2003. On the application of robustness analysis to geodetic networks. Annual Conference of the Canadian Society for Civil Engineering, Moncton, New Brunswick, Kanada, CSCE: (GCI-461-1)- (GCI-461-7). • Berber, M., Dare, P., Vaniček, P. 2006. Robustness Analysis of Two-Dimensional Networks. J. Surv. Eng. 132, 4: 168-175. • Bronštejn, J. N., Semendjajev, K. A. 1978. Matematični priročnik. Ljubljana, Tehniška založba Slovenije: 699 str. • Cai, J., and Grafarend, E. 2007b. Statistical analysis of the eigenspace components of the two-dimensional, symmetric rank-two strain tensor derived from the space geodetic measurements (ITRF92 - ITRF2000 data set) in central Mediterranean and Western Europe. Geophys. J. Int., 168, 1: 449-472. • Cai, J., Grafarend E., and Schaffrin B. 2005. Statistical inference of the eigenspace components of a two-dimensional, symmetric rank two random tensor. J. Geodesy, 78, 7-8: 425-436. • Cai, J., Grafarend, E. 2007a.The statistical analysis of geodetic deformation (strain rate) derived from the space geodetic measurements of BIFROST project in Fennoscandia. J. Geodyn., 43, 2: 214-238. • Caspary, W. F. 1988. Concepts of network and deformation analysis. Kensington, N. S. W., Avstralija, The University of New South Wales. • Chen, Y. Q., Chrzanowski, A., Secord, J. M. 1990. A Strategy for the Analysis of the Stability of Reference Points in Deformation Measurements. CISM Journal ACSGC, 44(2): 141-149. • Chrzanowski, A., Chen, Y. Q., and Secord, J. M. 1983. Analysis of the Simulated Monitoring Network Using the Fredericton Approach. (ed. W. Welsch) Deformationsanalysen '83, Geometrische Analyse und Interpretation von Deformationen Geodatischer Netze. Schriftenreihe, Wissenschaftlicher Studiengang Vermessungswesen. München, Hochschule der Bundeswehr München. • Chrzanowski, A., Chen, Y. Q., Romero, P., Secord, J. M. 1986. Integration of Geodetic and Geotehnical Deformation Surveys in the Geosciences. Tectonophysics, 130: 369-383 • Chrzanowski, A., Chen, Y. Q., Secord, J. M. 1983. On the Strain Analysis of Tectonic Movements Using Fault Crossing Geodetic Surveys. Tectonophysics 97: 297-315. • Grigillo, D., Stopar, B. 2003: Metode odkrivanja grobih pogreškov v geodetskih opazovanjih. Geodetski vestnik 47, 4: 387-403 • Hampel, F. R., Ronchetti, E. M., Rousseeuw, P. J., Stahel, W.A. 1986. Robust Statistics -The Approach Based on Influence Functions. New York, John Wiley&Sons: 502 str. • Heck, B., Kok, J. J., Welsch, W., M., Baumer, R., Chrzanowski, A., Chen, Y. Q., Secord, J. M. 1982. Report of the FIG-Working Group on the Analysis of Deformation Measurements. 3rd International Symposium on Deformation Measurements by Geodetic Methods, 25.-27. Avgust, Budimpešta. Vol. 3: 373-414. • Jager, R., Muller, T., Saler, H., Schwalbe, R. 2005. Klassische und robuste Ausgleichungsverfahren. Heidelberg, Wichmann Verlag: 340 str. • Križanič, F. 1962. Vektorji, matrike, tenzorji. Ljubljana, Mladinska knjiga: 267 str. • Kuang, S. 1996. Geodetic Network Analysis and Optimal Design: Concepts and Applications. Chelsea, Michigan, Ann Arbor Press, Inc: 368 str. • Lilliefors, H. W. 1967. On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. J. Statistical Assn., 62, 318: 399-402. • Marjetič, A., Ambrožič, T., Turk, G., Sterle, O., Stopar, B. 2010. Statistical properties of Strain and Rotation Tensors in Geodetic Network, Journal of Surveying Engineering, 136, 3: 102-110. • Marjetič, A., Stopar, B. 2007. Geodetski datum in S-transformacija. Geodetski vestnik 51, 3: 549-564. • Michel, V., Person, T. 2003. From geodetic monitoring to deformation tensors and their reliability. (ed. Stiros, S. C., Pytharouli S.) 11th FIG Symposium on Deformation Measurements. Santorini. Patras University, Dept. Of Civil Engineering. • Mozetič, B. 2005. Uporabnost izbranih metod deformacijske analize na praktičnih primerih geodetskih mrež. Magistrsko delo. Ljubljana, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo: 141 str. • Proszynski, W. 2003. Is the Minimum-Trace Datum Definition Theoretically Correct as Appplied in Computig 2D and 3D Displacements?. (ed. Stiros, S. C., Pytharouli S.) 11th FIG Symposium on Deformation Measurements. Santorini, Patras University, Dept. Of Civil Engineering. • Rao, C. R., Mitra, S. K. 1972. Generalized Inverse of Matrices and its Application. New York, John Wiley&Sons: 256 str. • Rubinstein, R. Y. 1986. Monte carlo optimization, simulation and sensitivity of queueing networks. New York, John Wiley&Sons: 260 str. • Savšek Safic, S. 2002: Optimalna metoda določanja stabilnih točk v deformacijski analizi. Doktorska disertacija. Ljubljana, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo: 211 str. • Savšek-Safic, S., Ambrožič, T., Stopar, B., Turk, G. 2006. Determination of Point Displacements in the Geodetic Network. J. Surv. Eng., 132, 2: 58-63. • Shames, I. H., Cozzarelli, F. A. 1997. Elastic and Inelastic Stress Analysis. Washington, Taylor&Francis, Revised Printing: 722 str. • Soler, T., Van Gelder, B. H. W. 1991. On covariances of eigenvalues and eigenvectors of second-rank symmetric tensors. Geophys. J. Int., 105, 2: 537-546. • Soler, T., Van Gelder, B. H. W. 1991. On covariances of eigenvalues and eigenvectors of second-rank symmetric tensors. Geophys. J. Int., 105, 2: 537-546. • Soler, T., Van Gelder, B. H. W. 2006. Corrigendum: On covariances of eigenvalues and eigenvectors of second-rank symmetric tensors. Geophys. J. Int., 165, 1: 382-382. • Srpčič, S. 2003. Mehanika trdnih teles. Ljubljana, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo: 651 str. • Stanek, M., Turk, G. 1998. Osnove mehanike trdnih teles. Ljubljana, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo: 254 str. • Sterle, O. 2007. Združevanje klasičnih geodetskih in GNSS-opazovanj v geodinamičnih raziskavah. Magistrsko delo. Ljubljana, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo: 118 str. • Stopar, B. 2001. Second order design of horizontal GPS net. Surv. Rev., 36, 279: 44-53. • Teunissen, P. J. G. 2003. Adjustment Theory. Delft, Netherlands, VSSD: 193 str. • Turk, G. 2010. Verjetnostni račun in statistika. Učbenik, delovna različica, FGG, Ljubljana. • Valero, J. L. B., Moreno, S. B. 2005. Robust estimation in geodetic network. Fisica de la Terra, 17, 7-22. • Van Mierlo, J. 1978. A testing procedure for analyzing geodetic deformation measurements. 2nd FIG Symposium on Deformation Measurements by Geodetic Methods, Bonn. • Van Mierlo, J. 1980. Free Network Adjustment and S - transformation. Deutsche Geod. Komm., Karlsruhe, Series B, št. 252: 41-45. • Vaniček, P. 1972. Tensors. Lecture Notes, Fredericton, University of New Brunswick, Kanada: 100 str. • Vaniček, P., Craymer, M. R., Krakiwsky, E. J. 2001. Robustnes analysis of geodetic horizontal networks. Journal of Geodesy 75: 199-209. • Vaniček, P., Grafarend, E. W., Berber, M. 2007. Strain invariants. Journal of Geodesy 82, 4-5: 263-268. • Welsch, W. 1982. Description of homogenous horizontal strains and some remarks to their analysis. München, DKG. • Welsch, W., Zhang, Y. 1983. Einige Methoden zur Untersuchung kongruenter und Affiner Beziehungen in geodatischen Unberwacungsnetzen zur Ermittlung von Deformationen." Deformationsanalysen '83, Geometrische Analyse und Interpretation von Deformationen Geodatischer Netze (ed. W. Welsch), Schriftenreihe, Wissenschaftlicher Studiengang Vermessungswesen. Muenchen, Hochschule der Bundeswehr Muenchen. • Wolf, H. 1994. Ausgleichungs Rechnung I. Universität Bonn, Bonn, Instituts für theoretische Geodäsie, Ferd. Dümmlers Verlag. • Xu, P., Grafarend, E. 1996. Probability distribution of eigenspectra and eigendirections of a twodimensional, symmetric rank two random tensor. J. Geodesy, 70, 7: 419-430. • Xu, P., Schimada, S., Fujii, Y., Tanaka, T. 2000. Invariant geodynamical information in geometric geodetic measurements. Geophysical Journal International 142: 586-602. • Zemljak, M. 2006. Določitev premikov točk v geodetski mreži po postopku Delft. Diplomska naloga. Ljubljana, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo.