Elektrotehniški vestnik 87(5): 275-280, 2020 Izvirni znanstveni članek
Dinamično triangulirane površine v biomehaniki "kosmatih" biomembran
Miha Fošnarič
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta, Zdravstvena pot 5, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: miha.fosnaric@zf.uni-lj.si
Povzetek. Predstavimo biofizikalni model, v katerem membrano popišemo z dinamično triangulirano površino (DTP). S takšnim modelom zajamemo ključne lastnosti membrane, ki so pomembne za popis njene biomehanike na nivoju, kjer si membrano predstavljamo kot dvodimenzionalno tekočino. Predstavimo tudi simulacije Monte Carlo, s katerimi popišemo membrano kot DTP v termodinamičnem ravnovesju, torej z njenimi termičnimi fluktuacijami vred. Slednje nam omogočijo, da lahko iz spektralne analize termičnih fluktuačij sklepamo o njenih mehanskih lastnostih. To metodo uporabimo za izračun, kako mehki linearni polimeri, ki so kot lasje pripeti na membrano, vplivajo na njeno upogibno trdnost. Izkaze se, da pri velikih polimernih pokritostih membrane (nad « 40 %) njena upogibna trdnost znatno naraste in se pri skoraj 100 % pokritosti podvoji. Takšne "kosmate" membrane so na primer s polietilenskimi glikolnimi verigami dekorirane lipidne membrane (t.i. PEG-membrane), ki imajo pomembno vlogo v biotehnologiji.
Ključne besede: Statistična biofizika, PEG membrane, PEG lipidi, Monte Carlo simulačije, lipidne membrane
Dynamically triangulated surfaces in mechanics of "hairy" biomembranes
A model is presented in which biomembranes take a form of Dynamically Triangulated Surfaces (DTSs) that are in Monte-Carlo (MC) simulations observed in their thermodynamic equilibrium. Such simulations are used to obtain DTSs elastic properties by analyzing their thermal fluctuations. The effect of linear polymers, as hair attached to DTSs, on properties of such polymer decorated DTSs is studied. The bending stiffness of DTSs with a large polymer coverage (above « 40%) drastically increases and at full polymer coverage almost doubles compared to the polymer-free DTSs. "Hairy" DTSs are used to represent polyethylene glycol decorated membranes (PEGylated membranes), which play an important role in biotechnology and are applied in pharmacy and medicine.
Keywords: statistical biophysics, PEGylated membranes, PEG lipids, Monte Carlo simulations, lipid membranes
1 Uvod
Biološke celice, osnovne gradbene in funkcionalne enote Živih organizmov, obdaja membrana, ki locuje notranjost celice od okolice in med drugim skrbi za transport snovi v celico in iz nje (slika 1) [1], [2].
osnova biolosške membrane je dvojna plast lipidnih molekul, v in na katero so pripete druge molekule, kot so membranski proteini in citoskelet. Lipidna dvojna plast je debela le približno 5 nm, kar je bistveno manj od razsežnosti celice, ki so tipično reda nekaj |jm. Lipidne molekule v dvojni lipidni plasti so pogosto lateralno gibljive, kar omogocša difuzijo molekul znotraj lipidne dvojne plasti.
Prejet 13. oktober, 2020 Odobren 27. november, 2020
Slika 1: Zgradba biološke čeliče (zgoraj) in čelične membrane (na sredi) in njene osnove - lipidne dvojne plasti (spodaj). Vir: Wikipedia (avtor članka je tudi (so)avtor slovenske različiče slike).
Modeliranje lipidnih in bioloških membran ter njihovih interakčij z okoličo je v zadnjega pol stoletja zelo napredovalo. Ob tem pa se moramo zavedati, da
276
FOSNARIC
je biološka membrana kompleksen sistem, sestavljen iz komponent z zelo različnimi mehanskimi lastnostmi [1]. Tako je izbira modela odvisna od namena in nivoja, na katerem zelimo sistem preučevati. Model mora biti dovolj podroben, da zazna pojave, ki jih zelimo popisovati, a ne sme biti prezapleten, da se ne izgubimo v podrobnostih [3].
Lipidno dvojno plast in tudi biološko membrano zaradi njunih zgoraj naštetih lastnosti pogosto obravnavamo kot dvodimenzionalno tekočino [1], [3]. Pri tem je za mehanske lastnosti membrane in njeno funkcijo zelo pomembna lastnost njena upogibna trdnost, «.* Ta nam pove, koliko dela moramo opraviti, da membrano upognemo. Za zaključeno dvodimenzionalno ploskev, ki se ji topologija ne spreminja in nima spontane ukrivljenosti, lahko njeno upogibno energijo zapišemo kot [4], [1]
Wb = 2 kJh 2 d A	(1)
A
Pri tem je H povprečna ukrivljenost v dani točki ploskve, integral pa teče po njeni čelotni površini. Da taksšno ploskev ukrivimo v obliko krogle, opravimo torej Wb = 8n« dela. Lipidna dvojna plast ima upogibno trdnost reda k « 10 kT [1], kjer je k Boltzmannova konstanta in T temperatura. Tako pogosto na obliko membran vplivajo ze termične fluktuačije.
V	tem prispevku predstavimo model, v katerem membrano popisšemo z dinamičšno triangulirano povrsšino (DTP) [5], [6]. Simulačije DTP so v biofiziki orodje mnogih raziskav: za konformačije in skalirne lastnosti membran [6], [7] in preučevanje njihovega toploškega faznega prostora [8]; za oblike mehurčkov (vesiklov) membran pri končni temperaturi [9], njihovo dinamiko v striznem toku [10], njihovo interkačijo z naelektrenimi koloidi [11] in ovijanje polimerov [12], analizo njihovih termičnih flutuačij za preučevanje njihovih mehanskih lastnosti, kot je upogibna trdnost [13] in lateralna membranska napetost [14]; modelu DTP je bila dodana anizotropija [15], [16]; preučevali smo tudi vpliv membranskih proteinov in čitoskeleta na biolosške membrane [17], [18].
V	čšlanku najprej razlozšimo model DTP ter idejo simu-lačij Monte-Carlo s taksšnimi povrsšinami. V nadaljevanju pa predstavimo uporabo simulačij DTP za določšanje mehanskih lastnosti "kosmate" membrane z analizo njenih termičnih fluktuačij. S "kosmato" membrano mislimo na lipidno membrano, dekorirano s polimeri, ki so pripeti na membrano kot lasje. Taksšne strukture so lahko model npr. PEG lipidnih membran, kjer so na membrano pripete verige polietilen glikola (PEG) [19], [20].
* Upogibni trdnosti pogosto rečemo tudi upogibna konstanta. Večkrat zanjo srečamo tudi simbol kc.
2 Dinamično triangulirane površine
2.1 Struktura in lastnosti
Dvodimenzionalno ploskev v tridimenzionalnem prostoru pogosto diskretiziramo tako, da na povrsšino na-pnemo trikotniško mrezo. Izbira trikotnika se ponuja kar sama, saj je najenostavnejši mnogokotnik, ki obstoja v evklidski ravnini.
Ko s trikotniško mrezo popišemo membrano, lahko en trikotnik, oziroma eno vozlisščše in njegova neposredna okoliča, predstavlja del membrane, ki jo zapolnjuje večš molekul v membrani. Taksšni modeli s skaliranjem so nepogrešljiv del modeliranja bioloških sistemov [3], [1], saj omogočajo kvalitativen vpogled na dogajanje v membranah in pripomorejo k razumevanju njenega delovanja [21].
Ne glede na skaliranje, torej kolikšen del membrane predstavlja eno vozlisščše, povrsšino, ki jo zšelimo modelirati, predstavimo z N vozlišči, ki so s priblizno 3 N vezmi povezani v trikotniško mrezo s priblizno 2 N trikotniki.
Kot smo omenili ze v uvodu, za popis lipidnih dvojnih plasti in biolosških membran pogosto zšelimo, da se taksšna triangulirana povrsšina obnasša kot dvodimenzionalna tekočina. To lahko dosezemo tako, da poleg premikanja vozlišč trikotniške mreze dovolimo tudi spreminjanje povezav med vozlišči, kar nam da lateralno mobilnost vozlišč znotraj mreze. In to je ideja dinamičšno trianguliranih povrsšin (DTP).
Simulačije z DTP so metode Monte-Carlo (MC), kjer spremembe mrezše dosezšemo z dvema vrstama MC korakov: premiki vozlišč in premeti vezi (slika 2).
Premik vozlišča pomeni, da izbrano vozlišče premaknemo na nov polozaj znotraj krogle z radijem s in s središčem v vozlišču pred premikom (slika 2, levo).
Premet vezi vključuje trikotnika, ki si izbrano vez delita in njuna sštiri vozlisščša (slika 2, desno). Pri premetu izbrano vez nadomestimo z vezjo, ki povezuje prej nepovezani vozlisščši. Z mehanizmom premetavanja vezi poskrbimo za difuzijo vozlišč znotraj trikotniške mreze. Takšna lateralna gibljivost gradnikov površine je pomembna lastnost lipidnih in biolosških membran.
Pri premikanju vozlisščš in premetih vezi nas omejuje dolzina vezi, d. Ta je med povezanima vozliščema omejena z minimalno dolzino, dmin, in maksimalno dolzino, dmax. Vsa vozlišča tako čutijo odbojni potenčial togih teles na medsebojni razdalji dmin, torej se obnašajo kot toge krogle z radijem dmin. S primerno izbiro vrednosti parametrov dmin, dmax in s, lahko obnašanje površine prilagodimo potrebam.
Pri modeliranju membranskih povrsšin ponavadi zšelimo, da membrana med premiki vozlisščš in premeti vezi ne more prebosti sama sebe. Na primer, izbira razmerij dmax/dmin = 1.7 in s/dmin = 0.15 nam za kvazi-krogelne oblike površin zagotavlja, da vozlišče ne more zatavati skozi trikotnisško povrsšino, vseeno pa nam
DINAMIČNO TRIANGULIRANE POVRŠINE "KOSMATIH" BIOMEMBRAN
277
Slika 2: Vrste MČ korakov. LEVO: Premik vozlišča - vozlišče i se premakne iz začetnega položaja (točkasto) na novega. Pri premiku vozlišča se topologija povezljivosti mreze ne spremeni - vozlišče i ostane po premiku povezano z enakimi sosedi. DESNO: Premet vezi - pred spremembo sta vozlišči it and k povezani, po spremembi pa njuno vez nadomesti vez med prej nepovezanima vozliščema km and kp. Ob tem se spremenita tudi trikotnika lm and lp.
zagotavlja priblizno 50 % verjetnost, da bo premik vozlišča sprejeti V primeru t.i. zmečkanih membran (angl. črumpled membranes), kjer se ukrivljenosti membrane znatno spreminjajo ob majhnih premikih po povrsšini, pa moramo biti bolj pazljivi, na primer z zmanjšanjem razmerja dmax/dmin in/ali koraka s.
2.2 Precesavanja faznega prostora mikrostanj
V	statistični fiziki ločimo med mikrostanji in ma-krostanji sistema, ki ga opazujemo. Z mikrostanjem mislimo na stanje, pri katerem poznamo vse podrobnosti sistema. V nasših simulačijah DTP to pomeni, da poznamo polozaj vseh vozlišč in vseh vezi med njimi. Makrostanje, na drugi strani, definirajo makroskopske spremenljivke, kot sta npr. temperatura in tlak. Makroskopskih spremenljivk je praviloma bistveno manj kot mikroskopskih in tako lahko isto makroskopsko stanje realizira veliko število različnih mikroskopskih stanj.
V	naših simulačijah prostor mikrostanj sistema prečešemo z Metropolis-Hastingovim algoritmom [22], [23]. Vsak MČ korak, torej vsak premik vozlišča in vsak premet vezi, spremeni mikrostanje sistema. Ta sprememba iz mikrostanja i v mikrostanje i + 1 je sprejeta z verjetnostjo
P (i ^ i + 1) = min [1, exp(-A E/kT)], (2)
kjer je AE = Ei+1 - Ej sprememba energije sistema ob potenčialni spremembi premika vozlisščša ali premeta vezi, kT pa je termičšna energija (produkt Boltzmannove konstante k in temperature T).
Začšetno stanje sistema v simulačijah lahko poljubno izberemo, če pred začetkom opazovanja oz. merjenja sistem le lahko spravimo v ravnovesno stanje. To ponavadi naredimo z začetno "termalizačijo" ob uporabi zgoraj opisanega algoritma (enačba 2).
t Če ima površina le upogibno energijo (enačba 1). Kako izračunamo upogibno energijo mreze in verjetnost za sprejetje premika vozlisščša, opisšemo v nadaljevanju.
Ko je sistem v termičšnem ravnovesju, lahko za vsako količino Q, ki je definirana na mikroskopskem stanju nasšega sistema, uporabimo simulačije DTS, da izračunamo njeno povprečno vrednost (Q) [13]. Pri tem nam algoritem iz enačšbe 2 zagotavlja, da se nasš sistem obnasša kot kanoničšni ansambel, kjer je verjetnost, da bomo našli sistem v nekem mikrostanju z energijo E, sorazmerna z exp (-E/kT). Predpostavimo lahko torej, da je s simulačijami dobljeno povprečje (Q) enako čšasovnemu povprečšju sistema v termičšnem ravnovesju,
(Q)t:
(Q) = (Q)t.	(3)
Enakost v enačšbi 3 nam odpre mozšnost uporabe simulačij DTS za izračšun količšin, ki jih lahko tudi v resniči izmerimo. Veliko biolosških sistemov je namrečš v termičšnem stiku s svojo okoličo pri konstantni temperaturi, kar v statističšni fiziki predstavlja kanoničšni ansambel mikrostanj.*
2.3 Diskretizacija energije
Da v simulačijah DTP definiramo energijo mikro-stanja (glej enačšbo 2), je smiselno uporabiti operatorje diskretne diferenčialne geometrije, kijih lahko pripnemo na triangulirane površine [24].
V modeliranju biolosških membran in lipidnih membran je pomembna količšina upogibna energija membrane (enačšba 1) [1]. V znanstveni literaturi najdemo večš načinov diskretizačije upogibne energije na DTS [25], [5], [15]. Osnovna ideja večine njih pa je definirati povprečno ukrivljenost, H, v vozlišču, ki jo dobimo iz vsote normal trikotnikov, ki si to vozlišče delijo. V izrazu za upogibno energijo membrane (enačšba 1) nastopa kvadrat povprečne ukrivljenosti, H2, in integral preko čelotne povrsšine membrane je potem kar vsota
i V primeru, da na količine, ki jih opazujemo, znatno vpliva tudi izmenjava snovi med nasšim sistemom in okoličo, uporabimo velekanoničšni ansambel.
278
FOSNARlC
prispevkov upogibne energije v vseh vozliščih mreže, ki predstavlja membrano v modelu DTP.
V nadaljevanju bomo uporabili diskretizacijo Itzyksona [26], [27],
4 I H2dA = £ 1
^IT(Ri - Rj) . dij j (i) i
(4)
1
4 (7ij
4
(5)
j (i)
pa je površina celice v dualni mreži ob vozlišču i [26]. Razdalja med vozlišči v dualni mrezi je
aij = dj [cot Q\ + cot Q2]/2,
(6)
kjer sta 0\ in 02 kota nasproti stranici ij v trikotnikih, ki si delita stranico ij (slika 3).
J
|V - Vol <£v,
(8)
ki ga preverimo ob vsakem poskusu spremembe mikro-stanja sistema. Pri tem mora biti eV majhen (eV C V0),
ampak vseeno dovolj velik, da ne zaduši termicnih fluktuacij oblike membrane. Izbira eV je odvisna od diskretizacije. Na primer, vzamemo lahko, daje eV enak prostornini tetraedra, ki ga sestavljajo enakostranicšni trikotniki s površinami A0/Nt, kjer je A0 površina krogle s prostornino V0 in Nt število trikotnikov mreze:

kjer zunanja vsota tece preko vozlišc mreze, notranja pa preko sosedov, s katerimi so ta vozlišca povezana. Vektor
Rj kaze do vozlišca i, dj je razdalja med vozlišci i in
j,
4V2n V0 33/4 N372'
(9)
Slika 3: Trikotnika dualne mreze, ki si delita vozlišci i in j ter vez med njima z dolzino dj (glej enacbo 5). Oznacena kota dm in dp nastopata v enacbi 6.
2.4 Globalne omejitve
Lipidna dvojna plast (slika 1) je prakticno nepropustna za vodne molekule, biolosške membrane pa imajo mehanizme, s katerimi uravnavajo tlacšno razliko med notranjostjo in zunanjostjo celice [1].
Zato pri simulacijah zakljucenih membranskih struktur, kot so lipidni mehurcški (vesikli) ali biolosške celice, v okviru modela DTS pogosto dodamo energiji membrane (enacba 2) clen
EP = -pV,	(7)
kjer je p razlika zunanjega in notranjega tlaka in V volumen zakljucšene membranske strukture (vesikla ali celice).
Ce pa zelimo, da je volumen vesikla ali celice med simlacijo konstanten pri vrednosti V0, lahko namesto zgornjega energijskega cšlena uporabimo pogoj
Na podoben nacin lahko uvedemo tudi vez za površino, |A - A0| < eA, kjer lahko izberemo eA =
Ao/Nt.
2.5 Potek in prostorska dimenzija simulacij
V	simulacijah DTS lahko razvoj sistema merimo v enotah Monte-Carlo precesavanj, angl. Monte Carlo sweeps (mcs). En mcs je sestavljen iz poskusov premika vsakega izmed N vozlišc, ki jim pogosto sledi 3N poskusov premeta vsakicš nakljucšno izbrane vezi.
Razmerje med poskusi premetov vezi in premiki vozlišc je povezano z lateralno difuzijsko konstanto membrane oziroma z njeno viskoznostjo [28], [10]. Difuzija nam v simulacije prinese tudi realno časovno skalo in omogoča modeliranje dejanske dinamike sistema.
Izbira velikosti DTS mrezš je odvisna od potreb, skali-ranja ter zmoznosti strojne in tudi programske opreme. V naših biofizikalnih raziskavah [11], [12], [13] smo uporabljali mreze z do 3000 vozlišci, kar nam je omogocalo simulacije (kvazi)ravnovesnih pojavov lipidnih in bioloških membran na skali mikrometra ali manjše.
3 Upogibna trdnost "kosmate"
membrane
Na elasticšne lastnosti biolosških membran lahko znatno vplivajo molekule, ki so pripete na ali v dvojno lipidno plast (slika 1) [1]. Na primer, toge membranske inklu-zije v dvojni lipidni membrano lahko membrano tudi "zmehcajo" na upogib, torej zmanjšajo njeno upogibno trdnost (enacba 1) [29].
V	tem delu s pomocjo simulacij DTP "izmerimo", kako na upogibno trdnost membrane vpliva t.i. "kosmatost" membrane. S tem mislimo na lipidno dvojno plast, na katero so z enim koncem pripeti fleksibilni polimeri (slika 4). Takšne strukture so lahko model pomembnih struktur v biotehnologiji, kjer npr. t.i. PEG lipidnih membran [19], [20], kjer so na membrano kot lasje pripete verige polietilen glikola (PEG).
V	našem modelu so polimeri sestavljeni iz linearne verige vozlišc, ki imajo enake lastnosti, kot vozlišca v DTP, le da so cleni linearne verige in ne 2D mreze. Imajo torej le do dva soseda. Na enem koncu je polimer pripet na vozlišce DTP, na drugem koncu je pa prost. Torej tudi polimeri opletajo zaradi termicnih fluktuacij. Delez vozlisšcš DTP, na katere so pripeti polimeri, definirajmo kot polimerna pokritost membrane.
2
a
J
m
DINAMIČNO TRIANGULIRANE POVRŠINE "KOSMATIH" BIOMEMBRAN
279
h
§
M
a |
o &
s
a
S
•s? o
40
30
20
Slika 4: Mikrostanje "kosmatega" kvazi-krogelnega vesikla v termičnem ravnovesju. Membrano vesikla predstavlja DTP z 1447 vozlišči, od katerih so na 701 vozlišč pripeti linearni polimeri (polmerna pokritost membrane je torej 48.5 %). Polimeri so sestavljeni iz 10 monomerov (delov linearne verige vozlišč). Upogibna konstanta čiste membrane (brez polimerov) je 20 kT.
Upogibno trdnost membrane lahko določimo z analizo termičnih flutuačij DTS [13]. Za simulačije DTS uporabimo odprtokodno simulačijsko orodje trisurf [30], [31], [32]. Vesikle z različno polimerno pokritostjo membrane (slika 4) v simulačijah DTS najprej termaliziramo, tako da dosegezejo kvazi-krogelno obliko v termičnem ravnovesju. Pri takšnih vesiklih nato pri konstantnem volumnu (enačba 8) opazujemo termične fluktuačije. Oblike vesiklov med seboj statističšno neko-reliranih stanj vesikla razvijemo po krogelnih funkčijah in v okviru teorije Milnerja in Safrana [33] izračunamo upogibno konstanto membrane vesikla, skupaj z njeno statistično napako [13]. Ker je upogibna konstanta čiste membrane, torej brez dodanih polimerov, vhodni parameter simulačij (zvezi 1 in 4), lahko opazujemo vpliv polimerov na upogibno trdnost membrane (slika 5).
Kot lahko vidimo na sliki 5 pri majhni polimernih pokritostih, nasša metoda očeni nekoliko premajhno vrednost upogibne trdnosti membrane. Napaka je poslediča diskretizačije površine in je v našem primeru okoli 10 % (vir te napake, njena analiza ter vpliv diskretizačije nanjo je opisan v [13]).
Pri večjih pokritostih (nad « 40 %) pa se izkaze, da polimeri znatno povečajo upogibno trdnost membrane. Tam je odvisnost med upogibno trdnostjo in polimerno pokritostjo priblizno linearna in povečanje upogibne trdnosti vsekakor znatno presega okvir napake metode zaradi diskretizačije. Pri skoraj 100 % polimerni pokritosti se upogibna trdnost podvoji glede na njeno vrednost membrane brez polimerov.
0 20 40 60 80 100 Polimerna pokritost membrane [%]
Slika 5: Upogibna trdnost membrane v odvisnosti od pokritosti s polimeri, ki so kot lasje pripeti na zunanjo stran membranskega mehurčka (vesikla). Upogibna trdnost čiste membrane (brez polimerov) je v modelu 20 kT (siva čšrtkana čšrta). Parametri modela so enaki, kot pri sistemu na sliki 4.
4 Razprava in zaključek
V čšlanku smo predstavili simulačije dinamičšno trianguli-ranih povrsšin (DTP) in z njimi očenili elastičšne lastnosti "kosmatih" membran, torej vpliv mehkih polimerov, ki so kot lasje pripeti na zunanjo stran membranskega vesikla, na upogibno trdnost membrane.
Izkaze se, da pri velikih polimernih pokritostih membrane njena upogibna trdnost znatno naraste. To lahko razlozšimo s steričšnim odbojem sosednjih polimerov. Ta je pri večji pokritosti membrane večji, saj so polimeri blizje drug drugemu in se bolj čutijo.
Motiv za takšno študijo so PEG lipidne membrane, kjer so na membrano pripete verige polietilen glikola (PEG). Te igrajo pomembno vlogo v biotehnologiji [19], [20], saj lahko z dekoračijo membranskih vesiklov (mehurčškov) s PEG molekulami znatno vplivamo na obnasšanje vesiklov. Ker so taksšni vesikli pomembni tudi za prenos snovi v biolosških sistemih, je nasša raziskava potenčialno zanimiva za biotehnolosške aplikačije v far-mačiji in medičini.
V pripravi so ze nadaljne raziskave. Smiselno bi bilo raziskati, kako različšne lastnosti polimerov vplivajo na upogibne lastnosti membrane in kako se membrane z različšno upogibno trdnostjo odzivajo na polimerno pokritost. Smiselno bi bilo preveriti tudi vpliv temperature in dimenzij sistema na rezultate simulačij. In bolje razumeti mehanizem steričšnega odboja polimerov ter druge dejavnike, ki vplivajo na mehanske lastnosti "kosmatih membran".
Simulačije DTP so torej uporabno orodje za raziskave obnašanja lipidnih in bioloških membran. Njihova slabost je relativno zahtevna uporaba in čšasovna potra-tnost prilagajanja modela potrebam. Zelimo si, da bi
280
FOŠNARIC
prispevki, kot je ta, prispevali k razvoju in širši uporabi simulacij DTP v biofiziki bioloških membran, saj bi s tem potencialno zelo koristno orodje postalo uporabniku dostopnejše in prijaznejše.
Literatura
[1]	D. Boal, Mechanics of the Cell, 2nd ed. Cambridge University Press, 2012.
[2]	L. Vodovnik, D. Miklavcic, and T. Kotnik, Biološki sistemi. Ljubljana: Zalozba FE in FRI, 1998.
[3]	R. Phillips, J. Kondev, J. Theriot, and H. Garcia, Physical biology of the cell, 2nd ed. Garland Science, 2013.
[4]	W. Helfrich, "Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible experiments," Z. Naturforsch., vol. 28, pp. 693-703, 1973.
[5]	G. Gompper and D. M. Kroll, "Triangulated-surface models of fluctuating membranes," in Statistical Mechanics of Membranes and Surfaces, D. Nelson, T. Piran, and S. Weinberg, Eds. World Scientific, Singapore, 2004, pp. 359-426, 2nd edition.
[6]	D. M. Kroll and G. Gompper, "The conformation of fluid membranes - monte-carlo simulations," Science, vol. 255, no. 5047, pp. 968-971, 1992.
[7]	H. Koibuchi, "Monte carlo studies of triangulated spherical surfaces in the two-dimensional space," Nuclear Physics B, vol. 836, no. 3, pp. 186-203, 2010.
[8]	G. Gompper and D. Kroll, "Membranes with fluctuating topology: Monte carlo simulations," Physical review letters, vol. 81, no. 11, p. 2284, 1998.
[9]	G. T. Linke, R. Lipowsky, and T. Gruhn, "Free fluid vesicles are not exactly spherical," Phys. Rev. E, vol. 71, p. 051602, May 2005. [Online]. Available: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.71.051602
[10]	H. Noguchi and G. Gompper, "Dynamics of fluid vesicles in shear flow: Effect of membrane viscosity and thermal fluctuations," Phys. Rev. E, vol. 72, no. 1, p. 011901, Jul 2005.
[11]	M. Fošnaric, A. Iglic, D. M. Kroll, and S. May, "Monte Carlo simulations of complex formation between a mixed fluid vesicle and a charged colloid," J. Chem. Phys., vol. 131, no. 10, p. 105103, 2009.
[12]	M. Fošnaric, A. Iglic, D. M. Kroll, and S. May, "Monte carlo simulations of a polymer confined within a fluid vesicle," Soft Matter, vol. 9, no. 15, pp. 3976-3984, 2013.
[13]	S. Penic, A. Iglic, I. Bivas, and M. Fošnaric, "Bending elasticity of vesicle membranes studied by monte carlo simulations of vesicle thermal shape fluctuations," Soft matter, vol. 11, no. 25, pp. 5004-5009, 2015.
[14]	G. Gueguen, N. Destainville, and M. Manghi, "Fluctuation tension and shape transition of vesicles: renormalisation calculations and monte carlo simulations," arXiv preprint arXiv:1706.09476, 2017.
[15]	N. Ramakrishnan, P. B. S. Kumar, and J. H. Ipsen, "Modeling anisotropic elasticity of fluid membranes," Macromolecular Theory and Simulations, vol. 20, no. 7, pp. 446-450, 2011. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1002/mats.201100002
[16]	N. Ramakrishnan, J. H. Ipsen, and P. S. Kumar, "Role of disclinations in determining the morphology of deformable fluid interfaces," Soft Matter, vol. 8, no. 11, pp. 3058-3061, 2012.
[17]	M. Fosnaric, S. Penic, A. Iglic, V. Kralj-Iglic, M. Drab, and N. Gov, "Theoretical study of vesicle shapes driven by coupling curved proteins and active cytoskeletal forces," Soft Matter, 2019.
[18]	B. R. Graziano, J. P. Town, T. L. Nagy, M. Fošnaric, S. Penic, A. Iglic, V. Kralj-Iglic, N. Gov, A. Diz-Mufioz, and O. D. Weiner, "Cell confinement reveals a branched-actin independent circuit for neutrophil polarity," BioRxiv, p. 457119, 2019.
[19]	H. Lee and R. W. Pastor, "Coarse-grained model for pegylated lipids: effect of pegylation on the size and shape of self-assembled structures," The Journal of Physical Chemistry B, vol. 115, no. 24, pp. 7830-7837, 2011.
[20]	S. J. Marrink, V. Corradi, P. C. Souza, H. I. Ingolfsson, D. P. Tieleman, and M. S. Sansom, "Computational modeling of realistic cell membranes," Chemical reviews, vol. 119, no. 9, pp. 6184-6226, 2019.
[21]	H. Noguchi, "Membrane Simulation Models from Nanometer to Micrometer scale," Journal of Physical Society of Japan, vol. 78, no. 4, p. 041007, 2009.
[22]	N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, and E. Teller, "Equation of state calculations by fast computing machines," The journal of chemical physics, vol. 21, no. 6, pp. 1087-1092, 1953.
[23]	W. Hastings, "Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications." Biometrika, vol. 57, pp. 97-109, 1970.
[24]	M. Meyer, M. Desbrun, P. Schroder, and A. H. Barr, "Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds," in Visualization and mathematics III. Springer, 2003, pp. 35-57.
[25]	G. Gompper and D. M. Kroll, "Random surface discretizations and the renormalization of the bending rigidity," J. de Physique I, vol. 6, no. 10, pp. 1305-1320, 1996.
[26]	C. Itzykson, "Random geometry, lattices and fields," in Proceedings of the GIFT Seminar, Jaca 85, J. Jabad, M. Asorey, and A. Cruz, Eds. Singapore: World scientific, 1986, pp. 130-188.
[27]	D. Espriu, "Triangulated random surfaces," Phys. Lett. B, vol. 194, no. 2, pp. 271-276, 1987.
[28]	H. Noguchi and G. Gompper, "Fluid vesicles with viscous membranes in shear flow," Phys. Rev. Lett., vol. 93, no. 25, p. 258102, Dec 2004.
[29]	M. Fosšnaricš, A. Iglicš, and S. May, "Influence of rigid inclusions on the bending elasticity of a lipid membrane," Physical review E, vol. 74, no. 5, p. 051503, 2006.
[30]	S. Penic, "Gitlab: Project trisurf-ng," 2019. [Online]. Available: https://gitlab.com/Penic/trisurf-ng
[31]	M. Fošnaric and S. Penic, "Trisurf - odprtokodno programsko orodje za simulacije dinamično trianguliranih površin (1. del: Model)," in Zbornik šestindvajsete mednarodne elektrotehniške in računalniške konference ERK 2017, September 2017, Portoroš, Slovenija, 2017.
[32]	S. Penic and M. Fošnaric, "Trisurf - odprtokodno programsko orodje za simulacije dinamicno trianguliranih površin (2. del: algoritem)," in Zbornik šestindvajsete mednarodne elektrotehniške in računalniške konference ERK 2017, September 2017, Portoroš,, Slovenija, 2017.
[33]	S. T. Milner and S. Safran, "Dynamical fluctuations of droplet microemulsions and vesicles," Physical Review A, vol. 36, no. 9, p. 4371, 1987.
Miha Fošnaric je diplomiral na Oddelku za fiziko na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani in doktoriral na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Med leti 2000 in 2018 je bil zaposlen kot mladi raziskovalec in nato asistent za fiziko na Fakulteti za elektrotehniko, od leta 2018 pa je visokošolski učitelj za biofiziko in biomehaniko na Zdravstveni fakulteti Univerze v Ljubljani. Njegovo raziskovanje na področju bioloških membran obsega predvsem statisticšno fiziko, modeliranje in racšunalnisške simulacije.