Zaporedja, permutacije in kombinacije Sequences, Permutations and Combinations Nada Razpet Pedagoška fakulteta, Koper Pedagoška fakulteta, Ljubljana Povzetek Pregledali bomo nekaj poglavij iz knjige Vorlesungen iiber die Matliema-lik / in spoznali Jurija Vego kol pisca učbenikov. Zanimalo nas bo, kako je obravnaval zaporedja in kakšne primere uporabe je navedel. Spoznali bomo. kako je prišel do formul, s katerimi je potem izračunal število topovskih krogel na kupih različnih oblik, nadaljevali s poglavjem o permutacijah in zaključili s kombinacijami. Pri prevodu bomo skušali upoštevati izvirnik in uporabljati pomensko enako matematično izrazoslovje. Le poglavji o permutacijah in kombinacijah bomo skrajšali in navedli le nekatere značilnosti razlage in posebne primere. Na koncu pa bomo dodali še kratek opis igre "pham", ki jo Vega omenja v eni izmed nalog. Abstract We will examine a few chapters form the book Vorlesungen iiber die Mathenuitik I and become acquainted with Jurij Vega as a textbook writer. We will be interested in his treatment of sequences and the examples he used, li t- will Jind out how he came to use the formulae for calculating the number of cannonbalIs in piles of different shapes. We will continue by examining a chapter on permutations and conclude with combinations. In translation, an attempt will he made to adhere to the original and to use semantically equivalent mathematical terms. The chapters on permutations and combinations will be abridged and only some of the characteristics of the explanation and special examples will be listed. Finally, a brief description of "pham", the game Vega men-lions in one of his tasks, will be presented. 255 281) ZAPOREDJA, PERMUTAC1JE IN KOMBINACIJE Šesto predavanje o zaporedjih in njihovi uporabi Aritmetično in geometrijsko zaporedje §229 O zaporedjih in njihovi uporabi Zaporedje števil, ki naraščajo ali padajo po nekem zakonu, je splošno zaporedje. V prvem primeru je zaporedje naraščajoče, v drugem pa padajoče. Števila, ki tvorijo zaporedje, imenujemo členi zaporedja. Tako je na primer 1. 2. 4. 8, 16 naraščajoče zaporedje s petimi členi, kjer členi naraščajo po takem zakonu, da je vsak naslednji člen 2-krat tako velik kot prejšnji člen. Pač pa je 24. 18. 12. 6 padajoče zaporedje s štirimi členi, kjer se vsak naslednji člen od prejšnjega dobi tako. da se ga zmanjša za 6. Zaporedja, katerih členi po nekem zakonu potekajo brez konca, imenujemo neskončna zaporedja. Tako je na primer zaporedje j, -j^. ^ — ki se nadaljuje brez konca, neskončno zaporedje. Če pa se to zaporedje kjerkoli konča, na primer s tisočim členom, je to končno zaporedje. §230 Iz vsega tega lahko razberemo, da ko enkrat poznamo pravilo (zakon) za neko zaporedje, ga lahko poljubno nadaljujemo in lahko določimo katerikoli člen tega zaporedja. Lahko pa dobimo vsoto poljubnega števila členov s seštevanjem. Prav tako bi lahko 1000. člen zaporedja izračunali tako. da bi od vsote 1000 členov odšteli vsoto 999 členov. Težje pa bi bilo seveda izračunati vsoto teh 1000 členov. Zato je potrebno, da pri vsakem zaporedju najdemo tak algebraični izraz, neko funkcijo /j-ja. ki je določena tako. da z vstavljanjem za n = 1. // = 2, n =- 3, » = 4 itd. dobimo prvi. drugi, tretji, četrti člen in tako naprej. Funkcijo ra-ja, ki ima to lastnost, imenujemo splošni ali //-ti člen zaporedja. Tako na primer je v zaporedju 2.5. 8. 11, 14... splošni člen enak 3// — 1. Če tu vstavimo n = 1,//. = 2. n = 3. n = 4. dobimo prvi. drugi, tretji, četrti člen zaporedja. Primeri: rc-ti člen I. 5,10,15,20.25, ... on II. 4,7,10,13,16,19, ... 3/i + l III. 1.4.9,16.25. ... /t2 IV. 1.3,6.10.15.21, ... (ra2 + n)/2 V. 3.6.12,24.48, ... 3-2""1 Enako lahko pri vsakem zaporedju najdemo tako algebraično funkcijo //-ja, ki ima to lastnost, da če vstavimo za n = 1, n = 2, ti. = 3 ..., dobimo vsoto ARITMETIČNO IN GEOMETRIJSKO ZAPOREDJI-: 257 enega, dveh, treh členov. Taka funkcija n-ja je sumacijska formula za n členov ali sumatorični člen vrste. Tako je na primer v zaporedju 2. 5, 8. 11. 14 sumacijska formula ('lir + n)/2. Kajti če se v to formulo vstavi za n = 1, dobimo prvi člen. ki je 2. če vstavimo za // = 2, n = 3, n = 4, n = 5, dobimo 7. 15. 26. 40. To zaporedje predstavlja vsoto prvih dveh, prvih treh. prvih štirih, prvih petih členov prejšnjega zaporedja. Na enak način dobimo sumacijsko formulo prej navedenih petih primerov po vrsti: 5 n2 + 5n 3 n2 + 5 n 2n3 + 3 n2 + n n3 + 3?i2 + 2n 2 _' ~ 2 ' (1 1 G ' ' " Vse le formule so take. da dobimo vsote zgornjih zaporedij, če n nadomestimo s številom členov, ki jih želimo sešteti. §231 Če pa je pri nekem zaporedju sumacijska formula kot funkcija n-ja že znana, potem iz nje lahko dobimo /Mi člen zaporedja. Če namesto // v sumacijsko formulo vstavimo ii — 1. dobimo vsoto n — 1 členov. Če odštejemo vsoto // — 1 členov od vsote z ii členi, dobimo na ta način //-ti člen, ker je pač vsota z ii členi ravno za //-ti člen večja kot vsota n — 1 členov. Na primer pri zaporedju 3. 7. 11. 15, 19 ...je vsota // členov 2/r + n, vsota ii - 1 členov je enaka 2(// — 1 )2 + (n — 1) = 2/r - 3n + 1. Če to odštejemo od vsote z ii členi, dobimo: (2/r + n) - (2/r - 3// + 1) = 4» - 1. to je ravno //-ti člen prvotnega zaporedja. Če je znana sumacijska formula, potem iz nje lahko vedno izpeljemo //-ti člen. Iz členov zaporedja izpeljati sumacijsko formulo pa je že težje, ker ni splošnega pravila. Vsako zaporedje je potrebno obravnavati posebej. O aritmetičnih zaporedjih § 232 Zaporedja, pri katerih se ohranja enaka razlika, če prejšnji člen odštejemo od naslednjega člena, imenujemo aritmetično zaporedje. Primer: 1,4. 7, 10. 13 ... in 12. 10. 8. 6 ... sta aritmetični zaporedji, ker je razlika pri obeh stalna. V prvem primeru je razlika 3. v drugem pa je stalna razlika -2. Iz tega vidimo, da aritmetično zaporedje določata dva člena ali pa prvi člen in razlika. Zdaj naj bo prvi člen aritmetičnega zaporedja (i.s, ker smo prišteli n + 1. Iz prvega dela sledi n3 < 6s in iz drugega (// + l)3 > (i.s. to pa pomeni, daje n < vG* in (n + 1) > v^G« in torej n < {/(i* in n > š/O* — 1. Ker je razlika med vGs in n celo število in tudi n je celo število, imamo naslednje pravilo: Izračunamo tretji koren iz šestkratnika števila krogel in vzamemo celi del tega tretjega korena in vstavimo to za n v formulo . Dobimo dano število .s. in tedaj lahko te krogle zložimo v tristrano piramido z n kroglami v osnovni vrstici. Če pa dobimo manj. kot je število vseh krogel, se ne da teh krogel postaviti v trikotno piramido. Če pa dobimo več. kot je dano število krogel, potem osnovnico zmanjšamo za eno in potem še nekaj krogel ostane. Primeri: 1. 1140 krogel bi radi postavili v trikotno piramido. • 1140 = 18, vstavimo v formulo (18 • 19 • 20)/6 = 1140. Torej lahko sestavimo trikotno piramido. 2. Število krogel je 7775. vG • 7775 = 35 in nekaj več. Vstavimo v formulo (35 ■ 36 • 37)/G = 7770. Ostane 5 krogel. 3. Imamo 4000 krogel, ki bi jih radi zložili v trikotniško piramido. \/() • 4000 = 28 in nekaj več. Vstavimo v formulo (28 • 29 • 30)/6 = 4060. Stranico zmanjšamo, stranica ima 27 krogel, ostane še 346 krogel. II. Število krogel v štirikotni piramidi je: _ n{n + 1)(2// + 1) S ~ 2-3 Izračunajmo stranico n. Iz § 240 je ■i 3 o 1 3s = n3 + -n2 + -n, iz tega sledi, daje n3 < 3s in (n +1)3 > 3.s in od tod n < ^š in (n+ 1) > v^Šis. Tako kot prej izračunamo celi del vstavimo v formulo za .s in ponovimo postopek tako kot prej. III. Če je dano število krogel v prosto stoječem dolgem slemenu, potem je (§241): 2n3 + 3mn2 + 3mn - 2n s =--. 2-3 Imamo dve neznanki pri danem .s, eni je treba dati neko vrednost. Dobro je vzeti n za znano in izračunati dolžino slemena m. Deloma tako zato, ker se višina uravnava ARITMETIČNO IN GEOMETRIJSKO ZAPOREDJI-: 275 ravno po n-ju, pa tudi zato, ker m nastopa v prvi potenci: 6s + 2n-2n3 2.s 2, in =-n-=---(n — 1). 3n2 + 3n n(n+1) 3V ' Če lahko n izberemo tako, da je m celo število, potem lahko dano število krogel postavimo v prosto stoječi kup: če ni celo število, izberemo n, izračunamo m do celega dela in potem pogledamo, koliko ostane. Primer: 1155 krogel bi radi zložili v prosto stoječi kup. Za n = 10 dobimo m = 15. Če bi bilo 1623 krogel, pa takega kupa ne bi mogli zložiti. Če je potrebno zložiti veliko takih kupov, je dobro narediti tabelo. Poglejmo le del Vegove tabele. n Število krogel na slemenu (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 3 14 20 26 32 38 44 50 56 62 4 30 40 50 60 70 80 90 100 110 5 55 70 85 100 115 130 145 160 175 Osnovna stranica = m + n — 1 Ta tabela je dobra tudi za štirikotne piramide, takrat je m = 1 in se število krogel preprosto izračuna po formuli n(n + l)(2n + l)/(i tudi za velike n, kot na primer za n = 20 ali več. V prvem stolpcu izračunamo števila kar po tej formuli. Vse ostale stolpce ni težko dopolniti, saj tvorijo števila v posameznih vrsticah aritmetično zaporedje prvega ranga. Razlike števil po vrsticah so trikotniška števila (n(n + l)/2). (Opomba: v prvi vrstici je razlika 3. v drugi 6. v tretji 10 itd.) Na podoben način lahko naredimo tabelo za kup. ki se na obeh straneh naslanja na tristrano piramido. 71 Število krogel na slemenu (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 7 10 13 16 19 22 25 3 10 16 22 28 34 40 46 52 4 20 30 40 50 60 70 80 90 5 35 50 65 80 95 110 125 140 6 56 77 98 119 140 161 182 203 Osnovna stranica = in — n + 1 V prvi stolpec (za m = 1) zapišemo število krogel, zloženih v trikotno piramido (po formuli n(n + l)(/i + 2)/6. Števila v vrsticah so členi aritmetičnega zaporedja prvega ranga in zopet so razlike vrstic trikotniška števila n(n + 1 )/2. 281) ZAPOREDJA, PERMUTAC1JE IN KOMBINACIJE §246 Zaporedje, katerega prve diference so členi nekega aritmetičnega zaporedja II. ranga. zato 3. diference konstantne, so aritmetična zaporedja III. ranga. Tako je na primer zaporedje tretjih potenc naravnih števil aritmetično zaporedje III. ranga, ker je namreč: Zaporedje 1.8.27.64,125... prve diference 7. 19. 37. 61 ... diference II. reda 12. 18. 24 ... diference III. reda 6. 6 ... To pojasnjuje, da morajo biti za tako zaporedje znani štirje členi, da ga lahko nadaljujemo oziroma znamo določiti splošni člen. Če naredimo podobno obravnavo kot pri aritmetičnem zaporedju II. ranga. potem vidimo, daje vsak člen takega zaporedja sestavljen iz danega števila S. povečanega za vsoto nekaterih členov aritmetičnega zaporedja II. ranga. Tako vsoto pa lahko, kot smo videli v razdelku § 238. predstavimo z izrazom Pn3 + Qn2 + Rti. Posledično lahko določimo tudi /Mi oziroma splošni člen vsakega aritmetičnega zaporedja III. ranga na naslednji način: I. t = Pn3 + Qtr + Rn + S. Zato. da najdemo vsoto s, pomnožimo splošni člen / z nekim Fn (tako kot v § 238). preimenujemo P F = .4. QF = 13. It F = C. S F = D. Potem je sumatorični člen vsakega aritmetičnega zaporedja II. ranga oblike: II. s = An4 + Bii3 + Cn2 + D II. Pri tem so A. D. C, D tako kot koeficienti P. Q, Ii in S v (I) določljivi s štirimi členi danega zaporedja III. ranga. če postavimo /z = 1, n = 2, //. = 3 in n = 4. Tako je na primer /?-ti člen zaporedja 1. 8. 27 ... t = n3 in potem n4 + 2n3 + n'2 n2(n + l)2 (\ , s =-^-= —— = n + 1} §247 Prav tako obstajajo zaporedja, katerih 4.. 5.. 6. diference so konstantne in ki jih zaradi tega imenujemo aritmetična zaporedja četrtega, petega, šestega ranga. Tako je na primer zaporedje četrtih potenc naravnih števil zaporedje četrtega ranga. zaporedje petih potenc naravnih števil petega ranga. na splošno zaporedje ///-tih potenc naravnih števil zaporedje z/v-tega ranga. Ker se taka zaporedja v vadbeni matematiki redko pojavljajo, tukaj ne bomo navajali nobenega nadaljnjega zaporedja. POGLAVJE O RAZPOREDITVAH 277 Tako lahko zaključimo zakonitost formul za ra-te člene zaporedij in vsote n-tih členov. Vsak, ki je prejšnje dobro razumel, lahko uporabi tabelo: Rang n-ti člen 1 Vsota n-tih členov s 1 Pn + Q Ari* + Bn 2 Pn2 + Qn + It Aii:i + Dri2 + Cn 3 Pn3 + Qn2 + lin + S An4 + Bn3 + Cn2 + Dn 4 Pn4 + Qn3 + Rn2 + Sn + T An5 + Bn4 + Cn3 + Dri1 + En m Pn'" + Qnm~x + • ■ ■ + Yn + Z An'"+1 + Bnm + Cn'"-1 + --- + Hn Iz tega se vidi. daje vsako tako zaporedje, katerega splošni in sumatorični člen lahko izrazimo kot celo racionalno funkcijo n-ja (take oblike kot je bila pravkar navedena), da tako zaporedje sodi v družino aritmetičnih zaporedij in da se iz najvišjega eksponenta v izražavi s oziroma t vidi. katerega ranga je bilo aritmetično zaporedje in tudi koliko členov zaporedja mora biti danih, da lahko določimo koeficiente v izrazu za / oziroma s. Poglavje o razporeditvah (O kombinacijah in permutacijah) §248 Pogosto je potrebno tako pri matematičnih raziskavah kot tudi v vsakdanjem življenju navesti vse možne primere neke zadeve, v določenih primerih pa tudi določiti razmerje verjetnosti proti neverjetnosti nekega uspeha, na primer, da se pri aritmetičnem zaporedju I. ranga pojavi 5 količin, od katerih jih poznamo le 3. pa bi radi določili četrto in se lahko vprašamo, kolikokrat se da 5 količin tako povezati, da bodo vsakokrat 4 skupaj: ali pa bi radi vedeli, kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli na loteriji, kjer je 90 srečk, pa izvlečemo 5 srečk in bodo 3 zadele ali da so med izbranimi 10 srečkami 3 zadele. Za odgovore na taka vprašanja je potrebno narediti raziskave, na koliko načinov lahko izmed n reči izbereš m reči. To naredimo takole: §249 Imamo dve reči: a in b. Možen je en način povezave teh dveh reči: ab. Če imamo eno reč. potem je 0 možnosti povezave dveh reči. Če pa k dvema rečema a in b dodaš še tretjo reč c, potem so tri povezave dveh reči: ab. ac, br. Če so 4 reči a, b. c, d. potem so še tri možnosti poleg prejšnjih povezav ad, b. ac, bc, ad, bd, cd ac, bc, cc, de 10 Dodane možnosti dobimo tako, da delamo vse pare starih elementov z dodanimi. Število kombinacij po dveh rečeh pri 1, 2, 3, 4. 5 ...stvareh je aritmetično zaporedje II. ranga. število reči 1. 2. 3,4, 5, 6 ... možnosti 2 skupaj 0. 1. 3. 6. 10. 15 ... Druge diference so konstantne, pomeni, daje to zaporedje II. ranga in je splošni člen (po § 237) enak |n(n — 1). Torej je posledično: I. Število kombinacij 2. razreda pri n rečeh amb je "'""j"1*- • Če bomo te reči kombinirali po 3. potem iz I ali 2 reči ne moremo narediti terne. ko so 3 reči: a. b, c. lahko naredimo 1 terno: abc. • Če k trojici stvari dodamo še d. potem naredimo vse ambe prvih treh reči. to je ab. ac, bc, dodamo d: abd, acd, bed in prve tri reči so same še ena tema. torej je vseh tem: abd, acd, bed, abc. • Če imamo 5 reči, potem naredimo vse ambe prvih 4 reči: ab, ac, ad, bc, bd. cd, dodamo e k tem šestim ambam abe. acc, ade, bce, bde, ede, s prvimi štirimi rečmi pa vemo že od prej. da lahko naredimo 4 terne. torej je vseh tern 10. • Ko dodamo še /.je tem toliko, kot je amb s 5-timi rečmi (to je 10), potem je še 10 tern s petimi rečmi, torej je vseh kombinacij s šestimi rečmi po tri. skupaj 20. • Ko je sedem reči. je torej: s šestimi rečmi je 15 amb. s šestimi rečmi je 20 tern, skupaj 35 tern. In tako naprej. Torej je pri 1. 2. 3.4. 5. 6. 7 ... rečeh 0. 0, 1,4, 10, 20, 35 ... tern. To pa je aritmetično zaporedje III. ranga. torej je splošni člen za terne: POGLAVJE O RAZPOREDITVAH 279 Posledično je: II. Število kombinacij 3. razreda ali tern pri n rečeh je '»(■». - 1)(« - 2) 3-2-1 • Kombinacije po 4 pri 1, 2. 3 rečeh niso možne. • Pri štirih rečeh je ena možnost. • Ko dodamo k rečem a,b,c,d še e. naredim četverke tako. da poiščemo teme prvih 4 reči, teh je 4, dodamo e, in same prve štiri reči so še ena terna, torej jih je skupaj 5. • Ko k petim rečem a, b. c, d. e dodam še /. je iz petih reči 10 tern. s / torej 10 četverk. iz 5 reči pa je še 5 četverk. skupaj 15 četverk. Torej je pri 1, 2. 3,4. 5, 6 rečeh 0. 0,0, 1. 5. 15 četverk. To pa je aritmetično zaporedje IV. ranga, torej je splošni člen: . III. Število kombinacij 4. razreda ali četveric pri n rečeh je n(n - !)(» - 2)(» - 3) 4-3-2-1 IV. Ce pri n rečeh kombiniramo po m teh reči, je vseh načinov n(« - l)(w - 2) ■ (M - (?» + 1)) m(m - l)(m - 2) • 1 Ko vemo. katerega ranga je zaporedje, lahko vse izračunamo s koeficienti tako kot v (§ 248). Vega navede še nekaj številskih primerov. § 250 in § 251 V teh dveh poglavjih Vega obravnava primere pri loteriji. Ker je razlaga zelo podrobna, se bomo omejili le na bistvene dele in uporabili sodobne oznake, da bo manj pisanja. Opomba: Izrazi kot so amba in tema so znani tudi nekaterim starejšim ljudem. V času monarhije so na Dunaju igrali loterijo, pri kateri je igralec lahko zadel terno. Vrednost tega dobitka je bila velika, zato so z izrazom, ta je zadel "terno" označili človeka, ki je imel veliko srečo. Igralec na loteriji je lahko stavil na eno. dve. tri. štiri ali pet številk. Na loteriji so izmed številk od I do 90 izžrebali 5 različnih številk. Če je igralec stavil na eno številko in je bila ta izžrebana, je zadel unijo, če je stavil na dve in sta bili ti dve številki izžrebani, je zadel ambo. če je stavil na tri številke in so bile vse tri izžrebane, je zadel terno. če je stavil na štiri številke in so bile tudi izžrebane, je zadel kvaterno in če je slavil na pet številk in so bile vse izžrebane, je zadel činkvino. Ob stavi je igralec vplačal določen znesek. 281) ZAPOREDJA, PERMUTAC1JE IN KOMBINACIJE Vseh možnih izborov petih številk izmed 90 je ('"') = 43949268. Ugodne izide za igralce označimo z m. Številka v oklepaju pa naj pomeni, na koliko številk je igralec stavil. m<6)=Q=1 '"«=(:)•(?)— m<3) = Q) . (®5) = 35700 m(2) = Q . = 987700 m(l) = Q • (S45) = 10123925 p,5) - ssas-P(4> = šnkš'p,:i> = Tik-P(2) - arP(1) - s §252 Kako lahko 6 oseb posedemo za mizo (mišljeno v vrsto)? Vega ima naslednji postopek. Eno reč lahko razporedimo na en način. Dve reči na dva načina ab ali ba. Tri reči tako. da k prejšnjima dvema načinoma dodamo tretjo reč. ki pa jo lahko dodamo spredaj, zadaj ali vmes. torej: abc. cab acb in bac cab bca, torej skupaj 2-3 = 6. Štiri reči pa tako. da k prejšnjim 6 načinom dodamo četrto reč in sicer lahko na začetek, drugo mesto, tretje mesto ali na konec, torej je vseh 6 ■ 4 = 24. Pet reči pa tako. da k prejšnjim 24 načinom dodamo peto reč zopet na začetek, drugo mesto, tretje mesto, četrto mesto ali na konec, torej je vseh: 24 ■ 5 = 120. Ko imam n reči. pa je vseh možnosti torej: 1-2-3 ...n. Torej je 6 oseb možno posesti za mizo (mišljeno v vrsto) na 720 načinov. V nadaljevanju na podoben način obravnava tudi permutacije s ponavljanjem. GEOMETRIJSKA ZAPOREDJA 281 Geometrijska zaporedja §253 Zaporedja, pri katerih je stalen kvocient med naslednjim in pred njim stoječim členom, je geometrijsko zaporedje, na primer 1. 2. 4. 8. 16. 32 ...ali padajoče 81. 27, 9, 3, I. ^ ... V prvem primeru je kvocient 2, v drugem pa V geometrijskem zaporedju dobiš vsak naslednji člen iz predhodnega tako. da tega pomnožiš s kvo-cientom. Geometrijsko zaporedje je podano, če sta znana prvi člen in kvocient. Če je prvi člen 2 in kvocient 3. potem je drugi člen 6. tretji 18 itd. Splošno: prvi člen je a in kvocient je tj, potem je: mesto 1 2 3 4 ... n člen a qa q a q3a ... t Gledamo q. Če je q > 1. potem je zaporedje naraščajoče, če je q < 1, pa zaporedje padajoče. Splošni člen zapišemo kot: I. t = aq"-1 Lahko izračunamo vsoto n členov .s: .s = a + aq + aq~ + ■ • • + aq"~1. Da bi enačbo poenostavili, jo pomnožimo s q: sq = aq + nq2 + aq + • • • + aq", zgornjo enačbo odštejemo od spodnje in dobimo: a(q" — 1) aqn~1q — a sq — .s = aq" — o, s = q- 1 qr-l n- -s = Enačbi (I.) in (II.) zapiše Vega še z besedami. Primera: 32-2-1 1 + 2 + 4 + 8H-----1-32= 0_ = 63. 81 + 27 + 9 + 3 = 7_~M = (-80) : = 120- Opomba: Zanimivo je. da piše Vega izraze, kot je recimo -80 : -§ brez oklepajev, pomeni, da ima skupaj dva računska znaka. 1/. teh dveh primerov vidimo, daje pri padajočem zaporedju kot pri naraščajočem zaporedju možno obrniti vrstni red seštevanja. 281) ZAPOREDJA, PERMUTAC1JE IN KOMBINACIJE Zapišimo vsoto členov geometrijskega zaporedja: s = a + aq + (iii2 H-----1-1. Če od vsote s odštejemo zadnji člen. dobimo .s — /, če pa odštejemo prvi člen, dobimo s—a. Kvocient teh dveh izrazov je tudi kvocient geometrijskega zaporedja. ■s - t _ a_ s — a a ij in iz tega sledi, daje tq — a §254 Pri geometrijskih zaporedjih je prav tako kot pri aritmetičnih zaporedjih možnih 5 količin: prvi člen a, splošni člen t. kvocient r/. število členov ii in vsota n členov «s. Če so znane tri količine, na primer .s. ii in a ali pa s, n, t. lahko ostali dve. I., II. ICiRA I'll ARO AI.I FARO 283 Iščemo Dano Štev. Formula Namig q. n, t 9 t " =-r r/"-1 I. q, t, .s K) a = /r/ - (r/ - l).s II. a q, II, 8 11 r/" - 1 I., II. II, t, .s 12 «(* - «)""' - t{s - t)"-1 = 0 I.,II. a, n, t 13 -•Vi I. a, t, s 14 H — (1 "= S -t II. <1 11, 11, s 15 C," —q + S _ a = 0 n a I.. II. 11, t. s 16 q" - —