i i “Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 72 — #9 i i i i i i Nove knjige nas. Ilustrirana je s ˇ stevilnimi skicami ter ˇ crno-belimi in barvnimi fotogra- fijami. Vpraˇ sanja so smiselno razdeljena v 12 logiˇ cnih sklopov. Naˇ stejmo samo nekaj vpraˇ sanj, s katerimi se knjiga ukvarja. Ali se da matematiˇ cno opisati obliko jajca? Ali King Kong, ki ga poznamo iz filmov, splohlahkozaresobstaja? Kolikodaleˇ cstranjenevihta? Kakovisokolahko zraste drevo? Zakaj imajo nekatera drevesa rakaste tvorbe? Kako dolgo bo ˇ se obstajalo naˇ se Sonce? Zakaj se lahko vname prevelika kopa sena? Zakaj se kapljice na pajkovi mreˇ zi pravilno razporedijo? Kako oceniti maso buˇ ce brez tehtanja? Kako nastane mavrica? Avtor se posveti tudi nebu, reˇ cnim zavojem, svetlobi, sencam, valovom, lepoti sneˇ zink in rastlin, pri katerih se sevedanemoreizognitiFibonaccijevemuzaporedjuinzlatemurazmerju,ter ˇ se mnogim drugim zanimivim pojavom v naravi. Vdodatkusonakratkoopisanematematiˇ cnevsebine,nujnopotrebneza razumevanje nekaterih delov knjige, odgovori na nekatera vpraˇ sanja, New- tonov zakon ohlajanja in seznam matematiˇ cnih vzorcev v naravi. ˇ Cisto na koncu pa je navedenˇ se obˇ siren seznam literature, ki mu sledita stvarno ka- zalo in osnovni podatki o avtorju knjige. Razkrijmo samo naslednje: John A. Adam je profesor matematike na Old Dominion University v Norfolku v Virginiji. Napisal je, sam ali v soavtorstvu, ˇ ze veˇ c knjig s sorodno vsebino, na primer Mathematics in Nature (Matematika v naravi). Kdor je le malo naravoslovno in matematiˇ cno navdahnjen, bo pritrdil, da je knjiga pravi biser poljudnoznanstvenega pisanja in vsekakor zanimiva tudi za uˇ citelje naravoslovnih predmetov in matematike, ker vsebuje dejan- skeprimereiznaraveneposrednookolinas, nepaustaljenih, pogostozalase privleˇ cenih nalog, kakrˇ snih smo navajeni iz raznih uˇ cbenikov in ustreznih zbirk. Predavateljem naravoslovnih vsebin in matematike na viˇ sjih in viso- kihˇ solah pa je lahko odliˇ cen pripomoˇ cek za popestritev njihovih predavanj. Marko Razpet ValeryG.RomanovskiinDouglasS.Shafer: THECENTERAND CYCLICITY PROBLEMS – A COMPUTATIONAL ALGEBRA APPROACH, Birkh¨ auser, Basel 2009, 348 strani. Dr. Valerij Romanovski je ˇ studiral matematiko na Leningrajski dr- ˇ zavni univerzi v nekdanji Sovjetski zvezi. Pred prihodom v Slovenijo je delal v Kazahstanu, v Severni Osetiji in v Belorusiji. Od leta 2000 dalje je zaposlen na Centru za uporabno matematiko in teoretiˇ cno fi- 72 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 i i “Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 73 — #10 i i i i i i The Center and Cyclicity Problems ziko Univerze v Mariboru. Leta 2002 je pridobil drˇ zavljanstvo Republike Slovenije. Raziskuje predvsem diferencialne enaˇ cbe,ˇ se posebej polinomske diferencialne enaˇ cbe v ravnini, in je eden od vodilnih strokov- njakov na tem podroˇ cju. Med drugim je bistveno prispeval k napredku pri reˇ seva- nju slavnega Hilbertovega ˇ sestnajstega pro- blema. Center za uporabno matematiko in te- oretiˇ cno fiziko Univerze v Mariboru (CAMPT) je bil ustanovljen 1990. leta in ga ˇ ze ves ˇ cas vodi prof. dr. Marko Rob- nik. ˇ Ceprav majhen po ˇ stevilu sodelavcev, je CAMTP znanstvenoraziskovalno izredno uspeˇ sen,predvsemnapodroˇ cjuteoretiˇ cnefizikeinuporabnematematike,ˇ se posebej na podroˇ cju nelinearne dinamike ter kvantnega kaosa, teorije dina- miˇ cnih sistemov in diferencialnih enaˇ cb. Ima zelo razvejeno mednarodno sodelovanje in redno organizira mednarodne poletneˇ sole ” Let’s Face Chaos throughNonlinearDynamics“indrugaodmevnamednarodnasreˇ canja. Veˇ c o CAMTP lahko najdemo na spletni strani . ˇ Stevilne naravne pojave ter znanstvene in tehnoloˇ ske modele lahko opi- ˇ semo s pomoˇ cjo teorije dinamiˇ cnih sistemov, ki prav zato postaja eno naj- pomembnejˇ sih in najhitreje rastoˇ cih podroˇ cij uporabne matematike. Dina- miˇ cnesistemenajboljpogostopredstavimokotsistemediferencialnihenaˇ cb. Kerpasosistemidiferencialnihenaˇ cbzeloredkointegrabilni,obiˇ cajnoˇ studi- ramolastnostireˇ sitevtakˇ snihsistemovinnjihovefazneportrete. Vprimeru 2-dimenzionalnihsistemovmoramozaopisfaznegaportretanajtisingularne toˇ cke in ugotoviti njihov tip ter poiskati limitne cikle in separatrisne pove- zave med singularnimi toˇ ckami. Danes sicer obstajajo uˇ cinkovite metode za opredelitev tipa singularnih toˇ ck, vendar ˇ zal ˇ se ne poznamo sistematiˇ cnih sploˇ snih metod za opredelitev limitnih ciklov in separatrisnih povezav, zato lahko najdemo limitne cikle in takˇ sne povezave samo v posebnih primerih. Fazni portret sistema diferencialnih enaˇ cb se spremeni, ˇ ce spremenimo parametre sistema, zato je eden izmed osrednjih vidikov teorije dinamiˇ cnih sistemov raziskovanje bifurkacij reˇ sitev. Teorija bifurkacij ima velik pomen v razliˇ cnih uporabnih in tehniˇ cnih znanostih, saj lahko z njeno pomoˇ cjo Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 73 i i “Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 74 — #11 i i i i i i Nove knjige doloˇ cimo stabilne reˇ zime sistema. Ena najbolj raziskovanih bifurkacij v dinamiˇ cnihsistemihjebifurkacijaizoliranihperiodiˇ cnihreˇ sitev,t.i.limitnih ciklov. V zadnjem ˇ casu je veliko pozornosti usmerjene v ˇ studij problema bifurkacijkritiˇ cnihperiod(tj.problemadoloˇ citveˇ stevilaperiodiˇ cnihreˇ sitev, ki ohranijo periodo pri majhnih motnjah sistema), ki se je izkazal za zelo podobnega problemu bifurkacij limitnih ciklov in ga lahko preuˇ cujemo s podobnimi metodami. Eden najbolj znanih problemov v teoriji navadnih diferencialnih enaˇ cb jeˇ se vedno nereˇ seni Hilbertovˇ sestnajsti problem o iskanjuˇ stevila izoliranih periodiˇ cnih reˇ sitev (limitnih ciklov) 2-dimenzionalnih sistemov polinomskih diferencialnihenaˇ cb(diferencialnisistemispolinominadesnistrani). Kljub temu da je problem star ˇ ze veˇ c kot sto let, ni reˇ sen niti za kvadratiˇ cne sis- teme. Problem bifurkacij limitnih ciklov nedegenerirane singularne toˇ cke, tako imenovani lokalni Hilbertov ˇ sestnajsti problem ali problem cikliˇ cnosti, je bistven del Hilbertovega ˇ sestnajstega problema. Eden prvih veˇ cjih pri- spevkov k ˇ studiju problema cikliˇ cnosti je delo N. N. Bautina (1952), ki je reˇ silproblemcikliˇ cnostizakvadratiˇ cnesistemeinpredlagalsploˇ snipostopek za ˇ studij problema. ˇ Ce so vse orbite v okolici singularne toˇ cke 2-dimenzionalnega sistema navadnih diferencialnih enaˇ cb ovalne, potem singularno toˇ cko imenujemo center(srediˇ sˇ ce), invtemprimerusovsereˇ sitvevokolicikonstantnereˇ sitve periodiˇ cne. Ena veˇ cjih teˇ zav, ki se pojavi pri ˇ studiju problema cikliˇ cnosti, je v tem, da je na prvem koraku treba reˇ siti Poincar´ ejev problem centra, tj. najti vse sisteme s centrom znotraj dane parametriˇ cne druˇ zine ravnin- skih sistemov navadnih diferencialnih enaˇ cb. Ta problem je leta 1908 prvi obravnaval francoski matematik H. Dulac in ga reˇ sil za primer kvadratiˇ c- nega sistema. O problemu centra in fokusa je bilo napisanih ˇ ze na stotine ˇ clankov. Vendar je reˇ sen za kvadratiˇ cne sisteme in za kubiˇ cne sisteme v obliki linearnega centra, motenega s homogenimi kubiˇ cnimi nelinearnostmi (za t. i. Kuklesov sistem), in ˇ se za nekaj reprezentativnih druˇ zin polinom- skih sistemov. K temu sta v ˇ stevilnih originalnih ˇ clankih veliko prispevala prav avtorja te monografije. Delo obravnava problema centra in cikliˇ cnosti za polinomske sisteme navadnih diferencialnih enaˇ cb. Kljuˇ cna znaˇ cilnost sedanjega naˇ cinaˇ studija problema cikliˇ cnosti je v tem, da v primeru elementarne singularne toˇ cke problem cikliˇ cnosti reduciramo na algebraiˇ cni problem iskanja baze ideala polinomov, porojenega s fokusnimi koliˇ cinami sistema (t. i. Bautinov ideal). 74 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 i i “Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 75 — #12 i i i i i i The Center and Cyclicity Problems Ena osnovnih teˇ zav v ˇ studiju problema centra izhaja iz izraˇ cuna razno- terosti ideala, porojenega s fokusnimi koliˇ cinami (koeficienti Poincar´ ejeve preslikave). To je dejansko algebraiˇ cni problem: najti dekompozicijo mno- ˇ ziceniˇ celsistemapolinomov(dekompozicijoraznoterostiidealapolinomov), zato prvo poglavje knjige obravnava sodobne metode in raˇ cunalniˇ ske algo- ritmeˇ studija polinomskih idealov, ki temeljijo na teoriji Groebnerjevih baz. To poglavje je neodvisno od preostalega dela knjige in bi bilo lahko zani- mivo celo za ˇ studente matematike prvih letnikov, ker daje uvod v osnovne koncepte teorije polinomskih kolobarjev, njihovih idealov in raznoterosti ter kaˇ ze, kako reˇ sevati sisteme algebraiˇ cnih polinomov. Drugo poglavje zaˇ cne analizo diferencialnih enaˇ cb in predstavlja uvod v Ljapunovoteorijostabilnostiinteorijonormalnihformdiferencialnihenaˇ cb, ki je eno osnovnih orodij analize diferencialnih enaˇ cb. Uvod v teorijo nor- malnih form je praktiˇ cen, ne pretirano tehniˇ cen in lahko razumljiv. V tretjem poglavju je predstavljen postopek, kako se lotiti problema centra, ki temelji na teoriji normalnih form, kompleksifikaciji sistema in uporabi algebraiˇ cnih metod iz prvega poglavja ter softverskih orodij raˇ cu- nalniˇ ske algebre. Opisani so osnovni mehanizmi za dokaz obstoja centra in analitiˇ cnega integrala v polinomskih sistemih, ki obiˇ cajno privedejo do reˇ sitve problema. Predstavljen je tudi uˇ cinkovit algoritem za raˇ cunanje fokusnih koliˇ cin 2-dimenzionalnih diferencialnih sistemov ter Darbouxjeva metoda integrabilnosti takih sistemov. Zadnje podpoglavje je posveˇ ceno tako imenovanemu Li´ enardovemu sistemu, ki je pomemben zaˇ stevilne apli- kacije. ˇ Ce imajo vse periodiˇ cne reˇ sitve v okolici centra isto periodo, tedaj je center izohron. Problem izohronosti je najti pogoje, pri katerih bo center izohron. Izohronost so raziskovaliˇ ze v 17. stoletju, ko je Christian Huygens opazil, da nihajna ura niha z monotono padajoˇ co periodo in torej oscilira s krajˇ so periodo, kadar ima manjˇ so energijo, tj. ko se vzmet ure odvija. ˇ Zelel je narediti uro, ki bi oscilirala izohrono in tako bila bolj natanˇ cna ter bi jo lahko uporabljali pri ladijski navigaciji. Njegova reˇ sitev, cikloidno nihalo, je najbrˇ z prvi nelinearni izohroni primer. Sodobni naˇ cin reˇ sevanja problema izohronosti je predstavljen v ˇ cetrtem poglavju, kjer je pokazano, da je izohronost diferencialnega sistema ekvivalentna lokalni linearizabilno- sti sistema. V poglavju je predstavljen uˇ cinkovit naˇ cin ˇ studija problema izohronosti, vkljuˇ cno z algoritmom za izraˇ cunavanje potrebnih pogojev za izohronost in linearizabilnost diferencialnega sistema, ter metode konstruk- Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 75 i i “Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 76 — #13 i i i i i i Nove knjige cije transformacij za linearizacijo diferencialnih sistemov. Peto poglavje je posveˇ ceno polinomskim invariantam sistemov diferen- cialnih enaˇ cb. Te invariante omogoˇ cajo predstaviti pomemben pojav v sis- temih diferencialnih enaˇ cb – ˇ casovno reverzibilnost sistema. V poglavju je predstavljen algoritem za izraˇ cunavanje mnoˇ zice vseh ˇ casovnoreverzibilnih sistemov znotraj neke parametriˇ cne druˇ zine sistemov diferencialnih enaˇ cb. Algoritem je pridobljen na osnovi ˇ studija invariant grupe rotacij diferenci- alnega sistema in algebraiˇ cnih metod iz prvega poglavja. Zadnjepoglavjeobravnavaproblemcikliˇ cnosti. Kljuˇ cnaznaˇ cilnostpred- stavljenega naˇ cina obravnave problema cikliˇ cnosti je, da v primeru elemen- tarne singularne toˇ cke problem cikliˇ cnosti reduciramo na algebraiˇ cni pro- blem iskanja baze ideala polinomov, porojenega s fokusnimi koliˇ cinami sis- tema(t.i.Bautinovideal). Zuporaboalgoritmovraˇ cunskealgebreizprvega poglavjavprimeru,kojeidealradikalen,problemreˇ simonaelegantennaˇ cin. V primeru, ko je ideal neradikalen, se problem izkaˇ ze za veliko zahtevnej- ˇ sega, vendar je predstavljen tudi postopek, ki deluje v nekaterih primerih neradikalnihidealov. Vzadnjemˇ casujevelikopozornostiusmerjenevˇ studij problemabifurkacijkritiˇ cnihperiod. Taproblemsejeizkazalzazelopodob- nega problemu bifurkacij limitnih ciklov, preuˇ cujemo ga lahko s podobnimi metodami in je obravnavan v zadnjem podpoglavju. Knjiga je dobro strukturirana in dobro napisana. Ponuja temeljno zna- nje za specialistes podroˇ cja diferencialnih enaˇ cb, ki se zanimajo za uporabo algebraiˇ cnih metod priˇ studiju lastnosti dinamiˇ cnih sistemov, ter za specia- liste s podroˇ cja raˇ cunalniˇ ske algebre, ki se zanimajo za netrivialno uporabo algebraiˇ cnih metod. Prvi bodo ugotovili, da so metode in softverska orodja raˇ cunalniˇ ske algebre uˇ cinkovite in visoko zmogljive za ˇ studij njihovih pro- blemov, drugi pa bodo spoznali vrsto problemov iz teorije diferencialnih enaˇ cb, ki so zahtevni in spodbudni, zanje so te algebraiˇ cne metode lahko uporabne in uˇ cinkovite. Primeri in naloge, ki so zbrani na koncu vsakega poglavja, bodo pomagali bralcu razumeti osnovne ideje. Menim, da bo ta monografija imela pomemben vpliv na raziskave in aplikacije algebraiˇ cnih metod ter raˇ cunalniˇ skih orodij zaˇ studij problemov centra in cikliˇ cnosti, pa tudi za ˇ studij sploˇ snih nelinearnih diferencialnih enaˇ cb. Duˇ san Repovˇ s 76 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2