Jože Grasselli
SEBI ADJUNGIRANI ELEMENTI Y BANACHOVI ALGEBRI BREZ ENOTE
Ljubljana 1961



- :¦'¦-   -

ics 2y?
y
VX M>
I
Množica S elementov x, y, z, ... je Banachova algebra C >lj » .2j , |3j ), če ima naslednje lastnosti:
a) B je algebra nad obsegom kompleksnih števil
b) B je Banachov prostor
e) za vsaka dva elementa x, yLB velja ,.xy!i Li'x;tty%
Zahteva a) pomeni, da je v Banachovi algebri definirano seštevanje elementov, množenje elementov in skalamo množenje (množenje kompleksnih števil z elementi). Ako o-znacimo s črko Z množico kompleksnih števil, je torej pri x, y ¦•. B, *<i Z vedno tudi i + y s B, xy e B, *x <:- B. Operaciji seštevanja in množenja s skalarji imata vse lastnosti kot v linearnem vektorskem prostoru« Množenje je asociativno in distributivno, množenje in skalarno množenje pa zamenljivo. Za vsak x, y, zfB in za vsak  ' &Z velja torej
(xy)z = x(yz), (x + y)z = xz + yz (y + z)x = yx + zx, x(cy)  = ^(xy)
Po zahtevi b) je v Banachovi algebri definirana norma, to je funkcija, ki prireja vsakemu elementu x ¦; B nenega-tivno število }jxi: ^> 0 tako, da je
iot)|   =0                                        le  za    x = O
t!x + y!( L ;Tx,;   +  :ly>l              x,   y i B
;;-/.X;t  =    i* iîlxit                          x t B,    %LZ
- 2 -
Nadalje sledi iz zahteve b), da je vsako Cauchyjevo zaporedje elementov iz Banachove algebre konvergentno. Prav tako so zaradi b) In c) vse v Banachovi algebri definirane o-peraclje zvezne.
Če vs^fttri« ^«^pr-hova algebra enoto, to je takšen element 1 * B> da je xl =  lx aa nsak x <^B. zahtevamo poleg a), b), c) tudi
d) m  = i
Včasih je v Banachovi algebri definirana še operacija, ki prireja vsakemu elementu xfB neki element x* f B in ima lastnosti
a') **" = x
b') (*x + ßy)*   s xx" + ,ly*    x, y *-B; * t li  <- Z O (xy)* = yV
To operacijo imenujemo involucija, Banachovo algebro, ki ima definirano involucijo, pa involutivna Banachova algebra; označevali jo bomo z znakom B''. Ako izpolnjuje vsak element involutivne Banachove algebre pogoj
d') tlx'xtl = üx)!2
pravimo, da je Banachova algebra popolnoma regularna oz. da ima popolnoma regularno involucijo. Popolnoma regularno Ba-
- 3 -
nachovo algebro zapisujemo z znakom (B*).
Važen primer popolnoma regularne Banachove algebre z enoto je množica (C*) omejenih linearnih operatorjev v Hilbert ovem prostoru. Poleg študija tega konkretnega primera Banachove algebre ( [4] , [5| ) se je v zadnjih dvajsetih letih močno razmahnilo raziskovanje abstraktnih Banachovih algeber. Poseženi rezultati sestavljajo celo teorijo, ki je bila s pridom uporabljena v raznih področjih analize. Kaj od pomembnejših rezultatov omenimo nekatere, ki se tičejo reprezentacije oz. realizacije Banachovih algeber.
L. 1941 je I.M. Gelfand dokazal ( $ ), da je vsakn Vn_ mutativna Banachova algebra B z  enoto homomorfna neki algebri zveznih kompleksnih funkcij na kompaktnem prostoru.Jedro tega homomorfizma je radikal algebre B. V posebnem primeru, ko je v radikalu algebre B le element ©, je torej algebra B izomorfna neki algebri zveznih kompleksnih funk—u na kompaktnem prostoru. Če komutativna Banachova algebra nima enote, je homomorfna neki algebri zveznih kompleksnih funkcij, ki so definirane na lokalno kompaktnem prostoru in enake O v točki neskončno C $2J ).
Za komutativne popolnoma regularne Banachove alg*"***  i» izsledki še zanimivejši. Vsaka komutativna popolnoma regularna Banachova algebra (B*) z enoto je namreč izometrično izomorfna algebri vseh zveznih kompleksnih funkcij, ki imajo za definicijsko območje prostor vseh maksimalnih idealov algebre (B*) ( $ ). Komutativna Banachova algebra, ki ne vsebuje enote, a je popolnoma regularna, pa je izometrično-
i
- 4 «•
izomorfna algebri vseh tistih zveznih kompleksnih funkcij x<t) na nekem lokalno kompaktnem prostoru T, ki ustrezajo pogoju lim x(t) =0 za t--»w ( (3 ).
Za teorijo nekomutativnih Banachovih algeber je posebno važno Celfandovo in Neumarkovo odkritje, kako se da reprezentirati nekomutativna popolnoma regularna Banachova algebra, Po 71 in [8J je vsaka popolnoma regularna Banachova algebra (B*) izometrično-izomorfna neki algebri (C*) omejenih linearnih operatorjev v Hilbertovem prostoru. Vsakemu e-lementu xt(B*) pripada torej neki operator A t(C*). V (Cy) imamo s prehodom od operatorja na adjungirani operator že definirano involucijo. Preslikava x~^Kr    Pa Ie "takšen izomorfizem, da involuciji iz (B*) ustreza v (C*) ravno prehod od operatorja na adjungirani operator^ tako da iz x-»A^ x*-* JL.*  sledi  (A )    = A,. Zaradi izometričnosti prešli-kave x—»A  je nadalje  lodi = ||Ajj. Glede topoloških in al-gebrajskih lastnosti torej ni nobene razlike med to konkretno algebro (C*) in abstraktno Banachovo algebro (B*). V tem smislu je torej popolna regularnost značilna lastnost algebre omejenih linearnih operatorjev Hilbertovega prostora.
Je pa še neka drugačna značilnost, ki dovoljuje v dani Banachovi algebri razpoznati algebro omejenih linearnih operatorjev nekega Hilbertovega prostora. Odkril jo je prof.dr. I. Vidav, ko je dokazal Iß]  , da je Banachova algebra B z  enoto popolnoma regularna, če izpolnjuje B naslednje pogoje:
a'') Vsak element x «?B je možno vsaj na en način
- 5 -
izraziti v obliki x = h + ig, pri čemer je h, g v-H, HtB In i2 - -X.
b'') Ako spada h v množico H In je jj realno število, velja lil + i^hii g" 1 + o(\)    sa |:^*0-*
c") Za vsak hsH obstaja takšna razcepitev elementa
p
h = u + iv, u, v t H, da je uv = vu.
Pri izpolnjenih pogojih a"), b"), c") je namreč za vsak if B izražava x = h + ig, h, gfeH, enolična. Potem pa pripada vsakemu elementu x é B en sam element x* = = h - ig eB in iskaze se, da ima tako definirana operacija » lastnosti involucije a'), b'), c')., K normi  ;..j] , ki je od začetka dana v B, eksistira takšna ekvivalentna norma,sa katero velja tudi d') pri vsakem x f B. Če tedaj v algebri B preidemo na to ekvivalentno normo, je algebra B popolnoma regularna, saj izpolnjuje pogoje a')r b')f c'), d').Od tod sledi z upoštevanjem že omenjenega izreka o reprezentaciji popolnoma regularne Banachove algebre: vsaka Banachova algebra B z lastnostmi a"), b"), c") ima k dani normi ekvivalentno normo, v kateri je algebra B izometrično-isomorfna neki algebri omejenih linearnih operatorjev v Hilbertovem prostoru.
Lastnosti a''), b"'), c'') so zadostne za obstoj popolnoma regularne involucije v Banachovi algebri z enoto.E-nota nastopa pri formulaciji pogoja b"), uporabljena je pa tudi pri dokazovanju v "91 . V tej zvezi mi je prof. dr. I. Vidav dal naslednjo nalogo: postaviti k sistemu a''), b"),
- 6 -
e'') analogen sistem brez sklicevanja na enoto. Iskani sistem naj bo torej skupek zadostnih lastnosti za obstoj popolnoma regularne involucije v Banachovi algebri, ki bodisi enote nima, bodisi ni znano, ali enoto ima ali je nima.
V nadaljnjem bomo reševali problem za Banachovo algebro brez enote. Zanjo bomo poiskali sistem lastnosti, ki zagotavlja obstoj popolnoma regularne involucije, v taki obliki, da bo v primeru Banachove algebre z enoto vseboval pogoje a"), b"), c"). Takšen sistem lastnosti omogoča vpeljati popolnoma regularno involucijo tudi v tistih Banachovih algebrah, za katere se ne ve, kako je z enoto: če imajo enoto, je to možno zaradi izpolnjenih pogojev a"), b''), c"); če enote nimajo, pa tudi, saj izpolnjujejo pogoje, ki so v Banachovi algebri brez enote v ta namen zadostni.
« 7 **
n
ÎTaj pomeni v tem razdelku B Banachovo algebro brez e-note. Podobno kot v [Sf t !10I hočemo najprej opredeliti pojem sebi adjungiranega elementa v B in izpeljati nekaj lastnosti takšnih elementov. V sledeči definiciji pomeni \   re-alno število, i imaginarno enoto i = -lt o(\)  pa takšno funkcijo spremenljivke * , da je lim o(|)/| = 0 pri L—--O.
Definicija.  Element u«B imenujemo sebi adjungiran, ako izpolnjuje pogoj
iix + i^uxi; g |xl + o({)                               CD
za vsak x t B pri '( --» 0. IiihoŽico vseh sebi adjungiranih elementov is B bomo označevali s H.
j?unkcija o(p je v splošnem za vaak element x drugačna .
Pripomnimo še, da iz (1) takoj sledi ;x + i<uxj[ * = Jjxij + o({)    za   fr—>»0, Iz
!;x +  (±/2)(|4+ ^}uxt|   g (i/2)(|p( + i |t«lî  +  !ix + i |tuaC||)
se namreč vidi, da je norma \\x  + iiuxij pri fiksnih x in u konveksna funkcija parametra f. Zato ima v vsaki točki desni in levi odvod ( [11] , str. 63). Naj bo v točki  fr= 0 vrednost desnega odvoda D in vrednost levega odvoda L. Za vrednosti J
- 8 -v okolici števila 0 velja tedaj |:x + 11uscii   = i xji + D L +  o( j ) -;-.. liX|j + o(p,                j^ °
\\X   +   ±\UX\\   =   [\X]\   +   L\   +   0(\)  «r   \\X\{   +   et|>,                   |^0
Ker sta te dve neenačbi izpolnjeni, mora biti D ŠL0, L^O. Za vsak majhen pozitiven I imamo nadalje
lixjl  =  jtx + i(^-pux|!   <(l/2)iix + ijuxi;  +  (1/2) !!x -  i^uxi;   = =  Cl/2)j!xl|   +  (1/2)SJ +  (l/2)|ixtj   +  (1/2)L(-|)  + o(p
ali 0 <D - L + o(|)/i. To je pa protislovje, kakor hitro ni D = L = 0.
Očitno spada element ô vedno v H. Lahko se zgodi, da je to tudi edini sebi adjungirani element. Vzemimo množico M vseh funkcij x( j ) kompleksne spremenljivke jj, ki so analitične v notranjosti in zvezne na robu enotnega kroga ter e-nake 0 pri j = 0. Vsota in produkt dveh funkcij iz M je spet neka funkcija, ki spada v M; prav tako je v K vsak produkt ptx(J),  cuZ, x(t;)*M. Od konstant je v M vsebovana e-dino funkcija. x($) = 0, saj ima vsaka druga konstanta pri i  = 0 od nič različno vrednost. Torej je M brez enote.Če vpeljemo normo na način |!x( $ )|| = max|x(L)l , je & v tej normi
lit** Eanachova algebra brez enote. Da so izpolnjene vse zahteve za
normo, se takoj vidi. Polnost pa sledi iz dejstva, da je vsako Cauchyjevo zaporedje funkcij iz M enakomerno konvergentno; limitna funkcija takega zaporedja je zaradi tega analitična
- 9 -
z območjem regularnosti |L;<1 in ima očitno pri  | = 0 vrednost 0. Pozneje bomo čisto splošno ugotovili (stavek 2), da imajo vsi elementi iz H realen spekter. Uporabimo to lastnost v zdajšnjem primeru! V spekter funkcije x(L)LM spada poleg 0 vsako število A p  0, za katero ni v M takšne funkcije y(>), da bi bilo x($) + fcy(|) - x($)y('0 = 0. Ker je y(t) = xCi)/(x(|) - X), so torej v spektru funkcije x(^) ravno vse njene funkcijske vrednosti. V H pa spadajo potem tiste funkcije iz M, ki zavzamejo le realne vrednosti. Toda v množici M je edina takšna funkcija x($) s o.
Take primere hočemo v nadaljnjem izključiti z zahtevo; B naj bo taksna algebra, da množica H ne vsebuje le element Ö. Da nismo zahtevali kaj nemogočega, kaže med drugim zgled kompaktnih operatorjev v prostoru 1?. Skupnost vseh teh operatorjev B(lo) tvori Banachovo algebro brez enote. Množica H, kakor jo določa pogoj (1), je pa identična z množico hermi,-skih kompaktnih operatorjev.
Ugotovimo najprej, da spada vsak hermitski kompaktni o-perator u = u* v H! Označimo s črko x poljuben kompakten operator x t'B(lo)  in s črko a poljuben vektor iz p?czl„ 12. Potem je za realen j —*0
|;x + ifuxjj = supjjxa + iLuxaji =
= sup[(xasxa) + i((uxa,xa) - iHxa, uxa) + f*(uxa,uxa)]
2 U/2
¦'Hl = H
=  sup [(xa,xa)  +    Ll(uxa,uia) j   *    = sup   |Sxaj| "  + ^Üuxajj    ]
-   10  -
t-      ¦?         i        9       p   1/2
<d>^ + pMnwq     = ni + o(|)
Vsak hermitski kompaktni operator torej res ustreza pogoju (1). Videti je treba še, da je z hermitskimi operatorji izčrpana vsa množica H. To gotovo drži, ce je možno k vsakemu kompaktnemu operatorju u tB(L), ki ni hermitski, najti takšen kompakten operator x ^B(lp), da pogoj (1) ni izpolnjen«
Naj bo U6B(L) kakšen nehermitski kompakten operator. Potem se da zapisati na način u = r + is, kjer sta r in s hermitska kompaktna operatorja» Tudi operator x + iiux^B(l?) in njegova norma se glasi
||x + ifttzfi = '!* + if(r + is)xjl = Hx - | sx + iLrx|| ¦ = suplpia - lsxa + i|rxa}| ¦ supRxa.xa) - 2|(sxa,xa) + + fc[(rxa,rxa) + (sxa.sxa) + i(sxa,rxa) - i(rxa,sxa)} j '
Za |— * 0 dobimo od tod
|jx + i^uxji   ¦  sup h(xa,xa)  - 2^(sxa,xa) J1'2 + o(J)         (2)
¦TUJ m   4    ¦-
tNi «
Kakor vsak linearni operator v 12 ( [12] ,str.504) se tudi o-peratorja r in s izražata z matrikami
<rll r12 r13 ' * '¦ f
jr21 r22 r23 '*" r =
; r31 r32 r33 * ' r\
L,............./
i
- 11 -
s
;311 s12 s13
[e21 s22 s23 1s31 s32 s33
. «i
.
Cleni r-j^, r12.....
s-,p, ... so kompleksna števila.Pri
. = s,., ker ata operatorja r in b
s tem je r±k  = r"ki in hermiteka.Nadalje je s t O, saj operator u ni hermitski.
•J.)  Vzemimo, da je v matriki s kak diagonalni člen različen od 0, n.pr. s.*   t> O. Matrika
x =
mn
j 1 pri m = n « k
< 0 v yseh drugih
j
[primerih
predstavlja kompakten operator v 1?. Operatorju sx ustreza matrika, ki jo dobimo, če v s ohranimo k-ti stolpec, vse druge Člene pa postavimo enake 0
sx =
0 slv  0 ...i
0 s
'lk 2k
0 .. ,\
0 š«iu 0 ... '
-  12   -
Nadalje velja za poljuben vektor a €¦ 1«
a =   \3i jap j â-i ( t. 11a^.i t . * )
xa =  ( 0,   0,  0,   ,...,   av,  O   ... )
sxa = (slkafct a2kafct s^a^ (xa,xa) -  a^a^ (sxa.xa) = s^a^
..)
upoštevajmo te izraze v (2). Dobimo fjx + i|ux!|
.i-{8
kk
Ker je lix|! = 1 in skk * 0, pogoj (1)
res ni Izpolnjen.
/1) Oglejmo si zdaj primer, ko ima operatorju s ustrezajoča matrika na glavni diagonali same ničle, a je v njej vsaj en člen z od 0 raslicno realno komponento. Recimo, da je to člen s.^. Tedaj je s.^ + s. . = s,k + ?..  realno število in ne 0.Vzemimo operator x, kakor ga določa matrika.ki ima v presečiščih j-tega in k-tega stolpca z j-to in k-to vrstico člene enake 1, povsod drugje pa same ničle
/0 ... 0 ... 0 ..
x =
. 1 . 0
. 0 . 1
. 0
1 .. o . .
o ..
1 o
I
[1  če je: m=n=j ;m=k,n=j ; m=j,n=k;m=n=k;
I
xmn '.
• » •
C  *  i  I
vO v vseh drugih primerih
- 13 -
Iz same definicije se vidi, da je operator x kompakten.Ope-rator sx se zdaj izraza z matriko, katere k-ti in j-ti stolpec sta vsoti k-tega in j-tega stolpca matrike s> vsi drugi členi pa so enaki 0.
sx =
/0   ...
0  sld   +  slk 0   ...   0 B1;.   * slk
/O     ...    0    Soj    +    P«v    0     ...    0    S«.     +    Spi,   0     ...   j
• t    U    S^ .    +    S'il,   "    * ¦ *    "    ^"ii    "*"   ^*ik
o   ...I o ,,.
L/      e   *   *
/
Za poljuben vektor a ë1? je potem
a — (a-. » ap • a3 »
L ,
» 3t, i • * ¦ I
xa = (0,0,0,.....,0,a..+a,.0,......0,a.+a^t0,.
+ a-Dv»* • • )(a. -t- av)
sxa = (s-^ + slk, w^
'2k'
.)
(xa,xa) = 2(a. + a. )(a. + a. ) J   «  0   k
(sxa.ua) = (s.k + sfc-)(a. + a^Ma. + a^)
Z upoštevanjem teh izrazov v (2)  dobimo |jx + ifux|j =
= 2 " ^3jk + °k j -* i + **• Ker ^e zdaJ   'ix,t = 2 in sik+skj * °»
noben kompakten operator te vrste ni sebi adjungiran.
y) Preostane še primer, ko ima operatorju s ustrezajoča matrika na glavni diagonali same ničlet  od preostalih členov pa nobeden nima od 0 različne realne komponente. V matriki so torej poleg členov z vrednostjo 0 samo še členi, ki jih predstavljajo Čisto imaginarna števila. Ker s t 0, je neki člen
n.pr.  s- * 0.
Matrika
- 14 -
x =
/O
O
o
o o
i
o
1
i
o 1 o
mn
fi pri: m=n=j; m=j, n=k; 1 pri: m=»k, n= j ; m=n=k; 10 v vseh drugih primerih
predstavlja kompak^eii-operator. Operator sx je tvorjen podobno kot v primeru [S) ; v j-tem in k-tem stolpcu stoje vsote k-tega in z i pomnoženega j-tega stolpca matrike s, vsi ostali členi so enaki O.
fO ... 0 is-j. + slk 0
BX  -
.. O iSj. + sllc 0 ,..
0 ... 0 ib2- + s2k 0 ... 0 is2i + sPk Ö   •'•
O ... O is-,. + s«, O ... 0 is.,. + s-,, 0 ... 3j   3k                         3a   3k
Za poljuben vektor a^L velja
a ¦ \  a^p a2, a^i • *** ^-i* • ••» ^v*   ••**
xa = (0, 0, 0, ...., 0, ia.j + iak, 0,..., 0, a. + ak, 0,*. sxa = (is1(j ¦ slk, is2. ¦ s2k, ...)(a.  + ak)
.)
da, xa) « 2(a. + ak)(a. + ak) (sxaf xa) = -2is,k(a. + ak)(a. + a^J
- 15 -
Izraz (2) se torej zdaj glasi |Jx + iLuxj| = 2 + 2i^s,k + + ...  in zaradi  (ixj} = 2, s.^ * 0, spet ne drži pogoj (1).
Ker pripada vsakemu kompaktnemu nehermitskemu operatorju v ±2  matrika ene od oblik obravnavanih v a), ;V), jft t noben takšen operator ni sebi adjungiran, Torej se v Bana-chovi algebri kompaktnih operatorjev prostora lp množica H ujema z množico hermitskih kompaktnih operatorjev.
Ugotovimo zdaj nekaj lastnosti za elemente iz množice H.
Stavek 1. Če je uLH in i realno število, je ile^xj] = l|xll  za vsak x e B.
Dokaz.  Element e»ux, ^63» je definiran z vrsto
e*ux = x +  \ux  + (^/2!)u2x + (L/3<)u3x + ...    (3)
Ker je ta vrsta za vsak L , u in x absolutno konvergentna in je algebra B polna, je res eiux $B. Če je tudi  t^Z, je
iz istega razloga e ^e^x €B in e( *" + 5)ux = e(*+ '*)ux eB. V absolutno konvergentnih vrstah pa smemo člene pisati v poljubnem redu, tako da velja
e( Ut)ux m  e ij*r0\ux  = e^u.eK
Pri fiksnih elementih u in x je *f(\)  = logjie1*11^!  neka funkcija realne spremeljivke \.   Iz pogoja (1) sledi, da je
- 16 -
funkcija f(|) odvedljiva za vsak i  . Ako je namreč t)  realno število in pišemo e >ux ~  y, je
y'({)  ' LiaU/^faf+f)  -?(?>]    = lim(l/7)flog||ei(^)u3d.|
- logt|el{ux|l   |= llmU/^FlogHe^.e1*"^   -  loglje1*1^}]    =
= lim( 1/7 ) tog jte^yji   - loG|lyj|]   « lim(l/*j)[logj|y+i9uy||   -
?"-»*
- logjjyfll   = lim(l/^) [log|(yU   + o(^)/«|   +  ...  - l°g|fyj|]   = 0 j        i-io
Funkcija   f{\) je  torej  konstanta.   Zaradi    y(0) ¦  log!p3|,je potem   jle^^xjj   =   (jxj| .   Za poljubno kompleksno število     \ = j + + ±J,  kjer sta    f, 7 realna,   je tedaj     |ie*ux||   ¦  IIe *+±    ***$* =   |lei1^eSuxjj   =   lje*uxjj.
Stavek 2_„   a)  Ako je    u éH    in      t* realno  število, je äu«H, b) Obenem au,  vfH je  tudi u + v EH    ter    i(uv - vu) 4H. c)Üe v algebri B ni  takšnih elementov x * Gfda bi bilo xy = 9 za vsak    y *B,   je pri u,  v(H    u + iv = G    le za    u = v = Ö.
d)  Množica H je  zaprta v B,
e)   Spekter vsakega elementa    u čH    je realen.
Dokaz.
a) Ker iz i~*0    sledi   « f—> O in je  *L realno število, je
- 17 -
(ix + i|(* u)xj|   =  jjx +  i( <* |)ux||   =   \\4+ o(<*\ )  =   \\x\\   + o(\)
To dokazuje trditev a).
b)  Po stavku 1 je pri u,  véH       ||eiiu.ei*vx|| = =   tóe *vacfi   =  tjxjj .  Vrednost na levi  strani pa lahko izrazimo še drugače.   Po definiciji vrste  (3)  je namreč
e^x = x + i|vx -  ( |*/2!) v2x -   (i fn\) v3x +   ... e^u.e^vx = e*K + ifue^x -  ( |72!)u2eiivx =  (x + i|vx -   ( f/2!)v2x -   ...)  + iju(x + ijvx -  ( f*/2!)v2x --   ...)  -   (|*/2!)(...)  = x + i|(u + v)x +   |2(...)
Za     i-* 0 velja torej
(^Ke1^)   =   Ux + i$(u + v)xt(   + 0( |l)
Če upoštevamo, da ima leva stran vrednost  |[xf| , kakor smo že zgoraj ugotovili, dobimo zaradi lim 0(^ )/i  = O,
||x + i|(u + v)xj|  =  ||x||   + oCf )
ali    u + v éH.   Po stavku 1 je nadalje pri u,  v t H
|iei*Vfve-ifue-ifvx||   =   Ite^V^V1^*«  = =   |te-Uue-^vx||   =   m-**r*  =   ipdt
-   18   -
Enako dobimo
^VMvlfa4 = m\
Po drugi strani pa je
r^vx = x -  ijv* -   C lX/2\)  v2x -   ...
I«U ue~^vx = x -  %Hu + v)x -   (f/2!)(u2 +
2uv + v   )x -   ...

ei$ve-ifue-ifvx = x      i^ux _  (^/2!)(u2 + 2uv -  2vu)x -   ...
iiu   ifv   -iiu   -if V                  t1/                %          «V       \
e  *   e  5   e    *   e    (   x = x -   L (uv ~ vu)x +   I (.,.)
Prav podobno najdemo
(ilVMV^.l*    $2(uv - vu)x +    ft...)
Ako v zadnjih dveh enačbah upoštevamo, da je norma elementov na levi strani enaka  !tx|( , dobimo za  f —* 0
l|x -    |l(uv - vu)x||  =  |pqj   + o( \*) ipc +    j*(uv - vu)xf|   =   |tx||   + 0( !*)
Za vsako realno število    Η* 0    je torej     ||x +  L(uv - vu)x||  = =   Itejj   +  p({)     ali     i(uv - vu) e H.
c)  Punkcija    f(Ç)  = e*ux,       L =    L + i^, J, tj   realni
- 19 -
števili, je definirana z vrsto (3) in prireja vsakemu številu LéZ pri fiksnih u €¦ H in x <&B neki element iz B.Ker je    u + iv = §.,   dobimo po stavku 1
«f(|)tl   =   ||eiux||   =   „eC^^)uxlt   =   HeKe^xll  =  ((e^Ke^x^
= |!e11'ux|l   =   |*ll
Punkcija f(Č) je torej v vsej. kompleksni ravnini omejena.Po posplošenem Liouvillovem izreku ( |3] ,str,100) mora tedaj biti konstanta. Ker je pa f(0) = x, je fit)  ¦ x. Od tod sledi, da je ux = 0 za vsak x €B. Po predpostavki je to možno le, ako je u = O. Potem je pa tudi v = 6.
d) Naj bo a stekališče množice H. Za vsako Število L > 0 je tedaj možno najti pri fiksnem x6B tak element il iz H, da je  |ju - ajl < E/i|x|j. Ker je pa sa vse dovolj majhne pozitivne  \
l!x +  i|utx|i   =   lixjl   -i-  o(|)   <:  llx||  +   [o<|)j   ^ l|x||   + i\ j|x -  îftiçXl =   lixll  + o(|)   L i!xl| -   |o({)|   >||x||  - i\
velja
|ix + iLax||  <: !!x + ljuxx\{   + ^\)ul   - aj| l|x|| <z l\x.\\   + 2 i\ jlx - i^axll ^ ltx - ifuf3$  - hiUj - a|| NI > IWI  - 2 f f
- 20 -
To pomeni, da je  ||x + i^axj| = tlx|| + o(|)  pri {—> (K Ker lahko takšno oceno izpeljemo za vsak x iz B, je element a v množici H.
e) Spekter elementa u6H leži na kompleksni ravnini v notranjosti kroga s središčem v 0 in s polmerom ||UH + f, t  "> 0. Vzemimo, da je v spektru kompleksno Število  «+ 1(3 , z realno komponento <x in z imaginarno komponento (h 4 0.Te-
daj je   VotV ßl   <ç Hull « Naj pomeni n celo Število. Punkcija e *%     je povsod v končnem regularna in zavzame pri ^=  0 vrednost 0. Element e nuu je neki element v B z normo j|e n u|| = |!u|| . V njegov spekter spada po izreku o preslikavi spektra ( [3] ,str,693) število ein^+1^( <* + iß)  in mora torej biti
jein( *+ i|S)( c4+ i/M| m  e-n/i fäj^i**^   m   m
!
Pri primernem celem številu n, ki je še na razpolago,je pa gotovo e~n'  VV+/1* ^> ||u|| , kar je v protislovju s prejšnjo neenačbo. Mora tedaj biti  ß = 0.
Iz lastnosti a), b), d) stavka 2 še sledi, da tvori množica H realen Banachov prostor.
V 2c) smo zahtevali, da v algebri B naj ne bo nobenega elementa x  * O, za katerega bi bil produkt xy = ô za vse y CB. navedimo preprost zgled algebre, ki nima te lastnosti. Naj bosta a, b fiksna linearno neodvisna elementa. Vrednosti njunih produktov definiramo z multiplikacijsko tabelo
- 21 -
: a T
aia  b
i
b | a  b
V množici M vseh elementov oblike  *a + fib, <*, /i € Z,se-števajmo in množimo elemente v akladu z zgornjim predpisom na sicer običajen način. Če je torej  J" , o é 2, je
(ota + /ib) + ( f a + <Tb) = (et + /)a + (/i + J)b
(<xa + (ib)(|-a + fb) a ( «^ + /3 f )a + C a/+ /îf)b v C a + /L ).
„(jfa + (Tb) Ako Še postavimo  (joia + /3 b|j =  [oc] + jßj , se hitro vidi,da je množica M Banachova algebra brez enote. Ce je namreč (x j =  L0*«3 + ßry^l     Cauchyjevo zaporedje elementov iz M, j e za vsak  L>0 pri vseh dovolj velikih indeksih n,ra l^n " °y + Ißn - fij  <  L  in tore3 eksistirata hnO(n = tf Q,
lim/i  = /I . Potem pa velja  oć a + /ib —» tf a + A b  in tw->*j n  f o      F    w    n   ' n     o   ' o
ot a + /i b f M. Očitno je tudi, da je z = ya edini e lernen L
iz M, za katerega je xa = aoc. Če bi torej bila v M enota,bi
moral biti to element  ra, f*  0. Ta možnost je pa takoj o-
vržena, ker b ni enak a in je fba. -    /a.
Za   \*Z,      V* 0,  je  Ma - b) €M in  Ma - b) * Ô.
Nadalje je pa       Ma - b)( crta +   (hb)  =    X( eta - oca + fib - /ib)=Ô
za vsak element      «a +   /ib€M.  Ker je
ltx +  i|uxj|   =  ||fa +    Lb + if («a +   /ib)( afa +    <Tb)|j   =
- 22 -
= Up + Jb + i|(oi+/i)(ra +J*b)U = ( |f| + |L[) |l + i$(*+/5)|
so sebi adjungirani tisti elementi, pri katerih je ei+fi realno število. Zato je l(a - b) 4H, i(a - b) t= 6, -a + b L © in i(a - b) + i(-a + b) = Ô.
Stavek 3.  če je Banachova algebra B takšna, da za noben element x  * O ni xy = G za vse yfcB in je ( ^ , k J, X <* , najmanjši interval realne osi, na katerem leži spekter elementa u éH, eksistirata takšni Števili L <; X } K ^ k , da je za vsak  1^0
sup   ttetuxj|   = eK$       In      sup   Ite~*uxj|   ^ e~L*
Supremum je pri tem mišljen glede na vse elemente x€B z normo  ilx| = 1.
Dokaz ;  Za vsak u tH, itB z normo  [tx|| = 1 in I^Ö je e*ux element iz B in mu zato pripada kot norma neko nenegativno število. Če sta u in | fiksna» x pa preteče vso kroglo  Ibdt = 1 iz B, opiše i» x neko množico elementov iz B, katerih norme tvorijo neko množico nenegativnih Števil. Zaradi ocene  |ie*ux,| <: e *    je ta množica navzf" omejena in ji torej pripada končna natančna zgornja meja sup l|e'ux||. Tako je pri izbranem u 6H definirana sa i>0 končna realna funkcija t(\) -  sup[|e'ux||. Vsakemu u LH pripada neka funkcija f(|).
- 23 -
Iz same definicije se vidi, da funkcija f(\)    ni nikdar negativna. Pa tudi vrednosti O pri nobenem končnem L ne zavzame. Iz 1 = He~*ue*ux|| <T ||e*uxj| e 3 ^  sledi namreč za vsak končen \   neenačba O <c e~ *"u!f «gr f(f).
Naj bo e' x/ j|e'ux|| = y in  17 nenegativno realno število. Potem je  |!yj| =1 in
!¦<.$+' )ux(i = !te*uyS!lie 7uxij
ter naprej
šupile* * + ' ^11   « sup( He^uyli !<e ^uxi| )  <:  sup jie*uy|j supüe ^xjl
Punkcija f(^) ustreza torej pri ^ , ^ >¦ 0 pogoju
f( j + 1/ ) -^ f(f).f( 7 )                                    (4)
Ker je povsod f(f)Z> 0, je funkcija g(j) = log f(p
vedno realna, končna in zaradi (4) subaditivna. Zato obstaja C p] , str.244)
lim g(f)/l - inf fcCp/f « K                       (5)
Videli smo že, da je o~ ^m  JC f(|) <: e *!lu)l . Od tod sledi - H < K < IM! . Iz (5) pa se dobi g(|) ^> Kf ali
f (t) i e^                                                (6)
- 24 -
Za  izpeljavo nasprotne ocene si oglejmo funkcijo F(s) = . e_K:^e*ux, \=    1+ iyt   (%,7j   realni števili), u t H, x eB, Ibejj = 1. 2 njo je pri danih elementih u in x prirejen vsakemu kompleksnemu številu $ neki element iz algebre B ž normo
m\)\\   *   !!e-KUux|! g? eC<Kj + "• >*                      (7)
Če je    \  Čisto imaginarno Število,   je
U*U* XI   ¦   1I9IK'   e1VXXn   =    |eIKl'l   lfei?^   -   Hx|;   = 1     (8)
Iz  (5)  sklepamo nadalje,   da je možno aa vsako štev?"»* ui > 0    najti  takšen     L ^> 0,   da je pri vseh      j > L
B(X-«)I   fff(î)    <e<K+">?                             (9)
Naj bo zdaj predpisan poljuben  t>0. Potem je Še vedno mogoče izbrati  cj> 0 tako, da je  *. > w >0. Element P(Ç)e je v B. Za njegovo normo velja po (9) za vse   l ~>{
^e-(K+t)le(K+-)i = e-( *-«J)l
Norma tega elementa gre torej  proti 0,  ko narašča \- >oo,Potem je pa
TÎ5Cl/ii|)log|:P(0|!  = IS(l/îfl)Xogf?(|l < lÄ(l/f )loggP(.|Ml   =
- 25 -
* BSQ/f}{l\ + log|!P(Ue"tfi! ) = i  +  lim(l/^)logi!P(pe"a|;
Drugi sumanđ je pa <; O, ker velja  ;|F( |)e~*'*j|->0 pri |-*.«?. Ker je pa   E>0 še poljuben, Bledi
TTmCl/U!)logi|]?Ci)î!. < 0                         (10)
!^j—> on
(7), (8) in (10) kažejo, da izpolnjuje funkcija F(s,) zahteve posplošenega Polya-Szegöjevega izreka ( [llj ,str„147), po katerem je iiF(Oiî < 1 sa vsak \=    j + iy ,    Î ¦>  i)    Te~ alna,  ? > 0„Toda pogoji (7)s (8), (10) so izpolnjeni za vsak xtB, t!xj| = 1, tako da velja pri   * !> 0 za vse 'furnir--cije W{\)     ocena  |PCI3| < 1.Potem je pa tudi supjiF($)lf ^;1 za  ^ > 0. Posebej je tedaj
supina)!! = sup üe~KWuxi; <; 1
ali f(^) <T e %  1^0*   Ta in pa neenačba (6) dasta skupaj
t{\)  * supi'e^uxli = eK*
za vsak   \ >0„
Obenem z elementom u je po stavku 2 v množici H tudi e-lement -u. Zato eksistira zanj
-lim g(OA = L
Î -1 ÇU
- 26 -
in velja torej   izražava
supl';e^"u'xB   = supHew*uxj!   = e"   *
za vsak        \ \o.
Ako pomeni     r = raax(K,  -L),  drži  za vsak     \tZ    ocena
supj;e'uxl{    <   e          in naprej    lini (log sup ||e    xij /\\\)  =   x.
Trdimo,   da je        T >üuü ___  -  lira'iu11!,   /n (spektralni ra-dij   elementa u),  Ce  je namreč število       ?>K,   je  zaradi oce-
trn
ne  |ie*uu|; < e M;u|  integral - J e™*' e*uudj  absolutno kon-vergenten in torej definira v algebri B neki element c. Od
tod pa takoj sledi, da je K § 0. V nasprotnem primeru bi
•<
(    > u namreč bil v B element x = -  e' ud? . Za vsak element x
o                (                  '
a
iz B bi tedaj  veljalo
xox = -    (Vuuxd^   - -   Jfr  (e*ux)d*   =   l-e*ux!   = x
».
Zaradi  ocene    lim jjxe ^uy||    < lis'acjj |iyi| e1 *   =0,   ki bi držala za vsak x in y iz B,   bi pa dobili lim xeiU =' ©    in zato tudi
xx_  = -    Ixeiuud*;   =   ;~xe*u;     = x
-o--\
Element x bi torej bil enota v B. Ker algebra B ne vsebuje enote, torej pri nobenem sebi adjungiranem elementu u ni K «s 0* Z upoštevanjem krepkega odvoda integranda v definiciji za c
- 27 -
ir  (e-^eK) = -e"Mu<*u - u2)
i
t
*i
ae dobi
u + çc - uc m  u - (e"^e*u(çu-u2)d^ *= u+ e'*? e*uu! = 0
*                                                       °
Zaradi zamenljivosti elementov u, c je tudi u + çc - cu = Ö, Element c je potemtakem kvaziinverzni k elementu (l/fJu.Vse točke  ç>K na realni osi so torej regularne za element u.
Naj bo zdaj e <i. Kakor ravnokar, ugotovimo obstoj e-lementa c-, = (e e ' udi in dozenemo, da je L > 0 ter da je e-, kvaziinverzni element k elementu (l/p)u. Torej so tudi vse točke i <;L realne osi regularne za element u. Ker je pa spekter elementa u realen, leži med L in K in in-terval (*,*) ne seže preko intervala (L,K). Zato je T^ -iujl in L <^, K > * . S tem je stavek 3 dokazan.
Če je I = L, je v spektru elementa u samo število 0. V tem primeru je  |>e *ux|| /ux|j < 1 za vsak realen \   in j|e'uxi|/iix|t = ||e1,'ue*uxl|/|(x]| ^ 1 za vsak kompleksen Ç.Po Liouvillovem izreku sledi e*ux = x za vsak ( in x pri tem u. To je mogoče le za u = Ô. V algebri B je torej Ö edini e-lement, za katerega je K = L = 0 „
Imenujmo B-, algebro, ki jo dobimo, ko privzamemo k algebri B enoto 1. V naslednjem stavku naj pomeni H-, množico sebi adjungiranih elementov v B-, .
Stavek 4» če ima Banachova algebra B lastnosti
- 28 -
1) za noben x ćB, x # © ni xy = Ô za vse y ćB
2) vsak element x e B se izraža z vsoto x = h + ig,h,gç-H
3) HCH-L
in je ^ A , "* j » ^ S "* » najmanjši interval realne osi, ki vsebuje spekter elementa utH, je za vee   \^Z.  0
sup||e^ux||   = e"*       in           sup||e~*uxj|   * e **
Supremum je pri tem mišljen glede na vse elemente x éB z normo  yx|| = 1,
Dokaz. Iz stavka 3 sledi, da je  T= max(K,-L)> i!u||
sp
Dokazati pa moremo tudi oceno t < ||u|| __.. V ta namen privze-
=   sp
mimo k algebri B enoto 1 in imenujmo razširjeno algebro B,. Kakor je znano, ima vsak element iz B, obliko  Bf.l + x =&+  x; pri tem je  o(€Z, xéBinl enota v B-., Vse možne vsote o*. + x dajo vse elemente iz B-,. Seštevanje, skalarno množenje in množenje je definirano v B-, takole
(   « + x)  +  ( /i + y)  =  ( oc   4- fi ) + (x + y)          «,/HZî  x,  y eB
e* ( ß  + x )  =  (  <* ß )  +   .xx
(  *  +¦ x)C  fi + y)   =   ( up)  +  ( /ix +    at y + xy)
To operacije imajo vse na str. 1 omenjene algebrajske last nosti (komutativnost vsote, asociativnost produkta, itd.)„ To sledi od tod, ker imata množica kompleksnih števil S in pa algebra B te lastnosti.
- 29 -
V algebri B, je treba vpeljati še normo. Od norme v B jo bomo razlikovali po indeksu. Torej pomeni H.jU normo v B-j_, -j|.|| pa normo v B. Za element ft+ x LSj_ naj bo
|l«c + x\\1 = sup ||*y + xy||,  y éB,   ||yj| =  1         (11)
Da je s tem predpisom res prirejeno vsakemu elementu «. + x € B-, neko nenegativno število, kaže ocena iltfy + xy|f<^ < Joi| + |Dc|! , ki velja za vsak y ÉB, |jy|| - 1, Prepričati pa ee še moramo, da je (11) prava norma. Zato je tre-ba preveriti, ali so izpolnjene vse zahteve, ki jim mora norma ustrezati.
Očitno je  I1JI-, = 1. Naj bosta z-, ¦= o(, + x-,,ss« = ^p+x2 poljubna elementa iz B-, in ft 6 z, Potem velja
\\ßiz1\\1 = sup jj/îC a^y + x^jjl   = |L]sup |f^1y + x^yfj   =
}zi + 22Îî i = suplK *i + *2>y + <xi + x2^i < sup( n*iy +
t x^li   +     M2y ¦ x2yl|)    < flsjj +   ja^f-L
Če pišemo ( «2y + x2y)/ ;;X2y + x2yj|  = y^t B,   je nadalje
||s1z2jj1 = suifjC etj  + xx)( *2 + x2)yj|   = sup(   ll*^ +
+ ^l'I   l!0<2y + x2ylP    ž sup   ll^l + xlyltt *SUP !!°*2y + x2yli = =   JNIllMIl
- 30 -
Poglejmo še, ali je O edini element v B-, z normo O.Vze-ffiiiBo, da bi bil n,pr. tudi element  X- c «B,,  >tZ, ^* 0, c fB takšen.Zaradi linearne neodvia/nosti elementov 1, c, za noben   \*0    in ceB ni  \- c = Ô. Pišimo (i/x)c = d. Ker iz
||X- cii-L =>   tXi ilX - d!|x = Msupjiy - dyt;   =0,        yeB,   [fy|   =  1
sledi     jjy - dyJJ   * 0    oz.     y = dy    za vsak    y çB,  pomeni to, da je    d ¦  (1/X )c tB    leva enota v B.Element d je pa tudi sebi adjungiran,   saj  je
i|x + i^dx||   =   ipc + i|x|l   *»   \ix\\ \fX +~f; =   lbcII   + °(?>
za vsak ifB, Ako je torej u(H, je i(du - ud) = i(u-udKH« Element u - ud pa izpolnjuje pogoj (1)
)|x + i|(u - ud)x||   =   i;x + O||  =   f|xj|
in spada torej v H. Oba elementa i(u - ud)  in (u -  ud) pa
sta po stavku 2 lahko obenem v H le, ako je u - ud =  O ali
u = ud. To pa pomeni, da je d enota za elemente iz H.   Če
zdaj še upoštevamo izražavo elementov iz B z elementi   iz H, je za vsak x tB
dx = x, xd = (h + ig)d = hd + igd = h + ig = x
Element d bi torej bil enota v B. Ker algebra B nima enote,j e
- 31 -
res  flzjj -, ~  O le za z =  O.
Predpis (11) torej definira v B-, pravo normo.  Element eu = 1 + u + (l/2!)u2 + (1/3!)u3 + ...  je v Br Iz samo definicije spektra v algebri B sledi, da ima element u v B in v Bj_ iati spekter in je tedaj  !IuI|St> = 'Mlisp* Funkci3a e je regularna na spektru elementa u; zato dobimo spekter elementa eu tako, da preslikamo spekter elementa u s funkcijo e . Tedaj je pa
rtlsp<e'"-       Kiu,*«""
Leve strani v teh ocenah pa se po stavku 3 glase
jie   I»       =  limile      L         =  lim(supjje    x ||)         = lim(e     ;         =  e
!|e-H1f       , lim)le-nu|J/n =  lim(sup lie^SjI )1/n =  lim(e-nI)1/n =
Če to upoštevamo,   imamo     *- max(K,   -L)<C ijulj
so
Zdaj  vemo,   da je      *t =   jiujj       = max(K,-L)     in    L < b   ~^_
sp
O «p K. Element u - L je v Blvnjegov spekter pa je obsežen v najmanjšem intervalu ( X - L,  « - I). V množici H, sebi adjungiranih elementov v B-, so vsi tisti elementi a fcB»., za katere je  ||1 + ifajU = 1 + o(\)     pri realnem \->0.  Ker je
u €H CKj in LÉHq, je tudi u - L *&,. Nadalje je element
u—L
e          v algebri B-,   in velja
i!eU~L|l1 =   lle'V^ = sup|ie-Leuxi   = e~L + K
» 11
- 32 -
|le"u + *i =.   *   iteVV   = sup!ieVu*!j   = e°
jtcfe
vit* i
VeSji od obeh eksponentov je pa spektralni radij   elementa u - I.   Tako dobimo     jju - $»|haiî * max(   X -  L,    *- L)  = * max(0,  K - L).   Zaradi       X -  L    <     *- L,   0  <  K - L    pa od tod eledi      *.» L = K - L    ali       « = K.  Podoben postopek z elementom    u - K    pokaže,   da je         >= 1.   Stavek 4 je doka-
zan.


- 33 -
III
V tem razdelku borao obravnavali Banachovo algebro B brez enote, ki ima tele lastnosti:
a'") Vsak element x^B je možno vsaj na en naSin iz-
2 raziti v obliki x = h + ig, pri Čemer je h, g e-I-I in i = -1.
b'**) Ako spada h v množico K in je \ realno Število,
velja [t* + l|hxji <: ipcK + o(|) za vsak xtB pri ^—» 0.
c"') Za vsak h eH obstaja taksna razcepitev elementa
2 h « u + iv, u, v k H, da j e uv ¦ vu.
d"') Za noben xtB, x * Q, ni xy = G pri vseh y tB«
Stavek 5j. Vsaka Banachova algebra B z lastnostmi a  ;, b'''), c'''), d"") je involutivTiB Banachova algebra,
Ppkag. Privzemimo k algebri B enoto.V razširjeni algebri B-, je vsak element oblike  * + x,      <xezr x €B, norma |i*]K je definirana s predpison (11), Seveda algebra B-, v normi i?.!:-. v splošnem ni polna. Element h fH ima realen spekter,zato je realen tudi spekter elementa h i B. Ker se pri prehodu iz
algebre B na algebro B-, spekter elementov iz B ne spremeni,
2                                                                                          i?"2
ima h tudi v B-^ realen spekter. Punkcija o '  je povsod v
-j \yC                                   p                                    A
končnem regularna, element e   = 1 + (ih - (1/2! )h -, .. ) L B-,
ih saj je zgoraj omenjene oblike. Spekter elementa e   lezi to-
rej na enotnem krogu kompleksne ravnine in je zato njegov spektralni radij Se* JU  » 1. Iz h = u + iv, u, v eH, uv * * vu pa sledi z upoštevanjem stavka 3
- 34 -
liaih ,,     -,.,„ „„inh »  1/n  ,.,„, „,,„tl„inh „(i l/n ji«  II iQD c lim ile   i) ,    = lim sup (je   yj*
Wut*4
= lim supl!e"nvyl! l/n  = e"L «.-» na  v «¦ b
in podobno
K^lli.p-»»«»?»^* 1/n- *K
-H -» ft.' 7«f
R >H » *
2 Torej je K = L = O; to pa pomeni,da je v = ö in h = u t-H.
Vsak element x LE se da izraziti z vsoto x = h + ig, h, g*H. iz lastnoBti d'") sledi, da je ta izražava enolična. Öe je namreč tudi x = h, + ig,, h,, g, €H, je (h-, - h) + + i(g-, - g) = ©. h, - h« H, g, - g tH in torej po stavku 2c) h, - h = Ô, g, - g = Q. Zaradi tega je elementu x = « h + ig s predpisom x* = h - ig prirejen en sam element x"fcB.
Takoj se vidi, da je x*  = x in je torej zahteva a') izpolnjena.
Nadalje je pri  A = ct+ i/3 , ^  = j*+ i J* L m t ß % j t l realna števila), x = h + ig, y = h^ + ig1, (h,g,h1,g1 tH)
<*x +/*y) ¦ [*h  + tf&i -  /ig - f!g1 + i(/sh + Jhj + «g + yg1)| = (*h  + yhx - fis - f&i)  - i (/ih + ^ + «g + y^) = » {»- ič)(h - ig) + (ar- 1^)0^ - igx) **ix* + >*y*
To kaže, da je izpolnjena zahteva b').
i*
- 35 -
Obenem a elementoma h, h, t H sta tudi elementa hb^ + l^h = (h + nx)2 - h2- h^ f H, MUh^ - h-jh) ć H, so elementi iz H za operacijo * invariantni, je
(hh1 * b^h)* - (hh-^* + (hjh)* = hh^^ + h-jh (Khb^ - h-Jti))* = -ithh-^ + iChjh)* = ihi^ -  it^h
oziroma
(bJ^/ + (h-jh)* = hh1 + haJi
-<hhx) + (hxh) = hh1 - b^h
Ce te dve enačbi seštejemo in odštejemo, dobimo (h-.h) = hh-, in (hh-,) = h,h. Potem pa ee element (xy) glasi
(xy/ « [(h + IgKfej + ig1)j = [hh1 - ggj + iCghj + hg1)j =
*       t                            *                         *
= (hh1) - (gg-j^) - Kgb^) - i(hg1) = h-jh - g-jg - i(h1g+g1h) =
= (b^ - ig1)(h - ig) = y x*.
Torej je izpolnjena tudi zahteva c').
* Stavek 6. Če ima Banachova algebra B brez enote lastnosti a'"), b  ), c"'), d'") in je norma  jixjj-, = sup;|xy|j , y éB, fiyll = 1, ekvivalentna prvotni normi |;.j! , je B popolnoma regularna Banachova algebra.
- 36 -
Dokaz, Privzemimo k algebri B enoto. V razširjani algebri B-j^ je vsak element oblike * +  x,  jiçZ, xtB. Na str.28, 29 smo že tudi definirali operacije v B^ in vpeljali normo M.;f -, na način
|*+ 3$x m  sup|!y + xyij, ytB, ;;yjj - 1       (11)
Tam smo tudi videli, da predpis (11) ustreza vsem zahtevam norme. Kar se tiče algebre B, sta v njej definirani dve normi, namreč prvotna il.I! in nova |i.}U. Po predpostavki sta normi lull in HmI-i ekvivalentni in je zato algebra B polna tudi v normi ii.jN. Od tod pa lahko na znani način ( [gi ,str. 208) sklepamo, da je tudi algebra B, polna v normi jUJn*
Naj bo namreč j* +  i i, 9   € Z,  xe B, Cauchyjevo zaporedje iz B-,. Ker je vsako Cauchyjevo zaporedje omejeno, eksistira takšno pozitivno število A, da je |3L + xjj,<A za vsak indeks n. Od tod pa sledi, da mora biti zaporedje števil ot  omejeno.V nasprotnem primeru bi pač v zaporedju (.oc j  eksistiralo podzaporedje  [^«'j* dn' $ °» katerega členi bi po absolutni vrednosti naraščali preko vsake meje. Zato bi bilo pri n'—» «*
!!i + (i/*BOMi - Ci/ *M4 )  !iv ¦ xn,||1 <a/ ^-»o
ali 1 = lim(-l/anOxn^. Ker je pa  (1/a ,)i , LB in je algebra E polna, bi sledilo 1 fcB. To protialovje kaže, da je {t* j omejeno zaporedje. Potem pa so v njem konvergentna
- 37 -
podzaporedja, Kaj bo Mn**î  eno od njih z limito a Q. Za vsak  t> O je tedaj možno dobiti takšen indeks N, da je
l*n" ~ * m "I <l      p3?* n"' m"^N' Ker 3 e zaporedje fot*,** + xn ' ' I Cauchyjevo, lahko izberemo H tako, da je tudi
*n" + V5 - C*m" + V^l^
pri n'   ,  m''>N.   Tedaj   je pa Cauchyjevo  tudi  zaporedje
[xn"i   =   P^n" + xn"^ ~ '^n"lfeS'   sa^  ga lailko takole o-cenimo
pri n',' m'     >N.  Ker pa je v algebri B vsako Cauchyjevo zaporedje konvergentno,   obstaja lim x-<• * = x   pB.Iz izražave
x a Hm xn ,, = limf(ct  ., + Ss***)- >*„ "i    ¦llJi(flL»*->+ t,,.)- 3 o       •.»     n          _ » * -   n            n            n    J      ._ * *    n          n            o
n ~»«t              n .-»«•'                                           n --»**
sledi, da konvergira c<,, + xl ,, ¦> of + xäeB,, Element
n            n               ool
«    + xQ je pa tudi limita prvotnega Cauchyjevega zaporedja J<Xn + xJ ,   saj  je pri vsakem      L>0    za vse dovolj  pozne  indekse n    in    n"
Pa + xn -   *o - xcJt l S *\ + *n ~    V' - V« 1 +
*'      n             n                o         O111
- 38 -
S tem je dokazana polnost algebre B, v normi  li*IU<
Zaznamujrao s H-, množico vseh sebi adjungiranih elementov iz B^.To so vsi tisti elementi u (-B-, , za katere je
81 + ifufj Jl + o(j)                                   (12)
ko gre realno število      f—*0.
Pokažimo,  da je HcH^ in so torej v B sebi adjungirani elementi  tudi  še v B,   sebi adjungirani.  Naj  bo u i H.   Tedaj je     jjy + ±{uy'j   =   tiyji   + o(0  za vsak y fcj in realen J—?0. Punkcija o(^)  je v splošnem odvisna še od elementa y.Iz ocen
!ly|   + o(p  =   !|y + ijuyif   ^   ()eiiuy +  (l/2!)t2u2y +  (i/3!)jVy-
-   ..-t!    <  M   +  i(yHl/2)fl!u!!2e ^m
;!yi|   + o(|)  =   fjy + ifuyi;   =   !!eiiuy +  (l/2!)$2u2y +  (i/3!)pu3y-
- ...tj  > ;!yii - \m U/2)fm2e W**
pa sledi,   da je vedno - ijyll ( 1/2) f itu|| 2e'^IUi               >,*   <
<-flyil (l/2)*2!|u(i2e   '*' !,u" .  Punkcije  o( \ ),pripadajoče elementom y iz B,   ki  imajo normo 1,   toroj  po absolutni vrednosti ne presežejo funkcije    OjU)  =  (1/2) j2 i|U)j2e  $ ;iU)I .   Če  to upoštevamo,   dobimo
lil + i ^ uli x  =  aup!|y +  i^uyti   =  sup(l  +  o{\)) <: sup(l +io(pj  )
g 1 + OxC|},
- 39 -
¦
saj je treba vzeti supremum glede na vae y iz B z normo 1. Po (12) pa to ravno pomeni u e'H. Ker je bil element u eH še poljuben, je torej H C H-, .
Ugotovimo pa lahko še tole: vsak element iz H-, je oblike k + g, kjer pomeni k realno število in je g €H =
Najprej sledi neposredno iz definicije množice H-,,da je oM t H-|_ tedaj in samo tedaj» kadar je cx realno število.Nadalje pri y tB, y * H, element y ni v H-,. Ker je y = h + ig, h, g e H C H-, in y ni iz množice H, je g L G. Množica H, pa ima vse v stavku 2 omenjene lastnosti. Ce bi tedaj element y =s h + ig bil v H-,, bi bil tam tudi element ig in bi ir g f H, , ig L H-, sledilo g = Ö. To pa ni v skladu z obliko elementa y. Zdaj pa lahko doženemo, da tudi elementi oblike i* + g, kjer « ni realno število, g eH, in elementi oblike k + y» kjer je k realno število, y?H, y^B, niso v H, . V nasprotnem primeru bi namreč veljalo ¦*= (ot+g) -g t H, , y = (k + y) - k tH-, . Videli smo pa že, da to ni mogoče. Vzemimo zdaj poljuben element  j* + y, katerega koeficient &  ni realno število in je y LB, y?H. Pisati moremo   >= k-,+ik2, pri Čemer sta k,, k„ realni števili in je L * O, ker %  ni realen. Za element y imamo izrašavo y = g-f + ig?, g.,, g2 eH, tako da dobi element  $+ y obliko
of+ y = (k1 + ik2) + g1 + ig2 = (kx + g1) + i(k2 + g2)  (13)
Recimo, da bi veljalo  oc + y éH-,. Ker je k, + g- L H-, , bi po (13) element  i(k2 + g2) spadal v H-^. Toda tudi element
- 40 -
kn + gp 3e v H_1 in za'to înora biti k0 + g„ = O (stavek 2) oziroma 1 = -(l/kp)g2 tH. To pa je protislovje, saj je algebra B in torej tudi množica H brez enote.
Ili težko videti, da Banachova algebra B-, z enoto ustreza zahtevam a"), b"), c"). V definiciji b") nastopajoča množica je ravno H-,, to je skupnost elementov k + g, k realno Število, g 6IL
Vsak element iz B-, ima obliko  o< + x, <M*Z,  xfcB. Zaradi a'")  je x = h + ig, h, g * H,  tako da j e  a + x = = (k-, + h) + i(k2 + g); tu sta k,, k0 realni Števili in je zato k-, + h f IL, k„ + g e H-,. To kaže, da je izpolnjena v B-, zahteva a ' ') *
Ker je vsak element h-, iz H-, oblike h* = k + g, k re-
2   2                     2
alno število, g LH, je h,  = k + 2kg + g . Tu pa je
2                                   2
k + 2kg € H-,  in g €HCH,, tako da je pogoj c") izpolnjen
2                                                                          «
sam po sebi pri u = îr s v = O., V dokazu stavka 5 smo namreč
2
ugotovili, da je obenem %  g čH tudi g e-H.
Po [9] je algebra B, popolnoma regularna. Involucijo definira kar prehod od elementa x -  h + ig, h, g t H, , na element x* = h - ig» Če uvedemo v B-, normi  i;.lu ekvivalentno normo i:x|| Q = Vax*x|| ^ je  l!xTx!lo = Uxll0* xeBi- s tem 3e Pa tudi na elementih algebre B definirana popolnoma regularna involucija. Iz a"') in ekvivalence norm  |[.||  in R*|h v B pa vidimo, da prireja tako definirana popolnoma regularna involucija elementom iz B le elemente iz B. Stavek 6 je dokazan.
- 41 -
Stavek 7. Vsaka končnodimenzionalna algebra B z  lastnostmi a"'), b'"), c"')f d'") je popolnoma regularna Ba-nachova algebra.
Dokaz *    Ker vsebuje algebra B samo končno mnogo linearno neodvisnih elementov, je v normi H.ji 1 tudi polna. Nadalje je za vsak x ÇB  Hx|U S^ Hx|f . Zato sta normi \\.\\ » p.||, e-kvivalentni ( [3] ,str.47) in torej po stavku 6 eksistira v B popolnoma regularna involucija.
- 42 -
IV
V stavku 6 je dokazana tale trditev:
Naj bo H podmnožica Banachove algebre B brez enote,u-etrezajoča pogojem:
a'") Vsak element x eB je možno vsaj na en način izraziti v
2
obliki x = h + ig, pri čemer je h, g e H in i =-1,
b'") Ako spada h v množico H in je \  realno število, velja
jpc + iLhx[j L jpei + o(L) za vsak x eB pri   |-t0.
2 c'"') Za vsak h éH obstaja takšna razcepitev elementa h «
= u + iv, u, V6H, daje uv^vu.
d'")  Za noben xtB,  x =t Ô,  ni    xy = O    pri vseh ytB.
e'") Norma   11X1^ = sup !ixyn , y*B,   jjyjl   - l,je  ekvivalentna
normi   ;!x|i.
Potem je:
1) Razcepitev x = h + ig, h, g 6H, je enolična za vsak x eB.
2) Preslikava x—»x*, ki prireja elementu x = h + ig element
x*  =  h - ig, je v B involucija.
1/2
3)  Norma   i!x|j     =   [tx/xt!-.   '       je v B ekvivalentna prvotni normi
m     in je     ilx^x|j0 «   ilxtl02   .
Lastnosti a'"), b'"), c"'), d'"), e'") so torej zadostne zato, da je Banachova algebra brez enote popolnoma regularna Banachova algebra. Omenili smo že, da so za Bana-chovo algebro z enoto v ta namen po [9] zadostni že pogoji
- 43 -                                                     K
a"), b"), c"). Rahla posplošite? le-teh so pogoji a'"), b"'), c""). Cisto na novo pa sta se pojavila pogoja d"') in e'")- Postavlja se vprašanje, ali morda ne bi mogli dokazati popolne regularnosti Banachove algebre brez enote samo na podlagi a'"), b"'), c'")= Kaj takega pa je težko pričakovati, ker sta pogoja d'") in e*") v Banachovi algebri z enoto vedno izpolnjena in torej sama po sebi vsebovana v sistemu a"), b"), c").
Pogoj d''') zagotavlja enoličnost izražave x ¦ h + ig elementov x LB z elementi h, g t H» če ga opustimo, ta izražava ni več nujno enolična. Ker tvorijo vsi elementi x C-B« za katere je xy = Ô za vsak y 6B, zaprt dvostranski ideal J, je faktorski prostor B/J Banachova algebra, ki izpolnjuje d'''). V B/J je torej razcepitev vedno enolična.
Če opustimo pogoj e'''), algebra B v normi tt.fU vobče ni več polna. Involucija se v B sicer da vpeljati (stavek 5) in norma !tx]|  = lix*xU-, '       je tudi popolnoma regularna; seveda pa v splošnem tudi v tej normi algebra B ni več polna.
Literatura
[l[  L.H. Loomis: An introduction to abstract harmonic
analysis. New York 1953. [2]  M.A. Neumark: Normirovannye kolca. Moskva 1956« [3]  E. Hille, R.S. Phillips: Functional Analysis and Semigroups.Amer. Math. Coll. Pubi. Vol.31 (1957) [4]  v. Neumann J: Zur Algebra der Funktionaloperationen und
Theorie der normalen Operatoren.Math. Ann.102
(1929), [5]  Murray F,J.,v. Neumann J:
On rings of operators I Ann. Math, 37
!i   "    "     II Trans. Math. Soc. 41 ¦    a             IV Ann. Math. 44
fe]  I.M. Gelfand: Normierte Ringe. Mat. sb. 9 (1941) (7)  I. Gelfand and M. Neumark: On the imbedding of normed
rings into the ring of operators in Hilbert
space, Mat. sb, 12 (1943) [8]  Schatz,J.A.: Math. Reviews 14, 884 (1953) (poročilo 0
neki razpravi Fukamye). J9j  Vidav,I: Eine metrische Kennzeichnung der selbstadjun-
gierten Operatoren. Math. Zeitschr,Bd,66 (1956) [lOJ Vidav.I.: Quelques propriétés de la norme dane les
algebres de Banach.Académie eerbe des sciences.
Publications de l'institut mathématique T.X, 1956. [il] Polya G.-G. Szegö: Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis
I. Die Grundlehren der Math.Wies.,Bd.XIX 1925. [12] V.l. Smirnov: Kurs vyesej matematiki.Tom V. Moskva 1959.