Fizika v šoli 9 Strokovni prispevki Planeti v dvozvezdjih Peter Jevšenak Šolski center Velenje, Gimnazija Velenje Povzetek V dvozvezdju se zvezdi gibljeta okoli skupnega težišča po krožnih ali eliptičnih tirih in v svoji okolici ustvarjata spre- minjajoče se gravitacijsko polje. Zaradi tako dinamičnih pogojev planeti v takem sistemu ne morejo obstajati kjerkoli. Kje se nahajajo območja stabilnih orbit planetov? Ali lahko določimo meje? Ali lahko planet zamenja zvezdo, okoli katere kroži? Za lažje iskanje odgovorov smo izdelali računalniški program, ki sproti izračunava in riše tire zvezd in planetov v ravnini kroženja. Ključne besede: dvozvezdje, orbite, stabilnost orbit planetov v dvozvezdju, računalniške simulacije Planets in Binary Star Systems Abstract In a binary star system, two stars orbit around a common barycentre in circular or elliptical orbits, creating a changing gravitational field around them. Owing to such dynamic conditions, planets cannot exist just anywhere in such a sys- tem. Where are the stable orbits of planets located? Can we determine the borders? Can a planet replace the star it is orbiting? In order to facilitate the search for answers, a computer program was made which calculates and draws the orbits of stars and planets in the orbital plane. Keywords: binary star system, orbits, stability of planets’ orbits in binary star system, computer simulations 1 Uvod V znanstvenofantastični filmski sagi V ojna zvezd se znaten del zgodbe odvija na planetu T atooine. Njego- va posebnost je, da lahko prebivalci tega planeta vidijo dve sonci. Če so bili v osemdesetih letih prejšnjega sto- letja planeti v dvozvezdjih samo znanstvenofantastični konstrukt, potem danes, v dobi odkrivanja eksoplanetov, vemo, da taki planeti resnično obstajajo. Se je pa tudi v znanstvenih krogih za planete v dvozvezdjih prijel izraz »T atooine like planets« – planeti kot T atooine. Dvozvezdni sistem je veliko bolj dinamičen od sistema z eno zvezdo v težišču, kakršen je naš sončni sistem. Zvezdi krožita okoli skupnega težišča in ustvarjata spre- minjajoče se gravitacijsko polje, ki lahko deluje uničujo- če na stabilnost orbit planetov. Kje torej iskati planete v dvozvezdjih? Možnosti sta dve. Prva je, da je orbita pla- neta tako daleč stran od težišča in zvezd, da lahko zvezdi štejemo za eno telo s skupno maso v težišču. Planete s takimi orbitami imenujemo tip P (planetarni tip). Dru- go možnost pa predstavljajo planeti, ki krožijo tako blizu ene zvezde, da je druga samo manjša motnja. Planete v teh bližnjih orbitah imenujemo tip S (satelitski tip). Če torej orbito planeta tipa P približujemo težišču, so spre- membe v gravitacijskem polju zaradi gibajočih se zvezd vse večje in pri neki kritični oddaljenosti orbita pos- tane nestabilna. Obratno je pri orbitah planetov tipa S. Ko se orbita odmika od matične zvezde, je spreminjajoči se vpliv druge zvezde vse močnejši in pri neki kritični oddaljenosti orbita postane nestabilna. Pri obeh tipih je med območjema popolne stabilnosti in popolne nesta- bilnosti še tako imenovano kaotično področje: stabilne in nestabilne orbite se izmenjujejo z majhnimi spre- membami v oddaljenost planeta od težišča pa tudi pri isti oddaljenosti, a drugačni začetni legi planeta glede na zvezdi. Astronomi so v preteklosti za pomoč pri iskanju ekso- planetov že opravili množico računalniških simulacij in za različne tipe dvozvezdij (različna masna razmerja, različne ekscentričnosti zvezdnih orbit) določili kritične vrednosti planetarnih orbit. Zanimalo nas je, ali lahko z malo razširjenim srednješolskim znanjem fizike, ma- tematike in računalništva napišemo lasten računalniški program, ki bo simuliral orbite planetov v dvozvezdjih. Slika 1: Sončni zahod na Tatooinu (vir: http://imgur.com/a/HqrYe). 10 T ako bi lahko s spreminjanjem začetnih pogojev iskali nenavadne orbite, tako stabilne kot nestabilne, določali kritične vrednosti, preučevali kaotično območje … Pri tem bi lahko natančnost svojih simulacij preverili na po- datkih o kritičnih orbitah v literaturi. 2 Spoznavanje problema 2.1 Dvojne zvezde Sir William Herschel (1738–1822) je bil prvi astronom, ki je opazil, da obstaja mnogo parov bližnjih zvezd, in jih tudi sistematično zapisoval. V njegovem katalogu se je število dvojnih zvezd ustavilo pri številki 703. V dvoj- nem sistemu zvezdi krožita okoli skupnega težišča in sta medsebojno gravitacijsko vezani. Kolikšen je delež dvozvezdij glede na vse sončne sisteme, je iz literature težko oceniti. Ocene se gibljejo od 33 % pa vse tja do 85 %. Pri tem velja, da v novejši literaturi najdemo višje deleže. Rečemo lahko, da je v naši galaksiji dvozvezdje prevla- dujoč primer sončnega sistema. Astronomi so potrdili obstoj tudi tri-, štiri- ali celo šestzvezdij. Dvozvezdja so za astronome izjemnega pomena, saj jim omogočajo, da iz merljivih parametrov natančno določijo maso zvezd. Dvozvezdja se lahko med seboj zelo razlikujejo po masi, ekscentričnosti tirov, razdalji med zvezdama in obhod- nem času. Zvezdi v paru sta lahko tako blizu skupaj, da med njima prihaja do izmenjave snovi, lahko pa sta več tisoč astronomskih enot narazen in imata obhodni čas več sto let. Glede na to, kako astronomi opazijo oziroma izmerijo, da gre v posameznem primeru za dvozvezdje, ločimo več tipov. Vidno dvozvezdje: S pogledom skozi teleskop vidimo zvezdi vsako zase in z opazovanjem na dolgi rok lah- ko določimo obhodni čas. Med amaterskimi astronomi so najbolj priljubljene tarče Albiero v Labodu, Almach v Andromedi, Mizar v V elikem vozu … Če sta zvezdi daleč od Zemlje ali pa preblizu skupaj, ju s teleskopi ne moremo ločiti. V tem primeru si lahko pomagamo z Dopplerjevim premikom spektralnih črt. Spektralno dvozvezdje: Zaradi gibanja zvezde proti nam in stran od nas se frekvenca črt v spektru periodično spreminja. Prekrivno dvozvezdje (»eclipsing binary«): Če zvezdi krožita točno v ravnini našega pogleda, potem vsake to- liko časa ena zvezda pride pred drugo in jo zakrije delno ali v celoti in izsev se zmanjša. T o lahko zaznamo s foto- metričnimi meritvami. Astrometrično dvozvezdje: Na obstoj šibke spremljeval- ke lahko kažejo periodične motnje ali nihaji v sicer pra- vilnem gibanju zvezde [1]. 2.2 Orbitalna mehanika Zvezdi v dvozvezdju krožita okoli skupnega težišča. Tira sta lahko krožna ali eliptična. Položaj zvezd je vedno tak- šen, da gre radij-vektor, ki povezuje zvezdi, skozi težiš- če. Če sta masi zvezd enaki, potem je tudi razdalja obeh zvezd do težišča enaka. Če ima ena zvezda dvakrat večjo maso, potem je ves čas dvakrat bližje težišču. Pri krož- nih tirih je hitrost zvezd ves čas enaka, pri eliptičnih pa hitrost narašča, ko se zvezda približuje težišču (maksi- malna vrednost je dosežena v periapsidi), in pada, ko se od težišča oddaljuje (minimalna vrednost v apoapsidi, slika 2). Slika 2: Razmerje mas m 1 : m 2 = 1 : 1, krožni tir in eliptični tir (e = 0,5). Za uspešno določanje tira planeta potrebujemo v vsakem trenutku natančno lego zvezd v ravnini kroženja. Krož- ne orbite so lažje obvladljive. Ker sta razdalji obeh zvezd do težišča konstantni in ker se v enakih časovnih inter- valih polarni kot φ poveča za enak korak, določimo samo še začetne pogoje in se lahko lotimo simulacije. Vse to pa se spremeni pri eliptičnih orbitah. Zapišemo lahko enač- bo orbite, ki nam podaja lego zvezde, ki kroži po elipsi okoli gorišča, v odvisnosti od polarnega kota. V endar pa se ta kot v zaporednih časovnih korakih neenakomerno spreminja zaradi spreminjajoče se hitrosti telesa na elip- tičnem tiru. Na sliki 3 je točka F gorišče, točka 0 središče elipsi očrtanega kroga, r razdalja od zvezde do gorišča, a polmer kroga, φ polarni kot in E kot z imenom ekscent- rična anomalija [2]. Kota φ in E povezuje enačba: (1), kjer je e numerična ekscentričnost elipse. Numerično ekscentričnost dobimo z razmerjem razdalj 0F in 0P ter zavzema vrednosti 0 ≤ e < 1. Kot M z imenom povpreč- Fizika v šoli 11 Strokovni prispevki na anomalija (kot med daljicama 0T in 0P na sliki 3) povezuje z ekscentrično anomalijo E transcendentna Keplerjeva enačba: (2). Kot M in čas t pa povezuje enačba: (3), kjer je t o obhodni čas dvozvezdja: (4). G je gravitacijska konstanta, m 1 in m 2 sta masi zvezd, a pa je polmer kroga oziroma velika polos elipse. Ne glede na to, ali se nebesno telo giblje po elipsi ali krožnici na sliki 4, je obhodni čas enak. Pri krožni orbiti gorišče F sovpada s središčem 0 in kota φ ter M postaneta isti kot. Komplet enačb zaokrožuje že omenjena enačba orbite, ki poveže še razdaljo r s polarnim kotom φ: (5). 2.3 Planeti v dvozvezdjih in kritične orbite Spodnja kritična orbita je tista vrednost velike polosi elipse, ki predstavlja tir planeta tipa P , od katere naprej so vse orbite stabilne ne glede na začetne pogoje. Enoto za merjenje razdalj predstavlja velika polos dvozvezdja z oznako a D . Dobimo jo kot vsoto velikih polosi obeh elips, ki predstavljata tir zvezd pri kroženju okoli težišča na sliki 4, a D = a 1 + a 2 . Na sliki 5 je prikazana odvisnost kritične orbite planeta tipa P in tipa S od ekscentričnosti tira zvezd za masno razmerje 1 : 1, ocenimo pa lahko tudi širino kaotičnega območja. T a v povprečju znaša petino kritične orbite. Slika 5: Odvisnost kritične orbite planeta tipa P (prva slika [3]) in tipa S (druga slika [4]) od ekscentričnosti tira zvezd za masno razmerje 1 : 1; čas integracije 300 obhodnih dob. Zgornja kritična orbita je tista vrednost velike polosi elip- se, ki predstavlja tir planeta tipa S, do katere so vse orbite Slika 3: Elipsa z očrtano krožnico ter kota φ in E. Slika 4: Določanje velike polosi dvozvezdja na primeru m 1 : m 2 = 2 : 3, e = 0,3. 12 stabilne ne glede na začetne pogoje. T udi v tem primeru pa meja ni ostra in najdemo območje kaotičnosti. Do danes so astronomi odkrili več tisoč eksoplanetov, ki pa v večini krožijo v sončnih sistemih z eno zvezdo. Pla- neti v dvozvezdjih so (za zdaj) redka najdba, a obstoj ek- soplanetov obeh tipov ni več vprašljiv. Sistem Kepler 47 je dvozvezdje, kjer so našli dva planeta tipa P , vsaj eden od njiju pa ima orbito v območju, primernem za življen- je (»habitable zone«) [6]. T atooinu podobni planeti res obstajajo. 3 Računalniški program in potek simulacij Programi so napisani v programskem jeziku C++, v okolju Visual Studio 2015. Za grafiko pa je uporabljena dodatna knjižnica SFML. Pri dvozvezdjih s planeti smo morali napraviti nekaj poenostavitev. Privzeli smo, da so vsa telesa v simulaci- ji točkasta in krožijo v isti ravnini. Planeti in zvezde na ekranu imajo obliko kroga z večjo ali manjšo površino, vendar je to le prikaz za lažje spremljanje. T ako se lah- ko zgodi, da gre planet skozi zvezdo in nadaljuje pot. T udi zvezdi se lahko dotakneta ali prekrijeta, če je planet daleč in je temu primerno izbrano merilo. Zvezdi gra- vitacijsko delujeta na planete, planeti pa ne vplivajo na zvezdi. T akšne privzetke so naredili tudi avtorji virov, s katerimi lahko primerjamo rezultate. Krožne orbite zvezd smo opisali s polarnimi koordinata- mi z izhodiščem v težišču. Kotna hitrost se izračuna iz ravnovesja centrifugalne sile in sile teže, razdalja do te- žišča pa je pri krožnih orbitah konstantna in jo določimo na začetku simulacije skupaj z masama zvezd. Pri eliptičnih orbitah pa se polarni kot računa po enačbah od 1 do 5. Kot začetne podatke vnesemo masi zvezd in razdaljo prve zvezde do težišča v periapsidi in apoapsidi. Iz teh podatkov se potem izračunajo velika in mala polos elipse, ekscentričnost in obhodni čas dvozvezdja (enačba 4). V simulaciji pa določimo dolžino časovnega koraka. V vsakem časovnem koraku se po enačbi 3 izračuna kot M. Nato se z bisekcijo po Keplerjevi enačbi (enačba 2) izra- čuna kot E. Bisekcija je mogoča, saj ustrezna funkcija narašča na intervalu, ki nas zanima. Natančnost bisek- cije je nastavljena na manj kot eno desettisočinko kota v radianih. Iz kota E se po enačbi 1 izračuna kot φ, razdal- ja od zvezde do gorišča pa po enačbi 5. Za premikanje planetov smo uporabili kartezični koor- dinatni sistem. Kot začetna podatka vnesemo pozicijo in hitrost planeta, ko sta zvezdi v periapsidi. Planet se nato v danem časovnem intervalu premakne sorazmerno z začetno hitrostjo. Nato pa se iz položaja zvezd določi težni pospešek po Newtonovem gravitacijskem zakonu na novem mestu planeta. T ežni pospešek se razstavi na pravokotni komponenti, iz katerih se izračunata kompo- nenti nove hitrosti planeta, ki se uporabita v naslednjem koraku. Iz komponent hitrosti dobimo premik planeta po x- in y-osi. Časovni korak je za planete tipa P 50.000 s (približno 15 ur pri razdaljah med zvezdama velikostne- ga reda astronomske enote), za planete tipa S pa 10.000 s. Ker je planet tipa S v neposredni bližini zvezd, so sile in spremembe količin, ki opisujejo gibanje, bistveno večje in je treba zmanjšati časovni korak. 3.1 Tip P V tem primeru tako zvezdi kot planeti krožijo okoli težiš- ča, zato v simulaciji težišče miruje in je v središču koor- dinatnega sistema. Opazujemo lahko tir dveh planetov, ki začneta potovati na isti oddaljenosti od težišča z enako velikostjo hitrosti, vendar na različnih mestih, kot je pri- kazano na sliki 6. T ako lahko preučujemo, kako začetna lega vpliva na razvoj planetarne orbite. Slika 6: Prikaz začetne postavitve: zvezdi začneta v najbližji medsebojni legi, modri planet na osi x, rdeči pa na osi y. Če se planeta nahajata globoko v območju stabilnosti, potem njuni orbiti skoraj sovpadata in sta na pogled krožni. Kolobar, ki ga izriše sled planeta po več obhodih, je ozek. T o situacijo prikazuje slika 7a. Se pa na tej sliki že opazi, da modri planet kroži v povprečju nekoliko bližje težišču. Pri zmanjševanju začetne oddaljenosti je njegova orbita tista, ki je v nevarnosti, da prva postane nestabilna. Na sliki 7b vidimo, da je rdeči planet s svojo orbito še v območju stabilnosti, modrega pa sta zvezdi v nekaj obhodih pritegnili k sebi. Zaradi zmanjšanja potencialne energije se poveča kinetična energija in planet se z veliko hitrostjo oddalji po izrazito eliptičnem tiru. Ker o sta- bilnosti orbite odloča samo začetni položaj, se planeta nahajata v kaotičnem območju. Stabilne orbite planetov tipa P so kot v sistemih z enim soncem eliptične. Le ko se približujemo kritični orbiti, lahko spreminjajoče se gravitacijsko polje povzroči rahlo vijuganje tira. Planet se težišču najbolj približa pri ma- tematično najenostavnejšem primeru dvozvezdja: enaki masi zvezd s krožno orbito, kjer je spodnja kritična or- Fizika v šoli 13 Strokovni prispevki bita 2,4 a D (slika 5). Če planet zavrtimo retrogradno (v nasprotno smer vrtenja zvezd), lahko dobimo s pravimi začetnimi pogoji nenavadne orbite kot na sliki 8. Slika 8: Retrogradni »trikotna« in »kvadratna« orbita. 3.2 Tip S Če obdržimo koordinatni sistem z mirujočim težiščem in približamo planet eni zvezdi, dobimo zelo dinamične simulacije. Zaradi preglednosti opazujemo samo en pla- net, ki je na začetku postavljen na os x desno od obeh zvezd. Planet se giblje okoli gibajoče se zvezde po komp- leksnem tiru, ki lahko izriše zanimive pentlje, kot je pri- mer na sliki 9. Slika 9: Pentlje planeta pri gibanju okoli ene zvezde pri krožnem in eliptičnem tiru zvezd. Slika 7a, b: Stabilna orbita za masno razmerje 1 : 1 in e = 0,5 (a) in presežena kritična orbita za isti primer (b). 14 Pri krožni orbiti so zaradi stalne hitrosti zvezd pentlje vzdolž tira povsod enake. Pri eliptičnem tiru pa se po- kaže sprememba hitrosti zvezde v obliki gostote pentelj. V apoapsidi na skrajni levi je hitrost najmanjša in tam planet zvezdo na izbranem odseku tira večkrat obkroži, pentlje pa so ožje. Drugače je v periapsidi na desni, kjer so pentlje redke in široke, ko planet lovi hitro zvezdo. V periapsidi sta tudi zvezdi v najbližjem položaju in je zato moteči vpliv druge na planet največji. T o je za planet kri- tična točka, kjer se lahko sproži nestabilnost orbite. Če- prav so animacije z gibajočimi se zvezdami atraktivne, pa za sam študij kritičnih orbit niso preveč primerne. Zato postavimo zvezdo s planetom v mirujoče koordinat- no izhodišče in iz slike 9 dobimo sliko 10. Slika 10: Isti dvozvezdji kot na sliki 9, kompleksni tir planeta se poenostavi v eliptičnega, če je matična zvezda v koordinatnem izhodišču. Pri večjih ekscentričnostih zvezdnih orbit se dogaja, da moteča zvezda vsakič, ko se približa planetu, nekoliko spremeni njegovo orbito. Spremembe so lahko znatne, tako da se spremenita eliptičnost tira in obhodni čas, pla- net pa vseeno nadaljuje s kroženjem okoli matične zvez- de – slika 11. V teh primerih se je težko odločiti, kje je orbita še stabilna in kje se začne kaotično območje. Slika 11: Masno razmerje 7 : 3, e = 0,5. Druga zvezda pri vsakem prehodu periapside spremeni orbito planeta. S spreminjanjem vhodnih parametrov lahko dobimo množico animacij, ki postrežejo s takšno ali drugačno zanimivostjo: sledi orbit izrišejo osupljive slike, zvezdi si »kradeta« planet ali pa se planet zaradi računskih napak, ko se preveč približa eni od zvezd, izstreli iz sistema. Najlepše slike (slike z veliko simetrije) izrisuje sled sta- bilnega planeta v dvozvezdjih s krožno orbito. Zanimivo je spremljati, v kakšno končno obliko se povezujejo elip- se ali pentlje, izbiramo pa lahko tudi perspektivo z izbiro središča koordinatnega sistema. Slika 12: Masno razmerje 1 : 1, e = 0,0; pentlji se preoblikujeta v oko, ko spremenimo koordinatno izhodišče. Fizika v šoli 15 Strokovni prispevki Slika 14: Cvetlica; masno razmerje 1 : 3, lažja zvezda v središču, retrogradno. Včasih pa tudi nestabilne orbite postrežejo s kakšnim presenečenjem in nastale oblike vzbujajo različne asoci- acije kot na sliki 15. Slika 15: Masno razmerje 1 : 9, e = 0,5. Opaziš miško? 4 Zaključek Računalniški programi so nastali na Gimnaziji V elenje v okviru izdelave raziskovalne naloge z naslovom T a- tooine in podobni planeti [7], ki je bila predstavljena leta 2017 na Državnem srečanju mladih raziskovalcev v Murski Soboti v kategoriji Astronomija ali fizika. Upo- rabljena metoda je dovolj natančna, da se je 33 od skup- no 35 določenih kritičnih orbit za oba tipa planetov uje- malo s podatki iz literature [3, 4, 5] z natančnostjo 20 %, kolikor znaša širina kaotičnega območja. Do večjega ods- topanja je prišlo samo v dveh primerih pri tipu S, ko sta imeli zvezdi močno ekscentrični orbiti. Uporabljena metoda zvezdi premika po pričakovanem tiru, zato so napake pri gibanju zvezd zanemarljive. Enako lahko rečemo za gibanje planetov, če so dovolj od- daljeni od zvezd, da se v izbranem časovnem koraku tež- ni pospešek neznatno spremeni. T udi tira zvezd bi lahko določali s sprotnim izračunavanjem težnega pospeška in hitrosti. V endar pa bi morali zaradi doseganja dovolj ve- like natančnosti premikov močno skrajšati časovni korak in tako zelo upočasniti potek simulacij. Druga možnost bi bila uporaba natančnejših, a matematično (pre)zah- tevnih metod integracije. Slika 13: Razvoj triperesne deteljice v popolno rozeto po 10, 25 in 70 obhodnih časih dvozvezdja (masno razmerje 1 : 1, retrogradno). 16 S primerno predstavitvijo z zgledi in razlago vhodnih podatkov lahko programe vključimo tudi v pouk. Možne so različne naloge. Dijaki najprej sami iščejo informacije o dvozvezdjih, eksoplanetih … in pripravijo predstavi- tev. V medpredmetnem sodelovanju z matematiko dijaki preučujejo lastnosti elipse in se seznanijo s pojmi gorišče, ekscentričnost, velika polos. Nato lahko sledi določanje kritičnih orbit planetov za različne tipe dvozvezdij. Lah- ko »razpišemo nagrado« za najlepšo, najzanimivejšo, najnenavadnejšo orbito. Simulacije lahko služijo kot de- monstracija Keplerjevih zakonov ter ohranitve kinetične in potencialne energije. Dijake, ki imajo radi dodatne izzive, pa lahko vprašamo, zakaj je v primeru na sliki 7b ravno orbita modrega planeta tista, ki prva postane nes- tabilna. Kaj bi spremenili, da bi se prva destabilizirala orbita rdečega planeta? Odgovor se skriva v odvisnosti gravitacijske sile od razdalje in zahteva res dobro razu- mevanje dogajanja. Obravnava dvozvezdij na predstavljeni način dijakom približa realno dogajanje v sončnih sistemih, osmišlja uporabo IKT in medpredmetno povezavo z matemati- ko. Dodana vrednost je atraktivnost planetarnih orbit, ki sama po sebi pritegne dijake, in ni potrebe po drugih motivacijskih prijemih. Do neke mere lahko tako govo- rimo o povezavi znanosti in umetnosti – STEAM, kar je bila rdeča nit 4. konference učiteljev naravoslovnih pred- metov NAK 2017 v Laškem. Nekaj zanimivejših simula- cij smo zbrali v video z naslovom »Creative Gravity«, ki je objavljen na spletni strani https://www.youtube.com/ watch?v=0SmuW akQc7s. Viri in literatura [1] Binary stars, Australia telescope national facility. http://www.atnf.csiro.au/outreach/education/ senior/astrophysics/binary_intro.html (19. 8. 2016). [2] Curtis, H. D. (2010). Orbital mechanics for engineering students. Butterworth-Heinemann, Oxford, UK. [3] Dvorak, R. (1986). Critical orbits in elliptic restricted three-body problem. Astronomy and astrophysics: 167, 379–386. [4] Rabl, G., Dvorak, R. (1988). Satellite-type planetary orbits in double stars: a numerical approach. Astronomy and astrophysics: 191, 385–391. [5] Holman, M. J., Weigert, P . A. (jan. 1999). Long-term stability of planets in binary systems. The astro- nomical journal: 177, 621–628. [6] Kepler-47: two worlds circling a double star. http://www.space.com/17348-tatooine-alien-pla- nets-two-suns-kepler-74-infographic.html (18. 8. 2016). [7] Jevšenak, L., (2017). Tatooine in podobni planeti, raziskovalna naloga. Šolski center Velenje. Iz digitalne bralnice ZRSŠ www.zrss.si/strokovne-resitve/digitalna-bralnica V digitalni bralnici lahko dve leti po izidu prelistate strokovne revije, ki so izšle pri Zavodu RS za šolstvo in so vam BREZPLAČNO dosegljive tudi v PDF obliki. Prijetno strokovno branje vam želimo.