Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021 147 doc. dr. Primož Jelušič, univ. dipl. gosp. inž. primoz.jelusic@um.si Rok Varga, mag. inž. grad. rok.varga@um.si prof. dr. Bojan Žlender, univ. dipl. inž. grad. bojan.zlender@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, Katedra za geotehniko, Smetanova ulica 17, 2000 Maribor Znanstveni članek UDK 519.2:624.13(497.4) Povzetek l V članku je predstavljena optimalna zasnova težnostnega podpornega zidu, pridobljena z uporabo genetskega algoritma, ki temelji na realnih številih. Model težnostnega podpornega zidu (OPT-TPZ) vsebuje stroškovno namensko funkcijo, ki je podvržena geotehničnim pogojem in konstrukcijskim omejitvam. Prikazana sta dva op- timizacijska modela, in sicer deterministični optimizacijski model, ki temelji na delnih ko- ličnikih varnostih, ter stohastični optimizacijski model, pri katerem je stroškovna funkcija omejena z načrtovano verjetnostjo porušitve. Verjetnost porušitve je bila izračunana na podlagi negotovosti parametrov zemljine in simulacije Monte Carlo (MCS). V članku je podan primer optimalno zasnovanega težnostnega zidu za izbrane projektne podatke. Prav tako članek poudarja, da se lahko stroški gradnje težnostnega podpornega zidu zmanjšajo za polovico pri enaki verjetnosti porušitve v primeru, da se izvede optimizacija. Ključne besede: težnostni podporni zid, optimizacija, genetski algoritem, verjetnosti poru- šitve, simulacija Monte Carlo Summary l The article presents an optimal design for a gravity retaining wall based on a Real Coded Genetic Algorithm (RCGA). The gravity retaining wall optimization model (OPT-TPZ) includes a construction cost objective function of the wall, which is limited by geotechnical and design constraints. Two optimization models were set up, first a deter- ministic model based on partial safety factors of the Eurocodes and the other a stochastic model in which the deterministic model was extended by an optimization approach so that the cost objective function was constrained by a target probability of failure. The pro- bability of failure was calculated based on the uncertainty of the soil parameters and the Monte Carlo Simulation (MCS). The article presents an example of determining the most cost-effective gravity retaining wall for given design parameters. It is emphasized that with the optimization approach we can obtain the design of the gravity retaining wall that is half as expensive and has the same probability of failure as a non-optimally designed wall. Key words: gravity retaining wall, optimization, genetic algorithm, reliability-based design, Monte Carlo simulation NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE GRAVITY RETAINING WALL DESIGN BASED ON FAILURE PROBABILITY NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE•doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021148 1•UVOD Težnostni podporni zidovi omogočajo preobli- kovanje terena, ki je potrebno pri gradnji stavb, prometnic in drugih inženirskih objektov. Tež- nostni podporni zidovi se lahko razdelijo v dve skupini. V prvo skupino spadajo armirano- betonske podporne konstrukcije, ki lahko prev- zamejo natezne napetosti. V drugo skupino pa spadajo zidane podporne konstrukcije, v ka- terih nastanek nateznih napetosti ni dovoljen, saj je njihova natezna trdnost zanemarljivo majhna. Osnovni gradniki zidanih podpornih konstrukcij so opeke ali kamniti bloki, ki jih lahko tudi medsebojno povežemo z betonom majhne tlačne trdnosti. Geometrijska zasnova težnostnega podpornega zidu je prikazana na sliki 1. Težnostni podporni zid mora biti projektiran skladno z Evrokodom 7 [SIST, 2005], kar pomeni, da nobeno mejno stanje ni preseženo. Za optimizacijo podpornih zidov se uporab- ljajo različne metode in algoritmi. Kaveh [Kaveh, 2020] je podal optimalno zasnovo ar- miranobetonskih podpornih zidov, izvedeno z uporabo enajstih metahevrističnih algoritmov, ki spadajo med populacijske preiskovalne algoritme. Vsi uporabljeni algoritmi so hitro konvergirali in pridobili kvalitetne optimalne zasnove podpornih zidov ([Kaveh, 2013], [Ka- veh, 2015], [Kaveh, 2020]). Analizo občutlji- vosti optimalne zasnove armiranobetonskega zidu za različne vrednosti obtežb, strižnih kotov temeljnih tal in nagiba zaledja je izve- del Gandomi [Gandomi, 2015]. Optimizacija stroškov in teže armiranobetonskega zidu je bila izvedena s strani številnih raziskovalcev ([Camp, 2012], [Khajehzadeh, 2010], [Sari- bas, 1996)]). Optimalno zasnovo zidanih in armiranobetonskih težnostnih podpornih zidov sta obravnavala tudi Sadoglu [Sadoglu, 2014] in Talatahari [Talatahari, 2012]. Pri načrtova- nju težnostnih podpornih zidov je smiselno izračunati tudi verjetnost porušitve, saj so podporni zidovi pod vplivom različnih negoto- vih podatkov o zemljini, obtežbah in računskih modelih. Zaradi teh negotovih podatkov je ključno, da se konstrukcija optimizira tudi na verjetnost porušitve, saj se v tem postopku podrobneje upošteva vpliv teh negotovosti ([Bathurst, 2017], [Fenton, 2016], [Li, 2017], [Low, 2015]). Tudi druge geotehnične objekte je treba projektirati na verjetnost porušitve, saj delni količniki varnosti ne upoštevajo celoten vpliv negotovih parametrov ([Fenton, 2017], [Kulhawy, 2017]). Namen načrtovanja na podlagi verjetnosti porušitve (ang. reliability based design – RBD) je, da se izbere zasnova geotehnične konstrukcije, ki ima nižjo verjet- nost porušitve od načrtovane [Wang, 2016]. S pomočjo metode RBD in simulacije Monte Carlo je Wang [Wang, 2011] analiziral temelj pravokotne oblike in prikazal vpliv dimenzij temelja na verjetnost porušitve. Načrtovanje težnostnega zidu na podlagi verjetnosti poru- šitve in simulacije Monte Carlo so obravnavali Gao in sod. [Gao, 2019]. Basha in Babu [Ba- sha, 2007] sta pridobila optimalno zasnovo armiranobetonskega težnostnega zidu, ki je bil podvržen številnim negotovostim parametrov. Ker težnostni podporni zid vsebuje več med- sebojno povezanih mehanizmov porušitve, je priporočljivo izračunati verjetnost porušitve ([ISO, 2015], [Phoon, 2016]). Juang in Wang [Juang, 2013] sta predlagala RBD-metodo za zmanjšanje učinkov posledic zaradi negotovih parametrov v tleh. Za oceno upravičenosti investicije za zmanjšanje verjetnosti porušit- ve so Liu in sod. [Liu, 2021] podali indeks zanesljivosti, ki so ga izračunali na podlagi optimizacije stroškov. Optimizacija stroškov kamnitega težnostnega podpornega zidu v skladu s standardom Evro- kod 7 [SIST, 2005] pa v obstoječi literaturi do sedaj še ni bila obravnavana. Poleg tega so v tem članku podane diskretne vrednosti di- menzij težnostne podporne konstrukcije, kar je uporabno za inženirsko prakso. Da bi izboljšali ekonomsko učinkovitost težnostnih podpornih zidov, je v članku predstavljena optimizacija izdelavnih stroškov za tovrstno konstrukcijo. V optimizacijskem modelu so torej vključene zvezne in diskretne spremenljivke. Za reševa- nje tega problema je bil uporabljen genetski algoritem, ki uporablja realna števila za kodni zapis (RCGA) [Deep, 2009]. Z namenom, da bi pridobili optimalno zasnovo zidu, smo razvili optimizacijski model (OPT- TPZ), ki vsebuje namensko funkcijo izdelavnih stroškov in geotehnične ter konstrukcijske pogoje. Na ta način so izpolnjena vsa mejna stanja v skladu z Evrokodom 7 [SIST, 2005], ki temeljijo na delnih količnikih varnosti. Op- timizacijski algoritem privede do optimalne rešitve, pri kateri pa so geotehnične omejitve v celoti izkoriščene, ter tako ni več nobenih rezerv v nosilnosti. Zato je smiselno izračunati verjetnost porušitve optimalno zasnovanega težnostnega zidu. V tem članku je bila upo- rabljena metoda RBD za iskanje scenarijev, v katerih pride do porušitve težnostnega pod- pornega zidu. Model, ki temelji na RBD-metodi je bil dodatno razširjen z optimizacijskim pristopom, kjer je funkcija izdelavnih stroškov omejena z načrtovano verjetnostjo porušitve. Pridobljene optimalne rešitve, ki so slonele na delnih količnikih varnosti v skladu s stan- dardom Evrokod 7 [SIST, 2005], smo nato primerjali z optimalnimi rešitvami, ki so bile omejene z načrtovano verjetnostjo porušitve. Analiza, ki je temeljila na verjetnosti porušit- ve, je podala informacije o vplivu negotovih parametrov zemljine na porušitev težnostnih podpornih zidov. Slika 1• Geometrija in parametri za težnostni podporni zid. doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender• NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021 149 2•GENETSKI ALGORITEM, KODIRAN Z REALNIMI ŠTEVILI Genetski algoritem, ki je kodiran z realnimi števili (RCGA), je mogoče uporabiti za optimi- zacijske probleme, tudi če niso konveksni in vsebujejo nekatere celoštevilčne spremenljivke z zveznimi in diskretnimi nelinearnimi omejit- vami [Deep, 2009]. Splošni problem optimiza- cije lahko zapišemo na naslednji način: min q=f(X,Y),[X]nc;[Y]nd pri pogojih: g(X,Y)≤[0];[g]k h(X,Y)=[0];[h]m xiLo≤xi≤xiUp;i=1,2,…,nc yj∈ Ydj;[Ydj ]pj j=1,2,…,nd kjer je X vektor nc zveznih spremenljivk in Y predstavlja nabor nd diskretnih večinoma bi- narnih 0-1 spremenljivk. Funkciji g in h sta ne- linearni funkciji, ki omejujeta namensko funk- cijo q. Podane so tudi meje (robni pogoji) za vsako zvezno in diskretno spremenljivko (xLo, xUp). Treba je opozoriti, da vsaka diskretna spremenljivka yj pripada vnaprej določenemu naboru pj diskretnih vrednosti Ydj. V modelu OPT-TPZ spremenljivke vsebujejo dimenzije, obremenitve, lastnosti materiala, napetosti, stroške, maso itd. Binarne spremenljivke se uporabljajo, kadar se dimenzije in materiali izberejo iz določenega standardnega niza. Pogojne enačbe (enakosti, neenakosti, robni pogoji) se oblikujejo na podlagi geotehnične analize in projektnih pogojev. Ta članek opi- suje namensko funkcijo minimalnih stroškov izgradnje težnostnega podpornega zidu. Binarni genetski algoritem (GA) je zanesljiva optimizacijska metoda, ki se lahko izogne lokalnim minimumom. Vendar pa je računski napor zelo velik, zato problem nastane, če je prostor iskanja velik in kadar se zahteva velika natančnost rešitve. Ker pa vsa števila v optimizacijskem modelu težnostnega pod- pornega zidu predstavljajo pozitivna realna števila, je GA, ki je kodiran z realnimi števili, veliko bolj učinkovit od binarnega GA. RCGA najprej ustvari naključno populacijo rešitev. Nato posameznike v začetni populaciji raz- vrsti glede na uspešnost. Namenska funkcija predstavlja funkcijo uspešnosti in je osnova za izbiro posameznikov ter tako prispeva k iskanju optimalne vrednosti. Za generiranje nove populacije se RCGA poslužuje šestih ko- rakov: (I) ovrednoti vsako posamezno rešitev v populaciji s pomočjo funkcije uspešnosti, (II) vse posameznike razvrsti glede na funkcijo uspešnosti, (III) izbere posameznike (starše) glede na funkcijo uspešnosti, (IV) izbere elitne posameznike, ki bodo prešli v naslednjo gene- racijo, (V) ustvari nove posameznike (otroke) iz staršev s pomočjo križanja in mutacije ter (VI) ustvari naslednjo generacijo z nadomestit- vijo trenutne populacije z novimi posamezniki (otroki). Genetski algoritem se ustavi, kadar je eden izmed številnih pogojev izpolnjen. Glavni pogoji za ustavitev RGCA so število generacij, časovna omejitev, mejna vrednost funkcije uspešnosti, toleranca funkcije uspešnosti in toleranca pogojnih funkcij. V tem članku je bil uporabljen RCGA, ki so ga razvili Deep in sod. [Deep, 2009] za iskanje optimalne zasnove težnostnega podpornega zidu. 3•SLUČAJNO VZORČENJE Z METODO MONTE CARLO Metode Monte Carlo tvorijo družino račun- skih algoritmov, ki s pomočjo slučajnega vzorčenja pridejo do ustreznih numeričnih rezultatov. Metode Monte Carlo obravnavajo probleme, ki so povezani z verjetnostjo in verjetnostnimi metodami. V tem članku je bila uporabljena metoda Monte Carlo mar- kovskih verig. Na sliki 2 je prikazan primer porazdelitve vzorcev slučajne spremenljivke, generirane s pomočjo simulacije Monte Carlo, ki vsebuje 100.000 vzorcev. Slika 2• Histogram simulacije Monte Carlo strižnega kota zemljine, ki vsebuje 100.000 vzorcev. NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE•doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021150 4•OPTIMIZACIJSKI MODEL ZA TEŽNOSTNI PODPORNI ZID Za izvedbo optimizacije s pomočjo RCGA je bil problem zasnove optimalnega težnostne- ga podpornega zidu preveden v standardno formulacijo optimizacijskega problema. Matrix Laboratory (MATLAB), programski jezik, je bil uporabljen kot vmesnik za matematič- no modeliranje in vnose/izhode podatkov [MathWorks, 2020]. Predlagani optimizacijski model (OPT-TPZ) vključuje vhodne podatke (konstante), spremenljivke in stroškovno na- mensko funkcijo, ki je podvržena geotehnič- nim analizam, dimenzioniranju in logičnih omejitev težnostnega podpornega zidu. Stro- škovna namenska funkcija je bila omejena z geotehničnimi omejitvami dimenzioniranja in diskretnimi spremenljivkami. Vhodni podatki predstavljajo določene projektne podatke, kot so mehanske lastnosti, fizikalne lastnosti in stroški gradnje. V optimizacijskem modelu (OPT-TPZ) so bile uporabljene naslednje geometrijske spremen- ljivke (glej sliko 1): širina sprednjega dela zidu bf (m), širina srednjega dela zidu b (m), širina zalednega dela zidu bb (m), globina vpetja podpornega zidu d (m) in stroški izdelave podpornega zidu STROŠKI (EUR/m). 4.1 Stroškovna funkcija težnostnega podpornega zidu Stroškovna funkcija vsebuje stroške materia- lov za izgradnjo težnostnega podpornega zidu (EUR/m), glej enačbo (1): kjer STROŠKI označujejo materialne stroške na tekoči meter težnostnega podpornega zidu. Stroškovna funkcija tako vključuje stro- ške gradnje, kamor spadajo stroški izkopa, stroški izdelave kamnite zložbe, stroški zasipa s sprotnim utrjevanjem zemljine in izdelavo drenažnega sistema. Zato optimalna rešitev predstavlja minimalne stroške težnostnega podpornega zidu, ki lahko prevzame obtežbe zaledne zemljine. Oznaka Cstone (€/m3) pred- stavlja stroške dobave in vgradnje lomljenca iz karbonatnih kamnin, vezanega s polnilnim betonom v kamnito zložbo podpornega zidu, medtem ko Cexc (€/m3), Cfill (€/m3) in Cdrain (€/m) predstavljajo stroške na enoto za zemeljski izkop, stroške za zasip in stroške za izvedbo drenaže. Širine bf, b, bb in globina temeljenja d so v modelu OPT-TPZ predstavlje- ne kot spremenljivke (glej sliko 1). 4.2 Geotehnični pogoji Geotehnična analiza predstavlja osnovo op- timizacijskega modela težnostnega podpor- nega zidu. Geotehnične omejitve zagotavljajo stabilnost podpornega zidu in hkrati ome- jujejo tudi stroškovno funkcijo. Geotehnična analiza težnostnega podpornega zidu je bila narejena v skladu s standardom Evrokod 7 [SIST, 2005]. V skladu s standardom je bilo opredeljenih pet različnih pogojev (glej enačbe (2)–(6)), ki so bili vključeni v optimizacijski model (glej sliko 3). – Prvi pogoj: preveritev na zdrs zidu, slika 3a. – Drugi pogoj: položaj rezultante sil (ekscentričnost), slika 3b. – Tretji pogoj: prekoračitev nosilnosti temelj- nih tal, slika 3c. – Četrti pogoj: prevrnitev zidu, slika 3d. – Peti pogoj: čezmerni posedki. Predlagani optimizacijski model (OPT-TPZ) vsebuje vhodne podatke, ki jih sestavljajo nas- lednje konstante: strižni kot zaledne zemljine φ’ret,k (°), interakcijski koeficient zid zemljina kret (-), prostorninska teža zaledne zemljine γret,k (kN/m3) in kohezija c’ret,k (kPa) zaledne zemljine. Prav tako vsebuje vhodne podatke za temeljna tla, in sicer strižni kot temeljnih tal φ’found,k (°), kohezijo temeljnih tal c’found,k (kPa), interakcijski koeficient temelj-zemljina kfound (tj. količnik redukcije strižne trdnosti stika med zidom in tlemi) ter ostale podatke, kot so prostorninska teža zidu γwall (kN/m3), zvezna spremenljiva obtežba qQ,k (kN/m2), nagib za- ledja β, delni količnik varnosti za stalne vplive SFG (-), delni količnik varnosti za ugodne stalne vplive SFG,fav (-), delni količnik varnosti za spremenljive vplive SFQ (-), delni količnik varnosti za strižni kot zemljine SFφ (-), delni količnik varnosti za kohezijo zemljine SFc (-), delni količnik varnosti za nosilnost temeljih tal SFRv (-), delni količnik varnosti za zdrs SFRh (-) in zahtevana svetla višina težnostnega zidu Hs (m). V optimizacijski model je torej vključenih več pogojev. – Prvi pogoj omejuje horizontalno silo, ki ne sme preseči rezultante sil odporov temelja zidu (glej enačbo (2)). Pogoj je definiran z enačbami 2.1–2.8. – Ekscentričnost delovanja sile eB (m) je omejena z največjo dovoljeno ekscentričnostjo emax. Pogoj predstavlja enačba 3 in je v nada- ljevanju definirana z enačbami 3.1–3.13. (1) Slika 3• Mehanizmi porušitve za težnostni podporni zid: a) zdrs zidu, b) položaj rezultante sil, c) nosilnost temeljnih tal in d) prevrnitev zidu. doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender• NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021 151 NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE•doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021152 – Tretji pogoj predstavlja nosilnost temeljnih tal, ki je definirana z enačbo 4, ki omejuje aplicirano vertikalno silo na temeljna tla Vd z rezultantno silo odporov Rd. Za preveritev tega pogoja so definirane enačbe 4.1–4.12, ki predpostavljajo, da je težnostni podporni zid linijska konstrukcija. – Enačba 5 predstavlja pogoj prevrnitve, ki pa je relevanten le v primeru, da je težnostni podporni zid izveden na zelo dobro nosilnih tleh. – Avtorja Burland in Burbidge [Burland, 1985] sta predlagala preprosto enačbo za izračun posedkov, s pomočjo standardnega penetra- cijskega preizkusa (SPT) in nekorigiranega števila potrebnih udarcev N za penetracijo standardnega konusa za 30 cm. Pogoj ome- juje enačba 6, ki je definirana z enačbami 6.1–6.4. – Dimenzije zidu so omejene s pogoji 7–7.2, medtem ko je nabor vrednosti spremenljivk predstavljen na koncu preglednice 1. Stroškovna funkcija je prav tako podrejena diskretnim pogojem, ki definirajo dimenzije težnostnega podpornega zidu. Pomembno je poudariti, da vsaka diskretna spremenljivka yj ={y1, y2, y3} pripada v naprej definiranemu naboru pj diskretnih vrednosti Ydj. Iskanim dimenzijam bf, b, bb in d se pripiše le ena diskretna optimalna vrednost. 4.3 Optimizacijski model omejen z načrtovano verjetnostjo porušitve Deterministični optimizacijski model, pred- stavljen v preglednici 1, je v nadaljevanju nadgrajen s pogojno enačbo, ki omogoča optimizacijo težnostnega zidu na podlagi vnaprej določene verjetnosti porušitve. Treba je upoštevati, da so v tako definiranem opti- mizacijskem modelu nekateri vhodni podatki podani z naključnimi vrednostmi. Geotehnični pogoji, enačbe 2–6, so bili nadomeščeni s pogojem načrtovane verjetnosti porušitve, ki je definiran z enačbo 8. (8) (8.1) kjer n, TFP in AFP predstavljajo število na- ključno definiranih nizov vrednosti vhodnih podatkov (slučajni vzorec), načrtovano ver- jetnost porušitve in dejansko verjetnost po- rušitve. Preglednica 1• Optimizacijski model težnostnega podpornega zidu (OPT-TPZ). 5•APLIKACIJA MODELA OPT-TPZ – RAČUNSKI PRIMER Za ponazoritev uporabnosti optimizacijskega modela, predstavljenega v tem članku, je po- dan primer za določitev dimenzij najcenejšega težnostnega podpornega zidu za podane vhodne podatke. Na sliki 4 so prikazane srednje in karakteristične vrednosti strižnega kota zemljine v tleh. Strižni koti so bili določeni na podlagi laboratorijskih strižnih testov, ki so znašali: 32,5°; 35°; 33°; 34,5°; 33,5°; 37,5°; 36° in 37°. Schneiderjeva metoda [Orr, 1999] je bila upo- rabljena za izračun karakteristične vrednosti strižnega kota. φ'k,ret = φ'av,ret - 0,5 ∙ σ = 34,8° - 0,5 ∙ 1,85° = 34,0° (9) Podatki za projektiranje so vsebovali striž- ni kot zaledne zemljine φret,k = 34°, njeno prostorninsko težo γret,k = 18 kN/m3, kohe- zijo cret,k = 0 kPa in interakcijski koeficient kret = 2/3. Strižni kot temeljnih tal znaša φfound,k = 34°, kohezija je cfound,k = 0 kPa, prostorninska teža je γfound,k = 18 kN/m3 in interakcijski koeficient kfound = 2/3. Svetla vi- šina težnostnega podpornega zidu znaša Hs = 4 m, naklon zaledja pa β = 14°. Na zaled- je deluje spremenljiva obtežba qQk = 5 kPa. Vsi podatki, vključeni v optimizacijski model OPT- TPZ, so predstavljeni v preglednici 2. PP1-K1, PP1-K2 in PP2 predstavljajo različne projektne Slika 4• Povprečna, karakteristična in projektna vrednost strižnega kota. doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender• NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021 153 Preglednica 2• Vhodni podatki za OPT-TPZ model. PP1-K1 PP1-K2 PP2 bf (m) 2,0 2,0 2,0 b (m) 0,5 0,5 0,5 bb (m) 0,0 0,0 0,0 d (m) 0,6 1,1 0,6 P1: HEd ≤ HRd (kN/m) 82,2 ≤ 93,5 (88%) 99,5 ≤ 101,8 (98%) 82,2 ≤ 85,0 (97%) P2: eb ≤ emax (m) 0,39 ≤ 0,42 (93%) 0,32 ≤ 0,42 (77%) 0,39 ≤ 0,42 (93%) P3: Vd ≤ Rd (kN/m) 253,2 ≤ 565,6 (45%) 213,0 ≤ 232,5 (92%) 253,2 ≤ 404,0 (63%) P4: MEd,dst ≤ MEd,stb (kNm/m) 133,5 ≤ 351,5 (38%) 179,7 ≤ 377,8 (48%) 133,5 ≤ 351,5 (38%) P5: s ≤ slim (mm) 19,1 ≤ 50 (38%) 16,1 ≤ 50 (32%) 19,1 ≤ 50 (38%) pristope, vsak z drugačnimi vrednostmi delnih količnikov varnosti v skladu z Evrokodom 7 [SIST, 2005]. Rezultati analize kažejo, da stroški optimal- no zasnovanega težnostnega podpornega zidu pri danih projektnih podatkih znašajo 813 Є/m za PP1-K1 in PP2 ter 918 Є/m za PP1-K2. V preglednici 3 so prikazane stopnje izkoriščenosti za vsak geotehnični pogoj, na podlagi katerih lahko sklepamo, da je za projektni pristop PP1-K2 in PP2 merodajen zdrs zidu. Za projektni pristop PP1-K1 pa je merodajna ekscentričnost rezultante sile (rezultanta sile ni v jedru prereza). Treba je po- udariti, da Evrokod 7 [SIST, 2005] ne zahteva, da je rezultanta sile v jedru prereza. Ker pa pri zidanih podpornih konstrukcijah nastanek na- teznih napetosti ni dovoljen, je treba zagotoviti, da je rezultanta sile v jedru prereza. Najmanj- ša in povprečna vrednost namenske funkcije po vsaki iteraciji v optimizacijskem procesu sta prikazani na sliki 5a. Proces iteracije se je ustavil v trenutku, ko je bila povprečna rela- tivna sprememba namenske funkcije napram trenutno najboljši vrednosti namenske funkcije manjša od predpisane (glej sliko 5b). Maksi- malno predpisano število iteracij v tem modelu je bilo 200. Slika 5c prikazuje histogram, kjer je prikazana velikost populacije, ki je v tem modelu znašala 300. Ocena učinkovitosti vsa- ke generacije je prikazana na sliki 5d. Čas, ki ga je računalnik potreboval za pridobitev opti- malnega rezultata, je znašal 6,5 s. Računalnik, ki je bil uporabljen za izračun, ima CPU Intel Pentium i7 2,2 GHz. Optimalna rešitev je bila dobljena iz velikega števila kombinacij med vsemi različnimi diskretnimi spremenljivkami (št. diskretnih vrednosti(bf) ∙ št. diskretnih vrednosti(b) ∙ št. diskretnih vrednosti(bb) ∙ št. diskretnih vrednosti(d) = 51 ∙ 46 ∙ 51 ∙ 45 = 5.384.070 konstrukcijskih alternativ). Hs svetla višina težnostnega podpornega zidu 4,0 m qQ,k spremenljiva obtežba 5,0 kPa β naklon zaledja 14° φret,k strižni kot zaledne zemljine 34° cret,k kohezija zaledne zemljine 0 kPa γret,k prostorninska teža zaledne zemljine 18 kN/m3 kret interakcijski koeficient zemljine in zidu 2/3 φfound,k strižni kot temeljnih tal 34° cfound,k kohezija temeljnih tal 0 kPa γfound,k prostorninska teža temeljnih tal 18 kN/m3 kfound interakcijski koeficient temeljnih tal in zidu 2/3 γwall prostorninska teža zidu 23,5 kN/m3 slim mejna vrednost posedka 50 mm dmin minimalna globina vpetja podpornega zidu 0,6 m Cstone cena lomljenca iz karbonatnih kamnin vezanim z betonom 85 €/m3 Cexc cena izkopa 10 €/m3 Cfill cena zasipa 18 €/m3 Cdrain cena drenažnih cevi 10 €/m Delni količniki varnosti za različne projektne pristope PP1-K1 PP1-K2 PP2 SFG delni količniki varnosti za stalne vplive 1,35 1,0 1,35 SFG,fav delni količniki varnosti za ugodne stalne vplive 1,0 1,0 1,0 SFQ delni količniki varnosti za spremenljive vplive 1,5 1,3 1,5 SFφ delni količniki varnosti za strižni kot 1,0 1,25 1,0 SFc delni količniki varnosti za kohezijo 1,0 1,25 1,0 SFRv delni količniki varnosti za nosilnost 1,0 1,0 1,4 SFRh delni količniki varnosti za zdrs 1,0 1,0 1,1 NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE•doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021154 Preglednica 3• Optimalna zasnova težnostnega podpornega zidu – računski primer. Slika 5• Učinkovitost genetskega algoritma za PP2. Vwall (m3/m) 6,9 7,7 6,9 STROŠKI (€/m) 813,62 918,82 813,62 6• NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE – RAČUNSKI PRIMER Na podlagi negotovih projektnih podatkov smo izračunali verjetnost porušitve optimal- no zasnovanega težnostnega podpornega zidu. Verjetnost porušitve smo izračunali v treh korakih. V prvem koraku je bil definiran deterministični model, ki vključuje mehanizme porušitve (zdrs zidu, nosilnost temeljnih tal, ekscentričnost). Deterministični model je enak geotehničnemu modelu, predstavljenemu v poglavju 4.2. Z definiranimi enačbami so se preverili vsi mehanizmi porušitve. V drugem koraku je treba določiti slučajne spremenljivke in pripadajoče statistične parametre (srednja vrednost min./max., standardna deviacija min./max., vrsta porazdelitve). Te vrednosti so prikazane v preglednici 4 in temeljijo na predhodnem poznavanju lastnosti tal in obre- menitev, ki so se potem uporabile za ustvar- janje naključnih vzorcev s pomočjo simulacije Monte Carlo markovskih verig (MCMV). Za generacijo vrednosti slučajnih spremenljivk φret, φfound, γret, γfound in qq je bil uporabljen Excelov vtičnik, ki temelji na Bayesovem algo- ritmu vzorčenja (BEST - Bayesian equivalent sample toolkit). Naključne vrednosti slučajnih spremenljivk kret in kfound so bile modelirane s pomočjo kumulativne distribucijske funkcije (CDF), katere vrsta razporeditve je prikazana v preglednici 5. Spremenljivki kret in kfound sta torej slučajni spremenljivki, ki lahko zavzame- ta naključne vrednosti in se lahko zapišeta kot: (10) kjer Ui predstavlja naključno porazdeljena števila v določenem intervalu. V predstavlje- nem računskem primeru je bilo generiranih in analiziranih 100.000 vzorcev. Povprečna vrednost in standardna deviacija sta statistič- na podatka, ki sta bila pridobljena za izbrane slučajne spremenljivke po končani analizi ge- neriranih vzorcev. Statistična analiza izbranih spremenljivk, ki lahko zavzamejo naključne vrednosti, je podana v preglednici 5. Model s tako definiranimi spremenljivkami imenujemo model negotovosti. doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender• NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021 155 Na podlagi determinističnega modela in mo- dela negotovosti smo izračunali tri različne verjetnosti porušitve za tri različne optimalne zasnove. Verjetnosti porušitve za tri optimalne zasnove so temeljile na treh različnih pristo- pih projektiranja (PP1-K1, PP1-K2 in PP2). Porušitev se zgodi, kadar eden izmed po- gojev, predstavljen v enačbi 11, ni izpolnjen. (11) Končna verjetnost porušitve se nato izračuna tako, da se prešteje število vzorcev, pri katerih pride do porušitve, in nato deli s celotnim šte- vilom vzorcev, v predstavljenem računskem primeru znaša n = 100.000 (glej enačbo 8). Izračunane verjetnosti porušitev za PP1-K1, PP1-K2 in PP2 pa znašajo 0,006, 0,00058 in 0,006. Z namenom, da bi dobili minimalne stroš- ke gradnje težnostnega podpornega zidu glede na točno načrtovano verjetnost poru- šitve, pa je bil model negotovosti (100.000 naključnih vzorcev) vključen v optimizacij- ski proces. Genetski algoritem je bil uporab- ljen za izračun optimalne zasnove z ozirom na načrtovano verjetnost porušitve. Vsi delni količniki varnosti v determinističnem modelu zavzamejo vrednost 1,0. Izbrali smo štiri različne načrtovane verjetnosti porušitve TFP (0,1; 0,01; 0,001; in 0,0001), zato so podane tudi štiri različne optimalne zasnove težnostnega podpornega zidu. Op- timalna zasnova težnostnega podpornega zidu pri načrtovani verjetnosti porušitve je prikazana na sliki 6 na skrajno levi strani, definirana kot WS1. Zaradi predpisanih dis- kretnih dimenzij težnostnega podpornega zidu so pridobljene verjetnosti porušitve manjše ali enake načrtovanim verjetnost- nim porušitve. Za najmanjšo načrtovano verjetnost porušitve 0,0001 so optimalni stroški zidu 1014,38 €/m, katerega opti- malne dimenzije so bf = 1,9 m, bb = 0 m, b = 0,7 m in d = 1,2 m. Optimizacija s slučaj- nimi spremenljivkami je trajala 5.140,6 s, pri čemer sta bila uporabljena enak algoritem in enaka zmogljivost procesorske enote kot pri optimizaciji brez slučajnih spremenljivk. Povečan čas analize za pridobitev optimal- ne rešitve sta povzročila velika kombinacija spremenljivk in veliko število naključnih vzorcev. Dodatno smo analizirali tudi različ- ne neoptimalne prečne prereze podpornih zidov (WS2, WS3 in WS4), da bi pridobili odvisnost med verjetnostjo porušitve in stroški izgradnje zidu. V spodnji preglednici 6 so prikazani stroški v odvisnosti od preč- Spremenljivke (naključna vrednost) Vrsta razporeditve Min. srednja vrednost Max. srednja vrednost Min. standardna deviacija Max. standardna deviacija φret = φfound (°) Normalna 32,3 36,3 1,75 2 γret = γfound (kN/m3) Normalna 17,5 18,5 0,7 1,3 qq (kPa) Normalna 4 6 1,8 2,2 Preglednica 4• Predhodne informacije o spremenljivkah, ki lahko zavzamejo naključne vrednosti. Spremenljivke (naključna vrednost) Statistični parametri Vrednosti Vrsta razporeditve φret = φfound (°) Srednja vrednost 34,83 BEST Excel vtičnik Standardna deviacija 2,0 γret = γfound (kN/m3) Srednja vrednost 18,0 BEST Excel vtičnik Standardna deviacija 1,0 qq (kPa) Srednja vrednost 5,0 BEST Excel vtičnik Standardna deviacija 2,0 kret = kfound Minimalna vrednost 0,5 Trikotna razporeditevNajverjetnejša vrednost 2/3 Maksimalna vrednost 1 Preglednica 5• Model negotovosti, težnostni podporni zid – računski primer. Optimalna zasnova (WS1) Simetrična zasnova (WS2) bf (m) 1,4 1,6 2,0 1,9 1,0 1,4 1,9 2,4 b (m) 0,5 0,5 0,5 0,7 0,5 0,5 0,5 0,5 bb (m) 0 0 0 0 1,0 1,4 1,9 2,4 d (m) 0,6 0,7 1,1 1,2 0,6 0,6 0,6 0,6 AFP 0,0678 0,0084 0,00058 0,0001 0,08824 0,00857 0,00097 0,0001 (TFP) (0,1) (0,01) (0,001) (0,0001) STROŠKI (€/m) 682,52 789,73 918,8 1014,4 878,02 1078,58 1329,3 1580,0 Pravokotna zasnova (WS3) Zasnova s poševno zaledno stranico (WS4) bf (m) 0 0 0 0 0 0 0 0 b (m) 2,0 2,2 2,4 2,6 0,5 0,5 0,5 0,5 bb (m) 0 0 0 0 2,9 3,1 3,6 4,2 d (m) 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 AFP 0,0994 0,0052 0,00058 0,00007 0,04431 0,00572 0,00094 0,0001 STROŠKI (€/m) 1032,1 1119,5 1206,9 1294,3 1245,79 1253,61 1395,06 1593,1 Preglednica 6• Dimenzije in stroški za različne tipe zidov ob različnih verjetnostih porušitve. NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE•doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021156 nih prerezov in verjetnosti porušitve. AFP predstavlja dobljeno verjetnost porušitve in TFP načrtovano verjetnost porušitve. Razlika v stroških med optimalno zasno- vo (WS1) in najbolj neoptimalno zasnovo (WS4) pri enaki verjetnosti porušitve 0,0001 znaša 578 €/m. Zato je zelo pomembno, da pri zasnovi konstrukcije ne upoštevamo le načrtovane verjetnosti porušitve, ampak kon- strukcijo tudi optimiziramo glede na stroške izdelave, saj lahko z različnimi zasnovami dosežemo enako verjetnost porušitve, pri tem pa niso vse zasnove optimalne. Pri vseh različnih verjetnostih porušitve je skupno to, Slika 6• Odvisnost stroškov napram verjetnosti porušitve za različne tipe zidov. Slika 7• Izris CDF za a) zdrs, b) nosilnost temeljnih tal in c) ekscentričnost. da ima optimalna zasnova dimenzijo bb = 0 m. Treba je poudariti, da predstavljen optimizacijski model ne omogoča izračuna optimalne zasnove zidu, ki je nagnjen k zaledju. Pravokotna zasnova (WS3) težnost- nega podpornega zidu je bolj ekonomična kot simetrična zasnova (WS2) ali pa zasno- va z nagibom zaledne stranice (WS4) pri manjših vrednostih verjetnosti porušitve. Tri optimalne zasnove zidu, ki so bile že določe- ne na podlagi Evrokoda 7 (PP1-K1, PP1-K2 in PP2) in katerih verjetnosti porušitve so že bile izračunane (0,006, 0,00058, in 0,006), so na spodnji sliki (slika 6) označene s točkami (krogci). Razvidno je, da optimalne zasnove na podlagi Evrokoda 7 po verjet- nosti porušitve sovpadajo s pridobljenimi rezultati optimizacije zidu glede na načrto- vano verjetnost porušitve. Na sliki 6 so vse dimenzije težnostnih podpornih zidov (bf; b; bb; d) prikazane v metrih. Za določitev verjetnosti porušitve P(M ≤ 0) za optimalno zasnovo, optimizirano glede na načrtovano verjetnost porušitve, je bila ustvarjena kumulativna distribucijska funkci- ja (CDF). CDF sedaj definira verjetnosti, da je vrednost M manjša od vrednosti praga M0. Slika 7 prikazuje izris CDF za geotehnične pogoje (M), kot so nosilnost tal, zdrs in ekscentričnost za vsako načrtovano verjet- nost porušitve. Vsaka krivulja predstavlja do- bljene verjetnosti porušitve (AFP) za različne načrtovane verjetnosti porušitve TFP = (0,1; 0,01; 0,001; 0,0001). doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender• NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021 157 8•Izjava o razpoložljivosti podatkov 9•Zahvala 10•LITERATURA Nekateri ali vsi podatki, modeli ali kode, ki podpirajo ugotovitve te študije, so na voljo pri avtorjih članka. Avtorji se zahvaljujejo za finančno podporo Javne agencije za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije, št. P2-0268. Bathurst R. J., Javankhoshdel S., Allen T. M., LRFD calibration of simple soil-structure limit states considering method bias and design parameter variability, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 143(9), 1-14, 2017. Burland J. B., Burbidge M. C., Settlement of Foundations on Sand and Gravel. Proceedings of the Institution of Civil Engineers, London, 78, 1325–1381, 1985. Camp C. V., Akin A., Design of retaining walls using big bang-big crunch optimization, Journal of Structural Engineering, 138(3), 438-448, 2012. Deep K., Singh K. P., Kansal M. L., Mohan C., A real coded genetic algorithm for solving integer and mixed integer optimization problems, Applied Mathematics and Computation, 212(2), 505-518, 2009. Fenton G. A., Griffiths D. V., Naghibi F., Future Directions in Reliability-Based Geotechnical Design, Geo-Risk 2017, American Society of Civil Engi- neers, Reston, VA, 69–97, 2017. Fenton G. A., Naghibi F., Griffiths D. V., On a unified theory for reliability-based geotechnical design, Computers and Geotechnics, 78, 110-122, 2016. ISO, ISO 2394, General principles on reliability for structures, International Organization for Standardization, Switzerland, 2015. Kaveh A., Behnam A. F., Charged System Search Algorithm for the Optimum Cost Design of Reinforced Concrete Cantilever Retaining Walls, Arabian Journal for Science and Engineering, 38, 563-570, 2013. Kaveh A., Hamedani K. B., Bakhshpoori T., Optimal design of reinforced concrete cantilever retaining walls utilizing eleven meta-heuristic algorithms: A comparative study, Periodica Polytechnica Civil Engineering, 64(1), 156-168, 2020. Kaveh A., Soleimani N., CBO and DPSO for optimum design of reinforced concrete cantilever retaining walls, Asian Journal of Civil Engineering, 16(6), 751-774, 2015. 7•ZAKLJUČEK Članek obravnava optimizacijo stroškov tež- nostnega podpornega zidu. Razvit je bil optimizacijski model OPT-TPZ. Ker je model načrtovan za splošno uporabo, lahko op- timizacijo težnostnega podpornega zidu izvedemo za različne vrednosti parametrov tal, obremenitev, zahtevane svetle višine zidu in ostalih projektnih podatkov. Model vsebuje namensko funkcijo stroškov, ki pa je omejena z geotehničnimi in konstrukcij- skimi pogoji. Optimizacija je bila narejena v skladu s standardom Evrokod 7, saj so bili zemeljski pritiski izračunani z enačbami, predpisanimi v Evrokodu, in ne na podlagi Coulombovih koeficientov. Prikazana sta dva različna optimizacijska modela. Prvi model, ki je bil v skladu z Evrokodom 7 in temelji na delnih količnikih varnosti, ter drugi model, ki pa temelji na verjetnosti porušitve. Za pridobitev optimalne zasnove sta bila uporabljena RCGA in program v MatLab. Računski primer težnostnega podpornega zidu, ki zadržuje 4 m zemljine, pri čemer je zaledna zemljina pod določenim nagibom, kaže, da ima optimalna zasnova poševno čelno stranico in navpično zaledno stranico (op. optimizacijski model ne obravnava zi- dov z zaledno stranico nagnjeno k zaledju). Za izbrane projektne podatke sta bila zdrs in ekscentričnost odločilna pogoja za poru- šitev glede na izbrani projektni pristop. Po- stopek optimizacije je trajal 6,5 s, optimalni zasnovi težnostnega zidu pa smo pripisali tudi verjetnost porušitve. Optimizacija glede na načrtovano verjet- nost porušitve pa je terjala veliko več časa (5.140,6 s) zaradi velikega števila naključnih vzorcev (100.000). Rezultati računskega primera so pokazali, da je v obravnavanem primeru za najmanjšo načrtovano verjetnost porušitve (0,0001) merodajna nosilnost temeljnih tal. Prispevek tudi podarja, da se lahko stroški ob enaki verjetnosti porušitve zmanjšajo za polovico, če se izvede optimizacija težno- stnega podpornega zidu glede na načrto- vano verjetnost porušitve. NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE•doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender Gradbeni vestnik • letnik 70 • julij 2021158 Khajehzadeh M., Taha M. R., El-Shafie A., Eslami, M., Economic design of retaining wall using particle swarm optimization with passive congregation, Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 4(11), 5500-5507, 2010. Kulhawy F. H., Foundation Engineering, Geotechnical Uncertainty, and Reliability-Based Design, Geotechnical Special Publication, 174-184, 2017. Li D. Q., Yang Z. Y., Cao Z. J., Au S. K., Phoon K. K., System reliability analysis of slope stability using generalized Subset Simulation, Applied Mathematical Modelling, 46, 650-664, 2017. Low B. K., Phoon K. K., Reliability-based design and its complementary role to Eurocode 7 design approach, Computers and Geotechnics, 65, 30-44, 2015. MathWorks, MATLAB, Natick, Massachusetts, USA, 2020. Orr T. L. L., Farrell E. R., Geotechnical Design to Eurocode 7, Springer, 1999. Phoon K. K., Retief J. V., Reliability of Geotechnical Structures in ISO2394, CRC Press/Balkema, 2016. Sadoglu E., Design optimization for symmetrical gravity retaining walls, Acta Geotechnica Slovenica, 11(2), 71-79, 2014. Saribas A., Erbatur F., Optimization and sensitivity of retaining structures, Journal of Geotechnical Engineering-ASCE, 122(8), 649–656,1996. SIST, SIST EN 1997–1–1:2005, Evrokod 7, Geotehnično projektiranje-Del 1-1, Splošna pravila, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2005. Talatahari S., Sheikholeslami R., Shadfaran M., Pourbaba M., Optimum design of gravity retaining walls using charged system search algorithm, Mathematical Problems in Engineering, 2012, 1-10, 2012. Wang Y., Reliability-based design of spread foundations by Monte Carlo simulations, Géotechnique, 61(8), 677-685, 2011. Wang Y., Schweckendiek T., Gong W., Zhao T., Phoon K. K., Reliability of Geotechnical Structures in ISO2394, poglavje: Direct probability-based design methods, CRC Press/Balkema, 2016. doc. dr. Primož Jelušič, Rok Varga, prof. dr. Bojan Žlender• NAČRTOVANJE TEŽNOSTNEGA PODPORNEGA ZIDU NA PODLAGI VERJETNOSTI PORUŠITVE