P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 28 (2000/2001) Številka 1 Strani 6-9
Marija Vencelj: GEOMETRIJSKI RAZREZI
Ključne besede: matematika, rekreativna geometrija, ravninski liki, pravokotniki, kvadrati.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/28/1430-Vencelj.pdf
© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
GEOMETRIJSKI RAZREZI
Geometrijski razrezi sodijo med naloge rekreativne geometrije. Navadno je podan ravninski lik ali skupina likov, ki jih moramo razrezati na manjše like tako, da lahko natanko iz vseh dobljenih kosov brez prekrivanja sestavimo drug predpisan lik ali skupino likov. Za rezultirajoči lik oziroma like je praviloma podana le oblika, saj je njihova ploščina določena z izhodnimi liki. Število razrezov prvotnih likov je lahko z zahtevami naloge natanko določeno, navzgor omejeno ali poljubno. Rezi so lahko bodisi samo ravni bodisi poljubnih oblik. Najpreprostejši primer je, če naloga dovoljuje en sam ravni prerez.
V manj zahtevnih revijah so naloge rekreativne matematike večinoma oblikovane tako, da vnaprej zagotavljajo, da rešitev obstaja. S takim pri vzet kom je reševanje seveda lažje, prinese pa tudi manj zadovoljstva. Ta splošna ugotovitev velja tudi za geometrijske razreze. Te vrsto nalog ne zahtevajo veliko geometrijskega znanja; denimo toliko, da. zmoremo preveriti, ali iz danega lika sploh lahko naredimo iskanega. Ne glede na to, ali sestavljalcu naloge verjamemo, da je naloga rešljiva, ali ne, je tak preverek lahko koristen. Pogosto nam pokaže pot do rešitve naloge.
Po drugi stTani se na rešitve, dobljene 'na oko', ne smemo zanesti. Lahko, da smo sestavili nekaj, kar je le blizu iskanemu liku. Ena od različic sicer zelo znanega protislovnega' primera, dobljenega 'na oko', je na sliki 1, Pravokotni trikotnik s katetama 5 in 13 enot smo razrez ali na štiri kose, jih nekoliko drugače zložili in spet dobili pravokotni trikotnik s katetama 5 in 13, v katerem manjka ena kvadratna enota. Le od kod se je luknja vzela?
Slika 1.
Področje geometrijskih razrezov ima dolgo zgodovino. Tako npr. razni razrezi kvadrata, taki, da lahko iz dobljenih kosov sestavimo dva nova kvadrata, dajejo številne dokaze Pitagorovega. izreka.
Kako transformirati kvadrat v pravilni petkotnik in pravilni šestkot-nik, je bilo znano na začetku 19. stoletja.
Že v stoletju prej pa je francoski matematik Mont.uca (1747-1799) precej temeljito opisal transformacije pravokotnika v kvadrat. Na tem področju so raziskovali še Američan Sam Lovd (1844 1911), Anglež Du-dcney (1847-1930) in Avstralec Lindgren. Nekaj njihovih rezultatov si bomo ogledali v tem sestavku.
1, Najenostavnejši primer je pretvorba pravokotnika 4 x 1 (s stranicama 4 enote in 1 enota) v kvadrat. Gre z enim samim ravnim prerezom pravokotnika (slika 2).
1 -2
4	_
2
Slika 2.
Ce razmerje stranic pravokotnika ni natanko 4 : 1, z enim samim ravnim prerezom naloge očitno ne moremo rešiti.
2. Nekatere druge pravokotnike lahko z enim samim prerezom razbijemo na dva dela in iz njiju sestavimo kvadrat, če se odpovemo zahtevi, da je rez raven. Ce ima npr. pravokotnik stranici v razmerju (n + l)2 : n2. kjer je n naravno število, lahko uporabimo stopnično tehniko. Če vzamemo, da merita stranici (n + l)2 in n2 enot, mora imeti končni kvadrat stranico dolžine ii(rt + 1) enot. Ker je
n(n + 1) = (n + l)2 - (n + 1) in n(n + 1) = n2 4- n ,
moramo daljšo stranico pravokotnika skrajšati za n + 1 in krajšo povečati za n. To dosežemo tako, da pravokotnik prerežemo z rezom iz n stopnic z dimenzijama n + 1 in n in dobljena kosa vzdolž reza medsebojno zamaknemo za eno stopnico. Na sliki 3 je prikazan primer za n — 4, to je, preoblikovanje pravokotnika 25 x IG v kvadrat 20 x 20. Podobno potekajo pretvobe 9 x 4 6 x 6, 16 x 9 12 x 12, 36 x 25 -> 30 x 30 itd.
Slika 3.
Za n = 1 je razmerje (n + 1) : n enako 4. To je največje možno razmerje te oblike. Stopnici sta široki 2 enoti in visoki 1 enoto. Gre torej za primer ravnega reza na sliki 2.
Če n narašča, se število stopnic veča, velikost stopnic pa se glede na velikost pravo ko t ni kov i h. stranic manjša. Tudi razmerje (ti + l)z : n2 se z naraščajočim n manjša in se približuje 1, ko gre n v neskončno, V mejnem primeru je začetni pravokotnik kvadrat, višina stopnice je enaka 0, ustrezni rez pa kar diagonala kvadrata (slika 4).
Slika 4.
3. Z razrezi na tri ali več kosov lahko rešimo nalogo, če sta stranici pravokotnika v razmerju, ki je večje kot 4, ali če je razmerje manjše od 4 in različno od	, kjer je n £ IN.
Če je razmerje stranic pravokotnika x : y ^ '71 ^7-— , n € IN, in je | < 4, lahko rešimo nalogo z razrezom pravokotnika na tri kose, kot kaže slika 5.1 S slike je očitno, da je razrez dober, če je kvadrat,ova stranica a večja od polovice daljše izmed pravo ko t ni kov ih stranic. Ta pogoj je vedno izpolnjen, saj je o = > </4i2 = 2x.
1 Dolžino kvadratove stranice a — lahko natančno konstruiramo s Sest i lom in ravnilom iz pravokotnikovih stranic x in y z uporabo višinskega ali Evklidovega izreka v pravokotnem trikotniku.
O i= ^/itf
Slika S.
Seveda lahko rešimo nalogo tudi z razrezom na več kosov. Slika (i prikazuje dve različni pretvorbi pravokotnika 5 x 2 v kvadrat \/T0 x \/Tq z razrezom na štiri kose.
Slika 6.
Naloge za | > 4 z razrezom pravokotnika le na tri kose ne moremo rešiti. Potrebnih je več kosov. Odvisnost njihovega števila od razmerja dolžin pravo kot ni ko vi h stranic lahko ugotovite s pomočjo slike 7.
a = Slika 7.
Marija Vencelj