i
i
“Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 66 — #3
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Way. Eckler uporablja za osnovo v glavnem Websterov angleˇ ski slovar. No-
benega razloga pa ni, da ne bi iskali po Ecklerjevem zgledu zanimivih besed
tudi po slovenskih slovarjih.
Marko Razpet
Terence Tao: SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS – A
PERSONALPERSPECTIVE,OxfordUniversityPress,2006,128
strani.
Malo ljudi je nadarjenih za matematiko
in le redki med njimi so talentirani. Re-
sniˇ cnih genijev pa je na svetu le nekaj. A
celo v tej peˇ sˇ cici so nekateri izjemni, kot
da bi bili z drugega planeta. Nedvomno
je Terence Tao taka izjema. Z desetimi
leti je osvojil bronasto medaljo na medna-
rodni matematiˇ cni olimpijadi. V naslednjih
dveh letih je nato zaporedoma osvojilˇ se sre-
brno in zlato medaljo. V vsej zgodovini teh
tekmovanj ni bilo tako mladega prejemnika
zlate medalje! Pri dvajsetih je doktoriral
na Univerzi v Princetonu, se potem prese-
lil v Kalifornijo in pri ˇ stiriindvajsetih letih
postal redni profesor na znameniti univerzi
UCLA v Los Angelesu ter pri tem ponovno podrl starostni rekord; na tej
univerzi niso ˇ se nikoli imeli tako mladega rednega profesorja. Za svoja
matematiˇ cna odkritja je dobil ˇ stevilne nagrade. Omenimo samo Field-
sovo medaljo, ki jo je prejel leta 2006. Veˇ c podatkov o tem izjemnem
matematiku najdemo na in
 . Priporoˇ cam tudi obisk spletne strani
YouTube,kjerbostenedvomnouˇ zivalivogledunjegovegapredavanjaStruc-
ture and Randomness in the Prime Numbers.
Pri petnajstih letih, leta 1990, je napisal knjigo Solving mathematical
problems: a personal perspective; leta 2006 je izˇ sel ponatis pri zaloˇ zbi Ox-
ford University Press. V knjigi je zbral nekaj nalog iz matematiˇ cnih tekmo-
vanj. Vse naloge so elementarne, a razliˇ cnih teˇ zavnostnih stopenj. Avtor
predstavi reˇ sitve nalog s komentarji in obˇ casno dodaˇ se kakˇ sno sorodno na-
66 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 67 — #4
i
i
i
i
i
i
Solving Mathematical Problems
logo brez reˇ sitve. Teˇ zavnejˇ se naloge oznaˇ ci z eno ali dvema zvezdicama.
Knjiga je lansko leto priˇ sla v matematiˇ cno knjiˇ znico. Zaradi zvezdni-
ˇ skega imena avtorja sem jo na hitro prelistal. Natanˇ cno se spomnim, da se
mi je sluˇ cajno odprla na strani 43, kjer najdemo Problem 3.3. Ta je med
laˇ zjimi in reˇ sitev sem na hitro preletel ˇ ze v knjiˇ znici. Bil sem oˇ caran.
In hkrati zaprepaden. Precej bralcev Obzornika uˇ ci bodisi v zadnjih
razredih osnovne ˇ sole, bodisi v gimnazijah, zato dobro vedo, kaj lahko pri-
ˇ cakujejo od petnajstletnikov in tudi, kaj lahko priˇ cakujejo od izjemno na-
darjenih petnajstletnikov. Potem ko prebereˇ s to knjiˇ zico, postane vsaka ˇ se
tako
”
uˇ cena“ razlaga o razliki med nadarjenimi ljudmi in geniji odveˇ c.
Pri ˇ studiju matematike sreˇ camo ˇ stevilne globoke ideje. Vpraˇ samo se
lahko, kako so se porajale v glavah vrhunskih matematikov. Tega veˇ cinoma
ne moremo ugotoviti, saj so nam posredovane v izpiljeni obliki, ki zakriva
njihov postopni razvoj. Slediti deluˇ ziveˇ cih genialnih matematikov je teˇ zko,
sajˇ clovek potrebuje ogromno znanjaˇ ze za razumevanje njihovega dela zgolj
na formalnem nivoju. Le redki imajo dovolj talenta in znanja za resen
uvid v sodobno vrhunsko matematiko. Tu pa se, zaradi elementarne narave
problemov, zajetih v knjigi, ponuja ˇ sirokemu krogu matematikov enkra-
tna priloˇ znost
”
opazovati“ resniˇ cnega genija pri delu. Terenca Taa pogosto
imenujejo matematiˇ cni Mozart. K temu bi dodal, da je za matematika ne
prebrati te knjige podobno, kotˇ ce bi ljubitelj glasbeˇ zivel v letih 1781–1791
na Dunaju in zamudil vse Mozartove koncerte in opere.
Knjiga ponuja obilo estetskega uˇ zitka ob lepih idejah, ki so potrebne za
reˇ sitvepodanihproblemov. Zahtevnejˇ sibralecsebosevedaproblemovsprva
lotil sam. Niˇ c hudega, ˇ ce ne bo priˇ sel daleˇ c! Po vloˇ zenem naporu bo nav-
duˇ senje nad presenetljivimi potmi do reˇ sitev ˇ se toliko veˇ cje. Uˇ citeljem na
srednjihˇ solahboknjigaizjemnodobrodoˇ selpripomoˇ cekzapripravozanimi-
vih kroˇ zkov za najbolj nadarjene dijake. Njim je vsekakor treba priporoˇ citi
priˇ cujoˇ co knjigo v branje!
Najlepˇ se pri tej knjigi je podajanje reˇ sitev. Avtor nas ne seznani zgolj
z najbolj elegantno reˇ sitvijo. Ravno nasprotno, potrudi se podrobno razlo-
ˇ ziti svojo miselno pot do reˇ sitve skupaj z moˇ znimi poizkusi, ki ne vodijo
nikamor ali pa ne peljejo k lepi reˇ sitvi. Kot sam pravi, ima rad matematiko
preprosto zato, ker je zabavna. In seveda je jasno, da je zabavna le tedaj,
ko je elegantna. Za primer naj omenim kar prvi problem v knjigi, to je
Problem 2.1 na strani 11. Treba je dokazati trditev, da je med vsakimi 18
zaporednimi trimestnimiˇ stevili vsaj eno deljivo z vsoto svojihˇ stevk. Dokaz
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 67

i
i
“Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 68 — #5
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
trditvejedolgle7vrstic. Vknjigipasotemuproblemuposveˇ cenetristrani
in skoraj vsak stavek na teh treh straneh prinaˇ sa preseneˇ cenje.
Koberemgornjevrstice,senemoremizognitivpraˇ sanju,kolikomejepri
navduˇ senju zavedlo dejstvo, da je avtor eden najveˇ cjih zvezdnikov sodobne
matematike. Sajvsivemo,dasespodobi(ˇ seenkratistaprimera)bitioˇ caran
ob vsaki Mozartovi skladbi, pri kakˇ snem manj znanem skladatelju pa le
upamo priznati, da nam je kaj njegovega vˇ seˇ c, kaj drugega paˇ c ne. Toplo
vam priporoˇ cam, da knjigo preberete, in kaj kmalu vam bo jasno, da bi bila
knjiga obsojena na uspeh, tudi ˇ ce bi jo napisal Janez Novak (seveda, ˇ ce bi
bil ˇ cesa takega sposoben).
Za konec bom v nekoliko skrajˇ sani obliki povzel problema, ki sem ju
omenil zgoraj. Ta dva sodita med laˇ zje v knjigi, a tudi pri teˇ zjih je po-
treben nivo matematiˇ cnega znanja podoben, le premisleki so zahtevnejˇ si.
Zaˇ cnimo z:
 Pokaˇ zi, da je med vsakimi 18 zaporednimi trimestnimi ˇ stevili
vsaj eno deljivo z vsoto svojih ˇ stevk.
Avtor najprej ugotovi, da je to konˇ cen problem: obstaja natanko 900 tri-
mestnih ˇ stevil in zato lahko trditev preverimo z raˇ cunanjem. Taka reˇ sitev
ne zdrˇ zi osnovnih estetskih kriterijev.
Zapiˇ simo pogoj, da je trimestno ˇ stevilo deljivo z vsoto svojih ˇ stevk, s
formulo:
(a+ b+ c) |100a+10b+ c. (1)
Ni videti, da bi ta izraz lahko poenostavili ali na kakˇ sen smiseln naˇ cin pre-
vedli v drugo obliko. Seveda se vpraˇ samo, zakaj ravno 18 zaporednih tri-
mestnih ˇ stevil? Zakaj ne 13? Je tu kak skrit pomen?
Sledi nekaj eksperimentiranja s konkretnimi reˇ sitvami enaˇ cbe (1) vˇ zelji,
da bi opazili kaj uporabnega. Potem pa sledi preblisk! Kje sreˇ camo vsoto
ˇ stevk? Seveda, pri preverjanju deljivosti s ˇ stevilom 9.
ˇ
Stevili a+ b+ c in
100a+10b+ c imata isti ostanek pri deljenju z 9, saj je
100a+10b+ c=9(11a+ b)+(a+ b+ c).
Povrhu je 9 v tesni zvezi z 18 = 2·9. In potem se avtorju porodi ideja, da
bi namesto trditve:
Med vsakimi 18 zaporednimi trimestnimi ˇ stevili najdemo
vsaj eno, ki reˇ si (1),
68 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 69 — #6
i
i
i
i
i
i
Solving Mathematical Problems
poizkuˇ sali dokazati moˇ cnejˇ so trditev:
Med vsakimi 18 zaporednimi trimestnimi ˇ stevili najdemo
vsaj en veˇ ckratnik ˇ stevila 9, ki reˇ si (1).
Izkaˇ zese,dajetatrditevpravilna. Boljnaravno(glejformulacijoproblema)
bi bilo namesto veˇ ckratnikov ˇ stevila 9 v drugi trditvi vzeti kar veˇ ckratnike
ˇ stevila 18. Tudi ta trditev se izkaˇ ze za pravilno.
ˇ
Se veˇ c, tako formulirana
domnevaporodiidejozakratkoinelegantnoreˇ sitevzastavljenegaproblema.
Zapiˇ simo jo. Med 18 zaporednimi trimestnimi ˇ stevili obstaja natanko
enveˇ ckratnikˇ stevila18. Oznaˇ cimogaz abc
10
= 100a+10b+c. Iz18 | abc
10
sledi 9 | abc
10
in zato 9 | (a+ b+ c) po pravilu za preverjanje deljivosti s
ˇ stevilom 9. Ker so a, b in c ˇ stevke, je 1 ≤ a+ b+ c ≤ 27. Torej imamo
natanko tri moˇ znosti: a+ b+ c je bodisi 9, bodisi 18, bodisi 27. Zadnja
moˇ znost nastopi samo v primeru abc
10
= 999, ki pa ni veˇ ckratnikˇ stevila 18.
In zato je a+ b+ c bodisi 9 bodisi 18. V obeh primerih (a+ b+ c) | 18, in
ker 18 | abc
10
, imamo ˇ zeleno enaˇ cbo
(a+ b+ c) | abc
10
.
Avtor potem doda ˇ se nekaj komentarjev. Zapiˇ simo najpomembnejˇ sega.
Obstaja takih 17 zaporednih trimestnih ˇ stevil, da nobeno med njimi ni
deljivo z vsoto svojih ˇ stevk: od 559 do 575. In avtor mirno pove, da je
za iskanje zaporedja uporabil raˇ cunalnik in ne kakˇ snih zvitih matematiˇ cnih
idej.
Sedaj pa ˇ se:
 Naj bodo a, b, c taka realnaˇ stevila, da je a, b, c, a+b+c 6= 0
in
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+ b+ c
. (2)
Dokaˇ zi, da potem velja
1
a
5
+
1
b
5
+
1
c
5
=
1
(a+ b+ c)
5
. (3)
Na prvi pogled je problem videti enostaven. V konˇ cno mnogo korakih naj
bi enaˇ cbo (2) preoblikovali v (3). Prvi poizkus bi bil izraˇ cunati peti potenci
obeh strani enaˇ cbe (2). Dobimo enaˇ cbo, ki je podobna enaˇ cbi (3), le da v
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 69

i
i
“Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 70 — #7
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
njej nastopaˇ se cela mnoˇ zica
”
ˇ cudnih“ sumandov. In ni videti, da bi kakˇ sna
raˇ cunska manipulacija vodila h konˇ cni reˇ sitvi. Toliko o direktnem pristopu!
Dijake je treba veˇ ckrat opozarjati, naj v raˇ cunih ne uporabljajo enako-
sti (2), ker je napaˇ cna. In tu je prvi kljuˇ c do reˇ sitve! Zdi se,
da enakost (2) zelo omeji moˇ zne vrednosti ˇ stevil a,b,c. Kako? Da bi to
ugotovili, zapiˇ simo (2) na kak drug ekvivalenten naˇ cin. Skupni imenovalec
je dober zaˇ cetek. Dobimo
ab+ bc+ ac
abc
=
1
a+ b+ c
.
Potem pa ˇ se navzkriˇ zno mnoˇ zimo:
ab
2
+ a
2
b+ a
2
c+ ac
2
+ b
2
c+ bc
2
+3abc= abc. (4)
Kako iz te enaˇ cbe dobiti ˇ cim veˇ c informacij oˇ stevilih a, b, c? Ali jo znamo
reˇ siti? Avtor najprej pomisli na uporabo kakˇ snih neenakosti, npr. Cauchy-
Schwarzevealineenakostizaritmetiˇ cnimiingeometrijskimisredinami. Taka
pot bi bila morda prava, ˇ ce bi imeli omejitev, da so a, b, c pozitivni. Pa
niso, saj ˇ ce bi bili, bi bil 1/(a+ b+ c) manjˇ si od vsakega od sumandov na
levi strani enaˇ cbe (2) in ˇ se toliko bolj od njihove vsote.
Potem avtor naniza ˇ se nekaj moˇ znih pristopov. Naj omenim enega.
Na(4)lahkogledamokotnakvadratnoenaˇ cbozneznanko asparametroma
b in c. A ta enaˇ cba ni videti lahko reˇ sljiva, razen ˇ ce bi uporabili formulo za
niˇ cli kvadratne funkcije, v kateri pa nastopajo kvadratni koreni. S to idejo
je sicer mogoˇ ce priti do reˇ sitve. Kako, bo pozornemu bralcu jasno, ko bo
natanˇ cno premislil pot do reˇ sitve, ki je opisana spodaj.
ˇ
Zelimo reˇ siti enaˇ cbo
p(a,b,c)=0,
kjer je p polinom
p(a,b,c)= ab
2
+ a
2
b+ a
2
c+ ac
2
+ b
2
c+ bc
2
+2abc.
Kako poiskati niˇ cle polinoma? S faktorizacijo? Najprej opazimo, da se po-
linom ne spremeni, ˇ ce zamenjamo vloge spremenljivk a, b, c. Pravimo, da
je simetriˇ cen. Je homogen. In je tretje stopnje (srednjeˇ solsko znanje mate-
matike pove, da ima vsak polinom tretje stopnje v eni spremenljivki realno
niˇ clo in je zato deljiv z linearnim polinomom). Ali ima potem polinom p
linearen homogen faktor?
ˇ
Ce je odgovor pritrdilen, ali je potem kateri od
70 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“Alphabet” — 2010/6/29 — 11:46 — page 71 — #8
i
i
i
i
i
i
Solving Mathematical Problems
preprostih polinomov a+b, a−b, a, a+b+c, a+b−c, ... faktor v razcepu
polinoma p(a,b,c)? Lahko poizkusimo tudi s ˇ cim ne tako enostavnim, npr.
z a+2b. Atonividetitakolepoinvvsakemprimerulahkotovrstnemoˇ zno-
sti preizkusimo,ˇ ce preprostejˇ se ne bodo delovale. Zaˇ cnimo torej kar z a+b.
ˇ
Ce si mislimo, da je p(a,b,c) polinom v spremenljivki a s parametroma b
in c, hitro ugotovimo, da je a = −b niˇ cla. Potem pa mora biti p(a,b,c)
deljiv z a+ b. Ampak zaradi simetriˇ cnosti bi moral biti deljiv tudi z a+ c
in b+ c. In res, preprost raˇ cun pokaˇ ze, da je
p(a,b,c)=(a+ b)(a+ c)(b+ c).
Strnimo. Po predpostavki ˇ stevila a, b, c zadoˇ sˇ cajo enaˇ cbi (2). In potem
vemo, da mora biti p(a,b,c) = 0. Iz zgornje enaˇ cbe sledi, da je bodisi
a= −b, bodisi a= −c, bodisi b= −c. V vseh treh primerih velja (3)!
Peter
ˇ
Semrl
John A. Adam: A MATHEMATICAL NATURE WALK, Prince-
ton University Press, Princeton, New Jersey 2009, 250 strani.
PoljudnoznanstvenaknjigaMatematiˇ cna
naravoslovna pot bralcu razlaga, kako nam
lahko matematika pomaga opisati in poja-
sniti ˇ stevilne naravne pojave, s katerimi se
sreˇ cujemo na vsakem koraku, ˇ ce se le malo
sprehodimo in razgledamo po naravi.
ˇ
Zal
pa jih le redki sploh opazijo, ˇ se manj pa je
tistih, ki jih poskuˇ sajo tudi razumeti. Naj-
brˇ z se v sodobnem naˇ cinu ˇ zivljenja le ma-
lokdo vpraˇ sa, zakaj so taki, kot so. Avtor
knjige odgovarja ravno na tovrstna vpraˇ sa-
nja in nam poskuˇ sa usmeriti pozornost na
opazovanje, opisovanje in analizo naravnih
pojavov. Pri tem uporablja preproste ma-
tematiˇ cne modele, ki jih potem veˇ cinoma
obravnava z elementarno matematiko, le tu in tam pa poseˇ ze po infini-
tezimalnem raˇ cunu ali preprosti diferencialni enaˇ cbi.
Knjiga je napisana v premiˇ sljeni pogovorni obliki in nas vodi skozi 96
vpraˇ sanj, povezanih z vsakdanjimi naravnimi pojavi, ki se dogajajo okoli
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 71