i
i
“492-Vadnal-naslov” — 2009/6/10 — 9:30 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 8 (1980/1981)
Številka 3
Strani 146–150
Alojzij Vadnal:
SKAKALNICA V PLANICI
Ključne besede: fizika, matematika, analiza, uporaba klotoide, kon-
strukcija, smučarske skakalnice.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/8/492-Vadnal.pdf
c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
SKAKALNICA VPLANI CI
Smuč arska skak alnica v Pla ni-
c i j e sve t ovne ga pomena za
r a zvoj smučar s k ih pol etov.
Njen a konst r uk c ija pa za sl uži
pozornost t ud i z m a t ema tične­
ga i n fiz i kal ne ga vi d i ka , ke r
so na njenem vzd o l ž nem pr ofi-
l u nad vse ugodn o rešeni pro-
bl emi prehoda med odsek i z
raz l i č n im i krivin ami .
Na kr o žn i c i (sl .l ) z r ad i j em
r je krivi na k v vsa ki točki
e na ka rec i proč n i vr edn os t i ra
dija :
k = r
Pr i e nakom e r nem krož e nj u t el~
s a po kr ož nic i de l uj e nanj s 1
la f , ki pri d a n i masi in pr i
da ni hitrost i kaže pr ot i sr e -
d išč u kr oga in je obratno so -
razm e r na rad iju kro ga :
s
r
T
SI . 1 Krivina kr ož n i ce: k
T
Sl . Z Kr i vi na pr emi ce: k o
111"
oz i r oma premo s ora zme rna kr i -
v i n i kr ož ni ce :
F = ck
Pr; tem je c so r azmern o stn;
f a kt or, ki je d ol o čen z maso
in hitros t jo telesa .
s
Pre mi c o ( s l . 2) imamo lahk o za
14 6
S I . 3 Kriv i nsk i kr og
krožn ico z n esko nčno ve l i ki m
r ad i je m; za to j e kr i v in a k v
vs ak i nje ni t o č ki enaka O,
pa tudi sila F na te lo , ki se
giblje po premi c i , je e na ka O.
Vzemimo na kr iv ulj i K (s l .3)
pol j ubno t o č k o T. Ob krivu lj i
na r i š em o skozi točko T krožni
co kroga, ki se krivulji med
vsemi krožnicam i naj bolj pri-
lega; to pomeni, da se krivu -
lja i n krožni ca dotik a t a v dQ
t ikališču T , da imat a kr ivu-
l j a in krožn ic a v d oti kal išču
i st o ta nge nto t in da je kr i-
vi na kri vul j e v do t i ka l i š č u T
e naka kr iv in i krož nice . Ta
krog imen ujemo krivi ns ki kr og
kriv ulje v t o č ki T, njeg ov r9
d ij pa imen ujemo krivinski ra
d ij .
Ker sta .kr i v i n i kriv ul j e in
krožnice v točk i Tenak i, je
si la na telo, ki se z da no hi
t r os t jo gibl j e po kr iv ul j i,
ena ka s i l i F na tel o, ki se
gi bl j e po krož ni c i .
Pri projektira nj u že lezn ic ,
cest, smučarskih skakal nic
itd. se srečujemo s pr obl emom,
kako spojit i odseke z različ­
nimi krivinami , da bo prehod
z odseka na odsek čim bolj
usklajen in zato č i m ma nj ne -
prijeten al i ce lo ne va r en .
Ogle jmo si spoj pri pr e hodu s
premi ce na krožnico (s1.4);
sp oJ Je tak , da je premica
tangenta na krožnico v st i č i­
šču T . Tak spoj i ma dve ugod-
ni l astnost i : v s t i č t š č u tra-
s a ni pr e t r ga na inv sti či ŠČU
i ma t a oba spojena odseka skuQ
no ta nge nt o t. Glede kr i v in
pa j e t ak spoj neugode n i n z9
r ad i te ga l ahk o nep rijeten
a li ce lo ne va ren . V s t i č i š ču
ima n a mr eč premi ca krivino O,
kr ožn ic a pa kr ivino 1/r. Z9
to utrp i s ila F pri prehodu
gibajočega se te l esa sko zi
tak s poj skok. Ta skok post a-
ne l ahko , če je ve lik , nepri-
jeten in lahko tudi nevaren.
Pr i t a kem prehodu bi potnik v
vlaku z ačut i l m o č a n sunek,
s kaka lec na s m uč a r s k i skakal-
nici pa v nog ah hip en pr itisk,
ki bi zmanjš al va rno s t nje go-
veg a dosk oka .
Zarad i nenadnega skoka s i le F
se je tre ba i zog niti t akemu
s paja nj u odsek ov z različnimi
kr ivi nami. Iz ognemo s e t ako,
da vs tav i mo med oba spojena
odseka od s ek , ki ima na za č e
tku kr i v i no pr vega , na koncu
pa kr iv i no drugeg a odseka i n
na ka te r em se krivina zvezno
tj. brez skokov spreminja.
Kot vmesne odseke upora blja-
147

x
r
S ,,""---,-
T
»::'>.
/ "-
/ \
! \
I S \
\
\
\
\ -,
",-
p
y
TI l
I
I
Sl . 6 Kloto i da
Sl. 4 Spoj premice in kr ožn i ce
SI. 5 Spoj premice s krožni co z
vmesni m l okom kl oto id e
premica
-.L---_.........:;;;.;..,.,"'O-~ _
mo v ta namen raz ne kr ivulje;
pr i s m učarski h skaka l nica h
upor a bl j a j o v ta na men z lasti
kloto ido.
Zaradi te konstrukc ije vzdo l~
nega profi la je skakalnica
zgrajena t ako , da se s i l a tal ,
Klo toi do (s l .5) od likuje l a s !
nos t , da se njena kriv ina od
točke do točke zve zno spremi-
nj a . V prevojn i t o č k i P ima
klo to i da kriv i no O; g r e d oč od
prevojne t o č k e pro t i des ni na
rašča kr iv i na zve zno; zat o s e
zav i ja kl otoid a s pi r a ln o pro -
t i as im pto tič n i točki Aj . Gr~
doč pro t i l evi od prevo j ne tQ
čke pa se kl ot oi d a spira lno
zavija pro t i asim ptot i čn i to ~
ki A 2 .
Zarad i t eh od l ik so kloto i do
upor ab ili kons tr uk torj i pla ni
ške skaka l nice pri do ločeva­
nj u nje nega vzdo lžnega prof i-
l a (s l .7). V na le tu je zgor -
nji p remočrtn i odse k (r = oo)
povezan z l okom klo toide s
srednj im krož ni m odsekom
(r = 120 ml; ta krožni l ok pa
je na t o povezan z l okom klo to
ide z odskoč no mi zo (r = oo ) .
V iztek u je zgornj i krožn i
lok (r = 140 m) povezan z l o-
kom kloto ide z ravn im odsekom
(r = oo ) .
149
k-i ut inkuje  R a  skata lca ,  spresinjs svezno, t j .  b r ~ a  skokov; s 
ten pa Is Qzpolnfen varen f l z f k a l n f  pogoj z a  varnost potetov .  
Li  Seratufa 
111 V. Serbac, A. Movak: Planfca 193G - 1969. Kcmistfa na tisk On prmpa- 
gacsia prl Organiz*IJsb kanitaiv Plarnlca,  Ljubl arr~ 1969. 
121 D. Ulaga. E. Urek. h i ldmtn; P l n l r a .  Ilsdlnska k.Jtglps. I j ub l j a r .  
f373- 
131 8.8. savalov: Revntnslre kriwlJa. Rodarm matsnsatika. Zaqreb 1979.