i
i
“2-4-Oblak-Naloga” — 2010/5/11 — 10:51 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 2 (1974/1975)
Številka 4
Strani 184–185
Franci Oblak:
NALOGA O PROMETU
Ključne besede: matematično razvedrilo, matematika, graf.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-4-Oblak-naloga.pdf
c© 1975 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NALOGA O PROMETU
V mestu je predel, za katerega velja naslednje:
l. Poljubni dve ulici tvorita vsaj e no križišče.
2. Poljubni dve ulici tvorita največ eno križišče.
3. Poljubno križišče je vsa j na dveh ulicah.
4. Poljubno križišče je največ na dveh ulicah.
5. Ulice so štiri.
Zaradi ureditve prometa ob prometni konici v tem mestnem pre-
delu pošlje komandant milice v vsako križišče po enega milični­
ka. Vprašanja, na katera je treba odgovoriti (in odgovore ute-
meljiti), so naslednja:
l. Ali je kakšna ulica v tem predelu, kjer ni miličnika?
2. Koliko ulic hkrati nadzoruje vsak miličnik?
3. Koliko miličnikov je za to potrebno?
4. Koliko miličnikov je v vsaki ulici?
5. Koliko miličnikov vidi vsak izmed miličnikov, ki stoje v
križiščih, če so ulice ravne, tako da ima vsak miličnik pregled
samo po ulicah, v križišču katerih stoji?
6 . Koliko miličnikov pa ne vidi vsak izmed njih?
7. Katerega miličnika ne vidi vsak izmed njih?
8. Kakšen je načrt tega mestnega predela in kako so v njem
postavljeni miličniki?
REŠITEV
l. Na vsaki ulici je vsaj en miličnik. Iz točk l. in 2 nam-
reč sledi, da tvorita vsaki dve ulici natanko eno križišče, a
komandant je poslal v vsako križišče po enega miličnika.
2. Vsak miličnik nadzoruje hkrati natanko dve ulici. Iz za-
htev 3. in 4. točke sledi, da je vsako križišče natanko na dveh
ulicah.
3. Za ta predel je potrebno 6 miličnikov. Iz zahteve 5. toč­
ke namreč sledi, da so štiri ulice, ki jih označimo 1, II, III
in IV. Ker imata vsaki dve ulici natanko eno križišče, kjer je
miličnik, lahko označimo miličnike, ki so v križišču 1 in II u-
lice z Ml ' 1 in III ulice z M 2' 1 in IV ulice z M 3' II in III
184
ulice z M4, II in IV ulice z MS in I I I in IV ulice z MG' To p a
j e edi n a možnost, ker po zahtevi točke 2 poljubni u l ic i tvor i t a
na j več eno križišče, vsako križi šče pa j e največ na dveh u l i c a h .
4. V v s aki uli c i so nat a n k o t ri križišča z miličniki. Po pre-
jšnjem odgovoru so miličniki v križiščih: 1 in II , 1 i n III, 1
in IV, II in III, II in IV, III in IV. Na cesti 1 s o torej mi li č ­
n i k i Ml ' M2 , M3, na cesti II miličniki Ml ' M4 , MS' na c e s t i III:
M2, M4 , MG' in na c e s t i I V miličniki M3 , MS in MG '
S . Vs a k miličnik vidi na tanko š tiri mi l ičn i ke. Ker je namreč
v križišču nata n ko dveh ul ic, ima pre g led nad nj ima in vidi v
vsaki še po dve križišči: 2 x 2 = 4.
G. Vs ak od miličnikov t orej n e vidi nata nko e nega. Po o dgo -
voru točke S vid i namreč 4, on sam j e peti, v seh miličnikov pa
je G.
7 . Ml ne vid i MG' M2 ne vidi MS' M3 ne v idi M4 in o b r a t no .
8 . N ačrt mestnega predela pa j e tak:
Fr an c i Ob l a k