i i “2-4-Oblak-Naloga” — 2010/5/11 — 10:51 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 2 (1974/1975) Številka 4 Strani 184–185 Franci Oblak: NALOGA O PROMETU Ključne besede: matematično razvedrilo, matematika, graf. Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-4-Oblak-naloga.pdf c© 1975 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2009 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. NALOGA O PROMETU V mestu je predel, za katerega velja naslednje: l. Poljubni dve ulici tvorita vsaj e no križišče. 2. Poljubni dve ulici tvorita največ eno križišče. 3. Poljubno križišče je vsa j na dveh ulicah. 4. Poljubno križišče je največ na dveh ulicah. 5. Ulice so štiri. Zaradi ureditve prometa ob prometni konici v tem mestnem pre- delu pošlje komandant milice v vsako križišče po enega milični­ ka. Vprašanja, na katera je treba odgovoriti (in odgovore ute- meljiti), so naslednja: l. Ali je kakšna ulica v tem predelu, kjer ni miličnika? 2. Koliko ulic hkrati nadzoruje vsak miličnik? 3. Koliko miličnikov je za to potrebno? 4. Koliko miličnikov je v vsaki ulici? 5. Koliko miličnikov vidi vsak izmed miličnikov, ki stoje v križiščih, če so ulice ravne, tako da ima vsak miličnik pregled samo po ulicah, v križišču katerih stoji? 6 . Koliko miličnikov pa ne vidi vsak izmed njih? 7. Katerega miličnika ne vidi vsak izmed njih? 8. Kakšen je načrt tega mestnega predela in kako so v njem postavljeni miličniki? REŠITEV l. Na vsaki ulici je vsaj en miličnik. Iz točk l. in 2 nam- reč sledi, da tvorita vsaki dve ulici natanko eno križišče, a komandant je poslal v vsako križišče po enega miličnika. 2. Vsak miličnik nadzoruje hkrati natanko dve ulici. Iz za- htev 3. in 4. točke sledi, da je vsako križišče natanko na dveh ulicah. 3. Za ta predel je potrebno 6 miličnikov. Iz zahteve 5. toč­ ke namreč sledi, da so štiri ulice, ki jih označimo 1, II, III in IV. Ker imata vsaki dve ulici natanko eno križišče, kjer je miličnik, lahko označimo miličnike, ki so v križišču 1 in II u- lice z Ml ' 1 in III ulice z M 2' 1 in IV ulice z M 3' II in III 184 ulice z M4, II in IV ulice z MS in I I I in IV ulice z MG' To p a j e edi n a možnost, ker po zahtevi točke 2 poljubni u l ic i tvor i t a na j več eno križišče, vsako križi šče pa j e največ na dveh u l i c a h . 4. V v s aki uli c i so nat a n k o t ri križišča z miličniki. Po pre- jšnjem odgovoru so miličniki v križiščih: 1 in II , 1 i n III, 1 in IV, II in III, II in IV, III in IV. Na cesti 1 s o torej mi li č ­ n i k i Ml ' M2 , M3, na cesti II miličniki Ml ' M4 , MS' na c e s t i III: M2, M4 , MG' in na c e s t i I V miličniki M3 , MS in MG ' S . Vs a k miličnik vidi na tanko š tiri mi l ičn i ke. Ker je namreč v križišču nata n ko dveh ul ic, ima pre g led nad nj ima in vidi v vsaki še po dve križišči: 2 x 2 = 4. G. Vs ak od miličnikov t orej n e vidi nata nko e nega. Po o dgo - voru točke S vid i namreč 4, on sam j e peti, v seh miličnikov pa je G. 7 . Ml ne vid i MG' M2 ne vidi MS' M3 ne v idi M4 in o b r a t no . 8 . N ačrt mestnega predela pa j e tak: Fr an c i Ob l a k