Ventil 5 / 2025 • Letnik 31 286 OPTIMIZACIJA ELEKTRIČNIH STROJEV 1 Uvod Električni stroji so eden od temeljev sodobne druž- be, saj proizvajajo električno energijo in poganjajo gospodinjske aparate, električna orodja, električna vozila in industrijsko opremo [1, 2]. V zadnjih letih je bila velika pozornost namenjena sinhronskim strojem s trajnimi magneti (SSTM), ki izstopajo po svoji visoki gostoti moči in učinkovitosti [3]. Zmogljivost elek- tričnih strojev se meri s pomočjo ključnih kazalnikov uspešnosti (ang. Key Performance Indicators – KPI), kot so moč, izkoristek, stroški, masa, … KPI-ji zagota- vljajo celovit pregled nad delovanjem stroja in pred- stavljajo glavno vodilo pri izboljšavah obstoječih za- snov ali pri načrtovanju novih električnih strojev [4]. Da bi dosegli čim boljšo obstoječo zasnovo gle- de na izbrane KPI-je, je treba izvesti večkriterijsko optimizacijo, kot to prikazujejo [5, 6]. V takšnem postopku moramo obravnavati več kriterijev hkrati, vključevati različne omejitve in z ustrezno izbranimi parametri celovito zajeti prostor možnih rešitev. Pomembno je zagotoviti povezavo med kriteriji v skladu s KPI-ji in geometrijskimi parametri v obliki kriterijskih funkcij. Najbolj natančen način za izra- čun KPI-jev predstavlja numerični izračun z metodo končnih elementov (MKE), dopolnjen z različnimi postopki naknadne obdelave pridobljenih podat- kov [7, 8]. Takšen pristop je mogoče razširiti tudi z vključitvijo termičnih in mehanskih modelov, kar omogoča večfizikalno oz. večdomensko vredno- tenje in s tem celostno analizo električnih strojev [9, 10]. Ker pa je podrobna analiza modela MKE ra- čunsko zelo zahtevna, neposredna uporaba takšnih modelov v večkriterijski optimizaciji pogosto ni iz- vedljiva. Zato se v praksi uporabljajo nadomestni modeli oz. metamodeli, ki na podlagi omejenega števila analiz modela MKE omogočajo hitro oceno KPI-jev v danem prostoru možnih rešitev ter s tem bistveno pohitrijo proces optimizacije [5, 11–13]. V nadaljevanju smo sistematično predstavili posto- pek priprave večkriterijske optimizacije električnih strojev, ki je na koncu ponazorjen s primerom op- timizacije SSTM ter analizo pridobljenih rezultatov. 2 Optimizacija Optimizacija je ključno orodje pri razvoju električnih strojev, saj omogoča doseganje najboljših možnih izkoristkov, moči in drugih ključnih lastnosti stroja [3, 14]. V nadaljevanju predstavljamo osnovne kora- ke za uspešno optimizacijo električnega stroja: A. splošna opredelitev optimizacijskega problema, B. določitev KPI-jev in omejitev [15], C. formulacija optimizacijskega problema [16], D. določitev prostora možnih rešitev, E. modeliranje in F. pridobitev rešitve. dr. Mitja Garmut, mag. inž. el, izr. prof. dr. Martin Petrun, univ. dipl. inž. el., oba Univerza v Maribo- ru, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko © The Authors 2025. CC-BY 4.0 https:/ /doi.org/10.5545/Ventil-31-2025-5.10 m etoDolo Ški pristop k večkri – teriJski optimizaciJi električnih stro Jev s praktičnim primerom Mitja Garmut, Martin Petrun Strokovni članek Izvleček: V prispevku predstavljamo metodološki pristop k večkriterijski optimizaciji električnih strojev, ki vklju- čuje opredelitev problema, izbiro ključnih kazalnikov uspešnosti ter omejitve, določitev prostora možnih rešitev, oblikovanje kriterijskih funkcij, modeliranje in pridobitev rešitev. Na primeru sinhronskega stroja s trajnimi magneti smo prikazali možnost hkratnega povečanja moči in zmanjšanja stroškov glede na referenčno zasnovo. V rezultatih smo prikazali učinkovitost pristopa, ki omogočajo izbiro optimalne za- snove glede na zahteve aplikacije. Ključne besede: električni stroj, ključni kazalniki uspešnosti (KPI-ji), večkriterijska optimizacija, Paretova krivulja Ventil 5 / 2025 • Letnik 31 Predstavljeni koraki si v splošnem sledijo eden za drugim, vendar se skozi postopek oblikovanja ce- lotnega optimizacijskega problema iterativno nad- grajujejo in izboljšujejo. 2.1 Korak A – opredelitev optimizacijskega problema V prvem koraku optimizacijskega postopka najprej podamo splošen pregled in jasno opredelimo glav- ni cilj problema. S tem postavimo trdne temelje za smiselno načrtovanje in učinkovito izvedbo vseh nadaljnjih korakov. Ker je ta korak tesno povezan s specifično naravo posameznega problema, ga moramo v vsakem primeru posebej prilagoditi. V poglavju 3 podrobno predstavimo obravnavani op- timizacijski problem, pri čemer se osredotočimo na električni pogon – natančneje na zasnovo SSTM v kombinaciji z vodenjem pogona. Primarni cilj optimizacije je izboljšati dva ali več KPI- -jev, na primer povečati moč stroja in hkrati zmanj- šati stroške. V praksi se večkriterijska optimizacija pogosto omeji na dva kriterija. Že pri dveh kriterijih se zahtevnost reševanja problema v primerjavi z enokriterijsko optimizacijo občutno poveča, pri več kot dveh pa eksponentno rasteta računska zahtev- nost in čas optimizacije. Sekundarni cilj je oblikovati nabor optimalnih rešitev v obliki t. i. Paretove kri- vulje, ki prikazuje kompromisne rezultate med iz- branimi KPI-ji. Tak pristop daje načrtovalcu strojev večjo fleksibilnost pri odločanju in možnost izbire najbolj primerne zasnove stroja glede na konkretne zahteve aplikacije. 2.2 Korak B – določitev KPI-jev in omejitve Določitev ustreznih KPI-jev in omejitev je ključnega pomena za uspešno izvedbo optimizacijskega po- stopka. KPI-ji morajo zajemati tiste lastnosti stroja, ki najbolje odražajo njegovo zmogljivost, učinko- vitost, zanesljivost in ekonomsko upravičenost. Pri tem jih je treba jasno definirati in natančno ovre- dnotiti, tako da celovito opisujejo obnašanje stro- ja v vseh relevantnih delovnih režimih. V kontekstu optimizacije električnih strojev so med najpogoste- je uporabljenimi KPI-ji naslednji [17]:  m – skupna masa stroja, ki vpliva na skupno težo končnega izdelka,  C – strošek uporabljenih materialov stroja, ki določa proizvodne stroške in konkurenčnost na trgu,  η – izkoristek pretvorbe energije,  P – termično stabilna moč, ki določa največjo termično stabilno izhodno moč,  τ e – povprečni elektromagnetni navor, ki vpliva na zmogljivost stroja pri določeni hitrosti in  τ Δ – valovitost navora, ki povzroča mehanske vi- bracije, hrup in pospešuje obrabo komponent. Na drugi strani pa so za učinkovito optimizacijo enako ključne jasno opredeljene omejitve. Brez njih bi bil optimizacijski problem preveč kompleksen in pogosto nerešljiv. Omejitve na eni strani določa- jo fizikalne, tehnološke ali varnostne meje, znotraj katerih mora rešitev ostati, kar bistveno prispeva k realnosti in uporabnosti dobljenih rezultatov. Hkrati pa je treba že vnaprej ustrezno omejiti obseg pro- blema, da zagotovimo njegovo rešljivost. V praksi to pomeni, da se optimizacija pogosto osredotoči le na izbrane podsisteme – na primer zgolj na elek- trični stroj znotraj celotnega pogona – medtem ko druge fizikalne podsisteme, kot so hlajenje, bate- rijsko napajanje ali mehanski prenos, obravnavamo kot vnaprej definirane oziroma kot robne pogoje. 2.3 Korak C – formulacija optimizacijskega problema Ko smo določili KPI-je in omejitve, smo pripravljeni oblikovati optimizacijski problem. Zaradi nasprotu- jočih si ciljev, kot sta večja moč in nižja cena, smo uporabili pristop večkriterijske optimizacije. Večkriterijska optimizacija namesto ene funkcije obravnava več funkcij, pri čemer zagotovi množico optimalnih rešitev – t. i. Paretovo krivuljo. Večkrite- rijsko optimizacijo predstavimo z naslednjo formu- lacijo, dano z (1) min 𝒙𝒙 𝐹𝐹 𝑖𝑖 (𝒙𝒙 ) , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 F ob upoštevanju { 𝐺𝐺 𝑗𝑗 (𝒙𝒙 ) ≤ 0, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁 G 𝐻𝐻 𝑘𝑘 (𝒙𝒙 ) = 0, 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑁𝑁 H 𝒙𝒙 l ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝒙𝒙 u (1) min 𝒙𝒙 { −𝑃𝑃 (𝒙𝒙 ) 𝐶𝐶 (𝒙𝒙 ) ob upoštevanju { 𝐴𝐴 cool (𝒙𝒙 ) 𝐴𝐴 cool ,ref − 1 ≤ 0.1 𝒙𝒙 l ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝒙𝒙 u (2) (1) kjer so F i (x) kriterijske funkcije, ki zagotavlja pove- zavo med KPI-ji in konstrukcijskimi parametri stroja x, ki definirajo zasnovo stroja. G j (x) so funkcije ne- enakostnih omejitev in H k (x) so funkcije enakostnih omejitev. Prostor možnih rešitev je določen s spo- dnjo x l in zgornjo mejo x u konstrukcijskih parame- trov stroja x. Večkriterijski optimizacijski pristop zahteva napre- dnejše optimizacijske algoritme, saj vključuje doda- tna ovrednotenja kriterijskih in omejitvenih funkcij. Posledično so časi izračuna bistveno daljši v pri- merjavi z enokriterijskim pristopom. Zato je zmanj- šanje časa, potrebnega za vrednotenje kriterijskih in omejitvenih funkcij, ključno v kontekstu večkrite- rijske optimizacije. 2.4 Korak D – določitev prostora mo- žnih rešitev Za uspešno optimizacijo moramo prostor možnih rešitev natančno določiti in ustrezno omejiti. Če je preozek, lahko spregledamo globalni optimum. Če je preširok, pa se čas računanja močno poveča. Pri optimizaciji električnih strojev se najpogosteje OPTIMIZACIJA ELEKTRIČNIH STROJEV 287 Ventil 5 / 2025 • Letnik 31 288 osredotočamo na spreminjanje geometrije prese- ka železnega jedra statorja in rotorja, kot prikazuje sika 1, čeprav lahko vključimo tudi druge konstruk- cijske parametre, kot je navitje. Najpogosteje uporabimo parametrično geometrijo, kjer sta obliki oz. zasnovi rotorja in statorja opisani s pomočjo parametrov. Pri tem je pomembno, da ohranimo čim manjše število parametrov, ki pa še vedno omogočajo dovolj raznolikih rešitev, in za- gotovimo, da sprememba posameznega parametra ne vpliva nekontrolirano na druge parametre. Zelo priporočljivo je izvesti analizo občutljivosti, saj ta pokaže, kako posamezni parametri vplivajo na vrednosti KPI-jev in omejitev. Na podlagi rezultatov lahko nato izberemo najprimernejše parametre, ki se med optimizacijo spreminjajo [5, 18]. Neparametrična optimizacija geometrije pa pred- stavlja alternativo, kadar geometrija stroja ni vnaprej določena ali ko raziskujemo nove topologije. Ti pri- stopi temeljijo na strukturnih parametrih namesto na klasičnih geometrijskih dimenzijah ter pogosto upo- rabljajo metode, kot so binarna optimizacija [19]. 2.5 Korak E – modeliranje Za optimizacijo električnih strojev uporabljamo eksperimentalno preverjene modele, ki povezujejo parametre x z vrednostmi KPI-jev [20, 21]. V pra- ksi pogosto uporabimo večfizikalne oz. večdomen- ske modele z ločeno elektromagnetno, termično in mehansko obravnavo [8, 22–24]. Šibka sklopitev ali vzporedna uporaba fizikalnih podsistemov omo- goča dobro ravnovesje med točnostjo in računsko učinkovitostjo, kar omogoča njihovo uporabo v op- timizacijskih algoritmih – v nasprotju z močno sklo- pljenimi večfizikalnimi modeli, ki so pogosto preveč računsko zahtevni. V številnih primerih se osredotočimo le na elektro- magnetni podsistem, medtem ko termične in me- hanske omejitve upoštevamo posredno, na primer omejitev največjega dovoljenega toka. Elektroma- gnetno analizo izvajamo z MKE, saj omogoča točno modeliranje nasičenja, izračun elektromagnetnega navora ter oceno izgub v železu, medtem ko so analitični modeli pogosto manj točni [25]. T ermično analizo pogosto izvedemo z analitičnimi pristopi, kot so modeli s koncentriranimi parametri, kadar je primarni fokus na elektromagnetnem podsistemu [9]. Uporabiti je mogoče tudi termični MKE, zdru- žen z modeli fluidne dinamike, vendar je tak pristop računsko zelo zahteven in zato pogosto neprime- ren za optimizacijske postopke. Za celovito oceno električnega pogona je treba analizirati stroj skupaj z vodenjem in razsmernikom [26]. Čeprav neposredna povezava razsmernika z elektromagnetnim MKE omogoča visoko točnost, je tak pristop za optimizacijske namene pogosto preveč zahteven. Zato pri optimizaciji raje uporabi- mo MKE, ki vključuje vplive vodenja in razsmernika na delovanje stroja v poenostavljeni obliki. 2.6 Korak F – pridobitev rešitve Pri iskanju optimalne rešitve uporabljamo determi- nistične (npr. gradientne metode) ali stohastične metode (npr. genetski algoritmi, diferencialna evo- lucija) [27]. Zaradi izrazite nelinearnosti pri analizi električnih strojev so stohastične metode pogosto primernejša izbira, saj se lahko izognejo lokalnim minimumom. Metodologija načrtovanja poskusov (angl. Design of Experiments – DOE) se pogosto uporablja za oceno vpliva vhodnih parametrov x na vrednosti KPI-jev. Čeprav ne ponuja neposredne rešitve op- timizacijskega problema, služi kot osnovna podat- kovna zbirka za učenje nadomestnih modelov, ki so kasneje vključeni v optimizacijo [3, 11, 15]. Ker kriterijske funkcije običajno vključujejo račun- sko zahtevne simulacije MKE, za izboljšanje račun- ske učinkovitosti uporabimo različne pristope:  Simetrije: Z izkoriščanjem geometrijskih in ele- ktromagnetnih simetrij zmanjšamo število po- trebnih simulacij in velikost modelov MKE [8].  Nadomestno modeliranje: Nadomestni modeli, trenirani na manjšem številu podatkov (pogosto pridobljenih z MKE), omogočajo hitro ocenjeva- nje vrednosti KPI-jev.  Interpolacija: S pomočjo interpolacije ocenjuje- mo obratovalne točke, ki niso bile neposredno ovrednotene z analizo MKE [28].  Paralelno računanje: Razdelitev računskih nalog na več jeder ali računalnikov bistveno pospeši optimizacijski proces ali zbiranje podatkov za treniranje nadomestnih modelov. OPTIMIZACIJA ELEKTRIČNIH STROJEV d r,q /2 d r,y d s,y d s,t d s,x r s , in α s,v θ si metri ja A cool A w A sl ot + d w Slika 1 : Parametrični model referenčnega SSTM Ventil 5 / 2025 • Letnik 31 289 3 Rezultati 3.1 Predstavitev problema Korak A V okviru optimizacije smo obravnavali vektorsko voden SSTM, ki uporablja trifazno koncentrirano navitje, razporejeno v šest statorskih utorov, kot je prikazano na sliki 1. V rotorju so vgrajeni štirje no- tranji trajni magneti, kar omogoča generiranje tako magnetnega kot reluktančnega navora. Stroj je bil sestavni del kompleksnega mehatron- skega sistema, ki vključuje baterijo, napetostni pre- tvornik, vodenje s povratnima zankama za tok in položaj rotorja, mehanski reduktor ter hladilni sis- tem [29]. Zaradi visoke kompleksnosti celotnega sistema smo se pri optimizaciji osredotočili zgolj na izbrane podsisteme – torej na stroj v kombinaciji z njegovim vodenjem. Ker je bil sistem že vnaprej do- bro definiran in uravnotežen, smo ključne parame- tre ohranili nespremenjene: delovno območje stro- ja (navor in hitrost) smo ustrezno omejili, hladilni podsistem smo ohranili, prav tako pa smo nespre- menjen ohranili tudi napetostni nivo baterijskega napajanja. Korak B, C in D Glavni cilj optimizacije je bil povečati izhodno moč stroja P ob hkratnem znižanju stroškov C . Sekun- darni cilj je bil pridobiti nabor optimalnih rešitev v obliki Paretove krivulje, ki omogoča izbiro med raz- ličnimi kompromisi med močjo in ceno. Večkriterijsko optimizacijo smo formalno definirali z (2) min 𝒙𝒙 𝐹𝐹 𝑖𝑖 (𝒙𝒙 ) , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 F ob upoštevanju { 𝐺𝐺 𝑗𝑗 (𝒙𝒙 ) ≤ 0, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁 G 𝐻𝐻 𝑘𝑘 (𝒙𝒙 ) = 0, 𝑘𝑘 = 1, … , 𝑁𝑁 H 𝒙𝒙 l ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝒙𝒙 u (1) min 𝒙𝒙 { −𝑃𝑃 (𝒙𝒙 ) 𝐶𝐶 (𝒙𝒙 ) ob upoštevanju { 𝐴𝐴 cool (𝒙𝒙 ) 𝐴𝐴 cool ,ref − 1 ≤ 0.1 𝒙𝒙 l ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝒙𝒙 u (2) (2) kjer smo hkrati minimizirali negativno vrednost največje izhodne moči stroja ter skupno ceno vseh aktivnih delov stroja (stator, rotor, magnet in na- vitje). Neenakostna omejitev je bila uporabljena z namenom zagotoviti, da hladilni presek A cool pri op- timalnih izvedbah stroja ne preseže 10 % referenč- ne vrednosti A cool,ref . Ta omejitev skupaj z največjim dovoljenim statorskim tokom I s,max zagotovi termič- no stabilne zasnove. Slika 1 in Tabela 1 prikazujeta 8 parametrov x, ki so določili prostor možnih reši- tev optimizacijskega problema in so parametrično spreminjali celotno geometrijo prereza statorskega in rotorskega jedra ter posledično navitje. r s,in je no- tranji premer statorja, d r,q je debelina mostička v q- -osi rotorja, d r,y določa pozicijo magneta v rotorju, A pm je površina trajnega magneta, d s,y in d s,t sta de- belini jarma in zoba statorja, d s,x je višina pola sta- torskega zoba in α s,v je kot odprtine utora. Korak E in F Povezavo med parametri x in KPI-ji smo vzpostavili s pomočjo MKE. Geometrijo stroja smo prilagajali s parametri x, analiza na osnovi MKE pa je omogoča- la izračun magnetnih sklepov in navora v različnih delovnih točkah. Pridobljene vrednosti smo nato uporabili v analitičnih modelih za oceno največje izhodne moči stroja P. Stroški C in hladilni presek A cool so bili neposredni rezultati parametričnega modela. Glavno orodje za oceno obratovanja stroja je bila analiza MKE, podrobnosti implementacije pa lahko najdete v [11, 14]. Za izvedbo optimizacije na osebnem računalni- ku smo uporabili več pristopov za zmanjšanje ra- čunskih zahtev. Najprej smo izkoristili geometrij- sko simetrijo stroja in v modelih MKE simulirali le polovico modela. Nato smo za eno delovno točko analizirali zgolj 1/6 električne periode pri petih raz- ličnih električnih kotih, s čimer smo dodatno zmanj- šali število potrebnih simulacij modelov MKE. Na- dalje smo razvili nadomestne modele, osnovane na nevronskih mrežah, ki smo jih trenirali z naborom podatkov, pridobljenih iz analiz MKE. Optimizacijo smo nato izvedli na nadomestnih modelih, ki so bili hkrati natančni in računsko učinkoviti, kar je omo- gočilo izvedbo večkriterijske optimizacije znotraj razumnega časa izvajanja. Model MKE je bil imple- mentiran v simulacijskem orodju Ansys Maxwell, medtem ko so bile vse ostale naloge: od upravljanja modela in postprocesiranja do zbiranja podatkov, gradnje nadomestnih modelov in izvedbe optimi- zacije izvedene v Matlabu. Skupno je bilo za učenje nadomestnih modelov zbranih približno 1500 za- snov strojev. Ovrednotenje posamezne zasnove je trajalo približno 2–3 minute, kar pomeni okoli tri dni zbiranja podatkov na standardnem računalniku, pri čemer se lahko zbrani podatki ponovno uporabijo. Uporabili smo večkriterijski genetski algoritem NSGA-II, ki omogoča hkratno iskanje kompromisnih rešitev med več kriteriji [30]. Največje število ge- neracij smo določili na 250, velikost populacije na generacijo pa na 100. Sama optimizacija z nadome- stnimi modeli je trajala približno 2–3 ure. 3.2 Rezultati optimizacije Slika 2 prikazuje dobljeno Paretovo krivuljo opti- malnih rešitev za predstavljeno večkriterijsko op- timizacijo, dano z enačbo (2) skupaj z referenčno zasnovo in naborom podatkov, uporabljenih za tre- niranje nadomestnih modelov. Ciljna funkcija -P je dala razpon rešitev, pri katerih se je moč povečala OPTIMIZACIJA ELEKTRIČNIH STROJEV Tabela 1 : Parametri, ki definirajo presek železnega jedra statorja in rotorja SSTM x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 r s,in d r,q d r,y A pm d s,y d s,t d s,x α s,v Ventil 5 / 2025 • Letnik 31 290 za približno 9 % oziroma zmanjšala za več kot 55 % glede na referenčno zasnovo. Strošek C se je med rešitvami tudi spreminjal: povečal se je za 5,5 % ali zmanjšal za 18 %. Vse rešitve na Paretovi krivulji niso izboljšale obeh kriterijev hkrati – nekatere so povečale moč, druge zmanjšale strošek, tretje pa so ponujale izboljšave v obeh kriterijih. Iz slike 2 je jasno viden kompromis med obema ciljnima funkcijama: povečanje moči pogosto vodi k višjim stroškom, medtem ko zni- žanje stroškov pomeni nižjo moč. Skrajne točke na fronti prikazujejo zasnove z minimalnimi stroški ali največjo močjo, medtem ko srednji del fronte pred- stavlja uravnotežene kompromisne rešitve. V pri- merjavi z referenčno zasnovo številne zasnove na fronti ponujajo očitne izboljšave, kar potrjuje učin- kovitost uporabljenega optimizacijskega postopka. Tovrstna analiza omogoča projektantu izbiro reši- tve glede na prioritete, če je cilj povečanje moči, so ustrezne rešitve na levi strani fronte, če je cilj mini- mizacija stroškov, so bolj primerne rešitve na desni. 4 Zaključek Metodološki pristop k večkriterijski optimizaciji električnih strojev, ki smo ga predstavili, omogoča sistematično obravnavo problema od izbire KPI-jev in omejitev do oblikovanja kriterijskih funkcij, dolo- čitve prostora možnih rešitev, modeliranja in prido- bitve rešitev. Na praktičnem primeru SSTM smo prikazali, da predstavljena metodologija omogoča učinkovito is- kanje optimalnih rešitev. Z dobljeno Paretovo krivu- ljo smo pokazali, da se moč stroja lahko poveča za približno 9 % ali pa zmanjša strošek do 18 %. Hkrati pa smo pridobili nabor rešitve, ki hkrati izboljšajo oba KPI-ja v primerjavi z referenčno zasnovo Viri [1] I. Husain et al., "Electric Drive Technology Trends, Challenges, and Opportunities for Future Electric Vehicles," Proceedings of the IEEE, vol. 109, no. 6, pp. 1039–1059, 2021-06-01 2021, doi: 10.1109/jproc.2020.3046112. [2] S. Zheng, X. Zhu, Z. Xiang, L. Xu, L. Zhang, and C. H. T. Lee, "Technology trends, challen- ges, and opportunities of reduced-rare-earth PM motor for modern electric vehicles," Gre- en Energy and Intelligent Transportation, vol. 1, no. 1, p. 100012, 2022/06/01/ 2022, doi: https:/ /doi.org/10.1016/j.geits.2022.100012. [3] G. Bramerdorfer, J. A. Tapia, J. J. Pyrhonen, and A. Cavagnino, "Modern Electrical Machi- ne Design Optimization: Techniques, Trends, and Best Practices," (in English), Ieee Tran- sactions on Industrial Electronics, vol. 65, no. 10, pp. 7672–7684, Oct 2018, doi: 10.1109/ Tie.2018.2801805. [4] V. Parekh, D. Flore, and S. Schops, "Deep Lear- ning-Based Prediction of Key Performance In- dicators for Electrical Machines," Ieee Access, vol. 9, pp. 21786-21797, 2021-01-01 2021, doi: 10.1109/access.2021.3053856. [5] X. Sun, Z. Shi, G. Lei, Y. Guo, and J. Zhu, "Mul- ti-Objective Design Optimization of an IPM- SM Based on Multilevel Strategy," IEEE Tran- sactions on Industrial Electronics, vol. 68, no. 1, pp. 139–148, 2021-01-01 2021, doi: 10.1109/ tie.2020.2965463. [6] V. Parekh, D. Flore, and S. Schops, "Variational Autoencoder-Based Metamodeling for Multi- -Objective T opology Optimization of Electrical Machines," IEEE Transactions on Magnetics, vol. 58, no. 9, pp. 1–4, 2022-09-01 2022, doi: 10.1109/tmag.2022.3163972. [7] M. Garmut, S. Steentjes, and M. Petrun, "Op- timization of an IPMSM for Constant-An- gle Square-Wave Control of a BLDC Drive," Mathematics, vol. 12, no. 10, p. 1418, 2024-05- 07 2024, doi: 10.3390/math12101418. [8] G. Y . Sizov, D. M. Ionel, and N. A. O. Demerdash, "Modeling and Parametric Design of Perma- nent-Magnet AC Machines Using Computati- onally Efficient Finite-Element Analysis," IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 59, no. 6, pp. 2403–2413, 2012-06-01 2012, doi: 10.1109/tie.2011.2163912. [9] E. A. Grunditz, T. Thiringer, J. Lindström, S. Tidblad Lundmark, and M. Alatalo, "Thermal capability of electric vehicle PMSM with diffe- rent slot areas via thermal network analysis," eTransportation, vol. 8, p. 100107, 1 May 2021, doi: https:/ /doi.org/10.1016/j.etran.2021.100107. [10] M. Garmut, S. Steentjes, and M. Petrun, "Eva- Slika 2 : Oranžne točke predstavljajo Paretovo krivuljo, tj. optimalne rešitve, ki so v obeh kriterijih ali vsaj v enem boljše od referenčne zasnove (modri kvadrat). Sivi krogi prikazujejo vrednosti KPI-jev zasnov strojev, ki smo jih uporabili za treniranje nadomestnih modelov. OPTIMIZACIJA ELEKTRIČNIH STROJEV Ventil 5 / 2025 • Letnik 31 291 luating the thermal stability of an interior per- manent magnet synchronous machine through iterative multi-physics simulation," Internatio- nal Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, vol. 37, no. 5, 2024-09-01 2024, doi: 10.1002/jnm.3294. [11] M. Garmut, S. Steentjes, and M. Petrun, "Com- putationally efficient multi-objective optimi- zation of an interior permanent magnet syn- chronous machine using neural networks," Engineering Applications of Artificial Intelli- gence, vol. 160, p. 111753, 2025-11-01 2025, doi: 10.1016/j.engappai.2025.111753. [12] W. D. Zhao, X. J. Wang, C. Gerada, H. Zhang, C. Liu, and Y. L. Wang, "Multi-Physics and Mul- ti-Objective Optimization of a High Speed PMSM for High Performance Applications," (in English), Ieee Transactions on Magnetics, vol. 54, no. 11, Nov 2018, doi: Artn 810640510.1109/ Tmag.2018.2835504. [13] S. Doi, H. Sasaki, and H. Igarashi, "Multi-Objec- tive Topology Optimization of Rotating Machi- nes Using Deep Learning," IEEE Transactions on Magnetics, vol. 55, no. 6, pp. 1–5, 2019-06- 01 2019, doi: 10.1109/tmag.2019.2899934. [14] M. Garmut, "Integrating Multi-Physics Modeling within Multi-Objective Optimization to Enhan- ce the Performance and Efficiency of Perma- nent Magnet Synchronous Machines," Doctoral dissertation, Fakulteta za elektrotehniko, ra- čunalništvo in informatiko, University of Mari- bor, Maribor, 2025. [Online]. Available: https:/ / dk.um.si/IzpisGradiva.php?id=91651&lang=slv [15] V. Parekh, D. Flore, and S. Schöps, "Deep Learning-Based Meta-Modeling for Multi- -Objective Technology Optimization of Elec- trical Machines," Ieee Access, vol. 11, pp. 93420–93430, 2023-01-01 2023, doi: 10.1109/ access.2023.3307499. [16] W. Li, T. Zhang, R. Wang, S. Huang, and J. Li- ang, "Multimodal multi-objective optimization: Comparative study of the state-of-the-art," Swarm and Evolutionary Computation, vol. 77, p. 101253, 2023-03-01 2023, doi: 10.1016/j.swe- vo.2023.101253. [17] G. Bramerdorfer, A. Cavagnino, and S. Va- schetto, "Cost-optimal machine designs fulfil- ling efficiency requirements: a comparison of IMs and PMSMs," (in English), 2017 Ieee Inter- national Electric Machines and Drives Confe- rence (Iemdc), 2017. [Online]. Available: :/ /WOS:000426933000065. [18] G. Bramerdorfer and A.-C. Zavoianu, "Surro- gate-Based Multi-Objective Optimization of Electrical Machine Designs Facilitating Tole- rance Analysis," IEEE Transactions on Magne- tics, vol. 53, no. 8, pp. 1–11, 2017-08-01 2017, doi: 10.1109/tmag.2017.2694802. [19] S.-W. Jung, J. Ro, and H.-K. Jung, "A Hybrid Algorithm Using Shape and Topology Op- timization for the Design of Electric Machi- nes," IEEE Transactions on Magnetics, vol. 54, no. 3, pp. 1–4, 2018-03-01 2018, doi: 10.1109/ tmag.2017.2764753. [20] B. Bilgin et al., "Modeling and Analysis of Elec- tric Motors: State-of-the-Art Review," IEEE Transactions on Transportation Electrification, vol. 5, no. 3, pp. 602–617, 1 September 2019, doi: 10.1109/tte.2019.2931123. [21] J. Pyrhonen, T. Jokinen, and V. Hrabovcova, Design of rotating electrical machines. Chiche- ster, West Sussex, United kingdom: John Wiley & Sons, 2013. [22] S. P. Wu, X. J. Huang, C. C. Tian, and P. J. Zhang, "Multi-Physical Field Optimization Analysis of High-Speed Permanent Magnet Synchronous Motor Based on NSGA-II Algo- rithm," (in English), Int C Electr Mach Sy, pp. 879–884, 2019. [Online]. Available: :/ /WOS:000537504800166. [23] D. A. Staton and A. Cavagnino, "Convection Heat Transfer and Flow Calculations Suitable for Electric Machines Thermal Models," IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 55, no. 10, pp. 3509-3516, 1 October 2008, doi: 10.1109/tie.2008.922604. [24] I. Kleilat, K. E. K. Benkara, G. Friedrich, S. Vivi- er, N. Moubayed, and R. Dib, "Comparison of Two Analytical Methods for Calculating the Maximum Mechanical Stress in the Rotor of High-Speed-Assisted Synchronous Reluctance Machines," IEEE Transactions on Industry Ap- plications, vol. 57, no. 2, pp. 1344–1353, 2021- 03-01 2021, doi: 10.1109/tia.2020.3040946. [25] M. Nell et al., "Complete and accurate modu- lar numerical computation scheme for multi- -coupled electric drive systems," IET Science, Measurement & Technology, vol. 14, no. 3, pp. 259–271, 2020-05-01 2020, doi: 10.1049/iet- -smt.2019.0413. [26] M. Garmut, S. Steentjes, and M. Petrun, "Para- meter identification for MTPA control based on a nonlinear d-q dynamic IPMSM model," COM- PEL – The international journal for computati- on and mathematics in electrical and electro- nic engineering, vol. 42, no. 4, pp. 846–860, 20 June 2023, doi: 10.1108/compel-09-2022-0331. [27] S. Touati, R. Ibtiouen, O. Touhami, and A. Djer- dir, "Fast multi objective optimization of an au- tomotive PMSM using mixed BEM with genetic algorithms," in 2010 IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference, 1–3 Sept. 2010 2010, pp. 1–4, doi: 10.1109/VPPC.2010.5728995. [28] G. Weidenholzer, S. Silber, G. Jungmayr, G. Bra- merdorfer, H. Grabner, and W. Amrhein, "A flux- -based PMSM motor model using RBF interpo- lation for time-stepping simulations," in 2013 International Electric Machines & Drives Con- ference, Westin O'Hare, Chicago, IL, 12–15 May 2013: IEEE, doi: 10.1109/iemdc.2013.6556323. [Online]. Available: https://ieeexplore.ieee. org/document/6556323. [29] M. Garmut, S. Steentjes, and M. Petrun, "A Comparative Study of Meta-Modeling Appro- OPTIMIZACIJA ELEKTRIČNIH STROJEV Ventil 5 / 2025 • Letnik 31 292 aches for IPMSM Performance Prediction with Neural Networks," in 2025 IEEE International Electric Machines & Drives Conference (IEMDC), 2025-05-18 2025: IEEE, pp. 152–156, doi: 10.1109/iemdc60492.2025.11061145. [30] K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, and T. Meyarivan, "A fast and elitist multiobjective genetic algori- thm: NSGA-II," Ieee T Evolut Comput, vol. 6, no. 2, pp. 182–197, 2002, doi: 10.1109/4235.996017. OPTIMIZACIJA ELEKTRIČNIH STROJEV Methodological Approach to Multi-Objective Optimization of Electrical Machines with a Practical Case Study Abstract: This paper introduces a structured approach to the multi-objective optimization of electrical machines. The process covers the key steps: defining the problem, identifying the most relevant key performance indicators and constraints, setting the design space, formulating objective functions, and then modeling and evaluating the results. Using a permanent magnet synchronous machine as an example, the study shows that it is possible to achieve up to 9% higher output power or reduce the overall cost by as much as 18% compared with the reference design. These results highlight the value of the proposed method and provide a solid basis for choosing the most suitable design for a given application. Keywords: electrical machine, key performance indicators (KPIs), multi-objective optimization, Pareto front Zahvala To delo je bilo podprto s strani Javne agencije za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije (ARIS) v okviru projekta P2-0115 in projekta J7-3152 WWW.IRT3000.COM SPLAČA SE BITI NAROČNIK ZA SAMO 50€ DOBITE: ZA SAMO 20€ DOBITE: NAROČITE SE! 051 322 442 info@irt3000.si www.irt3000.si/narocilo-revije • celoletno naročnino na revijo IRT3000 (10 številk) • strokovne vsebine na več kot 140 straneh • vsakih 14 dni e-novice IRT3000 na osebni elektronski naslov • možnost ugodnejšega nakupa strokovne literature • vsak novi naročnik prejme majico in ovratni trak • celoletno naročnino na revijo IRT3000 (4 številke) • strokovne vsebine na več kot 200 straneh • vsakih 14 dni e-novice IRT3000 na osebni elektronski naslov • možnost ugodnejšega nakupa strokovne literature • vsak novi naročnik prejme majico in ovratni trak Na voljo tudi naročnina na digitalno različico revije za uporabo V BRSKALNIKU in NA MOBILNIH NAPRAVAH Naša ekskluzivna spletna trgovina kakovostnih izdelkov s prepoznavnim dizajnom vaše priljubljene revije za inovacije, razvoj in tehnologije. DIGITALNA NAROČNINA BUTIK IRT3000 Revija v hrvaškem jeziku